Presión Hidrostática Sobre Superficies Planas Teoría 141262

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Presión hidrostática sobre Superficies planas INTRODUCCION.Para introducirnos en el estudio de la Presión Hidrostática sobre Superficies planas, debemos tener en cuenta algunos conceptos físicos, claramente asimilados. La presión es la fuerza que se ejerce por unidad de superficie. Por lo tanto, vendrá definida por su módulo o intensidad y por su dirección, siendo evidente el sentido en que actúa (hacia el cuerpo considerado). A continuación vamos a estudiar las dos propiedades que la definen. 1) Relativa a su Dirección: En una masa líquida en equilibrio, la presión hidrostática en cualquiera de sus puntos debe ser perpendicular al elemento plano sobre el que actúa. Si no fuera así, existiría una componente tangencial que rompería el equilibrio. donde, F: Fuerza uniformemente repartida, o bien, fuerza media que actúa sobre S. S: Área o Superficie. Sí S se hace infinitamente pequeña, entonces se define la presión:

2) Relativa a su Intensidad: En un punto de una masa líquida existe la misma presión hidrostática en todas las direcciones, es decir, la presión es independiente de la inclinación de la superficie sobre la que actúa. Consideremos un volumen de líquido en reposo en forma de tetraedro OABC, según muestra la figura.

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Las fuerzas que actúan son:

 Fuerzas Másicas: Es decir, las fuerzas exteriores que actúan sobre la masa del elemento líquido. Se deben a la gravedad, dependen del peso del elemento considerado, y por tanto son proporcionales al producto de las tres dimensiones , es decir, al volumen.  El Empuje: Sobre cada una de las caras del tetraedro, debido a las presiones ejercidas por el resto del líquido. Ecuación Fundamental de la Hidrostática: Se refiere a la ecuación de equilibrio de una masa líquida. Consideremos dentro de un líquido en reposo un elemento de volumen infinitesimal en forma de paralelepípedo rectangular, de aristas paralelas a los ejes coordenados, como muestra la figura.

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El paralelepípedo está sometido a las fuerzas exteriores o másicas, aplicada la resultante en su centro de gravedad (cdg), es decir, el peso propio, y a las presiones sobre sus caras exteriores o empuje ejercidas por el líquido circundante. Obsérvese que las presiones sobre las caras que forman el diedro que pasa por A son iguales (P). Las condiciones de equilibrio del paralelepípedo se plantean igualando a cero la suma de todas las fuerzas que actúan sobre él, proyectándolas sobre cada uno de los ejes. (x, y, z) serían las componentes de la resultante de las fuerzas exteriores según los tres ejes. Proyecciones sobre OX: Componentes de las fuerzas exteriores

Presión total sobre la cara ACD Presión total sobre la cara BEF Las presiones que actúan sobre las demás caras dan proyecciones nulas sobre el eje OX. Σ Proyecciones sobre OX=0

Simplificando se obtiene: Operando de igual modo sobre los ejes OY y OZ, las condiciones de equilibrio serían respectivamente:

Multiplicando las ecuaciones [1], [2] y [3] por dx, dy y dz, respectivamente y sumándolas se obtiene:

El primer miembro es una ecuación diferencial total, con lo que se puede poner de la forma: Esta ecuación se conoce como Ecuación de equilibrio de una masa líquida o Ecuación Fundamental de la Hidrostática. Las superficies de nivel son aquellas que tienen la misma presión en todos sus puntos, por lo que al ser P= cte, P=0, quedando la ecuación fundamental de la forma: Que es la ecuación diferencial de las superficies de nivel o equipotenciales. 3

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Presión Hidrostática en los Líquidos. Ecuación de Equilibrio en Reposo. Cota Piezométrica: En un líquido en reposo, la única fuerza exterior que actúa es la de la gravedad. Si tomamos los ejes OX y OY paralelos a la superficie libre del líquido y OZ vertical y dirigido hacia arriba, como muestra la figura, las componentes de aquella fuerza para cualquier líquido incompresible de densidad ρ serán:

La ecuación fundamental de la Hidrostática quedaría:

; y puesto que Integrando la ecuación desde una cota z 0 en la que la presión es P0, hasta una cota z de presión P, como se esquematiza en la figura, se obtiene:

La ecuación [4] indica que la diferencia de presión entre dos puntos de un líquido en equilibrio es igual al peso de una columna del mismo líquido de sección unidad y altura la diferencia de cotas entre ambos puntos. Normalmente el origen de las “z” se sitúa en la superficie libre del líquido, de tal forma que z 0-z=h, siendo “h” la profundidad del líquido. Entonces, según la ecuación [4]: Y cuando el origen de presiones está en la superficie libre (P 0=0):

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La ecuación [4] también puede ponerse de la forma:

Ecuación que indica que en un líquido incompresible es constante la suma de la altura geométrica o de posición y de la presión unitaria dividida por el peso específico.

El cociente , denominada altura de presión, representa la altura h de la columna de líquido de peso específico “γ “capaz de producir la presión P. Variación de la Presión con la Profundidad, Diagrama de Presiones: La presión en un punto de una masa líquida es igual a la presión atmosférica más el peso de la columna de líquido de altura igual a la distancia entre dicho punto y la superficie libre del líquido.

La ecuación corresponde a una recta, luego indica la variación lineal de la presión con la profundidad del líquido, cuya representación, tomando como eje horizontal las presiones y como eje vertical las profundidades, proporciona el diagrama de presiones. Por regla general, en la práctica se miden las presiones manométricas o relativas, quedando la expresión anterior reducida a , que es la ecuación de una recta que pasa por el origen y forma un ángulo θ con la vertical, de manera que:

Presiones sobre Superficies Planas:

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Con frecuencia, uno requiere almacenar fluidos como por ejemplo el agua para su uso posterior. Para proceder al cálculo de estas estructuras de almacenamiento, el ingeniero debe situar y calcular las fuerzas que van a actuar sobre las paredes. Cualquier pared plana que contenga un líquido (muros, compuertas, depósitos, etc) soporta, en cada uno de sus puntos, una presión que ha sido definida como la altura de la superficie libre de líquido al punto considerado, siempre que se trate de recipientes abiertos, que es el caso más frecuente en aplicaciones hidrostáticas. Por tanto, todas las fuerzas de presión paralelas, cuya magnitud y dirección se conocen, tendrán una resultante, P, que representa el empuje del líquido sobre una superficie plana determinada, cuyo valor y punto de aplicación vamos a determinar.

Cálculo del Valor de la Presión Total: Suponemos una pared inclinada que contiene un líquido y que forma con su superficie libre un ángulo θ, tal como se muestra en la figura, y en ella un elemento diferencial de superficie dω.

β=Traza del plano que forma la superficie libre de un líquido. α=Traza de una pared plana finita que contiene el líquido. Las trazas de ambos planos forman un ángulo cualquiera θ. dω=Superficie elemental sumergida, de cota z, a una distancia x de la traza de ambos planos, ε. La presión que actúa con intensidad uniforme sobre dω es:

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La fuerza de presión total, P, que actúa sobre la cara de una superficie plana finita será la integral en toda el área ω, puesto que todos los elementos de fuerza son paralelos. es el momento estático del área ω respecto de la traza. Si G es el cdg de dicha área, su abcisa x G valdrá:

Sustituyendo en [5] quedará:

La presión total que ejerce en líquido sobre una superficie plana es el producto del área por la presión hidrostática que actúa sobre su centro de gravedad. Determinación del Centro de Presión (cdp):

La fuerza de presión resultante, P, cuyo valor se ha obtenido en el punto anterior, tiene su aplicación en el centro de presión C (xc, yc, zc), como se muestra en la figura. Para determinar este punto bastará normalmente, en la práctica, con determinar la coordenada x c. Para ello se toman momentos a lo largo del eje de simetría. a su vez,

, luego:

como La integral representa el momento de inercia del área ω respecto a la traza ε, por lo que, aplicando el teorema de Steiner: Luego 7

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Ya que Si

, entonces

Con lo que se demuestra que el centro de presión está por debajo del centro de gravedad. Si fuera necesario calcular las coordenadas y c, zc, las ecuaciones a utilizar serían análogas a las utilizadas para la determinación de xc.

Caso de la Práctica, Pared Circular Sumergida e Inclinada:

siendo:

luego: Donde:

zG= Altura normal o perpendicular desde el plano ε hasta el centro de gravedad del circulo. ω= Es el área de la Circunferencia. γ= Peso específico del Fluido. r= Radio de la Circunferencia. θ= Angulo que forma el plano inclinado con el plano ε. El cdp estará situado en: 8

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Fluidos: El término hidrostática se refiere al estudio de los fluidos en reposo. Los fluidos son substancias, idealizadamente un continuo de masa, donde su forma puede cambiar fácilmente por escurrimiento debido a la acción de fuerzas pequeñas. Son fluidos tanto los líquidos como los gases. Si se analizan las fuerzas que pueden actuar sobre una porción de fluido, ellas son de dos tipos: causada por agentes exteriores, típicamente el peso de él, y las causadas por el fluido que está en su exterior mediante o. Es conveniente distinguir la parte de esa última fuerza que actúa normal a la superficie, llamadas fuerzas debidas a la presión, de las fuerzas tangenciales o de viscosidad. Estas fuerzas tangenciales actuando sobre la superficie del elemento de fluido, no pueden ser equilibradas por fuerzas interiores, de modo que ellas causan escurrimiento del fluido. Si nos limitamos a fluidos en reposo, las fuerzas tangenciales no pueden existir. Ellas son relevantes en los casos donde los fluidos no están en equilibrio, tema que no será tratado aquí. Aquí es necesario utilizar un sistema inercial de referencia y no debe existir movimiento del fluido respecto a las superficies en o con el. Cuando hay movimiento de fluidos sin existir aceleraciones, se habla de situaciones estacionarias que tampoco serán tratadas aquí. Fluido Estático, un fluido se considera estático si todas sus superficies permanecen en reposo o tienen la misma velocidad constante con respecto a un sistema de referencia inercial. Las fuerzas que se originan en un elemento, en un fluido estático se originan debido a la Presión del medio circulante y a la fuerza de gravedad. Fuerza Sobre una superficie plana inclinada de la compuerta, la fuerza resultante en la superficie debe ser perpendicular a la misma, además sobre ella no actúa ningún esfuerzo de corte. Clasificación de compuertas: Existen dos sistemas principales de compuertas: 1.

Compuertas apoyadas en sus dos extremos, trabajando estáticamente como una viga con dos apoyos. A este sistema pertenecen las compuertas cilíndricas, las compuertas planas y las compuertas radiales, compuertas deslizantes y compuertas de rodillos.

2.

Compuertas giratorias que transmiten empuje hidrostático en toda su extensión. A éste sistema pertenecen las compuertas de aletas abatibles, las compuertas radiales, compuertas mariposa, compuertas taintor, compuertas de esclusa y compuertas drop leaf 9

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A continuación se tratara cada tipo de compuerta mencionada anteriormente (existen muchos tipos de compuerta aquí se hará la descripción de las usadas mas comúnmente). 

Compuertas deslizantes (SLIDE GATES)

Consiste en una placa plana que se desliza a través de rieles mediante un motor. Figura1 Actualmente este tipo de compuerta tiene muchas aplicaciones como: control de flujo, proyectos de irrigación, sistemas de drenaje y proyectos de conservación de suelos. Su utilización es útil para alturas y luces reducidas. Los materiales utilizados para este tipo de compuerta son: Acero, Acero galvanizado (para instalaciones en las que se necesite una compuerta económica), Acero inoxidable (recomendada en condiciones de corrosión), Plástico reforzado con fibra de vidrio y sostenedores de aluminio (para condiciones extremas de corrosión).



Compuertas de rodillo (ROLLER GATES)

Nombres como “stoney”, “tractor”, “caterpillar”, “coaster” han sido usadas para describir este tipo de compuerta. El término más ampliamente usado es stoney gate y su nombre es un tributo a su inventor. Los demás nombres son simplemente usados para referirse a este tipo de compuerta ya que la terminología no describe las características de la compuerta. Consiste en una placa plana de acero reforzado con una estructura generalmente en celosía y rodillos en hierro fundido; sus dimensiones varían según los requisitos de la apertura y su espesor es determinado por la presión del agua. La regulación del nivel del agua se hace sacando parcial o completamente la compuerta. Este tipo de compuerta es usada normalmente para requerimientos de alta presión. Ha sido diseñada para cerrarse por gravedad. Las compuertas de rodillos son usualmente instaladas en la entrada de conductos. Son frecuentemente localizadas en la cara de una presa. 10

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Las aplicaciones son: control de flujo, sistemas de irrigación, encima de las presas para aumentar la capacidad del depósito. Tipos de compuertas de rodillos: 1. Overflow gate: Es utilizada cuando la profundidad del agua está a la altura de la compuerta. 2. Breastwall gate: Cuando el agua esta considerablemente más profunda que la altura de la compuerta.



Compuertas de aleta (FLAP GATES)

Este tipo de compuerta consiste en una placa con bisagras que gira alrededor de un eje en su extremo inferior y transmiten el empuje hidrostático directamente hacia la solera Dicha placa puede ser plana o curva para dar una mejor característica a la descarga. La posición de la placa debe ser controlada ya sea hidráulicamente, o alzando las conexiones que tiran o empujan la parte seleccionada bajo la compuerta.



Compuertas cilíndricas

Este tipo de compuerta fue ideada en Europa hace más de cincuenta años y permitió por primera vez el diseño de presas de grandes luces. Consiste en un cilindro de acero el cual puede levantarse rodando sobre dos guías inclinadas.

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Este tipo de compuerta proporciona una instalación simple y efectiva pero no son muy comúnmente usadas debido a que la regulación del nivel de agua se efectúa alzando el cilindro y dejando pasar el agua por debajo. En ciertos casos éste sistema no permite una regulación muy exacta del nivel y pueden producirse grandes pérdidas de agua. Con el fin de eliminar estos inconvenientes se han diseñado los cilindros sumergibles que pueden bajarse algo para dejar pasar el agua por encima y se levantan para el paso de mayores caudales.



Compuertas radials (TAINTOR or TAINTER GATES)

Es una de las compuertas más usadas en grandes presas donde usualmente se usan series de compuertas radiales entre columnas de concreto como se muestra en la figura Consiste en una placa formada por un segmento cilíndrico y son giratorias alrededor de articulaciones que transmiten la presión (a través de soportes o miembro de acero) del agua directamente hacia la subestructura maciza. Al girar la compuerta hacia abajo, entra en una cavidad de concreto. El diseño de esta compuerta es útil ya que es económica y su levantamiento requiere de poca fuerza y es confiable. La mayor ventaja de estas compuertas es su funcionamiento hidráulico y la facilidad de represar ríos anchos sin necesidad de contrafuertes intermedios.



Compuertas mariposa

Consiste en un eje con una especia de placa giratoria .Son usadas para controlar el flujo en presas muy anchas, y pueden ser usadas para controlar el flujo en dos direcciones, aunque normalmente el uso de una compuerta es en una sola dirección. Con este tipo de compuerta es posible tener máximas cabezas de agua a ambos lados de la compuerta, pero su instalación debe de ser en cabezas pequeñas, máximo 20 ft, 12

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si la cabeza de agua es mayor se recomienda usar compuertas de rodillos. Son usadas en plantas de tratamiento de aguas residuales.

COMPUERTAS DROP LEAF Las compuertas drop leaf son fabricadas a partir de ángulos estructurales y placas en acero unidas con soldadura. Su tipo de fabricación depende de la presión que ejerce el agua sobre esta y del diseño del método de sellado, por lo que este tipo de compuerta no es tan hermética como otras compuertas mencionadas anteriormente.

Esta compuerta esta diseñada para unas cabezas de 5 a 10 pies. Sus usos más comunes son en control de flujo, proyectos de conservación de suelos, represas de cabeza pequeña, como reemplazo de compuertas taintor y en proyectos de irrigación.

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Compuertas de exclusiva (SLUICE GATES)

Son utilizadas en casos de largos pasajes de fluido, como un interceptor en canales, como reguladoras de nivel, en tanques de almacenamiento. Su sistema puede consistir en una placa de diferentes geometrías (circular, cuadrada o rectangular), que se abre manual o automáticamente. Puede ser utilizada solamente en situaciones donde el fluido sea en un solo sentido y puede ser diseñada para aguantar una presión de 20 pies por una de sus caras y 10 pies por la otra.

OBJETIVOS.Generales: Calcular la fuerza ejercida de un fluido sobre una superficie plana. Determinar las relaciones entre la altura de flujo y la descarga en una compuerta de fondo cuando el agua circula a través de esta. Específicos: La altura teórica a la cuál se abrirá la compuerta. Determinar el volumen teórico de a la cuál se abrirá la compuerta. Determinar el margen de error, en ambos casos.

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ESQUEMA DEL PRÁCTICO.Diagrama esquemático del experimento (Compuerta)

Fotografías de la compuerta Perfil

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LAB – PRQ 202 Frontales

Procedimiento: Se empezó por medir las dimensiones del tanque como ser el ancho, el largo, la profundidad, las inclinaciones, luego se paso a medir el diámetro de la compuerta, para posteriormente medir las alturas de los tramos que conectan al peso, luego se cargo con agua al mismo mediante una bomba de tipo centrífuga, que anteriormente fue cebada; hasta que llegase a una altura a la cual se abriría la compuerta de forma cilíndrica debido a la fuerza del agua que superaría la resistencia que se oponía es decir el peso sobre la compuerta, con lo que se habría medido una altura experimental, para que después se pudiera comparar con la altura teórica, posteriormente también se calcularía un volumen teórico con el cuál se compararía también con el experimental que fue medido en un medidor de volumen de tipo turbina y verificar el error producido ya sean estos en la medición experimental o en los cálculos. Momento en el cual empieza el bombeo de agua hacia el tanque

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Pesas

Medidor del volumen Experimental

Para medir la altura experimental

EQUIPOS Y MATERIALES.Compuerta (superficie circular inclinada) Flexo metro Agua (H2O) Pesos Descripción de los materiales: Compuerta: Una compuerta hidráulica es un dispositivo hidráulico - mecánico destinado a regular el pasaje de agua u otro fluido en una tubería, en un canal, presas, esclusas, obras de derivación u otra estructura hidráulica.

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LAB – PRQ 202 Banco hidráulico

Brazos de la compuerta

Medidor de volumen tipo turbina

compuerta

Realización de un cebado

Momento en que se Abre la compuerta

Flexómetro: El flexómetro es un instrumento de medición similar a una cinta métrica, con la particularidad de que está construido en chapa metálica flexible debido su escaso espesor, dividida en unidades de medición, y que se enrolla en espiral dentro de una carcasa metálica o de plástico. Algunas de estas carcasas disponen de

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un sistema de freno o anclaje para impedir el enrollado automático de la cinta, y mantener fija alguna medida precisa de esta forma. Se suelen fabrican en longitudes comprendidas entre uno y cinco metros, y excepcionalmente de ocho o diez metros. La cinta metálica está subdividida en centímetros y milímetros. Es posible encontrarlos divididos también en pulgadas. Su flexibilidad y el poco espacio que ocupan lo hacen más interesante que otros sistemas de medición, como reglas o varas de medición. Debido a esto, es un instrumento de gran utilidad, no sólo para los profesionales técnicos, cualquiera que sea su especialidad (fontaneros, albañiles, electricistas, arqueólogos, etc.), sino también para cualquier persona que precise medir algún objeto en la vida cotidiana..

TABULACIÓN DE DATOS.Longitudes: L1 (cm) 37,5

L2 (cm) 8,7

L3 (cm) 8

L4 (cm) 5,4

L5 (cm) 13,5

L6 (cm) 8,2

L7 (cm) 36,7

L8 (cm) 9

Fuente: Elaboración propia a (cm.) b (cm.) 20,8 19.7

c (cm.) 40,3

i (cm.) 29,3

x (cm.) 19,5

Profundidad (ω) (cm.) 40

Diámetro ( d ) (cm.) 11

Fuente: Elaboración propia Masas: Masa del cuerpo (wB) 1800 gr,

Masa de la compuerta (wC) 1000 gr.

Fuente: Elaboración propia TABULACIÓN DE RESULTADOS.Ángulos y la fuerza hidrostática causada por el fluido (agua): α 45,285º



α1

F1

44,715º

78,053º

11,260 N

Fuente: Elaboración propia 19

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Valores experimentales y teóricos: H Teo. 26,308 cm

H Exp. 27,000 cm

%e 2,563

V Exp. 39,700 L

%e 12,529

Fuente: Elaboración propia Fuente: V Teo. 34,726 L.

Fuente: Elaboración propia Fuente: OBSERVACIONES.Al realizar la práctica por principio no pudo salir el agua por la manguera para lo cual se realizo un cebado para el buen funcionamiento de la compuerta. CONCLUSIONES.Universitario: Arce Soliz Jenrry Robespierre Como se puede evidenciar en los errores relativos producidos, no son tan grandes, en especial en la altura, sin embargo el error producido se debería a errores instrumentales o de humano, destacando así la gran precisión que tienen estas ecuaciones como lo es el de la fuerza neta del líquido, que a pesar de su simplicidad nos da como resultado una gran precisión en este tipo de problemas, por lo que tiene una gran aplicación en la construcción de represas. La altura experimental no difiere mucho de la teórica, siendo que esta alrededor de un 3% el error cometido, este error se puede atribuir a la mala calibración del flexómetro o a la mala lectura de la misma, el cual se atribuiría a un error humano, pero aun así nos da un resultado favorable. Por otro lado el volumen tiene un error muchos mas grande que el de la altura, aproximadamente unas 6 veces, este error puede haberse producido por la mala lectura del medidor de volumen o por las perdidas de masa de agua en las tuberías, bomba y hasta en el mismo medidor, además que este error también es causado por una propagación del error, es decir, este volumen teórico fue calculado con la altura teórica que en si ya llevaba un error Universitario: Castellón Llanos José Luis  Al determinar la altura que se requiere para que se abra la compuerta se debe tomar en cuenta las fuerzas que actúan en la compuerta.  La altura máxima encontrada para que se abra la compuerta será pasando este valor; se llegara a abrir con más facilidad debido a la fuerza y la presión que ejercerá sobre la superficie inclinada.  La altura que calculamos esta relativamente bien ya que el procedimiento tomado para obtener el resultado es producto de las mediciones casi exactas con un error relativamente bueno.  En la práctica se tuvieron algunos errores, como el valor de los pesos al tomar la medición de los brazos de la compuerta pero no influyó mucho en la práctica. 20

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 Los resultados teóricos y experimentales, salieron aproximadamente iguales por eso se concluye que la practica que realizo dio buenos resultados.  Se pudo determinar la fuerza resultante que actúa sobre la superficie de la compuerta.  Con dicha fuerza resultante se encontró la altura máxima del liquido en la compuerta y el volumen antes de abrirse la compuerta  Se observó claramente cuando la compuerta empezó a abrirse por causa de la presión que ejerce el agua sobre la superficie.  El resultado nos muestra que la altura encontrada coincide con el resultado experimental casi en un 100%, esto demuestra que las mediciones y lectura de datos se realizaron de manera correcta, y todas las ecuaciones utilizadas se manejaron de forma adecuada tanto como el planteamiento del problema.  El error esta dentro del margen de un 10%. Universitario: Parra Soto Jorge Armando Se puede llegar a decir que las fuerzas distribuidas resultantes de un fluido que actúan sobre un determinado área finita, pueden llegar a reemplazarse convenientemente por una fuerza resultante en lo que concierne a las reacciones externas al sistema de fuerza estudiado, y que su magnitud y línea de acción puede llegar a determinarse por integración, fórmula o usando el concepto del prisma de presión, como se observa al principio. Además se puede decir que existe ciertos factores que afectan al resultado e incrementan el porcentaje de error al momento de comparar los datos tanto teóricos con los experimentales; en nuestro caso la altura experimental de agua con la altura teórica de agua requerida para abrir la compuerta. Entre estos factores podemos encontrar:  Los errores personales, como ser la mala manipulación de los instrumentos.  La temperatura, presión y gravedad del medio donde se trabaja.  Los datos físicos del fluido de trabajo, ya que no son los mismos que los que se encuentran en tablas debido a que estos son tabulados a condiciones estándar. Son factores mínimos, que si no se toman en cuenta, nos han de llevar a obtener grandes porcentajes de error. Como se puede observar se obtuvo un porcentaje de error considerable que se encuentra dentro del rango de aceptación que va de 0% a 15%, es decir que aun existen algunos factores como ser el aire del medio ambiente donde se trabaja ya que también se lo considera como un fluido y si también lo hubiéramos tomado en cuenta aun se hubiera obtenido un porcentaje de error relativamente mas bajo. RECOMENDACIONES. Verificar siempre el nivel de agua en la compuerta para saber si necesita realizar un sebado del mismo.  verificar con mucha atención las vueltas o giros del medidor de volumen al realizar el llenado en la compuerta para evitar muchos márgenes de error.

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BIBLIOGRAFÍA. Víctor L. Streeter (1994); “Mecánica de los Fluidos, 8va. Edición”, Editorial McGRAW-HILL / Interamericana de México, S.A. de C.V.  Ranald V. Giles (1962); “Mecánica de los Fluidos e Hidráulica, 2da. Edición”, Serie de Compendios Schaum, Editorial McGRAW-HILL / Interamericana de México, S.A. de C.V.  John H. Perry, Ph. D. (1978); “Manual del Ingeniero Químico, 3ra. Edición (TOMO I)”, Unión Tipográfica Editorial Hispano-Americana de México, S.A. de C.V.  Dodson L. P. (2006); “Laboratory Analysis of Fluid Mechanics Handbook, 6th. Edition”, Pennsylvania State University, Copyright by International Human Resources Development Corporation Boston, Printed in the United States of America.  AGÜERA SORIANO, J. 1992. "Mecánica de los Fluidos Incompresibles y Turbomáquinas Hidráulicas", Ed. Ciencia 3. Madrid.  Microsoft Student con Encarta 2009 DVD, “Mecánica de fluidos” ANEXOS.Tablas: Densidad del agua a diferentes temperaturas

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Gráficos: Diagrama de la compuerta con las medidas hechas en laboratorio

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Volúmenes

Diagrama de cuerpo libre de la compuerta en conjunto con el peso y sus respectivos brazos

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Cálculos: Análisis estructural de todo el conjunto: Habrá una fuerza resultante de la compuerta es decir componente del peso de la compuerta mas la fuerza ejercida por el agua:

Fr  F 1  wcx

(1)

Luego hacemos momentos en el nudo central; en el punto “O”: (2)

wy * L 2  Fr * L3  0 Cálculo de los ángulos: El ángulo 1 : Por teorema de los cosenos: Despejando:

L7  L1  L2  2 * L1 * L2 * cos 1 2

2

2

 L12  L2 2  L7 2  1  Arc cos    2 * L1 * L2 

(3)

(4)

Introducidos los correspondientes datos numéricos tenemos: 1 = 78.1º El ángulo  para calcular el ángulo : Por tangente: Despejando:

Tan  

b x

  ArcTan

(5) b x

(6)

 = 45.285º Por propiedad de triángulos: Despejando:

    90º  180º

  90º 

(7)

(8)

 = 44.715º Por hidrostática:

F1  Hc *  * A

(9) 25

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Descomponiendo el peso de la compuerta en x (wcx) y el peso de las pesas en y (wy) wcx  wc * sen

(10)

;

(11)

wy  w * sen1

Sustituimos (1), (9), (10), (11) en (2) : (12)

w * sen 1 * L2   * A * Hc * L3  wc * sen * L3  0 El área de una circunferencia:

Despejando Hc:

Tenemos:

A

Hc 

 * ( D) 2 4

w * sen 1 * L2  wc * sen * L3  * A * L3

(13)

Hc = 12.120 cm. H  Hc  mx

Para calcular la altura teórica:

(14)

Para calcular mx: Como la figura es plana y equidistante, entonces su centro de gravedad estara a la mitad y podemos escribir: D (15) mL  8

2

m = 14.500 cm mx m

Por trigonometría:

sen 

Despejamos mx:

mx  m * sen

(16)

(17)

mx = 14.188 cm.

Con (14) tenemos:

H teo. = 26.308 cm. 26

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Para el volumen teórico:

(17)

Vt  V1  V2  V3

V1  H *  * a

(18)

V 2 ( H  b) * x * 

V3 

b*x * 2

(19) (20)

Tenemos: V1 = 21888,256 cm3 V2 = 5154.240 cm3 V3 = 7683.000 cm3 El volumen teorico es Vteo = Vt:

Vt = 34.736 L.

Cálculo de los errores (relativos) : Para la altura:

 Hteo.  H exp  . * 100 H exp .  

%e  

Reemplazando datos obtenemos:

Para el volumen:

(21)

%e = 2.563 %

 Vteo.  V exp .   * 100 V exp .  

%e  

Reemplazando datos obtenemos:

(22)

%e = 12.529 %

27

U.M.R.P.S.F.X.CH.

LAB – PRQ 202

PESO ESPECÍFICO DE LÍQUIDOS Material Aceite de creosota

Peso específico Kg/m3 1.100

Aceite de linaza

940

Aceite de oliva

920

Aceite de ricino

970

Aceite mineral

930

Acetona

790

Ácido clorhídrico al 40 %

1.200

Ácido nítrico al 40%

1.250

Ácido sulfúrico al 50 %

1.400

Agua

1.000

Alcohol etílico

800

Andina

1.040

Bencina

700

Benzol

900

Cerveza

1.030

Gasolina

750

Leche Petróleo

1.030 800

Sulfuro de carbono

1.290

Vino

1.000

28