Matemática 6 Caderno Professor 611q72

– 6.o ANO

ELZA GOUVEIA DURÃO • MARIA MARGARIDA BALDAQUE

Apresentação do projeto Programa e Metas do 2.o Ciclo Planiﬁcação a médio prazo atempos

NOVA EDIÇÃO: iculares rr u C s ta e M s a m De acordo co a de 2013. e o Novo Program

MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Professor –

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ÍNDICE

INTRODUÇÃO .............................................................................

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APRESENTAÇÃO DO PROJETO MATemática 6 ..................................

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PROGRAMA E METAS CURRICULARES DE MATEMÁTICA.....................

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Programa do 2.o Ciclo ..............................................................

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Metas Curriculares do 2.o Ciclo ..................................................

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PROPOSTA DE PLANIFICAÇÃO A MÉDIO PRAZO ................................

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ATEMPOS ...........................................................................

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SOLUÇÕES .................................................................................

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Soluções dos atempos.......................................................

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Soluções das Provas Finais-Modelo (Os Meus Materiais) ...................

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INTRODUÇÃO

Caros colegas, A nossa experiência como professoras e autoras de materiais didáticos de Matemática contribuiu para a elaboração do projeto MATemática 6, de que destacamos as seguintes caraterísticas: Simplicidade É de fácil utilização para o nível etário a que se destina e favorece o trabalho autónomo dos alunos. ibilidade Tem em conta a diversidade de alunos de hoje e o facto de todos necessitarem de conhecer e compreender a Matemática. Diversidade Apresenta uma variedade de tarefas, exercícios, problemas, jogos e investigações, que permitem alcançar os objetivos do Programa e das Metas Curriculares, bem como desenvolver as capacidades transversais de Resolução de Problemas, Raciocínio Matemático e Comunicação Matemática. Abertura Proporciona a aquisição de conhecimentos e procedimentos básicos necessários à vida do dia a dia, bem como conduz à discussão de ideias e produção de argumentos convincentes. Modernidade Está de acordo com as diretrizes do Programa e das Metas Curriculares vigentes e com a visão atual do ensino da Matemática. Propõe uma utilização adequada das novas tecnologias.

Bom trabalho,


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As autoras

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APRESENTAÇÃO DO PROJETO MATemática 6 O projeto MATemática 6 é composto pelos seguintes elementos:

• Manual do Professor – Volumes I e II • Manual do Aluno – Volumes I e II • Os Meus Materiais (oferta online) • Caderno de Apoio ao Aluno • Caderno de Apoio ao Professor • Planos de Aula • Livro de Fichas Aluno (CD-Rom e online) • Professor (CD-Rom e online) • • Apoio Internet em www.MAT6.te.pt São objetivos deste projeto

• Proporcionar aos alunos o apoio necessário para aprender Matemática com compreensão e profundidade. • Proporcionar ao professor instrumentos de apoio ao processo de ensino e aprendizagem, contribuindo para a planificação das suas aulas, tendo em conta a diversidade dos alunos das suas turmas.


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Componentes do aluno

• Manual do Aluno – Volumes I e II • Os Meus Materiais (oferta online) • Caderno de Apoio ao Aluno Aluno (CD-Rom e online) • • Apoio Internet em www.MAT6.te.pt Componentes do professor (exclusivo)

• Manual do Professor – Volumes I e II • Caderno de Apoio ao Professor (online) • Planos de Aula (online) • Livros de Fichas (online) Professor (CD-Rom e online) • • Apoio Internet em www.MAT6.te.pt 3

Os dois volumes do Manual MATemática 6 (professor e aluno) estão organizados do seguinte modo:

• Volume 1 Capítulo 1 – Números naturais Capítulo 2 – Potências de expoente natural Capítulo 3 – Sequências e regularidades. Proporcionalidade direta Capítulo 4 – Figuras geométricas planas. Perímetro e área de polígonos e círculos Capítulo 5 – Sólidos geométricos

• Volume 2 Capítulo 6 – Volume Capítulo 7 – Números racionais Capítulo 8 – Isometrias do plano Capítulo 9 – Representação e tratamento de dados

Nada impede que se altere a ordem proposta, desde que seja salvaguardada a sequência lógica dos conteúdos.

Componentes do aluno

• Manual do Aluno – Volumes I e II (organização por capítulo): Abertura de capítulo Esta página dupla apresenta a listagem dos subtópicos a desenvolver ao longo do capítulo e contém indicações para consulta de sítios da Internet.

Problemas Também organizados em página dupla, a página par contém problemas resolvidos, dando relevo à estratégia escolhida para a sua resolução e, a página ímpar, propõe problemas para resolver. A resolução de problemas envolve o recurso sistemático às capacidades básicas do pensamento, bem como desenvolve o raciocínio, a capacidade de comunicar e o espírito de cooperação. Tarefas Finais Apresenta exercícios com grau crescente de dificuldade e facilita o aprofundamento dos assuntos e a conexão com outros capítulos já estudados. Contém ainda atividades de pesquisa, jogos e pequenas investigações. 4


Tarefas, explicação dos conteúdos e «Pensar e Resolver» Organizado em página dupla, em que a página da esquerda contém tarefas que permitem o arranque ativo da aula e o despertar de novas aprendizagens. Como meio de apoio à concretização das tarefas, encontram-se remissões para Os Meus Materiais. A informação aparece destacada em linguagem rigorosa e objetiva, seguida de um exemplo ou de um método para pôr em prática a nova aprendizagem. Na página da direita, a rubrica «Pensar e Resolver» contém exercícios diversos, que são aplicações diretas dos tópicos estudados. No fim desta rubrica, surge a remissão para a ficha respetiva do Caderno de Apoio ao Aluno.

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Ficha de Diagnóstico Em página dupla, contém questões que mobilizam conhecimentos anteriores e que ajudarão o professor a decidir da necessidade, ou não, de abordar determinados conceitos, ou trabalhar procedimentos necessários, para o estudo dos conteúdos iniciais do respetivo capítulo.

Usar o Computador Propõe atividades de exploração recorrendo à folha de cálculo e a um programa computacional de Geometria Dinâmica, nomeadamente o GeoGebra. Essencial Síntese global dos assuntos tratados no capítulo, de consulta rápida, sendo assim um auxiliar dos alunos na memorização dos conteúdos que aprenderam. Agora já… Lista das aprendizagens que os alunos deverão ter adquirido e respetivas páginas do Manual onde aquelas se encontram, de modo a propiciar uma nova leitura. Ficha Formativa Uma ficha que permite aos alunos aperceberem-se dos seus progressos e dificuldades, e que orienta o professor no processo de ensino e de aprendizagem. A Ficha Formativa foi elaborada com o intuito de exemplificar os objetivos específicos do capítulo estudado.

Ao longo do Manual surgem algumas notas históricas que humanizam o estudo da disciplina e mostram aos alunos que a Matemática tem sido construída ao longo dos tempos. No final do volume 1 é proposta uma Ficha Global que pretende fazer um balanço entre o estado real das aprendizagens dos alunos e aquilo que era esperado no final do estudo dos cinco capítulos que constituem este volume. No final do volume 2 existe uma Prova Final que, juntamente com as duas provas finais de Os Meus Materiais, pretende testar as aprendizagens dos alunos realizadas ao longo do 2.o Ciclo e averiguar se estão preparados para prosseguir para o 3.o Ciclo, no âmbito da Matemática. As soluções dos exercícios e dos problemas constam no fim de cada volume.

• Os Meus Materiais (oferta online)


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Contém materiais diversos que apoiam a concretização das atividades propostas no Manual e dão continuidade ao estudo dos conteúdos lecionados:

• Revisões sobre: triângulos, ângulos, paralelogramos • Números racionais: adição e subtração • Percentagens • Determinar áreas e perímetros • Polígonos inscritos e circunscritos • Retas numéricas • Planificações de sólidos • Material de apoio às tarefas • Papel quadriculado, ponteado e isométrico • Duas provas finais-modelo

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• Caderno de Apoio ao Aluno É um complemento do Manual a utilizar pelos alunos nas aulas de Matemática e nas suas sessões de estudo. Este caderno apresenta a seguinte estrutura: Saber Fazer Tem a finalidade de auxiliar os alunos a ultraarem as dificuldades mais frequentes. Apresenta, assim, questões relacionadas com as dúvidas mais frequentes dos alunos e a resposta consiste numa explicação teórica com exemplo prático. Pratica Aplicação imediata e simples do «Saber fazer». Ficha A elaboração de cada ficha foi focalizada num determinado conjunto de tópicos do Manual, tendo em vista a aplicação e treino dos respetivos conceitos e procedimentos. Tentou-se assim que este conjunto de fichas cobrisse todos os tópicos abordados no Manual. Problemas Em forma de ficha, apresentam-se grupos de problemas para aplicação de conhecimentos e estratégias já estudadas. Soluções Todos os exercícios e problemas propostos têm associadas as respetivas soluções, que se encontram nas últimas páginas.

Componentes do professor (exclusivo)

• Manual do Professor – Volumes I e II O Manual do Professor, para além de apresentar os mesmos conteúdos do Manual do Aluno, contém a banda lateral, cuja organização genérica é:

• na página da esquerda, constam as sugestões para a concretização da tarefa proposta (pré-requisitos, tópico, objetivos, tempo e material, capacidades transversais e metodologia);

• na página da direita, são apresentadas as soluções das propostas de trabalho. Em

Professor são disponibilizadas as resoluções das propostas de trabalho.

• Caderno de Apoio ao Professor De seguida, é feita uma proposta de planificação a médio prazo. Disponibiliza-se ainda um conjunto de atempos, com as respetivas soluções, assim como as soluções das provas finais que constam em Os Meus Materiais. Em , os professores utilizadores do nosso projeto terão o às resoluções dos exercícios e dos problemas de todos os capítulos.

• Planos de Aula Apresentação, em forma de grelha, de uma planificação aula a aula de acordo com o Manual. Estes planos de aula encontram-se disponíveis na 6

em formato editável.


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Para além da apresentação do projeto MATemática 6, reproduz a documentação referente ao Programa e às Metas Curriculares do 2.o Ciclo da disciplina.

• Livro de Fichas Este material, que foi pensado para que os alunos consolidem os seus conhecimentos, contém:

• Fichas de Avaliação, uma para cada um dos nove capítulos do Manual; • Fichas de Remediação, num total de 14 fichas organizadas por assunto; • Soluções de todas as fichas.

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Professor Possibilita a fácil exploração do projeto MATemática 6, através das novas tecnologias em sala de aula. Ao utilizar esta ferramenta inovadora, o professor poderá tirar o melhor partido deste projeto, simplificando o seu trabalho diário. Aconselha-se que o professor projete e explore as páginas do Manual na sala de aula, podendo aceder a um vasto conjunto de conteúdos multimédia integrados com o Manual, para tornar a sua aula mais dinâmica: Animações Abordam os principais pontos da matéria, possibilitando uma exploração interativa que propicia quer o cálculo mental, quer a exploração do sentido espacial. Apresentações em PowerPoint Incluem todas as resoluções de exercícios e problemas presentes no Manual, potenciando a exploração dos mesmos no contexto de sala de aula. Jogos Permitem a revisão da matéria de todo o Manual de forma mais apelativa, mantendo a par as componentes lúdica e didática. Aplicações em GeoGebra Exploram diferentes conteúdos, nomeadamente volumes e simetrias. GeoGebra é um programa computacional de Geometria Dinâmica, que permite aos alunos visualizar facilmente conteúdos de Geometria, Álgebra e Cálculo. Testes Interativos Extenso banco de testes interativos, personalizáveis e organizados segundo os diversos capítulos do Manual. Fichas de Avaliação e Fichas de Remediação Estas fichas, que são as que constam no Livro de Fichas, encontram-se em formato editável, de modo que o professor possa ajustá-las às suas necessidades.


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Planos de Aula Documento Word dos Planos de Aula. Links Internet Endereços para páginas na Internet de apoio à matéria, para a obtenção de mais informação. Resoluções o às resoluções de todos os exercícios e problemas do Manual.

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Na preparação de aulas, o professor pode:

• aceder aos Planos de Aula, em formato Word, e planificar as aulas de acordo com as características de cada turma;

• utilizar as sequências de recursos digitais feitas de acordo com os Planos de Aula criados para si, que o apoiarão nas suas aulas com recurso a projetor ou quadro interativo;

• personalizar os Planos de Aula com recursos do projeto ou com os materiais criados por si. Na avaliação dos alunos, sugere-se ao professor que:

• utilize os testes pré-definidos ou crie-os à medida da sua turma, a partir de uma base de mais de 200 questões;

• imprima os testes para distribuir, projete-os em sala de aula ou envie-os aos seus alunos com correção automática;

• acompanhe o progresso dos alunos através de relatórios de avaliação detalhados.


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Com , o professor pode tirar partido das funcionalidades de comunicação e interação que lhe permitirão a troca de informação e a partilha de recursos com os alunos.

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PROGRAMA E METAS CURRICULARES DE MATEMÁTICA Programa do 2. o Ciclo

1. Introdução A última Revisão da Estrutura Curricular, legitimada no Decreto-lei n.o 139/2012 de 5 de julho, bem como no Despacho n.o 5306/2012 de 18 de abril, visa melhorar a qualidade do ensino e da aprendizagem através de uma cultura de rigor e de excelência desde o Ensino Básico. De modo coerente com as diretrizes expressas nesses diplomas, a organização curricular da disciplina de Matemática nestes níveis de escolaridade é guiada pelo princípio de que deve ficar claramente estabelecido quais os conhecimentos e as capacidades fundamentais que os alunos devem adquirir e desenvolver. Com base em investigação recente sobre o ensino da Matemática, adota-se uma estrutura curricular sequencial, que se justifica atendendo a que a aquisição de certos conhecimentos e o desenvolvimento de certas capacidades depende de outros a adquirir e a desenvolver previamente. Promove-se desta forma uma aprendizagem progressiva, na qual se caminha etapa a etapa, respeitando a estrutura própria de uma disciplina cumulativa como a Matemática. Note-se também que a abstração desempenha um papel fundamental na atividade Matemática, permitindo agregar e unificar objetos, conceitos e linhas de raciocínio, e adaptar métodos e resultados conhecidos a novos contextos. É no entanto reconhecido que a aprendizagem da Matemática, nos anos iniciais, deve partir do concreto, pelo que é fundamental que a agem do concreto ao abstrato, um dos propósitos do ensino da Matemática, se faça de forma gradual, respeitando os tempos próprios dos alunos e promovendo assim o gosto por esta ciência e pelo rigor que lhe é característico.


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No sentido de concretizar estas intenções, elaboraram-se as Metas Curriculares de Matemática, homologadas a 3 de agosto de 2012. Encontram-se elencados, nas Metas Curriculares, objetivos gerais que são especificados por descritores, redigidos de forma concisa e que apontam para desempenhos precisos e avaliáveis. O documento foi construído com base nos conteúdos temáticos expressos no Programa de Matemática do Ensino Básico de 2007. A organização desses conteúdos numa hierarquia de ensino coerente e consistente originou alguns desfasamentos pontuais entre esse Programa e as Metas Curriculares. Com o presente documento ficam inteiramente harmonizados os conteúdos programáticos com as Metas Curriculares. Este Programa e as Metas Curriculares constituem, pois, o normativo legal para a disciplina de Matemática no Ensino Básico, sendo, em conformidade, de utilização obrigatória pelas escolas e professores. Em ambos está subjacente a preocupação de potenciar e aprofundar a compreensão, que se entende ser um objetivo central do ensino. Efetivamente, o desenvolvimento da compreensão – que resulta da ampliação contínua e gradual de uma complexa rede de regras, procedimentos, factos, conceitos e relações que podem ser mobilizados, de forma flexível, em diversos contextos – deve ocupar o centro das preocupações das escolas e dos professores, com vista a melhorar a qualidade da aprendizagem da Matemática no nosso país.

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2. Finalidades do ensino da Matemática Destacam-se três grandes finalidades para o Ensino da Matemática: a estruturação do pensamento, a análise do mundo natural e a interpretação da sociedade. 1. A estruturação do pensamento – A apreensão e hierarquização de conceitos matemáticos, o estudo sistemático das suas propriedades e a argumentação clara e precisa, própria desta disciplina, têm um papel primordial na organização do pensamento, constituindo-se como uma gramática basilar do raciocínio hipotético-dedutivo. O trabalho desta gramática contribui para alicerçar a capacidade de elaborar análises objetivas, coerentes e comunicáveis. Contribui ainda para melhorar a capacidade de argumentar, de justificar adequadamente uma dada posição e de detetar falácias e raciocínios falsos em geral. 2. A análise do mundo natural – A Matemática é indispensável a uma compreensão adequada de grande parte dos fenómenos do mundo que nos rodeia, isto é, a uma modelação dos sistemas naturais que permita prever o seu comportamento e evolução. Em particular, o domínio de certos instrumentos matemáticos revela-se essencial ao estudo de fenómenos que constituem objeto de atenção em outras disciplinas do currículo do Ensino Básico (Física, Química, Ciências da Terra e da Vida, Ciências Naturais, Geografia…). 3. A interpretação da sociedade – Ainda que a aplicabilidade da Matemática ao quotidiano dos alunos se concentre, em larga medida, em utilizações simples das quatro operações, da proporcionalidade e, esporadicamente, no cálculo de algumas medidas de grandezas (comprimento, área, volume, capacidade…) associadas em geral a figuras geométricas elementares, o método matemático constitui-se como um instrumento de eleição para a análise e compreensão do funcionamento da sociedade. É indispensável ao estudo de diversas áreas da atividade humana, como sejam os mecanismos da economia global ou da evolução demográfica, os sistemas eleitorais que presidem à Democracia, ou mesmo campanhas de venda e promoção de produtos de consumo. O Ensino da Matemática contribui assim para o exercício de uma cidadania plena, informada e responsável.

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O gosto pela Matemática e pela redescoberta das relações e dos factos matemáticos – que muitas vezes é apresentada como uma finalidade isolada – constitui um propósito que pode e deve ser alcançado através do progresso da compreensão matemática e da resolução de problemas. Neste sentido, é decisivo para a educação futura dos alunos que se cultive de forma progressiva, desde o 1. o Ciclo, algumas características próprias da Matemática, como o rigor das definições e do raciocínio, a aplicabilidade dos conceitos abstratos ou a precisão dos resultados.

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Estas finalidades só podem ser atingidas se os alunos forem apreendendo adequadamente os métodos próprios da Matemática. Em particular, devem ser levados, o a o, a compreender que uma visão vaga e meramente intuitiva dos conceitos matemáticos tem um interesse muito limitado e é pouco relevante, quer para o aprofundamento do estudo da Matemática em si, quer para as aplicações que dela se possam fazer. Não é possível, por exemplo, determinar as propriedades de um objeto que não se encontra adequadamente definido. Nesse sentido, as Metas Curriculares, articuladas com o presente Programa, apontam para uma construção consistente e coerente do conhecimento.

3. Objetivos Para alcançar os propósitos anteriormente enunciados, estabeleceram-se os objetivos que traduzem os desempenhos fundamentais que os alunos deverão evidenciar em cada um dos três ciclos de escolaridade básica. Esses desempenhos são explicitados por verbos a que se atribuem significados específicos em cada ciclo e que servem de base à leitura dos descritores elencados nas Metas Curriculares. Com efeito, cada descritor inicia-se por um verbo, na quase totalidade dos casos constante das listas abaixo. 1.o Ciclo – Neste ciclo requerem-se os quatros desempenhos seguintes, com o sentido que se especifica: (1) Identificar/designar: O aluno deve utilizar corretamente a designação referida, não se exigindo que enuncie formalmente as definições indicadas (salvo nas situações mais simples), mas antes que reconheça os diferentes objetos e conceitos em exemplos concretos, desenhos, etc. (2) Estender: O aluno deve utilizar corretamente a designação referida, reconhecendo que se trata de uma generalização. (3) Reconhecer: O aluno deve reconhecer intuitivamente a veracidade do enunciado em causa em exemplos concretos. Em casos muito simples, poderá apresentar argumentos que envolvam outros resultados já estudados e que expliquem a validade do enunciado. (4) Saber: O aluno deve conhecer o resultado, mas sem que lhe seja exigida qualquer justificação ou verificação concreta. 2.o Ciclo – Neste ciclo requerem-se os quatros desempenhos seguintes, com o sentido que se especifica: (1) Identificar/designar: O aluno deve utilizar corretamente a designação referida, sabendo definir o conceito apresentado como se indica ou de maneira equivalente, ainda que informal. (2) Estender: O aluno deve definir o conceito como se indica ou de forma equivalente, ainda que informal, reconhecendo que se trata de uma generalização. (3) Reconhecer: O aluno deve conhecer o resultado e saber justificá-lo, eventualmente de modo informal ou recorrendo a casos particulares. No caso das propriedades mais complexas, deve apenas saber justificar isoladamente os diversos os utilizados pelo professor para as deduzir, bem como saber ilustrá-las utilizando exemplos concretos. No caso das propriedades mais simples, poderá ser chamado a apresentar de forma autónoma uma justificação geral um pouco mais precisa.


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(4) Saber: O aluno deve conhecer o resultado, mas sem que lhe seja exigida qualquer justificação ou verificação concreta. 3.o Ciclo – Neste ciclo requerem-se os sete desempenhos seguintes, com o sentido que se especifica: (1) Identificar/designar: O aluno deve utilizar corretamente a designação referida, sabendo definir o conceito apresentado como se indica ou de forma equivalente. (2) Reconhecer: O aluno deve apresentar uma argumentação coerente ainda que eventualmente mais informal do que a explicação fornecida pelo professor. Deve, no entanto, saber justificar isoladamente os diversos os utilizados nessa explicação. (3) Reconhecer, dado…: O aluno deve justificar o enunciado em casos concretos, sem que se exija que o prove com toda a generalidade.

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(4) Saber: O aluno deve conhecer o resultado, mas sem que lhe seja exigida qualquer justificação ou verificação concreta. (5) Provar/Demonstrar: O aluno deve apresentar uma demonstração matemática tão rigorosa quanto possível. (6) Estender: Este verbo é utilizado em duas situações distintas: (a) Para estender a um conjunto mais vasto uma definição já conhecida. O aluno deve definir o conceito como se indica, ou de forma equivalente, reconhecendo que se trata de uma generalização. (b) Para estender uma propriedade a um universo mais alargado. O aluno deve reconhecer a propriedade, podendo por vezes esse reconhecimento ser a casos concretos. (7) Justificar: O aluno deve justificar de forma simples o enunciado, evocando uma propriedade já conhecida. No seu conjunto, e de modo integrado, estes desempenhos devem concorrer, a partir do nível mais elementar de escolaridade, para a aquisição de conhecimentos de factos e de procedimentos, para a construção e o desenvolvimento do raciocínio matemático, para uma comunicação (oral e escrita) adequada à Matemática, para a resolução de problemas em diversos contextos e para uma visão da Matemática como um todo articulado e coerente.

Comunicação matemática – Oralmente, deve-se trabalhar com os alunos a capacidade de compreender os enunciados dos problemas matemáticos, identificando as questões que levantam, explicando-as de modo claro, conciso e coerente, discutindo, do mesmo modo, estratégias que conduzam à sua resolução. Os alunos devem ser incentivados a expor as suas ideias, a comentar as afirmações dos seus colegas e do professor e a colocar as suas dúvidas. Sendo igualmente a redação escrita parte integrante da atividade matemática, os alunos devem também ser incentivados a redigir convenientemente as suas respostas, explicando adequadamente o seu raciocínio e apresentando as suas conclusões de forma clara, escrevendo em português correto e evitando a utilização de símbolos matemáticos como abreviaturas estenográficas.

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Raciocínio matemático – O raciocínio matemático é por excelência o raciocínio hipotético-dedutivo, embora o raciocínio indutivo desempenhe também um papel fundamental, uma vez que preside, em Matemática, à formulação de conjeturas. Os alunos devem ser capazes de estabelecer conjeturas, em alguns casos, após a análise de um conjunto de situações particulares. Deverão saber, no entanto, que o raciocínio indutivo não é apropriado para justificar propriedades, e, contrariamente ao raciocínio dedutivo, pode levar a conclusões erradas a partir de hipóteses verdadeiras, razão pela qual as conjeturas formuladas mas não demonstradas têm um interesse limitado, devendo os alunos ser alertados para este facto e incentivados a justificá-las a posteriori. Os desempenhos requeridos para o cumprimento dos descritores nos vários ciclos apontam para uma progressiva proficiência na utilização do raciocínio hipotético-dedutivo e da argumentação matemática. Espera-se pois que no 3.o Ciclo, os alunos sejam capazes de elaborar, com algum rigor, pequenas demonstrações.

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Conhecimento de factos e de procedimentos – O domínio de procedimentos padronizados, como por exemplo algoritmos e regras de cálculo, deverá ser objeto de particular atenção no ensino desta disciplina. As rotinas e automatismos são essenciais ao trabalho matemático, uma vez que permitem libertar a memória de trabalho, por forma a que esta se possa dedicar, com maior exclusividade, a tarefas que exigem funções cognitivas superiores. Por outro lado, permitem determinar, a priori, que outra informação se poderia obter sem esforço a partir dos dados de um problema, abrindo assim novas portas e estratégias à sua resolução. A memorização de alguns factos tem igualmente um papel fundamental na aprendizagem da Matemática, sendo incorreto opô-la à compreensão. Memorização e compreensão, sendo complementares, reforçam-se mutuamente. Conhecer as tabuadas básicas, e outros factos elementares, de memória, permite também poupar recursos cognitivos que poderão ser direcionados para a execução de tarefas mais complexas.

Resolução de problemas – A resolução de problemas envolve, da parte dos alunos, a leitura e interpretação de enunciados, a mobilização de conhecimentos de factos, conceitos e relações, a seleção e aplicação adequada de regras e procedimentos, previamente estudados e treinados, a revisão, sempre que necessária, da estratégia preconizada e a interpretação dos resultados finais. Assim, a resolução de problemas não deve confundir-se com atividades vagas de exploração e de descoberta que, podendo constituir estratégias de motivação, não se revelam adequadas à concretização efetiva de uma finalidade tão exigente. Embora os alunos possam começar por apresentar estratégias de resolução mais informais, recorrendo a esquemas, diagramas, tabelas ou outras representações, devem ser incentivados a recorrer progressivamente a métodos mais sistemáticos e formalizados. Em particular, no 1.o Ciclo, solicita-se explicitamente que o número de os necessários à resolução dos problemas vá aumentando de ano para ano. É fundamental que os alunos não terminem este ciclo de ensino conseguindo responder corretamente apenas a questões de resposta imediata. Estudos nacionais e internacionais recentes, como o Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS), mostram que, em 2011, 60% dos alunos portugueses do 4.o ano não conseguem ultraar esse patamar (Intermediate International Benchmark). A Matemática como um todo coerente – Vários objetivos gerais e respetivos descritores das Metas Curriculares foram concebidos de forma a estabelecer ligações entre conteúdos sem relação evidente entre si. É o caso, por exemplo, da relação entre a irracionalidade da raiz quadrada dos números naturais (que não sejam quadrados perfeitos) e o Teorema Fundamental da Aritmética ou entre a semelhança de triângulos e o Teorema de Pitágoras. Para além das situações que se encontram explicitamente ilustradas nas Metas Curriculares, outras podem ser trabalhadas no âmbito de exercícios e problemas. Estas atividades são propícias ao entendimento de que a Matemática é constituída por uma complexa rede de relações que lhe confere uma unidade muito particular.

4. Conteúdos Os conteúdos encontram-se organizados, em cada ciclo, por domínios. A articulação desejável entre os domínios de conteúdos e os objetivos antes enunciados encontra-se materializada no documento das Metas Curriculares.


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Nos 2.o e 3.o ciclos indica-se, a título não prescritivo, o número de tempos, de cinquenta minutos, que poderá ser dedicado a cada domínio.

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2. o ciclo No 2.o Ciclo, os domínios de conteúdos são quatro:

• Números e Operações (NO) • Geometria e Medida (GM) • Álgebra (ALG) • Organização e Tratamento de Dados (OTD) Relativamente aos domínios Números e Operações e Álgebra, conclui-se neste ciclo o estudo das operações elementares sobre frações e completa-se a construção dos números racionais, introduzindo os negativos. Os alunos deverão, à entrada do 3.o Ciclo, mostrar fluência e desembaraço na utilização de números racionais em contextos variados, relacionar de forma eficaz as suas diversas representações (frações, dízimas, numerais mistos, percentagens) e tratar situações que envolvam proporcionalidade direta entre grandezas. São igualmente estudadas potências de base racional positiva e expoente natural, sendo outros expoentes mais gerais introduzidos no 3.o Ciclo e no Secundário. A abordagem destes conteúdos pretende oferecer aos alunos um primeiro o com os métodos simbólicos próprios da Álgebra, que permitem deduzir e organizar um certo número de conhecimentos de forma sistemática. Finalmente, são apresentadas noções básicas de divisibilidade, explorando-se o Algoritmo de Euclides no 5.o ano e o Teorema Fundamental da Aritmética, que dele pode ser deduzido, no 6.o ano.

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No domínio da Organização e Tratamento de Dados, retomam-se várias representações de conjuntos de dados e noções estatísticas elementares como a média, a moda e a amplitude. É o momento ideal para se introduzir a noção de gráfico cartesiano de uma correspondência, que será naturalmente revisitada com mais profundidade no 3.o Ciclo no contexto das funções.

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Em Geometria, são introduzidos alguns conceitos e propriedades – tão elementares quanto fundamentais – envolvendo paralelismo e ângulos, com aplicações simples aos polígonos. Em particular, é fornecida uma definição geométrica de soma de ângulos, por justaposição, análoga à justaposição de segmentos de reta abordada no 1.o ciclo. Tratando-se de uma etapa indispensável ao estudo sério e rigoroso da Geometria nos ciclos de ensino posteriores, os alunos deverão saber relacionar as diferentes propriedades estudadas com aquelas que já conhecem e que são pertinentes em cada situação. É também pedida aos alunos a realização de diversas tarefas que envolvem a utilização de instrumentos de desenho e de medida (régua, esquadro, como e transferidor, programas de geometria dinâmica), sendo desejável que adquiram destreza na execução de construções rigorosas e reconheçam alguns dos resultados matemáticos por detrás dos diferentes procedimentos. O tópico da Medida, neste ciclo, é dedicado a áreas de figuras planas, a volumes de sólidos e a amplitudes de ângulos. À imagem do conceito de medida de comprimento que decorre, na abordagem preconizada no 1.o Ciclo, da justaposição retilínea de segmentos de reta, as medidas de amplitude de ângulo alicerçam-se na noção de soma geométrica de ângulos.

5.o ano Domínio NO5 54 tempos

Conteúdos Números racionais não negativos • Simplificação de frações; • Frações irredutíveis; • Redução de duas frações ao mesmo denominador; • Ordenação de números racionais representados por frações; • Adição, subtração, multiplicação e divisão de números racionais não negativos representados na forma de fração; • Representação de números racionais na forma de numerais mistos; adição e subtração de números racionais representados por numerais mistos; • Aproximações e arredondamentos de números racionais; • Problemas de vários os envolvendo números racionais representados na forma de frações, dízimas, percentagens e numerais mistos. Números naturais • Critérios de divisibilidade por 3, 4 e 9; • Determinação do máximo divisor comum de dois números naturais por inspeção dos divisores de cada um deles; • Algoritmo de Euclides; • Números primos entre si; números obtidos por divisão de dois dados números pelo respetivo máximo divisor comum; irredutibilidade das frações de termos primos entre si; • Determinação do mínimo múltiplo comum de dois números naturais por inspeção dos múltiplos de cada um deles; • Relação entre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de dois números; • Problemas envolvendo o cálculo do mínimo múltiplo comum e do máximo divisor comum de dois números.

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Propriedades geométricas Ângulos, paralelismo e perpendicularidade • Ângulo igual à soma de outros dois; definição e construção com régua e como; • Bissetriz de um ângulo; construção com régua e como; • Ângulos complementares e suplementares; • Igualdade de ângulos verticalmente opostos; • Semirretas diretamente e inversamente paralelas; • Ângulos correspondentes e paralelismo; • Ângulos internos, externos e pares de ângulos alternos internos e alternos externos determinados por uma secante num par de retas concorrentes; relação com o paralelismo; • Ângulos de lados diretamente e inversamente paralelos; pares de ângulos de lados perpendiculares. Triângulos e quadriláteros • Ângulos internos, externos e adjacentes a um lado de um polígono; • Ângulos de um triângulo: soma dos ângulos internos, relação de um ângulo externo com os internos não adjacentes e soma de três ângulos externos com vértices distintos; • Triângulos acutângulos, obtusângulos e retângulos; hipotenusa e catetos de um triângulo retângulo; • Ângulos internos de triângulos obtusângulos e retângulos; • Paralelogramos; ângulos opostos e adjacentes de um paralelogramo; • Critérios de igualdade de triângulos: critérios LLL, LAL e ALA; construção de triângulos dados os comprimentos de lados e/ou as amplitudes de ângulos internos; • Relações entre lados e ângulos num triângulo ou em triângulos iguais;

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Domínio

Conteúdos • Igualdade dos lados opostos de um paralelogramo; • Desigualdade triangular; • Pé da perpendicular traçada de um ponto para uma reta e, num dado plano, perpendicular a uma reta num ponto; • Distância de um ponto a uma reta e entre retas paralelas; altura de um triângulo e de um paralelogramo. Problemas • Problemas envolvendo as noções de paralelismo, perpendicularidade, ângulos e triângulos. Medida Área • Área de retângulos de lados de medida racional; • Fórmulas para a área de paralelogramos e triângulos; • Problemas envolvendo o cálculo de áreas de figuras planas. Amplitude de ângulos • Medidas de amplitudes de ângulos; • O grau como unidade de medida de amplitude; minutos e segundos de grau; • Utilização do transferidor para medir amplitudes de ângulos e para construir ângulos de uma dada medida de amplitude; • Problemas envolvendo adições, subtrações e conversões de medidas de amplitude expressas em forma complexa e incomplexa.

OTD5 22 tempos

• Prioridades convencionadas das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão; utilização de parêntesis; • Propriedades associativa e comutativa da adição e multiplicação e propriedades distributivas da multiplicação em relação à adição e subtração; • Elementos neutros da adição e da multiplicação e elemento absorvente da multiplicação de números racionais não negativos; • Utilização do traço de fração com o significado de quociente de números racionais; • Inversos dos números racionais positivos; • Produto e quociente de quocientes de números racionais; inverso de um produto e de um quociente de números racionais; • Cálculo de expressões numéricas envolvendo as quatro operações aritméticas e a utilização de parêntesis; • Linguagem natural e linguagem simbólica. Gráficos cartesianos • Referenciais cartesianos, ortogonais e monométricos; • Abcissas, ordenadas e coordenadas; • Gráficos cartesianos. Representação e tratamento de dados • Tabelas de frequências absolutas e relativas; • Gráficos de barras e de linhas; • Média aritmética; • Problemas envolvendo a média e a moda; • Problemas envolvendo dados em tabelas, diagramas e gráficos.

16

TEXTO

16 tempos

Expressões algébricas e propriedades das operações


ALG5

6.o ano Domínio NO6 40 tempos

Conteúdos Números naturais • Números primos; • Crivo de Eratóstenes; • Teorema fundamental da aritmética e aplicações. Números racionais Números racionais positivos e negativos • Números racionais negativos; • Simétrico e valor absoluto de um número racional; • Semirreta de sentido positivo associada a um número; ordenação de números racionais; • Conjunto dos números inteiros relativos e conjunto dos números racionais. Adição e subtração • Segmentos de reta orientados; orientação positiva e negativa de segmentos orientados da reta numérica; • Adição de números racionais; definição e propriedades; • Subtração e soma algébrica de números racionais; definição e propriedades; • Módulo da diferença de dois números como medida da distância entre os pontos que representam esses números na reta numérica.

GM6 60 tempos

Figuras geométricas planas • Ângulo ao centro e setor circular; • Polígonos inscritos numa circunferência; • Retas e segmentos de reta tangentes a uma circunferência; • Polígonos circunscritos a uma circunferência; • Apótema de um polígono.


TEXTO

Sólidos geométricos e propriedades • Prismas; prismas oblíquos e regulares; • Pirâmides; • Bases, faces laterais e vértices de prismas e pirâmides; • Pirâmides regulares; • Cilindros; bases, eixo, geratrizes e superfície lateral de um cilindro; • Cones; base, vértice, eixo, geratrizes e superfície lateral de um cone; • Cilindros e cones retos; • Relação entre o número de arestas e de vértices de um prisma (ou pirâmide) e da respetiva base; • Poliedros convexos; • Relação de Euler; • Planificações de sólidos; • Problemas envolvendo sólidos geométricos e respetivas planificações. Medida Área • Fórmula para o perímetro do círculo; aproximação por perímetros de polígonos regulares inscritos e circunscritos; • Fórmula para a área de polígonos regulares; • Fórmula para a área do círculo; aproximação por áreas de polígonos regulares inscritos; • Problemas envolvendo o cálculo de perímetros e áreas de polígonos e círculos.

17

Domínio

Conteúdos Volume • Fórmula para o volume do paralelepípedo retângulo com dimensões de medida racional; • Fórmulas para o volume do prisma reto e do cilindro reto; • Problemas envolvendo o cálculo de volumes de sólidos. Isometrias do plano • Reflexão central como isometria; invariância da amplitude de ângulo; • Mediatriz de um segmento de reta; construção da mediatriz utilizando régua e como; • Reflexão axial como isometria; invariância da amplitude de ângulo; eixos de simetria; a bissetriz de um ângulo como eixo de simetria; • Rotação de sentido positivo ou negativo como isometria; invariância da amplitude de ângulo; • Imagem de um segmento de reta por uma isometria; • Construção de imagens de figuras planas por reflexões centrais e axiais e por rotações; • Simetrias de rotação e de reflexão; • Problemas envolvendo as propriedades das isometrias e utilizando raciocínio dedutivo; • Problemas envolvendo figuras com simetrias de rotação e de reflexão axial.

ALG6 54 tempos

Potências de expoente natural • Potência de base racional não negativa; • Regras operatórias das potências de base racional não negativa; • Prioridade das operações; • Linguagem simbólica e linguagem natural em enunciados envolvendo potências. Sequências e regularidades • Determinação de termos de uma sequência definida por uma lei de formação recorrente ou por uma expressão geradora; • Determinação de expressões geradoras de sequências definidas por uma lei de formação recorrente; • Problemas envolvendo a determinação de uma lei de formação compatível com uma sequência parcialmente conhecida. Proporcionalidade direta

14 tempos

18

Representação e tratamento de dados • População e unidade estatística; • Variáveis quantitativas e qualitativas; • Gráficos circulares; • Análise de conjuntos de dados a partir da média, moda e amplitude; • Problemas envolvendo dados representados de diferentes formas.


OTD6

TEXTO

• Noção de grandezas diretamente proporcionais e de constante de proporcionalidade direta; • Proporções; extremos, meios e termos de uma proporção; propriedades; regra de três simples; • Escalas em mapas; • Problemas envolvendo a noção de proporcionalidade direta entre grandezas mutuamente dependentes.

5. Níveis de desempenho Tal como indicado na Introdução dos Cadernos de Apoio às Metas Curriculares, para vários descritores consideraram-se diferentes níveis de desempenho, materializados, nesses Cadernos, em exercícios ou problemas que podem ser propostos aos alunos. Aqueles que aí foram assinalados com um ou dois asteriscos estão associados a níveis de desempenho progressivamente mais avançados. Tais desempenhos mais avançados não são exigíveis a todos os alunos, tendo, portanto, caráter opcional. No caso de outros descritores, embora não se tenham apresentado exemplos que permitissem distinguir níveis de desempenho, considera-se que o seu total cumprimento exige, só por si, um nível de desempenho avançado. No quadro abaixo indicam-se todos os descritores atrás referidos, que se enquadram em três tipos distintos:

• Uns descritores mencionam propriedades que devem ser reconhecidas. Ainda que esse reconhecimento com níveis de desempenho que ultraem o considerado regular seja, tal como foi explicado acima, opcional, os alunos deverão, em todos os casos, conhecer pelo menos o enunciado destas propriedades, podendo utilizá-las quando necessário, por exemplo na resolução de problemas;

• Outros descritores envolvem procedimentos. Todos devem ser trabalhados ao nível mais elementar, ficando ao critério do professor o grau de desenvolvimento com que aborda situações mais complexas, correspondentes a níveis de desempenho superiores;

• Os restantes descritores referem-se a propriedades que devem ser provadas ou demonstradas; o facto de se incluírem alguns descritores deste tipo na lista dos que podem envolver níveis de desempenho avançados significa que as demonstrações a que se referem, embora devam ser requeridas para se atingirem esses níveis de desempenho, não são exigíveis à generalidade dos alunos, devendo todos eles, em qualquer caso, conhecer o enunciado das propriedades e estar aptos a utilizá-las quando necessário. Em todos os casos, as condições em que são abordados os níveis de desempenho mais avançados ficam ao critério do professor, em função das circunstâncias (tempo, características dos alunos ou outros fatores) em que decorre a sua prática letiva.

Ano de escolaridade

NO5 3.5, 3.6 GM5 1.7, 1.14, 1.15, 1.16, 2.2, 2.5, 2.6, 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, 2.16, 2.20, 2.22, 4.2, 4.5 ALG5 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9


TEXTO

5.o ano

Descritores

6.o ano

NO6 2.9, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 4.1, 4.2, 4.6 GM6 1.4, 1.7, 3.2, 3.4, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 9.5, 9.13 ALG6 1.3, 1.4, 1.6, 1.7, 1.8

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6. Metodologias Tendo em consideração, tal como para os níveis de desempenho, as circunstâncias de ensino (de modo muito particular, as características das turmas e dos alunos), as escolas e os professores devem decidir quais as metodologias e os recursos mais adequados para auxiliar os seus alunos a alcançar os desempenhos definidos nas Metas Curriculares. A experiência acumulada dos professores e das escolas é um elemento fundamental no sucesso de qualquer projeto educativo, não se pretendendo, por isso, espartilhar e diminuir a sua liberdade pedagógica nem condicionar a sua prática letiva. Pelo contrário, o presente Programa reconhece e valoriza a autonomia dos professores e das escolas, não impondo portanto metodologias específicas. Sem constituir ingerência no trabalho das escolas e dos professores, nota-se que a aprendizagem matemática é estruturada em patamares de crescente complexidade, pelo que na prática letiva deverá ter-se em atenção a progressão dos alunos, sendo muito importante proceder-se a revisões frequentes de os anteriores com vista à sua consolidação. O uso da calculadora tem vindo a generalizar-se, em atividades letivas, nos diversos níveis de ensino, por vezes de forma pouco criteriosa. Em fases precoces, há que acautelar devidamente que esse uso não comprometa a aquisição de procedimentos e o treino do cálculo mental e, consequentemente, a eficácia do próprio processo de aprendizagem. Por este motivo, o uso da calculadora no Ensino Básico apenas é expressamente recomendado em anos escolares mais avançados e sobretudo em situações pontuais de resolução de problemas que envolvam, por exemplo, um elevado número de cálculos, a utilização de valores aproximados, operações de radiciação ou a determinação de razões trigonométricas ou de amplitudes de ângulos dada uma razão trigonométrica, quando não haja intenção manifesta de, por alguma razão justificada, dispensar esse uso.

7. Avaliação

É este documento que permitirá cumprir a função de regulação e orientação do percurso de aprendizagem que a avaliação do desempenho dos alunos deverá assumir. Os resultados dos processos avaliativos (de caráter nacional, de escola, de turma e de aluno) devem contribuir para a orientação do ensino, de modo a que se possam superar, em tempo útil e de modo apropriado, dificuldades de aprendizagem identificadas e, simultaneamente, reforçar os progressos verificados. Todos estes propósitos devem ser concretizados recorrendo a uma avaliação diversificada e frequente, contribuindo, assim, para que os alunos adquiram uma maior consciência do seu nível de aprendizagem.

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O Despacho Normativo n.o 24-A/2012, de 6 de dezembro de 2012, define as regras de avaliação do desempenho dos alunos nos três ciclos do Ensino Básico. Em particular, explicita-se nesse normativo que o sistema educativo deve adotar como referencial de avaliação as Metas Curriculares.

TEXTO

O Decreto-Lei n.o 139/2012, de 5 de julho, estabelece os princípios orientadores da organização, da gestão e do desenvolvimento dos currículos dos ensinos Básico e Secundário, bem como da avaliação dos conhecimentos adquiridos e das capacidades desenvolvidas pelos alunos do Ensino Básico ministradas em estabelecimentos escolares públicos, particulares e cooperativos.

Nesta conformidade, qualquer tipo de avaliação deve ser concretizado por referência às Metas Curriculares e deve permitir efetuar um diagnóstico da situação da aprendizagem de cada aluno e de cada turma. A classificação resultante da avaliação interna no final de cada período traduzirá o nível de desempenho do aluno no que se refere ao cumprimento das Metas Curriculares.

8. Bibliografia 1. Aharoni, R., Aritmética para pais , Lisboa: SPM/Gradiva (trad. de Arithmetic for Parents : A Book for Grownups about Childrens’ Mathematics, El Cerrito, CA, Sumizdat, 2007). 2. Anderson, J.R. & Schunn, C., Implications of the ACT-R learning theory: No magic bullets, Advances in instructional psychology, Educational design and cognitive science (pp. 1-33), Mahwah: Lawrence Erlbaum, 2000. 3. Bivar, A., Grosso, C., Oliveira, F. & Timóteo, M.C., Metas Curriculares do Ensino Básico – Matemática, Caderno de Apoio – 1.o Ciclo, Ministério da Educação e Ciência: Direção-Geral da Educação, 2012. 4. Bivar, A., Grosso, C., Oliveira, F. & Timóteo, M.C., Metas Curriculares do Ensino Básico – Matemática, Caderno de Apoio - 2.o Ciclo, Ministério da Educação e Ciência: Direção-Geral da Educação, 2012. 5. Bivar, A., Grosso, C., Oliveira, F. & Timóteo, M.C., Metas Curriculares do Ensino Básico – Matemática, Caderno de Apoio - 3.o Ciclo, Ministério da Educação e Ciência: Direção-Geral da Educação, 2013. 6. Common Core State Standards for Mathematics, Common Core State Standards Initiative, Preparing America’s students for college & Career, 2011. 7. Elementary Mathematics Syllabus, Singapore Ministry of Education, 2009. 8. Geary, D., Berch, D.B., Ooykin, W., Embretson, S., Reyna, V., & Siegler, R., Learning mathematics: Findings from The National (United States) Mathematics Advisory , in N. Crato (Org.), Ensino da matemática: Questões e soluções, (pp. 175-221), Lisboa, Fundação Calouste Gulbenkian, 2008.


TEXTO

9. Geary, D.C., Development of mathematical understanding, in D. Kuhl & R.S. Siegler (Vol. Eds.), Cognition, perception, and language, Vol. 2., W. Damon (Gen. Ed.), Handbook of child psychology, 6th ed., (pp. 777-810), New York: John Wiley & Sons, 2006. 10. Kaminsky, J., Sloutsky, V. & Heckler, A., The advantage of abstract examples in learning math, Education Forum, 320 (pp. 454-455), 2008. 11. Karpicke, J.D. & Roediger, H.L., The critical importance of retrieval for learning, Science, 319, (pp. 966-968), 2008. 12. Kirschener, P., Sweller, J., & Clark, R., Why minimal guidance during instruction does not work: An analysis of the failure of constructivist, discovery, problem-based, experiential, and inquiry-based teaching, Educational Psychologist, 41 (2), (pp. 75-86), 2006. 13. Mathematics – The National Curriculum for England, Department for Education and Employment, London, 1999.

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14. Mullis, I.V.S., Martin, M.O., Foy, P., & Arora, A., Trends in International Mathematics and Science Study, TIMMS-2011 International Results in Mathematics, Chestnut Hill, MA: TIMSS & PIRLS International Study Center, Boston College, 2012. 15. NMAP – National Mathematics Advisory , Foundations for success: Final Report, U.S. Department of Education, 2008. 16. Paas, F., Renkl, A., & Sweller, J., Cognitive load theory: Instructional implications of the interaction between information structures and cognitive architecture, Instructional Science, 32, 1-8, 2004. 17. Ponte, J.P., Serrazina, L., Guimarães, H.M., Breda, A., Guimarães, F., Sousa, H., Menezes, L., Martins, M.E. & Oliveira, P.A., Programa Nacional do Ensino Básico, Ministério da Educação: Direção-Geral da Inovação e Desenvolvimento Curricular, 2007. 18. Rittle-Johnson, B., Siegler, R.S. & Alibali, M.W., Developing conceptual understanding and procedural skill in mathematics: An iterative process, Journal of Educational Psychology, 93, (pp. 346-362), 2001. 19. Roediger, H.L., Karpicke, J.D., Test-enhanced learning: Taking memory tests improves long-term retention, Psychological Science, 17, (pp. 249-255), 2006. 20. Roediger, H.L., Karpicke, J.D., The power of testing memory: Basic research and implications for educational practice, Perspectives on Psychological Science, 1, (pp. 181-210), 2006. 21. Rohder, D. & Taylor, K., The effects of overlearning and distributed practice on the retention of mathematics knowledge, Applied Cognitive Psychology, 20, 2006. 22. Sweller, J., Clark, R. & Kirschener, P., Teaching general problem-solving skills is not a substitute for, or a viable addition to, teaching mathematics (pp. 1303-1304), Doceamus 57(10), 2010. 23. Wu, H., Fractions, decimals and rational numbers, (http://math.berkeley.edu/~wu/), 2008.


TEXTO

24. Wu, H., On the learning of Algebra, (http://math.berkeley.edu/~wu/), 2001.

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Metas Curriculares do 2. o Ciclo O presente documento descreve o conjunto das metas curriculares da disciplina de Matemática que os alunos devem atingir durante o Ensino Básico, tendo-se privilegiado os elementos essenciais que constam do Programa de 2007. Os objetivos gerais, completados por descritores mais precisos, encontram-se organizados em cada ano de escolaridade, por domínios e subdomínios, segundo a seguinte estrutura:

Domínio Subdomínio 1. Objetivo geral 1. Descritor 2. Descritor … Os diferentes descritores estão redigidos de forma objetiva, numa linguagem rigorosa destinada ao professor, devendo este selecionar uma estratégia de ensino adequada à respetiva concretização, incluindo uma adaptação da linguagem aos diferentes níveis de escolaridade. O significado preciso de certos verbos com que se iniciam alguns descritores («saber», «reconhecer», «identificar», «designar», «provar», «demonstrar») depende do ciclo a que se referem, encontrando-se uma descrição do que é pretendido explicitada nos parágrafos intitulados «Leitura das metas curriculares». Em particular, as técnicas de argumentação e de demonstração, que constituem a própria natureza da Matemática, vão sendo, de forma progressiva, requeridas a todos os alunos. A prática letiva obriga, naturalmente, a frequentes revisões de objetivos gerais e descritores correspondentes a anos de escolaridade anteriores. Estes pré-requisitos não se encontram explicitados no texto, devendo o professor identificá-los consoante a necessidade, a pertinência e as características próprias de cada grupo de alunos.


TEXTO

Os temas transversais referidos no Programa de 2007, como a Comunicação ou o Raciocínio matemático, referem-se a capacidades estruturais indispensáveis ao cumprimento dos objetivos elencados, estando contemplados neste documento de forma explícita ou implícita em todos os descritores. Optou-se por formar uma sequência de objetivos gerais e de descritores, dentro de cada subdomínio, que corresponde a uma progressão de ensino adequada, podendo no entanto optar-se por alternativas coerentes que cumpram os mesmos objetivos e respetivos descritores. Existem em particular algumas circunstâncias em que se torna necessário cumprir alternadamente descritores que pertencem a subdomínios ou mesmo a domínios distintos; com efeito, a arrumação dos tópicos por domínios temáticos, e simultaneamente respeitando dentro de cada domínio uma determinada progressão a isso pode levar, dada a própria natureza e interligação dos conteúdos e capacidades matemáticas. São também disponibilizados aos professores cadernos de apoio às presentes metas curriculares (um por ciclo), contendo es teóricos aos objetivos e descritores, bem como exemplos de concretização de alguns deles. Nesses documentos, os níveis de desempenho esperados foram, sempre que possível, objeto de especificação.

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2. o ciclo

Leitura das Metas Curriculares do 2.º ciclo «Identificar», «designar»: o aluno deve utilizar corretamente a designação referida, sabendo definir o conceito apresentado como se indica ou de maneira equivalente, ainda que informal. «Estender»: O aluno deve saber definir o conceito como se indica ou de forma equivalente, ainda que informal, reconhecendo que se trata de uma generalização.

«Reconhecer»: O aluno deve conhecer o resultado e saber justificá-lo, eventualmente de modo informal ou recorrendo a casos particulares. No caso das propriedades mais complexas, os alunos devem apenas saber justificar isoladamente os diversos os utilizados pelo professor para as deduzir, bem como saber ilustrá-las utilizando exemplos concretos. No caso das propriedades mais simples, os alunos poderão ser chamados a apresentar de forma autónoma uma justificação geral um pouco mais precisa.


TEXTO

«Saber»: Pretende-se que o aluno conheça o resultado, mas sem que lhe seja exigida qualquer justificação ou verificação concreta.

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5. o ano Números e Operações NO5 Números racionais não negativos 1. Efetuar operações com números racionais não negativos 1. Simplificar frações dividindo ambos os termos por um divisor comum superior à unidade. 2. Reconhecer, dadas duas frações, que multiplicando ambos os termos de cada uma pelo denominador da outra obtêm-se duas frações com o mesmo denominador que lhes são respetivamente equivalentes. 3. Ordenar duas quaisquer frações. 4. Reconhecer que 5. Reconhecer que

(sendo , , e números naturais).

(sendo , , e números naturais, ).

6. Identificar o produto de um número racional positivo por (sendo e números naturais) como o produto por do produto de por

, representá-lo por e

e reconhecer que

(sendo e números naturais).

7. Reconhecer que

(sendo , , e números naturais).

8. Designar por «fração irredutível» uma fração com menores termos do que qualquer outra que lhe seja equivalente. 9. Representar números racionais não negativos como numerais mistos. 10. Adicionar e subtrair dois números racionais não negativos expressos como numerais mistos, começando respetivamente por adicionar ou subtrair as partes inteiras e as frações próprias associadas, com eventual transporte de uma unidade. 11. Determinar aproximações de números racionais positivos por excesso ou por defeito, ou por arredondamento, com uma dada precisão. 2. Resolver problemas


TEXTO

1. Resolver problemas de vários os envolvendo operações com números racionais representados por frações, dízimas, percentagens e numerais mistos. Números naturais 3. Conhecer e aplicar propriedades dos divisores 1. Saber os critérios de divisibilidade por , por e por . 2. Identificar o máximo divisor comum de dois números naturais por inspeção dos divisores de cada um deles. 3. Reconhecer que num produto de números naturais, um divisor de um dos fatores é divisor do produto. 4. Reconhecer que se um dado número natural divide outros dois, divide também as respetivas soma e diferença. 5. Reconhecer, dada uma divisão inteira , que se um número divide o divisor ( ) e o resto ( ) então divide o dividendo (). 25

6. Reconhecer, dada uma divisão inteira ), que se um número divide o dividendo () e o divisor () então divide o resto ( ). 7. Utilizar o algoritmo de Euclides para determinar os divisores comuns de dois números naturais e, em particular, identificar o respetivo máximo divisor comum. 8. Designar por «primos entre si» dois números cujo máximo divisor comum é . 9. Reconhecer que dividindo dois números pelo máximo divisor comum se obtêm dois números primos entre si. 10. Saber que uma fração é irredutível se o numerador e o denominador são primos entre si. 11. Identificar o mínimo múltiplo comum de dois números naturais por inspeção dos múltiplos de cada um deles. 12. Saber que o produto de dois números naturais é igual ao produto do máximo divisor comum pelo mínimo múltiplo comum e utilizar esta relação para determinar o segundo quando é conhecido o primeiro, ou vice-versa. 4. Resolver problemas


TEXTO

1. Resolver problemas envolvendo o cálculo do máximo divisor comum e do mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais.

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Geometria e Medida GM5 Propriedades geométricas 1. Reconhecer propriedades envolvendo ângulos, paralelismo e perpendicularidade 1. Identificar um ângulo não giro como soma de dois ângulos e se for igual à união de dois ângulos adjacentes e respetivamente iguais a e a . 2. Identificar um ângulo giro como igual à soma de outros dois se estes forem iguais respetivamente a dois ângulos não coincidentes com os mesmos lados. 3. Construir um ângulo igual à soma de outros dois utilizando régua e como. 4. Designar por «bissetriz» de um dado ângulo a semirreta nele contida, de origem no vértice e que forma com cada um dos lados ângulos iguais, e construi-la utilizando régua e como. 5. Identificar dois ângulos como «suplementares» quando a respetiva soma for igual a um ângulo raso.

6. Identificar dois ângulos como «complementares» quando a respetiva soma for igual a um ângulo reto. 7. Reconhecer que ângulos verticalmente opostos são iguais.


TEXTO

8. Identificar duas semirretas com a mesma reta e como tendo «o mesmo sentido» se uma contém a outra. 9. Identificar duas semirretas com retas e distintas como tendo «o mesmo sentido» se forem paralelas e estiverem contidas num mesmo semiplano determinado pelas respetivas origens. 10. Utilizar corretamente as expressões «semirretas diretamente paralelas» e «semirretas inversamente paralelas». 11. Identificar, dadas duas semirretas e contidas na mesma reta e com o mesmo sentido e dois pontos e pertencentes a um mesmo semiplano definido pela reta , os ângulos e como «correspondentes» e saber que são iguais quando (e apenas quando) as retas e são paralelas. 12. Construir segmentos de reta paralelos recorrendo a régua e esquadro e utilizando qualquer par de lados do esquadro.

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13. Identificar, dadas duas retas e intersetadas por uma secante, «ângulos internos» e «ângulos externos» e pares de ângulos «alternos internos» e «alternos externos» e reconhecer que os ângulos de cada um destes pares são iguais quando (e apenas quando) e são paralelas. 14. Reconhecer que são iguais dois ângulos convexos complanares de lados dois a dois diretamente paralelos ou de lados dois a dois inversamente paralelos. 15. Reconhecer que são suplementares dois ângulos convexos complanares que tenham dois dos lados diretamente paralelos e os outros dois inversamente paralelos. 16. Saber que dois ângulos convexos complanares de lados perpendiculares dois a dois são iguais se forem «da mesma espécie» (ambos agudos ou ambos obtusos) e são suplementares se forem «de espécies diferentes».

2. Reconhecer propriedades de triângulos e paralelogramos 1. Utilizar corretamente os termos «ângulo interno», «ângulo externo» e «ângulos adjacentes a um lado» de um polígono. 2. Reconhecer que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a um ângulo raso. 3. Reconhecer que num triângulo retângulo ou obtusângulo dois dos ângulos internos são agudos. 4. Designar por «hipotenusa» de um triângulo retângulo o lado oposto ao ângulo reto e por «catetos» os lados a ele adjacentes. 5. Reconhecer que um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes.

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7. Identificar paralelogramos como quadriláteros de lados paralelos dois a dois e reconhecer que dois ângulos opostos são iguais e dois ângulos adjacentes ao mesmo lado são suplementares. 8. Utilizar corretamente os termos «triângulo retângulo», «triângulo acutângulo» e «triângulo obtusângulo». 9. Construir triângulos dados os comprimentos dos lados, reconhecer que as diversas construções possíveis conduzem a triângulos iguais e utilizar corretamente, neste contexto, a expressão «critério LLL de igualdade de triângulos». 10. Construir triângulos dados os comprimentos de dois lados e a amplitude do ângulo por eles formado e reconhecer que as diversas construções possíveis conduzem a triângulos iguais e utilizar corretamente, neste contexto, a expressão «critério LAL de igualdade de triângulos». 11. Construir triângulos dado o comprimento de um lado e as amplitudes dos ângulos adjacentes a esse lado e reconhecer que as diversas construções possíveis conduzem a triângulos iguais e utilizar corretamente, neste contexto, a expressão «critério ALA de igualdade de triângulos».

TEXTO

6. Reconhecer que num triângulo a soma de três ângulos externos com vértices distintos é igual a um ângulo giro.

12. Reconhecer que num triângulo a lados iguais opõem-se ângulos iguais e reciprocamente. 13. Reconhecer que em triângulos iguais a lados iguais opõem-se ângulos iguais e reciprocamente.


TEXTO

14. Classificar os triângulos quanto aos lados utilizando as amplitudes dos respetivos ângulos internos. 15. Saber que num triângulo ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado opõe-se o menor ângulo, e vice-versa. 16. Reconhecer que num paralelogramo lados opostos são iguais. 17. Saber que num triângulo a medida do comprimento de qualquer lado é menor do que a soma das medidas dos comprimentos dos outros dois e maior do que a respetiva diferença e designar a primeira destas propriedades por «desigualdade triangular». 18. Saber, dada uma reta e um ponto não pertencente a , que existe uma reta perpendicular a ando por , reconhecer que é única e construir a interseção desta reta com (ponto designado por «pé da perpendicular») utilizando régua e esquadro. 19. Saber, dada uma reta e um ponto a ela pertencente, que existe em cada plano contendo , uma reta perpendicular a ando por , reconhecer que é única e construí-la utilizando régua e esquadro, designando o ponto por «pé da perpendicular». 20. Identificar a distância de um ponto a uma reta como a distância de ao pé da perpendicular traçada de para e reconhecer que é inferior à distância de a qualquer outro ponto de . 21. Identificar, dado um triângulo e um dos respetivos lados, a «altura» do triângulo relativamente a esse lado (designado por «base»), como o segmento de reta unindo o vértice oposto à base com o pé da perpendicular traçada desse vértice para a reta que contém a base. 22. Reconhecer que são iguais os segmentos de reta que unem duas retas paralelas e lhes são perpendiculares e designar o comprimento desses segmentos por «distância entre as retas paralelas». 23. Identificar, dado um paralelogramo, uma «altura» relativamente a um lado (designado por «base») como um segmento de reta que une um ponto do lado oposto à reta que contém a base e lhe é perpendicular. 24. Utilizar raciocínio dedutivo para reconhecer propriedades geométricas. 3. Resolver problemas 1. Resolver problemas envolvendo as noções de paralelismo, perpendicularidade, ângulos e triângulos. Medida 4. Medir áreas de figuras planas 1. Construir, fixada uma unidade de comprimento e dados dois números naturais e , um quadrado unitário decomposto em retângulos de lados consecutivos de medidas que a área de cada um é igual a

e

e reconhecer

unidades quadradas.

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2. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento e dados dois números racionais positivos e , que a área de um retângulo de lados consecutivos de medida e é igual a unidades quadradas. 3. Exprimir em linguagem simbólica a regra para o cálculo da medida da área de um retângulo em unidades quadradas, dadas as medidas de comprimento de dois lados consecutivos em determinada unidade, no caso em que são ambas racionais. 4. Exprimir em linguagem simbólica a regra para o cálculo da medida da área de um quadrado em unidades quadradas, dada a medida de comprimento dos respetivos lados em determinada unidade (supondo racional), designando essa medida por « ao quadrado» e representando-a por « ». 5. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento e dado um paralelogramo com uma base e uma altura a ela relativa com comprimentos de medidas respetivamente iguais a e a (sendo e números racionais positivos), que a medida da área do paralelogramo em unidades quadradas é igual a , verificando que o paralelogramo é equivalente a um retângulo com essa área. 6. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento e dado um triângulo com uma base e uma altura a ela relativa com comprimentos de medidas respetivamente iguais a e (sendo e números racionais positivos), que a medida da área do triângulo em unidades quadradas é igual a metade de , verificando que se pode construir um paralelogramo decomponível em dois triângulos iguais ao triângulo dado, com a mesma base que este. 7. Exprimir em linguagem simbólica as regras para o cálculo das medidas das áreas de paralelogramos e triângulos em unidades quadradas, dadas as medidas de comprimento de uma base e correspondente altura em determinada unidade, no caso em que são ambas racionais. 5. Resolver problemas 1. Resolver problemas envolvendo o cálculo de áreas de figuras planas. 6. Medir amplitudes de ângulos 1. Identificar, fixado um ângulo (não nulo) como unidade, a medida da amplitude de um dado ângulo como

(sendo número natural) quando o ângulo unidade for igual à soma de ângulos iguais

àquele. 2. Identificar, fixado um ângulo (não nulo) como unidade, a medida da amplitude de um dado ângulo (sendo e números naturais) quando for igual à soma de ângulos de amplitude

unidades e representar a amplitude de por « 3. Identificar o «grau» como a unidade de medida de amplitude de ângulo tal que o ângulo giro tem amplitude igual a graus e utilizar corretamente o símbolo «». 4. Saber que um grau se divide em minutos (de grau) e um minuto em segundos (de grau) e

5. Utilizar o transferidor para medir amplitudes de ângulos e construir ângulos de determinada amplitude expressa em graus. 7. Resolver problemas 1. Resolver problemas envolvendo adições, subtrações e conversões de medidas de amplitude expressas em forma complexa e incomplexa.

30

TEXTO


como

Álgebra ALG5 Expressões algébricas 1. Conhecer e aplicar as propriedades das operações 1. Conhecer as prioridades convencionadas das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão e utilizar corretamente os parênteses. 2. Reconhecer as propriedades associativa e comutativa da adição e da multiplicação e as propriedades distributivas da multiplicação relativamente à adição e à subtração e representá-las algebricamente. 3. Identificar o e o como os elementos neutros respetivamente da adição e da multiplicação de números racionais não negativos e o como elemento absorvente da multiplicação. 4. Utilizar o traço de fração para representar o quociente de dois números racionais e designá-lo por «razão» dos dois números. 5. Identificar dois números racionais positivos como «inversos» um do outro quando o respetivo

produto for igual a e reconhecer que o inverso de um dado número racional positivo é igual a .

6. Reconhecer que o inverso de

é

(sendo e números naturais) e reconhecer que dividir por

um número racional positivo é o mesmo do que multiplicar pelo respetivo inverso. 7. Reconhecer que o inverso do produto (respetivamente quociente) de dois números racionais positivos é igual ao produto (respetivamente quociente) dos inversos. 8. Reconhecer, dados números racionais positivos , , e , que

e concluir que o

inverso de é igual a .

9. Reconhecer, dados números racionais positivos , , e , que

.


TEXTO

10. Simplificar e calcular o valor de expressões numéricas envolvendo as quatro operações aritméticas e a utilização de parênteses. 11. Traduzir em linguagem simbólica enunciados matemáticos expressos em linguagem natural e viceversa, sabendo que o sinal de multiplicação pode ser omitido entre números e letras e entre letras, e que pode também utilizar-se, em todos os casos, um ponto no lugar deste sinal.

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Organização e Tratamento de Dados OTD5

Gráficos cartesianos 1. Construir gráficos cartesianos 1. Identificar um «referencial cartesiano» como um par de retas numéricas não coincidentes que se intersetam nas respetivas origens, das quais uma é fixada como «eixo das abcissas» e a outra como «eixo das ordenadas» (os «eixos coordenados»), designar o referencial cartesiano como «ortogonal» quando os eixos são perpendiculares e por «monométrico» quando a unidade de comprimento é a mesma para ambos os eixos. 2. Identificar, dado um plano munido de um referencial cartesiano, a «abcissa» (respetivamente «ordenada») de um ponto do plano como o número representado pela interseção com o eixo das abcissas (respetivamente ordenadas) da reta paralela ao eixo das ordenadas (respetivamente abcissas) que a por e designar a abcissa e a ordenada por «coordenadas» de. 3. Construir, num plano munido de um referencial cartesiano ortogonal, o «gráfico cartesiano» referente a dois conjuntos de números tais que a todo o elemento do primeiro está associado um único elemento do segundo, representando nesse plano os pontos cujas abcissas são iguais aos valores do primeiro conjunto e as ordenadas respetivamente iguais aos valores associados às abcissas no segundo conjunto. Representação e tratamento de dados 2. Organizar e representar dados 1. Construir tabelas de frequências absolutas e relativas reconhecendo que a soma das frequências absolutas é igual ao número de dados e a soma das frequências relativas é igual a . 2. Representar um conjunto de dados em gráfico de barras. 3. Identificar um «gráfico de linha» como o que resulta de se unirem, por segmentos de reta, os pontos de abcissas consecutivas de um gráfico cartesiano constituído por um número finito de pontos, em que o eixo das abcissas representa o tempo.

4. Resolver problemas 1. Resolver problemas envolvendo a média e a moda de um conjunto de dados, interpretando o respetivo significado no contexto de cada situação. 2. Resolver problemas envolvendo a análise de dados representados em tabelas de frequência, diagramas de caule-e-folhas, gráficos de barras e de linhas.

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1. Identificar a «média» de um conjunto de dados numéricos como o quociente entre a soma dos respetivos valores e o número de dados, e representá-la por « ».

TEXTO

3. Tratar conjuntos de dados

6. o ano Números e Operações NO6

Números naturais 1. Conhecer e aplicar propriedades dos números primos 1. Identificar um número primo como um número natural superior a que tem exatamente dois divisores: e ele próprio. 2. Utilizar o crivo de Eratóstenes para determinar os números primos inferiores a um dado número natural. 3. Saber, dado um número natural superior a , que existe uma única sequência crescente em sentido lato de números primos cujo produto é igual a esse número, designar esta propriedade por «teorema fundamental da aritmética» e decompor números naturais em produto de fatores primos. 4. Utilizar a decomposição em fatores primos para simplificar frações, determinar os divisores de um número natural e o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de dois números naturais. Números racionais 2. Representar e comparar números positivos e negativos 1. Reconhecer, dado um número racional positivo , que existem na reta numérica exatamente dois pontos cuja distância à origem é igual a unidades: um pertencente à semirreta dos racionais positivos (o ponto que representa ) e o outro à semirreta oposta, e associar ao segundo o número 2. 3. 4.


TEXTO

5. 6. 7. 8. 9. 10.

designado por «número racional negativo ». Identificar, dado um número racional positivo , os números e como «simétricos» um do outro e como simétrico de si próprio. Identificar, dado um número racional positivo , «» como o próprio número e utilizar corretamente os termos «sinal de um número», «sinal positivo» e «sinal negativo». Identificar grandezas utilizadas no dia a dia cuja medida se exprime em números positivos e negativos, conhecendo o significado do zero em cada um dos contextos. Identificar a «semirreta de sentido positivo» associada a um dado ponto da reta numérica como a semirreta de origem nesse ponto com o mesmo sentido da semirreta dos números positivos. Identificar um número racional como maior do que outro se o ponto a ele associado pertencer à semirreta de sentido positivo associada ao segundo. Reconhecer que é maior do que qualquer número negativo e menor do que qualquer número positivo. Identificar o «valor absoluto» (ou «módulo») de um número como a medida da distância à origem do ponto que o representa na reta numérica e utilizar corretamente a expressão «||». Reconhecer, dados dois números positivos, que é maior o de maior valor absoluto e, dados dois números negativos, que é maior o de menor valor absoluto. Reconhecer que dois números racionais não nulos são simétricos quando tiverem o mesmo valor absoluto e sinais contrários.

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11. Identificar o conjunto dos «números inteiros relativos» (ou simplesmente «números inteiros») como o conjunto formado pelo , os números naturais e os respetivos simétricos, representá-lo por e o conjunto dos números naturais por . 12. Identificar o conjunto dos «números racionais» como o conjunto formado pelo , os números racionais positivos e os respetivos simétricos e representá-lo por . 3. Adicionar números racionais 1. Identificar um segmento orientado como um segmento de reta no qual se escolhe uma origem de entre os dois extremos e representar por o segmento orientado de origem , designando o ponto B por extremidade deste segmento orientado. 2. Referir, dados dois números racionais e representados respetivamente pelos pontos e da reta numérica, o segmento orientado como «orientado positivamente» quando é menor do que e como «orientado negativamente» quando é maior do que . 3. Identificar, dados dois números racionais e representados respetivamente pelos pontos e da reta numérica, a soma como a abcissa da outra extremidade do segmento orientado de origem e de comprimento e orientação de ou pelo ponto se for nulo, reconhecendo que assim se estende a todos os números racionais a definição de adição de números racionais não negativos. 4. Reconhecer, dados números racionais com o mesmo sinal, que a respetiva soma é igual ao número racional com o mesmo sinal e de valor absoluto igual à soma dos valores absolutos das parcelas. 5. Reconhecer, dados dois números racionais de sinal contrário não simétricos, que a respetiva soma é igual ao número racional de sinal igual ao da parcela com maior valor absoluto e de valor absoluto igual à diferença entre o maior e o menor dos valores absolutos das parcelas. 6. Reconhecer que a soma de qualquer número com é o próprio número e que a soma de dois números simétricos é nula.

5. Reconhecer que o módulo de um número racional é igual a se for positivo e a se for negativo. 6. Reconhecer que a medida da distância entre dois pontos de abcissas e é igual a e a .

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1. Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a identificação da diferença entre dois números e como o número cuja soma com é igual a . 2. Reconhecer, dados dois números racionais e , que é igual à soma de com o simétrico de e designar, de forma genérica, a soma e a diferença de dois números racionais por «soma algébrica». 3. Reconhecer, dado um número racional, que é igual ao simétrico de q e representá-lo por «». 4. Reconhecer, dado um número racional, que

TEXTO

4. Subtrair números racionais

Geometria e Medida GM6 Figuras geométricas planas 1. Relacionar circunferências com ângulos, retas e polígonos 1. Designar, dada uma circunferência, por «ângulo ao centro» um ângulo de vértice no centro. 2. Designar, dada uma circunferência, por «setor circular» a interseção de um ângulo ao centro com o círculo.

3. Identificar um polígono como «inscrito» numa dada circunferência quando os respetivos vértices são pontos da circunferência.

4. Reconhecer que uma reta que a por um ponto de uma circunferência de centro e é perpendicular ao raio interseta a circunferência apenas em e designá-la por «reta tangente à circunferência». 5. Identificar um segmento de reta como tangente a uma dada circunferência se a intersetar e a respetiva reta e for tangente à circunferência.

6. Identificar um polígono como «circunscrito» a uma dada circunferência quando os respetivos lados forem tangentes à circunferência.


TEXTO

7. Reconhecer, dado um polígono regular inscrito numa circunferência, que os segmentos que unem o centro da circunferência aos pés das perpendiculares tiradas do centro para os lados do polígono são todos iguais e designá-los por «apótemas». Sólidos geométricos 2. Identificar sólidos geométricos 1. Identificar «prisma» como um poliedro com duas faces geometricamente iguais («bases do prisma») situadas respetivamente em dois planos paralelos de modo que as restantes sejam paralelogramos, designar os prismas que não são retos por «prismas oblíquos», os prismas retos de bases regulares por «prismas regulares», e utilizar corretamente a expressão «faces laterais do prisma». 2. Identificar «pirâmide» como um poliedro determinado por um polígono («base da pirâmide») que constitui uma das suas faces e um ponto («vértice da pirâmide»), exterior ao plano que contém a base de tal modo que as restantes faces são os triângulos determinados pelo vértice da pirâmide e pelos lados da base e utilizar corretamente a expressão «faces laterais da pirâmide». 35

3. Designar por «pirâmide regular» uma pirâmide cuja base é um polígono regular e as arestas laterais são iguais. 4. Identificar, dados dois círculos com o mesmo raio, (de centro ) e (de centro ), situados respetivamente em planos paralelos, o «cilindro» de «bases» e como o sólido delimitado pelas bases e pela superfície formada pelos segmentos de reta que unem as circunferências dos dois círculos e são paralelos ao segmento de reta designado por «eixo do cilindro» e utilizar corretamente as expressões «geratrizes do cilindro» e «superfície lateral do cilindro». 5. Designar por cilindro reto um cilindro cujo eixo é perpendicular aos raios de qualquer das bases. 6. Identificar, dado um círculo e um ponto exterior ao plano que o contém, o «cone» de «base» e «vértice» como o sólido delimitado por e pela superfície formada pelos segmentos de reta que unem aos pontos da circunferência do círculo e utilizar corretamente as expressões «geratrizes do cone», «eixo do cone» e «superfície lateral do cone». 7. Designar por cone reto um cone cujo eixo é perpendicular aos raios da base. 3. Reconhecer propriedades dos sólidos geométricos 1. Reconhecer que o número de arestas de um prisma é o triplo do número de arestas da base e que o número de arestas de uma pirâmide é o dobro do número de arestas da base. 2. Reconhecer que o número de vértices de um prisma é o dobro do número de vértices da base e que o número de vértices de uma pirâmide é igual ao número de vértices da base adicionado de uma unidade. 3. Designar um poliedro por «convexo» quando qualquer segmento de reta que une dois pontos do poliedro está nele contido. 4. Reconhecer que a relação de Euler vale em qualquer prisma e qualquer pirâmide e verificar a sua validade em outros poliedros convexos. 5. Identificar sólidos através de representações em perspetiva num plano. 4. Resolver problemas 1. Resolver problemas envolvendo sólidos geométricos e as respetivas planificações. Medida

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1. Saber que o perímetro e a área de um dado círculo podem ser aproximados respetivamente pelos perímetros e áreas de polígonos regulares nele inscritos e a eles circunscritos. 2. Saber que os perímetros e os diâmetros dos círculos são grandezas diretamente proporcionais, realizando experiências que o sugiram, e designar por a respetiva constante de proporcionalidade, sabendo que o valor de arredondado às décimas milésimas é igual a . 3. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, que o perímetro de um círculo é igual ao produto de pelo diâmetro e ao produto do dobro de pelo raio e exprimir simbolicamente estas relações. 4. Decompor um polígono regular inscrito numa circunferência em triângulos isósceles com vértice no centro, formar um paralelogramo com esses triângulos, acrescentando um triângulo igual no caso em que são em número ímpar, e utilizar esta construção para reconhecer que a medida da área do polígono, em unidades quadradas, é igual ao produto do semiperímetro pela medida do comprimento do apótema.

TEXTO

5. Medir o perímetro e a área de polígonos regulares e de círculos

5. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, que a área de um círculo é igual (em unidades quadradas) ao produto de pelo quadrado do raio, aproximando o círculo por polígonos regulares inscritos e o raio pelos respetivos apótemas. 6. Resolver problemas 1. Resolver problemas envolvendo o cálculo de perímetros e áreas de polígonos e de círculos. 7. Medir volumes de sólidos 1. Considerar, fixada uma unidade de comprimento e dados três números naturais , e , um cubo unitário decomposto em paralelepípedos retângulos com dimensões de medidas e

e reconhecer que o volume de cada um é igual a

,

unidades cúbicas.

2. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento e dados três números racionais positivos , e que o volume de um paralelepípedo retângulo com dimensões de medidas , e é igual a unidades cúbicas. 3. Reconhecer que o volume de um prisma triangular reto é igual a metade do volume de um paralelepípedo retângulo com a mesma altura e de base equivalente a um paralelogramo decomponível em dois triângulos iguais às bases do prisma. 4. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, que a medida do volume de um prisma triangular reto (em unidades cúbicas) é igual ao produto da medida da área da base (em unidades quadradas) pela medida da altura. 5. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, que a medida do volume de um prisma reto (em unidades cúbicas) é igual ao produto da medida da área da base (em unidades quadradas) pela medida da altura, considerando uma decomposição em prismas triangulares. 6. Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, que a medida do volume de um cilindro reto (em unidades cúbicas) é igual ao produto da medida da área da base (em unidades quadradas) pela medida da altura, aproximando-o por prismas regulares. 8. Resolver problemas 1. Resolver problemas envolvendo o cálculo de volumes de sólidos.


TEXTO

Isometrias do plano 9. Construir e reconhecer propriedades de isometrias do plano 1. Designar, dados dois pontos e , o ponto por «imagem do ponto pela reflexão central de centro » quando for o ponto médio do segmento e identificar a imagem de pela reflexão central de centro como o próprio ponto . 2. Reconhecer, dado um ponto e as imagens e de dois pontos e pela reflexão central de centro , que são iguais os comprimentos dos segmentos e e designar, neste contexto, a reflexão central como uma «isometria». 3. Reconhecer, dado um ponto e as imagens , e de três pontos , e pela reflexão central de centro , que são iguais os ângulos e . 4. Designar por «mediatriz» de um dado segmento de reta num dado plano a reta perpendicular a esse segmento no ponto médio. 37

38

TEXTO MATemática 6 – Caderno de Apoio ao Professor –

5. Reconhecer que os pontos da mediatriz de um segmento de reta são equidistantes das respetivas extremidades. 6. Saber que um ponto equidistante das extremidades de um segmento de reta pertence à respetiva mediatriz. 7. Construir a mediatriz (e o ponto médio) de um segmento utilizando régua e como. 8. Identificar, dada uma reta e um ponto não pertencente a , a «imagem de pela reflexão axial de eixo » como o ponto tal que é mediatriz do segmento [ e identificar a imagem de um ponto de pela reflexão axial de eixo como o próprio ponto. 9. Designar, quando esta simplificação de linguagem não for ambígua, «reflexão axial» por «reflexão». 10. Saber, dada uma reta , dois pontos e e as respetivas imagens e pela reflexão de eixo , que são iguais os comprimentos dos segmentos e e designar, neste contexto, a reflexão como uma «isometria». 11. Reconhecer, dada uma reta , três pontos , e e as respetivas imagens , e pela reflexão de eixo , que são iguais os ângulos e . 12. Identificar uma reta como «eixo de simetria» de uma dada figura plana quando as imagens dos pontos da figura pela reflexão de eixo formam a mesma figura. 13. Saber que a reta e da bissetriz de um dado ângulo convexo é eixo de simetria do ângulo (e do ângulo concavo associado), reconhecendo que os pontos a igual distância do vértice nos dois lados do ângulo são imagem um do outro pela reflexão de eixo que contém a bissetriz. 14. Designar, dados dois pontos e e um ângulo , um ponto por «imagem do ponto por uma rotação de centro e ângulo » quando os segmentos e têm o mesmo comprimento e os ângulos e a mesma amplitude. 15. Reconhecer, dados dois pontos e e um ângulo (não nulo, não raso e não giro), que existem exatamente duas imagens do ponto por rotações de centro e ângulo e distingui-las experimentalmente por referência ao sentido do movimento dos ponteiros do relógio, designando uma das rotações por «rotação de sentido positivo» (ou «contrário ao dos ponteiros do relógio») e a outra por «rotação de sentido negativo» (ou «no sentido dos ponteiros do relógio»). 16. Reconhecer, dados dois pontos e , que existe uma única imagem do ponto por rotação de centro e ângulo raso, que coincide com a imagem de pela reflexão central de centro e designá-la por imagem de por «meia volta em torno de ». 17. Reconhecer que a (única) imagem de um ponto por uma rotação de ângulo nulo ou giro é o próprio ponto . 18. Saber, dado um ponto , um ângulo e as imagens e de dois pontos e por uma rotação de centro e ângulo de determinado sentido, que são iguais os comprimentos dos segmentos e e designar, neste contexto, a rotação como uma «isometria». 19. Reconhecer, dado um ponto , um ângulo e as imagens , e de três pontos , e por uma rotação de centro e ângulo de determinado sentido, que são iguais os ângulos e . 20. Identificar uma figura como tendo «simetria de rotação» quando existe uma rotação de ângulo não nulo e não giro tal que as imagens dos pontos da figura por essa rotação formam a mesma figura. 21. Saber que a imagem de um segmento de reta por uma isometria é o segmento de reta cujas extremidades são as imagens das extremidades do segmento de reta inicial. 22. Construir imagens de figuras geométricas planas por reflexão central, reflexão axial e rotação utilizando régua e como.

23. Construir imagens de figuras geométricas planas por rotação utilizando régua e transferidor. 24. Identificar simetrias de rotação e de reflexão em figuras dadas. 10. Resolver problemas


TEXTO

1. Resolver problemas envolvendo as propriedades das isometrias utilizando raciocínio dedutivo. 2. Resolver problemas envolvendo figuras com simetrias de rotação e de reflexão axial.

39

Álgebra ALG6 Potências de expoente natural 1. Efetuar operações com potências 1. Identificar (sendo número natural maior do que e número racional não negativo) como o produto de fatores iguais a e utilizar corretamente os termos «potência», «base» e «expoente». 2. Identificar (sendo número racional não negativo) como o próprio número . 3. Reconhecer que o produto de duas potências com a mesma base é igual a uma potência com a mesma base e cujo expoente é igual à soma dos expoentes dos fatores. 4. Representar uma potência de base e expoente elevada a um expoente por e reconhecer que é igual a uma potência de base e expoente igual ao produto dos expoentes e utilizar corretamente a expressão «potência de potência». 5. Representar um número racional elevado a uma potência (sendo e números naturais)

6. 7.

8.

9.

por e reconhecer que, em geral, . Reconhecer que o produto de duas potências com o mesmo expoente é igual a uma potência com o mesmo expoente e cuja base é igual ao produto das bases. Reconhecer que o quociente de duas potências com a mesma base não nula e expoentes diferentes (sendo o expoente do dividendo superior ao do divisor) é igual a uma potência com a mesma base e cujo expoente é a diferença dos expoentes. Reconhecer que o quociente de duas potências com o mesmo expoente (sendo a base do divisor não nula) é igual a uma potência com o mesmo expoente e cuja base é igual ao quociente das bases. Conhecer a prioridade da potenciação relativamente às restantes operações aritméticas e simplificar e calcular o valor de expressões numéricas envolvendo as quatro operações aritméticas e potências bem como a utilização de parênteses.

2. Resolver problemas 1. Traduzir em linguagem simbólica enunciados expressos em linguagem natural e vice-versa.

1. Resolver problemas envolvendo a determinação de termos de uma sequência definida por uma expressão geradora ou dada por uma lei de formação que permita obter cada termo a partir dos anteriores, conhecidos os primeiros termos. 2. Determinar expressões geradoras de sequências definidas por uma lei de formação que na determinação de um dado elemento recorra aos elementos anteriores. 3. Resolver problemas envolvendo a determinação de uma lei de formação compatível com uma sequência parcialmente conhecida e formulá-la em linguagem natural e simbólica.

40


3. Resolver problemas

TEXTO

Sequências e regularidades

Proporcionalidade direta 4. Relacionar grandezas diretamente proporcionais 1. Identificar uma grandeza como «diretamente proporcional» a outra quando dela depende de tal forma que, fixadas unidades, ao multiplicar a medida da segunda por um dado número positivo, a medida da primeira fica também multiplicada por esse número. 2. Reconhecer que uma grandeza é diretamente proporcional a outra da qual depende quando, fixadas unidades, o quociente entre a medida da primeira e a medida da segunda é constante e utilizar corretamente o termo «constante de proporcionalidade». 3. Reconhecer que se uma grandeza é diretamente proporcional a outra então a segunda é diretamente proporcional à primeira e as constantes de proporcionalidade são inversas uma da outra. 4. Identificar uma proporção como uma igualdade entre duas razões não nulas e utilizar corretamente os termos «extremos», «meios» e «termos» de uma proporção. 5. Reconhecer que numa proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 6. Determinar o termo em falta numa dada proporção utilizando a regra de três simples ou outro processo de cálculo. 7. Saber que existe proporcionalidade direta entre distâncias reais e distâncias em mapas e utilizar corretamente o termo «escala». 5. Resolver problemas


TEXTO

1. Identificar pares de grandezas mutuamente dependentes distinguindo aquelas que são diretamente proporcionais. 2. Resolver problemas envolvendo a noção de proporcionalidade direta.

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Organização e Tratamento de Dados OTD6 Representação e tratamento de dados 1. Organizar e representar dados 1. Identificar «população estatística» ou simplesmente «população» como um conjunto de elementos, designados por «unidades estatísticas», sobre os quais podem ser feitas observações e recolhidos dados relativos a uma característica comum. 2. Identificar «variável estatística» como uma característica que ite diferentes valores (um número ou uma modalidade), um por cada unidade estatística. 3. Designar uma variável estatística por «quantitativa» ou «numérica» quando está associada a uma característica suscetível de ser medida ou contada e por «qualitativa» no caso contrário. 4. Designar por «amostra» o subconjunto de uma população formado pelos elementos relativamente aos quais são recolhidos dados, designados por «unidades estatísticas», e por «dimensão da amostra» o número de unidades estatísticas pertencentes à amostra. 5. Representar um conjunto de dados num «gráfico circular» dividindo um círculo em setores circulares sucessivamente adjacentes, associados respetivamente às diferentes categorias/classes de dados, de modo que as amplitudes dos setores sejam diretamente proporcionais às frequências relativas das categorias/classes correspondentes. 6. Representar um mesmo conjunto de dados utilizando várias representações gráficas, selecionando a mais elucidativa de acordo com a informação que se pretende transmitir. 2. Resolver problemas


TEXTO

1. Resolver problemas envolvendo a análise de dados representados de diferentes formas. 2. Resolver problemas envolvendo a análise de um conjunto de dados a partir da respetiva média, moda e amplitude.

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TEXTO

x Conhecimento de factos e de procedimentos

x Comunicação matemática

x Raciocínio matemático

x Resolução de problemas

CAPACIDADES TRANSVERSAIS

x Mínimo múltiplo comum de dois números

x Máximo divisor comum de dois números

x Aplicações da decomposição de um número num produto de fatores primos

x Teorema fundamental da aritmética. x A Matemática Decomposição de um como um todo número em fatores coerente primos

x Potências de base e expoente naturais

x Números primos e números compostos. Crivo de Eratóstenes

1 - Números naturais

CAPÍTULO

DOMÍNIO: Números e Operações NO6 SUGESTÕES METODOLÓGICAS

RECURSOS

x Resolver a «Ficha de Diagnóstico» x Manual para averiguar os conhecimentos x Caderno de adquiridos pelos alunos no Apoio ao o 5. ano sobre: múltiplos, divisores, Aluno propriedades dos divisores, («Saber x Utilizar o crivo de Eratóstenes critérios da divisibilidade, divisão Fazer» e para determinar os números inteira, relações da divisibilidade fichas) primos inferiores a um dado com a divisão inteira, m.d.c. número natural. x Os Meus (algoritmo de Euclides) e m.m.c. Materiais x Saber, dado um número natural superior a 1, que existe uma única x Relembrar / introduzir a noção x Livro de de «potência de base e expoente sequência crescente em sentido Fichas naturais». lato de números primos cujo (avaliação e produto é igual a esse número; x A partir das tarefas das páginas 10 remediação) designar esta propriedade por e 14, estabelecer a distinção entre x «teorema fundamental da números primos e compostos. aritmética» e decompor números x Explicar os cálculos a desenvolver naturais em produtos de fatores para averiguar se um número é ou primos. não primo. x Utilizar a decomposição em x Enunciar o teorema fundamental fatores primos para simplificar da aritmética e explicar os frações, para determinar os procedimentos para decompor divisores de um número natural, um número natural num produto bem como para determinar o de fatores primos. máximo divisor comum e o x Explorar as aplicações da mínimo múltiplo comum de dois decomposição de um número números naturais. natural num produto de fatores primos: determinação dos divisores de um número; simplificação de frações.

x Identificar um número primo como um número natural superior a 1 que tem exatamente dois divisores: 1 e ele próprio.

DESCRITORES

1.o PERÍODO

PROPOSTA PLANIFICAÇÃO A MÉDIO PROPOSTA DEDE PLANIFICAÇÃO A MÉDIO PRAZO PRAZO


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TEMPOS (45 min)

x «Ficha Formativa», de final de capítulo

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Sugere-se a consulta dos Planos de Aula, que fazem parte do x Autoavaliação projeto MATemática 6. dos alunos

x Leitura e interpretação da rubrica «Agora Já…»

x Trabalhos individuais (ou de grupo)

x Formativa

x Diagnóstica

AVALIAÇÃO

44

44


TEXTO

x Com os alunos, resolver os problemas propostos e trabalhar as rubricas «Essencial», «Agora Já…» e «Ficha Formativa».

x Com exemplos, deduzir que: m.d.c. (a, b) × m.m.c. (a, b) = a × b

x A partir da tarefa da página 20, explorar o cálculo do m.m.c. usando múltiplos e usando a decomposição em fatores primos.

x A partir da tarefa da página 18, introduzir o cálculo do m.d.c. de dois números usando os divisores e usando a decomposição em fatores primos.

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x Linguagem simbólica e natural em enunciados envolvendo potências

x Prioridade das operações. Regras operatórias

x Multiplicação e divisão de potências com o mesmo expoente. Regras operatórias

x Multiplicação e divisão de potências com a mesma base. Regras operatórias

x Potências de expoente natural e base racional não negativa

2 – Potências de expoente natural

CAPÍTULO

DOMÍNIO: Álgebra ALG6

TEXTO

x A Matemática como um todo coerente







m

m

m

(ହ)

ହ

ହ

SUGESTÕES METODOLÓGICAS

x Alertar os alunos para cálculos do tipo: 2 2 2 (0,2 + 0,3) e 0,2 + 0,3

x Estabelecer diferenças entre: x Conhecer a prioridade da triplo e cubo de…; potenciação relativamente às dobro e quadrado de… restantes operações aritméticas e x Organizados em pares e na posse simplificar e calcular o valor de da calculadora, os alunos devem expressões numéricas envolvendo realizar as tarefas propostas no as quatro operações aritméticas e manual de modo a conjeturar potências, bem como a utilização sobre as regras que permitem de parênteses. calcular o produto e o quociente de potências com a mesma base ou com o mesmo expoente, e calcular a potência de potência. O professor, recorrendo a outros exemplos, deve conduzir à generalização destas regras.

am : bm = ቀ ቁ , b ് 0

௔ ௠ ௕

x Reconhecer que

x Reconhecer que a × b = (ab)

x Identificar a (sendo n número x Resolver a «Ficha de Diagnóstico» natural maior do que 1 e a para averiguar os conhecimentos número racional não negativo) dos alunos sobre potências de como o produto de n fatores base e expoente natural (tema iguais a a e utilizar corretamente incluído no MATemática 5). os termos «potência», «base» e x Recordar as aprendizagens sobre «expoente». quadrados, cubos e potências 1 x Identificar a como o próprio com expoentes superiores a três. número a . Praticar a linguagem natural e m n m+n cálculos simples do tipo x Reconhecer que a × a = a 2 3 2 5 +2 e 3×5 . m n m–n x Reconhecer que a : a = a , x ar para as potências de base a്0 racional explorando a tarefa da m n m×n e x Reconhecer que (a ) = a página 34, não esquecendo de utilizar corretamente a expressão estabelecer a distinção entre: «potência de potência». ସ 2 ସమ ସ ೙ m n , e మ (por exemplo) x Reconhecer que (a ) ് ܽ ௠

n

DESCRITORES

x

x Livro de Fichas (avaliação e remediação)

x Caderno de Apoio ao Aluno («Saber Fazer» e fichas)

x Computador

x Calculadora

x Manual

RECURSOS

20

TEMPOS (45 min)


45


x Leitura e interpretação da rubrica «Agora já…»


x Formativa

x Diagnóstica

AVALIAÇÃO

46

46


TEXTO

3

2 3 మ

12

2

× (1,5)

4 2

ଵ ସ

+ 0,375 ×

ଷ ସ

=

x Trabalhar regularidades com potências.

= 0,375 × 1 = 0,375

0,375 ×

x Explorar o cálculo mental e situações do tipo:

x A tradução de linguagem simbólica para linguagem natural e vice-versa deve ser praticada.

x Devem ser exploradas situações íveis de serem representadas por expressões numéricas que envolvam todas as operações aritméticas e potências, bem como a utilização de parênteses.

x Quanto às propriedades das operações e regras operatórias, é importante referir e recordar as propriedades das operações que facilitam os cálculos, bem como as prioridades das operações no cálculo com números racionais – o assuntos já estudados no 5. ano.

E distinguir ସ de (2 ) .

12

5

=7 :4

4 = (2 )

12

(ସ଻ )

7

(ଶଷ ) = (ଶଷ )

x Promover raciocínios reversíveis do tipo:

47

x Escalas e percentagens

x Proporcionalidade direta

x Propriedade fundamental das proporções

x Proporção

x Razão

x Sequências e regularidades

3 – Sequências e regularidades. Proporcionalidade direta

CAPÍTULO

DOMÍNIO: Álgebra ALG6

TEXTO








x Resolver a «Ficha de Diagnóstico» para averiguar as aprendizagens dos alunos já realizadas sobre números racionais não negativos – operações e propriedades.




x Calculadora (opcional)

x Material de desenho e lápis de cor

x Papel quadriculado

x Moedas ou botões

34

TEMPOS (45 min)


47




x Diagnóstica x Formativa

x Material Cuisenaire

AVALIAÇÃO

x Manual

RECURSOS

tal forma que, fixadas unidades, x Numa abordagem à álgebra, ao multiplicar a medida da devem explorar-se leis de x Os Meus segunda por um dado número formação do tipo: Materiais positivo, a medida da primeira fica 2n x 2 também multiplicada por esse 1 + 2n 3 número. com n ‫א‬IN n x Reconhecer que uma grandeza é x Recordar o conceito de «razão» a diretamente proporcional a outra partir de exemplos do dia a dia e da qual depende, quando, fixadas mostrar que a razão se utiliza para unidades, o quociente entre a comparar grandezas. Recordar medida da primeira e a medida da «percentagem» como uma razão segunda é constante, e utilizar de consequente 100. corretamente o termo «constante da proporcionalidade».

x As sequências são um tema transversal ao Programa e muito provavelmente já foram x Determinar expressões geradoras trabalhadas em anos anteriores. de sequências definidas por uma lei Agora o seu estudo é ampliado. de formação que na determinação Sugere-se a realização da tarefa de um dado elemento recorra aos da página 58 (construções com elementos anteriores. material Cuisenaire), em que os alunos devem descobrir x Resolver problemas envolvendo a regularidades em sequências. determinação de uma lei de Deve ser praticado o vocabulário formação compatível com uma próprio do tema, como «ordem», sequência parcialmente «termo» e «lei de formação». conhecida e formulá-la em linguagem natural e simbólica. x Recorrendo a vários exemplos, a lei de formação deve ser x Identificar uma grandeza como trabalhada em linguagem «diretamente proporcional» a simbólica e em linguagem natural. outra quando dela depende, de

x Resolver problemas envolvendo a determinação de termos de uma sequência definida por uma expressão geradora ou dada por uma lei de formação que permita obter cada termo a partir dos anteriores, conhecidos os primeiros termos.

DESCRITORES

48

48


TEXTO

x Partindo, por exemplo, de uma sequência de retângulos, composta por duas cores, ou de uma receita de culinária, os alunos devem chegar a uma igualdade entre duas razões – «proporção».

x Resolver problemas envolvendo a noção de proporcionalidade direta.

x Resolver problemas identificando pares de grandezas mutuamente dependentes e distinguindo aquelas que são diretamente proporcionais.

o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

x Escalas e percentagens são bons exemplos de proporcionalidade direta. x Resolver problemas que envolvam os conceitos estudados.

x Mostrar aos alunos que se a grandeza A é diretamente proporcional à grandeza B, também esta é diretamente proporcional à grandeza A, sendo inversas as respetivas constantes de proporcionalidade direta.

exemplos e contraexemplos de situações de proporcionalidade direta.

x A partir da tarefa da página 68 – ampliação de um puzzle –, introduzir o conceito de x Determinar o termo em falta «proporcionalidade direta». numa dada proporção utilizando a Segue-se o preenchimento de regra de três simples ou outro uma tabela com as medidas dos processo de cálculo. lados das peças dos dois puzzles e, x Saber que existe proporcionalidade assim, espera-se que os alunos direta entre distâncias reais e descubram a constante de distâncias em mapas e utilizar proporcionalidade direta. corretamente o termo «escala». x Sugere-se a exploração de

x Identificar uma proporção como x Introduzir o vocabulário relativo uma igualdade entre duas razões às proporções e explorar não nulas e utilizar corretamente exemplos que proporcionem aos os termos «extremos», «meios» e alunos a verificação da «termos» de uma proporção. propriedade fundamental das proporções. x Reconhecer que numa proporção

x Reconhecer que se uma grandeza é diretamente proporcional a outra, então a segunda é diretamente proporcional à primeira e as constantes de proporcionalidade são inversas uma da outra.

49


TEXTO

x Fórmula para a área do círculo

x Fórmula para a área de polígonos regulares

x Do perímetro do círculo ao diâmetro

x Fórmula para o perímetro do círculo

x Perímetro do círculo por aproximação de perímetros de polígonos regulares inscritos e circunscritos à circunferência

Polígonos circunscritos a uma circunferência

x Comunicação x Ângulo ao centro. matemática Setor circular. x Conhecimento Polígono inscrito de factos e de numa circunferência. procedimentos Apótema do polígono x A Matemática x Posição relativa de como um todo uma reta e de uma coerente circunferência.

4 – Figuras x Resolução de geométricas planas. problemas Perímetro e área de x Raciocínio polígonos e círculos matemático

CAPÍTULO

DOMÍNIO: Geometria e Medida GM6


x Resolver a «Ficha de Diagnóstico» para solidificar conhecimentos adquiridos sobre polígonos e circunferência. Dar relevo a todas as aprendizagens sobre propriedades e congruência de triângulos, o assuntos já estudados no 5. ano.


x Formativa

x Material de desenho x Computador


49




20

x Diagnóstica

x Manual

x Calculadora

TEMPOS (45 min)

AVALIAÇÃO

RECURSOS

x Caderno de x Identificar um polígono como Apoio ao «inscrito» numa dada Aluno circunferência quando os respetivos («Saber x Com as tarefas das páginas 92 e vértices são pontos da Fazer» e 94 os alunos manipulam material circunferência. fichas) de desenho e adquirem as x Reconhecer que uma reta que noções de «ângulo ao centro», x Os Meus a por um ponto P de um «setor circular», «polígonos Materiais circunferência de centro O e é inscritos numa circunferência», x Livro de perpendicular ao raio [OP] «apótemas do polígono», Fichas interseta a circunferência apenas «posição relativa de uma reta e (avaliação e em P e designá-la por «reta de uma circunferência» e remediação) tangente à circunferência». «polígonos circunscritos a uma x x Identificar um segmento de reta circunferência». como tangente a uma dada x Demonstrar que é tangente à circunferência se a intersetar e a circunferência a reta respetiva reta e for tangente perpendicular ao raio no ponto à circunferência. onde este encontra a x Identificar um polígono como circunferência. «circunscrito» a uma dada x A partir da noção de «tangência circunferência quando os respetivos de um segmento de reta a uma lados forem tangentes à circunferência» definir «polígono circunferência. circunscrito a uma x Reconhecer, dado um polígono circunferência» e mostrar que no regular inscrito numa caso de um polígono regular circunferência, que os segmentos circunscrito a uma circunferência que unem o centro da o apótema do polígono é igual ao circunferência aos pés das raio da circunferência.

x Designar, dada uma circunferência, por «setor circular» a interseção de um ângulo ao centro com o círculo.

x Designar, dada uma circunferência, por «ângulo ao centro» um ângulo de vértice no centro.

DESCRITORES

2.o PERÍODO

50

50


TEXTO

x Fazer exercícios sobre valores exatos e valores aproximados de perímetros de círculos conhecidos o diâmetro ou o raio do círculo.

x A tarefa da página 98 conduz os alunos aos valores de P : d ; será altura de introduzir o ʋe alguns dos seus valores aproximados e chegar às fórmulas P сʋd e P сϮʋr.

x Fazer a conexão com a x Reconhecer, fixada uma unidade de proporcionalidade direta, uma comprimento, que o perímetro de vez que P e d são grandezas um círculo é igual ao produto de ʋ diretamente proporcionais. pelo diâmetro e ao produto do x Seguir-se-á o raciocínio dobro de ʋ pelo raio, e exprimir reversível, isto é, conhecido o simbolicamente estas relações. perímetro do círculo obter o x Decompor um polígono regular diâmetro ou o raio. inscrito numa circunferência em x Com a tarefa da página 102, e em triângulos isósceles com vértice diálogo com os alunos sobre no centro, formar um figuras equivalentes, chegar-se-á paralelogramo com esses à fórmula que dá a medida da triângulos, acrescentando um área do polígono regular inscrito triângulo igual no caso em que numa circunferência. são em número ímpar, e utilizar esta construção para reconhecer x Conhecidas as fórmulas da área de um polígono regular e do que a medida da área do perímetro do círculo e com a polígono, em unidades quadradas, realização da tarefa da página 104, é igual ao produto do os alunos deverão deduzir a semiperímetro pela medida do fórmula para o cálculo da medida comprimento do apótema. da área de um círculo.

x Saber que os perímetros e os diâmetros dos círculos são grandezas diretamente proporcionais realizando experiências que o sugiram, e designar por ʋ a respetiva constante de proporcionalidade, sabendo que o valor de ʋ arredondado às décimas de milésima é igual a 3,1416.

e a eles circunscritos.

perpendiculares tiradas do centro x Com a tarefa da página 96, pretendepara os lados do polígono são todos -se que os alunos observem que o iguais e designá-los por comprimento da circunferência é «apótemas». superior ao perímetro do polígono regular inscrito e inferior ao x Saber que o perímetro e a área de perímetro do polígono regular um dado círculo podem ser circunscrito; recorrer às noções de aproximados respetivamente valores aproximados por defeito e pelos perímetros e áreas de por excesso. polígonos regulares neles inscritos

51


TEXTO

x Reconhecer, fixada uma unidade de x Estes conteúdos exigem a comprimento, que a área de um resolução de uma grande círculo é igual, em unidades variedade de problemas, pois só ƋƵĂĚƌĂĚĂƐ͕ĂŽƉƌŽĚƵƚŽĚĞʋƉĞůŽ assim é possível solidificar bem quadrado do raio, aproximando o os conhecimentos novos e os círculo por polígonos regulares adquiridos no ano anterior. inscritos e o raio pelos respetivos Sugere-se que os alunos apótemas. construam o seu próprio auxiliar de memória com fórmulas e x Resolver problemas envolvendo o conhecimentos fundamentais. cálculo de perímetros e áreas de polígonos e de círculos.

51

52

52

TEXTO


x Conhecimentos de factos e de procedimentos






x Perspetiva e vistas de um sólido

x Planificação e construção do cilindro

x Planificação e construção de modelos de sólidos

x Classificação de prismas e pirâmides

x Poliedros e não poliedros

5 – Sólidos geométricos

CAPÍTULO

DOMÍNIO: Geometria e Medida GM6 SUGESTÕES METODOLÓGICAS

RECURSOS

x A resolução da «Ficha de x Identificar «prisma» como um Diagnóstico» serve para averiguar poliedro com duas faces conhecimentos básicos geometricamente iguais («bases adquiridos pelos alunos ao longo do prisma») situadas o do 1. ciclo. É importante respetivamente em dois planos esclarecer bem a dicotomia planoparalelos, de modo que as -espaço, visto que frequentemente restantes sejam paralelogramos, neste nível etário ainda existe designar os prismas que não são alguma confusão, como, por retos por «prismas oblíquos» e os exemplo, aquela que se faz entre prismas retos de bases regulares quadrado e cubo. por «prismas regulares», e utilizar corretamente a expressão «faces x Os alunos devem observar formas laterais do prisma». no ambiente que os rodeia, bem como manipular objetos que lhes x Identificar «pirâmide» como um são familiares e modelos de poliedro determinado por um sólidos geométricos. A partir da polígono («base da pirâmide») observação desses modelos que constitui uma das suas faces e devem caracterizar prismas e um ponto («vértice da pirâmide») pirâmides, retos e regulares, bem exterior ao plano que contém a como caracterizar cilindros e base, de tal modo que as cones retos. Há todo um restantes faces são os triângulos vocabulário inerente aos sólidos determinados pelo vértice da que deve ser trabalhado: «faces», pirâmide e pelos lados da base, e «bases», «arestas», «vértices», utilizar corretamente a expressão «superfície lateral», «eixos» e «faces laterias da pirâmide». «geratrizes». x Designar por «pirâmide regular»

x Manual x Objetos do dia a dia x Palhinhas e plasticina x Geoplano e elásticos x Caixas de cartão x Cubinhos de plástico ou madeira x Modelos de sólidos geométricos x Cartolinas com planificações de modelos de sólidos x Instrumentos de medida e desenho x Programa Geogebra x Caderno de Apoio ao x A análise de modelos de sólidos uma pirâmide cuja base é um Aluno («Saber deve conduzir à sua classificação e polígono regular e as arestas Fazer» e à verificação de propriedades laterais são iguais. fichas) inerentes aos prismas e às x Identificar, dados dois círculos com pirâmides, no que se refere a x Os Meus o mesmo raio, C1 (de centro O1 ) Materiais número de arestas, número de e C2 (de centro O2 ), situados vértices e número de faces. x Livro de respetivamente em planos Fichas paralelos, o «cilindro» de «bases» x A tarefa da página 126 pode (avaliação e C1 e C2 como o sólido delimitado contribuir para a descoberta remediação) pelas bases e pela superfície destas propriedades e da relação x formada pelos segmentos de reta Euler.

DESCRITORES

10

TEMPOS (45 min)

x Leitura e interpretação da rubrica «Agora Já…» Sugere-se a x «Ficha consulta dos Formativa», Planos de Aula, de final de que fazem capítulo parte do x Autoavaliação projeto MATemática 6. dos alunos


x Formativa

x Diagnóstica

AVALIAÇÃO

53


TEXTO

x Reconhecer que o número de vértices de um prisma é o dobro do número de vértices da base e que o número de vértices de uma pirâmide é igual ao número de vértices da base adicionado de uma unidade.

x Identificar, dado um círculo C e x Utilizar as planificações que se um ponto P exterior ao plano que encontram em Os Meus Materiais o contém, o «cone» de «base» C para construir alguns modelos de e «vértice» P como o sólido sólidos. delimitado por C e pela superfície x Não esquecer a conexão deste formada pelos segmentos de reta capítulo com o cálculo, que unem P aos pontos da aproveitando para revisitar circunferência do círculo C , e assuntos de geometria já utilizar corretamente as estudados, tais como perímetros expressões «geratrizes do cone», e áreas. «eixo do cone» e «superfície x Quando possível, usar programas lateral do cone». de geometria dinâmica para x Designar por «cone reto» um explorar conceitos abordados cone cujo eixo é perpendicular neste capítulo. Com a colaboração aos raios da base. do professor de Educação Visual, x Reconhecer que o número de construir modelos de sólidos, arestas de um prisma é o triplo do forrá-los com papel de lustro número de arestas da base e que colorido e utilizá-los como o número de arestas de uma enfeites de Natal ou outros. pirâmide é o dobro do número de arestas da base.

x Designar por «cilindro reto» um x Para a descoberta de uma cilindro cujo eixo é perpendicular planificação da superfície de um aos raios de qualquer uma das sólido deve ser fornecido aos bases. alunos o material necessário.

que unem as circunferências dos x O esboço de perspetivas de alguns dois círculos e são paralelos ao sólidos e a observação das vistas segmento de reta [O1O2] , de frente, topo e lateral direita designado por «eixo do cilindro», e contribuem para uma melhor utilizar corretamente as compreensão do espaço e expressões «geratrizes do cilindro» facilitam a agem do concreto e «superfície lateral do cilindro». ao abstrato.

53

54

54


TEXTO

x Resolver problemas envolvendo sólidos geométricos e as respetivas planificações.

x Identificar sólidos através de representações em perspetiva num plano.

x Reconhecer que a relação de Euler vale em qualquer prisma e qualquer pirâmide e verificar a sua validade em outros poliedros convexos.

x Designar um poliedro por «convexo» quando qualquer segmento de reta que une os dois pontos do poliedro está nele contido.

55

x Volume do cilindro reto

x Volume do prisma triangular reto. Volume do prisma reto

x Volume do paralelepípedo retângulo e do cubo

x Unidades de medida de volume

x Medição de volumes

x Sólidos equivalentes. Volume

6 – Volume

CAPÍTULO

TEXTO










x Resolver a «Ficha de Diagnóstico» x Considerar, fixada uma unidade para solidificar conhecimentos já de comprimento e dados três adquiridos, e importantes para a números naturais a , b e c , noção e cálculo do volume. um cubo unitário decomposto em a × b × c paralelepípedos x Com as tarefas das páginas 8, 10 e retângulos com dimensões de 12, exploram-se os conceitos de ଵ ଵ ଵ «volume», «sólidos , e e medidas ௔ ௕ ௖ equivalentes», «medida do reconhecer que o volume de cada volume» (dependendo da unidade ଵ ଵ ଵ escolhida) e «unidades de medida × × um é igual a ௔ ௕ ௖ de volume». Devem relacionar-se unidades cúbicas. as unidades de medida do volume x Reconhecer, fixada uma unidade do Sistema Internacional (SI) com de comprimento e dados três unidades de medida de números racionais positivos q , r capacidade e provar e s , que o volume de um experimentalmente que 3 paralelepípedo retângulo com 1 dm = 1 litro. dimensões de medidas q , r e s x A tarefa da página 14 conduz à é igual a q × r × s unidades determinação de uma fórmula cúbicas. para calcular a medida do volume x Reconhecer que o volume de um de um paralelepípedo qualquer. prisma triangular reto é igual a x Trabalhar com os alunos o cubo metade do volume de um unitário decomposto em a × b × c paralelepípedo retângulo com a paralelepípedos retângulos mesma altura e de base (a, b e c números naturais) equivalente a um paralelogramo com dimensões de medidas decomponível em dois triângulos ଵ ଵ ଵ iguais à base do prisma. , e e concluir que o ௔ ௕ ௖ x Reconhecer, fixada uma unidade volume de cada um é ଵ ଵ ଵ de comprimento, que a medida × × unidades cúbicas. do volume de um prisma ௔ ௕ ௖ triangular reto (em unidades x Recordar que o cubo é um cúbicas) é igual ao produto da paralelepípedo e obter a fórmula medida da área da base (em para o volume do cubo. unidades quadradas) pela medida da altura.

DESCRITORES

x


x Os Meus Materiais


x Computador (folha de cálculo)

x Modelos de sólidos em madeira ou plástico

x Embalagens com a forma de prismas e de cilindros

x Material de desenho

x Cartolinas, tesoura e fita-cola

12

TEMPOS (45 min)

55

Sugere-se a consulta dos Planos de Aula, que fazem parte do x Autoavaliação projeto MATemática 6. dos alunos x «Ficha Formativa» de final de capítulo



x Formativa

x Recipientes graduados

x Diagnóstica

x Cubos congruentes

AVALIAÇÃO

x Manual

RECURSOS

56

56


TEXTO

x Deduzir, em seguida, a fórmula para o cálculo do volume de um prisma reto regular a partir da sua decomposição em prismas triangulares retos.

x A tarefa da página 16 permitirá obter o volume do prisma triangular reto a partir da decomposição do paralelepípedo em dois prismas triangulares.

x Resolver problemas enquadrados em situações reais, como, por exemplo, na comparação de volumes de embalagens.

x A fórmula do volume do cilindro deve ser deduzida a partir de prismas regulares inscritos no cilindro, mostrando que o volume desses prismas vai aumentando à medida que o número de faces laterais cresce, aproximando-se do volume do cilindro e tendendo a igualá-lo. x Resolver problemas envolvendo o cálculo de volumes de sólidos. x É importante proporcionar aos alunos trabalho experimental – explorar planificações das superfícies de prismas, de cubos e de cilindros, construindo, em seguida, esses modelos de sólidos e fazendo medições para calcular os respetivos volumes.

x Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, que a medida do volume de um cilindro reto (em unidades cúbicas) é igual ao produto da medida da área da base (em unidades quadradas) pela medida da altura, aproximando-o por prismas regulares.

x Reconhecer, fixada uma unidade de comprimento, que a medida do volume de um prisma reto (em unidades cúbicas) é igual ao produto da medida da área da base (em unidades quadradas) pela medida da altura, considerando uma decomposição em prismas triangulares.

57






TEXTO

x Distância entre dois pontos

x Subtração de números racionais

x A Matemática x Segmentos como um todo orientados. Adição de coerente números racionais

x Comparação e ordenação

x Representação na reta numérica. Valor absoluto e simétrico de um número

x Números racionais

7 – Números racionais

CAPÍTULO

DOMÍNIO: Números e Operações NO6



x Caderno de Apoio ao Aluno («Saber Fazer» e fichas) x Os Meus Materiais

x Identificar grandezas utilizadas no dia a dia cuja medida se exprime em números positivos e negativos, conhecendo o significado do zero em cada um dos contextos. x x Identificar a «semirreta de sentido positivo» associada a um dado ponto da reta numérica como a semirreta de origem nesse ponto com o mesmo sentido da semirreta dos números positivos. x

A tarefa da página 40 deve conduzir os alunos à comparação e à ordenação de números

A tarefa da página 38 conduz ao traçado da reta numérica e a partir daqui introduz as noções de «abcissa de um ponto», «valor absoluto» e «simétrico de um número».

e designá-los respetivamente por ZZ e Q .I . Pedir aos alunos exemplos de elementos destes conjuntos e resolver exercícios, que envolvam ‫ א‬, ‫ ב‬, ‫ ؿ‬e ‫ ف‬.

x «Ficha Formativa» de final de capítulo

57

Sugere-se a consulta dos Planos de Aula, que fazem parte do x Autoavaliação projeto dos alunos MATemática 6.


(adição e subtração)

16

+

x Formativa x Trabalhos individuais (ou de grupo)

12

x Diagnóstica

x Manual x Régua graduada x Dados de jogar

TEMPOS (45 min)

AVALIAÇÃO

RECURSOS

x Identificar, dado um número x A tarefa da página 36, com uma racional positivo a , os números situação do quotidiano, conduz à a e –a como «simétricos» um do utilização de números inteiros x Livro de outro e zero como simétrico de si positivos, negativos e o zero. Fichas próprio. x Com um outro exemplo real (avaliação e x Identificar, dado um número ar então aos números remediação) racional positivo a , « +a », como racionais. o próprio número a e utilizar x Recordar a designação IN para os x corretamente os termos «sinal de números naturais e apresentar o um número», «sinal positivo» e conjunto dos números inteiros e «sinal negativo». o conjunto dos números racionais,

x Reconhecer, dado um número x O estudo dos números racionais racional positivo a , que existem negativos oferece, neste nível na reta numérica exatamente dois etário, alguma dificuldade e pontos cuja distância à origem é pressupõe que os alunos igual a a unidades: um pertence dominam bem os números à semirreta dos racionais positivos racionais não negativos. Assim, (o ponto que representa a ) e o será necessário fazer revisões de outro à semirreta oposta, e conceitos fundamentais sobre associar ao segundo o número números racionais não negativos. designado por «número racional A «Ficha de Diagnóstico» pode ser negativo –a ». um contributo para essa revisão.

DESCRITORES

58

58


TEXTO

x A localização de números racionais na reta numérica pretende auxiliar os alunos na sua comparação e ordenação.

racionais e deve ser completada com a utilização da reta numérica.

( )

)

( )

inteiros») como o conjunto x Bem consolidada a adição com formado pelo zero, pelos números números inteiros, estendê-la aos naturais e pelos respetivos números racionais, utilizando simétricos; representá-lo por ZZ também os segmentos e o conjunto dos números orientados. naturais por IN . x Em cálculos do tipo + x Identificar o conjunto dos não devemos escrever «números racionais» como o conjunto formado pelo zero, pelos ଵ଴ଷ = , mas sim: números racionais positivos e ସ pelos respetivos simétricos, e representá-lo por Q I. . = + = +

racionais não nulos são simétricos x É a partir da utilização de quando tiverem o mesmo valor segmentos orientados para absoluto e sinais contrários. calcular somas que os alunos podem deduzir regras para o x Identificar o conjunto dos cálculo de somas com números «números inteiros relativos» (ou inteiros. simplesmente «números

x Reconhecer, dados dois números x Para formalizar a adição de positivos, que é maior o de maior números inteiros, introduzir a valor absoluto e, dados dois noção de segmentos orientados e números negativos, que é maior o utilizá-los na reta numérica para de menor valor absoluto. efetuar somas de números inteiros. x Reconhecer que dois números

x A tarefa da página 42 pretende introduzir, de um modo informal, a adição de números inteiros. É de x Identificar o «valor absoluto» ou salientar que a adição deve, em («módulo») de um número a nossa opinião, ser trabalhada como a medida da distância à primeiro com números inteiros e, origem do ponto que o representa depois, estender-se a todos os na reta numérica e utilizar números racionais – foi essa a corretamente a expressão «ൟaൟ». orientação dada no manual.

x Reconhecer que zero é maior do que qualquer número negativo e menor do que qualquer número positivo.

x Identificar um número racional como maior do que outro se o ponto a ele associado pertencer à semirreta de sentido positivo associada ao segundo.

59


TEXTO

Reonheer, dados dois números raonais om o mesmo sinal, que a respeva soma é igual ao númer m o mesmo sinal e de valor absoluto igual à soma dos valores absolutos das parelas.

Iden ar, dados dois números s a e b representados respevamente pelos pontos A e B da reta numéa, a soma a + bmssa da outra extremidade do segmento orientado de origem A e de omprimento e orientação de [O, B] ou pelo ponto A se b for nulo, reonheendo que assim se estende a todos os números raonais a de nição de adição de números raonais não negavos.

Referir, dados dois números s a e b representados respevamente pelos pontos A e B da reta numéa, o segmento orientado [A, B] omo orientado posivamente quando a é menor do que b e omo orientado negavamente quando a é maior do que b .

Iden ar um segmento orientado omo um segmento de reta no qual se esolhe uma origem de entre os dois extremos e representar por [A, B] o segmento orientado [AB] de origem A , designando o ponto B por extremidade deste segmento orientado.

Resolver todos os exeríios e problemas propostos, para que os alunos onsolidem estas aprendizagens.

Mostrar geometriamente que a medida da distâna entre dois pontos A e B de abissas a e b , respevamente, é igual ao módulo da respeva diferença.

Na tarefa da página 48, om a ajuda da reta numéa, os alunos determinam a distânia entre dois pontos ujas abssas são onhedas.

– (– a) = 0 – (– a) = 0 + (+ a) = a

e

0 – a = 0 + (– a) = – a

Mostrar que:

Reordar o voabulário da subtração e, novamente a segmentos orientados, onstruir geometramente o ponto que representa na reta numéa a diferença de dois números s.

Os alunos devem on uir que efetuar a diferença entre dois números raonais equivale a somar ao advo o simétrio do subtravo.

A tarefa da página 46, reorrendo a um jogo, onduz à operação subtração e ao desta ser a operação inversa da adição.

59

60

60


TEXTO

x Reconhecer que a medida da distância entre dois pontos de abcissas a e b é igual a ൟb – aൟ e a ൟa – bൟ͘

x Reconhecer que o módulo de um número racional q é igual a q se q for positivo e a – q se q for negativo.

x Reconhecer, dado um número racional q , que – (– q) = q .

x Reconhecer, dado o número racional q , que 0 – q é igual ao simétrico de q e representá-lo por « – q ».

x Reconhecer, dados dois números racionais a e b , que a – b é igual à soma de a com o simétrico de b e designar, de forma genérica, a soma e a diferença de dois números racionais por «soma algébrica».

x Estender dos racionais não negativos a todos os racionais a identificação da diferença a – b entre dois números a e b como o número cuja soma com b é igual a a .

x Reconhecer que a soma de qualquer número com zero é o próprio número e que a soma de dois números simétricos é nula.

x Reconhecer, dados dois números racionais de sinal contrário não simétricos, que a respetiva soma é igual ao número racional de sinal igual ao da parcela com maior valor absoluto e de valor absoluto igual à diferença entre o maior e o menor dos valores absolutos das parcelas.

61

x Reflexão central

x Arte e Matemática

x Simetria de rotação ou rotacional

x Simetria de reflexão

x Determinação do centro de uma rotação

x Construção de imagens por rotação. Propriedades da rotação

x Rotação

x Eixos de simetria. Bissetriz de um ângulo

x Reflexão axial





x Mediatriz de um segmento de reta; construção



TEXTO

8 – Isometrias do plano

CAPÍTULO



x A realização da «Ficha de Diagnóstico» permitirá consolidar conhecimentos fundamentais para o estudo das isometrias no plano, nomeadamente:

x Designar, dados dois pontos O e M , o ponto M’ por «imagem do ponto M pela reflexão central de centro O » quando O for o ponto médio do segmento [MM’] e identificar a imagem de O pela reflexão central de centro O como o próprio ponto O .

- paralelismo e perpendicularidade de retas e segmentos de reta; - medição da amplitude de x Reconhecer, dado um ponto O e ângulos; as imagens A´ e B’ de dois - construção e classificação de pontos A e B pela reflexão triângulos; central de centro O , que são - propriedades de triângulos; iguais os comprimentos dos segmentos [AB] e [A´B’] e - congruência de triângulos; designar, neste contexto, a - polígonos regulares e eixos de reflexão central como «isometria». simetria de polígonos. x Reconhecer, dado um ponto O e x Com a tarefa da página 66, as imagens A’ , B’ e C’ de três pratica-se e discute-se a pontos A , B e C pela reflexão congruência de triângulos e central de centro O , que são introduzem-se a noção de iguais os ângulos ABC e A’B’C’. «reflexão central», o vocabulário associado e as propriedades da x Designar por «mediatriz» de um reflexão, que devem ser provadas. dado segmento de reta num dado plano a reta perpendicular a esse x Com o estudo das propriedades segmento no ponto médio. chega-se à conclusão que uma figura e a sua imagem obtida por x Reconhecer que os pontos da reflexão central de centro mediatriz de um segmento de conhecido são figuras reta são equidistantes das congruentes e que a reflexão respetivas extremidades. central é, assim, uma x Saber que um ponto equidistante «isometria». Explicar o das extremidades de um segmento significado de «isometria» de reta pertence à respetiva («igual medida»). mediatriz.


DESCRITORES

3.o PERÍODO

x


x Os Meus Materiais


x Obras de Escher

x Computador e programas de geometria dinâmica

22

TEMPOS (45 min)

61

Sugere-se a consulta dos Planos de Aula, que fazem parte do x Autoavaliação projeto MATemática 6. dos alunos x «Ficha Formativa» de final de capítulo



x Formativa

x Espelhos x Material de desenho

x Diagnóstica

AVALIAÇÃO

x Manual

RECURSOS

62

62


TEXTO

x

x

x

x

x

x

x Partindo de figuras, pedir aos alunos que construam, em papel quadriculado e liso, as respetivas imagens ou transformados por Identificar, dada uma reta r e reflexão central de centro um ponto M não pertencente a r , conhecido; partindo de figuras e a «imagem de M pela reflexão das respetivas imagens obtidas por axial de eixo r » como o ponto reflexão central, pedir aos alunos M’ tal que r é mediatriz do que determinem os respetivos segmento [MM’] e identificar a centros da reflexão central. imagem de um ponto de r pela reflexão axial de eixo r como o x Com a tarefa da página 68, os próprio ponto. alunos constroem a perpendicular ao ponto médio de um segmento Designar, quando esta de reta dado e o professor simplificação de linguagem não introduz a noção de «mediatriz de for ambígua, «reflexão axial» por um segmento de reta» e explora «reflexão». as propriedades da mediatriz, que Saber, dada uma reta r , dois devem ser demonstradas. Os pontos A e B e as respetivas alunos deverão aprender a imagens A’ e B’ pela reflexão de construir a mediatriz de um eixo r , que são iguais os segmento de reta com régua e comprimentos dos segmentos como. [AB] e [A’B’] e designar, neste x Aproveitar para recordar a noção contexto, a reflexão como uma de «referencial ortogonal «isometria». monométrico», de modo a definir Reconhecer, dada uma reta r , um segmento de reta pelas três pontos A , O e B e as coordenadas dos dois pontos o respetivas imagens A’ , O’ e B’ (1. quadrante), que são as suas pela reflexão de eixo r , que são extremidades, e prosseguir com o iguais os ângulos AOB e A’O’B’. traçado da mediatriz desse segmento. Identificar uma reta r como «eixo de simetria» de uma dada x A tarefa da página 70, recorrendo a figura plana quando as imagens figuras e espelhos, conduz à noção dos pontos da figura pela de «reflexão axial» de eixo r , à reflexão de eixo r formam a apresentação do vocabulário mesma figura. associado e à enunciação das propriedades da reflexão axial, que Saber que a reta e da devem ser provadas. bissetriz de um dado ângulo convexo é eixo de simetria do x Dada uma figura e a sua imagem ângulo (e do ângulo côncavo por reflexão axial, os alunos associado), reconhecendo que os devem traçar o eixo de reflexão –

x Construir a mediatriz (e o ponto médio) de um segmento utilizando régua e como.

63


TEXTO

x

x

x

x

x

x Reconhecer que a (única) imagem x de um ponto M por uma rotação de ângulo nulo ou giro é o próprio ponto M .

x Reconhecer, dados dois pontos O e M , que existe uma única imagem do ponto M por rotação de centro O e ângulo raso que coincide com a imagem de M pela reflexão central de centro O , e designá-la por imagem de M por «meia volta em torno de O ».

x Reconhecer, dados dois pontos x O e M e um ângulo Ƚ (não nulo, não raso e não giro), que existem exatamente duas imagens do ponto M por rotações de centro O e ângulo Ƚ e distingui-las experimentalmente por referência x ao sentido do movimento dos ponteiros do relógio, designando uma das rotações por «rotação de sentido positivo» (ou «contrário do dos ponteiros do relógio») e a outra por «rotação de sentido x negativo» (ou «no sentido dos ponteiros do relógio»).

x Designar, dados dois pontos O e M e um ângulo Ƚ um ponto M’ por «imagem do ponto M , por uma rotação de centro O e ângulo Ƚ, quando os segmentos [OM] e [OM’] têm o mesmo comprimento e os ângulos Ƚ e MOM’ a mesma amplitude.

pontos a igual distância do vértice nos dois lados do ângulo são imagem um do outro pela reflexão de eixo que contém a bissetriz.

mediatriz do segmento de reta de dois pontos correspondentes à figura e à sua imagem, respetivamente. A tarefa da página 72 conduz à noção de «eixo de simetria de uma figura». Explorar figuras que têm ou não eixos de simetria. Ensinar a construir a «bissetriz de um ângulo» e concluir que a reta e da bissetriz é eixo de simetria desse ângulo. Provar que os pontos a igual distância do vértice de um ângulo, pertencentes a ambos os lados desse ângulo são imagem um do outro pela reflexão de eixo que contém a bissetriz desse ângulo. A tarefa da página 74 conduz à noção de «rotação» e à sua caracterização no que respeita ao centro de rotação, à amplitude do ângulo de rotação e ao sentido de rotação. Pedir exemplos de rotação no dia a dia e aproveitar para estabelecer diferenças em relação à reflexão axial. Explicar que à rotação de centro O e o amplitude 180 se pode dar o nome de «meia volta em torno de O » ou «reflexão central de centro O ». Usando material adequado, construir imagens de figuras por rotação, com o centro de rotação pertencente ou não à figura dada. Em diálogo com os alunos, fazer uma síntese das propriedades da rotação e das outras isometrias já estudadas.

63

64

64


TEXTO

x Resolver problemas envolvendo as propriedades das isometrias utilizando raciocínio dedutivo.

x Identificar simetrias de rotação e de reflexão em figuras dadas.

x Construir imagens de figuras geométricas planas por rotação utilizando régua e transferidor.

x Construir imagens de figuras geométricas planas por reflexão central, reflexão axial e rotação usando régua e como.

x Saber que a imagem de um segmento de reta por uma isometria é o segmento de reta cujas extremidades são as imagens das extremidades do segmento de reta inicial.

x Identificar uma figura como tendo «simetria de rotação» quando existe uma rotação de ângulo não nulo e não giro tal que as imagens dos pontos da figura por essa rotação formam a mesma figura.

x Reconhecer, dado um ponto O , um ângulo Ƚ e as imagens A’ , B’ e C’ de três pontos A , B e C por uma rotação de centro O e ângulo Ƚ de determinado sentido, que são iguais os ângulos ABC e A’B’C’.

x Saber, dado um ponto O , um ângulo Ƚ e as imagens A’ e B’ de dois pontos A e B por uma rotação de centro O e ângulo Ƚ de determinado sentido, que são iguais os comprimentos dos segmentos [AB] e [A’B’] e designar, neste contexto, a rotação como uma «isometria».

x Explorar, de seguida, a simetria de rotação em polígonos regulares e relacionar o número de lados de

x Com a tarefa da página 78 e usando material adequado, os alunos aprendem a descobrir o centro de uma rotação conhecidas a figura original e a sua imagem e praticam novamente a construção da mediatriz de um segmento de reta. x Com a tarefa da página 80 e usando as figuras dadas e o espelho, explora-se a existência ou não de simetria de reflexão ou axial. x Discutir com os alunos a existência de simetria de reflexão em polígonos regulares e pedir para estabelecerem uma comparação entre o número de lados do polígono regular e o número de simetrias de reflexão. x Explorar figuras com e sem simetria de reflexão e completar figuras em que se sabe que item simetria de reflexão. x No caso de triângulos, relacionar a sua classificação quanto aos lados com o número de simetrias de reflexão que possuem ou não. x Na tarefa da página 82, partindo da figura dada e com auxílio de acetato ou papel vegetal, questiona-se os alunos acerca do número de vezes que a imagem coincidiu com a figura original numa volta completa. Em diálogo com os alunos, o professor informa que a figura ite simetria rotacional e caracteriza-a.

65


TEXTO

x Resolver problemas envolvendo figuras com simetrias de rotação e de reflexão axial.

x O uso de programas de geometria dinâmica apoiam a compreensão dos alunos no estudo deste assunto.

x É importante transportar para o quotidiano o tema isometrias no plano. Assim, a rubrica «Arte e Matemática», nas páginas 84 e 85, pode ser desenvolvida, numa perspetiva interdisciplinar, em colaboração com o professor de Educação Visual.

um polígono regular com o número de simetrias de rotação. O professor pode aproveitar para trabalhar outras figuras e discutir se item ou não simetria de reflexão e de rotação.

65

66




66

TEXTO


de factos e de procedimentos


x Extremos e amplitude

x População e amostra. x Comunicação Variável estatística matemática x Gráficos circulares x Conhecimento

9 – Representação e tratamento de dados

CAPÍTULO

DESCRITORES


x Designar por «amostra» o subconjunto de uma população formada pelos elementos relativamente aos quais são recolhidos dados, designados por «unidades estatísticas», e por «dimensão da amostra» o número de unidades estatísticas pertencentes à amostra. x Representar um conjunto de dados num «gráfico circular» dividindo um círculo em setores circulares sucessivamente adjacentes, associados respetivamente às diferentes categorias/classes de dados, de modo que as amplitudes dos setores sejam diretamente

x Designar uma variável estatística por «quantitativa» ou «numérica» quando está associada a uma característica suscetível de ser medida ou contada, e por «qualitativa» no caso contrário.

x Identificar «variável estatística» como uma característica que ite diferentes valores (um número ou uma modalidade), um por cada unidade estatística.

x A recolha de gráficos e diagramas em jornais e revistas para interpretação na sala de aula não deve ser descurada.

x Sugere-se ainda a utilização da folha de cálculo como uma ampliação à construção manual de gráficos circulares.

x A tarefa da página 104 permite, partindo de um gráfico de barras, que os alunos construam um gráfico circular: primeiro de uma forma intuitiva e, depois, de uma forma rigorosa, usando material de desenho.

x O professor deve, assim, aproveitar para introduzir, recorrendo a um exemplo, vocabulário referente a um estudo estatístico, nomeadamente: «população», «amostra», «variáveis estatísticas quantitativas» e «variáveis estatísticas qualitativas».

x A tarefa da página 102 coloca os alunos perante o estudo de uma situação concreta e do seu tratamento estatístico.

x Identificar «população estatística» x Com a realização da «Ficha de Diagnóstico», o professor recolhe ou simplesmente «população» informação sobre as aprendizagens como um conjunto de elementos, o dos alunos realizadas no 5. ano, designados por «unidades nomeadamente: «gráficos», estatísticas», sobre os quais «tabela de frequências», podem ser feitas observações e «diagramas», «moda» e «média recolhidos dados relativos a uma aritmética». característica comum.

DOMÍNIO: Organização e Tratamento de Dados OTD6

x Calculadora e x «Ficha computador Formativa» (folha de de final de cálculo) capítulo

x



14

TEMPOS (45 min)


x Tesoura, lápis x Leitura e de cor, interpretação como e da rubrica fita-cola «Agora Já…»


x Formativa

x Jornais e revistas x Material de desenho

x Diagnóstica

AVALIAÇÃO

x Manual

RECURSOS

67


TEXTO

x Na tentativa de despertar nos alunos o seu sentido crítico, informá-los que muitos gráficos que surgem, por exemplo, em jornais e revistas estão incorretos.

x Recorrendo a exemplos, os conceitos «extremos» e «amplitude» devem ser abordados e os conceitos «moda» e «média aritmética» devem ser revistos. Uma chamada de atenção deve ser feita quando se pretente efetuar o cálculo da média aritmética com dados simples e com dados agrupados.

x Resolver problemas envolvendo a análise de um conjunto de dados a partir da respetiva média, moda x Discutir com os alunos a seleção e amplitude. do gráfico mais adequado para mostrar as conclusões de determinado estudo estatístico.

x Resolver problemas envolvendo a análise de dados representados de diferentes formas.

x Representar um mesmo conjunto de dados utilizando várias representações gráficas, selecionando a mais elucidativa de acordo com a informação que se pretende transmitir.

proporcionais às frequências relativas das categorias/classes correspondentes.

67

ATEMPOS atempo n. o 1: Sopa de letras Na grelha de letras abaixo representada, descobre as palavras seguintes:

68

P

C

H

T

P

S

I

M

E

T

R

I

A

P

D

W

E

I

Y

X

T

T

R

C

M

N

D

R

T

C

Z

G

N

R

T

V

N

E

I

H

N

T

N

O

O

P

Y

C

T

C

O

A

N

L

H

T

V

N

B

N

G

M

R

N

A

U

P

O

I

E

Q

E

R

S

G

I

D

N

P

H

G

L

L

N

X

I

R

R

S

R

N

R

P

S

U

E

O

O

D

A

B

T

R

K

U

R

J

A

F

L

R

T

N

R

G

F

I

X

D

E

N

E

A

A

F

F

R

X

O

O

T

C

Y

P

N

E

F

R

H

O

R

I

Z

O

N

T

A

L

L

T

P

A

O

Y

R

G

P

N

R

O

N

L

N

N

E

P

E

R

P

E

N

D

I

C

U

L

A

R

G

H

X

R

C

D

L

T

T

N

O

N

P

Q

A

J

P

Z

R

Q

U

A

D

R

A

D

O

X

Y

I

N

N

X

S

P

W

T

R

I

A

N

G

U

L

O

Z

Z

TEXTO

• Quadrado • Raio • Simetria • Triângulo • Pentágono • Hexágono • Círculo


• Horizontal • Vertical • Paralelo • Perpendicular • Congruente • Cilindro • Cone

atempo n. o 2: Puzzle Copia as seis peças desta página, recorta-as e, usando todas as peças, constrói um retângulo.


TEXTO

Com as seis peças, constrói também um triângulo.

69

atempo n. o 3: Brincar com números Utiliza os seguintes números: 1 ᎏᎏ 2

3

2

70

×

= 0,5

×

–

= 5,5

+

:

13 = ᎏᎏ 4

冢

+

冣:

7 = ᎏᎏ 4

冢

+

冣×

= 2,5

:

冢

+

冣 = 0,1

×

冢

+

冣 = 7,5

×

:

:

×

= 0,75

1 = ᎏᎏ 3


–

TEXTO

para completar as igualdades abaixo, de modo a serem verdadeiras. Cada número pode ser utilizado uma única vez em cada igualdade.

atempo n. o 4: Desenhar e pintar Em cada figura desta página está desenhado um segmento de reta ou uma reta ou uma semirreta numa malha quadriculada, em que a unidade de comprimento é o centímetro. Recorrendo a material de desenho e de medição, constrói e pinta as figuras pedidas em cada malha. 1. O segmento de reta [AB ] é lado de um triângulo retângulo isósceles com 4,5 cm2 de área. Desenha o triângulo.

2. O segmento de reta [CD ] é diâmetro de um círculo. Desenha o círculo.

A D

B

•

3. A semirreta EF é bissetriz de um ângulo reto. Desenha o ângulo.

F

C

4. A reta r é eixo de simetria de um retângulo com 10 cm de perímetro. Desenha o retângulo.

r


TEXTO

E

5. O segmento de reta [MN ] é lado de um triângulo escaleno obtusângulo. Desenha o triângulo.

6. A reta t é eixo de simetria de um triângulo isósceles. Desenha o triângulo.

N t

M

71

atempo n. o 5: Números misteriosos Descobre os números que se escondem em

7 5

1. ᎏᎏ +

= 22

2.

1 2 – ᎏᎏ = 8 2

3.

+ 23 = 32

4.

:6=9

5.

5 × ᎏᎏ = 5 4

6.

1 1 3 3 × ᎏᎏ + ᎏᎏ = ᎏᎏ + ᎏᎏ 2 5 2 5

冢冣

冢

冣

3

1 2 = ᎏᎏ + ᎏᎏ 2 3

冢2 冣

7. ᎏᎏ + 2 ×

10.

= 32

1 × ᎏᎏ + 2

11. 2012 ×

72

1 5 × ᎏᎏ = ᎏᎏ + 1 5 2

+ 2012 ×

1 : ᎏᎏ = 0 4

= 2012

TEXTO

9. 312 :

× 23 = 28


8.

12.

, de modo que as seguintes afirmações sejam verdadeiras.

atempo n. o 6: Adivinhas 1. É um número natural de dois algarismos. É número primo. É menor do que 33 e maior do que 24 . Se o elevares ao quadrado, o algarismo 1 fica no lugar das unidades.

2. É um número natural de três algarismos. É divisível por 5 e por 3. É menor do que 122 e maior do que 112 . Se o elevares ao quadrado, o algarismo que fica no lugar das unidades é o 5.

3. É um número ímpar de dois algarismos. É múltiplo de 3. É divisível por 9. É o quadrado de um número ímpar. É maior do que 22 × 3 × 5 .

4. É um número natural de três algarismos. É múltiplo de 2, de 3, de 5 e de 10. É menor do que 132 e maior do que 122 .

5. É um número natural menor do que 2 × (9 + 3) e maior do que 4 × 22 . É número ímpar. É múltiplo de 7 e de 3.

É número primo. É maior do que 10 × 32 . É menor do que 10 + 2 × 45 .


TEXTO

6. É um número com dois algarismos.

73

atempo n. o 7: Equilibrar a balança Observa as balanças 1 e 2 e indica a fruta que deves colocar no prato direito da balança 3 para a equilibrar.

Balança 1

Balança 3

?

74


TEXTO

Balança 2

atempo n. o 8: Crucigrama 10 15

17 18

1 2 3

16 4

5 14 6

11

7 8 13 12 9


TEXTO

1. Reta perpendicular a um segmento de reta no ponto médio. 2. Nome dado a polígonos com seis lados. 3. Nome dado a polígonos com a mesma área. 4. Ângulos cuja soma das amplitudes é 180o. 5. Quadrilátero com quatro ângulos retos. 6. Segmento de reta que une dois vértices opostos de um polígono. 7. Transformação geométrica em que a imagem de uma figura se obtém fazendo rodar a figura dada em torno de um ponto. 8. Nome dado a um triângulo que ite apenas um eixo de simetria. 9. Posição relativa dos eixos de simetria de um retângulo não quadrado. 10. Polígonos com quatro lados. 11. Nome dado ao triângulo com os três lados diferentes. 12. Nome dado a um ângulo cuja amplitude é igual à soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo. 13. Polígono regular que ite simetria de rotação de ordem 4. 14. Transformações geométricas que conservam as medidas dos comprimentos e das amplitudes. 15. Transformação geométrica que muda o sentido dos ângulos mas mantém a sua amplitude. 16. Polígono regular que ite nove eixos de simetria. 17. Nome que se dá a duas figuras que podem ser levadas a coincidir ponto por ponto. 18. Semirreta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes. 75

atempo n. o 9: Números cruzados Horizontais 1. Múltiplo de quatro; 913 × 95 : 915

2. 75 : 73 × (62 + 82) ; cubo de um número natural.

3. Um quinto de 275; 167 : 87

4. A diferença entre o cubo de sete e a quinta potência de três. 5. 25% de 3328; quadrado de um número natural.

冢

冣

3 2 4 6. 4 : ᎏᎏ + 4 × ᎏᎏ ; 2 5 a soma do quadrado de nove com o quadrado de dois.

A

B

C

D

E

F

1 2 3

Verticais A. 6 × 102 + 4 × 101 + 5 ; 97 : 93 : 34

B. m.m.c. (45, 99)

4 5 6

quarto termo da proporção 1 : 4 = 8 : ?

C. 0 : 7 ; número capicua.

D. 20% de 35 050. E. Número primo;

a diferença entre o quadrado de dez e a metade de dez.

76


F. 103 – 122 × 122 : 123 ;

TEXTO

27 × 26 : 22

atempo n. o 10: Quadrado mágico Completa o quadrado mágico abaixo representado.

5 –3

–2

0

1

2

–4

–7

7

4

atempo n. o 11: Sequências Descobre os termos desconhecidos nas sequências A e B.

B

125

?

216

36

343

216


TEXTO

A

512

1296

729

?

?

? 77

SOLUÇÕES E RESOLUÇÕES Soluções dos atempos atempo n.o 1: Sopa de letras P W Z P G I N R N E P P X Z X

C E G Y M D R J E F A E R R S

H I N C R N P A A R O R C Q P

T Y R T N P S F A H Y P D U W

P X T C A H U L F O R E L A T

S T V O U G E R F R G N T D R

I T N A P L O T R I P D T R I

M R E N O L O N X Z N I N A A

E C I L I N D R O O R C O D N

T M H H E X A G O N O U N O G

R N N T Q I B F T T N L P X U

I D T V E R T I C A L A Q Y L

A R N N R R R X Y L N R A I O

P T O B S S K D P L N G J N Z

D C O N G R U E N T E H P N Z

1 2

×

2

:

3

3

:

2

= 0,75

×

1 2

=

1 3

atempo n.o 4: Desenhar e pintar 1. Por exemplo:

2.

A D

atempo n.o 2: Puzzle

B

A=

C

b ×a = = 4,5 2

3.

4. Por exemplo:

r

F

E

P = 3 + 3 + 2 + 2 = 10 5. Por exemplo: atempo n.o 3: Brincar com números –

2

3

×

1 2

–

1 2

6. Por exemplo:

N t

= 0,5 M = 5,5 TEXTO

2

atempo n. n.oo 5: 5: Números Números misteriosos misteriosos atempo

1 2

+

+

3

78

1 2

+

3

:

:

3

×

2

1 2

:

3

3

×

1 2

=

2

+

+

2

1 2

2

2

13 4 =

7 4

= 2,5

= 0,1

= 7,5

1133 1.1. ᎏᎏ 55

33 33 2. ᎏ2. ᎏ 4 4

3. 1

3. 1

4. 54 54 4.

5. 45. 4

6. 3

6. 3

11 7. ᎏᎏ 7. 33

5 5 8. 28. 2

9. 310 9. 310

10. 55 ee 55 10.

1 11 1 11. ᎏ11. ᎏ e ᎏᎏ,epor exemplo 12. 0 2 22 2

12. 0

6: Adivinhas Adivinhas atempo n. n.oo 6: atempo 19 1.1. 19

2. 135 2. 135

3. 81

4. 150 150 4.

5. 215. 21

6. 97 6. 97

3. 81


×

3

atempo n.o 7: Equilibrar a balança 1 laranja atempo n.o 8: Crucigrama 1. Mediatriz 4. Suplementares 7. Rotação 10. Quadriláteros 13. Quadrado 16. Eneágono

2. Hexágono 5. Retângulo 8. Isósceles 11. Escaleno 14. Isometrias 17. Congruentes

3. Equivalentes 6. Diagonal 9. Perpendiculares 12. Raso 15. Reflexão 18. Bissetriz

atempo n.o 9: Números cruzados A

B

1

6

4

2

4

9

3

5

5

C

0

E

F

7

2

9

0

1

4

D

8

1

2

0

0

8

5

8

3

2

4

9

6

1

2

1

8

5

atempo n.o 10: Quadrado mágico –8

6

–5

3 –1 –6 atempo n.o 11: Sequências A

B 6

…

65 = 7776

…

66 = 46 656


TEXTO

1000

79

Soluções das Provas Finais-Modelo (Os Meus Materiais) 16.1 Ângulos c e d . Ângulos e e a . Ângulos e e f . Ângulos e e a , por exemplo. ^ ^ 16.2 a^ = c^ = f = d = 44o 45’ porque são ângulos de lados paralelos da mesma espécie. ^ b = 135o 14’ porque os ângulos a e b são suplementares.

Prova Final-Modelo 1 PARTE A 1.1 Telmo 1.2 60,5 2. Sara

^

6

9

2

11

20

24

17

29

18. 66o 24’

3.2 18

19. y

4. 45 5. 10 × 103

^

17.1 DBA = 50o ; ADB = 90o 17.2 Por ALA. 17.3 Em triângulos iguais, a ângulos iguais opõem-se lados iguais.

⎯→ 10 000

143 : 73

⎯→ 23

23 × 2 2

⎯→

25

1 + 3 × 5 ⎯→ 24

冢冣

3 12 ᎏᎏ : (0,6)10 5 4 0,75 × ᎏᎏ 3 3 2 ᎏᎏ × 0,3 10 1 1 10ᎏᎏ – 5ᎏᎏ 2 3

冢冣

4 3 2 1

9 ⎯→ ᎏᎏ 25 ⎯→ 1100

0

⎯→ 0,027

B

D A

C

29 ⎯→ ᎏᎏ 6

6. Nome: prisma hexagonal Número de faces: 8 Número de arestas: 18 Número de vértices: 12

PARTE B 20. 40% 21. C

7. Octógono

2 cm

8. 273 – 161 = 7 × 39 – 7 × 23 = 7 × (39 – 23) = 7 × 16 ; logo, 273 – 161 é divisível por 7.

1 cm

22. 35

10. 60o

23. (7,25 – 3,5 ) : 5

3 11.1 ᎏᎏ 8 20 11.2 ᎏᎏ 32 3 1 2 12. ᎏᎏ ; ᎏᎏ ; ᎏᎏ 2 2 3

24.1

13. 5,76 cm2

24.2

TEXTO

9. Se o João cortou um quadrado, têm ambos razão, porque um quadrado também é retângulo (tem os quatro ângulos retos).

S -2

80

0

2

0

2

S

14. 9,25 cm2 25 15. m.d.c. (525,126) = 21 ; ᎏᎏ 6

x

1 2 3 4 5 6

-4

-2

4


3.1

24.3

35.2 S -1 - 7 - 3 8 4

- 13 8

25.

B

0

1,5 cm

A’ B’

Prova Final-Modelo 2 A

80°

PARTE A

C = C’

1. A Ana no dia 15 e o Rui no dia 20.

26. 537,5 m2

2.

27. 64o

-1 4

-1 -1 2

-1 1 10

28. Os pontos pertencentes à mediatriz de um segmento de reta são equidistantes dos extremos desse segmento de reta; logo, —— —— —— —— EC = ED e FC = FD . O lado [EF ] é comum aos dois triângulos. Então, os triângulos são iguais por LLL.

-3 10

0 0,1

0,5 65 0,8 100

3. Luísa: 10 €; José: 6 €; Manuel: 8 €; Teresa: 16 €. 4.

29.1 H ; I 29.2 Z ; S ; N 2 30.1 ᎏᎏ 3 30.2 –1,1 7 30.3 ᎏ ou 0,35 20 3 1 77 5. ᎏ ; ᎏ ; ᎏ 5 5 20

31.1 35% 31.2 75 €

6. 319 984 é divisível por 4 porque 2 × 8 + 4 = 20 e 20 é divisível por 4. 278 842 não é divisível por 4 porque 2 × 4 + 2 = 10 e 10 não é divisível por 4.

32.1 0,8 m 32.2 3,60 € 4×4 A= ᎏ =8 2

33.1


TEXTO

A área é 8 cm2.

7.1 70 42 28 1

42 28 14 1

7.2 70 2 35 5 7 7 1

42 2 21 3 7 7 1

28 14 0 2

m.d.c. (70, 42) = 14

70 = 2 × 5 × 7 m.d.c. (70, 42) = 2 × 7 = 14 42 = 2 × 3 × 7

1 cm

33.2 180o 34.1 Pirâmide: 12 arestas, 7 vértices. Prisma: 15 arestas, 10 vértices. 34.2 É o dobro. 34.3 O número total de vértices da pirâmide é igual ao número de vértices da base adicionado de uma unidade. 34.4 107,5 cm3 35.1 23,625 cm3

8.1 A parte das flores que não são tulipas nem dálias, isto é, a parte das flores que são orquídeas. 8.2 O número total de dálias e tulipas. 1 1 1 1 8.3 ᎏᎏ + ᎏᎏ × 30 = ᎏᎏ × 30 + ᎏᎏ × 30 = 16 ou 5 3 5 3 1 1 3 5 8 ᎏᎏ + ᎏᎏ × 30 = ᎏᎏ + ᎏᎏ × 30 = ᎏᎏ × 30 = 16 5 3 15 15 15

冢冢

冣冣

冢

冣

8.4 14 orquídeas. ^

9.1 CAB = 68o

81

9.2 Os ângulos BCA e DAC são alternos internos em duas retas paralelas intersetadas pela reta CA ; logo, são congruentes. 9.3 Os ângulos do triângulo são todos agudos; logo, o triângulo é acutângulo.

PARTE B

10. O Pedro.

22.1 30 alunos. 22.2 40%

11.1 Pares de ângulos alternos internos em duas retas paralelas cortadas por uma secante; logo, iguais. 11.2 Por ALA.

22.3 Por exemplo: «Só 10% dos alunos da turma preferem filmes de terror, isto é, 3 alunos.»

20. 324 € 21. 12,3 oC

23.

12. 30,9o 13. 4,3; –3,7; 0,5 14. É 1.

r

15. Figura 2.

5 8,75 3 24.1 Sim, ᎏ = ᎏ = ᎏ = 2,5 1,2 2 3,5

C

16.1

24.2 11,25 €

A B’ = B

25.1 12 25.2 27 cm3

A’ C’

26. 6 B = B’

C’ D C

A’

27.3 16 alunos 28. Num triângulo equilátero, os três lados têm o mesmo comprimento e a lados com o mesmo comprimento opõem-se ângulos com a mesma amplitude: 180o : 3 = 60o. Logo, o triângulo equilátero não tem um ângulo de 90o.

17.1

3,5 cm

4,5 cm

29.1 2, 4, 8, 16, 32 29.2 128 cm 0,5 cm

30. 75 m

17.2 Por exemplo:

TEXTO

A

27.1 81 1 27.2 ᎏ 15

31. 2,7 cm 32.

A

0,5 cm

2,5 cm

18.1 2,1744 cm2 18.2 Triângulo [DOC ]. 19.1 É um quadrado com 12 cm de lado; logo, a área é 144 cm2. 19.2 艐279 cm3

110° L

4,5 cm

U

33. S - 11 6

82

- 7 -1 6

-2 3

0

1


16.2

34. Prisma: 120 arestas laterais; 360 arestas totais (120 × 3). Pirâmide: 120 arestas laterais; 240 arestas totais (120 × 2). 35.

Ano de escolaridade dos 500 alunos de um colégio

32% 2.o ano

30% 1.o ano

18% o 20% 3. ano o 4. ano

36. ite só simetria de rotação de grau 3.


TEXTO

37. 5 cm

83

Matemática 6 Caderno Professor 611q72

Overview 26281t

More details 6y5l6z

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