Fórmulas De Vetores 5t5055

FÓRMULAS DE VETORES

e 𝐵 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 . Os vetores 𝑢 = 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1

Considerando os pontos 𝐴 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1

𝑣 = 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 Vetor a partir de dois pontos: 𝐴𝐵 = 𝑥2 − 𝑥1 , 𝑦2 − 𝑦1 , 𝑧2 − 𝑧1 Ponto médio: 𝑀

𝑥 1 +𝑥 2 𝑦1 +𝑦2 𝑧1 +𝑧2

,

2

𝑥1 𝑥2

2

𝑥 1 +𝑥 2 +𝑥 3 𝑦1 +𝑦2 +𝑦3 𝑧1 +𝑧2 +𝑧3 , , 3 3 3

Baricentro do triângulo: 𝐺 Paralelismo: 𝑢 ∥ 𝑣 ⇒

,

2

𝑦1

=

𝑦2

Módulo de um vetor: 𝑢 =

=

𝑧1 𝑧2

𝑥² + 𝑦² + 𝑧²

Distância entre dois pontos: 𝑑 𝐴, 𝐵 = Vetor unitário (versor):

𝑥2 − 𝑥1

2

+ 𝑦2 − 𝑦1

2

+ 𝑧2 − 𝑧1

2

𝑣 𝑣

Multiplicação de um vetor por um escalar: 𝛼𝑢 = 𝛼𝑥1 , 𝛼𝑦1 , 𝛼𝑧1 Produto escalar:

𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2 + 𝑧1 𝑧2 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃

Ângulo entre dois vetores: cos 𝜃 = Ângulos diretores: cos 𝛼 =

𝑥 𝑣

𝑢 ∙𝑣 𝑢 𝑣

; cos 𝛽 =

𝑦 𝑣

; cos 𝛾 =

Projeção do vetor 𝑣 sobre o vetor 𝑢: 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢𝑣 =

𝑣 ∙𝑢 𝑢𝑢

𝑧 𝑣

. 𝑐𝑜𝑠² ∝ +𝑐𝑜𝑠²𝛽 + 𝑐𝑜𝑠²𝛾 = 1

𝑢

Trabalho: 𝜔 = 𝐹 ∙ 𝑑 𝑖 Produto vetorial: 𝑢 × 𝑣 = 𝑥1 𝑥2

𝑗 𝑦1 𝑦2

𝑘 𝑧1 𝑧2

Módulo do produto vetorial: 𝑢 × 𝑣 = 𝑢 𝑣 𝑠𝑒𝑛 𝜃 Identidade de Lagrange: 𝑢 × 𝑣 ² = 𝑢 ² 𝑣 ² − 𝑢 ∙ 𝑣 ² Área do paralelogramo: 𝐴 = 𝑢 × 𝑣 Torque: 𝜏 = 𝑟 × 𝐹 𝑥1 Produto misto: 𝑢 , 𝑣, 𝑤 = 𝑥2 𝑥3

𝑦1 𝑦2 𝑦3

Volume do paralelepípedo: 𝑉 = Volume do tetraedro: 𝑉 = Altura do tetraedro: ℎ =

𝑧1 𝑧2 𝑧3

𝑢, 𝑣 , 𝑤

𝐴𝐵 ,𝐴𝐶 ,𝐴𝐷 6 𝐴𝐵 ,𝐴𝐶 ,𝐴𝐷 𝐴𝐵 ×𝐴𝐶

e