Diseños En Parcelas Subdivididas 2h366z

DISEÑOS EN PARCELAS SUBDIVIDIDAS El concepto de los diseños en parcelas divididas puede generalizarse a casos en los que las restricciones de aleatorización ocurren en cualquier número de niveles dentro del bloque. La disposición en la que hay dos niveles de restricciones en la aleatorización en los bloques se llama diseño en parcelas subdivididas. EJEMPLO Un investigador médico está estudiando el tiempo de absorción de un antibiótico en cápsulas. Hay tres ayudantes de laboratorio, tres niveles de dosis y cuatro espesores de la cápsula que son de interés para el investigador. Cada réplica del experimento factorial requiere 36 observaciones. El investigador ha optado por hacer cuatro réplicas y es necesario realizar una réplica por día. Por lo tanto, los días constituyen los bloques. Dentro de cada bloque (día) el experimento se realiza asignando una cantidad de antibiótico a un ayudante que lleva a cabo el experimento con tres dosis y cuatro espesores de la cápsula. Mientras tanto, los otros dos ayudantes siguen la misma técnica, cada una comenzando con una unidad de antibiótico. Nótese que hay dos restricciones en la aleatorización dentro de un bloque: ayudante y dosis. La parcela completa corresponde al factor ayudante. El orden en el que se asignan las unidades de antibiótico a los ayudantes es aleatorio. Las dosis constituyen las tres subparcelas. La dosis puede asignarse aleatoriamente a una subparcela. Finalmente, dentro de una dosis particular se prueban aleatoriamente, los cuatro espesores de la cápsula formando cuatro subparcelas. Los espesores de las cápsulas usualmente se denominan subsubtratamientos. Ya que existen dos restricciones en la aleatorización dentro de cada bloque (algunos autores prefieren decir dos “divisiones” en el diseño), el diseño se conoce como diseño en subparcelas divididas. En la Tabla se ilustran las dos restricciones en la aleatorización y disposición experimental de este diseño. El Modelo Estadístico para el Diseño en Parcelas Subdivididas es: Yijkh     i   j    ij   k    ik    ijk   h    ih     jh

   ijh     ih    ikh     jkh    ijkh

i  1,2,..., a j  1,2,..., b k  1,2,..., c h  1,2,..., d

En donde  i ,  i y   ij representan la parcela completa y corresponden a los bloques (factor A), tratamientos principales (factor B) y al error de la parcela completa (AB), respectivamente. Por otra parte:  k ,   ik y   ijk representan a la subparcela y corresponden al tratamiento de la subparcela (factor C), las interacciones AC y BC y el

error de la subparcela, respectivamente. Finalmente,  h y los parámetros restantes corresponden a la subparcela dividida, y representa el tratamiento de la subparcela dividida (factor D) y las interacciones restantes. La Interacción de cuatro factores   ijkh se denomina error de la subparcela dividida.

TABLA: Deducción de las medias de cuadrados esperadas para el diseño en subparcelas divididas

Factor

i

Parcela Completa

SubParcela

j

a b c d 1 R F F F R i j k h l

1 a

b 0

c c

d d

Media de Cuadrados Esperada

1

 2  bcd 2

1

  cd  2

2 

  cd 2

1

0

c

d

l

k

a

b

0

d

1

 2  bd 2 

  ik

1

b

0

d

l

  bd

   jk

a

0

0

d

1

  d

l

  d

  ijk

 b  1

2 

  ij

2

acd   2j

abd   k2

 c  1

2 

ad     jh 2

1

0

0

d

2

2

2 

2 



 b  1 c  1

SubSubparcela

h

a

b

c

0

1

  bc 

  ih

1

b

c

0

l

  bc

   jh

a

0

c

0

1

  c

2

2 

2

abc  k2

 c  1

2 

ac     jh 2

2

2 

  ijh

1

0

c

0

l

  c

   kh

a

b

0

0

1

  b

l

  b

1

 

2



 b  1 d  1

2 

ab    kh 2

  ikh

1

b

0

0

2

2

2 



 c  1 d  1

2 

a     ijk 2

   jkh

  ijkh I (ijkh )

a

0

0

0

1

0

0

0

l

1

1

1

1

l

2

2 



 b  1 c  1 d  1

2  2   

 2 (no estimable)

Suponiendo que los bloques son aleatorios y los otros factores fijos, los valores esperados de las medias de cuadrados se pueden deducir como aparece en la Tabla. Las pruebas para los efectos principales, los subtratamientos, los sub-subtratamientos y sus interacciones, son obvias al inspeccionar esta tabla. Nótese que no existen pruebas para los bloques o las interacciones en lasque intervienen los bloques. El análisis estadístico del diseño en subparcelas divididas es igual al de una sola réplica del diseño factorial con cuatro factores. Los grados de libertad en cada prueba se determinan en la forma usual. Para ilustrar esto, en el Ejemplo, se tienen cuatro bloques, tres técnicos, tres dosis y cuatro espesores de cápsulas, se tienen sólo  a  1 b  1   4  1 3  1  6 grados de libertad para la parcela completa con objeto de probar a los técnicos. Éste es un número relativamente pequeño de grados de libertad, por lo que el experimentador puede considerar aumentar el número de bloques para mejorar la precisión del experimento. Si hay a bloques se tienen 2 a  1 grados de libertad para el error de la parcela completa. Por lo tanto, cinco bloques producen 2 5  1  8 grados de libertad, seis bloques producen 2 6  1  10 grados de libertad, seis bloques producen 2 7  1  12 grados de libertad, y así sucesivamente. En consecuencia, no es conveniente ensayar menos de cuatro bloques porque esto produce sólo 4 grados de libertad. Cada bloque adicional permite la ganancia de 2 grados de libertad para el error. Si pueden costearse cinco bloques, la presión del experimento se incrementa en un tercio (de 6 a 8 grados de libertad). Así mismo, con el incremento de cinco a seis bloques, la precisión aumenta en un 24%. Si los recursos lo permiten, el experimentador debe utilizar cinco o seis bloques.

Tabulación de datos: El esquema de la tabulación de datos se presenta a continuación.

“-“: indica un dato. Cada fila tiene 9 datos. Este esquema se repite para los 3 bloques restantes. Nuestros datos son presentados a continuación (Separados por Bloques):

95 104 101 108

71 82 85 85

108 115 117 116

96 99 95 97

70 84 83 85

108 100 105 109

95 102 105 107

70 81 84 87

100 106 113 115

95 106 103 109

78 84 86 84

110 109 116 110

100 101 99 112

72 79 80 86

104 102 108 109

92 100 101 108

69 76 80 86

101 104 109 113

96 105 106 113

70 81 88 90

107 106 112 117

94 100 104 121

66 84 87 90

100 101 109 117

90 97 100 110

73 75 82 91

98 100 104 112

90 100 102 114

68 84 85 88

109 112 115 118

98 102 100 118

68 81 85 85

106 103 110 116

98 102 105 110

72 78 80 95

101 105 110 120

Luego, hemos ordenado y codificado el Programa en SAS, que es el siguiente: Data Subdivididas; title “Diseños en Parcelas Subdivididas”; input Bloques Grosor Tecnico Dosis Y; cards; Bloques Grosor Tecnico Dosis Y 1 1 1 1 95 1 1 1 2 71 1 1 1 3 108 1 1 2 1 96 1 1 2 2 70 1 1 2 3 108 1 1 3 1 95 1 1 3 2 70 1 1 3 3 100 1 2 1 1 104 1 2 1 2 82 1 2 1 3 115 1 2 2 1 99 1 2 2 2 84 1 2 2 3 100 1 2 3 1 102 1 2 3 2 81 1 2 3 3 106 1 3 1 1 101 1 3 1 2 85 1 3 1 3 117 1 3 2 1 95 1 3 2 2 83 1 3 2 3 105 1 3 3 1 105 1 3 3 2 84 1 3 3 3 113 1 4 1 1 108 1 4 1 2 85 1 4 1 3 116 1 4 2 1 97 1 4 2 2 85 1 4 2 3 109 1 4 3 1 107 1 4 3 2 87 1 4 3 3 115 2 1 1 1 95 2 1 1 2 78

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2

3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

110 100 72 104 92 69 101 106 84 109 101 79 102 100 76 104 103 86 116 99 80 108 101 80 109 109 84 110 112 86 109 108 86 113 96 70 107 94 66 100 90 73 98 105 81 106 100 84 101

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4

3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1

97 75 100 106 88 112 104 87 109 100 82 104 113 90 117 121 90 117 110 91 112 90 68 109 98 68 106 98 72 101 100 84 112 102 81 103 102 78 105 102 85 115 100 85 110 105 80 110 114

4 4 1 2 88 4 4 1 3 118 4 4 2 1 118 4 4 2 2 85 4 4 2 3 116 4 4 3 1 110 4 4 3 2 95 4 4 3 3 120 ; PROC GLM; class Bloques Tecnico Dosis Grosor; model y = bloques tecnico bloques*tecnico dosis tecnico*dosis dosis*bloques(tecnico) grosor tecnico*grosor dosis*grosor tecnico*dosis*grosor/ss1 ; test h=bloques tecnico e=bloques*tecnico; test h=dosis tecnico*dosis e=dosis*bloques(tecnico); Run;

Nuestras Salidas fueron las siguientes: Diseños en Parcelas Subdivididas Procedimiento GLM Información del nivel de clase Clase

Niveles

Bloques

4

Tecnico

3

Dosis

3

Grosor

4

Valores 1234 123 123 1234

Número de observaciones

145

NOTA: Due to missing values, only 144 observations can be used in this analysis.

Diseños en Parcelas Subdivididas Procedimiento GLM Variable dependiente: Y Fuente

DF

Modelo

62

Error

Suma de Cuadrado de cuadrados la media 25921.47222

81

Total correcto

723.18750

143

F-Valor

418.08826

Pr > F

46.83

8.92824

26644.65972

R-cuadrado

Coef Var

Raiz MSE

Y Media

0.972858

3.074926

2.988016

97.17361

<.0001

Fuente

Cuadrado de Tipo I SS la media

DF

Bloques 3 Tecnico 2 Bloques*Tecnico Dosis 2 Tecnico*Dosis Bloque*Dosis(Tecnic) Grosor 3 Tecnico*Grosor Dosis*Grosor Tecnico*Dosis*Grosor

F-Valor

Pr > F

48.40972 16.13657 1.81 0.1524 248.34722 124.17361 13.91 <.0001 6 161.15278 26.85880 3.01 0.0105 20570.05556 10285.02778 1151.97 <.0001 4 125.94444 31.48611 3.53 0.0105 18 226.00000 12.55556 1.41 0.1514 3806.90972 1268.96991 142.13 <.0001 6 126.48611 21.08102 2.36 0.0375 6 402.27778 67.04630 7.51 <.0001 12 205.88889 17.15741 1.92 0.0435

Tests de hipótesis usando el MS Tipo I para Bloques*Tecnico como un término de error Fuente

DF

Bloques Tecnico

3 2

Cuadrado de Tipo I SS la media 48.4097222 248.3472222

F-Valor

16.1365741 124.1736111

Pr > F

0.60 0.6378 4.62 0.0609

Tests de hipótesis usando el MS Tipo I para Bloque*Dosis(Tecnic) como un término de error Fuente

DF

Dosis Tecnico*Dosis

2

Cuadrado de Tipo I SS la media

F-Valor

20570.05556 10285.02778 4 125.94444 31.48611

Pr > F

819.16 <.0001 2.51 0.0784

A continuación se muestra la Tabla de Andeva definitiva: Fuentes de Variación BLOQUES TECNICO Error(a) DOSIS TECNICO*DOSIS Error(b) GROSOR TECNICO*GROSOR DOSIS*GROSOR TECNICO*DOSIS*GROSOR Error(c) Corrected Total

G.L. 3 2 6 2 4 18 3 6 6 12 81 143

Análisis de Varianza S.C. C.M. 48.40972 16.13657 248.34722 124.17361 161.153 26.859 20570.056 10285.028 125.944 31.486 226.000 12.556 3806.910 1268.970 126.486 21.081 402.278 67.046 205.889 17.157 723.188 8.928 26644.660

F 0.60 4.62

Pr > F 0.6378 0.0609

819.16 2.51

0.0001 0.0784

142.13 2.36 7.51 1.92

0.0001 0.0375 0.0001 0.0435

Conclusiones: El valor de F para Técnico no es significativo. Esto indica que los tres Técnicos han tenido éxito en conducir el experimento de una manera uniforme. Puesto que F para dosis es significativo, podemos concluir que existen diferencias significativas entre las potencias de las 3 dosis que se han probado en este experimento. La interacción Técnico*Dosis al no ser significativa, asegura que las 3

dosis entre ellas mantienen las mismas diferencias relativas del tiempo de absorción, no importa cual es el Técnico quién lo prepara. Esta información es importante ya que esto asegura la uniformidad en la calidad del producto elaborado. Grosor es significativo, lo cual implica que la potencia del antibiótico depende del grosor de la pared de cápsula. La interacción DOSIS*GROSOR es significativa. Esto indica que el factor dosis y el factor grosor de la cápsula no son independientes. La interacción TECNICO*GROSOR es significativa indicando que el nivel del factor grosor que tenga el mejor tiempo de absorción depende del técnico quién ha elaborado el antibiótico. La interacción triple Tecnico*Dosis* Grosor, por ser una interacción de tres factores puede ser causada de una manera compleja por la significación de cualesquiera de las siguientes interacciones: Técnico por Dosis*Grosor, o Dosis por Técnico*Grosor o por Grosor por Técnico*Dosis.