Gestion De Proyectos En La Empresa - Planificacion, Programacion Y Control 67472a

PI00227701_00.indd 1

04/07/13 15:34

PI00227701_00.indd 2

04/07/13 15:34

Gestión de proyectos en la empresa Planificación, programación y control

PI00227701_00.indd 3

04/07/13 15:34

PI00227701_00.indd 4

04/07/13 15:34

JUAN VELASCO SÁNCHEZ

JUAN ANTONIO CAMPINS MASRIERA

ASESOR EN ORGANIZACIÓN DE EMPRESAS. EXCATEDRÁTICO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL EN LA ESCUELA DE INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL DE BARCELONA (UPC)

PROFESOR TITULAR DEL DEPARTAMENTO DE GESTIÓN EMPRESARIAL DE LA ESCUELA DE INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL DE BARCELONA (UPC)

Gestión de proyectos en la empresa Planificación, programación y control

EDICIONES PIRÁMIDE

PI00227701_00.indd 5

04/07/13 15:34

COLECCIÓN «ECONOMÍA Y EMPRESA» Director:

Miguel Santesmases Mestre Catedrático de la Universidad de Alcalá

Edición en versión digital

Está prohibida la reproducción total o parcial de este libro electrónico, su transmisión, su descarga, su descompilación, su tratamiento informático, su almacenamiento o introducción en cualquier sistema de repositorio y recuperación, en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, conocido o por inventar, sin el permiso expreso escrito de los titulares del copyright.

© Juan Velasco Sánchez y Juan Antonio Campins Masriera, 2013 © Primera edición electrónica publicada por Ediciones Pirámide (Grupo Anaya, S. A.), 2013 Para cualquier información pueden dirigirse a [email protected] Juan Ignacio Luca de Tena, 15. 28027 Madrid Teléfono: 91 393 89 89 www.edicionespiramide.es ISBN digital: 978-84-368-2958-7

Dedicado a mi esposa, Mireia, así como a nuestros hijos David, Daniel y Carles.

PI00227701_00b.indd 7

08/07/13 13:21

PI00227701_00b.indd 8

08/07/13 13:21

Agradecimientos

Queremos agradecer la contribución de nuestros alumnos del último curso de carrera de Ingeniería de la EUETIB (UPC) de las asignaturas Organización Industrial y Planificación, programación y control de proyectos.

© Ediciones Pirámide

PI00227701_00b.indd 9

9

08/07/13 13:21

PI00227701_00b.indd 10

08/07/13 13:21

Índice

Prólogo..................................................................................................................

13

1. Planificación, programación y control de proyectos ..........................

15

1.1. Introducción ............................................................................................. 1.2. Métodos para la planificación .................................................................. 1.3. Estructura de descomposición del trabajo (EDT) .................................... 1.4. Enfoque de sistemas para la gestión de proyectos .................................... 1.5. Project management-gestión de proyectos ................................................ 1.6. Diagrama de Gantt .................................................................................. 1.7. Teoría de grafos aplicada a proyectos ....................................................... 1.8. Conceptos usados en la teoría de grafos. Elementos de un grafo ............. 1.9. Dibujo del grafo en los métodos PERT y M ....................................... 1.10. Tipos de actividades en redes PERT y M ............................................ Resumen ............................................................................................................ Cuestiones ......................................................................................................... Respuestas a las cuestiones ................................................................................

17 18 19 21 22 23 25 27 27 29 32 34 35

2. El método PERT.............................................................................................

39

2.1. Pasos a seguir en la planificación de un proyecto por el método PERT ... 2.2. PERT determinista ................................................................................... 2.3. Holguras y camino crítico ........................................................................ 2.4. PERT probabilista .................................................................................... 2.5. Probabilidad en el cumplimiento de la duración de un proyecto .............. Resumen ............................................................................................................ Cuestiones ......................................................................................................... Respuestas a las cuestiones ................................................................................

41 42 44 46 48 53 54 56

© Ediciones Pirámide

PI00227701_00b.indd 11

11

08/07/13 13:21

Índice

12

PI00227701_00b.indd 12

3. Programación con recursos limitados ....................................................

63

3.1. Los problemas acumulativos .................................................................... 3.2. Método Manpower Scheduling.................................................................. 3.3. Ejemplo de aplicación .............................................................................. Resumen ............................................................................................................ Cuestiones ......................................................................................................... Respuestas a las cuestiones ................................................................................

65 66 69 74 76 77

4. PERT coste: método del camino crítico (M) ......................................

85

4.1. Introducción ............................................................................................. 4.2. Coeficiente de costes ................................................................................ 4.3. Programación por el método M (PERT coste) .................................... Resumen ............................................................................................................ Cuestiones ......................................................................................................... Respuestas a las cuestiones ................................................................................

87 88 91 97 98 99

5. Método de los potenciales (ROY) ..............................................................

109

5.1. El grafo en el método de los potenciales (ROY) ....................................... 5.2. Comparación entre métodos ROY y PERT.............................................. 5.3. Ligaduras disyuntivas............................................................................... Resumen ............................................................................................................ Cuestiones ......................................................................................................... Respuestas a las cuestiones ................................................................................

111 115 115 119 120 121

Apéndice ...............................................................................................................

127

Bibliografía ...........................................................................................................

136

© Ediciones Pirámide

11/07/13 10:15

Prólogo

La planificación, programación y control de proyectos requiere de técnicas específicas diferentes a las utilizadas en el campo de la producción más o menos repetitiva. En este caso de proyectos singulares, es decir, cosas que no suelen ser repetitivas (su origen procede de las dificultades encontradas en la programación de operaciones del cohete Polaris con las técnicas hasta entonces conocidas), se emplean técnicas que tanto podrían ser empleadas en el campo de la construcción de edificios como en la construcción de un avión, o en casos de menor envergadura como el de programar el mantenimiento durante una parada de la fábrica para que sea de la mínima duración y al menor coste. El presente libro intenta ayudar a resolver esta problemática, exponiendo de forma clara la teoría y la práctica correspondiente; al final de los diferentes capítulos hay un resumen y se plantean preguntas y problemas que más adelante se encuentran resueltos, permitiendo una autoevaluación. El libro se ha estructurado en cinco capítulos: — El capítulo primero es introductorio, y nos da a conocer los métodos para la planificación, los diagramas de Gantt, la teoría de grafos aplicada a proyectos y los conceptos utilizados en la teoría de grafos. — El capítulo segundo trata del método PERT indicando los pasos a seguir para la planificación de un proyecto, describiendo el PERT determinista y probabilista, así como la determinación de la probabilidad del cumplimiento de plazos de la duración de un proyecto. — El capítulo tercero está dedicado a la programación con recursos limitados, indicando la forma de resolver el problema que se presenta cuando faltan recursos y como el método Manpower Scheduling sirve de ayuda a los procedimientos PERT y ROY cuando el objetivo buscado es minimizar la duración del proyecto. El capítulo finaliza con un ejemplo de aplicación de dicho método. © Ediciones Pirámide

PI00227701_00b.indd 13

13

08/07/13 13:21

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control — El capítulo cuarto trata del PERT coste (M), y comienza con una introducción y a continuación se indican los pasos a seguir para llevar a cabo la programación por el método M, acabando el capítulo con un ejemplo de aplicación. — El capítulo quinto explica el método de los potenciales (ROY). Comienza con una descripción del grafo en el método de los potenciales, desarrolla un ejemplo de aplicación y se comparan los métodos ROY y PERT.

14

PI00227701_00b.indd 14

© Ediciones Pirámide

08/07/13 13:21

1

Planificación, programación y control de proyectos

Después de leer este capítulo usted deberá: • Saber distinguir las particularidades y características principales de los proyectos y la necesidad de encontrar un enfoque adecuado para su gestión. • Poder identificar las partes que componen un proyecto, sus características principales y el tipo de ligaduras que las interrelacionan.

PI00227701_01.indd 15

• Saber utilizar las herramientas principales aplicables a la planificación, programación y control de proyectos. • Saber aplicar los conceptos principales de la teoría de grafos: red, sucesos y actividades y sus particularidades. • Poder representar correctamente la red correspondiente a las relaciones entre sucesos y actividades de un proyecto para los métodos PERT y M.

04/07/13 15:34

PI00227701_01.indd 16

04/07/13 15:34

1.1. INTRODUCCIÓN Un proyecto se puede definir como un conjunto de tareas diferenciables, que se ejecutan según un orden determinado, con el objetivo de obtener un producto o servicio únicos. A las agrupaciones de tareas u operaciones se les denomina actividades, de forma que una actividad puede comprender una sola tarea, o bien una serie de ellas. Es una estructura de organización temporal que se diseña para alcanzar unos resultados, pues, a diferencia del trabajo de producción que suele realizarse durante largos períodos de tiempo y no tiene un punto de inicio y final definidos, los proyectos tienen un principio y un final, se suelen realizar fuera del sistema de producción normal y se crea una organización específica para el trabajo que, a menudo, se disuelve cuando se termina. Por tanto, en la organización del proyecto se trata de agrupar las personas y los recursos necesarios durante un tiempo limitado. La dirección del proyecto se enfrenta al problema de cómo coordinar las diversas actividades para lograr su objetivo, es decir, la planificación, programación y posterior control de la realización del proyecto: 1. 2. 3.

© Ediciones Pirámide

PI00227701_01.indd 17

Planificación: consiste en fijar el objetivo, definir el proyecto y organizar el equipo. Programación: asignar los recursos (personas, dinero, suministros) a actividades específicas y relacionarlas entre sí. Control del progreso de la ejecución: supervisar recursos, calidad, costes, presupuestos, cumplimiento de plazos. Puede ser necesario cambiar o revisar los planes, que suele llevar aparejadas modificaciones en recursos y presupuestos para poder cumplir los plazos.

17

04/07/13 15:34

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control

Objetivo ¿Qué hay que hacer?

Figura 1.1.

Proyecto ¿Cómo?

Control Verificar lo hecho

Etapas a realizar para planificar un proyecto.

Existe una gran variedad de proyectos; dependerán de los distintos sectores empresariales que los demanden. Se aplicarán diferentes tecnologías que precisarán distintos tipos de requerimientos. Sin embargo, todos ellos presentan puntos comunes que permiten generalizar métodos para planificar, programar y controlar su posterior ejecución.

1.2. MÉTODOS PARA LA PLANIFICACIÓN Los proyectos se componen de una serie de etapas interrelacionadas en las que se han de efectuar actividades de forma que se cumplan determinadas condiciones, por ejemplo, que una actividad no puede iniciarse si primero no se ha completado otra. La complicación crece con el aumento del número de tareas y cuando los programas se deben realizar apretados en el tiempo disponible. Por tanto, se debe buscar un enfoque apropiado de los proyectos. Las características a tener en cuenta en el conjunto de actividades que componen un proyecto pueden ser de fechas, de duración y de recursos. Suponiendo que los problemas tecnológicos ya han sido resueltos, la ordenación de la ejecución de las tareas está sometida a un conjunto de limitaciones o «ligaduras» que condicionan los valores de sus características como, por ejemplo, la mano de obra, el equipo, los proveedores, las penalizaciones, la climatología, etc. Las ligaduras entre las actividades pueden ser de tres tipos: 1.

18

PI00227701_01.indd 18

Ligaduras potenciales: determinan la posición de la actividad en el tiempo o respecto a otras actividades y su sucesión. En los proyectos en que el factor dominante es la duración y sólo se desea un cumplimiento de los plazos o etapas, generalmente, sólo se tienen en cuenta este tipo de ligaduras. Se suele obtener una representación suficiente de la realidad, pues determinar la duración de una tarea implica la asignación de unos recursos (mano de obra, maquinaria, etc.) y, por tanto, un coste asociado a su ejecución. El objetivo de la aplicación de los métodos que ayudan a resolver los «problemas potenciales» de la planificación es la obtención de un «calendario»; es decir, fijar las fechas en que deben comenzar y termi© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:34

Planificación, programación y control de proyectos

2.

3.

nar cada una de las actividades de forma que permita llevar a cabo el proyecto de forma eficiente. Ligaduras acumulativas: producidas por la acumulación de recursos que limitan las actividades que pueden realizarse simultáneamente; generalmente, la mano de obra. Los problemas acumulativos se dan cuando la suma de los niveles de un recurso determinado, utilizados por todas las tareas en un mismo momento, superan el nivel total del recurso disponible. Se pueden utilizar diversos procedimientos para salvar una punta en la curva de carga: horas extras, obreros eventuales, utilización de una especialidad distinta pero afín, etc. Todos estos procedimientos llevan asociado un conjunto de matices difícilmente expresables en forma analítica, por lo que la solución se suele apoyar en métodos heurísticos, basados en un conjunto de reglas de sentido común, que permitan obtener un programa satisfactorio, es decir, soluciones óptimas localmente y suficientemente próximas al óptimo absoluto. Ligaduras disyuntivas: producidas también por la limitación de recursos, esencialmente de un equipo. Cuando coinciden en el tiempo la realización de dos tareas distintas, si precisan de una única máquina, ¿cuál realizar primero? Una tarea deberá esperar a que acabe la otra, pero ¿cuál debe esperar? En cuanto se decida el orden de ejecución entre ambas, desaparece la ambigüedad y la ligadura queda reducida a potencial.

1.3. ESTRUCTURA DE DESCOMPOSICIÓN DEL TRABAJO (EDT) Las actividades en que se descompone un proyecto corresponden a conjuntos de operaciones y tareas, agrupadas en tamaños manejables para su realización.

Proyecto Subproyecto Actividades Tareas Operaciones

Figura 1.2.

© Ediciones Pirámide

PI00227701_01.indd 19

Descomposición por niveles de un proyecto (EDT).

19

04/07/13 15:34

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control Para determinarlas, se descompone el proyecto de forma parecida a un organigrama técnico: en forma de árbol, por niveles (en subproyectos, tareas, operaciones, etc.), hasta un nivel que permita asignar a una persona concreta la responsabilidad del trabajo. La agrupación conveniente de tareas u operaciones forman las actividades. A su representación gráfica, el Project Management Institute (PMI) la denomina estructura de descomposición del trabajo (EDT). Además de ser un instrumento muy simple, la EDT ayuda a organizar los grupos de personas más apropiadas y asignarlas a las diferentes partes del proyecto. Esto permite estimar sus duraciones y costes. Sumadas todas, obtendremos la duración y coste previsto del proyecto. La descomposición puede realizarse por especialidades o por fases. Podemos  verlo en el siguiente ejemplo de construcción e instalación de un taller mecánico. — En la descomposición por especialidades se divide en áreas de especialización: albañilería, carpintería, fontanería y electricidad.

Construcción de taller mecánico Albañilería

Carpintería Fontanería

Explanación

Marcos

Cimientos

Puertas

Cerramientos Ventanas Paredes

Figura 1.3.

Acabados

Electricidad

Suministros Tendido líneas Desagües Instalaciones Sanitarios Instalación maquinaria

Ejemplo EDT por especialidades.

Este enfoque simplifica la división del trabajo. Así, por ejemplo, para discutir una cuestión de albañilería, reuniremos a los albañiles. — Descomposición por fases: las fases son momentos en el tiempo en los que se completa una parte significativa del proyecto. En una EDT por fases, una de ellas acaba cuando empieza la siguiente. En este caso la descomposición ha sido en: cimientos, construcción exterior y construcción e instalación interior. La dificultad de esta opción es que si se nece-

20

PI00227701_01.indd 20

© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:34

Planificación, programación y control de proyectos

Construcción de taller mecánico Construcción exterior

Construcción interior

Explanación

Estructura

Instalación eléctrica

Encofrado

Paredes

Maquinaria y equipos

Vertido de hormigón

Desagües

Cimientos

Acabados Tuberías Limpieza

Figura 1.4.

Ejemplo EDT por fases.

sita convocar una reunión para una fase determinada, probablemente puede llegar a incluir, a personal de todas las especialidades involucradas en el proyecto. Trabajo genérico: al realizar la descomposición de un proyecto nos podemos encontrar con trabajos que no estén asociados a una tarea en particular, pero que puede llegar a afectar a muchas actividades, por ejemplo, secretarias, o el responsable de la fotocopiadora. Son «genéricos». Se tiene que evitar catalogar un trabajo como «genérico» cuando podría asignarse a una tarea específica. El trabajo genérico se presupuesta, pero es difícil de medir en términos de rendimiento. La gente que se dedica a un trabajo genérico puede visualizarse en la EDT en el nivel donde ejecuta su trabajo.

1.4. ENFOQUE DE SISTEMAS PARA LA GESTIÓN DE PROYECTOS Tanto desde el punto de vista de ingeniería de sistemas como de gestión de procesos, podemos decir que cada tarea en la EDT es un proceso que convierte entradas en salidas. Desde este punto de vista, las entradas en cada una de las tareas deben proceder de algún lugar y cada una de las salidas generadas se ha de necesitar en alguna otra parte del proyecto. Antes de poder determinar una tarea de un proyecto debemos tener ciertas entradas procedentes de otras partes del mismo, o de alguna parte, o de alguien ajeno al proyecto. Una vez que tenemos las entradas necesarias, podemos proce© Ediciones Pirámide

PI00227701_01.indd 21

21

04/07/13 15:34

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control

Entradas

Proceso

Salidas

Diseño de abastecimiento de agua potable

– Número de habitantes a abastecer – Dotación (l/h/día) – Longitudes y pendientes

Figura 1.5.

– Caudal necesario – Diámetro tuberías y presiones – Presiones y timbraje de tuberías – Obras y rios

Enfoque de sistemas. Ejemplo: diseño de abastecimiento de agua potable.

sarlas realizando la tarea. Los resultados son las salidas que deben necesitarse en alguna otra parte del proyecto, o deben contribuir a una entrega. Cuando nos servimos de este enfoque, una persona verá las entradas que son necesarias para poder ejecutar su trabajo, determinando las salidas, que son los productos de esa tarea, y buscará al director de tareas que necesita unas entradas que sean justo las salidas que producirá. De esta manera cada entrada y cada salida se examinan desde un punto de vista de creación y consumo. Este enfoque sirve de verificación de la EDT, pues, si una tarea requiere una entrada y no la podemos encontrar, significa que es necesario crear una nueva tarea o, al menos, asignar esa entrada como la salida de una de las tareas del proyecto, o bien comprar la entrada de una fuente externa. Si la salida de una tarea no puede localizar otra tarea que la requiera como entrada, o si no contribuye a terminar una entrega, entonces debemos preguntarnos: «¿es necesaria esa salida?». Puede que podamos eliminar ese trabajo del proyecto. Así, un beneficio adicional es que tenemos la oportunidad de eliminar del proyecto características innecesarias o trabajo que alguien cree que debería hacerse, pero que no requiere el proyecto.

1.5. PROJECT MANAGEMENT-GESTIÓN DE PROYECTOS Hemos centrado nuestro estudio solamente en la planificación, programación y control de proyectos. El project management se traduce por gestión de proyectos, que tiene un significado más amplio, pues se extiende a todos los niveles de las etapas del proyecto. La gestión incluiría: — La definición y el alcance del proyecto; realizar la estimación estadística del coste, diferencia entre coste estimado y precio, estudios de mejora de costes.

22

PI00227701_01.indd 22

© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:34

Planificación, programación y control de proyectos — La gestión de costes: provisiones para atender riesgos, tener en cuenta el valor temporal del dinero, indicadores financieros, amortización. — Realizar la gestión del tiempo; la gestión de los recursos humanos: liderazgo, motivación, obtención de personal, coordinación de los recursos humanos, estructura de los equipos, enriquecimiento y ampliación del puesto de trabajo, delegación del trabajo. — La gestión de riesgos. — La gestión de la calidad, economía de la calidad. — Gestionar la comunicación.

1.6. DIAGRAMA DE GANTT La primera herramienta formal para coordinar las actividades que deben realizarse al ejecutar un proyecto la ideó Henry Gantt para su aplicación en el arsenal de Frankford (año 1917). Consiste en representar la programación de las tareas mediante unas barras cuya longitud representa su duración. Para ello: 1.º

Se divide el proyecto en las actividades que hay que realizar para su ejecución. La duración de cada trabajo se representa, a la escala deseada, por una barra de forma que: Duración = longitud de la barra

2.º

Sobre una escala de tiempos se colocan las actividades (barras) por orden de precedencia, marcado por las ligaduras que las relacionan. Esto permite ver cuándo pueden empezar y terminar cada una de las actividades.

El seguimiento y control del proyecto se hace señalando el estado del trabajo a medida que va progresando. Existe un testigo que indica la fecha actual, lo que permite ver qué tareas están al día, adelantadas o retrasadas. Ejemplo de aplicación: Se desea realizar un proyecto de construcción e instalación de un taller mecánico que consta de una sección de prensas y otra de máquinas-herramientas. Se han considerado las fases principales y calculado las duraciones previstas en función de los recursos a utilizar. Técnicamente se sabe que: — Las bases de apoyo de prensas (E) pueden empezarse una vez terminadas la explanación y cimentaciones (A). — El montaje de grúa para prensas (F) y el tendido eléctrico a máquinas (G) no se puede hacer hasta que esté terminada la nave (D). © Ediciones Pirámide

PI00227701_01.indd 23

23

04/07/13 15:34

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control — El montaje de prensas (I) no se puede hacer hasta estar colocadas la grúa (F) y las bases (E). — Para instalar las máquinas-herramientas (J) debe estar terminado su tendido eléctrico (G). — La maquinaria auxiliar de prensas se puede instalar (K) simultáneamente con la prensa (I); al igual que la instalación del cuarto de útiles (L) con las máquinas-herramientas (J). — La pintura general (M) exige que estén colocadas puertas y ventanas (K) e instaladas prensas (I) y máquinas-herramientas (J), pero no es necesario que esté terminado el cuarto de útiles (L) y la maquinaria auxiliar de las prensas (K). Toda esta información se resume en la tabla 1.1 donde a cada operación se le ha asignado una letra de referencia y las duraciones previstas están expresadas en semanas. TABLA 1.1 Ref.

Descripción de la operación

PI00227701_01.indd 24

Op. anterior

Op. posterior

4

—

D, E

A

Explanación del terreno y cimentaciones.

B

Pedido de prensas hasta su entrega.

20

—

I, K

C

Pedido de máquinas-herramientas hasta su entrega.

10

—

J, L

D

Construcción de la nave industrial.

12

A

F, G, H

E

Construcción de las bases de apoyo de las prensas.

8

A

I, K

F

Instalación de grúa para colocar las prensas.

3

D

I, K

G

Tendido de líneas eléctricas a máquinas.

2

D

J, L

H

Colocación de puertas y ventanas.

4

D

M

I

Montaje e instalación de las prensas.

2

B, E, F

M

J

Instalación de máquinas-herramientas y su fijación.

2

C, G

M

K

Colocación de la maquinaria auxiliar de las prensas.

4

B, E, F

—

L

Cuarto de útiles de las máquinas-herramientas.

3

C, G

—

4

H, I, J

—

M Pintura general.

24

Duración

© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:34

Planificación, programación y control de proyectos En la figura 1.6 se recoge su representación en un diagrama de Gantt:

Ahora A B C D E F G H I J K L M 0

4

10

16

20

26

Semanas

Figura 1.6.

Diagrama de Gantt correspondiente a los datos de la tabla 1.1.

En el ejemplo, se ha empezado desde la fecha «0» hacia delante hasta acabar el proyecto, pero cuando hay que cumplir con una fecha de terminación, es corriente empezar colocando el «0» en la fecha de terminación e ir hacia atrás hasta dar con la fecha de comienzo del proyecto. También podemos observar que la ejecución del proyecto ha llegado a la semana número 11; se ha terminado la actividad A, la ejecución de la actividad B va adelantada dos semanas, las actividades C y D van retrasadas 4 y 1 semanas, respectivamente, y la actividad E se lleva según lo programado.

1.7. TEORÍA DE GRAFOS APLICADA A PROYECTOS El diagrama de Gantt, aunque sigue siendo de gran ayuda, ha sido abandonado como única herramienta para la planificación de grandes proyectos. Tiene la ventaja de su simplicidad, que permite la programación de las tareas de una © Ediciones Pirámide

PI00227701_01.indd 25

25

04/07/13 15:34

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control forma fácil y dando una buena visión de conjunto. Sin embargo, presenta algunos inconvenientes: 1.

2.

Si el tiempo de cualquier tarea representada en el diagrama es diferente al que se ha necesitado realmente, el gráfico no refleja la realidad del proyecto, a menos que se vaya actualizando constantemente. Si el proyecto se retrasa, no se ve claramente qué tareas acelerar (ni el coste de esa aceleración) para no retrasar la fecha de terminación.

La evolución resultó de la aplicación de la teoría de grafos a la planificación de proyectos. La representación gráfica del proyecto en forma de red permite seguir paso a paso el orden de realización de las tareas hasta completar su ejecución. Los sistemas más conocidos son: — PERT (Program Evaluation and Review Technique: técnica de valoración y revisión de programas): Creado por Booz, Hallen y Hamilton hacia 1957 y puesto en práctica en 1958, cuando la Armada estadounidense y la Lockheed tenían que realizar un proyecto complicado. Se trataba del cohete balístico Polaris. Representaba organizar unas 250 empresas (contratistas directos) y cerca de 11.000 proveedores y contratistas indirectos. Por su interés estratégico, convenía realizarlo en el menor tiempo posible, con el agravante de que la mayoría de los aspectos del programa eran nuevos (no se tenía historia de tiempos). Se calcula que se consiguió ahorrar dos años en un proyecto de cinco años de duración total. Es el método que se ha popularizado más. — M (Critical Path Method: método del camino crítico): Ideado por Kelley y Walter hacia 1958 aproximadamente, para el proyecto de una planta química en Lovosville (Kentucky) de la empresa Dupont de Nemours, cuyo interés se centraba en realizarlo con el menor coste posible. Por tanto, había que encontrar la duración para obtener el coste total óptimo. Estos dos métodos se mantuvieron en secreto durante tres años, pasados los cuales se dieron a conocer los resultados obtenidos. — MÉTODO DE LOS POTENCIALES, o ROY: Bernard Roy, de Astilleros del Atlántico (Francia), publica el primer artículo sobre este método en 1959 y lo presenta en 1960 en el congreso de la IFORS (International Federation of Operations Research Society). Sin embargo, su desarrollo fue poco importante comparado con la difusión de los métodos anteriores. El gran desarrollo en el mundo del PERT y del M ha hecho volver al interés por el ROY. Presenta algunas ventajas sobre ellos, pues se le considera más intuitivo.

26

PI00227701_01.indd 26

© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:34

Planificación, programación y control de proyectos

1.8. CONCEPTOS USADOS EN LA TEORÍA DE GRAFOS. ELEMENTOS DE UN GRAFO La red nos ha de mostrar el orden de la realización de las tareas. Empecemos por dar algunas definiciones: — RED: conjunto de nudos conectados por un conjunto de líneas, en nuestro caso dirigidas (flechas). Además serán redes «activas», es decir: • Existe relación de precedencias entre actividades: algunas tareas deberán ejecutarse necesariamente antes (o después) de otras, mientras otras podrán realizarse independientemente (o en paralelo) a otras. • Cada actividad tiene una duración. Se distingue entre: — SUCESOS (o eventos), representados por los nudos en el PERT y M. Han de estar perfectamente definidos para evitar ambigüedades. — ACTIVIDADES (o tareas), representadas por flechas en el PERT y M, que son los trabajos a realizar para pasar de un suceso a otro. Tienen las propiedades de consumir tiempo, energía, dinero, recursos humanos, y precisan de un cierto talento para ser realizadas. Su longitud no representa su duración.

1.9. DIBUJO DEL GRAFO EN LOS MÉTODOS PERT Y M Desde el primer nudo que representa el suceso «inicio del proyecto» y siguiendo la secuencia de actividades, según las precedencias, los sucesos van quedando conectados por actividades (flechas) que los enlazan. De esta manera se obtienen «cadenas de actividades» y con ellas la representación del proyecto completo. Numerando los nudos, las actividades quedan determinadas por la pareja de números correspondientes a su nudo inicial y final. Conviene recordar que la longitud de la flecha no representa la duración de la actividad.

Aij i Ni

Figura 1.7.

© Ediciones Pirámide

PI00227701_01.indd 27

j Nj

i

j

Actividad (k,l) k l Nudo Nudo inicial final de (k,l) de (k,l)

m

Representación de una actividad y cadena de actividades.

27

04/07/13 15:34

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control Las relaciones de precedencia pueden ser de tipo lineal, convergente, divergente o convergente-divergente. En la construcción de la red se deben respetar los tres principios siguientes: 1. 2. 3.

Principio de unicidad del estado inicial y final: existe un solo nudo de inicio y un solo nudo final. Principio de designación unívoca: no permite dos o más actividades con mismo nudo de partida y final. Principio de designación sucesiva: prohíbe numerar un nudo si se encuentra sin numerar alguno de los que parten flechas que acaban en él.

Ejemplo de aplicación: Dibujar el grafo de un proyecto que se ha descompuesto en cinco actividades, sabiendo que la actividad A debe preceder a las actividades B y C; la actividad B debe preceder a la actividad D y que las actividades C y D deben preceder a la actividad E. Se puede expresar mediante la siguiente tabla 1.2: TABLA 1.2 Actividad

A

B

C

D

E

Precedencia

—

A

A

B

C D

Los grafos parciales de las precedencias divergente, lineal y convergente, respectivamente:

B

D

A

D

B

E

C

C

Figura 1.8.

Grafos parciales de precedencias.

El grafo del proyecto:

B 1

Figura 1.9.

28

PI00227701_01.indd 28

A

2

3 C

D 4

E

5

Grafo correspondiente a los datos de la tabla 1.2.

© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:34

Planificación, programación y control de proyectos Se han numerado los nudos evitando duplicidades y cumpliendo el principio de designación sucesiva. De esta manera, al numerar los nudos quedan numeradas las actividades: la A pasa a ser la actividad (1,2); la B actividad (2,3) y así sucesivamente.

1.10. TIPOS DE ACTIVIDADES EN REDES PERT Y M — Algunas veces se pone delante una actividad «TP» que representa el «tiempo de preparación» antes del comienzo. A efectos de cálculo su duración es cero. Se representa con línea sinuosa.

TP 0

Figura 1.10.

1

A

2

Representación del tiempo de preparación.

— Actividades restrictivas: en el tiempo de preparación se pueden realizar una serie de actividades restrictivas, que no son actividades internas a la ejecución del proyecto, pero que pueden afectar al inicio de alguna actividad. Suelen ser del tipo: petición de autorización, permisos municipales, condiciones estacionales, consecución de financiación, etc. En la figura 1.11 se representa la actividad restrictiva F que afecta al comienzo de las actividades B y C.

F 0

1

B A

2 C

Figura 1.11.

© Ediciones Pirámide

PI00227701_01.indd 29

Representación de actividad restrictiva.

29

04/07/13 15:34

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control — Actividades ficticias: en una red puede ocurrir que, entre un mismo suceso inicial y final, aparezcan paralelamente varias actividades. Para cumplir el «principio de designación unívoca» se crean «actividades ficticias» y así evitar la posibilidad de que dos actividades diferentes tengan el mismo nudo inicial y final. Se procura dejar la conexión directa a la actividad de mayor duración.

A

A B

i

j

Figura 1.12.

B

i C

C

k j

l

Actividades ficticias para cumplir el principio de designación unívoca.

También puede ocurrir que de un nudo partan actividades distintas con condiciones de precedencia diferentes. Dado que la red ha de representar fielmente las restricciones y ligaduras del proyecto, obligará a la introducción de actividades ficticias. Supongamos un proyecto cuyas actividades y precedencias sean las que se dan en la tabla 1.3: TABLA 1.3 Act.

A

B

C

D

Prec.

—

—

B

A B

La única manera de reflejar en la red que para empezar la actividad C sólo es necesario que haya finalizado la actividad B y que para empezar la actividad D tiene que estar además acabada la actividad A es:

D

A

B

Figura 1.13.

30

PI00227701_01.indd 30

C

Grafo correspondiente a la tabla 1.3.

© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:34

Planificación, programación y control de proyectos Respecto a la utilización de actividades ficticias, es muy importante tener en cuenta que en la construcción de la red se deben emplear la menor cantidad posible de actividades ficticias. Dicho de otra manera, se considera mal realizada la red en que sobren (por redundantes) actividades ficticias ya que son actividades inexistentes en la realidad del proyecto; por tanto, consumen cero energía, cero tiempo, cero dinero, cero recursos humanos y no se requiere de ningún talento para ejecutarlas. Se ponen en la red sólo cuando es necesario para poder cumplir estrictamente las relaciones de precedencia, o para evitar confusiones entre actividades, o para salvar el problema de las ligaduras disyuntivas.

© Ediciones Pirámide

PI00227701_01.indd 31

31

04/07/13 15:34

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control

RESUMEN — Los proyectos se componen de una serie de etapas interrelacionadas en las que se deben realizar actividades sometidas a unas ligaduras que pueden ser potenciales, acumulativas o disyuntivas. — Las ligaduras potenciales determinan la posición de la actividad en el tiempo, o respecto a otras actividades y su sucesión. Resolver los «problemas potenciales» de la planificación consiste en conseguir un calendario de inicio y fin de las actividades y generalmente nos dan una aproximación bastante buena de la realidad. — Las ligaduras acumulativas se dan cuando la suma de los niveles de un recurso determinado, utilizados por todas las tareas en un mismo momento, superan el nivel total del recurso disponible. Generalmente se refiere al recurso: mano de obra. — Las ligaduras disyuntivas se dan cuando al coincidir en el tiempo la realización de dos tareas existe una limitación de recursos, esencialmente de un equipo. — La EDT (estructura de descomposición del trabajo) es una representación gráfica de todo el trabajo que hay que hacer para terminar el proyecto; ayuda a organizar y asignar los grupos de personas más apropiadas a las diferentes partes del proyecto, a estimar sus duraciones y costes. El enfoque de sistemas aplicado a la gestión de proyectos sirve de verificación de la EDT eliminando del proyecto características innecesarias. — Para preparar una EDT se puede realizar la descomposición del trabajo por especialidades o por fases. Las fases son momentos en el tiempo en los que se completa una parte significativa del proyecto. La descomposición por especialidades simplifica la división del trabajo.

32

PI00227701_01.indd 32

— Son trabajos «genéricos» aquellos que, al realizar la descomposición de un proyecto, no estén asociados a una tarea en particular, pero que pueden llegar a afectar a muchas actividades. Son difíciles de medir en términos de rendimiento. Pueden visualizarse en la EDT en el nivel donde se ejecutan. — El diagrama de Gantt consiste en representar la programación de las tareas mediante unas barras cuya longitud representa su duración. Ha sido la primera herramienta formal para coordinar las actividades que deben realizarse al ejecutar un proyecto. — La evolución del diagrama de Gantt ha sido la aplicación de la teoría de grafos, representando gráficamente la planificación del proyecto en forma de red. Los tres métodos más conocidos son el PERT, el M y el de los potenciales o ROY. — Los elementos principales de un grafo son: • Red formada por un conjunto de nudos conectados por un conjunto de flechas. • Sucesos o eventos, que son los nudos de la red en el PERT y el M. • Actividades, que son los trabajos a realizar para pasar de un suceso a otro. Están  representadas por flechas en el PERT y el M. — En la construcción de la red se deben respetar los tres principios siguientes: 1. Principio de unicidad del estado inicial y final: existe un solo nudo de inicio y un solo nudo final. 2. Principio de designación unívoca: no permite dos o más actividades con mismo nudo de partida y final. 3. Principio de designación sucesiva: prohíbe numerar un nudo si se en-

© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:34

Planificación, programación y control de proyectos

cuentra sin numerar alguno de los que parten flechas que acaban en él. — Las redes de los métodos PERT y M pueden contener actividades ficticias. Se ponen sólo cuando es necesario, para poder cum-

© Ediciones Pirámide

PI00227701_01.indd 33

plir estrictamente las relaciones de precedencia, o para evitar confusiones de designación entre actividades, o para salvar el problema de las ligaduras disyuntivas, y se considera mal realizada la red con más actividades ficticias que las estrictamente necesarias.

33

04/07/13 15:34

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control

CUESTIONES 1.

Un proyecto se descompone en cinco actividades de forma que la actividad A puede empezar después del tiempo de preparación; las actividades B y C pueden empezar en cuanto termine la actividad A; la actividad D puede comenzar al acabar la actividad B y deben estar acabadas las actividades C y D para iniciar la actividad E. Existe además una actividad restrictiva F que afecta al principio de la actividad A, es decir, F debe estar completada para iniciar A. Con estos datos, construya una tabla de actividades/precedencias y realice el grafo correspondiente.

2.

Realizar el grafo correspondiente al proyecto cuyas actividades y precedencias se indican en la siguiente tabla 1.4:

TABLA 1.4

3.

Actividad

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

Precedencia

—

—

—

A

A

D

D

D

B E F

C G

B E F

C G

H I J

Realizar el grafo correspondiente al proyecto cuyas actividades y precedencias se indican en la siguiente tabla 1.5:

TABLA 1.5

4.

Actividad

A

B

C

D

E

F

G

H

I

Precedencia

—

A

A

B, C, H

D, G

C, H

C, H

A

H

Realizar el grafo correspondiente al proyecto cuyas actividades y precedencias se indican en la siguiente tabla 1.6:

TABLA 1.6

34

PI00227701_01.indd 34

Actividad

A

B

C

D

E

F

G

Precedencia

—

—

A

A, B

A, B

C, D

E, D

Duración

3

4

5

6

7

8

9

© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:34

Planificación, programación y control de proyectos 5.

Realizar el grafo correspondiente al proyecto cuyas actividades y precedencias se indican en la siguiente tabla 1.7:

TABLA 1.7 Actividad

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

Precedencia

—

—

A

B

C, D

C, D

E

E

F, G

F, G

E

Duración

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

RESPUESTAS A LAS CUESTIONES 1.

La tabla de actividades y precedencias y el grafo serán:

TABLA 1.8 Tabla de datos correspondiente al ejercicio propuesto 1 Actividad

F

A

B

C

D

E

Precedencia

—

—

A F

A

B

C D

Al ser la actividad F restrictiva, parte del inicio del tiempo de preparación y, al afectar sólo al inicio de la actividad B, obliga a situar una actividad ficticia A′ del nudo 2 al nudo 3; de esta manera la condición de empezar C es que tan sólo esté terminada A y para empezar B deben concluir A y F.

3 F TP 0

1

PI00227701_01.indd 35

A

2

4 D

A´

Figura 1.14.

© Ediciones Pirámide

B

C

5

E

6

Grafo correspondiente a la cuestión 1.

35

04/07/13 15:34

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control 2.

El enunciado de la cuestión coincide con el de la tabla 1.4, utilizado como ejemplo de aplicación de la gráfica de Gantt, figura 1.6.

4 B E 1

A

D

2

K

I

F H

3 G

M

6 J

7

L

C 5

Figura 1.15.

Grafo correspondiente a la cuestión 2.

3.

1

A

6

G

C

2

D

5

B

E

4

F

H

7

I 3

Figura 1.16.

Grafo correspondiente a la cuestión 3.

4. C

2

5 F

A 4

1

7

D G

B 3

Figura 1.17.

36

PI00227701_01.indd 36

E

6

Grafo correspondiente a la cuestión 4.

© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:34

Planificación, programación y control de proyectos 5. 5

2 A

C

H

E

K

G 4

1 B

D 3

Figura 1.18.

© Ediciones Pirámide

PI00227701_01.indd 37

7

8

I

F 6

J

Grafo correspondiente a la cuestión 5.

37

04/07/13 15:34

PI00227701_01.indd 38

04/07/13 15:34

2

El método PERT

Después de leer este capítulo usted deberá: • Poder describir el camino a seguir para planificar un proyecto por el método PERT. • Saber diferenciar entre los tipos de PERT determinista y probabilista. • Poder determinar las diferentes fechas de principio y fin de las actividades, así como sus holguras.

PI00227701_02.indd 39

• Reconocer las actividades críticas y señalar el camino crítico. • Saber optimizar la duración de un proyecto por el método PERT en el caso determinista. • Poder estimar la duración del proyecto asociada a una probabilidad en el PERT probabilista.

08/07/13 13:14

PI00227701_02.indd 40

08/07/13 13:14

2.1. PASOS A SEGUIR EN LA PLANIFICACIÓN DE UN PROYECTO POR EL MÉTODO PERT Ante un proyecto que se desee planificar los pasos a seguir son: 1. 2.

3.

Concretar el objetivo del proyecto: será el suceso o evento final; por tanto, el último nudo de la red. Confeccionar una lista de actividades que intervienen en su realización. Una EDT (estructura de descomposición del trabajo) es una herramienta de gran ayuda en proyectos complejos. Encontrar el orden lógico de ejecución para definir las precedencias, es decir, para cada actividad preguntar: — ¿Qué actividad precede a ésta? — ¿Qué actividad debe seguir a ésta? — ¿Qué puede realizarse paralelamente al suceso inicial de esta actividad? Mediante el enfoque de sistemas, considerando las actividades como procesos que han de convertir unas entradas (inputs) en unas salidas (outputs), lograremos contestar las preguntas y al mismo tiempo depurar la EDT del proyecto de tareas redundantes o innecesarias.

4. Dibujar el grafo (red). 5. Cálculo de las fechas de inicio y fin y duración total mínima del proyecto. 6. Cálculo de las holguras y determinación del camino crítico. Los cuatro primeros apartados ya los hemos tratado en el capítulo anterior. © Ediciones Pirámide

PI00227701_02.indd 41

41

08/07/13 13:15

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control Para resolver los puntos restantes nos encontramos ante dos posibilidades: o bien que las duraciones de las actividades se puedan considerar perfectamente conocidas y determinadas, caso «determinista»; o, por el contrario, que deban ser estimadas estadísticamente, lo que llevará aparejado un riesgo en la estimación y una probabilidad asociada a su cumplimiento, caso «probabilista». A continuación veremos cómo actuar para calcular las fechas de las actividades y la duración del proyecto en ambos casos.

2.2. PERT DETERMINISTA Suponemos que conocemos con exactitud la duración (d) de las actividades. Empezaremos asignando la fecha cero al suceso inicial. Para calcular las fechas en que se irán obteniendo los sucesos (nudos) del proyecto, bastará ir avanzando por la red para obtener la programación. Sin embargo, debemos dar dos definiciones previas: — Fecha lo más pronto posible en la que puede empezar o acabar una actividad (early) {ti}. — Fecha lo más tarde permisible en la que puede empezar o terminar una actividad (last) {ti*}.

(j)

(i) ti

Figura 2.1.

d(i,j)

ti*

tj

tj*

Nudo (i): suceso inicial, nudo (j): suceso final de la actividad (i, j) de duración d (i, j).

Lo aplicaremos al proyecto que se ha descompuesto en siete actividades, cuyas precedencias y duración en días se dan en la tabla 2.1, y el grafo resultante de las precedencias en la figura 2.2: TABLA 2.1

42

PI00227701_02.indd 42

Actividad

A

B

C

D

E

F

G

Duración

1

2

3

4

5

6

7

Precedencia

—

A

A

A

B

C, E

D

© Ediciones Pirámide

08/07/13 13:15

El método PERT Empezamos calculando la fecha más temprana posible, desde el suceso inicial (que será cero) al final, sumando las duraciones de las actividades. Así, para la actividad A, al ser la primera, la fecha más temprana posible de empezar es: ti = 0; como la duración de la actividad es 1 día, la fecha más temprana de finalización será: tj = 0 + 1 = 1.

(2)

(1) 0

Figura 2.2.

A(1)

1

Fechas más tempranas posibles en los nudos (1) y (2).

En el caso de que se pueda llegar a un nudo por más de un camino, la fecha mayor será la limitación para poder continuar. La fecha con la que lleguemos al nudo final será la duración mínima del proyecto. En el ejemplo (figura 2.3) vemos que al nudo (4) se llega a través de las actividades C(3) y E(5). La fecha más temprana de alcanzar el nudo (4) por C será: 1 + 3 = 4, mientras que por E será: 3 + 5 = 8. Por tanto, lo más temprano que podemos conseguir el suceso representado por el nudo (4), acabar las actividades C y E, es la fecha 8. Llegando al último nudo obtenemos la duración mínima del proyecto. En el ejemplo: 14 días. Como en el PERT el objetivo deseado es la ejecución del proyecto en un tiempo mínimo, imponemos al nudo final que el tiempo obtenido como «fecha lo más temprana posible» sea también la «fecha más tardía permisible» para llevarlo a cabo. De esta manera, conociendo la fecha máxima permisible para acabar un nudo, restándole la duración de la actividad precedente, encontramos la fecha más tardía permisible para empezarla. Procedemos así hasta llegar al nudo inicial, en que la fecha más tardía para comenzar debe coincidir con la más temprana, es decir, ambas deben ser cero. Observando el ejemplo, en el nudo final (6), se igualan las fechas: t* = 14. Del nudo (6) al nudo (5) se llega por la actividad G(7); por tanto, en el nudo (5): t* = 14 − 7 = 7. Del nudo (6) al nudo (4) por la actividad F(6); en el nudo (4): t* = 14 − 6 = 8. Y así sucesivamente. En el camino de vuelta, al calcular las «fechas más tardía permisibles», cuando se puede llegar a un nudo por varias actividades, la limitación vendrá impuesta por la menor fecha más tardía para empezar, de lo contrario, cuando realizáramos la actividad más larga, sobrepasaríamos la fecha más tardía permisible para acabar. En el ejemplo vemos que al nudo (2) se llega por las actividades B(2) y D(4). Para no pasar más allá de la fecha más tardía permisible para acabar B, lo © Ediciones Pirámide

PI00227701_02.indd 43

43

08/07/13 13:15

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control más tarde que se podría comenzar sería: 3 − 2 = 1. Para la actividad D: 7 − 4 = 3. Para cumplir las dos condiciones, la fecha más tardía permisible del nudo (2) para empezar B y D es la fecha 1.

(3) 3 3 E(5)

B(2) (1) 0 0

A(1)

C(3) 1 1 (2) D(4)

Figura 2.3.

(5) 7 7

(4) 8 8

F(6)

(6) 14 14

G(7)

Ejemplo de aplicación de PERT determinista de la tabla 2.1.

2.3. HOLGURAS Y CAMINO CRÍTICO Siguiendo con el ejemplo anterior, observamos que para la actividad A su duración es de 1 día; la fecha más temprana posible de comienzo es en 0 y la fecha más tardía permisible para terminarla es 1. Es decir, tenemos el plazo de un día para hacerla y su duración es de un día. Por tanto, no queda margen de tiempo extra para su realización; cualquier retraso representará un retraso de la duración total del proyecto. Se dice que es una «actividad crítica». De cara a la ejecución del proyecto sin sufrir retrasos es muy importante detectar las actividades críticas para dedicarles mayor atención. Suelen representar un 20 % del total de las actividades del proyecto. Por consiguiente, se debe calcular el tiempo flotante, margen u «holgura» del que dispone cada actividad. Existen diferentes tipos de holguras: — Holgura de nudo (u oscilación): es el margen de tiempo de que disponemos para conseguir el suceso (i). Si su valor es nulo, se dice que el nudo es rígido o crítico. Se calcula: Oi = ti* − ti. Holgura en la actividad A(i, j) de duración d. Se distingue entre: — Holgura total: es el margen de tiempo que queda empezando la actividad  lo antes posible y acabándola lo más tarde permisible. Se calcula: HT = tj* − ti − d.

44

PI00227701_02.indd 44

© Ediciones Pirámide

08/07/13 13:15

El método PERT — Holgura libre: es el margen de tiempo que queda empezando la actividad  lo antes posible y acabándola también lo antes posible. Se calcula: HL = tj − ti − d. — Holgura independiente: es el margen disponible cuando la actividad anterior ha terminado lo más tarde permisible y se quiere acabar lo más pronto posible. Muchas veces es nula. Se calcula: HI = tj − ti* − d. La figura 2.4 puede ayudar a ver los márgenes de tiempo que representan cada una de las holguras descritas:

(j)

(i) ti

ti*

A(i,j)

tj

tj*

d HT HL

Oj Oi HI

Figura 2.4.

Representación de las distintas holguras.

Cuando se habla de «holgura» en general, se suele referir a la holgura total puesto que es el margen de tiempo máximo del que se dispone. La holgura libre corresponde a la actitud más prudente de empezar y acabar la actividad lo más pronto posible. Por otra parte, la holgura total puede dar una falsa sensación de seguridad, pues, cuando en una actividad de una subruta no crítica consumimos toda su holgura total, el resto de las actividades que le siguen pasan a ser críticas. Por esto es corriente que los datos que consten a pie de obra sean las holguras libres. En la práctica los retrasos en los proyectos los acaban produciendo las actividades que en principio disponían de más holgura y a las que, por tanto, se les ha prestado muy poca atención. — Holgura programada: tiene por objeto distribuir la holgura de una subruta no crítica según algún criterio de razones subjetivas, como: incertidumbre de una duración, proximidad de una actividad al camino crítico, desconfianza en los plazos de entrega de algún proveedor, etc. A continuación calculamos en la tabla 2.2 las holguras total y libre del ejercicio anterior: © Ediciones Pirámide

PI00227701_02.indd 45

45

08/07/13 13:15

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control TABLA 2.2 Actividad

d

ti

tj

tj*

HT

HL

Situación

A

1

0

1

1

0

0

Crítica

B

2

1

3

3

0

0

Crítica

C

3

1

8

8

4

4

D

4

1

5

7

2

0

E

5

3

8

8

0

0

Crítica

F

6

8

14

14

0

0

Crítica

G

7

5

14

14

2

2

— Camino crítico: observamos que podemos ir desde el primer nudo hasta el último por actividades críticas. A esta cadena se le llama «camino crítico» y siempre tendremos al menos uno. En nuestro ejemplo el único camino crítico está formado por las actividades A, B, E y F. El camino crítico se señala expresamente en la red para distinguirlo con facilidad de las actividades no críticas (flecha con línea más gruesa, o de doble trazo, diferente color, etc.) Es fácil comprobar que la suma de las duraciones de las actividades de un camino crítico coincide con la duración total del proyecto. También podemos observar que el camino crítico pasa por los nudos sin oscilación. Sin embargo, una actividad situada entre dos nudos sin oscilación no tiene que ser necesariamente crítica; basta con ver que la actividad C del ejemplo está entre nudos críticos y tiene una holgura igual a 4.

2.4. PERT PROBABILISTA Cuando no conocemos con exactitud la duración de las actividades y, por tanto, la fecha exacta de terminación de un trabajo, se debe empezar estimando su duración y también la incertidumbre en su cumplimiento. Éste era uno de los problemas que se debían resolver al idear el método PERT. La solución consiste en preguntar al responsable del trabajo por tres estimaciones: la «fecha más probable», la «fecha optimista» y la «fecha pesimista» en que puede entregar la actividad realizada: — Fecha más probable (m): que corresponde a la duración normal en que la actividad puede llevarse a cabo. Se considera que sería el resultado de re-

46

PI00227701_02.indd 46

© Ediciones Pirámide

08/07/13 13:15

El método PERT petir la actividad muchas veces bajo las mismas circunstancias. Estadísticamente correspondería al valor de la moda. — Fecha optimista (a): corresponde a la duración mínima para la terminación de la actividad si todos los factores del trabajo «marchan con buena suerte». Estadísticamente se considera que la probabilidad de que se cumpla la duración optimista es del 1 %. — Fecha pesimista (b): la duración máxima para terminar la actividad en el caso de «mala suerte»; por ejemplo: averías en las máquinas, retrasos en  entregas de suministros, etc. No incluye contratiempos extremistas, pues en la vida normal no suelen suceder (huelga general, incendio, epidemia, etc.; la duración se haría infinita). La duración de la actividad es una variable aleatoria y se considera que sigue una distribución de probabilidad «b». En este tipo de distribución, al no ser simétrica, los valores de la media y la moda no coinciden. Sin embargo, se puede obtener una buena aproximación de la duración media de la actividad (D) mediante la fórmula: D=

a + 4m + b 6

b

a

Figura 2.5.

m

b

Distribución de probabilidad b.

Y la dispersión, mediante la varianza, que se calcula: b − a⎞ ⎝ 6 ⎟⎠

σ 2 = ⎛⎜

© Ediciones Pirámide

PI00227701_02.indd 47

2

47

08/07/13 13:15

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control Cuanto más distanciadas estén las fechas optimista (a) y pesimista (b), la varianza será mayor y existirá una mayor incertidumbre en cuanto a la fecha de su terminación. El caso determinista se puede considerar como un caso particular (a = b  = = m = D); la actividad se terminará en la fecha fijada con certeza o, lo que es lo mismo, con una probabilidad del 100 % (s 2 = 0).

2.5. PROBABILIDAD EN EL CUMPLIMIENTO DE LA DURACIÓN DE UN PROYECTO Recordemos que en el proyecto existe al menos un «camino crítico» que va del primer al último nudo, formado por actividades críticas, que es el camino más largo del proyecto y su suma coincide con la duración total del mismo. En el caso probabilista hemos utilizado las duraciones medias de las actividades, por lo que obtenemos la duración media del proyecto. Por la aplicación del «teorema fundamental del límite» tenemos que la duración total del proyecto es una variable aleatoria que sigue una ley de distribución normal, de media igual a la suma de las duraciones medias de las actividades del camino crítico y su varianza es la suma de las varianzas de las actividades del camino crítico. Es lógico, pues, al no tener holgura, que sólo las actividades críticas sean las que crean la incertidumbre en torno a la duración del proyecto. En el caso de que exista más de un camino crítico se calcula la varianza para cada uno de ellos y, por prudencia, se toma el de mayor valor por corresponder al caso más desfavorable. Para aplicar el teorema fundamental del límite se supone que las varianzas individuales son estadísticamente independientes, cosa que a veces no es del todo cierta, pues hay proyectos en que, de la duración de una actividad, pueden depender las siguientes. En la práctica el problema se reduce a calcular las duraciones medias de las actividades y utilizar estos valores para resolver la red de la misma forma que en el caso determinista. Conocido el camino crítico y la duración media del proyecto (D), calcular la varianza asociada a ese camino; su raíz cuadrada nos dará el valor de la desviación tipo (s). A partir de aquí se convierte en un problema estadístico de distribución normal, del que se conocen los valores de la media y la desviación tipo. Con unas tablas de la ley de probabilidad normal podemos hallar la probabilidad asociada a una duración (T ) del proyecto, entrando en la tabla con el valor (Z) que se calcula: Z=

48

PI00227701_02.indd 48

T−D s © Ediciones Pirámide

08/07/13 13:15

El método PERT TABLA 2.3 Ley de probabilidad normal centrada y reducida Z

Probabilidad (%)

Z

Probabilidad (%)

Z

Probabilidad (%)

Z

Probabilidad (%)

+3,0

99,9

+1,4

91,9

−0,1

46,0

−1,6

5,5

+2,9

99,8

+1,3

90,3

−0,2

42,0

−1,7

4,5

+2,8

99,7

+1,2

88,5

−0,3

38,2

−1,8

3,6

+2,7

99,6

+1,1

86,4

−0,4

34,5

−1,9

2,9

+2,6

99,5

+1,0

84,1

−0,5

30,6

−2,0

2,3

+2,5

99,4

+0,9

81,6

−0,6

27,4

−2,1

1,8

+2,4

99,2

+0,8

78,8

−0,7

24,2

−2,2

1,4

+2,3

98,9

+0,7

75,8

−0,8

21,2

−2,3

1,1

+2,2

98,6

+0,6

72,6

−0,9

18,4

−2,4

0,8

+2,1

98,2

+0,5

69,1

−1,0

15,9

−2,5

0,6

+2,0

97,7

+0,4

65,5

−1,1

13,6

−2,6

0,5

+1,9

97,1

+0,3

61,8

−1,2

11,5

−2,7

0,4

+1,8

96,4

+0,2

57,9

−1,3

9,7

−2,8

0,3

+1,7

95,5

+0,1

53,4

−1,4

8,1

−2,9

0,2

+1,6

94,5

+0,0

50,5

−1,5

6,7

−3,0

0,1

+1,5

93,3

Ejercicio de aplicación: En la tabla 2.4 se dan las actividades en las que se ha descompuesto un proyecto, las precedencias que deben cumplir y las duraciones: normal (m), optimista (a) y pesimista (b) en días. Se desea saber: a) ¿Qué probabilidad existe de acabarlo sin superar los 22 días? b) ¿Qué probabilidad hay de acabarlo en 26 días? c) ¿En qué fecha se acabará con una probabilidad del 90 %? © Ediciones Pirámide

PI00227701_02.indd 49

49

08/07/13 13:15

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control TABLA 2.4 Actividad

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

b

5

6

22

10

6

4

11

17

1

10

m

3

4

15

8

5

3

4

9

1

3

a

1

2

8

6

4

2

3

7

1

2

Precedencia

—

—

A

A

B

B

D, E

D, E

C, G

I, H, F

(2) 3 3 A(3)

D(8)

(1) 0 0 B(4)

[2]

C(15) [2]

(5) 18 20

G(5) [4] [2] I(1) (4) (6) J(4) (7) H(10) 11 11 21 21 25 25

E(5) [2]

F(3) [14]

4 6 (3)

Figura 2.6.

Red correspondiente al ejercicio de aplicación.

Con las precedencias hemos dibujado la red. Calculamos las duraciones medias de las actividades y resolvemos la red; obtenemos la duración media del proyecto D = 25 días, calculamos las holguras totales y señalamos el camino crítico, que está formado por las actividades: A, D, H y J. Calculamos las varianzas de las actividades críticas y las sumamos: obtenemos la varianza del proyecto. En la tabla 2.5 se resumen los resultados obtenidos:

TABLA 2.5

50

PI00227701_02.indd 50

Actividad

D

t

t*

H

Varianza

A

3

0

3

0 crítico

4/9

B

4

0

6

2

—

C

15

3

20

2

—

D

8

3

11

0 crítico

4/9

© Ediciones Pirámide

08/07/13 13:15

El método PERT TABLA 2.5 (continuación) Actividad

D

t

t*

H

Varianza

E

5

4

11

2

—

F

3

4

21

14

—

G

5

11

20

4

—

H

10

11

21

0 crítico

25/9

I

1

18

21

2

—

J

4

21

25

0 crítico

16/9

Suma:

49/9

La desviación tipo es la raíz cuadrada de la varianza:

σ =

49 7 = = 2,33 9 3

a) La probabilidad de acabar en 22 días: los valores serán T = 22, D = 25 y s = 2,33:

9,7% 22

Figura 2.7.

25

t

Probabilidad normal de acabar el proyecto en 22 días.

22 − 25 = − 1,285 ≈ −1,3. Entrando en la tabla de la ley normal 2,33 (tabla 2.3) obtenemos una probabilidad del 9,7 %. Z=

© Ediciones Pirámide

PI00227701_02.indd 51

51

08/07/13 13:15

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control b) La probabilidad de acabar el proyecto en 26 días: Ahora el valor será: T = 26. 26 − 25 Z= = 0,428 ≈ 0,4 y en la tabla de la ley normal: probabilidad 2,33 del 65,5 %. c) ¿En qué fecha estará acabado con una probabilidad del 90 %? Buscamos en la probabilidad en la tabla de la ley normal (tabla 2.3). El valor que más se aproxima es 90,3 al que le corresponde un valor de Z de +1,3. Podríamos encontrar un valor más exacto interpolando entre los valores +1,2 y +1,3; o bien utilizando una tabla más precisa, pero en este caso podemos despreciar el error cometido. Por tanto: Probabilidad del 90 % ≈ 90,3, el valor de Z = +1,3. Lo sustituimos: T − 25 1,3 = 2,33 Y despejando: T = 25 + (1,3 × 2,33) = 28 días.

52

PI00227701_02.indd 52

© Ediciones Pirámide

08/07/13 13:15

El método PERT

RESUMEN — En el método PERT se pueden dar dos posibilidades, o bien que las duraciones de las actividades se puedan considerar perfectamente conocidas y determinadas: caso «determinista»; o, por el contrario, que deban ser estimadas estadísticamente, lo que llevará aparejado un riesgo en la estimación, es decir, una probabilidad asociada a su cumplimiento: caso «probabilista». — En el caso probabilista se estima la duración media de cada actividad sumando las estimaciones optimista, la pesimista y cuatro veces la duración normal, dividiendo esta suma por seis. — Situados en el nudo inicial de la red, se le asigna la fecha 0 como la más temprana posible para empezar. A partir de ahí, se avanza por las actividades de la red, sumado a la fecha de partida la duración (conocida o estimada) de la actividad, obteniendo así la fecha más temprana posible del nudo siguiente. En el caso de un nudo al que lleguen varias actividades, la fecha mayor será la fecha más temprana posible para la consecución del suceso

© Ediciones Pirámide

PI00227701_02.indd 53

representado por el nudo. Al llegar al nudo final habremos obtenido la fecha más temprana posible para acabar el proyecto. Para realizar el proyecto en el mínimo plazo, se iguala esta fecha con la más tardía permisible. Deshaciendo el camino, vamos restando la duración de las actividades, obteniendo los tiempos más tarde permisibles de todos los nudos, hasta llegar al nudo inicial, que nos debe dar el valor 0. En el caso de que podamos llegar a un nudo por varias actividades, la fecha menor será la más tardía permisible para la obtención de ese nudo. — El plazo total para la realización de la actividad se obtiene restando de la fecha más tardía permisible para acabarla la fecha más temprana para iniciarla. Si este plazo  coincide con la duración (conocida o estimada) de la actividad, se dice que es una «actividad crítica». Observaremos que siempre podremos ir desde el primer nudo hasta el último por actividades críticas. A esta cadena se la llama «camino crítico» y en todo proyecto tendremos al menos uno.

53

08/07/13 13:15

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control

CUESTIONES PERT determinista 1.

Planificar un proyecto que tiene definidas las actividades y duraciones (en semanas) siguientes: A(2), B(3), C(2), D(4), E(5) y F(3). Se sabe que: — — — —

2.

A y B pueden empezar simultáneamente después del tiempo de preparación. C, D y E pueden empezar solamente cuando ha acabado A. Al terminar la actividad B se comienza sólo la actividad E. Antes de empezar F deben estar terminadas las actividades C, D y E.

Realizar el PERT del proyecto cuya descomposición en actividades, duraciones (en unidades de tiempo) y precedencias se dan en la siguiente tabla de datos 2.6: TABLA 2.6

3.

Actividad

A

B

C

D

E

F

G

H

Precedencia

C, D

H

—

E

—

A, G

C, B

—

Duración

3

1

8

3

5

1

6

5

Realizar el PERT del proyecto del que se conocen los datos que se dan en la siguiente tabla 2.7: TABLA 2.7 Actividad

A

B

C

D

E

F

G

H

I

Precedencia

—

A

B

B

A

D, E, H

C, D, E, H

A

H

Duración

2

5

3

1

4

4

2

3

3

PERT probabilista 4.

Dado el proyecto cuyas actividades, tiempos optimista, normal y pesimista (en días), y precedencias se dan en la tabla 2.8, se pide: a) Dibujar el grafo PERT/M, calculando el camino crítico y holguras totales de las actividades.

54

PI00227701_02.indd 54

© Ediciones Pirámide

08/07/13 13:15

El método PERT b) Probabilidad de que el proyecto acabe en 25 días. c) Tiempo necesario para que el proyecto se termine con certeza estadística (P = 97 %). d) Tiempo mínimo necesario para que el proyecto sea factible (P = 25 %). TABLA 2.8

5.

Actividad

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

b

8

9

6

15

3

5

7

6

4

5

8

9

4

m

6

7

4

10

2

4

6

2

3

3

4

6

3

a

4

3

2

5

1

3

5

1

2

1

2

3

1

Precedencia

—

—

—

B

A

E

E

C, D

H

H

G, I

J

F

Dado el proyecto cuyas actividades, tiempos optimista, normal y pesimista (en días), y precedencias se dan en la tabla 2.9, se pide: a) Dibujar el grafo PERT/M, calculando el camino crítico y holguras totales de las actividades. b) Probabilidad de que el proyecto acabe en 23 días. c) Tiempo necesario para tener una probabilidad: P = 99 % de terminar el proyecto. TABLA 2.9

6.

Actividad

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

b

4

5

16

3

7

5

6

9

11

5

m

3

4

11

2

4

3

4

7

6

4

a

1

2

3

1

1

1

2

3

5

3

Precedencia

—

—

—

A

B, D

C

F

F

G

H

En la realización de un proyecto intervienen las actividades que se indican a continuación, con los tiempos optimista, normal y pesimista (en días) y las respectivas precedencias que se muestran en la tabla 2.10. Se pide: a) Determinar el grafo PERT/M con el camino crítico y las holguras totales. b) El tiempo necesario para que el proyecto termine con una probabilidad de 97 %. c) La probabilidad de que el proyecto acabe en 30 días.

© Ediciones Pirámide

PI00227701_02.indd 55

55

08/07/13 13:15

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control TABLA 2.10 Actividad b m a

A

B

C

D

5

6

17

10

3

4

7

8

1

2

3

6

—

A

—

A

E

F

G

H

I

6

8

11

9

15

3

4

7

5

9

3

4

7

8

6

10

2

3

5

3

8

2

2

6

5

3

5

1

2

3

1

1

1

A

B

B

C D

C D

C D E F

I J R

I J R

O N L P

I J R

C D E F G

Precedencia

J

K

L

M

N

O

P

Q

R

3

5

10

2

4

8

1

3

6

H K

L P

C D E F G

RESPUESTAS A LAS CUESTIONES 1.

Empezaremos construyendo una tabla 2.11 de los datos: TABLA 2.11 Actividad

A

B

C

D

E

F

Precedencia

—

—

A

A

A, B

C, D, E

Duración

2

3

2

4

5

3

Dibujamos el grafo y resolvemos el PERT: (2) C(2) 2 3 [4,0] A(2) [1,0] TP (1) 0 0 0 0

(4) 4 8 D(4)

[2,2]

B(3)

(5) F(3) (6) 8 8 11 11

E(5) 3 3 (3)

Figura 2.8.

Red de la cuestión 1.

Vemos que la duración mínima del proyecto son 11 semanas; el camino crítico está formado por las actividades B, E y F. Las holguras totales y libres se indican sobre la red y también se resumen en la siguiente tabla 2.12:

56

PI00227701_02.indd 56

© Ediciones Pirámide

08/07/13 13:15

El método PERT TABLA 2.12

2.

Actividad

d

ti

tj

tj*

HT

HL

A

2

0

2

3

1

0

B

3

0

3

3

0

0

C

2

2

4

8

4

0

D

4

2

8

8

2

2

E

5

3

8

8

0

0

Crítica

F

3

8

11

11

0

0

Crítica

Situación

Crítica

Vemos que la duración mínima es de 15 unidades de tiempo; el camino crítico y las holguras total y libre se indican sobre la red.

(2) 5 8 E(5) [3,0] (1) C(8) 0 0

(5) 8 11

D(3) [3,0]

A(3) [3,3] (3) 8 8

(7) F(1) (8) 14 14 15 15

H(5) [2,0]

(4) 5 7

Figura 2.9.

3.

Red de la cuestión 2.

Sobre la red se puede ver la duración mínima, el camino crítico y las holguras total y libre. (3) 7 7

(1) 0 0

A(2)

B(5) (2) 2 2

Figura 2.10.

© Ediciones Pirámide

C(3)

(6) 10 10

D(1) E(4) [2,2]

H(3) [3,0] (4) 5 8

PI00227701_02.indd 57

G(6)

(6) 8 8

B(1) [2,2]

(5) 8 8

G(2) F(4)

(7) 12 12

I(3) [4,4]

Red de la cuestión 3.

57

08/07/13 13:15

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control 4.

a) Con las precedencias dibujamos la red. Con las fechas «más probable», optimista y pesimista, calculamos las duraciones medias de las actividades; las situamos sobre la red y calculamos el PERT. Así, para las actividades A y B tenemos:

DA =

4 + (4 × 6) + 8 3 + (4 × 7) + 9 = 6; y DB = = 6,6 ≈ 7 6 6

En el PERT no se suelen realizar cálculos con decimales; por tanto, al no dar un cociente exacto lo hemos aproximado al valor 7. Si consideráramos el valor de la aproximación excesivo, sería preferible pasar a una escala de tiempo menor. Tanto en este ejercicio como en la resolución de los ejercicios posteriores, en casos similares, emplearemos el redondeo clásico. En la siguiente tabla se resumen los valores medios obtenidos.

E(2) 11

6 17

B(7)

C(4)

F(4) 14

G(6) 11

A(6) 11 0 0

8 19

7 7 13

12 26 14

23 25

M(3)

K(4)

29 29

2

D(10)

I(3) 2 H(3) J(3) 17 17 20 20

L(6) 23 23

Figura 2.11. Red de la cuestión 4.

TABLA 2.13 Valores obtenidos en la cuestión 4

58

PI00227701_02.indd 58

Actividad

D

t

t*

H

A

6

0

16

10

B

7

0

7

0 crítico

C

4

0

17

13

D

15

7

17

0 crítico

E

2

6

18

10

F

4

8

26

14

G

6

8

24

10

Varianza

1

2,7777

© Ediciones Pirámide

08/07/13 13:15

El método PERT TABLA 2.13 (continuación) Actividad

D

t

t*

H

Varianza

H

3

17

20

0 crítico

0,6944

I

3

20

24

1

J

3

20

23

0 crítico

K

4

23

29

2

L

6

23

29

0 crítico

M

3

12

29

14

0,4444

1

Suma:

5,9165

σ = 5,9165 = 2,4324 b) Probabilidad de acabar en 25 días: → T = 25; D = 29. Z= c)

25 − 29 = −1,644 ≈ − 1,6 2,4324

⇒ Tabla ley normal: probabilidad = 5,5 %.

¿En qué fecha estará acabado con una probabilidad del 97 %? Probabilidad del 97 % ≈ 97,1 ⇒ en la tabla de la ley normal: Z = +1,9. 1,9 =

T − 29 2,4324

⇒ T = 29 + (1,9 × 2,4324) = 32,4 ≈ 32 días.

d) ¿En qué fecha estará acabado con una probabilidad del 25 %? Probabilidad del 25 % ⇒ interpolando; en la tabla de la ley normal: Z = −0,68. −0,68 = 5.

T − 29 2,4324

⇒ T = 29 − (0,68 × 2,4324) = 27,34 ≈ 27 días.

a) Los resultados del cálculo de las duraciones medias de las actividades se dan en la tabla 2.14: TABLA 2.14 Duraciones medias calculadas para las actividades de la cuestión 5 Actividad

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Duración

3

4

11

2

4

3

4

7

7

4

© Ediciones Pirámide

PI00227701_02.indd 59

59

08/07/13 13:15

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control El PERT:

3 19 D(2)

A(3) [16]

[16]

B(4) [17]

0 0

E(4) [16]

5 21

C(11)

G(4) 11 11

F(3)

b)

18 18 I(7) J(4)

14 14 H(7)

Figura 2.12.

25 25

21 21

Red de la cuestión 5.

La duración mínima promedio del proyecto es de 25 días. Observamos que tenemos dos caminos críticos Cc1 y Cc2 formados respectivamente por las actividades: Cc1 = C − F − − H − J y Cc2 = C − F − G − I. Calculamos las varianzas de las actividades críticas. En la siguiente tabla 2.15 se resumen los datos resultantes. TABLA 2.15

60

PI00227701_02.indd 60

Actividad

D

t

t*

H

A

3

0

19

16

B

4

0

21

17

—

C

11

0

11

0 crítico

4,6944

D

2

3

21

16

—

E

4

5

25

16

—

F

3

11

14

0 crítico

0,4444

G

4

14

18

0 crítico

0,4444

H

7

14

21

0 crítico

1

I

7

18

25

0 crítico

1

J

4

21

25

0 crítico

0,1111

Varianza

© Ediciones Pirámide

08/07/13 13:15

El método PERT Calculamos las varianzas de los dos caminos críticos, sumando las varianzas individuales de las actividades que los componen y extrayendo la raíz cuadrada, las desviaciones tipo: Cc1: s 2 = 6,2499;

σ = 6,2499 = 2,4999

Cc2: s 2 = 6,5832;

σ = 6,5832 = 2,5657 (más desfavorable)

Para realizar los cálculos tomaremos el caso más desfavorable, es decir, el que provoca mayor incertidumbre. Probabilidad de acabar el proyecto en 23 días: sustituyendo T =  23 y D = 25, el valor de Z será: Z= c)

25 − 29 = −1,644 ≈ − 1,6 ⇒ en la tabla de la ley normal: probabilidad = 21,2 %. 2,4324

Para conocer la fecha en que el proyecto estará acabado con una probabilidad del 99 %, buscamos en la tabla de la ley normal el valor de Z que corresponde. El valor más cercano es para una probabilidad del 98,9 que corresponde a Z = +2,3; sustituyendo y despejando T: 2,3 =

© Ediciones Pirámide

PI00227701_02.indd 61

T − 25 2,5658

⇒ T = 25 + (2,3 × 2,5658) = 31 días.

61

08/07/13 13:15

PI00227701_02.indd 62

08/07/13 13:15

3

Programación con recursos limitados

Después de leer este capítulo usted deberá: • Saber analizar el problema de acumulación de recursos para poder replantear la planificación del proyecto. • Poder diferenciar los diferentes objetivos que se pueden perseguir en la planificación de un proyecto.

PI00227701_03.indd 63

• Poder aplicar un procedimiento heurístico que le permita obtener una planificación satisfactoria.

04/07/13 15:34

PI00227701_03.indd 64

04/07/13 15:34

3.1. LOS PROBLEMAS ACUMULATIVOS Una parte muy importante de los esfuerzos de la dirección del proyecto se debe orientar hacia una correcta y eficiente utilización de los recursos. Aunque lo dicho se refiere a cualquier tipo de recurso, el principal suele ser la mano de obra. La duración de una actividad es inversamente proporcional a la cantidad de recursos empleados. Cuando al resolver el problema de las ligaduras «potenciales» asignamos una duración a las actividades, hemos tenido en cuenta los recursos que vamos a emplear y, por tanto, su coste asociado. El método PERT nos ha permitido obtener la programación de las actividades para realizar el proyecto en un plazo mínimo. Pero en la mayor parte de los proyectos se dispone de una cantidad limitada de recursos. Esto provoca que en determinados momentos de su ejecución, la suma de las cantidades de un recurso determinado que debemos emplear en las tareas en curso pueda superar el nivel total disponible. Este problema de acumulación de recursos se puede solventar, en momentos puntuales, contratando recursos suplementarios con el respectivo incremento de coste. En la mayoría de los casos es preferible replantear el programa ajustándolo a las disponibilidades, es decir, rehacer el programa en función de las curvas de carga. Esto obliga a complementar el PERT con diagramas de Gantt, curvas de carga de recursos y elaborar un calendario de finanzas. Por otra parte, realizar un proyecto en el plazo de tiempo mínimo no es el único objetivo posible a conseguir. Existen otros criterios como lograr el coste mínimo del proyecto, el equilibrado a lo largo del tiempo de las curvas de carga, etc. En algunos casos se puede hallar una programación óptima, pero, si la formulación analítica se complica, se hace difícil obtener su optimización. Entonces se suele © Ediciones Pirámide

PI00227701_03.indd 65

65

04/07/13 15:34

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control recurrir a procedimientos heurísticos que permiten obtener un «programa satisfactorio» óptimo localmente, suficientemente próximo al óptimo absoluto. Se comienza realizando los pasos habituales de la resolución del problema potencial (grafo, método PERT o ROY), obteniendo la fecha más temprana y más tardía de comienzo de cada actividad, sus holguras y el camino crítico. A continuación se emplea algún algoritmo. Todos los métodos son muy parecidos: se establecen unos criterios de prioridad para la afectación de los recursos y en forma secuencial, período a período, se asignan los recursos y se va obteniendo el calendario del proyecto. Cuando una actividad crítica debe comenzar en un momento en que no se dispone de suficiente cantidad de recurso libre, para evitar retrasar el proyecto, se ha de liberar la cantidad necesaria de recurso de otras actividades no críticas y transferírselo. Los procedimientos que se aplican son: retrasar el inicio de actividades no críticas; si no fuera suficiente, y siempre que se puedan descomponer en partes, interrumpir actividades no críticas en curso. Se debe tener en cuenta que, a medida que se retrasa el inicio o aumenta el tiempo de interrupción de una actividad, se va consumiendo su holgura y su criticidad aumenta. Si no se logra reunir la cantidad suficiente de recurso y no se pueden encontrar soluciones alternativas (transferir recursos de otro proyecto, contratar más efectivos, etc.), se deberá retrasar el inicio de la actividad crítica y, por tanto, la finalización del proyecto en la misma medida.

3.2. MÉTODO MANPOWER SCHEDULING En este algoritmo, los pasos a seguir son: 1.

2.

3.

66

PI00227701_03.indd 66

Por el método PERT (con las ligaduras potenciales o tecnológicas) se establece un programa previo, del cual obtenemos la fecha más temprana y más tardía para empezar cada actividad. A continuación se establece una tabla de actividades, ordenadas por la fecha mínima de comienzo (ti); dentro de este orden por fecha máxima (T = ti + h; siendo h = holgura); si subsiste indeterminación, por su duración (d ); y finalmente por orden lexicográfico. Todas las ordenaciones en sentido creciente. Nótese que los datos importantes del proyecto quedan resumidos en esta tabla, con las actividades ordenadas por fecha mínima de inicio y por orden de criticidad (de más a menos crítica para una misma ti). Esta tabla alimentará las listas de trabajo y de espera. En las tablas 3.1 y 3.2 se pueden ver los modelos respectivos. Período a período se va estudiando la afectación de los recursos a las tareas. Para ello se considera un reloj ficticio, que, sucesivamente y en © Ediciones Pirámide

04/07/13 15:34

Programación con recursos limitados orden creciente, va señalando las fechas (H) de interés para el programa. Las reglas a seguir son: 3.1. Se inicia situando el reloj a cero (fecha inicial del programa: H = 0). 3.2. Se van leyendo una a una las actividades de la tabla cuya fecha mínima de comienzo (ti) es igual a la fecha del reloj (H = 0). La actividad pasa a las listas: 3.2.1.

3.2.2.

Lanzar la orden de comenzar, es decir, pasar de la tabla a la lista de trabajo, todas las actividades críticas {fechas: ti = Ti = = H} y no críticas posibles. Que sea posible quiere decir que existen suficientes recursos libres del tipo utilizado en la actividad y se cumplen las precedencias. Rellenar el resto de las casillas de la lista, transcribiendo los datos de la tabla y calculando: TF: fecha prevista de terminación de la actividad: {fecha actual + duración − parte ya realizada de la actividad (d) si la hay}: (TF = H + d − d). Almacén: recursos no utilizados = recursos totales menos los recursos utilizados. Se escriben en la lista de espera las actividades no críticas {ti ≠ Ti} cuya orden de trabajo, por falta de suficiente recurso libre, o por no cumplir la precedencia, no se ha podido lanzar. Rellenar el resto de las casillas, transcribiendo datos de la tabla y calculando: Tc: Fecha crítica (o límite), es decir, aquella en que la actividad pasará a ser crítica: {fecha máxima + porción ya realizada de la actividad (d) si la hay}: (Tc = T + d). El orden de la lista de espera se determina (siempre de menor a mayor): 1.º Fecha límite (o crítica): Tc = T + d {fecha máxima + porción ya realizada de la actividad (d)}. 2.º Duración pendiente: (d − d). 3.º Orden lexicográfico.

3.3. Continuación: marcar en el reloj la siguiente fecha importante (H), que será el menor valor de: ti: TF: Tc:

© Ediciones Pirámide

PI00227701_03.indd 67

De la tabla, desde el punto en que se interrumpió. De la lista de trabajo, la menor de las fechas previstas de terminación de las actividades en curso. De la lista de espera, la menor de las fechas en que una actividad pasa a ser crítica y, por tanto, debe pasar a la lista de trabajo.

67

04/07/13 15:34

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control 3.3.1.

3.3.2.

Aquellas actividades de la lista de trabajo que han sido completadas {H = TF} pasan a la columna de actividades acabadas y los recursos que ocupaban quedan libres. Vuelven al almacén. En la lista de trabajo deben quedar todas las actividades críticas en curso (que aún no han finalizado) y se han de añadir, es decir, lanzar la orden de: — Todas las actividades críticas de la tabla cuya fecha de inicio sea igual a la fecha actual: {ti = H}. — Todas las actividades de la lista de espera que se hayan convertido en críticas por haber agotado su holgura: fecha crítica igual a la fecha actual: {Tc = H}. — Las actividades no críticas en curso (que no han finalizado).

3.3.3.

3.3.4.

3.4.1.

Si no hay suficientes recursos libres: interrumpir las actividades no críticas de la lista de trabajo (pasándolas a la lista de espera) que utilicen los recursos de que se carece en suficiente cantidad. Se empieza por la actividad menos crítica (mayor holgura: h mayor); en caso de indeterminación, aquella a la que le falta más para ser completada {(d − d) mayor}; y si continúa la indeterminación, por orden lexicográfico inverso. En definitiva, todas las actividades que eran o se han convertido en críticas tienen que ser lanzadas. Si no existen suficientes recursos interrumpiendo todas las actividades no críticas de la lista de trabajo, el proyecto se retrasa forzosamente. Se aumenta en una unidad todas las fechas máximas de la lista de actividades y se vuelve a empezar (T = Tn = ti + h + 1 y volver al paso 3.1). Lanzar la orden de comenzar {pasar de la lista de trabajo} las actividades no críticas posibles, es decir: Las actividades de la tabla con fecha de inicio igual a la fecha actual {ti = H} y las actividades que queden en la lista de espera, siempre que se cumpla que: — Las actividades precedentes han terminado o llegado al grado necesario de realización. — Hay suficientes recursos libres.

3.4.2.

68

PI00227701_03.indd 68

Aquellas actividades que no han podido entrar en la lista de trabajo se anotan en la lista de espera, siguiendo el mismo orden que el indicado en el apartado 3.2.2. © Ediciones Pirámide

04/07/13 15:34

Programación con recursos limitados 3.5.

Se vuelve al punto 3.3, poniendo el reloj en la siguiente fecha importante; se repite hasta acabar la última actividad del proyecto. TABLA 3.1 Modelo de tabla de actividades

d

Actividad

ti

T

Actividades Duración de Fecha de inipor orden (2). la actividad. cio más temprana de la actividad.

Tn

Fecha de inicio más tardía de la actividad: Ti + h.

Precedencia

REC

Fecha más Precedencia C a n t i d a d e s tardía de ini- necesaria. de recursos cio incremennecesarios tada con el para la activiretraso debidad (pueden do a la falta ser varios). de recurso.

TABLA 3.2 Modelo de listas de trabajo y de espera

T

d

Tc

Pre.

REC

Ac.

d

ti

T

d

TF

Pre.

REC

Fecha inicio más tardía: ti + h.

Parte de la actividad realizada.

Fecha crítica: T + d.

Precedencia necesaria.

Cantidad de recurso necesario.

Actividad.

Duración.

Fecha de inicio más temprana.

Fecha de inicio más tardía.

Parte ya realizada.

Fecha final prevista: H + d − d.

Precedencia necesaria.

Cantidad de recurso necesario.

Duración.

ti

Fecha inicio más temprana.

d

Actividad.

Fecha del reloj.

Ac.

Alm.

Acabada

Actividades acabadas.

Lista de trabajo

Cantidad de recurso en almacén.

Lista de espera H

3.3. EJEMPLO DE APLICACIÓN La tabla siguiente (3.3) contiene las letras de código de las actividades en que se ha descompuesto un proyecto; su duración en días (que se considera conocida y determinada); las actividades que deben preceder a cada una de ellas, y el nú© Ediciones Pirámide

PI00227701_03.indd 69

69

04/07/13 15:34

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control mero de operarios (M.O.) necesarios para realizarla en el tiempo indicado. La empresa dispone de catorce operarios para la realización del proyecto. Encontrar el programa que permita su realización en el plazo de tiempo mínimo. Construir también los diagramas de Gantt y el de carga (o perfil de recursos) empleados, que permitirán su posterior control de ejecución. TABLA 3.3 Datos del ejemplo de aplicación 3.3 Código de actividad

Duración días

Actividad preced.

M.O.

A

2

—

6

B

6

A

3

C

9

A

4

D

4

—

8

E

5

D

3

F

2

D

10

G

6

F

4

H

3

E, G

10

I

1

C

4

K

2

B, C

4

L

3

I

2

M

4

H

8

B(6) [9] [4] C(9)

2 6 A(2)

[4]

11 15

0 0

11 17 [6] I(1) [4]

12 16

K(2) L(3) [4]

6 6 D(4)

4 4

Figura 3.1.

70

PI00227701_03.indd 70

M(4) G(6)

F(2) E(5) [3]

19 19

H(3)

15 15

12 12

Red del PERT correspondiente al ejemplo de aplicación 3.3.

© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:34

Programación con recursos limitados A continuación, con los datos de partida y los obtenidos del PERT, completamos la tabla de actividades: TABLA 3.4 Tabla de actividades del ejemplo de aplicación 3.3 Actividad

d

ti

T

D

4

0

A

2

C

Tn

Prec.

REC

0

—

8

0

4

—

6

9

2

6

A

4

B

6

2

11

A

3

F

2

4

4

D

10

E

5

4

7

D

3

G

6

6

6

F

4

I

1

11

15

C

4

K

2

11

17

B, C

4

H

3

12

12

G, E

10

L

3

12

16

I

2

M

4

15

15

H

8

Aplicando el algoritmo, vamos situando en el reloj las fechas importantes (siguiendo los puntos 3.1 y 3.3 del algoritmo), distribuyendo las actividades en las listas de trabajo y aquellas no críticas, que no pueden ser lanzadas, en la lista de espera, hasta la finalización de todas las actividades del proyecto. TABLA 3.5 Listas de trabajo y espera del ejemplo de aplicación 3.3 Lista de espera

Lista de trabajo

H

Alm. Ac.

d

ti

T

d

Tc

Pre.

REC

0 2

B

6

2

© Ediciones Pirámide

PI00227701_03.indd 71

11

—

11

A

3

Ac.

d

ti

T

d

TF

Pre.

REC

D A

4 2

0 0

0 4

— —

4 2

— —

8 6

0

D C

4 9

0 2

0 6

2 —

4 11

— A

8 4

2

Acabada

A

71

04/07/13 15:34

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control TABLA 3.5 (continuación) Lista de espera

Lista de trabajo

H

4

Alm. d

ti

T

d

Tc

Pre.

REC

Ac.

d

ti

T

d

TF

Pre.

REC

E B

5 6

4 2

7 11

— —

7 11

D A

3 3

F C

2 9

4 2

4 6

— 2

6 11

D A

10 4

G C E B

6 9 5 6

6 2 4 2

6 6 7 11

— 4 — —

12 11 11 12

F A D A

4 4 3 3

G B I

6 6 1

6 2 11

6 11 15

5 5 —

12 12 12

F A C

4 3 4

3

H L

3 3

12 12

12 16

— —

15 15

G, E I

10 2

2

M K

4 2

15 11

15 17

— —

19 17

H B, C

8 4

2

M

4

15

15

2

19

H

8

6

K

14

M

6

11

12 15 17 19

Acabada

Ac.

K

K

2

2

11

11

17

17

—

—

17

17

B, C

B, C

4

4

D 0 F

0 C, E

G, B, I H, L

Observamos que en las fechas 2 y 4, las actividades no críticas B y B, E, respectivamente, no pueden ser lanzadas debiendo permanecer en la lista de espera hasta la fecha 6, dado que los recursos necesarios superan los disponibles: 3 > 2 y (3 + 3) > 0, respectivamente. La actividad K debe permanecer en espera hasta la fecha 15 por un doble motivo: falta de recursos disponibles y por no cumplir la condición de precedencia. La actividad no se acaba hasta la fecha 17. La distribución de las actividades en el tiempo que hemos obtenido en las listas nos permite representar el diagrama de Gantt y la gráfica de la curva de carga del recurso.

72

PI00227701_03.indd 72

© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:34

Programación con recursos limitados

D A C B F E G I K H L M

14

10

5

0

16 Días

Figura 3.2.

© Ediciones Pirámide

PI00227701_03.indd 73

Diagrama de Gantt y curva de carga del recurso del ejemplo de aplicación 3.3.

73

04/07/13 15:34

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control

RESUMEN — En la mayor parte de los proyectos industriales se dispone de una cantidad limitada de recursos. Los problemas acumulativos aparecen cuando la suma de las cantidades de un recurso determinado que debemos emplear en las tareas en curso supera el nivel total disponible. — El problema de acumulación de recursos se puede solventar puntualmente contratando recursos suplementarios, pero suele ser preferible replantearse el programa ajustándolo a las disponibilidades. Esto obliga a complementar el PERT con diagramas de Gantt, curvas de carga de recursos y calendario de finanzas. — Realizar un proyecto en el plazo de tiempo mínimo no es la única meta posible a conseguir. Existen otros criterios, como lograr el coste mínimo del proyecto, el equilibrado a lo largo del tiempo de las curvas de carga, etc. Si la formulación analítica se complica, se hace difícil obtener su optimización y se suele recurrir a procedimientos heurísticos que permiten obtener un «programa satisfactorio». — Se comienza resolviendo el problema potencial (por el método PERT o ROY), obteniendo la fecha más temprana y más tardía de comienzo de cada actividad, sus holguras y el camino crítico. A continuación se emplea algún algoritmo que establezca unos criterios de prioridad para la afectación de los recursos y en forma secuencial, período a período, se asignan los recursos y se va obteniendo el calendario del proyecto. — Todos los métodos son muy parecidos: cuando una actividad crítica debe comenzar en un momento en que no se dispone de suficiente cantidad de recurso, se ha de liberar la cantidad necesaria de recurso de otras actividades no críticas y transferírse-

74

PI00227701_03.indd 74

lo. El procedimiento consiste en retrasar el inicio de actividades no críticas. Si no fuera suficiente y siempre que se puedan descomponer en partes, interrumpir actividades no críticas en curso, y si no se logra reunir la cantidad necesaria, se deberá retrasar el inicio de la actividad crítica y, por tanto, la finalización del proyecto en la misma medida. — En el método «Manpower Scheduling», una vez establecido el programa para las ligaduras potenciales, se establece una «tabla de actividades», ordenadas por fecha mínima de inicio y por orden de criticidad, es decir: por la fecha mínima de comienzo, dentro de este orden por fecha máxima; si subsiste indeterminación, por su duración; y finalmente por orden lexicográfico. Todas las ordenaciones en sentido creciente. Los datos importantes del proyecto quedan resumidos en esta tabla. La «tabla de actividades» alimentará las listas de trabajo y de espera. — Para estudiar la afectación de los recursos a las tareas se considera un reloj ficticio, que, sucesivamente, desde cero y en orden creciente, va señalando las fechas de interés para el programa, que son aquellas en que la fecha del reloj coincide con: • La fecha mínima de comienzo de una actividad de la tabla: la actividad pasa a la lista de trabajo si disponemos de recurso necesario; o a la de espera, en caso contrario. • La fecha de terminación de una actividad de la lista de trabajo: la actividad sale de la lista de trabajo para ir a la columna de actividades acabadas y, por tanto, libera los recursos que empleaba. • La fecha en que una actividad de la lista de espera pasa a ser crítica, debido

© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:34

Programación con recursos limitados

a que ha consumido toda su holgura; en este caso debe pasar a la lista de trabajo. Si no se libera recurso suficiente retrasando el inicio de otras actividades o interrumpiendo actividades no críticas (que pasarán de la lista de trabajo a la de espera), el proyecto se retrasa forzosamente. Se aumenta en una unidad todas las fechas máximas

© Ediciones Pirámide

PI00227701_03.indd 75

de la tabla de actividades y se vuelve a comenzar desde el principio, poniendo el reloj a cero. — Finalizadas todas las actividades del proyecto, la distribución de las tareas y recursos en el tiempo que hemos obtenido al aplicar el algoritmo nos permite representar el diagrama de Gantt y la gráfica de la curva de carga del recurso.

75

04/07/13 15:34

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control

CUESTIONES 1.

La tabla 3.6 contiene la descripción de las actividades en que se ha descompuesto un proyecto con sus respectivas letras de código; su duración en días, que se considera conocida y determinada; las actividades que deben preceder a cada una de ellas y el número de operarios (M.O.) necesarios para realizarlas en el tiempo indicado. El número total de operarios de que dispone la empresa es 20. Se desea planificar y programar la ejecución de este proyecto en el plazo mínimo, cumpliendo las condiciones anteriores. Construir los diagramas de Gantt y el de carga (o perfil de recursos empleados), que permitirán su posterior control de ejecución.

TABLA 3.6 Datos de la cuestión 1 Descripción de la actividad

2.

76

PI00227701_03.indd 76

Código

Duración

Prec.

M.O.

Despejar, medir y explanar el emplazamiento.

A

7

—

10

Preparación acometida eléctrica exterior.

B

6

A

5

Excavación para colocación conducciones eléctricas.

C

1

A

5

Excavación de desagües.

D

10

A

6

Cimientos depósito agua.

E

4

A

4

Perforación pozo.

F

15

A

3

Instalación conducciones eléctricas.

G

4

C

7

Instalación tuberías desagües.

H

5

D

7

Construcción depósito agua.

I

10

E

10

Instalación bomba.

J

2

F

2

Instalación estación transformadora.

K

3

G, H

5

Instalación tuberías y válvulas depósito.

L

10

I

6

Instalación conducciones subterráneas.

M

8

J

7

Conexión a la red general.

N

5

B, K

6

Conexión tuberías.

P

2

L, M

4

Debemos realizar un proyecto cuyas operaciones y duraciones (en semanas) y cantidad de operarios necesarios (recurso 1) y especialistas (recurso 2) están indicados en la tabla 3.7. © Ediciones Pirámide

04/07/13 15:34

Programación con recursos limitados Se trata de determinar las fechas de inicio y fin de cada una de las operaciones de forma que el proyecto se acabe lo más pronto posible. Los recursos disponibles para realizar el proyecto son 6 operarios y 3 especialistas. TABLA 3.7 Datos de la cuestión 2 Recursos necesarios Operación

Precedencia

Duración Rec 1

Rec 2

A

—

5

4

2

B

A

6

2

1

C

A

2

4

3

D

A

3

4

2

E

B, C, D

3

4

2

RESPUESTAS A LAS CUESTIONES 1.

Con las precedencias dibujamos el grafo y con las duraciones de las actividades efectuamos los cálculos del PERT (figura 3.3). Con los resultados obtenidos y los datos del enunciado llenamos la tabla de actividades (tabla 3.8) que nos permiten aplicar el algoritmo, obteniendo las listas de trabajo y espera (tabla 3.9). G(4)

8 22 [14] C(1)

A(7) 0 0

7 7

H(5) [4] 17 21

D(10) [4] E (4) [1]

F(15)

11 12

22 22

Figura 3.3.

© Ediciones Pirámide

PI00227701_03.indd 77

22 26

[14]

K(3)

[4]

B(6) [16]

25 29

N(5) 34 34 [4]

I(10) P(2) L(10) 21 22 [1] [1] 32 32 J(2)

24 24

M(8)

PERT de la cuestión 1.

77

04/07/13 15:34

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control TABLA 3.8 Tabla de actividades de la cuestión 1 Act.

d

ti

T

A

7

0

F

15

E

Tn

Prec.

REC

0

—

10

7

7

A

3

4

7

8

A

4

D

10

7

11

A

6

C

1

7

21

A

5

B

6

7

23

A

5

G

4

8

22

C

7

I

10

11

12

E

10

H

5

17

21

D

7

L

10

21

22

I

6

J

2

22

22

F

2

K

3

22

26

G, H

5

M

8

24

24

J

7

N

5

25

29

B, K

6

P

2

32

32

L, M

4

TABLA 3.9 Listas de trabajo y espera de la cuestión 1 Lista de espera

Lista de trabajo

H

Acabada Ac.

d

ti

T

d

Tc

Pre.

REC

0 7

8

11

78

PI00227701_03.indd 78

B

B

I B

6

6

10 6

7

7

11 7

23

23

12 23

—

—

— —

23

23

12 23

A

A

E A

5

5

10 5

Ac.

d

ti

T

d

TF

Pre.

REC

Alm.

A

7

0

0

—

7

—

10

10

F E D C

15 4 10 1

7 7 7 7

7 8 11 21

— — — —

22 11 17 8

A A A A

3 4 6 5

F E D G

15 4 10 4

7 7 7 8

7 8 11 22

1 1 1 —

22 11 17 12

A A A C

3 4 6 7

F D G

15 10 4

7 7 8

7 11 22

4 4 3

22 17 12

A A C

3 6 7

A

2 C

0 E 4

© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:34

Programación con recursos limitados TABLA 3.9 (continuación) Lista de espera

Lista de trabajo

H

12

17

21

Acabada Ac.

d

ti

T

d

Tc

Pre.

REC

Ac.

d

ti

T

d

TF

Pre.

REC

B

6

7

23

—

23

A

5

F I D

15 10 10

7 11 7

7 12 11

5 — 5

22 22 17

A E A

3 10 6

F I H

15 10 5

7 11 7

7 12 21

10 5 —

22 22 22

A E D

3 10 7

0

F I H

15 10 5

7 11 7

7 12 21

14 9 4

22 22 22

A E D

3 10 7

0

L J B K

10 2 6 3

21 22 7 22

22 22 23 26

— — — —

32 I F 24 A 28 25 G, H

6 2 5 5

M L B

8 10 6

24 21 7

24 22 23

— 2 2

32 32 28

J I A

7 6 5

2

M L B

8 10 6

24 21 7

24 22 23

1 3 3

32 32 28

J I A

7 6 5

2

M L K

8 10 3

24 21 22

24 22 26

4 6 2

32 J 32 I 29 G, H

7 6 5

M L N

8 10 5

24 21 25

24 22 29

5 7 —

32 32 34

J I B, K

7 6 6

1

N P

5 2

25 32

29 32

3 —

34 B, K 34 L, M

6 4

10

B

L B

6

10 6

7

21 7

23

22 23

—

— —

23

22 23

A

I A

5

6 5

22

24

25

28

K

K N N

3

3 5 5

22

22 25 25

29

32 34

26

26 29 29

2

2 — —

28

28 29 29

G, H

G, H B, K B, K

5

5 6 6

Alm.

G 1 D

F, I, H

2 J

B 2 K

M, L 20

N, P

Observamos que, en la fecha 24, la actividad crítica M debe ser iniciada. Sin embargo, no se dispone de recursos suficientes; por tanto, se detienen las operaciones de la actividad no crítica K (pasándola a la lista de espera) para evitar retrasar la duración total del proyecto. En esa fecha ya se ha realizado el trabajo de dos jornadas (d = 2) de la actividad K, por lo que la fecha crítica pasará a ser: Tc = 26 + 2 = 28. La actividad K vuelve a entrar en la lista de trabajo en la fecha 28 para realizar la duración restante puesto que ya ha completado dos jornadas de trabajo: (d − d) = 3 − 2 = 1 día, por lo que acaba en fecha: TF = 28 + 1 = 29. © Ediciones Pirámide

PI00227701_03.indd 79

79

04/07/13 15:34

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control Nótese que K en la lista de espera ha consumido toda su holgura, por lo que entra en la fecha H = 28 como actividad crítica. Las actividades que le siguen, en este caso sólo la actividad N, entrará también como crítica, cuando cumpla la condición de precedencia en fecha H = 29. A continuación representamos los diagramas de Gantt y el de carga (figura 3.4).

A F E D C B G I H L J K M N P 20

10

0

5

Figura 3.4.

80

PI00227701_03.indd 80

10

15

20

25

30

34

Diagramas de Gantt y de carga de la cuestión 1.

© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:34

Programación con recursos limitados Con las precedencias dibujamos el grafo y con las duraciones estimadas efectuamos los cálculos del PERT (figura 3.5). Seguidamente llenamos la tabla de actividades (tabla 3.10) y obtenemos las listas de trabajo y espera (tabla 3.11).

2.

7 11 C(2)

[4]

A(5) 0 0

E(3)

B(6)

5 5

11 11

14 14

[3] D(3) 8 11

Figura 3.5.

Grafo y PERT de la cuestión 2.

TABLA 3.10 Tabla de actividades de la cuestión propuesta 2 Actividad

d

ti

T

Tn

A

5

0

0

1

B

6

5

5

D

3

5

C

2

E

3

Precedencia

REC 1

REC 2

2

—

4

2

6

7

A

2

1

8

9

10

A

4

2

5

9

10

11

A

4

3

11

11

12

13

B, C, D

4

2

TABLA 3.11 Listas de trabajo y espera de la cuestión propuesta 2 Lista de espera

Lista de trabajo

Alm.

H

Acabada Ac.

d

ti

T

d

Tc

Pre.

d

ti

A

5

0

0 —

R1 R2 Ac.

0

T

d

TF

Pre.

5

—

4

2

2

1

R1 R2 R1 R2

5

C

2

5

9 —

9

A

4

3

B D

6 3

5 5

5 — 11 8 — 8

A A

2 4

1 2

4 0

2 0

A

8

C

2

5

9 —

9

A

4

3

B

6

5

5

A

2

1

4

2

D

© Ediciones Pirámide

PI00227701_03.indd 81

3

11

81

04/07/13 15:34

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control TABLA 3.11 (continuación) Lista de espera

Lista de trabajo

Alm.

H

9

Acabada Ac.

d

ti

C

2

5

T

d

9 —

Tc

Pre.

9

A

d

ti

T

d

TF

Pre.

B

6

5

5

4

11

A

2

1

4

2

A

5

0

1 —

5

—

4

2

2

1

R1 R2 Ac.

4

3

0

R1 R2 R1 R2

5

C

2

5 10 — 10

A

4

3

B D

6 3

5 5

6 4 11 9 — 8

A A

2 4

1 2

4 0

2 0

A

8

C

2

5 10 — 10

A

4

3

B

6

5

6

3

11

A

2

1

4

2

D

10

C

2

5

A

4

3

B

6

5

6

5

11

A

2

1

4

2

A

5

0

0 —

5

—

4

2

2

1

1 — 10

0 5

C

2

5 11 — 11

A

4

3

B D

6 3

5 7 — 11 5 10 — 8

A A

2 4

1 2

4 0

2 0

A

8

C

2

5 11 — 11

A

4

3

B

6

5

11

A

2

1

4

2

D

11

E

3

4

2

C

2

5 11 — 13

A

4

3

2

0

B

E

3

4

2

2

1

C

6

3

E

13 16

11 13 — 13 B, C, D

7

3

11 13 — 16 B, C, D

Observamos que, al llegar a la fecha: H = 9, la actividad C se convierte en crítica y no puede pasar a la lista de trabajo por carecer de la cantidad necesaria del recurso libre R2. Al no haber en curso ninguna actividad no crítica que se pueda interrumpir para transferirle el recurso que necesita, la única solución es aumentar en una unidad la fecha máxima de comienzo y reiniciar el procedimiento. Sin embargo, vemos que el mismo problema se ha trasladado a la fecha siguiente (H = = 10); por tanto, sumamos una unidad más a la fecha máxima de comienzo y volvemos a reiniciar. De esta manera podemos acabar el proyecto, pero el resultado ha sido que la duración del proyecto se ha alargado dos semanas. Las gráficas de Gantt y curvas de carga de los dos recursos resultantes se dan en la figura 3.6.

82

PI00227701_03.indd 82

© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:34

Programación con recursos limitados

5

10

15

A B D C E

R2 3

0

R1 6

0

Figura 3.6.

© Ediciones Pirámide

PI00227701_03.indd 83

Gráfica de Gantt y curvas de carga de los dos recursos de la cuestión 2.

83

04/07/13 15:34

PI00227701_03.indd 84

04/07/13 15:34

4

PERT coste: método del camino crítico (M)

Después de leer este capítulo usted deberá: • Poder distinguir entre coste directo e indirecto de realizar una actividad. • Saber definir y calcular el coeficiente de costes de las actividades de un proyecto. • Poder diferenciar las posibles relaciones entre duración y coste de las actividades necesarias para realizar un proyecto.

PI00227701_04.indd 85

• Saber calcular la forma más barata de acortar un proyecto. • Poder optimizar el coste total de llevar a cabo un proyecto.

08/07/13 13:24

PI00227701_04.indd 86

08/07/13 13:24

4.1. INTRODUCCIÓN El objetivo principal de este método de planificación es optimizar el coste del proyecto, es decir, realizarlo en el plazo de tiempo que nos proporcione un coste total mínimo. Para encontrar la relación entre coste y duración de una actividad, calcularemos el coste total como la suma de dos costes: Coste directo: el coste derivado de la realización de la actividad: mano de obra, materias primas, energía, etc., para emplearlos o consumirlos en el proceso de ejecución. Si se eliminara la actividad estos costes desaparecerían. Lógicamente, el coste directo de realizar una actividad será proporcional al tiempo de duración de la misma. Coste indirecto: los correspondientes a la capacidad de producción, también llamados costes de estructura. Gastos comunes derivados de la utilización del equipo y capital, alquileres, intereses, cargas financieras y fiscales, dirección técnica, ciertos sueldos, gastos generales istrativos, publicidad, etc. Estos costes serían los que quedarían si se eliminara la actividad. Si pretendemos acelerar la marcha de una actividad tenemos que: 1.

2.

Aumenta el coste directo, pues aumentamos la utilización de recursos destinados a realizar esa actividad (horas extras, más turnos, obreros, maquinaria, etc.). Disminuye el coste indirecto, pues el coste de utilización de la estructura, a menos días, menos coste.

Como el coste total es la suma de directo e indirecto, la función del coste total respecto a la duración tendrá forma de U y, por tanto, un mínimo coste total para una determinada duración. En definitiva, la duración óptima que pretendemos hallar. © Ediciones Pirámide

PI00227701_04.indd 87

87

08/07/13 13:24

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control

Costes Directo

Total

Indirecto

C2 Cmin

C1 C1

C2 T1

T2

Figura 4.1.

T2

T1

T

Costes directo, indirecto y total de una actividad.

4.2. COEFICIENTE DE COSTES Para acortar el tiempo de ejecución de un proyecto se deben reducir duraciones de actividades, lo que implica un aumento del coste directo. Pero la empresa puede tener unos costes de estructura por cada unidad de tiempo en que el proyecto está en proceso que puede hacer rentable la contratación de recursos adicionales. Debemos buscar qué actividades se deben acortar para encontrar la forma más barata de reducir la duración total del proyecto. Veamos en un ejemplo cómo varía el coste directo con la duración de la actividad: Para llevar a cabo un trabajo (actividad) de 50 jornadas de 8 horas (400 horas) se puede realizar: — En 1 turno, a razón de 60 €/hora. — En 2 turnos, en los que el 2.º turno es un 10 % más caro, resultando a 66 €/ hora. — En 3 turnos, donde el 3.er turno es un 15 % más caro, resultando a 69 €/hora. Suponiendo que no existan otros costes directos, lo podemos calcular para las distintas posibilidades de duración en las que sería posible realizar el trabajo: desde la duración máxima empleando las cantidades de recursos consideradas normales, hasta la duración mínima aplicando el máximo posible de recursos. Los valores obtenidos y su representación se dan en la tabla 4.1 y figura 4.2, respectivamente. Los puntos «normal» (D, CN) y «tope» (d, CT), que corresponden, respectivamente, a la duración más larga con el coste directo más bajo y a la duración más corta posible con el coste directo más caro, quedan unidos por una línea poligonal. Para simplificar el cálculo se traza una recta de aproximación entre ambos puntos.

88

PI00227701_04.indd 88

© Ediciones Pirámide

08/07/13 13:24

PERT coste: método del camino crítico (M) TABLA 4.1 Coste directo de una actividad entre las duraciones normal y tope Turnos

1.er turno

2.er turno

3.er turno

Coste directo

50 días

1. turno 50 días

24.000

—

—

24.000

40 días

1.er turno 40 días 2.º turno 10 días

19.200

5.280

—

24.480

30 días

1.er turno 30 días 2.º turno 20 días

14.400

10.560

—

24.960

20 días

1.er turno 20 días 2.º turno 20 días 3.er turno 10 días

9.600

10.560

5.520

25.680

Duración er

CT = 25.680

Punto tope (o extremo)

24.960 Recta de aproximación

24.480

Punto normal

CN = 24.000 d = 20

Figura 4.2.

30

40

D = 50

Coste directo de una actividad entre las duraciones normal y tope.

De entre las actividades del proyecto, ¿cuál elegir para acortar? Lógicamente ha de ser: — Crítica, pues su acortamiento producirá el mismo efecto en la duración del proyecto. © Ediciones Pirámide

PI00227701_04.indd 89

89

08/07/13 13:24

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control — La que produzca el menor incremento de coste directo por unidad de tiempo, es decir: la de menor pendiente de la recta de aproximación entre los puntos normal y tope. Se le llama «coeficiente de costes» (−ci j). En el ejemplo anterior, el coeficiente de costes (−ci j) para la actividad (i, j) será: −ci j =

CN − CT 24.000 − 25.680 = = −56 €/día Di j − di j 50 − 20

Siempre será negativo ya que al crecer la duración baja el valor del coste directo. En definitiva, partiendo de la duración normal, cada día que acortamos la duración de la actividad, incrementamos el coste directo en 56€ hasta llegar al punto tope. Se pueden dar algunos casos particulares de relación entre duración y coste directo asociado: a) Relación duración/coste horizontal: cuando la variación de la duración no influye en el coste directo; coste directo fijo. b) Caso no continuo: no existen duraciones y costes intermedios entre los puntos. Tenemos algunas duraciones posibles, pero cada una con su coste asociado. Por tanto, no podemos trazar la recta de aproximación y calcular un coeficiente de costes. c) Inclinación opcional: cuando por algún motivo no interesa acortar una actividad, a la recta de aproximación se le asigna una inclinación mayor de la que en realidad tiene. De esta manera el coeficiente de costes crece y el acortamiento de la actividad no resulta económicamente conveniente. Su aplicación principal se da en programas de ordenador. d) Actividades ficticias: como en realidad no existen, no tienen ni duración ni coste.

Relación duración / coste horizontal (A)

No continuo

Inclinación opcional

(B)

(C)

C1 CD

C2 Duración

d1

d2

Figura 4.3. A) Relación duración/coste horizontal; B) No continuo; C) Inclinación opcional.

90

PI00227701_04.indd 90

© Ediciones Pirámide

08/07/13 13:24

PERT coste: método del camino crítico (M)

4.3. PROGRAMACIÓN POR EL MÉTODO M (PERT COSTE) Si realizáramos todas las actividades de un proyecto a su duración tope, nos daría la duración mínima del proyecto; sin embargo, resultaría excesivamente caro. Si lo hiciéramos con las duraciones normales nos daría el coste directo mínimo del proyecto, pero probablemente no sería el óptimo. Se trata, por tanto, de combinar ambos para obtener el coste total óptimo del proyecto. Pasos a seguir 1.º Realizar el grafo teniendo en cuenta las precedencias entre actividades (ligaduras potenciales). 2.º Resolver la red con las «duraciones normales» de todas las actividades, obteniendo: a) La duración del proyecto (conocida como: programación «todo normal»). b) Actividades críticas y holguras. 3.º Calcular los costes asociados a la duración del proyecto. 4.º Acortar sucesivamente la duración del proyecto. Para ello: a) Actuar sobre una actividad del camino crítico; en caso de haber más de uno, se ha de actuar sobre una o más actividades de forma que todos los caminos se reduzcan en la misma medida. b) Especificando, para cada duración, la combinación de las duraciones de las actividades que haga óptimo (más bajo) el coste directo. Es decir: para cada duración del proyecto, hay que programar tan sólo aquella combinación que es la más económica; las demás no interesan. Se logra actuando sobre aquellas actividades críticas que tengan menor coeficiente de coste (−ci j), o entre varias de cuya combinación resulte un (−ci j) total menor. 5.º Ir repitiendo el paso anterior hasta que sea imposible acortar más el proyecto. 6.º Hallar el coste total mínimo: (CT = CD + CI) de cada duración del proyecto. Se puede hacer mediante una tabla de valores o gráficamente. Nota: Generalmente, la estructura de costes produce una función de coste total con un único mínimo; en estos casos, si para cada duración se va calculando el coste total de cada programación, cuando observamos que el coste total crece, querrá decir que la programación óptima era la anterior. © Ediciones Pirámide

PI00227701_04.indd 91

91

08/07/13 13:24

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control Ejemplo de aplicación: De un proyecto se conocen los siguientes datos (duraciones en semanas y costes en euros) que se dan en la tabla 4.2: TABLA 4.2 Datos del ejemplo de aplicación Duración Actividad

Coste directo

Precedencias

(−ci j) Normal

Tope

Normal

Tope

A

—

2

1

100

300

200

B

—

7

3

1.000

3.000

500

C

A

4

2

2.000

4.000

1.000

D

A

3

1

1.000

5.000

2.000

E

B, C

2

1

2.000

4.000

2.000

CD (programación todo normal) =

6.100

€/semana

Con las precedencias indicadas en la tabla 4.2 construimos la red, y con las duraciones normales de todas las actividades obtenemos la primera programación (figura 4.4) y su coste directo. El coste directo de esta programación será de 6.100 € y la duración de 9 semanas.

2 3 D(3)

A(2) [1]

[4] C(4)

0 0

[1]

B(7)

9 9

E(2) 7 7

Figura 4.4.

1.ª programación, «todo normal».

El camino crítico está formado por las actividades: B(7) + E(2) = 9 semanas. Veamos el acortamiento más económico:

92

PI00227701_04.indd 92

© Ediciones Pirámide

08/07/13 13:24

PERT coste: método del camino crítico (M) La opción más barata es acortar B (a razón de 500 €/s) y, como la duración tope es de tres semanas, se podría llegar a acortar un máximo de cuatro semanas a ese coste. Pero sólo se puede acortar una, pues el bucle {A − C} sólo tiene una semana de holgura y todo lo que acortemos de más encarecerá innecesariamente la duración total del proyecto al pasar a ser críticas las actividades A y C. Así, el incremento de coste directo para la segunda programación será: ΔCD =1 × 500 = 500 € 2.ª programación: Coste directo: CD = 6.100 + 500 = 6.600 € y su duración es 8 semanas.

2 2 D(3)

A(2) [3] C(4)

0 0

8 8

B′(6)

E(2) 6 6

Figura 4.5.

2.ª programación.

Ahora tenemos dos caminos críticos: CC1: B′(6) + E(2) = 8 s. y CC2: A(2) + C(4) + + E(2) = 8 s.; debemos acortar ambas al mínimo coste. Veamos las opciones posibles: — La actividad E a 2.000 €/s. — Las actividades {B + A} a (500 + 200) = 700 €/s. — Las actividades {B + C} a (500 + 1.000) = 1.500 €/s. La opción más barata es acortar las actividades {B + A}. Sólo se puede acortar una semana, pues el tope de A es 1 semana; la tercera programación se incrementará: Δ CD = 1 × 700 = 700 € © Ediciones Pirámide

PI00227701_04.indd 93

93

08/07/13 13:24

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control 3.ª programación: Coste directo: CD = 6.600 + 700 = 7.300 € y su duración es 7 semanas. 1 1 D(3)

A*(1) [3] C(4)

0 0

7 7

B′(5)

E(2) 5 5

Figura 4.6.

3.ª programación.

Caminos críticos: CC1: B′(5) + E(2) = 7 s. y CC2: A*(1) + C(4) + E(2) = 7 s. Como la actividad A* ya ha llegado a su duración tope no se puede acortar más. Por tanto, las opciones de acortamiento son: — La actividad E a 2.000 €/s. — Las actividades {B′ + C} a 1.500 €/s. La opción más barata es acortar {B′ + C}. A este precio se puede acortar dos semanas, pues los topes de B y C lo permiten; la cuarta programación se incrementará: Δ CD = 2 × 1.500 = 3.000 € 4.ª programación: Coste directo: CD = 7.300 + 3.000 = 10.300 € y la duración será de 5 semanas. 1 1 D(3)

A*(1) [1] C*(2)

0 0

5 5

B*(3)

E(2) 3 3

Figura 4.7.

94

PI00227701_04.indd 94

4.ª programación.

© Ediciones Pirámide

08/07/13 13:24

PERT coste: método del camino crítico (M) Los caminos críticos: CC1: B*(3) + E(2) = 5 s. y CC2: A*(1) + C*(2) + E(2) = = 5 s. La única opción de acortamiento es: E a 2.000 €/s., pues A*, B* y C* están ya en sus duraciones tope. A este precio sólo se puede acortar una semana, que es la holgura del bucle D. La quinta programación se incrementará: Δ CD =1 × 2.000 = 2.000 € 5.ª programación: Coste directo: CD = 10.300 + 2.000 = 12.300 € y la duración de 4  semanas.

1 1 D(3)

A*(1) C*(2)

0 0

4 4

B*(3)

E*(1) 3 3

Figura 4.8.

5.ª programación.

Aparece un nuevo camino crítico. Tenemos: CC1: B*(3) + E*(1) = 4 s., CC2: A*(1) + C  *(2) + E*(1) = 4 s. y CC3: A*(1) + D(3) = 4 s. El proyecto no se puede acortar más ya que, en al menos un camino crítico, todas sus actividades han llegado a sus duraciones tope. Observaciones 1.º Hemos ido encontrando el coste directo mínimo para cada duración total posible del proyecto. 2.º Si para llevar a cabo el proyecto con su duración mínima (4 semanas) hubiéramos realizado todas las actividades del mismo con la duración tope de todas las actividades, el coste directo total sería de 16.300 €; en cambio, vemos que se puede hacer con esa duración a un coste menor: 12.300 €. 3.º El método M (PERT coste) trata de encontrar la duración del proyecto que hace mínimo el coste total; es decir, la suma de los costes directo e indirecto. Si, para el ejemplo, suponemos que el coste indirecto de la © Ediciones Pirámide

PI00227701_04.indd 95

95

08/07/13 13:24

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control empresa es de: 1.000 €/semana, tendremos los costes totales que se dan en la tabla 4.3: TABLA 4.3 Relación de duración/costes para todas las programaciones Programación

Duración semanas

Coste Directo €

Coste Indirecto €

Coste total €

1.ª

9

6.100

9.000

15.100

2.ª

8

6.600

8.000

14.600

3.ª

7

7.300

7.000

14.300

4.ª

5

10.300

5.000

15.300

5.ª

4

12.300

4.000

16.300

La 3.ª programación es la más conveniente.

96

PI00227701_04.indd 96

© Ediciones Pirámide

08/07/13 13:24

PERT coste: método del camino crítico (M)

RESUMEN — El objetivo principal del PERT coste es realizar el proyecto en el plazo de tiempo que nos proporcione un coste total mínimo. — El coste total de un proyecto se puede calcular como la suma del «coste directo», que es el derivado de la realización de la actividad e inversamente proporcional a su duración, más el «coste indirecto», también llamado costes de estructura, gastos comunes que serían los que quedarían si se eliminara la actividad. — Para acortar el tiempo de ejecución de un proyecto se deben reducir duraciones de actividades, lo que implica un aumento del coste directo. En contrapartida, el coste indirecto de utilización de la estructura será menor. — El coste directo, para las distintas posibilidades de duración en las que sería posible realizar el trabajo, se puede representar mediante una recta entre los puntos «normal» (D, CN) y «tope» (d, CT) de coordenadas, que corresponden, respectivamente, a la duración más larga con el coste directo más bajo y a la duración más corta posible con el coste directo más caro. — Se llama «coeficiente de costes»: (−ci j), para la actividad (i, j), al valor de la pendiente de la recta entre los puntos normal y tope. Siempre será negativo, pues al crecer la duración baja el coste directo.

© Ediciones Pirámide

PI00227701_04.indd 97

— Casos particulares de relación entre duración y coste directo asociado son: • Relación duración/coste horizontal: Cuando el coste directo respecto de la duración es fijo. • Caso no continuo: No existen duraciones y costes intermedios entre los puntos. • Inclinación opcional: Cuando por algún motivo interesa asignar a la recta una inclinación diferente de la que en realidad tiene. • Actividades ficticias: No tienen ni duración ni coste. — La forma más barata de reducir la duración total de un proyecto es acortar las actividades críticas que produzcan el menor incremento de coste directo, es decir, las de coeficiente de costes más bajo. — La programación por el método M (PERT coste) consiste en ir acortando sucesivamente la duración del proyecto, actuando sobre una (o varias) actividad(es) del (de los) camino(s) crítico(s), de forma que la combinación de duraciones de las actividades haga óptimo (más bajo posible) el coste directo, hasta encontrar la duración del proyecto cuyo coste total (coste directo más coste indirecto) sea mínimo.

97

08/07/13 13:24

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control

CUESTIONES 1.

De un proyecto hemos obtenido el grafo (figura 4.9) y conocemos los datos referentes a las duraciones (en días) y sus respectivos costes directos (en unidades monetarias: um.) que se indican en la tabla 4.4. La actividad H es no continua, con coste directo de 300 um. para la duración normal de 6 días, o bien de 700 um. en un plazo de 3 días. El coste indirecto que supone para la empresa se ha estimado en: 120 um./día. Se desea conocer las programaciones con duraciones y costes que permitirían realizarlo con el coste total mínimo y la duración mínima del proyecto. TABLA 4.4 Datos de la cuestión 1 DURACIONES

COSTES DIRECTOS

Actividad Normal

Tope

Normal

Tope

A

8

4

420

700

B

14

12

800

9.600

C

12

6

1.000

1.300

D

18

14

1.080

1.200

E

10

8

300

480

F

8

2

1.000

2.200

G

14

12

1.200

1.500

H

6

3

300

700

D A

G C

H

E F

B

Figura 4.9.

98

PI00227701_04.indd 98

Grafo correspondiente a la cuestión 1.

© Ediciones Pirámide

08/07/13 13:24

PERT coste: método del camino crítico (M) 2.

Las actividades necesarias para llevar a cabo un proyecto y los datos relacionados se dan en la tabla 4.5 y grafo en la figura 4.10 siguientes (duración en jornadas y costes en unidades monetarias). El coste indirecto que supondría a la empresa se estima en: 1.500 um./día. Se pregunta: 1. 2.

El coste total mínimo y la programación que permitiría realizarlo. La duración mínima en que se podría realizar y el incremento de coste total que supondría respecto a la opción más económica.

TABLA 4.5 Datos de la cuestión 2 Duración

Coste directo

Actividad Normal

Tope

Normal

Tope

A

5

4

5.400

7.200

B

6

2

2.160

3.600

C

4

3

1.800

3.240

D

5

3

2.160

3.600

E

3

—

2.880

—

C B

A

E

D

Figura 4.10.

Grafo correspondiente a la cuestión 2.

RESPUESTAS A LAS CUESTIONES 1.

Resolvemos la red con las duraciones normales de las actividades obteniendo la primera programación «todo normal»; la suma de los costes directos normales nos dará el coste

© Ediciones Pirámide

PI00227701_04.indd 99

99

08/07/13 13:24

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control directo y multiplicando la duración por el coste indirecto diario nos dará el coste indirecto; la suma de ambos, el coste total de esta programación. Calculamos también los coeficientes de costes de las actividades, que representan el incremento de coste directo por cada día de acortamiento de la actividad. La actividad H, no continua, no tiene coeficiente de costes, pero se puede acortar tres días con un incremento de coste directo de: 700 − 300 = 400 um.

1.ª programación

D(18) [4]

8 8

30 30 G(14)

A(8) 0 0

H(6)

C(12)

44 44

E(10) [6]

50 50

F(8) [16]

B(14) 20 20

Figura 4.11.

Primera programación «todo normal» de la cuestión 1.

Los costes: CD = 6.100 um.; CI = 50 × 120 = 6.000 um.; CT = 12.100 um. Las actividades del camino crítico (CC) y sus respectivos coeficientes de costes (−cij) para la duración del proyecto de 50 días:

TABLA 4.6 Camino crítico y coeficientes de costes de la 1.ª programación CC

A(8)

C(12)

E(10)

G(14)

H(6)

−cij

70

50

90

150

400*

Lo más ventajoso es acortar C cuatro días de los seis posibles (duración normal menos duración tope) debido a la holgura del bucle C − D − E. El sobrecoste del acortamiento será: ΔCD = = 4 × 50 = 200 um.

100

PI00227701_04.indd 100

© Ediciones Pirámide

08/07/13 13:24

PERT coste: método del camino crítico (M) 2.ª programación

8 8

D(18)

26 26 G(14)

A(8) C´(8)

H(6)

0 0

40 40

E(10) B(14)

46 46

F(8)

[2]

[16] 20 20

Figura 4.12.

Segunda programación de la cuestión 1.

Los costes: CD = 6.100 + 200 = 6.300 um.; CI = 46 × 120 = 5.520 um.; CT = 11.820 um. Los dos caminos críticos y coeficientes de costes para la duración de 46 días:

TABLA 4.7 Caminos críticos y coeficientes de costes de la 2.ª programación CC1

A(8)

C′(8)

E(10)

—

G(14)

H(6)

CC2

A(8)

—

—

D(18)

G(14)

H(6)

−cij

70

50

90

30

150

400*

Los acortamientos posibles de las actividades y sus costes: A a [70]; G a [150]; {C + E} a [140]; {E + D} a [120]; H a [400*]. La opción de acortar la actividad A es la más barata y, a ese precio, sólo se puede acortar dos días debido a que es la holgura del bucle A − B − C. El sobrecoste será: ΔCD = 2 × 70 = 140 um. 3.ª programación Los costes: CD = 6.300 + 140 = 6.440 um.;

CI = 44 × 120 = 5.280 um.;

CT = 11.720 um.

Los tres caminos críticos y coeficientes de costes para la duración de 44 días (tabla 4.8): © Ediciones Pirámide

PI00227701_04.indd 101

101

08/07/13 13:24

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control TABLA 4.8 Caminos críticos y coeficientes de costes de la 3.ª programación CC1

A′(6)

—

C′(8)

—

E(10)

G(14)

H(6)

CC2

A′(6)

—

—

D(18)

—

G(14)

H(6)

CC3

—

B(14)

—

—

E(10)

G(14)

H(6)

−cij

70

80

50

30

90

150

400*

D(18)

6 6

24 24 G(14)

A´(6) C´(8) 0 0

38 38

E(10) B(14)

H(6)

44 44

F(8) [16] 14 14

Figura 4.13.

Tercera programación de la cuestión 1.

Los acortamientos posibles de las actividades y sus costes: G a [150]; {A′ + B} a [150]; {E + D} a [120]; {B + C′ + D} a [160]; H a [400*]; {A + E − C′} a [110]. Esta última combinación consiste en acortar las actividades A y E, alargando la actividad C en la misma cantidad. Como a la actividad C le fue reducida su duración en la primera programación, la podemos alargar recuperando el sobrecoste de la reducción. De esta manera, acortar un día el proyecto sale a 110 um. A este precio podemos acortarlo solamente dos días debido a las duraciones tope de A y E, quedando el incremento de coste directo: ΔCD = 2 × 110 = 220 um. 4.ª programación 6 6

D(18)

22 22 G(14)

A*(4) C´(10) 0 0

36 36

E*(8)

H(6)

42 42

F(8)

B(14)

[14] 14 14

Figura 4.14.

102

PI00227701_04.indd 102

Cuarta programación de la cuestión 1.

© Ediciones Pirámide

08/07/13 13:24

PERT coste: método del camino crítico (M) Los costes: CD = 6.440 + 220 = 6.660 um.; CI = 42 × 120 = 5.040 um.; CT = 11.700 um. Los tres caminos críticos y coeficientes de costes para la duración de 42 días: TABLA 4.9 Caminos críticos y coeficientes de costes de la 4.ª programación CC1

A*(4)

—

C’(10)

—

E* (8)

G(14)

H(6)

CC2

A*(4)

—

—

D(18)

—

G(14)

H(6)

CC3

—

B(14)

—

—

E*(8)

G(14)

H(6)

−cij

Tope

80

50

30

Tope

150

400*

Los acortamientos posibles de las actividades y sus costes: G a [150]; {C′ + D + B} a [160]; H a [400*]. El más económico es G y se puede acortar dos días (tope de G), con un incremento de coste directo: ΔCD = (2 × 150) = 300 um. 5.ª Programación

6 6

D(18)

22 22 G*(12)

A*(4) C´(10) 0 0

34 34

E*(8)

H(6)

40 40

F(8)

B(14)

[14] 14 14

Figura 4.15.

Quinta programación de la cuestión 1.

Los costes: CD = 6.660 + 300 = 6.960 um.; CI = 40 × 120 = 4.800 um.; CT = 11.760 um. Vemos que el coste total de esta programación es superior al de la anterior: 11.700 um.; por tanto, el óptimo corresponde a la 4.ª programación, con un coste total de 11.700 um. y una duración de 42 días. Para encontrar la duración más corta del proyecto y su coste asociado, seguimos acortando la duración hasta tener un camino crítico con todas las actividades a su duración tope. Los tres caminos críticos y coeficientes de costes para la duración de 40 días: © Ediciones Pirámide

PI00227701_04.indd 103

103

08/07/13 13:24

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control TABLA 4.10 Caminos críticos y coeficientes de costes de la 5.ª programación CC1

A*(4)

—

C′(10)

—

E*(8)

G*(12)

H(6)

CC2

A*(4)

—

—

D(18)

—

G*(12)

H(6)

CC3

—

B(14)

—

—

E*(8)

G*(12)

H(6)

−cij

Tope

80

50

30

Tope

Tope

400*

Los posibles acortamientos: {C′ + D + B} a [160]; H a [400*]; El más económico es el conjunto C′ + D + B} y se puede acortar 2 días (tope de B), con un incremento de coste directo: ΔCD = (2 × 160) = 320 um. 6.ª programación 4 4

D´(16)

20 20 G*(12)

A*(4) 0 0

C´(8)

E*(8)

32 32

H(6)

38 38

F(8)

B*(12)

[12] 12 12

Figura 4.16.

Sexta programación de la cuestión 1.

Los costes: CD = 6.960 + 320 = 7.280 um.; CI = 38 × 120 = 4.560 um.; CT = 11.840 um. Los tres caminos críticos y coeficientes de costes para la duración de 38 días: TABLA 4.11 Caminos críticos y coeficientes de costes de la 6.ª programación CC1

A*(4)

—

C′(8)

—

E*(8)

G*(12)

H(6)

CC2

A*(4)

—

—

D′(16)

—

G*(12)

H(6)

CC3

—

B* × (12)

—

—

E*(8)

G*(12)

H(6)

−cij

Tope

Tope

50

30

Tope

Tope

400*

Sólo podemos reducir la duración de la actividad H(6) ya que, al no ser continua, el único acortamiento posible son tres días con un incremento de coste directo: ΔCD = 400 um.

104

PI00227701_04.indd 104

© Ediciones Pirámide

08/07/13 13:24

PERT coste: método del camino crítico (M) 7.ª programación D´(16)

4 4

20 20 G*(12)

A*(4) 0 0

C´(8)

E*(8)

32 32

H*(3)

35 35

F(8)

B*(12)

[12] 12 12

Figura 4.17.

Séptima programación de la cuestión 1.

Los costes: CI = 35 × 120 = 4.200 um.; CT = 11.880 um. CD = 7.280 + 400 = 7.680 um.; Observamos que el camino crítico CC3, formado por las actividades: B − E − G − H, no se puede acortar más por haber llegado todas ellas a su duración tope. Así pues, el tiempo mínimo para llevar a cabo este proyecto es de 35 días con un coste total de 11.880 um. 2.

Resolvemos la red con las duraciones normales de las actividades para obtener la primera programación «todo normal». El coste directo de esta programación será la suma de los costes directos normales de las actividades: 14.400 um. Calculamos también los coeficientes de costes de las actividades A, B, C y D resultando los valores: 1.800; 360; 1.440; 720 um., respectivamente. La actividad E no es reducible pues su duración es de tres días y el coste de 2.880 um. Resolveremos primero los costes directos para las posibles reducciones de la duración del proyecto:

1.ª programación 9 11 C(4) [2] 0 0

A(5)

5 5

B(6)

11 11

E*(3)

14 14

D(5) [1] 10 11

Figura 4.18.

© Ediciones Pirámide

PI00227701_04.indd 105

Primera programación «todo normal» de la cuestión 2.

105

08/07/13 13:24

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control Coste directo: CD = 14.400 um. y la duración del proyecto es de 14 días. El camino crítico está formado por las actividades: A(5) − B(6) − E* (3). Como la actividad E no es reducible, las dos posibilidades de acortamiento son la actividad A, con un coeficiente de costes de 1.800 u.m/día, o la B a 360 um./día; por tanto, acortamos la actividad B y sólo un día (holgura del bucle D), siendo el incremento de coste directo: ΔCD = 1 × 360 = 360 um./día. 2.ª programación 9 10 C(4) [1] 0 0

A(5)

B´(5)

5 5

10 10

E*(3)

13 13

D(5) 10 10

Figura 4.19.

Segunda programación de la cuestión 2.

Coste directo: CD = 14.400 + 360 = 14.760 um. y la duración del proyecto 13 días. Tenemos dos caminos críticos: CC1 formado por las actividades A(5) − B′(5) − E*(3) y el CC2 formado por: A(5) − D(5) − E*(3). Las posibilidades de acortar los dos caminos son la actividad A (común a ambos) al coste de 1.800 um./día, o conjuntamente B y D a un coste de 1.080 um./día (la suma de sus coeficientes de costes: 360 + 720). La más económica es la segunda y sólo un día por la holgura del bucle de la actividad C. El incremento de coste directo será: ΔCD = 1 × (360 + 720) = 1.080 um./día. 3.ª programación 9 9 C(4) 0 0

A(5)

5 5

B´(4)

9 9

E*(3)

12 12

D´(4) 9 9

Figura 4.20.

106

PI00227701_04.indd 106

Tercera programación de la cuestión 2.

© Ediciones Pirámide

08/07/13 13:24

PERT coste: método del camino crítico (M) Coste Directo: CD = 14.760 + 1.080 = 15.840 um. y la duración del proyecto es 12 días. Ahora tenemos un nuevo camino crítico que se añade a los anteriores: CC3, formado por las actividades: A(5) − C(4) − E*(3). Las posibilidades de acortar a la vez los tres caminos críticos son dos: acortar la actividad A un día (quedará en la duración tope) con un incremento de coste directo: ΔCD = 1 × 1.800 = = 1.800 um./día, o bien acortar el conjunto de actividades{C + B′ + D′} un día (duraciones tope de B y D) con un incremento de coste directo: ΔCD = 2.520 um./día. La más económica es la primera opción. 4.ª programación

8 8 C(4) 0 0

A*(4)

4 4

B´(4)

8 8

E*(3)

11 11

D´(4) 8 8

Figura 4.21.

Cuarta programación de la cuestión 2.

Coste directo: CD = 15.840 + 1.800 = 17.640 um. y duración de 11 días. Continuamos con los mismos caminos críticos y la única posibilidad de acortamiento es la de las actividades {C + B’ + D’} al coste de: (360 + 1.440 + 720) = 2.520 um./día. 5.ª programación 7 7 C*(3) 0 0

A*(4)

4 4

B´(3)

7 7

E*(3)

10 10

D*(3) 7 7

Figura 4.22.

© Ediciones Pirámide

PI00227701_04.indd 107

Quinta programación de la cuestión 2.

107

08/07/13 13:24

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control Coste directo: CD = 17.640 + 2.520 = 20.160 um. y duración de 10 días. Ya no se puede acortar más ya que tenemos caminos críticos con todas sus actividades a duraciones tope. Como el coste indirecto se calcula a razón de 1.500 um./día, podemos obtener los costes indirectos y totales de cada programación que se presentan en la siguiente tabla: TABLA 4.12 Costes directo, indirecto y total de la cuestión 2 Programación

CD

CI

CT

1.ª

14.440

21.000

35.400

2.ª

14.760

19.500

34.260

3.ª

15.840

18.000

33.840

4.ª

17.640

16.500

34.140

5.ª

20.140

15.000

35.140

Vemos que: 1. El coste total mínimo de realizar el proyecto es: 33.840 um. que corresponde a la tercera programación. 2. La duración mínima en que se podría realizar el proyecto son 10 días, correspondiente a la quinta programación, y el incremento de coste total que supondría respecto a la opción más económica será: (35.140 − 33.840) = 1.300 um.

108

PI00227701_04.indd 108

© Ediciones Pirámide

08/07/13 13:24

5

Método de los potenciales (ROY)

Después de leer este capítulo usted deberá: • Poder distinguir y comparar las diferencias entre grafos de los métodos ROY y PERT. • Saber describir los diferentes tipos de ligaduras que pueden relacionar las actividades del proyecto.

PI00227701_05.indd 109

• Saber resolver numéricamente la red del proyecto para distintos tipos de ligaduras entre actividades. • Saber aplicar un procedimiento heurístico que permita obtener una planificación satisfactoria en el caso de que exista alguna ligadura disyuntiva entre actividades.

04/07/13 15:35

PI00227701_05.indd 110

04/07/13 15:35

5.1. EL GRAFO EN EL MÉTODO DE LOS POTENCIALES (ROY) En el grafo del método ROY, los nudos de la red representan las actividades, y las flechas que los unen las ligaduras potenciales, que pueden ser: a) De localización temporal: imponen que la tarea empiece después o antes de una fecha dada «t» (localización temporal mínima o máxima, respectivamente). b) De sucesión: imponen que la fecha de comienzo de dos tareas «ti» y «tj» sea mayor o menor (sucesión mínima o máxima sucesivamente) que un cierto valor. En general, la mayoría de los casos que pueden presentarse en la sucesión mínima entre dos tareas I y J son: — La tarea J no puede empezar antes que la tarea I, es decir: (tj − ti) ≥ 0. — La tarea J no puede empezar hasta que haya terminado la tarea I: (tj − ti) ≥ ≥ di (siendo di la duración de I). — Para empezar la tarea J se necesita que la tarea I haya llegado a un cierto grado de realización: (tj − ti) ≥ α × di (siendo a el grado de realización en tanto por uno, por tanto: 0 < α < 1). — Para comenzar la tarea J debe transcurrir, por lo menos, un tiempo b desde la terminación de la tarea I: (tj − ti) ≥ di + β. Análogamente, para las ligaduras de sucesión máxima sería: La tarea J debe comenzar antes de que termine la tarea I, es decir: (tj − ti) ≤ di; etc. © Ediciones Pirámide

PI00227701_05.indd 111

111

04/07/13 15:35

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control Una vez descompuesto el proyecto en actividades y conocidas las ligaduras que las relacionan, podemos representar la red. Siempre existirá un primer nudo que representa el inicio y otro nudo que representa el final del proyecto; se suelen designar por P y F, respectivamente. La resolución numérica de la red para obtener la duración mínima del proyecto se realiza de forma análoga a la vista en los métodos PERT y M. En cada nudo tendremos las fechas mínima y máxima de inicio de la actividad que representa, siendo: — Fecha mínima de comienzo de una actividad: la que viene determinada por el hecho de que no puede comenzar sin que otras actividades hayan finalizado, o llegado a un determinado estado de ejecución, o que haya transcurrido un tiempo determinado. — Fecha máxima de comienzo de una actividad: la máxima compatible con la duración mínima del proyecto. Que las fechas mínima y máxima de una actividad coincidan indica que no hay margen de tiempo para su inicio; en este caso estamos ante una actividad crítica. Toda pérdida de tiempo respecto a fecha de inicio prevista en una actividad crítica supone el mismo retraso en la duración total del proyecto. — Se llama camino crítico al formado por la línea de actividades críticas que van desde el inicio al final del proyecto; esto obliga a que tanto el primero como el último nudo del proyecto deben ser críticos. En todo proyecto debe existir siempre, al menos, un camino crítico. Vemos, por tanto, que las duraciones de las actividades no tienen exactamente el mismo significado que en los métodos PERT o M, ya que en el ROY pueden significar dos conceptos diferentes: a) Cuando entre la fecha de comienzo de dos actividades «ti» y «tj» debe mediar, al menos, un tiempo «aij» (ligadura de posterioridad mínima), que puede coincidir o no con la duración «di» de la actividad I, puesto que puede ser menor (α × di) o mayor (di + b), se indica en el grafo mediante la representación:

I

Figura 5.1.

112

PI00227701_05.indd 112

aij

J

Ligadura de posterioridad mínima aij.

© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:35

Método de los potenciales (ROY) b) En el caso de encontrar ligaduras de posterioridad máxima, es decir, que la actividad J deba comenzar como máximo un tiempo «bij» (ligadura) después de terminar la actividad I, un sencillo razonamiento nos lleva a indicarlo mediante flechas de sentido contrario y valor negativo; en efecto, si el tiempo transcurrido entre los comienzos de I y de J no puede sobrepasar el tiempo «bij» podemos escribir: (tj − ti) ≤ bij idéntico a: (tj − ti) ≥ − bij Se indica en el grafo mediante la representación:

−b ij

i

Figura 5.2.

j

Ligadura de posterioridad máxima bij.

A modo de ejemplo, una actividad que debe realizarse como mínimo 5 días después del inicio de otra y como máximo 10 días después, se representa:

5

J

I −10

Figura 5.3.

Ligaduras de posterioridad mínima y máxima entre las actividades I y J.

Las formas más corrientes de anotar en los nudos las fechas mínima (ti) y máxima (t*i) de inicio de la actividad son: la fecha mínima encima y la máxima debajo, o bien, por similitud con las fechas más temprana y más tardía de los métodos PERT y M, a la izquierda y derecha respectivamente. Las actividades críticas se presentan, generalmente, representando el borde del nudo con trazo doble o más grueso.

I

Figura 5.4.

© Ediciones Pirámide

PI00227701_05.indd 113

ti t*i

I ti t*i

Representación de las actividades en el grafo ROY.

113

04/07/13 15:35

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control Ejemplo de aplicación: Utilizando el método ROY, se desea planificar un proyecto para realizarlo en un plazo de tiempo mínimo. En la tabla 5.1 se detalla su descomposició en cuatro actividades, con las duraciones estimadas (en jornadas) y las condiciones que se deben cumplir para el inicio de cada una de ellas. TABLA 5.1 Activ.

Duración

A B C D

5 6 2 3

Condiciones para el comienzo

— — — —

Inmediatamente. Tras realizado el 80 % de la actividad A. Actividad A terminada y realizado el 50 % de la actividad B. Actividades B y C terminadas.

En la figura 5.5 se ha representado la red que cumple con las condiciones del comienzo exigidas. Sobre cada ligadura (flecha) escribimos su duración. Empezamos desde el inicio en la fecha 0, calculando las fechas mínimas de comienzo de actividad en actividad hasta la última sumando las duraciones de las ligaduras. En caso de que se pueda llegar a un nudo por más de una ligadura, la fecha mayor será la limitante para cumplir ambas restricciones y poder continuar. Vemos que llegamos al nudo final en la fecha 13; será la duración mínima del proyecto. Para cumplir el plazo mínimo de ejecución del proyecto, en el nudo final imponemos que la fecha máxima sea igual a la fecha mínima. Restando de ella las duraciones de las ligaduras precedentes encontraremos las fechas máximas de inicio de todas las actividades. En caso de que se pueda llegar a un nudo por más de una ligadura, la fecha menor será la limitante para cumplir con las restricciones.

B 4 4 4

P

0

A 0 0

6 D 10 10

3 5

3

F 13 13

2 C 7 8 H=1

Figura 5.5.

114

PI00227701_05.indd 114

Programación del ejemplo de aplicación.

© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:35

Método de los potenciales (ROY) Vemos que el camino crítico está formado desde P hasta F por las actividades A, B y D. La actividad C tiene una holgura o margen para el inicio de: (8 − 7) = = 1 jornada. La duración mínima del proyecto es de 13 jornadas.

5.2. COMPARACIÓN ENTRE MÉTODOS ROY Y PERT En el ROY no existen «actividades ficticias» y aunque no son absolutamente comparables, en ambos se realizan cálculos similares para obtener la fecha mínima o más temprana, máxima o más tardía y el camino crítico. Según el tipo de problema planteado será más útil uno u otro sistema. La representación del ROY da más importancia a las actividades, y el PERT a las etapas. En consecuencia, cuando se presentan ligaduras disyuntivas entre actividades, suele ser más conveniente utilizar el método ROY. Cada método puede presentar algún inconveniente. Por ejemplo, dadas las actividades A, B, C y D y las precedencias: la actividad A precede sólo a C y la actividad B precede a C y D, el PERT exige añadir una actividad ficticia que no corresponde a ninguna actividad real; por otra parte, en general, en el ROY se han de introducir más flechas, una para cada ligadura.

A

C

B

D

A

C

B

D

B

C

Figura 5.6.

B A

A

C

Equivalencias entre los grafos ROY y PERT.

5.3. LIGADURAS DISYUNTIVAS Una ligadura disyuntiva es aquella que obliga a que los tiempos de realización de varias actividades no puedan coincidir. El ejemplo más corriente es el de dos actividades que deban utilizar un único recurso disponible al mismo tiempo. La resolución del conflicto consiste en decidir el orden más conveniente de la realización de las actividades minimizando la duración total del proyecto. En definitiva, fijarle un sentido convirtiéndola en ligadura potencial. © Ediciones Pirámide

PI00227701_05.indd 115

115

04/07/13 15:35

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control Una posible solución sería comparar las duraciones del proyecto para las distintas posibilidades, pero la gran cantidad de combinaciones lo desaconsejan. Por esta razón y para los casos en que se presenta un número reducido de ligaduras disyuntivas, se suelen emplear procedimientos heurísticos que ayudan a obtener una solución razonable, como la que se propone a continuación: 1.º Resolver la red identificando las ligaduras disyuntivas, pero sin tenerlas en cuenta en los cálculos. 2.º Se van considerando, de una en una, todas las ligaduras disyuntivas y, con las fechas mínimas, se calculan las duraciones de los caminos que van del inicio al final del proyecto, pasando por la ligadura, primero en un sentido y después en el otro. Una forma rápida de realizar el cálculo para ver cómo afecta el sentido a la fecha final del proyecto, sin necesidad de rehacer todos los cálculos de la red, es: a la fecha mínima de la primera actividad se le suma su duración más la diferencia entre la fecha final del proyecto menos la fecha máxima de la segunda actividad. Siendo D la fecha final del proyecto antes de tener en cuenta la ligadura disyuntiva y D′ teniéndola en cuenta en el sentido IJ: La nueva duración del proyecto D′ = ti + dij + (D − tj*)

I ti t*i

Figura 5.7.

dij

J tj t*j

Fijación de un sentido en una ligadura disyuntiva.

3.º Se elige la ligadura que nos proporciona el peor resultado, es decir, la duración más larga del proyecto y se fija en el sentido contrario. Obtenemos un problema similar al del inicio, pero con una ligadura disyuntiva menos y una ligadura potencial más. 4.º Se vuelve al paso 1.º, hasta que no quede ninguna ligadura disyuntiva. La consecuencia de fijar un sentido en una ligadura disyuntiva entre dos actividades, que equivale a convertirla en ligadura potencial con una precedencia, es que pueden cambiar los valores de las fechas mínima y máxima de las actividades. Por este motivo se debe volver a resolver la red cada vez que se le fija un sentido. Para ser consecuentes con el objetivo de realizar el proyecto en el mínimo plazo posible y puesto que la decisión de fijar un sentido a una ligadura disyuntiva puede influir en las decisiones a tomar en las siguientes, es razonable que, una vez identificadas todas ellas y calculadas las duraciones del proyecto en los dos

116

PI00227701_05.indd 116

© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:35

Método de los potenciales (ROY) sentidos, se empiece fijando aquella que podría perjudicar más a la duración del proyecto. Éste es el motivo de buscar la que puede producir el peor resultado y fijarla en el sentido contrario, que será el más favorable. Veámoslo sobre el siguiente ejemplo, representado en la figura 5.8, que muestra una red con dos ligaduras disyuntivas, de forma que no pueden coincidir en el tiempo las ejecuciones de las actividades B y D, ni las de las actividades E y G. La red se ha resuelto sin tener en cuenta las ligaduras disyuntivas. 5

A 2 6

2

2

3

B 6 6

3

2

2

7

C 4 7

Fin 16 16

E 9 9 4

4

Figura 5.8.

F 13 13

4

3

6

P 0 0

2

D 7 11

G 11 14

Resolución por el método ROY de una red con dos ligaduras disyuntivas.

Veamos los caminos de los dos sentidos de la disyuntiva BD-DB: — — — — —

Sentido BD (hacia arriba): tB + dB + (T − tD*) = 6 + 3 + (16 − 11) = 14. Sentido DB (hacia abajo): tD + dD + (T − tB*) = 7 + 2 + (16 − 6) = 19. Ahora los de la disyuntiva GE-EG: Sentido GE (hacia arriba): tG + dG + (T − tE*) = 11 + 2 + (16 − 9) = 20. Sentido EG (hacia abajo): tE + dE + (T − tG*) = 9 + 4 + (16 − 14) = 15.

Vemos que el sentido más desfavorable es GE (20), por consiguiente empezaremos fijando esa disyuntiva, evidentemente, en su sentido más favorable: EG (hacia abajo). Obtenemos la red, con una disyuntiva menos, que resolvemos sin tener en cuenta la disyuntiva restante (figura 5.9): 5

A 2 6 2 P 0 0

6

D 7 11

2 3 B 6 6

Figura 5.9.

© Ediciones Pirámide

PI00227701_05.indd 117

F 13 13 3

4 3

Fin 16 16

E 9 9 4

4 C 4 7

2

7

2 G 13 14

Resolución por el método ROY de la red con una ligadura disyuntiva.

117

04/07/13 15:35

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control Veamos los caminos de los dos sentidos de la disyuntiva BD-DB: — Sentido BD (hacia arriba): tB + dB + (T − tD*) = 6 + 3 + (16 − 11) = 14. — Sentido DB (hacia abajo): tD + dD + (T − tB*) = 7 + 2 + (16 – 6) = 19. En este caso los valores no han cambiado, fijaremos la ligadura en sentido BD (hacia arriba) y, puesto que no quedan disyuntivas, podemos realizar el cálculo final. En la figura 5.10 se representa el ROY resultante.

2 P 0 0

5

A 2 6 H=4 6

D 9 11 H=2

3 B 6 6

3

PI00227701_05.indd 118

3

4

Fin 16 16 2

4 C 4 7 H=3

118

F 13 13

E 9 9

4

Figura 5.10.

2

7

G 13 14 H=1

Solución obtenida al ejemplo de red con dos ligaduras disyuntivas.

© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:35

Método de los potenciales (ROY)

RESUMEN — En el grafo del método ROY, los nudos de la red representan las actividades, y las flechas que los unen, las ligaduras potenciales, que pueden ser de localización temporal o de sucesión. — Descompuesto el proyecto en actividades y conocidas las ligaduras que las relacionan, podemos representar la red. En grafo ROY no existen actividades ficticias. Siempre existirá un primer nudo que representa el inicio y otro nudo que representa el final del proyecto. — La resolución numérica de la red para obtener la duración mínima del proyecto se realiza de forma análoga a la vista en los métodos PERT y M. En cada nudo tendremos las fechas mínima y máxima de inicio de la actividad. — «Fecha mínima» de comienzo de una actividad es la determinada por el hecho de que no puede comenzar sin que otras actividades hayan finalizado, o llegado a un determinado estado de ejecución, o que haya transcurrido un tiempo determinado, y «fecha máxima» de comienzo de una actividad es la máxima compatible con la duración mínima del proyecto. — Si las fechas mínima y máxima de una actividad coinciden, estamos ante una actividad crítica. Se llama camino crítico al formado por la línea de actividades críticas que van desde el inicio al final del proyecto. Siempre debe existir, al menos, un camino crítico. — En el caso de encontrar una ligadura de posterioridad máxima, es decir, que el plazo transcurrido entre los comienzos de dos actividades no puede sobrepasar

© Ediciones Pirámide

PI00227701_05.indd 119

cierto tiempo, se indica mediante una flecha de sentido contrario con el valor de la ligadura negativo. — En comparación con el método PERT, en el ROY no existen «actividades ficticias»; en ambos se realizan cálculos similares para obtener la fecha mínima o más temprana, máxima o más tardía y el camino crítico. La representación del ROY da más importancia a las actividades y la de PERT a las etapas. Cuando se presentan ligaduras disyuntivas entre actividades, suele ser más conveniente utilizar el método ROY. Según el tipo de problema planteado será más útil uno u otro sistema. — Una ligadura disyuntiva es aquella que obliga a que los tiempos de realización de varias actividades no puedan coincidir. La resolución del conflicto consiste en decidir el orden más conveniente de la realización de las actividades minimizando la duración total del proyecto. — Un procedimiento heurístico para la resolución de una red con alguna ligadura disyuntiva es empezar por resolver la red sin tener en cuenta las ligaduras disyuntivas e ir considerándolas después, de una en una. Se calculan las fechas finales del proyecto pasando por las ligaduras, primero en un sentido y después en el otro. Se fija la ligadura que resulta tener la mayor duración del proyecto en el sentido contrario (sentido más favorable). Obtenemos el mismo problema con una ligadura disyuntiva menos y una potencial más; se repite el procedimiento hasta que todas las ligaduras disyuntivas se hayan convertido en potenciales.

119

04/07/13 15:35

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control

CUESTIONES 1.

Planificar por el método ROY el proyecto del cual se conocen los datos expresados en la tabla 5.2. Las duraciones de las actividades están estimadas en días: TABLA 5.2

2.

Actividad

Duración

A B C D

2 10 4 1

Condiciones para el comienzo

— — — —

3 días después de fecha de inicio. 5 días después de fecha de inicio. Actividad A terminada y realizado el 60 % de la actividad B. Actividad C terminada y no puede sobrepasar 8 días desde el inicio de A.

Planificar utilizando el método ROY el siguiente proyecto del que se conocen sus actividades con sus duraciones (en días) y las condiciones para poder ser iniciadas, y que se indican en la tabla 5.3. TABLA 5.3

3.

Actividad

Duración

A B C D E F G H

16 14 20 8 18 25 15 17

Condiciones para comenzar la actividad

— — — — — — — —

Inmediatamente. Inmediatamente. 3 días después del origen de los trabajos. Actividades A y B terminadas. 12 días después de empezar B. 10 días después de empezar B y efectuado el 35 % de C. D, E y F terminadas. 2 días después de terminar C y efectuado el 50 % de E.

Planificar por el método ROY el siguiente proyecto; las actividades, su duración en días y las condiciones para su inicio se dan la tabla 5.4: TABLA 5.4

120

PI00227701_05.indd 120

Actividad

Duración

Condiciones para el comienzo de cada actividad

A B C D E

6 1 8 3 5

Inmediatamente. Tras realizar el 50 % de la actividad A. 2 días tras la fecha de inicio y realizada la tercera parte de la actividad D. Actividades A y B realizadas. 2 días después de terminada D y, además, no puede sobrepasar 7 días desde el comienzo de la actividad B.

© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:35

Método de los potenciales (ROY) 4.

Establecer, por el método ROY, el programa para la construcción y montaje de una fábrica, con las duraciones en días y las limitaciones que se indican en la tabla 5.5, determinando la duración total del programa y las actividades que forman el camino crítico. TABLA 5.5

5.

Actividades

Duración

Condiciones para el comienzo

A. Cimentación B. Estructura C. Urbanización D. Instalaciones E. Cubierta F. Cerramiento G. Pavimento H. Montaje máquinas I. Prueba de instalaciones J. Prueba de máquinas

25 75 100 95 20 10 90 90 5 10

Inmediatamente. Terminada la cimentación. Terminada la cimentación. Terminada la estructura. Terminada la estructura. Terminada la cubierta. 25 días después de empezar las instalaciones. Terminada la urbanización y 30 días después de empezar pavimentos. Terminadas las instalaciones y cerramiento. Todas las demás actividades terminadas.

Resolver por el método ROY la planificación del siguiente proyecto que se desea acabar en el menor tiempo posible. Se compone de seis actividades, referenciadas de la A a la F, cuya duración en días y las condiciones para el inicio se dan en la siguiente tabla 5.6. Se debe tener en cuenta que la realización de las actividades A y B no puede coincidir en el tiempo, dado que utilizan un mismo y único recurso. Igualmente ocurre con las actividades E y H. TABLA 5.6 Actividad

Duración

A B C D E F G H

2 3 3 3 5 4 4 3

Condiciones para el inicio

1 día desde la fecha de inicio (no se puede realizar conjuntamente con la B). 2 días desde la fecha de inicio (no se puede realizar conjuntamente con la A). 2 días desde la fecha de inicio. Actividad A finalizada. Actividad B finalizada (no se puede realizar conjuntamente con la H). Actividad C finalizada. Las actividades D y E finalizadas. Actividad F finalizada (no se puede realizar conjuntamente con la E).

RESPUESTAS A LAS CUESTIONES 1.

En este proyecto existe una ligadura de posterioridad máxima en la actividad D respecto de la actividad A. En el grafo correspondiente, figura 5.11, se ha representado con una flecha en sentido contrario y con un valor de ligadura negativo (−8). Al realizar el cálculo de las fechas mínimas, a la actividad A le correspondería la fecha 3 y la fecha mínima de la actividad D es 15. Pero en D se debe comprobar que cumpla la

© Ediciones Pirámide

PI00227701_05.indd 121

121

04/07/13 15:35

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control condición de la ligadura de posterioridad máxima; es decir, que el inicio de D no supere en 8 días la fecha de inicio de A. Restando las fechas: 15 − 3 = 12 días que supera en 4 días el máximo que impone la ligadura. Por consiguiente, debemos retrasar el inicio de A en esos días, de forma que la fecha mínima de inicio de A debe ser: 15 − 8 = 7. Seguidamente se debe repasar las fechas mínimas de las actividades anteriores que puedan verse afectadas por el cambio (en este caso, la actividad C, y vemos que no le afecta pues sigue siendo la fecha 11).

−8

A 3}7 9 H=2

3

2

P 0 0

D 15 15 1

4 C 11 11

5

6 10

B 5 5

Figura 5.11.

F 16 16

Planificación resultante de la cuestión 1.

El resultado final es de una duración mínima de 16 días. El camino crítico es P − B − − C − D − F; y la actividad A tiene una holgura de: 9 − 7 = 2 días. 2.

En esta cuestión existe una ligadura de posterioridad mínima no coincidente con su duración en la actividad H respecto de la actividad C puesto que, acabada esta actividad, se debe esperar como mínimo dos días para iniciar la actividad H. En definitiva, la ligadura C − H quedará con una duración: 20 + 2 = 22 días. Resuelta la red, vemos que hay dos caminos críticos, uno desde el principio pasando por las actividades B − F − G y el otro por C − F − G. Las holguras se han señalado debajo de las actividades y la duración mínima del proyecto es de 50 días.

A 16 0 11 H=11 14

0 P 0 0

0

B 0 0

12 10

3 C 3 3

7

8 D 16 27 H=11 18 E 12 17 H=5 F 10 10 20+2=22

Figura 5.12.

122

PI00227701_05.indd 122

G 35 35

25

15 Fin 50 50

9 17 H 25 33 H=8

Planificación resultante de la cuestión 2.

© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:35

Método de los potenciales (ROY) 3.

En este ejercicio nos encontramos con una ligadura de posterioridad mínima no coincidente con su duración entre las actividades D y E puesto que acabada D, como mínimo, se ha de esperar dos días para iniciar la actividad E. También se presenta una ligadura de postrioridad máxima entre las actividades B y E, ya que para el inicio de la actividad E, no pueden transcurrir más de siete días desde la fecha de inicio de la actividad B. Al resolver la red vemos que la actividad B debe comenzar más tarde, en la fecha 4 en lugar de la fecha 3, para cumplir con la ligadura de posterioridad máxima, puesto que siendo 11 la fecha de inicio de la actividad E: 11 − 7 = 4. Comprobamos que el cambio de la fecha de inicio de la actividad B no afecta a las actividades siguientes, pues la fecha que le llega por la ligadura BD ahora es: 4 + 1 = 5 < 6 y, por tanto, no cambia.

C 7 8 H=1

2 P

6

A 0 0

0

1

3 B 3}4 5 H=1

Figura 5.13.

4.

1 D 6 6

3+2

8 E F 11 11 5 16 16

−7

Planificación resultante de la cuestión 3.

La solución de la red nos da una duración mínima de 255 días y el camino crítico está formado por las actividades: A − B − D − G − H − J. Las holguras para el inicio de las actividades no críticas se detallan debajo de cada nudo.

20 E F 100 210 120 230 H=110 H=110 10 75 P

95 A 25 B 75 D I 0 0 25 25 100 100 195 240 Fin H=45 5 255 255 25 J 90 25 G 245 245 10 125 125 C 30 100 25 55 90 H H=30 155 155

Figura 5.14.

© Ediciones Pirámide

PI00227701_05.indd 123

Planificación resultante de la cuestión 4.

123

04/07/13 15:35

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control 5.

En este proyecto aparecen dos ligaduras disyuntivas, una entre las actividades A y B y la otra entre E y H. Dibujamos el grafo y resolvemos la red sin tener en cuenta las ligaduras disyuntivas:

1 2

P 0 0

A 1 5 2 3 B 2 2

2

D 3 7 3

3

G 10 10

4

Fin 14 14

5

2

3 C 2 4

Figura 5.15.

5

E 5 5

3

F 5 7

4

3

H 9 11

Planificación resultante de la cuestión 5 con dos disyuntivas.

Veamos los caminos en los dos sentidos de la disyuntiva BA (hacia arriba) y AB (hacia abajo): — Sentido BA: 2 + 3 + (14 − 5) = 14. — Sentido AB: 1 + 2 + (14 − 2) = 15. Veamos los caminos en los dos sentidos de la disyuntiva BA (hacia arriba) y AB (hacia abajo): — Sentido HE: 9 + 3 + (14 − 5) = 21. — Sentido EH: 5 + 5 + (14 − 11) = 13. Vemos que el sentido más desfavorable es HE (21); fijamos la disyuntiva en dirección EH y resolvemos la red sin tener en cuenta la disyuntiva AB-BA:

1 2

P 0 0

A 1 5 2 3 B 2 2

2

D 3 7 3

3

E 5 5

C 2 4

124

PI00227701_05.indd 124

G 10 10

4

Fin 14 14

5

2

Figura 5.16.

5

3

F 5 7

4

H 10 11

3

Planificación resultante de la cuestión 5 con una disyuntiva menos.

© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:35

Método de los potenciales (ROY) Veamos los caminos en los dos sentidos de la disyuntiva BA-AB: — Sentido BA: 2 + 3 + (14 − 5) = 14. — Sentido AB: 1 + 2 + (14 − 2) = 15. Así pues, tomamos el sentido BA (hacia abajo). La planificación resultante:

A 5 5 1

D 7 7 3

3 2

P 0 0

2

B 2 2

3

E 5 5

C 2 4 H=2

© Ediciones Pirámide

PI00227701_05.indd 125

G 10 10

4

Fin 14 14

5

2

Figura 5.17.

5

3

F 5 7 H=2

4

H 10 11 H=1

3

Planificación resultante de la cuestión 5.

125

04/07/13 15:35

PI00227701_05.indd 126

04/07/13 15:35

Apéndice Aplicaciones informáticas de ayuda a la gestión de proyectos Existen numerosos programas informáticos de ayuda a la planificación, programación y posterior seguimiento y control de proyectos. En general, todos ellos, permiten programar las tareas según un calendario y asignarles la duración, recursos y costes. Permiten realizar el seguimiento con la información del avance del trabajo, actualizando duraciones y recursos, y visualizar el plan de proyecto mediante gráficas Gantt. Se han elegido dos para indicar sus características principales: el Microsoft Project, por la gran difusión del sistema Microfosoft, y GanttProject por ejecutarse en Linux. El programa Microsoft Project Forma parte del conjunto de programas Microsoft Office. Este programa permite obtener además: — Con la lista de tareas crear la EDT (estructura detallada del trabajo), es decir, la lista jerárquica de las fases, las tareas y los hitos del proyecto. — Diagramas de Gantt, diagramas de red (descriptivo y de relaciones). — Hojas, formularios y gráficos de los usos de recursos, de tareas y de detalles. — Guardar líneas base y visualizar el Gantt de varias líneas base. — Gantt de seguimiento, Gantt de redistribución. — Creación de informes estandarizados (generales, de actividades actuales, de costes, de asignaciones, de carga de trabajo) y personalizados. También permite cambiar el tiempo de trabajo, mover el proyecto, dividir un proyecto amplio en varios subproyectos y la comparación entre varios proyectos. © Ediciones Pirámide

PI00227701_05.indd 127

127

04/07/13 15:35

Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control El programa GanttProject Es una herramienta multiplataforma, gratuita, que se ejecuta en Linux, Windows y MacOSX, es libre y su código opensource. Permite: — Crear una estructura de desglose del trabajo, las dependencias de empate, definir hitos y visualizar el diagrama de Gantt. — Asignar los recursos humanos para trabajar en tareas y consultar la asignación en una tabla de tareas. — Generar un diagrama PERT de diagrama de Gantt. — Se pueden guardar los gráficos como imágenes PNG y generar informes en PDF y HTML. — Importar y exportar proyectos a los formatos de Microsoft Project y la exportación a hojas de cálculo con el formato CSV. — Compartir proyectos mediante la WebDAV.

128

PI00227701_05.indd 128

© Ediciones Pirámide

04/07/13 15:35

Bibliografía

PI00227701_06_biblio.indd 129

04/07/13 15:35

PI00227701_06_biblio.indd 130

04/07/13 15:35

Aguer Hortal, M., Pérez Gorostegui, E. y Martínez Sánchez, J. (2004): istración y Dirección de Empresas. Madrid: Ed. Universitaria Ramón Areces. Chatfield, C. y Johnson, T. (2002): Microsoft project versión 2002 paso a paso. McGraw-Hill. Collantes Díaz, A. (1980): El Pert. Madrid: Ed. Index. Companys, R. y Corominas, A. (1998): Organización de la producción I; Diseño de sistemas productivos 2. Barcelona: Ediciones UPC. Cuatrecasas, Ll. (2008): Organización de la producción y dirección de operaciones. Madrid: Ramón Areces. Fraxanet de Simón, M. (1990): Organización y Gestión de la Producción. Barcelona: Ed. CDN. Heizer, J. y Render, B. (2001): Dirección de la producción; decisiones tácticas, 6.ª ed. Madrid: Ed. Prentice-Hall Internacional. Newell, M. W. y Grashina, M. N. (2005): Preguntas y respuestas sobre la gestión de proyectos. Barcelona: Ediciones 2000. Pomares, J. (1987): Planificación gráfica de obras. Barcelona: Gustavo Gili. YuChuen-Tao, L. (1993): Aplicaciones prácticas del PERT y M. Bilbao: Deusto.

© Ediciones Pirámide

PI00227701_06_biblio.indd 131

131

04/07/13 15:35

PI00227701_06_biblio.indd 132

04/07/13 15:35

PI00227701_07_tit.indd 133

04/07/13 15:35

PI00227701_07_tit.indd 134

04/07/13 15:35

PI00227701_07_tit.indd 135

04/07/13 15:35

TÍTULOS RELACIONADOS istración de empresas, M.ª J. Hernández Ortiz (coord.). istración de organizaciones en el entorno actual, A. A. Aguirre Sádaba, A. M.ª Castillo Clavero y D. Tous Zamora. Casos prácticos de istración y dirección de empresas, A. M.ª Castillo Clavero, I. M.ª Abad Guerrero y M.ª Á. Rastrollo Horrillo. Casos prácticos de istración y organización de empresas, M.ª J. Hernández Ortiz (coord.). Creación de empresas (2 vols.), J. A. Jiménez Quintero (coord.). Decisiones empresariales con hoja de cálculo, D. Villalba Vilá y Y. Bueno Hernández. Dirección estratégica (2 vols.), J. A. Jiménez Quintero. Dirección de empresas, A. M.ª Castillo Clavero e I. M.ª Abad Guerrero. Dirección estratégica. Desarrollo de la estrategia y análisis de casos, E. Bueno Campos, M.ª P. Salmador Sánchez, C. Merino Moreno y J. I. Martín Castilla. Dirección estratégica. Nuevas perspectivas teóricas, E. Bueno Campos, P. Morcillo Ortega y M.ª P. Salmador Sánchez. Dirección estratégica de los recursos humanos. Teoría y práctica, E. Albizu y J. Landeta (coords.). Dirección y organización de empresas turísticas, M.ª Á. Gallego Águeda y C. Casanueva Rocha. Economía de la empresa, C. Barroso Castro (coord.). Empresas y organizaciones turísticas, C. Casanueva Rocha y M.ª A. Gallego Águeda. Estrategia y política de empresa. Lecturas, S. Garrido Buj y J. M. Rodríguez Carrasco. Fundamentos de istración de empresas, Ó. Gutiérrez Aragón. Fundamentos de dirección y istración de empresas, M.ª del M. Fuentes Fuentes y E. Cordón Pozo. Gestión de calidad. Mejora continua y sistemas de gestión. Teoría y práctica. J. Velasco Sánchez. Gestión de la calidad empresarial. Fundamentos e implantación, F. J. Lloréns Montes y M.ª del M. Fuentes Fuentes. Gestión de la calidad y gestión medioambiental. Fundamentos, herramientas, normas ISO y relaciones, E. Claver Cortés, J. F. Molina Azorín y J. J. Tarí Guilló. Gestión de la formación en la empresa, M.ª P. Andrés Reina. Gestión de la logística en la empresa. Planificación de la cadena de suministros, J. Velasco Sánchez. Gestión de la producción en la empresa. Planificación, programación y control, J. Velasco Sánchez y J. A. Campins Masriera. Gestión de proyectos en la empresa. Planificación, programación y control, J. Velasco Sánchez y J. A. Campins Masriera. La gestión de la innovación y la tecnología en las organizaciones, A. Hidalgo Nuchera, G. León Serrano y J. Pavón Morote. La gestión de los sistemas de información en la empresa. Teoría y práctica, S. J. Arjonilla Domínguez y J. A. Medina Garrido. Mejorando la producción con lean thinking, J. Santos, R. A. Wysk y J. M. Torres. Organización de empresas. Estructura, procesos y modelos, E. Bueno Campos. Organización de la producción. Distribuciones en planta y mejora de los métodos y los tiempos, J. Velasco Sánchez. Principios y fundamentos de gestión de empresas, F. J. González Domínguez y J. Ganaza Vargas (coords.). Si lo desea, en nuestra página web puede consultar el catálogo completo o descargarlo:

www.edicionespiramide.es

PI00227701_07_tit.indd 136

04/07/13 15:35