Handout Komposisi Fungsi Dan Fungsi Invers r414p

1

NAMA

:

KELAS

:

SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com

2

KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)

Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B dengan syarat himpunan A dan himpunan B bukanlah himpunan kosong. Fungsi/pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/memetakan setiap anggota himpunan A ke tepat satu anggota himpunan B. Penyajian: 1. Diagram panah 2. Diagram kartesius 3. Himpunan pasangan berurutan 4. Menggunakan rumus Notasi Fungsi Himpunan A disebut domain/daerah asal (Df). Himpunan B disebut kodomain/daerah kawan. Himpunan semua peta dari himpunan A disebut range/daerah hasil (Rf). Pemetaan dari himpunan A ke himpunan B yang memetakan setiap x  A ke f(x)  B dapat dinotasikan sebagai berikut: f(x) : A  B x  f(x) = y catatan: x  A disebut prapeta, f(x)  B yang memiliki hubungan dengan x  A disebut peta/bayangan dari  A, ditulis y = f(x). x disebut sebagai variabel bebas (variabel yang nilainya tidak tergantung dengan variabel lain). y disebut sebagai variabel terikat (variabel yang nilainya tergantung dengan variabel lain). Sifat-sifat fungsi khusus suatu fungsi 1. Fungsi injektif/fungsi satu-satu Suatu fungsi f: A  B merupakan fungsi satu-satu (injektif) jika setiap unsur yang berbeda di A memiliki peta yang saling berbeda di B.

(i)

(ii)

SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com

3 2. Fungsi into/fungsi ke dalam dan Fungsi surjektif/fungsi onto/fungsi ke pada a. Fungsi into/ fungsi ke dalam Suatu fungsi f: A  B disebut fungsi ke dalam jika terdapat unsur B yang tidak mempunyai pasangan atau pra peta di A.

b. Fungsi surjektif/ fungsi onto/ fungsi ke pada Suatu fungsi f: A  B merupakan fungsi ke pada (surjektif) jika setiap umsur B memiliki pra peta di A.

(i) (ii) 3. Fungsi bijektif (fungsi injektif dan fungsi bijektif/Korespodensi satu-satu) Suatu fungsi f: A  B merupakan fungsi jika dan hanya jika fungsi f adalah fungsi injektif dan fungsi surjektif.

(i)

(ii)

Latihan Fungsi: 1. Gambarlah grafik fungsi ini pada bidang cartesius dalam daerah asal Df = { x  x  R}: a. f(x) = 2 b. f(x) = 3-2x c. f(x) =3x+1 d. f(x) = x2 - 4 e. f(x) = x2 + x -2 2. Fungsi-fungsi berikut ini adalah pemetaan dari himpunan A = {x, y, z} ke himpunan B = {1, 2, 3}. Manakah yang merupakan fungsi ke pada B dan manakah yang merupakan fungsi ke dalam? a. f = { (x,1), (y,1), (z,1)} b. f = { (x,1), (y,2), (z,2)} c. f = { (x,1), (y,2), (z,3)} d. f = { (x,2), (y,2), (z,3)} e. f = { (x,1), (y,3), (z,2)} f. f = { (x,3), (y,2), (z,1)} 3. Diketahui f : A  B dan fungsi f ditentukan dengan rumus f(x) = 2 -3x. Apakah fungsi f merupakan fungsi injektif?

SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com

4 4. Relasi pada R dinyatakan dengan grafik berikut, manakah yang merupakan grafik fungsi R : x  y? a. b. c.

d.

e.

g.

f.

h.

5. Di antara relasi yang disajikan ini manakah yang merupakan fungsi? a. b. c.

d.

e.

6. Tentukan domain (daerah asal) untuk fungsi-fungsi berikut: a. f(x) = x2 + 2x + 5, xR b.

( ) = √25 −

c.

( ) =

d.

( )=

e.

( ) = − 2, xR

, xR

, xR , xR

Ingat: domain fungsi



=



=

( )  g(x) ≥ 0. ( ) ( )

 h(x)  0.

7. Tentukan daerah hasil dari: f(x) = 2x2 – 6x + 3, xR SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com

5 Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat y = f (x) = ax2 + bx +c, a 0, a, b, c  R 1.Buat daftar nilai f dalam tabel. Ingat untuk fungsi y = f (x) = ax2 + bx +c  Jika a > 0 maka parabola terbuka ke atas.  Jika a < 0 maka parabola terbuka ke bawah.

x y

a.Tentukan titik puncak atau titik baliknya : (x,y) =

,



.

b. Tentukan titik potong dengan sumbu X, yaitu saat y = 0. c. Tentukan titik potong dengan sumbu Y, yaitu saat x = 0. d. Pilihlah beberapa nilai x kemudian carilah nilai y-nya dengan mensubstitusikan nilai x pada fungsi f. 2.Gambarkan titik-titik pada bidang koordinat. 3.Hubungkan titik-titik ini dengan kurva yang mulus. Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi linear y = f (x) = ax + b 1.Buat daftar nilai f dalam tabel. x y b. Tentukan titik potong dengan sumbu X, yaitu saat y = 0. c. Tentukan titik potong dengan sumbu Y, yaitu saat x = 0. d. Pilihlah beberapa nilai x kemudian carilah nilai y-nya dengan mensubstitusikan nilai x pada fungsi f. 2.Gambarkan titik-titik pada bidang koordinat. 3.Hubungkan titik-titik ini dengan garis. Skema macam-macam bilangan Bilangan kompleks (C)

Bilangan real (R)

Bilangan rasional (Q)

Bilangan bulat (Z)

Bilangan cacah

Bilangan asli (A)

Bilangan 1

Bilangan khayal (imajiner)

Bilangan irasional

Pecahan

Bilangan bulat negatif

Bilangan Nol

Bilangan prima

Bilangan komposit SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com

6

Operasi Aljabar pada Fungsi Apabila f dan g masing-masing merupakan fungsi dari x, maka: 1. a. (f + g )(x) = f(x) + g (x) b. (f - g )(x) = f(x) - g (x) 2. (f  g) (x) = f(x)  g (x) 3. 4.

( ) =

( ) ( )

, dengan g(x) 0

( ) = {( ( ))}

Contoh Operasi Aljabar pada Fungsi: 1. Diketahui fungsi-fungsi f(x) dan g(x) ditentukan dengan rumus f(x) = 2x -10 dan g(x) = √2 − 1. Tentukan nilai fungsi-fungsi berikut ini: ( )

a. (f +g ) (x)

d.

b. (f – g ) (x) c. (f  g) (x)

e. f 2 (x)

2. Diketahui fungsi f (x) = x2 - 2x - 6. Tentukan nilai f(x +4)! 3. Diketahui fungsi f (x) = x2 +2x + 4. Tentukan nilai f(a - 3)!

Kesamaan Dua Fungsi f : A  B dan g: A  B dikatakan sama jika setiap unsur a A dipetakan sama oleh fungsi f dan g. Dengan kata lain, f = g jika dan hanya jika untuk setiap a  A, berlaku f(a) = g(a). Contoh: buku paket hal 8 Latihan Kesamaan Dua Fungsi buku paket hal 9 Aktivitas Kelas no. a, b, d

Komposisi Fungsi Fungsi f : A  B dengan f: x y atau y = f (x) Fungsi g : B C dengan g: y z atau z = g (y) = g (f(x)) Fungsi h: A  C dengan h: x z atau z = h (x) = g (f(x)) Jadi,

h (x) = g (f(x)) atau h (x) = (g  f)(x) = g(f(x)) g  f dibaca g bundaran f atau g komposisi f h disebut fungsi komposisi. Sehingga, 1. (g o f)(x) = g (f(x)) 2. (f o g)(x) = f (g(x))

SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com

7 Latihan Komposisi Fungsi : Selesaikan soal berikut! 1. Misal f: R  R , g: R  R dengan f(x) = 2x2 + 1 dan g (x) = x +2. Tentukan: a. (g o f ) (x) b. (f o g) (x) c. (gof) (1) d. (fog) (1) e. (fog) (-2) 2. Diketahui fungsi : R  R , g: R  R dengan f(x) = 2x -3 dan g(x) = x2 + 5. Hitung: a. (gof)(2) b. (fog) (-3) c. (g o g) (x) d. (g og) (-4) 3. Jika fungsi f(x) = √ + 2 dan g(x) = x2 - 2, tentukan: a. (gof)(x) b. (fog) (-20) 4. Diketahui f(x) = 4x-2, g(x) = 3x +7, dan (f o g) (a) = 2. Tentukan nilai a! 5. Jika fungsi f(x) =

dan g(x) = √3 , tentukan nilai (f o g)(x)!

6. Diketahui : f(x) = 2x + 1, (fog)(x) = 2x2 -2x +7. Tentukan g(x)! 7. Diketahui (fog)(x) = x2 – 2x + 3 dan g(x) = x - 1. Tentukan f(x)! 8. Diketahui (fog)(x) = 3x - 7 dan f(x) = 3x + 8. Tentukan g(x)! 9. Diketahui (fog)(x) = 6x -3 dan f(x) = 2x + 5. Tentukan g(x)! 10. Diketahui (fog)(x) = x2 – 4 dan g(x) = x+3. Tentukan f(x)! 11. Diketahui (fog)(x) = x2 – 9 dan g(x) = x - 3. Tentukan f(x)! 12. Jika f(x) = 3x – 11 dan (g o f) (x) = 3x + 7, tentukan g(x)! 13. Diketahui: g(x) =2x + 3, (fog)(x) = 4x2 +10x +11. Tentukan f(x)!

SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com

8

KOMPOSISI TIGA FUNGSI

Fungsi h : A  B dengan h: x y atau y = . . . . . . . Fungsi g : B  C dengan g: y z atau z = . . . . . . . . . = . . . . . . . . . Fungsi f: C  D dengan f: z w atau w = . . . . . . . . . = . . . . . . . . . = . . . . . . . . .

Komposisi dari tiga fungsi, yaitu (f  g  h) (x) = f (g(h(x)))

Sehingga, 1. (f  g  h) (x) = f (g(h(x))) 2. (h  g  f) (x) = h (g(f(x)))

Sifat-sifat Komposisi Fungsi 1. Tidak komutatif (g o f)(x)  (f o g)(x) 2. Asosiatif (f  g  h)(x) = f (g(h(x))) = ((f  g)  h) (x) = (f  (g  h))(x) 3. Ada elemen identitas, yaitu I (x) = x, artinya untuk setiap f berlaku f  I = I  f = f Latihan: 1. Misal fungsi f, g, dan h masing-masing memetakan f: R R dengan R adalah himpunan bilangan real. Jika f(x) = 2x -1, g (x) = x2 +1 dan h (x) = x +2. Tentukanlah: a. (f  g) (x) c. ((f  g)  h)(x) b. (g  f) (x) d. (f  (g  h))(x) Apakah (f  g) (x) = (g  f) (x)? Apakah ((f  g)  h)(x) = (f  (g  h))(x)? 2. Diketahui f: R R dengan R himpunan bilangan Real, dan f(x) = x +3. Tentukan: a. (f  I ) (x) b. ( I  f) (x) 3. Misal f (x) = 3x, g (x) = 2x - 3, h(x) = x2 - 2. Tentukan : a. (fogoh)(x) b. (fogoh)(-1)

c. (fogoh)(2)

4. Misal f (x) = x+1, g (x) = 2x, h(x) = x2 +2. Tentukan : a. (hogof)(x) b. (hogof)(0)

c. (hogof)(1) SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com

9

FUNGSI INVERS Definisi Fungsi Invers: Misal fungsi f: A B, relasi yang membalik arah pemetaan sehingga menjadi B A disebut invers dari fungsi f. Invers dari f dinotasikan dengan f -1 dan dalam hal ini f -1 : B A. Fungsi f : A  B dengan f : . . . . . Fungsi f -1 : B  A dengan f -1: . . . . . Jika y = f(x) maka x = f -1 (y). Fungsi f -1 disebut invers dari fungsi f. Contoh: Tentukan invers dari fungsi berikut berupa relasi atau fungsi? 1.

2.

3.

4.

5.

Kesimpulan : Invers suatu fungsi, ada yang fungsi dan ada yang bukan. Jika inversnya adalah suatu fungsi maka disebut fungsi invers. Teorema fungsi Invers: f -1 : BA adalah sebuah fungsi invers dari f jika fungsi f: A B adalah fungsi bijektif. Contoh: Selidikilah apakah fungsi berikut mempunyai fungsi invers? 1.

2.

3.

4.

SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com

10

MENENTUKAN RUMUS INVERS FUNGSI

Ada kecenderungan/kebiasaan yang menotasikan variabel bebas dengan x dan variabel terikat dengan y, sehingga: Penulisan invers fungsi f yaitu = f -1 (y) diganti menjadi y = f -1 (x). Inversnya

diganti/ditulis x = f -1 (y)

y = f (x)

y = f -1 (x)

Latihan 1. Tentukan invers dari fungsi berikut kemudian tentukan nilai f -1 (-1) dan f -1 (0)! a. f(x) = 3x – 9 b.

( )=

c. d. e.

( ) = − 1 ( ) = + 1 ( ) = √ + 2 + 1

f.

f(x) =

, dengan x 



, dengan x  −

g. f(x) = −3x + 7 h. f(x) = x3 +2 i. f(x) = 2 − √ + 4 j.

dengan x  −

f(x) =

2. Diketahui f (x) =

. Tentukan: b. f

a. Daerah asal fungsi f(x)

1

( x)

3. Diketahui f

1

( x ) = - 3x +15. Tentukan nilai f (-3)!

4. Diketahui f

1

( x ) = x - 12. Tentukan nilai f (2)!

5. Diketahui f(x) =



6. Diketahui f(x) = 7. Diketahui g (x) =



dan f

1

dan f

1

(k ) = 6. Tentukan nilai k!

(k ) = 4. Tentukan nilai k!

. Tentukan:

a. g (x) b. daerah asal g (x) 8. Diketahui f

1

( x ) = x - 6. Tentukan nilai f (3)!

9. Diketahui f(x) =



dan f

1

(a ) = 4. Tentukan nilai a!

SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com

11

FUNGSI INVERS DAN KOMPOSISI FUNGSI Misalkan f: A  B dan g: B  C bijektif, maka: 1.





 =

2. (  f )



3. (  g)





=



=



4. (  g  h)



=I









= h 







Latihan 1. Diketahui f: RR dan g: RR dengan f(x) = x + 2, g(x) = 4 - 2x. Tentukan: a. (f  g)(x) b. (g  f)(x) c. (  g) ( ) d. (  f ) ( ) e.  ( ) f.  ( ) Buatlah kesimpulan dari c-f! 2. Diketahui fungsi f (x) = 3x + 2 dan g(x) = - x - 5. Tentukan ( fg ) 1 ( x)! ! 3. Diketahui fungsi f (x) = x - 5 dan g(x) = 6x – 7. Tentukan nilai x jika ( gf ) 1 ( x)  1 ! 4. Diketahui fungsi f(x) =

dengan x  0 dan g(x) = 3x -2. Tentukan ( fg ) 1 ( x )!

5. Diketahui fungsi f (x) = x - 2 dan g(x) = 2x + 5. Tentukan ( gf ) 1 ( x )! 6. Diketahui fungsi f (x) = x - 1 dan g(x) = 3x – 4. Tentukan nilai x jika ( fg ) 1 ( x )  2 ! 7. Diketahui f(x) = √

dengan x ≥ 0 dan ( ) =

dengan x  -1. Tentukan ( gf ) 1 ( x )!

SMA TARAKANITA 1 JAKARTA theresiaveni.wordpress.com