το έργο του Igor Sharigin Filename: το έργο του Igor Sharigin ανδρέας πούλος.docx 1f5i5r

Με αφορμή το έργο του Igor Sharigin για την κατασκευή μαθηματικών προβλημάτων Ανδρέας Πούλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Θεσσαλονίκης [email protected] Περίληψη: Ο Igor Sharigin ήταν μια εξαιρετική περίπτωση συνθέτη προβλημάτων για μαθηματικούς διαγωνισμούς ο οποίος προσπάθησε με την αρθρογραφία και τα μαθήματα που παρέδιδε να αναδείξει πώς ακριβώς συντελείται η διαδικασία κατασκευής προβλημάτων. Με αφορμή τις εργασίες του για την σύνθεση προβλημάτων παρουσιάζουμε κάποιες σχετικές έρευνες εκ μέρους της Διδακτικής των Μαθηματικών και ιδέες με σκοπό την εκπαίδευση στην παραγωγή ελκυστικών και πρωτότυπων προβλημάτων.

Summary: Igor Sharigin (1937-2004) was a Russian mathematician who was distinguished in problem posing, especially for problems used in Mathematical Olympiads. Through his professional life wrote several articles explicating the process of creation of interesting mathematical problems. He also used to give exemplary lessons for the teachers of mathematics. The present paper, inspired by Sharigin work, offers some ideas that can initiate mathematics teachers, and students as well, to the act (and art) of problem posing. These ideas might be also useful for the researchers in the field.

O Igor Fedorovich Sharygin γεννήθηκε στη Μόσχα το 1937 και πέθανε εκεί το 2004. Ως μαθητής είχε διακριθεί σε πολλούς μαθηματικούς διαγωνισμούς και Ολυμπιάδες. Σπούδασε στο Τμήμα Μαθηματικών και Μηχανικής του Πανεπιστημίου της Μόσχας από όπου και έλαβε το διδακτορικό του σε θέμα της μαθηματικής Ανάλυσης. Έγραψε περισσότερα από 30 βιβλία σχετικά με την επίλυση προβλημάτων κυρίως Γεωμετρίας. Ορισμένα από αυτά έχουν μεταφραστεί και σε άλλες γλώσσες. Μερικά από τα βιβλία του ήταν σχολικά εγχειρίδια για τα σχολεία της Ε.Σ.Σ.Δ. Ήταν μέλος της συντακτικής επιτροπής του γνωστού περιοδικού «Μαθηματικά για το Σχολείο» για θέματα που αφορούσαν την επίλυση προβλημάτων. Από το 1970 ήταν μέλος της συντακτικής επιτροπής του διάσημου περιοδικού Kvant1 που ίδρυσε ο Ακαδημαϊκός Α. Kolmogorov. Κατά την περίοδο 19991 Το περιοδικό αυτό με τον τίτλο Quantum εκδίδονταν σε μετάφραση και στις Η.Π.Α. για το αγγλόφωνο αναγνωστικό κοινό. Κατά το χρονικό διάστημα 19942001 εκδόθηκε και στην ελληνική γλώσσα από το «Κάτοπτρο». Η τελευταία αναφορά δεν είναι τυχαία. Δηλώνει ότι εργασίες του Sharigin υπάρχουν και στην

2002 εκλέχθηκε μέλος της διεθνούς επιτροπής της I.C.M.E. Ήταν συντονιστής των επιτροπών για την προετοιμασία των μαθητών σε Πανρωσικό επίπεδο για τους μαθηματικούς διαγωνισμούς και κυρίως για τις διεθνείς μαθηματικές Ολυμπιάδες (Ι.Μ.Ο.). Μάλιστα, προβλήματα που είχαν προταθεί από τον ίδιο, είχαν τεθεί ως θέματα σε αυτές. Θεωρούσε ότι τα Μαθηματικά και ειδικά η Γεωμετρία, αν διδαχθούν με τον κατάλληλο τρόπο καλλιεργούν αρετές, ενισχύουν το αίσθημα της δικαιο-σύνης και του αιτιολογημένου λόγου, βασίζουν τη ζωή μας σε αρχές. Θεω-ρούσε ότι η έννοια της απόδειξης αποτελεί μια από τις υψηλότερες ηθικές αξίες για την κοινωνική ζωή. Σε όλη του τη ζωή αγωνίστηκε από διάφορες θέσεις για να αναδείξει την παιδαγωγική και την πολιτιστική αξία των Μαθηματικών. Επέμενε ότι η διδασκαλία της Γεωμετρίας των τριών διαστά-σεων και η μελέτη των στερεών σωμάτων παρέχει πολλά παιδαγωγικά οφέλη στους μαθητές, (Sharigin, 2004). Είχε διαπιστώσει την έλλειψη στην εξοικεί-ωση των μικρών μαθητών του Δημοτικού Σχολείου με τις γεωμετρικές έν-νοιες και κατ’ επανάληψη έκανε τεκμηριωμένες προτάσεις για να καλυφθεί αυτό το κενό. Έδινε μεγάλη σημασία στη χρήση των λογισμικών προγραμμά-των για τη διδασκαλία της Γεωμετρίας, αλλά και στην έρευνα και ανακάλυ-ψη νέων γεωμετρικών προβλημάτων. Για αυτόν, η Γεωμετρία ήταν ένα αλάνθαστο κριτήριο για την ανακάλυψη των γνήσιων μαθηματικών ταλέ-ντων. Για το λόγο αυτό επέμενε πολύ στη χρήση των τεστ με θέματα Γεωμε-τρίας για την ανάδειξη των ικανοτήτων των εξαιρετικών μαθητών, (Sharigin, 2004). Το περιοδικό Kvant εξέδιδε κατά καιρούς διάφορα βιβλία που είχαν στόχο να εμπλουτίσουν τη βιβλιοθήκη των μαθηματικών της Μέσης Εκπαί-δευσης με θέματα που τους αφορούσαν. Στη σειρά αυτή εκδόθηκαν δύο βιβλία του I. Sharigin ένα για την επίλυση προβλημάτων επίπεδης Γεωμε-τρίας και ένα δεύτερο για επίλυση προβλημάτων Γεωμετρίας του χώρου. Πολλά από τα προβλήματα των βιβλίων αυτών ήταν επινοήσεις του συγγρα-φέα τους. Τα βιβλία αυτά μεταφράστηκαν στα Αγγλικά και σε άλλες γλώσσες και είναι ακόμα και σήμερα ιδιαίτερα δημοφιλή, (Sharigin, 1982, 1984). Ένα χρόνο μετά τον θάνατο του καθιερώθηκε στη Ρωσική Ομοσπονδία ετήσιος διαγωνισμός με θέματα Γεωμετρίας. Ο αυτός διαγωνισμός έχει την ονομασία «Ολυμπιάδα Γεωμετρίας στην μνήμη του Igor Sharigin». Η επίσημη ιστοσελίδα του είναι η http://www.geometry.ru/olimp.htm. Θεωρείτο από όλους ως σπουδαίος συνθέτης δύσκολων μαθηματικών προβλημάτων και αυτή την ιδιότητά του θα προβάλλουμε στη συνέχεια. Ενδιαφέρονταν μάλιστα για την «αισθητική» πλευρά των μαθηματικών ελληνική γλώσσα, απλά δεν δόθηκε σε αυτές η δέουσα προσοχή.

προβλημάτων. Έλεγε ότι ένας καλός μαθηματικός μπορεί να διακρίνει τη διαφορά ανάμεσα σε μια αισθητικά όμορφη λύση και σε μια μέτρια λύση. Ειδικά στα γεωμετρικά προβλήματα η διαφορά αυτή είναι άμεσα εμφανής. Το βασικό κείμενο που θα χρησιμοποιήσουμε για την έκθεση των ιδεών του Sharigin σχετικά με τη σύνθεση μαθηματικών προβλημάτων είναι αυτό που στην ελληνική έκδοση του Quantum φέρει τον τίτλο «Πώς γεννιέται ένα πρόβλημα. Η τέχνη της σύνθεσης προβλημάτων», (Sharigin, 2001). Σε αυτό ο συγγραφέας σημειώνει ότι «θα προσπαθήσω να σας βοηθήσω με τη μακρόχρονη εμπειρία μου στη σύνθεση γεωμετρικών προβλημάτων, να σας αποκαλύψω μερικά από τα μυστικά μου και να διατυπώσω ορισμένες αισθητικές και όσο κι αν ακούγεται παράδοξο, μερικές ηθικές αρχές», (Sharigin, 2001, σελ. 12). Το κείμενο του ξεκινά από τις απλούστερες των τεχνικών οι οποίες είναι οικείες και σε άτομα μέτριας εξοικείωσης με τη σύνθεση προβλημάτων και προχωρά σταδιακά σε προχωρημένες τεχνικές. Μια από τις πρακτικές που ακολουθεί – ομολογουμένως πρόκειται για συνήθη πρακτική – είναι αυτή της «απόκρυψης» ενός γεωμετρικού προβλήματος ή άσκησης με έναν αλγεβρικό μανδύα. Δίνει ως παράδειγμα αυτής της πρακτικής την επίλυση του παρακάτω συστήματος εξισώσεων με αγνώστους x, y, z και σταθερές a, b, c. √ x2−c 2+ √ y 2−c2 =z , √ y 2−a2 +√ z 2−c 2=x ,

√ z2−b2 +√ x2 −b2= y

.

Το ισοδύναμο γεωμετρικό πρόβλημα είναι η κατασκευή ενός τριγώνου με πλευρές x, y, z, όταν δίνονται τα μήκη των υψών του a, b, c. Αποδεικνύεται ότι το αλγεβρικό σύστημα και το αντίστοιχο γεωμετρικό πρόβλημα έχουν το πολύ μία λύση. Σύμφωνα με αυτή την ιδέα μπορούμε να «μεταμορφώσουμε» ένα γεωμετρικό πρόβλημα σε μια τέτοια αλγεβρική μορφή που να απέχει ριζικά από την αρχική του γεωμετρική καταγωγή. Ως τέτοιο δίνουμε το πράγματι δύσκολο πρόβλημα της απόδειξης της αλγεβρικής ανισότητας 2 2 2 2 √(x + y) +a −2 a ( x+ y ) cosφ +√ a + x +2 axcosφ >¿

√(x + y)2 +a 2+ 2a ( x + y ) cosφ+ √a 2+ x 2−2 axcosφ o

ο

με

δεδομένο

τις

συνθήκες 90 < φ < 180 και a, x, y > 0. Το αντίστοιχο γεωμετρικό πρόβλημα δημοσιεύθηκε στο Mathematica στην http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=62&t=52508 Αυτή την πρακτική του μετασχηματισμού ενός γεωμετρικού προβλήματος σε αλγεβρικό ή αντίστροφα, την χρησιμοποιούν και τα σχολικά μας εγχειρίδια για να τονίσουν την αξία της πολλαπλής θεώρησης

και προσέγγισης των προβλημάτων και την ιδέα της ενότητας των Μαθηματικών. Για παράδειγμα η τριγωνική ανισότητα ή το γεωμετρικό θεώρημα «το άθροισμα δύο πλευρών τριγώνου είναι μεγαλύτερο από το μήκος της τρίτης πλευράς του» έχει ως αλγεβρικό ισοδύναμο την απόδειξη 2 2 2 2 2 2 της ανισότητας √ (a−c ) +(b−d ) + √( c−e) +(d−f ) ≥ √(a−e) +( b−f ) , όπου A(a, b), B(c, d), C(e, f) είναι οι συντεταγμένες των κορυφών ενός

τριγώνου ABC. Με την ίδια πρακτική μπορούμε να συνθέτουμε ποικιλία μαθηματικών προβλημάτων μετασχηματίζοντάς τα από γεωμετρικά, σε τριγωνομετρικά, σε αλγεβρικά, σε προβλήματα διακριτών Μαθηματικών κλπ. Για παράδειγμα η εύρεση του πλήθους των τηλεφωνημάτων μεταξύ n ατόμων (πρόβλημα Συνδυαστικής) μετατρέπεται στο γεωμετρικό πρόβλημα της εύρεσης του αθροίσματος του πλήθους των κορυφών και διαγωνίων ενός n-γώνου. Μια δεύτερη πρακτική κατασκευής προβλημάτων είναι αυτής της διατύπωσης του αντιστρόφου προβλήματος. Ο Sharigin τονίζει ότι υπάρχουν προβλήματα στα οποία «μια τετριμμένη ευθεία πρόταση αν αντιστραφεί δημιουργεί ένα πρόβλημα με πλούσιο περιεχόμενο», (2001, σελ. 14). Πολύ γνωστό παράδειγμα προβλήματος το οποίο έχει πολύ δύσκολο αντίστροφο είναι το πρόβλημα των Steiner-Lehmus. Το αρχικό θεώρημα είναι απλό «αν ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές, τότε έχει δύο διχοτόμους ίσες», ενώ το αντίστροφό του «αν ένα τρίγωνο έχει δύο διχοτόμους ίσες, τότε είναι ισοσκελές» είναι πολύ δυσκολότερο πρόβλημα. Μάλιστα, εμφαντικά χρησιμοποιεί την παροιμία «ένας ανόητος μπορεί να κάνει μια ερώτηση στην οποία δεν μπορούν να απαντήσουν εκατό έξυπνοι», (2002, σελ. 21). Μια τρίτη πρακτική που ακολουθούν οι συνθέτες προβλημάτων είναι αυτή της κατασκευής προβλημάτων που είναι δομημένα επί άλλων προβλημάτων. Αυτή είναι μια πρακτική που εφαρμόζεται στη σύνθεση προβλημάτων για τις Πανελλαδικές εξετάσεις, κάτι που όπως επισημαίνει ο Sharigin συνέβαινε και στις εισαγωγικές εξετάσεις στα Α.Ε.Ι. της χώρας του. «Παρ’ ότι η δομή τέτοιων προβλημάτων φαίνεται περίπλοκη, η λύση βρίσκεται συνήθως σταδιακά, με βήματα τα οποία θυμίζουν ξύλινες μπάμπουσκες που μπαίνουν η μία μέσα στην άλλη». Την ίδια πρακτική ακολουθούμε και στις δικές μας εξετάσεις, για το λόγο αυτό δίνουμε και τα λεγόμενα υποερωτήματα, τα οποία πολλές φορές είναι καθοδηγούμενα βήματα για τη λύση του προβλήματος. Είναι επίσης γνωστό αυτό που επισημαίνει ο Sharigin για το παράδοξο της κατασκευής προβλημάτων στα οποία η τελική λύση έχει προκύψει από την επίλυση άλλων επιμέρους προβλημάτων. Πολλές φορές, ένας λύτης αν ακολουθήσει μια άλλη πορεία

μπορεί να φτάσει σε απλούστερη και συντομότερη λύση από την αναμενόμενη, (2001, σελ. 14). Μια άλλη πρακτική κατασκευής προβλημάτων είναι αυτή των ειδικών περιπτώσεων. Δίνει ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αυτής της πρακτικής. Ο κατασκευαστής ή ο συνθέτης ενός νέου προβλήματος γνωρίζει το θεώρημα του Pascal στη Γεωμετρία, «Αν έχουμε έξι σημεία A, B, C, D, E, F σε έναν κύκλο, τότε τα τρία σημεία στα οποία τέμνονται τα ζεύγη των ευθειών AB, DE, BC και EF, FA, CD αντίστοιχα είναι συνευθειακά». Με βάση το θεώρημα αυτό διατυπώνει το εξής πρόβλημα, «Το τετράπλευρο ABCD είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και οι πλευρές του AB και CD τέμνονται στο σημείο M. Οι πλευρές του BD και AC τέμνονται στο σημείο K. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία Β και C τέμνονται επί της ευθείας ΚΜ». Πρόκειται για ειδική περίπτωση του θεωρήματος του Pascal. Ο υποψήφιος λύτης μπορεί να ανακαλύψει έναν προσωπικό τρόπο επίλυσης ανεξάρτητο από το θεώρημα αυτό. Ο Sharigin σε σχέση με αυτή την πρακτική σημειώνει ότι «οι επαγγελματίες μαθηματικοί που βοηθούν στη διοργάνωση μαθηματικών Ολυμπιάδων παράγουν συχνά κομψά και ενδιαφέροντα προβλήματα από την επιστημονική τους εργασία. Οι ειδικές περιπτώσεις θεμελιωδών θεωρημάτων και τα αναρίθμητα λήμματα που προκύπτουν από την απόδειξη τέτοιων θεωρημάτων μπορούν συχνά να αναδιατυπωθούν ως προβλήματα για μαθητές Λυκείου», (2001, σελ. 16). Μια άλλη πρακτική κατασκευής προβλημάτων είναι αυτή της αλλαγής στη διατύπωση ενός αρχικού προβλήματος. Αυτή η πρακτική, όσο κι αν φαίνεται απλή ή απλοϊκή, απαιτεί εμπειρία ώστε να αποδώσει ένα «καλό» πρόβλημα. Μάλιστα, όπως τονίσει ο Sharigin, (2001, σελ. 17), «πολλές φορές μικρές αλλαγές στη διατύπωση ενός προβλήματος μπορεί να έχουν ως συνέπεια τεράστιες αλλαγές στο επίπεδο δυσκολίας του». Δίνει ως παραδείγματα τα εξής προβλήματα: 1. Να κατασκευαστεί τρίγωνο όταν δίνονται οι τρεις πλευρές του, 2. Να κατασκευαστεί τρίγωνο όταν δίνονται οι τρεις διάμεσοί του, 3.Να κατασκευαστεί τρίγωνο όταν δίνονται τα τρία ύψη του, 4. Να κατασκευαστεί τρίγωνο όταν δίνονται οι τρεις εσωτερικοί διχοτόμοι του. Τα προβλήματα αυτά έχουν αυξανόμενη δυσκολία επίλυσης ως προς τη σειρά διατύπωσης τους, μάλιστα το 4 ο δεν μπορεί να επιλυθεί με κανόνα και διαβήτη. Μια άλλη πρακτική σύνθεσης προβλημάτων είναι η διατύπωση γενικεύσεων. Όπως τονίζει ο Sharigin «οι γενικεύσεις μπορεί να ακολουθούν διάφορες διευθύνσεις. Μερικές φορές έχουμε τη δυνατότητα να αφαιρέσουμε ορισμένους περιορισμούς από κάποιο πρόβλημα ή να επεκτείνουμε μια πρόταση σε ένα ευρύτερο σύνολο αντικειμένων», (2001,

σελ. 19). Παράδειγμα προβλήματος στο οποίο αφαιρούμε κάποιους περιορισμούς είναι το ακόλουθο, «Αν η πλευρά ΑΔ ενός εγγεγραμμένου τετράπλευρου ΑΒΓΔ είναι διάμετρος κύκλου και οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ τέμνονται πάνω στην πλευρά ΑΔ, τότε να αποδείξετε ότι ισχύει ΑΒ + ΓΔ = ΑΔ». Αφαιρώντας τον περιορισμό η ΑΔ να είναι διάμετρος κύκλου, ζητάμε να εξεταστεί αν ισχύει η παραπάνω πρόταση. Τελικά, αποδεικνύεται ότι και η νέα πρόταση ισχύει. Μια κλασική μορφή γενίκευσης γεωμετρικών προβλημάτων είναι η αναζήτηση της επέκτασης των ιδιοτήτων που ισχύουν σε ένα επίπεδο σχήμα στο χώρο των τριών διαστάσεων. Για παράδειγμα, είναι γνωστό ότι «σε κάθε τρίγωνο οι διάμεσοι διέρχονται από το ίδιο σημείο». Ισχύει αντίστοιχη πρόταση στον τρισδιάστατο χώρο; Δηλαδή ισχύει η πρόταση «τα τμήματα που συνδέουν τις κορυφές ενός τετραέδρου με τα κέντρα βάρους των απέναντι εδρών, διέρχονται πάντα από το ίδιο σημείο»; Ένα πρόβλημα μετάβασης από τη Γεωμετρία του επιπέδου σε αυτή του χώρου των τριών διαστάσεων είναι αυτό που πρότεινε ο Sharigin για τη μαθηματική Ολυμπιάδα της Μόσχας το 1993, το οποίο έλυσε τότε επιτυχώς μόνον ο μαθητής Sergey Markelov (1998, σελ. 150). Το πρόβλημα αυτό διατυπώνεται ως εξής: «Να βρεθεί η ελάχιστη διαδρομή επί των τεσσάρων εδρών ενός κανονικού τετραέδρου». Το αντίστοιχο πρόβλημα στην επίπεδη Γεωμετρία μπορεί να είναι «Δίνεται ένα σημείο Δ σε μία πλευρά ενός τριγώνου ΑΒΓ. Να βρεθεί η ελάχιστη διαδρομή που διέρχεται από τα σημεία Δ, Ε, Ζ όπου τα σημεία Ε και Ζ βρίσκονται στις άλλες δύο πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ». Το ερώτημα των τεχνικών και πρακτικών που ακολουθεί ένας συνθέτης προβλημάτων για να δημιουργήσει ένα πρωτότυπο και ταυτόχρονα δύσκολο πρόβλημα έχει απασχολήσει τους μαθηματικούς, τους ερευνητές της Διδακτική των Μαθηματικών, τους ψυχολόγους και άλλους επιστήμονες. Έχουν ήδη περάσει περισσότερα από 30 χρόνια από τότε που εκδόθηκε το πρώτο βιβλίο που αναφέρεται αποκλειστικά στη σύνθεση προβλημάτων, (Brown και Walter, 1985) και από τότε καθιερώθηκε ο όρος «problem posing». Οι ερευνήτριες Stoyanova και Ellerton, εδώ και 20 χρόνια, (Stoyanova & Ellerton, 1996) έκαναν μια επισκόπηση του πλαισίου εργασίας προηγούμενων ερευνητών για τα θέματα της σύνθεσης προβλημάτων και πρότειναν ένα πλαίσιο εργασίας για έρευνα σε μαθητές υψηλού επιπέδου στο ζήτημα αυτό. Διαπίστωσαν ότι η έννοια της σύνθεσης προβλημάτων ορίζεται από διαφορετικούς ερευνητές με χαρακτηριστικά που όχι μόνον ποικίλουν, αλλά και σε μερικές περιπτώσεις είναι και αντίθετα μεταξύ τους. Για παράδειγμα, η σύνθεση προβλήματος θεωρείται ως η παραγωγή ενός νέου προβλήματος ή η αναδιαμόρφωση ενός δεδομένου προβλήματος, (Duncer, 1945). Ορίζεται ως μια ακολουθία

μαθηματικών προβλημάτων που πηγάζει από μια δεδομένη κατάσταση, (Shukkwan, 1993), ή ως μια προκύπτουσα δραστηριότητα (resultant activity) από ένα πρόβλημα που χρησιμεύει ως γεννήτορας νέων προβλημάτων, (Mamona-Downs, 1993). Ο Contreras, (2007) ασχολείται με την παραγωγή προβλημάτων, τα οποία πηγάζουν από ένα δεδομένο πρόβλημα. Περιγράφει την έννοια της προβληματικής κατάστασης και τα πιθανά βήματα που ακολουθούν μετά τη διατύπωση του προβλήματος. Αυτά είναι: 1 Απόδειξη ή λύση, 2 διατύπωση του αντίστροφου προβλήματος, 3 ειδική περίπτωση του αρχικού προβλήματος, 4 γενίκευση του αρχικού προβλήματος, 5 επέκταση του αρχικού προβλήματος. Με τον όρο «επέκταση» χαρακτηρίζει τη διεύρυνση της μαθηματικής γνώσης και τον διακρίνει από τον όρο γενίκευση του προβλήματος. Ο ίδιος θέτει ένα ενδιαφέρον παιδαγωγικό ερώτημα, «πώς πρέπει να εκπαιδεύουμε τους μελλοντικούς δασκάλους των Μαθηματικών, έτσι ώστε να είναι σε θέση να διδάξουν τους μαθητές τους πώς να θέτουν προβλήματα;». Σε έρευνα τους οι Contreras και Martinez-Cruz, (1999) διαπίστωσαν ότι οι μαθητές κατά τη διατύπωση ενός νέου προβλήματος έχουν μεγάλη δυσκολία να διατυπώσουν το αντίστροφο ενός δεδομένου προβλήματος. Αυτό συμβαίνει μάλλον, επειδή αδυνατούν να διαπιστώσουν ποια είναι τα δεδομένα και ποια είναι τα ζητούμενα του προβλήματος. Εδώ σημειώνουμε, βεβαίως, ότι αυτό σίγουρα δεν συμβαίνει με τους ισχυρούς λύτες. Η Ellerton, (2013) θεωρεί τη σύνθεση προβλημάτων ως βασικό στοιχείο της εκπαίδευσης των μελλοντικών δασκάλων των Μαθηματικών και για τον λόγο αυτό κάνει συγκεκριμένες προτάσεις προς αυτή την κατεύθυνση. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουν και οι Silver et al, «Οι δάσκαλοι των Μαθηματικών έχουν ιδιαίτερη δυσκολία στη σύνθεση προβλημάτων, διότι πρόκειται για μια ανοικτή διαδικασία. Όμως, πρέπει να δοθεί σε αυτή η ίδια έμφαση που δίνεται κατά την εκπαίδευσή τους για την επίλυση προβλημάτων», (Silver et al, 1990, σελ. 16). Ερευνητικό ενδιαφέρον παρουσιάζει και το ερώτημα κατά πόσο τα λογισμικά προγράμματα και γενικά οι Τ.Π.Ε. συνεισφέρουν και σε ποιο βαθμό στη σύνθεση μαθηματικών προβλημάτων από όσους έχουν τέτοιον στόχο. Οι Mora και Rodriguez (2008) έθεσαν το ερώτημα, τι είδους δραστηριότητες πρέπει να περιέχουν τα προγράμματα επαγγελματικής κατάρτισης των καθηγητών των Μαθηματικών για τα Λύκεια, ώστε να βελτιώσουν την ικανότητά τους στην κατασκευή προβλημάτων για σχολική χρήση. Οι ερευνητές πρότειναν να υιοθετούν οι διδάσκοντες υποθετικές

τροχιές μάθησης (hypothetical learning trajectories) που θα συνδέονται με το μάθημα στην τάξη. Για τον σκοπό αυτό προσανατολίστηκαν σε δράσεις που αφορούσαν ερευνητές μαθηματικούς, δασκάλους των Μαθηματικών και διδακτορικούς φοιτητές. Θεώρησαν ότι ένα μεγάλο λάθος στη μετεκπαίδευση των διδασκόντων τα Μαθηματικά είναι ότι τους προσφέρεται μόνο μαθηματική γνώση σαν να ήταν φοιτητές στο Πανεπιστήμιο, αντί να τους μαθαίνουν πώς να κατασκευάζουν προβλήματα με σαφείς στόχους. Διάφορες ερευνητικές εργασίες δίνουν έμφαση στην αξία της διατύπωσης και της επαλήθευσης εικασιών κατά τη διαδικασία της μάθησης των Μαθηματικών. Μάλιστα, θεωρούν ότι η χρήση της τεχνολογίας σήμερα προσφέρεται πολύ για την εξερεύνηση των εικασιών, κάτι που σχετίζεται άμεσα με την κατασκευή προβλημάτων. Ένας στόχος, ή μια στοχευόμενη δραστηριότητα μετατρέπεται σε πρόβλημα (ή σε προβληματισμό), όταν ο λύτης ή μια συνεργαζόμενη ομάδα λυτών πρέπει να αναπτύξει ένα παραγωγικότερο τρόπο σκέψης για να υπερβεί αυτό τον στόχο, (Lesh & Zawojewski, 2007, σελ. 782). Ένα από τα πλεονεκτήματα των ηλεκτρονικών υπολογιστών στη διερεύνηση εικασιών είναι ότι η οπτική και εμπειρική προσέγγιση μέσω των λογισμικών προσφέρει αρκετές πληροφορίες για την εκπλήρωση του στόχου, συσχετίζουν τα δεδομένα και τα ζητούμενα και παρέχουν νέες ιδέες για την επαλήθευση των εικασιών. Υπογραμμίζουμε ότι από μόνη της η διαδικασία επίλυσης ενός σύνθετου μαθηματικού προβλήματος μπορεί να οδηγήσει στη σύνθεση νέων προβλημάτων. Η εμπειρία έχει δείξει ότι πολλές φορές κατά την προσπάθεια μας να επιλύσουμε ένα «δύσκολο» πρόβλημα, ανακαλύπτουμε την ύπαρξη ενός άλλου προβλήματος το οποίο σχετίζεται άμεσα με αυτό που προσπαθούμε να επιλύσουμε. Αυτό βέβαια δεν σημαίνει ότι η διαδικασία διατύπωσης και συνειδητής σύνθεσης προβλημάτων γίνεται με τυχαίο τρόπο. Οι έρευνες έχουν αναδείξει ότι συχνά κατά την επίλυση ενός προβλήματος εμφανίζεται το φαινόμενο «What if not?», όπως το έχουν περιγράψει με σαφήνεια οι Brown και Walter, (1985). Αυτό σημαίνει ότι όταν ο λύτης ενός προβλήματος αναρωτηθεί «για να δούμε τι συμβαίνει αν δεν ισχύει αυτή η συνθήκη» ή μια ποικιλία συναφών ερωτήσεων και αποριών, ουσιαστικά πρόκειται για μια πρώτη μορφή σύνθεσης προβλήματος ή διατύπωσης ενός σοβαρού προβληματισμού που μπορεί με κατάλληλη διαμόρφωση να οδηγήσει σε ένα ενδιαφέρον πρόβλημα. Ανάλογο προβληματισμό για τη σύνθεση προβλημάτων θέτει ο κάτοχος του βραβείου Fields και παιδί-φαινόμενο ο Terence Tao, ο οποίος στο βιβλίο του για την επίλυση προβλημάτων, (Tao, 2006) αναφέρει ότι και κατά τη διαδικασία επίλυσης ενός σύνθετου προβλήματος μπορεί να προκύψουν ή να παραχθούν νέα προβλήματα. Για παράδειγμα, όταν ο Tao

υποδεικνύει να μεταβάλλουμε (προσωρινά) τα στοιχεία ενός αρχικού προβλήματος για διαπιστώσουμε πώς αυτά συμπεριφέρονται στις νέες συνθήκες, τότε μπορεί να έχουμε νέο πρόβλημα. Έτσι, κατά την «ελαφρά τροποποίηση ενός προβλήματος», όπως την ονομάζει, μπορεί να υπάρχουν οι εξής επιλογές: α) να θεωρήσουμε μια ειδική περίπτωση του προβλήματος, όπως είναι μια οριακή θέση ή οι ειδικές περιπτώσεις. β) να επιλύσουμε μια απλοποιημένη εκδοχή του προβλήματος, γ) να διατυπώσουμε μια εικασία, η οποία θα μας οδηγήσει στη λύση και θα αποδείξουμε πρώτα την εικασία αυτήν. δ) να βρούμε κάποια επακόλουθα του προβλήματος και προσπαθήσουμε να αποδείξουμε πρώτα ότι αυτά ισχύουν. ε) να αναδιατυπώσουμε το πρόβλημα (π.χ. να μελετήσουμε το αντιστροφοαντίθετο πρόβλημα ή να κάνουμε απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο ή να προσπαθήσουμε να κάνουμε κάποια αντικατάσταση). στ) να εξετάσουμε λύσεις όμοιων προβλημάτων. ζ) να γενικεύσουμε το πρόβλημα. Ο Tao αναφέρει ότι αυτή η τελευταία πρακτική είναι χρήσιμη, ειδικά όταν δεν μπορούμε να κάνουμε ένα καλό ξεκίνημα για τη λύση του προβλήματος, επειδή μερικές φορές η επίλυση ενός απλούστερου προβλήματος δεν μας δείχνει τη βασική μέθοδο για την επίλυση του γενικότερου. Φαινομενικά, είναι παράδοξο να επιλύουμε «ευκολότερα» ένα γενικότερο πρόβλημα το οποίο μας βοηθήσει να επιλύσουμε μια ειδική περίπτωση. Θυμίζουμε όμως, ότι την επισήμανση αυτή έκανε και ο Sharigin, (2001). Στη δεύτερη πρακτική «της ριζικής τροποποίησης ενός προβλήματος», η πιθανότητα να οδηγηθούμε στη σύνθεση ενός νέου, εξίσου ενδιαφέροντος, προβλήματος είναι αυξημένη. Για την πρακτική αυτή ο Tao αναφέρει ότι: «Σε αυτήν την πιο επιθετική μορφή στρατηγικής, προξενούμε μεγάλες αλλαγές στο πρόβλημα, όπως απαλοιφή δεδομένων, αλλαγή δεδομένων σε σχέση με τον αρχικό στόχο, ή αναίρεση του στόχου, δηλαδή, της λύσης του προβλήματος, προσπαθώντας να διαψεύσουμε μια πρόταση, παρά να την αποδείξουμε. Βασικά, προσπαθούμε να οδηγήσουμε το πρόβλημα στη λύση του και μετά προσπαθούμε να διαπιστώσουμε την ορθότητα της λύσης. Πρέπει να αντιληφθούμε ποια είναι τα κομβικά σημεία των δεδομένων και που έγκειται η βασική δυσκολία για την τελική λύση. Αυτές οι πρακτικές, μας βοηθούν να κατανοήσουμε ποιες στρατηγικές είναι συνήθως επιτυχείς και ποιες συνήθως αποτυγχάνουν», (Tao, 2006).

Ως τη βασικότερη προϋπόθεση για ασχοληθεί κάποιος με τη σύνθεση προβλημάτων είναι να έχει πραγματικό ενδιαφέρον για την επίλυση προβλημάτων, να έχει διαμορφώσει μια θετική στάση για τη διαδικασία αυτή. Μόλις εδραιωθεί αυτό μέσω μιας συστηματικής εκπαίδευσης στη δημιουργία προσωπικών προβλημάτων μπορεί να επιτύχει ικανοποιητικά αποτελέσματα και στον τομέα αυτόν. Όπως τονίσει ο Sharigin, «Για να διατυπώσει κάποιος ένα ενδιαφέρον και σημαντικό πρόβλημα, πρέπει να έχει κατανοήσει σε βάθος τα Μαθηματικά», (2001, σελ. 21). Επίσης, «Η κύρια πηγή νέων προβλημάτων είναι η περιέργεια, η επιθυμία να ανακαλύψουμε την ουσία ενός προβλήματος, η ικανότητα να παρατηρήσουμε ένα γνωστό γεγονός από καινούργια οπτική γωνία», (2001, σελ. 20). Θεωρούμε ότι αυτές οι τεχνικές που μας παρουσίασε ο Sharigin σε συνδυασμό με τις δύο «επιθετικές» πρακτικές του Tao για την αντιμετώπιση προβλημάτων, δίνουν μια καλή βάση για να βελτιώσουμε το προσωπικό μας στυλ σύνθεση νέων προβλημάτων. Η βασική πηγή έμπνευση είναι φυσικά η ίδια η διαδικασία επίλυση προβλημάτων, η οποία είναι μια διαδικασία που απαιτεί συνεχή ενασχόληση, ενδιαφέρον, δημιουργικότητα και πολύ κόπο.

Βιβλιογραφία:  

 



Brown, Stephen, & Walter, Marion, (2005). The Art of Problem Posing. (3nd ed.) Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. First Edition 1985. Contreras, J., & Martínez-Cruz, A., (1999). Examining what prospective secondary teachers bring to teacher education: A preliminary analysis of their initial problem-posing abilities within geometric tasks. In F. Hitt & M. Santos (Eds.), Proceedings of PME-NA XXI (Vol. 2, pp. 413–420). Columbus, OH: Duncker, K. (1945). On problem-solving. Psychological Monographs, 58, 1-112. Ellerton, N. F., (2013). Engaging pre-service middle-school teachereducation students in mathematical problem posing: development of an active learning framework. Educational Studies in Mathematics, 83, 87101. Lesh Richard & Judith Zawojewski, (2007). Problem solving and modeling. In F. Lester (Ed.). The Second handbook of research on







   





  

mathematics teaching and learning, 2: 763-804. Charlotte, NC. Information Age Publishing. Mamona-Downs, J., (1993). On analyzing problem posing. In I. Hirabayashi, N. Nohda, K. Shigematsu, F.L. Lin, (Eds.), Proceedings of the 7th International Conference for the Psychology of Mathematics Education, Vol. III, 41-47. Tsucuba, Japan. International Group for the Psychology in Mathematics Education. Markelov Sergey, (1998). Geometric Characterization of the Shortest Path in a tetrahedron. The College Mathematics Journal, March, 1998, pp. 150151. Mora, F. & Rodriguez, A., (2008). Formulating mathematical conjectures in learning activities, assisted with technology. Proceedings I.C.M.E. 11, Mexico, pp.26-35 Sharigin Igor, (1982). Problems in Geometry. Plane Geometry. Nauka, Moscow. Second edition, 1986. Sharigin Igor, (1984). Problems in Geometry. Solid Geometry. Nauka, Moscow. Sharigin Igor, (2001). Πώς γεννιέται ένα πρόβλημα. Η τέχνη της

σύνθεσης προβλημάτων. Περιοδικό Quantum, Μάρτ. Απρ. σ.12-21. Sharigin Igor, (2002). Mathematical Education and Society (an outlook from Russia and into Russia). The Teaching of Mathematics, Vo. V, 2, pp. 71-80. Sharigin Igor, (2004). On the concept of school geometry, in J. Wang & B. Xu (Eds.), Trends and Challenges in Mathematics Education, Shanghai, East China Normal University Press, 43-51. Shukkwan, S. L. (1993). Mathematical problem posing: The influence of task formats, mathematics knowledge, and creative thinking. In I. Hirabayashi, N. Nohda, K. Shigematsu, & F. L. Lin (Eds.), Proceedings of the 17th International Conference for the Psychology of Mathematics Education (V1, pp. 33-40). Tsukuba (Japan): International Group for the Psychology in Mathematics Education. Silver, E. A., & Kilpatrick, J., & Schlesinger, B., (1990). Thinking through mathematics: Fostering inquiry and communication in mathematics classrooms. New York, NY: The College Entrance examination Board. Silver, E., Mamona-Downs, J., Leung, S., Kenney, P. A., (1996). Posing mathematical problems: an exploratory study. Journal for Research in Mathematics Education, 27(3), 293-309. Stoyanova, E., & Ellerton, N. F., (1996). A framework for research into students’ problem posing in school mathematics. In P. Clarkson (Ed.),

  

Technology in Mathematics Education, 518-525. Melbourne: Mathematics Education Research Group of Australasia. Tao Terence, (2006). Solving mathematical problems. A personal perspective. Oxford University Press. Κείμενα στα ρωσικά του Sharigin για τη μαθηματική Εκπαίδευση υπάρχουν στη διεύθυνση http://www.mccme.ru/edu/index.php? ikey=sharygin Sharigin Point, http://www.uff.br/trianglecenters/X1281.htm