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Datos de catalogación Autores: Arriaga Robles, Alan, Marcos Manuel Benítez Castanedo Guía del maestro. Matemáticas 1. Por competencias Primer grado, educación secundaria 1a Edición Pearson Educación, México, 2012 ISBN: 978-607-32-1589-3 Área: Secundaria Formato: 20.5 x 27cm

Páginas: 304

Esta edición en español es la única autorizada.

Guía del maestro. Matemáticas 1. Por competencias El proyecto didáctico Matemáticas 1. Por competencias es una obra colectiva creada por encargo de la editorial Pearson Educación de México, por un equipo de profesionales en distintas áreas, que trabajaron siguiendo los lineamientos y estructuras establecidos por el departamento pedagógico de Pearson Educación de México.

Especialistas en Matemáticas responsables de los contenidos y su revisión técnico-pedagógica: Obra original: Arriaga Robles, Alan y Marcos Manuel Benítez Castanedo Revisores Técnicos: Vicente Zimbrón Jiménez y Sergio Isidoro Alpizar Jiménez Dirección general: Philip De la Vega ■ Dirección K-12: Santiago Gutiérrez ■ Gerencia editorial K-12: Rodrigo Bengochea ■ Coordinación editorial: Jorge Luis Íñiguez ■ Coordinación de arte y diseño: Asbel Ramírez

Dirección K-12 Latinoamérica: Eduardo Guzmán Barros Dirección de contenidos K-12 Latinoamérica: Clara Andrade Editado por: EDIMEND, S.A de C.V ■ Director general: Francisco Méndez Gutiérrez ■ Director editorial: Alberto García Rodríguez ■ Gerente de contenidos: Maricela García Núñez ■ Coordinación de contenidos secundaria: Gabriela Ramírez Salgado ■ Coordinación editorial: J. René Piedra Tenorio ■ Edición: Gabriela Ramírez Salgado ■ Diseño y formación editorial: Mario Tenorio Murillo y Mónica Huitrón Vargas ■ Corrección de estilo y editorial: Ma. Teresa Dávila Ortíz de Montellano ■ Diseño de portada: J. René Piedra Tenorio ■ Ilustraciones: Marcelino Aranda Flores, Ma. Eugenia Vázquez Cano y Javier Perdomo Muñoz ■ Fotografías: Shutterstock, Beatriz Mendoza Alvarez y Karla Flores Choza

ISBN LIBRO IMPRESO: 978-607-32-1589-3

D.R. © 2012 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500, 5° piso Col. Industrial Atoto, C.P. 53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg. Núm. 1031

Impreso en México. Printed in Mexico

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

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PRESENTACIÓN

Uno de los grandes retos que enfrenta la educación secundaria es propiciar que el alumno desarrolle las competencias básicas que le serán útiles y podrá aplicar a lo largo de su vida. Asimismo –y como parte del nuevo enfoque de la educación básica–, el alumno logrará aprendizajes esperados que, junto con los estándares curriculares, permitirá que consoliden las competencias básicas y específicas de cada asignatura. Como parte del proceso de enseñanza-aprendizaje, los agentes docente-alumno, bajo el enfoque del constructivismo, se conciben de una manera distinta, pues el primero es una guía que orienta al segundo durante su proceso de aprendizaje, el cual es totalmente activo, tanto dentro como fuera del aula. De esta manera, se observa la gran importancia que tiene el docente como pieza clave para conducir y facilitar al estudiante los elementos y las experiencias necesarias para desarrollar sus conocimientos, habilidades y actitudes. Las sociedades contemporáneas propician, cada vez más, que se establezcan distintas visiones sobre el mundo que nos rodea, y en particular sobre las formas en las que se solucionan los problemas haciendo uso del razonamiento. Para plantear una solución se hace uso de simbolismos y correlaciones mediante el lenguaje matemático; de aquí la importancia de la asignatura dentro de la educación básica. Por tal motivo, el propósito fundamental de esta guía del maestro es auxiliar al docente para el mejor aprovechamiento de los contenidos del libro del alumno. Así pues, se ofrecen herramientas para romper con el paradigma tradicional de la enseñanza y ayudar a promover una educación basada en competencias. Por tal motivo esta guía del maestro está dividida en distintas secciones donde se describirán los cambios más significativos del nuevo enfoque de la educación básica y de la asignatura de las Matemáticas, sugerencias para planificar el trabajo en el aula, el uso y el manejo de las secciones en el libro del alumno, la relación entre los aprendizajes esperados, los estándares curriculares y las competencias con la evaluación, entre otros. Estamos seguros de que este libro se convertirá en un instrumento útil para complementar su labor docente. Pearson Educación reitera su apoyo y espera que este ciclo escolar esté lleno de satisfacciones y éxitos.

ÍNDICE

1

Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III

Estructura de la obra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV

Orientaciones didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VI

Planificador mensual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXI Libro del alumno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1

III


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MATEMÁTICAS Á ÁTICAS 1

ESTRUCTURA E STRUCTURA DE LA OBRA Las Orientaciones didácticas de la Guía del maestro se dividen en las siguientes secciones: MATEM ÁTI

CAS 1

literales : activida como núm ero gen des cor las pro eral, com piedade respondient o incó es s de los gnita ediante y en rela número a este eje los las act s y sus ción fun ce en ividade operaci estudiantes cional. los ones. alcance constru estudiantes s correspon Vig n la gen ile que en ir, rep roducir el desarrollo dientes al e es váli las eralizac do efec o e d ión de de lo tuar cier copiar una de la compet e forma , espacio con figura, to traz encia manera veniente que resu o realizado; pídales que de argument y medida ade cua arg se favo un apo asim ación. lta utili ument reyo grá da, para que Por zar inst ismo, obs fico. erve queen las razones ejemplo infiera rument • n , al la imp os por el e e el estudian de geo las ortancia de ma analiza te se dé cuales de la pre metría y nejo r saber cuenta cisión pretarl datos proven de la info man y lo obj os. Las rma ientes etivo queejarlos de la vari de dist ción propici ación actividades es ten propor entero de este intas fuente e que los er cion s, frac alum s, a org cionario al, la pro eje se apo estos anizarlo nos se aco yan con babilida stum resuelva ceptos, per s y decima d y, en en nociones s, represe les ntarlos bren a tale de su n mediante mita que los en diferen general, e inte el sign s como el entorn algunos tes restu por ificado o. de esto diantes pro contextos. de los centaje, Tema Con el s tem pongan as y que fin de números o inve consoli formen nten Cada pro dar uno de parte de su blemas que los ejes rá en vida cot el tran se temátic scu idiana la asi natura rso del cor os contien y e resp de atemátic ondient temas que indican as qued e apartad el o. De a de la s tal man contenido i uien general era, que te orm que para el a nivel secuse tratandaria •

Enfoque de la asignatura (Matemáticas) Aquí se señalan los lineamientos de la asignatura a partir de sus competencias, ejes, aprendizajes esperados y estándares curriculares, así como su importancia en la educación básica.

Matem

E J E S

T E M A S

Sentid o numé y pensa rico miento algebrai co

• meros numerac sistemas d e ión • Pro blemas a diti • Pro blemas m vos ultiplica • Patr tivos ones ecuacio nes

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• i ura s • edid cuerpos a

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X

APÉNDICES

didácticas los aprendizajes secuencias el alumno logre de enseñanza. el aula por o uye para que Trabajo en ción del proces hablar de qué docente contrib te la planea en las que el

Trabajo en el aula por secuencias didácticas Proporciona los elementos para que el profesor guíe el proceso de enseñanza-aprendizaje a partir del uso de secuencias didácticas.

, es median formas es indispensable Una de las competencias didácticas, secuencias desarrolle las qué son las esperados y de explicar Así es que antes ción de este proceso. erar: hay que consid implica la planea planificación diseñar una esperaPara poder se aprendizajes didácticas que Utilizar los gias para la Las estrate moviliun referente provocar la dos como eelijan deben como la ntes aprend planeación. saberes, así Que los estudia su vida y, por zación de de los toda congruente rán durante en su evaluación involucrarse esperados. tanto, deben aprendizajes aprendizaje. proceso de de de desempeño, ación Las evidencias brinden inform tal forma que de decites de de ambien para la toma ndo al maestro La generación manera continuar motiva para que de nte. siones y así aprendizaje, se nutra en el estudia el estudiante el aprendizaje ativas. colaborativa ncias signific a partir de experie ya que planificación, útil para la ienta to de activison una herram as a partir de un conjun didáctica cia en este caso, izaje, formad una secuen didácticas, cias aprend pues, y Así nza lar. hilvanar los Las secuen ciclos de enseña un propósito en particu con el fin de áticas son pequeños as con los contenidos de las matem das y dirigid sistematicen curriculares dades articula alumnos entiendan y estándares los tencias y los permite que dos, las compe espera aprendizajes ntos: llo. de tres mome para su desarro se conforma cia didáctica Una secuen n fase se plantea Inicio. En esta que se trabaja los propósitos alumtualizará al rán; se contex rlo y se diseña no para motiva problémicas. nes rán situacio n se nto tambié En este mome mienconoci los indaga sobre ntes de los estudia tos previos pregunta deuna al y se incluye cual dará pauta tonadora, la a revisar. inicio del tema

fase Durante esta Desarrollo. que actividades se exponen y el la movilización s, permitirán de conocimiento el incremento para y actitudes habilidades espeaprendizajes logro de los

de la esta fase final un Cierre. En ca, se da secuencia didácti los aprendicierre y se valoran través de los dos a zajes espera curriculares. estándares

rados.

el siguiente: sesiones: 6 Número de decimales Matem de fracciones algebraico Asignatura: Conversión viceversa. pensamiento Contenido: ra decima y numérico y les a su escritu Eje: Sentido de manera y no decima ación r problemas s de numer ática, as: Resolve os y sistema ación matem Competenci Tema: Númer icar inform r técma, comun dos, maneja os y resulta frac- autóno rte números procedimient Convie validar esperado: temente. XI Aprendizaje nicas eficien viceversa. decimales y cionarios a Un ejemplo

de secuencia

didáctica es

áticas 1

Uso del libro del alumno En esta sección se describe la forma en la que pueden aprovecharse las sugerencias didácticas proporcionadas en el libro del alumno. Asimismo, dentro de este apartado encontrará:

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Qué observa

rmite al Esta sección pe lo que ar lic ap alumno durante ha aprendido o acerca este contenid ación de de la multiplic ales, números decim oritmo utilizando el alg e y qu convencional, ha le será de muc cuando se utilidad para diversas encuentre en su vida en s ne situacio a. cotidian

Cómo e la act nriquecer ividad

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Recursos y materiales ino En el portal argent educ.ar, en su uir Colección para seg aprendiendo, de rece Matemáticas, apa nic”, el artículo “De pic cargar donde puede des e un documento qu s presenta actividade el relacionadas con Utilice tema estudiado. página el buscador de la tando para localizarlo, ano en él: De picnic. ar/ http://www.educ. ar/ educar/site/educ index.html

Qué observar

Cómo enriquecer la actividad

Recursos y materiales

Se hacen acotaciones al margen de ciertos temas con el fin de sugerir sobre cuáles puntos profundizar.

Se sugieren tareas adicionales, para que el adolescente complemente las actividades propuestas en el libro del alumno.

Esta sección incluye propuestas de recursos electrónicos cuya intención es complementar el tema que se está estudiando.

IV


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ESTRUCTURA DE LA OBRA Curiosidades, acertijos y más Plantea anécdotas, situaciones o problemas interesantes aplicados a las matemáticas y al tema que se revisa.

Curiosid ad acertijos es, y más

Reflexión

Propong a a sus alumnos el siguien te acertijo. Píd expliquen ales que cómo es posible adivinar siempre el númer o. 1. Piensa un númer o…. 2. Multip lícalo po r 2… 3. Agrég ale 20… 4. Divídel o entre 2 … 5. Quítal e el núm ero que has pensado . 6. Final: Te queda 10.

Sobre el trabajo en equipo. En las matemáticas la labor en equipo permite argumentar y justificar de manera respetuosa los procedimientos que se llevan a cabo para la resolución de ejercicios.

Reflexión En esta sección se ofrece información para propiciar que el alumno reflexione sobre los valores humanos, el trabajo colaborativo, etcétera.

dagógica

Bitácora pe

Bitácora pedagógica Este espacio está destinado para que el docente lleve un “diario pedagógico” en el cual anote los aspectos más relevantes del proceso enseñanza-aprendizaje.

Transversalidad Pida a los alumnos que junto con su profesor de Geografía, planteen diferentes expresiones matemáticas donde se utilicen las literales para calcular diferentes variables poblacionales; tales como: crecimiento y composición poblacional, pobreza, marginación, por mencionar algunas.

Transversalidad

sus alumno Recuerde a s de una ea ár s que la e se pr m sie a figur metros calculan en 2 (m ). cuadrados

Propone actividades que pueden realizarse con otras asignaturas a partir de la relación que existe a nivel de contenido entre éstas.

Cambiando números

números Cambiando

En esta sección se incluyen modificaciones para realizar las actividades propuestas.

MATEMÁTICAS

1 1 MATEMÁTICAS

la contenga la letra que ientos. is de la derecha os y los procedim el paréntes y escribe en esta prueba, sus resultad situaciones grupo siguientes revisen en Resuelve las Al finalizar, . correcta. respuesta números decimales n algunos 2.4 se encuentra circunferencia 1. Sobre la 3.3

Evaluación

ecer

Cómo enriqu la actividad

Evaluación a partir de la prueba PISA En este apartado se describe la importancia de la evaluación de las competencias, estándares curriculares y aprendizajes esperados con base en la prueba tipo PISA.

la Recuerde que ción” sección “Evalua pretende hacer s se que los alumno esto autoevalúen, an a es, que aprend es qué reconocer hacer, saben ya que lo iendo qué están aprenddos y en qué conteniun necesitan hacer. mayor esfuerzo los Permita que en las alumnos verifiqucaso de y en respuestas ejercicio que en algún el resultado sto propue to, que fuera incorrec qué justifique por no lo es.

0.8

0.2

1.7

( b) ma or posible? el n mero 0.6 para obtener multiplicar y 2.4 s que se deben d) 3.3, 0.8 las tres cantidade y 1.7 (d ) c) 2.4, 0.6 y 3.3 b) 1.7, 2.4 0.8 producto? a) 1.7, 0.2, es el mayor anterior, ¿cuál d) 13. 464 en la respuesta ( b) • Con base c) 4.789 b) 4.488 el menor número? se obtiene a) 0.528 rlas que al multiplica y 0.3 cantidades d) 1.2, 3.2 son las tres y 3.4 (a ) • ¿Cuáles c) 0.7, 1.5 0.2, 0.6 y 0.8 b) y 0.7 producto? a) 1.7, 0.8 es el menor anterior, ¿cuál d) 0.965 en la respuesta s • Con base c) 0.659 : 30 kilogramo de producto a $2.5 el kilo b) 0.965 cantidades s de harina siguientes a) 0.096 adquirió las 13 kilogramo Don Panchito de azúcar a $15 el kilo, , s tienda de abarrotes (a ) kilo, 35 kilogramo 2. Para su por caja. illa a $1.2 el cerillos a $4.5 de mantequ de cajas de cambio? de n docenas 10 y le devolverá de $500, ¿cuánto d) $350.5 dos billetes y la • Si paga con c) $420 en 3 minutos litros b) $368.5 vierte 25.23 La primera a) $361.5 dos llaves. de agua mediante (a ) llenar un depósito litros? minutos. 3. Se desea es de 425.43 litros en 5 si su capacidad segunda 31.23 el depósito en llenarse d) 26 min tiempo tardará • ¿Cuánto c) 29 min b) 27 min a) 28 min cas s figuras geométri las siguiente 2.68cm 4. Observa . y responde 2.14 cm

• ¿Cuáles son

3 cm 3 cm

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PLANIFIC

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Bitácora pedag

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Planificación mensual

Semana

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XXIII

Se incluye un formato mensual donde se señalan las semanas y las fechas de trabajo, de acuerdo al calendario escolar vigente. Asimismo en este espacio, el maestro podrá planificar la distribución de los temas a lo largo del año escolar.

31

Libro del alumno Se incluye el libro del alumno con cada una de las secciones antes mencionadas, donde se indica cómo aprovechar de la mejor manera su uso.

V


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ORIENTACIONES DID DIDÁ DIDÁCTICAS ÁCTICAS Antes de comenzar a explicar a detalle las sugerencias didácticas para las actividades del libro del alumno, es importante describir los fundamentos sobre los cuales fueron planificadas cada una de las secciones ofrecidas, con el fin de proveer una herramienta útil para la labor docente. Uno de los primeros puntos bajo los cuales se consideró la elaboración del libro del alumno, fue a partir de la Reforma Integral de la Educación Básica (RIEB) 2011, cuyo propósito es formar ciudadanos críticos, democráticos y creativos a partir de dos dimensiones: • Dimensión nacional. Implica que el adolescente construya su identidad personal y nacional; asimismo, que valore su entorno y se desarrolle como persona plena. • Dimensión global. El alumno desarrollará competencias que podrá aplicar tanto en el aula como en su entorno, además de que le resultarán de gran utilidad a lo largo de su vida. Un aspecto sobresaliente de la RIEB 2011 es que concibe a la educación básica dentro de un solo mapa curricular, en donde cada una de las asignaturas se construye a partir de una articulación; es decir, conforme el alumno avanza en su educación, movilizará sus conocimientos hacia otras asignaturas. Así pues, la articulación también puede observarse en los procesos pedagógicos y en los procedimientos de evaluación. Algunos de los planteamientos pedagógicos y didácticos más importantes y que la RIEB 2011 considera son los siguientes: 1. El alumno y sus procesos de aprendizaje son el centro de atención Desde etapas tempranas se necesita provocar en el alumno disposición y capacidad para continuar aprendiendo durante toda su vida, a fin de que desarrolle habilidades superiores de pensamiento y pueda solucionar problemas, pensar críticamente, comprender y explicar situaciones desde diferentes puntos de vista. 2. Es importante la planificación para potenciar el aprendizaje Como parte de la labor docente, planificar el aprendizaje permite potenciar el desarrollo de las competencias en los estudiantes. Para esto, hay que organizar las actividades en distintas formas de trabajo, hacer uso de las secuencias didácticas y el trabajo por proyectos, por mencionar algunos. Es importante que las actividades propuestas ofrezcan desafíos intelectuales a los estudiantes, para generar en ellos interés y busquen opciones para su resolución. 3. Hay que generar ambientes de aprendizaje En los espacios de aprendizaje que genere el profesor, el estudiante podrá desarrollar la comunicación e interactuar con otros alumnos para construir su conocimiento a partir de distintas situaciones. 4. El trabajo colaborativo promueve la construcción del aprendizaje Esta consideración pedagógica y didáctica involucra tanto a estudiantes como a maestros, y dicta las pautas para guiar las acciones hacia el descubrimiento, planteamiento de soluciones, coincidencias y diferencias para generar un aprendizaje colectivo.

VI


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ORIENTACIONES DIDÁCTICAS

Es primordial que la escuela fomente el trabajo colaborativo para que el aprendizaje sea inclusivo, llegue a metas, favorezca el liderazgo compartido, permita el intercambio de recursos, desarrolle el sentido de responsabilidad y corresponsabilidad, además de que permita que el aprendizaje se realice en entornos presenciales y virtuales. 5. Hay que desarrollar las competencias, lograr los estándares curriculares y los aprendizajes esperados Poner énfasis en el desarrollo de competencias, el logro de los estándares curriculares y los aprendizajes esperados, por lo tanto hay que favorecer el desarrollo de:

Competencias

• Capacidad de responder a di erentes situaciones implica un saber hacer (habilidades) con un saber (conocimiento), así como la valoración de las consecuencias con ese valor (valores y actitudes).

•

on descriptores de lo ros de nen aquello que los alumnos demostrarán al concluir un periodo escolar; sintetizan los aprendizajes esperados y son equiparables con estándares internacionales y en conjunto, con los aprendizajes esperados, constituyen referentes para evaluaciones nacionales e internacionales que sirven para conocer el avance de los estudiantes durante su tránsito en la educación básica.

•

on indicadores de lo ro que, en términos de la temporalidad establecida, definen lo que se espera de cada alumno haga en términos de saber y saber hacer, además de dar concreción al trabajo docente al constatar lo que los estudiantes logran y constituyen un referente para la planificación y la evaluación en el aula.

Estándares curriculares

Aprendizajes esperados

6. El uso de materiales educativos favorece el aprendizaje El uso de la Biblioteca Escolar y la de Aula contribuyen a la formación de los alumnos como s de la cultura escrita; también favorece el logro de los estándares nacionales de la habilidad lectora. Los materiales audiovisuales que se encuentran en esos espacios generan un entorno variado en el que los estudiantes crean su propio aprendizaje. Asimismo, se incluyen los recursos educativos informáticos, los cuales pueden utilizarse fuera y dentro del aula mediante portales educativos.

VII


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MATEMÁTICAS Á ÁTICAS 1 7. La evaluación es importante para aprender El docente es el encargado de la evaluación de los aprendizajes de los alumnos y quien realiza el seguimiento, crea oportunidades de aprendizaje y modifica su práctica para que ellos logren los aprendizajes establecidos en el Plan y en los programas de estudio. La evaluación de los aprendizajes es el proceso que permite obtener evidencias, elaborar juicios y brindar retroalimentación sobre los logros de aprendizaje de los alumnos a lo largo de su formación; por tanto, es parte constitutiva de la enseñanza y del aprendizaje. Por otro lado, las competencias que el alumno desarrollará a lo largo de la educación básica son:

Competencias para el aprendizaje permanente

Competencias para el manejo de la información

Mediante la habilidad lectora; el alumno se integrará a la cultura escrita, podrá comunicarse en más de una lengua, hará uso de las habilidades digitales y aprenderá a aprender.

El alumno seleccionará, organizará y sistematizará la información a fin de que la analice de manera crítica, la utilice y comparta con sentido ético.

Competencias para el manejo de situaciones

Competencias para la convivencia

En distintas condiciones, el alumno planteará y llevará a buen término distintos procedimientos, tanto a nivel personal como escolar.

A través de la relación con otros, el alumno aprenderá a convivir armónicamente, además de valorar la diversidad social, cultural y lingüística.

Competencias para la vida en sociedad El alumno actúa con juicio crítico y con valores, tomando en cuenta las implicaciones sociales y adquiriendo una conciencia de pertenencia cultural en nuestro país y en el mundo.

Y en específico para la asignatura de Matemáticas, el alumno desarrollará estas competencias: Resolver problemas de manera autónoma. Los alumnos identifican, plantean y resuleven problemas o situaciones de diferentes tipos.

Comunicar información matemática. Los alumnos a expresan, representan y sistematizan información matemática.

Validar procedimientos y resultados. Los alumnos adquieren confianza para explicar y justificar sus procedimientos y soluciones mediante argumentos a su alcance.

Manejar técnicas eficientemente. Mediante el uso de procedimientos y formas de representación, los alumnos efectúan cálculos.

VIII


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APÉNDICES Otro de los puntos esenciales de la RIEB 2011 es la inclusión de cuatro campos formativos, los cuales son los que se presentan a continuación: 1. LENGUAJE Y COMUNICACIÓN

2. PENSAMIENTO MATEMÁTICO

Desarrollo de competencias comunicativas: hablar, escuchar, interactuar con otros.

Se busca que los alumnos sean responsables de construir nuevos conocimientos a partir de los saberes previos, esto implica:

Identificar problemas y solucionarlos.

• ormular validar con eturas. • Plantearse nuevas pre untas. • Comunicar, analizar e interpretar procedimientos de resolución. • uscar ar umentos para validar. • ncontrar di erentes ormas de resoluci n de problemas. • ane ar técnicas de manera e ciente.

Comprender, interpretar y producir diversos tipos de textos, transformarlos y crear nuevos géneros y formatos. Reflexionar acerca de ideas y textos.

CAMPOS FORMATIVOS

3. DESARROLLO PERSONAL Y PARA LA CONVIVENCIA

4. EXPLORACIÓN Y COMPRENSIÓN DEL MUNDO NATURAL Y SOCIAL

La finalidad es que los alumnos aprendan a actuar con juicio crítico a favor de la democracia, la libertad, la paz, el respeto a las personas, a la legalidad y a los derechos humanos .

La premisa es la integración de experiencias con el fin de observar con atención objetos, animales y plantas; reconocer sus características, formular preguntas y experimentar, explorar de manera organizada y metódica el mundo natural y social.

Implica también manejar armónicamente las relaciones personales y afectivas para construir identidad y conciencia social.

La asignatura de matemáticas se incluye en el segundo campo formativo; es decir, en el del pensamiento matemático.

Enfoque de la asignatura (Matemáticas) La asignatura de Matemáticas en esta nueva propuesta de la RIEB 2011 incluye propósitos por cada nivel escolar, se introducen los estándares curriculares (los cuales se explicaron en páginas anteriores), se agregan desafíos que sean cognitivamente estimulantes para los alumnos y se reestructuran los temas, quedando la modalidad de trabajo de la siguiente forma: Eje temático Temas Contenido

Ejes temáticos Recuerde que son solo tres los ejes temáticos y que en cada bloque se realizan actividades de cada uno de ellos: sentido numérico y pensamiento algebraico; forma, espacio y medida, así como manejo de la información. Para facilitiar su identificación, a cada uno se le asignó un color diferente, constante a lo largo de la obra.

IX


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MATEMÁTICAS Á ÁTICAS 1 Cada eje temático tiene un propósito y conviene tenerlo presente para dar mayor sentido a las actividades que realizarán los estudiantes. Dicho propósito será congruente con lo que se espera del alumno. • Con el e e del sentido numérico y pensamiento algebraico se pretende que los alumnos profundicen en el estudio del álgebra con los tres usos, conceptualmente distintos, de las literales: como número general, como incógnita y en relación funcional. Vigile que en las actividades correspondientes a este eje los estudiantes alcancen la generalización de las propiedades de los números y sus operaciones. •

ediante las actividades correspondientes al e e de forma, espacio y medida se favorece en los estudiantes el desarrollo de la competencia de argumentación. Por ejemplo, al construir, reproducir o copiar una figura, pídales que argumenten las razones por las cuales es válido efectuar cierto trazo realizado; asimismo, observe que el estudiante se dé cuenta de lo conveniente que resulta utilizar instrumentos de geometría y saber manejarlos de manera adecuada, para que infiera la importancia de la precisión y lo objetivo que es tener un apoyo gráfico.

•

n el e e de manejo de la información propicie que los alumnos se acostumbren a analizar datos provenientes de distintas fuentes, a organizarlos, representarlos e interpretarlos. Las actividades de este eje se apoyan en nociones tales como el porcentaje, la variación proporcional, la probabilidad y, en general, el significado de los números enteros, fraccionarios y decimales en diferentes contextos. Con el fin de consolidar estos conceptos, permita que los estudiantes propongan o inventen problemas que se resuelvan mediante algunos de estos temas y que formen parte de su vida cotidiana y de su entorno.

Tema Cada uno de los ejes temáticos contiene temas que indican el contenido general que se tratará en el transcurso del correspondiente apartado. De tal manera, que para el nivel secundaria la asignatura de Matemáticas queda de la siguiente forma:

Matemáticas E J E S

T E M A S

Sentido numérico y pensamiento algebraico

•

meros sistemas de numeración • Problemas aditivos • Problemas multiplicativos • Patrones ecuaciones

Forma, espacio y medida

• i uras cuerpos • edida

Manejo de la información

• Proporcionalidad funciones • ociones de probabilidad •

nálisis representación de datos

Desde esta perspectiva estos tres ejes se relacionan con el contenido de la asignatura; sin embargo, el cuarto eje (Actitudes hacia el estudio de las matemáticas), persiste a lo largo de toda la educación secundaria, además de que se genera a partir del estudio de las matemáticas.

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APÉNDICES

Trabajo en el aula por secuencias didácticas Una de las formas en las que el docente contribuye para que el alumno logre los aprendizajes esperados y desarrolle las competencias, es mediante la planeación del proceso de enseñanza. Así es que antes de explicar qué son las secuencias didácticas, es indispensable hablar de qué implica la planeación de este proceso. Para poder diseñar una planificación hay que considerar: Que los estudiantes aprenderán durante toda su vida y, por tanto, deben involucrarse en su proceso de aprendizaje.

Las estrategias didácticas que se elijan deben provocar la movilización de saberes, así como la evaluación congruente de los aprendizajes esperados.

La generación de ambientes de aprendizaje, para que de manera colaborativa el estudiante se nutra a partir de experiencias significativas.

Utilizar los aprendizajes esperados como un referente para la planeación.

Las evidencias de desempeño, de tal forma que brinden información al maestro para la toma de decisiones y así continuar motivando el aprendizaje en el estudiante.

Las secuencias didácticas, en este caso, son una herramienta útil para la planificación, ya que son pequeños ciclos de enseñanza y aprendizaje, formadas a partir de un conjunto de actividades articuladas y dirigidas con un propósito en particular. Así pues, una secuencia didáctica permite que los alumnos entiendan y sistematicen los contenidos con el fin de hilvanar los aprendizajes esperados, las competencias y los estándares curriculares de las matemáticas para su desarrollo. Una secuencia didáctica se desarrolla en tres momentos: Inicio. En esta fase se plantean los propósitos que se trabajarán; se contextualizará al alumno para motivarlo y se diseñarán situaciones problémicas. En este momento también se indaga sobre los conocimientos previos de los estudiantes y se incluye una pregunta detonadora, la cual dará pauta al inicio del tema a revisar.

Desarrollo. Durante esta fase se exponen actividades que permitirán la movilización y el incremento de conocimientos, habilidades y actitudes para el logro de los aprendizajes esperados. Cierre. En esta fase final de la secuencia didáctica, se da un cierre y se valoran los aprendizajes esperados a través de los estándares curriculares.

XI


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MATEMÁTICAS Á ÁTICAS 1 Un ejemplo de secuencia didáctica es el siguiente: Asignatura: Matemáticas 1

Número de sesiones: 6

Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema:

meros sistemas de numeraci n

Contenido: Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decima y viceversa.

Competencias: Resolver problemas de manera Aprendizaje esperado: Convierte números frac- autónoma, comunicar información matemática, cionarios a decimales y viceversa. validar procedimientos y resultados, manejar técnicas eficientemente. Estándar curricular: Resuelve problemas que implican convertir números fraccionarios a decimales y viceversa. Inicio de la secuencia didáctica: Intención pedagógica: Que los estudiantes identifiquen las situaciones en las que se utilizan los números fraccionarios y que recuperen sus conocimientos previos sobre el tema. Comenzar a ejemplificar al alumno sobre el uso de los números fraccionarios en la vida cotidiana. Algunos casos donde se utilizan son cuando se compran cosas en el mercado, por ejemplo, 14 de zanahoria, 1 3 2 papa, 4 de carne, por mencionar algunos. Otra situación, es cuando se compra una pizza y se pide que se divida en seis partes, al final, cada pedazo representa 16 del total. Terminar esta introducción pidiendo a los estudiantes más ejemplos en donde se emplean los números fraccionarios; finalmente motivar para que realice la evaluación diagnóstica del tema, y que está contenida en la sección de “Acuérdate de”, en la página 14 del libro del alumno. Después de que haya contestado la sección de “Acuérdate de”, comentar en grupo los resultados obtenidos y enfatizar sobre la importancia de los números fraccionarios en la vida real y la relación que tiene con los números decimales. Desarrollo de la secuencia didáctica: Intención pedagógica: Que los alumnos relacionen sus conocimientos, habilidades y actitudes previos con los adquiridos, para convertir números fraccionarios a decimales y viceversa. En esta fase el alumno, de manera individual, parejas, equipo o grupal realizará los ejercicios de la sección “Practícalo”, en las páginas 14 a 19. Dependiendo de la actividad se enfatizará lo siguiente: •

ctividad 1.1 ipos de racciones sus características.

•

ctividad 1.2 mportancia de los n meros raccionarios decimales.

•

ctividad 1. Procedimientos para trans ormar un denominador a 10, 100 1000.

•

ctividad 1. 1. Procedimientos para la conversi n de n meros raccionarios en decimales y viceversa.

•

ctividad 1. . Procedimientos para la trans ormaci n de un n mero peri dico semiperi dico en fracción común.

•

ctividad 1. . Procedimientos para la conversi n de n meros raccionarios en decimales viceversa.

Cierre de la secuencia didáctica: Intención pedagógica: Que los alumnos valoren su aprendizaje esperado, mediante los estándares curriculares. Con esta fase se finaliza la secuencia didáctica, por lo que la sección “Lo que aprendí” de la página 20 permitirá valorar los conocimientos, habilidades y actitudes del alumno, además de comprobar el logro del aprendizaje esperado a través del estándar curricular. Después de pedir al estudiante que conteste esta sección, se verificarán los resultados obtenidos, asimismo, hay que preguntar al adolescente qué parte del ejercicio se le dificultó más y en caso de encontrar errores, encontrar la razón de por qué no obtuvo el resultado correcto y reforzar la explicación.

XII


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APÉNDICES

Uso del libro del alumno El libro del alumno tiene una estructura didáctica bien organizada, pues a través de diversas secciones se introduce al alumno en una serie de actividades que le permiten ir participando y adquiriendo de manera directa, información que complementa los temas del programa y que es muy necesaria para lograr los aprendizajes esperados. Las diferentes secciones y la forma en la que deben de manejarse se describen a continuación.

Bloque

1

on e o i órico –2785 Construcción de Stonehenge

–3500 Invención de la rueda

–2750 Construcción de las pirámides de Gizeh

–1790 Hammurabi, rey intelectual de Babilonia

Entrada de bloque Al inicio de cada bloque se presentan los aprendizajes esperados y una línea del tiempo.

–3500

–3100

–2300

–2700

–1900

–1500

ec o ma em ico

Aprendizajes esperados:

a ro

• Convierte n meros raccionarios a decimales viceversa.

e in en a el aco Numeración jeroglífica

Numeración ecimal cunei orme a irio a ilónica

Numeración cunei orme a ilónica a e

• Conoce utiliza las convenciones para representar n meros raccionarios decimales en la recta numérica. • epresenta sucesiones de n meros o de

uras a partir de una re la dada viceversa.

12

13

Aprendizajes esperados Analice con los alumnos los aprendizajes esperados, pues son el referente específico que indica hacia dónde están orientadas las actividades que realizarán en cada bloque; además, se destaca la información del tema y los contenidos que incluyen y que deberán tratarse. A manera de sugerencia, le proponemos: •

l inicio de cada bloque, or anice a los alumnos por equipos para que copien los aprendizajes esperados en una cartulina que puedan pegar en una de las paredes del salón de clases. La intención pedagógica es que los alumnos tengan presente qué lograrán al término de cada bloque.

•

u iera a los alumnos, como una orma de autoevaluaci n, que copien los aprendiza es esperados en su cuaderno, en una tabla, como la siguiente: Aprendizaje esperado

Puedo hacerlo Tengo dificultades satisfactoriamente para resolverlo

Necesito ayuda para resolverlo

Convierto números fraccionarios a decimales y viceversa. Conozco y utilizo las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica. Represento sucesiones de números o figuras a partir de una regla dada y viceversa. A medida que avancen en el desarrollo de los temas, pida que la completen, colocando una 4 dentro de la casilla que describa mejor su aprendizaje. Esto puede servir para organizar grupos de estudio en los temas que requieran de un mayor tratamiento.

XIII


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on e o i órico

Línea del tiempo Las matemáticas son una forma más que la sociedad ha utilizado para resolver problemas. La línea del tiempo, al inicio de cada bloque, tiene la intención de mostrar el contexto histórico en que han surgido los acontecimientos más relevantes en el mundo de las matemáticas.

–3500 Invención de la rueda

–3500

–3100

–2785 Construcción de Stonehenge



–2300

–2700

–1900

–1500

ec o ma em ico a ro e in en a el aco Numeración jeroglífica

Numeración ecimal cunei orme a irio a ilónica

Numeración cunei orme a ilónica a e

13

Para trabajar con ella le sugerimos: •

tilice este recurso didáctico para que los alumnos lleven a cabo prácticas de cálculo mental; recuerde que al iniciar un día de trabajo escolar, el esfuerzo y la agilidad mental que produce esta ejercitación constituye una preparación excelente para cualquier individuo; la habilidad mental es formativa, tanto desde el punto de vista intelectual (dominio de las relaciones numéricas, movilización de conocimientos previos, capacidad para analizar, comparar y combinar) como del psicológico (concentración de la atención, esfuerzo de la memoria y originalidad en la resolución de problemas).

•

l traba ar en el desarrollo del cálculo mental, este no debe apreciarse como un simple cálculo mecánico, sino considerarse como un cálculo reflexivo, mediante el cual cada alumno tiene una nueva oportunidad de validar sus procedimientos para alcanzar buenos resultados y mostrar su originalidad y agilidad mental en el cálculo. Por ejemplo: pida que observen la línea del tiempo en la entrada del bloque 1, en donde se hace referencia a la época en que se inventó el ábaco; según los historiadores se calcula que ésta data aproximadamente del año 3000 a.C. Podría entonces preguntar a los alumnos: ¿hace cuántos siglos se inventó el ábaco? Tome en cuenta que, como no hay precisión en el año de invención, se pueden utilizar como unidades de medida los siglos; tome en cuenta que los alumnos ya tienen conocimiento de los números con signo, por lo tanto será aceptable que utilicen esos números al dar su respuesta o bien lo hagan en término de a.n.e. o d.n.e. Esta es una buena oportunidad para que entiendan que también hay cantidades al otro lado del cero y observar cómo operan con esas cantidades.

•

provec e los demás datos que se o recen en la línea del tiempo para ormular otras preguntas y vincular la información con otras asignaturas; por ejemplo: ¿cuántos años transcurrieron entre la invención de la rueda y la construcción de las pirámides de Guiza en Egipto? ¿Qué aportaciones hizo la cultura egipcia al campo de las matemáticas? ¿En qué continente se encuentra Egipto? ¿Consideran que la construcción de las pirámides requirió de conocimientos matemáticos? ¿Por qué lo consideran así?, etcétera.

•

n la medida en que los alumnos adviertan que el desarrollo de las matemáticas no es exclusivo de una región, tendrán mejores elementos para corroborar que en él la sociedad desempeña un papel muy importante.

•

i las condiciones son propicias, pida a los estudiantes que investi uen ec os ist ricos mencionados en las líneas del tiempo, así como el contexto histórico en el que se desarrollaron, sus aportaciones en el campo de las matemáticas, alguna anécdota, etcétera. Luego se seleccionarán algunos trabajos y se comentarán en el grupo, con la posibilidad de enriquecer la información con las aportaciones de los alumnos que escuchen la exposición.

Acuérdate de… El propósito de esta sección es que el alumno recupere sus conocimientos y habilidades adquiridos; no se trata de hacer un repaso, más bien se pretende verificar el nivel de aprendizaje

XIV


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MATEMÁTICAS 1

del estudiante y cuál es su potencial para profundizar o acceder a los nuevos contenidos, independientemente de la parte motivante que le corresponde como introducción y de la que busca conectarlo con los contenidos previos. Con frecuencia se propone que los alumnos realicen la actividad en equipo para fomentar el desarrollo del trabajo colaborativo. Las situaciones que se plantean parten de lo más sencillo, tratando de propiciar la participación de todos los estudiantes, para que mediante el intercambio de ideas y procedimientos se construyan nuevos conocimientos.

APÉNDICES

Eje temático


Tema

Números y sistemas de numeración

Contenido 1

Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa

ACUÉRDATE DE... 1. Observen detenidamente las fracciones que aparecen encerradas en un círculo y coloreen de manera semejante aquellas que tienen características similares.

1

32

1 3

2 7

6 5

5 4

3 5

5

2 9

2

3 8

1 10

3 2

1 1000

1 100

• ¿Qué tipo de racciones encontraron en el con unto? • Expliquen cuáles son las diferencias que permiten identificar los tipos de fracciones. Fracción común. Es la representaci n de la parte de un todo, se e presa en orma numerador de divisi n , denominador pertenece al rupo de los números racionales.

• ¿Qué di erencia a entre una fracción común un n mero decimal?

Para tener en cuenta • ¿C mo se distin ue un n mero decimal de una racci n com n?

Para encontrar una racci n equivalente debes multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número.

• scriban cinco e emplos de cada tipo.

Compartan sus respuestas con el rupo, presenten una conclusi n eneral re ístrenla en su cuaderno.

Para tener en cuenta ealizar una conversi n si ni ca que debes e presar una cantidad de una orma distinta, en el caso de las racciones consiste en encontrar una representaci n decimal a una racci n com n viceversa.

PRACTÍCALO

Actividad 1.1

Precisamente, la metodología didáctica sugerida para los nuevos programas consiste en llevar Fracción diferentes Característicaformas Nombre al aula actividades que motiven a los alumnos a reflexionar, a encontrar de resolver los problemas y a formular argumentos que validen sus resultados.

1. De acuerdo con la situaci n de la secci n cuérdate de… , coloca en la tabla 5 fracciones que a as coloreado después discute lo que se pide.

Mediante las actividades previas se busca, entonces, que los alumnos entren en la situación correspondiente al apartado en cuestión; el desafío consiste en rescatar lo que ya saben hacer, para que estén en mejores condiciones de aprovechar las nuevas experiencias y reestructuren lo que ya saben, lo modifiquen o amplíen, y rechacen o ratifiquen que la forma en la que aplican sus conocimientos es eficaz. 14

Al trabajar en esta sección, le sugerimos: • Dé el tiempo su ciente para resolverla la participaci n de los alumnos es undamental para el buen aprendizaje. Para apoyar su creatividad, pídales que modifiquen la representación de sus resultados y que expongan sus argumentos. MATEMÁTICAS 1

ACUÉRDATE DE... • Propicie la participaci n de los alumnos, para que se den cuenta de que los problemas no son ajenos a ellos.

•

provec e estas actividades para obtener un dia n stico del rado de conocimientos Para tener en cuenta habilidades del grupo.

Practícalo En esta sección se incluyen actividades para que los estudiantes resuelvan, propongan y adquieran seguridad en sus procedimientos, además de que vayan alcanzando autonomía y desarrollen la competencia del manejo de técnicas.

Actividad 6.1

PRACTÍCALO 1. Describe debajo de cada imagen la acción mostrada.

A B C

B C

C

A

A B C

B

Como parte medular del libro le sugerimos: •

n al unas actividades se inclu una ran cantidad de ejercicios; la finalidad es que, mediante la reflexión y la ejercitación en la resolución, los alumnos alcancen la automatización, muy diferente a la simple mecanización.

C A

B A C

A

C

C

A

Compara con el resto del grupo tus respuestas y verifiquen con su profesor que sean correctas.

•

o es necesario que los alumnos resuelvan todas cada una de las operaciones si a su juicio los estudiantes ya tienen cierto dominio en el manejo de técnicas operatorias, puede pedir que solo resuelvan cierta cantidad de operaciones, o bien que resuelvan en específico algunas operaciones que usted haya seleccionado.

•

i no terminan al unas actividades en clase, permítales que las conclu an en casa posteriormente revíselas; estimule la dedicación que le brinden a la actividad.

•

i la or anizaci n del rupo lo permite, propicie la ma or participaci n de los equipos en el desarrollo de las actividades; éstas permiten la socialización de procedimientos en la búsqueda de soluciones.

XV


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MATEMÁTICAS Á ÁTICAS 1 • aa socializaci socializaci n n dará a los estudiantes ma dará a los estudiantes ma ores oportunidades de validar sus procedimienores oportunidades de tos y adquirir seguridad en la resolución de problemas. De manera particular, en el manejo de algunos contenidos, también le sugerimos: • Para que el estudiante cuente con más erramientas intelectuales es apropiado que también desarrolle la habilidad de estimación; desde el Bloque 1 se ofrece una oportunidad de trabajar en este sentido, promueva la participación del grupo para observar el desarrollo de esta habilidad y, si es posible, pídales que propongan cantidades. • Pon a especial atenci n en la resoluci n de las actividades en las que se emplean racciones comunes, ya que éstas permitirán a los alumnos el desarrollo de nociones útiles para comprender mejor contenidos más avanzados, como el razonamiento proporcional y las fracciones algebraicas. Aun cuando las relaciones de proporcionalidad se han trabajado desde la primaria, es importante reforzar los conceptos de razón, proporción y el cálculo del valor faltante en una expresión para que pueda obtenerse la proporción. •

l desarrollar las actividades de este apartado, observe que los alumnos muestren en sus participaciones que están entendiendo el concepto de proporción; si fuera necesario, pida que al ir resolviendo cada inciso argumenten por qué consideran correcto el resultado que presentan.

Con el propósito de consolidar el concepto de proporcionalidad, permita que también los estudiantes propongan o inventen problemas que se resuelvan mediante proporciones. • as actividades relacionadas con el si ni cado uso de las literales permiten en el estudiante el desarrollo de la habilidad de flexibilidad de pensamiento, lo importante en este tipo de actividades es la posibilidad de que los alumnos encuentren las expresiones algebraicas que mejor entiendan, que puedan comunicarlas, que expliquen cómo las obtuvieron y que las validen. •

l resolver actividades que involucran unidades de medida por e emplo, en el cálculo de perímetros y áreas), observe que las respuestas de los estudiantes incluyan las unidades de medida correspondientes.

Conforme vaya cerrando el tratamiento de algunos contenidos, pida a los alumnos que lean al grupo sus conclusiones. •

provec e la resoluci n de problemas para que los estudiantes di undan sus procedimientos, los validen y adquieran confianza; recuerde que cuando el grupo aprende a escuchar MATEMÁTICAS 1 otras formas de resolver va desarrollando la habilidad de flexibilidad de pensamiento, evalúa sus propios procedimientos, aprende a poner atención y a escuchar.

Lo que aprendí En esta sección se pretende que los estudiantes muestren de manera más puntual el tipo de habilidades intelectuales que están desarrollando. Como parte final del trabajo del bloque tenga presente que: • as competencias matemáticas requieren de varios componentes, y uno de ellos es precisamente el de las habilidades matemáticas. •

LO QUE APRENDÍ 1. Las instrucciones de esta actividad están dadas en forma de mensaje secreto, descifren cada mensaje para conocer su contenido y realicen lo que se les pide. a) C—n—tr—y— u— t—iá—g—l— c—n l—s s—g—i—nt—s s—g—e—t—s d— r—c—a. A

B

B

C

C

A

b) D—b—j— u— c—a—r—d— s— —u d—a—o—a— m—d— 4.5 u—i—a—e—. • Describe el procedimiento que empleaste para trazar las

uras de a b .

• n caso de no contar con el equipo de eometría, ¿c mo realizarías la actividad?

Desarrolla tus habilidades

bserve c mo las actividades del libro darán a los estudiantes otras darán a los estudiantes otras ormas para consolidar ormas para consolidar sus propios procedimientos de resolución de problemas.

Desarrolla tus habilidades Esta sección es otra oportunidad para que los estudiantes reflexionen acerca del tema que están estudiando y las actividades puedan adquirir mayor sentido.

XVI


USA LAS TIC

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APÉNDICES Cuando se trabaje con este recurso le sugerimos: • Potencie las pre untas para que los estudiantes desarrollen la abilidad del pensamiento lógico matemático. •

provec e esta secci n para escuc ar c mo ar umentan las respuestas.

•

provec e también esta secci n para re orzar la autoestima de los estudiantes, pues brinda la oportunidad para el desarrollo de la argumentación y de la creatividad.

•

nriquezca esta secci n con sus aportaciones las de sus alumnos. i es posible, inclu a situaciones, como algunos juegos o algunos acertijos que no requieran de gran elaboración o de conocimientos que el alumno no haya tratado en otro momento.

Evaluación Esta sección, de final de bloque, tiene la intención de alcanzar la evaluación de los conocimientos y habilidades alcanzadas por el alumno; esto significa que cuando los estudiantes resuelven identifican los temas que más trabajo les cuestan, y a través de esta valoración saben qué temas o contenidos requieren de mayor desempeño; es también una oportunidad para que el docente sepa en qué temas se requiere poner más empeño para que los alumnos alcancen el aprendizaje; como docente, también esta sección debe permitir identificar aquellos temas en los cuales el grupo requiere de mayor atención o tiempo para la consolidación de aprendizajes.

BLOQUE 1

MATEMÁTICAS 1

Evaluación

Evaluación Resuelve las siguientes situaciones y escribe en el paréntesis de la derecha la letra que contenga la respuesta correcta. Al finalizar, revisen en grupo esta prueba, sus resultados y los procedimientos. 1. Observa las siguientes figuras geométricas.

2. ¿Qué día deberá entregar el reporte del mes de octubre? a) Domingo 2

b) Miércoles 5

c) Lunes 2

a) 5 reportes

b) 6 reportes

(

)

(

)

(

)

(

)

d) Martes 4

3. ¿Cuántos reportes habrá entregado Carlos en el mes de septiembre? c) 7 reportes

d) 8 reportes

3. Observa las líneas de color que se encuentran en el triángulo 1. ¿Cuál es el color de la bisectriz en el triángulo? 1. ¿Cuánto suman las partes coloreadas de las tres figuras? a) 1 58

b) 1 6

(

c) 1 54

2. ¿Cuánto suman todos los triángulos de las figuras? a) 3 4

b) 5 4

(

c) 2 4

1 b) 8

3 c) 8

a) La línea punteada negra

b) La línea roja

c) La línea verde

d) La línea morada

2. ¿Cuál es el color de la mediatriz en el triángulo?

)

d) 4 4

3. ¿Cuál es la diferencia entre la superficie sombreada del triángulo y del rectángulo? 1 a) 4

)

d) 1 64

(

)

(

)

a) La línea roja

b) La línea morada

c) La línea punteada negra

d) La línea verde

)

(

)

3. ¿Cuál es el color de la altura en el triángulo? a) La línea morada

7 d) 4

(

b) La línea punteada negra

c) La línea verde

d) La línea roja

4. ¿Cuál es el color de la mediana en el triángulo? 4. ¿Cuánto suma la superficie coloreada del cuadrado más la superficie del rectángulo? a)

8 9

b) 9 8

c) 7 8

d) 5 8

5. ¿Cómo se expresa en número decimal el resultado de la pregunta anterior? a) 1.125

b) 1.45

c) 1.251

(

)

d) 1.215

a) La línea verde

b) La línea morada

c) La línea roja

4. En una feria hay un juego llamado “Chicos o grandes”, el cual consiste en tirar dos dados y predecir que sale un número mayor o menor que siete (claro que también se puede jugar a que va a salir 7 exacto). 1. ¿Quién tiene más posibilidades de ganar?

(

b) Los que predicen que sale un número mayor a 7.

a) 0.65

c) Los que predicen que sale el número 7.

c) 0.7

d) 0.25

2. Carlos trabaja en una tienda, cada cuatro días debe entregar un reporte de productividad que incluye fines de semana, trabajados o no. Este mes inició el lunes 5. 1. ¿Qué sucesión representa los días que Carlos debe entregar reporte? a) 5, 9, 15, 21, 27

b) 5, 9, 13, 17,21, 25, 29

c) 5, 10, 16, 21, 27

d) 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23

(

)

)

a) Los que predicen que sale un número menor que 7.

6. ¿Cómo se expresa en número decimal la fracción común de la parte de color de la superficie del triángulo? ( ) b) 0.75

d) La línea punteada negra

d) Los que no predicen que sale el número 7. 2. Si solo juega una persona apostando a un número mayor que 7, ¿quién tiene más posibilidades de ganar, el jugador o la casa? ( ) a) Tienen igual posibilidad de ganar

b) La casa

c) El jugador

d) Tienen igual posibilidad de perder

66

67

Cabe destacar que en el apartado de Evaluación a partir de la prueba PISA se profundizará más sobre esta evaluación, ya que el formato que guarda en su estructura obedece a este tipo de valoración. r Qué observa En cada una de estas secciones pertenecientes al libro del alumno (“Acuérdate de…”, “Practícalo”, “Lo que aprendí”, “Desarrolla tus habilidades” y “Evaluación”), se han agregado otras cápsulas, con el fin de brindar al profesor recursos para aprovechar al máximo estas actividades. Las cápsulas son: • Qué observar. A lo largo del libro, y como parte de las sugerencias didácticas, incluimos esta sección en la cual destacamos algunas cuestiones que es importante que considere para el desarrollo del tema. • Como enriquecer la actividad. En esta sección proponemos otras acciones concretas que le servirán como referencia para el trabajo de cada uno de los contenidos tratados en el libro. • Reflexión. Como parte de las sugerencias didácticas, incluimos esta sección en la que tratamos algunas cuestiones relacionadas con los contenidos actitudinales y con la transversalidad de la asignatura con algunas otras.

mite al Esta sección per lo que alumno aplicar durante ha aprendido acerca este contenido ción de de la multiplica les, números decima ritmo utilizando el algo y que convencional, cha mu de le será a cuando se dad utiliC ómpar endive treoen riqrsas enc uecer lauen a tivid en su vida situaciocnes ad a. dian Pe cotirmita q ue los alumno situac s propongan io que la nes semejan s tes, entre planteen y to las an do el grup o alicen y las resuel van. Promue partic va la ip y cole ación indiv idual ctiva.

Reflexión Sobre el trabajo en equipo. En las matemáticas la ite labor en equipo perm argumentar y justificar de manera respetuosa los procedimientos que se llevan a cabo para la resolución de ejercicios.

Sin embargo, a lo largo de las propuestas didácticas también podrá sugerirse el trabajo con otras asignaturas para vincular el contenido que se está trabajando, con el fin de que el estudiante tenga una visión más amplia en su enseñanza. Por otro lado, también se invita a que el profesor, haciendo uso de su creatividad y experiencia, genere otros ambientes de aprendizaje donde el alumno pueda vincular el contenido de la asignatura de Matemáticas con el de otras. Así pues hay que considerar la relación con otras materias, como Física, Química, Geografía, etcétera.

XVII


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MATEMÁTICAS Á ÁTICAS 1 Por ejemplo: una forma para que el alumno comprenda la modelación puede ser al relacio relacionar expresiones algebraicas con figuras geométricas, lo cual lo llevará a modelar situaciones y obtener expresiones de carácter general, PRACTÍCALO como en: “Encontrar la fórmula que te permita calcular el perímetro de un polígono”. Para la mayoría de los alumnos no resultará muy complejo hallar la fórmula solicitada y a partir de ello se le está involucrando en temas como: • Perímetro de un polí ono • •

odelaci n educci n de términos seme antes

Otras secciones en el libro del alumno son:

Para tener en cuenta En esta sección se consolidan los conceptos claves que permitirán al alumno comprender los temas que se están tratando. Es importante que: •

Para tener en cuenta Para encontrar la mediana de un triángulo debes localizar el punto medio de un lado y trazar una línea desde este punto hasta el vértice opuesto.

PRACTÍCALO

otive al alumno para que lo consulte las veces que lo requiere, así repasar la orma en la que puede llevar a cabo los procedimientos de una situación dada, hasta que por sí mismo pueda aplicar estos conocimientos y habilidades a distintos casos planteados.

PRACTÍCALO P • ambién puede solicitarle que en su cuaderno escriba e investi ue aquellos puntos de esta sección que no le hayan quedado claros. A

•

BLOQUE 1

Q

B

otive al alumno para que de manera individual o en equipo, e pon a ante el resto del grupo los datos obtenidos de la investigación, a fin de que desarrolle sus habilidades verbales y contribuya a la adquisición de conocimientos del resto de sus compañeros. A

B

A

B

Para leer más Esta sección brinda una serie de datos que permiten enriquecer el tema de estudio. La mayoría de estas cápsulas incluye conceptos simplificados. Para trabajar esta sección le sugerimos: • Pida a al n alumno que lea comen te con todo el grupo lo que la nota quiere decir. •

Para leer más

El valor numérico de una expresión algebraica se obtiene sustituyendo cada letra por un valor determinado y resolviendo las operaciones. Observa: Encontremos el valor numérico de la expresión 4n – 4 sustituyendo en n los valores 1, 2, 3 y 4. Para el 1 queda 4(1) – 4 = 4 – 4 = 0 Para el 2 queda 4(2) – 4 = 8 – 4 = 4 Para el 3 queda 4(3) – 4 = 12 – 4 = 8 Para el 4 queda 4(4) – 4 = 16 – 4 = 12

i se requiere una e plicaci n más amplia, PRACTÍCALO trate de no repetir la información; lo más conveniente es servirse de diversos ejemplos y que sean los propios alumnos quienes interpreten la información, claro, orientados por su conocimiento y evitando que falten a la realidad conceptual o procedimental, según sea el caso.

• Pida a los alumnos que re istren en tar etas de traba o la in ormaci n proporcionada, así como los comentarios hechos al respecto. Esto les permitirá poner en práctica el análisis y síntesis de ideas. •

otive a los alumnos a investi ar otro tipo de in ormaci n relacionada con el tema que la compartan con el grupo. A lo largo del libro, y como parte de las sugerencias didácticas, hemos incluido la sección Curiosidades, acertijos y más, que puede servir como modelo.

XVIII


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PRACTÍCALO Desarrolla tus habilidades

T

C

S UTS APÉNDICES

ABC R

A

U Asimismo dentro de las sugerencias didácticas se incluye la sección de: F

• Curiosidades, acertijos y más, donde se plantean situaciones y anécdotas interesantes B M aplicadas a las matemáticas.

HGF Usa las TIC G

RHK

E

H

DEM

Las actividades complementarias contienen referencias de activi-

H dades adicionales que se realizarán por medio de las Tecnologías D de la Información y Comunicación (TIC) y que pueden reforzar los contenidos tratados.

A lo largo del libro, y como parte de las sugerencias didácticas, hemos incluido la sección: • Recursos y materiales, aquí hemos referido algunas sugerencias de materiales y páginas de Internet en las que los alumnos pueden ampliar el trabajo del contenido estudiado en clase.

K USA LAS TIC Para conocer más acerca del reparto proporcional y ver algunos ejemplos, visita la pá ina http://www.ditutor. com/proporcionalidad/ repartos_proporcionales. html

Glosario

Para tener en cuenta Con frecuencia se ofrece la definición de aquellas palabras que pudieran presentar alguna dificultad porque se desconozca su significado. Al encontrar en la lectura este recurso le sugerimos: •

encionarlas cuantas veces sea necesario, a que en la medida en la que se utilicen de manera natural los estudiantes podrán apropiarse del lenguaje específico de la asignatura.

Bisectriz. Es la recta que, partiendo de un vértice, divide a un ángulo en dos partes iguales.

PRACTÍCALO De manera adicional, al final de cada página se incluye la sección “Bitácora pedagógica”, que es un espacio donde el profesor podrá llevar un registro de cada una de las sesiones que tenga con sus alumnos. Este tipo de información es muy útil para recabar datos sobre los avances y elementos por profundizar en el aprendizaje de los estudiantes.

Evaluación a partir de la prueba PISA Cuando evalúe el aprendizaje, debe considerar un conjunto de acciones a fin de recabar la información necesaria que permita apoyar las decisiones que tome en relación com las situaciones didácticas, el plan de acción dentro el aula y el empleo de materiales, entre otros. Asimismo, la evaluación le provee información sobre el grado de avance que cada alumno tiene en diferentes etapas del proceso de enseñanza-aprendizaje. Como se ha remarcado a lo largo de estas páginas, algo fundamental en el enfoque que plantea la RIEB 2011, es la evaluación de los aprendizajes esperados y las competencias, a través de los estándares curriculares, y la prueba PISA (Programa para la Evaluación Internacional de Alumnos por sus siglas en inglés) de la OCDE, ofrece los elementos necesarios para tal fin; es decir, permite conocer el nivel de desempeño de los alumnos ya que evalúa algunos de los conocimientos y habilidades necesarios que deben tener para desempeñarse de forma competente en la sociedad del conocimiento. La prueba PISA se ha convertido en un consenso para los países que pertenecen a la OCDE, entre ellos México, que perfila las sociedades contemporáneas a partir de tres campos de desarrollo en la persona: la lectura como habilidad superior, el pensamiento abstracto como base del pensamiento complejo, y el conocimiento objetivo del entorno como sustento de la interpretación de la realidad científica y social. Los estándares curriculares, como ya se describió, expresan lo que los alumnos deben saber y ser capaces de hacer en los cuatro periodos escolares: al concluir el preescolar; al finalizar el

XIX


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MATEMÁTICAS 1 tercer grado de primaria; al término de la primaria (sexto grado), y al concluir la educación secundaria. Cabe mencionar que cada conjunto de estándares, correspondiente a cada periodo, refleja también el currículo de los grados escolares que le preceden. Los niveles de desempeño que contempla la prueba PISA para matemáticas son: •

os alumnos que alcanzan este nivel son capaces de ormar conceptos, eneralizar utilizar in ormaci n a partir de investigaciones y modelos de situaciones problémicas complejas. Posee un pensamiento y razonamiento matemático avanzado, además de desarrollar nuevos enfoques y estrategias para abordar situaciones nuevas.

•

os adolescentes, cuando lo ran este nivel, son capaces de ormar conceptos, eneralizar utilizar in ormación a partir de investigaciones y modelos de contextos complejos. Formulan y comunican con exactitud sus acciones y reflexiones relativas a sus hallazgos, y a su adecuación a las situaciones originales.

•

os estudiantes traba an con e cacia los modelos matemáticos en situaciones comple as concretas, utilizan habilidades bien desarrolladas y razonar con flexibilidad y con cierta perspicacia en estos contextos. Pueden elaborar y comunicar explicaciones y argumentos basados en sus interpretaciones y acciones.

•

os alumnos realizan procedimientos descritos con claridad, incluso los que se relacionan con decisiones secuenciales. Pueden seleccionar y aplicar estrategias de solución de problemas sencillos. Saben interpretar y usar representaciones basadas en diferentes fuentes de información y razonar directamente a partir de ellas. Pueden elaborar escritos breves exponiendo sus interpretaciones, resultados y razonamientos.

•

os estudiantes pueden interpretar reconocer situaciones en conte tos que solo requieren una in erencia directa. Saben extraer información relevante de una sola fuente y hacer uso de un único modelo de representación. Pueden utilizar algoritmos, fórmulas, convenciones o procedimientos elementales. Son capaces de efectuar razonamientos directos e interpretaciones literales de los resultados.

•

os estudiantes saben responder a pre untas relacionadas con conte tos amiliares, en los que está presente toda la información relevante y las preguntas están claramente definidas. Son capaces de identificar la información y llevar a cabo procedimientos rutinarios siguiendo instrucciones directas en situaciones explícitas. Pueden realizar acciones obvias que se deducen inmediatamente de los estímulos presentados.

•

os estudiantes cu o desempeño se sit a por deba o del nivel 1 son incapaces de tener é ito en las tareas más básicas que busca medir PISA.

Nivel 6

Nivel 5

Nivel 4

Nivel 3

Nivel 2

Nivel 1

Por debajo del Nivel 1

Como se señaló con anterioridad, en las evaluaciones tipo PISA que se incluyen al final de cada bloque se contempla la estructura de esta prueba, a fin de que el alumno pueda aplicar y valorar sus competencias y aprendizajes esperados a partir de los estándares curriculares.

XX


PLANIFICADOR MENSUAL

Fuente: http://www.pisa.sep.gob.mx/ Fecha de consulta: 18 de junio de 2012.

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Bloque 1 Contenido 1

Semana 2

Semana de inducción y evaluación preparatoria

Semana 1

AGOSTO 2012

26 27

Inicio de curso

20

28

21

Curso de formación continua


19

14

13

12

7

Martes

6

Lunes

5

Dom.

29

22


15

8

1

Miércoles

30

23


16

9

2

Jueves

31

24


17

10

3

Viernes

25

18

11

4

Sáb.



XXI

12/07/12 15:46

SEPTIEMBRE 2012

Semana 2

Semana 3 Contenido 2


Semana 5 Contenido 4 Contenido 5


Sáb.

8

Viernes

7

15

Jueves

6

14

Miércoles

5

13

Martes

4

12

Lunes

3

11

Dom.

2

10

22

1

9

21

29

20

28

19

27

18

26

17

25

16

Suspensión programada por sucesión de días inhábiles

23/30 24

12/07/12 15:46



XXII

XXIII


12/07/12 15:46

Evaluación parcial

Semana 11

Contenido 9

Semana 10

Contenido 8

Semana 9

Contenido

Semana 8

Contenido 6

Semana 7

OCTUBRE 2012

28

21

14

7

Dom.

29

22

15

8

1

Lunes

30

23

16

9

2

Martes

31

24

17

10

3

Miércoles

25

18

11

4

Jueves

26

19

12

5

Viernes

27

20

13

6

Sáb.


NOVIEMBRE 2012

Semana 11

Miércoles

Jueves

Sáb.


Viernes

10

Martes

9

17

Lunes

8

16

3

7

15

Dom.

2

6

14

1

5

13

Suspensión de labores docentes

4

12

24

Semana 12

11

23

Bloque 2 Contenido 1


22

30

21

29

20

28

19 Suspensión de labores docentes

26

27

18

25

12/07/12 15:46




XXIV

XXV


12/07/12 15:46

3

4

5

Miércoles

6

Jueves

7

Viernes

Sáb.

Evaluación parcial

Semana 18

Contenido

Semana 17

Contenido 5 Contenido 6


17

10

Vacaciones

23/30 24/31

16

9

Vacaciones

25

18

11

Vacaciones

26

19

12

Vacaciones

27

Vacaciones

20

13

Vacaciones

28

Vacaciones

21

14

29

22

15

8

2

Martes

Semana 16

Lunes

1

Dom.


Semana 15

DICIEMBRE 2012

ENERO 2013

Semana 19 Bloque 3 Contenido 1

Semana 20 Contenido 2 Contenido 3



2

Vacaciones

3

11

Vacaciones

4

19

12

Sáb.

1 Vacaciones

10

18

26

Viernes

Vacaciones

9

17

25

Jueves

8

16

24

Miércoles

7

15

23

31

Martes

6

14

22

30

Lunes

13

21

29

Dom.

20

28

5

27

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XXVI

XXVII


12/07/12 15:46

Evaluación parcial

Semana 26

Contenido 8

Semana 25

Contenido

Semana 24

Contenido 6

Semana 23

Semana 22

FEBRERO 2013

24

17

10

3

Dom.

25

18

11


4

Lunes

26

19

12

5

Martes

27

20

13

6

Miércoles

28

21

14

7

Jueves

22

15

8

Solicitud de preinscripción 20132014

1

Viernes

23

16

9

2

Sáb.


MARZO 2013

Semana 26





1

9

2

Sáb.

8

16

Viernes

7

15

Jueves

6

14

Miércoles

5

13

Martes

4

12

Lunes

3

11

23

Dom.

10

22

30

21

29

20

28

Vacaciones

19

27

Vacaciones

18

26

Vacaciones

17


Vacaciones

12/07/12 15:46


24/31 25 Vacaciones

XXVIII

XXIX


12/07/12 15:46

Evaluación parcial

Semana 33

Contenido

Semana 32

Contenido 6

Semana 31

Contenido 4 Contenido 5

Semana 30

ABRIL 2013

28

21

14

7

Dom.

29

22

15

30

23

16

9

Vacaciones

Vacaciones

8

2

Martes

1

Lunes

24

17

10

Vacaciones

3

Miércoles

25

18

11

Vacaciones

4

Jueves

26

19

12

Vacaciones

5

Viernes

27

20

13

6

Sáb.


MAYO 2013

Semana 33


Dom.

5

6

Lunes



Sáb.

4

Viernes

3

11

Jueves

2

10

18

Miércoles

9

17

Martes

8

16

1

7

15

Suspensión de labores docentes.

14

21

29

22

30

23

31

24

25

13

20

28

12

19

27



26

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Suspensión de labores docentes.


XXX

XXXI


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Repaso

Semana 41

Evaluación parcial

Semana 40

Contenido 6

Semana 39

Contenido 5

Semana 38

Semana 37

JUNIO 2013 Lunes

17

10

emana acional de Evaluación

3

23/30 24

16

9

2

Dom.

25

18

11

4

Martes

26

19

12

5

Miércoles

27

20

13

6

Jueves

28

21

14

7

Viernes

29

22

15

8

1

Sáb.


JULIO 2013

Semana 42 Evaluación final

Dom.

7

14

12

27

20

13

6

Sáb.


Viernes

11

Vacaciones

Jueves

10

Vacaciones

19

Miércoles

9

Vacaciones

18

Vacaciones

Martes

8 Vacaciones

17

Vacaciones

26

Lunes

5

Vacaciones

16

Vacaciones

25

Vacaciones

4

15

Vacaciones

24

Vacaciones

3

Vacaciones

23

Vacaciones

2

22

Vacaciones

31

1

Vacaciones

30

Vacaciones

Fin de curso

29

Vacaciones

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21

28

Vacaciones

XXXII


por competencias

1

PRELIMINARES Mate I.indd 1

12/07/12 15:47

MATEMÁTICAS 1 Datos de catalogación Autores: Arriaga Robles, Alan, Marcos Manuel Benítez Castanedo Matemáticas 1. Por competencias Primer grado, educación secundaria 1a Edición Pearson Educación, México, 2012 ISBN SEP: 978-607-32-1232-8 ISBN: 978-607-32-1233-5 Área: Secundaria Formato: 20.5 x 27cm

Páginas: 272

Esta edición en español es la única autorizada.

Matemáticas 1. Por competencias El proyecto didáctico Matemáticas 1. Por competencias es una obra colectiva creada por encargo de la editorial Pearson Educación de México, por un equipo de profesionales en distintas áreas, que trabajaron siguiendo los lineamientos y estructuras establecidos por el departamento pedagógico de Pearson Educación de México.

Especialistas en Matemáticas responsables de los contenidos y su revisión técnico-pedagógica: Obra original: Arriaga Robles, Alan y Marcos Manuel Benítez Castanedo Revisor Técnico: Hugo Salcido Durán Dirección general: Laura Koestinger ■ Dirección K-12: Santiago Gutiérrez ■ Gerencia editorial K-12: Rodrigo Bengochea ■ Coordinación editorial: Jorge Luis Íñiguez ■ Coordinación de arte y diseño: Asbel Ramírez

Dirección K-12 Latinoamérica: Eduardo Guzmán Barros Dirección de contenidos K-12 Latinoamérica: Clara Andrade Editado por: EDIMEND, S.A de C.V ■ Director General: Francisco Méndez Gutiérrez ■ Director editorial: Alberto García Rodríguez ■ Gerente de contenidos responsable: Luz Ma. González Torres ■ Edición: Raúl Pérez Martínez y Ángela Cortés Figueras ■ Diseño y formación editorial: J. René Piedra Tenorio, J. Antonio Guzmán Maldonado y Mario Tenorio Murillo ■ Corrección de estilo y editorial: Pamela Vicenteño Bravo ■ Diseño de portada: J. René Piedra Tenorio y J. Antonio Guzmán Maldonado ■ Ilustraciones: Marcelino Aranda Flores, Ma. Eugenia Vázquez Cano y Javier Perdomo Muñoz ■ Fotografías: Shutterstock, Beatriz Mendoza Alvarez y Karla Flores Choza

ISBN SEP: 978-607-32-1232-8 ISBN LIBRO IMPRESO: 978-607-32-1233-5 ISBN E-BOOK: EN TRÁMITE ISBN E-CHAPTER: EN TRÁMITE

D.R. © 2012 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500, 5° piso Col. Industrial Atoto, C.P. 53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg. Núm. 1031

Impreso en México. Printed in Mexico

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

2


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Presentación La sociedad de la que formamos parte es cada día más exigente, obliga a la actualización constante y a la afirmación de los conocimientos matemáticos en muchos contextos de la vida cotidiana. La tecnología avanza y ofrece sin cesar nuevas rutas hacia la información y la comunicación. Internet, las redes sociales y en general las nuevas tecnologías, que definen el campo de acción de las personas de este siglo. En una sociedad en permanente cambio resulta indispensable que en las escuelas se formen ciudadanos competentes que en el futuro puedan asumir de manera responsable las tareas de participación social, den respuestas asertivas y pertinentes a la problemática que se presenta día a día y que también desarrollen conocimientos y habilidades intelectuales para continuar aprendiendo a lo largo de su vida. Los libros, la escuela y la tecnología deben formar un equipo sólido, que sea generador de aprendizajes y conocimientos del desarrollo como competencias y las estrategias que definirán su camino en la vida diaria. Los libros son, sin duda, el o más inmediato que los estudiantes tienen con el mundo y con sus oportunidades. En ellos se pueden aprender, no solamente procedimientos y teorías, sino estrategias, capacidades, habilidades y aptitudes para enfrentar el día a día. El estudio de las matemáticas en la educación secundaria está orientado a lograr que los alumnos aprendan a plantear y resolver problemas en distintos contextos, a justificar la validez de sus procedimientos y resultados y a utilizar de forma adecuada el lenguaje matemático. Bajo esta perspectiva, se espera que este libro sea un material de apoyo útil para resolver los distintos problemas que se presenten, aprovechando los conocimientos previos y sus inquietudes para el desarrollo de competencias, actitudes y habilidades matemáticas. Con este libro se busca ofrecer un gran apoyo que, junto con prácticas como el diálogo, la reflexión crítica, el uso de técnicas de las Tecnologías de la Información y la Comunicación, el debate y el análisis para la toma de decisiones con el fin de lograr que sean los estudiantes quienes, en forma colaborativa y crítica, presenten propuestas individuales o grupales que les posibiliten mejores aprendizajes.

3


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MATEMÁTICAS 1

Al alumno(a): En tu libro Matemáticas por competencias 1, encontrarás retos que te ayudarán a resolver situaciones particulares. Durante el desarrollo de las actividades que se presentan, te darás cuenta que para resolverlas, necesitas aplicar tus conocimientos previos para adquirir nuevos significados, sin la necesidad de ajustarte a modelos prescritos, y tendrás la posibilidad de integrar y aplicar las matemáticas de manera propia. Es decir, si bien este libro está realizado para ser una guía en la obtención de aprendizajes esperados, deseamos que las actividades que se presentan las puedas resolver por ti mismo o en equipo, a través de la reflexión y el análisis de enunciados, fórmulas, símbolos y signos bajo la guía de tu profesor. Las diferentes secciones que conforman la secuencia didáctica de este libro motivan a que utilices tus estrategias y resuelvas los planteamientos de la misma manera en que lo hacen quienes emplean la teoría de las matemáticas. ¡Te damos la bienvenida a tu primer grado de secundaria y esperamos que hagas de esta etapa una de las más exitosas de tu vida! Al profesor(a): El libro Matemáticas por competencias 1 tiene como finalidad ser un apoyo en el aula y un recurso elaborado para facilitar el aprendizaje de sus alumnos y la comprensión de los temas de esta asignatura. La propuesta de este libro es centrar la atención en el alumno, tratándolo de acuerdo con sus necesidades, intereses y habilidades; con el propósito de que sea competente, respetando sus capacidades, destrezas y temperamentos. Para lo anterior, es conveniente promover el trabajo individual, en equipo y grupal, ya que la interacción entre los alumnos fortalecerá la responsabilidad, la retroalimentación y la motivación para seguir aprendiendo. En la organización del trabajo es importante que considere el intercambio de experiencias con los demás docentes, aproveche la vinculación de los contenidos con los de otras asignaturas y realice un trabajo interdisciplinario; de esta manera favorecerá el desarrollo integral de los alumnos y posibilitará que alcancen uno de los principales propósitos de la educación secundaria: la formación de individuos capaces de aprender de forma autónoma. Los autores

4


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Estructura de tu libro Las secciones que conforman la estructura didáctica de Matemáticas por competencias 1 fueron creadas pensando en jóvenes como tú, que requieren y hacen uso de conocimientos útiles y precisos para desarrollar sus competencias al máximo. Para alcanzar estos objetivos y aprovechar en su totalidad los recursos de esta obra.

Bloque

2

Contexto histórico –1350 Los egipcios usan relojes solares.

–1500 Aprendizajes esperados • Resolver problemas utilizando el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo.

–1100 Inicio de la guerra de Troya.

–900

–1200

–350 Declive del imperio babilonio.

–321 Construcción de la Gran Muralla China.

–448 Construcción del Partenón.

–600

0

–350

Hechos matemáticos –600

–300

–260

En su recorrido por el mundo, Tales de Mileto contribuyó con el desarrollo de la geometría.

Se acepta el sistema hindú (brahmi) de numeración.

Se desarrolla la numeración arábiga.

• Resolver problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas y mediatrices y bisectrices en triángulos y cuadriláteros.

64

65

Línea del tiempo Entrada de bloque En este apartado se establecen los aprendizajes que se espera que desarrolles con el trabajo de cada secuencia didáctica.

El propósito de esta sección es mostrar los vínculos históricos entre el desarrollo de la sociedad y las matemáticas.

5


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MATEMÁTICAS 1 Acuérdate de… BLOQUE 1 Eje temático


Tema

Patrones y ecuaciones

Contenido 5

Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar.

Te ayuda a recuperar lo que aprendiste en otro momento y aprovechar tu experiencia. Con frecuencia se propone el trabajo en equipo, para fomentar el desarrollo colaborativo y se plantean situaciones en las que desarrollarás tu capacidad para construir nuevos conocimientos.

ACUÉRDATE DE... La fórmula para calcular el área de un triángulo es A = (b) (h) . Indica ¿cuáles son las variables? 2 Si calculas el área de dos triángulos con medidas distintas,

¿Qué representa cada una de ellas?

Actividad

¿qué valores de la fórmula cambian y cuáles permanecen iguales? ¿Cómo se le nombra al valor que no cambia en una fórmula?

PRACTÍCALO

Incluye ejercicios para que practiques, adquieras confianza, alcances la autonomía y desarrolles competencias (conocimientos, habilidades y actitudes) matemáticas.

Actividad 5.1 Variable. Cada una de las literales que contiene una expresión algebraica, cada una representa un solo valor desconocido.

1. Observen la siguiente poligonal abierta. a) Comenten cómo obtendrían la longitud total de la línea. b) Si la longitud es L, expresen con una fórmula esta situación.

Poligonal. Línea formada por segmentos rectos consecutivos no alineados, es abierta cuando no delimita una superficie; en caso contrario, se le conoce como poligonal cerrada (polígono).

a

Glosario Incluye la definición de aquellas palabras que pueden presentar alguna dificultad por su significado. En el texto las encontrarás destacadas en color rojo.

b

d

c

Para tener en cuenta

Para tener en cuenta El número que se escribe a la izquierda de una literal se llama coeficiente y su función es multiplicar el valor de dicha literal, observa:

Esta sección está diseñada para ayudarte a consolidar los conceptos clave y facilitar la comprensión de los temas tratados. Puedes consultarla cuando no recuerdes cómo solucionar algún problema.

x + x + x = 3x (tres por equis) 2x + 3x + 4x = 9x (nueve por equis) Los coeficientes son el 2, 3, 4 y 9, y la literal o variable en ambas expresiones es x.

37

Lo que aprendí Para leer más Te brinda datos que enriquecen el tema principal del apartado.

Su objetivo es ayudarte a identificar los aprendizajes que obtuviste durante la lección y así saber qué aprendiste, qué estás aprendiendo y qué te falta por aprender; con esto identificarás logros y retos por superar para adquirir más habilidades.

MATEMÁTICAS 1 Observa que quedaron espacios sin iluminar, colorea de rojo estas casillas ya que éstos también son números primos. Elabora la lista de los primeros números de los primos contenidos en los primeros 100 números naturales.

BLOQUE 4

USA LAS TIC

Para leer más ¿Cuál es el resultado de sumar dos números opuestos? ¿La suma de dos números opuestos da siempre el mismo resultado? A los números opuestos se les conoce como inverso aditivo. ¿Por qué crees que reciban ese nombre?

LO QUE APRENDÍ

Para saber más acerca de las operaciones de números con signo puedes consultar la página: http://www.comesed.com/ Sb/sbt72.htm

LO QUE APRENDÍ Completa la tabla escribiendo en cada casilla sí o no para indicar si el número es divisible o no entre el número indicado, observa el ejemplo.

Criterio

Lee con atención.

Número

El mundo a través del espejo

540

Existen frases en este mágico mundo que se leen igual al derecho y al revés, como “LIGAR ES SER AGIL”, “LA RUTA NOS APORTO OTRO PASO NATURAL” o “ANITA LAVA LA TINA”, estas frases tienen un misterioso nombre el cual tienes la misión de descubrir. Para ello deberás resolver el ejercicio y colocar la letra correspondiente a la respuesta debajo del resultado que le corresponda en la tabla, pero como estás en el mundo al revés, para resolverlo necesitarás la ayuda de un espejo que deberás colocar sobre las líneas verdes. ¡ATENCIÓN!, “las respuestas deberán de poder leerse correctamente a través del espejo”.

7

No, porque no al probar no da un múltiplo de 7. Sí, porque la suma de sus dígitos es 3.

1200

Tu nombre

No, porque no termina en cero o par.

11

105

USA LAS TIC

4 la fracción 8 ? _______ (I) 3 ¿Qué letra representa

5 9 _______ (M) de operación? ¿Cuál es el resultado

1

Usa las TIC

1

A B CD E F G

450m2

0

5

154

Este apartado está creado de manera que, mediante una Escribe tu nombre sobre la línea ___________________________________ (S) actividad lúdica, refuerces los conocimientos planteados en el 3 que 8 _______ (O) será una tema. Seguro esta de secciones ¿Cuáltus es el menor? 4 _______ (N) favoritas. 3 De los números 2 , 2.5, 1, 0.75, 1

3

1112


de la operación? ¿Cuál es el resultado

2 Sí, porque termina en cero.

Desarrolla tus habilidades Encuentra un número que se divida simultáneamente entre 2, 3, 5 y 7. Anótalo.


1

16/10/11 02:42 PM

19

0

12 _______ (D)

BLOQUE 2.indd 70

5 8

cantidad _______ (R) metros cuadrados”, Escribe esta tiene cuatrocientos cincuenta “Mi tío vendió un terreno que

12°C

6

¿Cuál es el mayor? _______ (O) 4 3 , 2.5, 1, 0.75, De los números 2 1

70

C

2.5

12

Este apartado contiene recomendaciones para que consultes esta cantidad _______ páginas electrónicas en(A) las que obtendrás información de los centígrados bajo cero”. Escribe 19 _______ (P) temas desarrollados engrados tu libro y podrás reafirmar tus descender hasta los doce “En invierno la temperatura puede conocimientos con las actividades sugeridas.

En la página <sauce. pntic.mec.es/jdiego/ glosario/glosario.htm> encontrarás definiciones muy interesantes y útiles que te pueden ayudar a complementar este tema.

la flecha) _______ (L) ¿Qué fracción está indicando 177

12/07/12 15:47

Índice Presentación ......................................................................................................................................................... Al alumno(a) ......................................................................................................................................................... Al profesor(a) ......................................................................................................................................................... Estructura de tu libro ................................................................................................................................................ Dosificación de contenidos ........................................................................................................................................

BLOQUE 1

3 4 4 5 9

....................................................................................................................................................

12

Contenido 1. Conversión de fracciones decimales y no decimales a su estructura decimal y viceversa ...................

14

Contenido 2. Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación .................................................

21

Contenido 3. Resolución y planteamiento que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones ...

27

Contenido 4. Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras...........................................................

33

Contenido 5. Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar ............................................................................................

38

Contenido 6. Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría ....................................

44

Contenido 7. Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un triángulo .................................................................................................................................

51

Contenido 8. Resolución de problemas de reparto proporcional ............................................................................

58

Contenido 9. Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles .............................................................

62

Evaluación

.........................................................................................................................................................

66

....................................................................................................................................................

68

Contenido 1. Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5 y 7. Distinción entre números primos y compuestos ...................................................................................................................................

70

Contenido 2. Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo ...........................................................................................................................................

75

Contenido 3. Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando algoritmos convencionales .........................................................

82

Contenido 4. Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales ..................................................................

86

Contenido 5. Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo .....................................................................................

94

Contenido 6. Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras .........................................................................................

101

BLOQUE 2

Contenido 7. Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios ............................................................

112

Evaluación

.........................................................................................................................................................

118

....................................................................................................................................................

120

Contenido 1. Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional ...............................................................................

122

Contenido 2. Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional ...............................................................................................

126

BLOQUE 3

7


12/07/12 15:47

MATEMÁTICAS 1

Contenido 3. Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios ......................................................................

134

Contenido 4. Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella ............................................................................................................

138

Contenido 5. Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares ......

147

Contenido 6. Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas ........................................................................................

154

Contenido 7. Anticipación de los resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias .................................................................

159

Contenido 8. Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa ..........................................................................................................................................

167

Evaluación

.........................................................................................................................................................

170

....................................................................................................................................................

172

Contenido 1. Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos ................................................................................

174

Contenido 2. Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas ...........................................................................

180

Contenido 3. Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo gráfica y algebraicamente. Explicitación del número (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro .........................................................................................................

185

Contenido 4. Análisis de la regla de tres empleando valores enteros o fraccionarios ..............................................

193

Contenido 5. Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala ......................................................................................................................

198

Contenido 6. Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados ..............................................................................................................

204

BLOQUE 4

Contenido 7. Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada ...........................................................................

210

Evaluación

.........................................................................................................................................................

220

....................................................................................................................................................

222

Contenido 1. Resolución de problemas que impliquen el uso de sumas y restas de números enteros ....................

224

Contenido 2. Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades grandes o muy pequeñas ..............................................................................................................................

229

Contenido 3. Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia exponente natural de números naturales y decimales .................................................

238

BLOQUE 5

Contenido 4. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética

248

Contenido 5. Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del circulo en la resolución de problemas ...

256

Contenido 6. Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple ...................................................................

261

Evaluación

268

.........................................................................................................................................................

Bibliografía para el alumno ........................................................................................................................................

270

Bibliografía para el docente .......................................................................................................................................

271

Bibliografía consultada ..............................................................................................................................................

272

8


12/07/12 15:47



Eje


Problemas aditivos


Tema

4

Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

3 2

Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo. Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos.

2

2

Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar.

Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética

2

Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.

3

3

Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros.

Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales, decimales o fraccionarios.

1

Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando los algoritmos convencionales.

Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones

1

B2

Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5 y 7. Distinción entre números primos y compuestos.

2

4

B1

B3

B4

B5

Número de sesiones por bloque

Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa.

Subtema

Para el desarrollo del programa y el logro de los propósitos planteados se cuenta con 200 días de trabajo. Se propone la siguiente distribución de tiempos: 10 sesiones para el diagnóstico inicial por apertura de curso 10 2 sesiones para aplicación y revisión de exámenes al finalizar cada bloque 10 1 sesión en cada bloque para desarrollar la sección de Aplicaciones 5 1 sesión en cada bloque para desarrollar la sección de Exploración de TIC 5 15 sesiones al finalizar el curso para repaso general y reforzamiento de aprendizajes 15

DOSIFICACIÓN DE CONTENIDOS

Dosificación

9

12/07/12 15:47

Tema

Problemas multiplicativos

Figuras y cuerpos

Eje




3

2

B4

B5

3

Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etcétera) o que cumplan condiciones dadas.

Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.

Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.

2

Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría

4

1

B3

Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.

3

4

B2

5

2

B1


Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional.

Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales.

Subtema

MATEMÁTICAS 1

10

12/07/12 15:47

11


12/07/12 15:47


Medida


Análisis y representación de datos

Nociones de probabilidad

Proporcionalidad y funciones

Tema

Eje

Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada.

Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados.

Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias.

Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.

Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple.

1 3

3

4

B4

1

2

1

1

B3

Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala.

2

2

B2

2

3

1

B1

3

1

B5


Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios.

Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.

Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios.

Resolución de problemas de reparto proporcional.

Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.

Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro.

Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares.

Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras.

Subtema

MATEMÁTICAS 1

Bloque

1

Aprendizajes esperados: • Convierte n meros raccionarios a decimales viceversa. • Conoce utiliza las convenciones para representar n meros raccionarios decimales en la recta numérica. • epresenta sucesiones de n meros o de

uras a partir de una re la dada viceversa.

12

Qué observar Comente con sus alumnos los aprendizajes esperados que lograrán al término del bloque. Es importante que sepan qué conocimientos, habilidades y actitudes adquirirán, además de enfatizar la importancia que tienen en su vida cotidiana.

12

Mate 1 Blq 1 LM.indd 12

12/07/12 15:39

BLOQUE 1

Contexto histórico –3500 Invención de la rueda

–3500

–3100

–2785 Construcción de Stonehenge



–2300

–2700

–1900

–1500


–2000 aprox.

–1800

Se inventa el ábaco Numeración jeroglífica

Numeración decimal cuneiforme asirio-babilónica

Numeración cuneiforme babilónica (base 60)

13

Cómo enriquecer la actividad La línea del tiempo tiene la intención de presentar los avances que las matemáticas han tenido en las distintas épocas, contextualizándolos de manera histórica. Aproveche esta información también para practicar el cálculo mental. Pregunte por ejemplo: • ¿ ace cuantos si los se invent la rueda? • ¿Qué di erencia de tiempo se presenta entre la invenci n del ábaco la numeraci n cunei orme babil nica?

13


12/07/12 15:39

MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1

Desde la sección “ACUÉRDATE DE…”, las actividades planteadas permitirán que los alumnos participen a través de los aprendizajes previos que revisaron en primaria, así como clasificar las fracciones y las conversiones entre estas, para que sea la parte introductoria para tratar este tema.


Tema


Contenido 1

Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa

ACUÉRDATE DE...

Qué observar En este apartado se espera que los estudiantes aprendan a diferenciar entre fracciones decimales con respecto a las no decimales. De la misma manera, que aprenda a realizar las conversiones entre estas.

Eje temático

1. Observen detenidamente las fracciones que aparecen encerradas en un círculo y coloreen de manera semejante aquellas que tienen características similares.

1

32

1 3

2 7

6 5

5 4

3 5

5

2 9

• ¿Qué tipo de racciones encontraron en el con unto?

2

3 8

1 10

3 2

1 100

1 1000

i tas, propias, impropias decimales.

• Expliquen cuáles son las diferencias que permiten identificar los tipos de fracciones. i contienen enteros si el numerador es ma or o menor al denominador, o si el denominador es una potencia de 10.

Fracción común. Es la representaci n de la parte de un todo, se e presa en orma numerador de divisi n , denominador pertenece al rupo de los números racionales.

• ¿Qué di erencia a entre una fracción común un n mero decimal? Que la racci n decimal debe tener en el


denominador una potencia de 10.

Para encontrar una racci n equivalente debes multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número.

• ¿C mo se distin ue un n mero decimal de una racci n com n?

a racci n com n puede tener cualquier n mero en el denominador. • scriban cinco e emplos de cada tipo. 1 5

2

1 10

5 12

3 100

9 8 27 1000

1 20 11 10000

24 4 7 10

Compartan sus respuestas con el rupo, presenten una conclusi n eneral re ístrenla en su cuaderno.

Para tener en cuenta ealizar una conversi n si ni ca que debes e presar una cantidad de una orma distinta, en el caso de las racciones consiste en encontrar una representaci n decimal a una racci n com n viceversa.

PRACTÍCALO

Actividad 1.1

1. De acuerdo con la situaci n de la secci n cuérdate de… , coloca en la tabla 5 fracciones que a as coloreado después discute lo que se pide.

Fracción 31

2 1 3 6 5 1 100 1 1000

Característica ntero racci n propia.

Nombre i ta

Numerador menor al denominador.

Propia

Numerador mayor al denominador.

Impropia

El denominador es potencia de 10.

Decimal

El denominador es potencia de 10.

Decimal

14

Bitácora pedagógica

14


12/07/12 15:39

BLOQUE 1

Qué observar En esta sección se espera que los alumnos aprendan a realizar las conversiones de fracción común a fracción decimal, a partir del análisis de un contexto. Propicie que los alumnos participen de forma individual y colectiva, con la finalidad de que infieran que los contextos planteados en las actividades no son ajenos a los que se presentan en la vida cotidiana de los estudiantes.


15


12/07/12 15:40

MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 •

pliquen ¿cuál ue el procedimiento que llevaron a cabo para trans ormar el denominador?

Con base en el denominador, se busc un n mero que al multiplicarlo diera una potencia de 10. • ¿Qué racciones presentaron su denominador en 1000? ¿Por qué? in una El mayor denominador es 100. • ¿Cuáles ueron las racciones que cumplieron con esta característica? 1 , 4 17 y 24

5

50

• ¿Qué racciones no la tuvieron? 1 3

Porque

1 3

y

3 2

¿Por qué?

no es posible y 3/2 tiene 10 como denominador.

Comparen sus respuestas con el resto del rupo con la asesoría del pro esor elaboren una conclusi n sobre los procedimientos que permiten trans ormar un denominador a 10, 100 1000.

PRACTÍCALO

Actividad 1.4

1. esuelvan la actividad después respondan las pre untas. nalicen el al oritmo

Pida a los alumnos, según vayan resolviendo la actividad, que expliquen por qué eligieron ese denominador. Pregúnteles si el denominador resultante es el menor común de las fracciones. Verifique que los alumnos se acostumbren a trabajar con este tipo de operaciones con fracciones homogéneas, y que practiquen la conversión de fracciones a un común denominador. Recuerde que uno de los objetivos es lograr que los alumnos sepan encontrar la fracción irreducible de manera correcta.

b) 1.24 124 62 31 50 25 100

a) 0.8 8 4 5 10


76

d) 0.76

224 1000

50

100

g) 0.244

38

112 500

19

e) 2.72

25

56 250

h) 0.6

272

136

100

50

6

3

10

5

c) 0.056 56 28 14 7 1000 500 280 125 68

f) 15.8

158

10

25

i) 0.184

184 1000

79 5

92 500

46 250

• i el n mero decimal que quieren trans ormar en racci n com n tiene enteros, ¿el procedimiento para su conversi n es el mismo que utilizarían en un decimal sin enteros? No s conveniente primero convertir la racci n mi ta a impropia para tener claramente identi ta a impropia para tener claramente identi cado al denominador. • Comenten su respuesta con el rupo con a uda de su pro esor determinen la orma de convertir un n mero decimal a racci n com n. Se ubica el punto decimal al final de la cantidad para representarla como entera y el denominador se obtiene colocando tantos ceros como lu ares recorridos por el punto.

16


16


12/07/12 15:40

BLOQUE 1 BLOQUE 1

PRACTÍCALO

Actividad 1.5

s importante saber di erenciar los procedimientos de conversi n. l realizar operaciones el resultado se puede e presar de muc as ormas. labora en tu cuaderno una descripci n de los procedimientos que se presentan en cada tabla. 1.

bserva los e emplos contesta las pre untas.

racci n com n

3 4

Número mixto

1

•

2 5

operaci n

Número decimal

racci n impropia

0.75

7 2

0.75 43 30 10 0

operaci n

racci n impropia

(5) (1) +2 5

7 5

operaci n

Número mixto

3 27 1

3

1 2

Para leer más Para convertir un decimal a racci n com n se coloca el número sin punto decimal en el numerador y en el denominador se coloca una potencia de 10, con tantos ceros como dí itos se encuentren después del punto.

plica ¿qué proceso se llev a cabo para convertir una racci n impropia a un n mero mi to?

Qué observar Los alumnos analizarán la forma correcta de convertir una fracción común a un número decimal; de una fracción impropia a un número mixto y de un número mixto a una fracción impropia. Verifique que los alumnos describan con sus propias palabras los algoritmos de conversión para que relacionen la interpretación con la secuencia de operaciones.

Se divide el numerador entre el denominador sin calcular decimales. El entero es el cociente; el numenume rador es el residuo y el denominador el divisor. • ¿Cuál es el n mero decimal de las racciones impropias que se convirtieron a mi tas? l decimal es el mismo, a que se trata de la misma cantidad, no cambia si se e presa de orma improorma impro pia, mi ta o decimal. •

plica ¿qué proceso se llev a cabo para convertir una racci n mi ta a una impropia? Para obtener el numerador, se multiplica el denominador por el entero se suma el numerador, mien se suma el numerador, mien tras que el denominador se conserva.

• ¿Cuál es el n mero decimal de las racciones mi tas que se tras ormaron a impropias? l n mero decimal no cambia, aunque se modi que el orden de la conversi n de impropia a mi ta o de mixta a impropia. Compara tus resultados con el resto del rupo con la asesoría del pro esor elaboren una conclusi n eneral para las trasformaciones de fracciones a decimales y viceversa.

17


17


12/07/12 15:40

MATEMÁTICAS 1

Qué observar Los alumnos analizarán que a la hora de convertir una fracción impropia a fracción decimal, esta no tiene un resultado exacto, por lo que es de suma importancia mencionar que el valor es PERIÓDICO; es decir, que se repite de manera infinita.

Cómo enriquecer la actividad Que los alumnos propongan situaciones que se presentan en sus vidas cotidianas, donde utilicen los números fraccionarios. Pida que justifiquen la manera en cómo lo abordarían para que el resultado obtenido sea lo más cercano posible a lo que se desea encontrar.

MATEMÁTICAS 1

PRACTÍCALO PRACT PRA CTÍC CT ÍCALO ÍCALO En parejas resuelvan la actividad. •

7

isten al unos n meros decimales que no son e actos, por e emplo, al convertir la racci n 3 a 2.333... ¿de qué otra orma se puede e presar el resultado? número decimal el resultado es Colocando una pequeña línea a partir de donde se empieza a repetir el n Colocando una pequeña línea a partir de donde se empieza a repetir el n mero decimal. ¿C mo se nombra a este tipo de e presi n? Decimal peri dico.

• i se encuentran un n mero de este tipo, ¿puede e presarse nuevamente en orma de racci n com n? Sí

n los si uientes e emplos, describan en cada recuadro el paso que se si ui para las trans ormaciones a n n mero peri dico en racci n com n.

C Se escribe el n mero asta donde inicia su periodo.

Se le resta la parte entera ori inal.

2.6666 = 2.6

E

26 − 2 = 24

B

Se simplifica la racci n.

24 8 = 9 3

Se escribe como entero.

D Se coloca como denominador la misma cantidad de nueves como dígitos tiene el número antes del periodo, en este caso el periodo inicia en el 6 y “antes˝ solo hay un dígito (2), por lo tanto, solo se coloca un 9.

b n n mero semiperi dico en racci n com n.

Transversalidad Verifique que los alumnos aprendan a trabajar con este tipo de expresiones, ya que las encontrarán en otras áreas del conocimiento como la geografía. Algunos de los temas que se relacionan con esta actividad son los de población, índice de desarrollo humano y actividades económicas, por mencionar algunos. Pida al profesor de la asignatura de Geografía que trabaje en conjunto para que los alumnos puedan desarrollar un proyecto donde apliquen el uso de fracciones comunes en situaciones de la vida cotidiana.

Actividad 1.6

Se escribe el n mero asta donde inicia su periodo.

Se le resta la cantidad que se encuentra antes del periodo como entero.

2.8333 = 2.83 283 − 28 = 255 Se escribe como entero.

Se simplifica la racci n.

255 17 = 90 60

Se colocan tantos 9 como dígitos tenga el periodo agregando tantos ceros como dígitos tenga el anteperiodo. En este caso, antes del periodo hay un dígito (8) por lo que en el denominador se coloca un solo (9) y como el anteperiodo solo tiene un dígito (2) solo se coloca un cero (0).

18


18


12/07/12 15:40

BLOQUE 1 BLOQUE 1 19

omando en cuenta los e emplos anteriores. Demuestren que . es i ual a 11 .1 es i ual a 6 . 3 Comparen sus resultados con los demás compañeros de rupo unto con la asesoría del pro esor veri quen sus resultados.

Para tener en cuenta Para redondear una racci n a enteros, observa el numerador, si es i ual o ma or a la mitad del denominador, sube al si uiente entero si es menor ba a al entero anterior. bserva

1

4 6 redondeado a enteros es 2

1


1


PRACTÍCALO

Actividad 1.7

Doña upe va a comprar in redientes para preparar mole 1 0 de c iles anc os, 12 de c iles mulatos, 1 de itomates randes maduros, 0 de almendras, 1 21 cebolla mediana y 41 de tablilla de c ocolate. 2 doña upe le usta tener la equivalencia de las cantidades que va a comprar anotadas en su lista. a doña upe completando la tabla.

Ingredientes

Decimal en kg

Chiles anchos

0.15

Chiles mulatos

0.125

Jitomates

0.5

Almendras

0.05

Cebollas

1.5

Chocolate

0.25

•

uden

Qué observar Los alumnos analizarán situaciones donde es conveniente realizar conversiones mixtas; es decir, de fracciones decimales a fracciones comunes y viceversa.

Fracción común 3 20 1 8 1 2 1 20 3 2 1 4

Verifique que los alumnos expliquen cómo lo realizaron para encontrar el resultado esperado.

pliquen por qué es conveniente realizar estas conversiones. Para que, en este caso, doña upe no ten a problemas al comprar los in redientes para preredientes para pre parar el mole, a que cuando va al mercado, se utilizan ambas e presiones racci n com n y número decimal).

• ¿Qué estrate ia utilizaron para representar las cantidades en decimales?

Curiosidades, acertijos y más

e debe realizar la divisi n de las racciones comunes asta obtener el decimal que le corresasta obtener el decimal que le corres ponde divisi n con punto decimal .

Compartan su tabla con las de los demás equipos comenten sus procedimientos. ue o, en rupo, elaboren una conclusi n eneral.

19


Las proporciones de un cuerpo en el arte clásico se dan en función de la medida de la cabeza, la cual debe ser 17 del total de la estatura. ¿ n qué otras situaciones como esta, o como en el caso de la receta del mole, es importante el uso de las racciones?

19


12/07/12 15:40


LO QUE APRENDÍ APRENDÍ 1. ustavo tiene un mecánica en la colonia donde vive, el papá de uis llev su carro a revisi n durante el traba o que realizaba escuc que ustavo le pedía a su a udante que le diera varias erramientas de di erentes medidas, entre ellas escuc una llave de 83 , una de 1 , una de 4 1 . Caminando por la orilla del taller encontr una llave al observarla tenía marcado el n mero 16 0.2 m. o que a uis le caus dudas.

Qué observar

• ¿ qué se re ere

ustavo cuando le pide a su a udante la llave de 3 ? la medida de la llave. 8

• ¿ ste mismo criterio, aplicaría para las demás llaves? Si

Verifique que los alumnos realizan de manera adecuada el procedimiento para convertir fracciones decimales a comunes y viceversa.

• ¿C mo representarías en orma decimal la medida de cada llave?

aciendo una divisi n,

calculando también la cantidad en decimales. • en orma raccionaria, ¿c mo representarías la medida de la llave que encontr

uis?

6 25

• ¿Qué representaci n racci n com n o decimal consideras que ubiera sido más ácil para uis para que comprendiera me or las medidas de las llaves? racci n com n ¿Por qué? La mayoría de las llaves se identifican con fracciones comunes.

• Compara tus respuestas con el resto del rupo unto con su pro esor conclu an acerca de c mo las racciones se aplican en di erentes conte tos la importancia en conocerlas en su forma decimal o viceversa. n la vida cotidiana ambas ormas se utilizan constantemente, por lo que es mu importante saber calcular la equivalencia entre ambas.

Desarrolla tus habilidades 3

n la tienda de Don amuel una señora pide 4 de uevo. Don amuel introduce los uevos en una bolsa de plástico los lleva a la báscula electr nica la señora observa detenidamente que esta marca 0. 0 , por lo que le pide a don amuel que le e plique por qué esa cantidad si ella nicamente le pidi 3 de uevo no 0. 0 .

4

• ¿Quién tiene la raz n, don amuel o la señora? Don Samuel • De acuerdo con lo que aprendiste, ¿c mo podrías e plicar con tus propias palabras el ar umento que don amuel le debe dar a la señora? 0.750 es lo mismo que 34 . La báscula únicamente mide con decimales y

USA LAS TIC isita la pá ina ttp www.aaamatematicas. com ra. tm topic1 donde encontrarás muc a in ormaci n e emplos acerca de las fracciones.

usted me indic la cantidad como una racci n com n.

20


20


12/07/12 15:40

BLOQUE 1 BLOQUE 1 Eje temático


Tema


Contenido 2

Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación

Qué observar

ACUÉRDATE DE... 1. n la ima en se muestran en desorden los nombres las características de las racciones unto con al unos e emplos. r aniza en la tabla los nombres, características e emplos de cada una. inador Su denom tencia es una po de 10

El numerad or es menor qu e el denomin ador

racci n propia

Nombre

0.25 al n line presi e s la e racci n s a de un teriza por carac decimal. to el pun

4 9

racci n decimal

El num es ma erador el den yor que omin ador

a ro y un Un ente ropia p n i c c ra

8 5

1 100

3 2 5

racci impr n opia

racci n mixta

Característica

ero Núm mal i c e d

Ejemplo

racci n propia

El numerador es menor que el denominador.

4 9

racci n impropia

El numerador es mayor que el denominador.

8 5

racci n mi ta

Un entero y una fracci n propia.

2

Número decimal

presi n lineal de una racci n, tiene punto decimal.

0.25

racci n decimal

Su denominador es una potencia de 10.

1 100

3 5

Es importante que los alumnos recreen la idea de fracción y logren establecer la diferencia entre fracción común, fracción decimal y número decimal. La intención es aprovechar las situaciones para la representación numérica de cada una de ellas. Lo más importante en este contenido es que realicen un buen uso de la recta numérica.

• as racciones también se pueden representar por medio de un dibu o, esquema o recta numérica. bserva la tabla que completaste responde ¿Consideras que es posible representar una racci n impropia teniendo solo un entero? usti ca tu respuesta.


o, porque una racci n impropia siempre contiene más de un entero. n impropia siempre contiene más de un

• ¿C mo puedes saber cuántos enteros necesitas para representar la racci n impropia oc o quintos en una recta numérica? Con un entero se tienen cinco quintos como se necesitan oc o, entonces se requiere un entero más, por lo que la representaci n se debe acer con dos enteros. acer con dos •

plica de qué manera se puede dividir una recta numérica en partes i uales, si tuvieras que representar una racci n propia cu o denominador es . idiendo la recta, esto se divide entre el n mero de enteros necesarios lue lue o se mide cada entero y se divide en nueve partes.

21


Asegúrese de que los alumnos: • ean escriban sin dificultad los números fraccionarios y los decimales. • Conviertan expresiones sencillas de números decimales a fracciones y viceversa. • n eran que tipo de números son solo una extensión de los números enteros.

21


12/07/12 15:40

MATEMÁTICAS 1

Qué observar Es importante que los alumnos encuentren en la recta numérica, las fracciones que se piden, así como aquellas que son equivalentes, por ejemplo: 14 0.25. Asimismo es importante que se observe que el alumno ubique ambos números en el mismo punto sobre la recta.

MATEMÁTICAS 1

PRACTÍCALO PRACT PRA CTÍC CT ÍCALO ÍCALO

Actividad 2.1

n pare as ubiquen en estas rectas, las racciones que se señalaron en la secci n a racci n

4 9

b racci n

8 5

c racci n

3 25

d racci n

0.25

1 9

0

1 5

0

0

1 5

0

ora analicen contesten lo que se pide. •

2 9 2 5 2 5

1 10

3 9

3 5

2 10

4 9

3 5

5 9

4 5

4 5

cuérdate de de la pá ina 21.

6 5

1

3 10

6 5

1

7 5

4 10

6 9

8 5

5 10

9 5

6 10

7 9 7 5

8 5 11 5

2

8 9

7 10

12 5

1

9 5 13 5

8 10

2

14 5

9 10

3

1

pliquen el procedimiento que si uieron para ubicar la racci n 1100 en la recta numérica. e divide 10 partes se señala de orma apro imada la décima parte de la primera. imada la décima parte de la primera.

• ¿Qué otras racciones se encuentran en el mismo lu ar que

Cambiando números Pida al alumno que dibuje una recta numérica para que ubique la última fracción del ejercicio “ACUÉRDATE DE...”.

Cambiando números La fracción que el alumno debió ubicar 1 . fue 100

• ¿Qué nombre reciben las racciones que se encuentran en el mismo punto en una recta numérica? Equivalentes Expliquen unque se escriban distinto, si se ubican en el mismo punto, son equivalentes. • ¿ isten racciones que no se ubiquen en la recta numérica? No Expliquen unque sea de orma apro imada, siempre pueden representarse. Comparen sus repuestas con el resto del rupo unto con su pro esor discutan las razones por las cuales e isten racciones que se encuentran en un mismo punto aunque su e presi n sea di erente.

PRACTÍCALO

Actividad 2.2

1. Con base en la tabla anterior, completen el cuadro analicen el e emplo.

Número

25.46

Parte entera

Parte fraccionaria en decimal

25

0.46

Cambiando números Indique al alumno que la fracción sobre la cual debe ubicar a las demás, es la de 49 .

? in una, todas son distintas.

847.156

847

0.156

Parte fraccionaria en fracción común 46 100 156 1 000

3457.2341

3457

0.2341

2341 10 000

48.6542

48

0.6542

6542 10 000

El número se lee Veinticinco enteros con cuarenta y seis centésimos c ocientos cuarenta siete enteros con ciento cincuenta seis milésimos Tres mil cuatrocientos cincuenta y siete enteros con dos mil trescientos cuarenta un diezmilésimos Cuarenta oc o enteros con seis mil quinientos cuarenta dos diezmilésimos

22



aciendo la menor cantidad de cortes rectos en la siguiente ura, ¿c mo arían para tener ocho porciones i uales?

22


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BLOQUE 1 BLOQUE 1 1. Con base en cada ura, escribe la racci n com n que representa la parte coloreada coloreada encuentra encuentra su ubicaci n en la recta n merica.

Figura

Representación en la forma a/b

2 1 4 2

1 4

24

6 2 6 2

2


1

Verifique que los alumnos, una vez que sean capaces de dividir un entero en partes iguales, puedan ubicar cada fracción en la recta numérica.

1

6

16

1

3 4

2 4

1 3

0

4

Es importante que los alumnos comprendan que una fracción es un conjunto de partes iguales que conforman a un entero, el cual ha sido dividido.

Representación en la recta numérica

0

2

9

0

1 2

1

0

1 2

1

0

0

Proponga otras situaciones semejantes para que los alumnos, en sus cuadernos las representen sobre una recta numérica.

1

1 3

1

1 2

Qué observar

Cambiando números a) ¿C mo iciste para dividir cada recta en partes i uales? Midiendo cada recta y dividiendo entre el número de partes.

b)

plica ¿c mo ubicaste los n meros en la recta numérica?

e ubica la racci n irreducible

el denominador ubica las partes del entero el numerador señala la parte de la racci n.

12 24

30 c) epresenta en la si uiente línea, piensa c mo debes mo debes dividirla para localizar el punto. 8

1

2

3

Compruebe con estas fracciones las representaciones en la forma ba :

3

3 4

6 12

3 6

1 2

Cambiando números

Comparte con tus compañeros el procedimiento que se uiste.

23

Utilice estas fracciones para la representación de esta figura en la forma ba : 6 18

3 9

Bitácora pedagógica Cambiando números Para representar en la forma ba la figura dada, utilice las siguientes fracciones: 8 16

4 8

2 4

1 2

23


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Actividad 2.3

1. n las rectas se an señalado al unos puntos como A, B B y C. Determina a qué n mero corresponde cada punto escríbelo como n mero decimal o racci n com n. Compara tus resultados con los del rupo.

a)

Qué observar Verifique que los alumnos puedan encontrar el valor de una fracción que se ubica en una recta numérica, y que expliquen la manera en cómo llegaron a su resultado. Al final de la actividad, pida al grupo que establezca una conclusión que le permita encontrar de una manera más apropiada estas fracciones.

b) c) d) e)

0

A

1

A

1

0

A

0 0

B

A

1

B

1

A

B

B

2

C

3

2

C

3

2

C

3

2

1

B

C

2

C

3 3

1 3

B: 1

4 6

A:

1 4

B: 1

3 6 C: 2 12 12

A:

2 3

B: 1

2 3

C: 2

1 3

A:

2 4

B: 1

1 4

C: 2

3 4

A:

2 10

B: 1

6 5 C: 2 10 10

C: 2

1 2

• ¿Qué criterio utilizaste en cada inciso? Fracciones propias y mixtas. • ¿Por qué ele iste este tipo de representaci n? Por ser las más sencillas de ubicar. Comenta tus resultados rente al rupo, elaboren una conclusi n re ístrenlo en su cuaderno.

PRACTÍCALO

Actividad 2.4

1. n cada recta numérica a señalados dos n meros raccionarios, decimal o racci n com n. Determina el n mero intermedio que se debe encontrar e actamente a la mitad entre estos an talo en el lu ar correspondiente. 1 a) ambién puede ser o 0.5 1 3 2 2 0 1 2 4


b) c)

Observe qué números les cuesta más trabajo ubicar en la recta numérica, y pida al grupo que proponga más números de este tipo para que los practiquen. En caso de que ya no haya espacio para ubicar estos números en el libro, pida a los alumnos que los ubiquen en sus cuadernos de notas.

0

A:

d) e)

0 0

4

4

0.875 1

0.5 0.3

2

0.85 1

0 0

1.25

0.8 0.7

1 1

1.125 1.5

1.7

2

1.7

2 2

ambién puede ser

7 8

ambién puede ser

17 20

ambién puede ser

5 1 o1 4 4

2.3

ambién puede ser

3 1 o1 2 2

• ¿Cuál ue el procedimiento que se uiste para encontrar las respuestas? Se suman las fracciones y el resultado se divide a la mitad. • ¿ plicaste el mismo proceso para los incisos a b ? í, es el mismo. Explica tu res• ¿Consideras que es la nica orma para resolver este e ercicio? No contar encontrar la mitad de la di erencia entre las racciones puesta. ambién se puede contar

24


24


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BLOQUE 1 BLOQUE 1

PRACTÍCALO

Actividad 2.5

1. scribe el símbolo ma or que , menor que o i ual , en el recuadro de cada pare a de n meros.

a) b)

1 > 2 2 3 5 9 9 5

3 > 22 4 8 1 e) 0.25 2 4 > 3 f) 10 9 d)

c) 4.5 > 4.05

g) 45.25 > 45.075

5

h)

16 > 9 5 3

i)

4 6


0.6666

• ¿Qué di erencia a en el procedimiento para comparar dos racciones comunes con respecto a la fracciones comunes se comparan multiplicando y los decimales a partir de comparaci n de dos decimales? Las cada cifra del decimal. • ¿C mo se puede comparar una racci n com n con un decimal? presando ambas como decimal o racci n com n.

Discute tus respuestas elabora una conclusi n para comparar los distintos tipos de racciones. scríbela en tu cuaderno.

Para tener en cuenta Para comparar dos racciones es til multiplicar en orma dia onal. bserva las ec as de colores

1 2

(1)(3) = 3

2 3 (2)(2) = 4

LO QUE APRENDÍ

1 1000

a s la orma de escribir un milésimo como una racci n decimal.

Los demás alumnos observarán el criterio utilizado y, de forma respetuosa, realizarán las observaciones pertinentes. Que los alumnos establezcan más fracciones con estas características en sus cuadernos, y luego justifiquen su resultado frente al grupo.

l acerlo puedes determinar claramente el si no que les corresponde.

1. espondan lo que a continuaci n se pide.

Pida a un alumno voluntario que pase al pizarrón a resolver cada uno de los incisos.

b s la orma de escribir un centésimo como n mero decimal. 0.01 c ¿ qué potencia se debe elevar el n mero 10 para que represente el valor de una centena de millar? la potencia 105 100 000 d s la orma correcta de escribir con n mero la cantidad dos enteros con trescientos veinticinco milésimos . 2.325 e s la orma correcta de escribir con n mero la cantidad doscientos treinta dos enteros con cinco décimos . 232.5 f) ¿Qué racci n se encuentra señalada en la recta numérica?

0

impli cada .

1

3 4

¿Qué racci n se encuentra e actamente a la mitad entre las dos ec as?

0

1

2

5 6

25

Recursos y materiales Utilice el programa Geogebra (de uso libre) para realizar la ubicación de los números racionales en una recta numérica. Este software podrá descargarlo de la página: http://www.geogebra. org/cms/


25


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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 13 6 ¿ a racci n es ma or, menor o menor i ual que que ? usca en la tabla de respuestas el si no que corresponde. 7 5 menor que

2 12 ma or, menor o i) ¿ a racci n es menor i ual que que ? usca en la tabla de respuestas el si no que corresponde. 3 18 i ual que

Qué observar Enfatice que la posición de un número en comparación con otro determina si es mayor, menor o igual. Si está a la derecha, es mayor y a la izquierda, menor.

j)

epresenta en la recta numérica la cantidad 0.

k)

1

epresenta en la recta numérica la cantidad .

0 l)

1

3.4

4

0.83

1

3

2

epresenta en la recta numérica la cantidad 0.8

Cambiando números Pida al alumno que identifique en una recta numérica si las fracciones dadas son “mayor que” o “menor que”.

0.7

0

0

eri quen con su pro esor sus respuestas elaboren una conclusi n sobre la orma correcta de identi car una racci n en una recta numérica.

Desarrolla tus habilidades n equipo, encuentren dos n meros decimales que se localicen entre los que se indican. Respuesta libre

0.8

0.5 Respuesta libre

0.1


0.21 •

En la página web: http://bibliotecadigital. ilce.edu.mx/sites/ telesecundaria/ tsm01g01v01/ u02t03s02.html encontrará sugerencias didácticas para el uso de números fraccionarios.

0.2 Respuesta libre

0.22

pliquen la manera en c mo encontraron los n meros en la recta. e encuentran los n meros entre ambas racciones se seleccionan dos de ellos, cualesquiera.

USA LAS TIC Para practicar en línea la ubicaci n de racciones en la recta numérica visita la pá ina ttp www.juntadeandalucia. es averroes tml adjuntos/2007/12/05/0005/ racciones menuu1. tml

• ¿ iempre se puede encontrar un n mero entre dos decimales? Sí Justifiquen su respuesta. Porque se pueden dividir de forma infinita. • nvesti uen qué es la propiedad de densidad de los números fraccionarios y decimales y escríbanla en el espacio. iempre e iste otro racional entre dos racionales dados, lo que indica que iste otro racional entre dos racionales dados, lo que indica que este con unto de n meros racciones comunes decimales es denso .

26

Reflexión La responsabilidad colectiva juega un papel importante para que un grupo cumpla sus metas. Por lo tanto, hay que respetar su compromiso con los demás, actuar en equipo, saber escuchar las ideas del otro, etcétera.


26


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Tema

Problemas aditivos

Contenido 3

Resolución y planteamiento que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones

ACUÉRDATE DE...

Qué observar

1. n equipos de tres personas resuelvan la situaci n. art a ue al mercado compr 1 1 4 ramo de uevo.

de az car 1 1 2 4

de am n, 3 de queso a y un kilo4 1

. • ¿Cuánto pesa la bolsa que contiene los productos? 2 de am n a casa de su tía raciela, ¿cuánto pesa a ora la bolsa? • i pas a de ar todo el queso 1 1 2 3 4 .

PRACTÍCALO 1.

Actividad 3.1

ee la si uiente situaci n contesta lo que se pide. n los ue os Panamericanos realizados en uadala ara, alisco, en el 2011, se obtuvieron los cinco lu ares en salto de lon itud.

Competidor

Nacionalidad

Suslaidy Girat

Cuba

Keila Costa

Brasil

Shameka Marshall

Estados Unidos

Catherine Ibarguen

Colombia

Maggi Maurren

Brasil

• ¿Quién se llev la medalla de oro? • ¿Quién se llev la medalla de plata?

Longitud (m) 3

65 37

6 100

Desde la sección “ACUÉRDATE DE…”, propicie la participación activa de los alumnos, ya sea en forma individual o colectiva. Los problemas planteados no son ajenos a sus vidas cotidianas, por lo que podrán resolverlos sin ninguna dificultad.

73 6100 63

6100 47

650

a

En este contenido, los alumnos analizarán y resolverán cada una de las situaciones que se presentan, las cuales podrán resolver con aprendizajes obtenidos desde primaria.

i aurren ame a ars all

• ¿Quién se llev la medalla de bronce? Cat erine bar uen •

plica la manera en c mo obtuviste los anadores de las medallas. Comparando las racciones.

• ¿Qué di erencia se present entre el anador de la medalla de bronce con el anador de la meda0.31 m . Cat erine 0.31 lla de oro?_______________ _______________ Justifica tu respuesta. . a i • ¿Cuál es la di erencia entre el ltimo lu ar el anador de la medalla de plata? 0.36 •

plica c mo obtuviste tu resultado. e resta a .

de

ame a .

de elia.

• i se sumaran los saltos del pen ltimo ltimo lu ar, ¿serían i ual a la suma del se undo el priNo mer lu ar?___________ ___________ ealiza la operaci n para usti car tu respuesta. 6.6 6.37 12. ltimos 6.73 6.94 1 . Primeros dos lu ares Compara tus respuesta con el resto de tus compañeros la asesoría de tu pro esor conclu an sobre la manera correcta de c mo se realizan las sumas restas de racciones.

27


27


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Cómo enriquecer la actividad Refuerce la idea de que estas son las sumas de fracciones más sencillas, ya que en los siguientes temas, como en la suma y resta de fracciones con distinto denominador, el propósito será transformar las operaciones dadas en fracciones sencillas.

Actividad 3.2

1. esuelve los problemas de adici n sustracci n de racciones de i ual denominador. 3 1 a andra compr 4 m de list n azul, 4 m de list n verde 5 4 m de list n ro o. ¿Cuántos metros de list n compr en total?

9 4

Para tener en cuenta Cuando sumas o restas racciones con el mismo denominador, simplemente se suman o restan los numeradores y el denominador se conserva.

¿Qué operaci n tuviste que realizar para lle ar a tu resulta ar a tu resultado? Suma de fracciones. 12 4 b scar izo una bandera de 5 m de lar o drián izo su bandera de 5 m de lar o. • ¿Quién izo la bandera más lar a? Oscar

¿Por cuántos metros es más lar a? 1.6 m

• ¿Cuál ue el planteamiento que realizaste para obtener el resultado? Resta ra de obtener el mismo resultado? Si

¿

iste otra mane-

• Explica. e puede obtener aciendo un conteo trans ormando la racci n com n a n mero decimal. Compara tus resultados los planteamientos con el resto de tus compañeros con tu pro esor analicen el procedimiento más adecuado para lle ar al resultado de adiciones sustracciones de racciones con i ual denominador.

Para leer más l mínimo com n m ltiplo mcm de los denominadores es el procedimiento que más se utiliza para encontrar el denominador común.

1 , 3 , 5 2 4 3

243 2 123 2 113 3 111

El mcm es: (2)(2)(3)12

o que indica que los medios, cuartos tercios se deben convertir en doceavos

Qué observar Verifique que los alumnos comprenden la diferencia entre factores primos comunes y no comunes y que relacionen este algoritmo con el hecho de que deben multiplicar “todos” los factores, sean comunes o no.

1 en doceavos es 12 2 1 , o sea 6 12 2 9 3 en doceavos es 12 , o sea 12 4 5 en doceavos es 12 20 o sea 20 12 3

PRACTÍCALO

Actividad 3.3

1 1. Paco constru un uarda ropa para su recámara, de la madera que compr us para cajones y 2 para 3 5 la estructura. 4

• ¿Qué racci n representa la cantidad de madera que sobr ? 15 1 • i necesita 5 de la madera para construir una repisa, ¿le alcanzará con la de la madera para construir una repisa, ¿le alcanzará con la madera restante? Si

i se divide un entero en quinceavos quinceavos estos a su vez en cinco rupos, cada uno contiene

Justifica tu respuesta. 3/15 y como tiene cuatro si le alcanza. • ¿Cuánta madera le sobra? •

1 15

plica c mo obtuviste este resultado. Sobraban

4 15

menos

3 15

resta

3 15

Discute con tus compañeros las respuestas con su pro esor veri quen sus procedimientos.

28



Una jarra con leche está llena hasta la mitad de su capacidad, si se le agregan 2 litros más, llega a 34 de su capacidad. ¿Cuánta lec e le cabe a la arra?

28


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BLOQUE 1 BLOQUE 1 2. espondan • ¿Piensan que encontrar el denominador com n más pequeño de un rupo de racciones se puede . Justifiquen su respuesta. realizar de otra manera? Sí Comparando el con unto de m ltiplos de cada n mero. • i tuvieran que sumar al uno de estos rupos de racciones, ¿podrían acerlo de manera directa? Expliquen su respuesta. s posible acer la operaci n mentalmente, Sí aunque en esencia el procedimiento es el mismo. • Comenten sus respuestas con sus compañeros su pro esor. ntre todos elaboren una e plicaci n eneral an tenla. Para poder sumar o restar dos o más racciones, es conveniente e presarlas con un denominador com n, la suma e presarla de manera irreducible.

PRACTÍCALO

Actividad 3.5

1. Resuelvan lo que se les pide. • l día de su cumpleaños, upita se compr dos pizzas, una dividida en partes la otra en 8. Deci la otra en 8. Deci1 3 di compartirla con su ermana ul . i su ermana se comi 6 de la primera y 8 de la se unda, 13 11 ¿cuánta pizza se comi su ermana? , ¿cuánta pizza le qued en total a upita? 1 24 24 •

pliquen cuál ue el procedimiento que si uieron para lle ar al resultado. l dividirlo en partes i uales, el denominador es 2 sumando da 1 , como son dos pizzas, entonces sobran

35 24

11

o bien 1 24

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros veri quen sus resultados.

Para tener en cuenta Para sumar 2 21 1 83 Primero debes convertir los n meros mi tos en racciones impropias

1

3 8

(8)(1) + 3 8

11 8

2

1 2

(2)(2) + 1 2

5 2

Cómo enriquecer la actividad Verifique que los alumnos comprenden la relación que hay entre un entero y una fracción de él mismo, así como la interpretación correcta de sumar dos fracciones con denominador distinto. También es conveniente destacar que el resultado de una suma o resta de fracciones se debe expresar en su forma “irreducible”.

sí, en realidad la suma que debes resolver es

11 5 8 2

29

Bitácora pedagógica Reflexión Sobre la honestidad Si nos equivocamos al decir o hacer algo, hay que itirlo. Solo así podremos aprender de nuestros errores y no los repetiremos.

29


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Actividad 3.6

1. esuelvan los problemas. impli quen sus resultados compárenlos con los de sus compañeros. 1 1 a ulián corri 4 de il metro el primer día de entrenamiento el se undo día corri 4 de il metro 3 el tercer día corri de il metro. n total, ¿cuántos il metros corri ? 4

Qué observar

1 1 3 5 1 1 ecorri un il metro un cuarto. 4 4 4 4 4

Analice junto con el grupo cada uno de las situaciones planteadas. Pida que en equipo las resuelvan y que expongan de manera ordenada y respetuosa la manera en que abordaron cada una para llegar al resultado correcto.

3 1 b lena utiliz 4 de taza de az car para acer un pastel, lue o us 2 taza más para otra receta. ¿Qué cantidad de az car utiliz en total?

32 3 1 5 1 1 tiliz una taza un cuarto. 4 4 2 4 4

2 1 c Pablo distribu su sueldo de la si uiente orma 3 para pa ar la mensualidad de su auto 12 más para pa ar la mensualidad de una cámara oto rá ca que compr . ¿Qué racci n de su sueldo utiliz para e ectuar sus pa os?


81 2 1 9 3 tiliz tres cuartas partes de su sueldo. 12 3 12 12 4

Pida a los alumnos que propongan situaciones a las que se ha enfrentado en su vida cotidiana y donde puedan emplear una o más operaciones de sumas y restas de fracciones. Después, entre todo el grupo, analicen la forma de cómo resolver cada una de los casos planteados. Pase a un alumno al pizarrón a justificar su planteamiento y resolución de la situación a la que se ha enfrentado.

d na panadería produce 200 bolillos. urte a dos restaurantes al p blico en eneral. n restauran n restaurante compr 0 bolillos, el se undo 2 , el resto lo adquiri el p blico. ¿Qué racci n de los bolillos 5 producidos compraron los restaurantes? ste problema se puede resolver de varias maneras, una sería encontrar la cantidad de bolillos que 200 compr el se undo restaurante , 40 por 2 80 bolillos. 5 Entonces en total se consumieron 60 80 140 bolillos. 7 1 0 de 200 equivale a del total, que es la racci n que representa lo que compraron los 10 restaurantes.

30


30


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BLOQUE 1 BLOQUE 1 e l peri dico mural destin 3 de su espacio para noticias internacionales, 2 para noticias nacionales 8 8 el resto para actividades recreativas. ¿Qué parte del peri dico corresponde a estas ltimas? PERIÓDICO MURAL

Internacional

Nacional

3 8

Qué observar

• ¿Qué tipo de operaciones realizaste para resolver los problemas? Una resta • ¿Qué características tienen las racciones presentes en los problemas? Todas son propias. Comparen sus resultados con el resto del rupo con la asesoría de su pro esor veri quen que estos sean correctos.

LO QUE APRE APRENDÍ

Actividad 3.7

n equipo analicen resuelvan estas situaciones 1. n anadero tiene 120 cabezas de anado durante la época de sequía compra 1 toneladas de 2 orra e, durante la época de lluvias compra 1 1 toneladas en la época de río compra 2 1 de 8 4 tonelada. • ¿Cuánto orra e compr en total el anadero?

7

7 8

pliquen la manera en la que lle aron al resultado. Las fracciones mixtas se convierten a

•

impropias, se realiza la suma de racciones. • i las épocas de sequía río duraran más tiempo del que se prevé el anado requiere alimentarse 1 de 8 más de orra e para ambas épocas, ¿cuánto orra e se consumiría en total? 6

•

7 8

1

pliquen la manera en la que lle aron al resultado. la época de sequía se le suma 8 al i ual

Esta sección está diseñada con la finalidad de que los alumnos apliquen lo que aprendieron durante este apartado. Verifique que los alumnos desarrollen su capacidad de análisis para proponer el planteamiento correcto y las operaciones adecuadas, que planteen frente al grupo la resolución de ejercicios o problemas para que usted valore el nivel de comprensión de los alumnos.

que a la época de río, se realiza la suma de racciones.


1 2. n tinaco con a ua está lleno asta su capacidad, el primer día se consume un 3 , el se undo día 1 6 y el tercer día 2 partes. 7 5 de a ua. • ¿Qué racci n representa la cantidad de a ua que se a consumido? 10

• ¿Cuál es la operaci n que realizaron para obtener el resultado? Suma de fracciones. • ¿Qué racci n representa la cantidad de a ua que queda en el tinaco? 7 3 Se realiza una resta 1 10 10 procedimiento.

3 10

Expliquen su

Comparen sus respuestas con el resto del rupo e pon an sus planteamientos resultados a su pro esor para verificar que sean correctos.

31


Pida a los alumnos que midan la distancia entre sus brazos extendidos horizontalmente desde la punta de los dedos y después que midan su estatura. Pida que dividan la medida de la base (distancia entre sus brazos) entre la estatura. Si el resultado es aproximado a 1.618 (proporción áurea), entonces forman parte del grupo de personas cuya apariencia es más armónica a la vista. ¿Qué similitudes o diferencias encuentran entre estas medidas?, ¿ocurre lo mismo para todos los alumnos? Pida que investiguen qué es la proporción áurea.

31


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Desarrolla tus habilidades 1. Completa los cuadrados de manera que en cada ren l n, columna dia onal se obten a la misma suma. ntenta realizarlo mentalmente. Compara tus resultados con los de tus compañeros cercanos.

Cómo enriquecer la actividad Asegúrese de que los alumnos entiendan cómo formar el cuadro mágico. Observe que resuelvan sin dificultad el primer cuadrado y deje que la actividad sea resuelta en casa, ya en clase pida que le muestren los resultados y que los comprueben.

11 5

6 5

7 5

5 2

1 2

3 4

4 5

8 5

12 5

1 2

3 2

5 2

9 5

10 5

1

3 2

5 2

1 2

• ¿Cuál es la racci n que debe obtener en cada ren l n, columna dia onal del pri24 mer cuadro? 5 • ¿Cuál es la racci n que se debe obtener en el se undo recuadro?

9 2

• Explica el procedimiento que utilizaste para resolver cada uno de los recuadros. e suman las racciones dadas. Posteriormente se calcula la di erencia asta

Pida a los alumnos que propongan nuevos cuadrados mágicos, que los presenten ante el grupo y en sus cuadernos busquen la solución.

completar el resultado de la primera suma. 3 2. n tanque de as estacionario está a 4 partes de su capacidad, el primer día se consumi 1 2 anterior el día 5 de as, el día si uiente se consumieron 7 del as que qued del día anterior de o se consumi 1 de as de lo que qued . 3 • ¿Qué racci n indica la cantidad de as que contenía el tanque al nal del primer 11 día? 20 de as. 3

• Explica qué planteamiento utilizaste. 4 se le resta la racci n que se consumi 1 el primer día, o sea, 5 de 11 do es 20 de as.

Cambiando números

as al acer la resta de ambas racciones el resulta-

• ¿Qué racci n representa la cantidad de as restante del se undo día?

Intercambie la fracción de 34 por 32 , para obtener la misma suma en cada renglón, columna y diagonal.

37 140

• ¿ l planteamiento será el mismo que el propuesto en la primera pre unta? Sí • Explica Explica

ora a la cantidad de as que qued del primer día se le resta la rac2

ci n que se consumi el se undo día que es de 7 de as. • ¿Qué racci n indica la cantidad de as que se consumi durante los tres días?

86 105

• ¿Cuál es la operaci n que realizaste para encontrar el resultado? Una suma • ¿Por qué? Porque si se quiere saber cuánto as se consumi durante los tres

Qué observar Verifique que los alumnos realicen operaciones de fracciones con diferente denominador, para poder así resolver situaciones como las indicadas en esta sección.

días se suman las fracciones

1 5

1 7

1 3

.

Comparte tus resultados con el rupo unto con el profesor analicen los procedimientos que si uieron veri quen cuál de ellos ue el más e ciente.

32


32


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Tema


Contenido 4

Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.

ACUÉRDATE DE... os alumnos de un rupo de primero de secundaria están or anizando una entre a de despensas para personas necesitadas de su comunidad cada despensa contiene una bolsa de 2 de az car, un paquete con dos cada una, un paquete con sobres bolsas de ri ol de 1 cada una, un paquete con bolsas de arroz de 1 2 de elatina, un paquete con latas de at n un paquete con bolsas de pasta para sopa. l rupo consta de 0 alumnos cada dos inte rantes van a ormar una despensa. Completen la tabla respondan lo si uiente Productos

D D

P

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Frijol

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

rroz

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

39

42

45

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

52

56

60

t n

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

Sopa

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66

72

78

84

90

z car

Gelatina

Qué observar En la sección “ACUÉRDATE DE…”, los alumnos deberán identificar la lógica que lleva a la construcción de la sucesión numérica, ya que esta será importante para que más adelante puedan construir sucesiones de números o figuras con base en una regla dada.

Como abrán notado, al armar las despensas se orman series de n meros distintas para cada producto. 11 • ¿Cuántos ilo ramos de az car se utilizaron para armar 11 despensas? armar 50 despensas, ¿c mo calcularían la cantidad de az car que se necesitaría?

. Si tuvieran que

i se utiliza 1 ilo ramo por despensa, entonces serían 0 ilo ramos. • i el ilo ramo de ri ol tiene un precio de 18.00, ¿cuánto dinero se ast en bolsas de ri ol para 1 despensas? 8.00 , ¿cuánto dinero se tendría que invertir para armar, 1 , 1 18 despensas si cada paquete cuesta lo mismo que el ri ol? 18.00 pliquen c mo lle aron al resultado. e multiplica cada despensa por 18.00 se suman los productos. se suman los productos.

• ¿C mo obtendrían la cantidad de elatina, at n pasta para sopa necesarias para armar 20 despensas? Cada despensa tiene elatinas, latas de at n paquetes de pasta. Cada cantidad se multiplica por 20 despensas .

33


Cómo enriquecer la actividad Pida a algún alumno que describa los conocimientos y habilidades que se pretenden desarrollar en este tema a partir de la situación planteada en la sección “ACUÉRDATE DE…” Observe la manera en que encuentran los valores para llenar la tabla propuesta. Pida que expliquen con claridad la forma en que obtuvieron los resultados para completarla.

33


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1.

bserven la sucesi n de los primeros 1 n meros pares contesten las pre untas.

SUCESIÓN:

Desde la actividad previa, es importante darle al grupo tiempo para que observe la regularidad con se obtienen las sucesiones. Permita que inicialmente establezcan reglas sencillas y pídales que observen con qué número inicia la sucesión y cuántas unidades va aumentando cada número siguiente.

Actividad 4.1

LUGAR:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7,

8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

a ¿Cuál es el término de la secuencia que ocupa el cuarto lu ar? 8 b ¿Cuál ocupa el décimo lu ar? 20 c ¿Cuál ocupa el décimo quinto lu ar? 30 d ¿Cuál es el término que ocupa el lu ar n mero 20 en la secuencia? 40 e ¿Qué lu ar ocupa el término 00 de la secuencia? 1000 ¿Qué di erencia constante encuentras entre cada término su consecutivo? a di erencia entre cada término es dos. Discutan sus respuestas con las del resto del rupo. bten an un enunciado sobre la re la de sucesi n. n tenla.

Pre unte ¿Qué relación encuentran entre los elementos de la regla y de la sucesi n?

l primer término es 2 para obtener el consecutivo se suman 2. para obtener el consecutivo se suman

Para tener en cuenta De la tabla de la actividad elatina

cuérdate de... utilizaremos la secuencia de la

, 8, 12, 1 , 20, 2 , 28, 2,

Qué observar Lo más importante es que los alumnos logren establecer la diferencia entre los elementos consecutivos de la sucesión para determinar si es creciente o decreciente. Además, hallar cualquier valor de la sucesión dado el lugar en que se encuentran sus elementos. Constate que les resulte clara la relación de suma y de resta con referencia al elemento antecesor de las sucesiones.

, 0

uan obtuvo la secuencia así

4 4

4 8

4 12

4 16

20

Paola la encontr de la si uiente manera

4 4

4 8

4 12

4 16

20

Perla opt por esta opci n

42 2

43 8

12

44 45 16

20

Como observaste se presentaron tres ormas di erentes de obtener una secuencia. s decir, mediante una suma, una resta una multiplicaci n. ¿ e podrá obtener una secuencia mediante una divisi n? Si

34


Permita que los alumnos comenten y analicen para que descubran la mejor estrategia. Si no lo logran, realice las observaciones pertinentes.

34


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BLOQUE 1 BLOQUE 1

PRACTÍCALO

Actividad 4.2

1. n cada secuencia encuentren los si uientes tres términos.

2.

a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 1 , 1 , 1

c) 17, 15, 13, 11, 9, , ,

b) 1, 4, 7, 10, 13, 16, 1 , 22, 2

d) 3.5, 6, 8.5, 11, 13.5, 1 , 18. , 21

pliquen qué re la utilizaron para resolver cada inciso. n cada inciso se calcul la di erencia entre términos consecutivos.

Para leer más l valor numérico de una expresión algebraica se obtiene sustituyendo cada letra por un valor determinado resolviendo las operaciones. bserva ncontremos el valor numérico de la e presi n n – 4 sustituyendo en n los valores 1, 2, . Para el 1 queda 1 0 Para el 2 queda 2 8 Para el queda

12 8

Para el queda

1 12

Expresión algebraica. Combinaci n de n meros letras li adas por operaciones como suma, resta, multiplicaci n, divisi n, potencia, etcétera.

PRACTÍCALO

Actividad 4.3

1. n errero constru e una vi a en el tec o de una vivienda en orma trian ular, el primer trián ulo tiene tres vi as seis remac es, para construir los si uientes a re a dos vi as cuatro remac es. i la vi a requiere cinco trián ulos


• ¿Cuál es la sucesi n que representa el n mero de vi as por cada trián ulo? , , , , 11...

• ¿Cuál es la sucesi n que representa el n mero de remac es por cada trián ulo? , 10, 1 , 18, 22...

• ¿Qué relaci n se presenta entre el n mero de vi as remac es con el n mero de trián ulos? l término que corresponde a cada sucesi n es equivalente al n mero de trián ulos que se orman en la vi a. • ¿Qué relaci n a entre el n mero de remac es el n mero de vi as? l n mero de remac es es el doble que el n mero de vi as. •

pliquen la manera en c mo encontraron las sucesiones. Con la a uda de una representaci n esquemática se pueden encontrar el n mero de vi as el de remac el de es.

35


Pida a los alumnos que realicen una representación esquemática de esta situación, con la finalidad de que les quede claro cómo es que se forma la sucesión. Pida a uno de los equipos que pase a exponer la estrategia que llevaron a cabo para obtener las respuestas a las preguntas realizadas. Destaque la importancia de indicar la correspondencia entre la sucesión, su representación esquemática y la expresión algebraica que contiene.

35


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PRACTÍCALO PRACT PRA CTÍC CT ÍCALO ÍCALO 1.

Actividad 4.4

bserva las secuencias de puntos, orma las tres tos de cada una.

uras anota entre paréntesis el n mero de pun-

a)

Cómo enriquecer la actividad Inicie esta actividad en el salón y observe que su resolución no presente mayor dificultad para los alumnos. Si así resulta, déjela de tarea; cuando resuelvan en el pizarrón cada uno de los incisos, pida que argumenten sus respuestas.

(1)

(3)

(6)

( 10 )

( 15 )

( 21 )

( 1 )

( 4 )

( 9 )

( 16 )

( 25 )

( 36 )

( 2 )

( 6 )

( 12 )

( 20 )

( 30 )

( 42 )

( 5 )

( 9 )

( 13 )

( 17 )

( 21 )

( 25 )

b)

c)

d)

2. Compara con un compañero tu procedimiento. • ¿Qué e presi n matemática les permitiría obtener las sucesiones de una manera más ácil? y 4x 1 Justifiquen su respuesta. a di erencia entre términos sucesivos es cuatro, si se suma 1 se obtiene la secuencia dada.

Recursos y materiales En la página de Red Escolar, encontrará actividades con sucesiones numéricas:

• ¿Qué venta as tiene reconocer la re la correspondiente a una secuencia? Que permite conocer cualquier término de la secuencia. Con la asesoría de tu pro esor obtén una conclusi n acerca de la manera correcta de plantear resolver una sucesi n aritmética o eométrica.

Para leer más n ran matemático que cre una de las sucesiones más amosas ue ibonacci eonardo de Pisa . nvesti a, lee conoce acerca de esta sucesi n la relaci n que tiene con el cuerpo umano, el nacimiento de los cone os la naturaleza. a sucesi n es sencilla. Para obtener cada término simplemente se le suma el término anterior, observa 1, 1, 2, , , 8, 1 , 21, , ...

http://redescolar.ilce. edu.mx/redescolar/act_ permanentes/mate/ lugares/mate2o.htm 36


36


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BLOQUE 1 BLOQUE 1

LO QUE APRENDÍ 1. Completa la tabla.

Imagen de la sucesión

Cantidad de unidades de las siguientes dos figuras:

10

y

13

cuadros

7

y

9

cuadros

17

y

21

puntos

Valor del vigésimo término

Explica la regla de la sucesión Se suma un cuadro en ambos extremos y uno en la parte superior.

e suma un cuadro a la derec a uno acia arriba.

Para construir cada pentá ono se a re an cuatro vértices.

Verifique que el alumno comprendió la manera de obtener una sucesión a partir de figuras geométricas donde entran en juego varios elementos, como los vértices, los enteros, las líneas, etcétera.

58

39

81

Desarrolla tus habilidades n pare as observen las si uientes sucesiones encuentren la re la para cada una de ellas. ucesi n

USA LAS TIC Para conocer al unas curiosidades acerca de la sucesi n de ibonacci, visita la pá ina ttp . redescolar.ilce.edu.mx/ educontinua mate ima ina mate q. tm para que conozcas más acerca de las sucesiones, series y secuencias matemáticas, visita la pá ina electr nica ttp . disfrutalasmatematicas.com/ al ebra sucesiones series. tml.

Qué observar

e la

8, 1 , 18, 2 , 28,

Se suman cinco.

0, , , , 12,

Se suman tres.

1, , , 1 , 2 ,

Es el cuadrado de los naturales.

1, 1. , 2, 2. , ,

Se suman 0.5.

2, , 12, 20, 0,

Se suma la diferencia anterior más 2.

• ¿C mo calcularían el término n mero 20 de la primera sucesi n? e uir sumando asta el término 20.

Compruebe que los alumnos sean capaces de encontrar el enésimo valor de una sucesión. En caso contrario, pida al alumno que proponga situaciones para que se trabajen como tarea. En la clase siguiente entre todo el grupo, analicen las respuestas y realicen una conclusión para encontrar el enésimo valor.

• Calculen el término 0 de la ltima sucesi n. 2550 • ¿Qué icieron para comprobar sus resultados? Usando la calculadora. • ¿Cuántas operaciones tuvieron que realizar en cada inciso para encontrar el orden de las sucesiones? Respuesta abierta. • ¿Consideran que e ista otro método para resolver la actividad? Sí • Justifiquen su respuesta. Quizás por medio de una rmula.

37


Curiosidades, acertijos y más Las sucesiones de Fibonacci también pueden observarse en la naturaleza, ya sea en la reproducción de las plantas, en los patrones de crecimiento de las ramas de los árboles o en la distribución de las hojas de una alcachofa.

37


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Qué observar Lo importante en este tema es lograr que los alumnos entiendan que hay formas generales de representar un número; apoyándose en figuras geométricas les resultará más sencillo, puesto que desde tercer grado de primaria los alumnos han utilizado fórmulas geométricas en las que hacen sustituciones.

Eje temático


Tema


Contenido 5

Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar.

ACUÉRDATE DE... a rmula para calcular el área de un trián ulo es b h)) . 2 , b, ¿Qué representa cada una de ellas? • ndiquen ¿cuáles son las literales?

Variables

Si

calculan el área de dos trián ulos con medidas distintas, ¿qué valores de la rmula cambian cuáles permanecen i uales? Cambia el valor de , b , permanece i ual el 2. • ¿C mo se le nombra al valor que no cambia en una rmula? Constante

PRACTÍCALO Poligonal. Línea formada por se mentos rectos consecutivos no alineados, es abierta cuando no delimita una super cie en caso contrario, se le conoce como poli onal cerrada polí ono .

1.

Equilátero. Polí ono que tiene sus lados i uales.

Actividad 5.1

bserven la si uiente poligonal abierta. a Comenten c mo obtendrían la lon itud total de la línea. b i la lon itud es , e presen con una rmula esta situaci n. L a b c d c os lados de un trián ulo equilátero miden cm, cm cm. scriban dos maneras diferentes que les permitan calcular el perímetro de la ura. Sumar 4 4 4 o multiplicar 4 3.

Qué observar

a

Observe que al presentar la fórmula los alumnos indiquen a qué corresponden; tenga presente que lo importante no es la fórmula, sino la identificación de las variables y las constantes.

b

d c d

pliquen la orma en c mo obtuvieron la rmula de la

ura.

Se suman todos sus lados. e ¿Qué representan las letras a, b, c, d? a lon itud de cada se mento.

38


38


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BLOQUE 1 BLOQUE 1

Para tener en cuenta l n mero que se escribe a la izquierda de una literal se llama coe ciente su unci n es multiplicar el valor de dic a literal, observa

x + x + x x tres por equis

2x + 3x + 4x x nueve por equis

os coe cientes son el 2, , , la literal o variable en ambas e presiones es x.

PRACTÍCALO

Actividad 5.2

Qué observar 1.

naliza responde las pre untas para cada una de estas situaciones.

Es importante indicar a los alumnos que una variable es cualquier letra, y esta puede encontrase en diferentes fórmulas matemáticas, físicas o químicas.

a Para construir un cuadrado se utiliz la letra m para representar la medida de uno de sus lados, ¿Qué e presi n repre¿de qué manera es posible representar su perímetro? 4 m senta su área? m2 ¿C mo lle aste a estas conclusiones? Contando sus unidades. • ¿Consideras que es posible expresar tus resultados de otra manera? Explica tu respuesta. partir de una rmula.

Sí

b bserva los trián ulos responde

Destaque la diferencia entre las unidades lineales (perímetro) y las unidades cuadradas (área o superficie). b

h

a

a

b c


d

h

h

a

Equilátero

a

a

s sceles

Comente las características y clasificación de los triángulos según sus lados y sus ángulos.

Escaleno

Destaque la relación entre ellos y las características que tienen en común que permiten el cálculo del perímetro y el área.

• ¿ s posible calcular el perímetro de los tres trián ulos de la misma manera? Sí ¿Por qué? Porque el perímetro es i ual a la suma de los lados de una ura.

• ¿ l área de los tres trián ulos se puede calcular de la misma orma? Sí bh respuesta. Porque se utiliza la misma rmula 2 .

Explica tu

Reflexión 39


Sobre la perseverancia Perseverar significa ser constante y firme en todo lo que se quiere y en los buenos hábitos. Para lograr las metas o cambios positivos que una persona se propone, es necesario ser perseverante. Las matemáticas requieren disciplina, pero sobre todo perseverancia.

39


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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 • ¿Cuál es la e presi n que representa el perímetro del trián ulo equilátero? P 3 3a a la del is sceles? P a 2b

Pacd

Qué observar

c ¿Cuántas medidas se requieren para poder calcular el área el perímetro de un rectán ulo? Dos ¿Cuáles son? Base y altura. , asi na una letra que represente el valor de cada una de ellas escribe la e presi n que representa el perímetro P 2 ¿Cuál es la e pre 2 a b)) si n que representa el área? ab ¿C mo puedes comprobar que tus respuestas son correctas? si nando cualquier valor a las variables.

En adelante, varias expresiones estarán compuestas por diferentes variables que se utilizan para indicar la magnitud de un objeto o figura.

Describe el procedimiento que empleaste para encontrar las rmulas. Para el perímetro se suman dos de sus lados y se multiplica por dos; para el área solo se multiplican ambos lados.

a a én asis en las diferentes expresiones que existen en matemáticas y pida a los alumnos que indiquen cuáles son las variables y cuáles son las constantes.

d De las si uientes

uras ¿cuál es la e presi n para calcular su perímetro?

s a

a m

m b

P = 2m s b


•

Pida a los alumnos que en diferentes figuras geométricas propongan las letras que ellos quieran y de esta forma encuentren la expresión algebraica del perímetro y el área de las figuras sugeridas.

b c

b

Revise los resultados y obtengan una conclusión grupal para determinarlas.

, ¿yy , ¿

¿Cuál es la e presi n para el trián ulo escaleno?

P = 2 a b) c

plica cuál ue el procedimiento que utilizaste para determinar la rmula del perímetro del se le suman los lados desi uales. trapecio. os dos lados i uales se multiplican por 2 se le suman los lados desi

• ¿C mo determinaste la rmula del perímetro del pentá ono irre ular? Se multiplica por dos a y b b porque son i porque son i uales se le suma c. • ¿Consideras que las e presiones al ebraicas que planteaste están en su orma más simple? Justifica tu respuesta. í, porque son uras irre ulares, en caso de que ueran Sí re ulares las rmulas serán distintas.

Compara tus resultados procedimientos con tus demás compañeros analiza si a di erencias. Con la asesoría de tu pro esor obten an una conclusi n sobre las e presiones al ebraicas para calcular el perímetro el área de una ura eométrica.

40


40


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BLOQUE 1 BLOQUE 1

PRACTÍCALO

Actividad 5.3

1. Don rancisco compr cuatro terrenos de las ormas que se muestran en el cuadro. scriban la e presi n al ebraica que corresponde para calcular el perímetro, sustitu an por los valores encuentren el resultado.

Expresión algebraica

A

Pabc

a 3.61

B

c3

C

Destaque la relación que hay con el valor numérico de una expresión algebraica, así como el uso correcto de la jerarquía de operaciones y la manera correcta de realizar la sustitución de los datos numéricos en las variables que les corresponden.

P 2 a b)

a 3.61

P 2 . 1 4) a 3.61

A

P 3.61 5.83 3 P 12.44

b4

B

Revise que los alumnos realicen los cálculos apropiados para encontrar lo que se les indica.

Pabc

C b 5.4

Qué observar

Perímetro

b4

D

a4

a4

B

P 2 . 1 P 15.22

D

b6

A

P 2 a b)

P 2a 2b

P 2a 2b

2

P 8 + 12 P 20

C

b6

P 2

F e2 E d2.12

P a 2b 2c 2d e

d2.12

G

D

c2

c2

H

C

b1.41

b1.41

A

a3

P a 2b 2c 2d e

P 3 2 1. 1 2 2 2 2.12 2 P 3 2.81 4 4.24 2 P 16.05

B

• Describan el procedimiento que utilizaron aclaren si ue i ual o no para todas las í, se sumaron el valor de los lados de las uras.


uras.

• ¿C mo obtuvieron la e presi n al ebraica para el octá ono irre ular?

rupando términos.

• ¿Consideran que es me or utilizar las mismas variables en todas las distintas? Respuesta abierta.

uras o es pre erible usar

• Justifiquen su respuesta. Respuesta abierta. • Comparen sus respuestas con el rupo con a uda del pro esor elaboren una conclusi n eneral. n tenla. Respuesta abierta.

Solicite a sus alumnos que propongan el valor numérico de las variables de una expresión algébrica, y realicen las operaciones para su resolución.

41


41


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Actividad 5.4

1. Don am n tiene un terreno lo reparti entre sus cuatro i os. Para ello, don am n lo dividi de la si uiente orma.

Qué observar

a

Realice el análisis con los alumnos de una situación como esta, y permita que argumenten la manera en que la abordarían.

b a b a

a


a

a

b

Es recomendable que, durante la clase, les muestre físicamente un tangram y comparen las superficies del triángulo mediano, el romboide y el cuadrado con ayuda de los triángulos más pequeños, así como lanalizar la relación de las medidas de los lados de cada figura.

a

a

b

c

l primer i o le dio un terreno en forma cuadran ular, al se undo uno de orma de romboide, el tercero recibi el terreno trianular más rande al ltimo los dos terrenos c icos de orma trian ular.

b

• ¿Cuál es el perímetro que tiene el terreno que le dio a su primer i o? P 4a 2 a b)) • ¿Cuál es el perímetro del terreno del se undo i o? P 2 • ¿Quién de los cuatro recibe un terreno de ma or perímetro? El último Expliquen. Porque la suma del perímetro de ambos terrenos es mayor que el perímetro de cada terreno de los tres ermanos. • ¿Consideran que don am n reparti el terreno de manera equitativa para sus i os?Si ¿Por qué? Independiente del perímetro todos tienen la misma superficie. • ¿Cuál ue el procedimiento que si uieron para conocer el perímetro del terreno del primero de sus i os? e multiplic uno de sus lados por cuatro. • ¿ para el ltimo de sus i os? e calcul el perímetro de un terreno se multiplic por dos. • ¿Quién de los i os tendrá ma or super cie de terreno? in uno Todos los terrenos tienen la misma superficie.

Reflexión

Justifiquen su respuesta.

Compartan sus respuestas con las de sus compañeros con la asesoría del profesor establezcan otras situaciones en las cuales puedan acer el cálculo del perímetro de una super cie.

Sobre la identificación Es bueno identificarse con aquellas personas con quienes pueden expresarse libremente, intercambiar ideas y conocimientos y compartir emociones e ideales que les ayuden a ser mejor personas. Al analizar un problema matemático en equipo, estas condiciones son fundamentales para la colaboración armoniosa.

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42


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BLOQUE 1 BLOQUE 1

Verifique que los alumnos sean capaces de expresar a través de una expresión algebraica lo que corresponde al perímetro de una figura dada.

LO QUE APRENDÍ 1. ne con una línea de color di erente cada ura con la e presi n al ebraica que le corresponde, la condici n es que las líneas no se pueden cruzar. x

w

z

y

y x

5x

z

w

y

x

x y

y

4x

2x 4y

x

x

y x

y

x


2x 2y

y x

2x y x

x

x

x

x

x

2w 2x y 2z

x x

• i en el e á ono el valor de 1 el valor de , ¿d nde sería más ácil sustituir los datos para encontrar el perímetro, en la ura o en la e presi n al ebraica? n la e presi n Justifica tu respuesta. Porque a í podemos realizar las operaciones que se indican. • ¿ ería el mismo caso para calcular el perímetro de cualquier ura? Sí • ¿De cuántas maneras distintas podrías calcular el perímetro del romboide? Dos umando cada lado o aplicando la e presi n al ebraica.

Descríbelas

Desarrolla tus habilidades 1. l papá de uan compr un terreno de orma irre ular. in embar o, quiere conocer el área. • ¿Cuál es la medida del área del terreno e presada en m2? 115 m2 Explica el procedimiento que utilizaste. Se calcula el área de orma independiente lue o ambas se suman. • ¿C mo puedes representar el área de la ura si nada más consideras las literales como datos? usti ca tu respuesta. bh c2 total 2

a = 5m

e suman las áreas de acuerdo a su representaci n al ebraica.

c = 10m

ura en la suma total de las e presiones al ebraicas.

Compara tus resultados con tus compañeros con la a uda de tu pro esor conclu e sobre ¿Cuál es la orma más adecuada para calcular el área de una super cie irre ular? ¿cuál es la orma correcta de expresar esta cantidad utilizando solo literales?

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Utilice el programa Geogebra (de uso libre) para realizar la construcción de figuras geométricas regulares e irregulares, que facilitarán su quehacer docente. La página de donde podrá descargarlo es: http://www.geogebra. org/cms/

• ¿C mo puedes comprobar que tu e presi n es la correcta? l sustituir los valores de la

Pida a los alumnos proponer en sus cuadernos diversas figuras geométricas irregulares y que establezcan las variables que deseen. Revise en el salón de clases las expresiones realizadas por ellos.


Compara tus resultados con el rupo veri ca tus respuestas.

b = 6m

Qué observar

Curiosidades, acertijos y más En el siglo XVI un avance importante en el álgebra fue la introducción de símbolos para las incógnitas (literales), las operaciones y potencias algebraicas. Por esta razón, el tercer libro de geometría escrito por el matemático francés Rene Descartes es muy similar a un texto moderno de álgebra.

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Cómo enriquecer la actividad Dé tiempo al grupo para desarrollar la actividad que se presenta en esta sección, propicie que los diversos equipos participen y argumenten sus planteamientos, así como que sugieran algunas medidas que se puedan trazar en el cuaderno y tracen los trián ulos. Que obtengan conclusiones acerca de ¿con cualquier medida de los lados se puede trazar un trián ulo? ¿Qué medidas de lados se requieren para trazarlos? ¿ curre lo mismo con los ángulos internos?

Eje temático


Tema

Figuras y cuerpos

Contenido 6

Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso del juego de geometría

ACUÉRDATE DE...

En cursos anteriores estudiaron los trián ulos sus características. n equipo, planteen al una situaci n como la si uiente Con orme a las medidas de se mentos, consideren si se puede trazar un trián ulo en caso contrario, ar umenten por qué no se puede .

Para tener en cuenta 1. s posible construir un trián ulo si cuentas con

Adyacente. Que se encuentra a un lado, junto, consecutivo, indica que comparte un vértice y un lado con otro.

a us tres lados si la suma de 2 lados es ma or que el tercer lado o si la diferencia de los lados es menor que el tercer lado). b Dos de sus lados el án ulo que orman. c n lado los án ulos adyacentes a él. Actividad 6.1

PRACTÍCALO 1. Describe deba o de cada ima en la acci n mostrada.

A B C

B C

C

A

A B C

Qué observar Esta actividad está diseñada para que el alumno observe, analice, interprete, concluya y explique una secuencia de imágenes que muestran un procedimiento, fomente el análisis y formule preguntas que ayuden al alumno a obtener las conclusiones adecuadas para resolver correctamente las actividades.

e mide el se mento C.

e reproduce el se mento C.

B C A

e toma la distancia del se mento C con el compás.

B A C

A

C

po ándose en C, se traza un arco Se repite el procedimiento de circunferencia. apo ándose en el punto .

C

A

e unen los e tremos C con el punto de intersecci n el cual será el punto B.

Compara con el resto del rupo tus respuestas veri quen con su pro esor que sean correctas.

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Bitácora pedagógica Cambiando números Pida a sus alumnos que consideren la medida de la distancia del segmento BC para que realicen los trazos de la actividad descrita en su cuaderno.

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BLOQUE 1 BLOQUE 1

PRACTÍCALO

Actividad 6.2

1. ealicen cada una de las construcciones que se indican , en los casos que se requiera, contesten o completen lo que se pide. Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. a Constru an un trián ulo con los si uientes se mentos de recta las letras i uales indican un vértice común). C

A B C

B C A

B

b Comparen su construcci n con las de sus compañeros. ¿ ormaron o, porque el se mento base es

uras di erentes?

pliquen.

el se mento C es más rande a partir del punto , el se -

mento C se a re a desde el punto . c ¿Qué pueden comentar acerca de sus lados sus án ulos? Que son di erentes.

Cómo enriquecer la actividad Proponga a los alumnos, nuevos segmentos y que tracen en su cuaderno los triángulos posibles que se pueden formar. Pida que justifique que triángulos se formaron y en qué casos no fue posible.

d Con esos tres se mentos, ¿cuántos trián ulos di erentes se orman? n solo trián ulo. e Por las medidas de sus lados, ¿de qué clase de trián ulo se trata?

Qué observar

De un trián ulo escaleno. Comparen sus respuestas con las de sus compañeros analicen con su pro esor si los trián ulos se ormaron correctamente. 2. Constru an en este espacio un trián ulo escaleno cu os lados midan 8 cm, cm cm.

C

7 cm

4 cm

8 cm

B

Para leer más os lados correspondientes de las uras son aquellos que tienen la misma posici n en dic as uras uardan la misma relaci n con los demás elementos.

En este ciclo se espera que los alumnos adquieran las habilidades necesarias para fortalecer los movimientos de precisión al utilizar instrumentos de geometría para la construcción de figuras específicas. Observe que los alumnos utilicen cada instrumento especialmente para lo que fue diseñado, considerando al compás como el instrumento más exacto en el trazo de segmentos iguales.

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Curiosidades, acertijos y más La base es el lado en el que aparentemente el triángulo descansa con respecto a la horizontal, por lo tanto, depende de su posición para determinar el lado base.

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 a Comparen su construcci n con las de sus compañeros. Escriban sus observaciones. Respuesta abierta b) ¿ a un trián ulo di erente cu os lados ten an esas mismas medidas?

pliquen.

No

Cómo enriquecer la actividad Es recomendable que los alumnos que fueron más eficientes al trazar, expongan ante el grupo sus técnicas de construcción. Solicíteles que calquen y recorten sus figuras para que mediante superposición, de manera rápida verifiquen la exactitud de los demás alumnos en el trazo.

c) ¿C mo son entre sí todos los trián ulos cu os lados midan 8 cm, cm cm? Con ruentes d) ¿C mo son entre sí todos los trián ulos que ten an sus lados correspondientes de la misma medida? Con ruentes e) Comparen sus respuestas con otras pare as. . Con los si uientes se mentos, constru an un trián ulo cu os vértices sean P, Q . P

P P Q

Q R R

R

Q a i PQ P , se trata de un trián ulo s celes b) Comparen su

ura con las de sus compañeros. ¿Qué observan? odos son i uales.

c) Con estos tres se mentos de recta, ¿cuántos trián ulos se pueden ormar? Uno . partir de los si uientes se mentos, constru an un trián ulo

M M


Induzca a sus alumnos a utilizar el lenguaje propio de la geometría, así como acostúmbrelos a utilizar siempre la notación correspondiente.

N P

M a Comparen su construcci n con las de sus compañeros.

Analice cada construcción: las que resulten congruentes con las medidas dadas y las que tengan diversidad de respuestas. a a que los alumnos establezcan diversas conjeturas y que lleguen a conclusiones.

es un vértice

N

P

b ¿ ubo al unos trián ulos di erentes? Sí c ¿Cuántos trián ulos se pueden ormar a partir de estos dos se mentos? uc os Justifiquen su respuesta. o está de nido el trián ulo. d Comparen sus respuestas con las del rupo con a uda del pro esor re istren una conclusi n. Respuesta abierta

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BLOQUE 1 Qué observar BLOQUE 1 . l se mento

es la base del trián ulo los án ulos de sus e tremos ad acentes . Constru an el trián ulo. C

A

Ábrales la posibilidad de no solo medir los ángulos con el transportador. Tal vez requieran de algún ejemplo para reproducir un ángulo igual a otro utilizando nada más regla y compás.

B

B

A

Que los alumnos utilicen de manera correcta sus instrumentos de geometría.

B a) noten sus observaciones comenten. Conociendo un lado los án ulos de sus e tremos es posible construir un trián tremos es posible construir un trián ulo nico .


. Dados dos lados el án ulo entre ellos, orma un trián ulo.

A A

B

Cuestione a los alumnos acerca de cómo reproducirían un ángulo igual a otro si no cuentan con transportador.

C

C

A

B

Reflexión

a Comparen su construcci n con las de tus compañeros. noten sus comentarios. esultaron i uales

b i se les proporcionan las medidas de dos de los lados de un trián ulo el án ulo que orman, ¿podrán construir un trián ulo? Sí c ¿C mo son entre si dos trián ulos que tienen, respectivamente, dos lados i uales el án ulo que orman? Con ruentes

d Comparen sus resultados con los del rupo re istren una conclusi n. Respuesta abierta

Es necesario tener presente la importancia de la socialización del conocimiento a través de la exposición de los alumnos. En ocasiones conviene hacer participar al alumno que tiene menos habilidad, eso le dará confianza y elevará su autoestima.

Reflexión Sobre la creatividad y el estudio 47


El extraordinario físico Albert Einstein, quien revolucionó la física clásica el siglo pasado, afirmó: “Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber”. Pida a los alumnos reflexionar y mencionar algunos casos en los cuales esta frase puede aplicarse.

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Alturas del triángulo a altura de un trián ulo es la perpendicular trazada desde un lado al vértice opuesto.

Luego de que los alumnos analicen el recuadro, solicíteles que en cada uno de los triángulos hechos hasta ahora tracen las tres alturas. Observe que las tracen correctamente y que identifiquen con claridad el lado que están considerando como base.

h

h

h h

h h

C . Con los si uientes elementos constru an un trián ulo.

D

C

B

a ¿Cuál es la medida de la base? AB 2.7 cm

b Comparen su

ura con las de sus compañeros anoten sus observaciones.

Respuesta abierta

Cómo enriquecer la actividad Plantear preguntas al rupo, como ¿qué hubiera sucedido si se toma como base al se mento C?, ¿sería este triángulo idéntico al primero?, ¿por qué?

c ¿C mo resultaron todos los trián ulos? Respuesta abierta

Comparen sus respuestas con el rupo establezcan conclusiones con su pro esor. scríbanlas en su cuaderno.

PRACTÍCALO

Actividad 6.3

1. labora cada una de las si uientes construcciones az lo que se pide. Compara tus trazos tus respuestas con las del rupo. a eproduce los trián ulos que orman cada cuadrilátero.

ura. Con los cuatro trián ulos de cada una, orma un

Cómo enriquecer la actividad Platique sobre la posible diversidad de figuras que se obtienen, justificando las respuestas de manera no axiomática. Explíquelo mediante ejemplos.

b bserva el traba o de tus compañeros. ¿Coincidieron en cada caso las respuestas? Respuesta abierta c ¿Cuántos cuadriláteros di erentes se obtuvieron en cada caso? Respuesta abierta d De ellos, ¿cuáles son paralelo ramos? Comenta. Respuesta abierta

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BLOQUE 1 BLOQUE 1


e ¿Qué características tienen en com n los cuadriláteros ormados? Respuesta abierta f) ¿Qué nombre reciben los cuadriláteros que tienen las características que señalaste en la pre unta anterior? Respuesta abierta 2. a dia onal de un cuadrado mide 8. cm. Constru e el cuadrado correspondiente. D C

8.5 cm

8.5 cm

B

a ¿C mo son entre sí las medidas de las dia onales de un cuadrado? uales b) ¿Qué án ulo orman entre sí las dia onales del cuadrado? Recto de 90 c) ¿ n qué punto se cortan las dia onales del cuadrado? n los vértices, en su punto medio.

Permita que los alumnos expliquen frente a grupo el ejercicio 2. Pida que de forma respetuosa realicen nuevas preguntas, no solo las que se plantean en el libro, permita que ahonden en el análisis de cada caso. Se espera que deduzcan las propiedades a partir del razonamiento lógico.

. os lados de un rectán ulo miden . cm, respectivamente. Constru e el rectán ulo. D C

Qué observar 3 cm

a

bserva la

B 5.5 cm ura. nota dos características de los lados opuestos del rectán ulo.

uales paralelos. b ¿C mo son entre sí los án ulos del rectán ulo? uales los cuatro án ulos. c ¿Cuánto mide cada uno de los án ulos de un rectán ulo? 90 d i trazas las dia onales, ¿qué puedes comentar en relaci n con los án ulos que se orman? uales 2 a 2. e

rmaci n as dia onales de un rectán ulo se cortan en su punto medio . Discute este enunciado con tus compañeros anota una conclusi n que lo usti que.

Otra de las figuras que el alumno identifica de primera intención es el rectángulo. Permita que los alumnos resuelvan libremente estas actividades observando las formas de ejecución de las construcciones y las respuestas de las preguntas propuestas.

Respuesta abierta

. a dia onal el lado ma or de un rectán ulo orman un án ulo de 0 . Constru e el rectán ulo cu o lado mayor mide 8 centímetros.

49


Curiosidades, acertijos y más Siempre que sea posible, proponga algún acertijo o actividad recreativa con los conocimientos estudiados, como por ejemplo: en la figura, el área del cuadrado es menor a 4 cm2. ¿Qué área tiene el cuadrado ma or?

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 a ¿Cuánto mide el án ulo que se orma entre la dia onal el lado menor? 60 4.6 cm aproximadamente.

b ¿Cuánto mide el lado menor del rectán ulo?

c Comenta brevemente el procedimiento que se uiste para construir el rectán ulo solicitado. ormar el án ulo de 0 levantar una perpendicular asta cortar la dia onal completar con las paralelas.

LO QUE APRENDÍ 1. as instrucciones de esta actividad están dadas en orma de mensa e secreto, desci ren cada mensa e para conocer su contenido y realicen lo que se les pide.

Qué observar

o n— s tr— u y— e u— n t— r iá— n — u l— o c— o n l— o s s— i — u i— e nt— e s s— e — me— n t— o s d— e r— e c— t a. a C— C D

Permita que los alumnos apliquen los conocimientos que adquirieron en este contenido para poder realizar esta actividad.

A

B

B

C

C

C

A

B i b— u j— a u— n c— u a— d r— a d— o s— i — s u d— i a—o— n a— l m— i d— e 4.5 u— n i— d a— d e— s. b) D—

d . cm

B • Describe el procedimiento que empleaste para trazar las uras de a b . e traza un án ulo de 0 después se traza la dia onal de . cm, posteriormente se levantan líneas paralelas asta el punto de la dia onal. • n caso de no contar con el equipo de eometría, ¿c mo realizarías la actividad? Respuesta abierta

Verifique que los conocimientos adquiridos fueron aplicados de forma correcta; en caso contrario, permita a los alumnos proponer nuevos ejercicios. Revise en grupo sus resultados y la forma en que llegaron al resultado, permita la libre expresión.

Desarrolla tus habilidades 1. Traza en la cuadrícula tres cuadrados tres trián ulos separados entre sí, que ten an el ma or perímetro posible.

Respuesta abierta

USA LAS TIC

Recursos y materiales En la página Geometría Activa, en su apartado de “Cuadrilátero”, en la actividad Construcción, se ofrecen ejemplos interactivos para construir paralelogramos. http://mimosa. pntic.mec.es/clobo/ geoweb/1eso.htm. Con esta página podrá enriquecer su labor docente.

sta pá ina electr nica es e celente, te a udará muc o a que también puedes visitar primero la secci n de eometría. ttp .t atquiz.or es

¿Qué procedimiento utilizaste para trazar las seis Respuesta abierta

uras sin que se unieran?

Compara tus uras con el resto de tus compañeros, analicen unto con su pro esor sus procedimientos comprueba quién obtuvo las uras con mayor perímetro.

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Tema

Figuras y cuerpos

Contenido 7

Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices de un triángulo

ACUÉRDATE DE... naliza estas construcciones

A

Qué observar

a

Segmento. Parte de una línea comprendida o limitada entre dos puntos.

B

C

D

b

c

Figura 1

1. n la

d

Figura 2

Perpendicular. Son dos líneas que se tocan o cortan entre sí formando un ángulo de 90º.

ura 1

a ¿Cuál es el segmento que orma la base del trián ulo? BD b ¿Cuál es el punto que divide a la mitad la base del trián ulo? C

Es importante que desde la sección “ACUÉRDATE DE…”, los alumnos manejen de manera natural el lenguaje y lo conceptos geométricos, para que al referirse a las propiedades se disminuya la distracción con el uso de los términos propios de este eje de contenidos.

c ¿Qué medida tiene el án ulo que se orma entre la base del trián ulo la línea punteada? 90

rados.

d l án ulo que se encuentra en el vértice a , ¿consideras que está dividido e actamente a la mitad por el C? se lee se mento ac Sí 2. n la

ura 2

a ¿C mo se llama la línea que representa b ¿ erá C perpendicular de

?

ltura

? Sí

¿Por qué? Porque se intersectan en el vértice a ,

ormando un án ulo de 0 rados entre ambas.

Para tener en cuenta Para encontrar la altura de un trián ulo, se traza una línea perpendicular que va desde un lado asta el vértice opuesto.

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MATEMÁTICAS 1

Qué observar Permita que el alumno trace las alturas de los triángulo propuestos, y propicie la reflexión y la argumentación en forma individual y colectiva acerca del concepto, representación y significado de la altura.

MATEMÁTICAS 1


Actividad 7.1

1. racen las alturas de los trián ulos. a)

b)

B

C

A

c)

E

D

G

H

F

I

• Describan el procedimiento que utilizaron para encontrar las alturas. e trazan líneas perpendiculares asta ormar un án ulo de 0 con la base. • ¿Cuál es el lado que deben tomar como base para marcar la altura más pequeña? os se mentos C, D C, D , , .

Cómo enriquecer la actividad Proponga nuevos ejercicios para que a los alumnos les quede claro el concepto de altura en un triángulo.

PRACTÍCALO

Actividad 7.2

1. raza los trían ulos indicados por cada punto encuentra las medianas. a)

b)

b a

c)

c

a

b a b e traza una línea desde cada vértice asta el punto medio • Describe el procedimiento que utilizaste. de cada lado. c

c

• Compara tu resultado con uno de tus compañeros describan cuál es la mejor forma de trazar la mediana de un trián ulo. Respuesta abierta • pon an sus respuestas conclusiones rente al rupo con a uda del pro esor veri quen corrijan sus procedimientos si es necesario.

Qué observar Permita el análisis para que los alumnos, de manera individual, puedan trazar los triángulos y las medianas correspondientes.

Para tener en cuenta Mediana. e mento trazado desde un vértice asta el punto medio del lado opuesto.

Proponga a los alumnos nuevos tipos de triángulos y que tracen en su cuaderno las alturas y medianas.

Para encontrar la mediana de un trián ulo debes localizar el punto medio de un lado trazar una línea desde este punto asta el vértice opuesto.

PRACTÍCALO

Actividad 7.3

1. Con re la compás, traza en tu cuaderno la mediatriz de cada se mento de recta. Observa el recuadro para recordar c mo se realiza el trazo, o si conoces otro procedimiento, coméntalo con tus compañeros. Mediatriz. Es la línea perpendicular trazada en el punto medio de cada lado.

a) P A

Q

B

52 A

B

A

B


52


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BLOQUE 1 BLOQUE 1 A

F

a) A

B


G

Es importante que una vez que hayan trazado las mediatrices de la actividad, los estudiantes comenten lo que significa la mediatriz y cómo se traza.

C b)

A

B

B

J c)

A

K

B

D • a ilustraci n muestra el procedimiento para trazar una mediatriz utilizando el compás, analízalo y contesta ¿de qué otra orma se pudo aber trazado? Descríbela. Respuesta abierta Compara tus resultados procedimientos con al unos de tus compañeros, analízalos re istra tus conclusiones.

PRACTÍCALO

Actividad 7.4

1. raza las mediatrices de los trián ulos. a)

b)

a

b

c

c)

b

a

c

a

b

c

b ¿Qué sucedi con las tres mediatrices de cada trián ulo? Se cortan en un punto. c ¿C mo son entre sí las distancias desde ese punto a los vértices del trián ulo? uales d Con tu compás, aciendo centro en ese punto, traza una circun erencia que pase por los tres vértices. La respuesta se dio en el inciso a) al trazar la circunferencia. e ¿Qué medida tiene el radio de cada una de esas circun erencias? a 2. cm, b 2.2 cm c cm apro imadamente.

Cómo enriquecer la actividad La localización del circuncentro permitirá observar rápidamente la precisión de los trazos hechos por los alumnos. Consolide en esta actividad la precisión de los trazos y el concepto de circuncentro, mediante la observación que los alumnos hacen sobre el buen manejo de su juego de geometría.

Compara tus resultados con los del rupo con la asesoría de tu pro esor re istra una conclusi n en tu cuaderno.

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Recursos y materiales En la página Geometría Activa, en su artículo de “triángulos: mediatrices, circuncentro”, encontrará animaciones interactivas con las que sus alumnos podrán trabajar este concepto. http://mimosa. pntic.mec.es/clobo/ geoweb/1eso.htm

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PRACTÍCALO PRACT PRA CTÍC CT ÍCALO ÍCALO 1. n la si uiente que se pide.

ura,

Actividad 7.5

es la mediatriz de

es el punto de intersecci n. Completen o contesten lo


R F

Durante la realización de esta actividad, busque la participación de todo el grupo. Propicie la reflexión y la argumentación para que de una manera respetuosa encuentren las respuestas a las preguntas que se plantean en la actividad. Proponga situaciones sobre todo en construcciones donde los alumnos puedan analizar y contestar cuestionamientos como los propuestos.

M

A

B

G H S a ¿Cuánto mide el b ¿C mo son entre sí

90º

?

, ¿ el

c ¿C mo son entre sí las lon itudes de

punto medio

d Por ello, resulta ser el e ¿C mo son entre sí

90º

?

? Perpendiculares

?

uales de

? uales.

. ¿

? uales

i es un punto cualquiera de la mediatriz, ¿cuáles son las distancias a los e tremos del se mento? HA

y

HB

¿c mo son entre sí sus medidas? uales

De lo anterior, ¿cuál es su conclusi n? Todo punto de la mediatriz está a la misma distancia de los e tremos del se mento dividido. ¿Qué puntos resultan simétricos con respecto a la mediatriz

?

i De acuerdo con sus án ulos, ¿qué tipo de trián ulos son

,

? s sceles

¿Por qué? Porque es un trián ulo que tiene dos lados i uales.

tilicen su compás encuentren en la ura al menos un punto sobre la mediatriz tal que al trazar sus distancias a los e tremos del se mento se orme un trián ulo equilátero. ealicen el trazo usti quen. í, tomando una distancia i ual al se mento dividido.

¿Podrían encontrar un punto tal sobre la mediatriz que, al trazar sus distancias a los e tremos del se mento, se orme un trián ulo escaleno? usti quen su respuesta veri íquenlo en el trazo. o, cualquier punto está a la misma distancia de los e tremos del se tremos del se mento dividido.

Recursos y materiales En la página Geometría Activa, en sus artículos de “Elementos de Geometría Plana: Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo”, encontrará animaciones interactivas sobre las distintas formas de trazar la mediatriz y la bisectriz.

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http://mimosa. pntic.mec.es/clobo/ geoweb/1eso.htm

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BLOQUE 1 BLOQUE 1

PRACTÍCALO

Actividad 7.6

1. tiliza tu transportador para medir los si uientes án ulos.

T

C ABC

S 138º

UTS

95º


R

A U F

B

HGF

46º

M E

DEM

H

G

33º

RHK

83º

H

K

D

• Describe la forma en la que resolviste la actividad. Por medio del transportador. • Compara tus resultados con al unos de tus compañeros de rupo, ¿las medidas que obtuvieron son i uales? No ¿C mo pueden saber quién obtuvo la medida más e acta? tilizando un transportador adecuado tomando la medida con la técnica correcta. tomando la medida con la Comenten sus observaciones.

Ponga especial atención en esta actividad, ya que muchos alumnos no saben cómo utilizar el transportador. Si este es el caso de su grupo, permita que los que sí saben utilizarlo les expliquen a los demás la manera en cómo debe colocarse y leerse.

Para tener en cuenta Para trazar una bisectriz es necesario dividir un án ulo a la mitad, para ello puedes utilizar tu transportador o tu compás. bserva la ima en.

Bisectriz. Es la recta que, partiendo de un vértice, divide a un ángulo en dos partes iguales.

PRACTÍCALO

Actividad 7.7

1. Con re la compás, tracen la bisectriz de cada uno de los si uientes án ulos. bserven el recuadro para recordar c mo se realiza el trazo, o si conocen otro procedimiento, coméntenlo con sus compañeros.

Qué observar

• eri quen la e actitud del trazo midiendo con el transportador. ¿Pudieron dividir los án ulos por la mitad? Sí • ¿Cuál es el me or instrumento para encontrar la bisectriz, un transportador, un compás o ambos? •

pliquen su respuesta. mbos, pero depende muc o de utilizarlos correctamente.

Compartan sus respuestas con sus compañeros con a uda del profesor escriban una conclusi n de este tema.

55

Al trazar las bisectrices pida a los alumnos que justifiquen sus trazos. Indúzcalos a que observen que el trazo de la bisectriz es también el trazo de la mediatriz del segmento delimitado por un arco trazado desde el vértice del ángulo en referencia.


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MATEMÁTICAS 1

Cómo enriquecer la actividad Esta actividad está diseñada para verificar la precisión de los trazos de los alumnos, mediante la localización del incentro. Pídales que realicen en sus cuadernos, a manera de álbum de geometría, más trazos de bisectrices en otros triángulos y que corroboren que están localizados el incentro.

Qué observar Dé el tiempo necesario para analizar el problema planteado. Verifique que los alumnos realicen bien sus razonamientos y que justifiquen sus resultados.


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BLOQUE 1 BLOQUE 1 b n un plano cartesiano se encuentra un trián ulo cu os vértices están ubicados en las si uientes coordenadas 1,2 ,1 C , . ocalicen los puntos, constru an el trián ulo encuentren las bisectrices. • Expliquen el procedimiento que utilizaron. Se marcaron las coordenadas y se trazaron las bisectrices de cada án ulo. • ¿Cuál es la orma que consideran más sencilla para resolver este e ercicio? Descríbanla. tilizando una re la un compás.

Qué observar

7

Permita que los alumnos apliquen los conocimientos acerca del trazo de las bisectrices para poder resolver esta actividad.

6 5 4 3

Comparen sus resultados con sus compañeros, analicen sus procedimientos. Con la a uda del pro esor redacten una conclusi n para esta actividad. Respuesta abierta


2 1

0

1

2

3

4

6

5

Permita a los alumnos que propongan más ejercicios para que los resuelvan en su cuaderno de notas, asegúrese que sus respuestas sean correctas.

7

Desarrolla tus habilidades n el si uiente tablero traza cuatro trián ulos. o deben unirse. cada trián ulo así nale una letra del abecedario. • n el trián ulo traza de color ro o las tres alturas. • n el trián ulo traza de color verde las tres medianas. • n el trián ulo C traza de color azul las tres mediatrices. • n el trián ulo D traza de color ne ro las tres bisectrices. e nete con otros dos compañeros entre los tres comparen los trián ulos que trazaron los métodos que utilizaron para trazar las rectas solicitadas. ¿ os trián ulos que trazaron son i uales? No ¿Por qué? Porque se tomaron vértices distintos.

B

Recursos y materiales C D

e istren sus conclusiones respecto a esta actividad. Respuesta abierta

57


En la página Geometría Activa, en su artículo “Triángulos: Bisectrices, Incentro”, encontrará animaciones interactivas en las que los alumnos podrán trabajar estos conceptos. http://mimosa. pntic.mec.es/clobo/ geoweb/1eso.htm

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Eje temático


Tema


Contenido 8

Resolución de problemas de reparto proporcional

Qué observar Es importante que los estudiantes analicen si la situación a resolver implica un reparto proporcional. Lo medular en las actividades de este apartado es la seguridad y confianza que vayan alcanzando los alumnos al presentar sus procedimientos de resolución. Observe que al presentar los resultados incluyan las unidades de medida que correspondan a la solución de cada problema.

ACUÉRDATE DE... n equipo, analicen resuelvan el problema srael, ric ario salieron de paseo ario ast 1 00 srael, 0, ric 2 00. i srael llevaba 00 para el via e ric 200, ario 2 000, ¿el asto de cada uno ue proporcionalmente i ual? reparto proporcional . r umenten su respuesta. í, astaron de orma proporcional. Porque todos astaron el dad de dinero que llevaban para el viaje.

PRACTÍCALO

Actividad 8.1

1. esuelve los problemas. Compara tus resultados con los que obtuvieron tus compañeros. Comenten los procedimientos que utilizaron. a n la escuela se ele irán 12 personas para inte rar el comité de representantes de la sociedad de alumnos. l acer las votaciones, los alumnos de tercero obtuvieron 0 votos a avor los de se undo 2 0 los de primero 0. l rupo de representantes debe estar compuesto por alumnos de los tres rados. b) De acuerdo con las votaciones, ¿cuántos alumnos de cada rado tendrá el comité? 1 tres cinco 2º y 3º

Cómo enriquecer la actividad Analice con el grupo el problemas planteado, cuestione a los alumnos acerca de la estrategia de solución “antes” de resolverlo y pida que expliquen los motivos de cada planteamiento. Posteriormente, pueden participar los alumnos resolviendo las operaciones frente al grupo para poder analizarlas. Por último, cuestione acerca de si consideran que es la forma más sencilla de resolver las situaciones.

de la canti de la canti-

Reparto proporcional. Divisi n de un n mero en partes equitativas respecto a otros números.

•

cuatro

,

plica la estrate ia que utilizaste para lle ar a las proporciones de alumnos de los di erentes rados que conformarán al comité. e calcula primero los porcenta es con base en los votos lue o

se obtiene el porcentaje con base al número de personas. • i las cantidades ueran para 1 2 0 votos, 2 diantes por rado serían i uales o di erentes?

0 votos Diferentes

0 votos, ¿las proporciones de estuExplica. e undo le

corresponde el porcenta e de tercero a primero el de se undo, a tercero el de primero.

• ¿C mo quedarían con estas votaciones representados los alumnos de cada rado en la sociedad? Para primero, tres alumnos para se undo, cinco alumnos para tercero cuatro alumnos. para c n el equipo de basquetbol, uan Pedro son los u adores que por lo re ular se encar an de e ectuar los tiros de casti o uan encesta tres de cada cinco tiros Pedro encesta cinco de cada oc o tiros. i el si uiente lanzamiento uera el decisivo para anar el ue o.

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BLOQUE 1 BLOQUE 1 • ¿ qué u ador ele irías para que e ect e el tiro? Pedro • ¿Qué planteamiento matemático realizaste para tomar esta decisi n? na proporci n • ¿Por qué al otro u ador no lo ele iste para que realizara el tiro? Su porcentaje es menor. d ntre cuatro ami os compraron un boleto de 0 para la ri a de 10000 como premio ma or. no de ellos aport 12 otro 1 el tercero, 1 el cuarto el resto. i el boleto result ser el premiado • ¿Cuánto dinero debe recibir el que aport el resto para comprar el boleto? 2000 •

no de ellos recibi 2 00, ¿a qué ami o le correspondi esta cantidad?

l primero

• ¿Qué cantidad de dinero del premio recibieron los que aportaron 1 12? 2 00 000 •

plica la estrate ia que utilizaste para encontrar la cantidad de dinero que le corresponde a cada uno. Se calcula el porcentaje con base en el precio del boleto; y posteriormente se calcula la

cantidad de cada porcentaje con respecto al premio. • ¿ l reparto del premio ue proporcional? Sí

Qué observar

Justifica tu respuesta.

l dinero se reparti de acuerdo a la cantidad de dinero aportado para el boleto. de acuerdo a la cantidad de dinero aportado para el boleto.

Compara tus resultados con el resto del rupo veri quen con su pro esor que sean correctos, después analicen los procedimientos que utilizaron para lle ar a los resultados.

Para tener en cuenta l reparto proporcional es la divisi n equitativa de una cantidad dada, entre ciertos números llamados índices de reparto. En el reparto proporcional se consideran la cantidad a repartir, los índices del reparto el cociente del reparto.

PRACTÍCALO 1.

Cómo enriquecer la actividad Actividad 8.2

r anicen un equipo de traba o de tres o cuatro inte rantes, en con unto lean analicen cada uno de los problemas planteados en su cuaderno realicen las propuestas, esquemas operaciones que consideren necesarios para resolverlos. s mu importante que elaboren una usti caci n o e plicaci n del procedimiento utilizado del resultado que obtuvieron por cada problema. l nal e pon an sus resultados rente al rupo con a uda del pro esor elaboren sus conclusiones. Problema 1

n una escuela secundaria, por la tarde se dan asesorías de distintas materias. a maestra Claudia traba esta semana 10 oras de clases, el maestro drián 1 oras el maestro íctor 20. l maestro icardo, que es el director, retir del banco 000 que debe repartir entre los tres maestros, dependiendo de las oras traba adas a ¿Cuánto le pa a a cada maestro por ora de traba o? 200 b ¿Cuánto le pa

Claudia 2000 drián 000 íctor 000.

a la maestra Claudia? ¿Cuánto al maestro drián? ¿ al maestro íctor?

c ¿Qué estrate ia utilizaron para encontrar las respuestas? ualar el total de oras de clases a 000 calcular la proporci n por oras traba adas.

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Este problema permite, sobre todo, reafirmar la forma de hacer un planteamiento, así como los algoritmos necesarios para encontrar las soluciones.

Pida a los alumnos que expliquen cómo resolverían este tipo de problemas. Analice junto con ellos las operaciones que realizaron. Para concluir, analice situaciones similares de la vida cotidiana donde este conocimiento sea útil para los alumnos.

Reflexión Es importante concientizar a los participantes acerca de la responsabilidad que adquieren al estar frente a un grupo. a que sensibilizarlos sobre la aceptación de comentarios, preguntas y dudas de los demás compañeros, así como la disposición que se ha de tener para responder en la medida de sus conocimientos.

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Sumando la cantidad que le corresponde d ¿C mo pueden comprobar que sus resultados son correctos? a cada maestro. e) ¿Consideran que el maestro icardo reparti proporcionalmente el pa o? Sí

pliquen ¿por qué?

Porque lo reparti de acuedo a las oras traba adas por cada maestro. Problema 2 os 0 alumnos de un rupo de secundaria están colaborando en un pro ecto de re orestaci n, en 1 días an lo rado plantar 00 arbolitos. Con base en esta in ormaci n respondan a ¿Cuántos arbolitos planta cada alumno por día?

Dos

¿De qué manera encontraron el resultado?

Dividiendo el n mero de árboles entre la cantidad de días, el resultado entre el n mero de alumnos. b) ¿Consideran que emplearon el procedimiento más práctico? Respuesta abierta

pliquen por qué.

Respuesta abierta c i nita decidi colaborar durante cinco días orm su propio equipo de re orestaci n de personas, ¿cuántos arbolitos plantarán? 50 árboles d ¿C mo pueden comprobar que sus resultados son correctos? 5 alumnos plantan 2 árboles por día en 5 días da como resultado 50 árboles.

PRACTÍCALO

Actividad 8.3

1. Resuelve las situaciones. a n la tienda de la colonia me cobran 0 pesos si me llevo una lata de puré de tomate de por la de 2 0 . ¿Cuál resultaría conveniente comprar? a lata de puré de 2 0 .

0 2

Qué observar Es importante que destaque la utilidad de conocer la cantidad por unidad referente a cada situación y cuáles serían sus aplicaciones en la vida cotidiana, así como verificar que los alumnos comprendan la relación entre el valor unitario y el algoritmo del reparto proporcional.

b n una eria a dos ue os en los que observo que ten o la misma oportunidad de anar en el primero de ellos me cobran 2 por participar me pa arían en el se undo ue o, por cada me darían . ¿ n cuál me conviene u ar? n el primer ue o.

• ¿Cuál ue el procedimiento que utilizaste para resolver cada uno de los problemas? n el primero, se calcul el precio por ramo ramo en el se undo, se dividi el pa o entre el cobro del ue o. Justifica tu • ¿Crees que e ista otro procedimiento para resolver ambos problemas? Sí respuesta. Calculando los porcenta es. • Compara tus resultados con el resto del rupo ba o la supervisi n de tu pro esor obtén una conclusi n. n tala. Respuesta abierta • ¿Consideras que estos problemas tienen características comunes? Sí Porque en ambos es útil conocer la cantidad por unidad.

plica por qué.

• ¿Cuál es la conveniencia de saber resolver estos problemas en la vida cotidiana? Respuesta abierta

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BLOQUE 1 BLOQUE 1

LO QUE APRENDÍ 1. Respondan las si uientes situaciones. a a l es anadero, vende queso que él mismo abrica, pero solo usa la lec e de sus 2 me ores vacas cada una produce 2 litros de lec e al día, con la cual se elaboran de queso diario. a l vende el ilo ramo en 0. a lec e que producen sus 0 vacas restantes 1 litros c u la vende a .8 por litro a la ente de su comunidad. • ¿Cuántos litros diarios de lec e se producen en total? 1,1 0 litros de lec e. • ¿Cuántos ilo ramos de queso se elaboran en una semana? 1, 0 de queso.

, ¿cuántos en un mes?

• ¿Cuánto dinero recibe a l diariamente por la venta de queso? 1 0 • ¿Cuántos litros de lec e necesita para elaborar un ilo ramo de queso? 2.7 litros. • ¿Cuánto dinero obtiene por la venta diaria de lec e? 2 8 • i a l empleara la lec e que producen todas las vacas, ¿cuántos ilo ramos de queso obtendría? 2 . de queso. 2. Comparen sus resultados con los del resto del rupo con a uda del pro esor re istren sus conclusiones. Respuesta abierta. • ¿Qué procedimiento utilizaste para encontrar las respuestas? nálisis del problema, planteamiento de de operaciones su realizaci n.

• ¿C mo puedes saber que el procedimiento que empleaste ue adecuado que tus resultados son correctos? través de la comprobaci n de las operaciones.

• ¿Por qué es importante saber resolver problemas de reparto proporcional? Porque en la vida cotidiana este tipo de situaciones son frecuentes.


Qué observar Esta actividad requiere un análisis profundo y buen razonamiento por parte de los alumnos. Verifique que esto se lleve a cabo de manera adecuada, ponga especial atención a los planteamientos mostrados, las operaciones realizadas y la secuencia en que se llevaron, verifique los resultados junto con los alumnos. Propicie la participación individual y colectiva.

n empresario tiene un terreno de 0 m de rente por 0 m de ondo, necesita dividirlo en cuatro partes 1 para o cinas, 1 para bode a 3 para maquina10 5 10 ria y 2 para estacionamiento. 5 2 , ¿cuántos m2 se utilizaron ¿Cuántos m2 mide todo el terreno? 2000 m 2 2 para o icinas? 200 m2 , ¿cuántos m para la bode a? 400 m , ¿cuántos m 2 para la maquinaria? ¿ cuantos m2 para el 600 m2 estacionamiento? 800 m2 Con los datos obtenidos, en el si uiente esquema divide con di erente color el terreno de la forma que creas más conveniente. Respuesta abierta

USA LAS TIC

50 m

40 m Compara tus resultados con el resto de tus compañeros observa si tienes la misma orma de distribuci n en el terreno del empresario.

Para conocer más acerca del reparto proporcional y ver al unos e emplos, visita la pá ina ttp .ditutor. com/proporcionalidad/ repartos_proporcionales. tml

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Tema


Contenido 9

Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles

ACUÉRDATE DE...

Qué observar Verifique que los alumnos comprendan por qué los juegos planteados son justos. Analice junto con los alumnos por qué presentan más o menos posibilidades para que un jugador gane, así como la idea general de poder determinar las posibilidades que se tienen para ganar.

n equipo de tres inte rantes realicen esta actividad. Comenten cuáles son las re las de cada uno de los si uientes ue os los materiales que utilizan onedas de cara o cruz volados , ruleta lotería. • ¿ n qué ue o una persona tiene más posibilidades de anar? Volados , ¿en cuál es menos proLotería bable que ane? , usti quen su respuesta. Por los resultados posibles de ambas. • laboren una de nici n que describa el concepto de azar. Experimento con resultado desconocido. • ¿Consideran que una persona puede saber cuántas posibilidades tiene de anar en un ue o de azar? Sí • Justifiquen su respuesta. Conociendo todas las posibilidades las que son avorables. Comparen sus respuestas con el resto del rupo veri quen con su pro esor que sean correctas.

Para tener en cuenta Experimento aleatorio: Resultado que se obtiene del azar, es decir de una manera casual o fortuita.

PRACTÍCALO

Actividad 9.1

1. En parejas realicen esta actividad. Por el aniversario de una pequeña empresa, se van a ri ar varios artículos entre los traba adores. n el departamento de ventas traba an rnesto, ulieta, eatriz, osé, icardo, Claudia, Diana Carmela, para su departamento se van a ri ar tres artículos un autom vil, donde participan todos, una televisi n de ltima tecnolo ía de 0 para los ombres para las mu eres un tratamiento de belleza en una de las me ores clínicas. • ¿Quién tiene más posibilidades de anar el autom vil, un ombre o una mu er? Una mujer quen su respuesta a poblaci n de mu eres es ma or.

Cómo enriquecer la actividad Esta actividad puede representarse físicamente con la participación de algunos alumnos, pida que se coloquen frente al grupo y que representen a los personajes de la situación y con la participación del grupo respondan los cuestionamientos. Pida a los alumnos que argumenten sus respuestas.

El espacio muestral está formado por todos los resultados posibles que pueden ocurrir durante la realizaci n de un experimento aleatorio.

•

Justifi-

icardo le encantaría anar el autom vil, ¿qué posibilidades tiene de anarlo? 1 de 8.

2. Expliquen el procedimiento que utilizaron. a comparaci n entre el n mero de ombres de mu eres. • ¿Cuántas posibilidades tiene cada mu er de anar el tratamiento? 1 de 5. respuesta. Porque el tratamiento se rifa solo entre las mujeres. • ¿Cuántas posibilidades tiene cada ombre de anar la televisi n? 1 de 3. miento. Porque la . . se ri a solo entre los ombres.

Justifiquen su Expliquen su procediprocedi

• ¿Cuántas posibilidades a de que nin n ombre ane un re alo? 1 de 3. respuesta. Porque nicamente un ombre se quedaría sin re alo. • ¿Cuántas posibilidades a de que nin una mu er obten a un re alo? 2 de 5. respuesta. Porque nicamente mu eres se quedarían sin re alo.

Justifiquen su Justifiquen su

evisen sus respuestas con sus compañeros con la asesoría de su pro esor establezcan conclusiones.

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BLOQUE 1 BLOQUE 1

PRACTÍCALO

Actividad 9.2

1. ee con atenci n lo que sucedi en este ue o responde las pre untas. a ntonio u o me invitaron a u ar con un dado de colores dos caras son ne ras, dos blancas dos ro as. Con orme salía un color, avanzaba la c a correspondiente. an el que lle primero a la meta.

b ntes de iniciar el ue o se me ocurri lanzar el dado en varias ocasiones re istré los resultados , , , , , , , , , , , , , , • i quisiera anar, ¿qué color convendría ele ir? l ne ro • ¿Con los resultados obtenidos al lanzar el dado se puede pensar que todas sus caras tienen la misma posibilidad de salir? No precisamente • i se mantuviera la misma proporci n de resultados, ¿cuál es el n mero posible de caras ro as que se obtendrá en 0 lanzamientos del dado? Seis

Cómo enriquecer la actividad Permita que en parejas, los alumnos resuelvan esta actividad; observe que organicen en una tabla la información de los lanzamientos previos al juego. A pesar de la incertidumbre, haga que pongan en juego la proporcionalidad para responder los incisos.

• ¿Cuántas veces es posible que a a salido cara blanca en 2 lanzamientos? c o

PRACTÍCALO

Actividad 9.3

1. Resuelve este caso. a n una urna a 10 c as ne ras 10 blancas. uan o u amos por turnos a sacar sin ver una c a en cada ocasi n. l primer u ador saca una c a la conserva. i el se undo u ador saca una c a es del mismo color que la del primer u ador, el primero ana, en caso contrario el se undo u ador será el anador. Explica tu respuesta l se undo u ador tiene una probabilidad ¿ s este un ue o usto? No de

10 19 de

9

anar 19 de perder.

• ¿ ería usto un ue o si, después de que el primer u ador saca una c a, re istra el color la re resa Explica tu respuesta. odos tendrían la misma probabilidad de anar o perder. a la urna? Sí

Cómo enriquecer la actividad De ser posible, propicie que efectúen con fichas y una urna la actividad para ser más objetivos con sus comentarios.

• i t ubieras creado las re las del ue o, ¿c mo te podrías ase urar de que son ustas para ambos u adores? Que cada u ador re resará la c a a la urna para que sea usto el usto el ue o.

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Curiosidades, acertijos y más A través de acertijos permita que los alumnos analicen su posible solución, por medio de una lluvia de ideas. ¿Cuántas veces necesitas extraer una bola de color de una urna que contiene 5 bolas negras y 5 blancas para tener la plena seguridad de que tienes un par del mismo color?

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LO QUE APRENDÍ APRENDÍ

Qué observar Verifique que los alumnos entiendan que la generación de números aleatorios con la calculadora es justa para todos los dígitos, en esta actividad es casi seguro que todos los resultados van a ser distintos, es conveniente que al final se analicen las similitudes que presentan así como la igualdad de condiciones, y por qué debe tomarse como un juego justo.

1. amos a simular que están participando en una carrera de caballos para ello utilizarán una calculadora cientí ca, que ten a unci n para enerar n meros de orma aleatoria. usquen la tecla andom re ularmente se abrevia D, los n meros los pueden cambiar pulsando la tecla i ual . Con recuencia, las calculadoras en esta unci n asi nan triadas, es decir, series de tres n meros, ustedes nicamente considerarán el pen ltimo dí ito . Participan 10 caballos avanza una casilla el caballo que corresponda al n mero de cada tirada, si sale cero avanza el caballo 10. ora, a u ar

n la tabla, lleven el conteo de las tiradas que realizan para los caballos asta obtener los tres primeros lu ares representen en la rá ca el n mero de tiradas los caballos anadores.

Nombre y número

Número de tirada 1

2

3

4

5

6

7

1. lazán 2. ura . lastor 4. Tornado 5. El moro 6. Bayo 7. Pampero 26

8. Dandy 24

9. Finito

22

10. Imperial

20

Número de tiradas

18 16 14 12 10 8

Respuesta abierta

6 4 2

0

1er lugar

2o lugar

3er lugar

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BLOQUE 1 BLOQUE 1 a ¿Cuál caballo ue el anador?

Respuesta abierta

b ¿ odos los caballos tienen la misma oportunidad de anar? Respuesta abierta c ¿Cuál es la oportunidad de cada uno? Respuesta abierta d ¿Cuántas tiradas tuvieron que realizar para obtener al caballo anador? Respuesta abierta e i repiten la carrera, ¿ anará otra vez el mismo caballo? Respuesta abierta Justifiquen su respuesta. Respuesta abierta

2. n una tienda departamental se sortea una batería de cocina a través de un ue o, este consiste en sacar tres pañoletas del mismo color de una urna que contiene tres de color ro o, tres verdes, una ne ra dos blancas. l premio también se otor a si se sacan dos pañoletas blancas, pero si es ne ra pierden el premio. a) ¿Cuál consideran que sería la me or elecci n para anar? No

b) Expliquen su respuesta. Porque no se re resa la pañoleta a la urna. c) ¿Qué consideran que sea más posible, que sal an tres pañoletas del mismo color o una blanca? Sí d) ¿Por qué? Porque la probabilidad de sacar tres del mismo color es de

3 9

y de sacar una blanca es de

1 9

.

e) ¿Qué posibilidad a que se pierda el ue o sacando la pañoleta ne ra? 1 de 9. f) Justifiquen su respuesta. Porque solo a una pañoleta ne ra de las nueve que a en la urna. ¿Qué color de pañoleta tiene más oportunidad de salir en el primer intento? Roja y verde Expliquen su respuesta. Porque ambas tienen la misma probabilidad de

3 9

i) Discutan sus respuestas con el resto de los equipos. Respuesta abierta

Desarrolla tus habilidades n una ermés se coloc una ruleta circular dividida en seis partes numeradas por cada ue o participan dos personas, cada una con cinco c as. • i los u adores ue an con una a cinco c as, ¿qué n mero tiene más oportunidad de anar? • i cada uno ue a con una c a de dos n meros distintos, ¿qué es más posible, que ane o que pierda? • i un u ador decide u ar a la vez con tres c as con tres n meros pares, ¿qué oportunidad tiene de anar?

USA LAS TIC

Cómo enriquecer la actividad La situación marcada con el número 2 es muy sencilla de representar de manera física: lo ideal es tomar una caja y meter varias pañoletas, pero si no se tienen a la mano se puede utilizar una bolsa de plástico y papeles de colores o con los nombres de cada color escritos, esto también permite realizar el experimento las veces que sea necesario, sobre todo para su correcto análisis.

¿ atemáticas o ma ia? ¿Qué probabilidad e istirá de que una computadora adivine un número que solo se encuentra en tu pensamiento?, si quieres averí ualo visita la pá ina ttp .aulademate. com contentid 2. tml

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Evaluación

Qué observar

Resuelve las siguientes situaciones y escribe en el paréntesis de la derecha la letra que contenga la respuesta correcta. Al finalizar, revisen en grupo esta prueba, sus resultados y los procedimientos. 1.

Recuerde que la sección “Evaluación” pretende hacer que los alumnos se autoevalúen; esto es, que aprendan a reconocer qué es lo que ya saben hacer, qué más están aprendiendo y en qué contenidos necesitan esforzarse más. Cuando hagan la puesta en común de los resultados, observe que las dudas se aclaren y, si lo considera pertinente, que registren la calificación que alcanzaron en esta página.

bserva las si uientes

uras eométricas.

1. ¿Cuánto suman las partes coloreadas de las tres a) 1 58

b) 1 6

c) 1 54

2. ¿Cuánto suman todos los trián ulos de las

a d) 1 64

uras?

b) 5 4

a) 3 4

uras?

b

c) 2 4

d) 4 4

3. ¿Cuál es la di erencia entre la super cie sombreada del trián ulo del rectán ulo? 3 c) 8

1 b) 8

1 a) 4

7 d) 4

4. ¿Cuánto suma la super cie coloreada del cuadrado más la super cie del rectán ulo? a)

8 9

b) 9 8

c) 7 8

b) 1.45

b

d) 5 8 a

5. ¿C mo se e presa en n mero decimal el resultado de la pre unta anterior? a) 1.125

b

c) 1.251

d) 1.215

6. ¿C mo se e presa en n mero decimal la racci n com n de la parte de color de la superficie del trián ulo? b a) 0.65

b) 0.75

c) 0.7

d) 0.25

2. Carlos traba a en una tienda, cada cuatro días debe entre ar un reporte de productividad que inclu e nes de semana, traba ados o no. ste mes inici el lunes . 1. ¿Qué sucesi n representa los días que Carlos debe entre ar reporte? a)

, , 1 , 21, 2

b)

, , 1 , 1 ,21, 2 , 2

c)

, 10, 1 , 21, 2

d)

, 8, 11, 1 , 1 , 20, 2

b

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BLOQUE 1 BLOQUE 1

Evaluación 2. ¿Qué día deberá entre ar el reporte del mes de octubre? a) Domin o 2

b)

iércoles

d

c) Lunes 2

d) Martes 4

a) 5 reportes 3.

b) 6 reportes


c

3. ¿Cuántos reportes abrá entre ado Carlos en el mes de septiembre? c) 7 reportes

d) 8 reportes

bserva las líneas de color que se encuentran en el trián ulo c

1. ¿Cuál es el color de la bisectriz en el trián ulo? a)

a línea punteada ne ra

b) La línea roja

c) La línea verde

d) La línea morada b

2. ¿Cuál es el color de la mediatriz en el trián ulo? a) La línea roja

b) La línea morada

c)

d) La línea verde


b

3. ¿Cuál es el color de la altura en el trián ulo? a) La línea morada

b)


c) La línea verde

d) La línea roja c

4. ¿Cuál es el color de la mediana en el trián ulo? a) La línea verde

b) La línea morada

c) La línea roja

d)

Motive a los alumnos para que resuelvan esta evaluación de forma honesta; procure que comprendan la importancia de esto y la utilidad que puede tener para mejorar su nivel de conocimientos. Procure que tomen la evaluación como algo habitual, bueno y sano; es decir, como parte del proceso de aprendizaje de las matemáticas.


4. n una eria a un ue o llamado C icos o randes , el cual consiste en tirar dos dados predecir que sale un n mero ma or o menor que siete claro que también se puede se puede u ar a que va a salir 7 exacto). a

1. ¿Quién tiene más posibilidades de anar? a) Los que predicen que sale un número menor que 7. b) Los que predicen que sale un número mayor a 7. c) Los que predicen que sale el número 7. d) Los que no predicen que sale el número 7. 2.

i solo ue a una persona apostando a un n mero ma or que , ¿quién tiene más posibilidades de anar, el u ador o la casa? b

a)

ienen i ual posibilidad de anar

b) La casa

c)

l u ador

d)

ienen i ual posibilidad de perder

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MATEMÁTICAS 1

Bloque

2

Aprendizajes esperados • esolver problemas utilizando el má imo com n divisor el mínimo com n m ltiplo. • esolver problemas eométricos que impliquen el uso de las propiedades de las alturas, medianas mediatrices bisectrices en trián ulos cuadriláteros.

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Qué observar Observe si al comenzar este nuevo bloque los alumnos cumplen con las competencias requeridas, por ejemplo: la formulación de criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5 y 7; cálculo de máximo común divisor y el mínimo común múltiplo; resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionas y decimales; la multiplicación y división con números fraccionarios; trazo de la mediatriz y bisectriz; la justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares y la resolución de problemas de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”.

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BLOQUE 2

Contexto histórico –1350 Los egipcios usan relojes solares

–1500

–1100 Inicio de la guerra de Troya

–321 Construcción de la Gran Muralla China

–448 Construcción del Partenón

–900

–1200

–350 Declive del Imperio babilonio

–600

0

–350


–300

En su recorrido por el mundo, Tales de Mileto contribuyó con el desarrollo de la geometría

Se acepta el sistema hindú (brahmi) de numeración

–260 Se desarrolla la numeración arábiga

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Cómo enriquecer la actividad Al continuar con la práctica del cálculo mental, pregunte a sus alumnos: • ¿Cuántos años transcurrieron entre el inicio de la uerra de ro a la construcci n de la uralla C ina? • Desde ace cuantos años se introdu o el sistema ind bra mi de numeraci n? Pídales, además, que investi uen sobre la vida de ales de ileto la comenten ante el grupo.

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Eje temático


Tema


Contenido 1

Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 5 y 7. Distinción entre números primos y compuestos

ACUÉRDATE DE... 1. En equipos de tres personas resuelvan esta actividad.

Esta actividad tiene como propósito de que el alumno comprenda las características más importantes de los números naturales, así como su clasificación. Verifique que las preguntas se respondan de manera clara y concisa.

Números naturales

En el cuadro se describen algunas características de los números naturales; como verán, no tienen ningún orden. Decidan cuál es la mejor manera de ordenarlas, regístrenlo en su cuaderno y expliquen por qué lo consideran así.

Qué observar

Son infinitos Son la base de nuestro sistema decimal

Ahora transformen cada frase en una pregunta anteponiendo a cada una un ¿Por qué...? Expliquen lo que significa y, si es posible, den un ejemplo.

Se usan para contar

Al concluir expongan su respuestas frente al grupo y con la ayuda del profesor, aclaren sus dudas. De ser necesario, realicen las correcciones pertinentes.

Pueden ser pares e impares

Algunos solo se pueden dividir entre dos números y otros entre tres o más

Se pueden representar en una recta numérica

2. Ahora hablemos específicamente de los números naturales, las multiplicaciones y las divisiones. Respondan las preguntas. a) ¿Cuáles son los primeros 5 múltiplos del número 2?

2, 4, 6, 8, 10

b) ¿Cuáles son los primeros 5 múltiplos del número 3?

3, 6, 9, 12, 15

c) ¿Y los primeros 5 múltiplos del 5?


5, 10, 15, 20, 25

d) O sea, para obtener los múltiplos de un número debemos multiplicarlo por el conjunto de números Naturales

Motive a los alumnos a que razonen y reflexionen sobre la relación que tiene la multiplicación con la suma y con la división, eso será muy útil para abordar el tema Criterios de divisibilidad”.

e) ¿Entre cuáles números se puede dividir el número 12? 12, 6, 4, 3, 2, 1 f) ¿Entre cuáles números se puede dividir el número 10? 10, 5, 2, 1 g) Y el 11, ¿entre cuáles números se puede dividir? 11, 1 h) Expliquen ¿qué diferencia existe entre un múltiplo y un divisor de un número? Un múltiplo resulta de multiplicar un número por otro, un divisor es un número que puede dividir a otro de manera exacta

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PRACTÍCALO

Actividad 1.1

1. Continúen trabajando en equipos de tres integrantes. Completen la tabla escribiendo en cada intersección tres cantidades cualesquiera que se puedan dividir de manera exacta entre el número que se indica, observen el ejemplo: números de dos cifras, tres cifras, cuatro cifras. Respuesta abierta Número de:

Dos cifras

Tres cifras

Cuatro cifras

Entre dos Entre tres

231, 159, 819

Entre cinco Entre siete • scriban el procedimiento que utilizaron para encontrar las cantidades. Tomar cualquier número y multiplicarlo por el número indicado. • Comparen su tabla con otro equipo veri quen si los resultados son correctos, comenten cuál ue el método que utilizaron ellos, compárenlo con el su o re istren sus observaciones en su cuaderno. •

ora combinemos n meros deberán encontrar cantidades cualesquiera que cumplan con la indicación de cada intersección. Observen el ejemplo, en la primera casilla el 30, el 48 y el 54, se pueden dividir de manera exacta entre dos y entre tres. Completen la tabla. Respuesta abierta Número de:

Dos cifras

Entre dos y tres

30, 48, 54

Tres cifras

Cuatro cifras

Entre tres y cinco Entre dos y cinco Entre tres y siete

Cómo enriquecer la actividad Motive a los alumnos pidiendo que expliquen sus estrategias y la manera en la que utilizan las sumas y las multiplicaciones en su vida cotidiana. Procure observar las diferencias entre las estrategias de los alumnos para resolver las situaciones y coméntelas frente al grupo analizando sus ventajas y desventajas.

Ensayo y error o usando

• pliquen brevemente el procedimiento que usaron para encontrar los n meros. los criterios de divisibilidad. • ¿Consideran que utilizaron el método más sencillo? pliquen su respuesta Respuesta abierta • ¿Cuál es el n mero menor que puede dividirse de manera e acta entre 2, , ? 210 • ¿C mo encontraron el n mero? Multiplicando todos los dígitos. • ¿Consideran que e isten métodos distintos al que usaron para encontrarlo? Expliquen su respuesta. Usando ensayo y error, aunque el más sencillo es multiplicar los digitos. Con base en la primera tabla, respondan: • noten todos los n meros que encontraron divisibles entre dos Respuesta abierta , observa su última cifra, ¿qué tienen en común? Terminan en cero o par. • n su cuaderno realicen lo si uiente sumen los dí itos de las cantidades que encontraron divisibles entre tres, por ejemplo de 819 sería 8+1+9=18, luego ordena los resultados de menor a mayor y observen, ¿qué característica tienen en común? Que la suma da tres o un múltiplo de tres. • De los n meros que encontraron divisibles entre cinco, observen su ltima ci ra, ¿qué característica tienen en común? Respuesta abierta • ealicen en su cuaderno esta operaci n para cada uno de los n meros de tres cuatro ci ras que encontraron y son divisibles entre siete: se quita la última cifra, al número que sobra se le resta “el doble” del número que se quitó, ordenen sus resultados de menor a mayor, ¿qué característica en común tienen estos números? Respuesta abierta

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• ¿Cuál consideran que es la orma más sencilla para saber rápidamente si un n mero se puede dividir entre dos? Observando si el último número es cero o par. • ¿C mo puede una persona saber ácilmente si un n mero se puede dividir entre tres? Si la suma de sus dígitos es 3 o un múltiplo de 3. • ¿Cuál es la orma de saber rápidamente si un n mero se puede dividir entre cinco? Si la suma de sus dígitos es 5 o cero. • ¿Cuál es la orma de saber si un n mero se puede dividir entre siete? i la di erencia de un n mero sin el ltimo dí ito menos el doble de esta ci ito menos el doble de esta ci ra es cero o m ltiplo de .

PRACTÍCALO

Qué observar Verifique que los alumnos comprendieron de manera concreta y clara cuál es la esencia y la utilidad de conocer y dominar los criterios de divisibilidad, sobre todo como parte de un proceso para resolver problemas y operaciones.

Actividad 1.2

1. Tomen las respuestas de la actividad anterior, compartánlas y compárenlas con el grupo; luego respondan. a) ¿Cuál es el criterio que se debe observar para saber a simple vista si un número es divisible o no entre dos? Un número es divisible entre 2 cuando su última cifra es cero o un numero par. b) ¿Qué criterio aplican para saber si un número es divisible entre tres? Un número es divisible entre tres cuando la suma de sus dígitos es 3 o un múltiplo de 3. c) ¿Cuál es el criterio para los números divisibles entre cinco? Un número es divisible entre 5 cuando su último dígito es 5 o cero. d) Por último, ¿Qué criterio sirve para saber si un número se puede dividir entre siete? n n mero es divisible entre cuando la di erencia del n mero sin el ltimo dí ito menos es doble del ltimo dí ito da o un m ltiplo de .

Transversalidad Para leer más

Solicite a los alumnos que investiguen con su profesor de la materia de spañol la manera de realizar una exposición y de qué forma pueden aplicarla en este contenido de Matemáticas.

Reflexión Exponer un tema siempre resulta un magnifico recurso para detectar y corregir a tiempo los errores de los alumnos. Permita que ellos expongan diferentes temas, y al final retome usted la situaci n para acer, si es necesario, un cierre pertinente. En las matemáticas la exposición permite corregir errores sobre el manejo del lenguaje que se emplea, ya que este es universal.

Números primos. Tienen solo dos divisores. Números compuestos. Tienen más de dos divisores.

Para tener en cuenta Todos los números compuestos se pueden representar como una multiplicación de números primos. Observa.

Factores. Números que conforman una multiplicación.

Para descomponer el 60 (que es un número compuesto) en factores (números) primos, iniciamos dividiéndolo entre 2; 60 30, como 30 todavía se puede 2 dividir entre 2 nos queda, 30 15, el 15 ya no se puede dividir entre dos, pasa2 mos entonces al siguiente primo, es decir, intentamos dividir entre 3; 15 5 y 3 como el 5 es primo lo único que podemos hacer es dividirlo entre sí mismo 5 1, una vez que lle amos al 1 acabamos la descomposici n, por lo tanto, 5 60 (2)(2)(3)(5).

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PRACTÍCALO

Actividad 1.3

1. Descompongan los números compuestos en sus factores primos. Números compuestos

Qué observar

Factores primos

18

(2)(3)(3)

40

(2)(2)(2)(5)

30

(2)(3)(5)

64

(2)(2)(2)(2)(2)(2)

27

(3)(3)(3)

PRACTÍCALO

Actividad 1.4

Es común que los alumnos busquen descomponer un número sin respetar el orden de los números primos. Si esto ocurre, es conveniente analizar con ellos su actividad y justificar la importancia de respetar este orden.

1. Los números naturales están formados por dos tipos de números: primos y compuestos. Para identificarlos elaboren una tabla y complétenla según las instrucciones. a) El número 1 solo tiene un divisor natural: “él mismo” por lo que no es primo ni compuesto, coloréenlo de color gris. b) Los números primos píntenlos de color rojo y los compuestos de verde. c) El 2 es el único número par que es primo, por lo tanto, coloréenlo de rojo y todos sus múltiplos (4, 6, 8, 10, etcétera) de color verde. d) Vamos ahora con el 3, como únicamente se puede dividir entre 3 y entre uno, (entre sí mismo y la unidad), también es primo y le corresponde el color rojo mientras que todos sus múltiplos (6, 9, 12, 15, etcétera) van de color verde. e epitan el procedimiento con los n meros , , 11 1 .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

57

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

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78

79

80

81

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83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

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95

96

97

98

99

100

Cómo enriquecer la actividad Pida a los alumnos que elaboren una descripción y den algunos ejemplos de las diferencias que a entre los n meros primos y compuestos, también deberán explicar por qué los eligieron y cuál su utilidad.

Cambiando números

f) Investiguen en matemáticas cómo se llama a esta tabla. Tabla de Eratóstenes.

73

Considere unto con sus alumnos que el número 54, es el que debe de ocupar esta casilla.


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Qué observar

2. Observen que quedaron espacios sin colorear, tales casillas también son números primos y, por lo tanto, deberán rellenarlos de color rojo. 3. Elaboren la lista de los primeros números de los primos contenidos en los primeros 100 números naturales.

Verifique que los alumnos comprendieron cada uno de los criterios revisados en este contenido. Revise de forma grupal las respuestas. Verifique que los alumnos sean capaces de desarrollar este ejercicio con seguridad y confianza en ellos mismos.

2, , , , 11. 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 1,

Criterio

2

Número

ambién solicíteles que propongan nuevas situaciones donde apliquen los conocimientos revisados.

,

, 1,

, 1,

,

, 8 , 8 ,

3

5

7 No, porque al aplicar el criterio no da un m ltiplo de .

540

Sí, porque termina en cero.

Sí, porque sus dígitos suman 9, múltiplo de 3.

1112

Sí, porque terminan en número par.

No, porque sus No, porque no dígitos suman 5, termina en 5 o no es múltiplo en cero. de 3.

No, porque al aplicar el criterio no da un m ltiplo de .

154

Sí, porque terminan en número par.

No, porque sus dígitos suman 10, no es múltiplo de 3.

No, porque no termina en 5 o en cero.

Sí, porque al aplicar el criterio nos da un m ltiplo de .

1200

Sí, porque terminan en cero.

Sí, porque la suma de sus dígitos es 3.


No, porque no termina en cero o par.

Sí, porque sus Sí, porque dígitos suman 6, terminan en 5. múltiplo de 3.

105

USA LAS TIC

“Piensa en un número entero que sea mayor a uno. Si este es par divídelo entre dos, en caso de que sea impar multiplícalo por tres y súmale uno. Repite esta operación una y otra vez y al final siempre obtendrás el mismo resultado, es decir, uno”.

,

1. Completa la tabla escribiendo en cada casilla sí o no para indicar si el número es divisible o no entre el número indicado, observa el ejemplo.

Si es necesario, permita que revisen de nuevo el ejercicio anterior ctividad 1. para que quede bien asentado este conocimiento.

A partir de los conocimientos adquiridos el alumno podrá realizar operaciones como el siguiente:

,

LO QUE APRENDÍ



, 1,

En la página http: sauce. pntic.mec.es/jdiego/ glosario/glosario.htm encontrarás definiciones muy interesantes y útiles que te pueden ayudar a complementar este tema.


No, porque al aplicar el criterio no da un m ltiplo de . Sí, porque al aplicar el criterio nos da un m ltiplo de .

Desarrolla tus habilidades Piensa un número de tres cifras, multiplícalo por 1001, observa el resultado, a ora divide entre , el resultado entre 11 por ltimo entre 1 ¿qué numero obtuviste?, ¿pasará lo mismo con otros números?, ¿por qué ocurre esto? Respuesta abierta

74


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Tema


Contenido 2

Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo

ACUÉRDATE DE... 1. Completa la tabla escribiendo los múltiplos de los siguientes números.

Número 5 6 8 9 10 12 15

Múltiplos

10 12 1 18 20 2 0

15 18 2 2 0

20 2 2 0 8 0

25 0 0 0 0

30 8 0 2 0

35 2 0 8 10

40 8 2 80 120

45 2 81 0 108 1

50 0 80 0 100 120 1 0

55 88 110 1 2 1

Qué observar

60 2

Proporcione el tiempo necesario para que de manera individual, los alumnos encuentren los múltiplos de los números que se dan en esta sección.

108 120 1 180

2. Responde las preguntas. a) ¿Cuáles son los múltiplos comunes que tienen los números 5 y 6? 30 y 60 b) ¿Cuáles son los múltiplos comunes que tienen los números 6 y 12? 12, 2 ,

Promueva el análisis y la reflexión para que de manera confiable puedan contestar las preguntas planteadas.

, 2

c) ¿Cuáles son los múltiplos comunes que tienen los números 5, 10 y 15? 30, 45 y 60 d) ¿Cuáles son los múltiplos comunes que tienen los números 8 y 9?

2

PRACTÍCALO

Actividad 2.1

1. Encuentren “todos” los divisores de los números indicados, observen el ejemplo.

Número

Divisiones

Divisores

12

12 12 1, 12 6 2, 12 4 3, 12 3 4, 12 2 6, 12 1 12

12, 6, 4, 3, 2, 1

15

15 15 1, 15 5 3, 15 3 5, 15 1 15

15, 5, 3,1

18

18 18 1, 18 9 2, 18 6 3, 18 3 6, 18 2 9, 18 18 1

18, 9, 6, 3, 2, 1

30

30 30 1, 30 15 2, 30 10 3, 30 6 5, 30 5 6, 30 3 10, 30 2 15, 30 1 30 30, 15, 10, 6, 5, 3, 2, 1

46

46 46 1, 46 23 2, 46 2 23, 46 1 46

46, 23, 2,1

60

60 60 1, 60 30 2, 60 20 3, 60 15 4, 60 12 5, 60 10 6, 60 6 10, 60 5 12, 60 4 15, 60 3 20, 60 2 30 y 60 1 60 80 80 1, 80 40 2, 80 20 4, 80 16 5, 80 10 8, 80 8 10, 80 5 16, 80 2 40, 80 1 80

60, 30, 20, 15, 12, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 1 80, 40, 20, 16, 10, 8, 5, 4, 2, 1

80

75

Qué observar Es importante que los alumnos analicen el ejemplo y determinen la relación que se presenta entre los cocientes y divisores, para que resuelvan la actividad y obtengan una conclusión que deberán corroborar en conjunto con su guía.


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Actividad 2.2

1. Lean la situación y respondan. a) Graciela cumplirá 13 años y lo celebrará con una fiesta. Como recuerdos piensa dar unos dulceros que tendrán paletas, galletas y caramelos, para ello comprará una caja con 15 paletas, otra con 30 galletas y por último una con 60 caramelos. ¿Cuántos dulceros podrá elaborar y cuántos artículos de cada uno debe colocar para que no le sobren?

Qué observar Oriente a los alumnos acia la re e i n, el análisis y el razonamiento para que a través de diversas situaciones,puedan aplicar los procedimientos estudiados.

ncuentren la soluci n a este problema, en su cuaderno pueden realizar los planteamientos, esquemas operaciones necesarios, anoten sus conclusiones y las dificultades a las que se enfrentaron; luego compártanlas con el grupo.

ora, con la a uda del pro esor, observen la estrate ia que utiliz raciela. lla pens Para saber cuántas bolsas puedo formar debo encontrar un número en el que pueda dividir de forma exacta las tres bolsas”, tomó su cuaderno y anotó los divisores de los 3 números, observen.

Verifique que los alumnos respondan de manera acertada.

Cómo enriquecer la actividad Promueva la libre expresión y que mediante una exposición expliquen la forma en cómo llegaron al resultado.

Número

Divisores

15

15, 5, 3, 1

30

30, 15, 10, 6, 5, 3, 2, 1

60

60, 30, 20, 15, 12, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 1

2. Tomen un marcador de texto o un color y coloreen todos los divisores comunes que encontró Graciela. 3. Respondan las preguntas según la tabla. a) Si Graciela hubiera decidido tomar el divisor común más pequeño, o sea el 3, ¿cuántos dulces hubiera 5 puesto en cada bolsa? paletas, 20 caramelos y 10 galletas. b) Pero si elige el divisor común más grande, o sea el 15, entonces cada bolsa deberá llevar 4 2 caramelos y galletas.

1

paletas,

c ¿Cuál de las dos opciones les parece más razonable? usti quen su respuesta. a se unda porque puede ormar 1 dulceros en vez de solo .

d) ¿Consideran que existe una forma más fácil de resolver este problema? Expliquen. Respuesta abierta

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76


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PRACTÍCALO

Actividad 2.3

1. Ahora lean esta situación y resuelvan. a) Leonel debe solucionar un problema que le dejaron en la escuela y le pide ayuda a su papá, Paco, quien es ingeniero. El problema dice: “Dos engranes tienen 40 y 16 dientes respectivamente, ¿cuántas vueltas debe dar cada uno para quedar de nuevo en su posición original? b l buscar la soluci n, pueden realizar esquemas, operaciones o planteamientos en su cuaderno. noten sus conclusiones y las dificultades que se les presentaron y compártanlas con el grupo. c) Paco le explicó a Leo: “Una forma es escribir los múltiplos de cada uno hasta encontrar el primer múltiplo común”, observen:

Número

Múltiplos

40

40, 80

16

16, 32, 48, 64, 80

2. Respondan con base en la tabla. a) ¿Qué indica o qué representa cada múltiplo en este problema? El número de vueltas o revoluciones que cada uno da. b) ¿Cuántas vueltas tuvo que dar el engrane mayor para quedar en la misma posición de inicio con respecto a la rueda menor? Dos c) Es decir, por cada

2

vueltas de la rueda mayor, la rueda menor dará

d) Entonces, si la rueda mayor da 6 vueltas, la menor dará

15

5

vueltas.

vueltas.

e) Comparen sus resultados con los demás compañeros del grupo y verifiquen si están en lo correcto.

PRACTÍCALO

Actividad 2.4

1. Lee la situación y responde. scar Cristina intentan realizar una tarea de matemáticas el pro esor les pidi que resolvieran al unos e ercicios para calcular el mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (MCD), pero ella está un poco confundida. Cristina dice: “Es que los procedimientos son igualitos, no veo la diferencia”. A lo que Óscar contestó: “No te preocupes, el truco es saber que para el mcm tomas todos los factores que encuentres y para el MCD solo los factores comunes”. Observa la explicación y el ejemplo de Óscar.

77


Qué observar A través del trabajo colectivo, permita que los alumnos, de manera respetuosa, comenten la estrategia que deben seguir para resolver las situaciones dadas. Compruebe que los alumnos comprendieron a cabalidad el significado de cada término en la secuencia de múltiplos en relación con el número de vueltas de cada engrane y por qué se toma el primer múltiplo común. A partir de esto puede relacionar con el denominador común para la suma o resta de fracciones y compararlo con el procedimiento de multiplicar los denominadores, con el cual por lo común no se obtiene “el mínimo”, aunque sí un múltiplo común.

Qué observar Induzca a los alumnos al análisis ante diversas situaciones. Cerci rese de que comprenden lo que presenta en esta situación. Permita que justifiquen sus respuestas en la resolución de esta actividad.

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Vamos a obtener el mínimo común múltiplo (mcm) y el máximo común divisor (MCD) de los números 40, 16 y 32.

Qué observar Supervise que los alumnos comprendan la importancia de seguir un orden estricto en la secuencia de números primos. Cuide que los estudiantes comprendan de manera clara las diferencias aritméticas entre el mcm y el CD, así como el propósito por el cual se obtiene y su utilidad tanto en la resolución de situaciones, como parte de otros algoritmos, entre ellos la suma de fracciones.

40

16

32

2

Para obtener el mínimo común múltiplo (mcm)

20

8

16

2

se multiplican “todos” los factores primos.

10

4

8

2

mcm (2)(2)(2)(2)(2)(5) 160

5

2

4

2

5

1

2

2

Para obtener el máximo común divisor (MCD)

5

1

1

5

se multiplican solo los factores primos comunes.

1

1

1

MCD (2)(2)(2) 8

2. Responde. a) ¿Cómo saber si un factor es común o no? Porque es divisor de todos los números que le corresponden.

b) ¿Existe la posibilidad de que encuentres un número menor a 160 que se divida entre las tres cantidades de orma e acta? usti ca tu respuesta. No, porque 106 es el múltiplo común menor de estas cantidades.

c) ¿Existe un número mayor que 8 que pueda dividir exactamente las tres cantidades? usti ca tu respuesta.

Reflexión Promueva el diálogo entre los estudiantes y cada expositor con la idea de tomar en cuenta la diversidad de procedimientos utilizados. En el área de matemáticas, a veces los procedimientos pueden variar para llegar a la respuesta correcta.

No, porque ocho es el divisor común mayor de estas cantidades.

d Describe con tus palabras la orma en que scar realiz esta actorizaci n. tiliz en orden los n meros primos para dividir cada n mero, los que no se podían dividir los preservó bajándolos a la siguiente línea y repitió este procedimiento hasta que todas las divisiones dieron como cociente uno.

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PRACTÍCALO

Actividad 2.5

1. Encuentra el mcm y el MCD para los siguientes grupos de números. 12

18

24

2

30

60

120

2

42

56

2

6

9

12

2

15

30

60

2

21

28

2

3

9

6

2

15

15

30

2

21

14

2

3

9

3

3

15

15

15

3

21

1

3

1

3

5

5

5

5

1

1

1

1

1

1

1

1

mcm 2

mcm 120

mcm 168

MCD 6

MCD 6

MCD

PRACTÍCALO

Qué observar Esta actividad tiene como propósito, que los alumnos consoliden su capacidad sobre el algoritmo de la factorización de un grupo de números, para ambos procedimientos mcm CD la intenci n es que adquieran seguridad en su trabajo.

3 1

Actividad 2.6

1. Respondan lo que se les pide. a) Cristina ya entendió la forma de calcular el mcm y el MCD, pero tiene un problema y fue a hablar con su maestro lo que no entiendo mu bien es, ¿c mo sé cuál de los dos debo utilizar en un problema? . El profesor dijo: “Responde estas preguntas”:

• ¿ iste la posibilidad de que un m ltiplo de un n mero sea menor que él? No ¿Por qué? Porque son resultados de una multiplicación por números naturales. ora, ¿es posible que el divisor de un n mero sea ma or que él? No ¿Por qué? Porque se está dividiendo solamente entre números naturales.

De si el número buscado • ntonces ¿de qué depende saber si se requiere calcular el mcm o el CD? es mayor o menor. • ¿ qué conclusi n lle

Qué observar Supervise que los alumnos comprendan cuándo deben utilizar el mcm o el CD.

• Cuando obtienes los m ltiplos de un n mero, ¿estos son ma ores o menores? Mayores Y cuando obtienes los divisores de un número, ¿cómo son? Menores

•

Ponga especial atención en la confianza que muestran los alumnos para desarrollar esta actividad.

upita? l analizar el problema se debe determinar si se requiere buscar un número mayor o menor a los datos dados.

Observe la capacidad que demuestran los alumnos para razonar un problema, obtener conclusiones y tomar la decisión correcta.

79


79


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Qué observar

Actividad 2.7

1. Resuelve estas situaciones. a) Adrián tiene un salón de fiestas y acaba de comprar un letrero que tiene focos luminosos alrededor, quiere que el nombre del salón encienda junto con todos los focos, pero éstos encienden a intervalos distintos cada 9, 10 y 12 segundos. • ¿Cada cuántos se undos debe pro ramar su letrero para que enciendan todos los ocos?180 segundos

Cerci rese de que los alumnos sean capaces de identificar los datos de manera correcta, que tomen la decisión adecuada luego de un análisis profundo de la situación y que desarrollen bien los algoritmos requeridos para responder las actividades.

• ¿Qué procedimiento utilizaste para encontrar el resultado? Se calcula el mínimo común múltiplo de los tres números para saber cada cuántos segundos encenderán de manera simultanea.

b) Valeria es diseñadora de modas y requiere que los rollos de tela que compra estén cortados en partes de 12, 18 y 24 metros de largo, pero los rollos solo se venden con una medida. • ¿Cuántos metros de tela debe tener cada rollo para que aleria los pueda dividir en esas tres cantidades sin que le sobre tela? 2 m • Describe el planteamiento matemático que realizaste para obtener la soluci n a este problema. Argumenta tu respuesta.Es necesario conocer cuál es el número más pequeño que se pueda dividir de forma exacta en estas cantidades, por lo que se requiere un número mayor. Hay que encontrar el mínimo común múltiplo.


c avier tiene varios terrenos quiere raccionarlos para construir una unidad abitacional pretende que cada lote tenga la misma superficie. • ¿De qué tamaño debe ser cada lote si sus terrenos miden 80,

Pida a los alumnos que expresen con sus propias palabras cada procedimiento que siguieron para resolver las situaciones dadas.

•

2 0 800 metros cuadrados? 160 m

plica, ¿de qué manera avier puede ase urar que todos sus terrenos ten an la misma super cie? Se calcula el máximo común divisor de los tres terrenos, el primero lo puede fraccionar en 3, el segundo en 4 y el tercero en 5.

d n una tienda de productos de limpieza se venden a diario 80 litros de suavizante, 0 litros de cloro y 96 litros de jabón líquido, al se le ocurrió que si ya los tiene envasados sería más fácil distribuirlos.

Promueva la demostración de los resultados de cada situación planteada a los alumnos.

• ¿Qué capacidad deben tener los envases para almacenar los productos sin que sobre líquido? 4 litros •

plica el planteamiento que permiti lle ar a este resultado. Se calcula el máximo común divisor de las tres cantidades, lo que indica la capacidad máxima en la que puede envasar los tres productos sin que tenga sobrantes.

Curiosidades, acertijos y más ¿De qué manera pueden unirse cinco trozos de cadena de tres eslabones cada uno, aciendo solo tres cortes?

Compara tus resultados con tus compañeros de grupo y con ayuda del profesor elaboren una conclusión del tema debe quedar mu claro c mo se calcula c mo se utiliza el CD el mcm.

80


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BLOQUE 2 BLOQUE 2

LO QUE APRENDÍ 1. Explica lo que pide cada enunciado.

a ¿Por qué es importante que al actorizar un rupo de n meros se respete la secuencia de los n meros primos? Porque de lo contrario el numero obtenido será incorrecto, aunque es posible que por casualidad se obtenga el número correcto, la posibilidad de error o de obtener un múltiplo mayor es muy grande. b) ¿Cuál es la diferencia entre el procedimiento para calcular el mcm y el MCD? Para el mcm se toman “todos” los factores primos, sean comunes o no, y para el MCD se toman únicaúnica mente los factores primos comunes. c) ¿Por qué al grupo de números que se obtienen se les llama factores primos? Se les llama factores porque son parte de una multiplicación y primos porque únicamente tienen dos divisores, el mismo número y la unidad.

d l analizar un problema, ¿c mo se puede determinar si se requiere calcular el mcm o el CD? Determinando si se requiere multiplicar o dividir los datos dados, esto es, hay que buscar si se requiere

Qué observar Verifique que los alumnos obtengan la abilidad necesaria para desarrollar los procedimientos de forma correcta y que comprendan la secuencia del algoritmo. Observe que sean capaces de diferenciar con claridad entre el mcm el CD, así como su capacidad para decidir a la ora de resolver problemas.

obtener un número mayor o menor. e) Describe brevemente la utilidad del mcm en la resolución de problemas.


Respuesta abierta

USA LAS TIC

Desarrolla tus habilidades En una de cada 80 cajas de cereal se incluye un cupón por una caja gratis y en cada 180 cajas se incluye un cupón por una gelatina gratis. ¿Qué número tendrá la caja a la que le toquen ambos cupones? 20

En la página http://www. aaamatematicas.com/ fra66jx2.htm hay un simulador con cronómetro para practicar el cálculo del mínimo común múltiplo, visítala.

Analice, por medio de una lluvia de ideas en la que participe todo el grupo, la mejor manera de desarrollar los algoritmos, así como cuál es la mejor forma de diferenciarlos y aplicarlos.

81


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Eje temático


Tema

Problemas aditivos

Contenido 3

Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos, empleando algoritmos convencionales

ACUÉRDATE DE...


Pedro uan son alumnos de 1 de secundaria, en atemáticas traba aron con problemas acerca de la adición de números fraccionarios y decimales. Antes de entrar a la resolución de ejercicios, el profesor les comentó: “vamos a recordar algunos algoritmos que les serán de mucha utilidad para resolver problemas que incluyen fracciones comunes y decimales”. a) Describan brevemente cuál es el procedimiento para convertir una fracción impropia a número mixto.

Se divide numerador entre denominador sin llegar al número decimal, el cociente es el entero, el residuo el numerador y el cociente el denominador.

Los alumnos ya tienen algunos conocimientos sobre cómo realizar operaciones en donde se combinen números fraccionarios y decimales. Es conveniente que realicen la actividad de la sección C D D , cuya finalidad es recordar la forma de plantearlas y resolverlas mediante el algoritmo tradicional.

b) Entonces, la fracción impropia 8 expresada en forma de número mixto es 3 c) Expliquen cómo se convierte una fracción común a número decimal.

2 3

Se divide numerador entre denominador con decimales hasta donde sea posible o hasta encontrar el decimal periódico.

4 d) Por lo tanto, la fracción propia 5 expresada en forma de número decimal es 9.8 e) Narren el procedimiento para convertir un número decimal en fracción común.

Se anota como entero en el numerador, en el denominador se coloca una potencia de 10 con tantos ceros como dígitos tenga la parte decimal y por último la fracción se reduce.

f) El número 0.45 expresado como fracción común es

9 20

g) Mencionen el procedimiento para convertir una fracción mixta a una fracción impropia. Se multiplica el denominador por el entero y se suma el numerador, por su parte el denominador se conserva.

h) El número mixto 1 8 expresado como fracción impropia es

15 8

PRACTÍCALO

Actividad 3.1

En parejas lean, analicen y resuelvan la siguiente situación. 3 1 La mamá de Susana le pidió que comprara en el mercado 4 de queso un 1 2 kilo de huevo y 800 gramos de alimento para su mascota.

Cómo enriquecer la actividad Pida a los alumnos que expongan los procedimientos que emplearon para resolver la situación. Con las ideas aportadas por el grupo, se obtendrá un criterio único para este tipo de cuestiones.

2

• ¿Cuánto pesa la bolsa que contiene los tres productos?

3

1 20

• ¿Qué operaciones realizaron para calcular el peso total de la bolsa? 2 conversiones y una suma. • ¿Cómo expresarían la suma de las tres cantidades? • ¿Es posible resolver esta suma de manera directa?

3 1 800 2 4 2 1000

No

¿Por qué?

Porque es necesario hacer la suma con el mismo denominador. 3

• scriban esta misma operaci n utilizando solo racciones propias e impropias 4

3 4 15 30 16 61 1 3 2 5 20 20 20

• ¿Qué operaciones realizaron? Conversión y suma de fracciones.

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82


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BLOQUE 2 BLOQUE 2 •

ora escriban c mo queda la suma de racciones si las e presan con el mismo denominador

15 15 16 20 20 20

• ¿Qué operaci n tuvieron que realizar? Una conversión • ¿De qué manera pueden comprobar que estas conversiones las realizaron correctamente? Comparando que las fracciones sean equivalentes. •

pliquen ¿por qué es importante saber convertir una suma de racciones en otra que sea equivalente? Porque resulta complicado hacer una suma de fracciones con denominadores distintos.

• Describan, ¿cuál es la orma correcta de resolver una suma combinada de racciones decimales. as racciones mi tas n meros decimales se convierten a racci n com n propia o impropia se realiza el al oritmo normal de la suma de racciones.

Comparen sus respuestas con sus compañeros, y con la ayuda del profesor verifiquen sus resultados, elaboren una conclusi n que describa la orma de realizar una suma combinada de racciones comunes n meros decimales y escríbanla en sus cuadernos.

Para tener en cuenta En estos casos se explica la manera de desarrollar un algoritmo. 40 1 3 0.28 8 5 5 25 25 1

3 (5)(1) 3 8 5 5 5

25

Fracción irreducible

1 12 25

0.28 28 14 25 50 100

25 5 5 1 1 1

5 5

mcm (5)(5) 25

1 2 3 6 8 9 23 1 11 12 12 3 12 4 2 1 23 12 23 12 11

PRACTÍCALO

1 11 12

Actividad 3.2

Cambiando números Considere unto con sus alumnos, que el albañil durante el primer día levanta de una barda y que le ace alta levantar 1 de la misma.

En parejas analicen y resuelvan estas situaciones. 1. Un albañil levanta una barda, el primer día levanta 35, el segundo día levanta 10 m2 y todavía le falta por levantar 14. 45 • ¿Qué fracción representa la cantidad de barda levantada? 59

Se suman los metros de barda levantada y se divide entre los

• ¿Cuál fue el procedimiento para obtener el resultado? metros de barda total. 2 • ¿Cuántos m2 tiene en total la barda? 59 m

• Expliquen la manera en que determinaron su respuesta. Sumando las bardas levantadas. • ¿Qué fracción representa los 10 m2 que levantó de barda el albañil?

10 50

2 • ¿Cuál fue el procedimiento que emplearon para encontrar esta fracción? Los 10 m entre el total. 3 1 2. ania ue a estudiar diseño rá co al e tran ero del dinero de su beca utiliza 3 para pagar renta, 8 para artículos personales; 246.15 dólares en comida. Su hermana Laura le ayuda mandándole 350.5 dólares mensuales; si en total al mes reúne 2 500 dólares:

• ¿Cuánto paga Tania de renta?

1 . d lares.

• ¿Qué procedimiento emplearon para llegar a este resultado?

Calculando

1 del valor de su beca. 3

• ¿Qué cantidad de dinero utiliza para sus artículos personales? 806.06 dólares. • ¿De cuánto es la beca que recibe mensualmente? 2 149.5 dólares. • Expliquen su planteamiento. A la cantidad total se le resta lo que le manda su hermana. • ¿Cuántos dólares mensualmente le sobran para ahorrar?

1.2 d lares.

• usti quen su respuesta. Lo que sobra de la beca más lo que le manda su hermana. Comparen sus respuestas y planteamientos con el resto del grupo y con la asesoría de su profesor obtengan una conclusión sobre los procedimientos para plantear y resolver un problema que implique fracciones comunes y números decimales.

83


Cómo enriquecer la actividad Mediante situaciones como las que se plantean en la sección de P C C , los alumnos deben ser capaces de proponer nuevos contextos sobre todo, aquello que se presenta en su vida cotidiana. Pida a los alumnos plantear tres situaciones, donde encuentren que la resolución es por medio de la suma de fracciones y decimales.

Recursos y materiales En la página de Descartes, encontrará ejercicios relativos a este tema: ttp recursostic. educacion.es descartes eb materiales didacti cos 0 racciones 0 asu m rac. tml

83


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Actividad 3.3

1. Resuelve las siguientes situaciones.

Cómo enriquecer la actividad Los problemas propuestos pueden ser comunes; sin embargo, es conveniente que los alumnos, de manera individual, relacionen consituaciones de su vida diaria, lo visto en este tema por ejemplo: contexto del mercado, de la tienda, en la escuela, etcétera.

a) as compras que o realiz la ra. Conc ita ueron 1 de su dinero lo gastó en el mercado, 1 en una 3 6 cremería y 1 en la tienda de materias primas, ¿qué fracción representa la cantidad que ha gastado? 4 1 3 , y por lo tanto, la fracción que representa lo que le queda de su dinero es 4 4 b) Aracely, Ivonne y Alicia venden muñecos de peluche, del total de las ganancias Aracely aportó dos quin13

tas partes e Ivonne una cuarta parte, ¿qué fracción representa lo que han reunido entre las dos? 20 , si Alicia llegó al último y aportó siete veinteavos de ganancia, ¿consiguieron vender todos sus muñecos? Sí, porque al final suman 20 20 c) Paulino, Ulises y Roberto llenaron un álbum de estampas, del total, Paulino tiene 3 , Ulises 2 y Beto 10 5 10 , si Paulino le regalara sus tarjetas a ¿con estas cantidades lograron completar el álbum? Si alguno de sus dos amigos ¿quién tendría más, Ulises o Roberto? Roberto , ¿qué fracción representa esta cantidad? Un entero . • ¿Tuviste algún problema para resolver esta actividad? Respuesta abierta ¿cómo lo resolviste? Respuesta abierta

. Si tuviste alguno,

• Reflexiona un poco acerca de esta actividad y escribe tus conclusiones. Respuesta abierta

LO QUE APRENDÍ 1. unto con un compañero u arás una carrera de pare as. Consi an una calculadora cientí ca monedas para usarlas como fichas. Lean las instrucciones y diviértanse.

Qué observar Promueva el uso de la calculadora, es una erramienta que solo es un complemento para el aprendizaje del alumno. Verifique que el uso de ésta se realice de manera adecuada por parte de los alumnos.


USA LAS TIC En la siguiente página encontrarás una aplicación interactiva para practicar la suma de fracciones: http://www.telesecundaria. dgme.sep.gob.mx/ interactivos/1_primero/1_ Matematicas/1m_b02_t01_ s01_interactivo/index.html

a) La salida y meta se encuentran sobre la marca morada.

b Para que cada u ador encuentre las racciones con las que avanzará, utilizará la función “random” (RDM) de su calculadora científica, de manera alternada. a tecla es an enera n meros al azar entre cero uno de tres dí itos, como 0.1 , pulsando la tecla i ual . c) En el primer tiro, cada jugador generará un número, de los tres números que aparecen después del punto, el primer número será el numerador y el segundo el denominador, esa es la distancia que avanzará. i en el primer dí ito o en el segundo sale cero colocarás un 10.

84


Al escribir en la calculadora el número 98765432 y dividiéndolo entre 8, el resultado son los mismos números, pero en orden creciente. ¿ erá cierto?

84


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BLOQUE 2 BLOQUE 2

d partir de la se unda tirada, el u ador avanzará la distancia que se obten a con la calculadora más la que le salió en el tiro anterior. e) El procedimiento se repite hasta que alguno de los dos llegue a la meta. f) Cada jugador deberá llevar el registro escrito de sus operaciones en su cuaderno. g) Al final de la actividad compartan sus opiniones con el grupo, mencionen las dificultades a las que se enfrentaron y expliquen sus conclusiones.

Desarrolla tus habilidades Si una pelota de basquetbol pesa 1 kilo, más la mitad de su propio peso, ¿cuánto 2 pesa? 0.


85


Promueva entre los alumnos, nuevos retos, para que con las erramientas que an adquirido durante este contenido, puedan resolverlas sin ninguna dificultad.

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Eje temático


Tema


Contenido 4

Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos, utilizando los algoritmos usuales

ACUÉRDATE DE...

Qué observar provec e la secci n C D D , para que cuando los alumnos la lleven a cabo, usted diagnostique el nivel de conocimientos que tiene el grupo en relación con la multiplicación y la división con fracciones.

Sugieran problemas en los que requieran una multiplicación o división de fracciones, como los siguientes: “Se tiene una caja con 24 frascos de mayonesa. Si cada frasco pesa 3 kg, ¿cuál es el peso del contenido de la caja?”. 4 Recuerden que la multiplicación de fracciones homogéneas y heterogéneas se efectúa de manera similar: (numerador x numerador) y (denominador x denominador). Comenten cómo efectúan la división de fracciones. 2 y 3 2 3 2x3 6 3 1 3x4 3 4 6 2 12

Fracciones homogéneas. Las que tienen el mismo denominador. Fracciones heterogéneas. Las que tienen distintos denominadores.

Fracción irreducible

simplificación

PRACTÍCALO

Actividad 4.1

1. Con seguridad, en geometría aprendiste a calcular el área de un rectángulo, por ejemplo uno de 8 unidades de base por de altura, esto se puede representar utilizando un modelo eométrico. bserva

5u

40u2

8u (unidades) En este caso, las unidades son números naturales (enteros positivos) y como verás, tanto el 8 como el 5 representan unidades lineales (segmentos que miden una unidad), pero el resultado representa unidades cuadradas, es decir, unidades de super cie cuadritos . Pues bien, vamos a ora a ver que es posible utilizar estos modelos para entender mejor la multiplicación de números fraccionarios. Observa:

86


86


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BLOQUE 2 BLOQUE 2 Vamos a crear un modelo geométrico para la multiplicacón 4 1 = 4 , como ambas fracciones son propias 5 3 15 basta un entero para representarlas, en la primera, el entero se divide en cinco partes de las cuales se toman cuatro y en la segunda, el entero se divide en tres partes y solo se toma una. Describe en los recuadros el procedimiento que se llevó a cabo en cada una de las imágenes. Se dividieron los ejes x e y según los denominadores.

e localizaron los puntos que indica cada numerador.

Se encontró el punto de intersección de ambos puntos.

11 1

11 1

11 1

2 _2 _ 2 _ 33 3

_ _2_2 2 33 3

2 _2 _ 2 _ 33 3

1 _1 _ 1 _ 33 3

1 _ 1 _ _1 33 3

1 _1 _ 1 _ 33 3

00 0

1 _1 _ 1 _ 55 5

2 _2 _ 2 _ 55 5

3 _3 _ 3 _ 55 5

4 _4 _ 4 _ 55 5

11 1

Se sombreó la superficie que se forma con los ejes.

00 0

1_1 1 _ _ 55 5

2_2 2 _ _ 55 5

3 3 3_ _ _ 55 5

4 _4 _ 4 _ 55 5

11 1

00 0

1 11

1 11 3 33

2 22 3 33

2 22 3 33

1 11 3 33

1 11 3 33

1 11 3 33

2 22

3 33

4 44

1 11

0 00

44 1 11

2 22

3 33

4 44

3 _3 _ 3 _ 55 5

4 _4 _ 4 _ 55 5

11 1

Refuerce este conocimiento con nuevas situaciones, e involucre a los alumnos para resolverlas.

15

1 11

1 11

2 _2 _ 2 _ 55 5

Propicie entre los alumnos el análisis y la libre expresión, para que por sí mismos sean capaces de determinar los pasos que se dieron para justificar las unidades cuadráticas a partir de unidades lineales, las cuales se dan por 45 13 .

Se comparó con la superficie total, esto es 4 .

Son 4 unidades de superficie.

1 11

0 00

1 _1 _ 1 _ 55 5

1 11

0 00

11 44 1 11

2 22

3 33

4 44



1 11

En parejas analicen y resuelvan las siguientes situaciones. a) Don Pepe tiene un terreno, al frente quiere construir una tienda de abarrotes. Al decidir la cantidad de terreno para la tienda el arquitecto le dijo: Yo le recomiendo que sea la cuarta parte de la mitad de su terreno. 1

• ¿Qué fracción representa el terreno que ocupará la tienda con respecto a todo el terreno de don Pepe? 8 • Expliquen su planteamiento. Obteniendo la mitad de la mitad del terreno. • Si don Pepe quiere una tienda grande y propone que sean dos cuartas partes de la mitad de su terreno, ¿qué fracción representará? 1 4 • ¿La estrategia para resolver la situación sería la misma que cuando se proponía la cuarta parte de la mitad del terreno? Si.

En la página de Descartes encontrará ejercicios relativos a este tema. ttp recursostic. educacion.es descartes eb materiales didacticos 0 racciones 0 prod r ac. tml

• usti quen su respuesta. Primero el terreno se divide a la mitad, luego la mitad en cuatro partes, cada una representa 18 , como don Pepe quiere que sean dos cuartas partes de la mitad de su terreno entonces 28 14 .

87


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Qué observar A partir de situaciones como estas, observe los planteamientos que realizan los alumnos. Verifique que puedan expresar los planteamientos así como los argumentos para resolver estas cuestiones.

b a mamá de art a compr una pieza de queso C eddar. a parti en tres partes, en tres partes, ella se llev ella se llev una el res el res to se lo re al a art a. enia, la me or ami a de art a, le pidi que le vendiera tres cuartas partes del que que le vendiera tres cuartas partes del queso que tenía. 1 de queso. • ¿Qué racci n representa la cantidad de queso que quiere enia? 2 • Expliquen la estrategia qué sugieren para poder resolver esta situación.

Se multiplica la cantidad que

tiene art a por la cantidad que tiene enia. • i enia se come el queso en cinco días en pedazos del mismo tamaño, ¿qué porci queso en cinco días en pedazos del mismo tamaño, ¿qué porci n de queso comería 1 cada día? usti quen su respuesta. 10 de queso, porque es la quinta parte de un medio. Comenten con el resto del rupo los procedimientos que utilizaron por cada problema, las di cultades que enfrentaron y cómo las solucionaron, registren en su cuaderno las conclusiones que obtuvieron y junto con su pro esor escriban una conclusi n que indique la importancia de realizar correctamente un planteamiento la relación que tiene con el desarrollo de operaciones.

PRACTÍCALO

Actividad 4.2

El mapa del tesoro Un malvado pirata ha enterrado uno de los tesoros más grandes de la humanidad y su misión es encontrarlo, para ello deberán seguir las instrucciones.


Observen el mapa y descubran la ruta del pirata, deberán resolver las multiplicaciones de fracciones a partir de la que indica la salida, recuerden siempre expresar el resultado en su forma irreducible ya que la pista que sigue “inicia con el resultado de la anterior”. Conforme avancen, unan con una línea la ruta recorrida, al final unan las letras y encontrarán el tesoro del pirata. Diviértanse.

Realice actividades como las que se plantean en esta actividad para que los alumnos, de manera lúdica, apliquen lo que an aprendiendo asta este momento.

SALIDA (A)

(I)

3 2 = 4 7

Curiosidades, acertijos y más Cuando se multiplican números enteros por ejemplo 2 5 10, se obtiene una cantidad ma or, 10 que 2 , y cuando multiplicas dos fracciones propias por 1 ejemplo 15 12 10 , se obtiene una cantidad 1 menor 10 < que 15 y 1 que 2 .

3 (S) 14 2 =

3 2 4 5 =

(M) 3 5 = 10 2

4 1 (A) 5 2 = 2 15 (D) 5 6 = (T)

3 4 = 7 5

88


88


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BLOQUE 2 BLOQUE 2 • espondan ¿Cuál es el nombre del tesoro? Amistad , en la última multiplicación el resultado es un entero , en todas las demás multiplicaciones la fracción del resultado siempre es impropia , ya que el numemenor rador es más que el denominador. Comparen su trabajo con algunos de sus compañeros, comenten las dificultades que se les presentaron, observen las diferencias y registren sus observaciones en sus cuadernos.

Para leer más Consejos para resolver un problema: 1. Lee y entiende el problema, explícalo con tus palabras. 2. Encuentra todos los datos. 3. Encuentra todas las preguntas. . ealiza un planteamiento qué operaciones arás por qué . 5. Resuelve operaciones y comprueba el resultado.

PRACTÍCALO

Actividad 4.3

Lean, analicen y resuelvan las siguientes situaciones. a) Sofía tiene un frasco con 120 botones de diferentes colores, la mitad son negros. De los botones restantes, una tercera parte son ca és otra verdes. na se ta parte son amarillos la otra azules. • ¿Cuántos botones de color negro hay en el frasco de Sofía? 60 botones

Esta es una oportunidad para desarrollar la competencia de Planteamiento y resolución de problemas. Propicie la participación de todos los alumnos, para que aprendan a comunicar sus procedimientos, argumentar y mejorar sus técnicas de cálculo.

• ¿Qué operaci n realizarían para encontrar la racci n que representa a los botones de color ca é? Multiplicando 120 por 1 . 2

•


pliquen el procedimiento que utilizaron para e presar la racci n de los botones de color ca é. Los botones restantes son 60 de aquí una tercera parte son de color café. 1

• ¿Qué fracción representa a los botones cafés? 6 • ¿Cuántos botones de color café hay? 20 • ¿Cuántos botones de color verde hay? 20 • Expliquen la forma de cómo obtuvieron su resultado. 1

• ¿Qué fracción representa a los botones de color amarillo? 12

Provoque un debate acerca de lo importante que resulta el divisor, y busque que el grupo llegue a una conclusión general.

• ¿ s la misma racci n para los botones de color azul? usti quen su respuesta. Si, porque 1 se divide entre 2. 6

89


89


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Qué observar

b) Daniel vendió por la mañana 2 del total de periódicos que tenía. Por la tarde vendió la mitad de los que 3 quedaban. 1 • ¿Qué fracción del total de periódicos representan los que Daniel vendió por la tarde? 6 Dividiendo 1 entre 2. 3 • pliquen la estrate ia que utilizaron para calcular este resultado.

La intención de estos problemas es que a los alumnos les quede claro el por qué de sus respuestas. Para eso deben verificar que sus justificaciones resulten claras y, sobre todo, lógicas durante sus exposiciones.

• i Daniel se qued con 20 peri dicos, ¿cuántos tenía al empezar la venta? 120 periódicos. • ¿Cuántos peri dicos vendi Daniel por la mañana? usti quen su respuesta. 80, porque 1 equivale a 40 periódicos. 3

• ¿Cuántos peri dicos vendi en la tarde? usti quen su respuesta. • ¿Cuál es la fracción de periódicos que vendió Daniel en la tarde? • ¿Cuál ue la operaci n que realizaron para lle ar al resultado? 1 1 1 Se multiplica por , dando como resultado . 3 2 6 • Expliquen.

20, porque es la mitad de

1 6

1 6

Una división.

c) En una pequeña finca se cultivan tres variedades de café. A mayor altura de la plantación, mayor calidad en la cosecha. Este año se cosecharon 885 kg. De menor altura 2 de la producción y de mayor altura 1 de la 5 3 producción.

• ¿Cuántos kg de café de menor calidad se cosecharon?

• ¿Qué operaci n realizaron para obtener el resultado? Una división y una multiplicación. • usti quen su respuesta. Primero se divide 885 entre 5 y después se multiplica por 2. • ¿Cuántos kg de café de mejor calidad se cosecharon? 2

• Expliquen cómo plantearon la operación para obtener el resultado Primero se divide 885 entre 3, dando como resultado 295. d onzalo vive en orelia decidi visitar a su ermano que radica en érida. l primer día recorri 2 del total de la distancia; el segundo día recorre 2 de lo que falta. Si la distancia entre Morelia y Mérida es de 5 0 m 1,225 km, ¿cuántos kilometro recorrió el primer día? • Expliquen la manera de cómo obtuvieron su resultado. Dividiendo 1 22 entre multiplicándolo por 2. • ¿Cuántos kilómetros recorrió el segundo día? •

0 m 0 m del primer día más

0

noten la operaci n que utilizaron para encontrar los il metros recorridos. del se undo día nos da 00 m.

• ¿Cuántos kilómetros le falta recorrer para llegar a su destino?

2 m

• Expliquen la estrategia que usaron para saber los kilómetros faltantes. estando los 00 m recorridos a la distancia que a entre orelia érida.

Recursos y materiales Para que sus alumnos comprendan mejor lo comentado en la sección “Qué observar” solicite que rtevisen en artículo: “Operaciones con fracciones, multiplicación y división”, en la página

Comparen sus respuestas y procedimientos con el resto del grupo y verifiquen si sus resultados son los correctos. nalicen unto con su pro esor si los procedimientos que utilizaron ueron los más adecuados para obtener estos obtener resultados.

90


ttp . sapiensman.com matematicas matematicas8. tm

90


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BLOQUE 2 BLOQUE 2

PRACTÍCALO

Actividad 4.4

1. Has observado que al tener los denominadores iguales en la adición y en la sustracción de fracciones las operaciones se simplifican. En la multiplicación no es necesario buscar que los denominadores sean iguales, pues esto no afecta el resultado. Practica resolviendo estos ejercicios. Completa la tabla de acuerdo con los encabezados.

Operaciones

10 1 8 3

Conversión

Solución

30 8 24 24

38 24

24 30

15 30

19 12 1 12 29 30

20 30

8 2 9 3

24 2

18 2

6 2

2 9

14 12 8

28 24

21 24

24

24

59 30

Verifique que los alumnos realicen las conversiones con fluidez y seguridad, y que sean capaces de realizar el proceso completo asta lle ar a la fracción irreducible.

Solución simplificada

4 2 1 5 3 2

1

3 x 2 4 6

No necesario

6 24

1 4

1 x 3 x 1 3 4 2

No necesario

3 24

1 8

Qué observar

Reflexión

a) En las dos últimas operaciones, ¿varió el resultado al convertir los factores a un común denominador? Explica tu respuesta. No, porque siguen siendo fracciones equivalentes.

Para tener en cuenta División

5 6 l unas personas realizan la divisi n de racciones multiplicando en orma cruzada 2 5 3 25

Otras personas prefieren multiplicar el primer factor por el recíproco del segundo, observa 2 5 6 esto es igual a multiplicar 2 5 6 5 3 25, 5 3 25 5 15 1 Donde 2 es el recíproco de 5 ya que al multiplicarlos el resultado es 3 5 3 15 5 3

91

Hay varios tipos de familia, pero lo importante es sentir que formamos parte de un núcleo social que nos quiere, nos apoya y nos protege. i tenemos padres uno o ambos , o no los tenemos, si tenemos ermanos, o no los tenemos, si tenemos tíos o abuelos o una institución que nos cuida, esa es nuestra familia. La familia puede extenderse más allá de nuestros parientes directos para abarcar a todas las personas que amamos, respetamos y ayudamos, en quienes confiamos y que a su vez pueden contar con nosotros.


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Actividad 4.5

1. esuelvan las divisiones aplicando los productos cruzados simpli quen los resultados. Ejemplo:

Qué observar

6 3 2 36 18 6 2 12 12 36 18 9 3 1 2

Esta actividad consta de dos partes: la búsqueda de fracciones omo éneas unto con la práctica de la división; en la segunda se ejercita la transformación a fracciones mixtas.

1 a) 15 ÷ 5 = 1 18 8 3

1 b) 6 ÷ 2 = 1 20 10 2

c) 45 ÷ 15 = 1 90 30

1 d) 3 ÷ 2 = 1 4 3 8

e) 5 ÷ 3 = 1 6 5 18

1 f) 9 ÷ 3 = 1 10 5 2

• ¿Consideran que todas las operaciones tienen el mismo nivel de dificultad? Respuesta abierta, ¿qué incisos les costó más trabajo resolver? Respuesta abierta, ¿en qué incisos tuvieron que realizar operaciones adicionales para resolverlos? Respuesta abierta. Después de esta práctica, ¿consideran que ya serían capaces de resolver mentalmente algunas divisiones? Respuesta abierta , ¿qué incisos podrían contestar mentalmente? Respuesta abierta


2. Don Francisco tiene un terreno y lo dividió en 16 parcelas y quiere sembrar 3 del total del terreno. 4 • ¿Cuántas parcelas ocuparán las 3 partes del terreno? 12 parcelas. 4 • ¿Qué operaciones realizaron para encontrar el resultado? Una multiplicación. • usti quen su estrate ia.

Para que los alumnos tengan más confianza al realizar calculos, como los de la sección anterior, pídales que propongan situaciones vivenciales que tengan que resolver mediante estas erramientas, así enriquecerán su aprendizaje.

Al multiplicar 16 por 3 que es el terreno que quiere sembrar 4

Nos da como resultado 12 parcelas. • ealicen un esquema que represente la divisi n de c mo quedaría la zona a sembrar por don rancisco. Respuesta abierta • Compartan sus respuestas con otros equipos, comparen sus procedimientos y respuestas, verifiquen si coinciden con las suyas. Por último, con ayuda del profesor, obtengan una conclusión acerca de esta actividad y regístrenla. Respuesta abierta

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BLOQUE 2 BLOQUE 2

LO QUE APRENDÍ ee, analiza resuelve cada una de las situaciones. 2 a) Una serie de billetes de lotería ganó el premio mayor; del total del premio 5 le corresponden a don Damián, pero él le prometió a su esposa que si ganaba la lotería 1 lo guardaría de inmediato en el banco. 3 2 • ¿Qué racci n representa la cantidad que debe uardar en el banco? 15 • ¿Qué operaciones realizaste?

2 1 2 15 5 3

• ¿Por qué? Para saber cuál es la tercera parte de dos quintos se debe hacer una multiplicación de fracciones, no una división. 1 10

• ¿Qué racci n representa si don Damián en vez de 1 deposita en el banco una cuarta parte? 3 • ¿ l planteamiento sería el mismo que para la primera situaci n?

• usti ca tu respuesta. La cuarta parte de dos quintos es dos veinteavos, simplificando es igual a un décimo.

b) Un recipiente contiene agua hasta 4 de su capacidad total. Si se le quita la mitad del agua que contiene. 5 3 • ¿Qué racci n de la capacidad total del recipiente alta para llenarlo? 5 • nota las operaciones que realizaste para lle ar al resultado. 4 2 2 5 2 3 2 Primero 5 5 5 Posteriormente 1 5 , esto es 5 5 5 • i en vez de quitar la mitad se quitara la tercera parte, ¿Qué racci n le altaría para llenarlo?

Qué observar La finalidad de esta sección es que los alumnos puedan resolverla a partir de los conocimientos que adquirieron sobre las operaciones con fracciones. Verifique que los planteamientos y resultados sean correctos.

15

• ¿ l planteamiento es el mismo que el anterior? No • usti ca tu respuesta.

Porque ahora hay que quitar una fracción y considerar lo que quedó en el

recipiente para encontrar el resultado. 8

• ¿Qué racci n representa el a ua que queda en el recipiente? 15 4 1 4 • plica c mo obtuviste el resultado. Se multiplica 5 3 15 que fué lo que se quitó, ahora solo restan

8 15

, al entero se le resta lo que sobró 1

8 15

, esto es

15 15

8 15

15

Compara tus resultados con el resto del grupo y verifica junto con tu profesor si tus planteamientos son los adecuados.

Desarrolla tus habilidades naliza resuelve el si uiente problema. Un pastor tiene tres hijos y su ganado consta de 11 ovejas. Próximo a morir, le dio al mayor la mitad de las ovejas, al mediano la cuarta parte del rebaño y al menor la sexta parte. Al no poder repartir con exactitud la herencia, un vecino les prestó una oveja, de manera que el mayor se llevó 6, el mediano 3 y el pequeño 2; sobrando la oveja del vecino, quien la recuperó. ¿Está bien repartida la herencia? Argumenta tu respuesta.

USA LAS TIC En esta página encontrarás una aplicación muy interesante para practicar la multiplicación de fracciones, visítala http://www.aplicaciones. info/decimales/fra05.htm

Respuesta abierta

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Cómo enriquecer la actividad A través de actividades como la que se sugiere en esta sección, se pretende que los alumnos sean capaces de resolverla sin dificultad. Proponga nuevas situaciones para que, de manera colectiva, encuentren las respuestas. Aliente la exposición para la obtención de conclusiones.

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Eje temático

Forma espacio y medida

Tema

Figuras y cuerpos

Contenido 5

Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo

ACUÉRDATE DE... 1. Ya conoces los conceptos bisectriz y mediatriz en un triángulo, por eso vas a aplicarlos resolviendo las actividades que se indican.

Qué observar Verifique que los alumnos utilicen su equipo de geometría de manera adecuada, recomiéndeles que se encuentre limpio y observe que la forma en la que apoyan las escuadras, el transportador o el compás sea correcta.

a) Escribe con tus palabras las definiciones de los conceptos. ediatriz Línea que divide a otra exactamente a la mitad formando un ángulo recto.

isectriz Línea que divide a un ángulo exactamente a la mitad.

b ealiza con tu ue o de eometría los trazos que se indican. Traza la bisectriz del b

a

b


Traza la mediatriz del ab

c

a

c raza en cada polí ono re ular una bisectriz una mediatriz se En el pentágono traza la bisectriz del abc y la mediatriz del AB.

Complemente esta actividad mencionando a los alumnos algunas líneas que se utilizan en el dibujo técnico, como la línea de datos, la línea oculta y la línea de resultados, con la intención de mejorar la calidad de sus trazos.

b

n se indica.

En el hexágono traza la bisectriz del abc y la mediatriz del AB.

a

b

a

c

b

c

d

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BLOQUE 2 BLOQUE 2

Para tener en cuenta os símbolos matemáticos son mu utilizados, por lo que es importante que aprendas a leerlos. El símbolo significa “ángulo” y el símbolo AB se lee como “segmento AB”

PRACTÍCALO

Qué observar

Actividad 5.1

1. na debe resolver al unos problemas de su tarea. no de ellos dice raza tres puntos que no estén alineados traza una circun erencia que pase por estos tres puntos . Para resolverlo le pidi a uda a su ermano, quien le dio estas instrucciones por teléfono. a) Marca los tres puntos, fíjate bien que no estén alineados ni tampoco muy juntos. b) Ahora ponle una letra a cada uno a, b, c.

De manera cotidiana, los alumnos trabajan con símbolos matemáticos, observe que los lean de manera adecuada y trate de que los expresen utilizando el lenguaje común en una frase bien elaborada.

c) Une con una línea los puntos a con b y con otra une b con c. d ora, con tu ue o de eometría, traza las mediatrices de las dos líneas en el punto donde se corten estará el centro de la circunferencia. e) Por último, coloca tu compás en el punto de intersección, ábrelo hasta que toque cualquiera de tus tres puntos traza tu circun erencia.


f ealiza los pasos que le indic el ermano a na resuelve con ella este problema.

B

C A

• ¿Por qué siempre es posible realizar este procedimiento aunque los puntos se encuentren en distintas posiciones? Porque cualquier cuerda forma un triángulo isósceles con respecto al centro. • ¿De qué depende que el punto de intersección sea de verdad el centro de la circunferencia?

Existen programas para computadora como Geogebra, donde puede realizarse una actividad similar a esta. Su ventaja es que pueden moverse los puntos, lo que permitirá que los alumnos analicen rápidamente distintas situaciones en condiciones similares.

Principalmente de hacer el procedimiento correcto y de manejar con precisión el equipo de geometría.

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Qué observar

2. Dos águilas, representadas por los puntos A y B, están de cacería, cada una está en un árbol y un conejo tiene su madri uera unto a una unto cerca, a la ora en que el cone o sale, las dos á uilas se lanzan al mismo tiempo para capturarlo suponiendo que ambas recorren la misma distancia, en el mismo tiempo lle an al mismo punto, traza el recorrido que realizaron localiza el lu ar donde se encuentra la madri uera del cone o, represéntalo como el punto C.

Permita que los alumnos propongan el método de solución que consideren más adecuado, motive que relacionen la actividad con los procedimientos que ya conocen y encuentren la relación que tiene con el triángulo isósceles.

B A

C • ¿Qué instrumentos eométricos utilizaste para resolver este problema? Regla y compás. •

plica el procedimiento que utilizaste para encontrar la madri uera del cone o. e traza una línea entre las dos á uilas, se obtiene la mediatriz uilas, se obtiene la mediatriz se ubica el punto que toca la cerca.

• ¿Qué nombre recibe la línea que trazaste para ubicar la madri uera del cone o? ediatriz Compara con el resto de tus compañeros la ubicación y procedimiento que seguiste para encontrar la madriguera del conejo, comenten junto con su profesor si sus respuestas son correctas.


. as carreteras Pueblo ie o Pueblo uevo cruzan por el Camino del indio, sobre él se quiere colocar una planta de luz que se encuentre a la misma distancia de ambas carreteras. ncuentra el punto donde deben construirla traza la ruta en línea recta al punto donde se unen las carreteras.

Puede utilizar al menos dos métodos para encontrar la bisectriz: utilizando el compás o midiendo el ángulo con el transportador. Pida a los alumnos que comprueben en este último ejercicio, si los ángulos obtenidos son iguales. Al final solicite que justifiquen y argumenten sus resultado.

• ¿Qué instrumentos eométricos utilizaste para resolver el problema? Regla y compás. •

plica el procedimiento que empleaste para encontrar el punto donde se debe colocar la planta de luz. e traza un arco en el vértice de las dos carreteras, se encuentra la bisectriz del án ulo que se orma entre ellas se localiza el punto donde corta al camino del indio.

• ¿Qué nombre recibe la línea que ubica a este punto? isectriz Compara la ubicaci n donde se encontrará la planta de luz con el resto del rupo. Con la asesoría de tu pro esor verifica que las posiciones de los puntos en ambos problemas son correctas.

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BLOQUE 2 BLOQUE 2

PRACTÍCALO

Actividad 5.2

1. Aprendamos un poco de dibujo técnico. unto con un compañero resuelvan esta actividad. a) ¿Cómo se puede construir una perpendicular a una recta si solo se tiene indicado un punto sobre esta? Antes de continuar intenten resolverlo con sus ideas.

a 2. Observen el procedimiento y anoten en cada cuadro la acción que muestra la imagen.

Qué observar Se abre el compás a “cierta distancia” que permita trazar una semicircun erencia.

Dibujo técnico. Sistema para representar objetos de manera gráfica, con el fin de obtener suficiente información para analizarlos.

po ándose en el punto a se traza un arco que corte en dos puntos a la recta.

Apoyándose en uno de los extremos se abre el compás a mas de la mitad del diámetro de la semicircunferencia.

El objetivo de esta actividad es que los alumnos interpreten cada imagen y elaboren una descripción para que construyan la secuencia del procedimiento. Motive al grupo con preguntas para que reflexionen y comparen propuestas e ideas.

e traza un arco de circun erencia procurando que pase aproximadamente por el punto “a”.

El procedimiento anterior se repite ahora en el extremo contrario.

Por último se unen los puntos de intersección entre ambos arcos y se obtiene una recta perpendicular a la recta dada que pasa por el punto “a”.

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a e e ionen e pliquen. ¿Qué relaci n tuvo el trazo de la mediatriz con este e ercicio? Que para poder trazar una perpendicular por un punto dado es necesario ubicarlo como punto medio

Qué observar Motive a los alumnos para que en cada situación ubiquen el punto por donde tiene que pasar la perpendicular como el punto medio del segmento que se toma como base; asimismo, verifique que utilicen el equipo de geometría correctamente y los trazos los a an de manera adecuada.

de un segmento, para eso se usa el arco de la circunferencia. b) Tracen una línea perpendicular a los siguientes segmentos que pase por el punto indicado.

A

A

a

B

a

B Reto: ¿Qué harían si el punto está fuera del segmento?

¿Qué arían si el se mento no alcanza?

A a

a


B

A

B

c) Sigan las instrucciones que se indican y respondan las preguntas de cada inciso.

El uso de la mediatriz y la bisectriz puede complementarse solicitándoles a los alumnos que propongan ejercicios similares para que adquieran una mayor abilidad destreza en el manejo del juego geométrico.

C

A

D

B

D’

. Constru an la bisectriz del DC tracen la mediatriz del DD . ¿ n qué punto se cortan las n qué punto se cortan las rectas?

Recursos y materiales En la página de Geometría Activa, en sus artículos de Elementos de geometría plana: Mediatriz de un segmento y Bisectriz de un ángulo, encontrará animaciones sobre distintas formas de trazar la mediatriz y la bisectriz.

En el punto A, que es el centro de la circunferencia.

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ttp mimosa.cnice. mecd.es clobo eo eb recta . tm ttp mimosa.cnice. mecd.es clobo eo eb recta . tm

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BLOQUE 2 BLOQUE 2 . nan con una línea de color ro o los puntos C. ¿ a bisectriz del án ulo es al mismo tiempo mediatriz del BC? Expliquen por qué. Si, porque la medida de los lados es igual, es decir, se está formando un triángulo isósceles.

. nan con una línea azul los puntos con D con D . ¿ erá bisectriz del D D la mediatriz del DD ? usti quen su respuesta. Si, ocurre lo mismo que con el triángulo de la respuesta anterior, la medida de los lados es igual, es decir, se está formando un triángulo isósceles, la única diferencia es que este es obtusángulo.

Para leer más n conse o. e uramente realizarás muc os trazos en el an ram, por eso trata de marcar únicamente las líneas que muestren resultados, si las estás usando como au iliares, trázalas con suavidad por si necesitas borrarlas.

LO QUE APRENDÍ 1. n la i ura se muestra un an ram. raza sobre ella las instrucciones que se indican responde las preguntas. F


A

En esta actividad es probable que los alumnos realicen muc os trazos sobre la imagen del tangram. Oriente al grupo para que los trazos auxiliares se realicen con lápiz en forma de línea de datos, para que puedan ser borrados con facilidad y pídales que las líneas de respuesta las marquen como líneas de resultados.

G

O

B

I H

E

D

C

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Qué observar Destaque el uso correcto del lenguaje matemático y la relación que presenta esta actividad con los ángulos entre dos líneas, así como con la clasificación de los ángulos.

a raza la bisectriz del raza la bisectriz del OGH y del BHG. ¿Qué tipo de líneas obtuviste? Paralelas

b raza la bisectriz de D la mediatriz del ED. ED. ¿Qué observas? Que también son paralelas

c raza la bisectriz del ABH, ¿cuál es el nombre del ángulo que estás dividiendo? Ángulo obtuso

d raza la mediatriz del DH. DH. ¿Cómo es este segmento con respecto al FO? Paralela e) Responde, ¿el AC es bisectriz del FAB? Si , porque el se mento es bisectriz del FAB. m la bisectriz?

¿Cuánto mide cada ángulo que for-

Desarrolla tus habilidades Coloca dentro del paréntesis la letra que corresponde a la definición correcta y escribe sobre la línea tu justificación de la respuesta que creiste conveniente. Escribe dentro de cada recuadro de la derecha el símbolo que corresponde a cada figura. ( A ) Recta

B

A

Respuesta abierta

Qué observar Compruebe que los alumnos comprenden el significado de cada concepto, y que sean capaces de identificar cada línea con su respectivo nombre y definición teórica.

A

B

Respuesta abierta

A

B

Respuesta abierta

Respuesta abierta

C

Puede aprovec ar esta actividad para desarrollar la imaginación espacial, sobre todo a la ora de identificar figuras. Apóyese en un esquema o dibujo para contar el número de triángulos, así como los distintos tipos que se puedan encontrar.

(C) Es una línea delimitada en ambos sentidos (D) Es la abertura que se forma entre dos rectas

( C ) Segmento

B


( B ) Semirecta

(B) Es una línea delimitada en uno de sus extremos

( D ) Ángulo

A

(A) Es una línea que se prolonga indefinidamente en ambos sentidos Símbolos ACB

AB

AB

AB

raza la mediatriz del AB, traza la bisectriz del BAC, al punto donde se intersectan, nómbralo con la letra , une este punto con el punto , traza la bisectriz del ABF, nombra al punto de intersección con la letra H, une este punto con el punto , traza la bisectriz del BAG, nombra este punto con la letra I, únelo con el punto , traza la bisectriz del , traza la bisectriz del , nombra este punto con la letra , nelo con el punto . C

G

D

Responde: • ¿Cuántos cuadrados se orman? Uno

I

¿cuántos rombos? Uno , ¿cuántos triángulos? Doce

A

B

E

F

, .

• Compara tus trazos respuestas con el resto del rupo, aciendo énfasis en el número de triángulos que observaste. ¿Todos obtuvieron la misma cantidad? ¿Por qué crees que ocurrió esto? Respuesta abierta

H

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100


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Tema

Medida

Contenido 6

Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras

ACUÉRDATE DE... Crear un formulario. Formen equipos para construir un geoplano. Cada equipo proponga una figura para que otro calcule el área y el perímetro contando las unidades y considerando las figuras equivalentes. El formulario será utilizado para veri car las respuestas.

PRACTÍCALO

Actividad 6.1

a) Observa los cuadrados y responde.

Formulario. Escrito que contiene las fórmulas que se deben utilizar para desarrollar y resolver un procedimiento.

• Con tus propias palabras ¿qué es un cuadrado? Respuesta abierta

Geoplano. Tablero de forma cuadrada y cuadriculado marcado por puntos en sus vértices, comúnmente se hace con madera y clavos para colocar bandas elásticas para formar figuras.

Qué observar Con las rmulas de área y de perímetro, y con el apoyo del geoplano, los alumnos elaborarán sus propias erramientas para desarrollar este tema. Explique el objetivo de la actividad y procure tener a la mano su formulario y el eoplano a la ora de realizar la actividad.

• ¿Cómo se calcula el perímetro de un cuadrado? Lado (medida) por 4. • ¿Cuál es la fórmula que lo representa? P 4l • Conociendo la medida de su base o altura, ¿es posible calcular el área? Si Explica por qué Ambas dimensiones miden lo mismo. 2 Por lo tanto, la fórmula para calcular el área de un cuadrado es A l • ¿Por qué la unidad de medición del área es u2? unidades de superficie.

Porque

• ¿Cómo son los ángulos internos de un cuadrado? Rectos b) Observa los rectángulos y responde.

se

miden

Qué observar USA LAS TIC En la página http:almasmath.blogspot. com 2010 12 mediatriz bisectriz. tml podrás encontrar actividades interactivas para practicar el trazo de la bisectriz la mediatriz.

101

al vez los alumnos a están familiarizados con los conceptos de perímetro y área, por lo que puede acer énfasis en el tipo de unidades, en su representación y en expresar sus resultados como unidades lineales u o unidades cuadradas u2 .


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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 • ¿C mo son los lados opuestos de un rectán ulo? Paralelos internos? Rectos


, ¿Cómo son los ángulos

• ¿Cuál será la orma más sencilla de calcular el perímetro de un rectán ulo? usti ca tu respuesta. 2(b h). ). Entonces su fórmula es: Sumando su base y su altura y multiplicándolo por 2, por tanto su fórmula es: P 2( • ¿C mo calcularías el área de un rectán ulo? Respuesta abierta , ¿Cuál es la fórmula que esto representa? Multiplicando su base por la altura, por tanto su fórmula es: A bh.

Es posible relacionar las conclusiones de b c . otive a los alumnos para que observen, comparen y concluyan acerca de las similitudes y diferencias entre las fórmulas de perímetro y área del rectángulo y del romboide.

c) Observa con atención la secuencia de las siguientes figuras.

Pídales que justifiquen sus respuestas y procedimientos. • Describe la secuencia de las

uras anteriores. De un romboide, se cortó un triángulo para formar un rectángulo.

• ¿C mo es la altura con respecto al lado ad acente de la base? Igual respuesta. La altura es la misma en las cuatro figuras. • ¿C mo se calcula el perímetro de este tipo de 2(b h). ). tanto, su fórmula es P 2(

uras? Igual, que un rectángulo.

usti ca tu , por lo

• para calcular el área, ¿qué orma es la más práctica? Por medio de la fórmula. • ¿ a Si

rmula que se utiliza para calcular el área de un romboide es la misma que para la del rectán ulo?

d) Observa la secuencia de las figuras y responde lo que se te pregunta.

Qué observar Esta actividad pretende que el alumno rompa las barreras mentales que le pueden llegar a dificultar el razonamiento. Fomente la observación y pida que justifique por qué la fórmula del área del rombo tiene relación con el área del triángulo, y su perímetro con el del cuadrado.

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BLOQUE 2 BLOQUE 2 • ¿C mo es la super cie del rombo con respecto al trián ulo que se encuentra en el rectán ulo? Iguales Explica por qué. Porque tienen la misma cantidad de triángulos. • ¿Qué relaci n tienen las diagonales del rombo con la base y la altura del rectángulo? Misma medida. • ¿C mo es el perímetro del rombo con respecto al de un cuadrado? Igual Entonces la fórmula para calcular su perímetro es: P 4l

.

• ¿De qué manera se puede comprobar que el área de las uras de los incisos , , e i verdaderamente miden lo mismo? Contando sus unidades de superficie. •

plica ¿cuál es la orma de calcular el área de un rombo? La mitad del producto de sus diagonales.

• Por lo tanto la rmula para calcular el área de un rombo es A

Dd 2

PRACTÍCALO

Actividad 6.2

raza una dia onal para los si uientes paralelogramos:

• n cada ura identi ca la línea que representa la base b la que representa la altura (h). • ¿ s el mismo procedimiento que se utiliza para calcular el perímetro a partir de la suma de los lados de cada figura? Si . Explica tu respuesta. Por que el perímetro de cualquier polígono se puede calcular sumando

Diagonal. Línea que une dos vértices no consecutivos de un polígono. Paralelogramo. Cuadrilátero que tiene sus lados paralelos.

cada uno de sus lados. • ¿Consideras que con la dia onal trazada se obtienen partes i uales? Si

Explica tu respuesta.

Siempre se obtiene dos triángulos congruentes. • ¿Qué

uras se orman en cada paralelo ramo? Triángulos

• ¿Qué relaci n tiene el área de la

ura que se orm con el paralelo ramo? Que es la mitad.

Cómo enriquecer la actividad Puede utilizar el programa Geogebra, para que los alumnos observen cómo va cambiando la superficie de cada triángulo en relación con la diferencia entre la longitud de sus lados. Si le es posible, incorpore este gran recurso tecnológico. Pida a sus alumnos que analicen con diversos cuadrados, rectángulos y romboides la relación entre el área del triángulo y la de cada una de estas figuras. Cuesti nelos acerca de la demostración del por qué se divide “entre dos” la fórmula para calcular el área de un triángulo.

• Colorea en cada ura una parte de las dos que se obtuvieron al trazar la dia onal. ¿C mo se llama esta figura? Triángulo isósceles, dos triángulos escalenos. •

plica cuál es el procedimiento para calcular el área de un trián ulo.


Se multiplica la base por la altura y se divide entre dos. bh

• ntonces, la rmula para el área es A 2

• ¿Cuál es la orma más sencilla para calcular la suma de los lados de un trián ulo? ntonces la rmula que representa su perímetro es: Lado más lado más lado, su fórmula es: P a b c

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En la página Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales, de la niversidad statal de ta , se o rece un geoplano en línea. Adicionalmente incluye diferentes actividades, información y sugerencias para los profesores. Este permitirá enriquecer aún más su labor docente: ttp nlvm.usu. edu es nav rames asid 2 1 t . tml

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Actividad 6.3

1. unto con un compañero, observen la secuencia contesten las pre untas.

Qué observar La descomposición de un polígono regular en un romboide ec o con caras triangulares, justifica muy bien la fórmula del área. Verifique que los alumnos comprenden esta relación e interpretan con claridad el significado de esta fórmula de manera esquemática. ambién es posible que con observar el número de triángulos se deduzca por qué se debe dividir entre dos.

• Expliquen la forma en que obtendrían el perímetro de la figura. Multiplicando el valor de uno de sus lados por cinco. • ¿Qué relación se presenta entre la altura y la apotema de la figura? Que es lo mismo. tifiquen su respuesta. La apotema y la altura están indicadas con triángulos congruentes.

us-

• ¿Se puede decir que la base del romboide y el perímetro del pentágono son iguales? Si • ¿Cuál sería la fórmula para calcular el perímetro de la figura? P 5l • De los triángulos que forman el romboide, ¿cuántos representan el área del pentágono? Cinco entonces, ¿qué parte representa del total de triángulos del romboide? La mitad , por lo tanto, la la rmula que se utiliza para calcular el área de un polí ono ono re ular es A Pa 2

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BLOQUE 2 BLOQUE 2 2. Cuando el pro esor nos di o que trazáramos un cuadrado para obtener su perímetro, varios de los cuadrao que trazáramos un cuadrado para obtener su perímetro, varios de los cuadra dos resultaron de diferentes tamaños porque la medida del lado no coincidió. Algunas de ellas, las más elegidas, fueron: 3 cm, 5 cm, 6 cm, 4 cm, 2 cm y 8 cm. Entonces nos propuso hacer esta tabla y responder las preguntas.

Lado en cm

2

3

4

5

6

8

Perímetro en cm

8

12

16

20

24

32

Por sencilla que parezca esta actividad, deles confianza para que vayan dando sus respuestas, recuerde lo importante que resulta la participación de todo el grupo para justificar las fórmulas del perímetro y área. Estas expresiones adquieren sentido para los estudiantes, a la vez que desarrollan las competencias de argumentación y comunicación.

a) ¿Cómo se calcula el perímetro del cuadrado que tiene 2 cm de lado? Multiplicando cuatro por dos. b) ¿Y del que mide 5 cm de lado? Multiplicando cuatro por cinco. c) ¿Y del que mide 8 cm de lado? Multiplicando cuatro por ocho. d) ¿Y si la medida del lado no está definida y la expresamos con n? Cuatro por “n”. e) Escribir la fórmula para calcular el perímetro de un cuadrado cualquiera. P 4n

3. Consideremos la tabla propuesta para determinar el área de cada cuadrado.

Lado en u

2

3

4

5

6

8

2

4

9

16

25

36

64

Área en u

Qué observar

Pueden apoyarse dibujando cada cuadrado en la cuadrícula y comparando. Consideren que cada es 1u2. 1u y cada

es

a) ¿De qué manera pueden simplificar el conteo? Elevando al cuadrado la longitud de uno de sus lados. b) Si cada lado lo representamos por ll, ¿cuál es la fórmula para calcular el área de cualquier cuadrado? A l2 Comparen sus resultados con los demás compañeros y verifiquen con la ayuda de su profesor, que estos sean correctos.

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 4. Ahora, determinen el perímetro de cada uno de los siguientes rectángulos; luego completen los planteamien planteamientos que se proponen.

Qué observar 1

Pregunte a los alumnos acerca de los procedimientos empleados para obtener sus respuestas y elaboren un formulario convencional.

3

2

P 18 u

P 22 u

P 18 u

4

6

5 P 26 u

P 24 u

P

24 u

a) Anoten el procedimiento que siguieron para obtener cada perímetro. Sumando la medida de sus lados.

b) ¿Cómo son entre sí los lados opuestos de cada rectángulo? Iguales dos a dos.

c) ¿Y cómo resultan ser esas medidas? Iguales d) Es decir, que un rectángulo tiene dos lados largos

iguales

y dos lados cortos

iguales

Entonces, el perímetro de la primera figura se puede obtener a partir de: 2 x 3 2 x 6 18 ¿Coincide esta solución con su respuesta? Si e) Verifiquen este procedimiento con el resto de los rectángulos. 2 5 2 4 18

2 2 4 = 22

2 2 2 10 24

2 9 2 4 26

2 5 2 5 20 5. Utilicen la tabla para determinar el perímetro de seis rectángulos, más uno especial, de los que se conocen sus lados.

Largo en m

8

12

24

45

80

110

a

Ancho en m

6

9

12

15

40

60

b

Perímetro en m

28

42

2

120

240

340

2(a b)

106


106


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BLOQUE 2 BLOQUE 2 a scriban dos e emplos que muestren el procedimiento que utilizaron para encontrar el perímetro de cada rectángulo. 2(8 6) 2(14) 28

2(80 140) 2 (120) 240

b) En el último de los rectángulos, ¿cuál es su respuesta? 2(a b)

c) Coméntenlo con sus compañeros y con su profesor. Acuerden si esa es una fórmula para calcular el perímetro de cualquier rectángulo. Respuesta abierta


6. Ahora, calculen el área.

1

3

2 A 18 m

Para la obtención de las fórmulas, permita los alumnos expliquen cada uno de los procedimientos que llevaron a cabo en el cálculo del área de las figura.

2 2 A 28 m

2 A 20 m

5 2 A 36 m

4

6 2 A 25 m

2 A 20 m

a) ¿Qué procedimiento siguieron para obtener el área de cada rectángulo? Multiplicar su base por su altura.

b) En un cuadrado sus lados son iguales, en un rectángulo la base y la altura son desiguales; ¿consideran que la diferencia entre estas medidas altera la medida del área? Si. usti quen su respuesta. Porque dependiendo de la diferencia entre la medida de la base y la altura se determina el área.

c) Discutan sus respuestas con el grupo y obtengan una conclusión. Anótenla. Respuesta abierta

Pida que observen en el salón de clases, qué objetos tienen similitud con estas figuras; y después que midan con un flexómetro sus dimensiones para que; que realicen el cálculo del área y del perímetro de cada uno. Realicen un esquema de estos objetos, así como las operaciones que llevaron a cabo en su cuaderno.

Comparen sus resultados con los de sus compañeros y con la asesoría del profesor verifiquen sus respuestas.

107


Recursos y materiales Organice una encuesta entre los alumnos para que indiquen cuál de los rectángulos del ejercicio les resulta visualmente más atractivo. Pida que dividan la medida de la base entre la altura de dic o rectán ulo. Explique lo que es la proporción aurea. ¿Coincidi la elecci n con la proporci n?

107


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Actividad 6.4

1. Al tomar como referencia el primer cuadrilátero, se hicieron algunos movimientos con la posición de los vértices sin alterar las medidas de los lados. Escriban sus comentarios acerca de lo que sucede con las formas, los perímetros y las áreas de cada serie de figuras.

Lleve a los alumnos a reflexionar sobre las características del romboide y del rombo. Para reforzar el reconocimiento de este tipo de figuras, pídales que en su cuaderno tracen otros rombos y romboides, cuyas medias sean propuestas por el propio grupo.

• ¿ as medidas de los lados de la secuencia del rectán ulo modi can su perímetro? No • ¿Qué instrumentos utilizaron para veri car su respuesta? Una regla • ¿Cuál es el perímetro de las tres

uras? 26 unidades lineales.

• ¿Cuántas unidades cuadradas tiene el rectán ulo? 36 unidades cuadradas. 2 • ¿Cuántas unidades cuadradas tienen apro imadamente los dos romboides? 31.5 u

• ¿C mo es el perímetro en la secuencia de los cuadrados? Es igual • ¿Qué instrumentos utilizaron para encontrar su respuesta? Una regla 2 2 2 • ¿C mo es el área en esta secuencia? 35 u , 31.5 u y 36 u aproximadamente.

Cambiando números Solicite a sus alumnos que en una o a cuadriculada, reproduzcan la primera figura de cada la rectán ulo cuadrado . Después pídales que realicen los cambios de cada figura, así como en la cuadrícula de su libro. Es importante que los tracen con precisión, respetando el número de cuadros unidades que conforman la base. Por ejemplo, si el rectángulo tiene una base de 9 unidades, esta misma deberá de considerarse para la elaboración de las dos figuras.

Comparen sus respuestas con el resto del grupo y con la asesoría del profesor verifiquen sus resultados.

Para tener en cuenta Cuadriláteros Polígonos de cuatro lados

Paralelogramos

Trapecios

Trapezoides

Cuadriláteros de lados opuestos iguales y paralelos

Cuadriláteros con un par de lados paralelos

Cuadriláteros sin lados paralelos

Rectángulo Rombo Cuadrado Romboide

Rectángulo Isósceles Escaleno

Rectángulo Isósceles Escaleno

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na vez que ten an ec o estas acciones, pida que contesten las preguntas de la Actividad 6.4.

108


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BLOQUE 2 BLOQUE 2

PRACTÍCALO

Actividad 6.5

Observa los polígonos regulares mostrados y contesta después las preguntas.

Qué observar Verifique que los alumnos noten que los lados de todos los polígonos son iguales, y que expliquen con sus propias palabras cómo es que se incrementa la apotema y la altura de cada uno, dependiendo de su número de lados.

• ¿Qué relaci n observas entre la lon itud de uno de los lados de los cuatro polí onos? Son iguales Con base en esta información completa la tabla.

Polígono Pentágono Hexágono Heptágono Octágono •

Medida de un lado

Perímetro

4u

20 u

4u

24 u

4u

28 u

4u

32 u

raza la línea que representa la apotema con base en la actividad . responde las pre untas de este ejercicio.

• ¿Qué ocurre con la lon itud del apotema considerando que el lado de todos los polí onos es el mismo? Aumenta •

ecuerdas que un polí ono re ular se puede descomponer en trián ulos para ormar un romboide, entonces, ¿qué representa en realidad el apotema en estos cuatro polígonos? La altura de un triángulo. Pa A 2 • ¿Cuál es la rmula para calcular el área de un polí ono re ular?

Verifique que los alumnos relacionen correctamente la cantidad de lados del polígono con la longitud de sus lados en el cálculo del perímetro y la manera de cómo aumenta. Observe que los alumnos no presenten dificultades en el algoritmo para obtener el área de un polígono regular.

Con estos datos completa la tabla:

Polígono Pentágono Hexágono Heptágono Octágono

Lado

Apotema

Área

u

2.

2

u2

4u

3.4

40.8 u2

u

.1

. u2

u

.8

.8 u2

Cambiando números

Compara tus resultados con el resto del rupo, veri ca que tu estrate ia ue la adecuada para realizar la actividad.

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Pida a sus alumnos que tracen sobre una o a cuadriculada, cada uno de los polígonos mostrados. Consideren que cada lado debe comprender el mismo número de cuadros unidades .

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LO QUE APRENDÍ APRENDÍ 1. esuelve los problemas. Comenta con el rupo los procedimientos utilizados las respuestas obtenidas. a) Para instalar una malla ciclónica alrededor de su propiedad, Alfredo estudia el plano de su terreno y encuentra las medidas indicadas en la figura de abajo. ¿Cuántos metros de malla debe comprar? m

Qué observar

11 m

Permita el análisis de esta figura para que los alumnos comprendan que la suma de los lados se aplica para cualquier trapecio is sceles, rectán ulo escaleno .

15 m

9m

22 m • ¿Qué procedimiento utilizaste para obtener el resultado? Sumando todos sus lados.

usti ca tu respuesta. Para encontrar el perímetro se suman los valores de los lados de la figura.

• scribe la rmula la operaci n que realizaste para encontrar el resultado. P a b c d; P 22 m 15 m 11 m 9 m

b

na amilia instalará losetas en su sala así que izo un diseño del piso tom las medidas. i el instalador cobra $135.00 por metro cuadrado (m2), ¿cuánto costará la instalación en total? $2 960.55

Cómo enriquecer la actividad Dé el tiempo necesario para que resuelvan la situación. Verifique a través de una esquematización en el pizarrón, que los planteamientos y resultado sean satisfactorios. Mediante una lluvia de ideas, permita que los alumnos elaboren una conclusión acerca de la manera más sencilla de resolver este tipo de ejercicios.

3.2 m

4.3 m

m • ¿Qué procedimiento llevaste a cabo para obtener la respuesta? La suma de dos áreas y luego se multiplica por 135.

usti ca tu respuesta. Se divide la figura en un triángulo y un rectángulo, después se calcula el área de cada una y al final se suman ambas áreas.

• scribe las rmulas que utilizaste, además de las operaciones que realizaste para resolver este problema. Pa para el triángulo. A bh para el rectángulo y A 2

110


110


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BLOQUE 2 BLOQUE 2 c) Marilú quiere poner alfombra en un cuarto que construyó. Para esto tomó las medidas de los laterales del cuarto y las representa en la figura de abajo. Aproximadamente, ¿cuánta alfombra debe comprar? 21 m2


2.6 m

na vez resuelto el problema, cuestione a los alumnos para que deduzcan que también se puede calcular el resultado de esta situación, con la fórmula del área del trapecio.

2.6 m

2.6 m

4m

• ¿Cuál ue el procedimiento que utilizaste? Sumando las dos áreas.

usti ca tu respuesta. Se calcula el área del cuadrado y del triángulo por separado y al final ambas se suman.

•

nota las rmulas que mane aste las operaciones que realizaste. Pa (4)(2.6) para el triángulo, A . A l 2 para el rectángulo, A (2.6)2 y A 2 2

Compara tus resultados y procedimientos con el resto del grupo y verifica con tu profesor que las respuestas sean correctas. Elaboren una conclusión sobre la forma correcta de resolver estos ejercicios.

Desarrolla tus habilidades ¿Cuáles de estas figuras tienen mayor perímetro? ¿Su área también es la mayor? Anota tus comentarios.

Qué observar El propósito de esta actividad es desarrollar destrezas al medir y buscar estrategias para encontrar rutas más cortas en la obtención de los resultados.

USA LAS TIC

P = 12.2 cm P = 11.2 cm P = 19.2 cm .8 cm2 A = 9.12 cm2 A = 2.16 cm2 Las dos figuras de abajo tienen mayor perímetro y área.

P = 19.8 cm A = 11.48 cm2

Es posible que en alguna ocasión necesites consultar un formulario para el cálculo de áreas, aquí tienes el enlace de uno muy útil, visítalo. http://www.vitutor. net/1/24.html

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Recursos y materiales En el índice de la página de Geometría Activa, encontrará las referencias a diferentes animaciones interactivas en la que sus alumnos podrán trabajar perímetros y áreas de cuadriláteros y otros polígonos: ttp mimosa.cnice. mecd.es clobo eo eb indice. tm

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Eje temático


Tema


Contenido 7

Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios

ACUÉRDATE DE... Para este apartado se espera que perfecciones el uso de las proporciones al resolver problemas sencillos, como:

Qué observar un cuando an trabajado las relaciones de proporcionalidad desde Primaria, es importante reforzar los conceptos de razón y proporción, así como el cálculo de valor faltante en una expresión para que pueda obtenerse la proporción.

i por una docena de calcetines se pa an 222. 0. i la mamá de uan quiere comprar nicamente pares de 2. calcetines, ¿cuánto tuvo que pagar? • ¿De qué manera obtuviste el resultado? A partir del valor unitario de cada calcetín. • usti ca tu respuesta. i cada calcetín cuesta 18. •

nota el planteamiento que llevaste a cabo.

222.60 12

, por calcetines se pa arán 18.55; (18.55) (5) 2.

2.

.

.

• ¿Calculaste el valor unitario de un par de calcetines? Si ¿Por qué? Porque se tiene que conocer el precio unitario para conocer otra cantidad mayor a uno. Compara tu procedimiento con tus compañeros de grupo y verifica con tu profesor que la respuesta sea correcta.

PRACTÍCALO

Actividad 7.1

unto con un compañero analiza resuelve la si uiente situaci n. El director de una secundaria quiere llevar de excursión a un grupo de tres grados diferentes, como opciones tiene: el museo universitario, el jardín botánico y el teatro. Cuando tuvo los presupuestos, elaboró esta tabla:

Grado

Cómo enriquecer la actividad Para asegurar que los alumnos entienden el concepto de proporción. Pídales que al resolver cada inciso argumenten por qué consideran que el resultado que presentan es el correcto. En parejas justifiquen sus respuestas.

Total alumnos

Museo universitario

Jardín botánico

1º

38

$2 622

$1 900

2º

45

10

2 2 0

3º Total

Teatro $2 850

52

$3 588

$2 600

$3 900

135

$9,315

$6,750

$10,125

• Completen la tabla, encuentren las cantidades que debe pa ar por rado en las tres opciones con base en esta información respondan las preguntas: • ¿Qué procedimiento emplearon para poder completar la tabla? Se calcula el precio de la entrada de manera unitaria de cada opción, y después se multiplica por la cantidad de alumnos de cada grado.

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112


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BLOQUE 2 BLOQUE 2 • usti quen su procedimiento. Para la primera opción se divide $9 315 entre 135 alumnos y se conoce el valor unitario que es de $69, al multiplicarlo por 8 alumnos de primer rado da como resultado 2 22, lo mismo se realiza para los otros dos grados con esta y las demás opciones. • ¿Cuánto tiene que pagar si decide ir al museo y asisten 38 alumnos? $2 622 , si de último momento $2 208 cancelaron su asistencia 6 alumnos, ¿cuánto pagará? ¿Qué operaci n realizaron para encontrar el monto? A los 38 alumnos se les restan los seis que faltaron, quedando 32, esta cantidad se multiplica por el valor unitario de $69.

• ¿Cuánto cuesta la entrada al museo por alumno? $69

Expliquen cómo encontraron el resultado.

Dividiendo $9 315 entre 135 alumnos.

• i asistiera al ardín botánico le cancelaran cinco alumnos de cada rado ¿cuánto pa aría en total por los tres grados? $6 000 • ¿Cuánto cuesta la entrada por alumno al ardín botánico? $50 Dividiendo

0 entre 1

Cómo enriquecer la actividad Propicie que los alumnos propongan situaciones de su vida diaria en donde se presente este tipo de casos. Que los expongan ante el grupo, los analicen y los resuelvan en sus cuadernos de notas. Al final verifique que los resultados y justificaciones estén bien realizados.

Expliquen su planteamiento.

alumnos .

• i decide llevar al teatro nicamente a los alumnos de 1 2 , pero de primero cancelan de se undo 2, ¿cuánto pagará en total? $3 300

•

pliquen el procedimiento que utilizaron e suma los alumno de 1 2 al total se le restan , al nal se multiplica por

0.

• ¿Cuál es el precio por alumno en el museo?

• ¿Qué operaci n realizaron para encontrar el precio? Dividiendo $10 125 entre 135 alumnos.

Comparen sus resultados y procedimientos ante el grupo y si es necesario realicen correcciones.

113


113


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Actividad 7.2

Resuelve estos problemas. a) A velocidad constante, un automóvil hace los recorridos que fueron anotados en la tabla.

Qué observar

Tiempo en horas Distancia en km

Con el mane o de las tablas se le puede facilitar al alumno la obtención de una constante de proporcionalidad o la razón unitaria, misma que se calculará más adelante.

1.5

2

112.5 150

3 225

4.5

5

.

6

.

8

9

450 562.5 600

9.5 12.

• ¿Varían en forma proporcional los tiempos y las distancias? Explica tu respuesta. Si . • ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? m • ¿ qué velocidad se desplaza el autom vil? b) En un mapa a escala, cada 0.5 cm representan aproximadamente 100 km. Si en el mapa unes dos ciudades la distancia es de 2. cm, ¿a qué distancia real se encuentran esos dos lu ares que separaste? 550 km c)

i por cada paquete de seis alletas que se come una persona consume 2 . ramos de carbo idratos, ¿cuántos carbohidratos consumirá si se come una tercera parte del paquete? 8.58 carbohidratos

Compara tus resultados con algunos de tus compañeros y con ayuda de tu profesor comprueba que tus respuestas sean correctas.

PRACTÍCALO

Cómo enriquecer la actividad Con el n de consolidar el concepto de proporcionalidad, promueva que también los estudiantes propongan ejercicios que puedan resolver mediante proporciones. Solicite a un alumno que exponga una de las situaciones propuestas y explique la manera en cómo llevó a cabo su planteamiento y sus cálculos para la obtención de la proporcionalidad.

Actividad 7.3

tiliza tu re la para medir cada una de las partes indicadas de la o cina, cada centímetro de tu re la representa 22.5 cm del tamaño real de los objetos. Contesta lo que a continuación se te indica. Registra las medidas: Objeto

Medida real Objeto

Silla

45 45

Sillón

202.5

Escritorio

45 90

Pizarr n

1

Archivero Ventana

. 45

112.5 Mesa

Puerta

Medida real .

.

180 diámetro 90

¿Qué estrategia usaste para tomar las medidas correctas? Midiendo con la regla. ¿Qué criterio usaste para medir la puerta, la mesa redonda y la silla?

La puerta como unidad lineal, la mesa como diámetro de una circunferencia y la silla como un cuadrado.

i utilizaras una escala di erente, ¿podrías obtener las mismas medidas reales? Si • usti ca tu respuesta. Porque lo que cambiaría sería el plano y no el tamaño real. • ¿Cuáles son las dimensiones reales de la oficina? 652.5 429.5 Compara tus resultados con el resto del grupo y con ayuda de tu profesor elabora una conclusión.

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114


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BLOQUE 2 BLOQUE 2

Para tener en cuenta ealizar un esquema, dibu o o representaci n rá ca de un problema siempre es til para razonarlo entenderlo, inténtalo.

PRACTÍCALO

Actividad 7.4

1. Resuelve las situaciones que se te muestran a continuación y responde lo que se indica. a) Un paquete de 18 huevos cuesta $15.60, ¿cuánto costará un paquete con una docena?

Qué observar

• ¿Cuál es valor unitario de cada huevo? $0.86 • ¿Cómo obtuviste el valor unitario? Dividiendo 15.60 entre 18. • usti ca tu respuesta. Al dividir se conoce el valor unitario de cada huevo. • ¿Qué operaci n es tuviste que realizar para obtener el resultado? Una división

b n bibliotecario catalo a re istra 0 libros en 2 minutos. n esa misma raz n, ¿cuánto tiempo necesitará para catalogar y registrar 240 libros? 200 minutos • ¿Cuántos libros cataloga por minuto? 1.2 libros • Explica la estrategia que seguiste. 240 Se divide 30 1.2, esto es lo que cataloga por minuto, ahora se divide 200 que es el tiempo 1.2 25 que tarda en catalogar 240 libros. • ¿Qué tipo de unidad utilizaste para indicar el tiempo que tarda? Minutos • ¿Por qué? Porque son las unidades dadas en la situación.

c) Un capturista redacta 3 páginas completas en una hora y trabaja diariamente 6.5 horas. ¿Cuántos días requiere para capturar un libro de 02 pá inas? 36 días.

Con estas situaciones tiene la oportunidad de pedir a los alumnos que participen en la resolución y presentación de procedimientos; recuerde que de esta forma pueden desarrollar las cuatro competencias matemáticas: planteamiento y resolución de problemas, argumentación, comunicación y manejo de técnicas.

• ¿Cuántas páginas redacta por día? 19.5 páginas. • Explica tu estrategia. Multiplicando el número de páginas por las horas trabajadas (3) (6.5) 19.5, 02 36 que son los días que tardará en capturar el libro. luego se divide 19.5 • ¿Qué operaci n realizaste para encontrar el n mero de días? Una división. • usti ca tu respuesta. Se divide la cantidad de páginas entre el número de páginas por día. • Y si trabajara 8 horas diarias, ¿qué tiempo le llevaría redactar las 02 pá inas? 29 días y 2 horas. Compara tus respuestas con el resto del grupo y verifiquen con su profesor el uso de sus procedimientos.

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Bitácora pedagógica Transversalidad Solicite a los alumnos, que comenten con el pro esor de Ciencias 1, la relación que tiene la proporcionalidad con el índice de masa corporal C.

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LO QUE APRENDÍ APRENDÍ 1. Completa o genera una tabla para cada una de las siguientes situaciones de acuerdo con lo que se te pide.

Qué observar

a) Obtén el perímetro de diversos cuadrados.

Oriente a los alumnos en la relación que tiene este tema con las progresiones y la relación que puede existir de manera proporcional con los datos que se toman como base tanto para el perímetro como para el área, y que analice el porqué de estas diferencias.

Lado en cm

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Perímetro en cm

1

8

12

16

20

24

28

32

36

40

• ¿Qué pasa con el perímetro cuando el lado se duplica? También se duplica. • ¿Qué sucede con el perímetro cuando el lado se triplica? También se duplica. • si el lado se cuadruplica, ¿qué ocurre? Se cuadruplica, a medida en que aumentan las dimensiones de un cuadrado, el perímetro también incrementa.

• ¿Podrías decir que los lados sus perímetros son ma nitudes proporcionales? Si • ¿Por qué? Porque a medida que aumentan las dimensiones del cuadrado el perímetro aumenta de forma proporcional.

Reflexión

b) Obtén el área de diversos cuadrados.

Sobre la salud y la responsabilidad Propicie que los alumnos reflexionen acerca de la salud. odo ser umano eli e cómo quiere vivir y lo que desea ser. Es de manera responsable de lo que a a con su persona. Se actúa responsablemente cuando se cuida nuestro cuerpo y el medio en que vivimos. La buena alimentación y la salud, permite un rendimiento óptimo en la escuela.

Lado en cm

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Área en cm2

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

• ¿Qué sucede con el área cuando el lado se duplica? Crece en relación al cuadrado de uno de sus lados. • ¿Qué pasa con el área cuando el lado se triplica? También se incrementa en relación al cuadrado de uno de sus lados. • si el lado se cuadruplica, ¿qué ocurre? Ocurre lo mismo, la superficie de un cuadrado siempre esta en realción al cuadrado de uno de sus lados. • os lados áreas que aparecen en la tabla, ¿son ma nitudes proporcionales? No • ¿Por qué? Porque al comparar de manera proporcional los resultados de la tabla no resulta una proporción.

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116


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BLOQUE 2 BLOQUE 2 ¿Cuán c) Cierto refresco de 2.5 l tiene un costo de $14.50. Por el día de hoy están con un descuento de 1 . ¿Cuán5 to te ahorras en la compra de 1 a 10 refrescos?

Número de refrescos Descuento en $ Precio de oferta $

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2.

.8

.

11.

1 .

1 .

20.

2 .2

2 .1

2

11.6

23.2

34.8

46.4

58

69.6

81.2

92.8

100.8

116


• ¿ arían en orma proporcional el precio normal el precio de o erta? Si. • ¿Cuánto ahorraste en la compra de 5 refrescos? $14.5

¿Y cuánto por 10 refrescos? $29

• ¿ on proporcionales? Si. usti quen su respuesta. El descuento se incrementa de manera proporcional a la cantidad de refrescos que se compran. • i para una esta compras 0 re rescos, ¿Cuánto pa arían? $580 el ahorro sería de $145

,

d) En parejas diseñen en el recuadro una situación donde se maneje la proporcionalidad directa, tomen como base e periencias de su vida cotidiana, e pon an ante el rupo las operaciones que realizaron justifiquen la forma en que lo resolvieron.

Respuesta abierta

Comente con el rupo cuáles son las ventajas, sobre todo en el aspecto de economía familiar, de conocer el manejo de los porcentajes y analice qué tanto puede influir esto en el a orro del gasto familiar. A partir de esta situación solicíteles que expongan casos a los cuales se an enfrentado, ya sea en la tienda autoservicio, en el mercado, u otro lugar y que comenten la forma en la que resolverían la situación.

Comparen sus resultados con el resto del grupo.

USA LAS TIC

Desarrolla tus habilidades Imagina que en las siguientes cajas hay galletas de chocolate o de vainilla. El número que muestran es la cantidad de galletas que contienen. Curiosamente, al venderse cierta caja quedaría el mismo número de galletas de cada sabor. ¿Cuál caja hace que esto ocurra? 12

8

14

9

23

29

Conoce algunas aplicaciones para realizar prácticas de proporcionalidad, visita esta página, diviértete y aprende: http://recursostic. educacion.es/descartes/ web/materiales_didacticos/ Funciones_funcion_ de_proporcionalidad/ Proporcion.htm

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117


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Evaluación

Qué observar Recuerde que la intención de esta sección es que, al resolver los problemas planteados, los propios estudiantes se autoevalúen; esto les ofrece la posibilidad de darse cuenta de cuánto an aprendido a qué tipo de contenidos deben dedicar más atención y práctica.

Resuelve las siguientes situaciones y escribe en el paréntesis de la derecha la letra que contenga la respuesta correcta. Al finalizar, revisen en grupo esta prueba, sus resultados y los procedimientos. 1. Don Panchito atiende una tienda de abarrotes, en ocasiones los clientes piden las mismas cosas de distinta forma. Pablo pidió kilo y medio de frijol, tres cuartos de kilogramo de jamón y doscientos cincuenta gramos de harina de trigo. Lleva una bolsa de plástico para tres kilogramos. 1. ¿La capacidad de la bolsa es suficiente para lo que llevará? a) No

b) Si

c) Es exacta

(b) d) No se puede saber

1 Solo necesita cargar 2 kg. 2 usti ca tu respuesta.

2. ¿Cuánto peso debe quitar o agregar para cumplir con el peso que soporta la bolsa?

(c)

a) Debe quitar medio kilogramo.

b) Carga el peso exacto.

c) Puede cagar medio kilogramo más.

d) Debe quitar tres cuartos de kilogramo.

1 1 Si tiene 2 kg solo le falta agregar kg para llenar la bolsa. 2 usti ca tu respuesta. 2 2. A Don Panchito le gusta poner en bolsas iguales todos los granos, hoy le toca embolsar 36 kilogramos de lenteja, 48 de frijol y 24 de habas. 1. ¿De qué capacidad debe ser las bolsas para que no sobren granos? a) 16 kg

b)

c) 4 kg

(c) d) 8 kg

3. El mercado tiene dos vigilantes, ambos deben entregar un reporte de que todo está bien. El primero lo hace cada tres horas y el segundo cada cuatro. 1. ¿Cuántas horas deben pasar para que entreguen el reporte al mismo tiempo? a) 12 hrs. 4.

b) 24 hrs.

c) 6 hrs.

(a) d) 8 hrs.

a señora ose na, esposa de Don Panc ito, prepar o arroz con lec e, pero le sobr medio kilogramo y decidió repartirlo entre sus cuatro sobrinos. 1. ¿Qué cantidad de arroz con lec e le toc a cada uno? a) 3 4

Cambiando números Comente con sus alumnos, que el exponente en esta fracción no corresponde a la respuesta correcta, solo

b) 1 8

2

(b) c) 1 4

d) 2 3

118


debe ser 1 . 8

118


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BLOQUE 2 BLOQUE 2

Evaluación 5. Observa la figura y contesta lo que se te pide.

1. ¿Cuál es la medida de la superficie amarilla? a) 12.5 cm2

b) 25 cm2

(a) c) 6.25 cm2

d) 50 cm2

2. ¿Cuál es la medida de la superficie color verde? a) 18 cm2

b) 16 cm2

(d) c) 24 cm2

b) 5 cm2

(a)

c) 6 cm2

d cm2

4. ¿Cuál es el valor de la superficie total de la figura? a)

.

cm2

b)

.

cm2

Como proceso de autoevaluación, una vez resuelta la sección es importante que se revise de manera grupal para que cada alumno alcance su propia valoración y aprenda también de los errores cometidos.

d) 20 cm2

3. ¿Cuál es la suma de las superficies de los triángulos naranjas? a) 4 cm2


(c) c)

.

cm2

.8 cm2

d)

6. En una fábrica de cajas de cartón se producen 84 cajas totalmente armadas en 20 minutos. 1. ¿Cuál es la producción en una hora y media? a)

8 ca as

b)

8 ca as

(c) c)

8 ca as

d)

8 ca as

119


119


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MATEMÁTICAS 1

Bloque

3 0

Aprendizajes esperados • esuelve problemas que impliquen e ectuar multiplicaciones o divisiones con raccio racciones n meros decimales. • esuelve problemas que impliquen el uso de las ecuaciones de las ormas a b a b a b c, donde a, b c son n meros naturales o d o decimales. • esuelve problemas que implican el cálculo de cualquiera de las variables de las rmulas para calcular el perímetro el área de trián ulos, cuadriláteros polí onos re ulares. plica la relaci n que e iste entre el perímetro el área de las uras.

120

Qué observar Observe si los alumnos, cumplen con las competencias exigidas en el programa, entre las que destacan la resolución de problemas con fracciones decimales; la comprensión algebraica de expresiones de primer grado; construcción y utilización cabal de las fórmulas para el cálculo del perímetro y el área de polígonos regulares; así como la resolución de problemas de proporcionalidad y la comprensión de los conceptos básicos de probabilidad. Elaboración de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

120


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BLOQUE 3

64 Nerón incendia Roma

1270 Marco Polo inicia sus viajes

1096 Se origina la primera cruzada

Contexto histórico

0 Cero

0

300

600

1200

900

1500

Hechos matemáticos 240 En su Aritmética, Diofanto obtiene números negativos como soluciones de ecuaciones y los considera como absurdos

600 El chino Zu Chong-zhi y su hijo Zu Fen-shi encuentran que π está entre 3.1415926 y 3.1415927

876 Aparece en la India el primer uso conocido del cero

1202 Con su Aritmética, álgebra geometría y secuencias, Fibonacci acelera la adopción de los numerales indoarábigos en Europa

121

Cómo enriquecer la actividad Contando únicamente con la saludable práctica del cálculo mental, pregunte a sus alumnos: • a cantidad de años transcurridos entre los distintos señalados en la línea del tiempo.

ec os matemáticos

• a cantidad de años entre los distintos conte tos ist ricos. Pídales, además, que investi uen sobre de la vida obra del matemático italiano eonardo Fibonacci y que la comenten.

121


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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Eje


Tema


Contenido 1

Resolución de problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional

ACUÉRDATE DE... Utilizando el algoritmo tradicional resuelvan la siguiente situación.

Qué observar En este apartado se enfatiza el uso de las operaciones con números decimales. os errores que por lo general se presentan con decimales tienen que ver con la colocación del punto decimal, y en menor porcentaje con el manejo de las tablas de multiplicar. a secci n ACUÉRDATE DE ,se refiere a esta situación. El alumno aprende más cuando más se socializan, de manera positiva, los errores cometidos, sin críticas ni prejuicios.

Una fábrica produce 3.27 toneladas de plástico por día, ¿cuántas toneladas puede producir en 9.5 días? 1. Recuerden lo importante que resulta conocer los algoritmos de las operaciones. Para practicar, resuelvan las multiplicaciones.

a)

b)

3. 2 7 9. 5 31.065

Algoritmo. Orden en que se deben realizar las operaciones que resuelven un problema.

c) 4.5 x

9. 7 5 1. 2 5 12.1875

2.2

c)

= 9.9

4.5

x 2.2 = 9.9

Expliquen: ¿cuál es el algoritomo de una multiplicación de dos factores decimales?

Se realiza el algoritmo convencional y en el producto se recorre el punto decimal a la izquierda tantos espacios como se tengan en ambos factores.

¿Por qué al multiplicar por más de un dígito, el producto parcial se debe "recorrer" hacia la derecha? Porque cada producto parcial corresponde a un nuevo orden. Contando la cantidad de espacios ocupados por los decimales en ambos factores. . 2. Resuelvan las multiplicaciones combinadas de fracciones comunes y decimales. Respondan lo que se pide.

3 a) 5 0.20.6 0.20.12

17 b) 2.66 24 1.862

c)

12 5 0.35 0.84

5 d) 0.12 4 0.15

17 e) 2.66 24 1.862

f)

11 30 4.59 1.6524

Expliquen la relación que existe entre los números decimales y las fracciones comunes.

Expresan las mismas cantidades, las fracciones son exactas e indican un cociente y los decimales son los co cocientes de cada división, pueden ser exactos o No Ambos procedimientos son sencillos, sin embargo la multiplicación de fracciones comunes siempre es exacta, la de decimales no lo es siempre.

No . Lo correcto es que ambos factores sean fracciones comunes o números decimales.

122


122


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BLOQUE 3 BLOQUE 3

PRACTÍCALO

Actividad 1.1

1. Observen los datos que se muestran en las tablas. Completen los resultados y pongan atención a lo que ocurre cuando se multiplica por un número mayor que la unidad y qué sucede si el factor es menor que uno.


a) Un automóvil consume 0.125 l de gasolina por cada kilómetro recorrido.

Recorrido en km

2

1

0.9

0.7

0.5

0. 5

0.1

Consumo en l

0.25

0.1 5

0.1125

0.875

0.0625

0.03125

0.0125

b) El precio de una tonelada (1 ton) de naranjas es $2 500.00.

Naranjas en ton

5

Costo en $

12 500

1

500.00

0.75

0.5

0. 5

0.

0.1

1 875

1 250

625

500

250

c) Cada litro de leche contiene 7.5 g de proteína.

Leche en l

2

1

0.75

0.5

0.375

0. 5

0.1

Proteínas en g

15

7.5

5.62

3.75

2.81

1.875

0.75

2. Respondan las preguntas.

Al trabajar con tablas se pretende recuperar situaciones de reparto proporcional. Propicie la participación verbal al leer los resultados, de esta forma los alumnos manejarán con más naturalidad este tipo de números. Solicíteles que un representante de cada equipo justifique el planteamiento que emplearon y lo comparen con los demás equipos.

a) ¿Qué sucede cuando multiplican una cantidad por un número mayor que uno? Aumenta ¿y cuando multiplican por un número menor que uno?

Disminuye

b) ¿Por qué se presentan estos resultados? Porque cualquier cantidad multiplicada por un número mayor que uno provoca un resultado mayor y cuando se multiplica por un número menor que uno el resultado disminuye. c) ¿Qué procedimiento utilizaron para obtener estos resultados? El algoritmo convencional. Al comparar dos columnas cualesquiera se observa un incremento y un decremento en

Verifiquen su respuesta. los productos.

Comparen sus resultados con sus demás compañeros de grupo y junto con su profesor concluyan sobre la eficacia de los procedimientos para resolver problemas que impliquen la multiplicación de un número mayor y menor a la unidad.

123


123


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Actividad 1.2

1. Resuelvan estas situaciones. Al final, comenten ante el grupo los procedimientos que siguieron para llegar a los resultados.

Cómo enriquecer la actividad Organice la actividad para que en parejas los alumnos comparen los resultados. a socializaci n les dará mayores oportunidades de validar sus procedimientos y adquirir seguridad en la resolución de problemas.

a) Tengo 12 bloques grandes y 7 pequeños. Los bloques de igual tamaño tienen la misma masa. La masa de un bloque grande equivale a la masa de dos bloques pequeños. Si cada bloque pequeño tiene una masa de 5.5 kg, ¿cuánta masa tienen todos los bloques? 170.5 Kg

b) En un taller de hojalatería están colocadas, una encima de otra, varias placas de acero según su grosor, ocho de 0.7 cm; tres de 2.4 cm; cinco de 1.75 cm y 12 de 0.85 cm. ¿Qué altura tiene el montón de láminas? 31.75 cm

c) La tabla nutricional impresa en la envoltura de un paquete de pan integral dice que cada ración aporta 9 g de proteína, 1.5 g de grasa y 57.5 g de hidratos de carbono. ¿Qué cantidad de nutrientes incorpora a su dieta una persona que ingiere tres raciones?

204 gramos

d) La tabla muestra tres tarifas para el cobro de llamadas telefónicas de larga distancia.

Tarifa diurna


Primer minuto

a a un alto promueva con sus alumnos el análisis de estas multiplicaciones y sus productos: a b c, si a es una constante y b < 1, ¿Qué sucede con c? Propon a otros casos con a > 1 y a < 1; los alumnos normalmente conciben una multiplicación como algo que aumenta, es el momento de que descubran que esto sucede bajo ciertas circunstancias y con cierto tipo de números.

.05

Tarifa nocturna adicional . 5

Sábado, domingo y días festivos

Primer minuto

adicional

Primer minuto

adicional

1.5

1.3

1.85

1.05

• ¿ Cuánto pueden a orrar en una llamada de 2 minutos si llaman un domin o en lu ar de acerlo un día de la semana por la noche? $ 5.65 • ¿De cuánto será el car o con tari a nocturna si ablan un martes la llamada dura 1 minutos? $ 18.40 • si esta ltima llamada la ubieran ec o con tari a diurna, ¿cuánto abrían pa ado de más? $ 12.90

124


124


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BLOQUE 3 BLOQUE 3

LO QUE APRENDÍ 2. Analicen esta situación y después contesten lo que se pide. a) En tres tortillerías el precio de tortilla por kilogramo es de $10, $11.50, $9.20, respectivamente. Si Lucía compra 3 1 de kilogramo en la primera tortillería, ¿cuánto tendrá que pagar? $ 35 2

Su prima le pidió que fuera a la segunda tortillería porque el precio es menor. ¿Cuánto pagará por los 3 12 kilogramos? $ 40.25 Su vecina le comentó que abrieron una nueva tortillería y que el kilogramo lo venden aún más barato. ¿Cuánto tendrá que pagar Lucía? $ 32.2 ¿Qué operaciones realizaste para llegar al resultado? Una multiplicación ¿En que tortillería le conviene a Lucía comprar sus tortillas? En la tercera.

Qué observar n muc as ocasiones, los alumnos se encuentran dentro de este tipo de contextos, en donde toman decisiones a partir de un análisis de la situación.


Porque es más barato el kg de tortilla.


¿Cuánto se ahorra entre la primera y la última tortillería? $ 2.8

Permita que los alumnos propongan situaciones semejantes, que las planteen y entre todo el grupo las analicen y las resuelvan.

¿Cuánto se ahorraría en una semana? $ 19.6 ¿Qué operaciones realizaron? Una resta y una multiplicación. Mencionen el procedimiento que siguieron para llegar a los resultados. Respuesta abierta

Compara tus respuestas y procedimientos con el resto del grupo y con la asesoría del profesor verifiquen sus respuestas y procedimientos.

Promueva la participación individual y colectiva.

Desarrolla tus habilidades Reúnete con un compañero y resuelvan el problema. ¿Cuál es el número cuya parte entera es el resultado de multiplicar 35 por 6, la cifra de las décimas es la mitad de 12, la cifra correspondiente a las centésimas es el triple de 3 y la que indica las milésimas es la suma de las cifras de su parte entera? 210.693 Comparen su resultado con el resto del grupo. Expliquen cómo llegaron al resultado. Respuesta abierta

USA LAS TIC

Qué observar

Para realizar más ejercicios sobre multiplicación con números decimales visita la página electrónica: www.rinconmaestro.es/ matematicas/actividades. html

1 5


Esta sección permite al alumno aplicar lo que a aprendido durante este contenido acerca de la multiplicación de números decimales, utilizando el algoritmo convencional, y que le será de muc a utilidad para cuando se encuentre en diversas situaciones en su vida cotidiana.

125


12/07/12 15:43


Qué observar En el transcurso de su vida el alumno a conocido productos que manejan números decimales en su empaque. En otros por e emplo los a utilizado en medicamentos, tiene que dividir la sustancias en parte iguales para tomar la dosis correcta.

Cómo enriquecer la actividad Pida a los alumnos que realicen un enlistado de productos que manejen decimales o mediante una lluvia de ideas indague si se an en rentado a alguna situación donde tengan que realizar una división con decimales.

Cómo enriquecer la actividad Pida a los alumnos que propongan situaciones como la que se muestran en esta actividad para que las presenten ante el grupo y las resuelvan. Promueva el análisis la reflexión para poder obtener los resultados que se piden.

Eje


Tema


Contenido 2

Resolución de problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos, utilizando el algoritmo convencional

ACUÉRDATE DE... En la primaria trabajaron la división con números decimales y seguramente ya encontraron algunos, por ejemplo en medicamentos, ingredientes de cocina o artículos de limpieza. • Escriban el nombre de algunos productos que se encuentren en su hogar cuyo contenido esté expresado en números decimales. Respuesta abierta

• Escriban cuál de los productos mencionados requiere que se divida en partes para su uso. Respuesta abierta

PRACTÍCALO

Actividad 2.1

1. En un experimento de laboratorio de ciencias los alumnos sometieron a varios cuerpos de diferente superficie a una fuerza de 120.8 Newton para determinar la presión en la que se encontraban. Estos fueron los resultados que obtuvieron:

Cuerpo 1

2

0.1 Presión

1 00 .

3

4

3.

.

5.

33.5

50.3

1.5

5 0.9 13 .

Ahora contesta: • Indica que operación tuvieron que realizar los alumnos para encontrar los valores de la presión para cada cuerpo. Una división • Justifica tu respuesta. Se divide la fuerza entre la superficie del cuerpo. • ¿Cómo expresarías en términos matemáticos la fórmula para calcular la presión de un cuerpo? F P A • Justifica tu respuesta. Porque se realizó la división de la fuerza entre la superficie. Compara tus resultados con el resto del grupo y con su profesor verifiquen sus procedimientos.

Para leer más Si a b a a, entonces b actúa como elemento neutro, su valor es 1, por lo tanto el primer factor no cambia. Ejemplos: 7 1 7;

3 3 1 4 4

126


126


12/07/12 15:43

BLOQUE 3 BLOQUE 3

PRACTÍCALO

Actividad 2.2

1. Lean, analicen y resuelvan esta situación. a) Un municipio quiere pavimentar una calle de 122.6 m de largo y 15.5 m de ancho con 45.8 toneladas de asfalto. • ¿Qué cantidad de asfalto se ocupará por cada metro cuadrado de la calle? 0.024 toneladas


• Expliquen qué procedimiento realizaron para determinar este resultado. Se divide las toneladas entre el área de la calle. • ¿Qué operaciones hicieron? Una multiplicación y Una división • Escriban el planteamiento matemático que propusieron.

(22.6 m)(15.5 m) 45.8 ton.

• Justifiquen su planteamiento. Calculamos el área de la calle (22.6 m) (15,5 m) este producto se divide entre las toneladas de asfalto (45.8), lo permite obtener la cantidad de asfalto por metro cuadrado. Comparen sus resultados con el resto del grupo y analicen con su profesor los planteamientos que realizaron.

PRACTÍCALO

Actividad 2.3

1. Analicen las situaciones y respondan lo que se indica. 3

a) Roberto y Mónica están en desacuerdo respecto al cálculo del precio de 4 de kg de queso. El kilogra3 mo tiene un precio de $80, Roberto dice que como 4 equivale a 0.75, únicamente se debe multiplicar el precio de 1 kg por 0.750 para obtener el total por pagar. Mónica dice que se debe dividir el precio del kg de queso entre 4 y multiplicar el resultado por 3, ya que corresponde a las tres cuartas partes. • ¿Quién tiene la razón? Los dos

De manera grupal obtengan una conclusi n. Procure que sean los mismos alumnos quienes decidan sobre la forma más sencilla de obtener su resultado.

Reflexión

• ¿Qué diferencias encuentras entre ambos procedimientos? Uno usa fracciones y el otro decimales.

Sobre la organización y el trabajo en equipo.

• A su juicio, ¿quién propone el procedimiento de cálculo más rápido? Respuesta abierta • Argumenten su respuesta. Respuesta abierta

$80 4 3 $80 0.750

1 7


Que los alumnos analicen ambas situaciones y mediante una exposición expliquen frente al resto del grupo los dos planteamientos que se presentan para resolver esta actividad.

Es fundamental enseñar a los alumnos desde un principio, a participar en las distintas actividades escolares, siempre integrados a un equipo de trabajo. El alumno debe valorar la importancia que tiene su participación para el éxito de las tareas que le sean asignadas a su equipo. En el área de las matemáticas resulta de suma importancia llevar un orden en el desarrollo no solo de los apuntes, sino de las operaciones que se realizan, las cuales deben ser claras y en limpio.

127


12/07/12 15:43

MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 b) La dueña de una tienda compró 100 kg de frijoles y quiere repartirlos en bolsas de 0.5 kg. Quiere saber cuántas bolsas necesita. Alguien le propone resolverlo mediante la operación 100 ÷ 0.5 para obtener el total de bolsas; otra persona le dice que mejor multiplique 100 2.


• ¿Con cuál de las dos operaciones llega a la respuesta correcta? Las dos • ¿Qué diferencia hay entre ambos procedimientos? En uno se divide y en otro se multiplica.

Solicite a sus alumnos que expongan planeteamientos y soluciones, así como sus comentarios relacionados con el uso de los decimales y las fracciones. Propon a que el alumno elabore ejercicios en los que al multiplicar por una fracción y dividir entre cierto número el resultado sea el mismo, por ejemplo:

• ¿Cuántas bolsas necesitaría si empaca los 100 kg en bolsas de 0.250 kg? 400 ¿ en bolsas de 0.12

? 800

• Escriban una conclusión respecto a los dos procedimientos que se pueden utilizar. Respuesta abierta c) El profesor Armando llegó hoy a la escuela a las 7:30 horas y le marcaron un retardo de 30 minutos, pues su entrada es a las 7:00 horas. En el reporte le anotaron que se hace acreedor a un descuento de 1 hora 2 de salario. • ¿Cómo aclararían esta diversidad de términos para que el planteamiento del problema sea uniforme? Significan lo mismo. Son dos formas diferentes de referirse a lo mismo.

• ¿Cuál es la forma correcta de anotar la hora a la que llegó? 7:30

20 0.8 20 4 5

• En términos precisos, ¿a qué se debe que las unidades de tiempo no concuerden con el sistema decimal? Porque las unidades de tiempo son sexagesimales.


• ¿Qué otro tipo de unidades de medida conocen que tengan esas características?

Verifique que los planteamientos y los resultados sean lógicos y acordes. De lo contrario proponga una batería con más ejercicios a fin de que el alumno comprenda este tipo de operaciones.

Las de los ángulos.

PRACTÍCALO

1. Resuelvan las operaciones.


a) 28 000 0.5 14 000

c) 40 5

8

e) 450 50 9

b) 200 0.1 20

d) 800 100 8

f) 500 0.001

0.5

1 8

Propon a a sus alumnos el siguiente acerti o. Pídales que expliquen cómo es posible adivinar siempre el número. 1. Piensa un n mero

Actividad 2.4

Bitácora pedagógica .

2. Multiplícalo por 2… 3. Agrégale 20… 4. Divídelo entre 2… 5. Quítale el número que as pensado. 6. Final: Te queda 10.

128


12/07/12 15:43

BLOQUE 3 BLOQUE 3 • ¿En qué casos les pareció más sencillo realizar una multiplicación? Escriban los incisos. Respuesta abierta • ¿En qué incisos les fue más sencillo realizar una división? Respuesta abierta • Expliquen en qué casos podrían sustituir una multiplicación por una división para que sea más fácil obtener el resultado. Respuesta abierta

Comparen sus respuestas con el resto del grupo y elaboren una conclusión con su profesor donde se indique en qué situaciones es más conveniente realizar una multiplicación o directamente una división para obtener un resultado.

Para tener en cuenta Propiedad multiplicativa Si el dividendo y el divisor se multiplican por un mismo número, el valor del cociente no cambia. Observa:

0. 0 0 7 3. 5 Equivale a

3.5 1 000 3 500 1 000 donde 1 0.007 1 000 7 1 000

PRACTÍCALO

Actividad 2.5

1. Repasa el uso del algoritmo de la división con decimales. 3.5

8.34

a) 1 2 4 2. 5

c) 8 7 7 2 5. 6 4

10.4

b) 8. 2 8 5. 6 4

6.15

d) 7. 5 4 6. 1 8 5

0.015

e ) 4 6 0. 7 2 5

18.4

101

f) 1.1 1 1 1 1.1

Qué observar

g ) 7 9 1 4 5 6. 2

47.08

h ) 9.7 4 5 6. 7 1 5

• Explica: ¿cuál fue el procedimiento que utilizaste? El algoritmo convencional. • ¿Existe otro método para realizar la división? Respuesta abierta • Justifica tu respuesta. Respuesta abierta • Anota el procedimiento que seguiste para colocar de manera correcta el punto decimal. Multiplicar por una potencia de 10, recorriendo el punto a la derecha los lugares para hacer entero el divisor. • ¿Qué hiciste con el dividendo y el divisor para no alterar su valor?

Esta actividad está diseñada para que los alumnos desarrollen el algoritmo tradicional de las divisiones con punto decimal. Recuerde que, en particular, este tipo de operaciones causa cierta dificultad en la mayoría de las personas.

Recorrer el punto igual número de lugares. • Pre unta a tu pro esor acerca de la posibilidad de usar la calculadora, al menos para comprobar los resultados.

1 9


Cómo enriquecer la actividad Pida a sus alumnos que propongan ejercicios suficientes con el fin de que quede claro el desarrollo del algoritmo tradicional para este tipo de divisiones.

129


12/07/12 15:43



Actividad 2.6

1. Resuelvan las situaciones y completen las tablas.


a) Siete autos de carreras realizan un recorrido de 600 km en los tiempos que se señalan en la tabla. ¿Qué velocidad desarrolló cada vehículo?

Propicie la participación entre sus alumnos para que respondan las tablas en el pizarrón. Indíqueles que justifiquen la forma en que las fueron completando, la argumentación por parte de los alumnos es importante en esta actividad.

Competidor

1

2

3

4

5

6

7

Tiempo (h)

4

.5

5

.5

.

3.5

3

150

133.33

120

240

142.86

171.43

200

Velocidad (km/h)

b) En una huerta se embolsan naranjas según se muestra en la tabla. ¿Cuál es el precio de cada naranja?

Número de naranjas

12

18

36

Costo por bolsa ($)

. 0

9.00

1 . 0

8.80

50. 0

0.55

0.50

0.45

0.40

0.35

Costo por naranja ($)

7

144

c) Conociendo uno de los lados y el área de un rectángulo, calculen la medida del otro lado.

Área en m2

3.1 5

7. 8

0. 5

3 . 5

8 .19

5 .75

Lado (m)

1. 5

3. 0

.50

5.00

8.80

1 . 5

Lado (m)

.5

2.2

4.5

6.45

9.34

15.8

• ¿Qué procedimientos utilizaron para completar las tablas? Una división • ¿Fueron iguales o diferentes los planteamientos para las situaciones de los incisos a), b) y c)? Si • Justifiquen su respuesta. En los tres incisos se realiza una división para conocer los valores. Comparen sus respuestas con el resto de los compañeros del grupo y determinen con su profesor otros ejemplos donde se puedan aplicar estos procedimientos.

PRACTÍCALO

Cómo enriquecer la actividad Organice esta actividad en parejas, para que comparen sus resultados y procedimientos. Al mismo tiempo, esta actividad se aprovec a para que se apoyen y validen sus estrategias de trabajo.

Actividad 2.7

1. Construye una tabla de equivalencias de unidades de los sistemas más utilizados (métrico decimal, sistema inglés y sistema internacional de medidas) y utilízala para trabajar problemas con unidades homogéneas. a) En la tabla se da una medida de longitud en cada renglón. Completa las casillas con la equivalencia correspondiente. Observa el ejemplo gráfico y los que aparecen en la tabla.

0

5

cm

0

50 mm

130


Al finalizar la actividad, busque una conclusión con respecto al procedimiento para obtener equivalencias con los múltiplos y los submúltiplos.

130


12/07/12 15:43

BLOQUE 3 BLOQUE 3

mm

cm

50

dm

m

0.005

0.05

0.5

5

dam

45 000

4 500

450

5

400 000

40 000

4 000

400

.5

40

hm

Qué observar

km

0.0005

0.00005

0.45

0.045

4

0.4

b) En la siguiente tabla hay medidas de superficie. Completa las casillas con la equivalencia correspondiente. Observa el ejemplo.

mm2 1 600 mm2 40 mm

400 000 1 600 cm2

40 mm

cm2 4 000

1 600

40 cm

16

450 000

45 000 000

dm2

m2 0.4

40

0.0016

0.1

4500

Qué observar

5

40 cm

c) Seguramente podrás completar con facilidad esta tabla con unidades de volumen.

ml

cl

dl

l

250

25

2.5

375 000 37 500

3 750

375

200 000 20 000

2 000

50

200

dal 0.25 37.5 20

hl 0.025 3.75 2

kl 0.0025 0.375 0.2

250 ml = 0.250 l

• Explica las equivalencias que hay entre las unidades lineales, cuadráticas y de volumen. No hay equivalencia en ninguna, porque se calculan con dimensiones diferentes. • ¿Qué número permite multiplicar a los decámetros (dam) para convertirlos en decímetros (dm)? El 100 • ¿Qué pasos debes seguir para transformar centímetros (cm) a hectómetros (hm)? Dividirlo entre 10 en cuatro oraciones. • ¿Qué operaciones tendrías que realizar para transformar metros cuadrados (m2) en centímetros cuadrados (cm2)? Multiplicarlo por 10 000. • ¿Qué operaciones tendrías que realizar para transformar hectolitros (hl) en decilitros (dl)? Multiplicarlo por 1000. Compara tus respuestas con el resto del grupo y con la asesoría de tu profesor concluyan la forma correcta de realizar estas conversiones.

PRACTÍCALO

Actividad 2.8

1. Lean, analicen y resuelvan estas situaciones. Después pidan a su profesor que elija a los equipos que expondrán una de las situaciones, donde indiquen el procedimiento que utilizaron para resolverla junto con las operaciones que realizaron. a) Margarita recibió un préstamo bancario. A plazo de un año debe pagar un total de $26 347.20 en cuotas mensuales e iguales. ¿Cuánto debe pagar cada mes? $ 2 195.60 b) Marcela realizará un viaje al extranjero y necesita cambiar sus ahorros por dólares. Si en su cuenta tiene $7 208.50 y ese día el dólar se cotizaba en $11.89, ¿cuántos dólares recibirá? 606.26 dólares

131


os alumnos deberán completar las tablas teniendo cuidado con el manejo de las equivalencias y el uso de la multiplicación y división por potencias de 10.

Verifique el nivel de desarrollo de competencias que cada alumno va alcanzando: argumentación, comunicación y manejo de técnicas.

Cómo enriquecer la actividad provec e la actividad para que los alumnos resuelvan los problemas en el pizarrón. Seleccione un integrante de cada equipo para que pase al frente y explique cómo resolvió su equipo la actividad.

Recursos y materiales En el portal argentino educ.ar, en su Colección para seguir aprendiendo, de Matemáticas, aparece el artículo De picnic , donde puede descargar un documento que presenta actividades relacionadas con el tema estudiado. Utilice el buscador de la página para localizarlo, anotando en él: De picnic. ttp .educ.ar educar site educar inde . tml

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Qué observar as situaciones planteadas van encaminadas al análisis por parte de los alumnos, verifique que sus conjeturas sean las adecuadas para poder plantear la solución a este tipo de situaciones.

c) En un taller de laminado se compraron 250 láminas cuya masa es de aproximadamente 1 700 kg. ¿Cuál es la masa de cada una de esas láminas? 1 700

kg

1 700

kg

kg

kg

6.8 Kg

250 Láminas

1 Lámina

250 Láminas

1 Lámina

d) El abuelo de Ricardo tenía, entre sus propiedades y ahorros, $144 850.00. Al hacer su testamento asentó que su esposa y sus tres hijos recibirán lo doble que reciba cada uno de sus 8 nietos. Si al morir, el monto de su capital era el mismo, ¿qué cantidad recibirá su viuda? ¿Cuánto recibirá cada nieto? Esposa $18 107.25 Nietos $9 053.625 (redondeado $9 053.60)

Qué observar En esta actividad verifique si es verdad que llegan al número esperado. En caso contrario, ¿qué número se necesitaría cambiar para llegar al resultado correcto?

e) Con 1 l de gasolina, cierto automóvil recorre 14.8 km. Si en determinado momento el tanque contiene 9.5 l de gasolina, ¿podrá recorrer 160 km? ¿Cuántos km le faltan o por cuántos puede exceder el recorrido? No alcanzan esos litros de gasolina para recorrer los 160 Km, le faltaría por recorrer 19,400 km f) ¿Sus procedimientos para llegar a la solución de las situaciones, fueron iguales o diferentes? Respuesta abierta g) Justifiquen su respuesta. Respuesta abierta

Cómo enriquecer la actividad Propicie la resoluci n de ejercicios mediante actividades lúdicas, esto les permitirá a los alumnos reforzar lo que estudiaron en este contenido. Propon a nuevas actividades de este tipo para que las resuelvan en sus cuadernos. Pídales que escriban su justificación acerca de la manera en que lo resolvieron.


LO QUE APRENDÍ Respondan: a) Si se sabe que 1 m3 de aire pesa 1.299 kg, ¿cuánto pesarán 4.7 kg de aire? 3.61 kg b) Con una flecha de color indiquen la dirección que se debe seguir para que, a partir del decimal 0.4 se llegue al número 8.

0.2

0.5

–

0.4

6

–

0.1

0.1

3.5

0.2

8

–

0.5

132


En la página Mamut matemáticas, usted encontrará un generador de o as de e ercicios con número decimales. ttp . mamutmatematicas. com e ercicios decimales.p p

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BLOQUE 3 BLOQUE 3

Horizonte matemático En el grupo 1°A quieren elaborar juegos de dominó con números decimales. Cada equipo emplea una hoja de cartulina tamaño carta (28 cm 22 cm) para elaborar sus fichas. Cada juego consta de 28 fichas que miden 2.5 cm de ancho por 5 cm de largo. Procurando aprovechar al máximo el material, ¿para cuántas fichas de dominó alcanza cada hoja?

0.2 5

3.3 2.7

2.3 0.7

2.5 2.5

6.3 0.3

0.4 5 3.4 0.6

1.5 4

2.5 0.5

1.25 4

5.2 0.2

1.2 0.8

3.1 0.9

0.4 10

0.4 0.6

0.25 8

1.7 0.3

0.2 5

3.6 0.4

3.3 2.7

2.3 0.7

2.5 2.5

0.8 5

6.3 0.3

0.4 5 3.4 0.6

1.5 4

2.5 0.5

0.5 2

1.2 0.2

1.2 0.2

1.1 0.1

1.2 5

0.6 5

1.5 2

5.5 0.5

1.5 0.5

2.3 2.7

0.6 5

6.6 0.6

2.5 0.5

2.5 2

0.5 6

2.6 2.4

2.3 0.3

4.5 0.5

1.8 4.2

0.5 4

4.2 0.2

0.5 10

0.25 4

0.5 8

2.8 3.2

1.25 4

5.2 0.2

0.2 0.8

3.5 0.5

0.6 10

1.2 5

Esta actividad es solo un ejemplo de lo que se puede lograr con los alumnos. Solicíteles que inventen algunos otros dominós para que relacionen los conocimientos adquiridos. No importa el n mero de c as (aunque tiene que ser par: 10, 12, 14…), la idea es buscar materiales y estrategias que faciliten su aprendizaje.

2.6 0.4

3.6 0.4

0.5 2

0.25 8

1.7 0.3

0.8 5

1.5 0.5

2.3 2.7

1.5 2

5.5 0.5

2.5 0.5

2.5 2

6.6 0.6

2.3 0.3

4.5 0.5

0.5 6

4.2 0.2

0.5 4

2.6 2.4

0.25 4

1.8 4.2

0.5 8

0.5 10

0.2 0.8

3.5 0.5

2.8 3.2

0.7 0.3

2.6 0.4

0.6 10

3.1 0.1


1.1 0.1

Elabora tus fichas. En una hoja de cartulina o de otro material grueso, prepara las 28 tarjetas, copia en ellas los números que aparecen y juega con tus compañeros. Diseña otros dominós en los que emplees diferentes operaciones de esta página.

USA LAS TIC Para realizar más ejercicios acerca de la división con decimales enlázate a la siguiente página electrónica: www.mamutmatematicas. com/ejercicios/decimales. php

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1.2 0.8



Tema


Contenido 3

Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la x+a= b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c

ACUÉRDATE DE... En la primaria resolviste problemas con las operaciones básicas donde debías encontrar un valor desconocido, tal vez un sumando, el minuendo, el sustraendo, un factor, un divisor, etcétera.

Qué observar De preferencia, los alumnos deben resolver los ejercicios ejercitando el cálculo mental, en caso de que se le dificulten algunos, pídales que los deje al final para resolverlos utilizando lápiz y papel. Si los alumnos no practican de forma cotidiana el cálculo mental, será difícil que resuelvan con rapidez los ejercicios, aunque sean sencillos.

1. Recuerda estos procedimientos y escribe dentro de cada recuadro el número que haga de cada relación una igualdad. Procura hacerlo mentalmente. Compara las respuestas con las de tus compañeros.

a)

5

b) 2.05 2.1

c)

d)

2.5 7.5

4.15

10.9 – 7.8 3.1

g ) 7.4 3.2

10.6

e ) 9.6 – 3.4 6.2

h ) 24.5 –

12

12.5

f)

i) 1.2

3

3.6

2.2

1.7 3.9

12.2 – 8.9 3.3

• ¿Qué pasos realizaste para obtener los resultados de estas operaciones? Respuesta abierta • ¿Qué característica en com n encontraste en los e ercicios? Buscar un valor desconocido. Compara tus respuestas y resultados con tus compañeros y verifiquen sus resultados con su profesor.

Para tener en cuenta Una ecuación es una igualdad entre dos , en ellos se encuentran cantidades desconocidas llamadas incógnitas, representadas con letras, que únicamente con ciertos valores la hacen verdadera, por ejemplo: X + 3 = 8, el único valor que hace verdadera la igualdad en la ecuación es el 5. X – 4 = 7, el único valor de x es 11. 2xx = 18, como el 2 está multiplicando a x el único valor que puede tomar es 9. x 3 = 5, el único número que se puede dividir entre tres para que el cociente

sea cinco es el 15.

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134


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BLOQUE 3 BLOQUE 3

PRACTÍCALO

Actividad 3.1

1. Determinen el valor de la incógnita a partir de la igualdad que se forma en los siguientes ejercicios. a) x – 5 9 Sumar 5 a cada lado de la igualdad: x – 5 5 9 5 Ejecutar la operación x 14

c) y – 2.7 4.2 Sumar 2.7 a cada lado de la igualdad: y 6.9

e) z – 4.25 1.75 Sumar 4.25 a cada lado de la igualdad: z6

b) x 12 25 x 13

d) y 9.8 13.16 y 3.36

f ) z 2.25 7.7 z 5.45

Qué observar

• ¿Qué hicieron para cancelar el término numérico de cada igualdad? Se sumó o se restó, según el caso.

PRACTÍCALO

Actividad 3.2

1. En las siguientes igualdades se sustituyó el recuadro por una literal; calcula el valor que, en cada caso, le corresponde a la literal. Anota la operación que realizaste para llegar a la solución y verifica que el valor obtenido cumpla con la igualdad. a) a 2.5 5.7

d) 15.45 – d 8

Operación realizada: 5.7 2.5

Operación realizada: 15.45 8

a 3.2

d 7.45

Comprobación: 3.2 2.5 5.7

Comprobación: 15.45 7.45 8

b) 4.46 – b 2.25


b 2.21

e 12.4



c) 5.75 c 12.82

Qué observar A diferencia del uso de las literales como variables, en las fórmulas de la Actividad 3.2 empiece a desarrollar el concepto de incógnita; es decir, comente con ellos que encontrar el valor de la literal en cada igualdad significa encontrar el valor de la incógnita.

e) e – 5.6 6.8


f ) f 2.5 12.5



c 7.07

f 5


Comprobación: 5 2.5 12.5

á ales notar que en esta actividad se aplica una propiedad de igualdad. Son sus primeros intentos en el uso de las propiedades cancelativa y uniforme. Tenga paciencia, no trate de que memoricen procesos como si está sumando pasa restando acost mbrelos a ablar de operaciones iguales con números iguales en ambos de la igualdad.

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Actividad 3.3

1. Resuelvan y comprueben cada situación. Con la colaboración de su profesor, planteen cada situación con una ecuación que la represente y escriban en su cauderno las respuestas de las preguntas finales.

Cómo enriquecer la actividad Al resolver los problemas de la Actividad 3.3, procure que presenten su procedimiento de solución aquellos alumnos que a an utilizado ecuaciones. Si aún no las usan, propicie que lo intenten.

a) Un ciclista hace el recorrido entre Toluca y el Distrito Federal en dos etapas. En la segunda etapa recorre 39.450 km. Si la distancia total es de 74.800 km, ¿qué distancia recorrió en la primera etapa? 74 800 km x

39 450 km

Toluca

D.F.

b) En la compra de dos discos compactos iguales me hacen un descuento de $19.70; el total por pagar es de $177.30. ¿Cuál es el precio original de cada disco compacto? $98.50

c) En una barata, los pantalones están a mitad de precio, pero por ser el último día les hacen un descuento adicional de $50. Si al comprar uno se paga $397.50, ¿cuál era su precio original? $895

Qué observar El alumno ya tiene conocimiento de las literales, las a utilizado en fórmulas y en limitados casos como incógnitas. Tal vez convenga que, previo al desarrollo de las actividades, les permita expresar sus ideas a partir de la concepción que tienen del uso de las letras en matemáticas.

• ¿Cómo expresarían algebraicamente la solución del problema?

• Justifiquen su propuesta. La operación inversa es 397.5 50 447.5, esto se multiplica por 2 y se obtiene $895, el precio original. • Escriban las operaciones que realizaron para encontrar el resultado. X 2(397.5 50) X 895 • ¿Cómo comprobarían que su resultado es el correcto? Sustituyendo 895 en la expresión algebraica. d) En un circo hay dos taquillas; una vende boletos de gradas a $35 cada uno y la otra vende boletos de luneta a $48. En la función del domingo se recaudaron $23 095. Si en ventanilla de luneta se vendieron 250 boletos, ¿cuántos boletos se vendieron en la ventanilla de gradas? 317 boletos

• ¿Cuánto dinero se recaudó por la venta de boletos en luneta? $12 000 • ¿Cuánto dinero se recaudó por la venta de boletos en gradas? $11 095 • ¿Cómo expresarían algebraicamente la ecuación que les permitió obtener los valores de la recaudación? 35x 48(250) 23095 • Escriban las operaciones que tuvieron que realizar para obtener estos resultados. 11095 35x 48(250) 23095; 35x 12000 23095; 35x 23095 12000; 35x 11095; x 35 ; x 317 • Realicen la comprobación de sus resultados. 35(11095) 48(250) 23095

Transversalidad Pida a los alumnos que junto con su profesor de Geografía, planteen diferentes expresiones matemáticas donde se utilicen las literales para calcular diferentes variables poblacionales; tales como: crecimiento y composición poblacional, pobreza, marginación, por mencionar algunas.

x 50 397.50 2

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BLOQUE 3 BLOQUE 3 e) Las edades de dos hermanos suman 29 años. Si uno de ellos es 5 años mayor que el otro, ¿qué edad tiene cada uno?

Qué observar

12 y 17 años.

• ¿Qué elementos consideraron para resolver esta situación? La edad de uno de ellos es 5 años mayor. Justifiquen su respuesta. Si x es la edad del menor; x 5 es la edad del mayor. • Escriban la expresión algebraica que les permitió resolver esta situación. x x 5 29, simplificando: 2x 2 5 29 • Realicen la comprobación de sus resultados. 12 17 29; por lo tanto: 29 29 • Comparen sus resultados con los de otras parejas. ¿Son iguales? Respuesta abierta Justifiquen su respuesta. Respuesta abierta Comparen sus respuestas con el resto de sus compañeros y con la asesoría de su profesor concluyan la forma correcta de realizar un planteamiento algebraico.

Que los alumnos traduzcan los enunciados a una expresión algebraica; utilicen de manera adecuada las propiedades uniforme y cancelativa; efectúen las operaciones; validen los resultados; comprueben y comuniquen sus procedimientos de resolución.

LO QUE APRENDÍ

Reflexión 1. En equipos de cuatro integrantes, analicen el siguiente juego y escriban cuál es su expresión algebraica. Comenten sus resultados ante el grupo. I. Piensa un número. II. Multiplícalo por 2. III. Suma 9 al resultado. IV. Suma el número que pensaste al resultado. V. Divide el resultado entre tres. VI. Suma 4 a lo que quedó. VII. Resta el número que pensaste al resultado. 2. Un padre tiene 46 años y su hijo, 12 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el triple de la de su hijo? 5 años

Para que el traba o grupal sea exitoso, los estudiantes deben comprender que no basta con estar adscritos formalmente a un equipo. Es importante saber or anizarse. a divisi n del trabajo es un buen punto de partida, pero para ello se requiere llegar a acuerdos sobre quiénes deberán realizar tal o cual trabajo.

USA LAS TIC Para que ejercites más acerca de ecuaciones algebraicas bajo esta expresión te invitamos a visitar la siguiente página electrónica: www.thatquiz.org/es/

Horizonte matemático Las edades de Graciela y Sergio son consecutivas, si sus edades suman 86 años, ¿qué edad tiene cada uno? Graciela 42.5 años y Sergio 43.5 años.

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Sobre el trabajo en equipo.

En las matemáticas la labor en equipo permite argumentar y justificar de manera respetuosa los procedimientos que se llevan a cabo para la resolución de ejercicios.

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Tema

Figuras y cuerpos

Contenido 4

.

ACUÉRDATE DE...

Qué observar

Si recuerdas en la primaria aprendiste a construir polígonos regulares de diferentes maneras. Una de ellas es a través de la base de una circunferencia. Observa la secuencia de las figuras y describe los pasos que se llevaron para la construcción de un hexágono inscrito a una circunferencia. La edad de uno de ellos es 5 años mayor.

Este método es útil para la construcción del e á ono. Pida a los alumnos que analicen la relación que tiene con los triángulos equiláteros, las medidas de sus ángulos y por qué es posible construirlo únicamente con la medida del radio.

1. Se traza una circunferencia. 2. Se marca su diámetro. 3. Con la misma abertura del compás apoyado en un extremo del diámetro se corta la circunferencia. 4. Se repite el mismo paso para el otro extremo. 5. Se unen los seis puntos cortados de la circunferencia, con segmentos de recta. 6. Hexágono terminado.

Ahora, con tu juego de geometría y con lo que aprendiste acerca del trazo de la mediatriz y la bisectriz en el cuacua dro de la siguiente página, construye un octágono. Sigue los pasos que se te indican. 1. Traza una circunferencia de 8 cm de diámetro. Marca el diámetro indicando los puntos de los extremos como A y B. 2. Traza la mediatriz del diámetro hasta tocar los puntos en la circunferencia. Coloca en cada uno los puntos C y D.

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BLOQUE 3 BLOQUE 3 3. Traza las bisectrices de los ángulos que se forman con el origen y une con una línea las bisectrices opuestas hasta tocar puntos (E, F, G y H) de la circunferencia. 4. Con tu regla une los puntos que marcaste alrededor de la circunferencia.

Qué observar Relacione este tema con los conocimientos que los alumnos ya tienen, por ejemplo el ángulo central de un polígono, los tipos de triángulos y, lógicamente, el trazo de la mediatriz y la bisectriz. Compare la diferencia de la superficie entre un e á ono un octágono inscritos a una circunferencia.

Cómo enriquecer la actividad Elabore ejercicios sobre polígonos para que los alumnos los construyan por otros métodos.

• ¿Cuál de los dos métodos anteriores te resulto más fácil para construir un polígono? • Justifica tu respuesta. Respuesta abierta

Respuesta

• ¿Cualquiera de los dos métodos anteriores se puede utilizar para construir cualquier polígono? abierta , ¿por qué? Respuesta abierta • Si no conocieras ninguno de los dos métodos, ¿qué estrategia llevarías a cabo para construir un triángulo equilátero con tu equipo de geometría? Respuesta abierta Compara tus resultados con los de tus compañeros de grupo y con ayuda de tu profesor concluyan si es que existen otros métodos para la construcción de polígonos y descríbanlos en el cuaderno.

Pídales que usti quen la manera en la que los construyeron y verifique que los realizaron de manera satisfactoria. De ser necesario, pídales que los construyan en el pizarrón con el juego geométrico de madera.

139


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Cómo enriquecer la actividad Estas actividades presentan otra forma de identificar polígonos regulares; propicie la participación del grupo al responder las preguntas correspondientes.

Actividad 4.1

1. A continuación aparecen algunos polígonos. Encierren en un círculo los que sean polígonos regulares. En cada caso, midan los lados y los ángulos para comprobar su regularidad. 1.8 cm

Polígono regular. Es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales.

60º

90º

2.3 cm

Cuesti nelos asta obtener conclusiones acerca de las propiedades de los polígonos regulares.

Reflexión Sobre la conciencia del otro a conciencia del otro es la capacidad que tenemos para darnos cuenta de que no estamos solos en el mundo, que necesitamos de los demás y que nuestras acciones los pueden afectar. Es decir, consiste en comprender que vivimos en sociedad, que todas las personas son seres umanos merecen ser tratados con respeto consideraci n. a conciencia del otro también se relaciona con cuidar el medio en el que vivimos, en no contaminar ni destruir los servicios que todos necesitamos.

135º

0.9 cm

120º 1.4 cm

• ¿Qué criterio aplicaron para seleccionar los polígonos que son regulares? Que tengan sus lados iguales • Observen a su alrededor y mencionen algunos objetos o figuras que, al dibujarlos en el plano, se vean como polígonos regulares.

Respuesta abierta

140


140


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BLOQUE 3 BLOQUE 3

PRACTÍCALO

Actividad 4.2

1. Cuando un polígono es regular, las mediatrices de sus lados se cortan en un punto que es el centro de dos circunferencias, una que inscribe al polígono y otra que lo circunscribe. Haciendo los trazos correspondientes, verifiquen qué polígonos son regulares. Tracen dos mediatrices y la circunferencia correspondiente. Hagan diferentes pruebas.

Qué observar Al dar respuesta a las preguntas se puede confirmar si los estudiantes comprendieron las características de los polígonos para estar en posibilidad de identificarlos, ya sea a simple vista o utilizando instrumentos de medición de lados y ángulos.

Polígono inscrito. Es aquel polígono que tiene todos sus vértices sobre una circunferencia.

Polígono circunscrito. Es aquel polígono que tiene todos sus vértices sobre una circunferencia.

Recursos y materiales En la página de Geometría Activa, en su artículo Polí onos Polí onos re ulares , encontrará animaciones interactivas en las que sus alumnos podrán trabajar las características estudiadas de los polígonos.

• ¿Sería válido afirmar lo mismo al trazar las bisectrices? Resuelvan algunos casos y coméntenlos. Si • ¿Cuáles de estos polígonos no son regulares? El rectángulo, el rombo, el triángulo isósceles y el triángulo escaleno • ¿Por qué? Porque para que un polígono sea regular sus ángulos internos y sus lados deben ser iguales.

ttp mimosa.cnice. mecd.es clobo eo eb poli2. tm 141


141


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Actividad 4.3

1. Usando regla y compás, traza un ángulo dado. En la ilustración se muestra la forma de trazar un ángulo igual a otro. Verifica la precisión del trazo midiendo con el transportador ambos ángulos. Anota la medida.

Qué observar Con esta actividad se pretende llevar al estudiante a buscar otras formas de reproducir ángulos; a ora no se utiliza el transportador, sino regla y compás. En la medida en la que el alumno conozca diversas formas de reproducir figuras, contará con mejores recursos.

a) Trazar un arco

ÁNGULO OBTENIDO a) Trazar una semirrecta

ÁNGULO DADO

c) Trasladar la medida b) Medir el arco limitado

a)

b) Trazar arco

el

d) Trazar

A

B C b)

F

D

E c)

I

H

G

• ¿Qué diferencia observaste entre los dos métodos para trazar un ángulo igual a otro? Que el primer método es más sencillo. • Para encontrar el ángulo a partir de una semirrecta, ¿qué tipo de ángulo obtuviste? Agudo ¿con este método se puede trazar cualquier tipo de ángulo?

No

,

Justifica tu respuesta.

No, a menos que sea menor a 180°. Compara tus resultados con tus compañeros y con la asesoría de tu profesor obtengan una conclusión.

142


142


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BLOQUE 3 BLOQUE 3

Para leer más Ángulos de los polígonos Exterior ( ee): el que se forma entre un lado y la prolongación del lado adyacente o contiguo.

Centro

i

Interior ( i ): el que se forma entre dos lados y dentro del polígono. Central ( c): el que se forma entre dos radios consecutivos.

c e

Radio

PRACTÍCALO

Actividad 4.4

1. En cada polígono regular identifica: un ángulo exterior ( ee), márcalo con rojo; un ángulo interior ( i ), márcalo con verde y un ángulo central ( cc), márcalo con azul. Precisa tu identificación denotándolos con tres letras. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Observa el ejemplo.

A

I

F

D

J

B H

i

S

G

X

Q

L

P

M

R

T

K

O

N

Z D

U

A

E Y

W

C

V

B

2. Con tu transportador mide los ángulos que marcaste y completa la tabla.

Cuadrado

Equilátero

90 ° i e c

i 90º 90º

e c

60º 120º

120 °

Octágono

Hexágono

135 ° i e c

i 45º 45º

120º

60 °

e c

e 60º

c

Verifique que los alumnos comprenden el significado de los símbolos utilizados, cerciórese de que saben identificar claramente los ángulos central, interior y exterior, así como, el uso adecuado del transportador. Cuestiónelos acerca de ¿cuál es la utilidad de saber encontrar estas medidas?

Pentágono i


108º 72º 72º

• ¿Qué método usaste para obtener la medida de los ángulos de estas figuras? El transportador • ¿Cuánto mide el ángulo exterior sumado al ángulo interior adyacente a él en todos los polígonos? 180º

Solicíteles que propongan otros polígonos para calcular los ángulos: interiores, centrales y externos.

Justifica por qué ocurre esto. Son suplementarios, forman un ángulo llano • ¿Cuál es la suma de los ángulos centrales de todos los polígonos? 360º Explica de qué manera lo determinaste. Todos forman una circunferencia. Compara tus resultados con el resto del grupo y con la asesoría de tu profesor escribe una conclusión sobre los procedimientos que seguiste para realizar esta actividad.

143


143


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Actividad 4.5

1. Tracen el polígono regular correspondiente dada la medida del ángulo central. De acuerdo con el espacio, decidan la magnitud de sus lados. Comenten sus procedimientos con el grupo.


a) c 120° Se forma un triángulo equilátero.

Al desarrollar la actividad, pregunte a los estudiantes cómo saben que están trazando un polígono regular, de acuerdo con la información proporcionada en cada inciso. En ambos incisos proponga nuevos ángulos centrales e internos y que construyan en su cuaderno el polígono que se forma.

b) c 90° Se forma un cuadrado.

a) i 108° Se forma un pentágono regular.

c) i 150° Se forma un dodecágono regular.

d) c 45° Se forma un octágono regular.

b) i 140° Se forma un eneágono regular (nonágono).

d) i 160° Se forma un polígono de 18 lados.

• ¿Cómo consideran que es más sencillo iniciar la construcción de los polígonos, con una línea vertical o una horizontal? Horizontal Expliquen su respuesta. Es más sencillo colocar el transportador. • ¿Cómo encontraron la distancia para localizar el vértice de cada lado sobre los trazos de cada ángulo? Midiendo con la regla o tomando la distancia con el compás.


ttp descartes.cnice. mec.es materiales didacticos Poli onos re ulares circulos Polici . tm

Se forma un hexágono regular.

2. Tracen el polígono regular correspondiente dada la medida del ángulo interior. De acuerdo con el espacio, decidan la magnitud de sus lados. Comenten sus procedimientos con el grupo.

Mediante el uso del juego de geometría de madera pida a un alumno que pase a construir el polígono de acuerdo con el ángulo propuesto.

En la página de Descartes, en su artículo de n ulos de un polí ono , encontrará animaciones interactivas en las que sus alumnos podrán trabajar con los ángulos internos y exteriores de los polígonos.

c) c 60°

• ¿Cuántas veces tuvieron que medir el ángulo central para poder terminar las figuras? Una por vértice. • ¿Consideran que los polígonos que trazaron tienen una buena exactitud? Respuesta abierta • ¿Cómo podrían realizar mejor sus trazos? Respuesta abierta Comparen sus resultados con los de sus compañeros, y con la asesoría de su profesor elaboren una conclusión que indique cuál es la mejor manera de resolver estas actividades. Anótenla en su cuaderno.

144


144


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BLOQUE 3 BLOQUE 3

PRACTÍCALO

Actividad 4.6

1. Si no tienes a la mano un transportador, puedes construir un recurso que te ayudará a medir algunos ángulos de los más usuales. Realiza esta serie de dobleces a un trozo cuadrado de papel. Utiliza un cuadrado de 10 cm por lado.

s

u

t

r m n o g h l

a

450

v w x p i j

b

c

d

150

900 750 750

300

300

q k

900 600 1200 900 1200 600

1200 600 900 600 1200 900

60 600 0

e

900

600

900

2. Con el recurso que acabas de formar, mide los ángulos.

F

Cómo enriquecer la actividad Aun cuando los estudiantes cuenten con transportador, pídales que desarrollen la Actividad 4.6 y que expliquen cómo utilizarían esa o a para medir los ángulos. Estimule la participación del grupo para que propongan algunos ángulos para medirlos.

C E

ABC

DEF

31º

100º

D I A

B

GHI

128°

H

G

• Explica el procedimiento que seguiste para medir los ángulos. Con el cuadrado construido. • Verifica tu respuesta con el transportador. ¿Son iguales o qué tanta diferencia hubo? No, son valores aproximados. Compara tus resultados con el resto del grupo y con su profesor analicen la utilidad de la técnica propuesta para medir los ángulos más usuales.

1 5


145


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1. Con los puntos construyan un polígono estrellado.

Cómo enriquecer la actividad Este tipo de polígonos permite acer diversas construcciones, pida a sus alumnos que copien los puntos en su cuaderno y que tracen otros polígonos estrellados siguiendo una secuencia diferente en los puntos que se presentan. Al final de la actividad pida a un representante del equipo para que explique la secuencia que utilizó para la construcción del polígono estrellado.

• ¿Qué polí ono se orm al centro de la estrella? Eneágono (polígono de nueve lados). Si unen los puntos consecutivos, ¿se forma el mismo polígono? Si • Expliquen por qué. Porque los lados son semejantes. • ¿Cuántas puntas tiene la estrella que dibujaron? Nueve puntas • ¿ s posible trazar el polí ono estrellado sin despe ar el lápiz ? Si

Si es necesario proponga situaciones para que obtengan este tipo de polígonos.

Expliquen por qué. Porque sus vértices se pueden unir de forma consecutiva. • Describan los polígonos internos que se formaron en este polígono estrellado. Un eneágono, se forma en la parte interna; trapezoides simétricos con un solo eje de simetría y triángulos.

USA LAS TIC Para conocer más acerca de la construcción de polígonos regulares te invitamos a visitar la siguiente página electrónica: nea.educastur.princast.es/ repositorio/VIDEOS/1_nea_ colab08_fichero1033_1.swf

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BLOQUE 3 BLOQUE 3 Eje


Tema

Medida

Contenido 5

Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares

ACUÉRDATE DE... Cuando estudiaron la primaria aprendieron a realizar cálculos acerca del perímetro y el área de polígonos regulares. Seleccionen un objeto de tamaño mediano y con forma rectangular y tomen sus dimensiones (largo y ancho), calculen su perímetro y área y comparen sus resultados con otros equipos.

PRACTÍCALO

Actividad 5.1

Del plano de un parque de diversiones se tomaron los juegos que se encuentran en el interior de cada polígono regular.

Barco

Carrusel

Cómo enriquecer la actividad Puede continuar esta actividad con el análisis de un cuadrado, después de un rectángulo y posteriormente con algunos triángulos (equiláteros e isósceles) para que los alumnos los relacionen con el área de un polígono regular.

h = 8.6 m

Fuente

12m

10m Montaña rusa

Rueda de la fortuna a=

20

.7m

24

m

a=

21.

7m

18m

30m

1 7


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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 1. Completa la tabla calculando el área y el perímetro donde se encuentran ubicados los juegos, así como el nombre del polígono donde están presentes.

Cómo enriquecer la actividad Supervise que los alumnos apliquen correctamente los algoritmos en las fórmulas de perímetro y área; que identifiquen bien los datos que se presentan en los polígonos de esta actividad. Indúzcalos a que realicen la comprobación de resultados, esto con la intención de fomentar este buen ábito.

Barco

Carrusel

Montaña rusa

30 m

48 m

150 m

43 m2

144 m2

1 545 m2

1 490.4 m2

1 562.4 m2

Triangulo equilátero

Cuadrado

Pentágono

Hexágono

Octágono

Perímetro Área Nombre del polígono

Fuente 144 m

Rueda de la fortuna 144 m

2. ¿Cuál es la fórmula que utilizaste para calcular el área del terreno donde se encuentran la montaña rusa, Pa A 2 la fuente y la rueda de la fortuna? , ¿para el terreno donde está el barco? ba A 2 , ¿y para el terreno donde se ubica el carrusel? A I2 3. Define con tus propias palabras lo que es un polígono regular. Figura geométrica que tiene sus lados y ángulos iguales. 4. Escribe el nombre de tres polígonos que no sean regulares. Triangulo escaleno, trapecio, trapezoide. 5. Explica, ¿por qué los ejemplos que escribiste no se consideran polígonos regulares? Porque no cumplen con la definición de polígono regular. 6. Compara tus resultados y respuestas con las de tus compañeros de grupo y bajo la supervisión de su profesor verifiquen que están en lo correcto.

PRACTÍCALO

Qué observar

Observen las figuras y respondan las preguntas. l = 4 cm

Esta actividad se trabajará en parejas. Dé el tiempo necesario para que los alumnos analicen cada figura y responan lo que se les pida.

Recursos y materiales El Geoplano de la página de la Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales brinda la oportunidad de calcular el área de diversas figuras planas.

Actividad 5.2

l = 4 cm

h = 3.4 cm a = 4.8 cm a = 4.8 cm

Figura A

Figura B

1 8


ttp nlvm.usu. edu es nav rames asid 282 t . tml?open activities

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BLOQUE 3 BLOQUE 3 • Expliquen la manera para calcular el perímetro de cada figura. Sumando el valor de todos lados de cada figura.


• ¿Cuál es el perímetro de la figura A? 40 cm • ¿Qué polígonos regulares encuentran en ambas figuras? Triángulos y cuadrados. 2 • ¿Cuál es el área de la figura A? 60.8 cm

. Describan el procedimiento que siguieron.

Se calcula el área del octágono y se le resta el área del cuadrado. 2 • ¿Cuál es el área de la figura B? 63.2 cm

. Describan el procedimiento que siguieron.

Se calcula el área del octágono y se le resta el área de los dos triángulos. • ¿Cuál es el valor del perímetro de la figura B? 40 cm

PRACTÍCALO

Actividad 5.3

Cuestione a sus alumnos acerca de qué tipo de polígonos las constituyen. Propicie la argumentación y la justificación sobre la manera de obtener su solución y entre todo el grupo verifiquen que sus resultados son los correctos.

1. Resuelvan los siguientes ejercicios y dibujen el esquema correspondiente a cada situación. a) Una fábrica elabora sombrillas para la playa. Se necesita tela cortada en forma de polígono regular. ¿Cuánta tela necesitará si quiere fabricar 75 sombrillas de 8 lados, si se sabe que el lado mide 75 cm y la apotema es de 286.14 cm? 6 438 150 o 643.815 cm2 Se calcula el área de una sombrilla y se

•

pliquen los pasos que si uieron para resolver esta situaci n. multiplica por 75.

Se calcula la cantidad de tela que ocupa una sombrilla y después se multiplica

• usti quen su procedimiento. por la cantidad de sombrillas que se desea fabricar. • scriban las operaciones que realizaron. A

(600)(286.14) 171 684 75(8)(286.14) ; A 85 842 cm2. Este valor se multiplica ;A ;A 2 2 2

por 75: A (75)(85 842 cm2); A 6 438 150. b) La antena de una compañía telefónica tiene una base hexagonal. Se realizó una medición del área de la base de la antena y se obtuvo que es de 150.36 m2. Si cada uno de sus lados mide 4 m, ¿Cuánto mide la apotema de la base de la antena? 3.46 m Se divide el hexágono en seis triángulos y después se toma uno de ellos para dividirlo en dos, el lado recto del

•

pliquen el procedimiento que llevaron a cabo. triángulo será la apotema a calcular.

• usti quen su planteamiento. Respuesta libre • ¿Qué rmula utilizaron para encontrar el resultado?

b c 2 a2

Qué observar provec e estos problemas para reafirmar el análisis objetivo de cada uno y con base en esto cuestione a los alumnos sobre el planteamiento de la estrategia que realizaron para su solución. Durante el proceso, pídales que justifiquen sus propuestas y resultados.

• scriban las operaciones que realizaron. b 4 2 22 b 16 4

Cambiando números

b 12 b 3.46


1 9

El área correcta de la base e a onal de la antena es de 41.52 m2. Proporcione este dato a sus alumnos para obtener las respuestas acertadas de esta situación.

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Cómo enriquecer la actividad Que los alumnos propongan situaciones que se presentan en sus vidas cotidianas, donde utilicen los números fraccionarios, pida que justifiquen la manera como lo abordarían para que el resultado obtenido sea lo más cercano posible a lo que se desea encontrar.

c) En la fiesta del pueblo de San Gabriel han montado una carpa de forma regular de 10 lados para la verbena nocturna. En cada vértice se coloca una lámpara, si se sabe que del punto central hacia la parte media de un lado hay 15 m, ¿a qué distancia se encuentra cada lámpara si el área de la carpa es de 727.5 m2? 9.7 m Pa 2A De la fórmula A 2 , despejamos P: P a

, al

• ¿Qué pasos si uieron para resolver esta situaci n? resultado lo dividimos entre 10.

Se necesita encontrar el perímetro y después se divide entre diez, los cuales son los

Justifiquen su respuesta. lados de la carpa.

• ¿Qué ormula utilizaron para encontrar el valor de cada lado?

P

2A a

• scriban las operaciones que realizaron. P

97 (1455) (2)(727.5) ; P 97 m. Este valor se divide entre 10: l ;P ; l 9.7 m. 10 15 15

d) La base para construir una torre de control aéreo tiene una forma de polígono regular de cinco lados. • ¿Cuál será el valor del área si se desea que cada lado mida 1 m la apotema sea de 1 . m? 543.75 m

2

Aplicando la fórmula para calcular el área de un

• ¿Qué procedimiento emplearon para resolver esta situaci n? polígono regular.

• usti quen su respuesta. Se tiene el valor de uno de sus lados y la apotema del polígono regular. Pa A 2 • scriban la rmula que emplearon para obtener el resultado. • scriban las operaciones que llevaron a cabo para resolver esta situaci n. A

1087.5 (75)(14.5) ; A 543.75 m2 ;A 2 2

e) Supongamos que la primera figura es la imagen del perfil de una caja. Al hacer presión sobre ella se obtiene la segunda figura.

Qué observar

• ¿Cuánto mide cada lado de la primera? 1.2 cm • ¿ la de la se unda? 1.2 cm

Que los alumnos utilicen las propiedades de los paralelogramos para dar respuestas concretas a las preguntas planteadas.

• ¿Qué nombre recibe la primera figura? Cuadrado • ¿Qué nombre recibe la segunda figura? Rombo • ¿Qué diferencias y qué coincidencias hay entre las dos figuras? Los lados son iguales, ambos son paralelos.

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150


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BLOQUE 3 BLOQUE 3 f) Para el piso de una catedral se quiere construir mosaicos como el de la imagen. Obsérvenla y contescontes ten lo que se les pide.


a

3.7

na vez que a a observado que los alumnos manejan el análisis y resolución de figuras compuesta, aumente el grado de complejidad al manejar figuras como la que se muestra en el inciso f) de la actividad.

cm

Permita que los alumnos elaboren y realicen los cálculos de perímetro y área que se vieron durante este contenido.

2 cm

a

1.7

cm

Verifique que los cálculos de las figuras presentadas sean correctos.

• ¿Cuántos lados tiene el centro del mosaico? Doce lados • ¿Cómo se llama este polígono regular? Dodecágono • ¿Cuál es la medida de la superficie del polígono que se encuentra en el centro del mosaico? 44.4 cm

2

• ¿Cuál es el valor de su perímetro? 24 cm 2 • ¿Cuánto mide el área de cada hexágono? 10.2 cm

• ¿Cuánto mide su perímetro? 12 cm

Propon a uras como estas para que sigan realizando los cálculos de perímetro y área.

2 • ¿Cuál es la suma total del área de los cuadrados? 24 cm

• ¿Cuál es el perímetro de un solo cuadrado? 8 cm • ¿Cuál es el perímetro de uno de los triángulos? 6 cm

2 , y el valor de su área es: 1.7 cm

• ¿Cuál es perímetro total del mosaico? 48 cm 2 ¿ cuál es su área total? 78.6 cm

• Expliquen qué procedimiento utilizaron para calcular tanto el perímetro como el área total del mosaico. Para el perímetro se multiplicó el valor de su lado por 24; y el área, sumando todas la áreas de los polígonos que se indicaron.

• En el mosaico se observan otros tipos de polígonos, ¿cuáles son? Trapecio isósceles ¿de qué tipo son estos polígonos? Cuadriláteros

,

Ahora comenten con otros equipos sus resultados y bajo la supervisión de su profesor expongan y justifiquen los procedimientos que emplearon para resolver cada una de estas situaciones.

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151


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Encierren con color verde aquellas figuras que sean polígonos regulares.

Cómo enriquecer la actividad Propon a otras figuras para que los alumnos apliquen lo aprendido durante este contenido.

b=2

r = 1.5 h = 3.4 l=2

l=4

h=2 B=3

De la misma manera que trabajan con las fórmulas de perímetro y área, el planteamiento, operaciones y comprobaciones de estas últimas son muy importantes en cualquier operación matemática.

a = 1.7

a=2 1.5

l=2

l=3

d=3 D=6 5.1 9

a = 3.7

L=

l=5

3

Escriban el nombre de los polígonos regulares que encontraron, ordénenlos de menor a mayor según su número de lados y regístrenlos en la tabla.

Nombre del polígono

Área

Perímetro

Triángulo

6.8 u2

12 u

Cuadrado

4 u2

8u 15 u

Pentágono

15 u

2

Hexágono

10.2 u

2

12 u

Octágono

44.4 u2

24 u

Comenten sus resultados con otros equipos. Con la asesoría de su profesor obtengan una conclusión general de los polígonos regulares.

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BLOQUE 3 BLOQUE 3

Desarrolla tus habilidades Construye tres polígonos regulares de la medida que consideres adecuada, de tal manera que cada uno de ellos tenga sus lados paralelos dos a dos.

Qué observar Verifique que los alumnos sean capaces de construir polígonos a partir de datos dados. Es válido que los alumnos utilicen el método de inscribir los polígonos en una circunferencia, calculando el valor del ángulo central o que lo construyan a partir de uno de los lados tomando como dato su ángulo interior

Respuesta abierta

• ¿Qué otros polígonos regulares presentan estas características? Respuesta abierta

• Justifica tu respuesta. Respuesta abierta

• ¿Qué polígonos regulares no presentan lados opuestos paralelos? Respuesta abierta Comenta tus respuestas con el resto del grupo.

USA LAS TIC Para que aprendas más acerca del cálculo de perímetros y áreas de polígonos regulares visita la siguiente página electrónica, te aseguramos que te divertirás: www.vitutor.com/geo/eso/ ar_e.html

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Eje Tema Contenido 6

situaciones dadas

Qué observar Dé un tiempo razonable para que el grupo resuelva inciso tras inciso y propicie la participación; esto le da la oportunidad de contar con más evidencias para la evaluación del aprendizaje de los alumnos.

ACUÉRDATE DE... 1. Lee, analiza y resuelve la siguiente situación. Doña Lupe y su hija van al mercado, y encuentran una promoción en la venta de 3kg de naranjas por $16. • i su i a compra 12

? $63.6

• ¿Qué operaci n realizaste para obtener el resultado? Primero una división 16 3, y el resultado por 12.

• i doña upe compra naran as para acer u o durante toda la semana pide 0 ¿cuánto pagará? $159

Reflexión Sobre la tolerancia y la convivencia cotidiana con los demás Practicar el valor de la tolerancia significa itir en los demás maneras de ser, de actuar o de pensar distintas a las nuestras. a tolerancia es un valor fundamental no solo para mantener buenas relaciones de convivencia con los demás, sino para mantener unida a la sociedad. En la práctica cotidiana la tolerancia es aceptar que las costumbres, tradiciones, creencias religiosas, apariencia, limitaciones físicas o preferencias sexuales no tienen por qué dar pauta al maltrato o a la discriminación. En las matemáticas, la tolerancia es de suma importancia, en la resolución de ejercicios y en las operaciones se debe dar un tiempo adecuado para realizarlas.

de naran as, ¿cuánto pa

de naran as,

• ¿Cuánto cuesta el ilo ramo de naran a? $5.3

• ¿C mo obtuviste esta cantidad? Dividiendo 16 entre 3.

• ¿Cuál es el prop sito de encontrar este n mero? Encontrar el valor unitario por cada kilogramo.

• i doña upe decide solo llevarse

•

, ¿cuánto le cobrarán? $26.5

plica c mo planteaste la situaci n obtuviste el resultado. Si 1 kg de naranja cuesta $5.3, entonces por 5 kg se pagan $26.5

Discute con tus compañeros y tu profesor tus planteamientos y operaciones.

15


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BLOQUE 3 BLOQUE 3

PRACTÍCALO

Actividad 6.1

1. Junto con un compañero analiza estas situaciones y respondan lo que se indica. a) Para las fiestas patrias un taller de costura se dedica a la fabricación de banderas de 1m de largo por 0.5m de ancho. • i un cliente le solicita 2 banderas a la mitad de sus dimensiones, ¿cuáles serán las nuevas dimensiones de las banderas?

A partir de situaciones como la que se presenta en esta actividad, pida a los alumnos que propongan situaciones semejantes.

0.5 m por 0.25 m

• ¿De qué orma encontraron el resultado? Dividiendo las dimensiones iniciales entre dos.

• i otro cliente solicita 1 banderas para adornar una o cina pero las quiere de la octava parte de su fabricación inicial, ¿cuáles serán las dimensiones de la bandera? 0.125 m por 0.0625 m

•

pliquen su procedimiento. Si tenemos que las dimensiones iniciales son de 1m y de 0.5 m, a estas las dividimos entre ocho.

•


Solicite a un alumno que pase al frente y explique cuál fue la manera en que abordó cada una de las situaciones de la Actividad 6.1, que justifique su solución y encuentre la constante de proporcionalidad para cada uno de los casos.

l taller lle a una persona que solicita una bandera que sea el triple de las dimensiones de abricaci n, ¿qué dimensiones tendrá esta bandera? 3 m por 1.5 m

•

pliquen la manera en cómo obtuvieron el resultado. Multiplicando las dimensiones iniciales por 3.

155


155


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Qué observar

• i el taller vende una bandera en por las banderas? $187.5

Propicie que al resolver los problemas, los alumnos vayan consolidando sus procedimientos de solución.

0 con las las dimensiones dimensiones iniciales, ¿cuánto pa ará el primer cliente

• En su cuaderno escriban el procedimiento que emplearon. • ¿Cuánto deberá pa ar el se undo cliente? $7

,

¿y la persona que se lleva una sola bandera? $270 pliquen c mo obtuvieron estos dos ltimos resultados. El segundo cliente pidió solo

•

1 8

de las

dimensiones iniciales, cada bandera le sale en $0.43 este resultado se multiplica por 15. El tercer cliente pide 3 veces las dimensiones iniciales por lo que se multiplica por tres, la bandera le cuesta $270.

Comparen sus procedimientos y resultados con el resto del grupo y bajo la supervisión de su profesor expóngalos en clase. b) En las papelerías hay mapas de varios tamaños: carta, minimapas, en los que cada lado mide la mitad del tamaño carta, y doble carta, en los que cada lado mide el doble del tamaño carta. En el mapa tamaño carta cada centímetro representa, aproximadamente, 100 km. ¿Qué distancia representa ese centímetro en el minimapa y en el mapa doble carta? Bloque 1

ESTADOS UNIDOS DE AMÉRICA N O

C de

NO

ÉA

lfo Go

OC CÍ

PA

Golfo de México

CO

FI

áncer

E S

nia for ali

ópico de C

ánce Trópico de C

2

HABITANTES POR KM 1995

80 y más 40 a 79

En el minimapa: 200 km.

BELICE

20 a 39 10 a 19

Bloque 1 0 a 9 Golfo de Tehuantepec

GUATEMALA

Mapa 1.10

En el doble carta: 50 km.

ESTADOS UNIDOS DE AMÉRICA N

C de

NO

ÉA

E S

Golfo de México

nia

CÍF

PA

or alif

O

IC

áncer

O

lfo Go

OC rópico de C

ánce Trópico de C

2

HABITANTES POR KM 1995

80 y más 40 a 79 BELICE

20 a 39 10 a 19

Bloque 01a 9 Golfo de

GUATEMALA

Mapa 1.10

ESTADOS UNIDOS DE AMÉRICA 30º

N

O

IC

ÍF

C PA

nia for ali

áncer

C de

NO

ÉA

lfo Go

OC Trópico de C

O

E S

Golfo de México

25º áncer Trópico de C

2

20º

HABITANTES POR KM 1995 20º

80 y más 40 a 79 BELICE

20 a 39 10 a 19 0a9

15º

Golfo de

Mar Caribe 15º

GUATEMALA

115º

Mapa 1.10

c ) Una fotografía cuadrada se ha reducido de manera que la primera copia es 3 de la original; la 4 segunda reducción es 2 de ésta y la reducción deseada es 1 de la anterior. 3

2

Cambiando números Incluya estas preguntas de análisis, para que sus alumnos puedan completar la situación planteada. • i cada lado de la original mide 48 cm, ¿cuáles son las medidas de cada una de las tres copias? 36 cm, 24 cm y 12 cm • ¿Con cuántas fotografías de la reducción deseada puedes cubrir la fotografía original? 16

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BLOQUE 3 BLOQUE 3 d) Una industria que se dedica a elaborar jugo de fruta, envasa sus productos en recipientes tetrapack. El principal mide 9 cm de ancho, 6 cm de profundidad y 20 cm de alto.

Qué observar • i desea lanzar al mercado una presentaci n con un envase que mida la mitad de sus dimensiones, 10 cm 3 cm 4.5 cm ¿cuánto debe medir de altura ___________, ancho___________ y profundidad _____________? • ¿Cuál es la constante de proporcionalidad de estas dimensiones? 2 ¿Qué operaciones realizaron para encontrar esta cantidad? Tres divisiones: 20 entre 2; 9 entre 2; 6 entre 2

• i se quiere envasar el u o en un recipiente pequeño con una constante de proporcionalidad de 1 , ¿qué medidas deberá tener? 5 cm 2.5 cm 1.5 cm Altura __________, ancho __________, profundidad ___________. • i quiere envasar en una presentaci n amiliar donde su constante de proporcionalidad sea de 1. veces más que el envase principal, ¿cuáles serán sus dimensiones? SECCIÓN. LO QUE APRENDÍ. PÁG. 157-158 Ancho: 30cm Profundidad: 13.5 cm Alto: 9 cm

LO QUE APRENDÍ

1. Héctor acaba de comprar un proyector y quiere utilizarlo sobre una pared como pantalla. Para encontrar el tamaño más adecuado realizó algunas pruebas, la primera medida fue 60 cm de largo por 45 de ancho. • i en la se unda prueba el lar o midi 0 cm, ¿cuánto midi el anc o? 67.5 cm ¿Qué operaciones realizaron para encontrar esta medida? Se divide 45 entre 2, y se le suma 45.

Entre más problemas resuelvan, los alumnos tendrán mayor oportunidad de adquirir confianza en sus métodos de resolución. Dé oportunidad a todos los alumnos de participar en la presentación de resultados.

Qué observar En esta sección mostrarán sus abilidades destrezas para poder obtener la solución de esta actividad. Propicie en los alumnos el análisis y los procedimientos que debe realizar. Verifique que estos sean correctos.

• Para llevar un control de sus medidas éctor elabor una tabla, encuentren las medidas que altan.

Prueba

Largo

1

60

Ancho 5

2

90

67.5

3

120

90

4

210

120

5

30

6

15

.5

120

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Cómo enriquecer la actividad Permita que los alumnos propongan situaciones semejantes, que las planteen y entre todo el grupo las analicen y las resuelvan. Promueva la participación individual y colectiva.

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 • ¿Cuál es el actor de proporcionalidad al comparar la prueba prueba 1 1 la la 2? 1.5

• Calculen el actor de proporcionalidad de las pruebas a las pruebas anteriores?

1.75

¿son ma ores o menores

Mayores

• ¿Cuál es el actor de proporcionalidad al comparar las pruebas con la 1? 0.5 y 0.25 ¿ ¿Qué diferencia observan con las tomas anteriores? Que en la primera se reduce a la mitad y la segunda se reduce hasta una cuarta parte de sus dimensiones iniciales.

• ¿Qué determina el actor de proporcionalidad cuando es menor que uno? Cuando hay una reducción. _______ ¿Qué determina cuando es mayor que uno? Cuando hay un incremento.

• i la pared de éctor mide m de lar o por 2. m de anc o ¿Cuál es el tamaño más adecuado para rea210 por 157.5 cm Justifiquen su respuesta. lizar su proyección? ____________________ ___________________. __________________ Porque es la prueba que tiene mayor tamaño.

Comparen sus repuestas con el resto del grupo.


Cómo enriquecer la actividad a abilidad matemática debe ser una capacidad de todo ser umano. Siempre será enriquecedor escuc ar los procedimiento y planteamientos de los alumnos, quizá resulte repetitivo, pero es una manera de arribar al conocimiento o bien para fortalecerlo.

USA LAS TIC Para que lleves a cabo más ejercicios sobre este tema te invitamos a visitar la siguiente página electrónica: www.telesecundaria. dgme.sep.gob.mx/ interactivos/1_primero/1_ Matematicas/1m_b02_t08_ s01_descartes/index.html

1. Para el estreno de una película se diseñó un cartel que mide 120cm de ancho y 160cm de largo, para la parte exterior del cine se mandó hacer un cartel con una proporción de 6x y se hicieron posters a 1/2x para venta al público. • ¿Cuáles son las dimensiones del cartel exterior? 720 cm por 960 cm. • ¿Cuáles son las dimensiones del p ster? 60 cm por 80 cm. • i al inicio de la película se entre un volante donde la ima en del car9 cm ¿Cuál es la tel mide 12cm de largo, ¿cuánto mide el ancho?________ 3 constante de proporcionalidad? 0.075 o 40

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BLOQUE 3 BLOQUE 3 Eje Tema


Contenido 7

ACUÉRDATE DE... 1. Identifiquen si los siguientes fenómenos son deterministas o aleatorios y presenten al grupo otros ejemplos de cada tipo de evento. • ¿Qué tipo de fenómeno es el paso del tiempo? Determinista

• ¿Qué tipo de fenómeno es un sorteo de lotería? Aleatorio

PRACTÍCALO

Aleatorio. Fenómeno que puede tener varios resultados posibles y no se puede saber cuál ocurrirá. Determinista. Fenómeno donde sus condiciones son tales que no se sabe lo que ocurrirá.

Actividad 7.1

1. Anota dos ejemplos de fenómenos que consideres aleatorios y dos que consideres deterministas. Fenómenos aleatorios a) Lanzar una moneda o un dado. b) Jugar a las cartas.

Cómo enriquecer la actividad Si lo considera necesario, oriente la secci n ACUÉRDATE DE para que los estudiantes distingan lo que es un fenómeno aleatorio de uno determinista. Pida la participaci n del grupo para que al presentar los ejemplos de cada tipo de fenómeno identifiquen si corresponden a uno aleatorio o a uno determinista.

Fenómenos deterministas a) Poner hielo al sol.


b) Encender un cerillo.

Pida que resuelvan la actividad complementa a la secci n ACUÉRDATE DE , de manera individual, a partir de las participaciones previas.

Para tener en cuenta En la vida cotidiana suceden fenómenos o eventos; en algunos casos sabemos lo que ocurrirá (a estos fenómenos se les conoce como deterministas), por ejemplo: si dejamos un cubo de hielo en un vaso de agua, sabemos que se derretirá; hay otros fenómenos en los que no sabemos qué resultará (se conocen como aleatorios), por ejemplo: si lanzamos un dado, no sabemos cuál de los seis números mostrará la cara superior.

159


159


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Actividad 7.2

Junto con uno de tus compañeros resuelve la siguiente actividad.

Qué observar as actividades l dicas permiten que de una manera más amena el alumno trate el tema de este contenido. Dé el tiempo necesario para que desarrollen la actividad, cuestiónelos sobre las posibles respuestas antes de la misma (formulación de ip tesis después de realizarla pídales que verifiquen si estas son verdaderas.

1. "Carrera de tortugas", este sencillo juego solo utiliza una pista, un dado y una ficha por jugador. Consiste en tratar de predecir quién ganará la carrera antes de iniciar el juego. Cada jugador tiene derecho a tirar una vez el dado y avanzar el número de casillas que indique aquel. Gana el primero en llegar a la meta.

Antes del juego • scriban su predicci n, ¿quién será el anador del ue o? Respuesta abierta • ¿Cuál es el n mero apro imado de tiradas que consideran que cada u ador tendrá que realizar para llegar a la meta? Respuesta abierta • ¿ ste ue o presenta posibilidades i uales para que ane cualquier u ador? Respuesta abierta

Cómo enriquecer la actividad Cuestione a sus estudiantes sobre las posibles respuestas antes de responder (formulación de ip tesis después de realizarla pídales que verifiquen si estas son correctas. En caso necesario, repitan la actividad.

•

pliquen su respuesta Respuesta abierta

• Realicen un mínimo de tres carreras y registren los resultados de cada una para compararlos con sus predicciones. Respuesta Respuesta Respuesta • e istren el tiempo de cada carrera. 1 abierta 2 abierta abierta Después del juego • ¿ us predicciones ueron correctas? Respuesta abierta

. Justifiquen su respuesta.

• ¿De qué depende que una persona pueda anar la carrera? Respuesta abierta • ¿Consideran que la suerte o la ortuna in u en en el resultado? Respuesta abierta Respuesta abierta • ¿Cuál ue la variaci n del tiempo en cada carrera? Respuesta abierta • ¿ l tiempo es un actor que in u e en el resultado? Respuesta abierta Respuesta abierta

, ¿por qué?

. Expliquen su respuesta. Respuesta

• i realizan otras tres carreras, ¿consideran que los resultados serían similares? abierta su respuesta. Respuesta abierta

. Expliquen

Comenten sus resultados con el resto del grupo y con ayuda del profesor elaboren una conclusión.

160


160


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BLOQUE 3 BLOQUE 3 2. Para algunos juegos de azar se utilizan ruedas de la fortuna, que consisten en girar un disco y seleccionar lo que marque la flecha. Observa las ruedas de la fortuna y responde las preguntas.

Cómo enriquecer la actividad provec e la participación de los alumnos para que cada vez que sea necesario se justifiquen las respuestas. • Si en un juego se tira por turnos, ¿todas las ruedas les dan a los jugadores las mismas posibilidades de ganar? No . Expliquen su respuesta. La del b) y la del d) son injustas. • ¿Qué incisos presentan las ruletas que consideran que son ustas es decir, que le dan a todos los a) y c) jugadores las mismas posibilidades de ganar? , ¿por qué? Todas sus secciones son iguales. • En la ruleta del inciso b), si al hacerla girar se señala el color gris el jugador pierde, y si cae en cualquier más posibilidades otro color gana, ¿consideran que esto es justo? No . Justifiquen su respuesta. Tiene de ganar que de perder. • Si en un juego participan tres personas alternando sus tiradas, ¿cuál rueda será más adecuada para que los tres tengan la misma posibilidad de ganar, con la rueda del inciso a) con la del inciso c)? Inciso a) Justifiquen su respuesta. En a) la posibilidad es del 50% y en c) es de 33.3%.

Permita que e pon an su análisis y den sus conclusiones correspondientes, esto permitirá enriquecer a través de una retroalimentación la actividad y el contenido.

Comenten sus resultados con el resto del grupo y analicen sus resultados; al final obtengan una conclusión bajo la asesoría de su profesor.

PRACTÍCALO

Actividad 7.3

Un juego tradicional mexicano es, sin duda, la perinola. Este juego consiste en un instrumento hexagonal que tiene escritas indicaciones en cada una de sus caras para tirar simplemente a que irarla. as caras dicen PON 1, PON 2, TOMA 1, TOMA 2, TOMA TODO y TODOS PONEN. Formen equipos de 4 personas. Para jugar, necesitarán conseguir una perinola y 10 objetos pequeños para cada jugador (fichas, frijoles, pequeñas piedras, etcétera). 1. Seleccionen un jugador para abrir el juego 2. Cada jugador girará la perinola una vez por turno 3. El jugador en turno deberá acatar la indicación que se muestre en la cara . l u ador que a no pueda poner sale del ue o. 5. El jugador que obtenga todas las piezas gana el juego. Antes del juego

Respuesta

Respuesta

abierta • ¿Quién de los cuatro integrantes consideran que va a ganar? abierta . Expliquen por qué. Si • ¿Consideran que las condiciones del juego son justas para todos? , ¿por qué?

Porque todos tienen igualdad de condiciones.

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Cómo enriquecer la actividad Pida a los alumnos que investiguen otros juegos y si en estos se pueden anticipar los resultados. De la misma manera propongan ip tesis después verifíquenlos realizando el juego propuesto. Cuestiónelos sobre si existe algún juego en el que se pueda determinar al ganador.


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• ¿Cuántas tiradas por juego creen que realizará aproximadamente cada jugador? Respuesta abierta • ¿Cuánto tiempo consideran que tarda en desarrollarse un juego completo? Respuesta abierta Durante el juego • Registren el número de tiradas por participante durante el juego, no olviden tomar el tiempo. Después del juego • Comparen sus predicciones con los resultados obtenidos: • ¿Quién de los participantes ganó el juego? Respuesta abierta

Respuesta

• ¿Comprobaron que todos tenían la misma oportunidad de anar ? abierta Respuesta abierta

. Expliquen por qué. Respuesta

Respuesta

• ¿Cuantas tiradas realizó el jugador que ganó? abierta, ¿coincide con la predicción que realizaron? abierta Comparen sus respuestas con las de sus compañeros de grupo y con la asesoría de tu profesor analicen los resultados.

PRACTÍCALO

Actividad 7.4

n equipos de personas van a inventar u ar su propia lotería .

Cómo enriquecer la actividad El juego de la lotería es una actividad que se realiza en las ferias a ora en cualquier lu ar. Permita que realicen esta actividad y pronostiquen quien será el ganador. Considere si es necesario que la realicen dos o tres veces más.

Antes del juego Cada u ador deberá elaborar su planilla conse uir sus c as . radicionalmente se utilizan ri oles, pero puede ser sustituido por pequeñas piedras, trozos pequeños de plastilina o algún objeto similar, no olviden consultarlo antes con su profesor.

El gatito Diana Diana López Pérez

La canasta

El oso

Planilla para jugar

La canasta

El oso

Diana

Diana

Planilla para cortar

162


162


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BLOQUE 3 BLOQUE 3

Cada integrante necesitará tomar una hoja tamaño carta (las hojas deben ser iguales) córtenla a la mitad por lo largo, luego con la regla se debe dividir cada mitad en nueve partes, como se muestra en la figura. En la parte superior de la primera tarjeta deberán anotar su nombre y en cada casilla en nombre de nueve objetos, animales o cosas que le gusten al jugador; en la segunda tarjeta anotarán las mismas cosas que en la primera pero ahora anotarán su nombre debajo de cada objeto que seleccionaron. Teniendo listas las tarjetas, de la segunda (la que tiene el nombre debajo de los objetos) deberán cortar las nueve secciones, doblar cada una y colocarlas dentro de una bolsa de plástico (que de preferencia no sea transparente). • ¿Quién consideran que ganará el juego? Respuesta abierta • ¿Por qué consideran que tiene más posibilidades de ganar?. Expliquen su respuesta. Respuesta abierta • ¿Consideran que es un juego justo? Respuesta abierta Respuesta abierta • ¿

, ¿por qué?

iste la posibilidad de que al uien pudiera tomar venta a para poder anar? Si

• Considerando que son tres jugadores, ¿uno solo tiene más posibilidades de ganar o de perder? Perder • ¿Por qué lo consideran así? Porque todos tienen igualdad de condiciones. Durante el juego • Decidan quién iniciará el juego. • Por turnos, cada jugador sacará un papelito y leerá en voz alta el nombre del objeto y el jugador al que pertenece, por ejemplo, el autom vil de rturo o el atito de Diana al ser nombrado cada objeto el jugador al que pertenece deberá colocar una pieza en su tablero. Gana el primero en completar su planilla, tradicionalmente debe decir en voz alta para indicar que a an .

Qué observar Para que un ue o sea justo o injusto es necesario que los alumnos analicen la dinámica y, después de realizar sus conjeturas, decidan si las condiciones son las mismas para todos los participantes. En caso contrario, pídales que argumenten: ¿cuáles serían las condiciones ideales de un juego para que este sea justo para todos los participantes?

Después del juego • ¿Ganó la persona que ustedes consideraron? Respuesta abierta

¿Por qué ocurrió esto?

Si • El juego fue justo, es decir, ¿le da a cada jugador la misma oportunidad de ganar? _____ _____. Expliquen su respuesta. Porque todos tienen igualdad de condiciones. • ¿Consideran que si repite el juego dos veces más el resultado será similar al que obtuvieron? • Expliquen su respuesta. Respuesta abierta • Si se incrementa el número de jugadores a cinco, ¿la posibilidad de que cada uno gane es más grande o es menor? Menor • Justifiquen su respuesta. Respuesta abierta Compartan sus respuestas sus compañeros de grupo y con la asesoría de su profesor analicen los resultados y las justificaciones de cada uno para obtener una conclusión, regístrenla en su cuaderno junto con una opinión personal de la actividad.

163


163


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Actividad 7.5

1. Analiza junto con uno de tus compañeros la situación que se plantea y respondan las preguntas. • ván tiene tarea su maestro le pidi que realice un e perimento aleatorio que re istre sus resulta-

Qué observar

dos. Se le ocurrió tomar una caja de zapatos, cinco pelotitas de goma y con un marcador las numeró

En la Actividad 7.5 verifique que los alumnos ordenan adecuadamente los números y que cuenten la cantidad de datos. Este resultado debe ser igual a los datos ya ordenados, lo cual facilitará su conteo y por ende la elaboración de la tabla de frecuencias resultara más sencillo.

del uno al cinco. Luego seleccionó al azar una pelotita 40 veces y registró su resultado de esta manera: 1, 5, 1, 4, 1, 2, 3, 4, 1, 3, 2, 5, 3, 2, 5, 1, 4, 5, 3, 2, 4, 1, 3, 5, 3, 3, 4, 4, 1, 5, 3, 2, 2, 4, 3, 1, 5, 1, 4, 1. Lo primero que hizo fue ordenar sus resultados. Ordenen los números de menor a mayor. 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5.

Indíqueles la importancia tiene conocer la frecuencia de un experimento.

1

5

1

4

1

2

3

4

1

3

2

5

3

2

5

1

4

5

3

2

4

1

3

5

3

3

4

4

1

5

3

2

2

4

3

1

5

1

4

1

• Ahora, cuenten cuántas veces se repite cada número y anótenlo en la siguiente tabla.

Número

1

2

3

4

5

Total

Frecuencia

10

6

9

8

7

40

• Como se habrán dado cuenta, la frecuencia es el número de veces que se repite un dato, ¿cómo comprueban que las frecuencias que calcularon son correctas? Comparando la tabla con la serie de datos ordenados.

164


164


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BLOQUE 3 BLOQUE 3

Por ltimo, re istr sus datos en una abla de recuencias , donde represent la recuencia absoluta la frecuencia relativa. Completen la tabla.

Resultados

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

1

10

0.1

2

6

0.15

3

9

0.225

4

8

0.2

5

7

0.175

6

40

1

Total • ¿Cómo calculó la frecuencia relativa? Dividiendo la frecuencia absoluta entre el total de casos posibles. ¿Cuánto sumó el total de la frecuencia absoluta? 40 , ¿cuánto sumó el total de la frecuencia relativa? 1 Si

. ¿El total de la frecuencia relativa sería el mismo si hubiera tenido otro grupo de números? Porque siempre se comprara la frecuencia absoluta con el total, por lo que siempre

• Expliquen su respuesta. la relativa da 1.

• ¿Por qué creen que se calcula el valor de la frecuencia relativa? Porque da un numero decimal con el que se puede obtener el porcentaje. 2. Ahora, realicen un experimento aleatorio ustedes mismos. Consigan un dado, láncenlo 50 veces y al igual que Iván en su cuaderno, registren sus resultados, ordénenlos de menor a mayor y construyan una tabla de frecuencias.

Cómo enriquecer la actividad Comente con sus alumnos algunas situaciones similares y analice por qué la suma de la frecuencia relativa siempre es uno y determine la importancia que esto tiene en relación con el porcentaje. Destaque también el papel de este en la interpretación de los resultados para realizar la toma de decisiones. Solicíteles que realicen un experimento diferente en el salón de clases y en su cuaderno elaboren una tabla como la que se trabajó en esta actividad.

Antes del experimento • ¿Consideran que todos los números tienen la misma posibilidad de salir?

Si

• ¿Creen que al final todos los números salgan el mismo número de veces? No Expliquen su respuesta. Porque es un experimento aleatorio.

.

• ¿Consideran que puede existir alguna similitud en los resultados en comparación con la tabla de Iván? No ¿Por qué? Porque a pesar de que el procedimiento es el mismo, los experimentos son independientes. Después del experimento • ¿Cuánto sumó el total de la frecuencia relativa? 1 , ¿cuánto sumó el total de la frecuencia absoluta? 50 • Según su experimento, ¿algún número tiene más posibilidades de salir que otro? Expliquen su respuesta. Porque todos los resultados son equiprobables.

Cambiando números Sustituya el valor de 0.1 por el de 0.25 para obtener el valor correcto de la suma de la Frecuencia relativa (1).

Comparen sus resultados con el resto del grupo y con la asesoría de su profesor obtengan una conclusión general acerca de esta actividad.

1 5


165


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LO QUE APRENDÍ APRENDÍ 1. Reúnete con dos compañeros para jugar el Juego de la oca. Registren en la tabla lo que se indica. Respuesta abierta


Nombre del jugador

Dé el tiempo suficiente para realizar esta actividad, comente con el grupo la relación que tiene el juego con el azar y los procesos estadísticos, pida también que valoren si el juego es justo o injusto y cuál consideran que es la mejor manera de interpretar los resultados que obtuvieron.

Numero del dado

Número de veces que apareció

1 2

Respuesta abierta

3 4 5 6 1 2

Respuesta abierta

3 4 5 6 1 2

Respuesta abierta

3 4 5 6

• ¿Quién fue el ganador? Respuesta abierta • ¿Cuántas tiradas realizó para ganar? Respuesta abierta • ¿Cuál fue el número que apareció con más frecuencia del jugador que ganó? Respuesta abierta

USA LAS TIC Aprende jugando con la probabilidad al ingresar en esta página electrónica: www.telesecundaria. dgme.sep.gob.mx/ interactivos/1_primero/1_ Matematicas/1m_b03_t09_ s03_interactivo/index.html

• ¿Cuál fue el número que apareció con menor frecuencia del jugador que ganó? Respuesta abierta

Desarrolla tus habilidades En un cajón hay 40 calcetines: 20 negros y 20 azules. Sin ver, ¿cuántos calcetines tienes que sacar para asegurar que tienes un par del mismo color? 3 calcetines

166


166


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BLOQUE 3 BLOQUE 3 Eje Tema Contenido 8

ACUÉRDATE DE...

Cuando estabas en la primaria aprendiste a construir tablas de frecuencias.

Frecuencia. Número de veces que ocurre un suceso.

1. Junto con un compañero realiza la siguiente actividad. a) n cierto noticiario le eron la si uiente nota é ico tiene 108 millones de abitantes la pobreza e trema afecta, en promedio, a 1 de los me icanos . sta misma noticia se dio en otro noticiario con estos términos isten apro imadamente 400 000 me icanos que viven en condiciones de pobreza e trema . Inegi. Censo de población 2010 (www.inegi.org.mx). •

¿Cuál de las dos noticias te parece más alarmante? Respuesta abierta

• ¿Se está refiriendo a lo mismo? Si

. ¿En qué coinciden ambas notas?

En la cantidad de mexicanos que viven en pobreza extrema.

• Promueve con tus compañeros una discusión relacionada con la situación anterior y obtengan una conclusión.

Para tener en cuenta Llamamos frecuencia absoluta al número de veces que se considera cada dato. La frecuencia relativa nos indica que parte del total de las frecuencias corresponde a cada dato y se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta entre el total de observaciones.

PRACTÍCALO

Cómo enriquecer la actividad Conduzca la sección ACUÉRDATE DE , para que los alumnos den la respuesta de apreciación a la primera pregunta, y luego comprueben si las cantidades son equivalentes acen referencia a lo mismo. Oriente las observaciones para que los estudiantes se den cuenta acerca de lo importante que resulta la comunicación a través del manejo de las cifras.

Actividad 8.1

1. Lee las situaciones de cada inciso; analiza las tablas correspondientes y complétalas. a) Supongamos que en el ejido San Juan se sembró sorgo durante cuatro años en cuatro parcelas de igual superficie. Los resultados de la producción se muestran en la tabla.

1 7


167


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Parcela

Producción de kilogramos 2006

2007

2008

2009

1

1 5

1 70

1050

870

5 015

2

9 0

790

1350

1120

4 220

3

1430

870

1200

1120

4 620

4

2440

1620

575

9 0

5 595

Qué observar Esta actividad, cuyo planteamiento se encuentra en la página anterior, tiene la finalidad de que el alumno se prepare a través del cálculo de porcentaje, la pregunta que se realizó con anterioridad que tenía que ver la finalidad de calcular la frecuencia relativa.

Total

• En el año 2006, ¿qué porcentaje de la producción anual se cosechó en la parcela 4? 43.61% • En el año 2009, ¿qué porcentaje de la producción anual se cosechó en la parcela 4? 17.15% • ¿A qué porcentaje de su total corresponde la mayor producción de la parcela 4?

43. 61%

• En 2008 se presentó la menor producción en la parcela 4. ¿Qué porcentaje aportó en ese año? 10.27% b) En un juego de basquetbol femenil se registraron las anotaciones de cada jugadora. Completa la tabla de frecuencias. Considera los ejemplos.


Canastas anotadas por cuarto

Jugadora

Con esta actividad enfatice la importancia de calcular la frecuencia relativa, la manera de obtenerla y la forma de representarla en porcentaje.

Frecuencia absoluta

6

6

6/46

0.13

Frecuencia relativa

1

2

3

Valeria

///

/

//

Marcela

/

////

///

/

9

9

9/46

0.195

/

//

///

6

6

6/46

0.13

////

//

//

///

11

11

11/46

0.239

Luisa

/

/

/

/

4

4

4/46

0.086

Daniela

//

/

//

/

6

6

6/46

0.13

//

4

4

4/46

0.086

46

46

46/46

1

Gabriela

Cuestiónelos acerca de la forma de como obtuvieron cada valor de la frecuencia relativa en porcentaje.

Total

Razón o fracción: Total de canastas de la jugadora / Total de canastas del juego

// Total

4

12

• ¿Cuál fue el total de canastas anotadas en el partido? 46 • ¿A qué porcentaje corresponde este total de canastas anotadas? 100% • ¿Quiénes tuvieron más anotaciones? Cecilia y Marcela.

1 8


168


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BLOQUE 3 BLOQUE 3 • ¿Cuál es el porcentaje de sus anotaciones en relación con el total de canastas? 23.9% y 19.5 % • ¿Quiénes anotaron el menor número de canastas? Luisa y Andrea • Observa la tabla. Según tu criterio, y con la idea de tener el mejor equipo, ¿cuáles son las cinco jugadoras que seleccionarías para el siguiente encuentro? Cecilia, Marcela, Valeria, Gabriela y Daniela.

LO QUE APRENDÍ

1. olanda estudia 1 de secundaria en su rupo se llevaron a cabo elecciones en tres vueltas para ele ir al jefe de grupo. Participaron como candidatos Patricia, Reyna, Víctor y Raúl. Completa la tabla de frecuencias de los votos que tuvieron.

Nombre

Núm. de votos por vuelta 1

Patricia

Reyna

Víctor

Raúl

Total

Frecuencia absoluta

Razón o fracción:

///

13

13

13/44

0.295

//// ////

11

11

11/44

0.25

2

//// //// /

Frecuencia relativa

n muc as de las actividades en las que se utilizan diversas variables es conveniente que los alumnos las realicen por parejas o en equipos. Valore las posibilidades de acuerdo con las características del grupo en particular.

3

//// ////

///

12

12

12/44

0.272

//

/

8

8

8/44

0.181

////

Qué observar

Cómo enriquecer la actividad a e posici n por parte de los alumnos es por sí enriquecedora, prop n ales diseñar situaciones análogas. Supervise que el llenado de las tablas sea cuidadoso, ya que al momento de representar esta información de manera gráfica, cualquier error distorsiona los resultados esperados.

• ¿Quién será el jefe de grupo? Patricia • ¿Cuál fue la diferencia de votos con el último lugar? 5 votos • ¿Quién obtuvo la votación más baja? Raúl • ¿Qué alumno podría ser el subjefe de grupo? Víctor • Explica tu respuesta. Porque fue el segundo lugar en las votaciones con 12.

Recursos y materiales 1 9


En educar, utilizando el buscador para encontrar el artículo r anicemos la semana en ecursos educativos encontrará sugerencias para el establecimiento de relaciones, organización, interpretación y comunicación de información en tablas. ttp .educ.ar educar inde . tml

169


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Evaluación Resuelve las siguientes situaciones y escribe en el paréntesis de la derecha la letra que contenga la respuesta correcta. Al finalizar, revisen en grupo esta prueba, sus resultados y los procedimientos.


1. Sobre la circunferencia se encuentran algunos números decimales. 2.4

Permita que los alumnos verifiquen las respuestas y en caso de que en algún ejercicio propuesto el resultado fuera incorrecto, que justifique por qué no lo es.

3.3

0.8

Recuerde que la secci n valuaci n pretende acer que los alumnos se autoevalúen, esto es, que aprendan a reconocer qué es lo que a saben acer, qué están aprendiendo y en qué contenidos necesitan acer un mayor esfuerzo.

1.7

0.2

0.6 • ¿Cuáles son las tres cantidades que se deben multiplicar para obtener el n mero ma or posible? a) 1.7, 0.2, 0.8

b) 1.7, 2.4 y 3.3

c) 2.4, 0.6 y 1.7

d) 3.3, 0.8 y 2.4

• Con base en la respuesta anterior, ¿cuál es el mayor producto? a) 0.528

b) 4.488

c) 4.789

(d )

d) 13. 464

• ¿Cuáles son las tres cantidades que al multiplicarlas se obtiene el menor número? a) 1.7, 0.8 y 0.7

b) 0.2, 0.6 y 0.8

c) 0.7, 1.5 y 3.4

b) 0.965

c) 0.659

( b)

d) 1.2, 3.2 y 0.3

• Con base en la respuesta anterior, ¿cuál es el menor producto? a) 0.096

(b)

(a )

d) 0.965

2. Para su tienda de abarrotes, Don Panchito adquirió las siguientes cantidades de producto: 30 kilogramos de mantequilla a $1.2 el kilo, 35 kilogramos de azúcar a $15 el kilo, 13 kilogramos de harina a $2.5 el kilo y 10 docenas de cajas de cerillos a $4.5 por caja. • Si paga con dos billetes de $500, ¿cuánto le devolverán de cambio? a) $361.5

b) $368.5

c) $420

(a )

d) $350.5

3. Se desea llenar un depósito de agua mediante dos llaves. La primera vierte 25.23 litros en 3 minutos y la segunda 31.23 litros en 5 minutos. • ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el depósito si su capacidad es de 425.43 litros? a) 28 min

b) 27 min

c) 29 min

(a )

d) 26 min

4. Observa las siguientes figuras geométricas y responde. 2.14 cm

3 cm

2.68cm

3 cm

170


170


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BLOQUE 3 BLOQUE 3

Evaluación • ¿Cuál es la medida del perímetro del pentágono? a) 30 cm

b) 15 cm2

(c )

c) 15 cm

d) 30 cm2

•¿Cuál es el área del pentágono? a) 15.48 cm2

(a )

b) 15.48 cm

c) 1.548 cm

d) 154.8 cm2

• ¿Cuál es la medida del perímetro del hexágono? a) 1.8 cm

b) 1.8 cm2

(d )

c)18cm2

d) 18 cm

• ¿Cuál es la medida del perímetro del hexágono? a) 23.38 cm2 5.

b) 23.38 cm

(a )

c) 233.8 cm

d) 233.8 cm2

En una fábrica se aplicó un examen a los obreros, y se obtuvieron las siguientes calificaciones: 8, 3, 5, 0, 7, 1, 7, 3, 9, 4, 6, 8, 1, 5, 2, 6, 8, 6, 9, 5, 3, 7, 4, 9, 8, 7, 4, 2, 5, 8. Con base en los datos anteriores completa la tabla.

Puntuación 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Frecuencia relativa (fr) Frecuencia Razón Proporción Absoluta

Porcentaje

1

1 30

0.03

2

2/30

0.066

6.6

2

2/30

0.066

6.6

3

3 30

0.1

3

3/30

0.1

10

4

4/30

0.133

13.3

3

3/30

0.1

10

4

4/30

0.133

13.3

5

5/30

0.166

16.6

3

3/30

0.1

10

Cómo enriquecer la actividad Motive a los alumnos para que resuelvan esta evaluación de orma onesta, procure que comprendan la importancia de la actividad y la utilidad que puede tener para mejorar su nivel actual de conocimientos. Procure que tomen la evaluación como al o abitual, bueno y sano; es decir, como parte del proceso de aprendizaje de las matemáticas.

3.3%

Cambiando números Si pide al alumno que calcule el área del pentágono mediante pa la rmula 2 , el resultado que obtendrá será de 16.05 cm2. ¿Por qué este dato no se encuentra en las opciones de respuesta? Porque la respuesta correcta fue calculada con base en el programa denominado Geogebra.

10%

Total

Cambiando números 171

Cambiando números Recuerde a sus alumnos, que las áreas de una figura siempre se calculan en metros cuadrados (m2).


Al calcular el área del e á ono mediante pa la rmula 2 , el resultado será 24.12 cm2. Recuerde a sus alumnos que el resultado de 23.38 cm2, es correcto y que fue calculado a partir del uso de Geogebra.

171


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MATEMÁTICAS 1

Bloque

4

Aprendizajes esperados • Constru e círculos polí onos re ulares que cumplan con ciertas condiciones establecidas. • ee in ormaci n presentada en rá cas de barras circulares. tiliza estos tipos de rá cas para comunicar in ormaci n.

172

Qué observar Revise si los alumnos, cumplen con las competencias exigidas en el programa. Las que destacan son: la resolución de problemas, que implican números enteros, fraccionarios y decimales positivos y negativos; construcción de círculos a partir de diferentes datos (radio, cuerda, tres puntos no alineados, etcétera); cálculo de la longitud de la circunferencia y la explicación del numero (pi); el manejo de la regla de tres; el factor inverso en una relación de proporcionalidad en una interpretación a escala; problemas de conteo con diversos procedimientos, y el manejo de gráficas de barras y circulares.

172


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BLOQUE 4

Contexto histórico 1543 La teoría de Copérnico sienta las bases de la astronomía moderna

1500

1560 1522 Cuthbert Tunstall publica en Inglaterra el primer libro de aritmética

1654 El holandés Christian Huygens desarrolla el reloj de péndulo

1608 Se inventa el telescopio

1620

1712 Thomas Sávery construye su máquina de vapor atmosférica

1790 Científicos ses desarrollan el Sistema Métrico Decimal

1740

1680

1800

Hechos matemáticos 1557

1654

Robert Recorde, en sus Tratados de Aritmética y Álgebra, utiliza por primera vez el signo “”

Pascal y Fermat desarrollan las leyes básicas del cálculo de probabilidades

1760 El conde de Buffon establece una conexión entre probabilidad y

173

Cómo enriquecer la actividad Aproveche la línea del tiempo para que los estudiantes hagan comentarios acerca del desarrollo de las Matemáticas: ¿hace cuántos años se usó por primera vez el signo “”? ¿Hace cuántos años se desarrolló el Sistema Métrico Decimal? • Pídales que investi uen presenten una pequeña bio ra ía de Pascal ermat, ¿a qué edad hicieron estos personajes sus aportaciones a las matemáticas?

173


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Eje temático


Tema


Contenido 1

Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos

ACUÉRDATE DE...

Cómo enriquecer la actividad Para entrar en el tema de los números con signo, unidades mayores o menores que cero (positivas o negativas), propicie la participación del grupo; si en la región donde se ubica la escuela no se han dado temperaturas por debajo de cero grados, pregúnteles si conocen lugares donde la temperatura sí alcanza esos niveles.

En condiciones normales, la temperatura corporal del ser humano es cercana a los 37 °C; el cuerpo mantiene cierta temperatura aun cuando el clima sea frío o caluroso. Si la temperatura del cuerpo bajara a 35 °C sufriría hipotermia; si alcanzara los 41 °C sufriría hipertermia. Marca en la recta numérica las temperaturas en las que el cuerpo podría sufrir hipotermia e hipertermia. 35

0

10

20

30

41

40

50

0

C

Discute tus respuestas con el resto del grupo y con su profesor establezcan conclusiones.

PRACTÍCALO

Actividad 1.1

1. Contesta las preguntas. a) En este momento, ¿cómo es el clima en tu localidad? Respuesta abierta b) ¿Cuál es la temperatura máxima pronosticada para este día? Respuesta abierta c) ¿De qué otra manera se le llama a la escala centígrada? Respuesta abierta d) Seguramente en el laboratorio de tu escuela hay un termómetro. Consúltalo. ¿A qué temperatura nos encontramos en este momento? Respuesta abierta e) ¿Cómo determinaste tu respuesta? Respuesta abierta

174


174


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BLOQUE 4 BLOQUE 4

2. Lee la información con respecto a algunas temperaturas y ubica en el termómetro de la derecha el inciso que corresponda a cada temperatura. Compara las respuestas con tus compañeros.


a) En el Sahara el suelo llega a calentarse a 84 °C. a) b) Sobre los desiertos y océanos la temperatura alcanza 40 °C. c) La temperatura promedio de la superficie terrestre es de 15 °C.

b)

d) Marte tiene una temperatura promedio de 60 °C bajo cero.

c)

Permita que desarrollen la actividad de manera individual, pero que comparen sus resultados con los del compañero más cercano.

e) En las zonas polares la temperatura desciende hasta 70 °C bajo cero. f) En 1983, la temperatura en el Antártico llegó a 89 °C bajo cero. d) e)

Qué observar

f) Compara tus respuestas con tus compañeros y con la ayuda de su profesor planteen otras situaciones que puedan expresarse con números positivos o negativos. Escríbanlo en su cuaderno.

PRACTÍCALO

Actividad 1.2

1. Observen la recta. 4

3

2

1

0

1

2

3

4

Contesten las preguntas. a) ¿Con qué otro nombre se conoce a los números mayores que cero? Positivos

Dé la libertad y el tiempo necesario a los alumnos para que resuelvan estas actividades. Es muy importante que vigile y oriente la participación de los alumnos al exponer sus respuestas. Si no cuentan con Internet, estimen la temperatura de acuerdo con los usos y costumbres de la localidad.

b) ¿Qué signo se utiliza para hacer referencia a estos números? Mas (+)


c) ¿Con qué otro nombre se conoce a los números menores que cero? Negativos d) ¿Qué signo se utiliza para hacer referencia a estos números? Menos (–)

Pídales que resuelvan en equipo la actividad y que comparen con otros equipos sus respuestas. 175


175


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MATEMÁTICAS 1

Qué observar Verifique que la lectura se realice de forma grupal; es decir, cada alumno leerá un párrafo, se detendrán en él, lo analizarán y ubicarán cada inciso sobre la recta correspondiente.

MATEMÁTICAS 1

PRACTÍCALO

Actividad 1.3

1. Organícense en parejas para resolver los problemas que se presentan a continuación. a) Qin Shi Huang fue el primer emperador de China. Si nació en el año 249 a.n.e. y murió en el año 221 a.n.e., ¿cuántos años vivió? 28 años • ¿Cómo describirían el problema con sus propias palabras? Encontrar la edad de Qin Shi H., a partir de dos datos. • ¿Qué datos identifican en el problema? El año en que nació y el año en que murió. • ¿Cuál es el procedimiento que utilizaron para resolverlo? Restando 249 menos 221. Justifiquen su respuesta Si nació en 249 a.n.e y murió en 221 a.n.e , entonces es una diferencia. • Realicen las operaciones que consideren adecuadas.

Cómo enriquecer la actividad Dé el tiempo necesario para que resuelvan estos dos incisos, enfatice la justificación de sus procedimientos y motive una discusión grupal que tenga como objetivo sintetizar los procedimientos realizados. Pida a los alumnos que propongan nuevas situaciones, que las expongan en el salón para que se analicen y se les dé solución.

249 221 28 años.

• ¿Cómo pueden comprobar que su resultado es correcto? Sumando 221 28. b) En un edificio de una unidad habitacional se extrae agua de una cisterna de una profundidad de 15 m y es elevada a tinacos que se encuentran a 35 m de altura. ¿Qué nivel supera el agua? 20 m • ¿Cómo describirían el problema con sus propias palabras?

Encontrar el nivel que supera el agua de la cisterna con respecto al edificio.

• ¿Qué datos identifican en el problema? La profundidad de la cisterna y la altura del edificio. • ¿Cuál es el procedimiento que utilizaron para resolverlo? Restando 35 menos 15. Justifiquen su respuesta Porque la profundidad es de 15m y la altura de 35 m. • Realicen las operaciones que consideren adecuadas. ¿Cómo pueden comprobar que su resultado es correcto? 35 15 20 años; sumando 20 más 15. c) ¿Cuál es la diferencia de temperatura que soporta un almacenista de carne si antes de entrar al refrigerador que está a -6°C, en la parte exterior él está a una temperatura de 18°C? 24°C • ¿Cómo ¿Cómo describirían el problema con sus propias palabras? La diferencia de temperaturas interna y externa. • ¿Qué datos identifican en el problema? La temperatura en el interior del refrigerador y la del exterior. • ¿Cuál es el procedimiento que utilizaron para resolverlo? Restando 24 menos (-6). Justifiquen su respuesta Porque la temperatura va de los negativos a los positivos.

Curiosidades, acertijos y más Si lo considera conveniente y siente que los alumnos pueden obtener algún provecho, propóngale esta situación: los hindúes también se adelantaron con el tema de los negativos, en el siglo VI ya encontramos este texto: “Una deuda restada de la nada se convierte en un bien, un bien restado de la nada se convierte en una deuda. Pídales que expliquen brevemente el significado de este enunciado, hasta llegar a una conclusión grupal.

• Realicen las operaciones que consideren adecuadas. ¿Cómo pueden comprobar que su resultado es correcto? 18 6 24; restando 24 6 para que de 18. Comparen sus planteamientos, operaciones, resultados y métodos de comprobación con el resto del grupo. Con ayuda del profesor analícenlos y elaboren una conclusión sobre los métodos que consideren más adecuados. Regístrenla en su cuaderno.

176


176


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BLOQUE 4 BLOQUE 4

PRACTÍCALO

Actividad 1.4

1. Ubiquen en la recta numérica los siguientes números con signo. 1 1 a) 2, 1.5, 2 , 2

2

3 3 b) 1, 4 , 2 , 2

1.5

2

8 c) 1, 1, 4

1 1 d) 0, 3, 4 , 2.5, 4

1

0

1 2

0

1

8 4

1 4

3 4

0

1

3 2.5

2

1 2 3 2

2

1

1 0 1 4 4

PRACTÍCALO

Actividad 1.5

1. Ordenen de menor a mayor los siguientes números. a) 2, 2, 0, 3 2, 0, 2, 3 1, 0.6, 1, 2.5 b) 1, 2.5, 1, 0.6 1, 2, 1, 1, 0, 3 c) 3, 0, 1, 2 2, 2.2, 1.5, 1.5, 0.5, 0.5, 1.5 d) 1.5, 0.5, 1.5, 2.2 2.2, Comparen los procedimientos que utilizaron para llevar la resolución de la actividad 1.5 y 1.6. Ahora contesten lo que se pide. • ¿ n qué consideran que se parecen uno con otro? En que son números opuestos. • Describan cuál es la manera en la que se debe de ordenar un rupo de n meros positivos ne ativos.

Qué observar Verifique que los alumnos comprendan con claridad la posición de los números positivos y negativos en la recta numérica. Que identifique al número cero como el origen de la recta y que consideren que podemos establecer acuerdos en los que a partir de cualquier punto de la recta numérica, a la derecha el conteo se hace con números positivos y a la izquierda el conteo es con números negativos, qué los números se encuentran ordenados (sea cual fuere el sentido del conteo) y que para que un número se considere negativo es indispensable que lo anteceda el signo negativo ().

Del mayor negativo al mayor positivo. • ¿Qué actividad resolvieron con ma or acilidad? Respuesta abierta


• ¿Por qué? usti quen su respuesta. Respuesta abierta Comparen sus resultados y procedimientos con el resto del grupo y con su profesor analicen las propiedades de los números positivos y negativos para la resolución de problemas.

Para tener en cuenta Hay números que podemos ubicar a la misma distancia del cero, tanto a la derecha como a la izquierda; por hallarse a ambos lados del cero, a estos los llamaremos números opuestos (o simétricos). Opuestos

2

0

1

1

2

Opuestos

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La actividad está diseñada para reforzar el concepto de números con si no. Permita que la resuelvan en equipo, que presenten sus resultados y, si fuera necesario, que expliquen cómo encontraron la ubicación de los números de cada inciso.

Cómo enriquecer la actividad Pida que de manera individual resuelvan la actividad y que comparen sus resultados; si fuera necesario, que ubiquen los números en una recta numérica para que les quede más claro el orden.

177


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PRACTÍCALO

Qué observar Que los alumnos identifiquen con claridad las características de dos números opuestos o simétricos considerando los valores absoluto y relativo al ubicarlos o no en la recta numérica, por ejemplo: 3 y 3 son dos números opuestos o simétricos porque se encuentran a la misma distancia del cero en sentidos opuestos y tienen el mismo valor absoluto.

1. Escribe el opuesto a cada uno de los siguientes números. 1 1 5 2 a) (5) b) ( 2 ) 1 1 -3 8 e) ( 8 ) d) (3) Ubica en la recta numérica los números y sus opuestos (simétricos).

Recursos y materiales En educ.ar, el portal educativo del Estado argentino, utilice el buscador para encontrar en Recursos educativos el artículo “Los cálculos de Delfina”, el cual muestra situaciones para reflexionar a partir del análisis de problemas cotidianos.

8 9

8 c) ( 9 )

f) (1.9)

1.9

5

5

Donde se unen los colores le asignamos el cero, y cada segmento lo dividimos en cinco partes.

• Describe el procedimiento que seguiste para dividir la recta. Para poder localizar los números que se piden. Argumenta por qué decidiste utilizarlo. • ¿Cómo ubicaste las fracciones comunes y el número decimal? • Explica la manera en que ubicaste el cero.

Las primeras se dividieron y las segundas fue más fácil.

En el punto donde ambos colores se juntan.

Compara tus resultados con tus compañeros de grupo y analicen con su profesor los procedimientos que uti lizaron y determinen si existen otros más.

-

Para tener en cuenta El valor absoluto de un número es el valor del mismo número, pero sin considerar su signo. Se simboliza entre dos barras paralelas verticales. Por ejemplo: |6| esto se lee “el valor absoluto de - 6 es 6”, o bien |8| , esto se lee “el valor absoluto de 8 es 8”.

Cómo enriquecer la actividad omente el razonamiento matemático con la intención de plantear la solución al problema, solicite a varios alumnos que expliquen con sus propias palabras las estrategias de solución para cada pregunta y luego analice en grupo cuál les pareció la más adecuada.

Actividad 1.6

PRACTÍCALO

Actividad 1.7

1. Completa el valor absoluto de los siguientes números. a) |5| = 5

b) |3| 3| = 3

c) |7| = 7

d) ||11| 11| = 11

e) |1| = 1

PRACTÍCALO

Actividad 1.8

En una festividad escolar, Lupita, Kenia y Martha decidieron participar vendiendo globos, las tres realizaron una inversión de $120.00, decidieron venderlos a diferentes precios: Lupita tiene 15 globos y los vende a $10.00, Kenia tiene 18 globos y los vende a $11.50 y Martha tiene 20 globos y los vende a $ 10.50. • Si las tres vendieran todos sus globos, ¿quién tendría mayor ganancia? Martha ¿y la menor ganancia? Lupita . A Lupita se le reventaron 2 globos, a Kenia 4 y a Martha 3, ¿cuál fue la ganancia para cada una? Lupita

$130

, Kenia

$161

y Martha

$178.5

• ¿Cuál fue la ganancia total con respecto a la inversión? $349.5 • Si decidieron repartir la ganancia en partes iguales, ¿cuánto le corresponde a cada una?

$161

• ¿Cuál fue el procedimiento que empleaste para cada una? Una división • Justifiquen su respuesta La ganancia que fue de $349.5 entre tres, porque son partes iguales. Comparen sus resultados con sus compañeros de grupo y con ayuda del profesor obtengan una conclusión.

178


http://www.educ.ar/ educar/index.html

178


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BLOQUE 4 BLOQUE 4

USA LAS TIC

Para leer más ¿Cuál es el resultado de sumar dos números opuestos? ¿La suma de dos números opuestos da siempre el mismo resultado? A los números opuestos se les conoce como inverso aditivo. ¿Por qué crees que reciban ese nombre?

Para saber más acerca de las operaciones de números con signo puedes consultar la página: http://www.comesed.com/ Sb/sbt72.htm

LO QUE APRENDÍ Lee con atención. El mundo a través del espejo

cantidad _______2 (R) 450 m metros cuadrados”, Escribe esta tiene cuatrocientos cincuenta “Mi tío vendió un terreno que 0

12 _______ (D) 12

1

Tu nombre

¿Cuál es el mayor? _______ (O) 4 3 1 , 2.5, 1, 0.75, De los números 2 1

19

11

19 _______ (P)

4 esta cantidad _______ (A) 12°C centígrados bajo cero”. Escribe descender hasta los doce grados “En invierno la temperatura puede

1

5 9 _______ (M) 4 de operación? ¿Cuál es el resultado

I

450m2

A B CD E F G

la fracción 8 ? _______ (I) 3 C ¿Qué letra representa

L

N

12

1

A

D

2.5

0

¿Cuál es el menor? _______ (N) 4 3 2.5 De los números 2 , 2.5, 1, 0.75, 1

R

C

3 8 _______ (O) 11 de la operación? ¿Cuál es el resultado

P

O

5 8

Respuesta abierta

M

12°C

Escribe tu nombre sobre la línea ___________________________________ (S)

O

19

Existen frases que se leen igual al derecho y al revés, como “LIGAR ES SER ÁGIL”, “LA RUTA NOS APORTÓ OTRO PASO NATURAL” o “ANITA LAVA LA TINA”, estas frases tienen un misterioso nombre el cual tienes la misión de descubrir. Para ello deberás resolver el ejercicio y colocar la letra correspondiente a la respuesta debajo del resultado que le corresponda en la tabla, para resolverlo necesitarás la ayuda de un espejo que deberás colocar sobre las líneas verdes. ¡ATENCIÓN!, “las respuestas deberán de poder leerse correctamente a través del espejo”.

S

Qué observar Antes de realizar esta actividad solicite a los alumnos que lleven un pequeño espejo, de preferencia de forma cuadrada o rectangular. Explique cómo funciona el cerebro ante este tipo de actividades e indique que lo que se hace es trabajar con ambos lóbulos, la actividad es sencilla y está diseñada de manera lúdica y su participación en la solución es muy importante.

la flecha) _______ (L) 3 ¿Qué fracción está7indicando 179


179


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MATEMÁTICAS 1

Qué observar Que los equipos, independientemente del número de integrantes, se den el tiempo necesario para discutir, comentar y unificar criterios al responder cada pregunta. Vigile que el trabajo se haga dentro de un ambiente respetuoso y libre. Que las descripciones se realicen de manera adecuada clara y concisa.


MATEMÁTICAS 1

Eje temático


Tema

Figuras y cuerpos

Contenido 2

Construcción de círculos a partir de diferentes datos (el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.) o que cumplan condiciones dadas

ACUÉRDATE DE... En la actualidad nos parece común encontrar, por todas partes, figuras en forma de círculo: por ejemplo, las bases de las tazas, los platos, las monedas, etcétera. En equipo, encuentren cinco objetos más que tengan forma de círculo y comenten qué elementos conocen del círculo (por ejemplo, el radio) y qué instrumentos utilizan para poder trazar círculos. Comenten entre ustedes las respuestas a las siguientes preguntas: ¿Cómo se traza una circunferencia? ¿Qué se requiere para que dos circunferencias sean congruentes? ¿Qué diferencia hay entre círculo y circunferencia? ¿Puede existir la circunferencia aislada del círculo? ¿Qué líneas notables de la circunferencia conoces? ¿Qué segmentos notables? ¿Por qué punto debe pasar la cuerda mayor de un círculo? ¿Cuánto mide? ¿Con qué instrumento se traza? ¿Con qué instrumento se mide un arco?

Al desarrollar la sección “ACUÉRDATE DE…”, propicie la participación para que cada equipo comente acerca de los objetos que presenta como ejemplo y de los elementos que conocen del círculo. Promueva el uso del lenguaje matemático.

Para leer más La rueda es uno de los objetos importantes en los vehículos y sistemas de trasporte terrestre. Las ruedas más antiguas que se conocen datan de la antigua Mesopotamia, entre los años 3 500 y 3 000 a. n. e. en su forma más simple. La rueda era un disco sólido de madera; con el paso del tiempo eliminaron algunas secciones para reducir su peso y los radios (o rayos) empezaron a emplearse para la rueda, aproximadamente en el año 2 000 a. n. e.

PRACTÍCALO

Actividad 2.1

1. Observa el punto P que se encuentra en el siguiente espacio. Marca un punto C a 2.5 cm de P como el centro de una circunferencia que pase por el punto P y trázala.

Cómo enriquecer la actividad Permita que la Actividad 2.1 se resuelva en forma individual, al comparar sus resultados podrán apoyarse unos a otros. Una vez que el grupo haya terminado de resolver, haga usted las preguntas del inciso d).

Respuesta modelo P x

180


180


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BLOQUE 4 BLOQUE 4 2. Contesta las preguntas.

a) Tomando como referencia el centro C de esa circunferencia, ¿podrías trazar otra circunferencia, distinta, que pase por P? Si • i consideras que se puede, trázala. Respuesta abierta • i consideras que no se puede, e plica por qué no. Respuesta abierta b) Traza un segmento de C a P. ¿Cómo se llama ese segmento? Radio c) ¿Cuánto mide el segmento ? Respuesta abierta d) Toma otra medida de C a cualquier punto de la circunferencia. ¿Mide lo mismo que el segmento ? Si ¿Por qué? Son radios del mismo círculo.

PRACTÍCALO

Qué observar Que los alumnos manejen de manera adecuada los instrumentos de geometría y que sean concretos al anotar sus respuestas.

Actividad 2.2

1. Observen la siguiente figura y respondan las preguntas. a) ¿Cómo se llama la región limitada por la circunferencia? Círculo b) Tracen el segmento OP. ¿Cuánto mide? 1.2 cm c) Tracen el segmento OQ. ¿Cuánto mide? 1.2 cm

Cómo enriquecer la actividad Q

P O

d) ¿Cuál será la medida de OR? 1.2 cm

R

Tracen el segmento.

Permita que a partir de estas lleguen a una conclusión general.

e) ¿Qué nombre reciben este tipo de segmentos? Radios

PRACTÍCALO 1. Traza en tu cuaderno, con tu compás, tres circunferencias de diferente color que pasen por el punto “P”, su centro esté sobre la recta “R” y sus radios midan 2.5, 5 y 3 cm, respectivamente. R P • Describe los pasos que utilizaste para trazar las circunferencias. Respuesta abierta

Actividad 2.3

Radio. Segmento que une el centro del círculo con un punto cualquiera de la circunferencia. Circunferencia. Línea que delimita la superficie del círculo.

Reflexión

• Argumenta por qué decidiste hacerlo de esta forma. Respuesta abierta Compara tus circunferencias con el resto del grupo.

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Coordine la actividad y haga una a una, las preguntas al grupo para unificar respuestas.

Sobre la creatividad, la invención de la rueda y el círculo Le sugerimos que, utilizando como base la rueda, invite a sus alumnos a reflexionar sobre cómo fue que la idea del “círculo”, pudo cambiar tan radicalmente la visión cosmogónica del hombre, y qué papel desempeña, como metáfora, en los mitos y leyendas de las antiguas culturas.

181


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PRACTÍCALO

Actividad 2.4

1. A partir de los puntos fijos A y B, traza con tu compás un círculo que pase por dichos puntos.

Qué observar Poner especial atenci n a los alumnos al momento de resolver esta actividad, en el sentido de que los estudiantes deben aprender a seguir instrucciones. Que los alumnos sean ordenados les permitirá, con mayor fluidez, llegar a las conclusiones esperadas (método inductivo).

D

A x

M

B x

a) Marca con M el centro del círculo y compara el círculo que trazaste con el que trazaron tus compañeros. ¿Resultaron iguales? Respuesta abierta b) Traza el segmento AB. ¿Qué nombre recibe este tipo de segmento? Cuerda O sea que la cuerda es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia. c) En ese mismo espacio de trabajo, traza otro círculo con centro diferente de M y que pase por A y B. Marca este nuevo centro como D y traza una recta que pase por M y D. d) Observa: ¡Resultaron perpendiculares las rectas AB y MD! ¿Verdad? Si

Cómo enriquecer la actividad Coordine la Actividad 2.4 para que, a pesar de los diferentes trazos que se obtengan en el grupo, observen que las respuestas coinciden; esta diversidad de trazos y coincidencia en las respuestas puede permitirles formar más rápido los conceptos.

e) Toma otro punto de la recta MD y traza desde allí un círculo que pase por A y B. f) ¿Cuántos círculos diferentes que pasen por A y B se podrán trazar? Infinitos ¿Por qué? Cada punto de MD puede ser el centro de un círculo que pase por A y B. g) ¿El tamaño de la cuerda AB cambió? No h) ¿Pasa la recta MD por el punto medio del segmento? Si i) ¿Por qué punto del círculo de centro M pasará la cuerda de mayor tamaño? Por el centro M. j) ¿Cómo se le llama a la cuerda que pasa por el centro del círculo? Diámetro k) En relación con el radio, ¿cuánto mide el diámetro? El doble l) ¿Trazaste algún círculo en el que AB sea su diámetro? Si

,

¿Cuál es su centro? El punto M.


Curiosidades, acertijos y más Propon a la si uiente situación: Observa detenidamente la figura; de los círculos centrales, ¿cuál es la mayor? Explica.

Recuerda que si una recta es perpendicular a un segmento y pasa por el punto medio de este, dicha recta se conoce como mediatriz.

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BLOQUE 4 BLOQUE 4

PRACTÍCALO

Actividad 2.5

1. Tracen la circunferencia que inscriba a cada figura. a) Un cuadrado

b) Un octágono regular

Cómo enriquecer la actividad Aun cuando las actividades se desarrollan en parejas, permita que los alumnos comparen sus resultados con los de los demás compañeros.

Apoyándose en el centro y abriendo • Describan el procedimiento que realiza realizaron para trazar las circunferencias. el compás hasta cualquier vértice. Porque para inscribir una figura a una circunferencia el radio es la distancia

• Expliquen por qué lo utilizaron. del centro a cualquier vértice. Comparen sus trazos con el resto de sus compañeros y con su profesor describan si existen otros procedimientos para trazar circunferencias.

PRACTÍCALO

Actividad 2.6

1. Considera el segmento DE como cuerda del círculo con centro C, y la recta MN como la mediatriz de DE. Localiza sobre la recta MN el centro F de un círculo de 5 cm de radio que pasa por los puntos D y E.

D

Estos ejercicios pueden llevarse, mediante preguntas, al descubrimiento de algunas propiedades que relacionan al círculo con sus rectas, por ejemplo: ¿cómo son entre sí las cuerdas DE y la cuerda común a las dos circunferencias? ¿Qué viene siendo MN de la cuerda común a ambas circunferencias?, etcétera.

C M

N

E • Describe y argumenta el porqué de los pasos que seguiste para localizar los segmentos en el área dada.

Apoyándose en uno de los extremos de la cuerda se mide una distancia de 5 cm a la mediatriz, esta distancia se toma como radio para trazar la circunferencia.

Compara tu trazo con tus compañeros de grupo y con la ayuda de su profesor, verifiquen que sus trazos sean correctos.

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183


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PRACTÍCALO

Actividad 2.7

1. En equipo, comenten cómo se puede resolver el problema.


a) Se quiere colocar un poste que ilumine con la misma intensidad tres cabañas (A, B y C) que se encuentran separadas, tal como se muestra en los siguientes puntos. Localicen el sitio exacto donde debe ser instalado el poste de luz, tratando que una circunferencia toque los tres puntos.

Permita que resuelvan en equipo la Actividad 2.7 y que presenten su procedimiento para encontrar el lugar preciso solicitado. Pídales que usti que el procedimiento que emplearon para llegar a la solución.

A x

B x C x • ¿Qué procedimiento utilizaron para plantear el resultado? Se unen los tres puntos con dos segmentos de recta, luego se trazan sus mediatrices y el en punto de intersección de estas se encuentra el centro de la circunferencia que pasa por estos tres puntos. Comparen su trazo con sus compañeros de grupo y verifiquen con su profesor que sea correcto. Asimismo, establezcan si existen otros procedimientos para realizar estos trazos.

LO QUE APRENDÍ Usando círculos se pueden crear figuras como esta. En la parte derecha diseña una figura original empleando este mismo método.

Cómo enriquecer la actividad Pida a los alumnos lápices de colores y un compás en buen estado antes de resolver esta actividad. Motive su curiosidad invitándolos a construir y colorear sus propios diseños. Una vez terminados, pida que dibujen e iluminen figuras distintas formadas por una o varias secciones del mosaico y luego analicen en qué podrían utilizarlas.

Respuesta abierta

USA LAS TIC Consulta la página www. telesecundaria.dgme. sep.gob.mx/map_cont/ mat/mat_bloq4.php; en la secuencia 28 podrás practicar la construcción en tu computadora.

• ¿Cuántos círculos empleaste para diseñar tu figura? Respuesta abierta

Compara tu diseño con el resto de tus compañeros. Reproduzcan el mismo diseño en una hoja tamaño carta y bajo la supervisión de su profesor realicen una exposición para que la compartan con el resto de su comunidad escolar.

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Tema

Medida

Contenido 3

Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo (gráfica y algebraicamente). Explicitación del número (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro

ACUÉRDATE DE... 1. Hoy, Emilia escuchó a su profesor de Matemáticas decir que al día siguiente pondría una actividad para que el grupo recordara cómo se calcula el perímetro de la circunferencia y el área del círculo. Al llegar a casa se puso a practicar lo que había aprendido, así que tomó un frasco de vidrio y midió su diámetro, que era de 10 cm. Realiza los cálculos que tuvo que realizar Emilia para obtener el perímetro y el área.

Primero necesitas tener las fórmulas: P = P 2r

d 10 cm

P D

2 A= A r

Ahora necesitas tener los datos necesarios r 5u por lo tanto D 10u Ahora, calcula tanto el perímetro como el área: Perímetro P (3.14)(10cm) 31.4 cm y

2 2 2 Área = A (3.14)(5 cm) (3.14)(25 cm ) 78.5 cm

a) Escribe tu definición de círculo y circunferencia.

Cómo enriquecer la actividad Propicie la participaci n al desarrollar la sección “ACUÉRDATE DE…”. Permita a los alumnos presentar sus argumentos y manténgase atento para notar si en sus conclusiones le dan la importancia requerida a la longitud del radio o del diámetro, en relación con la longitud de la circunferencia.

Círculo: Respuesta abierta Circunferencia: Respuesta abierta b) Coteja tu definición con las del diccionario, ¿son similares? Respuesta abierta c) ¿Cuál es la relación que existe entre el radio y el diámetro? Respuesta abierta

d) ¿Sabes por qué el número “pi” vale aproximadamente 3.1416? Si lo sabes, explica el motivo, si no lo sabes, explica el motivo que pienses o imagines. Respuesta abierta

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185


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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 e) Elabora una pequeña lista donde se enumeren los pasos que siguió Emilia para resolver el ejercicio. Una vez que se midió el diámetro de boca del frasco, se aplican las formas para calular tanto el perímetro como el área.

f ) ¿Por qué el perímetro se expresa con unidades lineales y el área con unidades cuadradas? Porque las primeras son unidades lineales y las segundas son de superficie.

PRACTÍCALO

Actividad 3.1

1. Lee y resuelve la siguiente situación. a) En el laboratorio se observó que al hacer rodar una vuelta tres envases cilíndricos de 8, 6 y 7 cm de diámetro, sus desplazamientos fueron de 25.1, 18.8 y 22 cm, respectivamente. ¿Qué relación tiene la medida de la circunferencia con su diámetro?

Cómo enriquecer la actividad Después de haber concluido acerca de lo importante que es la longitud del diámetro en la circunferencia, busque que a través de la Actividad 3.1 los estudiantes se den cuenta de la relación que guardan ambas medidas y, si fuera posible, que identifiquen como (pi) la constante obtenida.

Completa la tabla.

Longitud de la circunferencia 18.84 cm 22 25.1

Diámetro del cilindro 6 cm 7 cm 8 cm

Relación: Circunferencia / Diámetro 3.14 3.142 3.137

• ¿Cómo resultaron los cocientes? Casi semejantes En todos los casos, este valor se aproxima a 3.14 y se representa con la letra griega (Pi).

PRACTÍCALO

Actividad 3.2

a) Midan el diámetro de la circunferencia. Diámetro = 5 cm

Cómo enriquecer la actividad Al resolver la Actividad 3.2, observe la forma en que hacen coincidir el estambre o hilo y la circunferencia, para que tengan la mayor precisión en la medida. Si al calcular el cociente de la relación los ( circunferencia diámetro ) valores que se obtienen son muy diferentes, propicie la reflexión para que encuentren la razón de la divergencia. Es importante que observen que el valor de se obtiene de la relación: ( circunferencia diámetro )

b) Coloquen, lo más preciso posible, un hilo sobre la circunferencia. c) Retiren el estambre o hilo y mídelo. Longitud del estambre o hilo = 15.7 cm d) ¿La relación circunferencia sigue siendo 3.14? Si diámetro

Longitud del estambre (o hilo) = Diámetro de la circunferencia

15.7 5

= 3.14

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BLOQUE 4 BLOQUE 4

PRACTÍCALO

Actividad 3.3

1. En tu cuaderno realiza el esquema y calcula la longitud de las circunferencias cuyos diámetros o radios se dan a continuación. a) Diámetro = 4 cm

12.56 cm Longitud de la circunferencia = _____________

b) Radio = 5 cm


c) Radio = 2.5 cm


d) Diámetro = 3 cm


PRACTÍCALO

Qué observar

Actividad 3.4

1. En tu cuaderno realiza el esquema y calcula la medida de diámetro que corresponde a las siguientes circunferencias. a) Circunferencia = 25.128 m

8m Diámetro = _____________

b) Circunferencia = 37.692 cm

6 cm Radio = _____________

c) Circunferencia = 34.551 mm

11 mm Diámetro = _____________

d) Circunferencia = 47.115 dm

7.5 dm Radio = _____________

Las Actividades 3.3 y 3.4 están diseñadas para que los estudiantes consoliden la relación que se establece entre los valores de la circunferencia, el diámetro y . En los incisos b) y c) de la Actividad 3.3 hay que observar si están atentos a los datos proporcionados, y los alumnos deben llevar esta información para el cálculo de la longitud de la circunferencia.

• ¿Qué diferencias observas en los métodos que utilizaste para resolver las actividades 3.3 y 3.4? En la primera actividad se usó la fórmula directamente y en la segunda hizo un despeje. • ¿Qué operaciones realizaste en cada actividad para obtener el resultado? Multiplicaciones y divisiones. Compara tus resultados con el resto del grupo y tu profesor y juntos, elaboren una conclusión donde analicen la relación que existen entre la forma de calcular el diámetro y la longitud de la circunferencia.

PRACTÍCALO

Actividad 3.5

1. Resuelvan los siguientes problemas.


a) ¿Cuál es la longitud del listón que se utilizaría para adornar la orilla de un reloj de 10 cm de radio? 62.8 cm b) ¿Cuánto mide la circunferencia circunscrita a un cuadrado cuyas diagonales miden 6 cm? 18.84 cm

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La Actividad 3.5 se realiza en equipo. Solicite que presenten la solución en el pizarrón y escuche los argumentos que exponga el resto de los alumnos.


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PRACTÍCALO

Actividad 3.6

1. Descubre si la longitud de una circunferencia aumenta en la misma proporción que su diámetro.

Qué observar Mediante las Actividades 3.6 y 3.7 se pretende que los estudiantes cuenten con más elementos que les permitan apreciar la relación de proporcionalidad directa que mantienen la circunferencia y el diámetro.

a) Completa la tabla, considera en primer lugar una circunferencia de 2 cm de diámetro.

Diámetro x2 x5

Circunferencia

2 cm

6.28 cm

4 cm

12.56 cm

¿Resultó ser el doble?

6 cm

18.84 cm

¿Resultó ser el triple?

8 cm

25.12 cm

¿Resultó ser el cuádruple?

10 cm

31.4 cm

¿Resultó ser el quintuple?

b) ¿Disminuirá la circunferencia en la misma proporción si se reduce el diámetro a la mitad, a la tercera o a la cuarta parte? Si • Explica los pasos que seguiste para completar la tabla. Multiplicando cada valor por 3.14. • ¿Qué operaciones realizaste para obtener los resultados? Una multiplicación

PRACTÍCALO

Actividad 3.7

1. Considera en primer lugar una circunferencia con diámetro de 6 cm y calcula la longitud de las circunferencircunferen cias al disminuir el diámetro. Completa la tabla.


Circunferencia

Diámetro

18.84 cm

6 cm

Propon a el si uiente acertijo:

9.42 cm

3 cm

6.28 cm

2 cm

Tercera parte de 6

Observa y contesta lo más rápido que te sea posible, ¿cuál de las áreas grises es mayor, la interna o la externa?

4.71 cm

1.5 cm

Cuarta parte de 6

3.76 cm

1.2 cm

Quinta parte de 6

3.14 cm

1 cm

Una vez contestado, explica: ¿puedes dar valores y demostrarlo con números?

Mitad de 6

Sexta parte de 6

a) ¿Crece o decrece la circunferencia en la misma proporción que su diámetro? Justifica tu respuesta. Decrece, a medida que el diámetro disminuye, la longitud de la circunferencia se reduce.

188


188


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BLOQUE 4 BLOQUE 4

PRACTÍCALO

Actividad 3.8

1. Uno de los más grandes problemas matemáticos es encontrar un cuadrado que tenga la misma superficie que un círculo, sin embargo podemos tratar de entender un poco el porqué de la fórmula de la superficie de un círculo. Colabora con un compañero y juntos observen, comenten, interpreten las imágenes, anoten la respuesta correspondiente y escriban una observación o comentario:

Imagen

Pregunta

Respuesta

Observación / Comentario

¿Cuánto mide el radio según la cuadricula?

2u

Cada cuadro representa una unidad.

¿Cuánto mide el cuadrado del radio?

4 u2

Porque su fórmula es lado al cuadrado.

¿El cuadrado de la tercera figura es equivalente al cuadrado del radio?

Si

Únicamente se encuentra en posición distinta.

¿Aproximadamente cuántas veces cabe el cuadrado del radio en el círculo?

Aproximadamente tres completos y una pequeña parte de otro.

La figura muestra de manera aproximada que el cuadrado del radio cabe un poco más de tres veces en el círculo.

Qué observar Verifique que los alumnos comprendan por qué se multiplica el cuadrado del radio por (pi), el alumno debe analizar los esquemas y deducir la aproximación por medio de la reubicación de la superficie de cada sección según su color.

a) ¿Qué relación tiene el ejercicio anterior con el número “pi”? Indica que así como el diámetro cabe aproximadamente 3.14 veces en la circunferencia, el cuadrado del radio también cabe aproximadamente 3.14 veces en el círculo.

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PRACTÍCALO

Actividad 3.9

1. Observen con cuidado la figura. Identificarán una circunferencia en la que se han inscrito polígonos regulares.

Cómo enriquecer la actividad Pídales que resuelvan en equipo la Actividad 3.9, que comenten acerca de la importancia de la apotema y que observen lo que va ocurriendo con la medida del lado en cada figura regular, en relación con la circunferencia. ¿La medida del perímetro de cada figura regular se acerca a la medida de la circunferencia?

0

a

r

Apotema. Segmento que va del centro del círculo al punto medio de uno de los lados de un polígono regular inscrito.

a) Se ha trazado la apotema de cada uno de ellos. ¿Qué sucede con la longitud de la apotema al aumentar el número de lados? La longitud de la apotema se acerca a la medida del radio.

b) Identifiquen el radio trazado. ¿De cuál polígono es la apotema cuya longitud se aproxima más a la longitud del radio? Heptágono

c) Cada punto de la circunferencia puede ser el lado de un polígono regular. ¿Qué pasaría en este caso con las medidas de la apotema y el radio? Se igualarían

PRACTÍCALO

Actividad 3.10

Ahora analizaremos la situación separando los polígonos.

Cómo enriquecer la actividad Permita que realicen en equipo la Actividad 3.10. Analice también que ocurre con los triángulos internos y cómo disminuye el ángulo central al aumentar el número de lados, también resalte el aumento del ángulo interior del polígono.

1. Calculen el área de los siguientes polígonos regulares inscritos en un círculo, dadas las medidas de la apotema y de los lados.

190


190


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BLOQUE 4 BLOQUE 4 a)

Apotema = 1 cm

Apotema = 1 cm

Lado = 2 cm

Lado = 2 cm

Área = 4 cm2

Área = 4.4 cm2

Apotema = 1.2 cm

b)

c)

d)

Apotema = 1.3 cm

Lado = 1.4 cm

Lado = 1.1 cm

Área = 5.04 cm2

Área = 5.72 cm2

2. Reflexionen y respondan las preguntas. a) Conforme aumenta el número de lados de un polígono regular inscrito en una circunferencia, ¿qué sucede con la medida del radio y la apotema? Cada vez la diferencia es menor.

b) ¿Cuál es la fórmula para calcular el área de cada uno de los triángulos que se forman?

A

bh 2

Después de que hayan contestado los incisos de la Actividad 3.10, formule otra vez la pregunta del inciso a) para que reflexionen que cuando el radio y la apotema alcanzan la misma medida se está trabajando con el perímetro de la circun erencia. Pídales que comenten acerca de la obtención de la fórmula para calcular el área del círculo.

Para tener en cuenta Observa que los polígonos regulares inscritos en la circunferencia se triangulan y que la altura del triángulo es la apotema. De esta manera podemos calcular su bh área, multiplicando el área de uno de los triángulos por el número de 2 base apotema lados que tenga el polígono regular, resultando: n . El número 2 de lados por la base del triángulo es equivalente a calcular el perímetro del polígono, lo cual nos llevaría a tener: Área


perímetro apotema 2

Al hacer coincidir el polígono con la circunferencia, la apotema coincidiría con el 2 rr radio y la fórmula se convertiría entonces en: Área del círculo , 2 2 r2 2 2 , simplificando: Área del círculo = r

LO QUE APRENDÍ 1. Resuelve estos problemas.

Qué observar En la cara superior de una tuerca, ¿cuál es la medida de la superficie? (la graduación está en mm). 2 590.5 mm2

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En esta actividad la interpretación de las imágenes es muy importante, verifique que los alumnos obtienen los datos de manera correcta y son capaces de realizar los planteamientos adecuados.

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 • Explica la forma en la que calculaste el área de la superficie de la tuerca. • Justifica Justifica tu respuesta. Por diferencias de superficies de la circunferencia de la tuerca.


¿Qué procedimiento seguirías para calcular la longitud de un lado del hexágono? Primero se calcula la superficie mayor y le resto la superficie menor.

Permita la retroalimentación entre los alumnos a la hora de justificar sus estrategias. Es conveniente que al final comente con sus opiniones acerca del trabajo realizado.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

La fuente de un parque se encuentra en el centro de un jardín, se quiere poner un barandal perimetral para proteger el césped y la fuente. ¿Cuánto debe medir? (la graduación está en m). 37.68 m

Calculando el perímetro de una cir-

¿Qué procedimiento utilizaste para encontrar la longitud del barandal perimetral? cunferencia y multiplicarla por dos. Justifica tu respuesta. El perímetro está formado por dos circunferencias.

Propon a nuevas situaciones con elementos que estén a su alcance.

Observa la imagen de la moneda y responde. ¿Cuál es el perímetro de la circunferencia dorada? 13.81 cm ¿Cuál es el perímetro de la circunferencia plateada? 9.42 cm 2 ¿Cuánto mide el área plateada? 7 cm 2

¿Cuánto mide únicamente la superficie dorada? 8.19 cm

Compara tus procedimientos con el resto del grupo y verifiquen con su profesor que sus respuestas sean correctas.

Desarrolla tus habilidades Supongamos que hemos rodeado la Tierra por el Ecuador con una cinta. El radio de la Tierra mide 6 548 km. ¿Cuánto debe medir la cinta? Si ahora queremos levantar la cinta a un metro a lo largo de todo el recorrido, ¿cuánta cinta deberíamos añadir para completar la circunferencia? ¿Y si hiciéramos lo mismo con un balón de futbol? Longitud de la cinta 41 121.44 km; se le agrega 0.00628 km de cinta. Explica de qué manera resolviste esta situación. Por una diferencia de perímetros. Primero se calcula el perímetro de la Tierra, después se le agrega

Argumenta tu respuesta. 0.001 km y se vuelve a calcular el perímetro, al final ambos se restan. ¿Qué operaciones realizaste? Multiplicación, suma y resta. Se aplicó la fórmula del perímetro de una circunferencia, después se

¿Por qué? le sumó 1 m y al final se restó. Compara tus resultados con el resto del grupo y verifiquen con su profesor sus resultados.

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Tema


Contenido 4

Análisis de la regla de tres empleando valores enteros o fraccionarios.

ACUÉRDATE DE... 1. En equipo, resuelvan el problema. Si por ocho lápices pagan $18, ¿cuánto cuesta una docena de esos mismos lápices? $27

Qué observar

a) Planteen y resuelvan algunas situaciones semenjantes. b) Comenten los procedimientos que podrían emplear para darles solución.

Para tener en cuenta Las variables son cantidades que cambian durante un proceso, guardan una relación entre sí, donde el valor de una de ellas depende de la otra.

PRACTÍCALO

Actividad 4.1

Aun cuando las relaciones de proporcionalidad se han venido trabajando desde la primaria, es importante reforzar los conceptos de razón, proporción y el cálculo del valor faltante en una expresión para que pueda obtenerse la proporción.

1. En un recorrido en carretera, un automóvil se desplaza a una velocidad constante de 60 km por hora. La siguiente tabla presenta la situación. Completen los espacios vacíos.

Qué observar Tiempo en horas Recorrido en kilómetros

1

2

3

4

5

6

60

120

180

240

300

360

a) Expliquen: ¿cómo podrían calcular el recorrido que se hace en 12 horas? Por medio de una regla de tres, si una hora es a 60 km, entonces ¿cuántos km se recorren en 12 horas? 1 60 km x b) ¿Cómo expresarían de manera algebraica esta situación? 12 c) ¿Usarían el mismo procedimiento para calcular la distancia recorrida en un determinado tiempo? Si.

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No hay que conformarse con la simple resolución de los problemas, una de las labores del docente es llevar más allá del problema al alumno, promoviendo que sea él mismo quien proponga situaciones en las que use los conceptos y procedimientos hasta ahora empleados, que las situaciones surjan de los alumnos, y dentro de su contexto las vuelva más interesantes.

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PRACTÍCALO

Actividad 4.2

1. Resuelvan los siguientes problemas.


a) Juan José se dedica a reparar bombas para las gasolineras, hoy reparó tres y le pagaron $21,000, si su hermano Ricardo le ayudó con el trabajo de dos días y le pagaron $49,000 ¿cuántas bombas reparó? Siete bombas.

Dé tiempo al grupo para que resuelvan uno a uno cada situación. Propicie la participaci n para que el grupo avance de manera más homogénea.

• ¿Qué operaciones realizaron para encontrar el resultado? Multiplicación y división.

• Describan con sus propias palabras c mo se realiza este procedimiento. Si por 3 bombas le pagaron $21 000, cuantas bombas reparó en dos días si le pagaron $49 000. b) Natalia y Andrea quieren ayudar a una casa hogar, hoy compraron 8 toallas por $480, pero se dieron cuenta que les faltaron 3 y las van a comprar mañana. • ¿Cuánto pa arán por las tres toallas? $180 ¿cuánto cuesta cada una? $60 operaciones realizaron para encontrar estos resultados? Multiplicación y división.

• ¿Consideran que este es el nico procedimiento para encontrar el resultado? su respuesta. Respuestas abiertas

¿qué

usti quen

c) Roberto y Galia tienen un negocio de aluminio. Para construir una puerta que mide 200 cm de largo por 80 cm de ancho en el interior de esta quieren colocar un vidrio de 45 cm de ancho proporcional a la puerta. • ¿Cuánto debe medir el lar o? 112.5 cm de largo.

• scriban el planteamiento que realizaron. Si 80 cm de ancho corresponden a 45 cm de ancho de la ventana entonces ¿cuántos cm de largo de la ventana corresponden a 200 cm de largo de la puerta?

• oberto dice que para calcular esta medida debe multiplicar 200 el resultado dividirlo entre 80, pero Galia dice que debe dividir 45/80 y el resultado multiplicarlo por 200. ¿Quién tiene la razón? Ambos Expliquen su respuesta. La secuencia de operaciones es distinta pero el resultado es el mismo.

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Reflexión


Sobre la responsabilidad En las matemáticas la responsabilidad en la entrega y resolución de ejercicios tiene que ser constante, con la finalidad de tener un buen aprendizaje.

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BLOQUE 4 BLOQUE 4

PRACTÍCALO

Actividad 4.3

1. Analiza el siguiente problema resuelto y contesta las preguntas. Cuando Mayra invita a 5 de sus amigas a su casa gasta $250, si ahora quiere invitar a 3 amigas más ¿cuánto gastará en total?

Paso 1

Paso 2 Planteamiento

Por 5 amigas Por 8 amigas

Paso 3

Representación 5

Gasta $250.00

8

¿Cuánto dinero gastará?

250 x

Paso 4 Operaciones (5)(x) (8)(250)

Cinco, La Es multiplicado igual multiplicación por ¿qué 8 x 250 a número?

x

x

Paso 5 Comprobación

(8)(250) 5 2000 5

x $400.00

5 8

250 400

(5)(400) (8)(250) 2000 2000

• Explica cómo se realizó el planteamiento del paso 1 en este último ejercicio, y qué relación tiene con la representación del paso 2. El primero es una razonamiento y el segundo es una representación algebraica.

Qué observar El propósito de la actividad es que el alumno analice, razone y visualice todo el proceso en la resolución de problemas de este tipo, que describa cada uno de los pasos mostrados, resalte los puntos que pueden llegar a provocar confusión y la manera de evitarlos, por último mencione la importancia que tiene la comprobación con la finalidad de que se realizó correctamente el procedimiento, así como la seguridad que genera en los alumnos el desarrollar este hábito.

• ¿Cuál fue el procedimiento con el cual se obtuvo la operación del paso 3? Aplicar productos cruzados. • Explica cuál fue el desarrollo mostrado en el paso 4. El despeje de la variable.

• Describe la comprobación realizada en el paso 5 y qué relación tiene con el planteamiento del paso 1. Es la sustitución del valor obtenido de x en la expresión algebraica.

Establecer, resolver y comprobar

• ¿Cuál fue el procedimiento general que utilizaste para los incisos a), b) y c)? una proporción. • Justifica tu respuesta. En los tres pasos se describe el algoritmo de una regla de tres directa.

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 • El • El resultado del inciso a), ¿de qué otra forma se puede obtener? Respuesta abierta • ustifica tu respuesta. Respuesta abierta

Compara tus procedimientos y resultados con el resto del grupo. Con asesoría de tu profesor realiza las correcciones necesarias y entre todos elaboren una conclusión general con respecto a la actividad.

Para tener en cuenta En la primaria resolviste por diversos procedimientos situaciones como las anteriores. Algunas personas les llaman regla de tres; otras, proporciones o variación proporcional directa, según el contexto. Cualquiera que sea el caso, se espera que calcules el valor o número que falta para formar una proporción.

PRACTÍCALO

Actividad 4.4

En equipos de cuatro integrantes analicen y resuelvan el problema.

Cómo enriquecer la actividad Esta actividad requiere, por parte de los alumnos, un profundo razonamiento. Proporcione el tiempo necesario para que los estudiantes puedan resolverla, además de realizar preguntas que despierten el interés en ellos. Pídales que justifiquen los planteamientos y razonamientos de cada pregunta, así como el de los algoritmos necesarios, pidiendo siempre a los alumnos que realice las demostraciones para cada caso.

Susana va tener su fiesta de XV años en un salón, puede invitar a 250 personas, pero le faltan otras 50 porque el paquete es para 300 personas. Su tío le comentó que calculara cuánto le falta y él aportaría la diferencia. Si el boleto por persona vale $350 e incluye $130 de comida, $20 de sonido, $50 de escenografía, $100 de mariachi y $50 de meseros. Respondan: • Si el salón solo le cobrara los 250 invitados ¿Cuánto costaría la fiesta? $87 500 • ¿Cuánto costaría si invitara a los 300? $105 000 • ¿Cuánto dinero aportará su tío? $17 500 • Si la fiesta la realizara fuera del salón y quisiera repartir gastos, cuánto pagaría si invita a 250 personas en comida $27 075 , sonido $4 165 , escenografía $10 415 , mariachi $20 832 y meseros $10 415 . • ¿Cuánto se ahorraría en cada boleto? $38.42

¿Cuánto se ahorraría en total? $14 605

• ¿El incremento en las cantidades es proporcional? Si


Se calcula el precio de lo que viene en el paquete de forma proporcional al número de personas. • ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

1.2

Justifiquen su comprobación

Si se dividen los precios del salón entre los precios fuera del salón se obtiene la constante. • Si Susana decidió hacer su fiesta fuera del salón e invitó a 280 personas, cuánto pagó por la comida $30 324 , sonido $4 664.8 , escenografía, $11 664.8 , y meseros $11 664.8 . mariachi $23 332.4 • Justifiquen la forma en que obtuvieron sus resultados. Se multiplica el valor unitario de cada gasto por las 280 personas. Comparen sus procedimientos con el resto del grupo y con asesoría de su profesor analícenlos y obtengan una conclusión general.

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LO QUE APRENDÍ 1. Resuelve los siguientes problemas, para cada uno sigue esta secuencia: explica con tus palabras de lo que trata el problema, elabora un dibujo o esquema, localiza todos los datos que se dan, identifica las preguntas que debes responder, plantea la solución y por último resuelve las operaciones, todo en tu cuaderno. a) ¿Cuántas personas se necesitan para labrar un campo de 450 m2 si con 5 personas se labra un campo de 180 m2? 13 personas (redondeo de 12.5). b) Una agencia de viajes ofrece un paquete vacacional de 12 días para 6 personas por $25 200.00. ¿Cuánto deberá pagar un grupo de 10 personas por 8 días? $28 000. c) Dos poleas se mueven por medio de una cuerda, la primera tiene un radio de 20 cm y la segunda de 60 cm. ¿Cuántas vueltas habrá dado la segunda cuando la primera ya dio 150? 50 vueltas. d) Raquel y Adriana compraron un terreno y lo dividieron con una cerca de madera. Para decorarla Raquel usó 12 botes de pintura de medio litro cada uno y pintó 80 m de su cerca; Adriana compró botes de 2 litros, ¿cuántos botes necesitará para pintar su cerca si en total mide 200 metros de longitud?7.5 botes de 2 litros. e) En el pueblo de José Luis todavía no hay servicio de agua, la pipa les cuenta el tiempo que tarda en darles el agua. José Luis sabe que su tinaco de 470 litros se llena en 7 minutos, ¿cuánto tiempo debe solicitar a la pipa ahora que compró un tinaco de 630 litros? 9.38 minutos.

Qué observar Los alumnos deberán detallar todos los procedimientos empleados para responder lo que se les solicita. Pon a especial atención en la limpieza, orden, distribución y escritura con la que solucionan la actividad.

• ¿Qué similitud tienen en su planteamiento los incisos a) y e)? Regla de tres directa. • Justifica tu respuesta. Porque en ambos casos los valores aumentan o disminuyen de manera proporcional. • ¿Qué similitud tienen en su planteamiento los incisos b) y d)? En ambos se calculó el valor unitario.


• Justifica tu respuesta. El cálculo del valor unitario posibilita obtener la solución en ambos casos. • ¿Qué tipo de regla de tres manejaste para la resolución de los problemas planteados? a) Directa d) Directa

, b) Directa y e) Directa

, c) Inversa

,

Compara tus resultados con el resto de tus compañeros de grupo y con la asesoría de su profesor verifiquen que sus planteamientos y respuestas sean los adecuados.

Desarrolla tus habilidades Este es un problema matemático clásico, lee con atención: “Tres hermanos heredan una bolsa con monedas de oro, y la disposición del testamento dice que han de repartirlas de forma que el hermano mayor tome la mitad, el segundo un cuarto de las monedas y el tercero un sexto de las mismas. Al abrir la bolsa para repartir su contenido, se encontraron con que había ONCE monedas, y aquí empezó el problema. No hallaron forma de realizar el reparto, hasta que un buen amigo y matemático les dio la solución”. Intenta resolver este problema junto con dos o tres compañeros.

USA LAS TIC Visita la página www.escolar. com/matem/16regladetres. htm y encontrarás ejemplos del uso de la regla de tres simple (directa, inversa y para porcentajes)

Permita el diálo o con el fin de aclarar dudas y corregir errores de entrada, de proceso y de salida. Oriente a los alumnos en las características que tiene la presentación adecuada de una actividad como esta en sus cuadernos.

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MATEMÁTICAS 1

Cambiando números Pida a sus alumnos Pida a sus alumnos que en su cuaderno reproduzcan las imágenes a escala, tomando en cuenta que A es la mitad de B. Enseguida, solicite que contesten las preguntas.

MATEMÁTICAS 1

Pida a los alumnos que resalten las unidades lineales y cuadradas con colores y que comparen distintas secciones de la casa para que comprueben si sus observaciones son iguales para cualquier parte al comparar ambos esquema. Destaque la comparación desde la figura A hacia la B y pida a los estudiantes que respondan ¿qué diferencia hay si se compara de forma inversa, es decir, B con A?



Tema


Contenido 5

Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala

ACUÉRDATE DE...

Qué observar Es muy importante que los alumnos tomen como base la cuadrícula mostrada para encontrar los datos solicitados.

Eje temático

1. Observen estas imágenes y respondan lo que se les pide.

A

B

• ¿En qué proporción es menor la imagen A respecto a la B? A es la mitad de B. • ¿Cómo determinaron su respuesta? Comparando las unidades lineales, de la base y la altura. • Si comparan la imagen B con la imagen A, ¿en qué proporción es mayor? El doble • Escriban las expresiones matemáticas que representan esta diferencia de tamaños. Para A con B 1:2; para B con A 2:1. • Reproduzcan en una hoja cuadriculada el triple de la imagen A. Respuesta abierta Comparen las respuestas y la reproducción de su imagen con la de sus compañeros y con su profesor establezcan otras proporcionalidades haciendo uso de la imagen que reprodujeron en la hoja cuadriculada.

PRACTÍCALO

Actividad 5.1

1. En la figura se muestran las piezas del juego llamado "tetris". Si consideras el lado de cada cuadrado como “una unidad”, traza en la cuadrícula posterior las mismas figuras al doble de su tamaño real.

Las figuras mostradas son intermedias entre los grupos de figuras que deben obtener los alumnos. omente el análisis de las figuras obtenidas y destaque cuestiones como la ubicación y la posición en la que las trazaron, pida que expliquen sus diferencias.

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Pídales que relacione las dimensiones de los lados de 1, 2, 3 y 4 unidades con cada cuadricula y esto a su vez con su representación escrita en una escala.

198


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BLOQUE 4 BLOQUE 4

Cómo enriquecer la actividad En esta actividad, cada unidad cuadrada está dividida en cuatro partes, puede relacionar este concepto con el uso de las fracciones, así como en el significado que tiene en la representación escrita de la escala para la medida de cada lado.

• ¿Qué procedimiento utilizaste para reproducir las figuras? Siguiendo el número de unidades. • ¿Cómo explicas la relación de proporcionalidad entre las figuras originales y las que trazaste? Siguiendo el número de unidades. • ¿Cuál es el valor de proporcionalidad que obtuviste? Dos • ¿De qué manera puedes comprobar que tus figuras tienen las medidas correctas? Comparando las dimensiones entre las figuras originales y las que se obtuvieron con una división, el cociente debe ser constante. • Si comparas de forma inversa tus figuras con respecto a las originales, ¿cómo explicarías su relación de pro pro1 porcionalidad? Al comparar de forma inversa la relación es “a la mitad” es decir 2 . 1 0.5 • ¿Cuál sería el valor de proporcionalidad? 2

PRACTÍCALO

Actividad 5.2

Con base en las figuras de la actividad anterior, reproduzcan ahora las figuras a la mitad de su tamaño original. Tomen como referencia que un lado de cada cuadrado de esta cuadrícula equivale a la mitad de un lado de cada cuadrado de la cuadrícula original. Ilumínenlas del mismo color que las originales. • ¿Cómo explican la relación de proporcionalidad entre las figuras originales y las que trazaste? Que sus dimensiones son la mitad.

Compare las dimensiones de estas figuras con las dos series de figuras anteriores y analice cómo es su escala incluyendo si se realiza de forma inversa.

Cómo enriquecer la actividad omente el análisis sobre las dimensiones de estas figuras con las dos series de figuras anteriores y analice cómo es su escala, incluyendo si se realiza de forma inversa.

1

• ¿Cuál es el valor de proporcionalidad que obtuvieron? 2

Reflexión

• ¿De qué manera pueden comprobar que sus figuras tienen

Sobre la participación y el compromiso

las medidas correctas? Comparando las dimensiones entre las figuras originales y las que se obtuvieron con una división, el cociente debe ser constante. • Si comparan de forma inversa sus figuras con respecto a las originales, ¿cómo explicarían su relación de proporcionalidad? Ahora las originales son el doble que estas. • ¿Cuál sería el valor de proporcionalidad? Dos Comparen sus resultados con sus compañeros de grupo y verifíquenlos.

199


Para que un rupo cumpla sus metas, cada integrante debe respetar su compromiso con los demás, que es preocuparse por el bienestar de los otros, que cumpla las reglas y que participe de manera activa en las tareas que le corresponden. En las matemáticas, la participación del alumno es fundamental porque esto lleva consigo su compromiso con la materia.

199


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PRACTÍCALO

Actividad 5.3

Con un compañero, reúnan los siguientes objetos: libro de matemáticas, diccionario, una lapicera; un transportador y escuadra del equipo de geometría. Tomen las dimensiones de cada objeto y regístrenlas en la tabla.

Qué observar

Objeto

El uso de las escalas permite que, de forma objetiva, los alumnos interpreten la razón de semejanza en sus dos sentidos. Dé el tiempo necesario para que resuelvan la situación. Insista en la importancia del procedimiento; observe que la relación de proporcionalidad debe establecerse con elementos homólogos, en caso de observar fallas en los alumnos guíelos por un mejor camino.

Recursos y materiales En la página del Centro Virtual de Divulgación de Matemáticas, en su artículo Proporcionalidad, figuras semejantes, encontrará algunas sugerencias para trabajar este tema utilizando el geoplano. http://divulgamat. ehu.es/weborriak/ RecursosInternet/ Laboratorio/Archivos/ geoplano_7_alumno_ prporcion.pdf

Dimensiones

Libro de matemáticas

Respuesta abierta

Diccionario

Respuesta abierta

Lapicera

Respuesta abierta

Transportador

Respuesta abierta

Escuadra

Respuesta abierta

A partir de las dimensiones obtenidas encuentren un factor de proporcionalidad adecuado para reproducir de forma semejante las figuras originales en la siguiente cuadrícula.

Respuestas abiertas

• ¿De qué forma encontraron el factor de proporcionalidad? Comparando sus dimensiones. • ¿Cuántos intentos tuvieron que realizar para encontrar el factor adecuado? Respuesta abierta Respuesta abierta


• ¿Cuál fue el factor de proporcionalidad que utilizaron? Respuesta abierta • ¿Qué representa este factor? La relación proporcional entre el tamaño de los objetos semejantes. • Si hubieran tenido que reproducir las figuras reales con base a las que obtuvieron, ¿cuál sería el factor de proporcionalidad? Respuesta abierta . Justifiquen su respuesta. Respuesta abierta Comparen sus resultados con el resto del grupo y analicen su procedimiento si es que variaron los factores de proporcionalidad. Justifiquen sus resultados.

200


200


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BLOQUE 4 BLOQUE 4

PRACTÍCALO

Actividad 5.4

En equipo de tres personas analicen y resuelvan este problema. José Luis es arquitecto y tiene que elaborar el plano de un terreno para la construcción de un deportivo. El plano original fue extraviado por el dueño, y para recuperarlo José Luis únicamente se puede basar en el plano que está en una pared para orientación de los s. Observen el mapa, las medidas son las que se representan en tamaño real en la pared. Las zonas que le interesa medir son las gradas de la cancha de fútbol, cancha de fútbol, pista de calentamiento, fosa de arena, pozo de agua, cancha de basquetbol, jardín central y la zona de bases de la cancha de beisbol.

Con base en estos datos, ¿cuáles serían las medidas reales si cada centímetro de la pared representa 60 centímetros de la medida real, es decir decir, la escala es 1: 60 cm (se lee “uno es a sesenta”)? Expresen sus resultados en metros (m).

Cómo enriquecer la actividad Remarcamos la importancia de los procedimientos, usted sabe que no son únicos y que los alumnos deben manejarlos con cierta libertad. Permita que expongan la situación, que definan su procedimiento con argumentos confiables. El expositor también debe aceptar la diversidad; por lo tanto, debe tener la disposición de entablar diálogo y tratar de convencer o censurar resultados.

90 m

6m

109 m

60 m

27 m

18 m

15 m

19.9 m 6m

75 m

30 m

1.9 m

27.9 m

201


201


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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 • ¿Cuál es la constante de proporcionalidad si comparan las medidas reales con las medidas del muro? 1 = 0.016 60

• Expliquen la forma como encontraron la constante de proporcionalidad. Comparando los cocientes entre las dimensiones de ambos planos. • ¿Cómo pueden comprobar que su resultado es verdadero? Verificando que todas las dimensiones del plano original tengan la misma constante de proporcionalidad. • Describan con sus propias palabras ¿cuáles son los efectos del factor inverso en la relación de proporcionalidad de este problema? Respuesta abierta Ahora, con base en el plano del muro, José Luis elaboró el plano para el dueño del deportivo. Observen las medidas que obtuvo.

Cómo enriquecer la actividad Pida a los alumnos que comparen las dimensiones del plano obtenido en esta sección con los dos anteriores, luego realicen esta comparación de forma inversa. Verifique que los alumnos entienden las representaciones de estas escalas, así como su significado aplicándolo a ambos sentidos. De ser necesario proponga otras situaciones para que las trabajen en el cuaderno.

• Si comparan el plano de José Luis con el muro, expliquen ¿cómo pueden obtener la constante de proporcionalidad? Dividiendo las dimensiones del plano de José Luis con las dimensiones del plano del muro. • ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

1 3

• ¿Qué representa esta cantidad? Que sus dimensiones se reducen hasta la tercera parte. • ¿Cómo pueden comprobar que su resultado es correcto? Comparando los cocientes entre las dimensiones de ambos planos. Si ahora comparamos de forma inversa, es decir decir, el plano de José Luis con respecto al muro, ¿cómo pueden obtener la constante de proporcionalidad?

USA LAS TIC

Dividiendo las dimensiones del plano del muro con las dimensiones del plano que realizo José Luis. • ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? Tres • ¿Qué representa esta cantidad? Que sus dimensiones aumentan hasta 3 veces. • ¿Cómo pueden demostrar que su resultado es correcto? Comparando los cocientes entre las dimensiones de ambos planos. Comparen sus resultados con los de todo el grupo y con asesoría de su profesor verifiquen quién realizó y obtuvo los resultados correctos.

En esta página encontrarás un interactivo para practicar la proporcionalidad: www. telesecundaria.dgme.sep. gob.mx/interactivos/2_ segundo/2_Matematicas/2m_ b01_t07_s01_descartes/ TS_1_index.html

202


202


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BLOQUE 4 BLOQUE 4

LO QUE APRENDÍ 1. Sergio quiere poner un restaurant de comida vegetariana y lo quiere publicitar a través de una manta que mida 62 cm de largo y mil folletos de 12.5 cm de largo iguales a la manta que pondrá en su local.


Indica las medidas de la manta: Recuadro del nombre del restaurant: ancho Recuadro del eslogan. Lado:

13.7 cm

Imágenes de comida. Lado:

8.7 cm

29.7 cm

57.5 cm

Dimensiones del anuncio: largo

largo

62 cm

largo

Elabore en el pizarrón, un esquema como el siguiente, simulando que se trata de la manta que se utilizará para publicitar el restaurante de comida vegetariana, estos datos serán indispensables para que el alumno pueda resolver la situación planteada.

11.25 cm de ancho

Indica las medidas del folleto: Recuadro del nombre del restaurant: ancho Recuadro del eslogan. Lado:

2.75 cm

Imágenes de comida. Lado:

1.75 cm 11.55 cm

Dimensiones del anuncio: largo

6 cm

12.5 cm

largo

ancho

2.2 cm

• ¿Cuál es el factor de proporcionalidad entre el anuncio original y la manta? Cuatro • ¿Cuál es el factor de proporcionalidad entre el anuncio original y el folleto? Veinte • ¿Qué procedimiento utilizaste para encontrar el valor de proporcionalidad en los casos planteados? Por medio de la comparación de las dimensiones del anuncio original con las que se quiere hacer la manta y el folleto. • Justifica tu respuesta. Todas las medidas que se obtiene presentan un cociente constante.

Compara tus procedimientos y resultados con el resto de tus compañeros y verifica con tu profesor que sean correctos.


Asimismo, considere estas dimensiones para cada una de las figuras que conforman la manta: Rectángulo amarillo: 250 cm x 120 cm

Investiga lo que representa y significa un famoso dibujo hecho por Leonardo Da Vinci llamado El hombre del Vitruvio.

Rectángulo azul: 230 cm x 45 cm

Escribe de forma breve qué relación guarda este famoso dibujo con las proporciones.

Cuadrado rosa: 55 cm de cada lado

Respuesta abierta

Hexágono verde: 35 cm de cada lado

203


203


12/07/12 15:43


Eje temático


Tema


Contenido 6

Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados

ACUÉRDATE DE... 1. Organizados en equipo, analicen el problema y comenten con el grupo la solución.


a) En una bolsa de papel tengo tres canicas, todas son del mismo tamaño y material, excepto que tienen diferente color: una es blanca, otra es roja y la otra es negra. Si saco una por una las canicas y las voy acomodando sin ver de qué color van saliendo, ¿de cuántas formas diferentes puede quedar la combinación de colores? Escríbanlas todas. Blanca, roja, negra; blanca, negra, roja; roja, blanca, negra; roja, negra, blanca; negra, blanca, roja;

Permita que los estudiantes encuentren la mejor forma de resolver los problemas. Propicie la participaci n abierta y que muestren las diversas maneras que tienen de proceder en la búsqueda de soluciones, ya sea a través de diagramas, de gráficas, de dibujos o de cualquier otra forma.

negra, roja, blanca.

PRACTÍCALO

Actividad 6.1

1. Resuelve las situaciones y contesta las preguntas. a) En el guardarropa de David hay tres pantalones: uno verde, uno azul y otro gris; también hay dos camisas: una gris y otra amarilla. b) ¿Cuántas combinaciones diferentes puede formar para vestirse? Seis formas c) Completa la tabla y comprueba tu resultado.

Pida al rupo que sugieran algunos problemas de su interés, que impliquen el manejo de la información y el conteo para su resolución.

Camisas

Gris

Pantalones

Amarilla

Gris

gris - gris

gris - amarilla

Azul

azul - gris

azul - amarilla

Verde

verde - gris

verde - amarilla

204


204


12/07/12 15:43

BLOQUE 4 BLOQUE 4 d) Recuerda que en la primaria resolviste, por medio de diagramas de árbol, problemas de este tipo. ComCom pleta el diagrama en el siguiente espacio. Camisa

Camisa

Pantalón

G

A

V

G

A

V

Pantalón

¿Cuántas combinaciones resultaron? Seis

PRACTÍCALO

Actividad 6.2

1. Resuelvan los problemas. Para cada uno de ellos, elaboren su diagrama de árbol. a) En un restaurante se preparan 2 sopas y 4 guisados. ¿De cuántas maneras diferentes puede formarse un menú? 8 formas Importante: Si ya encontraron cómo se podría obtener de manera inmediata la respuesta, coméntenlo con el grupo. Diagrama de árbol

S1

G1

G1

G2

G2

G3 G4

S2

G3

Diagrama de árbol. Forma gráfica de representar todos los posibles resultados que puede tener un experimento o una serie de ellos.

Qué observar Una de las mayores dificultades de los estudiantes es la representación gráfica. Aproveche estas oportunidades para que también interpreten los diagramas de árbol.

G4

• si se aumenta una sopa y un guisado, ¿cuántos menús se forman? Quince menús. • i amos con el restaurante ¿cuántos men s di erentes se podrán ormar si un día se preparan 2 sopas, 3 guisados y 2 postres? Doce menús.

205


205


12/07/12 15:43

MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 b) Al lanzar al aire una moneda en dos ocasiones y registrar el resultado, ¿cuáles y cuántos son los resulta resultados diferentes que se pueden obtener?

Qué observar

Diagrama de árbol

Al resolver estos problemas y trazar el diagrama de árbol, propóngales que si les resulta más sencillo elaboren una gráfica cartesiana.

M1

M2 Cuatro posibles resultados

Sol

Águila

Sol

Águila

c) Si se lanzan 2 dados de diferente color, ¿cuántos y cuáles son los posibles resultados que se pueden obtener? Diagrama de árbol

DR2

DR2

DA1

DA6

DA2

DA5

DA3

DA1

DA6

DA2

DA4

DA3

DR3 DA6 DA5

DA3

DA1

DA6

DA2

DA4

DA4

DR6 DA6

DA3

DA5

DA3

DR5 DA1 DA2

DA4

DR4

DA1 DA2

DA5

DA5 DA4

DA1

DA6

DA2 DA3

DA5 DA4

206


206


12/07/12 15:43

BLOQUE 4 BLOQUE 4 d) Ahora lancemos primero un dado y después una moneda, ¿cuáles son los posibles resultados? Diagrama de árbol

A

Qué observar S

1 2

2

3

3

4 6

Analice con el grupo las circunstancias que son provocadas al obtener combinaciones con condiciones distintas, y en qué afecta su representación si se cambia el orden de comparación, inclusive se pueden poner ejemplos con tres o más condiciones.

1

4

5

6

5

Doce posibles resultados

• Describe las diferencias del procedimiento que utilizaron en los incisos b), c) y d). En esencia el procedimiento es el mismo la diferencia con el inciso a) es que el diagrama se realizó de mama nera vertical, sin embargo la forma de obtener el número de resultados posibles es la misma, multiplicar cada una de las cantidades de resultados posibles. • Describe cómo llevaron a cabo el diagrama de árbol. Se colocan los primeros resultados y para cada uno de ellos se colocan sus posibles combinaciones de forma ramificada, es decir en un diagrama de árbol.

• ¿Cómo iniciaron el diagrama, representando en primera instancia el dado o la moneda? Con la moneda. • Justifiquen su respuesta. Porque al iniciar son solo dos combinaciones, si se inicia con el dado son seis, por lo tanto el diagrama es más grande.

Comparen sus resultados con el resto del grupo y con la asesoría del profesor obtengan una conclusión acerca de la actividad.

207


207


12/07/12 15:43

MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 e) A una reunión llegaron Alma, Blanca, Cecilia y Diana. Si fueron llegando una tras otra, encuentra todos los posibles ordenamientos en que pudieron haber llegado.

Cómo enriquecer la actividad Llévelos a trazar el diagrama y resolver situaciones más complejas que tengan que ver con alguna permutación sencilla, como por ejemplo: “Si formamos tres alumnos en una fila, ¿de cuántas maneras diferentes pueden ocupar un lugar en la fila? Escribe los diferentes ordenamientos que hayas encontrado.”

Diagrama de árbol A

B

C

A

D

C

C

A

B

B

A

D

D

C

C

B

D

B

B

C

A

C

A

D

A

C

B

D

C

D

B

A

B

D

B

A

D

D

C

B

C

A

C

D

A

C

A

B

f)Como los datos son nombres propios, ¿cuál es la manera más adecuada de construir un diagrama de árbol? Pueden llevar cualquier orden lo importante es que se respete al crear el diagrama. Justifiquen su respuesta. La variable se refiere a una “cualidad” (el nombre).

g) En cierta escuela se imparten 4 talleres: mecánica, contabilidad, computación y electricidad; hay también 3 actividades deportivas: fútbol, básquetbol y atletismo. Si a cada alumno le dan la opción de seleccionar taller y actividad deportiva, ¿cuántas posibles combinaciones se registrarán? 12 Combinaciones.

USA LAS TIC Aquí tienes un video que explica y ejemplifica los problemas de conteo: http://www.amolasmates. es/flash/combinatoria/ mod_4publish/

h ) En una caja hay cinco fichas marcadas con un número distinto. Se extrae una ficha de la caja y se registra su número. ¿Cuántos números diferentes, de dos cifras, se pueden formar si: • a primera c a e traída se re resa a la ca a? 25 • demás de aber re resado la c a a la ca a, no se acepta que los n meros sean repetidos (es decir, no se acepta que sean 1,1 o 2,2 o 3,3 o…)? 20 • a primera c a e traída no se re resa a la ca a? 20 Como los datos son nombres propios, ¿cuál es la manera más adecuada de construir el diagrama de árbol? Pueden llevar cualquier orden, siempre y cuando se respete al crear el diagrama. • Justifiquen su respuesta. Respuesta abierta

208


208


12/07/12 15:44

BLOQUE 4 BLOQUE 4

LO QUE APRENDÍ 1. En un programa de televisión están realizando un concurso, los participantes pasarán en orden según el sorteo que se realiza antes del juego con pelotitas en una urna marcadas con los números 1, 2 y 3. Durante el juego los participantes ganan dependiendo de la combinación de 3 dígitos que formen (siempre juegan los 3 números y se pueden repetir). a) Realiza el diagrama de árbol que representa todas las posibilidades que puede tener el orden de presentación de los participantes. b) Realiza el diagrama de árbol que represente los resultados posibles que se pueden dar durante el juego.

1

1

2

c) Responde las preguntas. • i el u ador apuesta que saldrán al menos dos números iguales ¿Cuántas combinaciones lo hacen ganador? 20 • si apuesta que el primer n mero es un . ¿Cuántas combinaciones lo hacen ganador?

3 1 2

9 • i apuesta que los n meros serán i uales. ¿Cuántas combinaciones lo hacen ganador?

2 3

3 • n total, ¿cuántas combinaciones se ormaron? 27 • scribe la operaci n que se debe realizar para obtener el número de combinaciones posibles. 3 9 = 27

3

1 2 3

1

111

2

112

3

113

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

121 122 123 131 132 133 211 212 213 221 222 223 231 232 233 311 312 313 321 322 323 331 332 333

Cómo enriquecer la actividad Construya junto con el grupo un diagrama de árbol comparativo como el que propone el libro, pero elimine la posibilidad de que se repitan los resultados. Induzca al grupo a que analice la diferencia en la cantidad y el tipo de combinaciones. Varíe la cantidad de números reduciendo a dos o aumentando a cuatro.

Desarrolla tus habilidades Acomoda en las tarjetas los números del 1 al 9, sin que falte ni sobre ninguno, de tal manera que resulte una suma. 5

2

7

3

6

4

8

9

1

Qué observar

209


Pida que presenten el procedimiento de solución en el pizarrón y observe qué tanto manejan las propiedades de los números en la suma, por ejemplo: en las centenas no pueden estar dígitos mayores porque nos obligaría a ocupar otro lugar a la izquierda.

209


12/07/12 15:44


Esta actividad tiene la intención de hacer que los estudiantes inicien el análisis de información en una gráfica. En esta actividad conviene preguntar a los alumnos de qué manera pueden apreciar mejor los datos obtenidos de los equipos y recordar que cuando los datos mantienen un orden (por ejemplo: tiempo o estatura), la gráfica que corresponde es una poligonal, si los datos pueden ordenarse de manera arbitraria, la gráfica podrá ser de barras.

Análisis y representación de datos

Contenido 7

Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada

En equipo comenten, de manera ordenada, sus conocimientos acerca de las siguientes gráficas: gráfica poligonal; gráfica de barras; gráfica de sectores circulares.

PRACTÍCALO

Actividad 7.1

1. Consideren la siguiente gráfica que muestra los puntos realizados por seis equipos de futbol al finalizar el torneo de apertura 2011.

Puntos realizados por equipos de futbol

Ca ra co le s Cl ub jo ve n

Pl at er os

Pa nt er as

50 40 30 20 10 0

G ol on dr in Cr as uc es de fu eg o

Puntos

Pídales que consi an algunas revistas, periódicos o cualquier otro material que contenga gráficas, para que las analicen de manera grupal identifiquen las diferencias que hay entre cada tipo de gráfica.

Qué observar


Tema

ACUÉRDATE DE...

Cómo enriquecer la actividad Aproveche la sección “ACUÉRDATE DE…” para obtener un diagnóstico acerca del tipo de gráficas que conocen los alumnos y de los elementos que intervienen en su representación e interpretación.

Eje temático

Equipos de futbol

• ¿Qué equipo realiz la ma or cantidad de puntos? Caracoles • ¿Qué equipos obtuvieron i ual cantidad de puntos? Golondrinas y Plateros. • ¿Cuál ue la di erencia de puntos entre el primero el ltimo equipo? Treinta puntos • i por cada ue o anado se otor an tres puntos, ¿cuántos partidos tendría que aber anado las Panteras dos para ser campeón? ____________ Expliquen su procedimiento. Por una diferencia de puntos. • ¿ los Plateros para ser campe n? Seis juegos

210


210


12/07/12 15:44

BLOQUE 4 BLOQUE 4 2. Ahora analiza la siguiente gráfica circular.

Qué observar

Porcentaje de puntuación al final del torneo de apertura 2011 14% 14%

15% 15%

Que los alumnos analicen la forma en cómo se elaboró una gráfica circular.

Golondrinas 14%

21%

Cruces de fuego

Cuestiónelos acerca de cómo se obtuvieron los sectores de cada uno de los equipos y si este tipo de graficas es manejable para extraer información.

Panteras Plateros

21% 15% 15%

21%

Caracoles Club joven

• i se sumaran los puntos de estos equipos, ¿qué porcenta e le corresponde al campe n del torneo? 21% ¿y al subcampeón? 21% aproximadamente. • ¿Qué equipos tuvieron menor porcenta e? Cruces de fuego y Club Joven. • i comparan los puntos realizados por los equipos en la rá ca de barras, ¿corresponden con el campe n subcampeón? No ¿Por qué creen que ocurra esto? Porque la gráfica de barras es más exacto en comparación de la circular. Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y con su profesor concluyan acerca de la manera más adecuada de realizar una gráfica de barras y una poligonal.

Para tener en cuenta La gráfica de barras es otra forma de representar datos utilizando barras verticales u horizontales. Las barras se colocan separadas y su altura o longitud dependen de la frecuencia; también debe llevar título asociado.

PRACTÍCALO

Actividad 7.2

1. Consideren la siguiente información, elaboren la tabla de frecuencias correspondiente y represéntenla mediante una gráfica de barras utilizando las frecuencias absolutas. a) En cierto grupo de primer año, se hizo una encuesta a 15 alumnos para saber cuántas horas a la semana dedicaba cada uno de ellos a estudiar algunas de las asignaturas con las que han tenido mayor dificultad.

211


211


12/07/12 15:44

MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Datos obtenidos: Español: 2, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1. Matemáticas: 3, 2, 1, 2, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 3. Geografía: 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 2. Inglés: 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2. Biología: 2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1.

Cómo enriquecer la actividad Después de resolver la actividad, pida al grupo que realice una encuesta semejante en el propio grupo abarcando todas las materias que llevan en este grado, y que tracen la gráfica correspondiente para darle significado a la actividad.

Tiempo

Tiempo dedicado al estudio

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Español

28

0.225

Matemáticas

31

0.25

24

Geografía

22

0.177

20

Inglés

18

0.145

Biología

25

0.201

Total

124

0.998 1

Asignatura

32 28

16 12 8 4 0

Esp.

Mat.

Geo.

Ing.

Bio.

Asignatura

b) ¿A qué asignatura se le dedicó el mayor porcentaje de tiempo por semana?

Qué observar Esta actividad está diseñada para interpretar información a partir de las gráficas. Coordine la actividad para que los alumnos avancen a su propio ritmo y aclaren entre ellos las dudas que surjan.

Español c) ¿Cuál es la asignatura a la que se dedican menos horas de estudio a la semana? Inglés

PRACTÍCALO

Actividad 7.3

1. La siguiente gráfica es representativa de la producción de motores fabricados en cierta armadora. Analiza la gráfica de barras y completa los datos de la tabla de frecuencias.

Tabla de frecuencias Día

Número de motores

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Lunes Martes Miércoles

Cambiando números Solicite a sus alumnos que en esta tabla realicen el calculo de los datos que se piden.

Jueves Viernes Total 212


212


12/07/12 15:44

BLOQUE 4 BLOQUE 4 Producción de motores por semana Número de motores

40

Tabla de frecuencias

35

Número de motores

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Lun

25

25

0.2

Mar

35

35

0.28

Día

30 25 20

Mier

15

15

0.12

15

Jue

30

30

0.24

10

Vier

20

20

0.16

Total

125

125

1

5 0

Lun

Mar

Miér

Jue

Vier

Cambiando números En esta tabla, pida a sus alumnos que comparen los datos con otro compañero y que vacíen la información que difiera de la tabla anterior.

Día

Para leer más Existen otras formas para mostrar de manera objetiva la información; una de ellas es por medio de gráficas circulares. La gráfica circular se utiliza para mostrar la relación que existe entre cada una de las partes de un todo.

2. Observa la siguiente tabla de frecuencias relacionada con las diferentes edades de los alumnos de un grupo de primer año. A partir de la información contenida en ella, completa la tabla.

Qué observar Edad en años

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

12

25

25 0.5 50

50%

13

15

15 0.3 50

30%

54°

14

10

10 0.2 50

20%

72°

Total

50

50 1 50

100%

360o

Ángulo

Edad de los alumnos de 10 A

Verifique que los alumnos comprenden la relación que hay de este tema con la regla de tres, el sistema sexagesimal y los porcentajes.

180o 180o

108o

72o

Utiliza el transportador para verificar la medida de cada ángulo.

213

Es conveniente que observe que los alumnos utilizan de manera correcta el transportador y que los sectores encontrados correspondan a la tabla de frecuencias.


213


12/07/12 15:44


Para tener en cuenta Gráfica circular Para determinar cada ángulo se resuelve una proporción. x 25 En el ejercicio: 360 50 de donde:

x

25 360 50

x 1800 25 Ángulo por determinar. 50 Total de elementos. 360º Medida angular de la circunferencia.

PRACTÍCALO

Actividad 7.4

Qué observar Los alumnos deben de entender la diferencia entre frecuencia absoluta y frecuencia relativa; de lo contrario, tendrán dificultades para determinar el tanto por ciento necesario para establecer la proporción y determinar los ángulos correspondientes a los sectores que formarán la gráfica circular.

Cómo enriquecer la actividad Pida que desarrollen la Actividad 7.4 en parejas, para que se apoyen en los cálculos y el trazo de cada sector con el transportador. Pídales que realicen la comprobación de sus resultados.

1. Completen la tabla e identifiquen en la gráfica el color que representa a cada equipo deportivo. a) En un grupo de tercer año, los alumnos están distribuidos en diferentes equipos deportivos de la siguiente manera: 15 en futbol, 9 en voleibol, 12 en básquetbol y 14 en atletismo.

Equipo

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Ángulo

15

15 50

0.3

9

9 50

0.18

64.8º

Básquetboll

12

12 50

0.24

86.4º

Atletismo

14

14 50

0.28

100.8º

Total

50

1

360º

Futbol Voleibol

Coloreen cada

según corresponda con la gráfica.

Azul Futbol

Rojo Atletismo

108º

Amarillo Básquetbol

Verde Voleibol

214


Cuestiónelos acerca de los valores que obtuvieron para cada ángulo de los sectores y que criterio utilizaron para indicar el valor del ángulo.

214


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BLOQUE 4 BLOQUE 4

PRACTÍCALO

Actividad 7.5

1. A partir de la información que aparece en la gráfica circular, completen la tabla. a) Se hizo una encuesta entre los grupos de primer año de una escuela. En ella, se preguntó a 150 alumnos lo siguiente: De los productos que vende la cooperativa escolar, ¿cuál es tu favorito?

Frecuencia absoluta

Producto

Frecuencia relativa

30

0.2

72°

Frutas

40

0.263

95°

Sándwich

10

0.066

24°

Torta

20

0.133

48°

Refresco

50

0.336

121°

150

0.998

Total

Frutas

1

La Actividad 7.5 es el complemento de la anterior; pida que la resuelvan en equipo y al finalizar que comparen sus resultados con resto del grupo.

Ángulo

Paleta


Pida que un inte rante de cada equipo pase al pizarrón y, haciendo uso del juego geométrico de madera, realicen la gráfica correspondiente a este ejercicio.

360°

Paleta

Sandwich Torta

Refresco

215


215


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PRACTÍCALO

Actividad 7.6

1. Realicen una encuesta con 100 alumnos del plantel. Seleccionen alguna de las siguientes interrogantes, considerando al menos tres respuestas posibles.

Cómo enriquecer la actividad Oriente a los alumnos para que realicen una ejercicio semejante a la de esta actividad en equipos, que presenten la investigación, la tabla de frecuencias y la gráfica circular correspondiente. Por seguridad, procure que la investigación se desarrolle dentro de la escuela.

a) ¿Qué medio de transporte utilizas para llegar a la escuela? Respuesta abierta b) ¿Qué calificación obtuviste en tu anterior prueba de matemáticas? Respuesta abierta c) ¿De qué talla es tu uniforme? Respuesta abierta d) ¿Cuál es tu equipo deportivo favorito? Respuesta abierta e) De los programas de televisión, ¿cuál es tu favorito? Respuesta abierta f ) Otra situación particular que le interese al equipo. Respuesta abierta 2. Lleven un registro de frecuencias para que puedan realizar su tabla y después trazar la gráfica circular.

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Ángulo

Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta

Total

Respuesta abierta Respuesta abierta Respuesta abierta

Respuesta abierta

216


216


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BLOQUE 4 BLOQUE 4

LO QUE APRENDÍ Vamos a desarrollar un trabajo estadístico completo, para ello deberán organizar un equipo de trabajo, planear la secuencia de actividades y repartir las tareas que realizará cada uno. Al final deberán preparar una exposición frente al grupo para realizar una descripción del trabajo hecho, así como para mostrar los resultados obtenidos. Tema: Tecnologías de la Información y la Comunicación en los hogares de los estudiantes. Objetivo: Investigar las posibilidades que tienen los alumnos para acceder al uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación en su comunidad escolar. Realicen la encuesta en su escuela a sus compañeros de 2º y 3er grados. 1. Elaboren en su cuaderno un cuestionario donde incluyan los siguientes datos: nombre, edad, sexo, número de personas que habitan en el domicilio, y preguntas como: ¿Tienen computadora? ¿Cuántas? ¿De escritorio, portátil u otro? ¿Cuántas horas la utilizan a la semana? ¿Cuál es su uso principal? ¿Tienen conexión a Internet? 2. Completen las tablas con base en sus resultados.

Permita que los alumnos expliquen los procedimientos seguidos para completar las tablas y hacer la representación gráfica. Que expliquen la diferencia entre gráfica poligonal e histograma.

Tabla 1

Tipo de computadora


Núm. de computadoras

Frecuencia Relativa

Porcentaje

Escritorio

Respuesta abierta

Respuesta abierta

Respuesta abierta

Portátil

Respuesta abierta

Respuesta abierta

Respuesta abierta

Otro tipo

Respuesta abierta

Respuesta abierta

Respuesta abierta

Sin computadora

Respuesta abierta

Respuesta abierta

Respuesta abierta

TOTAL

Respuesta abierta

Respuesta abierta

Respuesta abierta

Que validen sus respuestas atendiendo la congruencia de estas con las gráficas.

Reflexión Sobre la identificación

Tabla 2

Tiempo de uso de la computadora a la semana

Hombres

Mujeres

Total

Menos de una hora

Respuesta abierta

Respuesta abierta

Respuesta abierta

De 1 a 5 hrs

Respuesta abierta

Respuesta abierta

Respuesta abierta

De 5 a 10 hrs

Respuesta abierta

Respuesta abierta

Respuesta abierta

De 10 a 15 hrs

Respuesta abierta

Respuesta abierta

Respuesta abierta

16 o más hrs

Respuesta abierta

Respuesta abierta

Respuesta abierta

Total

Respuesta abierta

Respuesta abierta

Respuesta abierta

217


Es bueno identificarse con aquellas personas con quienes puedes expresarte con libertad, intercambiar ideas y conocimientos, compartir emociones e ideales que te ayuden a ser una mejor persona. En las matemáticas el trabajo en equipo debe realizarse con compañeros con quienes tienes la confianza de exponer tus argumentos acerca de un ejercicio. La socialización es un recurso eficaz que te permite tener una retroalimentación constante.

217


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Casas con computadora

35

Qué observar

30

Es importante vigilar el desarrollo del trabajo, si los estudiantes logran establecer la diferencia entre el histograma y el polígono de frecuencias al hacer la representación gráfica.

Respuesta abierta

25

Casas

20 15 10

Verifique que los alumnos atiendan los ejemplos para recuperar información y estar en condiciones de acceder a más.

5 0 Escritorio

Portátil

Otros

Sin computadora

Tiempo de uso de la computadora a la semana

30 25

Respuesta abierta

Personas

20

Cómo enriquecer la actividad Si los alumnos optan por el trazo de la gráfica de sectores circulares, debe explicar cómo se obtiene la medida de cada sector, qué representa y cuál es la suma de todos los sectores expresada como porcentaje.

15 10 5 0 5

10

15

20

Número de horas

3. Como pudieron notar, cada tabla corresponde a una pregunta de las que se realizaron, ahora elaboren en su cuaderno sus tablas para las preguntas restantes. 4. Realicen las representaciones gráficas. (No necesariamente deben ser de barras, pueden utilizar una circular o el tipo que les sea más útil). 5. Construyan las gráficas faltantes en su cuaderno.

Recursos y materiales Algunas reflexiones prácticas sobre el histograma las encontrará en la página Eduteka, en su artículo Discusión sobre histogramas vs. gráficas de barras.

218


http://www.eduteka. org/mi/master/ interactive/discussions/ sd4.html

218


12/07/12 15:44

BLOQUE 4 BLOQUE 4 6. Por último, respondan las preguntas y auxílience de ellas para preparar su exposición. • ¿A qué conclusión llegaron en cuanto a la cantidad de hogares que disponen de computadora?

Respuesta abierta

• Expliquen cuál es la preferencia de las personas en cuanto al uso de computadoras de escritorio, portátiles, otras, o por no usarlas.

Respuesta abierta

• ¿Cuál es su conclusión en cuanto al uso de Internet?

Respuesta abierta

• Según su opinión, ¿qué aspectos positivos y negativos observaron en cuanto al uso de la computadora durante su investigación?

Respuesta abierta

• ¿Qué sugerencias pueden hacer con base en su investigación para que se aproveche al máximo el uso de las computadoras en su comunidad?

Respuesta abierta

Desarrolla tus habilidades Para cepillarse los dientes, además del cepillo y la pasta dental, basta un ligero enjuague, medio vaso con agua y un enjuague final, pero mucha gente deja abierta la llave del agua hasta por tres minutos. Elabora la tabla y la gráfica que muestren el desperdicio de agua cada minuto, si se sabe que por la llave del agua salen cuatro litros por minuto.


USA LAS TIC Excel es un programa de Office que tiene una gran variedad de posibilidades para construir gráficas, conócelas visitando esta página: office.microsoft. com/es-es/excel-help/tiposde-graficos-disponiblesHA001233737.aspx

219

Pida a los alumnos que elaboren en sus cuadernos la tabla de frecuencias y que construyan una gráfica de barras y una circular, cuestiónelos sobre cuál consideran que sea más conveniente y por qué.


219


12/07/12 15:44



Cómo enriquecer la actividad Recuerde que la sección “Evaluación” pretende que los alumnos se autoevalúen, esto es, que aprendan a reconocer qué es lo que ya saben hacer, qué más están aprendiendo y en qué contenidos necesitan poner un mayor esfuerzo.

3 9 1. Una mezcla de harina y leche contiene 5 de harina y 20 de leche. 1. Si en la mezcla hay 50 gramos de leche, ¿cuántos gramos hay de harina? a) 66.6 g

b) 656 g

c) 26.66 g

(a) d) 76.6 g

2. Para recorrer 480 kilómetros, un automóvil necesitó 85 litros de gasolina. 1. ¿Cuántos litros necesitará para un viaje de 720 kilómetros si el consumo está en la misma proporción? a) 137.5 litros

b) 125.5 litros

c) 133.5 litros

(d) d) 127.5 litros

3. Encuentra el valor que se te pide en los siguientes problemas. 1. ¿Cuál es el valor del radio si se tiene un círculo cuya área es de 28.27 cm2? a) 2.5 cm

b) 2.9 cm

c) 3.9 cm

2. ¿Cuál es el valor del diámetro de una circunferencia que tiene un perímetro de 25.13 cm? a) 7.9 cm

b) 8.8 cm

c) 7.5 cm

(b) d) 3.6 cm

(a) d) 7.2 cm

4. Un mecánico tarda 6 días en arreglar el motor de un auto, al aumentar el número de mecánicos, el tiempo empleado para realizar el mismo trabajo será menor. 1. ¿Cuántos días tardarán dos mecánicos en arreglar el motor? a) 2.5 días

b) 2 días

c) 3 días

2. ¿Cuántos días tardarán tres mecánicos en arreglar el motor? a) 2 días

b) 3 días

c) 2.5 días

(c) d) 4 días (a) d) 3.2 días

220


220


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BLOQUE 4 BLOQUE 4

Evaluación 5. En la gráfica se muestra el registro de nacimientos de varones del año 2011 en el Distrito Federal, según la Secretaría de Salud. Obsérvala y contesta las preguntas.


18,000 16,000 14,000 12,000 10,000 8,000 6,000 4,000 2,000 0 Az ca po Cu tz a aj im Co lco al pa yoa Gu de cán M st or av el o o A. M s ad e Izt ro ac a M ag Izt lco da ap a le na lap Co a nt M rera ilp Ál s va aA ro Ob lta re gó Tl n áh ua Tl c al Xo pan ch Be im il ni to co Cu Juá re a M uht z ém i g Ve u nu el H oc st id ia no alg Ca o rra nz a

Motive a los alumnos para que resuelvan esta evaluación de forma honesta, procure que comprendan la importancia de la actividad y la utilidad que puede tener para mejorar su nivel actual de conocimientos. Procure que tomen la evaluación como algo habitual, bueno y sano; es decir, como parte del proceso de aprendizaje de las matemáticas.

1. ¿Cuál es la delegación que presenta menor índice de nacimientos? a) Benito Juárez

b) Milpa Alta

c) Cuajimalpa

d) Miguel Hidalgo

2. ¿Cuál es la delegación que presenta mayor índice de nacimientos? a) Tlalpan

b) Álvaro Obregón

c) G. A. Madero

d) Iztapalapa

3. ¿Cuáles delegaciones tienen aproximadamente la misma cantidad de nacimientos?

(b)

(d)

(a)

a) Xochimilco, Tláhuac, Coyoacán

b) Iztapalapa, Benito Juárez y Azcapotzalco

c) Miguel Hidalgo, Milpa Alta y Álvaro Obregón

d) Tláhuac, Xochimilco e Iztapalapa

221


221


12/07/12 15:44

MATEMÁTICAS 1

Bloque

5 1800

Aprendizajes esperados • esuelve problemas aditivos que implican el uso de n meros enteros, raccionarios o decimales positivos ne ativos. • esuelve problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada potencias de n meros naturales decimales. • esuelve problemas de proporcionalidad directa del tipo esuelve problemas de proporcionalidad directa del tipo valor altante , en los que la raz n interna o e terna es un n mero raccionario.

222

Qué observar Observe si los alumnos cumplen, al llegar a este último bloque, con las competencias exigidas en el programa, entre éstas destacan la familiaridad con la resolución de problemas que implican el uso de la suma y resta de números enteros; el uso adecuado de la notación científica; la utilización de la raíz cuadrada y el uso de potencias con números naturales y decimales por diversos métodos; además de la obtención de regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética; uso de las fórmulas de perímetro y área en la resolución de problemas, así como de proporcionalidad múltiple.

222


12/07/12 15:43

BLOQUE 5

Contexto histórico 1837 Samuel Morse idea un alfabeto telegráfico conocido como clave Morse

1800

1843 Se dan las investigaciones acerca de la genética de Mendel

1840 1801 Carl Frederic Gauss publica artículos que amplían la teoría de los números

1862 Louis Pasteur desarrolla la teoría de la infección

1880

1939 Inicia la 2a. Guerra Mundial con la invasión a Polonia

1920

Hechos matemáticos 1854 George Boole desarrolla la lógica

1890 Peano trata los axiomas de los números naturales

1976 Se hace el primer trasplante de corazón humano

1960

2000

1971-1975 Surgen las primeras computadoras personales y se establecen las primeras normas para el funcionamiento de Internet

223

Cómo enriquecer la actividad Se espera que para este último bloque del curso los alumnos hayan alcanzado ya un ritmo de trabajo que les permita resolver de manera más autónoma las actividades. Aproveche la línea del tiempo para que los estudiantes comenten acerca del desarrollo de las matemáticas y de la cultura en general, por ejemplo: • ¿Hace cuántos años se inventó el telégrafo? ¿Cómo trabaja el telégrafo? ¿Hace cuántos años se desarrolló la Lógica? ¿De qué manera se podrían relacionar estos avances (telégrafo y Lógica) para obtener el principio mediante el cual trabajan las computadoras? • Pídales que investiguen y presenten una pequeña biografía acerca de George Boole y de Peano, ¿qué avances dieron estos personajes al desarrollo de las matemáticas?


223

12/07/12 15:43


Eje temático


Tema

Problemas aditivos

Contenido 1

Resolución de problemas que impliquen el uso de sumas y restas de números enteros.

ACUÉRDATE DE...

Cómo enriquecer la actividad Propicie la participación en la sección “ACUÉRDATE DE…”, para que no olviden que en la recta numérica los números positivos van hacia la derecha y los negativos hacia la izquierda.

En parejas, practiquen a manera de juego la ubicación del desplazamiento de un punto en una recta numérica horizontal. Es importante recordar que el punto que representa a los números positivos se desplaza hacia la derecha y el que representa a los negativos hacia la izquierda. Utilicen dos dados de diferente color y designen un color para los números positivos y otro para los negativos. El punto de partida para ambos jugadores será el cero. Por turnos, un jugador lanza los dados y el otro efectúa el desplazamiento de su punto sobre la recta y dice cuál resultó ser la ubicación final del punto. Van repitiendo el lanzamiento de los dados hasta que uno de los puntos quede fuera de la recta numérica. Ejemplo: Jugador A: 3, 6, quedó en 3, para desde ahí iniciar en el siguiente turno.

10

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

Jugador B: 2, 6, quedó en 4, para desde ahí iniciar en el siguiente turno. • ¿Qué método usaron para re istrar sus lanzamientos? Respuesta abierta • ¿Cuántos lanzamientos tuvieron que acer para terminar el ue o? Respuesta abierta • ¿Qué relaci n se presenta entre los resultados de los lanzamientos con los si nos y ? Respuesta abierta Comparen sus respuestas con las de otros equipos unto con su pro esor veri quen sus respuestas.

PRACTÍCALO


1. Víctor y Adrián juegan a lanzar dardos por turnos, si un dardo cae en la zona naranja obtiene números positivos y si cae en la zona amarilla obtiene números negativos. Ambos lanzaron 10 veces sus dardos y registraron sus números en esta tabla.

Víctor (2)+(4) (3)+(-4) (0)+(-4) (-3)+(4) (-2)+(-4)

Seleccione a algún alumno para que exponga sus respuestas y las justifique. Permita la libre argumentación de los demás integrantes del grupo. Proponga que las respuestas sean ubicadas en la recta numérica.

Actividad 1.1

Adrián (3)+(2) (3)+(-6) (1)+(-6) (-3)+(-3) (-4)+(2)

–5

–4 –3 –2

–1

1

2

3

4

5

224


224


12/07/12 15:43

BLOQUE 5 BLOQUE 5 En la tabla registren los puntos que obtuvieron en cada tirada.

Víctor

• ¿Cuántos puntos en total obtuvo íctor? -4 puntos • ¿Cuántos puntos en total obtuvo drián? -11 puntos

Adrián

6

5

–1

–3

–4

–5

1

–6

–6

–2

• Expliquen el procedimiento que realizaron para obtener estos resultados. Sumando los punto que obtuvieron. • Escriban la expresión matemática que les permitió calcular los puntos totales de Víctor. (6) (-1) (-4) (1) (-6)

• Escriban la expresión matemática que permitió obtener los puntos totales de Adrián. (5) (-3) (-5) (-6) (-2) • ¿Quién ue el anador después de los diez lanzamientos? Víctor • En la recta numérica representa con un color la expresión matemática para los puntos totales de Adrián y con otro color la de Víctor. 1110 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Adrián

0

1

2

3

4

5

6

Víctor

Comparen sus resultados con los demás compañeros de rupo veri quen con su pro esor que sean correctas.

PRACTÍCALO

Actividad 1.2

1. Efectúa, de manera directa, las siguientes adiciones. Observa los ejemplos. a) (3) (3) 0 b) (2) (3) 1 c) (0) (4)

6

g) (2) ( (3)

5

j) (9) (9)

0

e) (1) (5)

4

h) (2) ( (6)

8 k) (8) (8)

0

f) (1) (5)

4

d) (0) (6)

4

i) (4) ( (6) 10

l) (7) (7)

0

• ¿Qué indica ( ? Más por menos.

¿Cuál es el resultado? Menos • ¿Qué operaci n se debe realizar cuando se tienen operaciones de si no contrario? Una multiplicación Justifica tu respuesta. Se utiliza para eliminar los paréntesis y poder realizar la suma o la resta.

Cómo enriquecer la actividad Pídales que resuelvan de manera individual esta actividad. Que comparen sus resultados y, si fuera necesario, que hagan las aclaraciones correspondientes.

• cuando quedan operaciones con el mismo si no, ¿qué operaci n se realiza? Una multiplicación Justifica tu repuesta. El signo siempre es positivo, pero a fin de cuentas es propósito es el mismo. • ¿Qué actores determinan el si no de un resultado? En sumas y restas el signo lo determina el signo del número con mayor valor absoluto. Compara tus respuestas con el resto del rupo con la asesoría de tu pro esor veri ca si tus razonamientos son correctos.

PRACTÍCALO

Actividad 1.3

1. Con base en las respuestas de la actividad anterior, completen las tablas al nal comparen sus resultados con el resto del grupo. a)

3 3 3 3 3 3 3 3

3 2 1 0 1 2 3 4

6 5 4 3 2 1 0 1

b)

2 2 2 2 2 2 2 2

2 1 0 1 2 3 4 5

4 3 2 1 0 1 2 3

225


Qué observar Es importante que los alumnos comprendan que una fracción es un conjunto de partes iguales que conforman a un entero, el cual ha sido dividido.

Recursos y materiales Para que sus alumnos practiquen con la recta numérica, la Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales, en su sección Números & Operaciones, tiene el artículo Recta numérica –Saltos. http://nlvm.usu. edu/es/nav/frames_ asid_107_g_3_t_1.html

225


12/07/12 15:43


c)

1

2

3

d) 1

3

2

1

1

2

1

2

1

1

0

1

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

2

1

1

1

2

1

3

2

1

2

3

1

4

3

1

3

4

1

5

4

1

4

5

• ¿Por qué unos resultados son positivos otros ne ativos?

PRACTÍCALO

Actividad 1.4

1. Encuentren la suma de las siguientes cantidades.

Qué observar

a) (5) (5) 0

b) ((10) (10) 0

c) ((11) (11) 0

Las Actividades 1.4 y 1.5 están diseñadas para ser resueltas en parejas; así los estudiantes adquirirán la seguridad del significado de la operación y cómo pueden efectuarla.

d) (1) (1) 0

e) ((12) (12) 0

f) (16) (16) 0

g) (4) (4) 0

h) ((20) (20) 0

i) (7) (9)

2

• i sumamos una misma cantidad positiva ne ativa, su suma es Cero __________________________________ • ma inen que en una ca a tenemos la misma cantidad de c as positivas como ne ativas. Por e emplo, si fueran diez de cada tipo, podríamos decir que 10 representa el total de fichas negativas y que Cero 10 representa las fichas positivas; tendríamos entonces (10) y (10) y su suma sería: ___________ • n los e ercicios anteriores aparecen operaciones como esta (3)( , se lee tres más menos cuaComo un producto. tro . ¿C mo describes el si ni cado de la e presi n más menos ? _________________________________ • Cuando estos dos si nos están aparentemente untos, en realidad ¿qué operaci n nalmente debes realizar, una suma o una resta? Una suma pliquen su respuesta. _____________________ • a e presi n 3)( se lee menos tres más menos tres . n este caso, ¿qué operaci n se debe realizar, una suma o una resta? Una suma pliquen su respuesta ¿en qué a ecta el resultado que el primer n mero sea ne ativo en comparaci n con la pre unta del inciso a ? _________________ •

Se suman y se mantiene el mismo signo. pliquen ¿qué ocurre cuando los si nos son i uales? _____________________________________________

•

restan y se mantiene el signo del número mayor. pliquen ¿qué ocurre cuando los si nos son distintos? Se ____________________________________________

• ¿C mo saber si el resultado debe ser positivo o ne ativo? ¿De qué depende? ______________________ Según el número mayor y la cantidad.

Para leer más

Curiosidades, acertijos y más Pídales a los alumnos dos dados; uno rojo y uno negro y que realicen cinco tiradas para cada situación, registrando sus resultados a partir de estas relaciones: R N; R N; N R; en total harán 15 tiradas. Gana el que tiene menos errores. Pueden participar de dos jugadores en adelante.

Sumar una cantidad negativa equivale efectuar una sustracción: ()

226


226


12/07/12 15:43

BLOQUE 5 BLOQUE 5

PRACTÍCALO

Actividad 1.5

1. Observen los ejemplos y contesten las preguntas.

¿Qué resultado obtendríamos si a partir de esa supuesta ca a con suma cero le a re amos o le quitamos c as positivas o ne ativas? a) Si a esa caja cuya suma es cero le introducimos tres fichas positivas, la suma entonces sería: 0 (3) 3 b) Si a esa caja cuya suma es cero le introducimos dos fichas negativas, la suma entonces sería: 2 c) Si a esa caja cuya suma es cero le quitamos cuatro fichas positivas, el resultado sería: 0 (4) 4

d i a esa ca a cu a suma es cero le quitamos dos c as ne ativas, ¿qué si no le corresponde al resultado? 2

Para leer más Restar una cantidad negativa equivale a efectuar una adición: ()

PRACTÍCALO

Actividad 1.6

1. i una persona naci en el año 1 a.n.e. muri en el año 8. • ¿Cuántos años vivi ?

años


58) • ¿Cuál es la e presi n matemática que representa la edad de la persona? 15 ((58) • epresenta esta operaci n en una recta numérica 15

38

0

• ¿ saste una suma o una resta? Suma Explica por qué e suman los 1 años a.n.e más los 8 años d.n.e. • ¿C mo colocaste los si nos en cada n mero? 15 38 2. i un submarino se encuentra a una pro undidad de encuentra con respecto a nivel del mar? 33 m

m lue o asciende 2 m, ¿a qué pro undidad se ¿Qué si no le corresponde al resultado? Negativo

. l unos medicamentos se conservan apro imadamente a 18 C, si para utilizar al unos de ellos requieren C tener una temperatura de 18 C ¿de cuánto es el incremento de temperatura? ¿Qué operaci n realizaste para encontrar el resultado? 18 (18) Compara tus resultados con el resto del rupo con la asesoría de tu pro esor veri ca que estos sean correctos.

PRACTÍCALO

Pida a los alumnos que analicen y argumenten sus procedimientos que emplearon para la resolución de la Actividad 1.6. Si es necesario, pídales que esquematicen cada una de las situaciones que se presentan.

Actividad 1.7

1. Efectúa las operaciones.

a) (15) (5) 10

e) (11) (8) 19

i ) (15) (5) 20

b) (12) (4) 16

f ) (11) (8) 3

j ) (15) (5) 0

c) (12) (4) 16

g) (11) (8) 19

k) (15) (5) 30

d) (11) (8) 3

h) (11) (8) 19

l ) (15) (5) 20

Compara tus resultados con el resto del rupo con la asesor con la asesoría de tu profesor verifíquenlos.

227


Qué observar Al resolver la Actividad 1.7 pida a los alumnos que presenten en el pizarrón sus procedimientos y respuesta. Observe los avances de los estudiantes en el desarrollo de las cuatro competencias señaladas en el programa: Planteamiento y resolución de problemas, Argumentación, Comunicación y Manejo de técnicas.

227


12/07/12 15:43

MATEMÁTICAS 1

Cómo enriquecer la actividad En parejas, pida que resuelvan cada una de las situaciones, que pasen frente al grupo y mencionen las estrategias que emplearon. Refuerce el tema visto con nuevas situaciones, las cuales pueden ser elaboradas por usted o por los alumnos.

Cambiando números Indique a sus alumnos que en cada inciso las sustracciones comienzan con (1).

Reflexión Sobre el respeto El respeto supone que se comprendan y compartan los valores de una persona o de una idea, cuya autoridad o valor actúa sobre nosotros. A través del respeto juzgamos de manera favorable algo o a alguien; por el contrario, a través de la tolerancia intentamos soportar algo o a alguien, con independencia del juicio que le asignamos: podemos odiar aquello que toleramos.


228


12/07/12 15:43



Tema


Contenido 2

Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas

ACUÉRDATE DE... El sistema internacional de unidades establece unidades de medición que suelen utilizarse en diferentes áreas del conocimiento. Por ejemplo: Tera (T) equivale a 1000 000 000 000 y se representa como 1 1012 y se lee uno por diez a la doce; micro () equivale a 0.000 001 y se representa como 1 10-6 y se lee uno por diez a la menos seis. • ¿C mo representarías las si uientes unidades del sistema nternacional? Unidad

Símbolo

Equivalencia

Representación

Se lee

Mega

M

1 000 000

1 106

Uno por diez a la seis.

Hecto

H

1 00

1 102

Uno por diez a la dos.

mili

m

0.001

1 103

Uno por diez a la menos tres.

nano

n

0.000 000 001

1 109

Uno por diez a la menos nueve.

•

plica los pasos que se uiste para representar estas cantidades en notaci n cientí ca con e ponente positivo.

Qué observar El uso de los prefijos y sufijos del Sistema Internacional (S.I.)de Unidades le será muy útil a los alumnos, no solo en matemáticas sino también en otras áreas del conocimiento. Pídales que investiguen la tabla propuesta por el S.I. y en grupo analicen la equivalencia de cada uno de los prefijo y la forma de cómo se representan estas cantidades con notación científica.

Se recorre el punto tantos ceros a la derecha de la cantidad. • usti ca tu respuesta. El número de lugares recorridos será el exponente positivo de la base diez.

•

plica el procedimiento que se uiste para representar estas cantidades en notaci n cientí ca con e ponente negativo. Se recorre el punto tantos ceros a la izquierda de la cantidad.

• usti ca tu respuesta. El número de lugares recorridos será el exponente negativo de la base diez.

Compara tus resultados procedimientos con tus compañeros analicen con su pro esor si los métodos que emplearon fueron los correctos y si existen otros más y en qué consisten.

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 Algunas de estas unidades las has manejado en grados anteriores y otras las has encontrado en te tos de ciencias como iolo ía, ísica Química. Cuando combi Química. Cuando combinas estos prefijos con los símbolos de las siete unidades fundamentales del sistema internacional de medidas, te das una idea de a cuánto equivale.

Prefijo. Morfema derivativo que se antepone a una raíz o base léxica para formar una palabra diferente, la cual se denomina derivada.

PRACTÍCALO

Actividad 2.1

1. nvesti a los pre os del istema nternacional completa la tabla.

Cómo enriquecer la actividad Pida a los alumnos que investiguen las unidades fundamentales del S.I. de Unidades. En el pizarrón usted puede escribir los prefijos que desee y los alumnos combinarán las unidades que investigaron. Que las expresen en notación científica y sobre todo que las lean en voz alta. Que los alumnos escriban en sus cuadernos las unidades que se les hicieron más familiares, así como las que no conocían.

En las siguientes páginas electrónicas se encontrara los prefijos del S.I.de Unidades, así como una las unidades fundamentales y derivadas.

Unidad

Símbolo

Nombre

Expresión en notación científica

giga

metro

Gm

Gigametro

1 10-9

mega

metro

Mm

Megámetro

1 106

kilo

metro

Km

Kilómetro

1 103

hecto

metro

hm

Hectómetro

1 102

deci

metro

dm

Decímetro

1 101

centi

metro

cm

Centímetro

1 102

mili

metro

mm

Milímetro

1 103

micro

metro

µm

Micrómetro

1 103

• De las unidades que se muestran en la tabla, ¿cuáles son las que más conoces? Respuesta abierta • ¿Cuáles no conocías? Respuesta abierta

• ¿Por qué crees que es importante poner la unidad de medici n unto con la cantidad? Respuesta abierta


Prefijo

Compara tus resultados con los de tus compañeros veri ca si son correctos.

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http://edison.upc.edu/ units/SIcas.html http://www.periodni. com/es/sistema_ internacional_de_ unidades.html

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BLOQUE 5 BLOQUE 5

PRACTÍCALO

Actividad 2.2

1. Escriban sobre la línea el símbolo, la equivalencia y la expresión en notación científica que representa a las siguientes cantidades. Apoyense con la tabla de prefijos que completaron.

a b) c) d) e) f) g)

i ase undos 9 nanómetros 3 teragramos 7 microsegundos 10 femtómetros 45 kilómetros 8 attogramos

s 9 nm 3 Tg 7 µs 10 fm 45 Km

000 000 000 000 000 000 s 0.000 000 009 3 000 000 000 000 0.000 007 0.000 000 000 000 010 45 000

8 ag

0.000 000 000 000 000 008 g


109 s 9 109 3 1012 7 106 10 1014 45 103

Permita que los alumnos propongan situaciones semejantes, que las planteen y entre todo el grupo las analicen y las resuelvan.

8 1018 g

• pliquen la estrate ia que emplearon para colocar el n mero la unidad. Recorriendo el punto. • pliquen c mo determinaron las e presiones de las cantidades en notaci n cientí ca. Respuesta abierta Comparen sus resultados con el resto del rupo veri quen con la asesoría del pro esor que e presaron adecuadamente cada cantidad.

Para leer más

Promueva la participación individual y colectiva.

Arquímedes, matemático y filósofo griego, fue el primero en tratar de representar números demasiado grandes. Propuso un sistema de representación numérica con la finalidad de estimar la cantidad de granos de arena que podría existir en el universo. El número estimado por este gran matemático fue de 11063 granos. eonardo orres de Quevedo 1 1 , onrad 1 eor e obert tibitz (1939) propusieron el modelo de representación de números grandes o muy pequeños a través del desplazamiento de la coma o punto decimal.

Para tener en cuenta 1. a notaci n cientí ca es la orma de representar un n mero mu rande o mu pequeño en potencias de 10. Para cantidades que son mu randes se mane a el e ponente positivo. Por e emplo ¿c mo representar en notaci n cientí ca 8 000 000 000?

Qué observar

a) Escribe el primer dígito de la cantidad; posteriormente, el punto decimal.

Es importante que desde el principio los alumnos comprendan la forma de expresar una cantidad muy grande o muy pequeña con notación científica.

4. b) Escribe los dígitos de izquierda a derecha del primero (sólo en caso de que los tenga, en caso contrario continúa con el paso c). 4.78 c) Por último, cuenta el número de posiciones hacia la derecha del punto decimal, la cifra que obtienes es el exponente del 10 (o base 10), la cual acompañará como producto del n mero que anotaste en el primer paso. 4.78 000 000 000 d) Por lo tanto la expresión de esta cantidad en notación científica será: 4.78 1011

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Permita que ellos mismos analicen esta sección y cuestiónelos sobre la forma de colocar el valor del exponente en base 10. Oriéntelos para que razonen sobre cuál es la forma correcta de expresar estas cantidades. Por ejemplo: ¿Cuál es la expresión correcta de 12 000 000? a) 1.2 207 b) 12 106

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Actividad 2.3

1. Representen con notación científica las siguientes cantidades. 15 a) 1 476 000 000 000 000 1.476 x10

Cómo enriquecer la actividad Las Actividades 2.3 y 2.4 están diseñadas para que los alumnos expresen en notación científica estas cantidades; sin embargo, es importante que también las puedan desarrollar. Observe que los ejercicios propuestos los resuelvan de manera satisfactoria; de no ser así pídales que ellos mismos propongan cantidades para que las expresen o las desarrollen. Procure inducirlos a la investigación acerca donde se emplean estas unidades en la vida cotidiana.

Qué observar

6 b) 7 000 000 7 x10 23 c) 904 000 000 000 000 000 000 000 9.04 x10 12 d) 5 893 000 000 000 5.893 x10 18 e) 6 905 000 000 000 000 000 6.905 x10 27 f) 6 217 800 000 000 000 000 000 000 000 6.2178 x10

• ¿Cuál ue el procedimiento que llevaron a cabo para poder resolver la actividad? Recorriendo el punto tantos lugares como se indica en la cantidad. • usti quen su procedimiento. a cantidad de lu ares recorrido a la izquierda es el valor del e ponente y de su signo. Comparen sus procedimientos con el resto del rupo.

PRACTÍCALO

1. Escriban la cantidad que representa cada expresión en notación científica. Observen los ejemplos. a) 5.6 105 m

560 000 m

b) 7. 898 109 s c) 6 106 g

7 898 000 000 s 6 000 000 g

d) 9. 15 103 oK

9 150 °K

e) 5. 6 1018 g

5 600 000 000 000 000 000 g

f) 8.45 10 m

8 450 000 000 000 m

g) 6.009 1021 g

6 009 000 000 000 000 000 000 g

12

• ¿Cuál ue el procedimiento que llevaron a cabo para poder resolver la actividad? Recorriendo el punto tantos lugares a la derecha como lo indique el exponente. • usti quen su procedimiento. El exponente positivo nos indica la cantidad de lugares en que el punto se debe recorrer hacia la derecha. Comparen sus procedimientos con el resto del rupo.

Para tener en cuenta 1. Para la representaci n en orma de notaci n cientí ca para cantidades mu pequeñas se usa el e ponente negativo. Por ejemplo, para representar la cantidad 0. 000 000 092, debes hacer lo siguiente: a) Recorre a la derecha el punto decimal hasta el primer dígito.

Que analicen la manera correcta en que se puede expresar una cantidad muy pequeña con notación científica. Es importante hacerle notar sobre la colocación del punto cuando este se recorre. Analicen sobre la manera correcta de expresar cantidades como la siguiente.

Actividad 2.4

0.000 000 092 b) Después anota los dígitos faltantes distintos de cero (en caso de que se presenten). 9.2 c Cuenta los lugares que recorriste el punto decimal hasta el primer dígito y anótalo al exponente de la potencia junto con el signo negativo. Así, la expresión queda: 9.2 108

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¿Cuál es la forma correcta de expresar 0.000 015? a) 1.5 105 b) 15 106

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BLOQUE 5 BLOQUE 5

PRACTÍCALO

Actividad 2.5

1. Expresen en notación científica las siguientes cantidades que se presentan. 8 a) 0.000 000 023 2.3 x10


3 b) 0.005 5 10 7 c) 0.000 048 4.6 10

Las Actividades 2.5 y 2.6 están diseñadas para que los alumnos expresen en notación científica estas cantidades; sin embargo, es importante que también las puedan desarrollar.

10 d) 0.000 000 000 378 3.78 10 20 e) 0.000 000 000 000 000 000 067 6.7 10 14 f) 0.000 000 000 000 030 3 10 12 g) 0.000 000 000 005 5 10 8 h) 0.000 000 094 9.4 10

• ¿Cuál ue el procedimiento que llevaron a cabo para poder resolver la actividad? Recorriendo el punto tantos lugares a la derecha como lo indica la cantidad. • usti quen su procedimiento. a cantidad de lu res recorridos por el punto a la derec a de la cantidad nos indica el valor del exponente. Comparen sus procedimientos con el resto del rupo.

PRACTÍCALO

Actividad 2.6

1. ¿C mo desarrollarían las si uientes e presiones con notaci n cientí ca? 0.000 005 6 a) 5.6 106 __________________________________________________________________________________________ 0.008 b) 8 103 ____________________________________________________________________________________________ 0.000 000 074 2 c) 7.42 108 ________________________________________________________________________________________ 0.000 000 000 003 48 d) 3.48 1012 _______________________________________________________________________________________ 0.000 045 e) 4.5 105 __________________________________________________________________________________________ 0.000 000 002 68 f ) 2.68 109 _________________________________________________________________________________________

Verifique que los ejercicios propuestos los resuelvan de manera satisfactoria; de no ser así pídales que ellos mismos propongan cantidades para que las expresen o las desarrollen. Procure inducirlos a la investigación acerca donde se emplean estas unidades en la vida cotidiana.

0.001 078 g) 1.078 103 _______________________________________________________________________________________ 0.000 000 000 000 006 h) 6 x 1015 ____________________________________________________________________________________________ •

pliquen, ¿cuál ue el procedimiento que llevaron a cabo para desarrollarlos? Recorriendo el punto a la izquierda tantos lugares como lo indica el exponente. ___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________

Comparen sus resultados con el rupo. Con a uda del pro esor, obten an una conclusi n acerca de esta actividad.

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Para tener en cuenta Para expresar la cantidad de una expresión con notación científica cuyo exponente es negativo, se debe recorrer hacia la izquierda el punto decimal que se encuentra después del dígito los lugares que indica el exponente. Por ejemplo: 2.1 x 106, nos quedaría:

Ejemplifique situaciones donde los alumnos vean la aplicación de la notación científica es de gran importancia porque construirá un conocimiento más significativo. Propóngales nuevas situaciones donde trabajen lo aprendido. O en su caso pídales que investiguen con sus demás profesores donde pueden aplicar esta forma de expresar una cantidad.

0.000 002 1

PRACTÍCALO

Actividad 2.7

1. Resuelvan estas situaciones.

a

art a aura visitan el laboratorio de ciencias para observar células a través de un microscopio, el cual tiene un ocular raduado en micras . Cuando colocaron la muestra de un ra mento de te ido ve etal en el microscopio observaron que las células presentaban una forma rectangular de 12 µm de largo por 8 µm de ancho. Al terminar la observación, la maestra les pidió que calcularan el área de la célula. ¿C mo calcularías el área en m2? Transformando 12 µm y 6 µm a metros y después ambos multiplicándolos.

Menciónelas cuál es la importancia que se tiene sobre realizar estas expresiones de cantidades muy grandes o muy pequeñas.

Como abrán notado, es una cantidad mu pequeña, por esa raz n necesitamos de una herramienta de las matemáticas como la ley de exponentes. 11 2 • ¿Cuál sería el área de la célula utilizando la notaci n cientí ca? 7.2 10 m

Sí • ¿Creen que se acilita el traba o para el producto de cantidades mu randes o mu pequeñas?__________ randes o mu pequeñas es Argumenten su respuesta. Porque realizar operaciones con cantidades mu ____________________________________________________________________________

Qué observar

más tardado, en comparación de realizar las mismas operaciones con notación científica. ______________________________________________________________________________________________________

Pida a los alumnos que en parejas analicen esta sección. Deles el tiempo necesario para que obtengan una conclusión acerca de cómo se lleva a cabo una multiplicación con notación científica.

______________________________________________________________________________________________________

Para leer más El área de un rectángulo se calcula con la fórmula A a x b; es decir, un producto de los valores de a y b. En una multiplicación la ley de exponentes nos dice que: (am)(an) am n Cuando aplicamos esta le en la notaci n cientí ca, la base diez 10 se mantiene, solo se realiza el producto de los valores de a y la suma de los exponentes. Por ejemplo:

Transversalidad Pídales que investiguen con su profesor de ciencias 1 (Biología) las dimensiones que tienen los organelos que constituyen a una célula y que las lleven al salón de clase para que entre todos propongan las dimensiones ahora con notación científica. Hable con el profesor para invitarlo a participar en esta actividad.

(3 x 104) (2 x 105) 6 x 104 5 6 x 109 6 000 000 000

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b a le de ravitaci n universal nos dice Dos cuerpos en el espacio se atraen con una uerza que es direcuerza que es direc tamente proporcional al producto de sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa . Benito y Jorge quieren saber con qué fuerza de gravedad se atraen la Tierra y Marte. Para ello solo les falta calcular el producto de sus masas, que son: 5.97 x 1024 kg para la Tierra y de 6.42 x 1023 kg para Marte. ¿Cuál sería el producto que ambos están buscando? 8.83274 1048 kg2

Fuerza de atracción (F)

Marte

Tierra

• ¿Cuál ue el procedimiento que si uieron para representar los micr metros m a metros? Dividiéndolos entre 1 000 000. • usti quen su respuesta. Cuando se convierte de una unidad menor a una ma or de divide entre la cantidad de lugares que se presentan. • pliquen los pasos que llevaron a cabo para obtener el área en m2. Aplicando la fórmula A bh. • usti quen su respuesta. Si b 1.2 10

5

Cómo enriquecer la actividad Pida a los alumnos que propongan situaciones donde se tenga que realizar una multiplicación con notación científica. Enfatice la ley de los exponentes que se aplican en este contenido. Proponga ejercicios donde se realicen este tipo de operaciones e indíqueles cuál es su importancia.

y h 6 106, entonces ambas las multiplicamos.

Comparen su resultado sus estrate ias con el resto del rupo.

PRACTÍCALO

Actividad 2.8

1. Analicen y resuelvan estos problemas. Si el Banco de México informara acerca de la impresión de las siguientes cantidades de dinero en las denominaciones especí cas 12 800, 000, 000, 000 en billetes de 20 2 00, 000, 000, 000 en billetes de 0 1 , 000, 000 000 000 en billetes de 100 12 000, 000, 000 en billetes de 1 000. Ordena en la siguiente tabla las cantidades de dinero que se imprimirían y exprésalas en notación científica. Cantidad de dinero

Expresión en notación científica

2 1 000 000 000 000

2. 1 1015

2 12 000 000 000 000

2.12 1015

1

1.

000 000 000 000 00

1 200 000 000 0000

Cambiando números Indique a sus alumnos que estas cuatro viñetas le ayudarán a continuar con el inciso a) de la página 234.

1017

1.2 1013

• ¿Qué denominaci n de dinero tendría una ma or impresi n? l billete de 100. • ¿Qué denominaci n de dinero tendría una menor impresi n? l billete de 1 000.


Comparen sus resultados con el resto del rupo para veri car sus resultados.

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Las situaciones vivenciales son de gran importancia. Pida a sus alumnos que, en equipo, analicen la situación, y que el representante de cada equipo pase al frente para que describa la metodología que los llevó a obtener la solución para el llenado de la tabla.

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Actividad 2.9

1. Resuelve los siguientes problemas: a l presupuesto para el pr

imo año que pidi el obierno de é ico es de

billones 0 mil 22 millones.

¿C mo se representa esta cantidad en notaci n cientí ca? 0 22 1012

b) Si la biblioteca José Vasconcelos de la ciudad de México tiene 1 705 millones de libros, y cada uno de estos tiene en promedio 22 pá inas, ¿cuántas pá inas abrá en la biblioteca?

Qué observar

presa tu resultado en notaci n cientí ca.

3 83625 1011 páginas

Una vez que los alumnos dominaron la forma de expresar en notación científica una cantidad, pídales que argumenten sobre cómo realizarían una multiplicación con de una expresión de este tipo con un número que no esté expresado en notación científica.

• Explica la forma en que resolviste el problema. Multiplicando la cantidad de libros que hay en la biblioteca por el número de páginas promedio de cada libro.

• ¿Podría e istir una manera más directa de calcular el n mero de pá inas que contiene la biblioteca?

De ser necesario, explíqueles la manera de cómo se lleva a cabo a través de diversas situaciones que usted o ellos propongan.

A través de operaciones con notación científica. 6 • Justifica tu respuesta. Transformando a notación científica 1 705 millones 1.705 10 y el promedio

de páginas por libro, 225 2.25 102, al final ambas notaciones se multiplican.

Compara tu resultado tus respuestas con tus compañeros de rupo con la asesoría de tu pro esor obtén una

Reflexión

conclusión sobre la manera más directa de resolver el inciso b).

Sobre el fracaso Cada fracaso le enseña al hombre algo que necesitaba aprender. Charles Dickens

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LO QUE APRENDÍ 1. Completa la si uiente tabla. bserva el e emplo. Medida Distancia de la Tierra a Neptuno: 4 308 000 000 km Virus de la gripe: 0.000 000 12 m de diámetro Radio del protón:

Qué observar

Notación científica

Dé el tiempo necesario para que los alumnos desarrollen esta actividad, el objetivo es que expresen lo que han aprendido durante el transcurso de este contenido.

4.308 109 km 1.2 107 m 5 1011 m

0.000 000 000 05 m Tiempo que tarda el Sol en dar una vuelta completa a toda la vía láctea:

2.3 108 años

Revise que no existen dudas, de lo contrario realice un repaso a través de nuevas situaciones donde las dudas se disipen.

230 000 000 años Velocidad de traslación de la Tierra: 107 000 km/hr Masa de Júpiter: 1 900 000 000 000 000 000 000 000 000 kg Masa del electrón en reposo: 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 9 kg

1.07 105 km/hr 1.9 1027 Kg 9 1031 Kg

a) El átomo de nitrógeno tiene 7 protones, si la masa de un protón es de 1.6726 1027 26 total de protones que posee este átomo? 1.17082 10 Kg b

, ¿cuál es la masa

n espacio pequeño de un c ip de computadora tiene una anc ura de 2. 106 m; un largo de (–17) m2 1.3 107 m y una altura de 2.5 104. ¿Cuál será su volumen? 8.32 x 10

Desarrolla tus habilidades Si se tiene que la masa del Sol es de 1.99 1030 kg y la de la Tierra es de 5.97 1024 . ¿Cuántas veces es ma or la masa del ol con respecto a la ierra?

1.98999403 1030 kg

Una estrategia es apoyándose en los alumnos que han comprendido el tema, le serán de gran ayuda para posteriores contenidos.

USA LAS TIC Para que practiques más acerca de la importancia que se tiene en el uso de la notación científica te invitamos a visitar las siguientes páginas electrónicas: www.thatquiz. org/es/ y www.genmagic. org/mates2/nc1c.swf

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Eje temático


Tema


Contenido 3

Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos) y la potencia exponente natural de números naturales y decimales

Qué observar Para extender el significado y uso de las operaciones hasta la raíz cuadrada y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales, aproveche la sección “ACUÉRDATE DE…”, para reforzar los nombres que identifican los elementos que intervienen en las operaciones trabajadas hasta este punto.

ACUÉRDATE DE... En la primaria y en lo que llevan de este ciclo escolar han trabajado con operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. En equipo, comenten qué nombre tiene cada una de las partes que intervienen en las operaciones. Por ejemplo una adici n tiene sumandos al resultado se le llama suma o total. ¿Qué partes tiene la sustracci n? ¿Qué partes tiene la multiplicaci n? ¿ la divisi n? i es posible, escriban en su cuaderno un e emplo de cada operaci n señalen las partes que las orman.

PRACTÍCALO 1. Calcula el producto de las si uientes multiplicaciones. a)

Curiosidades, acertijos y más En Estados Unidos, existe gente muy excéntrica, por ejemplo: ¿sabías que en Nueva York existe una asociación que celebra el día Pi? Pues para tu conocimiento, es el 14 de marzo. ¿Puedes explicar por qué?

4 2 2 9 3 3

d) 11 11 121 e) 0.5 0.5 0.25

b) 5 5 5 25

Cómo enriquecer la actividad Permita que trabajen de manera individual las Actividades 3.1 y 3.2, y que al dar los resultados obtenidos en cada inciso mencionen la razón que los llevó a obtener los resultados correspondientes.

Actividad 3.1

1 1 1 c) 4 4 8

g)

2 2 2 8 3 3 3 27

h) 1 1 1 1 1 1

f) 20 20 20 8 000

i) 2.2 2.2 2.2 10.648

• Una forma de abreviar la escritura de varios factores iguales es utilizando exponente, también llamado índice o potencia. • ¿Qué operaciones realizaste? Una multiplicación. •

plica ¿Cuál ue la estrate ia que utilizaste? Multiplicarlos por sí mismo tantas veces como fue necesario.

atemáticamente de qué otra manera puedes representar cada operaci n. Elevándolos al cuadrado o al cubo. Compara tus resultados con tus demás compañeros analicen unto con su pro esor si e isten otras ormas de representar estas operaciones. •

Para tener en cuenta Exponente. Número que muestra las veces en que una cantidad se va a multiplicar por sí misma.

Exponente

Potenciación: a n a a a ... a b Base

n factores

Potencia

Base: Número que se va a multiplicar (a). ponente ndica el n mero de actores i uales a la base n). Potencia: Producto obtenido de los factores iguales (b).

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Hay otra asociación que celebra el día de las potencias de 10. ¿En qué fecha será esa celebración?

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BLOQUE 5 BLOQUE 5

PRACTÍCALO

Actividad 3.2

1. Expresen con exponentes las siguientes multiplicaciones. a)

1 1 1 2 2 2

1 2

3

b)

( 25 ) c) 6 x 6 x 6 x 6 x 6 (6) 7 7 7 7 7 7 3 3 3 3 3 (7) ( 3 ) f) 9 9 9 9 9 9 7 7 7 7 7 7 9 2 2 2 2 5 5 5 5

4

5

5

d) 3.8 x 3.8 (3.8)2

e)

g) 7 x 7 x 7 (7)3

h) 5.8 x 5.8 x 5.8 (5.8)3

i) 9.9 x 9.9 (9.9)2

• ¿ ecuerdan la rmula para calcular el área del cuadrado? A (lado)2 l2 •

pliquen la manera de como obtuvieron el e ponente para colocarlo en cada cantidad. Observando cuantas veces se presenta la cantidad a multiplicar por si misma.

• usti quen su procedimiento. Cuando una cantidad se presenta dos veces esta se eleva al cuadrado, esta tres veces se eleva al cubo y así sucesivamente. • ¿Qué di erencia observaron en los resultados que obtuvieron al multiplicar las racciones comunes con respecto a las multiplicaciones con decimales? Que en ambos casos se aplica el mismo criterio. Comparen sus resultados con el rupo con la asesoría de su pro esor veri que que están en lo correcto.

PRACTÍCALO

Actividad 3.3

1. Calcula el área de los si uientes cuadrados. lado 2.5 cm lado 2 cm lado 1.5 cm lado 1 cm

a) A 6.25 cm2

b) A 4 cm2

c) A 2.25 cm2

d) A 1 cm2

• ¿Consideras que el área aumenta o disminu e de manera proporcional con respecto a la medida de lado? Si. ¿Por qué? Porque a medida que uno de sus lados disminuye el área tambien se reduce. • ¿C mo e plicas la relaci n entre la medida del lado la super cie del cuadrado? • usti ca tu respuesta. A menor medida de cada lado, menor será el área de la figuray viceversa. Compara tus respuestas con tus compañeros de rupo veri quen con su pro esor que sean correctas.

PRACTÍCALO

Actividad 3.4

1. Completen las e presiones colocando los actores el producto. a) 252 25 25 625 d)

4 9

3

64 4 4 4 729 9 9 9

b) 1.22 1.2 1.2 1.44 e)

3 5

2

9 25

Qué observar

6

c) 132 13 13 169 f) 03 0

El alumno ya tiene conocimiento de la multiplicación de números enteros, decimales y fracciones; cuide que los procesos algorítmicos se realicen de manera correcta. Observe que nombre correctamente los elementos que participen en la operación y que identifique la potenciación como una operación especial que surge de una multiplicación especial.

Cómo enriquecer la actividad Al desarrollar la Actividad 3.3, pida a los alumnos que mencionen la fórmula para calcular el área de un cuadrado y que efectúen la multiplicación correspondiente de sus lados. Esta actividad servirá para que le den sentido a los productos de la Actividad 3.4.

239

Cómo enriquecer la actividad Bitácora pedagógica

Puede incorporar preguntas como: ¿cuántos ceros, después del 1, debo escribir al elevar 10 a la novena potencia? ¿Cómo puedo generalizar esta situación?

239


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MATEMÁTICAS 1

Cómo enriquecer la actividad La Actividad 3.5 está diseñada para contribuir a desarrollar en el alumno la habilidad de reversibilidad del pensamiento: ahora vamos de regreso con la operación de elevar al cuadrado. Propicie la reflexión y que hagan comentarios de la nota que se agregó al final de la página. ¿Cuál sería entonces la operación inversa de la sustracción? ¿Y la inversa de la división?

MATEMÁTICAS 1 g) 0.82 0.8 0.8 0.64 j) 0.23 0.2 0.2 0.2 0.008

42y 93

1 5

1 5

1 5

1 125

k ) 302 30 30 900

i)

5 8

2

25 5 5 64 8 8

l ) 14 1

• ¿Qué observan en los resultados l? f) está al cubo y l) está a la cuarta. Comparen sus respuestas con el resto del rupo veri quen con su pro esor que sus respuestas sean correctas.

PRACTÍCALO

Actividad 3.5

1. Encuentra la base que corresponde a cada una de las siguientes potencias. (10)2 100 la base es 10 porque 10 10 100, entonces: (10)2 100 a) ( 5 )2 25

b) ( 9 )2 81

e) ( 3 )2 9

f) ( 8 )2 64

1 2 ) 1 81 9 1 2 g) ( ) 1 100 10

d) ( 1 )3 1

c) (

h) (10)3 1 000

plica el procedimiento que utilizaste para encontrar el resultado. Un número multiplicado por sí mismo.

• usti ca tu respuesta. Se multiplica un número por sí mismo según lo indique el exponente. • ¿C mo e presarías tu procedimiento en orma matemática? Por ejemplo: 5 x 5 = 25. Compara tus respuestas con otros compañeros veri quen con tu pro esor las e presiones que realizaron.

Para leer más oda operaci n aritmética tiene su correspondiente operaci n inversa. a adición tiene como operación inversa a la sustracción; la multiplicación, a la división, y la potenciación, a la radicación. El cálculo mental que efectuaste en la actividad anterior se conoce como radicaci n. Cada potencia tiene su raíz. as potencias al cuadrado tienen como operación la raíz cuadrada; las potencias al cubo, la raíz cubica y así sucesivamente. o anterior nos pauta para recordar que cualquier n mero puede elevarse a una potencia, por ejemplo: 32 3 x 3 9; ( 1 )4 1 x 1 x 1 x 1 ; 3 3 3 3 3

16 2

No se pretende que maneje el algoritmo, pero puede inducir a los estudiantes a que elaboren tablas de cuadrados y cubos y los enseñe a calcular raíces aproximadas de números no registrados en ellas, como: sí 22 4 y 32 9, de donde:

3

• Justifiquen su respuesta. El valor del exponente indica la cantidad de veces que se va a multiplicar el mismo número. b) está al cuadrado y j) está al cubo. • ¿Cuál es la di erencia entre la potencia obtenida en el inciso b el inciso ?

Qué observar

4

1 5

• ¿De qué orma in u e el e ponente con respecto al numerador denominador en una racci n com n? En el número de veces que se multiplica por si mismo.

•

En este grado se pretende que el alumno aprenda que cada potencia de n grado tiene como inversa una raíz de grado n. Es conveniente que usted observe hasta qué grado es capaz de entender situaciones como: si 24 16, entonces,

h)

(0.5)3 0.5 0.5 0.5 0.625

De manera inversa

93;

4

1 1 81 3 ;

3

0.625 0.5

De estas raíces, las más usual es la raíz cuadrada, que puede simbolizarse n 2 o n , donde n representa cualquier número.

240


Podemos saber que: es un número mayor que 2, pero menor que 3; dándoles libertad a los estudiantes de que se apoyen con una calculadora para certificar sus afirmaciones.

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BLOQUE 5 BLOQUE 5

PRACTÍCALO

Actividad 3.6

1. Completen las raíces cuadradas de los siguientes números y compruébenlas. a) Ï121 11, porque 11 x 11 121

b) Ï81 9, porque 9 9 81

c) Ï49 Ï49 7, porque 7 7 49

d) Ï144 12, porque 12 12 144

e) Ï100 10, porque 10 10 100

f) Ï0.25 0.5, porque 0.5 0.5 0.25

1 1 porque 1 1 1 4 2 2 2 4

h) Ï0.64 0.8, porque 0.8 0.8 0.64

g) i)

Ï

1

2

2

4


j) Ï169 013, porque 13 13 169

Ï 49 2 porque 3 3 9

• ¿Qué relación tienen los resultados que obtuviste con la actividad anterior?

Es la misma, solo que ahora el número a buscar no se eleva al cuadrado.

• Justifiquen su respuesta. Un número que se multiplica por sí mismo es la raíz del número.

En encontrar un número multiplicado por sí mismo nos dé el número que se busca.

• ¿Básicamente en qué consiste el procedimiento para obtener una raíz cuadrada? que • Expliquen por qué. Porque la raíz cuadrada es la potencia 2 de un número.


Comparen sus respuestas con el resto del grupo y con el apoyo del maestro confirmen sus respuestas.


Proponga alguna situación como:

Radicación Raíz

n

Ïb a Índice

Radical

Después de desarrollar en parejas la actividad, pídales que presenten sus resultados y comprueben cada inciso con la finalidad de corroborar us resultados.

Subradical

Radical: Caja, símbolo de la raíz. Índice: Número que indica de qué raíz se trata (n). Subradical: Número al que se extraerá la raíz (b). Raíz: Solución (a) tal que an b.

PRACTÍCALO

Actividad 3.7

Se tiene un sólido geométrico cuyo volumen es una unidad cúbica y el área de cada una de las caras que lo forman es una unidad cuadrada, ¿de qué sólido se trata? Explica el por qué de esas medidas.

1. Auxíliate de una computadora para formar una tabla de cuadrados y sus correspondientes raíces con los primeros 20 números naturales.

n

1

2

3

4

5

6

7

8

2

1

4

9

16

25

36

49

64

n

a) Localiza en tu tabla n2 6, ¿existe un valor de orden n que le corresponda? No b) Sin usar calculadora, ¿qué harías para dar un valor aproximado de n? Explica y calcula. 6 , calculando la raíz cuadrada de 6, que es aproximadamente de 2.44.

241


241


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PRACTÍCALO

Actividad 3.8

1. A partir del área de cada cuadrado, calculen la medida de sus lados.

Qué observar

c) lado 20 mm

a) lado 5 cm 2

Área 400 mm2

Área 25 cm

Esta actividad es otra oportunidad para practicar el cálculo de la raíz cuadrada y retomar tal situación como una operación inversa. b) lado 3.5 u

d) lado 1 cm

Área 12.25 u2

Área 1 cm2

• Expliquen la forma en como calcularon la medida de los lados. Calculando la raíz cuadrada de cada área. • Justifiquen su respuesta. La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar uno de los lados al cuadrado. • ¿Qué operaciones realizaron? Buscando un numero que multiplicado por si mismo de la medida del área. Comparen con los demás compañeros sus estrategias y resultados.

Para leer más Método del algoritmo Para calcular la raíz cuadrada de un número por el método del algoritmo, sigue los siguientes pasos: por ejemplo, 59 049. Ï5•90•49 49 2 4 Paso 1 4 4 4 Ï1• El numero 5 9049 se agrupa en cifras de dos, empezando por la derecha que es donde se encuen1 tra el punto decimal.

Qué observar Dé el tiempo necesario para que de manera individual analicen la manera de encontrar una raíz cuadrada por el algoritmo tradicional. Permita que manifiesten sus dudas.

Curiosidades, acertijos y más Proponga situaciones que ayuden a los alumnos a reflexionar sobre las áreas de cuadrados, como:

Paso 2 Encuentra la raíz cuadrada del primer número de la izquierda, en este caso 5, cuya raíz más próxima es 2, y ponlo en la parte de arriba a la derecha. Su cuadrado es 4 y se ubica debajo del 5, al restar ambos nos queda 1. Duplicamos la raíz encontrada.

Ï5•90•49 49 2 4 3 4 4 4 4 Ï1•9 9 0 4 8 3 1 7 6 1449 1 4 4 9 0000

242


Se tiene un cuadrado cuya área mide 64 cm. Si cada uno de sus lados se divide a la mitad, ¿cuál será el área del nuevo cuadrado? Explica.

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BLOQUE 5 BLOQUE 5 Paso 3 Baja el siguiente par de números (90) y separa por un punto decimal el último número de la derecha. Divide el 19 entre 4 y te da como entero el 4, coloca éste a la derecha del 4 (doble de la primera raíz) y multiplica 44 por 4 por ser la segunda raíz. El resultado se lo restas a 190. Paso 4 Baja el siguiente par de números (49) y vuelve a separar con un punto decimal el último número. Duplica la raíz (428) y colócala en la parte inferior. Divide 144 entre 48 y obtendrás 3, este valor colócalo a la derecha de 24 y de 48. Ahora multiplica 483 esto es igual a 1449 y se lo restas a 1449.

Ï5•90•49 49 2 4 3 4 4 4 4 Ï1•9•0•4•9 • 1 7 6 Ï5•1•4

Ï5•90•49 49 2 4 3 4•9•0•4 4 4 Ï1•9 0•4 4 8 3 1 7 6 Ï5•1•4•4 9 3 Ï 1 4 4 9 Ï5•0•0•0•0

Paso 5 Por tanto, la raíz cuadrada de 59 049 es 243. Es decir: Ï59 049 243

PRACTÍCALO

Actividad 3.9

1. Calculen las raíces por el medio del algoritmo tradicional. a) Ï196 14

b) Ï841 29

c) Ï784

28

d) Ï1 225 35

e) Ï2 116

46

Cómo enriquecer la actividad Permita que los alumnos calculen la raíz cuadrada por el algoritmo tradicional.

f ) Ï50 176 224

• ¿De qué manera se puede simplificar el procedimiento para calcular las raíces mediante del algoritmo tradicional? Haciendo mentalmente las multiplicaciones y sustracciones parciales. • Justifiquen Justifiquen su respuesta. El algoritmo de la raíz no se altera si únicamente se registran las diferencias parciales. • ¿Afecta el resultado si en la agrupación de cifras de las cantidades propuestas queda solo un número? Si es a la izquierda no, pero si es a la derecha se debe completar la pareja.

• Justifiquen Justifiquen su respuesta. Ya que los productos parciales son por parejas, no es posible colocar un solo dígito. Comparen sus resultados de las raíces con el resto del grupo y revisen con su profesor la forma en la que se puede simplificar el procedimiento para calcular las raíces mediante el algoritmo tradicional.

243

Verifique que lo realicen de forma adecuada. Intervenga cuando presenten alguna duda en su realización. Que las parejas que terminen primero la actividad asesoren a las demás, esto le permitirá abarcar mayor cantidad de dudas y, sobre todo, corregirlas.


243


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Para leer más

Qué observar Otro de los métodos que permiten el cálculo de la raíz cuadra de un número es el método babilónico. Dé el tiempo necesario para su análisis, y cuestiónelos acerca de cada uno de los pasos que se llevan a cabo. Permita el uso de la calculadora para comprobar los resultados que se dan en esta sección.

A lo largo de la historia de las matemáticas han implementado varios métodos para obtener la raíz cuadrada, aunque cabe señalar que estos métodos no eran muy precisos y únicamente se aproximaban al valor real de la raíz. Entre estos se encuentra: Método babilónico Consistía en “cuadrar" un rectángulo para obtener la raíz. Por ejemplo: “Calcular la raíz de 40 por el método babilónico".

Paso 1

Busca dos números que al multiplicarlos den 40 y construye el primer rectángulo de área igual a 40 unidades cuadradas.

8 5 40 u2 40 u2

Primer rectángulo 5u

Altura 5 u

8u

Paso 2

Calcula la base y la altura de un nuevo rectángulo con los datos del anterior. 85 Base 2 13 6.5 u 2 Altura 40 6.153 u 6.5

Paso 3 Base

6.5 6.153 2 12.653 6.5 u 2

Altura 40 6.153 u 6.3265 Calcula la base y la altura, pero ahora con los datos del segundo rectángulo.

Paso 4

Base

6.3265 6.3226 2 12.6491 6.5 u 2

40 Altura 6.153 u 6.32455 Calcula la base y la altura utilizando los datos del tercer rectángulo.

6.5 6.153 40 u2 40 u2

Base 8 u

6.153 u

Segundo rectángulo Base 6.5 u Altura 6.153 u

6.5 u

6.3265 6.3226 40 u2 40 u2

6.3226 u

Tercer rectángulo Base 6.3265 u Altura 6.3226 u

6.3265 u

6.3245 6.3245 40 u2 40 u2 6.3245 u

Por lo tanto tenemos un cuadrado.

6.3245 u A b h A(6.3245) (6.3245) Donde el área es aproximadamente 40 u2.

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BLOQUE 5 BLOQUE 5

PRACTÍCALO

Actividad 3.10

1. Realicen en su cuaderno las raíces por el método babilónico. a) Ï32 = 5.6

b) Ï Ï45 45 = 6.7

c) Ï24 Ï24 = 4.8

d) Ï60 Ï60 = 7.7

e) Ï90 Ï90 = 9.4

f) Ï81 Ï81 = 9

• ¿ os resultados de estas raíces son e actos por este método? No • usti quen su repuesta. Porque por cada ciclo solo se obtiene un dígito de un resultado aproximado. Comparen sus resultados y verifiquen quienes se acercaron más al resultado esperado. Ante el grupo expliquen paso por paso el cálculo de estas raíces.

PRACTÍCALO

Actividad 3.11

1. Resuelve la situación en tu cuaderno. a) Don Arturo tiene un terreno cuadrado de 120 m2. Quiere conocer cuánto mide cada uno de sus lados. Por medio del método babilónico ayúdale a encontrar lo que busca. • Comprueba con tu calculadora el resultado del problema. Raíz cuadrada de 120 = 10.95 •

plica si el resultado que obtuviste por este método es e acto

• ¿Cuál crees que sea la causa de que no se e acta? Porque se obtiene un número irracional. • ¿Cuál es el mar en de error entre ambos resultados? Entre la aproximación y el resultado con la calculadora.

Cómo enriquecer la actividad Por medio del uso de la calculadora permita que los alumnos verifiquen sus resultados. Oriente para que saquen las conclusiones acerca de la aplicación de este método para el cálculo de la raíz cuadrada. Llévelos a concluir por qué este método no es muy utilizado, hasta que cantidad este manejable y hasta cuando no lo es. Verifique sus resultados y si es necesario, proponga nuevos ejercicios.

Compara tu resultado con tus compañeros y verifiquen con su profesor sus argumentos.

Qué observar

Para leer más Método geométrico Para calcular la raíz de un número por este método te auxiliarás de tu juego de geometría. Por ejemplo: "Calcula la raíz cuadrada de 32". Paso 1

Busca dos números que al multiplicarse te den 32. 8 4 32

Paso 2

Traza los dos segmentos de 8 y 4 respectivamente; trata de que sean continuos, es decir, uno tras otro.

Paso 3

Calcula el punto medio del segmento total.

Paso 4

Traza con el compás un semicírculo.

Aparte del método del algoritmo tradicional y del método babilónico, existe el método geométrico, que al igual que los dos anteriores permite calcular la raíz cuadra de una cantidad determinada. Dé el tiempo necesario para su análisis, y cuestiónelos acerca de cada uno de los pasos que se llevan a cabo. Permita el uso de la calculadora para comprobar los resultados que se dan en esta sección.

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Cambiando números Pida a sus alumnos que en su cuaderno reodenen las imágenes de los pasos 4 y 6, de tal manera que la imagen correcta del Paso 4 sea la que aparece en el Paso 6; y para este paso, la que aparece en el número 4.

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Paso 5

Levanta una perpendicular en el punto donde se une al punto B, con un punto del semicírculo.

Paso 6

Mide con la regla el segmento perpendicular (BD). Esta es la raíz aproximada de 32, es decir 5.7 cm.

PRACTÍCALO

Actividad 3.12

1. Obténgan la raíz cuadra de las siguientes cantidades por el método geométrico. Realicen las operaciones en su cuaderno.

Cómo enriquecer la actividad Por medio del uso de la calculadora permita que los alumnos verifiquen sus resultados. Observe que hacen el manejo apropiado del juego geométrico para la realización de esta actividad. Si es necesario, usted mismo realice en el pizarrón un ejercicio semejante para que a los alumnos les quede más claro este método. Proponga situaciones sencillas donde los alumnos puedan aplicar las soluciones a partir de este método. Comente si este método es 100% confiable para obtener la raíz cuadrada.

a) Ï18 4.242

b) Ï36 6

c) Ï40 Ï40 6.3245

d) Ï16 4

e) Ï21 4.5825

f) Ï48 Ï48 6.9282

• ¿ os resultados de estas raíces son e actos por este método? No • usti quen su respuesta. La medida con una regla es solo aproximada. Comparen sus resultados y verifiquen quiénes se acercaron más al resultado esperado. Ante el grupo expliquen paso por paso el cálculo de estas raíces.

PRACTÍCALO

Actividad 3.13

1. Resuelvan las cuestiones. a) Juan debe fabricar una caja de madera de 3.5 m2. Por el método geométrico ayúdale a conocer las dimensiones de los lados que debe tener la caja. 1.8 m b) Dos albañiles quieren construir la base de una cisterna con forma cuadrada, cuya superficie abarque 6 m2. ¿Cuánto debe medir cada uno de sus lados para obtener el área que buscan? Aplica el método geométrico. 2.4 m

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BLOQUE 5 BLOQUE 5 • Comprueba con tu calculadora el resultado del problema. 1.8708 m y 2.4494 m. • Explica si el resultado es exacto por este método. No, solamente es una aproximación. • ¿Cuál crees que sea la causa de que no sea exacta? Respuesta abierta • ¿Cuál es margen de error entre ambos resultados? 0.0708 y 0.04949. • Justifica por qué. Es la diferencia entre el resultado aproximado y el exacto. Compara tu resultado con tus compañeros y verifiquen con su profesor sus argumentos.

LO QUE APRENDÍ 1. Resuelve estas situaciones utilizando el método del algoritmo de la raíz cuadrada. a)Un artista moderno pintó el siguiente cuadro, el cuadrado mayor tiene 144 cm2 de superficie.


• ¿Cuánto mide el lado y el área de los cuadrados más pequeños si se sabe que el lado del cuadrado amarillo es el doble que el del cuadro rojo y la mitad del cuadro azul? 2

2

36 cm y 9 cm . • Explica la estrategia que utilizaste para resolver esta situación. Se calcula la raíz del cuadrado azul, (12 cm) la mitad es 6 cm (lado del cuadrado rojo), y como el lado del cuadrado amarillo es la mitad entonces es 3 cm.

144cm2

• Justifica tu respuesta. Si se conoce la medida de cada lado es posible encontrar su superficie. • Anota las operaciones que llevaste a cabo. 12

6

144 12; 2 6; 2 3, entonces 62 36 y 32 9

• ¿Cómo es el área del cuadrado azul con respecto al área del cuadrado amarillo? Es 16 veces mayor. ¿Y con respecto al cuadrado rojo? Es 4 veces mayor. Compara tus resultados con tus compañeros de grupo y verifica con tu profesor y con ayuda de una calculadora los resultados. Si existen diferencias, analicen las razones.

Desarrolla tus habilidades Usa los métodos geométrico y babilónico para verificar la Ï2.

USA LAS TIC

1. ¿Cuál es el resultado por el método babilónico? Respuesta abierta 2. ¿Y cuál por el método geométrico? Respuesta abierta 3. ¿Cuál de los dos métodos es más exacto? Respuesta abierta 4. ¿Cuál de los dos métodos es más fácil de realizar? Explica. Respuesta abierta

Si quieres practicar más con la raíz cuadrada, visita la siguiente página electrónica: www.gobiernodecanarias. org/educacion/17/WebC eltanque/todo_mate/raiz_ pp/raizc_e_p.html

La sección “LO QUE APRENDÍ” está diseñada para que los alumnos, de manera individual, calculen la raíz cuadrada por el algoritmo tradicional. Permita que verifiquen sus repuestas con la calculadora, así encontrará los errores que durante el proceso lleguen a presentar. Al terminar pídales que propongan nuevas situaciones para que las realicen en el cuaderno. Verifique que las dudas queden resueltas, si es necesario vuelva a repasar los pasos de este método.

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Tema


Contenido 4

Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética.

ACUÉRDATE DE... Observa la siguiente sucesión de números y responde lo que se pide.

Cómo enriquecer la actividad Propicie la participación de todos y asegúrese de que identifiquen plenamente los elementos de la sucesión, el lugar que ocupa cada uno y la diferencia constante entre un elemento y el sucesivo. Aproveche para que al dar repuesta a cada inciso desarrollen la competencia de argumentación.

1, 3, 5, 7, 9… • ¿Cuáles son los dos n meros que si uen en esta secuencia? 11 y 13. plica el procedimiento que realizaste para obtener estos n meros. Se suma 2 para cada nuevo término.

•

• ¿C mo calcularías el décimo término? Sumando 2 hasta llegar al décimo término. • scribe la e presi n al ebraica que representa a esta sucesi n. Y 2x 1 • usti ca tu respuesta. Cada natural se multiplica por dos y se resta uno. Compara tus resultados y procedimientos con el resto del grupo y verifiquen con su profesor que sean correctos.

PRACTÍCALO

Actividad 4.1

1. Observa y responde. Luisa estuvo enferma y no pudo asistir a clases, su mamá fue a la escuela a justificar su falta y avisar a los profesores; cuando habló con el maestro de Matemáticas, este le dijo: “No se preocupe señora, el tema de hoy lo vimos por medio de la proyección de una presentación; si gusta se la mando por correo a Luisa y si no entiende algo yo se lo aclaro después". Observa las diapositivas de la presentación y responde las preguntas que vienen a continuación.

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BLOQUE 5 BLOQUE 5 2. Obs Observa erva la tercera diapositiva, en ella se muestran las operaciones que realizó el profesor para obtener los términos de la sucesión del ejemplo.

Cómo enriquecer la actividad Después de responder los incisos, propicie que analicen la sucesión, de acuerdo con el ejemplo que se proporciona. Formule preguntas como: ¿cuál es el primer elemento de la sucesión? ¿Cuál es la diferencia entre cada elemento? ¿Cómo quedaría la expresión algebraica para saber el enésimo valor de la sucesión?

2, 5, 8, 11,14,17…

3. Forma equipo con un compañero y entre ambos resuelvan las sucesiones. a) En la sucesión 1, 6, 11, 16, 21, 26,…n el primer término es 5

nos es 36

1

, la diferencia entre térmi31

, por lo que los dos términos siguientes son . La suma de los primeros 4 términos es

34

y

.

b) El primer término de una sucesión es 3 y la diferencia es 4, escribe los primeros 7 términos de la sucesión. 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 c) El primer término de una sucesión es 2, el tercero es 22 y el quinto es 42, por lo que la sucesión del primer término al quinto queda 2, 12, 22, 32, 42 ya que la diferencia entre ellos es d) ¿Cuáles son los dos primeros términos de la siguiente sucesión?

4

10 ,

9

. ,

14, 19, 24, 29

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249


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Cómo enriquecer la actividad Dé el tiempo necesario para que analicen el ejemplo mostrado. Pida a un alumno que lea en voz alta y entre todo el grupo respondan las preguntas que se plantean. Si es necesario, aproveche para cuestionarlos cerca de la obtención de una expresión algebraica para esta sucesión. Permita que los alumnos manifiesten sus dudas, si es que se presentan para este ejemplo. 4. Para entender con claridad el origen de la fórmula, observen la cuarta diapositiva y respondan.

Recursos y materiales En el portal kalipedia. com, en su sección de Matemáticas y algebra, encontrará interesantes artículos sobre este tema. Busque la sección de progresiones y sucesiones numéricas. http://www.kalipedia. com/matematicasalgebra/

a) ¿Consideran que para a, es correcto escribir la multiplicación por cero o sería preferible no escribirla y anotar directamente el 2? Justifiquen su respuesta. Se debe escribir por procedimiento, sin embargo con la práctica se puede hacer mentalmente. b) En a, la diferencia se multiplica por uno. ¿Consideran que se debe escribir así o debería simplemente sumarse el primer término más la diferencia? Justifiquen su respuesta. Al igual que el cero se debe escribir por procedimiento, esto evitará confusiones. c) ¿Consideran que a partir de a en adelante hay alguna manera más sencilla de obtener los números de la sucesión? Justifiquen su respuesta. Si, por medio de una expresión algebraica. d) Expliquen por qué en la fórmula se coloca la expresión (n1). Porque nos indica el último término de la sucesión.

250


250


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BLOQUE 5 BLOQUE 5 5. Diseñen 3 sucesiones aritméticas obteniendo los primeros 7 términos de cada una. a) Sucesión 1 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20


b) Sucesión 2 6, 15, 24, 33, 42, 51, 60 c) Sucesión 3 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46

Al finalizar la actividad, pregunte por el décimo término correspondiente a cada sucesión; o bien, establezca nuevas condiciones para otras sucesiones y encuentren un término determinado.

6. Realicen y comprueben sus operaciones. a) ¿Cuál es la suma de los primeros 4 términos de tu sucesión 1? 25 b) ¿Cuál es la suma de los 7 términos de tu sucesión 2? 231 c) ¿Cuál es la suma de los primeros 10 términos de tu sucesión 3? 355 d) ¿Cómo obtuviste la respuesta del inciso anterior? Encontrando los términos faltantes de la sucesión.

PRACTÍCALO

Actividad 4.2


1. Observa y responde. a) El profesor incluyó una diapositiva que habla de “términos equidistantes".

• Para ti, ¿qué si ni ca la palabra equidistante? Respuesta abierta b) Observa la diapositiva e intenta realizar esta misma prueba en las tres sucesiones que acabas de construir.

Mohammeid ibn-Musa Al-Jwarizmi (780-846), matemático árabe, trabajó en la biblioteca del califa Al-Mamun en Bagdad. De su nombre deriva la palabra algoritmo. Es el autor del trabajo Al-jabr wa´l muqäbala, del cual procede la palabra álgebra. Introdujo en Occidente el sistema hindú de numeración decimal, que explicó con todo detalle en su obra Aritmética.

251


251


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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 c) ¿Es verdad que la suma de términos equidistantes es la misma? Justifica tu respuesta. Si, porque la suma del primer término con el último y el segundo con penúltimo y asi sucesivamente dan el mismo resultado. d) Escribe los resultados de tus tres sucesiones

22

,

66

y

50

e) ¿Cómo identificaste que los términos que sumaste son equidistantes? Al sumar el valor del primer término con el último y el segundo término con el penúltimo. f) Si tuvieras que sumar los primeros 100 términos de una sucesión, ¿cómo lo resolverías? Respuesta abierta

Cómo enriquecer la actividad Pida a sus alumnos que analicen el ejemplo para encontrar la suma de los términos de una sucesión. Cuestiónelos sobre la forma más práctica de obtener esta suma, o si existe otra manera más sencilla de llevar a cabo esta operación.

g) El profesor plantea una pregunta similar en esta diapositiva.

• esponde las pre untas de la diapositiva se

n tu criterio.

Respuesta abierta

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BLOQUE 5 BLOQUE 5

PRACTÍCALO

Actividad 4.3

Seguramente ya notaron que obtener la suma de una gran cantidad de términos de una sucesión no es difícil por fortuna podemos utilizar una vez más el álgebra para resolver este problema. Observen la diapositiva.

Qué observar

Al observar esta diapositiva, Luisa intentó aplicar la fórmula a las secuencias que ella tenía, pero le resultó un poco confuso, así que observó la que el profesor puso como ejemplo. Analicen con cuidado el procedimiento que utilizó y resuelve la actividad.

Durante el análisis, motive a los alumnos para que lean en lenguaje común la fórmula: “La suma de n términos es igual a la semisuma del primer término más el último término, y esto multiplicado por el número de términos”, o bien: “Para obtener la suma de n términos se debe sumar el primer término más el último, el resultado dividirlo entre dos y esto se multiplica por el número de términos”. Enfatice la importancia de hacer esto en la interpretación de la secuencia de operaciones. Aconseje realizar este procedimiento con todas las fórmulas.


253


En el ejemplo, pídales que analicen cuál es la importancia de identificar los datos con su equivalente en la fórmula y en qué ayuda al momento de realizar la sustitución, procure que los alumnos se den cuenta de que esto evita en gran medida cometer errores.

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 1. Respondan las preguntas.

Cómo enriquecer la actividad Analice, junto con los alumnos, el uso de la fórmula y la manera de realizar las operaciones para encontrar el resultados de la suma de los términos de una sucesión. Proponga ejercicios para que el alumno practique o, en su caso, pídales que ellos mismos establezcan sus propias sucesiones.

a) ¿Es posible aplicar directamente la fórmula a cualquier sucesión, independientemente del número de términos que se tengan? Justifiquen su respuesta. Sí, porque en una sucesión se presenta el primer término y el termino del que se quiere conocer la suma; aunque el último término no se encuentre en la sucesión.

b) Describan brevemente todo el procedimiento para encontrar la suma de los términos de una sucesión. Respuesta abierta

c) En el ejemplo mostrado Sn significa “la suma total de los términos", a1 significa que “es el primer término". Expliquen con tus palabras qué significa an 14 y n 5. an es el valor del término y n es total de término que tiene la sucesión.

d) En las operaciones la secuencia inició con la suma 2 14 16, luego se dividió entre 2. Concluye con la descripción y explica si esta es la forma más sencilla, o se puede realizar con mayor facilidad. El resultado se multiplica por 5, y de esta forma obtenemos la suma de los primeros cinco términos de la sucesión.

LO QUE APRENDÍ 1. Para cada problema explica el planteamiento que realizaste, escribe las operaciones que llevaste a cabo e indica la expresión algebraica para estas situaciones.

Cómo enriquecer la actividad Proponga situaciones donde los alumnos apliquen lo que han aprendido durante el transcurso de este contenido. La actividad está diseñada para que de manera individual encuentre la solución a cada situación. Verifique junto con el grupo que las respuestas sean las correctas.

a) El profesor Adrián Tapia organizó una campaña de reciclaje con sus alumnos. Les pidió que juntaran las botellas de plástico que usaran en su casa y cada semana las llevaran a un contenedor que colocó en el patio de la escuela. Ricardo llevó 4 botellas la primera semana, pero de ahí en adelante cada semana ha llevado 5. Desarrolla la progresión que muestra la recolección de Ricardo para las primeras 8 semanas y calcula el número de botellas que llevará en la semana 40 (al final del ciclo escolar). a) 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39. b) 199 botellas

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Pida a los estudiantes que justifiquen los procedimientos que llevaron a cabo para encontrar el resultado.

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BLOQUE 5 BLOQUE 5 2. Jessica estudia primero de secundaria. Su papá le dijo que a partir de este año le iba a dar dinero mensualmensual mente para sus gastos (una mesada), por lo que debía aprender a istrar su dinero. Ella le prometió que iba a distribuir el dinero para el mes y lo que le sobrara lo iba a ahorrar. Ahora lleva ya 10 días ahorrando, siempre le han sobrado 4 pesos y ha acumulado 45, pero no recuerda cuánto ahorró el primer día. Ayuda a Jessica encontrando la cantidad. $9

Fomente el análisis de situaciones semejantes.

3. Roberto participa en un concurso de historietas en el cual debe hacer un álbum de estampas. En la actualidad lleva 25; en la primera página solo puso 3 y ha utilizado 12 páginas. ¿Cuántas estampas ha colocado por página a partir de la segunda? Dos estampas.

4. En un centro de entretenimiento familiar ofrecen una tarjeta para acumular puntos. Regalan los tres primeros y cada vez que se usa un juego se acumula un punto. Erick quiere unos audífonos que valen 25 puntos y hoy los juntó; tardó 12 días porque solo juega un poco después de terminar sus tareas. ¿Cuántos puntos acumuló cada día?

Dos puntos.

Desarrolla tus habilidades ¿Cuántas campanadas sonarán durante un día si un reloj indica la hora con el número de campanadas que da? 300 campanadas

En grupo, pida a un alumno que explique las estrategias que siguió para la resolución y que justifique su procedimiento. Verifique que los resultados sean los correctos, en caso de que existan errores, ayúdeles a corregirlos y, de ser necesario, propongan entre todos nuevas situaciones, las que expondrán y desarrollaran en sus cuaderno.

USA LAS TIC Conoce más acerca de las progresiones visitando la página: http://thales. cica.es/rd/Recursos/ rd99/ed99010101/ ed99010101.html, encontrarás fórmulas, ejemplos y ejercicios interesantes, en distintos niveles de dificultad.

255



Recursos y materiales En el portal de la junta de Andalucía, en su sección de matemáticas, sucesiones y series, encontrará problemas muy interesantes para resolver. http://www. juntadeandalucia. es/averroes/centrostic/29010870/archivos/ repositorio//html/491/ sucesiones/index.html

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Cómo enriquecer la actividad Mediante la sección “ACUÉRDATE DE…”, aproveche para que los estudiantes comenten la diferencia que hay entre un círculo y una circunferencia. Dado que ahora se busca que resuelvan problemas que implican el cálculo del área y del perímetro de un círculo, si algún alumno recuerda la fórmula aprovéchela y pídales que expliquen qué elementos relaciona la fórmula; si no recuerdan la fórmula, mencióneles que al desarrollar este apartado la encontrarán.

Eje temático


Tema

Medida

Contenido 5

Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas.

ACUÉRDATE RDATE DE... Comenten la diferencia que se presenta entre una circunferencia y un círculo, cómo se calcula el perímetro de la circunferencia y el área del círculo. Anoten ambas fórmulas en los siguientes esquemas e indiquen cuál es una circunferencia y cuál un círculo: Fórmula Radio

Radio

A r2

P D

Diámetro

Círculo

Circunferencia

• Expliquen el procedimiento que llevaron a cabo para encontrar el perímetro si solo tienen como dato El radio se duplica y se multiplica el radio y cómo encontrar el perímetro si solo se tiene el dato del diámetro. por pi; solo se multiplica por pi. • Justifiquen su respuesta. Porque el diámetro cabe 3.14 veces en el perímetro.

Dividiendo entre pi, y el otro

• ¿Cómo calcularían el diámetro o el radio si únicamente tienen el perímetro? se divide entre 2.

• ¿Cómo supieron cuál era la circunferencia y cuál el círculo? El círculo es una superficie y la circunferencia es una longitud. Comparen sus respuestas con los demás compañeros de grupo y verifiquen su definición de circunferencia y círculo con su profesor.

PRACTÍCALO

Actividad 5.1

1. Calcula la longitud de las circunferencias con las siguientes medidas. Compara tus resultados con los de tus compañeros. a) Diámetro 12 cm Circunferencia 37.68 cm

Cómo enriquecer la actividad La Actividad 5.1 retoma los conocimientos del apartado anterior y sirven como recordatorio de cómo se resuelven este tipo de problemas. Permita que resuelvan estos incisos de manera individual y comparen sus resultados con los de sus compañeros para que adquieran seguridad en sus procedimientos.

Fórmula

b) Radio 10 cm Circunferencia 62.8 cm

c) Radio 30 mm Circunferencia 188.4 mm d) Diámetro 20 u Circunferencia 68.8 u

PRACTÍCALO

Actividad 5.2

1. Resuelvan los problemas sobre perímetros que se presentan. a) Si tenemos que la rueda de un camión de la basura tiene un diámetro de 85 cm, ¿qué distancia recorre el camión si la llanta da 120 vueltas? 32 028 cm

256


256


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BLOQUE 5 BLOQUE 5 b) LLupita upita y Gaby fueron a la feria. Lupita se subió a un caballo que se encuentra a 2.8 m del centro de la plapla taforma que gira y Gaby se montó en un pato que está a 2.8 m del centro. Calcula el camino recorrido por cada una si la plataforma dio 50 vueltas. 879.2 m c) El radio de las ruedas de la bicicleta de Toño es de 40 cm, y el diámetro de las ruedas de la bicicleta de Juan mide 78 cm cada una. ¿Qué distancia recorrerá cada uno si las llantas de ambas bicicletas dan 200 vueltas? Toño: 50 240 m Juan: 48 984 m

Cambiando números Pida a sus alumnos que consideren que el pato sobre el cual Gaby se montó, se encuentra a 3.2 m del centro, que el propósito es que calculen la distancia recorrida por cada una de las niñas.

Realicen un esquema para cada uno de ellos, expliquen claramente el planteamiento que hicieron, así como las operaciones que efectuaron. Comparen sus resultados con el resto del grupo.

PRACTÍCALO

Actividad 5.3

1. Calcula el área de los círculos cuyos datos se dan a continuación y después resuelve los problemas. Realicen un esquema para cada uno de ellos, expliquen claramente el planteamiento que realizaron, así como las operaciones que efectuaron. Comparen sus resultados con el resto del grupo.

a) Radio 3 cm

c) Radio 5 mm

Área del círculo 28.26 cm

Área del círculo 78.5 mm2

2

b) Radio 6 cm

d) Radio 8 cm 2

Área del círculo 113.04 cm

Área del círculo 200.96 cm2

a) Un granjero desea hacer un corral para guardar sus animales. El terreno del cual dispone se presta para construirlo de las formas que se ilustran. Analiza las figuras y las medidas, considerando que cuenta con 60 m de malla de alambre para bordearlas, hay que saber cuál de ellas ocupa una mayor superficie y por lo mismo, puede albergar a una cantidad mayor de animales o bien, cuál de ellas ofrece la posibilidad de aprovechar más la superficie de acuerdo con la forma. Todas las formas tienen un perímetro de 60 m. El corral de forma circular ofrece más posibilidades. De 20 m en cada lado y altura aproximada de 17.3 m El lado menor de 10 m y el mayor de 20 m

200 m2

225 m2 De perímetro aproximado a 60 m

283.3 m2

• naliza las posibilidades de cada corral de acuerdo con los criterios señalados con anterioridad.

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Pida a los alumnos que justifiquen las operaciones que realizaron y la secuencia que utilizaron para cada situación presente en los incisos a), b) y c). Destaque que el planteamiento es la base para conocer la secuencia de operaciones e inculque el hábito entre los estudiantes de comprobar sus resultados.


Con lados de 15 m 173 m2


Pídales que resuelvan de manera individual la Actividad 5.3 y presenten sus procedimientos y resultados en el pizarrón; aproveche estas actividades para que desarrollen la competencia de comunicación.

Qué observar Es importante que los alumnos comprendan que una fracción es un conjunto de partes iguales que conforman a un entero, el cual ha sido dividido.

257


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• Propón Propón otra forma que puede tener el corral y fundamenta tu elección. Respuesta abierta b) Si el radio en una circunferencia se aumenta, ¿cómo aumenta el perímetro correspondiente? ¿Es posible afirmar que la relación entre el radio y el perímetro correspondiente es proporcional? ¿Por qué? Si aumenta, si es proporcional, porque la medida del radio determina el perímetro en base a pi. c) Si el radio en una circunferencia se aumenta, ¿cómo aumenta el área correspondiente? ¿Cómo se puede caracterizar el aumento del área del círculo? ¿Es posible afirmar que la relación entre el radio y el área correspondiente es proporcional? ¿Por qué? Aumenta con base al cuadrado del radio; al multiplicar el cuadrado del radio por pi; no es proporcional, porque la proporción no se base en la longitud del radio si no del cuadrado de este.

d) La Tierra está a una distancia del Sol de 155 millones de km, aproximadamente. La trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es casi circular. • ¿Qué distancia recorremos "en órbita" alrededor del Sol cada año? 75 438. 5 millones de km 3.14

• Para realizar los cálculos, ¿qué valor es conveniente usar para ? ¿Por qué? Porque es un número irracional. • ¿Cuál sería una buena aproximación de la velocidad de la Tierra en su órbita? 8 611.7 km/hr

PRACTÍCALO

Actividad 5.4

1. A partir de los datos que se ofrecen, calculen el área sombreada de las siguientes figuras (la escala de las figuras es 1:2). Expliquen el procedimiento que utilizaron para resolver cada ejercicio y comparen sus resultados. Con la asesoría de su profesor concluyan acerca de la forma en que se obtiene el área de figuras combinadas o superpuestas.

Qué observar Previo a la resolución de la Actividad 5.4, es recomendable que dé un tiempo a los alumnos para que analicen cada figura y expliquen qué es lo que se espera obtener en cada caso.

a) Lado del cuadrado: 6 cm Diámetro del círculo: 3 cm

b)

Base del triángulo: 5 cm Altura del triángulo: 6 cm Diámetro del círculo: 2 cm

Paralelepípedo rectangular

6 cm

Área = 115.74 cm2

Área = 47.44 cm2

10 cm 2 cm

258


258


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BLOQUE 5 BLOQUE 5 c) Cuadrados: lado = 1 cm

d) Área = 64 cm2

Permita por medio de un debate que las parejas expliquen los procedimientos utilizados para resolver y que los justifiquen.

Triángulo: base = 2 cm Altura = 1 cm Rectángulo: base = 2.5 cm Altura = 0.6 cm


4 cm

Círculo: radio = 3 cm 4 cm

Cómo enriquecer la actividad De manera individual, verifique que los alumnos aprendieron a realizar los cálculos entre el perímetro y el área, además de que sepan distinguir entre círculo y circunferencia.

Área = 95.04 cm2

LO QUE APRENDÍ 1. Resuelve los problemas sobre área que se presentan. a) El papá de Jesús tiene un automóvil compacto, él desea conocer el área que ocupa únicamente el hule de la llanta, por lo que decide realizar las mediciones que se muestran en la figura con el flexómetro. ¿Cuál es el área únicamente de la llanta? 1 412.9 cm2

b) La mamá de Jesús desea forrar con tela una mesa redonda que tiene un diámetro de 1.2 m. ¿Cuánta tela debe colocar sobre la mesa? 1 .13 m2

259


Verifique los resultados son verídicos; para reforzar aún más este contenido, proponga situaciones de su vida cotidiana y que los resuelvan en su cuaderno justificando sus procedimientos y comprobación de resultados.

Cambiando números Proporcione a sus alumnos las medidas del diámetro mayor (55 cm) y menor (35 cm) de la llanta para que puedan resolver la situación que se plantea. Asimismo solicíteles que tracen en la figura, las medidas.

Transversalidad Pídales que investiguen con su profesor de la materia de Español la forma de cómo llevar a cabo un debate. Organice al grupo para que de una manera respetuosa debatan acerca de la resolución de la Actividad 5.4.

Cambiando números Pida a sus alumnos que localicen y tracen sobre la imagen de la mesa, el diámetro de la misma, no olvidando anotar su medida (1.20 m).

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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 c) La plaza de San Gabriel tiene una forma circular en la cual colocarán 6 farolas cuyo diámetro de la base de cada una es de 0.90 m, un kiosco circular de 15 m de diámetro y en el resto del terreno colocarán cés césped. Si el diámetro de la plaza es de 120 m, ¿cuánto césped colocarán? 11 123.5 m2

Plaza 120 m

Farolas

15 m Kiosco

0.90 m

Desarrolla tus habilidades Resuelve la siguiente situación.

Cómo enriquecer la actividad Para resolver esta actividad pida a los alumnos que expliquen el procedimiento que llevaron a cabo y que verifiquen sus resultados con el resto de sus compañeros. Si se presentaran diferencias, promueva la argumentación y la exposición de ideas. Esto permitirá la retroalimentación entre los integrantes del grupo.

La figura nos muestra un eclipse parcial de Sol, tal y como se observa en un telescopio. Si la diferencia entre los diámetros es de 10 cm y el radio de la imagen de la Luna es de 4 cm, ¿qué área de la imagen del Sol no se cubrió?

USA LAS TIC

2

204.1 cm

En la página www. aaamatematicas.com/ geo612x4.htm podrás practicar en línea el cálculo de la circunferencia del círculo; visítala.

260


260


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BLOQUE 5 BLOQUE 5


Eje temático


Tema


Contenido 6

Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple

ACUÉRDATE DE... 1. En la primaria aprendiste a calcular el volumen de un paralelepípedo rectangular. Con ayuda de un compañero, respondan: ¿cómo se calcula el volumen de esta figura? Multiplicando sus dimensiones. ¿Cómo se expresa su fórmula? V = abc El volumen de la figura mostrada es 120 cm3

.

Dibuje en el pizarrón la siguiente figura para que alumno la analice y de esta forma pueda contestar las preguntas que se le plantean en la sección “ACUÉRDATE DE…”.

• Explica: ¿qué significa que después del resultado se coloque la expresión "cm3"?

6 cm

Que son unidades de volumen. 2. Ahora recuerden cómo se calcula el valor que falta en una proporción directa. Un ejemplo de primaria: si con 8 cajas de galletas se puede regalar una bolsita con galletas a 20 niños, ¿cuántas cajas se necesitarán para repartir bolsitas de galletas a 30 niños? Doce cajas ¿Cómo se expresa la operación para (30)(8) 240 encontrar la respuesta? x 20 20 12 ¿Por qué es una proporción "directa"?

10 cm

2 cm

Porque ambos valores aumentan o disminuyen de manera proporcional.

Para leer más Cuando se deben comparar más de dos proporciones relacionadas entre sí, se le llama “PROPORCIONALIDAD MÚLTIPLE".

PRACTÍCALO

Actividad 6.1

Qué observar

En parejas, calculen el volumen de los paralelepípedos mostrados y respondan las preguntas.

Figura A

2c

m

m

3c

V = 24 cm3

4 cm

4 cm

Figura Principal

4c

m

m

3c

V = 48 cm3

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Esta actividad requiere de buena observación y un razonamiento claro, recuerde que al desarrollar la imaginación espacial en figuras bidimensionales es muy importante la reflexión. El propósito que se busca es que se relacione el incremento de cualquiera de los lados con el aumento proporcional del volumen.

Bitácora pedagógica Cómo enriquecer la actividad Pida a los alumnos que describan las imágenes y justifiquen qué provoca que cambie la longitud de cada lado y por qué ocurre esto.

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Figura C

8 cm

4 cm

Figura B

m

6c

2c

m

V = 48 cm3 3

V = 48 cm

2c

m

• ¿Cuál es el volumen de la •

3 ura principal? 24 cm

m

3c

¿Cuál es el volumen de las figuras A, B y C? 48 cm

3

pliquen, ¿por qué ocurre esto? Porque el producto de multiplicar las dimensiones en las tres figuras es igual.

• ¿Qué pueden observar al comparar la • ¿ curre lo mismo con las

ura principal con la

uras C? Si

ura ? El volumen y un lado es la mitad de A.

Expliquen por qué lo consideran así

Porque en las tres figuras siempre el volumen es el doble de la figura principal al igual que la longitud de uno de sus tres lados.

Qué observar Este problema se presta muy bien para desarrollarlo por dos procedimientos, verifique que se aplica el algoritmo para encontrar el valor faltante, pero también utilice la técnica para encontrar primero el valor unitario, de esta manera los alumnos compararán ambos procedimientos, analizarán las ventajas de cada uno y al mismo tiempo comprobarán el resultado.

• ¿Qué conclusi n pueden obtener para indicar la relaci n que tiene la

ura principal con las otras tres?

Respuesta abierta

Para tener en cuenta Para encontrar la solución al problema es común que se puedan utilizar distintas formas, métodos o procedimientos. En cualquier caso, siempre es preferible tratar de utilizar el más sencillo y cómodo posible.

PRACTÍCALO

Actividad 6.2

Continúa trabajando con tu compañero y juntos intenten resolver el siguiente problema por sus propios medios. Es importante que “antes de preguntar" lo intenten ustedes solos. a) Tatiana es mamá de Mayumi, Casandra y Carlitos. Para llevar a sus hijos a la escuela gasta en pasajes $20 a la semana; es decir “20 pesos para 4 personas durante 5 días" (lunes a viernes). Su hermana Ángela tiene 2 hijos, Gustavo y Beatriz, y le pidió a su hermana que por 8 días le ayudara llevando también a sus hijos a la escuela. • ¿Cuánto astará a ora atiana si debe pa ar el pasa e de personas por 8 días? $48

Recursos y materiales En la página Educar, el artículo “Un problema de ofertas”, proporciona algunas sugerencias para trabajar este contenido. Utilice el buscador de la página para localizar el artículo.

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http://www.edu.ar/ educar/site/educar/ index.html

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BLOQUE 5 BLOQUE 5 •

pliquen la estrate ia que utilizaron para resolver el problema Se calcula el valor del pasaje por persona por cada día, luego se multiplica por el número de personas (6) y por el número de días (8).

• ¿Cuánto cuesta el pasa e por persona? $1

¿Cómo obtuvieron esta cantidad?

Dividiendo 20 pesos entre 5 días y el resultado entre 4 personas. • ¿C mo pueden comprobar que sus resultados son correctos? Haciendo la operación de forma inversa, un peso por 6 personas por 8 días.

PRACTÍCALO

Actividad 6.3

Sergio tiene un terreno en el pueblo de San Gabriel. Quiere construir una barda perimetral, pero no tiene dinero para hacerla toda al mismo tiempo, así que contrató a 4 albañiles para que construyeran los primeros 100 m2 para lo cual tardaron 15 días; posteriormente contrató a 11 albañiles por un periodo de 20 días, ¿cuán2 tos metros cuadrados lograron construir durante este periodo? 366.6 m Para encontrar la respuesta, es necesario que antes respondan estas preguntas y realicen lo que se indica. •

pliquen con sus propias palabras, ¿de qué trata el problema? Respuesta abierta 2

• ¿Cuáles son los datos que brinda el problema? El número de albañiles, la cantidad de m

construidos y los días trabajados.

2

• ¿Qué pre unta deben responder? La cantidad de m que construyen de barda 11 albañiles en 20 días.

Observen la siguiente tabla y analicen cómo están acomodados los datos del problema:

Numero de albañiles

Días trabajados

Metros cuadrados construidos

Primera etapa

4

15

100

Segunda etapa

11

20

x

• Comparen la columna que tiene la inc nita con cada una de las otras. Coloquen sobre las líneas la palabra “más o menos” para completar el ejercicio.

Qué observar En esta sección es muy importante analizar con detenimiento la comparación entre las condiciones dadas, enfatice qué ocurre cuando ambas cantidades aumentan o disminuyen en relación con el signo de referencia, así como qué ocurre cuando una cantidad aumenta y la otra disminuye. Analice varios ejemplos con la intención de que los alumnos obtengan seguridad al momento de tomar estas decisiones.

Al comparar la columna del total de metros construidos con la columna de días trabajados respondan: • Si teniendo 15 días de trabajo se construyeron 100 m2, al tener más días de trabajo, ¿se deben construir Más m2 Expliquen por qué. Porque entre más días más m2 construidos. más o menos metros cuadrados?_________

263


263


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MATEMÁTICAS 1 MATEMÁTICAS 1 más días de trabajo _________ más • Conclusión: Entonces a_________ cantidad de metros cuadrados construidos. •

Qué observar

l comparar la misma columna con el n mero de albañiles respondan

• i albañiles constru eron 100 m2, entonces 11 albañiles ¿deberán construir más o menos metros 2 más cuadrados? __________ Expliquen por qué. Si se incrementa al número de albañiles también se incrementan los m .

Durante el planteamiento del algoritmo verifique que el alumno sea capaz de colocar los signos de referencia correctos, así como expresar las operaciones de manera adecuada en términos de la incógnita.

• Conclusi n entonces a

más

albañiles

más

metros cuadrados construidos

• Describe ¿cuáles son las circunstancias que se pueden presentar al comparar dos cantidades? Que cuando una cantidad aumenta la otra también o bien que cuando una aumenta la otra disminuya.

•

Motive a sus alumnos para que comprueben el resultado encontrando el valor unitario. Cuestione cuál sería este y por qué consideran que lo es.

•

ora re resemos a la tabla. Como verán, la inc nita se encuentra en la la de la se unda etapa, por lo tanto deberán basarse en estos valores para indicar la relación con la primera etapa. bserven respondan

• n la primera conclusi n ¿tus respuestas ueron i uales o distintas? Iguales i ueron i uales “más, más o menos, menos” al número 20 se le puede colocar un () (únicamente como referencia no como signo). • n la se unda conclusi n, ¿C mo ueron tus respuestas, i uales o distintas? Iguales el signo que debemos colocar como referencia al número 11 es ()

Entonces .

• Para concluir, escribe el si no contrario como re erencia a los n meros de la primera etapa. l si no del número de la columna que contiene la incógnita siempre es un ().

Numero de albañiles

Días trabajados

Metros cuadrados construidos

Primera etapa

(-) 4

(-) 15

(+) 100

Segunda etapa

(+) 11

(+) 20

x

Ya están listos para realizar las operaciones necesarias. Para encontrar el valor de la incógnita, lo único que tienen que hacer es concentrar el producto de todos los números a los que les colocamos como referencia el signo () y el resultado deben dividirlo entre el producto de todos los números que tienen como referencia el signo (), es decir: x=

Curiosidades, acertijos y más Un distribuidor de juguetes había comprado para revender 36 muñecas iguales. Sabía que cada una le había costado menos de $100, pero al revisar la factura observó que solo venían las dos cifras centrales del total: $*49*. Obtén el precio de cada muñeca sabiendo que el precio es un número entero.

(11)(20)(100) 22000 = = 366.6 m2 (4)(15) 60

Conclusión: 11 albañiles pueden construir en 20 días una barda de 366.6 m2

264


264


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BLOQUE 5 BLOQUE 5

PRACTÍCALO

Actividad 6.4

Resuelvan el siguiente problema. El ingeniero Oscar Luna está dirigiendo la pavimentación de una nueva calle. Para el inicio de la obra contrató solamente a 10 obreros para pavimentar un tramo de 25 metros que demoró 5 días en ser terminado. ¿Cuántos obreros necesitará para pavimentar los 600 metros que le hacen falta? Considerando que solo tiene un periodo de 30 días para entregar la obra. Coloquen los datos en la tabla. Número de obreros

Total de m construidos

Total de días de trabajo

Para el inicio de la obra

10

25 m

5

Para concluir la obra

x

600

30

Ahora respondan lo que se pide. • ¿ n qué columna se encuentra la inc lumna con las otras dos. •

nita? En la primera

. Comparemos entonces esta co co-

Qué observar Dé un tiempo razonable para resolver esta cuestión. Observe que traduzcan la información a una serie de razones iguales y que apliquen adecuadamente la propiedad fundamental para encontrar el valor faltante. Si lo considera pertinente, permítales usar la calculadora.

pliquen, ¿qué relaci n tiene la columna del n mero de obreros en comparaci n con la columna del total de metros construidos? Diez obreros construyen 25 m.

• scriban su conclusi n. A más albañiles más cantidad de metros construidos. • ¿Qué si no se debe colocar como re erencia? () •

pliquen ¿qué relaci n tiene la columna del n mero de obreros en comparaci n con la columna del total de días de trabajo? Diez obreros construyen en cinco días 25 m.

• scriban su conclusi n. A más tiempo mayor cantidad de metros construidos. • ¿Qué si no se debe colocar como re erencia? () • ntonces la operaci n que se debe realizar es

El resultado es

40

lo que indica la cantidad de obreros necesarios para concluir la obra.

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PRACTÍCALO

Actividad 6.5

Explora otras opciones.

Cómo enriquecer la actividad Resuelva en el pizarrón, una a una, cada situación. El alumno participante debe ser claro en su exposición, explicar sus procedimientos y justificar sus resultados con argumentos congruentes con la teoría de las proporciones. Además, debe tener la disposición para responder las preguntas y aclarar las dudas de sus demás compañeros. Otro alumno hará lo propio con el segundo ejercicio y así sucesivamente.

1. Utiliza el razonamiento para encontrar la solución al siguiente problema. En una estancia infantil hay un grupo con 12 niños que solo asiste de lunes a jueves. En los 4 días durante el desayuno consumen 6 paquetes de pan. Si 4 niños estarán de campamento por 10 días, ¿cuántos paquetes de pan se consumirán durante ese periodo? Diez paquetes. Responde las preguntas: • Cuando están los 12 niños, ¿cuánto pan se consume por día? 1.5 paquetes respuesta?

¿Cómo encontraste la

Dividiendo la cantidad de paquetes de pan entre 4 días. • ¿Qué cantidad diaria de pan consume cada niño? 0.125 paquetes ¿Qué operación tuviste que realizar? Explica por qué. Una división, 1.5 paquetes diarios entre 12 niños. • ¿Qué cantidad de pan consumirán 8 niños durante un día? 1 paquete, ¿cómo encontraste la respuesta? Explica tu procedimiento. Multiplicando en valor unitario por 8.

• Por lo tanto, durante 10 días la cantidad de pan que se consume es de

10

bolsas.

• Describe con tus propias palabras el procedimiento que acabas de realizar. Respuesta abierta • ¿Consideras que es posible resolver este problema de otra manera? cedimiento.

Si.

De ser así, explica el pro pro-

También se puede resolver por el método anterior, el algoritmo para calcular un valor desconocido por la regla de tres compuesta.

• Comprueba tu resultado resolviendo este mismo problema con el método que aprendiste anteriormente. 2. Ahora resuelve y comprueba este problema en el siguiente espacio: Vicente y Sergio han decidido invertir su capital en una empresa. Sergio invirtió $12,500 durante 6 meses y su ganancia es de $3,800. ¿Qué cantidad invirtió Vicente si durante 8 meses ha ganado $7,200?

$31 578.9

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BLOQUE 5 BLOQUE 5

PRACTÍCALO

Actividad 6.6

Ahora forma un equipo de tres integrantes y juntos analicen, planteen, resuelvan y comprueben los siguientes problemas en sus cuadernos. a) Una cisterna se llena en 6 días dejando abiertas 4 llaves que arrojan 40 litros por hora, durante 12 horas diarias. ¿Cuántos días se necesitarán para llenar la misma cisterna si se dejan abiertas, durante 10 horas diarias, 8 llaves que dan 36 litros por hora? Cuatro días b) Un ciclista participa en un maratón; si se desplaza a 16 km por hora y recorre varias etapas de la ruta em em1 pleando 12 días a razón de 9 5 hrs por día, ¿cuál debe ser la velocidad a la que tendrá que desplazarse si quiere utilizar sólo 8 días pedaleando 12 horas diarias? 18.4 km/hr

c) Si 48 obreros pueden finalizar un distribuidor vial en 92 días trabajando turnos de 14 horas diarias. ¿En cuántos días terminarán la obra si se aumenta en un 75% el número de obreros trabajando turnos de 16 horas diarias? 46 días Expliquen claramente el planteamiento que realizaron, así como las operaciones que efectuaron para encontrar los resultados. Bajo la supervisión de su profesor realicen una exposición ante el grupo de uno de estos problemas.

Para tener en cuenta En cualquier procedimiento matemático es muy importante la comprobación de los resultados; es un hábito que debes practicar siempre, te ayudará a tener seguridad en ti mismo, a entregar resultados correctos y trabajos con calidad.

Qué observar Al resolver esta actividad es conveniente que los ejercicios se realicen uno a uno, con el propósito de que usted verifique el grado de comprensión de este contenido. Dé un tiempo razonable para resolverlos. Observe que traduzcan la información a una serie de razones iguales y que apliquen de forma adecuada la propiedad fundamental para encontrar el valor faltante.

LO QUE APRENDÍ En las grutas de Xoxafi de Actopan, Hidalgo, los profesores Adrián, Marina y Óscar están a cargo de un equipo de exploración cada uno. Adrián tiene 8 alumnos y juntos pueden explorar a detalle 60 metros de una gruta en 10 días. Si el equipo de Marina tiene 18 alumnos, ¿cuántos metros podrán explorar en el mismo tiempo? 135 metros El equipo de Óscar tiene 7 alumnos y pueden explorar 105 metros de una gruta en 20 días; si el equipo de la maestra Marina explorara la misma gruta, ¿cuántos metros lograría explorar? 135 metros Explica la forma de cómo planteaste el problema para encontrar el resultado. La cantidad de m explorados es la misma porque se manejan el mismo número de alumnos y con un tiempo de 10 días, si el tiempo fuera igual al del maestro Oscar la cantidad de m explorados variaría.

Compara tus resultados y tus procedimientos con el resto del grupo. Con la asesoría de tu profesor obtén una conclusión acerca de esta actividad.

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Cómo enriquecer la actividad Recuerde que la sección “Evaluación” pretende hacer que los alumnos se autoevalúen, esto es, que aprendan a reconocer qué es lo que ya saben hacer, qué están aprendiendo y en qué contenidos necesitan hacer un mayor esfuerzo.

1. En un supermercado guardan las verduras para su conservación en un refrigerador que se encuentra a 3°C, y la carne la guardan en otro que se encuentra a -20°C. Cuando se va a vender, la carne se pasa al refrigerador de las verduras para que se descongele. 1. ¿Cuánto aumenta la temperatura de la carne al hacer el cambio? a) -17°C

b) -23°C

c) 23°C

(c) d) 17°C

2. En una casa de azulejos venden mosaicos cuadrados. 1. Si uno de ellos mide 1764 cm2, ¿cuánto mide cada uno de sus lados? a) 45 cm

b) 48 cm

c) 43 cm

(d) d) 42 cm

3. La edad del Sol es de aproximadamente 5x109 años. Sin embargo, hay cuerpos celestes que pueden tener seis veces esa edad. Calcula la edad de estos cuerpos. 1. ¿Cuál es la edad de estos cuerpos celestes? a) 3 x 1010 años

b) 3 x 109 años

(a) c) 3 x107 años

d) 3 x 1011 años

4. El área de Estados Unidos de Norte América es 9,666 861 kilómetros cuadrados, si redondeamos esta cantidad a 10 000 000 de km2: 1. ¿Cómo se representa esta cantidad en notación científica? a) 10 x 107 km2


b) 1 x 109 km2

c) 1 x107 km2

(c) d) 0.1 x 1011 km2

5. Si un avión vuela 610 kilómetros en una hora veinte minutos: (a)

1. ¿Cuánto volará en dos horas 10 minutos?

Permita a los alumnos que comparen sus resultados con la actividad de evaluación y en equipo expliquen donde estuvo el error.

a) 1 753. 75 km

b) 1 758.5 km

c) 1 758.7 km

d) 1723.2 km

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Cambiando números


Pida a sus alumnos que sustituyan las opciones a y b, por 991.25 km y 1025.34 km, respectivamente, de tal manera que si responden la opción a como correcta, habrán acertado a la respuesta.

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BLOQUE 5 BLOQUE 5

Evaluación 6. Lupita es una estudiante de primero de secundaria. El profesor de Matemáticas les aplicó un examen bimestral de 15 preguntas, ella tuvo 13 aciertos y se tardó 40 minutos en terminar. El profesor dijo que el examen departamental era semejante al que les aplicó. Las preguntas de este examen fueron 35 y Lupita tuvo 28 aciertos, ¿en cuánto tiempo terminó el examen? 1. Si el examen departamental es de 35 preguntas, ¿cuántos minutos tardó Lupita en terminar el examen? (c) a) 220 min

b) 180 min

c) 201 min

d) 335 min

7. Don Samuel le pidió a un carpintero que le fabricara dos mesas circulares de madera. Una la colocaría en el comedor y la otra como mesa de centro en la sala. Don Samuel quiere que la del comedor tenga 1.2 m de diámetro y la de la sala de 0.70 m de diámetro. 1. ¿Qué área tendrá la mesa del comedor? a) 0.113 m2

b) 11.3 m2

(d) c) 113 m2

d) 1.13 m2

2. ¿Cuál será el perímetro de la mesa del comedor? a) 3.67 m2

b) 376 m2

(d) c) 37.6 m2

d) 3.76 m2

3. ¿Qué área tendrá la mesa de la sala? a) 0.38 m2

b) 1.8 m2

(a) c) 3.8m2

b) 2.5 m2

c) 2.8 m2

Motive a los alumnos para que resuelvan esta evaluación de forma honesta, procure que comprendan la importancia de esto y la utilidad que puede tener para mejorar su nivel actual de conocimientos. Procure que tomen la evaluación como algo habitual, bueno y sano; es decir, como parte del proceso de aprendizaje de las matemáticas.

d) 38 m2

4. ¿Cuál será la medida del perímetro de la mesa que va en la sala? a) 2.1m2


(a)

Cómo enriquecer la actividad Permita a los alumnos que comparen las diferencias entre las unidades de perímetro y área.

d) 21.3m2

Cambiando números

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Recuerde a sus alumnos que el perímetro de cualquier figura, no se expresa en metros cuadrados (m2).


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MATEMÁTICAS MATEM MAT EMÁTICAS EM ÁTICAS 1

Bibliografía PARA EL ALUMNO Alberro, A., Bulajich R., Gómez, J., Rechmtman, A. (2005). Un reto diario…. México. Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Baldor Aurelio. (1974). Aritmética. Guatemala. Cultural centroamericana. Bressan, P., Ana de y Bressan Oscar. (2008). Probabilidad y estadística: como trabajar con niños y jóvenes. Buenos Aires. Novedades educativas. Cruz Sánchez Toribio. (1999). Algebra con aritmética: un enfoque moderno. México. EDIMAF. Flores Arredondo Gabriel. (1989). Nuevos juegos mentales: fascinantes problemas lógicos y matemáticos para ejercitar su inteligencia al máximo. México. Sayrols. García, M. A., y Delgado, A. (2002). Invitación a las matemáticas 2: actividades de exploración, juegos y ejercicios. México. Prentice Hall. García, M. A., y Delgado, A. (2002). Invitación a las matemáticas 3: actividades de exploración, juegos y ejercicios. México. Prentice Hall. Noguez, S., Cosme, A., Lozano, P. (2001). Activación del pensamiento 1: actividades para el desarrollo de habilidades cognitivas. México. Santillana. Noguez, S., Cosme, A., Lozano, P. (2001). Activación del pensamiento 2: actividades para el desarrollo de habilidades cognitivas. México. Santillana. Noguez, S., Cosme, A., Lozano, P. (2001). Activación del pensamiento 3: actividades para el desarrollo de habilidades cognitivas. México. Santillana. Ramírez, M., Molina, Mónica., Ramírez, A., Orozco M. (2006). Sugerencias didácticas para el desarrollo de competencias en secundaria. México. Trillas.

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MATEMÁTICAS 1

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COVER_ARRIAGA_MATE1_POR COMPETENCIAS_15893_TEb_VUELTA.pdf

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Aprender Matemáticas, no solo genera que el alumno adquiera habilidades para sistematizar operaciones, sino que además, permite que desarrolle capacidades para plantear procedimientos encaminados a la resolución de problemas, sin la necesidad de ajustarse a modelos preescritos. El método de trabajo que se plantea en este libro, a través de las entender el contenido teórico de las Matemáticas, ayudándolo a concretar los aprendizajes esperados y al desarrollo de las competencias de la asignatura, tales como: pensar y razonar, argumentar, comunicar, elaborar modelos, plantear y resolver problemas, representar, utilizar lenguaje y operaciones simbólicas, formales y técnicas, y utilizar ayudas y herramientas, entre otras. Los contenidos de Matemáticas 1, por competencias, fueron desarrollados pensando también en los jóvenes que viven hermanados con la tecnología y que día a día requieren y hacen uso de conocimientos ágiles y precisos que desarrollen sus competencias al máximo.

Guia De Matematicas 1c6t1s

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