Electromagnetismo 456y6o

Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapacá Licenciatura en Ciencias Exactas 1era. Prueba Cátedra 11-10-2007 _________________________________________________________________________

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SOLUCIONARIO Primera Prueba de Cátedra Electromagnetismo Licenciatura en Ciencias Exactas Semestre de Primavera (11 de Octubre de 2007) 1. (Obligatorio) Hallar el potencial electrostático  ( z ) y el campo eléctrico E ( z ) a lo largo del eje de simetría z , para puntos fuera del cascarón esférico de radio R al cual le falta la parte superior, tal como se muestra en la figura. El ángulo de la parte faltante vale  0    4  . El casquete esférico resultante posee una densidad superficial de carga constante  .

z 0

y

x Solución: Calcularemos el potencial electrostático  ( z ) , y a partir de esa solución calcularemos el campo eléctrico E ( z ) . Potencial electrostático: El potencial viene dado por la expresión:

dq  ( z)  k  r r r  r Si ubicamos el origen del sistema de referencia en el centro de la esfera y usamos coordenadas

r

r

polares, los vectores r y r  vienen dados por

r r  zkˆ

r

donde z es un parámetro y no cambia durante el cálculo del potencial. El vector r  denota la posición de un elemento diferencial de carga dq en la superficie del casquete esférico, luego

r r   xiˆ  yˆj  zkˆ Usando las relaciones de transformación a coordenadas polares, se tiene ____________________________________________________________________________ Dr. Edmundo Lazo, fono: 205379, email: [email protected]

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r r   R sin  cos  iˆ  R sin  sin  ˆj  R cos  kˆ luego,

r r r  r    R sin  cos  iˆ  R sin  sin  ˆj  ( z  R cos  )kˆ y su módulo viene dado por

r r r  r   R 2  z 2  2 zR cos  Como se trata de un cascarón esférico con distribución de carga superficial dada por la densidad  , el diferencial de carga viene dado por

dq   dA   R 2 sin  d d Reemplazando y en , se tiene la expresión del potencial:

 ( z)  k 

 R 2 sin  d d R 2  z 2  2 zR cos 

Para recorrer todo el casquete definido en el problema, el ángulo  debe variar entre   0 y

  2 y el ángulo  debe variar entre    0 

 y    . El radio R del casquete esférico es 4

constante. Escribamos explícitamente las integrales con sus límites:

sin  d

2



0

 4

R 2  z 2  2 zR cos 



1 R 2  z 2  2 zR cos  Rz

 ( z )  k R 2  d  La integral en  vale 2 , y la integral en  vale:





 4





 4

sin  d R 2  z 2  2 zR cos  sin  d R 2  z 2  2 zR cos 



  4

1  R  z  R 2  z 2  2 zR  Rz 

Dado que z  0 , el potencial electrostático queda:

 ( z) 

2 k R  R  z  R 2  z 2  2 zR   z

Campo eléctrico:

r

Obtendremos el campo eléctrico a través de la relación E   . Dado que el potencial  depende sólo del parámetro z , el campo viene dado por:

r d ( z ) E    kˆ dz Antes de derivar, reescribamos el potencial en la forma más útil para la derivación: ____________________________________________________________________________ Dr. Edmundo Lazo, fono: 205379, email: [email protected]

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

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 R   R  R   ( z )  2 k R  1     1  2       z   z   z  

2

El campo eléctrico queda



 

r 2 Rz  2 z 2  R E ( z )  2 k R  2  z  R   2 z 3 1  2      z 

 

ˆ  k

2

R    z 

2. (Obligatorio) Una distribución de carga cilíndrica con densidad volumétrica de carga  constante, muy larga y de radio R , tiene un agujero cilíndrico muy largo de radio a . Hallar el campo eléctrico en un punto P cualquiera al interior del agujero cilíndrico. Exprese el

r

resultado en función del vector d que une los centros de los cilindros. Hint: Después de calcular los campos eléctricos, escríbalos vectorialmente en función de los

r

r

vectores r y r  que parten del centro de los cilindros y llegan al punto P , tal como se muestra en la figura.



r rP rrr  d

Solución: Dado que el punto P se encuentra en la parte interior de ambos cilindros, sólo necesitamos calcular el campo en el interior de un cilindro usando ley de Gauss. Usemos una Gassiana cilíndrica de radio

r y altura h , donde r es menor que el radio R0 de un cilindro con densidad volumétrica de carga constante  . Si el cilindro es muy largo, no hay contribución de las tapas del cilindro gaussiano a

la integral de flujo, luego la ley de Gauss

r r qneta E Ñ  dS   0 queda:

r r E Ñ  dS 

r r qneta E  dS  0 manto

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El campo eléctrico es constante sobre la superficie del manto cilíndrico y además es paralelo a la diferencial de superficie en cada punto, por lo tanto, podemos sacar al campo fuera de la integral

E 2 rh 

qneta 0

donde h es la altura del cilindro gaussiano. La carga neta encerrada dentro de la gaussiana viene dada por

qneta    dV     r 2 h  Reemplazando en , se tiene

E 2 rh 

   r 2h  0

Simplificando, se obtiene el módulo del campo eléctrico en el interior de cualquier cilindro con densidad de carga   cte .

E

r 2 0

Pero el campo eléctrico de un cilindro muy largo apunta radialmente, de manera perpendicular al eje del cilindro,por lo tanto, el campo eléctrico se escribe vectorialmente en la forma

r  rr E 2 0

Ahora que tenemos una expresión general para el campo eléctrico al interior de una distribución cilíndrica de carga, podemos aplicarla al problema en estudio.

r

Mirando la figura, el campo eléctrico Eg del cilindro con densidad  viene dado por

r r r Eg  2 0 r

El campo eléctrico Ea del agujero cilíndrico viene dado por

r r  r Ea   2 0 donde el signo menos viene dado porque estamos considerando que el agujero cilíndrico tiene una densidad de carga negativa. Por superposición, el campo resultante en el punto P , viene dado por

r r r E R  E g  Ea

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r r

r

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r r r  r  r  r r ER     r  r 2 0 2 0 2 0

Pero,  r  r    d , luego

r  r ER  d 2 0 3. (Optativo) Se tiene la siguiente distribución esférica de carga, dada por la densidad volumétrica carga:

 r     (r )     r  0

si 0  r  a si a  r  b r b

si

a)

Calcular el campo eléctrico en cada región.

b)

Hallar la fuerza F que ejerce una distribución esférica de carga sobre una varilla de largo L , con densidad lineal de carga   0   r , localizada como la muestra la figura. ¿Qué relación debe cumplirse entre las constantes  y  para que la fuerza resultante

c)

sobre la varilla sea cero?

 L

ab D

r

Solución: a) Calcular el campo eléctrico en cada región. Dada la simetría del problema, usaremos gaussianas esféricas para calcular los campos en cada región, como función de la distancia radial r . Región con 0  r  a :

r

r

Ñ  E dS r

r



qneta 0

Dado que E y dS son paralelos sobre la superficie de la esfera, y dado que el módulo del campo eléctrico no varía sobre la superficie de la esfera, la ley de Gauss queda:

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1 0

E1 4 r 2  1 0

E1 4 r 2  E1r 2 

 0

r a

  dV 0

r a

  r  4 r dr  2

0

r a



r 3dr 

0

E1 

r4 4 0

r2 4 0

Región con a  r  b : Del mismo modo que el caso anterior, la ley de Gauss queda:

E2 4 r 2  E2 4 r 2 

1   0 

1 0

a  r b



 dV

0

a

a  r b

0

a

  dV 



  dV 

Usando las expresiones para la densidad de carga en cada región, escribimos,

E2 4 r 2 

a a  r b 1     rdV  dV    0  0 r  a

 a  E2 4 r   r  4 r 2 dr   0 0 0

a  r b



2

 a 3  E2 r   r dr  0 0 0

 4 r dr  2

r

a

a  r b

2



rdr

a

2 2  a4   r  a  E2 r   4 0 2 0 2

E2 



1  a 4  2  r 2  a 2  2 4 0 r



Región con r  b : Del mismo modo que el caso anterior, la ley de Gauss queda:

1 E3 4 r  0 2

r b

  dV 0

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1  E3 4 r   0 

a

b

r b

0

a

b

7



  dV    dV    dV

2

Dado que la densidad de carga existe solo hasta r  b , escribimos, a b 1    E3 4 r     rdV   dV 0  0 r  a 2

E3 4 r 2 

 a  r  4 r 2 dr    0 0 0

E3r 2 

b



 4 r dr  2

r

a

 a 3  b r dr  rdr  0 0  0 a

2 2  a4   b  a  E3r   4 0 2 0 2

E3 



1  a 4  2  b2  a 2  4 0 r 2



b) Hallar la fuerza F que ejerce una distribución esférica de carga sobre una varilla de largo L , con densidad lineal de carga   0   r , localizada como la muestra la figura. La fuerza que actúa sobre un elemento diferencial de carga dq de la varilla que está sobre el eje radial, viene dada en función del campo externo a la esfera E3 (r  b) que existe en la región donde está la varilla:

F   E3 dq Reemplazando el campo dado por y la densidad lineal de carga de la varilla, se tiene

F



1  a 4  2  b2  a 2  2 4 0 r



0

  r  dr

Por simplicidad de notación, escribimos

C



1  a 4  2  b 2  a 2  4 0



Las integrales quedan

F  C 0

D L



D



dr  C r2 D L

1 F  C 0     r D

D L



D

dr r DL

 C  ln r D

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1   1  D  L    C  ln  D  D D  L 

F  C 0 



L   D  L  C  ln      D   D  D  L 

F  C 0 

c) ¿Qué relación debe cumplirse entre las constantes  y  para que la fuerza resultante sobre la varilla sea cero? Si la carga total contenida en las esferas es cero, entonces el campo eléctrico se anula fuera de la distribución de cargas y la fuerza sobre la varilla se hace cero, luego, basta exigir la condición

C  0 , esto es, C





1  a 4  2  b 2  a 2   0 4 0

En consecuencia, la relación entre las constantes viene dada por:

 2 2 2  b a   a4 r

4. (Optativo) a) Calcule el potencial  (r ) para la distribución de cargas puntuales mostrada en la figura. Esta distribución se llama cuadrupolo. b) Escriba la ecuación de las equipotenciales. Use la siguiente notación: Q  qd 2 , donde Q se denomina “momento cuadrupolar”. Hint: Calcule el potencial del sistema de cargas y luego use el teorema general de Pitágoras para expresar r1 y r2 en función de r , d y  . Después haga las expansiones en serie para la





2 2 condición d = r , conservando términos hasta el orden d r .

P r r2

r rr1 r

    q d 2q d  q

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Solución:

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r

a) Calcule el potencial  (r ) para la distribución de cargas puntuales mostrada en la figura. Esta distribución se llama cuadrupolo. El potencial en el punto P producido por las tres cargas puntuales viene dado por

 q 2q q r  (r )  k       r1 r r2 Usando el teorema general de Pitágoras, podemos expresar r1 y r2 en función de r y del coseno del ángulo  , en la siguiente forma:

r1  r 2  d 2  2rd cos   d2 d   2 cos  2 r  r 

r1  r 1   Usando la notación,

 d2 d   2 cos  2 r  r 

1   la relación se escribe

r1  r 1  1 donde 1 = 1 , porque d = r Del mismo modo,

r2  r 2  d 2  2rd cos      Pero cos(   )   cos  , por lo que la relación , queda,

r2  r 2  d 2  2rd cos   d2 d  r2  r 1   2  2 cos  r  r  Usando la notación,

 d2 d   2   2  2 cos  r  r  la relación se escribe

r2  r 1   2 ____________________________________________________________________________ Dr. Edmundo Lazo, fono: 205379, email: [email protected]

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donde  2 = 1 , porque d = r Reemplazando y en , se tiene,

 1 1 r kq   (r )      2 r  1  1 1 2  



r kq 1 2 1 2  (r )    1  1    1   2   2 r La expansión en serie de Taylor de la expresión  1  x 

 1 x

1 2

 1

1 2



, para x = 1 , viene dada por,

1 3 x  x 2 K 2 8

Usando esta relación, cada uno de los términos de la relación , queda,

 1  1 

1 2

 1 2 

1 2

1 3  1  1  12 K 2 8 1 3  1   2   22 K 2 8

Reemplazando estos resultados en , se tiene,

1 3 1 3  r kq       (r )     1  1  12  K  1   2   22  K  2 r   2 8 2 8     r kq  (   ) 3( 2   22 )  (r )   1 2  1  r  2 8  Usando los valores conocidos, se encuentra que

 d2 d   2 cos  2 r  r 



(1   2 )  





 d2 d  2 cos  2 r r 

d2 (1   2 )  2 2 r Del mismo modo, 2

 d2 d   d2 d  (   )   2  2 cos   2  2 cos  r r  r   r  2 1

2

2 2

(12   22 )  2

d4 d2  2 8cos 2  4 r r

Reemplazando y en , se tiene,

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 d2 r kq  d 2 3 d 4  (r )   2   3 cos 2  4 2 r  r 4r r  Despreciando los términos mayores o iguales a

d4 , por ser demasiado pequeños en nuestra r4

aproximación d = r , se tiene

r kq d 2  (r )  1  3cos 2   2  r r Pero el momento cuadrupolar viene dado por Q  qd 2 , luego, en esta aproximación, el potencial del cuadrupolo viene dado por

r kQ  (r )  3  1  3cos 2   r b) Escriba la ecuación de las equipotenciales. La ecuación de las equipotenciales se obtiene imponiendo la condición que el potencial sea constante:

r  (r )  cte  c kQ r  (r )  c  3  1  3cos 2   r

Despejando,

r 3c  kQ  1  3cos 2   Sea c 

kQ , entonces, la ecuación de las equipotenciales queda c r 3  c  1  3cos 2  

Cambiando el valor de c , se obtienen las diferentes curvas equipotenciales.

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