Guia Resuelta De Algebra 35384y

PREGUNTAS DE MATEMÁTICAS (para uso de docentes)

MÓDULO III “ALGEBRA”

Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica

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Propiedad de INACAP. Se prohíbe su reproducción total o parcial sin la autorización previa y por escrito de INACAP

I.- INTRODUCCIÓN Como primer paso para el aprendizaje de las matemáticas, es importante darse cuenta de que las matemáticas es más fácil estudiarlas en pequeñas dosis. Si bien esta afirmación es válida en casi cualquier tema, lo es aún más para el caso de las matemáticas. Dos horas de estudio al día es mucho más productivo que 10 horas en un solo día de la semana. Aunque es posible leer dos novelas en un fin de semana para un curso de literatura, es casi imposible ponerse al día en los estudios de dos semanas de matemáticas en un solo fin de semana. El estudio de las matemáticas es acumulativo y la construcción de conceptos se apoya en aquellos previamente adquiridos. También se necesita "tiempo de decantación", es decir, la oportunidad de reflexionar sobre los conceptos y las ideas antes de que otros se presenten. En segundo lugar, se debe tener presente que las matemáticas no son una disciplina para observar, sino una del tipo “hágalo usted mismo” en la cual el estudiante debe asumir un rol activo. Por esta razón los alumnos deben resolver personalmente los problemas que se le presenten, reconociendo que no existe un camino corto hacia el éxito. Para ello, se le deben presentar frecuentemente ejercicios resueltos, por resolver y evaluaciones formativas con el mismo tipo de problemas, cuidando siempre que éstos problemas se ajusten a los aprendizajes y criterios establecidos en el programa de la asignatura. Es importante que, después de haber trabajado un problema, los alumnos lo analicen. Que se enfoquen en los procesos utilizados (no en la respuesta) y que se hagan las siguientes preguntas: ¿Qué conceptos, fórmulas, y reglas apliqué? ¿Qué métodos usé? ¿Qué aprendizajes esperados estoy logrando?. Es importante que en su estudio el alumno explique cada uno de los pasos usando sus propias palabras. De esta manera reforzará la comprensión del problema y le ayudará en el estudio posterior.

II.- PREGUNTAS DE MATEMÁTICAS Este documento contiene preguntas elaboradas por la Dirección de Evaluación de INACAP, con el objetivo de apoyar a los docentes en la elaboración de las evaluaciones. Todas las preguntas están ajustadas a los criterios de evaluación y a través de ellos a los aprendizajes esperados del módulo III “Algebra” de los programas de matemáticas con código MATBxx de INACAP. En el documento aparecen planteadas las preguntas con 4 alternativas de solución, y de inmediato se muestra su resolución y la alternativa correcta. Si bien las preguntas están planteadas en formato de selección múltiple, la mayoría de ellas son preguntas de aplicación que pueden ser también planteadas como preguntas de desarrollo, en la medida que sigan estando ajustadas a criterio. Para los alumnos, se ha creado otro documento con preguntas de este mismo módulo, todas ellas similares a las aquí presentadas, y en todos los casos ajustadas a criterio. Dicho documento se encuentra publicado en el Centro de Documentación de la asignatura.


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Módulo 3. Álgebra.

Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.

Criterio de Evaluación 3.1.1 Calcula el valor numérico de expresiones algebraicas utilizando las reglas operatorias de los números reales.

1. El valor de la expresión 2x 2 − y + 3z, si : x = 2 ; y = 0,5; z =

2 es : 3

A) 55 B)

55 10

C)

10 55

D) – 5,5 Resolución 2x 2 − y + 3z = 2 2 − 0,5 + 3 ⋅

2 = 4 − 0,5 + 2 = 5,5 3

ALTERNATIVA B




4 3 π ⋅ r 3 el volumen de una esfera. Si el radio es r = u , entonces el 3 2 valor de V es:

2. Sea V =

A)

Dibujo

9 π ⋅ u3 2

B) 4,5 u3 C)

4 π ⋅ u3 3

D)

3 π ⋅ u3 4

r

Resolución 3

V=

4 ⎡3 ⎤ 9 π ⎢ u⎥ = π ⋅ u3 3 ⎣2 ⎦ 2

ALTERNATIVA A


3





2 3. Sean: a = −2, b = 3 y c = . Luego, el valor de la expresión: 5

A)

5 3ab − a2c 2 es : 5bc

2 5

B) −

11 3

C) −

8 3

D) −

4 5

Resolución

5 2 ⋅ ( −2)2 ⋅ 2 5 2 5⋅3⋅ 5 −18 − 4 = 6 22 11 =− =− 6 3 3 ⋅ ( −2) ⋅ 3 −

ALTERNATIVA B


4





1 y c = − 1. 2 (3a2 − 4ab) − (2ac − bc 2 ) es :

4.

Sean:

A) −

a = 3, b = −

Luego,

el

valor

de

la

expresión:

3 2

B)

55 2

C)

77 2

D)

29 2

Resolución 1 ⎡ 1⎤ (3 ⋅ 32 − 4 ⋅ 3 ⋅ − ) − (2 ⋅ 3 ⋅ −1 − ⎢ − ⎥ ⋅ ( −1)2 ) 2 ⎣ 2⎦ 1 ⎡ 11⎤ = (27 + 6) − ( −6 + ) = 33 − ⎢ − ⎥ 2 ⎣ 2⎦ 11 77 = 33 + = 2 2

ALTERNATIVA C


5




Criterio de Evaluación 3.1.2 Aplica reglas de la operatoria para simplificar expresiones algebraicas dadas con paréntesis.

⎛3 ⎞ 5. Al reducir la expresión 6xy 4 − (0,5x 2 y + 0,5xy 4 ) + ⎜ x 2 y + xy 4 ⎟ , resulta: ⎝4 ⎠ A) 6,5xy 4 + 0,25x 2 y B) 0,25xy 4 + 6,5x 2 y C) 6,75x 3 y 5 D) 1,625x 2 y 4 Resolución 3 6xy 4 − (0,5x 2 y + 0,5xy 4 ) + ( x 2 y + xy 4 ) 4 4 2 4 = 6xy − 0,5x y − 0,5xy + 0,75x 2 y + xy 4 = 6,5xy 4 + 0,25x 2 y

ALTERNATIVA A




6. Al eliminar paréntesis y − {− [ −(p + q) − (p − q)]} − {2p − [(p + q) − (p − q)]} ,

reducir

la

expresión:

se obtiene: A) 4p − 2q B) −4p + 2q C) 2p − 4q D) 2p + 4q Resolución − {− [ −(p + q) − (p − q)]} − {2p − [(p + q) − (p − q)]} = − {− [ −p − q − p + q]} − {2p − [p + q − p + q)]} = − {2p} − {2p − 2q} = −2p − 2p + 2q = −4p + 2q

ALTERNATIVA B Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica

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7. Al reducir la expresión − [(3x − 4xy + 2y) − (2x − y)] , se obtiene:

A) −5x + 4xy − y B) − x + 4xy − 3y C) x − 4xy + y D) 5x + 4xy − y Resolución

− [(3x − 4xy + 2y) − (2x − y)] = − [3x − 4xy + 2y − 2x + y ] = − [ x − 4xy + 3y ] = − x + 4xy − 3y

ALTERNATIVA B Aprendizaje Esperado 3.1 Utiliza procedimientos del álgebra para operar y simplificar expresiones algebraicas.



8. Al eliminar paréntesis y reducir la − ⎡⎣( − x 2 + xy − xy 2 ) − (2xy 2 − 3x 2 + 4xy)⎤⎦ , tenemos como resultado:

expresión:

A) 4x 2 − 5xy + 3xy 2 B) 2x 2 − 3xy − 3xy 2 C) −2x 2 + 3xy + 3xy 2 D) −4x 2 + 5xy − 3xy 2 Resolución − ⎡⎣ − x 2 + xy − xy 2 − 2xy 2 + 3x 2 − 4xy ⎤⎦ = − ⎡⎣ 2x 2 − 3xy − 3xy 2 ⎤⎦ = −2x 2 + 3xy + 3xy 2

ALTERNATIVA C


7




Criterio de Evaluación 3.1.3 Utiliza el algoritmo de la división para obtener el cociente.

9. Sean los polinomios p(x) = x 3 − 4x − 7 y q(x) = x 2 − 2x − 1 , al dividir p(x) ÷ q(x) se obtiene como cuociente: A) –x – 2 B) – x + 2 C) x – 2 D) x + 2 Resolución

(x 3 − 4x − 7 ) ÷ (x 2 − 2x − 1) = x + 2 − x 3 + 2x 2 + x 2x 2 − 3x − 7 −2x 2 + 4x + 2 x−5

ALTERNATIVA D




10. Al dividir (9x 2 − 30x + 25) ÷ (3x − 5) resulta como cuociente: A) 5 – 3x B) 5 + 3x C) 3x – 5 D) – 3x – 5 Resolución (9x 2 − 30x + 25) ÷ (3x − 5) = 3x − 5 −9x 2 + 15x − 15x + 25 15x − 25 0

ALTERNATIVA C


8





11. El cuociente que se obtiene al dividir x 2 + x − 2 por x + 2 es : A) x 2 B) x 2 − 1

C) 2x – 1 D) x – 1 Resolución (x 2 + x − 2) ÷ (x + 2) = x − 1 −(x 2 + 2x) −x−2 −( − x − 2) 0

ALTERNATIVA D




12. Al dividir el polinomio P(x) = x 3 − 3x 2 + 3x − 1 por el polinomio Q(x) = x − 1, se obtiene como cuociente: A) x 2 − x − 1 B) x 2 − 2x + 1 C) x 2 + 2x − 1 D) x 2 + x + 1 Resolución (x 3 − 3x 2 + 3x − 1) ÷ (x − 1) = x 2 − 2x + 1 − (x 3 − x 2 ) − 2x 2 + 3x −( −2x 2 + 2x) x −1 − (x − 1) 0


9


Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.


Criterio de Evaluación 3.2.1 Aplica reglas de factorización para representar expresiones algebraicas como productos.

13. Al factorizar la expresión 20a2 + 35ab − 45ac resulta: A) 5(4a + 7b − 9c) B) 5b(4a + 7b − 9c) C) 5c(4a + 7b − 9c) D) 5a(4a + 7b − 9c) Resolución

20a2 + 35ab − 45ac = 5a(4a + 7b − 9c)

ALTERNATIVA D Aprendizaje Esperado 3.2 Aplica las reglas de operatoria, factorización y racionalización para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.



14. Al factorizar la expresión x 4 − 5x 2 − 50 resulta: A) (x 2 + 10)(x 2 − 5) B) (x 2 + 10)(x 2 + 5) C) (x 2 − 10)(x 2 + 5) D) (x 2 − 10)(x 2 − 5) Resolución x 4 − 5x 2 − 50 = (x 2 − 10)(x 2 + 5)

ALTERNATIVA C


10





15. Al factorizar la expresión 2x 2 + 4x − 6 se obtiene: A) 2(x + 3)(x − 1) B) 2(x 2 + 2x + 3) C) 2x(x 2 + 2x − 3) D) 2x(x + 2) + 6 Resolución 2x 2 + 4x − 6 = 2(x 2 + 2x − 3) = 2(x + 3)(x − 1)

ALTERNATIVA A




16. Aplicando reglas de factorización a la expresión 4x 2 − 4xy + y 2 el producto que se obtiene es: A) 2x + y 2 B) (2x + y)2 C) (2x − y)2 D) 2x − y 2 Resolución 4x 2 − 4xy + y 2 = (2x)2 − 2 ⋅ (2x)(y) + (y)2 → (2x − y)2

ALTERNATIVA C


11




Criterio de Evaluación 3.2.2 Aplica las reglas operatorias de fracciones algebraicas y factorización, para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias.

17. Al factorizar y simplificar la expresión:

m−2 + m−1 ; se obtiene: m−1 + 1

A) 1 B) m C)

1 m

D) m−2 Resolución m−2 + m−1 m−1(m−1 + 1) 1 = = m −1 = m −1 + 1 m −1 + 1 m

ALTERNATIVA C


12





18. Al reducir la expresión:

A)

18 + b 6(3 + b)

B)

18 − b 6(3 − b)

C)

b − 18 6(b − 3)

D)

18 − b 6(b − 3)

b b 9 ; resulta: − + 2 3b − 9 2b + 6 b − 9

Resolución b b 9 b b 9 2b(b + 3) − 3b(b − 3) + 54 − + 2 = − + = 3b − 9 2b + 6 b − 9 3(b − 3) 2(b + 3) (b + 3)(b − 3) 6(b + 3)(b − 3) =

18 − 2b2 + 6b − 3b2 + 9b + 54 −b2 + 15b + 54 −(b2 − 15b − 54) −(b − 18) (b + 3) = = = = 6(b + 3)(b − 3) 6(b + 3)(b − 3) 6(b + 3)(b − 3) 6 (b + 3) (b − 3) 6(b −

ALTERNATIVA D


13





19. Al factorizar y simplificar la expresión

A)

y+3 2y + 4

B)

y −3 2y − 4

C)

y+3 y+2

D)

2y + 6 y+2

3y 2 + 6y − 9 , se obtiene: 6y 2 + 6y − 12

Resolución 3y 2 + 6y − 9 3(y 2 + 2y − 3) (y + 3)(y − 1) y+3 = = = 2 2 6y + 6y − 12 6(y + y − 2) 2(y + 2)(y − 1) 2y + 4

ALTERNATIVA A


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20. El resultado de factorizar y simplificar la siguiente expresión algebraica −1

⎡ a2 + 2a + 1⎤ a2 + 4a + 3 fraccionaria: ⎢ 2 ; es: ⎥ ⋅ a2 − 4 ⎣ a −a−2 ⎦ A)

a+2 a+3

B)

a+3 a−2

C)

a+3 a+2

D)

a−2 a+3

Resolución a2 − a − 2 a2 + 4a + 3 (a − 2) (a + 1) (a + 3) (a + 1) (a + 3) ⋅ = ⋅ = a2 + 2a + 1 a2 − 4 (a + 1) (a + 1) (a − 2) (a + 2) (a + 2)

ALTERNATIVA C



Criterio de Evaluación 3.2.3 Aplica reglas de racionalización para eliminar raíces en expresiones fraccionarias racionales algebraicas que contengas una o dos raíces en el denominador.

ab2

21. Al racionalizar la expresión

A)

3ab2

B)

3 2 ab 3

se obtiene:

3

C) 3ab2 D)

ab2 3

Resolución ab2 3

⋅

3 3

=

ab2 3 ( 3)2

=

ab2 3 3


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A)

B)

x−y x+ y

resulta

1 x+y 1 x−y

C)

x− y

D)

x+ y

Resolución

x−y x+ y

⋅

x− y x− y

=

(x − y)( x − y ) 2

x − y

2

=

(x − y) ( x − y ) (x − y)

= x− y

ALTERNATIVA C


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23. El resultado de racionalizar

A)

a b− b ab

B)

a b− b a2b

C)

a b −1 ab

D)

a b −1 a2b

a −1 a b

es:

Resolución a −1 a b

⋅

b b

=

a b− b ab

ALTERNATIVA A


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A)

2a a − 2a b a −b

B)

2a a + 2a b a−b

C)

2a a − 2a b a+b

D)

2a a + 2a b a+b

2a

se obtiene:

a− b

Resolución 2a a− b

⋅

a+ b a+ b

=

2a a + 2a b 2

a − b

2

=

2a a + 2a b a−b

ALTERNATIVA B


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Aprendizaje Esperado 3.3 Aplica procedimientos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

Criterio de Evaluación 3.3.1 Emplea métodos para resolver ecuaciones lineales con una variable.

25. Al resolver la ecuación lineal 6x − [5 − (1 − 4x)] = 5x , entonces el valor de x es:

A)

4 3

B)

3 4

C) −

3 4

D) −

4 3

Resolución

6x − [5 − (1 − 4x)] = 5x 6x − [5 − 1 + 4x ] = 5x 6x − 4 − 4x = 5x −4 = 5x x=−

4 3

ALTERNATIVA D


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26. El valor de x en la ecuación

2x − 3a 11a −2 = 2 es: x + 4a x − 16a2

A) 4a − 1 B) 1 − 4a C) 1 + 4a D) −4a − 1 Resolución

2x − 3a 11a −2 = 2 x + 4a x − 16a2 2x − 3a 11a −2 = x + 4a (x + 4a)(x − 4a) (2x − 3a)(x − 4a) − 2(x + 4a)(x − 4a) = 11a 2x 2 − 11ax + 12a2 −2x 2 + 32a2 = 11a 44a2 − 11a = 11ax 11a (4a − 1) = 11a x x = 4a − 1

ALTERNATIVA A


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27. Al resolver la ecuación 3(x − 1)2 − (x 2 + 2) = 2(x 2 − 1) − (4x + 3) se obtiene: A) 0 B)

1 3

C) 2 D) 3 Resolución 3(x − 1)2 − (x 2 + 2) = 2(x 2 − 1) − (4x + 3) 3(x 2 − 2x + 1) − x 2 − 2 = 2x 2 − 2 − 4x − 3 3x 2 − 6x + 3 − x 2 − 2 = 2x 2 − 4x − 5 −6x + 1 = −4x − 5 6 = 2x x=3

ALTERNATIVA D


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28. La solución de la ecuación

3 2 4 − = 2 es: x −1 x + 2 x + x − 2

A) – 4 B) 3 C)

1 4

D) 0 Resolución 3 2 4 − = x − 1 x + 2 x2 + x − 2 3 2 4 − = x − 1 x + 2 (x − 1)(x + 2) 3(x + 2) − 2(x − 1) = 4 3x + 6 − 2x + 2 = 4 x+8 = 4 x = −4

ALTERNATIVA A


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Criterio de Evaluación 3.3.2 Utiliza diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres variables.

29. Los valores de x e y al resolver el sistema de ecuaciones:

3x + 2y = 3m2 − 4n2 2x − y = 2(m2 + n2 )

; son: A) x = m2 ; y = 2n2 B) x = m2 ; y = −2n2 C) x = −m2 ; y = 2n2 D) x = −m2 ; y = −2n2 Resolución 3x + 2y = 3m2 − 4n2 2x − y = 2(m2 + n2 ) 3x + 2y = 3m2 − 4n2 4x − 2y = 4m + 4n ) 2

2

→ 7x = 7m2 → x = m2

Por otra parte : 2m2 − y = 2m2 + 2n2 y = −2n2

ALTERNATIVA B


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y + z = x + 20

30. El valor de (x + y + z) al resolver el sistema de ecuaciones

2x = 3y − 20 z = 35 − 4x

es: A) 5 B) 10 C) 15 D) 30 Resolución

y + z = x + 20 2x = 3y − 20 →

y + 35 − 4x = x + 20

z = 35 − 4x →

−5x + y = −15 2x − 3y = −20

→

2x = 3y − 20 −15x + 3y = −45 2x − 3y = −20 −13x = −65 x=5

Con lo cual : z = 35 − 4 ⋅ 5 z = 15

−25 + y = −15 y = 10

ALTERNATIVA D


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(x − 1)(y − 2) = x(y + 3) 31. El resultado del sistema de ecuaciones es: x−y =3 2

A) x = −

14 4 ; y= 3 3

B) x = −

4 14 ; y= 3 3

C) x =

4 14 ; y=− 3 3

D) x =

14 4 ; y=− 3 3

Resolución (x − 1)(y − 2) = x(y + 3) 5x + y = 2 xy − 2x − y + 2 = xy + 3x 4 → → → 6x = 8 x = x−y x y 6 3 − = =3 x−y=6 2 Con lo cual : x−y =6 4 −y =6 3 4 − 3y = 18 −14 = 3y → y = −

14 3

ALTERNATIVA C


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3(x − y) = z ; se obtiene: 32. Al resolver el sistema de ecuaciones: 4x − 7 = z + 4 2z + 3 = 3y − 6

A) x = −

1 8 25 ; y= ;z= 3 3 9

B) x =

25 1 8 ; y=− ;z= 9 3 3

C) x =

8 25 1 ; y = ; z =− 3 9 3

D) x =

1 25 8 ; y=− ;z= 3 9 3

Resolución 3(x − y) = z

3x − 3y = z

(1)

4x − 7 = z + 4

(2)

2z + 3 = 3y − 6

(3)

→ 4x − z = 11 3y − 2z = 9

z + 11 4 2z + 9 De (3) : 3y = 2z + 9 → y = 3

De (2) : 4x = z + 11 → x =

Re emplazando ambas expresiones en (1) : z + 11 2z + 9 ) − 3 ⋅( )−z = 0 4 3 9z + 99 − 24z − 108 − 12z = 0 3 ⋅(

−27z = 9 1 3 Con esto : 1 − + 11 3 x= 4 z=−

x=

8 3

y= y=

2⋅−

1 +9 3 3

25 9

ALTERNATIVA C


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Criterio de Evaluación 3.3.3 Utiliza métodos para plantear y resolver problemas que involucren ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.

33. La expresión literal que interpreta la oración “la tercera parte de un número, disminuido en dos unidades es 20”; se escribe:

A)

x − 2 = 20 3

B)

x−2 = 20 3

C) 3(x − 2) = 20 D) 3(2 − x) = 20 Resolución x − 2 = 20 3

ALTERNATIVA A




34. Miguel necesita envasar aceite para motores; para ello dispone de botellas y latas. Cuando empleó 12 botellas y 5 latas logró envasar un total de 45 litros y cuando utilizó 8 botellas y 9 latas, envasó un total de 47 litros. ¿De cuántos litros es la capacidad de cada botella y de cada lata, respectivamente? A) 2 y 3 B) 2,5 y 3 C) 3 y 2,5 D) 2 y 3,5 Resolución x : botellas y : latas 12x + 5y = 45 8x + 9y = 47 −108x − 45y = −405 40x + 45y = 235 → −68x = −170

Con esto : 8 ⋅ 2,5 + 9y = 47 20 + 9y = 47 9y = 27

x = 2,5 litros

y = 3 litros


27





35. Las edades de dos personas están en razón de 4 : 3. Si la mayor de ellas tiene 9 años más, la edad de la menor es de: A) 45 años B) 36 años C) 27 años D) 18 años Resolución Sean : x = mayor ; y = menor x 4 = → 3x − 4y = 0 y 3 Luego, el sistema de ecuaciones es : Como :

x−y =9 3x − 4y = 0

→

−3x + 3y = −27 3x − 4y = 0

→ − y = −27 → y = 27

ALTERNATIVA C




36. Las tres cuartas partes de un número equivalen a la tercera parte del triple del mismo número disminuido en 6. Entonces el número es: A) 33 B) 24 C) 16 D) 8 Resolución

Sea x = número 3 3x − 6 x= 4 3 9x = 4(3x − 6) 9x = 12x − 24 3x = 24 x=8

ALTERNATIVA D Dirección de Evaluación – Vicerrectoría Académica

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Aprendizaje Esperado 3.4 Aplica métodos de resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en problemas de aplicación.

Criterio de Evaluación 3.4.1 Emplea procedimientos para resolver inecuaciones lineales y expresa la solución en notación de intervalos.

37. Al resolver la inecuación (x + 2)(x + 3) < x 2 − 4x + 5 ; se obtiene: 1⎤ ⎤ A) ⎥ −∞ , − ⎥ 9⎦ ⎦ 1⎡ ⎤ B) ⎥ −∞ , − ⎢ 9⎣ ⎦ ⎡ 1 ⎡ C) ⎢ − , + ∞ ⎢ ⎣ 9 ⎣ ⎤ 1 ⎡ D) ⎥ − , + ∞ ⎢ 9 ⎦ ⎣ Resolución (x + 2)(x + 3) < x 2 − 4x + 5 x 2 + 5x + 6 < x 2 − 4x + 5 1 9x < − 9

1 ]−∞ , − ] 9

ALTERNATIVA A


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38. El intervalo solución de la inecuación:

2x + 1 x + 2 x − 5 − ≥ + 2 ; es: 2 4 3

4⎤ ⎤ A) ⎥ −∞ , ⎥ 5 ⎦ ⎦ 4⎡ ⎤ B) ⎥ −∞ , ⎢ 5⎣ ⎦ ⎡4 ⎡ C) ⎢ , + ∞ ⎢ ⎣5 ⎣ ⎤4 ⎡ D) ⎥ , + ∞ ⎢ ⎦5 ⎣ Resolución 2x + 1 x + 2 x − 5 − ≥ +2 2 4 3 6(2x + 1) − 3(x + 2) ≥ 4(x − 5) + 24 12x + 6 − 3x − 6 ≥ 4x − 20 + 24 5x ≥ 4 x≥

4 5

4 [ ,+ ∞[ 5

ALTERNATIVA C


30





39. El intervalo solución de la inecuación: 9(x 2 − 1) + (2x − 1) ≤ (3x − 1)2 ; es: 11⎡ ⎤ A) ⎥ −∞ , ⎢ 8⎣ ⎦ 11⎤ ⎤ B) ⎥ −∞ , ⎥ 8⎦ ⎦ ⎤ 11 ⎡ C) ⎥ , + ∞ ⎢ ⎦8 ⎣ ⎡ 11 ⎡ D) ⎢ , + ∞ ⎢ ⎣8 ⎣ Resolución

9(x 2 − 1) + (2x − 1) ≤ (3x − 1)2 9x 2 − 9 + 2x − 1 ≤ 9x 2 − 6x + 1 2x − 10 ≤ −6x + 1 8x ≤ 11 x≤

]−∞ ,

11 8

11 ] 8

ALTERNATIVA B


31





40. El intervalo solución de la inecuación:

x − 1 3 − 2x 1 + < ; es: 3 2 4

11⎡ ⎤ A) ⎥ −∞ , ⎢ 8⎣ ⎦ 11⎤ ⎤ B) ⎥ −∞ , ⎥ 8⎦ ⎦ ⎤ 11 ⎡ C) ⎥ , + ∞ ⎢ ⎦8 ⎣ ⎡ 11 ⎡ D) ⎢ , + ∞ ⎢ ⎣8 ⎣ Resolución

x − 1 3 − 2x 1 + < 3 2 4 4(x − 1) + 6(3 − 2x) < 3 4x − 4 + 18 − 12x < 3 −8x + 14 < 3 11 < 8x 11 <x 8

]

11 ,+ ∞[ 8

ALTERNATIVA C


32




Criterio de Evaluación 3.4.2 Aplica procedimientos para resolver sistemas de inecuaciones lineales.

41. La solución del sistema de inecuaciones:

A)

C)

B)

D)

−1 ≤ x ≤ 2 ; es: 1≤ y ≤ 3

Resolución La solución corresponde a la región acotada por los valores de x e y.

ALTERNATIVA B


33





42. El sistema de inecuaciones que representa la región es:

A)

y≤2 y≥x

B)

y≥2 y≤x

C)

y≤2 y≤x

D)

y≥2 y≥x

Resolución Se considera los valores menores o iguales que la recta y=2, y los valores mayores o iguales que la recta y=x

ALTERNATIVA A


34





43. El gráfico solución del sistema de inecuaciones:

A)

C)

B)

D)

x−y≥2 ; es: y ≤1

Resolución Para resolver un sistema de inecuaciones de manera gráfica, es necesario analizar cada inecuación como una ecuación lineal. Así; a) Sea x − y = 2 , para graficar se determinan el punto de intersección con el eje x (cuando y = 0) y el punto de intersección con el eje y (cuando x = 0) Si y = 0, entonces x = 2 luego el punto de intersección con eje x es (2,0) Si x = 0, entonces y = -2 luego el punto de intersección con eje y es (0,-2) Entonces, al graficar la recta, es posible deducir que el área solución es la que está desde la misma recta y el lado derecho de ella, ya que x − y ≥ 2 . b) Sea y = 1, entonces la recta es perpendicular al eje y (cortando en el punto (0,1)) y paralela al eje x. Esto se debe a que para cualquier valor que toma x, y siempre será 1. Entonces, al graficar la recta es posible deducir que el área solución es la que está desde la misma recta y por debajo de ella, ya que y ≤ 1. Finalmente, la solución del sistema de inecuaciones se obtiene de la intersección de las áreas antes determinadas.


35





44. El sistema de inecuaciones que representa el siguiente gráfico es:

A)

x + y >1 x ≤1

B)

x+ y ≥1 x <1

C)

x+ y ≤1 x ≥ −1

D)

x+ y ≤1 x > −1

Resolución Como el área solución se encuentra entre las rectas (incluyéndolas): a) x = −1 (para cualquier valor de y, x siempre será -1). Entonces la inecuación es x ≥ −1, ya que el área solución se encuentra desde la misma recta y el lado derecho de ella. b) x + y = 1 (los puntos señalados en el grafico se producen en (1,0) (esto es si x = 1, y = 0) y en (0,1) (esto es si x = 0, y = 1). Entonces la inecuación es x + y ≤ 1 ya que el área solución se encuentra desde la misma recta y el lado izquierdo de ella. Finalmente como la solución se produce por la intersección de ambas rectas, el x+ y ≤1 sistema de inecuaciones es x ≥ −1

ALTERNATIVA C


36




Criterio de Evaluación 3.4.3 Utiliza procedimientos para resolver problemas de inecuaciones y/o sistemas de inecuaciones lineales.

45. Matemáticamente la oración “un número que es mayor que 20 y menor que 130 con éste incluido”, se escribe como: A) 20 ≤ x < 130 B) 20 < x ≤ 130 C) 20 ≤ x ≤ 130 D) 20 < x < 130 Resolución

ALTERNATIVA B


37





46. Miguel tiene dinero para comprar a lo más 8 bombones, o bien, 12 caramelos. Como desea comprar a lo menos 6 dulces en total, entonces el sistema de inecuaciones que representa el problema es: x≥8 y ≥ 12 A) x+y≤6

x>8

B)

y > 12 x+y<6 x≤8

C)

y ≤ 12 x+y≥6

x<8 y < 12 D) x+y>6

Resolución x : bombones y : caramelos

x≤8 y ≤ 12 x+y≥6

ALTERNATIVA C


38





47. El intervalo que representa la expresión “los números que son mayores o 3 1 “ ; es: iguales a – y menores que 4 2 ⎤ 3 1⎤ A) ⎥ − , ⎥ ⎦ 4 2⎦ ⎡ 3 1⎤ B) ⎢ − , ⎥ ⎣ 4 2⎦ ⎡ 3 1⎡ C) ⎢ − , ⎢ ⎣ 4 2⎣ ⎤ 3 1⎡ D) ⎥ − , ⎢ ⎦ 4 2⎣ Resolución

−

3 1 ≤x≤ 4 2

ALTERNATIVA C


39





48. La adición de dos números es mayor o igual a 10 y la diferencia del primero con el segundo es menor que 7. El sistema de inecuaciones que representa dicha situación es:

A)

x + y > 10 x−y≤7

B)

x + y ≥ 10 x−y<7

C)

D)

x + y ≥ 10 x−y≤7 x + y > 10 x−y<7

Resolución Sean: x = nº mayor ; y = nº menor Entonces: x + y ≥ 10 x−y<7

ALTERNATIVA B


40




Criterio de Evaluación 3.4.4 Utiliza método gráfico para resolver problemas de programación lineal.

49. El dueño de un almacén necesita trasladar, como mínimo, 60 sacos de azúcar y 12 tambores de aceite; para esto cuenta con una camioneta y un camión: la camioneta puede trasladar 10 sacos de azúcar y 2 tambores de aceite y cada uno de sus fletes cuesta $800, el camión puede trasladar 30 sacos de azúcar y 3 tambores de aceite y cada uno de sus fletes cuesta $1200. ¿Cuántos fletes deben hacerse en cada vehículo para que el flete tenga un costo mínimo? La función objetivo que representa el problema es: A) F(x, y) = 10x + 30y B) F(x, y) = 2x + 3y C) F(x, y) = 800x + 1200y D) F(x, y) = 1200x + 800y Resolución

Viajes Sacos Tambores Costos

Camioneta Camión x y 10 30 2 3 $800 $1200

F(x, y) = 800x + 1200y

ALTERNATIVA C


41





50. Una fábrica produce dos productos A y B. En ambos casos se tornea primero la pieza y después se perforan agujeros por medio de un taladro. El cuadro siguiente ilustra los tiempos que requieren estas operaciones, el tiempo total disponible por semana y las ganancias por producto. ¿Cómo obtendrá el fabricante el máximo de ganancia? Las restricciones lineales que representa el problema son: 3x + 5y ≥ 15

Cuadro Máquina Torno Taladro Ganancia

A) 5x + 2y ≥ 10 x, y ≥ 0

A 3 5 5

B Tiempo 5 15 2 10 3

3x + 5y ≤ 15 B) 5x + 2y ≤ 10 x, y ≥ 0 3x + 5y ≥ 15 C) 5x + 2y ≤ 10 x, y ≥ 0 3x + 5y ≤ 15 D) 5x + 2y ≥ 10 x, y ≥ 0 Resolución F(x, y) = 5x + 3y x:A y :B P.L. : 3x + 5y ≤ 15

5x + 2y ≤ 10 x,y ≥ 0

ALTERNATIVA B


42





51. Una empresa de muebles fabrica escritorios y sillones, siendo $80.000 y $100.000 por unidad los precios de venta respectivos. Si mensualmente se fabrican como mínimo 100 escritorios y 120 sillones, siendo la fabricación máxima total de 150 unidades mensuales, ¿cuántos escritorios y sillones es conveniente fabricar para obtener la máxima ganancia? A) 100 y 50 B) 50 y 100 C) 30 y 120 D) 120 y 30 Resolución

Sean x : escritorios y : sillones Función Objetivo : f(x,y) = 80000x + 100000y x ≤ 100 y ≤ 120 x + y ≤ 150 x, y ≥ 0

Como el óptimo se encuentra en el punto C= (30,120), entonces es conveniente fabricar 30 escritorios y 120 sillones.

ALTERNATIVA C


43





52. Un obrero de la construcción trabaja en dos obras, ganando $1200 y $1500 la hora respectivamente. Diariamente en la primera puede trabajar como máximo 5 horas y en la segunda no más de 6 horas, siendo un máximo de 10 horas lo que trabaja diariamente entre ambos. Entonces la función objetivo que determina las horas que debe trabajar diariamente en ambas obras para obtener un máximo ingreso es: A) f(x,y) = 500x + 600y B) f(x,y) = 1200x + 1500y C) f(x,y) = 1200x + 600y D) f(x, y) = 800x + 1800y Resolución Sea x: obra de $1200 la hora ; y: obra de $1500 la hora Función objetivo: f(x, y) = 1200x + 1500y

ALTERNATIVA B


44


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