Esponja De Menger 43f2o

A Esponja de Menger Jocimar Gomes Duarte Junior Orientador: Dr. M´arcio Lima do Nascimento Universidade Federal do Par´a - Bel´em - PA - Brasil 5 de junho de 2014 Resumo Neste trabalho definiremos conceitos simples e concisos acerca de fractais para assim levantarmos considera¸c˜ oes a respeito da esponja de Menger. Palavras-chave: Fractal, Auto-Similaridade, Dimens˜ao fractal, complexidade infinita, Karl Menger, Esponja de Menger.

γΓ

1

Introdu¸c˜ ao

A esponja de Menger, foi descrita pela primeira vez pelo matem´atico austr´ıaco Karl Menger (1902-1985), em 1926, partindo de discuss˜oes a respeito de dimens˜ao topol´ogica. A esponja ´e um objeto que pertence ao espa¸co R3 , tem aparˆencia de um cubo enormemente perfurado que Menger acabou provando que se tratava de uma curva universal, ou seja, algo de dimens˜ao topol´ogica 1. Estranhamente, essa curva universal possui uma dimens˜ao, que chamaremos de dimens˜ao fractal, aproximadamente igual a 2, 7268330... . Este fractal possui o fato peculiar de ter volume zero e a´rea infinita.

2

No¸c˜ oes preliminares

Inicialmente, de maneira simples e precisa, iremos definir alguns conceitos que ser˜ao nescess´arios para entender o que ´e a esponja de Menger e como se d´a a constru¸ca˜o dela.

2.1

O que ´ e um fractal?

Um fractal, a grosso modo, seria um conjunto do plano ou do espa¸co que possui a seguinte propriedade: quando dividimos o conjunto em um certo n´ umero de partes iguais, cada pequena parte ´e uma figura semelhante(do ponto de vista da geometria euclidiana) a figura original. E assim fazemos esta divis˜ao sucessivamente e as propriedades s˜ao mantidas. A palavra vem do latim fractus que significa fra¸c˜ao, algo quebrado. Destacam-se tamb´em pelo fato de n˜ao possuirem necessariamente dimens˜ao inteira, como veremos a seguir. 1

2.2

Algumas caracter´ısticas de um fractal

2.2.1

Auto-semelhan¸ca

Como mencionamos em 2.1, o conjunto total ´e constitu´ıdo por pequenas r´eplicas desse mesmo conjunto, ou seja, qualquer que seja a amplia¸ca˜o considerada, obteremos sucessivas c´opias do objeto inicial(semelhantes). Podemos definir auto-semelhan¸ca como sendo um processo de obten¸c˜ao de figuras ampliadas, todas r´eplicas de um dado objeto geom´etrico inicial. Ou seja, dado uma figura inicial, obtemos sucessivas c´opias desta, todas obtidas ´ tamb´em denotada por Mandelbrot de homotetia atr´aves de um mesmo fator de redu¸c˜ao. E interna. Para tanto, temos dois tipos de homotetia: a exata e a aproximada. Veja exemplos dos tipos abaixo.

Figura 1: Figura exata

2.2.2

Figura 2: Figura aproximada

Dimens˜ ao

Usaremos uma defini¸c˜ao de dimens˜ao homot´etica ou tamb´em chamada de dimens˜ao fractal. Estamos acostumados em trabalhar com dimens˜oes de figuras euclidianas, onde temos por exemplo, figuras de dimens˜ao 1,2 e 3, ou seja, inteiras, ditas figuras euclidianas cl´assicas. Por´em quando se trata de uma figura n˜ao-euclidiana temos certas peculiaridades, dependendo do tipo de objeto fractal que nos ´e disposto. Definamos a dimens˜ao fractal D como segue ln N D=− ln r onde N ´e o n´ umero de parti¸co˜es em que o objeto inicial ´e dividido e r ´e a raz˜ao de semelhan¸ca. Um exemplo e o conjunto de cantor, pois neste caso, tomando um caso em que 1 N = 2, n´ıvel 2, e r = sua dimens˜ao fractal e aproximadamente igual a 0, 630929753. 3 ln N Observe que o valor D = − ´e o mesmo, pelas propriedades de fun¸co˜es logar´ıtimicas, ln r calculado para qualquer etapa do processo. Veja p´ag. 4. 2.2.3

Complexidade infinita

Diz-se que o fractal possui complexidade infinita pelo fato de que nunca conseguiremos uma representa¸c˜ao geom´etrica exata, visto que a quantidade de itera¸co˜es ´e infinita, ou seja, n˜ao 2

h´a uma representa¸ca˜o total o objeto fractal tomando a quantidade exorbitante de detalhes, por exemplo, nunca desenhamos a poeira de cantor, apenas conseguimos desenhar uma etapa finita do processo. Todo processo de itera¸ca˜o se d´a modo recursivo, ou seja, partindo de um n´ umero inifito de itera¸co˜es, toma-se a mesma f´ormula, aplicando-as infinitas vezes.

3

Esponja de Menger

A esponja de Menger ´e um fractal de valia inestim´avel para o estudo da matem´atica. Este leva consigo um parad´oxo louv´avel: possui a´rea infinita e volume zero. Foi definido pela primeira vez em 1926, pelo austr´ıaco Karl Menger, em seus estudos sobre topologia dimensional. Neste trabalho n˜ao levantaremos os aspectos envolvendo a topologia, pois o foco principal ´e, de maneira simples, apresentar o fractal em quest˜ao. Abaixo temos uma representa¸c˜ao, em seu quarto est´agio de itera¸ca˜o, do processo de constru¸c˜ao do fractal.

Figura 3: 4o est´agio do processo de constru¸ca˜o da Esponja de Menger Analisaresmos a constru¸ca˜o da esponja de Menger. Come¸camos tomando um cubo qualquer de lado l e volume V0 = l3 . Dividindo cada face do cubo em nove quadrados, l obtemos novos vinte e sete cubos menores com arestas igual a . Partindo disto, retira-se o 3 cubo menor no meio de cada face e o cubo menor do centro do cubo maior, resultando em vinte cubos menores. Feito isto, temos o primeiro n´ıvel, onde n = 0, da esponja de Menger. Repetindo o processo, temos uma segunda itera¸c˜ao, n = 1, que ser´a chamada de segundo n´ıvel, onde o volume V1 da esponja ser´a determinado por 3 l V1 = V0 − 7 3 e mais adiante, o nosso terceiro n´ıvel, i = 2, 3onde repetindo o mesmo processo inicial obtemos cubos menores de volume igual a 9l . Assim, o volume geral da esponja, neste n´ıvel segue da forma 3 3 l l V2 = V0 − 7 −7 20 3 3 3

Observe que a esponja de Menger ´e o limite de todo este processo sendo executado in´ umeras n vezes. O n´ umero de cubos ser´a dado por 20 , onde n nada mais ´e que o n´ umero de itera¸co˜es feitas no cubo inicial. Agora, note que podemos reescrever a equa¸c˜ao acima do seguinte modo 2 3i X l 3 20i−1 V2 = V0 − 7l 3 i=1 Com efeito, temos que o volume da esponja de Menger, tomando o n-´esimo termo, ´e da seguinte maneira n 3i X l 3 20i−1 = 0 Vn = V0 − 7l 3 i=1 Ent˜ao, calculando lim Vn = 0. Portanto conclu´ımos que quando o n´ umero de itera¸co˜es n→∞ tende ao infinito, o volume tende a zero. Agora partiremos para a an´alise da ´area do fractal. Denotaremos por A a a´rea da esponja e utilizaremos o mesmo n para denotar o n´ umero de itera¸co˜es, ou n´ıveis. Iniciando por n = 0, temos que A0 = 6l2 , onde l ´e o lado do cubo. Assim, de modo an´alogo ao feito acima, temos que para i = 1 a ´area A1 e da forma 2 2 l 20 A1 = A0 + 6l 3 Com efeito, temos que a a´rea da esponja de Menger, tomando o n-´esimo termo, ´e dado por n 2i X l 2 An = A0 + 6l 20i 3 i=1 Assim, calculando lim An = ∞, e portanto, a ´area tende ao infinito. n→∞ Ora, partindo das an´alises anteriores a esponja de Menger ´e um fractal que possui volume zero e a´rea infinita. Abaixo temos a figura de representa¸ca˜o de alguns n´ıveis da esponja de Menger.

Figura 4: Alguns n´ıveis da esponja de Menger Por fim, calcularemos a dimens˜ao fractal deste. A esponja possui auto-similaridade e, por conta disto, partiremos da f´ormula definida em 2.2. Ent˜ao, partindo do fato que N = 20, para um est´agio de n´ıvel 3 , e r = 31 , claramente visto pois o comprimento da aresta de cada cubo ´e reduzido `a um ter¸co, a cada itera¸ca˜o. Portanto temos D=−

ln N ln 20 =− ≈ 2, 7268... 1 ln r ln 3 4

Referˆ encias [1] ASSIS, T. A. et al.Geometria fractal: propriedades e caracter´ısticas de fractais ideais.Revista Brasileira de Ensino de F´ısica, v. 30, n. 2, 2304. 2008. [2] MANDELBROT, B. B. Objectos Fractais: forma, acaso e dimens˜ao. Gradiva Publica¸co˜es, Lisboa, 1991. [3] FERNANDES, J. A. Fractais: Uma nova vis˜ao da matem´atica.Monografia (Gradua¸ca˜o em matem´atica). UNILAVRAS, Lavras – MG. 2007. [4] FUZZO, R. A. et al. Fractais: Algumas caracter´ısticas e propriedades. Funda¸c˜ao Arauc´aria, FECILCAM, Arauc´aria - PR. 2009. [5] MURR, C. et al. Fractais: Propriedades e constru¸c˜ao. Monografia (Gradua¸ca˜o em matem´atica). Universidade do Paran´a, Curitiba -PR. 2005 [6] WEISSTEIN, Eric W. Wolfram MathWorld. The Menger Sponge. Dispon´ıvel em mathworld.wolfram.com/MengerSponge.html. [Consultado em 30 de outubro de 2013]. [7] Wikipedia, the free encyclopedia.(2012). Menger Sponge. Dispon´ıvel em http://en.wikipedia.org/wiki/Menger sponge. [Consultado em 30 de outubro de 2013].

5