Estados Planos De Tensiones 153a63

ESTADO PLANO. Estado plano de tensiones y de deformaciones.

1

Estado plano de tensiones. Pequeño espesor. Cargas externas, aplicadas en el espesor y contenidas en el plano medio. El espesor es pequeño en comparación con las demás dimensiones. 2

γ 12 ⎤ ⎡ 0 ε 11 1 ⎥ ⎢ Quedando respectivamente ε11 = [τ11 − μ(τ 22 )] 2d o de You = E Módulo de elasticida ⎥ toda dimensiónErelacionada con los ejes X1 y X2 ⎢son mucho mas gran γ 21 los tensores de tensiones y G = Módulo de elasticida d transver según esteεúltimo eje. nadas con las de1 X3 y además no existen cargas ⎥ ⎢ 0 D = 22 ε 22 = [τ 22 − μ(τ11 )] con ~ 2 te caso, deformaciones el tensor de deformaciones se transforma: ⎥ ⎢ μ = Módulo de Poisson E como sigue. 0 0 ε ⎥ ⎢ τ12 33 2(1 + μ ) γ = γ = 0 13 23 γ 12 = τ12 = ⎥⎦ ⎡ τ11 τ12 τ13E⎤ ⎡ ⎢⎣τ11 τ12 0⎤ G ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ) = ⎢τ 21 τ 22 τ 23 ⎥ ========= T = (τij) = ⎢τ 21 τ 22 0⎥ (3) donde ε 33 no es una incógnita porque a trav la deformación longitudinal según X , resulta ε ⎢⎣ τ 31 pero ⎢ ⎥ ⎥ 0 0 0 τ 32 al τanalizar 3 33 33 ⎦ ⎣ ⎦ μ de)deformaciones queda: ε 33 = Por − lo que(εel11tensor + ε 22 . Realizando operaciones alg 1− μ γ 12 ⎤ ⎡ 0 ε 11 ⎥ ⎢ 2 forma tensorial, pero usando notación de Voigt: ⎥ ⎢γ 21 ⎥ ⎢ 0 D = ε 22 ⎡ ⎤ ~ 2 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥0 ⎡ ε110 ⎤ ε 33 ⎥ ⎡ τ11 ⎤ ⎢1 μ E ⎢ EP ⎢τ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ con ⎦ ⎣ μ ε 1 0 C 22 22 2 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ~ 1− μ

ma)

3

donde ε 33 no es una incógnita porque a t μ ( ε 33 = − ε11 + ε 22 ) . Realizando operaciones a de Hooke. 1Ley −μ forma tensorial, pero usando notación de Voigt: ⎡ ⎤ 0 ⎥ ⎡ ε11 ⎤ ⎡ τ11 ⎤ ⎢1 μ E ⎢ ⎢τ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎥ con μ ε 1 0 C 22 22 2 ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ~ 1− μ − μ 1 ⎢⎣ τ12 ⎥⎦ ⎢0 0 ⎥ ⎢⎣ γ 12 ⎥⎦ 2 ⎦ ⎣ siempre que estemos en presencia de un material iso

4

Estado plano de deformaciones. Pequeño espesor. Se producen deformaciones según los eje 1 y 2. El espesor es pequeño en comparación con las demás dimensiones. 5

E τ12 = γ 12 , τtensor Quedando el 13 = τ 23 = 0 2(1 + μ) Si consideramos que el tubo de la figura tiene una longitud muchísimo mas grande que de deformaciones. la dimensión de la porción que analizamos (usualmente 1 m) podemos suponer que quedando el tensor de tensiones: tendrá impedido todo corrimiento o deformación en la dirección del eje X (isotrópico) 3

además las cargas másicas o de borde no mostrarán componente según ese eje. Por lo anterior el tensor de deformaciones quedará: ⎡ ⎢ ε11 ⎢γ D = ⎢ 21 ~ ⎢ 2 ⎢ γ 13 ⎢ 2 ⎣

γ 12 2 ε 22 γ 23 2

γ 13 ⎤ 2 ⎥ γ 23 ⎥ ⎥ ========= 2 ⎥ ⎥ ε 33 ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ε11 ⎢γ D = ⎢ 21 ~ ⎢ 2 ⎢ 0 ⎢⎣

γ 12 2 ε 22 0

⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥⎦

T = (τ

∂ (.) = 0. ∂x 3 33 En cuanto a las tensiones podemos partir de la relación constitutiva general planteada anteriormente en función de las constantes de Lamé.:

Pero

con γ 13 = γ 23 = ε 33 = 0 , adicionando

τ

es

una

incóg

1 E ε + ε =λ = [τμ.33 −yμG(=τ11E + τ 22 )] = 0 ⇒ τ 3 T = 2G D+ I λe con e = ε 33 (1 + μ )(1 − 2μ ) 2(1 + μ ) E reduciendo al plano, teniendo en cuenta la forma de la matriz de deformaciones y ~

~

~

11

procediendo algebraicamente:

22

,

6

1 − 20μ ⎥ 1 ⎢ 0 0 ⎢ ⎥ − μ 1 τ ε ⎡ 11 ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 11 − μ 2 ( 1 ) ⎢⎣ ⎥⎦ μ − μ E ( 1 ) ⎢τ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ε 1 0 22 22 ⎥ μ E ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ * + μ)(1 − 2μ) 1 − *μ ( 1 interesante nombrar sustituyendo y⎢ μ = ⎢⎣ τ12 ⎥⎦ E = ⎢ ⎥ γ ⎥ 12 ⎣ ⎦ (1 − μ) (1 − μ) 1 − 2μ 0 ⎢ 0 ⎥ 2(1 − μ) ⎥⎦ o transformaciones algebraicas, se simplifica la expresión: ⎢⎣

Ley de Hooke.

⎤ ⎡ ⎡ ⎤ μ * 1 ⎥ ⎡ ε11 ⎤ 0 ⎥ 1 0 μ ⎢ ⎡ τ11 ⎤ ⎢ * − μ 1 E ⎥ ⎢μ * 1 ⎥ ⎢ ⎢τ ⎥ = ⎢0 ⎥ ε − μ μ E ( 1 ) 22 22 ⎥ EPD 2 ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ con⎥ C * = 1 0 * 1 − μ ⎥ ⎢⎣ τ12 ⎥⎦ ~ (1⎢+0μ)(10− 2μ1) −⎢1μ− μ⎥ ⎢⎣ γ 12 ⎥⎦ ⎢2 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 − 2μ ⎥ 0 ⎢ 0 ⎥ uivalente a EPT con sustitución de los módulos normales − μ)los 2(1por ⎢⎣ ⎥⎦

μ E * AquídeesEPD interesante nombrar isotropía, sustituy E = y μ = incongruencias aso y considerando no existen (1 − μ) (1 − μ) en EPT ya que aquí las deformaciones y corrimientos según realizando transformaciones algebraicas, se simplifica la expresión: *

impedidos. Quizás podría mencionarse que para el caso del caño, q 7 Nuevamente, debe aceptars gún X y sin embargo hay tensiones.