Ge-ht - Semana 7 - Aplicaciones De Las Transformaciones Lineales(1) 105s6x

TEMA: Aplicaciones de las transformaciones lineales CURSO: Matemática Básica para Ingeniería SEMANA: 7 GUÍA DE ESTUDIO En esta sesión nos especializaremos en los fenómenos geométricos del plano, en particular, indagaremos sobre la acción sobre un conjunto de puntos de ℝ2 . Como lo vimos en la sesión anterior, no toda función 𝑇: ℝ2 → ℝ2 es una transformación lineal, adicionalmente, si 𝑇 es una transformación lineal entonces esta posee una representación matricial, usaremos esto para describir las transformaciones lineales que afectan de forma específica un conjunto. Como conocimiento previo, si 𝑆 ⊆ ℝ2 es un subconjunto de ℝ2 , decimos que S es convexo si para cualquier par de puntos (𝑥0 ; 𝑦0 ) y (𝑥1 ; 𝑦1 ) de 𝑆 entonces la combinación lineal 𝑡(𝑥1 ; 𝑦1 ) + (1 − 𝑡)(𝑥0 ; 𝑦0 ) donde 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 pertenece a 𝑆. De ejemplos de conjuntos convexos tenemos, cuadrados, triángulos, círculos, entre otros. Por otro lado, Si 𝑇 es una transformación lineal 𝑇: ℝ2 → ℝ2 y 𝑆 es un conjunto convexo, entonces para cada (𝑥0 ; 𝑦0 ) y (𝑥1 ; 𝑦1 ) elementos de S, se tiene 𝑇(𝑡(𝑥1 ; 𝑦1 ) + (1 − 𝑡)(𝑥0 ; 𝑦0 )) = 𝑡𝑇(𝑥1 ; 𝑦1 ) + (1 − 𝑡)𝑇(𝑥0 ; 𝑦0 ) De esta manera, 𝑇(𝑆) = { 𝑇(𝑥; 𝑦) ∣ (𝑥; 𝑦) ∈ 𝑆 } es un conjunto convexo. Dicho de otra forma, las transformaciones lineales transforman conjuntos convexos en conjuntos convexos. A continuación, ejemplificaremos esta situación con varias transformaciones particulares. Para fines de ejemplificar el efecto de una transformación lo haremos siempre con un cuadrado de lado uno y vértice en el origen, sin embargo, se puede hacer con cualquier figura. COMPRESIÓN O EXPANSIÓN Dependiendo de un parámetro tenemos una compresión o una expansión para las transformaciones de la forma 𝑇(𝑥; 𝑦) = (𝑘𝑥; 𝑘𝑦)  

Si 𝑘 > 1 diremos que la transformación 𝑇(𝑥; 𝑦) = (𝑘𝑥; 𝑘𝑦) representa una expansión de factor 𝑘. Si 0 < 𝑘 < 1 diremos que la transformación 𝑇(𝑥; 𝑦) = (𝑘𝑥; 𝑘𝑦) representa una compresión de factor 𝑘.

Gráficamente tenemos lo siguiente:

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Expansión de factor 𝑘 = 3

Compresión de factor 𝑘 = 1/3

EXPANSIÓN O COMPRESIÓN A LO LARGO DE UN EJE De forma similar tenemos las siguientes transformaciones  

Si 𝑘 > 1 diremos que la transformación 𝑇(𝑥; 𝑦) = (𝑘𝑥; 𝑦) representa una expansión a lo largo del eje 𝑥 de factor 𝑘. Si 0 < 𝑘 < 1 diremos que la transformación 𝑇(𝑥; 𝑦) = (𝑘𝑥; 𝑦) representa una compresión a lo largo del eje 𝑥 de factor 𝑘.

De igual forma para el eje 𝑦  

Si 𝑘 > 1 diremos que la transformación 𝑇(𝑥; 𝑦) = (𝑥; 𝑘𝑦) representa una expansión a lo largo del eje 𝑦 de factor 𝑘. Si 0 < 𝑘 < 1 diremos que la transformación 𝑇(𝑥; 𝑦) = (𝑥; 𝑘𝑦) representa una compresión a lo largo del eje 𝑦 de factor 𝑘.

EJEMPLO: Escriba la representación matricial de la transformación lineal de una compresión a lo largo 3

del eje 𝑥 de factor 𝑘 = 2 y bosqueje la región obtenida al aplicar esa transformación al rectángulo

cuyos vértices son (−2; 2), (−2; −1), (4; 2) y (4; −1). La regla de asignación de una compresión a lo 1

1

largo del eje 𝑥 de factor 𝑘 = 2 es 𝑇(𝑥; 𝑦) = (2 𝑥; 𝑦) y su representación matricial es 1 [ 2 0] 0 1 Para determinar la región obtenida, evaluamos los puntos en la transformación 𝑇(−2; 2) = (−1; 2), 𝑇(−2; −1) = (−1; −1), 𝑇(4; 2) = (2; 2) y 𝑇(4; −1) = (2; −1). Ubicando los puntos en el plano tenemos. Región inicial

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Región transformada

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CORTES A LO LARGO DE LOS EJES De forma similar tenemos las siguientes transformaciones  

La transformación 𝑇(𝑥; 𝑦) = (𝑥 + 𝑘𝑦; 𝑦) representa un corte a lo largo del eje 𝑥 de factor 𝑘. La transformación 𝑇(𝑥; 𝑦) = (𝑥; 𝑘𝑥 + 𝑦) representa un corte a lo largo del eje 𝑥 de factor 𝑘.

REFLEXIONES De forma similar tenemos las siguientes transformaciones   

La transformación 𝑇(𝑥; 𝑦) = (𝑥; −𝑦) representa una reflexión respecto al eje 𝑥. La transformación 𝑇(𝑥; 𝑦) = (−𝑥; 𝑦) representa una reflexión respecto al eje 𝑦. La transformación 𝑇(𝑥; 𝑦) = (𝑦; 𝑥) representa una reflexión respecto la recta 𝑦 = 𝑥.

PROYECCIONES SOBRE LOS EJES COORDENADOS   

La transformación 𝜋𝑥 (𝑥; 𝑦) = (𝑥; 0) representa la proyección ortogonal del vector (𝑥, 𝑦) sobre el eje 𝑥. La transformación 𝜋𝑦 (𝑥; 𝑦) = (0; 𝑦) representa la proyección ortogonal del vector (𝑥, 𝑦) sobre el eje 𝑦. Puede comprobar que el núcleo de las proyecciones es diferente de {(0; 0)}, realizando los cálculos se tiene que 𝑁𝑢 𝜋𝑥 = { (0; 𝑦) ∣ 𝑦 ∈ ℝ } y 𝑁𝑢 𝜋𝑦 = { (𝑥; 0) ∣ 𝑥 ∈ ℝ }

ROTACIONES Una rotación en dirección 𝜃 en el sentido positivo (antihorario) alrededor del origen está dada por la transformación lineal 𝑇(𝑥; 𝑦) = (𝑥 cos 𝜃 − 𝑦 sen 𝜃 ; 𝑥 sen 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃) O equivalente a cos 𝜃 𝑇(𝑥; 𝑦) = [ sen 𝜃

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− sen 𝜃 𝑥 ][ ] cos 𝜃 𝑦

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TEMA: Aplicaciones de las transformaciones lineales CURSO: Matemática Básica para Ingeniería SEMANA: 7 HOJA DE TRABAJO CONOCIMIENTO / COMPRENSIÓN 1. Indique el nombre del tipo de transformación conociendo su regla de correspondencia a) 𝑇: ℝ2 → ℝ2 donde 𝑇(𝑥; 𝑦) = (𝑥; −𝑦) b) 𝑇: ℝ2 → ℝ2 donde 𝑇(𝑥; 𝑦) = (𝑥; 2𝑦) c) 𝑇: ℝ2 → ℝ2 donde 𝑇(𝑥; 𝑦) = (𝑥 + 3𝑦; 𝑦) d) 𝑇: ℝ2 → ℝ2 donde 𝑇(𝑥; 𝑦) = (−𝑥; 𝑦) 2. Indique la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones a. Si 𝑇 es la transformación lineal que efectúa una compresión a lo largo del eje 𝑦 con 𝑘 = 2 entonces el vector (3; 5) se transforma en el vector (0; 0). b. Si 𝜋𝑦 es la transformación lineal que efectúa la proyección ortogonal sobre el eje 𝑦 entonces 𝑁𝑢 𝜋𝑦 = { (𝑥; 0) ∣ 𝑥 ∈ ℝ }. c. Si 𝑅𝜃 la transformación lineal que efectúa rotación positiva (sentido antihorario) 𝜋 4

alrededor del origen, un ángulo de . entonces el vector (3; 5) se transforma en el vector (0; 0). d. Si 𝑇 tiene como representación matricial [

6 3

0

0

4 ], 2

entonces 𝑇 es una expansión de

constante 𝑘 = 2.

APLICACIÓN / ANÁLISIS 1. Describa en palabras las transformaciones lineales que tiene la representación matricial 𝐴 𝑇 1 0 2 b. 𝐴 𝑇 = [ 0 2 c. 𝐴 𝑇 = [ 0 a. 𝐴 𝑇 = [

2 ] 1 0 ] 2 0 ] 1

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2. Determine el núcleo de las trasformaciones lineales descritas: a.) Una compresión de factor 𝑘 = 0,25. b.) Una expansión a lo largo del eje 𝑥 de factor 𝑘 = 4,25. 𝜋 6

c.) Una rotación positiva de 𝜃 = alrededor del origen. 3. Escriba la representación matricial de la transformación lineal de una reflexión al eje 𝑥 y bosqueje la región obtenida al aplicar esa transformación al rectángulo cuyos vértices son (−2; 2), (−2; −1), (3; 2) y (3; −1) 4. Escriba la representación matricial de la transformación lineal de una expansión a lo largo del eje 𝑦 de factor 𝑘 = 4 y bosqueje la región obtenida al aplicar esa transformación al rectángulo cuyos vértices son (0; 2), (0; −3), (−3; 2) y (−3; −3) 5. Escriba la representación matricial de la transformación lineal de un corte a lo largo del eje 𝑥 de factor 3 y bosqueje la región obtenida al aplicar esa transformación al rectángulo cuyos vértices son (0; 2), (0; −3), (−3; 2) y (−3; −3). 6. Escriba las representaciones matriciales de una reflexión sobre el eje 𝑥 y la representación 𝜋

matricial de una rotación positiva alrededor del origen de 𝜃 = 3 . y bosqueje la región obtenida al aplica esa transformación al rectángulo cuyos vértices son (0; 1), (2; 1), (0; 0) y (2, ; 0).

SÍNTESIS / EVALUACIÓN 1. Fernando es un ingeniero civil interesado en realizar un levantamiento topográfico de un conjunto residencial, fijado un sistema de coordenadas e indicando las coordenadas de dos construcciones existente se quiere construir una nueva instalación de las mismas dimensiones que la instalación señalada en rojo. La 𝜋

ubicación es equivalente a rotar 4 la figura roja. Determine las nuevas coordenadas de la instalación mediante una transformación lineal.

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2. Javier es un ingeniero de sistemas, esta interesado en estudiar procesamiento de imágenes, principales en las aplicaciones de dibujo asistido por computador (CAD), el sabe que la representación matricial de una rotación alrededor del eje 𝑧 es cos 𝜃 −sen 𝜃 0 𝑅𝑧 (𝜃) = [sen 𝜃 cos 𝜃 0] 0 0 1 Encuentre las coordenadas de la caja rotada 60∘ de la caja cuyos vértices son (0; 0; 0), (1; 0; 0), (1; 2; 0), (0; 2; 0), (0; 0; 3), (1; 0; 3), (1; 2; 3), (0; 2; 3) 3. La representación matricial de transformaciones del plano consecutivas es el producto de las representaciones matriciales a. Escriba las representaciones matriciales de una reflexión sobre el eje 𝑥 y una expansión a lo largo del eje de factor 𝑘 = 2. Multiplique estas dos matrices e interprete geométricamente la transformación resultante. b. Invierta el orden de los factores de la multiplicación e interprete geométricamente. ¿hay alguna diferencia entre las dos transformaciones?

4. Dada la siguiente región:

Bosquejar la región que se obtiene al aplicar un corte a lo largo del eje 𝑥 con 𝑘 = 2.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS CÓDIGO UPN

AUTOR

TÍTULO

512.5 GROS 2012

Grossman, Stanley

Álgebra Lineal

512.5 ANTO 2013

Anton, Howard

Introducción al algebra lineal

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