Hidrologia Aplicada- Ven Te Chow.pdf 5z4m73

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HIDROI.OG~A APL~CADA

(Abramowitz y Stegun, 1965). La distribuci6n gamma de dos parimctros (parimctros fi y A) tiene como limite inferior cero, lo cual es una desventaja para la aplicacion a variables hidroldgicas que tienen un limite inferior superior a cero.

Distribucion Pearson tipo Ill

~ !I

I

u

ii 11

La distribuci6n Pearson tipo 111, tambiCn llamada la distrihucidn gamma de tres pardmetros, introduce un tercer parimetro cl limite inferior E , de tal manera que por el metodo de 10s momentos, 10s tres momentos de la muestra (la media, la desviacion estandar y el cocficiente dc asimetria) pueden transformarse en 10s tres parametros A , @ y E de la distribuci6n de probabilidad. Esta cs una distribuci6n muy flexible, que puede asumir diferentes formas a medida que A , P y E varian (Bobee y Robitaille, 1977). El sistema de distribuciones Pearson incluye siete tipos; todos son soluciones para f(x) en una ecuacion de la forma

dlf(x)l -

du

1, Y

-

f( X I (~ 6) Co+Clx+C2x2

(1 1S . 2 )

donde d es la moda de la distribucidn (el valor dc x para el cual f (x) es un mkximo) y CO,CI y Cz son coeficientes quc deben determinarse. Cuando Ct = 0, la solucidn de la ecuacidn (1 1.5.2) cs una distribucidn Pearson tipo 111, con una funci6n de densidad de probabilidad de la forma que se muestra en la tabla 11.5.1. Para Ct = C2 = 0 la solucidn de (1 1.5.2) es una distribucidn normal. Por tanto, la distribuci6n normal es un caso especial de la distribution Pearson tip0 111 para describir una variable no asimktrica. La distribucidn Pearson tip0 111 se aplico por primera vez en la hidrologia por Foster (1924) para describir la distribution de probabilidad de picos de crecientes miximos anuales. Cuando la informacicin es muy asimttrica positivamente, se utiliza una transformaci6n log para reducir la asimetria.

Distribucidn Iog-Pear~ontip0 111 Si log X sigue una distribucibn Pearson tipo 111, entonces se dice que X sigue una distribuci6n log-Pearson tipo 111. Esta es la distribuci6n estindar para anilisis de frecuencia de crecientes miximas anuales en 10s Estados Unidos (Benson, 1968), y su uso se describe en detalle en el capitulo 12. Como un caso especial, cuando log X e s sirnttrico alrededor de su media, la distribucidn log-Pearson tipo I11 se reduce a la distribuci6n lognormal. La localizacibn del limite r en la distribucidn log-Pearson tip0 I11 depende de Ia asimetria de la information. Si Csta tiene asimetria positiva, entonces log X 2 E y E es un limite inferior, mientras que si la informaci6n tiene asimetria negativa, log X 5 E y E es un limite superior. La transformaci6n log reduce la asimetria de la informacidn transformada y puede producir inforrnacion transformada con asimetria negativa utilizando informacibn original con asimetria positiva. En este caso, la aplicacibn de la distribuci6n log-Pearson tipo 111 impondria un limite superior artificial a la informacibn. Dependiendo de 10s valores de 10s parimetros, la distribucidn log-Pearson tipo 111 puede asumir muchas formas diferentes, tal como se muestra en la tabla 1 1.5.2 (Bobee, 1975).

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ESTAD~ST~CA HIDROL~GICA

T A B L A 11.5.2

F o r m a y localization de la moda p a r a la distribution log-Pearson tipo 111 como u n a funci6n d e sus parametros Pariimetro de forma P

A

O<1 P ' l

< -In 10

-hlO

A rel="nofollow"> 0

Sin moda forma en J

Moda minima forma en U

Sin moda forma en J invertida

UnimodaI

Sin moda forma en J invertida

Unimodal

Fuente: Bobee. 1975.

Tal como se describio previarnente, la distribuci6n log- Pearson tipo III se desarrolld como un mitodo para ajustar una curva a cierta informaci6n. Su uso esta justificado porque se ha encontrado que arroja buenos resultados en muchas aplicaciones, particularmente para la informaci6n de picos de crecientes. El ajuste de la distribucidn a la informaci6n puede probarse utilizando la prueba x', o utilizando la graficacibn d e probabilidad descrita en el capitulo 12.

Distribucion de valor extremo Los valores extremos son valores mhximos o minimos seleccionados de conjuntos de datos. Por ejemplo, el caudal miximo anual en un lugar dado es el mayor caudal registrado durante un afio y 10s valores de caudal maxim0 anual para cada aiio de registro hist6rico conforman un conjunto de valores extremos que puede analizarse estadisticamente. Fisher y Tippett (1928) han demostrado que las distribuciones de valores extremos seleccionados de conjuntos de muestras de cualquier disrribuci6n de probabilidpd convergen en una de las tres formas de distribuciones de valor extremo, llamadas tipo I, I1 y 111 respectivamente, cuando el niimero de valores extremos selcccionados es grande. Las propiedades de las tres formas limitantes fueron desarrolladas en mayor detalle por Gumbel (1941) para la distribuci6n de Valor Extremo tipo I (EVI, por sus siglas en inglts), por Frechet (1927) para la distribuci6n de Valor Extremo tipo I1 (EVII) y por Weibull (1939) para la distribuci6n de Valor Extremo tip0 I11 (EVIII). Jenkinson (1955) demostr6 que estas tres formas limitantes eran casos especiales de una distribuci6n dnica llamada la distribuci6n de Valor Extremo Generai (GEV, por sus siglas en inglts). La funcidn de distribucidn de probabilidad para la GEV es ~(x)=exp[-(I-k-)

x-u a

Ilk

]

(11.5.3)

donde k, u y cu son parametros que deben ser determinados. Los tres casos limitantes son 1) para k = 0, la distribuci6n de Valor Extremo tipo I, para la cual la funcidn d e densidad de probabilidad e s t i dada en la tabla 11.5.1; 2) para k < 0, la distribuci6n de Valor Extremo tipo IT, para la cual (1 1.5.3) se aplica con (u + alk) 5 x 5 -, y 3 ) para k > 0, la distribuci6n de Valor