Práctica Nº 1 (matrices Y Determinantes) 201820 (1) 265u1e

Práctica Nº 1 Matemática Aplicada Nombres y Apellidos: ____________________________________________________________________ Fecha:

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INSTRUCCIONES: Resuelve cada una de las siguientes preguntas procurando hacerlo en orden y con la mayor limpieza posible, lo cual se tomará en cuenta para su calificativo.

“Si entiendes cómo funciona el universo, en cierto modo lo controlas” Stephen Hawking. 1 4 2 −3 1. Dos matrices se define como: 𝑃 = [ ], 𝑄 = [ ]. Evalúe: −1 8 −1 5 a. 2𝑃 c. 3𝑄 e. 3𝑃 + 2𝑄 b. −𝑄 d. 2𝑃 + 𝑄 f. 𝑄 − 4𝑃 1 0 −3 −5 1 1 2 2. Si 𝐴 = [ ], 𝐵 = [2 1 ], 𝐶 = [ 0 1 ], evalúe, cuando sea posible: 0 −6 9 0 −1 3 2 a. −𝐴 c. 𝐵 + 𝐶 e. 2𝐵 − 𝐶 b. −2𝐴 d. 2𝐵 f. 3(𝐵 + 𝐶) 1 1 2 −1 −2 3 3. Si 𝑋 = [0 1 4], 𝑌 = [ 2 0 1 ], evalúe: 0 2 1 2 0 −4 a. 3𝑋 c. 𝑋 + 𝑌 e. 3𝑋 + 2𝑌 b. 2𝑌 d. 𝑋 − 𝑌 f. 2𝑌 − 𝑋 4. Un sistema de control de existencias almacena las existencias de 7 productos como las filas de una matriz. La empresa trabaja 5 días a la semana y registra las existencias al cierre como las columnas de una matriz. ¿Cuál es el orden de la matriz? 5. El diagrama muestra una hoja de cálculo utilizada para almacenar las ventas de una tienda pequeña.

a. b. c. d.

¿Cuál fue la venta de alfileres el viernes de la semana 1? ¿Cuál fue el artículo menos vendido el jueves de la semana 2? ¿Cuál fue el artículo más vendido el lunes de la semana 1? ¿Qué día no se vendieron tapones?

En la hoja de cálculo se necesita un lugar para calcular con una fórmula las ventas totales en las dos semanas. ¿Qué fórmula se usará para calcular las ventas de tuercas de los lunes? Si se copiara en la celda que sigue debajo, ¿Cuál sería la fórmula? 𝑎 1 2𝑎 2 ], 𝐵 = [ ], exprese 𝐴 + 𝐵 como una matriz. −1 −𝑎 1 𝑎 7. La matriz cero tiene entradas que son todas cero. Halle el valor de 𝑎 de manera que 𝑃 + 𝑄 sea la matriz 𝑎 2 −3 𝑎 − 5 cero. 𝑃 = [ ], 𝑄 = [ ]. 5 −3 −5 𝑎 6. Si 𝐴 = [

8. En una matriz diagonal todos los elementos son ceros excepto en la diagonal que va de arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha. Halle los valores de 𝑎 de manera que la matriz 𝐴 + 𝐵 sea diagonal. 5 1 𝑎 3 −1 −2 𝐴=[ 3 𝐵 = [−3 −2 2𝑎 ] 7 −4] −2 𝑎 + 2 2 2 −4 3 9. Escribir explícitamente las siguientes matrices: a. 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ] ∈ 𝐾 3×2 /𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 2𝑗 b. 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗 ] ∈ 𝐾 3×3 /𝑏𝑖𝑗 = 2𝑖 − 𝑗 c. 𝐶 = [𝑐𝑖𝑗 ] ∈ 𝐾 3×4 /𝑐𝑖𝑗 = 𝑚á𝑥(𝑖; 𝑗) d. 𝐷 = [𝑑𝑖𝑗 ] ∈ 𝐾 4×3 /𝑑𝑖𝑗 = 2𝑖 − (−1)𝑗 𝑥 − 2𝑦 𝑥 2 𝑦+4 −2/3 −2 10. Sean las matrices: 𝐴 = [ ], 𝐵 = [ ]y𝐶 =[ ]. Si 𝐴 = 𝐵, hallar 𝐴 + 3𝐶. 3 𝑥−𝑦 3 4 −1 0 2𝑥 + 1 2 𝑧−1 3 − 2𝑦 2 𝑥+𝑦 2𝑦 ] y 𝐵 = [ 𝑧 + 3 −1 𝑧 − 2𝑥 ], hallar el valor de 𝑥, 𝑦 y 11. Sean las matrices 𝐴 = [ 𝑥 + 2 −1 𝑦−1 8 𝑥 − 2𝑧 𝑧−5 8 −1 𝑧. Si 𝐴 = 𝐵. 11 1 −2 7 3 5 12. Si 𝐴 = [ ], 𝐵 = [ ]y𝐶 =[ ], resolver la ecuación: 10 5 4 −1 −2 1 2(𝑥 − 2𝐵) = 3[𝐴 + 2(𝑥 − 2𝐵)] + 𝐶 2 3 −7 3 −3 5 13. Si 𝐴 = [ ], 𝐵 = [ ]y𝐶 =[ ], resolver las siguientes ecuaciones: 4 5 2 −1 −2 2 a. 3(𝑥 − 2𝐴) = 5(𝐵 − 𝐶) + 2(𝑥 − 𝐴 − 𝐵) b. 3(𝑥 − 𝐴 + 𝐵) = 2[𝑥 − 2(𝐵 + 𝐶)] − (𝑥 + 𝐶) 3 1 −2 6 3 −7 6 7 −5 14. Si 𝐴 = [−7 1 4 ], 𝐵 = [ 8 4 −2] y 𝐶 = [ 12 5 −6] resolver la ecuación: 8 3 6 −1 14 10 −1 9 1 2(𝑥 − 2𝐶) = 3𝑥 − 𝐶 − 2(𝐴 + 2𝐵 − 𝑥) 16 −40 −5 3 15. Resolver el sistema: 2𝑥 + 3𝑦 = 𝐴, 5𝑥 − 2𝑦 = 𝐵, 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐾 2×2 donde, 𝐴 = [ ]y𝐵 =[ ] 21 23 16 −6 16. Si 𝐴 es una matriz 3 × 4, 𝐵 es 4 × 3, 𝐶 es 2 × 3 y 𝐷 es 4 × 5, calcule los tamaños de los siguientes productos de matrices. a. AB c. CA e. CAD b. BA d. AD f. CBA 17. Efectúe las operaciones indicadas y simplifique. 4 3 0 1 a. [ ] [5] 2 4 0 6 1 −2 2 b. [−3 4 ] [ ] 0 5 6 1 0 2 3 −2 c. [ 0 2 −1] [ 2 1] −2 1 0 −1 3 −1 0 1 2 3 3 −1 d. [ ] [ 2 4] [ ] 4 5 6 −2 1 0 3 2 1 1 −2 2 0 e. [0 2 ] ([ ] + 3[ ]) 2 −1 1 2 3 −1 −4 2 5 6 4 1 −2 f. [ ] ([1 0 ] + [ 3 1]) −3 2 1 −2 3 2 −3

18. Calcule 𝐴2 + 2𝐴 − 3𝐼 para 1 0 0 𝐴 = [0 2 1 ] 0 0 3 19. (Valoración de inventarios) Un comerciante de televisores a color tiene cinco televisores de 26 pulgadas, ocho de 20, cuatro televisores de 18 pulgadas y diez de 12. Los televisores de 26 pulgadas se venden en $650 cada uno, los de 20 en $550 cada uno, los televisores de 18 pulgadas en $500 cada uno y los de 12 se venden en $300 cada uno. Exprese el precio de venta total de su existencia de televisores como el producto de dos matrices. 2 1 20. Si 𝐴 = [ ] muestre que 𝐴2 es la matriz identidad. −3 −2 21. (Costo de adquisiciones) Daniel está encargado de un torneo de tenis de mesa en su escuela, por lo que compró 4 redes, 10 raquetas y 5 paquetes de pelotas. Si las redes tienen un costo de 10 dólares, cada raqueta un costo de 4 y 12 cada paquete de pelotas, utilice la multiplicación de matrices para representar la cantidad total que Daniel gastó en la compra de estos artículos. 22. (Matrices de producción) Un fabricante de zapatos los produce en color negro, blanco y café para niños, damas y caballeros. La capacidad de producción (en miles de pares) en la planta de Sonora está dada por la siguiente matriz: Hombres

Mujeres

Niños

30 34 20 [45 20 16] 14 26 25 La producción en la planta de Durango está dada por Negro Café Blanco

Negro Café Blanco

Hombres

Mujeres

Niños

35 [52 23

30 25 24

26 18] 32

a. Determine la representación matricial de la producción total de cada tipo de zapato en ambas plantas. b. Si la producción en Sonora se incrementa en un 50% y la de Durango en 25%, encuentre la matriz que representa la nueva producción total de cada tipo de calzado. 23. Calcule los siguientes determinantes. 1 −2 3 3 1 0 a. |4 0 5| c. |0 −2 1| 6 0 7 2 0 5 𝑎+1 2−𝑎 5 10 1 b. | | d. |8 5 4| 2𝑎 + 3 5 − 2𝑎 1 4 2 24. Determine 𝑥 en cada caso. 𝑥 3 a. | |=9 2 5 𝑥+3 2 b. | |=3 𝑥 𝑥+1

1 c. |𝑥 2 𝑥

0 0 𝑥 − 2 3| = 3 𝑥+1 𝑥

𝑥+1 2 d. | 𝑥 𝑥2 0 1

𝑥 2| = 1 0

25. Por medio de la regla de Cramer resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones. a. 3𝑥 + 2𝑦 = 1 2𝑥 − 𝑦 = 3 b. 4𝑥 + 5𝑦 − 14 = 0 3𝑦 = 7 − 𝑥 c.

1

1

𝑥 + 2𝑦 = 7

3 1

1

𝑥 − 5𝑦 = 1 2

d. 2𝑥 + 3𝑦 = 13 6𝑥 + 9𝑦 = 40 e. 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −1 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 4 f.

3𝑥 = 2(2 + 𝑦) 4𝑦 = 7 + 6𝑥

g. 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2 3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 9 −𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = −5

Prof. Ronal Portilla Ventura.