Exercices De Logique Et Theorie Des Ensembles 5l4y1y

Université Blaise Pascal Département de Mathématiques

Module S1 A ou B Math Année 2007-2008

http://math.univ-bpclermont.fr/~royer/ens/L1S1/

Exercices de logique et théorie des ensembles Exercice 1

Écrire la négation des propositions suivantes : 1) Toutes les voitures rapides sont rouges ; 2) Il existe un mouton écossais dont au moins un côté est noir ; 3) Pour tout ε ≥ 0, il existe q ∈ Q∗ tel que 0 ≤ q ≤ ε ; 4) Pour tout x ∈ R, x2 < 0.

Exercice 2

Soit P, Q, R des propositions. Dans chacun des cas suivants, les propositions citées sont-elles la négation l'une de l'autre ? 1) (P et Q) ;

(non P et non Q) ;

2) (P ⇒ Q) ;

(non Q ⇒ non P ) ;

3) (P ⇒ Q) ;

(P et Q).

Exercice 3

Soit a, b, c des réels. Écrire la négation des propositions suivantes : 1) a ≤ −2 ou a ≥ 3 ; 2) a ≤ b ou |a| > c ; 3) 3 ≤ a ≤ 7 ou 10 ≤ b ≤ 17.

Exercice 4

Démontrer les énoncés suivants par contraposée ou par l'absurde : 1) Soit a un réel. Si a2 n'est pas un multiple entier de 16, alors a/2 n'est pas un entier pair ; 2) L'équation 2x7 − 4x4 + 2x + 3 = 0 n'a pas de solution entière ; 3) Les solutions entières de l'équation x5 − 2x4 − 8x + 16 = 0 sont toutes paires.

Exercice 5

Démontrer les énoncés suivants par récurrence (éventuellement forte) : P 1) Pour tout naturel n, on a nk=0 2k = 2n+1 − 1 ; P 3) Pour tout entier naturel n, on a nk=0 k 2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 ; 3) Pour tout naturel n avec n ≥ 10, on a 2n ≥ n3 (remarquer pour commencer que pour n ≥ 10, on a 2 ≥ (1 + 1/n)3 ).

Exercice 6

Dresser la liste de toutes les inclusions et égalités entre les ensembles suivants :

A = {x ∈ Q : x ≤ 0} ; B = { ab : a, b ∈ Z, b 6= 0 et b pair } ; C = {z ∈ C : z 2 = −4} ; D = {z ∈ R : z 2 = −4} ; E = Q; F = ∅. 1

Exercice 7

Soit E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} et soit les parties suivantes de E :

A = {1, 2, 3, 4} ; B = {4, 5, 6, 7} ; C = {1, 3, 5, 7} ; D = {2, 3, 4, 5, 6}. Calculer (A ∩ B) ∪ (C ∩ D), (A ∪ C) ∩ (B ∪ D) et (Ac ∩ D)c ∩ (B ∪ C)c .

Exercice 8

Soit A, B deux parties d'un ensemble E . A-t-on nécessairement :

(A ∩ B)c ⊂ Ac ∩ B c ? (A ∩ B)c ⊃ Ac ∩ B c ? (A ∪ B)c ⊂ Ac ∪ B c ? (A ∪ B)c ⊃ Ac ∪ B c ? Justier chaque cas par une preuve ou un contre-exemple !

Exercice 9

Dessiner les parties suivantes de R2 : a) ([−1, 1] × [−1, 1])c ; b) [−1, 1]c × [−1, 1]c ; c) {(a, b) ∈ Z2 : a2 + b2 ≤ 4}.

Exercice 10

Soit A, B, C, D quatre parties d'un ensemble E . A-t-on nécessairement :

(A ∩ B) × (C ∩ D) ⊂ (A × C) ∩ (B × D) ? (A ∩ B) × (C ∩ D) ⊃ (A × C) ∩ (B × D) ? (A ∪ B) × (C ∪ D) ⊂ (A × C) ∪ (B × D) ? (A ∪ B) × (C ∪ D) ⊃ (A × C) ∪ (B × D) ? Justier chaque cas par une preuve ou un contre-exemple !

Exercice 11

Soit les fonctions f : R → R; x 7→ x3 − x + 2 et g : R → R; x 7→ x2 − 4. Calculer f ◦ g , g ◦ f , ainsi que la fonction f g : R → R; x 7→ f (x)g(x).

Exercice 12

Une fonction f : R → R est dite paire si f (−x) = f (x) pour tout x ∈ R et impaire si f (−x) = −f (x) pour tout x ∈ R. Soit s : R → R; x 7→ −x. 1. Exhiber une fonction paire, mais pas impaire ; 2. Exhiber une fonction impaire, mais pas paire ; 3. Existe-t-il des fonctions qui ne sont ni paires, ni impaires ? 4. Trouver toutes les fonctions qui sont à la fois paires et impaires ; 5. Montrer que toute fonction de R vers R se décompose de manière unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire ; 6. Montrer qu'une fonction g : R → R est paire si et seulement si g ◦ s = g ; 7. Montrer qu'une fonction g : R → R est impaire si et seulement si g ◦ s = s ◦ g .

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Exercice 13

Donner f (]0, 1[), f ([1, 2[), f ([−3, −2]), f −1 (]0, 1[), f −1 ([1, 2[), f −1 ([−3, −1]) et f −1 ([− 12 , 3]) pour chacune des fonctions f : R → R suivantes : 1) f : x 7→ x2 ; 2) f : x 7→ xx ; 3) f : x 7→

1 1+x

;

4) f : x 7→ sin x.

Exercice 14

Soit f : E → F une application, soit A, B ⊂ E et soit C, D ⊂ F . A-t-on nécessairement :

f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) ? f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) ? f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D) ? f −1 (C ∪ D) = f −1 (C) ∪ f −1 (D) ? f −1 (f (A)) = A ? f (f −1 (A)) = A ? Justier chaque cas par une preuve ou un contre-exemple !

Exercice 15

Soit n un naturel. On note Sn l'ensemble des bijections de l'ensemble {1, . . . , n} vers lui-même. Calculer le nombre d'éléments de Sn ;

Exercice 16

Construire des applications injectives f : ]0, 1[ → ]0, 1[×]0, 1[ et g : ]0, 1[×]0, 1[ → ]0, 1[.

Exercice 17

Soit A un ensemble et soit FA l'ensemble des applications de A vers {0, 1}. Exhiber une bijection entre FA et P(A).

Exercice 18

Construire une application injective de P(N) vers R.

Exercice 19

Soit E un ensemble tel qu'il existe une application i : E → E injective, mais pas surjective. Construire une injection de N vers E .

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