Exponente Cero 6z5g4n

Exponente cero: El decir que 5 elevado a cero es igual a uno, en realidad es un convenio, pues tal como se define una potencia no tiene sentido. La potencia se define como producto de factores iguales, donde la base se multiplica tantas veces como indica el exponente, o sea que Por otra parte si dividimos dos potencias de la misma base se obtiene una potencia de la misma base y de exponente la diferencia de los exponentes.

Por ejemplo

( Esta propiedad se puede probar

así:

)

1) Aplicando lo que acabamos de decir, será Ahora, si tenemos formas:

se puede razonar de dos 2) Pero por otro lado

Por eso hay el convenio de que cero.

Lo mismo se puede decir para cualquier número elevado a

En general

Raíz de una potencia Para hallar la raíz de una potencia, se calcula la raíz de la base y luego se eleva el resultado a la potencia dada.

Multiplicación de potencia con la misma base:

L a m u l t i p l i c a c i ó n d e p o t e n ci a s c o n l a m i s m a b a s e e s o t ra po t e n c i a c o n l a m i s m a b a s e y c u yo e x p o n e n t e e s l a s u m a d e l o s exponentes.

am · a

n

= am+n

2 5 · 22 = 25+2 = 27

(−2)5 · (−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7

33 · 34 · 3 = 38

(−2)2 · (−2)3 · (−2)4 = (−2)9

2−2 · 2−3 · 24 = 2−1

25 · 24 · 2 = 210

M u l t i p l i c a c i ó n d e p o t e n c i a s c o n e l m i s m o e x p o n e n te

L a m u l t i p l i c a c i ó n d e p o t e n ci a s c o n e l m i s m o e x po n e n t e e s o t ra po t e n c i a c o n e l m i s m o e x p o n e n t e y c u ya b a s e e s e l pr o d u c t o de l a s bases

an · b

n

= (a · b)

23 · 43 = 83

n

División de potencias con la misma base

L a d i v i s i ó n d e p o t e n c i a s c o n l a m i s m a b a s e e s o t ra po t e n c i a c o n l a m i s m a b a s e y c u y o e x p o n e n t e e s l a di f e r e n ci a d e l o s exponentes.

am : a

n

= am

25 : 22 = 25

– n

− 2

= 23

2−2 · 2−3 · 24 = 2−1 = ½

22 : 23 = 2−1 = 1/2

2−2 : 23 = 2−5 = (1/2)5 = 1/32

22 : 2−3 = 25 = 32

2−2 : 2−3 = 2

D i v i s i ó n d e p o t e n c i a s c o n e l m i s m o e x p o ne n t e

L a d i v i s i ó n d e p o t e n c i a s c o n e l m i s m o e x p o ne n t e e s o t r a po t e n c i a c o n e l m i s m o e x p o n e n t e y c u ya b a s e e s e l c o c i e n t e d e l a s bases.

an : b

n

= (a : b)

63 : 33 = 23

n

POTENCIA DE UNA POTENCIA Para calcular la potencia de una potencia se deja la base y se multiplican los exponentes.

7. Potencia de un cociente Consideremos la siguiente operación:

Podemos decir que la potencia de un cociente se obtiene elevando el dividendo y el divisor al exponente. Sean a y b € Z, a y b ≠ 0, n € N se tiene que:

Ejemplos:

Exponentes Negativos: ¿Negativo? ¿Qué puede ser lo opuesto a multiplicar? ¡Dividir!

La división es la inversa (opuesta) de la multiplicación. Un exponente negativo nos indica cuántas veces dividir por ese número. Por ejemplo: 8-1 = 1 ÷ 8 = 1/8 = 0,125 O muchas divisiones: Por ejemplo: 5-3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0,008 Pero se puede hacer de una forma más fácil: 5-3 también podría calcularse así: 1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/53 = 1/125 = 0,008

El ultimo ejemplo nos mostró una forma más simple de manejar exponentes negativos: 

Calcula el exponente (an)



Luego utiliza su Inverso (1/an)

Potencia de un producto: La potencia de un producto es igual a los factores cuyos exponentes se multiplican por la potencia. (ab)n = (a(1)(n))(b(1)(n)) = (an)(bn) Debemos entender que un producto puede tener varios factores. Por ejemplo: Sea (abcde)s, al ser potencia de un producto aplicamos esta propiedad. (abcde)s = asbscsdses Toda cantidad tiene exponente; por lo que, para aplicar esta propiedad se debe multiplicar el exponente por la potencia. Por ejemplo: Sea (abscn)x. Aquí abscn es un producto porque se están multiplicando las cantidades y podemos aplicar esta propiedad. (abscn)x = a(1)(x)b(s)(x)c(n)(x)) = axbsxcnx Como se puede observar, esta propiedad es similar a la propiedad Potencia de potencia También debemos entender que en una propiedad las letras representan una cantidad. Por ejemplo: Sea (4abm2c)x+y. Potencia de un producto, aplicamos esta propiedad. 4(ab)(x+y)m(2c)(x+y) 4abx+abym2cx+2cy

Potencia de exponente racional Una potencia de exponente fraccionario se puede transformar en una raíz cuyo: Índice es el denominador y el radicando es la base elevada al numerador.

Veamos algunos ejemplos:

Por lo tanto al resolver una potencia con exponente racional quedaría: