El Movimiento Del Trompo En El Instante Que Se Muestra Gira Alrededor Del Eje Y ω1 w493y

1. el movimiento del trompo en el instante que se muestra gira alrededor del eje y 𝜔1 = 0.3 rads/s, mientras que gira alrededor de su propia a 𝜔2 =4rads/s .determine la velocidad y aceleración angulares del trompo en este instante .exprese el resultado como un vector cartesiano.

DATOS:    

𝜔1 = 0.3𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜔2 = 4𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝜔 =? 𝛼 =?

Solucion: 

𝜔 = 𝜔1 + 𝜔2 𝜔 = 0.3𝑗 + (4𝑐𝑜𝑠37𝑖 + 4𝑠𝑒𝑛37𝑗) 𝜔 = ( 3.2𝑖 + 2.7𝑗 ) Rad/s 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠



𝛼 = 𝛼1 + 𝛼2 𝛼 = 0 +(0.3𝑗) (4𝑐𝑜𝑠37𝑖 + 4𝑠𝑒𝑛37𝑗) 𝛼 = −0.24𝑘

2. la barra a esta conectada a los collarines en sus extremos por medio de articulaciones de rotula esférica .si el collarín a sube con una velocidad 𝑣𝐴 = 4 𝑚/𝑠 .determine la velocidad angular de la barra y la rapidez del collarín B en el instante que se muestre .suponga la dirección de la velocidad angular es perpendicular a ella.

DATOS:   

𝑉𝐴 =4m/s 𝜔𝐵𝐴 =? 𝑉𝐵 =?

Solución:  𝑉𝐵 = 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵⁄ 

𝐴

𝑉𝐵 = 𝑉𝐴 + 𝜔𝐵𝐴 ∗ 𝑟𝐵⁄ ……………(1) 𝐴

hayo los valores de la ecuación 1    

𝑉𝐵 = −𝑉𝐵 𝑐𝑜𝑠53𝑖 + 𝑉𝐵 𝑠𝑒𝑛53k 𝑉𝐴 = (4𝑘)𝑚/𝑠 𝜔𝐵𝐴 = 𝜔𝑥 𝑖 + 𝜔𝑦 𝑗 + 𝜔𝑧 𝑘 𝑟𝐵⁄ = (1.5𝑖 + −2𝑗 − 1𝑘)𝑚 𝐴

resuelvo por matrizes los valores 𝜔𝐵𝐴 ∗ 𝑟𝐵⁄ 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐴

𝜔𝐵𝐴 ∗ 𝑟𝐵⁄

𝐴

𝑖 𝑗 𝜔 𝜔 =| 𝑥 𝑦 1.5 −2

𝑘 𝜔𝑧 |=(−𝜔𝑦 + 2𝜔𝑧 )𝑖 − (− 𝜔𝑥 − 1.5𝜔𝑧 )𝑖 + (−2𝜔𝑥 − 1.5𝜔𝑦 )𝑘 −1

Reemplazo los valores encontrados en ecuación 1 −𝑉𝐵 𝑐𝑜𝑠53𝑖 + 𝑉𝐵 𝑠𝑒𝑛53k= 4𝑘+(−𝜔𝑦 + 2𝜔𝑧 )𝑖 + ( 𝜔𝑥 + 1.5𝜔𝑧 )𝑗 + (−2𝜔𝑥 − 1.5𝜔𝑦 )𝑘 Igualamos 𝑖 = 𝑖, 𝑗 = 𝑗 𝑦 𝑘 = 𝑘 tenemos −𝑉𝐵 𝑐𝑜𝑠53 = −𝜔𝑦 + 2𝜔𝑧 ………(2) 0=𝜔𝑥 + 1.5𝜔𝑧 𝜔𝑧 =

−𝜔𝑥 1.5

……………………………(3)

𝑉𝐵 𝑠𝑒𝑛53=4 − 2𝜔𝑥 − 1.5𝜔𝑦 4−𝑉𝐵 𝑠𝑒𝑛53− 2𝜔 𝑥 =𝜔𝑦 …………..(4) 1.5

Reemplazamos las ecuaciones 3 y 4 en 2 4−𝑉𝐵 𝑠𝑒𝑛53− 2𝜔𝑥

−𝑉𝐵 𝑐𝑜𝑠53=-(

1.5

−𝜔𝑥

)+ 2(

1.5

)

0.6𝑉𝐵 = 4 − 0.8𝑉𝐵 1.7𝑉𝐵 = 4 𝑉𝐵 = 2.35 𝑚/𝑠 𝜔𝑥 =

0.12𝑟𝑎𝑑 𝑠

𝜔𝑦 =

1.25𝑟𝑎𝑑 𝑠

𝜔𝑧 =

0.08𝑟𝑎𝑑 𝑠

𝜔𝐴𝐵 = (0.12𝑖 + 1.25𝑗 + 0.08𝑘)𝑟𝑎𝑑/𝑠

3. si el collarín A se mueve a una velocidad constante de VA=6m/s .determine la velocidad del collarín B cuando la barra AB está en la posición mostrada .suponga que la velocidad angular de AB es perpendicular a la barra.

DATOS: VA=6m/s 𝑉𝐵 =?

Solución: 

𝑉𝐵 = 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵⁄



𝑉𝐵 = 𝑉𝐴 + 𝜔𝐵𝐴 ∗ 𝑟𝐵⁄ ……………(1)

𝐴 𝐴

hayo los valores de la ecuación 1  𝑉𝐵 = 𝑉𝐵 𝑖  𝑉𝐴 = (6𝑘)𝑚/𝑠  𝜔𝐵𝐴 = 𝜔𝑥 𝑖 + 𝜔𝑦 𝑗 + 𝜔𝑧 𝑘

 𝑟𝐵⁄ = (6𝑖 + 3𝑗 − 2𝑘)𝑚 𝐴

resuelvo por matrices los valores 𝜔𝐵𝐴 ∗ 𝑟𝐵⁄ 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐴

𝑖 𝜔𝐵𝐴 ∗ 𝑟𝐵⁄ = |𝜔𝑥 𝐴 6

𝑗 𝜔𝑦 3

𝑘 𝜔𝑧 |=(−2𝜔𝑦 − 3𝜔𝑧 )𝑖 − (−2 𝜔𝑥 − 6𝜔𝑧 )𝑖 + (3𝜔𝑥 − 6𝜔𝑦 )𝑘 −2

Reemplazo los valores encontrados en ecuación 1 𝑉𝐵 𝑖 = 6𝑘 +(−2𝜔𝑦 − 3𝜔𝑧 )𝑖 + (2 𝜔𝑥 + 6𝜔𝑧 )𝑖 + (3𝜔𝑥 − 6𝜔𝑦 )𝑘 Igualamos 𝑖 = 𝑖, 𝑗 = 𝑗 𝑦 𝑘 = 𝑘 tenemos 𝑉𝐵 𝑖 = −2𝜔𝑦 − 3𝜔𝑧 ………(2) 0=2𝜔𝑥 + 6𝜔𝑧 𝜔𝑧 =

−2𝜔𝑥 6

……………………………(3)

0 =6 + 2𝜔𝑥 + 6 𝜔𝑦 6+3𝜔𝑥 =𝜔𝑦 ………….. 6

(4)

Reemplazamos las ecuaciones 3 y 4 en 2 6+3𝜔𝑥 6

𝑉𝐵 =-2(

−2𝜔𝑥

)-3(

6

)

𝑉𝐵 =

−12 − 6𝜔𝑥 + 6𝜔𝑥 6

𝑉𝐵 =

−12 6

𝑉𝐵 = −2 𝑚/𝑠

4. si la palanca gira con una velocidad angular constante de 𝜔BC=3rad/s, determine la velocidad del collarín A .suponga que la velocidad angular de AB es perpendicular a la barra.

DATOS:  𝜔BC=3rad/s

Solución: 

𝑉𝐵 = 𝜔BC*𝑟𝐵⁄c = (3𝑖)(−3𝑗) = −9𝑘



𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 + 𝑉𝐴⁄

𝐵

𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 + 𝜔𝐵𝐴 ∗ 𝑟𝐴⁄ ……………(1) 𝐵

Hayo los valores de la ecuación 1    

𝑉𝐵 = −9𝑘 𝑉𝐴 = 𝑉𝐴 𝑖 𝜔𝐴𝐵 = 𝜔𝑥 𝑖 + 𝜔𝑦 𝑗 + 𝜔𝑧 𝑘 𝑟𝐴⁄ = (8𝑖 − 3𝑗 − 10𝑘)𝑚 𝐵

Resuelvo por matrices los valores 𝜔𝐵𝐴 ∗ 𝑟𝐵⁄ 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐴



𝑖 𝜔𝐴𝐵 ∗ 𝑟𝐴⁄ = |𝜔𝑥 𝐵 8 8𝜔𝑦 )𝑘

𝑗 𝜔𝑦 −3

𝑘 𝜔𝑧 |=(−10𝜔𝑦 + 3𝜔𝑧 )𝑖 − (−10 𝜔𝑥 − 8𝜔𝑧 )𝑗 + (−3𝜔𝑥 − −10

Reemplazo los valores encontrados en ecuación 1 

𝑉𝐴 𝑖 = −9𝑘+(−10𝜔𝑦 + 3𝜔𝑧 )𝑖 + (10 𝜔𝑥 + 8𝜔𝑧 )𝑗 + (−3𝜔𝑥 − 8𝜔𝑦 )𝑘

Igualamos 𝑖 = 𝑖, 𝑗 = 𝑗 𝑦 𝑘 = 𝑘 tenemos  

𝑉𝐴 𝑖 = −10𝜔𝑦 + 3𝜔𝑧 ………(2) 0=10𝜔𝑥 + 8𝜔𝑧 𝜔𝑧 =

−10𝜔𝑥 8

……………………………(3)



0 =−9 − 3𝜔𝑥 − 8 𝜔𝑦 −9−3𝜔𝑥 =𝜔𝑦 ………….. 8

(4)

Reemplazamos las ecuaciones 3 y 4 en 2



−9−3𝜔𝑥 8

𝑉𝐴 =-10(

−10𝜔𝑥

)+3(

8

)

−90 + 30𝜔𝑥 − 30𝜔𝑥 8 −90 𝑉𝐴 = 8 𝑉𝐴 = −11.25𝑚/𝑠 𝑉𝐴 =

5. la barra AB esta conectada alos collarines en sus extremos por medio de articulaciones de rotula esferica .si el collarin A tiene una velocidad VA=10m/s en el instante que se muestra .determine la velocidad del collarin en B .suponga que la velocidad es perpendicular ala barra

DATOS :

Solución: 

𝑉𝐵 = 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵⁄

𝐴

𝑉𝐵 = 𝑉𝐴 + 𝜔𝐵𝐴 ∗ 𝑟𝐵⁄ ……………(1) 𝐴

Hayo los valores de la ecuación 1    

𝑉𝐵 = 𝑉𝐵 𝑗 𝑉𝐴 = (10𝑖)𝑚/𝑠 𝜔𝐵𝐴 = 𝜔𝑥 𝑖 + 𝜔𝑦 𝑗 + 𝜔𝑧 𝑘 𝑟𝐵⁄ = (−2𝑖 − 3𝑗 + 6𝑘)𝑚 𝐴

Resuelvo por matrices los valores 𝜔𝐵𝐴 ∗ 𝑟𝐵⁄ 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐴

𝑖 𝑗 𝜔𝐵𝐴 ∗ 𝑟𝐵⁄ = | 𝜔𝑥 𝜔𝑦 𝐴 −2 −3

𝑘 𝜔𝑧 |=(6𝜔𝑦 + 3𝜔𝑧 )𝑖 − (6 𝜔𝑥 + 2𝜔𝑧 )𝑗 + (−3𝜔𝑥 + 6𝜔𝑦 )𝑘 6

Reemplazo los valores encontrados en ecuación 1 𝑉𝐵 𝑗 = 10𝑖 + (6𝜔𝑦 + 3𝜔𝑧 )𝑖 − (6 𝜔𝑥 + 2𝜔𝑧 )𝑗 + (−3𝜔𝑥 + 6𝜔𝑦 )𝑘 Igualamos 𝑖 = 𝑖, 𝑗 = 𝑗 𝑦 𝑘 = 𝑘 tenemos 0 = 10𝑖 + 6𝜔𝑦 + 3𝜔𝑧 𝜔𝑧 =

−10−6𝜔𝑦 3

………………………(2)

𝑉𝐵 =−6𝜔𝑥 − 2𝜔𝑧 ………………...(3)

0 =-3𝜔𝑥 + 2𝜔𝑦 2𝜔𝑦 =𝜔𝑥 3

………….. (4)

Reemplazamos las ecuaciones 2 y 4 en 3 2𝜔𝑦 3

𝑉𝐵 =-6(

)-2(

−10−6𝜔𝑥 3

)

𝑉𝐵 =

−12𝜔𝑦 + 20 + 12𝜔𝑥 3

𝑉𝐵 =

20 3

𝑉𝐵 = 6.67 𝑚/𝑠

6. el disco gira a una velocidad angular constante de 5rad/s .si la barra BC esta unida al disco y aun collar por medio de articulaciones de rotula esferica ,determine la velocidad del collarin B en el instante que se muestra .ademas ¿Cuál es la velocidad angular de la barra wbc si su direccion es perpendiculara su eje?

DATOS:  𝜔 = 5𝑅𝐴𝐷/𝑆  VB=?



SOLUCION: 𝑉𝐵 = 𝑉𝐶 + 𝑉𝐵⁄𝐶 𝑉𝐵 = 𝑉𝐶 + 𝜔𝐵𝐶 ∗ 𝑟𝐵⁄𝐶 ……………(1)

Hayo los valores de la ecuación 1    

𝑉𝐵 = −𝑉𝐵 𝑖 𝑉𝐴 = 𝜔𝐵𝐶 *𝑟𝐵𝐶 = (5𝑗)(1𝑖)=5𝑘 𝜔𝐵𝐶 = 𝜔𝑥 𝑖 + 𝜔𝑦 𝑗 + 𝜔𝑧 𝑘 𝑟𝐵⁄ = (6𝑖 + 3𝑗 − 2𝑘)𝑚 𝐶

Resuelvo por matrices los valores 𝜔𝐵𝐴 ∗ 𝑟𝐵⁄ 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐴



𝜔𝐴𝐵 ∗ 𝑟𝐴⁄

𝐵

𝑖 = |𝜔𝑥 8

𝑗 𝜔𝑦 6

𝑘 𝜔𝑧 |=(−2𝜔𝑦 − 3𝜔𝑧 )𝑖 − (−2 𝜔𝑥 − 6𝜔𝑧 )𝑗 + (3𝜔𝑥 − 6𝜔𝑦 )𝑘 −2

Reemplazo los valores encontrados en ecuación 1  

−𝑉𝐵 𝑖==(−2𝜔𝑦 − 3𝜔𝑧 )𝑖 + (2 𝜔𝑥 + 6𝜔𝑧 )𝑗 + (3𝜔𝑥 − 6𝜔𝑦 )𝑘

Igualamos 𝑖 = 𝑖, 𝑗 = 𝑗 𝑦 𝑘 = 𝑘 tenemos  

−𝑉𝐵 𝑖 = −2𝜔𝑦 − 3𝜔𝑧 ………(2) 0=2𝜔𝑥 + 6𝜔𝑧 𝜔𝑧 =



−2𝜔𝑥 6

……………………………(3)

0 =−5 + 3𝜔𝑥 − 6 𝜔𝑦 −5+3𝜔𝑥 =𝜔𝑦 ………….. 6

(4)

Reemplazamos las ecuaciones 3 y 4 en 2



−5+3𝜔𝑥 6

−𝑉𝐵 =-2(

−2𝜔𝑥

)-3(

6

)

−10 − 6𝜔𝑥 + 6𝜔𝑥 6 10 𝑉𝐵 = 6 𝑉𝐵 = 1.666666 𝑚/𝑠  −𝑉𝐵 =