قانون دارسي 6qy6z

‫قانون دارسي‬ ‫تعتبر دراسة حركة الماء في التربة عملية معقدة ألن نظام التربة معقد وغير منتظم هندسيا‪ ،‬ولتفهم عملية حركة‬ ‫الماء في التربة لقد تم افتراض بأن المسافات البينية للتربة (المسامات) تتكون من مجموعة أنابيب شعرية متباينة‬ ‫باألقطار ومتصلة مع بعضها البعض‪ .‬فعند حساب كمية المياه المتدفقة خالل التربة تحسب على أنها تساوي مجموع‬ ‫ما تنقله هذه األنابيب‪ ،‬غير أن التربة في الطبيعة تتكون من أنابيب غير منتظمة الشكل وغير مستقيمة‪.‬‬ ‫استنتج العالم الفرنسي هنري دارسي من خالل بعض التجارب المعملية سنة ‪1856‬م قانونا ً يوضح حركة‬ ‫السائل داخل التربة‪ ،‬وأوضح الباحث شيلد (‪ )C.F. Chills, 1969‬بأنه يمكن استنتاج هذا القانون أيضا من‬ ‫معادالت نوفير ‪ -‬ستوكس (‪ )Novier-Stokes‬الخاصة بحركة السوائل اللزجة في فراغ عام على أن تحدها شروط‬ ‫حدودية مطلقة‪.‬‬ ‫استخدم شيلد عالقات مكانيك السوائل األساسية الستنتاج معادالت تتحكم في سريان السوائل في القنوات‬ ‫المغلقة ثم قورنت هذه المعادلة مع قانون دارسي‪ .‬وبشكل عام فقانون دارسي يشبه إلى حد كبير قانون أوم ‪Ohm’s‬‬

‫‪Law‬الخاص بجريان التيار الكهربائي أو قانون فورير ‪ Furrier's Law‬للتوصيل الحراري أو قانون‬ ‫فيكس ‪ Fick’s Law‬لحساب التدفق االنتشار‪.‬‬ ‫فقانون أوم مثال يكتب بالشكل التالي ‪:‬‬ ‫‪V‬‬ ‫]‪..............................................................................................[4-1‬‬ ‫‪R‬‬

‫= ‪I‬‬

‫حيث أن‪:‬‬ ‫‪ = I‬التيار ) أمبير) ‪ = V ،‬الفولتية (فولت)‪،‬‬

‫‪ = R‬المقاومة ) أوم(‬

‫إذا ً العالقة األساسية التي توضح حركة السائل في المواد المسامية هي تلك العالقة التي استنتجها العالم الفرنسي‬ ‫معمليا ً هنري دارسي سنة ‪1856‬م (شكل‪ .)4.1‬وتوضح هذه العالقة بأن معدل التصرف (‪ )Q‬المار من خالل مقطع‬ ‫تربة معينة يتناسب طرد يا مع مساحة المقطع العرضي للتربة المار منها الماء وكذلك مع التغير في الضاغط المائي‪،‬‬ ‫وعكسيا مع المسافة بين النقطتين تحت الدراسة‪.‬‬

‫شكل‪ .4.1‬المكونات الرئيسية لتجربة دارسي‬

‫‪ΔH‬‬ ‫‪Q‬‬

‫‪H2‬‬

‫‪S‬‬

‫‪H1‬‬

‫تربة‬ ‫‪L‬‬

‫ويمكن أن يكتب قانون دارسي بالصيغة التالية‪:‬‬ ‫‪H  H2‬‬ ‫]‪.................................................................................[4-2‬‬ ‫‪Q  KA 1‬‬ ‫‪L‬‬

‫أو يمكن أن تكون صيغة المعادلة بالشكل التالي‪:‬‬ ‫]‪.....................................................................................[4-3‬‬

‫‪‬‬

‫‪Q  KA‬‬

‫‪L‬‬

‫‪‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪L‬‬

‫أو‬ ‫حيث أن‪:‬‬ ‫‪ = Q‬معدل التصرف سم‪/ 3‬ساعة‪.‬‬

‫‪ = ‬التغير في الضاغط المائي بين نقطتين‪ ،‬وتقاس من خالل قياس الضاغط المائي عند نقطة دخول الماء (‪ )H1‬وعند‬ ‫نقطة خروج الماء (‪ .)H2‬وعندما ال يكون هناك تغير في مقدار الضاغط المائي أي أن (‪ ،)  = 0‬فمعنى ذلك ال‬ ‫يكون هناك جريان للماء داخل التربة‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪L‬‬

‫= الميل الهيدروليكي وهي القوة المحركة لجريان الماء من نقطة إلى أخرى ‪.‬‬ ‫‪ = A‬مساحة مقطع التربة التي يمر منه الماء‬ ‫‪ = K‬معامل التناسب في المعادلة ويسمى اإليصالية المائية ويطلق عليه أيضا ً النفاذية‬

‫كما يمكن كتابة المعادلة ]‪ [4-3‬بالصيغة التالية‪:‬‬ ‫حيث أن‪:‬‬ ‫‪ = q‬سرعة الماء الظاهرية داخل التربة )‪ (soil water flux‬وحداتها نفس وحدات السرعة (سم‪/‬ساعة)‪ ،‬وتدعى هذه‬ ‫السرعة بالتدفق الكتلي ‪ ،discharge velocity‬وهذه السرعة ال تمثل سرعة الماء داخل كل مسامة على حدة‪ ،‬بل‬ ‫هي تعادل قيمة التصرف مقسوم على وحدة المساحة‪ .‬وتعبر اإلشارة السالبة عن كون الجريان باتجاه الضاغط‬ ‫المتناقص وعليه يمكن أيضا أن يعبر عن التدفق الكتلي بداللة الميل الهيدروليكي بالنسبة التجاه حركة الماء في‬ ‫التربة بالشكل التالي‪:‬‬

‫وعلى العموم فإن هذه السرعة هي قيمة لها اتجاه ومقدار ‪ ، vector quantity‬لذا يمكن التعبير عنها بالصورة‬ ‫التالية‪:‬‬ ‫ويمكن أيضا كتابة المعادلة بصيغة أخرى تعبر عن اتجاه ومقدار السرعة باألبعاد الثالثة على النحو التالي‪:‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫( ‪ X , Y , Z‬وهذه وحدات لها مقدار باتجاه ‪)X, Y, Z‬‬ ‫أو يكتب قانون دارسي بصيغة عامة كما يلي‪:‬‬ ‫( ‪ ‬تلفظ دل ‪)del‬‬ ‫أو يمكن التعبير عن قانون دارسي بالشكل التالي‪:‬‬ ‫حيث أن ‪ i , j, k‬تعبر عن وحدات لها مقدار باتجاه ‪z , y , x‬‬

‫استنتاج قانون‬

‫دارسي‪:‬‬

‫الستنتاج قانون دارسي‪ ،‬يمكن استخدام أسس ميكانيك السوائل التي تتحكم في الجريان داخل القنوات‪ ،‬ويمكن‬ ‫أيضا تطبيق قانون نيوتن الثاني على مقطع أنبوب أسطواني منتظم يجري فيه سـائل معين بشكل مستقر‪ ،‬قطره ‪r‬‬ ‫وطوله ‪ L‬كما هو موضح في الشكل (‪. )4.2‬‬ ‫‪P2‬‬

‫‪[2‬‬ ‫]‬ ‫‪X‬‬ ‫‪2r‬‬

‫‪R‬‬

‫‪[1‬‬ ‫]‬ ‫‪P1‬‬

‫‪Wsinθ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪Z2‬‬

‫‪W‬‬

‫‪θ‬‬ ‫‪Z1‬‬

‫الشكل ‪ .4.2‬مقطع أسطواني يبين القوى المؤثرة على حركة السائل‪.‬‬

‫وفي هذا الشكل‪ ،‬من قانون نيوتن الثاني تكون العالقات الرياضية بالصورة التالية‪:‬‬

‫]‪Fx = m .ax ......................................................................................[4-10‬‬

‫حيث أن ‪:‬‬ ‫‪ = m‬الكتلة‬ ‫‪ = ax‬التسارع بفعل الجاذبية األرضية (وبما أن الجريان مستقر والمقطع‬ ‫العرضي منتظم تكون ‪)ax = 0‬‬ ‫إذا ً تصبح المعادلة ]‪ [4-10‬بالشكل التالي‪:‬‬ ‫]‪ Fx = 0..........................................................................................[4-11‬‬

‫القوى المؤثرة باتجاه ‪ x‬هي‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ -1‬فرق قوى الضغط عند نهاية مقطع األنبوب ‪(p1- p2)  r‬‬ ‫‪ -2‬مركبة الوزن‪W sin ‬‬

‫‪ -3‬قوى االحتكاك المؤثرة على الجوانب‪ τ( r L2 ‬تاو تمثل قوى القص المؤثرة على جوانب األنبوب األنبوب)‪.‬‬

‫وبالتعويض عن هذه القوى في المعادلة ]‪ ، [4-11‬تصبح المعادلة كما يلي‪:‬‬

‫]‪Fx = (p1 - p2)  r - W sin  +  2  r L = 0...................................[4-12‬‬ ‫‪2‬‬

‫حيث أن ‪ p1‬و ‪ p2‬تعبران عن الضغط عند النقاط ‪ 1‬و ‪ 2‬وتمثل‪‬‬

‫قوى القص المؤثرة على جوانب األنبوب‪.‬‬

‫وبافتراض أن الجريان طباقي‪ ،‬عندئ ٍذ يمكن إيجاد‪ ‬من قانون نيوتن للزوجة كما يلي‪:‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫]‪......................................................................................[4-13‬‬ ‫‪dr‬‬

‫‪ = ‬‬

‫حيث أن‪ = v :‬سرعة حركة السائل‬ ‫‪ = ‬معامل االحتكاك‬ ‫مركبة الوزن ‪ W‬تساوي‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫]‪W =  g  r L .................................................................................[4-14‬‬

‫‪ = ‬كثافة السائل‪ =g ،‬التعجيل األرضي‪.‬‬ ‫وبالتعويض عن المعادالت ]‪ [4-13‬و ]‪ [4-14‬و‬

‫‪Z2  Z1‬‬ ‫‪L‬‬

‫= ‪ Sin ‬في المعادلة ]‪ [4-12‬وإعادة ترتيبها لتصبح‬

‫كالتالي‪:‬‬ ‫‪Z  Z1‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪( p1 - p2 )  r2 -  g  r2 L ( 2‬‬ ‫‪)+ ‬‬ ‫]‪2  r L = 0 ..................[4-15‬‬

‫‪dr‬‬

‫‪L‬‬

‫وبتقسيم طرفي المعادلة على ‪ ،r ‬تصبح المعادلة ]‪ [4-15‬بالشكل التالي‪:‬‬ ‫‪Z 2  Z1‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪)+ ‬‬ ‫]‪2 L = 0 ...................................[4-16‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪L‬‬

‫( ‪( p1 - p2 ) r -  g r L‬‬

‫يمكن أن يعاد ترتيب المعادلة بالشكل التالي‪:‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫]‪= - [p1 - p2 -  g ( Z2 - Z1)] r/2 L ..........................................[4-17‬‬ ‫‪dr‬‬

‫وباالستمرار في إعادة الترتيب تصبح المعادلة كما يلي‪:‬‬ ‫]‪..........................................................[4-18‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪2L‬‬

‫‪‬‬

‫‪dv‬‬ ‫‪ P 2  P1  gz 2  gz1‬‬ ‫‪dr‬‬

‫‪g‬‬ ‫و بضرب ]‪ [4-18‬في‬ ‫‪g‬‬

‫‪ ،‬تصبح المعادلة كما يلي‪:‬‬

‫‪  P1‬‬ ‫‪ rg‬‬ ‫‪dv  P 2‬‬ ‫]‪.........................................................[4-19‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ Z 2   ‬‬ ‫‪ Z 1 ‬‬ ‫‪dr  g‬‬ ‫‪  g‬‬ ‫‪ 2L‬‬

‫وبإعادة الترتيب مرة أخرى تصبح المعادلة بالشكل األتي‪:‬‬ ‫‪dv‬‬ ‫‪rg‬‬ ‫‪ H 2  H 1‬‬ ‫]‪..............................................................................[4-20‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪2L‬‬

‫حيث أن ‪ H1‬و‪ H2‬تمثالن الضغوط الهيدروليكية الكلية عند النقطتين ‪ 1‬و ‪.2‬‬ ‫إذا ً يمكن كتابة المعادلة بالشكل التالي‪:‬‬ ‫‪dv Hrg‬‬ ‫‪‬‬ ‫]‪......................................................................................[4-21‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪2L‬‬

‫وبضرب طرفي المعادلة ]‪ [4-18‬بـ ‪ dr‬تصبح المعادلة كما يلي‪:‬‬ ‫‪Hg‬‬ ‫]‪rdr ....................................................................................[4-22‬‬ ‫‪2L‬‬

‫‪dv ‬‬

‫يمكن إجراء التكامل للمعادلة ]‪ [4-22‬بين الحدود ‪ r = 0‬و ‪ r = R‬كما يلي‪:‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪Hg R‬‬ ‫‪ dv ‬‬ ‫]‪ rdr ...............................................................................[4-23‬‬ ‫‪2L r‬‬ ‫‪0‬‬

‫نفرض بأن ‪ v = 0‬عندما تكون ‪ ، r = R‬فتصبح المعادلة بعد إجراء التكامل كما يلي‪:‬‬ ‫‪gH 2‬‬ ‫]‪r  R2 ............................................................................[4-24‬‬ ‫‪4 L‬‬

‫‪v‬‬

‫عادة تكون سرعة سريان السائل الطباقي في األنابيب على شكل مقطع مكافئ (‪ ،)parabolic‬أي أن أقصى سرعة‬ ‫تكون في الوسط عند ‪ ، r = 0‬وعليه يمكن إيجاد التصرف ‪ Q‬كما يلي‪:‬‬

‫‪dr‬‬

‫‪r‬‬

‫المساحة=المحيط×السمك‬ ‫(‪)dr‬‬ ‫المساحة=‪dr 2 r‬‬

Q = v dA ......................................................................................[4-25a] Q = 2rv dr ..................................................................................[4-25b]

:‫[ تصبح المعادلة كما يلي‬25b] ‫[ في‬24] ‫وبالتعويض عن‬ Q  2r

gH 2  r  R 2  dr....................................................................[4-26a] 4 L

:‫[ وإجراء التكامل تصبح بالشكل التالي‬4-26] ‫وبعد ترتيب المعادلة‬ Q

g R 2 r r  R 2 dr 2 L r 0

C

g 2 L

[4-26b]

[4-26c]

R R 3  Q  C   r dr   rR 2 dr  0 0 

 R4 R4  Q  C   2   4

[4-26e]

 R4  Q  C   4 

[4-26f]

R 4 g Q    4 2L Q

[4-26d]

gR 4  8L

C

[4-26g]

[4-26h]

‫ ولكي يتم الحصول على قانون دارسي‬، Poiseille's Equation ‫[ تدعى معادلة بوسيولي‬4-26h] ‫والمعادلة‬ :‫يمكن تعويضها في المعادلة التالية‬ vq

Q ..........................................................................................[4-27 A

‫‪2‬‬

‫بعد التعويض عن قيمة ‪ A = R ‬ومن المعادلة رقم ]‪ [4-26‬تصبح المعادلة ]‪ [4-27‬كما يلي‪:‬‬ ‫‪R 2g ‬‬ ‫‪‬‬ ‫]‪..................................................................................[4-28‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪L‬‬

‫‪q‬‬

‫ولكن اإليصاليه المائية الفعالة (‪ )k‬في األنابيب تساوي‪:‬‬ ‫‪R 2 g‬‬ ‫]‪...........................................................................................[4-29‬‬ ‫‪8‬‬

‫=‪k‬‬

‫‪2‬‬

‫يعتمد معامل اإليصاليه ‪ k‬على خواص المادة و ‪ R‬وكذلك على خواص السائل (‪.)g / ‬‬ ‫وبالتعويض عن المعادلة ]‪ [29‬في المعادلة ]‪ [28‬يمكن الحصول على قانون دارسي بالصيغة التالية‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫]‪......................................................................................[4-30‬‬ ‫‪L‬‬

‫‪q  k‬‬

‫أو‬ ‫‪q   ki‬‬

‫صحة قانون دارسي ‪Validity of Darcy’s Law‬‬ ‫تعني المعادلة ]‪ [4-30‬بأن التدفق الكتلي (‪ )q‬يتناسب طرديا مع انحدار الضاغط المائي‪ .‬فلقد أُفت ُ ِرض بأن‬ ‫سار في حالة‪:‬‬ ‫هذا القانون مفعوله ٍ‬ ‫سار عندما يكون رقم رينولدز( أقل من ‪( 1‬أي أن ‪1‬‬ ‫‪ .1‬الجريان طباقي أي أن مفعولـه ٍ‬

‫‪qD‬‬

‫‪‬‬

‫‪.) Re ‬‬

‫‪ .2‬كون التفاعل بين التربة والماء ال يؤثر على سيولة السائل أو نفاذيته عند تغير الميل الهيدروليكي‪.‬‬ ‫فعندما يكون مقدار (‪ )q‬عالي فإن ذلك سيؤدي إلى زيادة رقم رينولدز ويصبح أكبر من واحد‪ ،‬وبذلك ستتأثر‬ ‫العالقة الطردية لقانون دارسي بين ‪ q‬و ‪ k‬كما هو مبين في الشكل (‪ .)4.3‬وهذا ال يحدث عادة لحركة الماء داخل‬ ‫التربة إال نادراً‪ ،‬ولكنه يحدث في بعض الحاالت مثل‪ :‬داخل مادة المرشحات المغلفة للمصارف الحقلية ألن مكوناتها‬ ‫تكون ذات أحجام كبيرة‪ ،‬وبالتالي تكون المسافات البينية بينها كبيرة مما يزيد من سرعة حركة الماء فيها‪ .‬قد ينتج‬ ‫جريان غير طباقي في التربة الرملية الخشنة أو الحصوية التي يكون فيها الميل الهيدروليكي أكبر من واحد‪ ،‬وفي‬ ‫هذه الحالة ال يمكن تطبيق قانون دارسي‪.‬‬

‫بشكل عام يسود الجريان الطباقي في الترب السلتية والترب ذات القوام الناعم تحت ظروف الميول‬ ‫الهيدروليكية االعتيادية الموجودة بالطبيعة‬

‫‪Re>1‬‬

‫ساري‬ ‫المفعول‬

‫التدفق )‪(q‬‬

‫‪Re=1‬‬

‫‪Re<1‬‬

‫الميل‬ ‫الهيدروليكي‬ ‫الشكل ‪ .4.3‬عالقة تبين مناطق انحراف قانون دارسي‬

‫وعليه فإن هذا القانون غير مطلق‪ ،‬فقد ال ينطبق في جميع حاالت أو ظروف حركة الماء داخل الوسط المسامي‪،‬‬ ‫فتطبيقه قد ال يعطي التدفق بالشكل الصحيح عندما يكون انحدار الضاغط المائي (الميل الهيدروليكي) عالي جدا‪ ،‬ألن‬ ‫الميل الهيدروليكي العالي يحول جريان الماء من الحالة الطباقية إلى حالة الجريان المضطرب‪ ،‬والتي عندها ال يمكن‬ ‫إهمال الطاقة الحركية للماء ‪ Kinetic Energy‬بسبب سرعة حركة الماء في التربة (عادة يكون مقدار هذه الطاقة‬ ‫قليل جدا عندما يكون الميل الهيدروليكي صغير‪ ،‬أي في حالة الجريان الطباق ‪ ،‬فلذا تهمل هذه الطاقة دون أي تأثير‬ ‫معنوي على نتائج الحسابات)‪ ،‬أي أن العالقة الطردية القائمة بين سرعة حركة السائل والميل الهيدروليكي تتغير عند‬ ‫السرعات العالية‪.‬‬ ‫وكذلك ال يصح استخدام قانون دارسي عندما يكون انحدار الضاغط المائي (الميل الهيدروليكي) قليل جداً‪ ،‬بسبب تأثير‬ ‫الشحنات الموجودة على سطح دقائق التربة على صفات جزيئه الماء كاللزوجة والكثافة ( شكل‪.)4.3‬‬ ‫‪dq‬‬ ‫وعندما يكون التدفق في التربة غير مستقر )‪ ، (Unsteady Flow‬أي أن التدفق يتغير مع الزمن ‪ 0‬‬ ‫‪dt‬‬

‫أو‬

‫أن التربـــة غير متجانســة باتجاه جريــان الماء فيكون التغير في الضاغط المائي عندئ ٍذ غير خطي مع المسافة باتجاه‬

‫الجريان ‪ ،‬وهذا يعني أن انحدار الضاغط المائي و اإليصالية المائية ( النفاذية ) متغيران ‪ ،‬وهذا يستلزم تغير وصف‬ ‫قانون دارسي من صيغة التفاضل االعتيادية ‪ Ordinary Differential Form‬إلى صيغة التفاضل الجزئي‬ ‫‪ .Partial Differential Form‬وعلى ضوء ذلك اقترح ‪ ( Swartzendruber 1963‬بأنه يمكن كتابة قانون‬ ‫دارسي بالصيغة التالية لبعض الحاالت‪:‬‬ ‫حيث أن ‪ C , J , B‬ثوابت تعتمد على نوع التربة‬

‫مالحظة‪:‬‬ ‫لتمييز الجريان الطباقي من الجريان المضطرب يستخدم قانون رقم رينولدز (‪ )Re‬التالي‪:‬‬ ‫]‪...........................................................................................[4-32‬‬

‫‪qd‬‬

‫‪‬‬

‫‪Re ‬‬

‫حيث أن‪:‬‬ ‫‪ = q‬معدل سرعة السائل ‪،‬‬

‫‪ = D‬القطر ‪ = ،‬كثافة السائل ‪ = ،‬لزوجة السائل‬

‫يتراوح مقدار رقم رينولدز الحرج في األنابيب المستقيمة الذي بعده يبدأ الجريان بأن يكون مضطربا ً ما بين‬ ‫‪ 1000‬و ‪ ،)Scheidegger, 1957; Childs, 1969( 2200‬ويقل هذا الرقم كثيرا ً في حالة األنابيب غير‬ ‫ض بأن سرعة الماء الظاهرية (‪)q‬‬ ‫المستقيمة‪ .‬أما رقم رينولدز الحرج في التربة يكون واحد أو اكثر‪ .‬ولذلك أُفت ُ ِر َ‬ ‫تتناسب طرديا ً مع الميل الهيدروليكي في حالة الترب المسامية طالما أن رقم رينولدز أقل من واحد‪.‬‬

‫جامعة حضرموت‪.‬‬ ‫قسم الهندسة البترولية‪.‬‬ ‫المستوى الثاني ‪.‬‬ ‫المجموعة‪. A‬‬

‫بحث عن‪:‬‬ ‫قانون دارسي‬ ‫إشراف الدكتور‪:‬‬ ‫مازن مهيري‬ ‫اعداد الطالب‪:‬‬ ‫عبدهللا صالح الجابري‬

‫مارس‪2016‬‬

‫جامعة حضرموت‪.‬‬

‫قسم الهندسة البترولية‪.‬‬ ‫المستوى الثاني ‪.‬‬ ‫المجموعة‪. A‬‬

‫قانون دارسي‬ ‫إشراف الدكتور‪:‬‬ ‫مازن مهيري‬ ‫اعداد الطالب‪:‬‬ ‫محمد علي سعيد بن حسين‬