Geometri Euclid (2) 69z4s

BAB II PEMBAHASAN 2.1 Istilah-istilah Dalam Geometri Euclid Titik, garis, dan relasi merupakan unsur dasar dalam pembahasan geometri Euclid. Unsur-unsur di atas tidak terlepas dari aksioma dan teorema yang akan dipelajari. Oleh karena itu harus di pahami terlebih dahulu istilah-istilah tersebut. Untuk selanjutnya geometri Euclid di tulis denan geometri saja. Titik dan garis unsur-unsur yang tidak didefinisikan dalam geometri. Salah satu relasi pada geometri adalah relasi di antara, misalnya titik B di antara A dan C. Jika digambarkan adalah sebagai berikut: C A

B

C A

a. )

B

Gambar 2.1.1

b,)

1. Titik Titik merupakan unsur yang tidak didefinisikan. Titik dituliskan dengan huruf capital tunggal, seperti A, B, C, D, E…… dan seterusnya. Tidak boleh di tuliskan dengan huruf kecil.

2. Garis Garis juga merupakan unsur yang tidak didefinisikan. Garis dituliskan denan huruf kecil seperti g, h, I, j, k, l…… seterusnya. Atau dengan menggunakan dua titik pada garis itu, misalnya garis AB dituliskan dengan symbol A

.

B Gambar 2.1.2

3.Relasi Gabungan Antara Titik B di antara titik A dan C dapat dituliskan A-B-C, jika A, B, dan C merupakan titik yang berbeda dan letaknya segaris. Sehingga dapat juga dituliskan sebagai C-B-A. 4.Ruas Garis

Ruas garis digambarkan sebagai berikut: A

B

Gambar 2.1.

Definisi ruas garis: Ruas garis AB adalah himpunan titik yan memuat titik A,titik B dan titik-titik diantara kedua titik itu. Ruas garis pada gambar 2.1.3 di atas dinyatakan sebagai ruas garis AB serta diberi symbol

. Titik A dan B masing-masing disebut ujung-ujung ruas garis.

5. Sinar Sinar digambarkan sebagai berikut: P

Q Gambar 2.1.4

Definisi sinar: Sinar PQ adalah himpunan titik-tiik yang merupakan gabungan suatu titik tetap dan titik-titik yang sepihak terhadap titik tetap itu. Sinar PQ disimbolkan dengan

. Titik P disebut pangkal sinar.

6. Sudut Titik dan garis merupakan unsure-unsur yang membentuk sudut. Definisi Sudut: Sudut adalah himpunan titik-titik yang merupakan gabungan dari dua sunar yang bersekutu dititik pangkalnya. Contoh:

A

B

C

Gambar di atas menggambarkan sudut ABC dan ditulis sinar BC disebt kaki-kaki sudut B adalah titik sudut.

Gambar 2.1.5

. Sinar BA dan

7. Ukuran Ruas Garis Untuk setiap garis g dapat dikawankan dengan satu bilangan real, demikian pula setiap bilangan real dapat dikawankan dengan satu titik pada garis g. jadi terdapat korespodensi satu-satu antara titik-titik pada garis dengan himpunan bilangan real. Pada

pembahasan selanjutnya hal ini disebut sebagai aksioma. Korespodensi satu-satu itu disebut Sistem Koordinat, sedangkan bilangan yang menandai letak suatu titik pada garis disebut Koordinat. Pandang ruas garis beikut:

A

B

C

D

E

0

1

2

3

4

g

Gambar 2.1.6

Definisi Ukuran Ruas Garis: Ukuran ruas garis adalah koordinat salah satu ujungnya jika ujung yang lain berkoordinat nol 8. Titik Tengah Perhatikan gambar berikut: A

M

B

Gambar 2.1.7

M adalah titik tengah garis AB. Dari gambar di atas diperoleh definisi dari titik tengah. Definisi Titik tengah: Titik tengah adalah titik pada ruas garis sehingga membentuk dua ruas garis yang berukuran sama. Terdapat banyak sekali garis yang melalui titik tengah suatu ruas garis. Garis yang memotong ruas garis dititik tengahnya disebut Bisektor ruas garis atau garis bagi garis. Contoh:

A

M

B

Bisektor ruas garis AB Gambar 2.1.9

9. Ukuran Sudut Pada bidang setengah lingkaran terdaoat lingkaran yang berpusat di titik P, dan berdiameter CA. dimana salah satu ujungnya A dan ujungnya yang lain C. Untuk memahami ukuran sudut perhatikan gambar berikut: 90

B X

C

P

180

P

0

A

Gambar 2.1.10

Berdasarkan ukuran sudut didefinisikan nama-nama sudut berdasarkan ukurannya sebagai beikut: 1. Sudut siku-siku adalah sudut yang berukuran 90 2. Sudut lurus adalah sudut yang berukuran 180 3. Sudut lancip adalah sudut yang ukurannya lebih dari 0 kurang dari 90 4. Sudut tumpul adalah sudut yang ukurannya lebih dari 90 5. Sudut-sudut komplementer adalah dua sudut yang jumlah ukuran keduanya 90 6. Sudut-sudut suplemter adalah dua sudut yang jumlah ukuran keduanya adalah 180. 10. Konkruensi dari Ruas Garis dan Konkruensi Sudut Konkruensi merupakan konsep dasar yang sangat penting dalam memahami geometri. Dua garis dikatakan Konkruen jika ukuran kedua garis itu sama dan dua sudut dikatakan konkruen jika ukuran kedua sudut itu juga sama. Selanjutnya untuk menyatakan konkruensi di gunakan symbol . Contoh:

A

B

C

D

Gambar 2.1.11

Pada gambar 2.1.11 ukuran garis AB sama dengan CD, maka kedua garis tersebut Konkruen (

).

11. Operasi Segmen dan Sudut Ruas garis disebut juga dengan segmen. Segmen dapat ditentukan jumlah dan selisihnya. Berikut akan dibicarakan penjumlahan dan selisih segmen-segmen:

1.

Jumlah dua segmen dengan symbol: A

+

dan

=

adalah

jika dan hanya jika A-B-C ditulis

. Digambarkan sebagai berikut:

B

C

Gambar 2.1.12

Harus diperhatikan bahwa jumlah kedua segmen itu ada hanya jika keduanya terletak pada garis yang sama dan interseksi keduanya adalah tepat satu titik. 2.

Selisih antara dua segmen

dan

adalah

jika dan hanya jika A-B-C.

dituliskan dengan symbol = . Yang harus diperhatikan adalah selisih dua segmen itu ada hanya jika dua segmen itu merupakan subset garus yang sama den interseksi dua segmen itu adalah salah satu dari segmen-segmen itu. Jumlah dan selisih dua sudut didefinisikan sebagai berikut: 1.

Sinar PB dikatakan diantara

2.

Jumlah dua sudut,

dan

jika m

dan

+m

=

.

adalah ABD jika dan hanya jika

di antara

dan

D C

B 3. Selisih dua sudut,

dan

A adalah

Gambar 2.1.13

jika hanya jika

diantara

dan 2.2 Aksioma-aksioma Dalam Geometri Aksioma adalah suatu pernyataan yang telah diakui kebenarannya, sehingga tidak perlu dibuktikan. Dalam sub bab ini akan diperlihatkan aksioma-aksioma yang berhubungan dengan titik dan garis. Aksioma-aksioma yang berhubungan dengan garis adalah: 1.

Suatu garis dapat diperpanjang sejauh-jauhnya kedua arah.

2.

Ada korespondensi satu-satu antara titik-titik pada garis dengan bilangan nyata.

3.

Dari dua titik berbeda ada tepat satu garis yang melalui kedua tititk itu.

4.

Disetiap garis minimal ada dua titik berbeda. Ada minimal tiga titik yang tidak segaris.

Aksioma-aksioma yang berhubungan dengan titik dapat juga disebut sebagai aksioma urutan. Aksioma-aksioma yang berhubungan dengan titik adalah: 1.

Titik b di antara A dan C ditulis A-B-C jika A, B,C titik0titik berbeda dan segaris dan dapat dituliskan sebagai C-B-A.

2.

Untuk sebarang dua titik berbeda A dan C minimal satu B pada dapat dituliskan A-B-C.

3.

sehingga

Jika A, B dan C titik yang segaris maka ada tepat satu titik diantara titik yang lain.

4.

A, B, dan C tiga titik yang segaris dan m pada bidang yang memuat A, B, C, dan m, serta m tidak memuat sebarang titik A, B, ataupun C. maka jika m memuat titik pada maka ia juga memuat titik pada

, maka ia juga memuat titik pada

atau

Dari aksioma di atas dapat diturunkan teorema sebagai berikut: TEOREMA 2.2.1 ( Ketak berhinggan titik pada garis ) Setiap garis memuat tak berhinga banyak titik. TEOREMA 2.2.2 ( Eksistensi titik ketiga ) Jika A dan B titik-titik maka selalu ada titik ketiga C sehingga A-C-B. berdasarkan definisi konkruensi segmen, konkruensi sudut dan sifat rerleksif, simetri, dan transitif kesamaan bilangan real diturunkan teorema sebagai berikut:

TEOREMA 2.2.3 ( Sifat Refleksi Relasi “

)

a.) b.) TEOREMA 2.2.4 (Sifat Simetris Relasi “ a.

Jika

b.

Jika

)

maka

TEOREMA 2.2.5 ( Sifat Transitif Relasi “ a.

Jika

b.

Jika

maka

maka

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Di era modern ini matematika merupakan salah satu pelajaran pokok yang pasti ada di setiap lembaga pendidikan. Oleh sebab itu, banyak mahasiswa yang mengambil jurusan Pendidikan Matematika. Dari sekian banyak mahasiswa pasti memiliki karakteristik dan tingkat pemahaman yang berbeda-beda. Dan tidak sedikit juga mahasiswa yang belum mengerti materi-materi yang telah di sampaikan oleh pengajar. Padahal mahasiswa Pendidikan Matematika di harapkan bisa menjadi calon pendidik yang professional. Sehingga di butuhkan sebuah karya tulis yang dapat membantu mahasiswa menguasai dan memahami materi. Sebenarnya materi di perguruan tinggi itu sudah pernah di dapat pada Sekolah Menengah, hanya saja di Perguruan tinggi ini lebih di perdalam tingkat pemahamannya. Progrsm Studi Pendidikan Matematika memiliki berbagai cabang diantaranya Geometri Euclid yang membahas tentang aksioma-aksioma Matematika. Pada karya tulis ini akan di bahas mengenai aksioma-aksioma tentang titik, garis, dan relasi. Titik merupakan unsure yang tidak didefinisikan, begitu juga garis adalah unsure yang tak terdefinisi, Sedangkan relasi yaitu gabungan. 1.2

Rumusan Masalah

1.2.1 Apa definisi dari titik, garis, relasi, ruas garis, sinar, sudut, ukuran ruas garis, titik tengah, ukuran sudut ? 1.2.2 Apa definisi dari konkruensi dari ruas garis dan konkruensi sudut ? 1.2.3 Bagaimana mengoprasikan segmen dan sudut ? 1.2.4 Bagaimann aksioma-aksioma tentang titik,garis, dan relasi ?

1.3

Tujuan

1.3.1 Untuk mengetahui definisi titik, garis, relasi, ruas garis, sinar, sudut, ukuran ruas garis, titik tengah, ukuran sudut. 1.3.2 Untuk mengetahui definisi kunkruensi dari ruas garis dan konkruensi sudut. 1.3.3 Untuk mengetahui cara mengoprasikan segman dan sudut. 1.3.4 Untuk mengetahui aksioma-aksioma tentang titik, garis, dan relasi.

BAB III PENUTUP 3.1

Kesimpulan

3.1.1 Setiap garis memuat tak berhinga banyak titik. 3.1.2 Jika A dan B titik-titik maka selalu ada titik ketiga C sehingga A-C-B. berdasarkan definisi konkruensi segmen, konkruensi sudut dan sifat rerleksif, simetri, dan transitif kesamaan bilangan real diturunkan teorema sebagai berikut: a. b. c. Jika

maka

d. Jika e. Jika

maka

maka

f. Jika

3.2

Saran

3.2.1 Mahasiswa harus lebih memahami materi mengenai aksioma titik, garis, dan relasi. 3.2.3 Mahasiswa dapat mencari referensi lain sehingga dapat mengembangkan pemahaman tentang aksioma titik, garis, dan relasi.

DAFTAR PUSTAKA

Elfira Yuliani. Refi. Diktat Geometri Euclid : FKIP Universitas Muhammadiyah Palembang

GEOMETRI EUCLID KONSEP DASAR GEOMETRI EUCLID

DISUSUN OLEH kelompok 1: 1.WENNY GUSTIANA

(332011046)

2. NURAINI

(332011047)

3 EKA SAPUTRI

(332011048)

4. HATIKA

(332011051)

PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PALEMBANG 2012