Geometria Plana 4q6g4m

L

Cuadrilátero

C θº

x = αº + θº + βº

IV. Propiedades generales: αº

1. Suma de Ángulos Internos

βº xº

B

2. Propiedad Mariposa

θº

αº + θº + ωº = 180º θº

x αº

x + y = αº + θº

ωº

A

y

C

αº

2. Suma de Ángulos Externos 3. Propiedad Pescadito

e2

e1 + e2 + e3

= 360º

αº

e3

x + y = αº + θº

xº

e1

yº

θº

3. Calculo de un ángulo externo:

PROBLEMAS RESUELTOS

yº

xº = αº + θº

θº

1. En la figura calcular el valor de “θ”:

αº

ωº

θ

yº = αº + ωº

xº

θ 4. Desigualdad Triangular

120º Solución: A la figura se le realiza el trazo:

b

a

-13c

θ

Prof. Marleni Quiroz Chevez

Geometría Propiedad del ángulo exterior

θ

120º = θ + 2θ 3θ = 120º Θ = 40º

a) b) c) d) e)

θ 120º

2θ

θ

2. La medida de los ángulos interiores de un triángulo, son proporcionales a los números 2, 3 y 5. Encontrar la diferencia entre el mayor y el menor de dichos ángulos. Solución: 5φ 5.

2φ + 3φ + 5φ = 180º 10φ = 180º Φ = 18º

2φ

Hallar: “x” a) b) c) d) e)

3φ

5φ = 5(18º) = 90º 2φ = 2(18º) = 36º 54º

10º 20º 30º 25º 15º

50º

18º 40º 28º 38º 15º

x 68º

Práctica Prácticadirigida dirigidaNº Nº04 04 1. Hallar “x” 80º

a) b) c) d) e)

2.

2α

2θ

α

θ

6.

En un triángulo escaleno de lados enteros, 2 lados miden 2 y 3. Hallar el tercer lado. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

7.

Hallar los valores pares de “x”

xº

Hallar “x” ; a + b = 200º a) b) c) d) e)

3.

10º 20º 30º 40º 50º

a

b

x

a) b) c) d) e)

4y6 4 y8 2y4 6, 7 y 8 6y8

2

7

x

Hallar “x” a) b) c) d) e)

4.

50º 100º 160º 120º 130º

9x

10º 15º 20º 25º 30º

8. 7x

4x

a) b) c) d) e)

Hallar “x” :

-14-

αº αº 30º

5x

7x

50º

Hallar “x” 80º 20º 100º 120º 110º

20º

x


Geometría c) 31 d) 29 e) 28 9.

Hallar “x” ; ∆ABC es equilátero. a) b) c) d) e)

B

60º 70º 80º 90º 100º

14. a) b) c) d) e)

140º

x A

Hallar “x”

C

15. 10.


60º 65º 70º 75º 80º

100º x

60º


80º

40º 50º 60º 70º 80º

2x

30º 32º 36º 45º 37º

x

xº

Tarea TareaNº Nº04 04 1. Hallar “x” 11.

a) b) c) d) e)

Hallar “x” α

a) b) c) d) e)

12.

50º 60º 70º 80º 90º

x

α

θ+40º

120º 60º 240º 80º 125º

x

80º

20º

αº αº

30º

2. Hallar (x + y)

θ

a) b) c) d) e)

Hallar (a + b) ; si ∆ABC es equilátero. a) b) c) d) e)

50º 60º 70º 40º 30º

a

3.

b C

A

x

y

30º

Hallar : θ a) b) c) d) e)

B

200º 210º 220º 230º 240º

3θ

20º 30º 40º 50º 60º

θ 4θ

13.

Hallar el mayor valor entero del perímetro del ∆ equilátero ABC.

4.

C

a) 32 b) 30

Hallar “θ” a) 50º b) 80º

B

80º

5

-15-

6 D

A

3θº

Prof. Marleni Quiroz 2θº Chevez βº

βº

50º

Geometría c) 30º d) 40º e) 60º

............................................................ ............................................................ ............................................................ B

5. Hallar “x” a) b) c) d) e)

35 65 145 90 70

A

x

B

B D : C e v ia n a

C

D

A

C

In t e rio r

II. MEDIANA ............................................................ ............................................................ ............................................................

35º

6. Hallar el perímetro de un triángulo de lados enteros, si 2 lados miden 6 y 1. a) 6 d) 13

b) 7 e) 15

D

E x t e rio r

B

c) 12

B M : M e d ia n a

7. Hallar la suma de valores enteros de “x” a) b) c) d) e)

10 11 12 5 4

A 4

2

III. BISECTRIZ ............................................................ ............................................................ ............................................................

8. Hallar (x + y) a) b) c) d) e)

70º 110º 40º 150º 160º

B

B F : B is e c t r iz

A x

C

F

A

In t e rio r

y

C E x t e rio r

IV. ALTURA ............................................................ ............................................................

B

60º 30º 20º 40º 50º

B

B

B H : A lt u r a

x 3x C

A

C

H A c u tá n g u lo

H

A F O b t u s á n g u lo

B

10. Hallar “x” 70º 71º 72º 73º 74º

β β

α α

A

a) b) c) d) e)

B

70º

9. Hallar “x” , ∆ABC es equilátero. a) b) c) d) e)

C

M

68º

C

A R e c tá n g u lo

xº

TRIÁNGULOS IIII TRIÁNGULOS V. MEDIATRIZ ............................................................

I. CEVIANA

-16-


F

Geometría ............................................................................ ............................................................................ B

L1

A L1

Solución: Si BH es altura, entonces 2α + 60º = 90º 2α = 30º α = 15º Luego: α + θ = 90º θ = 90º - 15º = 75º

C

P : M e d ia t r iz d e A C

VI. CASO ESPECIAL Solo en 2 triángulos; la mediana, bisectriz, altura y mediatriz coinciden en la misma posición.

Práctica Prácticadirigida dirigidaNº Nº05 05 1. Calcular «x»; si es bisectriz interior.

A lt u r a B is e c t r iz M e d ia n a M e d ia t r iz

a) 90

B

b) 100

80 F

c) 110

x

d) 120 EQ U ILÁ TERO

IS Ó S CELES

40

A

e) 130

C

PROBLEMAS RESUELTOS 2. Calcular «x»; si BF es bisectriz interior.

1. Calcular el lado AC, si la recta es mediatriz de B

B

a) 30

L

b) 15 c) 20 A

C 4x - 10

2x + 20

Solución: Por ser mediatriz, se cumple que: 4x – 10 = 2x + 20 2x = 30 x = 15

d) 40

110

e) 10

A

a) 1 c) 3 d) 4

2. En la figura calcular el valor de θ, si BH es B altura.

A

H

C

EC

b)

2

e) 5

60

-172α

α

80

3. En un triángulo ABC, se trazan sus medianas AE y BD. Calcular AC + BE :

DC

θ

F

C


Geometría

4. Calcular el lado AC, si la recta es mediatriz de B

a) 15

9. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), se traza la bisectriz interior AR, que resulta ser igual a RB. Calcular el ángulo ABC. a) 40 b) 36 c) 42 d) 60 e) 54

L

b) 16 c) 14 d) 10 e) 12

A

C x + 1

16 - 2 x

10. En un triángulo ABC, se traza la altura BH y la bisectriz BD, formando un ángulo de 20º. Si A = 60º. Calcular el ángulo C. a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 15

5. Si BH es altura. Calcular «x» B

a) 10

55

x

b) 15 c) 20 d) 25 e) 35

2α A

α H

C

6. En el triángulo ABC, se traza la AM mediana y en el triángulo ABM se traza la mediana AN ; si BC = 8. Calcular MN. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

11.Dado un triángulo acutángulo ABC, se traza la altura AH que intersecta a la bisectriz interior BD en «P»; si BAH = 20º. Calcular el ángulo APD. a) 35 b) 45 c) 50 d) 55 e) 60

7. En un triángulo ABC se traza la altura , BH tal que la m
12. En la figura, calcular «x». Si BH es altura y BF es bisectriz. 8. En un triángulo ABC, A = 70º y c = 30º se traza la bisectriz BD interior («D» en AC) Si: AB = 6. Calcular «BD». a) 3 b) 6 c) 8 d) 9 e) 12

B

a) 15 x

b) 20 c) 25 d) 30 e) 35

-18-

30 A

H

F

C


Geometría

13. Encontrar «x», si : φ - θ = 50º. BF es bisectriz.

Tarea TareaNº Nº05 05

B

a) 60

1. Calcular «x» , si BD es bisectriz del ángulo ABC.

b) 85 c) 80 d) 70 e) 65

B

a) 100 x

φ A

θ

b) 105

C

F

c) 110 75

c) 115 e) 75

B

Q

a) 4

α

b) 5

I α

b) 4 c) 5 d) 6

α

A

x

P

C

B

a) 3

H

c) 12 e) 8

45 D

2. Si BM es mediana del triángulo ABC. Calcular «x»

14.Calcular «x»; BH = 2

d) 6

x

A

C

6

A

e) 7

C x + 1

M

16 - 2 x

3. Si : BP es altura, calcular ABC.

BAC B

a) 8 b) 15

25

c) 10 d) 5 15. En la figura la mediatriz de AC y la bisectriz exterior del ángulo B se intersectan en el punto «P». Calcular el ángulo BPM, si «M» es punto medio de .AC B a) 100

PR QN + MR NR a) 1,5

d) 110 80

30

C

4. En un triángulo PQR se trazan las medianas QM y PN . Calcular :

c) 125

A

55

P

e) 0

b) 105

e) 65

A

C

b) c) 4 e) 3

d) 2

5. Calcular el ángulo A, si bisectriz de ABC.

2,5

BF

es

B

a) 45

-19-

8

Prof. Marleni Quiroz Chevez A

4β

5β F

C

Geometría b) 80 c) 90 d) 75 e) 60 6. En el triángulo ABC, la bisectriz exterior del ángulo «C» es paralelo al lado AB , luego el triángulo ABC es: a) Obtusángulo b) Rectángulo c) Isósceles d) Escaleno e) Rectángulo 7. Si: A - C=40 y BP Calcular θ

TRIÁNGULOS TRIÁNGULOSIIIIII

es bisectriz interior. I. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS: B

a) 65

•

Primer Caso (L.A.L)

b) 60 c) 75 d) 70 e) 50

≅

θ

P

A

C

8. En un triángulo ABC se traza la altura BH y la mediana BM tal que: AH = 3 y HM = 4. Calcular : AC. a) 10 d) 14

b) 12 e) 13

•

Segundo Caso (A.L.A) ≅

c) 15

α º

9. En un triángulo ABC se traza la altura. BH Calcular «AC» si C = 2ABH = 20º y BC = 6 a) 12 d) 5

b) 3 e) 6

θ º

θ º

•

c) 2,5

θ º

b) 2 e) 5

θ º

Tercer Caso (L.L.L)

≅

10.En un triángulo rectángulo ABC, se trazan la altura BH y la bisectriz interior AE que se intersectan en «P»; si BH = 10 y BE = 8. Calcular «PH». a) 1 d) 4

α º

•

c) 3

Cuarto Caso (A.L.LM)

θ º

•

≅

θ º

Observación:

Al establecer la congruencia entre 2 triángulos por alguno de los casos mencionados se cumple que: “A lados de medidas iguales se oponen ángulos de medidas iguales” o que: “a

-20-


Geometría ángulos de medidas iguales se oponen lados de medidas iguales”.

En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de dicha hipotenusa.

II. PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ: Todo punto perteneciente a la bisectriz de un ángulo, equidista de los lados de dicho ángulo.

B

F

OF = ON O

αº

BM =

E

a

EF = EN

αº

A

a

C

a

M

N

PROBLEMAS RESUELTOS III. PROPIEDAD DE LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO:

1. Calcular “x”, en :

x2 +1

Todo punto perteneciente a la recta mediatriz de un segmento equidista de los extremos de dicho segmento. Si : L es mediatriz de Se cumple :

AB

10 β

β

Solución: Los triángulos son congruentes por el caso LAL, por lo tanto:

.L D

2

x + 1 = 10

DA = DB

2

x =9 x=3 A

M

2. Hallar BE, si AE = DC, BD = 9 B

B

9 IV. PROPIEDAD DE LA BASE MEDIA:

A θ

Llamado también teorema de los puntos medios; si por el punto medio de un lado se traza una paralela a otro de sus lados ésta cortará al tercer lado en su respectivo punto medio y además el segmento determinado es igual a la mitad de la longitud del lado al cual es paralelo. Si : L // AC y “M” es B punto medio de AB .Se cumple : M

N

C

E

θ

C

x=9

Práctica Prácticadirigida dirigidaNº Nº06 06 1.

MN = A

D

Observando la figura, tenemos que: ΔABE ≅ ΔBCD, por el caso LAL

BN = NC

L

x

AC

Hallar “α” y decir por que: 20º

a) 10º

2

b) 20º c) 30º

V. PROPIEDADES DE LA MEDIANA EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

d) 40º

-21-

θ θ

Prof. Marleni Quiroz Chevez αº

Geometría e) 5º

≅

2. Hallar “x”; ∆ABE y ∆BDE son equiláteros. D

B

a) 10º

a) 8º 15º

b)9º

c)10º

d) 12º

e)

b) 20º

2

c) 30º d) 40º

7. Hallar “x”

E

e) 5º

40º

a) b) c) d) e)

x

A

C

1 2 3 4 5

x+1

α

6 α

3. Hallar “x” 2+3x

θ

8. Hallar “x” :

6-x

α

a) 1

θ

b) 2

c) 3

a) b) c) d) e)

α

d) 4

e) 5

10º 20º 30º 40º 50º

xº

a a 40º

80º

b

a+b

4. Hallar: “AB”; ED = 6m. a) b) c) d) e)

B

2m 4m 6m 8m 12m

a) b) c) d) e)

80º 80º E 10º

40º D

A

5.

9. Hallar : PQ; AB = 7 y AH = 4

C

4 7 3 6 2

B P

Q α A

α

C

H

Hallar: “α”

≅

θ 3α

a) 9º

b) 12º

c) 15º

10. Hallar : AB;

51º

a) b) c) d) e)

48º

d) 17º

e) 21º

MC = 10 B

5 10 20 15 2

M

3θ

θ A

6.

Hallar : “α” 11. Calcular “x” 6θ

4θ

-222θ

6α


C

Geometría

a) b) c) d) e)

20º 60º 40º 30º 90º

a

x a

a

Tarea TareaNº Nº06 06 1. Hallar “x” a) b) c) d) e)

12. Hallar “x” a) b) c) d) e)

1 2 3 4 0

2x + 8

60º 30º 90 40º 80º

x

θ

30º

2θ

3θ

16

13. Hallar “a” ; a + b = 21 a) b) c) d) e)

2. Hallar : “x” ; ∆ABC es equilátero; AE = DC B

7 14 21 42 5

a) b) c) d) e)

a b

14. Hallar (a + b); si la mediana a) b) c) d) e)

BM

A

E

x

A

C

D

mide 30. 3. Hallar “x” :

B

10 6 16 15 36

30º 45º 53º 37º 60º

3a

M

a) b) c) d) e)

C

5b

3 4 5 6 7

a

β

β

a

θ

θ x+4

2x - 3

4. Hallar “x” 15. Si :

BM

a) b) c) d) e)

es mediana. Hallar “x” B x

5. 68º A

a) 68º

b) 34º

c)17º

d)32º

e) 22º

a x

4θ 3θ

c

c

a

5θ

B

40º 80º 100º 90º

40º A

-23-

b

b

Hallar : “θ”; si : BC = BD a) b) c) d)

C

M

15º 45º 60º 75º 80º

E

θº

Prof. Marleni Quiroz Chevez D

C

Geometría e) 60º

6. Hallar: “AC” ; si : AD = 3 a) b) c) d) e)

B

1 2 3 4 6

a) 13

2θ

d) 16

D θ

θ C

7. Hallar : AB 6 9 15 14 20

14

5θ

A

a) b) c) d) e)

b) c) 15 e) 17

x

A

B

6 9

8. Calcular “x” a) b) c) d) e)

3 5 10 7 4

x

3 α α 7

9. Calcular QT, si

a) 10 d) 5,5 10. Encontrar PB, si = 17

≅

, PT ≅ SR, QS = 11

b) 11 e) 6 ≅

c) 12

,

≅

,

-24-


Geometría Diagonales: POLÍGONOS POLÍGONOS

¿QUÉ ES UN POLÍGONO?

Es una figura geométrica cerrada, que se forma al unir consecutivamente tres o más B C puntos no colineales.

CLASIFICACIÓN I. Por la región que limitan: -

A

D

F

AC, CE,...

Polígono Convexo: cuyos ángulos interiores son menores de 180º.

D

C

E

E

B ELEMENTOS

F

A -

 Vértices: A, B, C, D, E, F  Lados : AB, BC, CD,....., FA

G

Polígono No convexo: cuando uno o más ángulos son mayores de 180º.

D B

NOTACIÓN

F

C

Polígono ABCDEF

E

A ÁNGULOS DETERMINADOS Z

B y

β

II. Por la medida de sus elementos: -

C θ

Polígono Equiángulo: Cuando los ángulos interiores y exteriores son de la misma medida.

W ∅

α

A x

γ

x θ

x V θ

 

θ

Ángulos interiores: α, β, θ, ∅, γ Ángulos exteriores: x, y, z, w, v

x θ

x

x

LÍNEA ASOCIADA

C

B

-

D A

Polígono Equilátero: Cuando los lados tienen igual longitud. B

E

A

C

Q

S R


-25E

D

P

T

Geometría - Polígono de 11 lados: ___________________ Convexo -

- Polígono de 12 lados:

Cóncavo

___________________

Polígono Regular: Cuando los ángulos y lados tienen la misma medida.

- Polígono de 15 lados: ___________________

C


θ B

___________________

θ

θ α

D


O

θ A

___________________ - Polígono de 18 lados:

θ E

___________________

Donde: “O” es el centro del polígono.

- Polígono de 19 lados: ___________________

NOTA:


Solo los polígonos que son regulares tienen ángulo central.

___________________ PROPIEDADES

Ángulo central: ∡ AOB OA = OB

I. Relación ángulo:

de

lados,

vértices,

Nº vértices = Nº lados ángulos = n

III. Por la cantidad de lados:

= Nº

- Polígono de 3 lados: II. Suma de medidas de los ángulos interiores (Si):


Si = 180 (n - 2)


n = numero de lados

___________________

Ejemplo:


Para Polígonos Convexos y Concavo

Calcular la suma de ángulos internos de un octógono. Sol: Octógeno tiene 8 lados  n = 8.

___________________ - Polígono de 7 lados: ___________________

Luego:


Si = 180 (n - 2) = 180 (8 - 2) = 180 x 6 Si = 1080º

___________________ - Polígono de 9 lados: ___________________ - Polígono de 10 lados:

III. Suma de medidas de los ángulos exteriores (Se):

___________________

-26-

Para Prof. Marleni Quiroz Chevez Convexo

Geometría Se = 360º

∡

e

IV. Medida de un ángulo interior en polígonos equiángulos (∡i):

∡i

∡i = 180 (n - 2) n n = numero de lados Ejemplo:

Práctica Prácticadirigida dirigidaNº Nº07 07

Si el polígono es equiángulo, calcular “θ” Sol: θ=

θ θ=

n − 2)

180 ( n

1. La suma de los ángulos interiores de un dodecágono es: a) 1900 b) 1800 c) 1950 d) 1960 e) 2000

180 (n − 2) n

⇒ θ = 108º

n=5 2. La suma de los ángulos exteriores de un dodecágono es: a) 270 b) 360 c) 230 d) 200 e) 300

V. Medida de un ángulo exterior en polígonos equiángulos (∡e): ∡e = 360 n

NOTA: Solo en polígono regular Ángulo central = ángulo exterior

3. Si un ángulo interior es 108º ¿Cuánto mide el ángulo exterior del polígono? a) 72 b) 108 c) 180 d) 36 e) 18

∡c =∡e

Ejemplo: Si el polígono es regular, calcular “θ”

θ

Sol.: Como ∡c = ∡e θ = 360º ; pero n = 5 n θ = 360º = 72º 5

4. ¿Cómo se llama el polígono cuya suma de ángulos interiores es 720? a) Pentágono b) Hexágono c) Octógono d) Heptágono e) Nonágono

VI. Suma de un ángulo interior y un ángulo exterior:

∡i + ∡e = 180º -27-


Geometría

5. Si tiene un hexágono equiángulo, el ángulo exterior mide: a) 120 b) 60 c) 90 d) 45 e) 75 11.Calcular “x”, si los polígonos son regulares: a) 90 b) 120 c) 150 d) 130 e) 160

6. Calcular el ángulo externo de un polígono regular: a) 90 b) 120 c) 132 d) 108 e) 135

7. Calcular la suma de ángulos interiores de un polígono de 8 vértices: a) 1080 b) 900 c) 1260 d) 1440 e) 720

x

12.Calcular “x”: 3x

a) 27 b) 45 c) 54 d) 36 e) 63

2x 2x

2x

8. Si el ángulo interior es el quíntuplo del ángulo exterior de un polígono regular. ¿Cuánto mide la diferencia de los ángulos? a) 120 b) 30 c) 60 d) 150 e) 90 13.Calcular “x”, si el polígono es regular. a) 10 b) 108 c) 9 d) 12 e) 30

9. En un polígono regular de 9 vértices. ¿Cuánto mide uno de sus ángulos externos? a) 50 b) 60 c) 20 d) 40 e) 30

14.Calcular el perímetro del hexágono regular ABCDEF. D C x x a) 6 b) 12 E B c) 36 x x d) 18 e) 72 6 A F x x

10. Calcular “θ”; si el polígono es equiángulo: a) 135 b) 45 c) 120 d) 90 e) 108

x

θ

-28-


Geometría 5. Si el ángulo central de un polígono es 18º. ¿Cuánto mide su ángulo interior? 15. Calcular “AE”, si ABCM y CDEM son rombos. a) 3 b) 1,5 c) 2 3 d) e) 3

3 2

3

a) 162 c) 72 d) 152

C

A x A x

M x

b) 36 e) 18

6. Calcular “θ”, si el polígono es regular. θ

D

a) 30 b) 60 c) 45 d) 90 e) 75

E

7. Calcular “x”: a) 40 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

Tarea TareaNº Nº07 07 1. La suma de los ángulos interiores de un icoságono: a) 3240 d) 3600

b) 3800 e) 1800

b) 58 e) 122

4x 2x

8. Calcular “x”, si los polígonos son regulares:

c) 4000

2. Si el ángulo interior de un polígono es 132º ¿Cuánto mide su ángulo exterior? a) 132 d) 48

3x

x

a) 15 b) 24 c) 30 d) 26 e) 17

c) 68

3. Si el ángulo interior de un polígono equiángulo es 135º ¿Cómo se llama el polígono?

9. Calcular “x”, si el polígono es regular.

a) Octógono b) Decágono c) Hexágono d) Nonágono e) Heptágono

x

a) 36 b) 18 c) 54 d) 72 e) 25

4. Calcular “x”, si el polígono es regular: a) 36 x b) 18 c) 54 3 0 d) 7 6 e) 45

10.Calcular “x”, si los polígonos son regulares: a) 70 b) 75 c) 65 d) 60

-29-

x


Geometría e) 80

-30-


Geometría

CUADRILÁTEROS CUADRILÁTEROSI I I. DEFINICIÓN

Ejemplo: Calcular : a + b

Es aquel cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos e iguales. B

a

C

5 4 b

2

A

D

Si: AB // CD

∧

∧

∧

∧

A =C

BC // AD

∧

∧

∧

2

2

Por Pitágoras: b = 5 - 4 b=3 Luego: como todos los lados del rombo miden igual, entonces: a = 5 Finalmente: a + b = 5 + 3 = 8

B =D

3. Rectángulo: Es aquel romboide que tiene sus ángulos igual a 90º y las diagonales son iguales.

A +B = 180

II. CLASIFICACIÓN

C

B

1. Romboide: Es aquel paralelogramo cuyas diagonales se cortan en su punto medio. B

M

c D

A

AM = BM = CM ACDM = BD

AM = MC BM = MD

M A

D

Ejemplo: Calcular “x”

Ejemplo

x+2

Calcular: y − x, si es romboide.

x

40

y–x=6–4=2

y

20

x x = 40

x + 2 = 20 x = 18

4

6

4. Cuadrado: Es aquel romboide que tiene sus lados y ángulos de C B igual medida.

2. Rombo: Es aquel romboide que tiene los cuatro lados iguales, y las diagonales son perpendiculares.

O

B 45º

A A

C

AB

D

BD Ejemplo: Calcular “x”, si BD = 6 C

B

D

-31-


x

D

Geometría

Por ser triángulo rectángulo: 5. Calcular “x”

6

x

x +x =6 2

2

2

a) 100 b) 50 c) 25 d) 40 e) 80

x =3 2 x


100 x

1. Calcular “x”; si ABCD es romboide. B

a) 18 b) 72 c) 36 d)9 e) 108

C

6. Calcular OC.

2x

A

36

a) 15 b) 16 c) 75 d) 8 e) 4

D

C

B

9 O A

D

12

2. Calcular “x”; si ABCD es romboide. B

a) 11 b) 12 c) 22 d) 6 e) 24

C

7. Calcular m∢PDB, si ABCD es un cuadrado. B C

17 2x−5 A

D

P

53º

a) 45 b) 60 c) 75 d) 82 e) 90

A

D

3. Calcular “x”; si ABCD es un rombo B

a) 24 b) 48 c) 76 d) 66 e) 12

24 x

A

8. Calcular “x”

C

D

a) 6

2

b) 8

2

c) 6

3

d) 8

3

10 53

x

e) 8

4. Calcular el perímetro del rombo ABCD. B

a) 68 b) 92 c) 34 d) 46 e) 17

15 A

9. Calcular “x”; ABCD es un romboide. 8

D

C

a) 7 b) 10 c) 14

-32-

x

B

7

C α

α

β β


P

D

Geometría d) 21 e) 15

d) 7 e) 3

10. Calcular “x”, si ABCD es un romboide. 12

B

a) 7 b) 19 c) 5 d) 6 e) 8

α

7

15. Calcular el perímetro del rombo ABCD; si : AC = 12 y BD = 16 B

C

α

A

a) 28 b) 56 c) 20 d) 40 e) 80

D

x

A

C

D

11. Calcular “x”


a) 20 b) 25 c) 50 d) 40 e) 30

1. Calcular “x”

x

50

x

a) 132 b) 48 c) 24 d) 66 e) 96

48

12. Calcular “x”, si ABCD es un romboide. a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e) 18

B

2. Calcular “x”, so ABCD es un romboide.

C 2x

7x

A

B

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

D

C 12−a

2x−3

a+1

a

D

A 3. Si ABCD es un rombo; calcular A.


M

B

a) 2 b) 4 c) 3 d) 6 e) 5

B

C

a) 6 b) 5 c) 8 d) 10 e) 15

2

45

A

D

4. Calcular “x”, si ABCD es romboide. a) 10 b) 20 c) 30 d) 45 e) 40

14. Calcular “x”; si ABCD es un cuadrado. 6

B

x

A

10 C

A

D

x

a) 4 b) 5 c) 6

60

C

37

-33D

70 x


10

Geometría 5. Calcular “x” a) 74 b) 60 c) 30 d) 37 e) 75

74º x

6. Si ABCD es un rombo, calcular “x” B

a) 4 b) 2 c) 6 d) 8 e) 5

10 A

C

37

x D

7. Calcular “x” a) 18 b) 15 c) 20 d) 12 e) 24

2x

x

8. Calcular “x”, si ABCD es romboide. 15

B

a) 9 b) 7 c) 5 d) 3 e) 4

6

β β

C

α

β

α

D

A

x

9. Calcular el perímetro del rombo ABCD B

a) 20 b) 10 c) 30 d) 40 e) 48

6 A

8

D

10. Calcular “x” a) 24 b) 12 c) 4 d) 2 e) 10

C

4

6

x

14

-34-


Geometría

CUADRILÁTEROS CUADRILÁTEROSIIII TRAPECIO: Es aquel cuadrilátero que tiene sólo un par de lados paralelos.

Ejemplos:  Calcular “x”

I. PROPIEDAD DE LA BASE MEDIA

7

En todo trapecio la base media o mediana es igual a la semisuma de las bases. a

B

x =1

C x x= 9

x

 Calcular “x” A

D

b

2

Ejemplos:

x =6

 Calcular la mediana del trapecio. 2 6 x x

x = 11

eda

NOTA

16

 Calcular “x” x

En todo trapecio se cumple: x=4 10

m

n

m=n

16

II. PROPIEDAD DEL SEGMENTO QUE UNE LOS PUNTOS MEDIOS DE LAS DIAGONALES:

Ejemplo: Calcular “x”

En todo trapecio dicho segmento es igual a a la semidiferencia de las bases. x= N

M

b

b −a 2

-35-


Geometría 4. Calcular “x” x+3

7

x+3=7

a+5

a) 22 b) 11 c) 11 + 2a d) 12 e) 6

x=4

x

17 − a

Práctica Prácticadirigida dirigidaNº Nº09 09 5. Calcular “x” 1. Calcular “x”

a) 12 b) 6 c) 3 d) 24 e) 18

16

a) 36 b) 18 c) 9 d) 4 e) 2

x

b α

x α b + 12

20

6. Las bases de un trapecio miden x + 1 y 2x + 7; si la mediana es 7. Calcular “x” a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Calcular “x” 6

a) 16 b) 14 c) 18 d) 20 e) 15

7. Calcular “x” a) 11 b) 5,5 c) 6,5 5 d) 5 e) 9

4 x

x

2

7

3. Calcular “x” a) 8 b) 16 c) 4 d) 2 e) 1

8. Calcular “x” 5

x

6

X+3

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

α x

α 8

12

-36-


Geometría 13. Calcular “x”, si : AM = MB a) 12 b) 24 c) 6 d) 3 e) 20

9. Calcular la mediana del trapecio AMNC a) 8 b) 9 c) 6 d) 10 e) 7

N

M

14 x B A

M 8

A

C

12

C

10. Calcular la mediana del trapecio. a) 11 b) 22 c) 5,5 d) 10 e) 5

D

14. Calcular la mediana. a) 8 b) 16 c) 12 d) 10 e) 14

3

16


6

37º

15. Calcular la mediana

6

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

4

8

C

B

a) 8 b) 14 c) 2 d) 3 e) 12

α

α

8

D

A 8

x


12. Calcular “x” a) 12 b)10 c) 14 d) 8 e) 16

6

1. Calcular “x” α

x+2

B

a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 5

α x

C

8

A

D

20

2. Calcular “x”; PQ // AD B

a) 8 b) 6

-37-

C

Q Prof. MarleniPQuiroz Chevez B

x

α A

16

D

Geometría c) 12 d) 10 e) 9

e) 6

8.

3. Calcular “x”; BC // AD

x

B

a) 2 b) 2

3

c) 4

3

C

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

/3

d) 4 e) 8

Calcular “x”

60

45

x

4

12

D

A

4. Calcular “x” a) 53 b) 143 c) 127 d) 133 e) 153

x

9.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1

37º

8

5. Calcular “x”

Calcular “x”

6 β

α 5

β

α

7

16

a) 10 b) 9 c) 10,5 d) 9,5 e) 8,5

10. Si la mediana de un trapecio es 9m y la base mayores 16. Calcular la base menor.

x

a) 1 c) 3 d) 4

11

b) 2 e) 5

6. Calcular “x” , a + b = 24 x

a) 4 b) 6 c) 5 d) 2 e) 3

a

b

20

7.

Calcular “x”, si MN = 11 C

B

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

M

N

x A

D

-38-


Geometría

•

Cuerda

:

MN

•

Diámetro

:

AB

•

Arco

:

MN

•

Flecha ó sagita

:

•

Recta tangente

:

•

Recta secante :

L2

•

Punto de tangencia :

PQ

L1 “R”

CIRCUNFERENCIA CIRCUNFERENCIAI I I. INTRODUCCIÓN El hombre en su interacción con la naturaleza, descubrió la rueda. Los egipcios apoyados en sus terrenos eran llanos, desplazaban las rocas para sus construcciones usando tronco de árboles mediante la rodadura. La rueda en la actualidad sabemos que es un objeto muy importante para el transporte terrestre. De ahí la importancia del estudio de la circunferencia cuyas propiedades servirá para estudiar otras figuras.

MEDIDA ANGULAR DE UNA CIRCUNFERENCIA

II. DEFINICIÓN Es una figura curva cerrada que tiene un centro que equidista de cada extremo de ella (igual distancia).

Circunferen cia

Semi Circunferen cia

Cuadran te

360º

180º

90º

IV. LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA

R R R

O

•

2πR

R

Elementos :

O

Centro : “O”

•

Radio : “r” Q M A III. LINEAS ASOCIADAS A LA P CIRCUNFERENCIA

LC

=

π

=

π

≈

3.1416 L1

N

O

R B

L2

R

22/7

-39-


Geometría Ejemplo : Si el radio mide 14 cm. Calcular la longitud de la circunferencia (π = 22/7) Sol. : LC = 2πR LC = 2 •

22 • 14 7

⇒

Si : A y B son puntos de tangencia AP = BP También se cumple: α = β A

LC = 88cm.

V. PROPIEDADES FUNDAMENTALES •

α β

O

TEOREMA 1

P

B

Todo radio que llega al punto de tangencia es perpendicular con la recta tangente.

Ejemplos : Calcular “x” 90º

L1

P

O

2x Si : L1 tangente o L1 OP

70

•

20º 20

24

2x = 24 = 90º x = 12 = 70º

Ejemplo : Calcular “X”

x

x

es

Como la tangente es perpendicular al radio, entonces: 70º + x = 90º x = 20º

•

x + 20º x

TEOREMA 3 Todo diámetro perpendicular a una cuerda biseca a dicha cuerda. M

TEOREMA 2

B

Si

P

Si se trazan dos rectas tangentes de un punto exterior a la misma circunferencia, los segmentos que se determinan tienen la misma medida.

AB

N

MN

PM PN BM BN

A

A

P

:

= =

Ejemplos : Calcular “x” A

B

-40-

4 Prof. Marleni Quiroz Chevez40 x

O

x O

B

Geometría

x = 4+4 x = 8 •

x = 50º AB = CD

TEOREMA 4 POSICIÓN RELATIVA DE DOS CIRCUNFERENCIAS

Dos cuerdas paralelas determinan arcos de igual medida angular. • A

TANGENTES EXTERIORES

B Si : AB//MN AM ≅ BN

M

N

r

r

R

O2

O1

Ejemplos : Calcular “x” ; AB//CD

d d = R + r

x A 60 º C

A

B

40

B 2x

TANGENTES INTERIORES

C

O

D R

D 2x = 60º x = 30º

40º + 40º + x = 180º x = 100º

r O1 O2 d

d = R – r CASOS ESPECIALES •

CONCÉNTRICAS

A B r O

R

C

D AB = CD

• A

P

C

-41D

ORTOGONALES

B

O

Prof.OMarleni Quiroz2 Chevez 1

d

Geometría a) 40 b) 140 c) 70 d) 35 e) 80 Si “P” punto de tangencia : d2 = R 2 + r 2

5.

Calcular “OP”, si AB = 8 y r = 5 a) 3

A

b) 4


r

c) 5 d) 2

1.

Calcular : “x” a) b) c) d) e)

P

O

e) 1 B

121 131 111 62 141

6.

x

31

Calcular “BC”, si AB = 12 y r = 8 a) 10

O

B C

A

b) 6 c) 4 r

O

d) 2 e) 1 2.

Calcular : “x”

7

a) 4 7.

b) 7

Calcular : “x” A

c) 3

x

d) 10 e) 5

50

3

P

x B b) 50

a) 60 c) 55 d) 65 3.

60

a) 160 b) 140

B

A

c) 120

8.

e) 80

C

Calcular : “x” a) 65

70

d) 180

130

b) 25

D

c) 35

O

x

d) 75

x

e) 55

x 4.

e) 70

Calcular “x”, AB // CD

Calcular : “x”

9.

-42-

O 40

Calcular : “x”


Geometría a) 5 5

b) 6 c) 7

4

b) 13

12

O

d) 4

B

a) 26

x

d) 6,5

e) 8,5

3

e) 39 A

10. Calcular “x”; BM = 14

a) 12

N

M

c) 52

A

B

x

C

b) 17


c) 10 d) 5

C

6

P

M P

1.

Calcular : “x”

e) 19 a) 50

24

14 0 O

b) 40 11. Calcular “EF”; AB = 12

A

a) 6

c) 30 E

d) 60

B

e) 70

b) 10 2.

c) 12 d) 8

Calcular : “x”

8

a) 8

e) 9

b) 6

D

F

C

c) 7

12. Calcular : “BP”

15

d) 5 e) 4

a) 6 c) 10

8

d) 12

3.

2 A


B

b) 80

e) 4

c) 100

4.

a) 20

c) 5

b) 30

d) 3

c) 40 x

x D

12 0 160

O

d) 50

C

e) 10

14. Calcular : “x” 5.

a) 6

x

Si : r = 7 , OP = 8. Calcular AB A

a) 15

x

6

c) 8

b) 7,5 c) 30

d) 3 e) 5

B

Calcular: “x”

b) 6

A

A

e) 70

B

a) 4

80

C

d) 90

13. Calcular “x”, AB = 9 , BC = 7 , AC = 8

b) 8

x

P

b) 8

e) 5

x

d) 16

9

e) 8

15. Calcular el perímetro del triángulo ABC.

-43-

O

P

r B


Geometría 6.

Es cuando los vértices de la figura coinciden con la circunferencia.

Calcular AB, si BC = 3 , r = 8 a) 5 b) 10

B C

A

c) 6

r

d) 7 e) 9 7.

Calcular : “x” A

a) 40 b) 70

Triángulo Cuadrilátero Inscrito Inscrito

P

x

c) 50 d) 60

110

B

e) 80 8.

Calcular : “x” a) 140 b) 100 c) 110

x O

d) 120

Polígono Inscrito

70

e) 130 9.

II. FIGURA CIRCUNSCRITA A UNA CIRCUNFERENCIA


Es cuando todos los lados son

x

b) 7 c) 8

tangentes a la circunferencia.

6 15

O

r : inradio

d) 9 e) 10

r r

10. Calcular “x”, BM = 8 y BP = 9

a) 9

A

B

C

b) 18 c) 16 d) 8 e) 17

Triángulo Cuadrilátero Circunscrito Circunscrito

M P x

CIRCUNFERENCIA IIII CIRCUNFERENCIA III. TEOREMA DE PONCELET CONCEPTOS PREVIOS

En todo triángulo rectángulo se cumple que la suma de los catetos es igual a la hipotenusa más dos veces el inradio.

I. FIGURA INSCRITA A UNA CIRCUNFERENCIA

-44-


Geometría x = 12

V. TEOREMA DE STEINER

B

c

b

a

B a

C

r c A

D

C

b a + c = b + 2r

A

d

a - c = d - b

Ejemplo : Calcular “x”

Ejemplo : Calcular “x”

15

8 x

O

9

5 4 17

x

Sol. : Aplicando Poncelet: 8 + 15 = 17 + 2x 2x = 23 – 17 x = 3 IV. TEOREMA DE PITOT En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de los lados opuestos son iguales. b

B

C

Sol. : Aplicando Steiner:

Práctica Prácticadirigida dirigidaNº Nº11 11 1.

c

d Ejemplo : Calcular “x” 4 B

6

8 x

C 2.

9

7

Sol. : Aplicando Pitot:

14 10 2 4 3

D

A

A


a + c = b + d

a

9–4=x–5 x = 10

x

Calcular el perímetro de ABCD a) b) c) d) e)

D

7+9=4+x

-45-

22 24 26 28 30

3x - 2 5x - 3

2x + 1

3x + 2


Geometría

3.

Calcular AD, si AB = CD + 6 y BC = 5 a) b) c) d) e)

11 12 13 14 15

A

20 18 21 12 9

15 O

Calcular : “r” a) b) c) d) e)

3 C

10. Un

trapecio rectángulo esta circunscrito a una circunferencia, si el radio es 2 y uno de los lados no paralelos mide 5. Calcular la base menor. a) 2 b) 2,5 c) 3 d) 4 e) 5

7

9 4,5 4 5 5,5

r

8

10 Calcular el perímetro del ∆ ABC B a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 2 e) 32 A

7.

En un triángulo rectángulo de semiperímetro igual a 16 y el inradio es 3. Calcular la hipotenusa. a) 20 b) 5 c) 11 d) 13 e) 15

A

B

6.

9.

C

Calcular : “AB + BC” a) b) c) d) e)

5.

En un cuadrilátero que esta circunscrito a la circunferencia, dos lados opuestos miden 9 m y 12 m. Calcular el perímetro del cuadrilátero. a) 18 b) 21 c) 34 d) 42 e) 48

B

D

4.

8.

12

11. Calcular

C

el perímetro de un triángulo rectángulo, si la hipotenusa más el inradio suman 18. a) 18 c) 36 c) 24 d) 30 e) 42

Calcular : “x” 12. Si AB = 7 y BC = 13. Calcular “R

a) b) c) d) e)

6 5 4 3 2

+ r” 9

a) 8 b) 9 c) 10

x

15

-46-

B

A

r

C

R Chevez Prof. Marleni Quiroz

Geometría d) 12 e) 15 3. 13. Si AB // CD , AD = BC = 16. Calcular la

mediana a) b) c) d) e)

A

a) b) c) d) e)

B

8 16 4 32 24

4.

ABC. R + r = 12 B

8 9 12 6 7 A

R

r C

15. Calcular

6.


5 6 7 4 8

2 3 4 1 5

20

15

7.

x B

2x + 5

4x - 3

C

a 4

13 14 15 16 21

13 6 x

42 72 84 36 21

6 A

C

30


6

13

c

r


A

8

Calcular el perímetro del triángulo B a) b) c) d) e)

Calcular : “r”

1 2 3 4 5


el radio de la circunferencia inscrita en un trapecio isósceles cuyas bases son 2 y 6. 2 a) b) 2 c) 3 3 d) e) 5

2.

11

Si : a + b + c = 30. Calcular : “x” A a) b) c) d) e)

5.

a) b) c) d) e)

B C 5

C

14. Calcular el inradio del triángulo rectángulo

1.

24 26 22 23 25

D D

a) b) c) d) e)

Calcular el perímetro de ABCD

1 2 0,5 3 1,5

3 x 5

8.

14

-47-

En un cuadrilátero que esta circunscrito a la circunferencia,


Geometría dos lados opuestos miden 15 y 18. Calcular el perímetro del cuadrilátero. a) 33 b) 66 c) 74 d) 24 e) 96 9.

En un triángulo rectángulo de semiperímetro igual a 15 y el inradio es 2. Calcular la hipotenusa. a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

10.

Un trapecio rectángulo esta circunscrito a una circunferencia, si el radio es 4 y uno de los lados no paralelos miden 10. Calcular la base menor. a) 5 d) 8

b) 6 e) 4

c) 7

-48-


Geometría

CIRCUNFERENCIA CIRCUNFERENCIAIIIIII ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

III. ÁNGULO SEMI INSCRITO Es el ángulo formado por una cuerda y una recta tangente.

I. ÁNGULO CENTRAL Es el ángulo formado por 2 radios.

A A

θ: ∡ semi inscrito

θ : ∡ central O

θ =

θ

θ = AB

AC 2

θ

B

C

L1

Ejemplo : Calcular “x” Ejemplos : Calcular “x”

x

40º

50

200º

x x

x = 40º

x

70

x = 50º

x = 140º x = 80º II. ÁNGULO INSCRITO Es el ángulo formado por dos cuerdas cuyo

IV. ÁNGULO INTERIOR Es el ángulo formado por la intersección de dos cuerdas por la intersección de dos cuerdas en un punto interior de la circunferencia.

vértice es un punto de la circunferencia. A θ : ∡ inscrito B

θ θ =

AC 2

β

C

x : ∡ interior

x α

x =

Ejemplos : Calcular “x”

α +β 2

80º 50

x


x x x = 40º

x = 100º

-49-

80

x

40

Prof. Marleni Quiroz Chevez 100

Geometría

x = 80º + 40º 2 x = 60º

90º = 100º + x 2 x = 80º

β

α

α+β= 180º

V. ÁNGULO EXTERIOR En el ángulo formado por dos rectas secantes, intersectadas fuera de la

β α

circunferencia.

α+β= 90º

O Ejemplos : Calcular “x”

x

β

x : ∡ exterior

α

x 110

x

40

x =

50º x = α

α −β 2

x = 70º β

x

•

ARCO CAPAZ


40

x

80

x

AB : arco capaz

β

α

θ

20

160

α=β= A

x = 160º - 40º 2 x = 60º

x = 40º

Ejemplo : Calcular “x + y”

VI. CASOS ESPECIALES

•

θ

B

20º = 80º - x 2

x

A

PARA ÁNGULOS EXTERIORES

-50-

x + y = 90º + 90º

y

O

B


Geometría x + y = 180º


CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE Es cuando una circunferencia pasa por sus cuatro vértices. Para que sea inscriptible se tiene que cumplir algunas de las siguientes condiciones: •

1. Calcular : “x” a) b) c) d) e)

CONDICIÓN 1 B C

β A

•

35º

O x

Si : 2. Calcular : “x”

α + β = 180

α

35 70 105 80 50

a) b) c) d) e)

D ABCD es inscriptible

70º

70 35 140 105 35/2

x

CONDICIÓN 2 3. Calcular : “x” C B

β

A

α

a) b) c) d) e)

Si : α = β

D

x

132 122 112 58 29

3 2 O

ABCD es inscriptible

•

CONDICIÓN 3


B α

A

β

C

Si : α = β

D

56 62 63 64 58

x

80

32 ABCD es inscriptible Ejemplo: Marca inscriptibles

los

5. Calcular “x”; AB = BC

cuadriláteros

a) b) c) d) e)

x

50 25 100 75 60

A

B

25

C

x 6. Calcular : “x” a) 48

-51-

Prof. Marleni Quiroz Chevez 66º

Geometría b) c) d) e)

58 38 66 114

d) 25 e) 65

13. Calcular “x”; O1 y O2 son centros 7. a) b) c) d) e)

Calcular : “x” 32 26 36 13 16

a) b) c) d) e)

x

32

120 60 30 90 45

O1

O2 x

8. Calcular : “x” 14. Calcular : “x” a) b) c) d) e)

36 18 9 72 24

4x

a) b) c) d) e)

6x


70 70

x

50 15. Calcular “x” ; “O” es centro

70 35 105 140 110

50


30 60 15 45 50

a) b) c) d) e)

60

65 55 75 45 4

x O

40 º

x

30 20 15 25 40


20

50

1. En cada caso hallar “x”

x

A)


B)

te gen Ta n 60

X

300

100 80 40 50 60

70

X

200

Ta n g e n te

x 60

12. Calcular : “x” a) 40 b) 50 c) 20

40

-52x


Geometría C )

B

D)

90

B

x

C

7. Calcular : “x”

X

X

A A

80

D

110

E)

a) b) c) d) e)

45

F) 60

40

X


W

60

X 100

a) b) c) d) e)

40

3w


x

40 80 100 60 120

35 30 70 50 40

x

20

O


40 80 120 20 10

a) b) c) d) e)

20 40 10 60 30

7x 2x

3. Calcular : “x” 10. Calcular : “x” a) b) c) d) e)

30 50 40 60 20

140 a) b) c) d) e)

x O

80 40 20 60 10

70


x

20 10 15 30 5

70

90 60 120 150 30

a) b) c) d) e)

x



60º

x

B

30

A

40 60 30 50 80

20

3x

x

C 12. Calcular : “x” a) b) c) d) e)


10 20 5 15 8

3x

3x

22 21 23 24 25

50 2x

120 13. Calcular : “x”

-53-

x 30

Prof. Marleni Quiroz Chevez 6

Geometría a) b) c) d) e)

3 6 6

3 3

3

3

14. Calcular “x”; O1 y O2 son centros a) b) c) d) e)

30 60 90 45 120

O1

x

O2


30 40 50 60 70

50

x

-54-


Geometría

PROPORCIONALIDAD PROPORCIONALIDAD PRINCIPALES TEOREMAS I. TEOREMA DE LAS PARALELAS EQUIDISTANTES “Tres o más rectas paralelas y equidistantes determinan sobre cualquier recta secante, segmentos congruentes ”.

FB EB FB EB = ; = BC BA FC EA B) En el Trapecio

Si L1 // L2 // L3 // L4

AB ≅ BC ≅ CD EF ≅ FG ≅ GH

Entonces:

Si PQ // BC // AD II. TEORIA DE THALES DE MILETO.-

Entonces

“Si tres o más rectas paralelas son cortadas por 2 rectas secantes, los segmentos determinados en la primera secante secante son proporcionales a los segmentos determinados en la segunda secante”.

x y AB = = m n DC

E

A

III. TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR “En todo triángulo, los lados laterales a una bisectriz son proporcionales a los segmentos determinados por la bisectriz del lado opuesto”.

F

B

G

C D

C

H

Si L1 // L2 // L3 // L4 Entonces

AB BC CD = = EF FG GH

B

m

También podría ser:

B

E b A

A

a = m b n

IV. TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR “En todo triángulo una bisectriz exterior determina sobre la prolongación del lado opuesto, segmentos proporcionales a los lados laterales a dicha bisectriz”.

Casos Particulares A) En el Triángulo ( EF // AC )

a b AB = = m n CB

m

n

F a = b m n

AC EG AB EF = ; = CD GH BD FH

a

b

a

a = b m n

C

a = m b n

F

a

n

b

C

-55-

B

c

A

n Prof.m Marleni Quiroz Chevez

Geometría

V. TEOREMA DEL INCENTRO “En todo triángulo, el incentro divide a cada bisectriz en 2 segmentos que son proporcionales a la suma de las longitudes de los lados laterales y al lado donde cae la bisectriz”.

IX. TEOREMA PARA CALCULAR LA LONGITUD DE UNA BISECTRIZ EXTERIOR.

C

C

a

B

F

I : In c e n tr o d e l

b

b

I

A

A

c

c

x

a

B

m

n

CI = a + b IF c

ABC

VI. TEOREMA DE MENELAO “En todo triángulo al trazar una recta secante a dos lados pero no paralela al tercer lado, se forman seis segmentos consecutivos. Empezando.”

PROBLEMAS RESUELTOS 1. En la figura, hallar “x”:

B m b

16

a

20 x

4

n P r o lo n g a c ió n

A

C

c



Solución:

a .b .c = m .n .

16 20 = 4 x

Aplicando Thales, tenemos:

VII. TEOREMA DE CEVA “En todo triángulo al trazar tres cevianas concurrentes, empezando por cualquier vértice, se cumple que: El producto de las longitudes de tres segmentos no consecutivos es igual al producto de las longitudes de los otros tres”.

x=5 2. En la figura, hallar “x”: C

B m

b

14

b n

a A



B

F

5

A

Solución: Aplicamos el teorema de la bisectriz interior:

C

c

x

2

a .b .c = m .n .

14 x = 2 5

VIII. TEOREMA PARA CALCULAR LA LONGITUD DE UNA BISECTRIZ INTERIOR. B

x = 35

Práctica Prácticadirigida dirigidaNº Nº13 13 1) Hallar “x”, si L1 // L2 // L3

c

A

a

m

n

C

-56-


Geometría

P

A

L

R pta.:

1

x

8

Q

B 4

6

C

L2 R

L3

6) Calcular “x”, si BD // AE Rpta.:

2) Hallar “x”, si L1 // L2 // L3, AC = 10, AB = 4, DF = 5

C 5x

12

B

A

D x

B

E F

8 E

A

L2

C

D

3x+2

L1

R pta.:

L3

Rpta.: 7) Si L1 // L2 // L3, y AB = 6, PQ = 4 y SQ = 2X + 3

3) En la figura adjunta, AB y BC son proporcionales a AF y FC . Hallar FC – AF.

BC = 18,

B

P

A

8

10 Q

B

A 9

L

1

L

2

C

F

S

C

Rpta.:

L3

R pta.: 4) En la figura L1 // L2 // L3 // L4. Hallar GH, si EH = 27 E

A 3 B

L1 F

2 C

G

4

H

D

L

2

L

3

AB y BC son 8) En la figura proporcionales a AD y DC , hallar AD

L4

Rpta.:

B

θ

θ

6

4

5) En la figura mostrada L 1 // L2 // L3, si: EF – AB = 3, AC = 16 y DF = 24. Hallar “EF” A B C

D

E F

L

1

L

2

A

D 20

C

pta.:

R

9) En un triángulo ABC se traza a la bisectriz exterior BE. Si AB = 16, AE = 32, CE = 8. Hallar x.

L3

-57-


29

Geometría B

β

β 16

D

x

A

C

E

8

R pta.:

32

Rpta.: 10) En la figura AM // BN // CR // DS , si (BC) (CD) = 225 y (NR)(RS) = 256, calcular:

14) En un trapecio isósceles ABCD de bases BC y AD se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB y CD en M y N respectivamente. Calcular MN , si BC = 8 y AD = 12

AB MN

A

M

B

N

C

R pta.:

R

D

S

Rpta.: 15) En la figura hallar CE si AB = 6, 3 y AC = 4

BC =

B

11) En la figura, halar el lado del cuadrado EFMN, si AC = 12 y la altura BH mide 8 B

A F

E

C

M

R pta.: A

H

E

N

C

Rpta.:


12) En la figura mostrada. Si AB = 9, BC = 7, AC = 8 y MN // AC . Hallar “MN” B

1)

L1 // L2 // L3, son paralelas. Hallar “x”

N M

L x

1

2x+2 L2

6

C

15 L

A

Rpta.:

2)

3

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Si el triángulo ABC de la figura DE // AC entonces el triángulo es:

13) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 8. Calcular la distancia del baricentro a la hipotenusa.

-58-


Geometría B L1

1

x -1

5 A 3)

L

x+3 a) Escaleno b)C Isósceles c) Equilátero 6 d) Rectángulo e) Obtusángulo Si AD // BE // CF : AB = 36, BC = 6, DE = 4(x + 1) y EF = 10, hallar x

D

x

5

B

L2

E

D

A

E

X+2

6

C

F

3

a) 17 b) 13 c) 15 d) 10 e) 6 En la figura, calcular “x”, si MN // AC

7)

B A

D

X

a B

E

4)

A

b) 15 d) 17

En la figura L1 // L2 // L3 // L4. Si AB = 3, BC = 4, MN = 2x – 2, NP = 2x + 2, PQ = 3x + 1, CD = y; hallar x + y A

M

B

N

8)

Q

D

x° a) 37 d) 30

3

9)

A

En la figura. Calcular “x” B

e) 14

C

18

D

B

L2

,5 c)2 53

b) 45 e) 60

En la figura L1 // L2 // L3. BC = 2AB y DF = 12. Hallar DE

L1

dos

4

L4

b) 15 d) 13

b) 90 d) 45

2

L2 L

C

En la figura, se muestran circunferencias. Calcular “x”

L1

P

7

a) 30 c) 60 e) 37

e) 18

C

5)

7 -a

a+1

F

a) 10 c) 12

N

M

C

a) 14 c) 16

6 -a

D

A a) 3 d) 8

E

x

b) 5 e) 10

c) 6

10) En la figura, hallar el valor de “x” L

3

C

B

F

θ θ

a) 1 d) 4

c) 3

18 12

En la figura, calcular “x” L1 // L2 // L3. A

-59-

F

C 6

6)

b) 2 e) 5

x


Geometría a) 12

b) 14

c) 10

d) 10

e) 18

2do Caso: (L.A.L.) Un ángulo congruente y los lados que lo forman son proporcionales. B

N

q

c M

A

b Si c q = b n y m < A ≅ m < M

E n to n c e s ΔABC ΔMNQ

SEMEJANZA SEMEJANZADE DETRIÁNGULOS TRIÁNGULOS

CONCEPTO

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente congruentes.

3er Caso: (L.L.L.) Tres lados proporcionales. B

Si dos triángulos son semejantes, sus lados homólogos son proporcionales. B

N c

c

M

C

b

L

n

E n to n c e s ΔABC ΔM NL



N

m



S i a b c = = m n l

C

b

l

a

A

a

A

Q

n

C

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Hallar: x + y

m

12

M

4

L

N

α

16

Si  ABC ~ MNL

a b c = = =k m n 

α

θ

Solución: Por ser Δs semejantes:

k: Razón de semejanza.

x= 3

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

y 4 = 4 16

Además: 1er Caso: (A.A) Dos ángulos congruentes

x

~

y 4

θ

x 4 = 12 16 y =1

Luego: x + y = 3 + 1 = 4

B

A

C

b

1) En la figura, calcular “x”

N

ΔM NL

l M

6

ΔABC


a

c

4

L

x

-60-


Geometría F

Rpta.: 4

2) Dos triángulos ABC y PQR son semejantes, la ˆ = la medida del ángulo P ˆ medida del ángulo A ˆ = la medida del ángulo y la medida del ángulo B ˆ ; si AB = 4, PR = 5. Si la razón de semejanza Q es 2/3. Hallar AC y PQ.

3

P

Q

6 H

E x

R pta.:

Rpta.: 3)

DE // AC , hallar DE B

7)

TQ // AB , QC = 2BQ. Hallar “TQ”

5 B

x E

D

Q

10

6

A

C

18

Rpta.: A

4)

C

T

AB // NL , hallar AM

R pta.:

N 4 A

8) Hallar “PH”

10

F

x 6 M

L

B

T

10 6

Rpta.:

A

6

H

P

x

pta.:

9)

5) Hallar “BH”

A ≅ E ; Hallar FH y EH

A 4

F 5

x

H

A

8

6

8

10

C

x

H

E

C

Rpta.:

pta.:

10) 6)

H. F

B

12

B

C≅

R

A≅

R

D, hallar EF

PQ // EH , hallar EH

-61-


Geometría E B 10

A

x

14

20

C

15

D

R

pta.: 15) En la figura, calcular “x”

F

21

2

Rpta.:

6

11) ∆ PQR ∼ ∆ DEF, razón se semejanza es 8/5, hallar DE, EF, DF Q

E

x

8

pta.: P

R

R

F

D

Rpta:.

12)

N≅

L≅

Q;

R. Hallar MN y NL

N


Q

1)

12

L

30

M

Hallar “x

15

P

R

18

5 3

x

Rpta.:

13)

a) 2 2)

M≅

Hallar “x”, semejantes.

S; hallar “RT” M

b) 4 e) 10 si

S

20

28

dos

d)

24

R

H

son

x

21

β

β F

8

triángulos

4

3

2

15

c) 6

x

8

4

T

Rpta.:

a) 3

14) ∆ ABC ∼ ∆ MNP, el perímetro del ∆ MNP = 65. Hallar MN, NP y MP

3)

b) 6 e) 13

c) 9

d)

11

Dos triángulos son semejantes; si la razón de semejanza es 2/3. Hallar “x” e “y”

N

β

B

β

4

18 6 A

15

C

M

x

P

-62-

15


Geometría a) 6 y 10 b) 4 y 8 4)

c) 10 y 15

d) 14 y 7

e) 8 y 9

d) 8

En un triángulo ABC sobre BC se toma un punto “Q” tal que AB = 6 y BC = 9. Hallar BQ

9)

B

e) 10

Encontrar DC, si AD = 5, FD = 4, BF = 6 B

Q

θ

E

θ

F

C

A

a) 1 5)

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

A

Hallar PQ, si BP = 2, PA = 6, AC = 12 B

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 10) ABCD es un paralelogramo FG = 16. Hallar AE

EF = 2, G

Q

P

F

B

A

b) 2

C

E

C

a) 1 6)

C

D

c) 3

Calcular AC, si AD = 3 y BD = 5

d) 4

e) 5

A

D

a) 2

B

b) 4 e) 10

c) 6

d) 8

D A

a) 2 5

C

M

b) 4 5 c) 3 2

d)

2

e)

3 5 7)

Los lados de un triángulo miden 4; 7; 10 y el perímetro de otro triángulo semejante al primero es 147. hallar el lado menor del segundo triángulo. a) 24

8)

b) 25

c) 26

d) 27

e) 28

Hallar AC, si AB = 10, AD = 4, DE =11 B

β

E

β D

θ

a) 2

θ

C

A

b) 4

c) 6

-63-


Geometría - Los siguientes teoremas nos describen las principales relaciones que hay entre las longitudes de los lados, altura y proyecciones de un triángulo rectángulo.

TEOREMA 1 “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de su proyección por la hipotenusa”. En la figura se cumple que: 2

a = m . c

2

b = n . c

TEOREMA 2 (Teorema de Pitágoras) “En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”.

RELACIONES RELACIONESMÉTRICAS MÉTRICASEN ENEL EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO TRIÁNGULO RECTÁNGULO Elementos de un triángulo Rectángulo:

En la figura se cumple que:

a y b = Son c h m

= = =

n

=

las

longitudes de los catetos BC y AC . Es la longitud de la Hipotenusa AB Es la altura relativa a la Hipotenusa. Es la longitud de la proyección del cateto BC sobre la hipotenusa. Es la longitud de la proyección del cateto AC sobre la hipotenusa.

TEOREMA 3 “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura relativa a la

-64-


Geometría hipotenusa es igual al producto de proyecciones de los catetos sobre la misma”. En la figura se cumple que:

las

h2 = m . n Solución: Aplicando el teorema 4: 4 • 6 = 8 • x x=3 2. Hallar “x”:

10 10 1010

x

3x

TEOREMA 4 En todo triángulo rectángulo, el producto de catetos es igual al producto de la hipotenusa por su altura relativa. En la figura se cumple que:

Solución: Aplicamos Pitágoras:

x 2 + ( 3 x ) = (10 10 ) 2 x = 10 2

Práctica Prácticadirigida dirigidaNº Nº15 15 1)

Hallar “x”

B

x A

C 4

12

pta.:

TEOREMA 5 “En todo triángulo rectángulo la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos es igual a la inversa del cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa”. En la figura se cumple que:

2)

Hallar “x”

13 ⋅x

3

1 1 1 + 2 = 2 2 a b h

2

PROBLEMAS RESUELTOS

3)

R

pta.:

R

Hallar “x”

1. Calcular El valor de “x”: 3

4

4 x

6

x

-658

Prof.5 Marleni Quiroz Chevez

Geometría x

Rpta.: 5

4)

4

Hallar “x” 6

x

4

pta.:

1 4

Rpta.: 9)

5)

Hallar “x”

R

Hallar “x”

2

15

x

4

2x

3

pta.:

x

R

Rpta.:

6)

10) Si (AB)2 + (FG)2 = 8; calcular BF (las dos figuras son cuadrados)

Hallar “x”

B

C

x

5 7)

F

E

2

Rpta.:

G

D

A

Hallar “x” pta.:

R

10

5

x

11) Calcular “R” si AM = 3 y AB = 9 Rpta.:

R 8)

Hallar “x”

A

B pta.:

-66-

R


Geometría 12) En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se trazan la altura BH y la bisectriz interior AQ , los cuales se cortan en “P”, calcular BP, si AP = 7 y PQ = 2

5 6 3 x

a) 3 Rpta.: AB = 6

13) Calcular MN ; si R = 3r; r = 1 y

3)

d) 6 c) 13

c) 9

d) 11

c) 12,8

d) 13

Hallar “x”

A 12

N M

x

B

20

a) 11 e) 14

4) Hallar “x”

Rpta.: 14) En la figura, hallar DH , si DC = 4

d) 12

AD = 3 y el diámetro

9 10

x

B

3 x H

D

C

O

A

a) 5 d) 9

b) 6 e) 11

c) 7

5) Hallar “x” Rpta.: 15) La figura muestra una rueda apoyada en un ladrillo de altura 9, calcular el radio de le rueda.

x+6

b)x 4 e) 9

a) 3

x + c) 7 5

d)

6

6) Hallar “x” 3

15

Rpta.:

6

Tarea TareaNº Nº15 15 1)

a) 4

Hallar “x”

3x 3

b) 2 e) 5

3 3

c)

3

3

d)

7) Hallar “x” 5

a) 1 2)

b) 2

12

x

c)

13 d) 5 10

x

11

e)

60 13

x+5

Hallar “x”

a) 20

-67-

b) 21 e) 25

c) 22

d)

23


Geometría 8) Hallar “x” x+8 20

x

a) 20

b) 21

9) Hallar “x”

c) 22

d) 23

e) 24

7

x x+9

20

a) 11

b) 12

c) 13

d) 14

e) 15

10) Las diagonales de un rombo mide 12cm y 16cm el lado del rombo mide: a) 9

b) 10

c) 11

d) 12

e) 13

-68-


Geometría

RELACIONES RELACIONESMÉTRICAS MÉTRICASEN ENEL EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO I. PROYECCIONES EN TRIÁNGULOS D

1.

AH

HC

A

III. TEOREMA DE LA MEDIANA

= proyección de ______ = Proyección de _______

............................................................... ............................................................... ...............................................................

C

H

2. B

a BD

D

DC

A

= proyección de ______ = Proyección de _______

c/2

c/2 c

C

3.

a2 + b2 = 2m2 +

b

m

PROBLEMAS RESUELTOS

B

1. En la figura, hallar “x”: HM

= proyección de ______ 6

5 x

A

M

H

C

Aplicamos el primer teorema de Euclides:

52 = 4 2 + 6 2 − 2 • 4 • x

II. TEOREMA DE EUCLIDES Primer Teorema.- ............................

8x = 27 x = 3,38

............................................................... ...............................................................

3. En la figura, hallar el valor de “m”:

8

Si: α < 90º

a

c

4

Solución:

a2 = b2 + c2 - 2b m

α

3

H

m

5 x

Solución: Aplicamos el segundo teorema de Euclides:

b

8 2 = 32 + 52 + 2 • 3 • x

........................ ............................................................... ............................................................... Segundo Teorema.-

6x = 30 x=5


Si: α rel="nofollow"> 90º

1.

a a2 = b2 + c2 + 2b.m

c α m

b

-69-

Los lados de un triángulo acutángulo miden 2; 3 y 4. Hallar la proyección del lado que mide 2 sobre el lado que mide 4. a) 1 b) 1,38 c) 2,7


Geometría d) 3,7

2.

e) 10,5

Calcular “QH” a) 8cm b) 9 c) 6 d) 7

Los lados de un triángulo acutángulo miden 11; 12 y 13. Hallar la altura relativa al lado que mide 12. a) 2 b) 3 c) 2,7 d) 4 e) 1,5

e) 4

7.

2

En el triángulo ABC: AB = 6 , BC = 8 y AC = 12; Hallar: BM B

3.

En la figura hallar HD, si ABCD es un trapecio.

B

C

A

H

6

a) 1,2 d) 3,7

4.

X

D

8.

b) 1,3 e) 10,5

c) 2,7

11

b)

13

c)

15

d)

14

e)

17

C

M

Si: OA = 10, AB = 9 y OB = 17 Calcular R (T es punto de tangencia) T

A

B

O R

9

6

9.

x 10

Si: AB = 5 , BC = 7 y AD = 6; Calcular CD. a)

5.

A

a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 5

Del gráfico, calcular “x” a) 1,5 b) 0,75 c) 2,25 d) 2,75 e) 1,25

a)

Del gráfico, calcular “m” a) 1 b) 1,5 c) 0,5 d) 0,25 e) 0,75

4 2

B

30

b) 2

15

c) 2

30

d) 2

15

e) 4

11

A

C

D m

3

10. En un triángulo ABC, se cumple: a2 = b2 + c2 + bc. Hallar: m∢BAC a) 120º 127º d) 143º

6.

b) 135º

c)

e) 105º

Del gráfico, si PQ = 10 Q cm. QR = 17cm y PR = 21cm

-70-

P

H

R


Geometría 11. En un triángulo isósceles ABC: AB = C y BC = AC = m. Hallar la proyección de AB sobre

B

AC

2

a) c

2

m

c

m

d)

b)

2c

2

e)

m

2m 2

c)

c

c

a)

11

b)

13

c)

15

d)

14

e)

17

A

C

M

2

2m

15. Si: OA = 10, AB = 9 y OB = 17 Calcular R (T es punto de tangencia)

12. Del gráfico, calcular “m” a) 1 b) 1,5 c) 0,5 d) 0,25 e) 0,75

T

a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 5

A

B

O R

4 2

m

16. Si: AB = 5 , BC = 7 y AD = 6; Calcular CD.

3

a)

B

30

b) 2

15

c) 2

30

d) 2

15

e) 4

11

A

C

D

17. En un triángulo ABC, se cumple: a2 = b2 + c2 + bc. Hallar: m∢BAC

13. Del gráfico, si PQ = 10 cm. QR = 17cm y PR = Q 21cm Calcular “QH” a) 8cm b) 9 c) 6 d) 7 R P e) 4 2 H

a) 120º 127º d) 143º

b) 135º

c)

e) 105º

18. En un triángulo isósceles ABC: AB = C y BC = AC = m. Hallar la proyección de AB sobre AC 2

a)

m

c

c)

d)

14. En el triángulo ABC: AB = 6 , BC = 8 y AC = 12; Hallar: BM

-71-

2c 2 m

b) c2 m

e)

2m 2 c c2 2m


Geometría 2.

En un ∆ acutángulo cuyos lados miden 14; 10 y 12 se traza la altura relativa al lado que mide 12. Calcule la diferencia de las medidas de los segmentos que determina esta altura sobre el lado que mide 12. a) 12 b) 10 c) 6 d) 8 e) 14

3.

En un triángulo ABC, AB = 3, BC = 5 y AC = 6.Calcular la longitud de la mediana relativa a AC

19. En un romboide sus lados miden: 4 y 6 además una de sus diagonales mide 9. Calcular la longitud de la otra diagonal. a)

b)

21

c)

23

29

d)

2

e)

5

3

6

a)

b) 2

2

c) d) 2

2

3

e)

3

5

4. En el triángulo mostrado, calcular x siendo: AB = 8 2 ; BC = 10 y AC = 14 B a) 6 b) 8 c) 2 d) 2 e) 2

3

C

A

H

x

5. Calcular “m” 20. Las bases de un trapecio miden 10 y 24 y los lados laterales 13 y 15. Calcular la longitud de la altura del trapecio. a) 12 d) 8

b) 10 e) 14

a) 5 b) 6 c) 4 d) 7 e) 3

c) 11

7

9

m

14

6. Calcular “h” a) b)


c) 1.

En un ∆ABC acutángulo e isósceles, se tiene: AB = BC = 25; AC = 30. Se traza su altura AF. Hallar FC. a) 12 b) 15 c) 11 d) 8 e) 14

3 2 3 4 3 8

15 d) 15 15

e)

2 3 4 3

15

4 15

6

h

A 8

7. En el triángulo ABC: AB = 14, BC = 6 y AC = 10. Calcular la proyección de BC sobre AC.

-72-


Geometría B

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

A

C

8. En un triángulo ABC se sabe que: a2 + b2 = 3c2. Siendo CM la mediana relativa a AB . Hallar :

a) d)

CM C 3 2 3 3

b) e)

5 2 5

c)

7 4

3

9. Calcular la menor mediana de un triángulo cuyos lados miden 5, 7 y 8 a)

13

b)

15

e)

21

c)

17

d)

13 2

-73-


Geometría

RELACIONES RELACIONESMÉTRICAS MÉTRICASEN ENLA LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNFERENCIA I. TEOREMA DE LAS CUERDAS Si dos cuerdas se cortan en un punto interior de una circunferencia se cumple que el producto de los segmentos determinados son iguales.

b a

P A

d

M

a

B

b c

a.b = c.d

x

Q x2 = a . b Ejemplo : Calcular “x”

x


x

9

4

Sol. :12 • x = 4 • 9 x=3

4

x =6

IV. TEOREMA DE LA SECANTE Al trazar dos rectas secantes, desde un punto exterior a una circunferencia, se cumple que el producto de las longitudes de los segmentos secantes y su parte externa son iguales.

II. CASO ESPECIAL P x m

x2 = m . n B

H

:

x 2 = 4( 4 + 5 )

5

12

A

Sol.

n

n m Ejemplo : Calcular “x”

x 4

a

Sol. : x 2 = 4 • 9 x=6

O

b

9

m.n = a.b Ejemplo : Calcular “x”

III. TEOREMA DE LA TANGENTE Al trazar desde un punto exterior a la circunferencia una recta tangente y una secante, se cumple que el cuadrado de la longitud del segmento de tangente es igual al producto de las longitudes del segmento secante y su parte exterior.

3 5

2 x

-74-


Geometría d) 6 e) 8

Sol. : 2 • x = 3( 3 + 5) x = 12

6. Calcular : “AB”


a) b) c) d) e)


2x

4 16 8 2 12

16

6

8

A

12 6 18 24 16

18

B O

3x 7. Calcular “x”; MB = 8 , PM = 4 , OM = 5


P

a) 7 A

7

b)

15 12 9 16 20

x

c) 8 d) 14 e) 4

16

B

M O

9 x 8. Calcular “r”; AP = 6 , PB = 4 , OP = 5

3. Calcular : “x” a) 12 b) 6 c) 12 d) 8

x

2 2

a) b) c) d) e)

x 8

2

e) 10

9 8 6 12 4

P

A

B

O r

10

9. Calcular : “x + y”


7 8 9 10 6

a) b) c) d) e)

12 O 16

x

6 12 16 8 18

5

x

4

y



x

6 a) 9 b) 5 c) 4

a) 4

4

b) c) 8

x

-75-

3 3

8

2a

a Prof. Marleni3Quiroz 6 Chevez a

Geometría d) 12 3

e) 8

11. Calcular : “x” a)

7

b)

10

c)

14


6


4

a) 12 b) 24 c) 6 d) 3 e) 18 2. Calcular : “x”

7

d) 2

2

e) 7

x 12. Calcular : “BP”

A

5

a) 2 b)

5

c)

5

b) 2

P

x

C

Q

a) b) c) d) e)

13. Calcular : “x” 3,6 1,8 0,9 7,2 2,4

x O 2

9 8 7 6 5

9 4 6 8 10

B

4 8 16 2 12

3

13

a) 2

3

b) 3

3

c) 4

3

d) 5

3

e) 6

3

x O 2

6


8

7

18

Q

a) b) c) d) e)

9

x A

15.Calcular : “x”

x

2x


8


a) b) c) d) e)

2


D

a) b) c) d) e)

6

12

10

e)

a) b) c) d) e)

2x

c) 4 d) 2 e) 8

/2

5

d) 3

x

12

a)

B

x

12

C

P

16 12 13 14 10

4

x

6. Calcular : “AB” A

6 B

2

C 3 D

x

E

-76-

a) 2

3

b) 3

3

c) 4

3

d) 8

3

A

4

B O

12


6

e) 12

3

x

2

Geometría y

7. Calcular “x”; PM = 2 , MB = 12 , MO = 8 P a) 3 B A M x b) 2 c) 4 O d) 5 e) 1 8. Calcular : “r” a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 9 9. Calcular : “x + y” a) b) c) d) e)

4 5 6 3 7

P

A

B

O

6

2

x

y

10. Calcular : “x” a) 2

15

b) 3

15

c)

15

d)

55

e) 4

15

6

4

3

6

-77-


Geometría

ÁREAS ÁREASTRIANGULARES TRIANGULARES I. Área: El área es un número que indica la medida de una superficie limitada (la superficie se refiere a la forma y extensión de la figura, mientras que el área se refiere al tamaño). El área de una región triangular se refiere a la medida de la superficie limitada por un triángulo. Para simbolizar el área comúnmente se usan las letras mayúsculas “A” o “S”. Por ejemplo: SABC; el área de una región triangular ABC.

Fórmula Trigonométrica El área de una región triangular es igual al semiproducto de las longitudes de dos lados por el seno del ángulo que forman.

= a •b

2 . Senθ

II. Figuras Equivalentes Son dos figuras cuyas regiones tienen igual área, independiente de la forma que tenga. Ejemplo:

Para el triángulo equilátero.- El área de una región triangular equilátera es igual al cuadrado de la longitud de su lado por la 3 entre cuatro.

El símbolo < > se lee: “es equivalente a”

= 2

L

III. ÁREAS TRIANGULARES

3 4

Fórmula Principal “El área de una región triangular es igual al semi producto de las longitudes de su base y su altura”

Para un triángulo función de la altura.

equilátero.-

h

En

S = 3

2

3

=

b •h 2 Fórmula de Herón Para todo triángulo si:

-78-


Geometría p=

a+b+c 2

p es semiperímetro

2. De la figura calcular SDBC; si BH = 5, DC = 3AD

= p(p – a)(p – b)p – c )

a) 55 b) 35 c) 45

PROBLEMAS RESUELTOS 2

d) 60

1. El área de la región de un triángulo es 27cm , su base mide 3cm más que su altura respectiva. Calcular dicha altura. Solución:

e) 65

b•h 2 ( x + 3)( x ) 27 = 2 A=

x x+3

3. Calcular el área de la región sombreada, si: AH = 7, HC = 6, BD = 4 y DE = 6.

54 = ( x + 3) (x) x = 6

12

12

b) 20 c) 16

l2 3 A= 4 A=

D

a) 15

2. El perímetro de un triángulo equilátero es 36cm. Hallar el área de la región. Solución:

12

24

d) 28

12 2 3 4

A = 36 3

e) 32


4. En un triángulo ABC : AB = 7; AC = BC + 3 y su perímetro es 28. calcular S(ABC) a) 14 2 b) 14 5 c) 14 7

1. Calcular S(MNP); si MN = 8 y NP = 15 a) 24

d) 12 5

b) 28

e) 12 7

c) 32 d) 36

5. En un triángulo cuyo perímetro es 24; las medidas de sus lados están en progresión aritmética cuya razón es 2. calcular el área de la región triangular.

e) 42

-79-


Geometría a) 12

b) 16

c) 20

d) 24

e) 28 a) ab b)

6. Si: 2(AH) = HC = 8 ; BP = 5; PQ = 4 y QH = 3; Calcular: S1 + S2 – S3

c)

a) 16

(a + b ) b ab 2

d) 2ab

b) 18 c) 20

e)

d) 22

ab 4

e) 24

7. Si: ABC es un triángulo equilátero cuyo perímetro es 24, calcular el área de la región sombreada.


a) 3 3 1. De la figura calcular el área de la región triangular ABC.

b) 6 3 c)

9 3 2

d)

11 3 3

e)

7 3 2

a) 15 b) 7,5

8. Calcular la medida de una de las alturas congruentes de un triángulo isósceles cuya región tiene área 9 y uno de los ángulos congruentes mide 15. a) 3

b) 2

d) 2 3

e) 3 2

c) 5 d) 8

c) 3 e) 10,5

9. En un triángulo ABC, recto en B, siendo I el incentro, Al = 4 y CI = 5 2 . Calcular S(AIC) a) 6 d) 12

b) 8 e) 10 2

2. Calcular S(ABC), si la medida de la altura relativa al lado AC es la cuarta parte de la medida del lado AC . (S: área)

c) 10

a) 100 10. En el gráfico calcular S1 – S2.

b) 75

-80-


Geometría c) 50

a) 6 c) 9 d) 9 3

d) 25 e) 80

b) 6 3 e) 12

8. Si una de las alturas de un triángulo equilátero mide 4 3 , calcular el área de dicha región triangular. 3. Si: AB = 6 2 , calcular S(ABC)

a) 12 c) 16 d) 16 3

a) 36 b) 42

b) 12 3 e) 20

9. De la figura BH = a, AC = a 2 y SABC = 32. Calcular “a”.

c) 48 d) 52 e) 56

a) 8 b) 2

4. Si: PR = 14, calcular S(PQR)

c) 4

a) 56 b) 58

d) 16

c) 60 d) 62

e) 6

e) 64

10. Calcular S(ABC); si AB = 10 y BC = 15

a) 45 5. Calcular el área de la región sombreada. AC = 10 2 y BP = 2 2

b) 50 c) 60

a) 5 b) 10

d) 66

c) 15 d) 20

e) 72

e) 25

6. Calcular el área de la región de un triángulo equilátero que tiene como perímetro igual a 12. a) 6 3

b) 4 3

d) 4

e) 8 3

c) 6

7. Si un triángulo equilátero tiene perímetro 18, calcular el área de su región triangular.

-81-


Geometría

RELACIÓN RELACIÓNDEÁREAS DEÁREAS TRIANGULARES TRIANGULARES I. AL TRAZAR MEDIANAS:

2X

X

II.

ÁREA DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DEL INRADIO: El área de un triángulo es igual al semiperimétro por el inradio. S = P.r Donde:

P=

a +b +c 2 a

-82-

b

Prof. Marleni Quiroz Chevez r c

Geometría

Solución: Aplicamos la propiedad de las medianas: ΔABC = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12

Práctica Prácticadirigida dirigidaNº Nº19 19 III. ÁREA DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE EL CIRCUNRADIO

S =

1)

a.b.c 4R

a

R

Calcule el área de la región cudrangular ABCD, sabiendo que AD mide el triple de DC y además AC = 10 B

C

A

D

c

b

R pta.:

SABC = m.n

B 2)

Calcular el área de la región ABCD B

C

10 cm

A

n

m

C 60°

PROBLEMAS RESUELTOS

A

8 b

D

R pta.:

1. Calcular El área de la región sombreada: 45º

15 cm

10 3) 2b

El perímetro de un triángulo equilátero es 30m. una de sus alturas mide: R pta.:

Solución: Calculamos el área de la región no sombreada:

An =

8 •10 sen 45º 2

An = 20 2

Ahora el área sombreada; para ello aplicamos relación de áreas:

As b = An 2b

A = 10 2 4)

2. Hallar el área del ΔABC B

Hallar el área de la siguiente región triangular sabiendo que las medidas de sus lados están dadas en centímetros.

2

-83A

C


Geometría 3 x+4

x -3

R

2 x -5

Rpta.: 6

R pta.:

5)

Calcular el área de la región sombreada. D 9)

A

2 3

Calcular el área de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 8cm.

6 30°

B

R

60°

pta.:

C

E

Rpta.:

6)

10) Según el gráfico ABCD es encuadrado de 6cm de lado. Hallar el área de la región sombreada.

En la figura, calcular el área del círculo.

B

C

60

4cm

r

M

N 2cm

61

D

A

Rpta.:

pta.:

7)

R

11) En la figura ABCD es un rectángulo si: AM = 10 cm., MN = 12 cm., CN = 2cm y ND = 8 cm. Hallar el área de la región sombreada.

en la figura calcular el área del semicírculo.

C

B

8

N

M

2 A

D

pta.:

R

Rpta.:

8)

Calcular el área del círculo.

-84-


Geometría 12) La hipotenusa de un triángulo rectángulo Isósceles mide 80 cm. Calcular el área del triángulo. R pta.: 17) En la figura, calcular el área del círculo inscrito en el sector circular AOB Rpta.:

A

13) Calcular el área de un triángulo Equilátero que tiene 8

12

3 de altura.

60°

O

B Rpta.: pta.:

14) En un triángulo rectángulo cuya Hipotenusa mide 30m., un cateto mide el triple del otro hallar el área.

15) Hallar la región sombreada.

R

18) El perímetro de un triángulo Equilátero es de 36. el área de dicho triángulo es:

Rpta.:

pta.:

6

R

19) El perímetro de un rectángulo es de 84m. y su diagonal mide 30m. el área del rectángulo es:

2 3

4

Rpta.: 16) Un cuadrado de 144 m2 de área está inscrito es un círculo cuyo radio mide:

Rpta.: 20) La diferencia de las dimensiones de un rectángulo es 6m. y la diferencia de sus cuadrados es 252 m2 el perímetro del rectángulo es:

R

-85-


Geometría C

B

Rpta.:


M

a) 2 1

b) 4

c) 6

d) 8

a) 20 d) 15

10) Hallar el área total si: x = 10

c) 300 e) 50

d) 400

x

b) 200

b) 10 c) 5 e) 5 2

e)

2) El perímetro de un rectángulo es igual a 60 el largo es el doble del ancho. Calcular su área. a) 100

D

A

1) La diagonal de un cuadrado mide 2 2 . Calcular su área.

3) El área de un cuadrado es 20. Calcular la longitud de su diagonal. a) 10 b) 2 10 d) EMBED Equation.3 2 5

c) 3 10

a) 60 c) 80 e) 120

e) EMBED Equation.3

2 15

11) Si ABCD es un cuadrado. Hallar el área en la región sombreada si el lado es “a”

4) Calcular el área de un cuadrado, inscrito en una circunferencia de radio igual a 5. b) 20

c) 30 e) 50

B

C

d) 40 O

a) 10

b) 70 d) 90

5) Calcular el área de una región triangular ABC, Si: AB = BC = 17 y AC = 30 a) 40 b) 90

c) 120 d) 150 e) 125

6) Hallar el área de un rombo ABCD, si AB = 17 AC = 30. a) 240

b) 120 c) 360

d) 280

e) 190

a) a2/2

7) Calcular el área del círculo inscrito en un triángulo Equilátero de lado 6. a) π d) 3π

d)

3a 2 5

b) a2/4 e)

5a 2 7

c)

3a 2 3

b) 4π c) 2π 2π e) 3

8) Si (AB) (AP) = 36, Calcular el área de la región sombreada.

D

A

b) 18 e) 24

12) El lado del cuadrado mide 4. Calcular el área de la región sombreada.

C

B

a) 36 d) 12

D

A

y

c) 9

a) (6-π) c) (4-π)

9) Calcular el área de la región sombreada, si: AB = 4 y AD = 5

-86-

b) (8-π) d) 5-π


Geometría A

e) 7-π

13) El lado del cuadrado es “a”. Hallar el área de la región sombreada.

60° O

a) 6 π d) 16π

a) a2/2 d) a2/6

b) a2/4 e) a2/8

B

b) 8π e) 10π

c) 12π

c) a2/5

14) Calcular el área del trapecio ABCD, Si: BC = 16 y CD = 4 2 B

C

45° A

a) 27 d) 85

b) 36 e) 72

D

c) 64

15) En la figura AOB es un sector circular cuyo radio mide 12. Calcular el área de la región sombreada.

-87-


Geometria Plana 4q6g4m

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