2. Regra De Três (1).doc f2o2a

Tecnólogo em Negócios Imobiliários Disciplina: Matemática Aplicada Prof. Afrânio Austregésilo Thiel

Regra de três Proporção Regra Básica: “O produto dos meios é igual ao produto dos extremos”. a)

2 x 18  5 15

b)

4 x 1  3 6

c)

3 x  2 16  2x  1 9

e)

2 6  x  4 21

f)

3/ 4 5/ 6  x 8 / 12

g)

x 1/ 2  6/ 5 3/ 4

d) 2x

x  5 x 1  3 5 6

h) 0,6  0,9

Grandeza É tudo aquilo que pode ser medido ou comparado. Grandezas Diretamente Proporcionais Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma razão da primeira. Grandezas Inversamente Proporcionais Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira.

Regra de três simples É o processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. os utilizados numa regra de três simples 1° - Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2° - Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3° - Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos a) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m², uma lancha com motor movido à energia solar consegue produzir 400watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m², qual será a energia produzida? Solução: Montando a tabela: Área (m2) Energia (Wh) 1,2 400 1,5 x Identificação do tipo de relação: Área Energia

1,2 1,5

400 x

Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando – aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais (dp). Assim sendo, montando a proporção e resolvendo as equações temos: 400 x 1,2 x  1,5.400 1,5.400 x  1,2  500 1,2 1,5

=

Logo a energia produzida será de 500watts por hora. b) Um trem deslocando-se a uma velocidade média de 400km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: Montando a Tabela: Velocidade (Km/h) Tempo (h) 400 3 480 x Identificando o tipo de relação: Velocidade Tempo 400 3 480 x Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando – diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais (ip). Sendo assim, montando a proporção e resolvendo a equação temos: 3 480  x 400 Invertemos os termos

480 x  3.400 3.400  2,5 x 480

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. Exercícios 1) Com 8 pedreiros podemos construir uma casa em 3 meses. Quantos meses levarão 6 pedreiros para fazer o mesmo trabalho? 2) Uma pessoa gasta 25 minutos para percorrer certa distância caminhando 54 os por minuto. Quanto tempo levaria para vencer a mesma distância se desse 45 os por minuto? 3) Uma olaria fabrica 1200 tijolos em 5 dias. Quantos tijolos seriam fabricados em 3 dias?

4) Seis pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levarão 8 pedreiros para fazer o serviço? 5) Para assoalhar um quarto de 15m² de área, gastam-se 900 tacos. Quantos tacos serão necessários para assoalhar um quarto de 23m²? 6)Na construção de uma casa, 6 operários levam 18 dias. Quanto tempo levaria para 12 operários construírem a mesma casa? 7) Um relógio atrasa 6 minutos cada 24 horas. Determine o atraso total em 144 horas. 8) Se um caminhão percorre 225km em 4 horas e 20 minutos, quanto tempo levará para percorrer 675km, com a mesma velocidade? 9) Um livro tem 153 páginas, sendo 40 linhas por página. Se houvesse 45 linhas por página, qual seria o número de paginas desse livro?

Regra de três composta É um processo prático para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais. os utilizados numa regra de três composta: 1° - Colocar as grandezas de mesma espécie numa mesma coluna. 2° - a) Indicar duas grandezas diretamente proporcionais com flechar do mesmo sentido. b) Indicar duas grandezas inversamente proporcionais com flechas de sentido contrário. 3° - Armar a proporção e resolve-las. Importante! Para colocar as flechas, comparamos cada grandeza com aquela que contém a incógnita x , sempre duas a duas, partindo da grandeza que tem valores indo ao encontro da que tem a incógnita.

Exemplos a) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m³? Solução: Montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: Horas Caminhões Volume 8 20 160 5 x 125 Identificação do tipo de relação: Horas Caminhões Volume 8 20 160 5 x 125 A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. 20 160 5  . x 125 8

Termos foram invertidos (seta contrária)

20 800  x 1000 800 x  20000 20000 x 800 200 x  25 8

Logo, serão necessários 25 caminhões. b) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? Solução: Montando a tabela: Homens Carrinhos Dias 8 20 5 4 x 16 Observe que: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 20 8 5  . x 4 16 20 40  x 64 x  32

Logo, serão montados 32 carrinhos. Exercícios 1) Para abrir um poço de 3m de comprimento por 2m de largura e 10m de profundidade levam-se 5 dias. Quantos dias levarão para abrir um poço de 4m de comprimento por 3m de largura e 8m de profundidade? 2) 18 operários trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias fazem um determinado serviço. Trabalhando 9 horas por dia, 12 operários farão o mesmo serviço em 4 dias? 3) Três pedreiros constroem um muro de 20m de comprimento em 10 dias. Quantos dias levarão 5 pedreiros para construírem 30m de muro do mesmo tipo? 4) Para pintar um muro com 20m de comprimento e 80cm de altura, foram gastas 5 latas de tinta. Quantas latas serão gastas para pintar 16m de muro de 60cm de altura?

5) Nove operários produzem 5 peças em 8 dias. Quantas peças serão produzidas por 12 operários em 6 dias? 6) Para asfaltar 1km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por dia. Vinte homens, para asfaltar 2km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia, gastarão quantos dias?

Problemas e Testes de Concursos 1) (BB) Para colocar assoalhos em uma casa foram necessárias 18 dúzias de tábuas de 2,30m de comprimento por 10cm de largura. Quantas tábuas seriam necessárias para assoalhar a mesma casa se elas tivessem 1,80m de comprimento por 3dm de largura? 2) (BB) Enquanto uma torneira pode encher um tanque em 9 horas, outra torneira pode encher o mesmo tanque em 12 horas. Se essas duas torneiras funcionassem juntas e, com elas, mais uma terceira torneira, o tanque ficaria cheio em 4 horas. Em quantas horas a terceira torneira, funcionando sozinha, encheria o tanque? 3) (BB) As rodas traseiras de um carro têm 3,25m de circunferência. Enquanto as rodas dianteiras dão 20 voltas, as traseiras dão somente 12. Qual é a circunferência das rodas dianteiras? 4) (BB) Um viajante vai a cidade x à cidade z em um trem que faz 60km/h e volta em outro cuja velocidade é de 96km/h. Sabendo que a viagem de ida e volta durou 9 horas e 58 minutos, responda qual a distância entre as 2 cidades. 5) (BB) Certa máquina, trabalhando 12 horas por dia, consome 9780kg de carvão em 30 dias. Qual o custo do carvão gasto por essa máquina durante 90 dias, sabendo que nesse período trabalhou 12 horas e 30 minutos por dia e que cada tonelada de carvão custou R$800,00? 6) (BB) Se um homem caminha à razão de 4km e 500m por hora, em quantas horas, minutos e segundos, percorrerá a distância de 14km e 415m? 7) (BB) Sabendo que

3 de certa obra foram feitos por 33 pessoas em 1 ano de trabalho, 4

determine quantas pessoas seriam necessárias para fazer a obra toda em metade desse tempo. 8) (BB) Sabendo que 3 operários, trabalhando 7 horas por dia, durante 2 dias, fizeram 126m de certa obra, calcule quantos metros da mesma obra farão 2 operários que trabalhem 3 horas por dia durante 5 dias. 9) (BB) Trabalhando 4 horas diárias, durante 18 dias, 64 operários abriram uma vala de 36m de comprimento num terreno de dureza 3. Determine o comprimento de outra vala, aberta por 56 operários que trabalharam 5 horas por dia, durante 16 dias, num terreno de dureza 2.

10) (BB) Uma torneira que jorra 1035,5L de água por hora enche certo reservatório em 12 horas. Determine em quanto tempo outra torneira, que jorra 20L por minuto, encheria o mesmo reservatório. 11) (BB) Trabalhando 8 horas diárias durante 15 dias, 27 operários fizeram um muro de 20m de comprimento, 1,80m de altura e 30 m de espessura. Quantos operários seriam necessários para a construção de outro muro de 30m de comprimento, 2m de altura e 27cm de espessura se eles trabalhassem 9 horas por dia durante 18 dias? 12) (BB) Vinte e cinco tecelões, trabalhando 7 horas por dia durante 18 dias, teceram 750m de certo tecido. Quantos tecelões, trabalhando 9 horas por dia durante 14 dias, seriam necessários para tecer 630m de mesmo tecido? 13) (BB) O volante de uma máquina, dando 318 voltas em 6 minutos, põe em movimento uma fieira que produz 265m de tecido em 60 minutos. Que tempo será preciso para fabricar 564, de tecido se o volante der 376 voltas em 4 minutos? 14) (TTN) Um tanque é alimentado por duas torneiras; a primeira pode enchê-lo em 5 horas e a segunda em 4 horas. Em que tempo é possível encher esse tanque se abrirmos a segunda torneira uma hora após a primeira? a) 3h 15min 10s

c) 2h 10min 10s

b) 2h 46min 40s

d) 3h 10min

e) 3h 15min

15) (TTN) Uma caixa de água, com capacidade para 960m³, possui uma tabulação que a alimenta até o limite em 7 horas e um “ladrão” que esvazia em 12 horas. Com a água enchendo a caixa e o “ladrão” funcionando simultaneamente, em quanto tempo a caixa de água ficará cheia? a) 16h 8min

c) 16h 28min

b) 14h 8min

d) 16h 48min

e) 14h 48min

16) (TTN) Na planta de um apartamento, as dimensões da sala são de 9 cm de largura e 12 cm de comprimento. Após a construção do imóvel, a sala ficou com uma largura de 7,5m. A medida do comprimento dessa sala é de? a) 10,0m

b)11,0m

c)5,6m

d)9,0m

e) 8,6m

17) (TTN) Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6 horas por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8 horas por dia, a estrada será concluída em: a) 90 dias

b)84 dias

c) 72 dias

d) 128 dias

e) 60 dias

18) (TTN) Um criador sabe que 900 frangos consomem 8,1 toneladas de ração em 30 dias. Ele adquiriu 1 000 frangos e 10,5 toneladas de ração.Considerando que ele pretenda abater essas aves daqui a 40 dias, quando elas estiverem no peso ideal, qual a quantidade excedente de ração que deverá ser comprada? a) 1900kg

b) 1500kg

c) 1800kg

d) 1700kg

e) 1600kg

19) (TTN) Trabalhando 7 horas por dia, 24 operários fazem um determinado serviço em 10 dias. Em quantos dias a obra estará terminada se 4 operários forem dispensados e o regime de trabalho diminuído de uma hora por dia? a) 8 dias

b) 11 dias

c) 12 dias

d) 14dias

e) 18 dias

20) (TTN) Trabalhando 8 horas por dia, 12 pedreiros constroem 27m² de um muro em 30 dias. Quantas horas deverão trabalhar 16 operários por dia, durante 24 dias, para construir 36m² do mesmo muro? a) 7

b)8

c) 10

d) 12

e) 17

21) (TTN) Um navio, com guarnição de 300 homens, necessita de 120 000L de água para efetuar uma viagem de 20 dias. Aumentando a guarnição de 50 homens e a água em 6 000L, determine qual poderá ser a duração da viagem. a) 24 dias

b) 22 dias

c) 20 dias

d) 18 dias

e) 16 dias

22) (TTN) Uma empresa comprometeu-se a realizar uma obra em 30 dias, contando com 12 operários que trabalhavam 6 horas por dia. Decorridos 10 dias quando

1 da obra já havia sido 3

concluído, a empresa teve que deslocar 4 operários para outro projeto. Nessas condições, para terminar a obra no prazo determinado, a empresa deverá prorrogar o turno por mais: a) 2h

b) 3h

c) 1h

Respostas dos problemas e testes de concursos 1) 92 tábuas 2) 18 horas 3) 1,95m 4) 368 km 5) R$24.450,00 6) 3 horas, 12 minutos e 12 segundos 7) 88 pessoas 8) 90m 9) 52,5m 10) 10 horas, 21 minutos e 18 segundos 11) 30 operários 12) 21 tecelões 13) 72 minutos 14) B 15) D 16) A 17) C 18) B 19) D 20) C 21) D 22) B

d) 1h e 30min

e) 2h e 30 min