Falsa Posicion 4bd5y

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RAÌCES DE ECUACIONES

Método Regula Falsi ó de la Falsa Posición Ing Yamil Armando Cerquera Rojas – [email protected] Especialista en Sistemas Universidad Nacional Docente Universidad Surcolombiana Neiva - Huila

Tabla de Contenido Polinomios ............................................................................................2 Grado de un polinomio...........................................................................2 Raíces de un polinomio ..........................................................................2 Factorización de un polinomio..................................................................3 Representación gráfica de las raíces de un polinomio......................................4 Raíces Únicas y Múltiples: .......................................................................5 Teorema fundamental del Álgebra.............................................................9 Todo polinomio de grado n tiene n raíces. ...................................................9 Regla de los signos de Descartes ...............................................................9 Conjunto de posibles raíces ................................................................... 10 ¿Qué hacer cuando se tenga una raíz?....................................................... 11 Falsa Posición – Regula Falsi ..................................................................... 12 Introducción ..................................................................................... 12 Procedimiento................................................................................... 12 Demostración Matemática:.................................................................... 16 Otra demostración del modelo ............................................................... 17 Ejemplo: ....................................................................................... 18 Código General para encontrar raíces: ................................................... 21 Regula Falsi Modificado ..................................................................... 24 Ejercicios Propuestos........................................................................... 25 Recursos Bibliograficos......................................................................... 26 Bibliografia OnLine: ............................................................................ 27

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Polinomios Un polinomio es una suma de términos llamados monomios. Un monomio es el producto de un coeficiente (un número real), una variable (casi siempre x o y) elevada a un exponente (entero positivo). Existen polinomios con uno, dos o más términos, por ejemplo: 2

9 Monomio (un término): 5x En este caso el coeficiente es 5, la variable es x el exponente 2 7

9 Binomio (dos términos): 6 x − 2 9 Trinomio (tres términos): 3 x 5 + 4 x 3 − x 2 En este trabajo se utilizarán polinomios con coeficientes enteros y potencias enteras positivas.

Grado de un polinomio El grado de un polinomio es igual al exponente mayor de la variable. Por ejemplo: Tabla. 1 Grados de polinomios

5x 2

Es un polinomio de grado 2

6 x7 − 2

Es de grado 7

3x5 + 4 x3 − x 2

Es de grado 5

2 x 4 − x3 − x 2

¿De qué grado es?

6 x 5 − 4 x 2 − 19 x

¿De qué grado es?

3 x15 + x13 − x 2

¿De qué grado es?

13

¿De qué grado es?

Nota cómo se deben escribir los polinomios. Se deben escribir en orden decreciente con respecto al grado de cada término.

Raíces de un polinomio La raíz de un polinomio es un número tal que hace que el polinomio valga cero. Es decir que, cuando se resuelva un polinomio a cero, las soluciones son las raíces del polinomio. Por ejemplo el polinomio: f ( x) = x 2 + x − 12

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Cuando se iguala a cero y se resuelve se tiene: Tabla. 2 Solución de polinomios

x 2 + x − 12 = 0 ( x + 4)( x − 3) = 0

Igualando a cero.

x = −4 x=3

Raíz 1 Raíz 2

Factorizando.

Puesto que x1 = −4 y x 2 = 3 , son soluciones de f(x) entonces f (−4) = 0 y f (3) = 0 . Se dice entonces que x1 = −4 y x 2 = 3 , son raíces del polinomio f ( x) = x 2 + x − 12 Las raíces de f ( x) = x 3 − 4 x 2 + x + 6 son x = - 1, x = 2 y x = 3 ¿Por qué?

Factorización de un polinomio El número de factores en que se puede descomponer un polinomio es igual al grado del polinomio. Para poder factorizar un polinomio es necesario encontrar sus raíces. Cuando se tengan estas, los factores correspondientes a cada raíz son de la forma (x - r) donde r es un valor que corresponde a una de las raíces. Esto es, si r1, r2, ... , rn son raíces del polinomio f(x) entonces la factorización de f(x) es: f ( x) = ( x − r1 )( x − r2 )...( x − rn )

Por ejemplo, si 1.

f ( x) = x 3 − 4 x 2 + x + 6

Como sus raíces son x = - 1, x = 2 y x = 3 entonces f(x) se ha factorizado como

f ( x) = ( x − (−1))( x − 2)( x − 3) = ( x + 1)( x − 2)( x − 3) f ( x) = ( x + 1)( x − 2)( x − 3) 2.

f ( x) = x 2 + x − 12

Como sus raíces son x = - 4 y x = 3 entonces f(x) se ha factorizado como

f ( x) = ( x − (−4))( x − 3) = ( x + 4)( x − 3) f ( x) = ( x + 4)( x − 3) Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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3.

f ( x) = ( x − 2)( x + 3)( x + 12)

De la función anterior se puede decir que tiene raíces en x=2, x=-3, x=-12, dado que con cualquiera de los tres valores reemplazados en la función su valor será igual a cero.

Representación gráfica de las raíces de un polinomio Como las raíces de un polinomio hacen que éste valga cero, en un plano cartesiano esto se identifica como las intersecciones de la gráfica del polinomio con el eje de las X (abscisas). Esto es, los puntos en donde cruza la gráfica al eje horizontal tienen como abscisa la raíz del polinomio graficado. A continuación se presentan algunas funciones con sus raíces, factorización respectiva y la correspondiente grafica para el rango donde se puedan apreciar sus raíces:

Descripción Función Raíces

Factorización

f ( x) = x 2 + x − 12

-4y3

f ( x) = ( x + 4)( x − 3)

Descripción Función Raíces

Factorización

Gráfica

Gráfica

f ( x) = x 3 − 4 x 2 + x + 6

- 1, 2 y 3

f ( x) = ( x + 1)( x − 2)( x − 3)

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Función Raíces

f ( x) = x 4 − 5 x 2 + 4

- 2, - 1, 1 y 2

Factorización

f ( x) = ( x + 1)( x + 2)( x − 1)( x − 2)

Función

f ( x) = x 3 + 4 x 2 + 3x

Raíces

¿Cuáles son?

Factorización

f(x) =

Función Raíces

Factorización

f ( x) = x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6

1, - 2 y 3

f ( x) = ( x − 1)( x + 2)( x − 3)

Raíces Únicas y Múltiples: Los polinomios pueden tener raíces únicas en un punto determinado del eje x o raíces que se repiten en un número par o impar veces, es decir una raíz sobre el eje x puede ser la misma par o impar veces. Dicho de otra manera una raíz por ejemplo dos (2) puede ser la misma raíz pero repetida tres (3) veces (impar) o repetida 2 veces (par). La tabla siguiente muestra la función f ( x) = x 2 − 4 , y en la gráfica se observa como esta corta el eje x tanto en el punto -2 y 2 de un lado a otro siguiendo la forma de la figura.

Se puede decir que la figura pasa de un lado al otro el eje x en el punto de corte o raíz. Por lo tanto la raíz es única en el valor de menos dos (-2) y única en el valor de dos (2). Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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Es un polinomio de orden dos por lo tanto solo tendrá dos (2) raíces. En la parte donde se muestra el polinomio factorizado f ( x) = ( x − 2)( x + 2) se puede observar que si la variable x toma el valor de 2 o toma el valor de -2 la función tomará el valor de cero.

Descripción

Gráfica

f ( x) = x 2 − 4

Función Raíces

- 2, 2

Factorización

f ( x) = ( x − 2)( x + 2)

Para el caso del siguiente ejemplo la función f ( x) = x 2 − 2 x + 1 tiene dos (2) raíces, y si observa la gráfica, esta no corta el eje x en ningún sector. Ahora si observa el valor de uno (1) en el eje x, es un punto donde la función se vuelve cero (0). Se debe considerar al valor de uno (1) como raíz de la función. Lo que pasa es que dicha raíz se repite par veces (para el caso del ejemplo 2 veces), por esta razón la gráfica no corta el eje x, sino que lo toca tangencialmente en el punto raíz y cambia su pendiente. Se puede decir matemáticamente que en el punto raíz, la derivada de la función es igual a cero (0) ó dicho de otra manera en este punto la tangente es igual a cero (0). En la factorización que se hace de la función, se puede observar que el único valor que hace que la función tome el valor de cero (0) es el punto uno (1) sobre el eje x, y puede ser en el término de la izquierda o en el término de la derecha, es decir dos veces.

Descripción Función Raíces

Factorización

Gráfica

f ( x) = x 2 − 2 x + 1

1, 1

f ( x) = ( x − 1)( x − 1)

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Para el caso del siguiente ejemplo la función f ( x) = x 3 − 6 x 2 + 12 x + 8 tiene 3 raíces, y si observa la gráfica, esta corta el eje x aparentemente en varios puntos cercanos a 2. Ahora si observa el valor de 2 en el eje x, es un punto donde la función se vuelve cero. Se debe considerar al valor de 2 como raíz de la función. Lo que pasa es que dicha raíz se repite impar veces (para el caso del ejemplo 3 veces), por esta razón la gráfica corta el eje x de la forma como se observa en la figura. En el punto de corte sobre el eje x, este y la gráfica son paralelos superpuestos. Se puede decir matemáticamente que en el punto raíz la derivada de la función es igual a cero. En la factorización que se hace de la función, se puede observar que el único valor que hace que la función tome el valor de cero es 1, y puede ser en el término de la izquierda o en el término de la derecha, es decir dos veces.

Descripción Función Raíces

Factorización

Gráfica

f ( x) = x 3 − 6 x 2 + 12 x + 8

2, 2, 2

f ( x) = ( x − 2)( x − 2)( x − 2)

Para el caso del siguiente ejemplo la función f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 4 tiene 3 raíces, y si observa la gráfica, esta corta el eje x aparentemente en un punto igual a menos uno (1) y toca tangencialmente dicho eje en un valor igual a dos (2). Ahora si observa el valor de -1 en el eje x, es un punto donde la función cruza el eje de las x con cierta pendiente, esto indica que ese punto de corte es una raíz única. Ahora en el punto 2 sobre el eje de las x la curva o grafica de la función toca tangencialmente el eje y cambia de pendiente. Esto debe asumirse como una raíz que se repite par veces. Como el polinomio de es orden 3 y ya se sabe de una raíz única se puede decir que dicha raíz es par veces repetida. Se puede decir matemáticamente que en el punto 2 considerado como raíz repetida par veces, la derivada de la función es igual a cero. En la factorización que se hace de la función, se puede observar que el único valor que hace que la función tome el valor de cero es -1, en el término de la izquierda o 2 en los dos términos de la derecha. Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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En el caso de que la raíz 2 se repitiera 4 veces diferenciaría la forma de la gráfica en que la pendiente de esta es mayor o menor al acercarse al eje.

Descripción f ( x) = x 3 − 3x 2 + 4

Función Raíces

Gráfica

- 1, 2, 2

f ( x) = ( x + 1)( x − 2)( x − 2)

Factorización

En el siguiente ejemplo muestra la combinación de las tres formas que toma la gráfica dependiendo si sus raíces se repiten par o impar veces o son raíces únicas.

Descripción Función Raíces

Gráfica

f ( x) = x 6 − 17 x 5 + 102 x 4 − .... − 248 x 3 + 160 x 2 + 240 x − 288 - 1, 2, 2, 2, 6, 6

Factorización

f ( x) = ( x + 1)( x − 2) 3 ( x − 6) 2

Que análisis de acuerdo con lo mostrado anteriormente le puede realizar a las siguientes funciones.

f ( x) = ( x + 1)( x − 1) 2 ( x − 1)

f ( x) = ( x + 1)( x − 2) 5 ( x − 6) 4

f ( x) = ( x + 2)( x − 2) 3 ( x)

f ( x) = ( x − 1) 2 ( x + 1) + 1

f ( x) = ( x + 1)( x − 2)5 ( x − 6) 4 + 1

f ( x) = ( x − 1) 2 − 1

f ( x) = ( x − 1) 2 + ( x − 1)

f ( x) = (( x − 1) 2 + 1) 2 ( x − 1)

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Teorema fundamental del Álgebra Carl Friedrch Gauss ha sido uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos. Contribuyó a muchas ramas de las matemáticas. En 1798, ¡a los 20 años de edad!, Gauss demostró el teorema fundamental del Álgebra que dice lo siguiente:

Todo polinomio de grado n tiene n raíces. Si se toma una ecuación en términos generales, tal como la ecuación siguiente:

a n x n + a n−1 x n −1 + a n−2 x n− 2 + a n−3 x n−3 + ... + a3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x1 + a0 = 0 . Se puede decir entornes que es una ecuación de orden n y por tanto tiene n soluciones. Recuerde que en es este apartado sólo se tiene polinomios con coeficientes enteros. Observa la tabla anterior, donde se da la función, las raíces y la gráfica y verifica que efectivamente para cada polinomio de grado n hay n raíces. Una forma en la que se puede interpretar este teorema es como sigue, ya que se puede factorizar un polinomio, dadas las raíces y hay n raíces para todo polinomio de este grado, entonces si: f ( x) = a n x n + a n−1 x n−1 + a n−2 x n− 2 + a n −3 x n−3 + ... + a3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x1 + a 0 ,

Se puede decir que: f ( x) = ( x − r1 )( x − r2 )...( x − rn )

Donde r1, r2, ... , rn son las raíces de f(x). La demostración de este teorema queda lejos del objetivo de esta página sin embargo daremos algunas herramientas para encontrar las n raíces.

Regla de los signos de Descartes Rene Descartes encontró un método para indicar el número de raíces positivas en un polinomio. Esta regla dice lo siguiente: "El número de raíces reales positivas (+) de un polinomio f (x) es igual al número de cambios de signo de término a término de f (x) " Hay que recordar que los polinomios se deben escribir en orden decreciente conforme al grado de cada término.

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Por ejemplo el polinomio f(x)= x2 + x - 12 tiene un cambio de signo, del segundo al tercer término, por lo tanto tiene una raíz positiva. g(x)= +x3 - 4 x2 + x + 6 tiene dos cambios de signo, tiene dos raíces positivas h(x)= +x4 - 5 x2 + 4 tiene dos raíces positivas i(x)= x3 + 4 x2 + 3 x No tiene cambios de signo, por lo tanto no tiene raíces reales positivas. j(x)= x3 - 2 x2 - 5 x + 6 ¿Cuántas raíces positivas tiene? También puede evaluar la expresión en los valores 1 y -1 teniendo en cuenta solo el signo de cada término de la expresión. En caso de que un término no exista se toma como 0 (positivo). En el ejemplo de la siguiente tabla para el caso de la primera función al evaluar la función en 1, el primer término de la función toma un valor positivo y el segundo toma un valor negativo, por tanto se dice que tiene una raíz positiva en razón a un solo cambio de signo (de positivo a negativo). Como se trata de una ecuación de una recta pues tan solo tiene una raíz. Pero por probar se ha evaluado la función en -1, resultando en ambos términos un signo -, o sea que no hay cambio de signo, indicando con esto que no hay raíces negativas, en la función f ( x) = x − 1 . Tabla 3. Número de raíces positivas y negativas en un polinomio.

Nro

Ecuación

1

f ( x) = x − 1

2

f ( x) = x 2 + x − 12

3

f ( x) = x 3 − 2 x 2 − 5 x + 6

4

f ( x) = x 3 + 4 x 2 + 3x

5

f ( x) = x 4 − 5 x 2 + 4

6

f ( x) = x 3 − 4 x 2 + x + 6

Signo f (1) = + − f (−1) = − − f (1) = + + − f (−1) = + − − f (1) = + − − + f (−1) = − − + + f (1) = + + + +

f (−1) = − + − + f (1) = + + − + + f (−1) = + + − + + f (1) = + − + + f (−1) = − − − +

Rai_Pos Rai_Neg 1

0

1

1

2

1

0

3

2

2

2

1

Conjunto de posibles raíces Existe un método para encontrar un conjunto de números, los cuales pueden ser raíces de un polinomio. La regla que mencionaremos aquí es aplicable sólo para polinomios con el coeficiente de la potencia mayor de x igual a 1. Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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Es decir, si f ( x) = a n x n + a n−1 x n−1 + a n −2 x n −2 + a n −3 x n −3 + ... + a3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x1 + a0 , Si se toma a a0 = 1 . Esto es que sólo se trabaja con polinomios de la siguiente forma:

f ( x) = x n + a n−1 x n −1 + a n−2 x n−2 + a n −3 x n −3 + ... + a3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x1 + a0 El conjunto de posibles raíces de f (x) se forma con los divisores de a0 (del término independiente), hay que considerar estos divisores tanto con signo positivo como con negativo. La forma en que se puede usar esta información del término independiente es la siguiente, puesto que cualquier elemento de este conjunto puede ser raíz de f (x) hay que evaluar a f (x) en algún valor de este conjunto y si el resultado de la evaluación es cero, entonces ese valor escogido es raíz de f (x) . En la siguiente tabla se muestran varios polinomios, los divisores del término independiente y las raíces de los polinomios: Tabla 4. Raíces de los polinomios

Función

Divisores del término independiente Raíces 1, 2, 3, 4, 6, 12, -4y3 f ( x) = x 2 + x − 12 -1, -2, -3, -4, -6, -12 1, 2, 3, 6, f(x)= x3 - 4 x2 + x + 6 - 1, 2 y 3 -1, -2, -3, -6 1, 2, 4, f(x)= x4 - 5 x2 + 4 - 2, - 1, 1 y 2 -1, -2, -4 1, 2, 3, 6, f(x)= x3 - 2 x2 - 5 x + 6 1, - 2 y 3 -1, -2, -3, -6

¿Qué hacer cuando se tenga una raíz? Con lo visto en los apartados anteriores se tiene las herramientas necesarias para encontrar las n raíces de un polinomio. Recuerde que para encontrar una raíz es necesario saber los divisores del término independiente y evaluar nuestro polinomio en con el valor escogido. Además de haber encontrado una raíz usando el método anterior se ha hallado un factor del polinomio. Se puede estar seguro de que si r es una raíz de f(x) entonces al dividir f(x) / (x - r) tendrá como resultado un polinomio de un grado menor a f(x) y como residuo cero. Así se ha reducido el problema de encontrar n raíces en otro problema, el encontrar sólo n-1 raíces. Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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Falsa Posición – Regula Falsi

Introducción El método de la falsa posición, (Basado en la interpolación lineal) es análogo al método de bisección, puesto que el tamaño del intervalo que contiene a la raíz se reduce mediante iteración. Sin embargo, en vez de bisectar en forma monótona el intervalo, se utiliza una interpolación lineal ajustada a dos puntos extremos para encontrar una aproximación a la raíz1. Este método sirve para encontrar la raíz o solución real de una ecuación. Al decir que encuentra su resultado hay que tomar en cuenta que no todas las ecuaciones tienen un solo resultado, y que no todas tienen resultado, por lo que hay que tener una idea de la forma de la curva de la ecuación antes de aplicar el método para que sea efectivo. Es un método que consiste en encontrar una raíz que se encuentra en medio de dos valores iniciales, que son con los cuales el método arranca a trabajar. Cuando se hace lo anterior, el método se denomina interpolación lineal ó, mas a menudo, método de falsa posición (en latín regula falsi)2. Esta técnica es similar a la bisección, salvo que la siguiente iteración se toma en la intersección de una recta entre el par de valores x y el eje x, en vez del punto medio. Es necesario, para que el método iterativo tenga éxito al momento de encontrar la raíz, que la función a la cual se le desea encontrar raíces, sea evaluada en los dos puntos, la evaluación en un punto debe ser de diferente signo su magnitud a la función evaluada en el otro punto.

Procedimiento La forma de operar de este método es un poco mas simple que el de bisección y lo que hace es ir tirando líneas rectas que corten con el eje de las X e ir chequeando si es o no la raíz que se busca. La forma de hacerlo es la siguiente: Primero se seleccionan 2 puntos o valores, cualesquiera que sean sobre el eje de las X, pero tratando de que la raíz quede entre ellos, si no es así, el mismo método lo señala. Se puede realizar la verificación evaluando la función en cada uno de los dos puntos asumidos (A,C). La evaluación de la función en cada punto o sea f(A) y f(C), deben ser dos magnitudes con signo diferente. De esta manera se asegura que entre los dos puntos (A,C) exista al menos una raíz real. 1

NAKAMURA, Shoichiro, Métodos numéricos aplicados con software. Primera Edición. Prentice Hall Hispanoamericana. S.A. Pag. 68 2 WHEATLEY, Gerald, Análisis numérico con aplicaciones. Sexta Edición. Prentice Hall. Pag 47. Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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Para efectos de la demostración inicial de modelo, a esos 2 primeros puntos se les denominará A (Punto negro sobre el eje x) y C (Punto verde sobre el eje x), tal como se ilustra en la figura siguiente: Figura 1. Representación gráfica de la cuerda entre A y C.

Después se evalúan esos 2 primeros puntos en la ecuación original y se obtiene f ( A) y f (C ) . Luego se une con una línea recta los pares coordenados (A, f ( A) ) y (C, f (C ) ), esto se hace por medio de un manejo de la ecuación general de una recta, y al punto en el que esa nueva recta cruza con el eje de las x se denomina B. En ese punto se puede evaluar la función y se obtiene f (B) , tal como se ilustra en la figura anterior. Al tirar la cuerda entre los pares indicados anteriormente se forman dos triángulos, que permiten de la relación entre los dos triángulos (AB1) y (BC2) para obtener:

f (C ) C − B = , Note que la relación f (C ) / f ( A) , tiene signo negativo, por eso para f ( A) A − B que el denominador sea negativo se plantea A − B . De lo anterior se despeja B que sería el punto de interés para calcular, siguiendo el procedimiento mostrado a continuación.

f (C )

f ( A)

=C−B

A− B

, Af (C ) − Bf (C ) = Cf ( A) − Bf ( A) , Bf ( A) − Bf (C ) = Cf ( A) − Af (C )

B * ( f ( A) − f (C ) ) = Cf ( A) − Af (C )

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Y despejando finalmente la variable B se tiene:

B=

Cf ( A) − Af (C ) f ( A) − f (C )

Ec. 1

Al igual que con el resto de los métodos, es recomendable al momento de solucionar algún problema, ordenar los datos en una tabla en forma de columnas, así habrá una columna A, una B, una C, una f ( A) , una f ( B) y una f (C ) . Suponga que se desea encontrar las raíces reales a la siguiente ecuación:

x 3 + 2 x 2 + 7 x − 8 , una primera iteración aplicando la Ecuación Ec1, y partiendo de valores para A igual a -1 (A=-1.0000) y C igual a 1 (C=1.0000), arrojaría el siguiente resultado. A

B

C

f ( A)

f (B )

f (C )

-1.0000 0.7500 1.0000 -14.0000 -1.2031 2.0000 Lo siguiente que hace el método es trazar otra línea recta pero ahora desde f (B ) hasta f (C ) , el nuevo punto donde cruza esa línea se acerca más a la raíz y se llama B´ tal como se observa en la Fig. 2. Figura 2. Representación gráfica del punto intercepto entre la cuerda y el eje X (B’).

En realidad para continuar con el método se procede igual que con el de bisección, es decir, se observa entre que valores en la columna de las f(Letra) hay un cambio de signo.

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En la tabla de arriba se observa que el cambio se da entre f (B ) y f (C ) , o igual pudiera decirse que el signo de f ( A) y f (B ) son iguales. Se corre el valor asumido que este del mismo lado del valor encontrado. Para el caso que nos ocupa se ve que A es un valor que esta del mismo lado que B con respecto a la raíz verdadera, o dicho de otra manera la función evaluada en A y en B son cantidades cuyo signo es el mismo. Por tanto para la próxima iteración el punto A tomará el valor del punto B y vuelve y se calcula un nuevo B, con los nuevos datos como se observa en la siguiente tabla para el caso de la segunda iteración.

Iter 1 2

A

B

C

f ( A)

f (B )

f (C )

-1.0000 0.7500 1.0000 -14.0000 -1.2031 2.0000 0.7500

1.0000

-1.2031

2.0000

Como se puede observar, los espacios de B y f(B) están inicialmente vacíos, y para llenarlos solamente es volver a hacer lo que ya se hizo para la primera iteración, Cf ( A) − Af (C ) y una vez que se tiene ese primero se calcula B con la formula B = f ( A) − f (C ) valor (0.8439), se sustituye en la ecuación original y se obtiene f (B ) (-0.0673) y de nuevo se repite el proceso para las demás iteraciones. Iter A 1 2

B

C

f ( A)

f (B )

f (C )

-1.0000 0.7500 1.0000 -14.0000 -1.2031 2.0000 0.7500 0.8439 1.0000

-1.2031 -0.0673 2.0000

Nota: Es importante revisar los signos de la evaluación de la función para reasignar el valor calculado a A o a C.

Si en el primer paso resulta qÿÿ no hay cambio de signo entre ninguna de las 3 columnas de las f(X), entonces quiere decir que la raíz no esta entre los puntos que se escogieron inicialmente, por lo que hay que darle otros valores a (A y C), e iniciar de nuevo. El método puede fallar cuando hay más de 1 raíz entre los puntos que se dieron, o si los puntos están muy cerca uno de otro. Es recomendable que intente chuequear que puede suceder en el caso que haya más de una raíz entre los dos valores dados inicialmente. Si se sabe que un punto raíz es aquel para el cual la evaluación de la función sea cero, el método terminaría las iteraciones idealmente cuando el valor absoluto en la columna de f (B ) sea cero o por lo menos tienda a cero, pero realmente nunca pasa, Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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por lo que se fija un valor antes de empezar cercano a 0, por ejemplo 0.001, y cuando el valor absoluto en la columna de f (B ) sea menor o igual a 0.001, entonces el último valor que este en la columna de B será la aproximación de la raíz que se busca.

Demostración Matemática: Figura 4. Representación gráfica de las diversas iteraciones

Suponga una ecuación E ( x) = 0 escrita en forma funcional f ( x) = E ( x) y que cumple el teorema de Bolzano en el intervalo (a, b). Se presentan cuatro alternativas que finalmente se reducirán a solo dos casos.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

¿Como se puede determinar C(+), C(-) (La concavidad) ?

C (+), Si f ' ' ( x) > 0

C (−), Si f ' ' ( x) < 0 A-1 y 4 bo f(a)f"(x) > 0 Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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A-2 y 3 ao f(a)f"(x) < 0

Otra demostración del modelo Figura. 8: Demostración con funciones trigonométricas

Como los ángulos α de los triángulos formados por CBb y CAa en el caso de la figura 8 son iguales, entonces se puede decir que si se les aplica una función trigonométrica tal como la tangente su valor será igual.

f (b) , (Ec. 1) b − xi f (a) , (Ec. 2) y para el triangulo CAa ser tendrá tan(α ) = − xi − a

Por lo tanto del triangulo CBb se tiene tan(α ) =

Al igualar la Ec. 1 y la Ec. 2 se tendrá que:

f (b) f (a) , realizando la =− b − xi xi − a

( xi − a) * f (b) = − f (a) * (b − xi ) , ahora despejando los términos de se tendrá lo siguiente: xi ( xi f (b) − af (b) = *(−bf (a ) + xi f (a )) , dejando del mismo lado las xi se tendrá: ( xi * f (b) − xi * f (a) = (a * f (b) − b * f (a)) y despejando definitivamente la xi se tendría multiplicación

cruzada

se

tendría

de acuerdo a la nomenclatura usada en la Figura 8 la siguiente fórmula:

xi =

af (b) − bf (a ) f (b) − f (a )

¿Cuando se detiene?

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Dado un error denominado ∈max positivo y mayor que 0, pero bien pequeño, el procedimiento se detiene cuando dos valores calculados de x sean bien cercanos, tal que el valor absoluto de la resta de los dos sea menor al error dado xi − xi −1 <∈max .

Ejemplo: Halla una raíz de la ecuación x 3 − 5 x + 1 = 0 con una precisión tal que el error máximo sea tan pequeño como una diezmilésima. ∈max = 0.0001 . f ( x) = x 3 − 5 x + 1

f ``( x) = 6 x > 0 ∀ x ∈ (0,1) f ( a ) = f ( 0) = 1 → > 0

f (b) = f (1) = −3 → < 0 , tal como se observa en la figura 9.

Sea a0=0 y x0=b0 = 1, Aplicando la fórmula xi =

af (b) − bf (a ) se tendría lo siguiente. f (b) − f (a )

1. X1 = 1 – ((-3)(0 – 1) /(1+3) = 1 – 0.75 = 0.25

xi − xi −1 = 0.75 > 0.001 por tanto se sigue con las iteraciones. 2. X2 = 0.25 – ((-0.2344)(0 – 0.25) )/ (1+ 0.2344) = 0.25 – 0.04747 = 0.2025 Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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xi − xi −1 = 0.04747 > 0.001 por tanto se continúa

3. X = 0.2025 – ((-0.0042)(0 – 0.2025)) / (1 + 0.0042) = 0.2025 – 0.00085 =

xi − xi −1 = 0.00085 < 0.001. Resumido lo anterior en la siguiente tabla. Iter

a

b

f (a)

0

f (b)

x

f ( x)

x1 − xi −1

1.0000

1 0.0000 1.0000 1.0000 -3.0000 0.2500 -0.2344 0.75000 2 0.0000 0.2500 1.0000 -0.2344 0.2025 -0.0044

0.0475

3 0.0000 0.2025 1.0000 -0.0044 0.2017 -0.0001

0.0007

4 0.0000 0.2017 1.0000 -0.0001 0.2016 -0.0000

0.0001

Ahora ya puede detener las iteraciones y entregar el resultado de x X= 0.2016 La anterior tabla se realizó con base en el siguiente programa para MatLab pol=[1 0 -5 1]; xx=-2.5:0.1:2.5; yy=polyval(pol,xx); plot(xx,yy); grid on format short; x=1; a=0; b=1; while abs(f(x))>0.00001 x=(a*f(b)-b*f(a))/(f(b)-f(a)); x1=[a b f(a) f(b) x f(x)]; disp(x1) if (f(a)*f(x)>=0) a=x; else b=x; end end roots(pol) % entregaría los valores de las tres raíces que % posee el polinomio del ejemplo. » roots(pol)

% Permite conocer las raíces con la función roots de MatLab

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ans = -2.3301 2.1284 0.2016

De la aplicación de la función de MatLab (roots), se conoce que hay tres raíces reales de las cuales una ya fue calculada mediante el método de falsa posición ( x = 0.2026 ). Ahora, si se toma como valores iniciales para a=-3 y para b=0, para intentar encontrar la raíz -2.3301, se obtendrá la siguiente tabla realizando 16 iteraciones tal como se indicó en el ejercicio anterior. Vale la pena anotar que acá se conocen los resultados de antemano y lo único es para verificar la entrega de la raíz y el error que se comete. Habrá ejercicios donde realmente de manera manual es muy difícil conocer sus raíces. Necesariamente habrá que aplicar modelos numéricos. Iter

a

b

f (a)

0

f (b)

x

f ( x)

x1 − xi −1

0.0000

1 -3.0000 0.0000 -11.0000 1.0000 -0.2500 2.2344 0.25000 2 -3.0000 -0.2500 -11.0000 2.2344 -0.7143 4.2070 3 -3.0000 -0.7143 -11.0000 4.2070 -1.3466 5.2912 4 -3.0000 -1.3466 -11.0000 5.2912 -1.8836 3.7350 5 -3.0000 -1.8836 -11.0000 3.7350 -2.1666 1.6627 6 -3.0000 -2.1666 -11.0000 1.6627 -2.2760 0.5896 7 -3.0000 -2.2760 -11.0000 0.5896 -2.3129 0.1921 8 -3.0000 -2.3129 -11.0000 0.1921 -2.3247 0.0608 9 -3.0000 -2.3247 -11.0000 0.0608 -2.3284 0.0191 10 -3.0000 -2.3284 -11.0000 0.0191 -2.3295 0.0060 11 -3.0000 -2.3295 -11.0000 0.0060 -2.3299 0.0019 12 -3.0000 -2.3299 -11.0000 0.0019 -2.3300 0.0006 13 -3.0000 -2.3300 -11.0000 0.0006 -2.3300 0.0002 14 -3.0000 -2.3300 -11.0000 0.0002 -2.3301 0.0001 15 -3.0000 -2.3301 -11.0000 0.0001 -2.3301 0.0000 16 -3.0000 -2.3301 -11.0000 0.0000 -2.3301 0.0000 Después de la iteración numero 16 se puede detener las iteraciones y entregar el resultado de x X= -2.3301. Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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Hay que tener en cuenta que dependiendo de los valores iniciales que se den a las variable a y b en este caso, depende el numero de iteraciones.

Código General para encontrar raíces: Puede grabar el siguiente código con el nombre metfalpos.m en un directorio que este activo en el path de MatLab y ejecute desde el prompt del matlab con el nombre asignado tal como se muestrea después del código. clear Z fprintf('\n\t PROGRAMA QUE RESUELVE UN EJERCICIO DE RAICES DE\n'); fprintf('\t\t ECUACIONES POR EL METODO DE FALSA POSICION'); Bandera=0; while Bandera==0 F=input('\n\nDIGITE LA FUNCION F(x): ','s'); if isempty(F) fprintf('\t DEBE ESPECIFICAR FUNCION LA CUAL DESEA HALLAR RAICES'); else Bandera=1; end end Bandera=0; while Bandera==0 A=input('\n DIGITE EL VALOR DE A: '); if isempty(A) fprintf('\t DEBE ESPECIFICAR EL INTERVALO MENOR (A) \n'); else Bandera=1; end end C=A-1; while C<=A Bandera=0; while Bandera==0 C=input('\n DIGITE EL VALOR DE C: '); if isempty(C) fprintf('\t DEBE ESPECIFICAR EL INTERVALO MAYOR (C) \n'); else Bandera=1; end end if (C<=A) fprintf('\t VALOR ERRONEO, NO PUEDE SER MENOR QUE %.2f \n',A); end end Bandera=0; while Bandera==0 N=input('\nDIGITE LA CANTIDAD DE ITERACIONES A EJECUTAR: '); if isempty(N) fprintf('\t DEBE ESPECIFICAR LA CANTIDAD DE ITERACIONES A RESOLVER \n'); else Bandera=1; end end Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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R=-1; while (R<=0 | R>100) Bandera=0; while Bandera==0 R=input('\nDIGITE EL VALOR DEL CRITERIO DE PARADA: '); if isempty(R) fprintf('\t DEBE ESPECIFICAR EL VALOR DEL CRITERIO DE PARADA \n'); else Bandera=1; end end if (R<=0 | R>100) fprintf('\t VALOR ERRONEO, NO PUEDE SER NEGATIVO O MAYOR QUE 100\n'); end end Z(1,8)=101; I=1; Z(1,2)=A; Z(1,4)=C; Bandera=1; while (Z(I,8)>=R & I<=N) Z(I,1)=I-1; x=Z(I,2); X=Z(I,2); Z(I,5)=eval(F); x=Z(I,4); X=Z(I,4); Z(I,7)=eval(F); if I==1 if Z(I,5)*Z(I,7)>0 fprintf('\n\t\******************************************\n'); fprintf('\t\ NO EXISTEN RAICES REALES DEL INTERVALO DADO\n'); fprintf('\t\t\t*****************************************\n'); Bandera=0; break; end end Z(I,3)=(Z(I,2)*Z(I,7) - Z(I,4)*Z(I,5))/(Z(I,7)-Z(I,5)); X=Z(I,3);x=Z(I,3); Z(I,6)=eval(F); if Z(I,5)*Z(I,6)<0 Z(I+1,2)=Z(I,2); x=Z(I+1,2); X=Z(I+1,2); Z(I+1,5)=eval(F); Z(I+1,4)=Z(I,3); x=Z(I+1,4); X=Z(I+1,4); Z(I+1,7)=eval(F); elseif Z(I,6)*Z(I,7)<0 Z(I+1,2)=Z(I,3); x=Z(I+1,2); X=Z(I+1,2); Z(I+1,5)=eval(F); Z(I+1,4)=Z(I,4); x=Z(I+1,4); X=Z(I+1,4); Z(I+1,7)=eval(F); end Z(I+1,3)=(Z(I+1,2)*Z(I+1,7) - Z(I+1,4)*Z(I+1,5))/(Z(I+1,7)-Z(I+1,5)); if Z(I+1,3)~=0 Z(I+1,8)=abs((Z(I+1,3)-Z(I,3))/Z(I+1,3))*100; end Universidad Surcolombiana – Neiva – Huila - Colombia

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I=I+1; end if Bandera==1 fprintf('\n\n\tIter\t\tA\t\t\tB\\tC\t\t\tF(a)\t\t\tF(b)\t\t\tF(c)\t\t\tErr'); for J=1:I if J==1 fprintf('\n\t%d \t\t%.5f \t\t%.5f \t\t%.5f \t\t%.5f \t\t%.5f \t\t%.5f \t\t------',J-1,Z(J,2),Z(J,3),Z(J,4),Z(J,5),Z(J,6),Z(J,7)); else fprintf('\n\t%d \t\t%.5f \t\t%.5f \t\t%.5f \t\t%.5f \t\t%.5f \t\t%.5f \t\t%.5f',J-1,Z(J,2),Z(J,3),Z(J,4),Z(J,5),Z(J,6),Z(J,7),Z(J,8)); end end fprintf('\n\n\tLA RAIZ DE LA FUNCION EN EL INTERVALO DADO ES: %.5f\n\n',Z(J,3)); ezplot(F); grid on; hold on; plot(Z(J,3),Z(J,6),'r*'); end

Al ejecutar el código anterior se tiene algo similar a la siguiente tabla. » metfalpos PROGRAMA QUE RESUELVE UN EJERCICIO DE RAICES DE ECUACIONES POR EL METODO DE FALSA POSICION DIGITE LA FUNCION F(x): x^3-5*x+1 DIGITE EL VALOR DE A: 0 DIGITE EL VALOR DE C: 1 DIGITE LA CANTIDAD DE ITERACIONES A EJECUTAR: 10 DIGITE EL VALOR DEL CRITERIO DE PARADA: 0.00001 Iter A 0 0.00000 1 0.00000 2 0.00000 3 0.00000 4 0.00000 5 0.00000

B 0.25000 0.20253 0.20165 0.20164 0.20164 0.20164

C 1.00000 0.25000 0.20253 0.20165 0.20164 0.20164

F(a) 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000

F(b) -0.23438 -0.00435 -0.00007 -0.00000 -0.00000 0.00000

F(c) Err -3.00000 ----------0.23438 23.43750 -0.00435 0.43506 -0.00007 0.00715 -0.00000 0.00012 -0.00000 0.00000

LA RAIZ DE LA FUNCION EN EL INTERVALO DADO ES: 0.20164 » Para analizar: Si se tiene que: x = x −

f ( x)(a − x)  x = b0    f (a) − f ( x) a → fija 

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Figura 10

x= x−

f ( x)(b − x)  x = a 0    f (b) − f ( x) b → fija 

Figura 11

Nota: La concavidad se determina según el signo de la segunda derivada.

Regula Falsi Modificado Un inconveniente que suele presentar este método es la aparición de extremos fijos que vuelven lenta la convergencia del proceso iterativo. Por ejemplo, en la ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. el extremo b se ha repetido en las 3 primeras iteraciones, y por lo que se puede apreciar, continuará haciéndolo. Para evitar este tipo de inconvenientes y acelerar la convergencia, siempre que un extremo se haya repetido más de 2 veces, en la iteración siguiente se efectúa la interpolación con la mitad del valor funcional correspondiente a ese extremo ( en el caso de la figura se tomaría f(b)/2).

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Figura 12

Ejercicios Propuestos 9 Resolver las siguientes ecuaciones por el Método Regula-Falsi: f ( x) = e x + x , con error menor a 0.01 f ( x) = cos( x) + x , con error menor de 0.001 - Compare la convergencia para los distintos Métodos. - Use el Método de Newton-Raphson para resolver f ( x) = x 3 − 2 x 2 − 3x + 10 , con un valor inicial para x=1.9.

-

la

ecuación

Halle la raíz de 0.1* x 2 − x * ln( x) = 0 en [1,2] Usando los Métodos de resolución de ecuaciones que conoce, halle el valor de PI con cinco cifras decimales exactos. Emplee únicamente funciones trigonométricas. Usando el Método de Newton-Raphson, halle una fórmula iterativa que le permita calcular a1 / 2 para a>0

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Recursos Bibliograficos 9 MATHEUS. John H. Fink Kurtis D. Métodos Numéricos con MATLAB. Editorial Prentice Hall 9 ALTZ, Franz L. Electronic. Digital. computers: Their use in science and Engineering. 1958 Academic Press inc. New York. 9 BURDEN Richard L., J. Douglas Faires; Análisis numérico. tr. Efrén Alatorre Miguel; Revisión Técnica. Ildefonso. 1998 (Biblioteca USCO. Nro Topográfico: 515 / B949a.) 9 CHAPRA Steven C., CANALE Raymond P, Numerical Methods for engineers. McGraw Hill, Inc. 1988. 839p. ISBN 0-07-909944-0. 9 CHAPRA Steven C., CANALE Raymond P. Métodos numéricos para ingenieros: con aplicaciones en computadoras personales. 1988 (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 519.5 / C467m) 9 CONDE S. D, Carl de Boor. Análisis numérico elemental: Un enfoque algorítmico. Mc. Graw-Hill 1972, (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 511.8 / C761 Biblioteca). 9 CORMICK MC., John M. and SALVADOR M.C. Numerical Methods in FORTRAN. 1964. Prentice-Hall Inc Englewood Cliffs N:J. 9 CURTIS, F. Gerald, WHEATLEY, O. Patrick. Análisis numérico con aplicaciones. Tr. Hugo Villagomez Vasquez. 6 Ed. Pearson Educación. 2000, 698p. ISBN 968444-393-5 9 FADDEEVA, V.N. Computacional methods of linear algebra, Dover Publications. 1969, New York. 9 GASTINEL Noél; Análisis numérico lineal. tr. Javier Ruiz Fernández de Pinedo. 1975. (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 511.7 / G255). 9 GREENSPAN, D. Theory and solutions of Ordinary Differencial Equations. 1960 The. Mc Millan Co. New York. 9 KINCAID David y Ward Cheney; Análisis numérico: Las matemáticas del cálculo científico. tr. Rafael. 1994 (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 515 / K51a). 9 LUTHE. Rodolfo, OLIVERA Antonio, SCHUTZ Fernando, Métodos numéricos. 1986 (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 511.7 / L973m). 9 McCRACKEN, Daniel D., Métodos numéricos y programación fortran: con aplicaciones en ingeniería y ciencias. 1986. Editorial Limusa. México. (Biblioteca USCO Nro. Topográfico: 001.6424 / M117). 9 NAKAMURA Shoichiro; Análisis numérico y visualización gráfica con MATLAB. tr. Roberto Escalona García. 1998 (Biblioteca USCO N ro Topográfico: 515.1 / N163a). 9 NAKAMURA Shoichiro; Métodos numéricos aplicados con software. tr. Oscar Alfredo Palmas Velasco. Prentice Hall Hispanoamericana S.A. 1995. 570p. (Biblioteca USCO. Nro. Topográfico: 511.8 / N163m) ISBN 968-880-263-8 9 NIETO RAMIREZ José A., Métodos numéricos en computadoras digitales. Editorial Limusa 1980. (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 001.64042 / N677).

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9 RALSTON Anthony; Introducción al análisis numérico. tr. Carlos E. Cervantes de Gortari. Editorial Limusa. Mexico. 1978. 629p. (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 511.7 / R164.) 9 SCARBOROUGH, J.B Numerical mathematics analysis 9 SIERRA ROMERO, Alberto. Manual de Métodos Numéricos. Universidad Tecnológica de Pereira. 9 SMITH, W. Allen; Análisis numérico. tr. Francisco Javier Sánchez Bernabe; Rev. Téc. José Luis Turriza Pinto. Prentice Hall Hispanoamericana S.A. 1988. 608p. (Biblioteca USCO Nro Topográfico: 515 / S664a) ISBN 968-880-119-4. 9 STANTON, Ralp G. Numerical Methods for Science and Engineering. 1967. Prentice-Hall Inc. Englewood Cliffs N.J

Bibliografia OnLine: http://sai.uam.mx/apoyodidactico/mn/ http://www.unalmed.edu.co/~ifasmar/libro.shtml http://www.iesrodeira.com/metodos_numericos/index-2.htm http://uprhmate01.upr.clu.edu/~pnm/notas4061/index.htm http://mailweb.udlap.mx/~ccastane/Analisis_Numerico_html/Lindley.html#RegresaGral1 http://www.ii.uam.es/~pedro/ccii/teoria/ http://webdiee.cem.itesm.mx/web/servicios/archivo/tutoriales/metodos/algoritmos/index.html http://www.ucsc.cl/~kdt/numerico/index.htm http://luda.azc.uam.mx/curso2/2indic.html http://www.geocities.com/SiliconValley/Pines/7894/metodos/ http://www.uv.es/~diaz/mn/fmn.html http://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/temario.html http://webdiee.cem.itesm.mx/web/servicios/archivo/tutoriales/metodos/algoritmos/index.html http://www.damtp.cam.ac.uk//fdl/people/sd/lectures/nummeth98/contents.htm http://anamat1.csi.ull.es/anamat_p/Titulaciones/matematicas.htm http://www.cnice.mecd.es/Descartes/ http://mathworld.wolfram.com/ http://www.elprisma.com/ http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html http://www.ciencia-hoy.retina.ar/indice.htm http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/html/fisica.htm http://books.pdox.net/ http://arxiv.org/ http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/resumos.htm http://www.itlp.edu.mx/publica/tutors.htm http://www.rinconmatematico.com/libros.htm

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