Fundamentos De Algebra 296o4i

FUNDAMENTOS DE ALGEBRA Para iniciarse en el estudio del álgebra, es importante utilizar principios básicos de la aritmética. Saber sumar, restar, multiplicar, divididir, potenciar y obtener raices cuadráticas; utilizar los signos adecuadamente y comprender por lo menos, los axiomas de las propiedades de los números reales. Así, el Algebra se define como el uso más general de la aritmétrica. Partimos, de saber leer las expresiones algebraicas. Por ejemplo: un numero........................lo escribimos......................... x la suma de dos números............................................... a+b el producto de tres números .........................................abc el cociente de dos números ...........................................x / y

Cada uno de los resultados de las operaciones básicas de la aritmética, tiene un nombre, con el cual sabemos como escribirlo en una expresión algebráica. Entendemos entonces, que cuando operamos más de una expresión algebráica con otra similar o diferente, tratamos cada uno de sus individualmente. Definimos entonces TERMINO, como la unidad más pequeña de una expresión algebráica. Y cada termino, consta de un coeficiente, una literal y un exponente. Ejemplo: Todas las operaciones básicas de aritmética también son utilizadas en el álgebra, con algunos distintivos. Cuando sumamos dos o más términos, cuidamos que estos términos sean semejantes. Dos terminos son semejantes, si tienen la misma literal y el mismo exponente. Por ejemplo:

Nótese, los términos semejantes están de rojo; y cuando operamos los sumandos estos son los coeficientes. Importante: Fígese lo que sucede con los signos. Nota: los exponentes y las literales no cambian.

SUMA DE POLINIMIOS EJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado) A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 x B = -5x4 - 10 + 3x + 7x3 2x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8

(el polinomio A ordenado y completo)

+ -5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo) ______________________________ -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18

A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18 Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del mismo grado El resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del mismo grado. Si falta algún término de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundo polinomio se completó con 0x2. Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cada columna queden los términos de igual grado. También se los puede sumar de otra forma (sin ponerlos uno sobre otro), y en la EXPLICACIÓN de cada ejercicio lo mostraré resuelto de las dos maneras. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1 EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado) A = -3x2 + 5x - 4 B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1

(grado 2) (grado 3)

0x3 - 3x2 + 5x - 4

(el polinomio A ordenado y completo)

+ 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo) ____________________ 4x3 - 8x2 + 7x - 3 A + B = 4x3 - 8x2 + 7x - 3 En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términos con ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para que quede encolumnado término a término con el otro polinomio. EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO A B

3:

(Uno

=

de

los

9

+

=

5x3

términos

resultado

5x3 3

4x2 -

-

del

4x2 +

es

cero)

4x2 + -

x 2x

+

9

x

+ 0x3 + ____________________ 5x3 +

4x2 -

2x

-

3

0x2 -

x

+

6

A

+

B

= 5x3 -

x

+

6

La suma de los términos de grado 2 dió 0x2. Luego, en el resultado final ya no se ponen los términos con coeficiente cero.

RESTA DE POLINOMIOS La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x - 3) − (2x3 - 3x2 + 4x) P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x3 + 3x2 − 4x P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x - 3 P(x) − Q(x) = 3x2 + x - 3 También podemos restar polinomios escribiendo el opuesto de uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar. P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2 Q(x) = 6x3 + 8x +3

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS. Para multiplicar polinómios recordemos que utilizamos la propiedad distributiva. Cada uno de los terminos de un polinomio se multiplica por cada uno de los terminos del otro. Ejemplo: Para realizar esta operación, es básico conocer las leyes de los exponentes. En este caso, para la multiplicación los exponentes se suman y los coeficientes se multiplican. Podemos notar, que los exponentes se suman y los coeficientes se multiplican (en rojo). Luego, como toda multiplicación aritmética, se suman los semiproductos (en rojo), dando como resultado el producto final (en azúl). Ahora, una división algebráica es similar a una división aritmértica. El único variante que hay entre la operación aritmética y algebráica es que la división algebráica cuidamos el orden en que colocamos cada uno los términos asociados al cociente, a los subproductos y al residuo. Aquí un elemplo:

Iniciamos. Tomamos del dividendo el término con mayor exponente y lo dividimos entre el termino de mayor exponente del divisor. así:

Ahora, colocamos este cociente intermedio sobre la casita, sobre las x cuadradas, en ese orden. Y multiplicamos al divisor por este resultado. El producto de la multiplicación lo colocamos debajo del polinomio dividendo, cambiándole de signo y realizamos la resta como sigue:

Una vez que realizaste la resta (el resultado en negro), procedes a bajar el siguiente término y continuar con la división, repitiendo los mismos pasos hasta terminar tu división.

POLINOMIO POR POLINOMIO 1. Multiplicación de un número por un polinomio Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número y dejando las mismas partes literales. Ejemplo: 3 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6 2. Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. Ejemplo: 3x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = = 6x5− 9x4 + 12x3 − 6x2 3. Multiplicación de polinomios Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distitnas. Mira la demostración con el siguiente ejemplo: P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x OPCIÓN 1 1 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio. P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) = = 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3+ 9x2 − 12x = 2 Se suman los monomios del mismo grado. = 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x 3 Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican. Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5 OPCIÓN 2

PRODUCTOS NOTABLES Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza laresolución de muchas multiplicaciones habituales. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente. Factor común

Representación gráfica de la regla defactor común. Forma un gnomon. El resultado de multiplicar un binomio por un término se obtiene aplicando lapropiedad distributiva: Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: y Ejemplo: Cuadrado de un binomio

Ilustración gráfica del binomio al cuadrado. Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así: Un trinomio de la expresión siguiente: se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es: En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.

Ejemplo: Simplificando: Producto de dos binomios con un término común

Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común. Para resolver un binomio con término común se tiene que identificar el término común: en este caso X, la cual se eleva al cuadrado, mas la suma de los no comunes: (a)(b) el resultado se multiplica por X mas la multiplicación de no los comunes: Ejemplo: Agrupando términos: Luego: Producto de un binomio conjugado Véase también: Conjugado (matemática)

Producto de binomios conjugados. Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados. Ejemplo:

Agrupando términos: A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

TRIANGULO DE PASCAL Triángulo de Pascal para n=10. En matemática, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francésBlaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique.

Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta. 2 La construcción del triángulo está relacionada con los coeficientes binomiales según la

fórmula

(también

llamada Regla

de

Pascal).

Si

entonces para todo entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n.3 El triángulo de Pascal se puede generalizar a dimensiones mayores. La versión de tres dimensiones se llama pirámide de Pascal o tetraedro de Pascal, mientras que las versiones más generales son llamadas simplex de Pascal. Historia

Triángulo aritmético chino. La primera representación explícita de un triángulo de coeficientes binomiales data del siglo X, en los comentarios de los Chandas Shastra, un libro antiguo indio de prosodia del sánscritoescrito por Pingala alrededor del año 200 a.C.4 Las propiedades del triángulo fueron discutidas por los matemáticos persas AlKaraji (953–1029)5 y Omar Khayyám (1048–1131); de aquí que en Irán sea conocido como el triángulo Khayyam-Pascal o simplemente el triángulo Khayyam. Se conocían también muchos teoremas relacionados, incluyendo el teorema del binomio. En China, este triángulo era conocido desde el siglo XI por el matemático chino Jia Xian (1010–1070). En el siglo XIII, Yang Hui (1238–1298) presenta el triángulo aritmético, equivalente al triángulo de Pascal, de aquí que en China se le llame triángulo de Yang Hui.6 7 8 9 Petrus Apianus (1495–1552) publicó el triángulo en el frontispicio de su libro sobre cálculos comerciales Rechnung10 (1527). Este es el primer registro del triángulo en Europa. En Italia, se le conoce como el triángulo de Tartaglia, en honor al algebrista italiano Niccolò Fontana Tartaglia (1500–77). También fue estudiado por Michael Stifel (1486 - 1567)11 y François Viète(1540-1603). En el Traité du triangle arithmétique (Tratado del triángulo aritmético) publicado en 1654, Blaise Pascal reúne varios resultados ya conocidos sobre el triángulo, y los emplea para resolver problemas ligados a la teoría de la probabilidad; demuestra 19 de sus propiedades, deducidas en parte de la definición combinatoria de los coeficientes. Algunas de estas propiedades eran ya conocidas y itidas, pero sin demostración. Para demostrarlas, Pascal pone en práctica una versión acabada de inducción matemática. Demuestra la relación entre el triángulo y la fórmula del binomio. Fue bautizado Triángulo de Pascal por Pierre Raymond de Montmort (1708) quien lo llamó: Tabla del Sr. Pascal para las combinaciones, y por Abraham de Moivre (1730) quien lo llamó: "Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM" (del latín: "Triángulo aritmético de Pascal"), que se convirtió en el nombre occidental moderno.

Construcción del triángulo de Pascal. El triángulo de Pascal se construye de la siguiente manera: se comienza en el número «1» centrado en la parte superior; después se escriben una serie de números en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados, del siguiente modo: se

suman las parejas de cifras situadas horizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) se escribe debajo de dichas casillas; el proceso continúa escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3), etc. De manera general, esto se cumple así debido a la regla de Pascal, que indica que para todo entero positivo n y todo entero positivo kentre 0 y n. En la ilustración, en la última fila, la cifra 4 cuyas casillas situadas sobre ella corresponden a las cifras 1 y 3, se cumple que , para la cifra 6 se cumple y para la última cifra 4 de igual manera, se cumple propiedad para las demás filas.

;

Cada número en el triángulo es la suma de los dos que están situados por encima de él. Por lo tanto, todas los cifras escritas en cada fila del triángulo, corresponden a los coeficientes del desarrollo binomial de la potencia de una suma

Vínculo entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton La expresión que proporciona las potencias de una suma de Newton.

se denomina binomio

(1) En esta expresión, lo único que se desconoce son los coeficientes de los monomios, de manera que la relación con el triángulo de Pascal es la siguiente: Los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n se encuentran en la línea «n + 1» del Triángulo de Pascal. Se puede generalizar este resultado para cualquier valor de n ∈ N por inducción matemática. Propiedades del triángulo de Pascal

Triángulo de Pascal con algunas casillas coloreadas. Se puede observar como se distribuyen los valores simétricamente alrededor del eje vertical. Los valores de las casillas de ambos lados (en amarillo, verde y rojo) tienen igual valor, debido a la propiedad de simetría . Los casillas exteriores, (en azul) tienen valor nulo y las casillas en violeta proporcionan un ejemplo de la regla de Pascal.

Cada uno de los valores de un triángulo de Pascal escritos en forma de tabla corresponden a un coeficiente de la expansión de una potencia de sumas.

Concretamente, el número en la línea n y la columna p corresponde a , o también denotado como ( por "combinación") y se dice «n sobre p», «combinación de n en p» o «coeficiente binomial n, p». Las casillas vacías corresponden a valores nulos. Usando las propiedades de los coeficientes binomiales, se pueden obtener las siguientes propiedades de cualquier triángulo de Pascal con todo rigor: Los valores de cada fila del triángulo guardan simetría respecto al eje vertical imaginario

del mismo, debido a que Los valores correspondientes a la zona fuera del triángulo tienen valor 0, puesto

que cuando p > n. Y claro, la regla de Pascal de construcción del triángulo da la relación fundamental de los

coeficientes binomiales Una consecuencia interesante del triángulo de Pascal es que la suma de todos los valores de una fila cualquiera del triángulo es unapotencia de 2. Esto es debido a que, por el teorema del binomio, la expansión de la n-potencia de (1 + 1)n = 2n es

que corresponde precisamente con la suma de todos los valores de la n-ésima fila de un triángulo de Pascal.

Otras representaciones del triángulo

Triángulo de Pascal en el escrito original de Pascal. La ilustración al comienzo del artículo muestra el triángulo de Pascal dibujado como un triángulo equilátero. Es posible «enderezarlo» de tal forma que su dibujo quede como un triángulo rectángulo. De esta forma, a la izquierda queda una columna de números «1». La siguiente columna deja un lugar vacío en la primera fila y sigue con la sucesión de números naturales: 1, 2, 3, 4, ..., n, .... La tercera columna deja dos filas vacías y comienza con la sucesión matemática de los números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, .... Dibujado de esta manera es fácil ver que: Cada número en una columna cualquiera es igual a la suma parcial de los elementos de la columna anterior (a la izquierda) hasta la fila anterior en orden descendente. La tercera columna es la sucesión de los números triangulares; la cuarta, la de los números tetraédricos; la quinta, la de los números pentaédricos, y así sucesivamente.

DIVISIÓN DE POLINOMIOS La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo. De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor por el cociente. Así por ejemplo, si dividimos

, se cumplirá que

Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:

Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen. (+)÷(+)=+ (–)÷(–)=+ (+)÷(–)=– (–)÷(+)=– División de un monomio por otro Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar la regla de los signos. EJEMPLO: Dividir SOLUCIÓN: EJEMPLO: Dividir SOLUCIÓN: EJEMPLO: Dividir SOLUCIÓN: En ocasiones el cociente de dos monomios es fraccionario y, por consiguiente, la división propiamente dicha no puede efectuarse en los siguientes casos: a) Cuando una letra está elevada a un exponente menor al que se halla elevada dicha letra en el divisor. b) Cuando el divisor contiene alguna letra que no se halla en el dividendo. EJEMPLO:

Dividir

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los cocientes parciales así obtenidos. EJEMPLO: Dividir SOLUCIÓN: EJEMPLO: Dividir

SOLUCIÓN: EJEMPLO: Dividir

SOLUCIÓN: División de un polinomio por un polinomio. Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente: 1) Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra. 2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente 3) Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor. 4) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, obteniéndose de este modo el segundo término del cociente. 5) El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos. 6) Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto. EJEMPLO: Dividir:

Para resolver la operación anterior se procedió del modo siguiente: En primer lugar se han ordenado dividendo y divisor en orden ascendente con respecto a la letra y y en orden descendente con respecto a la letra x. A continuación se ha dividido el primer término del dividendo, término del divisor,

, obteniéndose

, entre el primer

, por cada uno de los términos del divisor,

obteniéndose como resultado , que se escribe debajo de los términos semejantes del dividendo cambiando los signos de todos los términos semejantes, obteniéndose como primer resto Después se ha dividido

. entre

obteniéndose como cociente

segundo término del cociente. Multiplicando

, que es el

por todos los términos del divisor que

se obtiene como resultado , que se escribe debajo de los términos semejantes del primer resto cambiando los signos de todos sus términos para efectuar la resta. A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes, obteniéndose como segundo resto Finalmente Multiplicando

se

ha por

dividido todos

entre los

términos

,

obteniéndose del

divisor

como se

cociente

obtiene

.

como

producto , que se escribe debajo de los términos semejantes del segundo resto cambiando los signos de todos lo términos para efectuar la resta. A continuación se ha procedido a efectuar la reducción de términos semejantes, obteniéndose como tercer resto 0, con lo cual queda acabada la división. EJEMPLO: Dividir:

SOLUCIÓN:

FACTORIZACIÓN Para factorizar polinomios hay varios métodos: Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:

Pues bien, si nos piden factorizar la expresión distributiva y decir que

, basta aplicar la propiedad

Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden factorizar la expresión

, será

donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18 Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad, y nos tiene que dar la parte izquierda. Otro ejemplo: Factorizar ¡Atención a cuando sacamos un sumando completo!, dentro del paréntesis hay que poner un uno. Tener en cuenta que si hubiéramos puesto multiplico y me da que haber dado.

y quiero comprobar si está bien, pero no

como me tendría

Sin embargo si efectúo Otros ejemplos:

DESCOMPOSICION FACTORIAL. La Factorización de números enteros en números primos o Descomposición Factorial, consiste en expresar el número como un producto de factores primos. La Factorización se fundamenta en el Teorema de Factorización Única, que afirma que todo entero positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos. Por ejemplo, 42 = 2 x 3 x 7, y no hay ninguna otra factorización de 42 en números primos, salvo en el orden de los factores, que no afecta en la multiplicación por tener la propiedad conmutativa. Por este motivo se enuncia el Teorema como de Factorización Única. Para descomponer un número en producto de factores primos, procedemos de la siguiente manera: Escribimos el número a descomponer y a la derecha trazamos una línea vertical. Buscamos el menor número primo, (2, 3, 5, 7 ...), por el que sea divisible el número. (Aplicamos los criterios de divisibilidad para saber si la división será exacta o no). Dividimos el número por ese número primo. Colocamos el divisor (el número primo) en la parte superior derecha y el cociente debajo del primer número. Repetimos el proceso hasta que en la parte izquierda aparezca un 1, lo que nos indica que la descomposición ha terminado. (Recordar que el número 1 es especial y no se considera primo ni compuesto).

Veamos algunos ejemplos de descomposición factorial Factorización 3150

Factorización de 2310

de

2310

2

3150

2

1155

3

1575

3

385

5

525

3

77

7

175

5

11

11

35

5

7

7

1

<="" td="" style="border-bottom-style: none; 1 border-top-style: none;">

3150 = 2 x 3 x 3 x 5 x 5x7

2310 = 2 x 3 x 5 x 7 x 11

3150 = 2 x 32 x 52 x 7 A continuación te facilitamos la posibilidad de saber cual es la descomposición factorial de un número. Para ello, introduce el número que quieras en el recuadro y después pulsa en "Factorización". Para saber la de otro número, repite el proceso.

FACTOR COMÚN. Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos descubrir un patrón.

Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que: Cuando factorizamos

.

.

Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común,

. Aquí tenemos como hacerlo:

Máximo factor común (MFC).- El término , es el MFC de un polinomio sí: a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio. De este modo para factorizar

, podríamos escribir

Pero no está factorizado por completo por que puede factorizarse aún más. Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en todos los

términos es Donde

. De esta manera la factorización completa es

es el MFC.

EJEMPLO: Factorizar EJEMPLO: Factorizar EJEMPLO:

Factorizar EJEMPLO:

Factorizar EJEMPLO:

Factorizar EJEMPLO:

Factorizar EJEMPLO:

Factorizar

DIFERENCIA DE CUADRADOS Se le llama diferencia de cuadrados al binomio conformado por dos términos a los que se les puede sacar raíz cuadrada exacta. Al estudiar los productos notables teníamos que: En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capítulo es el caso contrario: Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases. Pasos: Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos. Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo termino del binomio negativo es la raíz del termino del binomio que es negativo). Ejemplo explicativo:

Ejemplos:

.

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos:

Ambas son respuestas aceptables. Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto. Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo termino es el doble producto de sus raíces cuadradas. Ejemplos:

TRINOMIOS CUADRATICOS

Esta es la factorización de un trinomio cuadrático del tipo mas elemental. La regla para factor izar este tipo de expresiones consiste en lo siguiente: Se colocan dos paréntesis.

En medio de cada paréntesis se coloca el mismo signo que tiene el segundo termino (bx). Se buscan dos números (h y k) que multiplicados (hk) nos den el tercer término (c), y que sumados (h+k) nos den el coeficiente numérico del segundo término (b). La primera posición de cada factor determinado lo ocupara la raíz cuadrada de la letra común. La segunda posición la ocuparan los términos encontrados (h y k)

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS. Recordamos de cocientes notables que:

Pero en la división exacta el dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente, efectuándolo nos queda:

De donde se deducen las siguientes reglas: La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz. La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces mas el cuadrado de la segunda raíz. Ejemplo explicativo:

Ejemplos:

TEOREMA DEL FACTOR En álgebra, el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio (una expresión en la cual los términos sólo son sumados, sustraídos o multiplicados, e.g. ). Es un caso especial del teorema del resto. El teorema del factor establece que un polinomio si

es una raíz de

, es decir que

Ejemplo Si se desea encontrar los factores de primer factor,

. Si el resultado de sustituir

tiene un factor

si y sólo

.

, para ello se podría tantear un en el polinomio es igual a 0, se sabe

que hay un factor. ¿Es polinomio:

un factor? Para saberlo, se sustituye

Cómo esta operación da 18 (y no 0), Así que ahora se prueba con

en el

no es un factor de (sustituyendo

.

en el polinomio):

. Que da como resultado 0. Por tanto, y -1 es una raíz de

, que es equivalente a

, es un factor,

.

Las otras dos raíces se pueden encontrar dividiendo entre para obtener un polinomio de segundo grado, que se puede resolver de la siguiente manera además el teorema del factor es muy factible para estos casos.

FRACCIONES ALGEBRAICAS. Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios. Son fracciones algebraicas:

Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas. El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero. Por ejemplo: Si

se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:

Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis. Operaciones con fracciones algebraicas Simplificar fracciones algebraicas La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores, pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. Entonces, la clave está en el factor común. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador. Por ejemplo, simplificar:

Otro ejemplo, simplificar la fracción

Primero, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador, para quedar

Como vemos, simplificar (o reducir) una fracción algebraica consiste en transformarla a otra equivalente cuya particularidad es ser irreductible (se puede simplificar sólo hasta un cierto nivel). Suma y resta de fracciones algebraicas Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números enteros, reduciendo primero acomún denominador.

Igual como ocurre con las fracciones de números enteros, la suma y resta de fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador. Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta:

Como el denominador es común (x + 1), este se ha unificado en una sola fracción, que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son monomios, para no confundir luego los signos. Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un signo menos (−), y nos queda

Hicimos las operaciones posibles y llegamos al resultado. Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador Veamos el siguiente ejemplo:

Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros, utilizando el mínimo común múltiplo (m.c.m.) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes con denominador común. Entonces, que debemos hacer: encontrar el m.c.m. de los denominadores, que llamaremos mínimo común denominador (m.c.d.). Para calcular el m.c.m. factorizamos 5ab a2 15b2 a 2 5b a 15b a 2 5b 1 15b b 5 1 15b b 5 1 15 5 1 1 3 3 1 1 1 Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a2 • b2 • 15 que es lo mismo que 15a2b2 y es el mínimo común denominador (m.c.d.) de las tres fracciones involucradas. Conocido el m.c.d. operamos con fracciones con denominador común: Previamente, dividimos el denominador común (15a2b2) por cada uno de los denominadores individuales, para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores, y lo hacemos así:

Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.c.d. Pero también hay otra, como la siguiente: Encontrado el m.c.d. (15a2b2) se multiplica cada fracción (tanto numerador como denominador) por los términos que faltan por completar dicho m.c.d., del modo siguiente:

Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso anterior. Un ejemplo más: Sumar El m.c.m. de los denominadores, o mínimo común denominador (m.c.d.) es x(x − 3) Hacemos

¿Qué hicimos? Sumamos los numeradores dejando el mismo denominador y simplificamos el numerador: Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede. Veamos qué significa esto: Sea

una fracción algebraica cualquiera que está multiplicada por otra

,

entonces: Veamos ahora ejemplos de multiplicación (producto) de fracciones algebraicas Multiplicar

Anotamos la multiplicación de los numeradores y de los denominadores:

Simplificamos antes de efectuar el producto:

Ahora, podemos multiplicar los factores finales:

Ejemplos desarrollados a)

b)

c) Importante: en los tres ejemplos anteriores (como en casi todos los casos) es preciso dominar la factorización de productos notables. Cociente o división de fracciones algebraicas Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede. Veamos, ahora qué significa esto: Sea

una fracción algebraica cualquiera que está dividida por otra

, entonces:

Veamos ahora ejemplos de división (cociente) de fracciones algebraicas Dividir

Anotamos haciendo el producto cruzado:

Simplificamos y finalmente multiplicamos:

Ejemplos desarrollados

a)

b)

c) Nota: en ejercicios de este tipo es importante tener bien definida la línea divisoria de las fracciones participantes. Si el ejercicio está bien expresado, la línea divisoria principal es la que se halla frente al signo igual (=).

d) Fracciones algebraicas compuestas En los últimos ejemplos nos encontramos con un tipo de fracción algebraica especial: las fracciones compuestas.

Una fracción algebraica compuesta contiene una o varias fracciones simples en el numerador y/o denominador. La operación de reducción de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones simples que la componen. Ejemplos:

1)

2)

3)

HISTORIA LOGICA MATEMATICA Siglo XIX Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lógicas formales de una manera simbólica por parte de algunos filósofos matemáticos como Leibniz y Lambert, pero su labor permaneció desconocida y aislada. A partir de la segunda mitad del siglo XIX, la lógica sería revolucionada profundamente. En 1847, George Boole publicó un breve tratado titulado El análisis matemático de la lógica, y en 1854 otro más importante titulado Las leyes del pensamiento. La idea de Boole fue construir a la lógica como un cálculo en el que los valores de verdad se representan mediante el 0 (falsedad) y el 1 (verdad), y a los que se les aplican operaciones matemáticas como la suma y la multiplicación. Al mismo tiempo, Augustus De Morgan publica en 1847 su obra Lógica formal, donde introduce las leyes de De Morgan e intenta generalizar la noción de silogismo. Otro importante contribuyente inglés fue John Venn, quien en 1881 publicó su libro Lógica Simbólica, donde introdujo los famosos diagramas de Venn. Charles Sanders Peirce y Ernst Schröder también hicieron importantes contribuciones. Sin embargo, la verdadera revolución de la lógica vino de la mano de Gottlob Frege, quien frecuentemente es considerado como el lógico más importante de la historia, junto con Aristóteles. En su trabajo de 1879, la Conceptografía, Frege ofrece por primera vez un sistema completo de lógica de predicados y cálculo proposicional. También desarrolla la idea de un lenguaje formal y define la noción de prueba. Estas ideas constituyeron una base teórica fundamental para el desarrollo de las computadoras y las ciencias de la computación, entre otras cosas. Pese a esto, los contemporáneos de Frege pasaron por

alto sus contribuciones, probablemente a causa de la complicada notación que desarrolló el autor. En 1893 y 1903, Frege publica en dos volúmenes Las leyes de la aritmética, donde intenta deducir toda la matemática a partir de la lógica, en lo que se conoce como el proyecto logicista. Su sistema y su aplicación a la teoría de conjuntos, sin embargo, contenía una contradicción (la paradoja de Russell). Lógica matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra. Siglo XX El siglo XX sería uno de enormes desarrollos en lógica. A partir del siglo XX, la lógica pasó a estudiarse por su interés intrínseco, y no sólo por sus virtudes como propedéutica, por lo que estudió a niveles mucho más abstractos. En 1910, Bertrand Russell y Alfred North Whitehead publican Principia mathematica, un trabajo monumental en el que logran gran parte de la matemática a partir de la lógica, evitando caer en las paradojas en las que cayó Frege. Los autores reconocen el mérito de Frege en el prefacio. En contraste con el trabajo de Frege, Principia mathematica tuvo un éxito rotundo, y llegó a considerarse uno de los trabajos de no ficción más importantes e influyentes de todo el siglo XX. Principia mathematica utiliza una notación inspirada en la de Giuseppe Peano, parte de la cual todavía es muy utilizada hoy en día. En 1912 C. I. Lewis publica Conditionals and the Algebra of Logic, justo después de los Principia Mathematica de Russell y Whitehead. En 1918 publica A Survey of Symbolic Logic en donde propone un nuevo condicional más adecuado para recoger el significado de la expresión "si... entonces" del lenguaje natural. Lewis lo llama implicación estricta. El nuevo condicional requiere, para ser verdadero, una relación más fuerte entre el antecedente y el consecuente que el condicional clásico. En 1920 David Hilbert propuso de forma explícita un proyecto de investigación (en metamatemática, como se llamó entonces) que acabó siendo conocido como programa de Hilbert. Quería que la matemática fuese formulada sobre unas bases sólidas y completamente lógicas. El origen de los modelos abstractos de computación se encuadra en los años '30 (antes de que existieran los ordenadores modernos), en el trabajo de los lógicos Alonzo Church, Kurt Gödel, Stephen Kleene, Emil Leon Post, Haskell Curry y Alan Turing. Estos trabajos iniciales han tenido una profunda influencia, tanto en el desarrollo teórico como en abundantes aspectos de la práctica de la computación; previendo incluso la existencia de ordenadores de propósito general, la posibilidad de interpretar programas, la dualidad entre software y hardware, y la representación de lenguajes por estructuras formales basados en reglas de producción. La deducción natural fue introducida por Gerhard Gentzen en su trabajo Investigaciones sobre la inferencia lógica (Untersuchungen über das logische Schliessen), publicado en 1934-1935. En los años 40 Alfred Tarski comenzó a desarrollar junto a sus discípulos el álgebra relacional, en la que pueden expresarse tanto lateoría axiomática de conjuntos como la aritmética de Peano. También desarrolló junto a sus discípulos las álgebras cilíndricas, que son a la lógica de primer orden lo que el álgebra booleana a la lógica proposicional. En 1941 publicó en inglés uno de los manuales de lógica más acreditados, Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences. Noam Chomsky en 1956 propone una clasificación jerárquica de distintos tipos de gramáticas formales que generan lenguajes formalesllamada jerarquía de Chomsky. Si bien a la luz de los sistemas contemporáneos la lógica aristotélica puede parecer equivocada e incompleta, Jan Łukasiewicz mostró que, a pesar de sus grandes dificultades, la lógica aristotélica era consistente, si bien había que interpretarse como lógica de clases, lo cual no es pequeña modificación. Por ello la silogística prácticamente no tiene uso actualmente. Además de la lógica proposicional y la lógica de predicados, el siglo XX vio el desarrollo de muchos otros sistemas lógicos; entre los que destacan las muchas lógicas modales.

EL METODO INDUCTIVO.

El Método inductivo, cuando se emplea como instrumento de trabajo, es un procedimiento en el que, comenzando por los datos, se acaba llegando a la teoría. Por tanto, se asciende de lo particular a lo general. La secuencia metodológica propuesta por los inductivistas es la siguiente: 1. Observación y registro de los hechos. 2. Análisis de lo observado. 3. Establecimiento de definiciones claras de cada concepto obtenido. 4. Clasificación de la información obtenida. 5. Formulación de los enunciados universales inferidos del proceso de investigación que se ha realizado. Siguiendo este método, las investigaciones científicas comienzan con la observación de los hechos, siguen con la formulación de leyes universales acerca de estos hechos por inferencia inductiva, y finalmente llegan de nuevo por medio de la inducción, a las teorías. La contrastación empírica es el criterio de los inductivistas a la hora de evaluar una nueva teoría. La teoría es aceptada si se prueba empíricamente o de lo contrario es rechazada. Este enfoque inductivo de la ciencia ha sido sustituido por el modelo hipotético-deductivo. Tal como manifiesta Blaug (1985, pág. 20)* “Este enfoque inductivo de la ciencia…empezó a derrumbarse gradualmente en la segunda mitad del siglo XIX, bajo la influencia de los escritos de Ernst Mach, Henri Poincaré y Pierre Duhem, y a principios de nuestro siglo empezó a tomar una visión prácticamente opuesta en los trabajos del Círculo de Viena y de los pragmáticos americanos, de lo que surgió el modelo hipotéticodeductivo de explicación científica”. Actualmente es un método superado y generalmente no aceptado en economía ni en el resto de las ciencias sociales. El inconveniente de este método estriba en justificar como fiable y verdadero el conocimiento obtenido por inducción.

METODO DEDUCTIVO En este método se desciende de lo general a lo particular, de forma que partiendo de enunciados de carácter universal y utilizando instrumentos científicos, se infieren enunciados particulares, pudiendo ser axiomático-deductivo cuando las premisas de partida la constituyen axiomas (proposiciones no demostrables), o hipotético-deductivo si las premisas de partida son hipótesis contrastables. Cuando el científico comienza su trabajo en una teoría y a partir de ella, aplicando razonamientos lógico-deductivos, acaba ampliando precisando o corrigiendo dicha teoría, está utilizando lo que se llama el método deductivo Pereda (1987, pág. 41)*. La elaboración de una teoría siguiendo el método hipotético-deductivo, requiere un proceso que incluye una serie de etapas: 1. Proceso de inducción para la obtención de un resumen descriptivo de los hechos observados. 2. Proceso de deducción en el que se generalizan las descripciones y explicaciones inducidas para tratar de aplicarlas a situaciones y hechos aún no observados. 3. Las hipótesis deducidas de la etapa anterior han de ser sometidas a comprobación empírica. 4. Las hipótesis que son validadas empíricamente se organizan en unos principios generales, los cuales se pueden relacionar dando lugar a una teoría. La teoría a su vez, tendrá que probarse a través de nuevas observaciones empíricas. La propugnación del método hipotético-deductivo como único válido en el campo de la ciencia y la primera formulación corresponde a Carl Hempel y Peter Oppenheim. Para estos autores toda explicación científica sigue una misma estructura lógica que incluye al menos una ley universal, más una delimitación de los condicionantes iniciales relevantes que en conjunto constituyen el “explanans”, o premisas de las cuales se deduce el “explanandum”, o afirmaciones acerca del fenómeno que se trata de explicar con la única ayuda de las reglas de la lógica deductiva, Blaug (1985, pág. 20)*.

Dentro de esta lógica deductiva la explicación implica las mismas reglas de inferencia lógica que la predicción, con la diferencia de que la explicación se produce después de ocurridos los acontecimientos y para la explicación es necesario saber acerca de la naturaleza de las variables y la determinación de la variable causa y efecto. 10. EXPLICACIÓN Y PREDICCIÓN Dos objetivos fundamentales de la ciencia son: dar respuestas válidas a preguntas significativas, así como realizar predicciones. Las explicaciones científicas deben cumplir dos requisitos sistemáticos: el de relevancia y el de contrastabilidad: A) La relevancia explicativa hace referencia a que debe referirse a hechos que sean significativos para el asunto que se considere. Por tanto, una explicación no será científica, si alude a hechos irrelevantes respecto de la cuestión a dilucidar. B) Las explicaciones se exige que puedan ser contrastadas empíricamente, y por tanto, que exista la posibilidad de confirmarlas o refutarlas. Uno de los objetivos fundamentales de la elaboración y contrastación de hipótesis, leyes y teorías, es la explicación de hechos y de sus pautas o regularidades. Establecemos relaciones entre variables, pero deseamos ir más lejos, intentando descubrir los mecanismos que explican las relaciones. La explicación de un hecho consiste en explicar una proposición que describe el hecho. Se trata de una argumentación lógica con proposiciones generales y particulares. Explicar un hecho, es insertar el hecho en un sistema de entidades interrelacionadas por leyes. En una investigación científica, las explicaciones nos permiten profundizar en el conocimiento, descubriendo el por qué de los hechos y de sus relaciones. La ciencia trata de dar solución a los interrogantes, a los problemas planteados. Las leyes y las teorías difieren en su grado de explicatividad, en su capacidad para dar respuesta a los problemas planteados: a) Profundidad. A medida que la ciencia progresa, las explicaciones suelen pasar de ser superficiales a un mayor grado de profundidad. La profundidad de la explicación dependerá del nivel alcanzado en esa rama de la ciencia. Las teorías representacionales o de mecanismo suministran explicaciones más profundas. b) Precisión. Algunas teorías brindan explicaciones más exactas o más acordes con la experiencia. c) Número de supuestos de la teoría. Se prefiere la teoría que subsume mayor número de leyes, y en consecuencia, incluya el menor número de supuestos. Supone explicar lo más posible con el mínimo de especificaciones.

METODO ANALOGICO El método analógico es razonar por medio de analogías. Consiste en encontrar dos situaciones o sistemas que sean similares (o análogos). Si sabes el resultado en uno de los sistemas, obtienes la conclusión de que en el otro sistema obtendrás el mismo resultado. Es un método de pensamiento difícil, lleno de posibles falacias, pero muy usado en ciencia. Por ejemplo cuando los paleontólogos descubre un dinosaurio, miden su esqueleto y pueden saber, más o menos cuanto pesaba, de qué se alimentaba, si era de sangre caliente, etc. Todo eso se obtiene por el método analógico. Sabemos cuánto pesamos, de que nos alimentamos, cual es el metabolismo de los animales que están vivos ahora. Entonces suponemos que fuéramos del tamaño de un dinosaurio y vemos cuanto pesaríamos, que tanta comida necesitaríamos para mantenernos, etc. Y así es como se sabe todo lo que se sabe sobre los dinosaurios. Los métodos analógicos consisten en emplear relaciones de semejanza entre objetos diferentes para encontrar soluciones. El pensamiento analógico es el que, según Christohper Jones en su obra "Métodos de diseño", se sitúa en el hemisferio derecho del cerebro. El diseño es un ir y venir del pensamiento lógico, analítico, realista, reproductivo,

concreto (hemisferio izquierdo), al pensamiento analógico, sintético, fantástico, creativo, mágico (hemisferio derecho). De esta forma podemos buscar relaciones entre dos objetos diferentes Hemos visto en clase que la analogía está en disposición de toda persona desde la infancia. La analogía cartesiana consiste en proyectar un objeto que conoces en un campo que desconoces, sirviéndote de todos tus recursos (imaginación, entendimiento, etc) para encontrar todas las relaciones posibles entre dos objetos (Descartes). Es decir, hay que buscar los fundamentos de lo conocido para incluirlos en otros ámbitos. Es lo que se llama en creatividad "flexibilidad", que es la capacidad de adaptarse rápidamente a las situaciones nuevas u obstáculos imprevistos, acudiendo a nuestras anteriores experiencias y adaptándolas al nuevo entorno. En clase hicimos un análisis funcional para entender los métodos analógicos. Analizamos las funciones de un grifo. Éstas son abrir y cerrar, de tal manera que controlamos tres cosas: la cantidad de circulación de fluidos, el tiempo, y el movimiento de los fluidos. Haciendo una analogía con los elementos podemos llegar a la conclusión de que la luz también puede ser regulada por un sistema biológico (el ojo humano abre y cierra regulando la cantidad de luz) o un sistema mecánico (un obtulador de cámara). Con otro fluido como el gas podemos hacer lo mismo con un sistema biológico (naríz) o un sistema mecánico (válvula). En cuanto al control del movimiento también encontramos analogías: los pies serían un sistema biológico de movimiento y los coches serían un sistema mecánico. Mediante este análisis funcional de un objeto hemos logrado encontrar analogías entre elementos tan dispares como un grifo, un ojo, un obtulador de cámara, una naríz, una válvula, unos pies y un coche. Otro método analógico de asociaciones forzadas consiste en escoger dos objetos y obtener, por medio de la imaginación y el pensamiento analógico, cierto número de diferencias o afinidades. En clase Giorgio De Marchis buscamos 15 afinidades entre coche y zapato y 15 diferencias entre móvil y aspiradora. Al principio nos basabamos en lo normal...tamaño, funciones, características físicas, etc. Pero luego fuimos viendo como las últimas que se nos ocurrian eran cada vez más originales. Otra forma de hacer esto es mediante la superposición: 1. Se plantea de forma clara el problema. 2. Se buscan asociaciones, palabras del mismo campo semántico, similares, al problema. 3. Se escoge una palabra al azar y se buscan palabras relacionadas. 4. Se enlazan todas las palabras mediante una tabla. Método antitético Los métodos antitéticos consisten en conseguir la liberación mental mediante ejercicios que nos permitan despegarnos de las reglas establecidas social y personalmente. Es un concepto definido por Michael Foustier, y básicamente consiste en utilizar la antítesis ("oposición o contrariedad de dos juicios o afirmaciones), reconstruir, desmenuzar, ver una cosa desde un punto de vista distinto, utilizar la utopía incluso. Hay que partir de una actitud de duda para así poder cuestionarnos valores y creencias arraigadas, no para eliminarlas, sino para construir algo mejor. Una explicación a todo esto la dió el profesor Francisco García en clase: "inventar es empezar a hacer patente la fisionomía de este mundo, mostrar la figura de este mundo...no podemos inventar lo que no existe...lo que se opone a la invención es lo que ya existe". Por lo tanto para inventar hay que basarse algo ya existente, y con éste tipo de métodos lo que se hace es reconstruir algo existente hasta tal punto que en ciertos casos no parezca que tenga nada que ver. Uno de estos métodos consiste en utilizar objetos para acciones para las cuales no están diseñados. Por ejemplo: Goma de borrar utilizada para hacer juegos de construcción, hacer un mosaico con gomas de distintos colores, moldearlas para hacer figuras, etc. Destornillador usado para hacer palanca, hacer agujeros, etc. Los métodos antitéticos consisten en conseguir la liberación mental mediante ejercicios que nos permitan despegarnos de las reglas establecidas social y personalmente. Es un concepto definido por Michael Foustier, y básicamente consiste en utilizar la antítesis ("oposición o contrariedad de dos juicios o afirmaciones), reconstruir, desmenuzar, ver una cosa desde un punto de vista distinto, utilizar la utopía incluso. Hay que partir de una

actitud de duda para así poder cuestionarnos valores y creencias arraigadas, no para eliminarlas, sino para construir algo mejor. Una explicación a todo esto la dió el profesor Francisco García en clase: "inventar es empezar a hacer patente la fisionomía de este mundo, mostrar la figura de este mundo...no podemos inventar lo que no existe...lo que se opone a la invención es lo que ya existe". Por lo tanto para inventar hay que basarse algo ya existente, y con éste tipo de métodos lo que se hace es reconstruir algo existente hasta tal punto que en ciertos casos no parezca que tenga nada que ver. Uno de estos métodos consiste en utilizar objetos para acciones para las cuales no están diseñados. Por ejemplo: Goma de borrar utilizada para hacer juegos de construcción, hacer un mosaico con gomas de distintos colores, moldearlas para hacer figuras, etc. Destornillador usado para hacer palanca, hacer agujeros, etc. Otro método antitético sería el Brainstorming, desarrollado por Osborn. Es un ejercicio de creatividad en grupo que consiste en ir diciendo ideas o palabras al azar. Tiene varias fases: 1. Digamos que "el semáforo está en verde", se dejan pasar todo tipo de ideas o palabras. 2. El semáforo está en rojo, vamos analizando las cosas que se han dicho y se van seleccionando unas y rechazando otras. 3. El semáforo vuelve a estar en verde, por lo tanto volvemos a dejar pasar ideas nuevas. 4. Semáforo rojo, volvemos a filtrar y seleccionar lo dicho. Este proceso se puede repetir cuantas veces sea necesario hasta conseguir llegar a la idea que buscábamos (solución a un problema, objeto creativo, idea original, etc). Osborn dice que "cantidad es calidad", ya que las últimas ideas son las mejores. Existen más métodos antitéticos como el de la inversión: invertir, quebrantar una función. Por ejemplo: un paraguas utilizado como bañera, como parasol, como cesta, etc.

PROPOSICIÓN LÓGICA. En filosofía y lógica, el término proposición se usa para referirse a: Las entidades portadoras de los valores de verdad. Los objetos de las creencias y de otras actitudes proposicionales. El significado de las oraciones demostrativas, como «el Sol es una estrella». Es un producto lógico del pensamiento que se expresa mediante el lenguaje, sea éste un lenguaje común o formalizado, cuando adopta la forma de oración gramatical, o simbólico, cuando se expresa por medio de signos o símbolos de un lenguaje formal. En Lógica tradicional se distinguen la proposición y el juicio, por cuanto la primera es el producto lógico del acto por el cual se afirma o se niega algo de algo, mientras ese acto constituye el juicio. Para Aristóteles, la proposición es un discurso enunciativo perfecto, que se expresa en un juicio que significa lo verdadero y lo falso como juicio de términos. Por eso el juicio es una afirmación categórica, es decir, incondicionada porque representa adecuadamente la realidad. La lógica y otras ciencias Un enunciado lingüístico (generalmente en la forma gramatical de una oración enunciativa) puede ser considerado como proposición lógica cuando es susceptible de poder ser verdadero o falso. Por ejemplo “Es de noche” puede ser Verdadero o Falso. Aunque existen lógicas polivalentes, en orden a la claridad del concepto, aquí consideramos únicamente el valor de Verdad o Falsedad. Se llama proposición atómica, o simple, cuando hace referencia a un único contenido de verdad o falsedad; vendría a ser equivalente a la oración enunciativa simple en la lengua. Proposición molecular cuando está constituida por varias proposiciones atómicas unidas por ciertas partículas llamadas "nexos o conectivas", que establecen relaciones sintácticas como función de coordinación y subordinación determinadas entre las proposiciones que la integran; tal ocurre en la función de las conjunciones en las oraciones compuestas de la lengua.

Proposición, enunciado y creencia. Por proposición (cursivas en el original) entenderemos el contenido común de oraciones declarativas sinónimas. Según este sentido, dos oraciones expresarán la misma proposición si tienen el mismo significado. Otra interpretación considera como una proposición al conjunto de los mundos posibles en los que es verdadera, o una función de los mundos posibles en valores de verdad. Padilla Gálvez, J. op. cit. p. 61 “Llueve” es un enunciado, lo mismo que “It rains”. Ambos enunciados expresan la misma proposición lógica por cuanto ambos representan siempre el mismo valor de verdad, verdadero o falso en cualquier situación, bien sea de verdad o de falsedad. 4 También se distingue la proposición de la creencia.5 Apreciar, percibir que llueve como acto interno del individuo fundamenta la creencia, con independencia de su expresión lingüística. Podríamos de alguna forma considerarlo como pensamiento. Mirar por la ventana y constatar que llueve suscita una creencia de que “está lloviendo”, con independencia de que se exprese afirmándolo en un enunciado. Como proposición, (independiente de las creencias y los pensamientos de cualquiera; con independencia del lenguaje o forma de expresión lingüística en el que se exprese el pensamiento, incluso de la realidad de que llueva o no llueva), a la lógica lo que le interesa es únicamente la función: «poder ser verdadero o falso». Algunos filósofos, por eso, llegaron a pensar que la lógica habla de lo posible, lo que puede ser o no ser, o de “mundos composibles”, pero no de lo real. (Mundo = conjunto determinado de posibles compatibles en una unidad posible). La lógica se preocupa de las proposiciones; y estudia las formas válidas según las cuales a partir de la verdad o falsedad de una o varias proposiciones se pueda argumentar o inferir la verdad o falsedad de otras. Por eso la verdad lógica es una verdad formal, que no tiene contenido. Eso explica por qué puede establecer sus leyes y reglas de modo simbólico, construyendo diversos cálculos que puedan modelizar algunos contextos lingüísticos o teorías científicas, de forma semejante a las matemáticas. Su elemento fundamental es la proposición lógica y la definición de las reglas que, tomadas como leyes lógicas, permiten la transformación de unas expresiones bien formadas (EBF)s en otras equivalentes, como inferencias. Tengamos en cuenta que el cálculo lógico basado en valor V y F, traducido como sistema binario a 1 y 0, es la base sobre la que se han construido las máquinas de cálculo y los ordenadores o computadoras. Los enunciados y los juicios subjetivos son estudiados por otras ciencias. Proposición atómica y molecular. En los casos anteriores hemos considerado únicamente la posibilidad de un enunciado atómico o simple, simbolizada con una sola variable. Estas proposiciones se llaman atómicas. Si establecemos conexiones lógicas entre varias proposiciones según unas reglas perfectamente establecidas en sus elementos simbólicos y definidas como funciones de verdad, construiremos proposiciones moleculares o compuestas. Así la proposición “Si llueve entonces el suelo está mojado”, enlaza la proposición “llueve” con la proposición “el suelo está mojado”, bajo el aspecto de función de verdad “si…… entonces…..” Proposición lógica y valores de verdad El valor de verdad de una proposición lógica atómica (o variable proposicional) es, por definición, verdadero o falso (podemos representarlo como V o F). Así el enunciado “llueve” es verdadero si y sólo si está lloviendo en ese momento. Pero si dicho enunciado se considera como proposición lógica atómica, p, entonces puede ser tanto verdadera como falsa. Es una verdad de hecho o contingente, porque tiene los dos posibles valores de verdad, por la propia definición de proposición lógica. El contenido de la relación de un enunciado con lo real no es objeto de la lógica sino de otras ciencias.

Verdad de hecho o contingente, contradicción y tautología. El valor de verdad de una proposición molecular puede ofrecer los siguientes casos: Que su valor dependa del valor de verdad de las proposiciones que la integran, según las conexiones lógicas que las unen. En ese caso dicha proposición tiene un valor de Verdad de hecho o contingente. Puede ser unas veces verdadera y otras veces falsa según la verdad o falsedad de cada una de las proposiciones atómicas que la integran. El valor lógico V (verdad) de la proposición “llueve y hace calor”, sólo se dará en el caso de que las dos proposiciones “llueve” (p) y “hace calor” (q) sean tomadas en su valor de V; en los demás casos será falsa. Sin embargo en la proposición “llueve o hace calor” basta que una de las dos sea considerada en su valor de verdad V para que la proposición molecular sea verdadera. La función “y” conjuntiva y la función “o” disyuntiva se definen en tablas de verdad, como funciones de verdad, functores o conectivas. Las dos proposiciones moleculares enunciadas más arriba pueden ser verdaderas o falsas según sean los valores que tomemos en consideración en cada una de las proposiciones que la integran. Por eso ambas son contingentes. Que su valor de verdad no dependa del valor de verdad de las proposiciones que la forman, sino que, por la forma en que se establecen sus conexiones, como relaciones lógicas, siempre y necesariamente es falsa. Entonces esa proposición es unacontradicción. El valor de verdad de la proposición “llueve y no llueve” es una contradicción y siempre será falsa, con independencia del valor que consideremos V o F de “llueve” (p) y de “no llueve” (¬p). La función de verdad “no” se define mediante una tabla de verdad. Que su valor de verdad no dependa del valor de verdad de las proposiciones que la forman, sino que, por la forma en que se establecen sus conexiones, siempre y necesariamente es verdadera. Entonces esa proposición es una tautología. El valor de verdad de la proposición “llueve o no llueve”, es una tautología y siempre será verdadera con independencia de los valores que consideremos de “llueve” (p) o de “no llueve” (¬p). El análisis del valor de verdad de una proposición se realiza mediante las tablas de verdad. Las tautologías se constituyen como “leyes lógicas” o “verdades formales” y son la base sobre la que se construyen las reglas de inferencia en el razonamiento o cálculo lógico

SIMBOLIZACIÓN DE PROPOSICIONES. La sintaxis es una parte de la lógica que se interesa y ocupa de la estructura y composición de las proposiciones. Las proposiciones y los vínculos entre ellas son considerados como un tipo de sistema matemático. La lógica formal y la lógica simbólica. La palabra lógica proviene del griego logos que significa idea, palabra, razón o razonamiento. Por tanto, podríamos considerar el estudio de la lógica, como el estudio de los métodos y principios utilizados para diferenciar un razonamiento correcto de otro incorrecto. El problema central de la lógica es establecer bajo qué condiciones un enunciado (proposición) puede ser considerado como una conclusión derivada de otros enunciados (proposiciones) llamados premisas. En tal sentido la lógica se ocupa del estudio de los razonamientos o inferencias, considerados desde el punto de vista de su validez, lo que no debe confundirse con la verdad de las proposiciones que lo componen. De un lado aparece la verdad formal correspondiente a la validez del razonamiento y de otro lado la verdad material correspondiente a su contenido o materia. Puesto que la lógica sólo se interesa por la verdad formal de los razonamientos, frecuentemente se le llama lógica formal y se orienta esencialmente a la investigación

acerca del lenguaje, que analiza simplemente las estructuras de éste, prescindiendo de los contenidos concretos. El juicio Todo concepto significa algo, pero ningún concepto enuncia nada, porque enunciar es decir una cosa de otra y un concepto no puede hacer esto. Para conocer hacen falta otros instrumentos más que las ideas. Con puros conceptos sólo iniciamos el camino del conocimiento y avanzamos en él en la medida que nuestra mente junte o reúna mediante una relación dos o más conceptos. Conocer es ver las cosas en la integridad de su ser. Por eso cuando sólo se tienen conceptos como: Necesario, libro, caminar, no conozco todavía. Para llegar a conocer las cosas, necesito otro instrumento que me signifique lo que las cosas son de hecho y de verdad y por tanto me garantice su existencia, la cual por ser acto escapa al universo de los simples conceptos. Esto es precisamente lo que hace el juicio. El juicio es el que utilizando los conceptos: placentero, fumar, necesario, no, algo, tabaco, me da a conocer que fumar tabaco no es algo necesario, sea placentero o no. Los conceptos fumar, necesario, etc. Por si solos no me daban conocimiento, porque no me decían si una cosa es (existe), ni lo que es y por tanto lo que es de hecho y de verdad. Los conceptos por si solos intervienen en el lenguaje sin alcance cognoscitivo y por lo tanto no son verdaderos ni falsos. Podrán ser adecuados o inadecuados, distintos o confusos, claros u oscuros pero verdaderos o falsos no. Entendemos entonces por juicio el acto de la inteligencia por el cual ésta me une al afirmar o separa al negar, dos conceptos. En todo juicio hay dos ideas y una afirmación o negación. Dados los conceptos: hombre y mortal, nuestra mente actúa sobre ellos y los une o separa, así: El hombre es mortal. El hombre no es mortal. Y observamos que el elemento esencial (formal) del juicio es precisamente esa unión o separación, realizada a través del verbo ser que se llama cópula. El juicio se expresa lógicamente por medio de una proposición, ya sea empleando las palabras o expresiones de un lenguaje o utilizando símbolos matemáticos. La lógica moderna ha preferido prescindir de los juicios y atenerse a las proposiciones. La proposición Una proposición se compone de dos términos y el verbo ser (cópula). Por una proposición entendemos: Toda expresión que tiene sentido y mediante la cual se afirma o niega algo que puede ser verdadero o falso. Las proposiciones son enunciados que en un contexto determinado o en una teoría se pueden calificar como verdaderas o falsas. Las opiniones, preguntas, órdenes y exclamaciones no son consideradas proposiciones. Clases de Proposiciones. Toda proposición tiene una cosa que se llama materia y otra que se llama forma. La materia de la proposición la constituye los términos (sujeto y predicado), mientras que la forma es la integración de esos materiales a través de la cópula. Desde el punto de vista de la lógica, el único verbo que existe es el verbo ser. Para la lógica los otros verbos, lo

son, en cuanto contienen el verbo ser, por lo demás son atributos y se les llama verbos atributivos. Atendiendo tanto a la materia como a la forma, se puede clasificar a las proposiciones en dos grandes conjuntos: Proposiciones Simples o Atómicas y Proposiciones Compuestas o Moleculares. En cuanto a la forma la división es esencial, en cuanto a la materia es accidental. Proposiciones simples o atómicas son aquellas que comportan uno o varios sujetos (sujetos lógicos) y un predicado (predicado lógico) que afirma algo en torno a dichos sujetos. Proposiciones compuestas o moleculares son aquellas que comportan la combinación de dos o más proposiciones simples unidas por medio de un conectivo u operador proposicional. Representación simbólica de las proposiciones. Las proposiciones las simbolizamos con letras como p, r, r, s, t,……, etc. y se llaman letras proposicionales o variables proposicionales. Operaciones Lógicas Operaciones Lógicas Negación Conjunción Disyunción Inclusiva Disyunción Exclusiva Condicional Bicondicional

Conectivo lógico o término de No enlace . Y O O Si ……..entonces………. ……… si y sólo si …….

Símbolo lógico

u

operador

Apartes tomado del texto “Introducción al Simbolismo Lógico” de Hugo Guarín Vásquez.

VALOR DE VERDAD En lógica, un valor de verdad es un valor que indica en qué medida una declaración es verdad. Por ejemplo, el valor de verdad de la proposición «llueve y no llueve» es una contradicción y siempre será falsa, con independencia del valor que consideremos V o F de “llueve” (p) y de “no llueve” (¬p). La función de verdad “no” se define mediante una tabla de verdad. Algebraicamente, el conjunto {verdadero, falso}, o función lógica, forma un álgebra booleana simple (subdirectamente irreducible). Otras álgebras booleanas se pueden utilizar como conjuntos de valores de verdad en lógicas multivaluadas, mientras que la lógica intuicionista generaliza las álgebras booleanas a álgebras de Heyting. En la teoría de los topos, el clasificador de subobjetos de los topos toma el lugar del conjunto de valores de verdad. Esta nomenclatura está quizás más de acuerdo con los usos que prevalecen en matemáticas que con los de la filosofía.

CONECTIVOS LÓGICOS En lógica, una conectiva lógica, o simplemente conectiva, es un símbolo que se utiliza para conectar dos fórmulas bien formadas(atómicas o moleculares), de modo que el valor de verdad de la fórmula compuesta depende del valor de verdad de las fórmulas componentes. En programación se utilizan para combinar valores de verdad y obtener nuevos valores que determinen el flujo de control de un algoritmo o programa.

Las conectivas lógicas son, junto con los cuantificadores, las principales constantes lógicas de muchos sistemas lógicos, principalmente la lógica proposicional y la lógica de predicados. Conectivas Las conectivas son funciones de verdad. Quiere decir que son funciones que toman uno o dos valores de verdad, y devuelven un único valor de verdad. En consecuencia, cada conectiva lógica puede ser definida mediante una tabla de valores de verdad que indique qué valor devuelve la conectiva para cada combinación de valores de verdad. A continuación hay una tabla con las conectivas más usuales y su definición mediante tablas de verdad: Ejempl Análogo Ejemplo de uso en Conectiva Notación o Tabla de verdad natural el lenguaje natural de uso Negación

no

No está lloviendo.

Conjunción

y

Está lloviendo y es de noche.

Disyunción

o

Está lloviendo o es de noche.

Condicional material

si... Si está entonce lloviendo, entonces e s s de noche.

Bicondiciona l

si y sólo Está lloviendo si y si sólo si es de noche.

Negación conjunta

ni... ni

Ni está lloviendo ni es de noche.

O bien está o bien... lloviendo, o bien es o bien de noche.

Disyunción excluyente

Las conectivas por la tabla de verdad Dado que las conectivas son funciones de verdad, existirán tantas conectivas como funciones de verdad. Sin embargo, no todas las funciones de verdad tienen análogos en el lenguaje natural, y en consecuencia, no todas son estudiadas con el mismo interés. A continuación se incluye una tabla que lista las 16 conectivas binarias posibles.

Donde: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Tautología Disyunción lógica Condicional material inverso Proposición Condicional material Proposición Bicondicional Conjunción lógica Negación alternativa Disyunción exclusiva Negación lógica Negación del condicional material Negación lógica Negación del condicional inverso Negación conjunta Contradicción

PROPOSICIONES LOGICAS La lógica proposicional o lógica de orden cero es un sistema formal cuyos elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad. La lógica proposicional trata con sistemas lógicos que carecen de cuantificadores, o variables interpretables como entidades. En lógica proposicional si bien no hay signos para variables de tipo entidad, sí existen signos para variables proposicionales (es decir, que pueden ser interpretadas como proposiciones con un valor de verdad de definido), de ahí el nombre proposicional. La lógica proposicional incluye además de variables interpretables como proposiciones simples signos para conectivas lógicas, por lo que dentro de este tipo de lógica puede analizarse la inferencia lógica de proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples. Considérese el siguiente argumento:

Mañana es miércoles o mañana es jueves. Mañana no es jueves. Por lo tanto, mañana es miércoles. Es un argumento válido. Quiere decir que es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Esto no quiere decir que la conclusión sea verdadera. Si las premisas son falsas, entonces la conclusión también podría serlo. Pero si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también lo es. La validez de este argumento no se debe al significado de las expresiones «mañana es miércoles» y «mañana es jueves», porque éstas podrían cambiarse por otras y el argumento permanecer válido. Por ejemplo: Está soleado o está nublado. No está nublado. Por lo tanto, está soleado. En cambio, la validez de estos dos argumentos depende del significado de las expresiones «o» y «no». Si alguna de estas expresiones se cambiara por otra, entonces podría ser que los argumentos dejaran de ser válidos. Por ejemplo: Ni está soleado ni está nublado. No está nublado. Por lo tanto, está soleado. Las expresiones de las que depende la validez de los argumentos se llaman constantes lógicas. La lógica proposicional estudia el comportamiento de algunas de estas expresiones, llamadas conectivas lógicas. En cuanto a las expresiones como "está nublado" o "mañana es jueves", lo único que importa de ellas es que tengan un valor de verdad. Es por esto que se las reemplaza por simples letras, cuya intención es simbolizar una expresión con valor de verdad cualquiera. A estas letras se las llama variables proposicionales, y en general se toman del alfabeto latino, empezando por la letra p, luego q, r, s, etc. Así, los dos primeros argumentos de esta sección podrían reescribirse así: poq No q Por lo tanto, p Y el tercer argumento, a pesar de no ser válido, puede reescribirse así: Ni p ni q No q Por lo tanto, p Conectivas lógicas Artículo principal: Conectiva lógica A continuación hay una tabla que despliega todas las conectivas lógicas que ocupan a la lógica proposicional, incluyendo ejemplos de su uso en el lenguaje natural y los símbolos que se utilizan para representarlas en lenguaje formal. Expresión Símbolo en el en Símbolos Conectiva Ejemplo lenguaje este alternativos natural artículo Negación

no

No está lloviendo.

Conjunción

y

Está lloviendo y está nublado.

Disyunción

o

Está lloviendo o está soleado.

Condicional material

si... entonces

Si está de día.

Bicondicional

si y sólo si

Está nublado si y sólo si hay nubes visibles.

Negación conjunta

ni... ni

Ni está nublado.

soleado, entonces es

soleado ni está

Disyunción o bien... o O bien está soleado, o excluyente bien bien está nublado. En la lógica proposicional, las conectivas lógicas se tratan como funciones de verdad. Es decir, como funciones que toman conjuntos de valores de verdad y devuelven valores de

verdad. Por ejemplo, la conectiva lógica «no» es una función que si toma el valor de verdad V, devuelve F, y si toma el valor de verdad F, devuelve V. Por lo tanto, si se aplica la función «no» a una letra que represente una proposición falsa, el resultado será algo verdadero. Si es falso que «está lloviendo», entonces será verdadero que «no está lloviendo». El significado de las conectivas lógicas no es nada más que su comportamiento como funciones de verdad. Cada conectiva lógica se distingue de las otras por los valores de verdad que devuelve frente a las distintas combinaciones de valores de verdad que puede recibir. Esto quiere decir que el significado de cada conectiva lógica puede ilustrarse mediante una tabla que despliegue los valores de verdad que la función devuelve frente a todas las combinaciones posibles de valores de verdad que puede recibir. Negación Conjunción Disyunción Condicional Bicondicional

Leyes notables en lógica Entre las reglas de la lógica proposiconal clásica algunas de la más notables son listadas a continuación: Ley de doble negación Leyes de idempotencia Leyes asociativas Leyes conmutativas Leyes distributivas Leyes de De Morgan Otras leyes como el principio del tercero excluido son isibles en lógica clásica, pero en lógica intuicionista y con fines a sus aplicaciones matemáticas no existe un equivalente del tercero excluido, por ejemplo. Límites de la lógica proposicional La maquinaria de la lógica proposicional permite formalizar y teorizar sobre la validez de una gran cantidad de argumentos. Sin embargo, también existen argumentos que son intuitivamente válidos, pero cuya validez no puede ser probada por la lógica proposicional. Por ejemplo, considérese el siguiente argumento: Todos los hombres son mortales. Sócrates es un hombre. Por lo tanto, Sócrates es mortal. Como este argumento no contiene ninguna de las conectivas «no», «y», «o», etc., según la lógica proposicional, su formalización será la siguiente: p q Por lo tanto, r Pero esta es una forma de argumento inválida, y eso contradice nuestra intuición de que el argumento es válido. Para teorizar sobre la validez de este tipo de argumentos, se necesita investigar la estructura interna de las variables proposicionales. De esto se ocupa lalógica de primer orden. Otros sistemas formales permiten teorizar sobre otros tipos de argumentos. Por ejemplo la lógica de segundo orden, la lógica modal y la lógica temporal.

LA NEGACIÓN La negación es un operador que se ejecuta. sobre un único valor de verdad, devolviendo el valor contradictorio de la proposición considerada.

Tabla de verdad de Negación EJEMPLOS p: ”4 + 4 es igual a 9″ -p: “4 + 4 no es igual a 9″ p: ”El 4 es un numero par” -p: “El 4 no es un numero par”

CONJUNCIÓN

La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas.

Tabla de verdad de la conjunción p ^ q (se lee: ” p y q”) EJEMPLOS: p = ” El numero 4 es par” q = ”Siempre el residuo de los números pares es 2″ entonces… p^q: “El numero 4 es par y Siempre el residuo de los números pares es 2″ p = ” El numero mas grande es el 34” q = ”El triangulo tiene 3 lados″ entonces… p^q: “El numero mas grande es el 34 y El triangulo tiene 3 lados”

LA DISYUNCIÓN La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.

Tabla de verdad de la disyunción p v q (se lee: ” p o q”) EJEMPLOS: p = ” El numero 2 es par” q = ” la suma de 2 + 2 es 4″ entonces… pvq: “El numero 2 es par o la suma de 2 + 2 es 4″ p = ” La raíz cuadrada del 4 es 2” q = ” El numero 3 es par″ entonces… pvq: “La raíz cuadrada del 4 es 2 o el numero 3 es par”

LA IMPLICACIÓN Implicación lógica La implicación supone un contenido semántico además de formal. Un sistema lógico se define como una estructura compuesta por un lenguaje formal junto con una relación binaria de consecuencia semántica (o implicación lógica) o una relación binaria de consecuencia sintáctica ├ (derivabilidad), o ambas. La relación de consecuencia semántica se define con respecto a una clase de estructuras y la relación de consecuencia sintáctica, con respecto a un sistema de pruebas.10 El cálculo lógico formal sirve para establecer una relación, o derivación entre una condición y su condicionado, o el establecimiento de una afirmación hipotética. Si las premisas son verdaderas lo es también la conclusión. Cuando el cálculo tiene una intención argumentativa en su contenido semántico, entonces partimos de un contenido material afirmado como verdadero, cuya verdad es condición necesaria de la verdad de lo condicionado en la conclusión, como implicación. Normalmente el uso lógico del pensamiento es argumentativo en este sentido, y por ello esta distinción no tiene mayor importancia en la vida ordinaria, y suele confundirse con facilidad. La implicación en la lógica actual Filón de Megara, hacia el 300 a. de C. estimaba el condicional tal como hoy día se define la función de condicional en las tablas de verdad. Diodoro de Cronos en la misma época, no aceptaba más que la condición en el sentido de implicación. Los escolásticos distinguieron entre proposición «formalmente hipotética», la condición y «materialmente hipotética», la implicación, y así ha perdurado en la filosofía tradicional. En el siglo XIX Frege, Peirce, Russell y, en general los lógicos matemáticos, aceptaron el sentido de Filón, mientras que Clarence Irving Lewis (1883-1964) ha defendido la postura de Diodoro. Para Lewis la implicación como tal se refiere a la “inferencia” o “prueba”. La condición formal, en cambio, únicamente muestra “lo que ocurriría o podría ocurrir si una proposición falsa fuera verdadera”, lo que abre esta problemática a la cuestión de la «modalidad», (necesidad-contigencia, posibilidad-imposibilidad), especialmente estudiada por este autor, que ha dado lugar a la Lógica modal, de gran desarrollo actualmente. Un ejemplo explica bien lo que se quiere decir. El ejemplo antes citado "si esto que dices es verdad, yo soy el Papa de Roma" (A → B), lo consideramos como una afirmación con un contenido de verdad realmente débil, y prácticamente sin sentido.

Sin embargo "si hubieras estado aquí, el asunto se habría resuelto" (A → B), tiene la misma forma sintáctica, pero su contenido semántico de verdad no es comparable al anterior. Si intentamos encontrar el sentido de verdad contenido en dicha afirmación condicional, observamos: a) La afirmación parte del conocimiento del contenido semántico falso del antecedente, lo que se manifiesta lingüísticamente en el uso del modo subjuntivo. "Si hubieras estado" → "no has estado". b) El consecuente es considerado dentro de un "mundo posible", que sabemos que no ha sido real, pero podemos pensar en él como posible: "Se habría resuelto" → "habría sido posible que se resolviera". De la misma forma podemos expresar un contenido semántico de verdad basado en la necesidad, como en el caso del triángulo antes citado, o en la afirmación de un deseo, la afirmación de una prescripción, etc. Tal es el campo de la modalidad y la lógica modal.

LA CONDICIONAL

El condicional material es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad falso sólo cuando la primera proposición es verdadera y la segunda falsa, yverdadero en cualquier otro caso. La condicional de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p → q

Tabla de Verdad Condicional EJEMPLOS p: ”llueve” q: “hay nubes” p→q: “si llueve entonces hay nubes” p: ”Hoy es miércoles” q: “Mañana será jueves” p→q: “Si Hoy es miércoles entonces Mañana será jueves”

DOBLE IMPLICACION El bicondicional o doble implicación es un operador que funciona sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, y falso cuando sus valores de verdad difieren.

Tabla de Verdad Bicondicional EJEMPLOS p: ”10 es un número impar” q: “6 es un número primo” p↔q: “10 es un número impar si y solo si 6 es un número primo” p: ”3 + 2 = 7″ q: “4 + 4 = 8″ p↔q: “3 + 2 = 7 si y solo si 4 + 4 = 8″

PROPOSICIONES COMPUESTAS. Las proposiciones anteriores son todas, proposiciones simples. Para obtener proposiciones compuestas se deben ligar o combinar más de una proposición simple. Existen conectores u operadores lógicos que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones simples). Los operadores o conectores básicos son: y, o, no, no o, no y, o exclusiva, no o exclusiva 2.1 Operador and (y) - Operación Conjunción Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir(ser verdaderas) para que se pueda obtener un resultado verdadero. Su símbolo es: {Ù , un punto (.), un paréntesis, o también, Ç }. Se le conoce como la multiplicación lógica(en la matemática booleana): Algunos ejemplos son: 1. La proposición "El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería" está formada por dos proposiciones simples: q y r q: Tiene gasolina el tanque. r: Tiene corriente la batería. Con p: El coche enciende. De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue: p=qÙr Su tabla de verdad es como sigue: .q

.r

.p = q Ù r

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

Donde: 1 = verdadero 0 = falso En la tabla anterior el valor de q = 1 significa que el tanque tiene gasolina, r = 1 significa que la batería tiene corriente y p = q Ù r = 1 significa que el coche puede encender. Se puede notar que si q o r valen cero implica que el auto no tiene gasolina o no tiene corriente la batería y que, por lo tanto, el carro no puede encender. 2. La ciudad x está en Francia y es su capital es una proposición compuesta por las proposiciones simples: p: La ciudad x está en Francia. Qué es verdadera solo para todas las ciudades x que estén en Francia de lo contrario será falsa y,

r: La ciudad x es capital de Francia. Qué es verdadera solo si x es Paris de lo contrario será falsa Con ello la proposición compuesta q: p Ù r será verdadera solo si x es Paris, de lo contrario será falsa, como lo muestra la tabal correspondiente. .p

.r

.q = p Ù r

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

El operador y en la teoría de conjuntos equivale a la operación de intersección, por ello se le puede representar como lo muestra la figura No 1:

Figura No 1. p Ù r También tiene representación circuital con interruptores ,como aparece en la figura 2. Si los dos interruptores están cerrados(indicando verdadero o "1" lógico) la lámpara se enciende de lo contrario no.

Figura No 2 Circuito con interruptores que representa la función lógica Conjunción(AND) pÙr Operador Or (o) – Operación Disyunción Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se indica por medio de los siguientes símbolos: {Ú ,+,È }. Se conoce como las suma lógica en el Álgebra Booleana. En términos literales se comporta como y/o. Por ejemplo: 1. Sea el siguiente enunciado "Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase". Donde. p: Entra al cine. q: Compra su boleto. r: Obtiene un pase. La proposición compuesta es p: q v r y la tabla de verdad representativa es: .q

.r

.p: q Ú r

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

La única manera en la que no puede ingresar al cine (p = 0), es que no compre su boleto (q = 0) y que, además, no obtenga un pase (r = 0). 2. Con la proposición m: Iré al estadio si juega Santa fé o me invitan Compuesta por las proposiciones: p: Juega Santa Fé q: Me invitan al estadio Se obtiene la proposición compuesta cuya notación es: .m: p v q La tabla de verdad correspondiente es: .p

.q

.m: p Ú q

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

En cualquier caso la operación OR o la disyunción se asimila a la operación Unión entre conjuntos, por ello en diagrama de Venn se representa, así:

Figura No 3. Diagrama de Venn de una Disyunción p n q Y en circuito de conmutación, así:

Figura No 4. Representación circuital de una disyunción (OR) p v q de tal suerte que es suficiente con que uno de los dos interruptores este cerrado para obtener un "1" lógico, es decir, que la lámpara encienda. Operador Not (no) – Operación negación Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o negación (falso). Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: {„, Ø ,- }. Por Ejemplo. Teniendo la proposición : p: La capital de Francia es Paris (p = 1), su negación será : p‟: no es la capital de Francia Paris(p‟= 0) 2. Para p: 2x4 = 6 (p = 0) p‟: 2x4 ≠ 6 (p‟ = 1) .p

p‟

1

0

0

1

Con 1 verdadero y 0 falso. También, tiene expresión en la teoría de conjuntos y es el denominado complemento, cuyo diagrama de Venn es:

Figura No 5. Diagrama de Venn Operador not - Negación En términos de circuito su representación será, como aparece en la figura No 6, Cuando se cierra p ("1" lógico) el led se apaga (falso o "0" lógico) y si p se abre ("0" lógico) el led se enciende (verdadero o "1" lógico).

Figura No 6. Representación circuital de una negación (NOT) p‟

NÚMEROS REALES El conjunto de números reales está formado por los números racionales y los irracionales y se puede representar en una recta en la que se determinan un origen y una unidad, de modo que a cada número real le corresponde un único punto de la recta, y a cada punto de la recta se le asigna un único número real. La noción de orden en el conjunto de los números reales permite definir en la recta real los siguientes conjuntos numéricos: Intervalo abierto de extremos a y b. Es el conjunto de número reales, cuyos elementos son mayores que a y menores que b:

.

Intervalo cerrado de extremos a y b. Es el conjunto de número reales, cuyos elementos son mayores o iguales que a y menores o iguales queb:

.

Intervalo semiabierto o semicerrado de extremos a y b. Observa en este caso, que solo está incluido uno de los extremos:

Pulsando el botón inicio te aparece un nuevo intervalo finito. Con el control conjuntos numéricos puedes cambiar de intervalo. Si mueves el punto de color blanco, puedes ver los puntos que pertenecen a ese intervalo.

Con los controles a y b puedes mover los extremos de cada uno de los intervalos.

1.- En un intervalo cerrado, comprueba que contiene los extremos. 2.- En un intervalo abierto, comprueba que no contiene los extremos. 3.- En un intervalo sermiabierto o semicerrado, comprueba que solo contiene a uno de los extremos.

A parte los intevalos de extremos finitos descritos anterioremente, tenemos los intervalos en los que alguno de los extremos es infinito. Dichos intervalos son los conjuntos numéricos , que se representan mediante semirectas en la recta real. : es el conjunto numérico de todos los números reales x que son mayores que a, sin incluir a. : es el conjunto numérico de todos los números reales x que son mayores o iguales que a, incluido a. : es el conjunto numérico de todos los números reales x que son menores que a, sin incluir a. : es el conjunto numérico de todos los números reales x que son menores o iguales que a, incluido a.

Pulsando el botón inicio te aparece un nuevo intervalo infinito. Con el control intervalo infinito puedes cambiar de intervalo. Si mueves el punto de color blanco, puedes ver los puntos que pertenecen a ese intervalo. Con el control a puedes mover el extremo de cada uno de los intervalos. 4.- En un intervalo infinito cerrado por la izquierda o por la derecha, comprueba que contiene al extremo a. 5.- En un intervalo infinito abierto por la izquierda o por la derecha, comprueba que no contiene al extremo a. 6.- Escribe en tu cuaderno el intervalo que te aparece y el conjunto de números reales que representa la semirecta.

ADICIÓN Propiedad conmutativa: si se altera el orden de los sumandos, no cambia el resultado: a+b=b+a. propiedad asociativa:

propiedad que establece que cuando se suman tres o más números reales, la suma siempre es la misma independientemente de su agrupamiento.2 un ejemplo es: a+(b+c)

=

(a+b)+c.

elemento neutro: 0.

para

elemento

cualquier

número a, a +

opuesto

0

o

= inverso

0

+ a = a. aditivo:

para cualquier número entero, racional, real o complejo a, existe un número −a tal que a + (−a) = (−a) + a = 0. este número −a se denomina elemento opuesto, y es único para cada a. no existe en algunos conjuntos, como el de los números naturales. propiedad

distributiva:

la suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número. por ejemplo, (6+3) * 4 = 6*4 + 3*4. propiedad

de

cerradura:

cuando se suman números naturales el resultado es siempre un número natural. por ejemplo a+b=c. estas propiedades pueden no cumplirse en casos del límite de sumas parciales cuando tienden al infinito. y así damos por terminado este paso de las propiedades de la adición en los números reales...

MULTIPLICACIÓN La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo con los números reales.

Propiedades 1.Interna: El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real. a·b 2.Asociativa: El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que: (a · b) · c = a · (b · c) (e · )· =e·( · ) 3.Conmutativa: El orden de los factores no varía el producto. a·b=b·a 4. Elemento neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número. a ·1 = a ·1= 5. Elemento inverso:

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

6.Distributiva: El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos. a · (b + c) = a · b + a · c · (e + )= ·e+ ·

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES Todo producto de factores iguales, por ejemplo: a·a·a puede escribirse abreviadamente así: a3. En la expresión anterior, a3 se llama potencia, el factor que se repite (a) se llama base y el numero de veces que se repite el factor (3) se llama exponente. Potencias con exponente entero

Con exponente racional o fraccionario

RADICALES Un radical es una expresión de la forma , en la que n cuandoa sea negativo, n ha de ser impar. Se puede expresar un radical en forma de potencia:

y a

; con tal que

Radicales equivalentes

Simplificación de radicales Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado. Reducción de radicales a índice común 1 Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice 2 Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes. Extracción de factores fuera del signo radical

Se descompone el radicando en factores. Si: Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando. Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando. Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando. Introducción de factores dentro del signo radical Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical.

LOGARITMO El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. Se lee “logaritmo de x en base a es igual a y”, pero debe cumplir con la condición general de que a (la base) sea mayor que ceroy a la vez distinta de uno:

Para aclarar el concepto, podríamos decir que logaritmo es solo otra forma de expresar la potenciación, como en este ejemplo: Que leeremos: logaritmo de 9 en base 3 es igual a 2 Esto significa que una potencia se puede expresar como logaritmo y un logaritmo se puede expresar como potencia. El gráfico siguiente nos muestra el nombre que recibe cada uno de los elementos de una potencia al expresarla como logaritmo:

Ver: PSU: Matemática; Pregunta 19_2006 Entonces, podemos preguntar: ¿Que es el logaritmo? El logaritmo es "el exponente" por el cual se ha elevado una base para obtener la potencia. Ejemplos: 1) El resultado (2) es el exponente por el cual debemos elevar la base (2) para obtener la potencia (4): 22 = 4 2) El resultado (0) es el exponente por el cual debemos elevar la base (2) para obtener la potencia (1): 20 = 1 3)

El resultado (y) es el exponente por el cual debemos elevar la base (1/2) para obtener la potencia (0,25):

, pero en este caso debemos despejar el exponente y:

4) 5) Cuidado con esto, hay que recordarlo: Cuando la base no aparece expresada se supone que ésta es 10: , el 10 que indica la base, no se coloca, se supone, así:

6) Aquí, otra nota importante, para no olvidar: Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Para representarlos se escribe ln o bien L. La base e está implícita, no se escribe:

7) Con lo ya expuesto, podemos empezar a establecer las: Propiedades de los logaritmos No existe el logaritmo de un número con base negativa. No existe el logaritmo de un número negativo. No existe el logaritmo de cero. El logaritmo de 1 es cero. El logaritmo de a en base a es uno. El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente. Ver: PSU: Matemática; Pregunta 31_2010 El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

Ver: PSU: Matemática; Pregunta 17_2005 El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

Cambio de base:

Logaritmos decimales: Son los que tienen base 10. Se representan por log (x) (ya vimos que la base 10 no se escribe, queda implícita). Logaritmos neperianos o naturales: Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x) (ya vimos que la base e tampoco se escribe, se subentiende cuando aparece ln). Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son: ln 1 = 0; puesto que e0 = 1 ln e2 = 2; puesto que e2 = e2 ln e−1 = −1; puesto que e−1 = e−1 El número e tiene gran importancia en las Matemáticas. No es racional (no es cociente de dos números enteros) y su valor, con seis cifras decimales, es e = 2,718281...

NÚMEROS COMPLEJOS Un número complejo es una combinación de un número real y un número imaginario Ejemplos: 1+i 12 - 3.1i -0.85 - 2i π + πi √2 + i/2 ¿Un número que es una combinación de dos números? ¿Puedes hacer un número combinando a partir de otros dos? ¡Claro que puedes! Lo haces todo el tiempo en las fracciones. La fracción 3/8 es un número hecho de un 3 y un 8. Sabemos que significa "3 de 8 partes iguales". Pues bien, un número complejo es simplemente dos números sumados juntos (uno real y uno imaginario). Cero Entonces, un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria. Pero cualquiera de las dos puede ser 0, así que los números reales y los imaginarios son también números complejos.

Número complejo

Parte real

Parte imaginaria

3 + 2i

3

2

5

5

0

-6i

0

-6

Sumar y multiplicar Para sumar dos números complejos sumamos las dos partes por separado: (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) Ejemplo: (3 + 2i) + (1 + 7i) = (4 + 9i) Pero para multiplicarlos seguimos una regla más interesante: (a,b)(c,d) = (ac-bd, ad+bc) Ejemplo: (3 + 2i)(1 + 7i) = ((3×1 - 2×7) + (3×7 + 2×1)i) = -11 + 23i Puedes intentarlo tú mismo: escribe (3 + 2i)(1 + 7i) en la calculadora de números complejos. Y una cosa interesante es que el cuadrado de "i" sí que es -1 Ejemplo: (0 + i)(0 + i) = ((0×0 - 1×1) + (0×1 + 1×0)i) = -1 + 0i ¡Los números imaginarios existen! Este es un buen argumento sobre la existencia de números imaginarios: Cuando elevas el número complejo 0+i al cuadrado tienes -1 Así que puedes elevar un número al cuadrado y tener -1 ... si usas las reglas de los números complejos.

ORDEN DE LAS OPERACIONES Para simplificar expresiones numéricas que contienen dos o más operaciones para efectuar, tenemos que seguir un orden. El orden es el siguiente: Efectuar lo que aparece en paréntesis. Simplificar las expresiones exponenciales. Efectuar las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que aparecen de izquierda a derecha. Efectuar las sumas y las restas en el orden en que aparecen de izquierda a derecha. El dominio del orden de operaciones es muy importante no tan sólo en matemáticas sino también en otras áreas como en el campo delcomercio, las ciencias, la ingeniería, para poder manejar el uso correcto de las fórmulas. Ejemplos para discusión: 1) 5 x (3 + 8) = 2) 12 x 5 ÷ 3 x 2 = 3) (4 – 6)3 + 5(-4) + 3 =

5) 2 + 66 † 11 · 3 + 2√36 = Algunas expresiones numéricas pueden tener diferentes tipos de símbolos de agrupación, tales como, corchetes [ ] y llaves { }. En estos casos, se efectúa primero las operaciones del símbolo de agrupación que esté más al centro, esto es, de dentro hacia afuera, luego aplicamos las reglas del orden de las operaciones. Ejemplos para discusión: 1) 2 + 3[5(7 – 4)] = 2) -2[(-5 + 3)3 + (-4 – 6)2] = Ejercicio: Simplifica cada una de las siguientes expresiones:

1) 6 x (-2) + (-20) ÷ 2 x 3 = 2) 5[6 – 3(7 – 9)] – 8 = 3) │- 3 – 7 + 2 – (-4)│ =

6) 64 ÷ 23 – 5 = 7) 2 x 3 + 4 – 9 ÷ 3 8) 4( 3 – 6) + 3(7 – 9)2 = 9) 8[7 – 6(4 – 2)]= 10) 3[(8 – 3)2 + 5(11 – 7)] = Respuestas: 1) -42 2) 52 3) 4 4) 13 5) -1 6) 3 7) 7 8) 0 9) -40 10) 135

PAREJA ORDENADA Una pareja ordenada es una pareja de números, (x, y), escritos en un orden particular. La pareja ordenada (x, y) no es la misma que la pareja ordenada (y, x). Una pareja ordenada es a menudo usada para representar un punto en un plano coordenado o la solución para una ecuación con dos variables. Ejemplo: Encuentre una pareja ordenada que es una solución de la ecuación y = x − 3, y grafique el punto en el plano coordenado. La pareja ordenada (5, 2) funciona, ya que 2 = 5 − 3.

(Dese cuenta que en matemáticas avanzadas, una pareja ordenada no tiene que ser una pareja ordenada de números; puede tener parejas ordenadas de conjuntos, funciones, o incluso parejas ordenadas!)

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INDICE:                                               

Fundamentos de algebra Términos Suma de Polinomios Resta de Polinomios Multiplicación de Polinomios Polinomio por polinomio Productos Notables Triangulo de pascal Divisiones de Polinomios Factorización Descomposición factorial Factor Común Diferencia de cuadros Trinomio cuadrado Perfecto Trinomios cuadráticos Suma o diferencia de cubos Teorema del factor Fracción algebraica Lógica de Matemáticas Historia Lógica El método inductivo Método deductivo Método analógico Proposición lógica Tipos de proposiciones Simbolización de las proposiciones Valor de verdad Conectivos Lógicos Proposiciones lógicas Lógica Simbólica La negación La conjunción La disyunción La implicación La condicional Doble implicación Combinaciones de proposiciones compuestas Números reales Conjunto de los números reales Adicción Multiplicación Potenciación Radicales Logaritmos Números complejos Orden de las operaciones Parejas ordenadas

INTRODUCCION: El presente trabajo va relacionado con términos de matemáticas. En las que veremos operaciones de diferentes tipos en las cuales podemos citar los fundamentos de algebra, factorización, lógica matemática y números reales. Se le presenta diferentes operaciones y procesos que lleva cada termino matemático.

CONCLUSION. En el trabajo realizado hemos visto operaciones de diferentes términos y operaciones con procesos, hemos aprendido todo lo relacionado con las matemáticas, términos con ejemplos.