Ejercicios Resueltos De Bernoulli 1y2m13

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Apuntes de la materia de Física II: Ejercicios resueltos de estática y dinámica de fluidos. 

Ejercicios originales resueltos para incluir en el tema estática de fluidos, sección densidad de una mezcla de sustancias.

1. (*2) Dos fluidos se mezclan en forma inhomogénea quedando burbujas en la suspensión. La mezcla con las burbujas ocupa un volumen total de 1.2 lit. Si las densidades y masas de cada fluido songr/cm3, m1 = 600 gr 0.8 gr/cm3 y m2 = 400 gr, considerando despreciable la masa del aire en las burbujas, calcule: a) El volumen total de las burbujas b) La densidad de la mezcla. Solución inciso a): El volumen de la mezcla está dado por la suma de los volúmenes individuales de los fluidos 1, 2 y de las burbujas, B.

Despejando VB, obtenemos

VM = 1200 cm3, el volumen de la mezcla es dato; y los volúmenes de los fluidos 1 y 2 se obtienen de los datos del problema de la siguiente forma: V1 =m1gr/1cm3 = 600 cm3; V2 = m2/400gr/0.8gr/cm3= 500 cm3 Sustituyendo los valores anteriores en (2), obtenemos:

Solución inciso b): La densidad de la mezcla esta dada por la masa de la mezcla entre el volumen de la misma.

2. Se mezclan homogéneamente tres fluidos, cuyas fracciones de volumen y densidades son X1 = 0.435, 1 = 1.2 gr/cm3; X2 = 0.46, 2 = 0.85 gr/cm3 y X3 = 0.105, 3 = 1 gr/cm3, respectivamente. Si el volumen de la mezcla es VM = 766.27 cm3, calcular:

2

a) La densidad de la mezcla. Solución: La densidad de la mezcla está dada por

Sustituyendo

, se obtiene

Ejemplo 5. Se realiza una aleación de oro y cobre, en proporciones desconocidas, para formar un lingote con dimensiones de 20cmx10cmx5cm y masa de 12 Kg. Calcular: a) La densidad de la aleación,L =? b) El “quilataje” del oro en la aleación Nota: Recuerde que un quilate de oro equivale a un 4.16% de este en la aleación. Respuesta: a) Utilizando la ecuación 1.1 que define la densidad de un cuerpo, , donde mM y VM son datos del problema con los que obtenemos la densidad del lingote formado por oro y cobre.

b) Para obtener el “quilataje” necesitamos saber el porcentaje de masa de oro en el lingote, para lo cual utilizamos la ecuación 1.10, desarrollada con el propósito de conocer, la fracción de volúmenes de los componentes en la mezcla, y obtener el porcentaje de masa del componente 1, en este caso el oro. Para mayor facilidad nos remitimos al ejemplo 4 de esta misma sección, en donde observamos que hemos hecho este mismo ejercicio, pero sin calcular los quilates de oro en la muestra. Utilizando la ecuación 1.12ª de ese ejercicio, obtenemos que el porcentaje de oro está dado por:

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Con

las respectivas fracciones de volumen del oro y del

cobre en la aleación. Recordando que XAu + XCu = 1, obtenemos:

Por lo que despejando la fracción de oro en la mezcla, XAu:

Despejando la masa de oro, de la última ecuación:

Por lo que el porcentaje de oro en la muestra será XAu %= 5.712Kg/12Kg = 47.6%. es decir el oro ocupa un 47.6% en la aleación, por lo que sus quilates serán: , entonces, los quilates XK, correspondientes a ese porcentaje de oro calculado son:

Como puede observarse, al tener como datos la masa y el volumen de la mezcla y las densidades de los componentes, la no fue necesario calcular el porcentaje del cobre para obtener los quilates de oro.  Ejercicios resueltos para incluir en los apuntes del Principio de Arquímedes Ejemplo 1. (*3) El objeto metálico homogéneo, O, figura (1) ejercicio 9, está suspendido mediante una cuerda de peso despreciable, de una balanza de resorte B1 (Dinamómetro), que muestra una lectura de 7.25 kg., mientras que la balanza B2 registra la masa de un líquido, L, (5Kg) y la del vaso que lo contiene, V, (1Kg). En la figura (2) el mismo objeto se encuentra sumergido en el líquido. La balanza B1 indica 6.25 Kg, mientras que la B2 señala 7 Kg. El volumen del objeto, O, es 0.001 m3. En la figura 3, el objeto, O, se deja reposando en el fondo del vaso, y la balanza B2 registra la masa del vaso, la masa del líquido y la masa del objeto. a. b.

¿Cuál es la fuerza de empuje del líquido sobre el objeto? ¿Cuál es la densidad del líquido?

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c.

¿Qué pasó con las fuerzas de empuje y la fuerza aparente del objeto dentro del fluido, en la situación representada por la figura 3? ¿desaparecieron?

B1 B1

B

1

O V L

O

L

L

O

B2

B2

B2 (1)

V

V

(2)

(3)

Figura ejemplo 1. (1) Objeto colgando fuera de un vaso con líquido que descansa sobre una balanza B2. La balanza B1 registra el peso real del objeto, mientras que la B2 registra solo los pesos del líquido y del vaso. (2) Mismo objeto suspendido de una cuerda dentro del líquido, la balanza B2 registra el peso del líquido, el peso del vaso y una tercera fuerza que aparece al entrar el objeto en el fluido, mientras que la balanza B1 registra un peso disminuido del objeto. Figura (3) objeto reposando en el fondo del vaso, B1 no registra nada, B2 registra los pesos del agua, del vaso y el peso real del cuerpo.

Solución inciso a) Para un objeto que no flota, se tiene que la fuerza de flotación, FL, está dada por la diferencia entre el peso del objeto fuera del fluido, WO, y el peso dentro del mismo (peso aparente), Wa:

Solución inciso b) Utilizando la fórmula para la fuerza de flotación que proporciona el principio de Arquímedes, obtenemos:

De donde obtenemos la densidad del fluido, que todavía no conocemos, en el que se encuentra el objeto sumergido.

El resultado sugiere que el líquido en el que se sumerge el objeto es agua. Solución inciso c) En la representación de la figura 3, la balanza B1 no registra nada, mientras que la balanza B2 Registra el peso del fluido, el peso del vaso y el peso del objeto, pero este último es igual al peso aparente mas la fuerza de flotación: WO = WA + FF. Ejemplo 2. (3*) Se construye una lancha rectangular formada por seis placas de Aluminio, figura,

con las siguientes dimensiones: ¼ pulgada de espesor, 4.0 m de largo por 1.80 m de ancho y

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0.70 cm de altura; la cual tiene como armadura unas costillas de refuerzo, compuesta por barras, también de aluminio, con dimensiones de ½ m pulgada de espesor por 2 pulgadas de peralte y en total suman 40 m de longitud. Si se deposita una masa de 3 Nivel del agua toneladas dentro de la lancha, calcular: h a) La profundidad, h, que se mete la lancha en el Figura ejemplo 2: Esquema representando agua. un lanchón de aluminio flotando en agua, con una masa m = 3 toneladas.

Solución. La profundidad h que la lancha se introduce en el agua debido al peso total se obtiene del volumen de fluido desplazado, VFd = Ah, cuyo peso es la fuerza de flotación (Principio de Arquímedes). Las fuerzas que intervienen con la lancha flotando son: La fuerza de flotación FF, el peso del aluminio estructural de la lancha, WAl, y el peso adicional, Wm, proporcionado por la masa de 3 toneladas, de tal forma que la fuerza de flotación sea igual a la suma de las otras como requisito para que flote.

Con Wm = mg =3000Kgx9.8m/s2= 29400 N, WAl =mAlg Para calcular la masa de aluminio obtenemos el volumen total del mismo multiplicado por su densidad: , El volumen del aluminio es:

Entonces Por tanto, la fuerza de flotación queda:

Por el Principio de Arquímedes,

:

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Finalmente, 

Ejercicios resueltos para incluir en el tema dinámica de fluidos, ecuación de Bernoulli.

Ejemplo 1. (3*) (Teorema de Torricelli). En la figura adjunto se muestra una tubería descargando agua con un gasto de 1.5 litros por segundo, en un tanque, A, que tiene un diámetro de 120 cm, el cual a su vez descarga a través de una llave de paso con un diámetro de ½ pulgada a otro tanque, B, de 60 cm de diámetro y 90 cm de altura (h3). El tanque A se encuentra sobre un pedestal a una altura h2 = 1.5 m sobre el nivel del suelo. El tanque B se encuentra sobre el suelo. Calcular: 1

a) La altura a la cual el nivel del agua en el tanque A se estabiliza. b) La velocidad a la cual llega el agua al tanque B. c) El tiempo en que tarda en llenarse el tanque B.

h

1 A

2

h1

3

h2

B

h3

Solución inciso a) Aunque la ecuación para la velocidad de descarga de un tanque (Teorema de Torricelli) la obtuvimos ya, lo haremos nuevamente para recordar el procedimiento. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 (carga) y 2 (descarga), se tiene:

Es un hecho que el área de sección transversal del tanque, A1, es mucho mayor que el área descarga en el punto 2, A2, y de acuerdo con la ecuación de continuidad la velocidad desplazamiento del nivel de líquido en el tanque, v1, será mucho menor que la velocidad descarga del fluido, v2, resultando que despreciable la primera, por lo que la ecuación Bernoulli se reduce a:

En donde hicimos P1 = P2 = PATM y v1 = 0. Despejando v2 de la ecuación 2, obtenemos:

Con h = h1 – h2. Aplicando la condición de equilibrio que sucede cuando

de de de de

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Sustituyendo (3) en (4), se obtiene la altura h a la cual se estabiliza el nivel de fluido en el tanque. Finalmente, Solución inciso b) Calcularemos ahora la velocidad con la que el agua que descarga por el punto 2 llega a la boca del tanque identificada con el punto 3. Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 2 y 3, obtenemos:

Con P2 = P3 = PATM y sustituyendo v2 de la ecuación (3), la ecuación anterior queda:

Despejando v3:

Solución inciso c) El tiempo de llenado del tanque B, se calcula a partir de la definición de gasto: Q = V/t en m3/s. Donde V es el volumen del tanque y Q es el gasto de descarga (mismo que el de carga). Por lo tanto el tiempo de llenado del tanque es:

Ejemplo 2. (3*) Por un tubo de Vénturi, que tiene un diámetro de 1 pulgada por la parte ancha y ¾ pulgada en la parte estrecha, circula agua. El Vénturi tiene conectados dos tubos manométricos que marcan una diferencia de alturas del agua H = 30 cm. Calcule: H a) ¿Cuántos metros cúbicos de agua por segundo circulan por el tubo? 2 1

Figura ejemplo 2 Solución. El gasto de agua que circula a través del tubo de Vénturi está representado por la ecuación de continuidad:

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A1, v1 y A2, v2 representan las áreas y velocidades en la parte ancha y angosta de la tubería, respectivamente. Para conocer el gasto es necesario encontrar el valor de una de las dos velocidades en la ecuación anterior, por lo que es necesario utilizar una segunda ecuación que las contenga, para lo cual utilizamos la ecuación de Bernoulli:

El término correspondiente a la diferencia de alturas no aparece porque es una tubería horizontal, por lo que h1 y h2 están a la misma altura. Tenemos ahora dos ecuaciones con dos incógnitas y P1 – P2 se calcula a partir de la diferencia de alturasH que es dato, entre los dos tubos manométricos instalados para tal propósito en el tubo de Vénturi, utilizando para ello la ecuación representativa para un fluido estático, P1 – P2 = gH, como es el caso de los dos tubos manométricos midiendo la diferencia de presión entre dos puntos para un flujo en movimiento estacionario. Despejando v1 de la ecuación (1) y sustituyendo en la (2), obtenemos: , por lo que

y la ecuación (2) queda:

Despejando v2 de la ecuación anterior:

Entonces el gasto, ecuación (1), será:

Ejemplo 3 (3*) Una bomba manual de rociado absorbe líquido de un depósito, que se encuentra conectado al tramo más angosto de la bomba, a través de un tubo que tiene una altura, h =8 cm, como se muestra en la figura. El diámetro en la parte ancha es de 2.5 cm, el

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diámetro del tubo en la parte angosta es de 3 mm y el líquido en el depósito tiene una densidad de 0.75 gr/cm3. Considerando una densidad de 1.3x10-3 gr/cm3 para el aire en la bomba, calcular: a) La diferencia de presiones entre las Aire AAir e h partes ancha y angosta, P, mínima Líquido para elevar el líquido desde el depósito a una altura h. Figura ejemplo 3.Bomba manual para rociar. b) Las velocidades mínimas v1 y v2 entre las partes ancha y estrecha de la bomba. Solución inciso a) La alturah que sube el líquido desde el depósito está directamente relacionada con la diferencia de presiones entre la parte ancha y estrecha de la bomba.

Donde I es la densidad del insecticida líquido en el depósito. Entonces,

Como puede observarse la mínima diferencia de presiones es suficiente para subir el líquido y mezclarse con el flujo de aire. Por esa razón uno puede sacar el líquido de un refresco con un popote al hacer un poco de vacío con la boca. Solución inciso b) Si etiquetamos con el No. 1 a la parte ancha y el 2 a la estrecha, la diferencia de presiones, de acuerdo con la ecuación de Bernoulli es:

Debido a que v1 y v2 son incógnitas, tenemos que usar otra ecuación que las contenga y esta es la ecuación de continuidad

Despejando v1 de esta última y sustituyendo en la anterior (2) obtenemos:

Y Despejando v2:

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Para calcular v1 recurramos a la ecuación de continuidad (3):

Como puede observarse de los resultados, la velocidad en la parte estrecha de la tubería, v2, es tal que la presión debe ser muy baja y se presenta el fenómeno de cavitación que permite que las gotas de líquido se pulvericen. Se deja como ejercicio para el alumno calcular la presión en P1 y recopilar información sobre el fenómeno de cavitación debido a la baja presión en un tubo de Vénturi. 

Ejercicios resueltos para incluir en el tema Fluidos Reales (laminares-viscosos: Ecuación de Poiseuille).

Ejemplo 1 (2*) Por una tubería de 1/8 de pulgada (0.3175cm) de diámetro pasa aceite de motor. El aceite tiene una viscosidad  = 30x10-3 N.s/m2, temperatura de 20°C y densidad de 0.8 gr/cm3, descargando a la atmósfera con un gasto de 0.1ml/s. Para medir la caída de presión en la tubería se colocan dos tubos manométricos separados una distancia

h

30 cm Figura ejemplo 1. Distancia entre dos tubos manométricos y la diferencia de alturas debido a la caída de presión de un fluido laminar viscoso.

de 30 cm como se indica en la figura. Calcule:

a) El No. de Reynolds. b) La caída de presión en cm de altura equivalentes entre los dos tubos manométricos. Solución inciso a): El No. de Reynolds.

Lo que muestra un flujo bajo régimen laminar. La velocidad del flujo la obtenemos del gasto y el área de sección transversal de la tubería:

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v = Q/A = (0.1x10-6 m3/s)/(7.92x10-6m2) = 1.26x10-2m/s = 1.26 cm/s Donde, A = R2 = (0.0015875m)2 = 7.92x10-6m2 Solución inciso b): La caída de presión entre los dos puntos de la tubería está dada por

La diferencia de altura debida entre los dos tubos manométricos es, entonces: h = P/g = (360Pa)/(800Kg/m3)(9.8m/s2) = 0.045 m = 4.5 cm Ejemplo 2. (2*) Por una tubería lisa de 8” de diámetro continuo y una longitud de 1 Km, se bombea agua a una temperatura de 20 °C hasta una altura de 30.9 m. La tubería descarga en un tanque abierto a la presión atmosférica con una rapidez de 0.4 lt/s. Calcule: a) El tipo de régimen del fluido 0 en la tubería 1 Km 30.9m b) La caída de presión en la 0 0 tubería c) La potencia de la bomba, Figura ejemplo 2, sección 5.4. Los manómetros indican la necesaria para subir el agua caída de presión de un fluido viscoso, en los diversos tramos de con el gasto indicado la tubería, que descarga a la atmósfera a una altura de 30.9 m. Solución inciso a) Para saber si el flujo de agua que corre por la tubería es laminar, calculamos el No. de Reynolds. , Donde  es la densidad del agua, v la velocidad de descarga, D el diámetro de la tubería y  la viscosidad del agua a 20°C. Para conocer v aplicamos la ecuación del gasto:

A es el área de sección transversal de la tubería, por lo que la velocidad de descarga es

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, régimen no turbulento. Solución inciso b) En este ejercicio se presentan dos caídas de presión: la primera debida a la viscosidad, el diámetro, el gasto y la longitud de la tubería, representada por la ecuación de Poiseuille, y la segunda debida a la diferencia de alturas entre la bomba y el punto de descarga.

De acuerdo con la ecuación de Poiseuille, la caída de presión en la tubería, PP, debido a la viscosidad,  = 10-3 N.s/m2, la longitud, L = 1 Km, el gasto Q = 0.4x10-3 m3/s, y el diámetro de la misma D = 20 cm, está dada por:

Por otro lado, la caída de presión debida exclusivamente a la altura que tiene que vencer la bomba, es: , que equivale a 3 atmósferas. La caída de presión que tendrá que compensar la bomba Estará dada, de acuerdo con la igualdad (1), por:

Es decir, bajo las condiciones de flujo laminar, y un diámetro de 20 cm en la tubería, la caída de presión debida a la viscosidad es despreciable para agua. Si aumentamos el gasto a valores más prácticos, digamos de 4 lt/s, la velocidad aumenta a 0.127m/s y según el Reynolds el tipo de régimen sería turbulento, Re = 25400. En conclusión la ecuación de Poiseuille tiene una aplicación muy reducida y solo se emplea en casos especiales donde el flujo es laminar, lo que generalmente implica gastos pequeños para tuberías que no tienen diámetros grandes. Solución inciso c) La presión de la bomba está dada por el producto de la caída de presión por el gasto, es decir

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Ejemplo 3. (3*) Un tubo capilar de 1 pie de largo y 1/64 pulgadas de diámetro interno está conectado al fondo de un depósito cilíndrico, que tiene una altura de 1 pie y diámetro de 6 pulgadas, lleno de agua, se muestra en la figura adjunto. Calcular: a) El gasto de descarga Q = dV/dt (m3/s, cm3/hr ) b) La rapidez de caída del nivel del agua en el depósito, dh1/dt. Considere un valor de 0.01 poise para la viscosidad del agua. c) La rapidez de movimiento, dh2/dt, del nivel de agua en el capilar cuando esta se agota en el depósito (L1 = 0).

L1

L2

Figura ejemplo 3. Depósito con capilar al fondo.

De acuerdo con la ecuación de Poiseuille, el gasto de fluido a través del área de sección transversal de un tubo cilíndrico de longitud L y radio R, es:

Donde P es la diferencia de presión entre los puntos separados por la distancia L. Solución inciso a). El flujo de agua a través del capilar se debe a la presión ejercida por el nivel de agua en el depósito más la presión de la columna de agua en el propio capilar, dando lugar a la aplicación de la ecuación de Poiseville en el depósito más la misma en el capilar, lo que se representa de la siguiente forma: 1º. La presión de la columna de agua en el depósito sobre la parte superior del capilar contribuye a que se genere un gasto dado por:

Con R el radio del capilar y L2 la longitud del mismo. Como puede observarse en el problema, la diferencia de presiones es proporcionada por la altura de la columna de fluido, P = gL1 en este caso. 2º. La contribución al gasto en el capilar debida a la presión de su propio peso, está dada por

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De tal forma que el gasto total a través del capilar es:

Entonces,

Solución inciso b): Como

, donde A es el área del depósito y dh1/dt la rapidez con

que se baja el nivel de líquido en el mismo. La ecuación (4) queda:

Donde R es el radio del capilar y A1 el área del depósito, por lo que, sustituyendo valores, la rapidez de bajada del nivel de agua en el depósito para L1 = 12 pulgadas y L2 = 12 pulgadas, queda:

Solución inciso c): Cuando el depósito se vacía, L1 = 0, y L2 = 12 pulgadas, la rapidez de bajada del nivel de líquido en el capilar está dada por:

Donde R es el radio del capilar y A2 su área de sección transversal.