Funcoes Hiperbolicas 1q3d45

Instituto Federal Fluminense

Cálculo II – Engenharia de Controle e Automação Industrial

Funções Hiperbólicas

Autora:Daniele Nogueira de Souza

Definição •

As funções hiperbólicas têm como característica uma relação com as exponenciais ex e e − x, através das expressões na figura abaixo, que são respectivamente as funções seno e cosseno hiperbólico de x. Através da análise dessas funções faz-se uma analogia com as funções trigonométricas. As funções hiperbólicas são essencialmente exponenciais.

Seno e Cosseno hiperbólicos • A função seno hiperbólico(senh),é definida por:

• A função cosseno hiperbólico (cosh)é definida por:

• O fato destas funções serem resultantes da soma e subtração de uma exponencial crescente ex e uma exponencial decrescente e − x lhes conferem propriedades únicas

Gráficos

• •

(a)seno hiperbólico (b)cosseno hiperbólico

Tangente,Secante,Cotangente e Cossecante hiperbólicas • Da mesma forma que no caso trigonométrico as outras quatro funções hiperbólicas podem ser definidas em termos de seno e cosseno hiperbólicos. • A função tangente hiperbólica (tgh) é definida por: »

ou

• A função secante hiperbólica (sech)é definida por:

»

ou

Tangente,Secante,Cotangente e Cossecante hiperbólicas • A função cotangente hiperbólica (cotgh) é definida por:

»

ou

• A função cossente hiperbólica (cosech) é definida por:

»

ou

Gráficos

(a)Tangente hiperbólica (b)Cotangente hiperbólica

Gráficos

(c)Secante hiperbólica (d)Cossecante hiperbólica

Fórmulas hiperbólicas

Fórmulas hiperbólicas

• • •

sh=senh ch=cosh Th=tgh

Funções hiperbólicas inversas • As funções hiperbólicas inversas estão ligadas ao logaritmo natural e por este motivo, sua análise é excencialmente exponencial, como a análise das funções hiperbólicas, deste fato nascem novas possibilidades para lidar com problemas relacionados a análises de estruturas não lineares. • Embora as funções hiperbólicas sejam semelhantes às trigonométricas, estas funções se baseiam em ângulos que devem ser analisados de forma diferente dos trigonométricos por isso utilizamos a nomeclatura de argfunch(x), pois não podemos classificar os ângulos hiperbólicos como arcos.

Função inversa do seno hiperbólico • Chama-se argumento seno hiperbólico e denota-se por y = arg senh(x). • Resolvendo a expressão em relação a y(levando em conta que , e y > 0 ) obtemos a expressão analítica da função:

Portanto:

Gráfico

• Esse gráfico é obtido fazendo uma reflexão do gráfico da função senh sobre a reta y x.

Função inversa do cosseno hiperbólico • A inversa chama-se argumento cosseno hiperbólico e denota-se por y = arg cosh(x)

.

• Resolvendo a expressão • em relação á y (e levando em conta que a função exponencial e y é crescente) obtemos a expressão analítica da função :

Portanto:

|x|>1

Gráfico

Inversas das funções tangente e cotangente hiperbólicas. • A inversa de tgh chama-se argumento tangente hiperbólico e denota-se por y = arg tgh(x) e a inversa de cotgh chama-se argumento cotangente hiperbólico e denota-se y= arg cotg(x). • Resolvendo as expressões de tgh e cotgh em relação à y obtemos respectivamente as expressões analíticas das funções:

Portanto:

Portanto: |x|<1

ou

|x|>1 ou

|x|<1

|x|>1

Gráficos

Inversas das funções secante e cossecante hiperbólicas. • A inversa de sech chama-se argumento secante hiperbólico e denota-se por y = arg sech(x) e a inversa de cosech chama-se argumento cossecante hiperbólico e denota-se y= arg cosech(x). • Resolvendo as expressões de sech e cosech em relação à y obtemos respectivamente as expressões analíticas das funções:

Portanto:

Portanto: 0<x<1

Gráficos

Derivadas da funções hiperbólicas

Derivadas das funções hiperbólicas inversas

Integrais das funções hiperbólicas

Integrais que conduzem à funções hiperbólicas inversas

Aplicação •

As funções hiperbólicas surgem em movimentos vibratórios, dentro de sólidos elásticos, e mais genericamente, em muitos problemas nos quais a energia mecânica é gradualmente absorvida pelo meio ambiente. Elas também ocorrem quando um cabo flexível e homogêneo é suspenso entre dois pontos, como as linhas telefônicas entre dois postes. Tais cabos formam uma curva chamada catenária . Se como na figura ao lado, foi introduzido um sistema de coordenadas tal que o ponto mais baixo do cabo está no eixo y, pode ser mostrado usando os princípios da Física que o cabo tem uma equação da forma

Bibliografia • Flemming, Diva .Cálculo - A Funções Limite Derivação Integração - 6ª Ed. • Sochirca, Anatolie.Matemática 1 • http://pt.wikibooks.org/wiki/ Cálculo_(Volume_1)/Análise_de_funções_elementar es _ (2)# hiperb.C3.B3licas • http://www.ebah.com.br/apostila-fcs-hiperbolicaspdf-a15250.html • http://www.sorocaba.unesp.br/professor/luiza/CDII/aula_hiperbolicos.pdf