Presentación1 2fp26

UNIVERSIDAD ESTATAL PENÍNSULA DE SANTA ELENA  FACULTAD DE TELECOMUNICACIONES   CARRERA DE INGENIERÍA EN ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES  MATERIA: CIRCUITOS ELECTRICOS DOCENTE: ISAAC NEWTON ZAMBRANO AGUILAR   PRESENTADO POR: WELLINGTON BASILIO PANCHANA   PARALELO 4/1   LA LIBERTAD – ECUADOR 2015

DEFINIR LOS SIGUIENTES PARAMETROS, REPRESENTACION , GRAFICAS, CARACTERISTICA S, ECUACIONES Y PROBLEMAS

INDUCTANCIA.

1.En INDUCTANCIA un circuito existe una corriente que produce un campo magnético

ligado al propio circuito y que varía cuando lo hace la intensidad. Por tanto, cualquier circuito en el que exista una corriente variable producirá una fem inducida que denominaremos fuerza electromotriz autoinducida. Supongamos un solenoide de N espiras, de longitud d y de sección A recorrido por una corriente de intensidad i.

La variación del flujo magnético es producida por la variación de la corriente en el circuito. Esto lo podemos expresar como:

d dI  dt dt Haciendo una igualdad y agregando una constante que la llamaremos L queda:

d dI L dt dt Aplicando la ley de Faraday para N espiras

d dt d dI N L dt dt

  N

Integrando

N  LI N L I Donde: N representa el número de espiras que tenga el circuito. Representa el flujo magnético a través del circuito.



I representa la corriente que circula en el circuito La constante de proporcionalidad L es conocida con el nombre de inductancia, y representa físicamente la oposición que presenta el circuito a la variación de la corriente, es una propiedad similar a la inercia en los sistemas mecánicos, esto es, de oponerse al cambio en la cantidad de movimiento. De la misma forma en que la resistencia R de un material es una propiedad del tipo de material y de su geometría, así como la capacitancia C de un circuito depende de la geometría , la inductancia L depende de la geometría del dispositivo del circuito

Ejemplo: Un toroide tiene un radio mayor R y un radio menor r y se enrolla con N vueltas de alambre muy próximas entre si. Si R >>r, el campo magnético dentro de la región del toroide de área de sección transversal A =πr2 es esencialmente el de un solenoide largo que se ha doblado como un gran círculo de radio R. Demuestre que la inductancia de dicho toroide es aproximadamente:

0 N 2 A L 2R

N B   0 nI   0 I 2R NA  B  BA   0 I 2R

 B 0 N 2 A LN  I 2R

El campo magnético en el interior de un solenoide muy largo (ideal) es:

B  0 nI

N n l N n 2R El flujo magnético en el interior del toroide, suponiendo el campo uniforme es:

  BA A  r 2 La inductancia del toroide será :

N NBA NA L    0 nI I I I

N L   0 NA 2R 2 0 N A L 2R Observe que la inductancia depende de la geometría del toroide mas no del flujo magnético o de la corriente.

Sea un solenoide de N espiras, de longitud d, recorrido por una corriente I, cuya sección transversal es A.

 0 Ni B d

0 N 2 Ai  m  NBA cos 0  d

Se denomina coeficiente de autoinducción L al cociente entre el flujo propio m y la intensidad i.

 m 0 N 2 A L  i d Del mismo modo que la capacitancia, el coeficiente de autoinducción solamente depende de la geometría del circuito y de las propiedades magnéticas de la sustancia que se coloque en el interior del solenoide. La unidad de medida de la autoinducción se llama henry, abreviadamente H, en honor a Joseph Henry.

Corriente autoinducida Cuando la intensidad de la corriente i cambia con el tiempo, se induce una corriente en el propio circuito (flecha de color rojo) que se opone a los cambios de flujo, es decir de intensidad. Derivando respecto al tiempo la expresión del flujo propio:

d m  0 N 2 A di d   0 N 2 Ai          dt dt  d d dt  di   L dt

La fem autoinducida siempre actúa en el sentido que se opone a la variación de corriente.

Circuitos RL

Vab  Vbc  Vca  0

di iR  L  V0  0 dt t Ldi   dt  0 V0  iR 0 i



V0  RL t i 1 e R



Si R/L es grande, como sucede en la mayor parte de los casos prácticos, la intensidad de la corriente alcanza su valor máximo constante V0/R muy rápidamente.

Circuitos RL

Vab  Vba  0

di iR  L  0 dt

di Rt     dt L0 i0 i i

i  i0 e

 RL t

La corriente disminuye exponencialmente con el tiempo. En la mayor parte de los casos, R/L es grande, por lo que la corriente desaparece muy rápidamente.

Energía del campo magnético Hemos visto que para mantener una corriente en un circuito es necesario suministrar energía. La energía suministrada por la batería en la unidad de tiempo es V0· i. Esta energía se disipa, en la resistencia por efecto Joule y se acumula en la autoinducción en forma de energía magnética.

di V0  iR  L dt

di V0i  i R  Li dt 2

El último término, es la energía por unidad de tiempo que se necesita para establecer la corriente en la autoinducción o su campo magnético asociado.

dU B di  Li dt dt

U B  12 Li 2 Esta es la energía acumulada en el campo magnético del inductor cuando la corriente es i.

Esta expresión representa la energía almacenada en el campo magnético del inductor cuando la corriente es I. También se puede determinar la densidad de energía de un campo magnético. Se va a considerar un solenoide cuya inductancia está dada por:

 B NBA  0 nIAN  0 nIAnl L    I I I I El campo magnético de un solenoide está por:

L   0 n 2 Al B   0 nI B I 0 n

Sustituyendo L e I en la expresión para la energía:

 B  1 2 1 2  U  LI   0 n Al  2 2  0 n 

2

B2  Al 20

Debido a que Al es el volumen del solenoide, la energía almacenada por unidad de volumen en el campo magnético que rodea al inductor es:

U B2 uB   Al 2 0 Aunque esta ecuación se dedujo para el caso de un solenoide, es válida para cualquier región del espacio en la cual haya un campo magnético

Una fem autoinducida en un solenoide de inductancia L cambia en el tiempo como:

   0 e  kt Encuentre la carga total que pasa por el solenoide, si la carga es finita.

   0e

 kt

dI  L dt

 0  kt I    e dt L

 0  kt dI   e dt L  0  kt dq I e  kL dt

 0   kt  0  1   kt Q e dt   e   kL 0 kL   k  0 Q 2 k L

 0

 0  0 Q   2 e  e  k L

Calcule la resistencia en un circuito RL en el cual L = 2.50 H y la corriente aumenta hasta 90.0% de su valor final en 3.00 s. Rt    L I   1  e  R 

e



3.00 R 2.50

 0.10

2.50 ln 0.10 R 3.00

3.00 R      2 . 50  0.90   1  e  R R 

 3.00 R  ln 0.10 2.50

R  1.92

Un inductor de 2.00 H conduce una corriente estable de 0.500 A. Cuando el interruptor en el circuito se abre, la corriente efectivamente es cero en 10.0 ms. ¿Cuál es la fem inducida promedio en el inductor durante este tiempo?

dI I   L  L dt t

  L

I f  I0 t

0  0.500 A   2.00 H 0.010 s Vs 2.00  0.500 AH  x A 0.010 s H

  100V

Considere el circuito de la figura. Tomando ε = 6.00 V, L = 8.00 mH. Y R = 4.00Ω, a) ¿Cuál es la constante de tiempo inductivo del circuito?

L 8.00mH a )    2.00ms R 4.00 8mH

b) Calcule la corriente en el circuito 250µs después de que se cierra el interruptor. t   I   1  e  R

ε R

   

6.00V  I 1 e 4.00 



250106  2.00103







I  0.176 A

c) ¿Cuál es el valor de la corriente en el estado estable final?

 6.00V I   1.50 A R 4.00 d) ¿Cuánto tarda la corriente en alcanzar el 80% de su valor máximo?





t 



I  I max  1  e   

0.80 I max



 I max  1  e   3



t  2.00103

  

t  2.00  10 ln 0.20

0.20  e



t 2.00103

3

t  3.22 10 s

CAPACITANCIA.

CAPACITOR 

Conocidos también como condensadores son dispositivos electrónicos que permiten almacenar energía eléctrica. En un circuito pueden estar asociados en serie paralelo o mixto, tal como lo hacen las resistencias.

Capacitor cilíndrico

DISEÑO DE UN CAPACITOR



Está formado por dos conductores, denominan placas, muy cercanos entre si. Entre ellas se coloca un dieléctrico que permite aislar las placas entre si. La figura muestra un esquema de un capacitor de placas paralelas, aislado, en este caso, por aire. Existen otros dieléctricos tales como vidrio, papel humedecido con parafina etc.

d

DISEÑO DE UN CAPACITOR, LA BOTELLA DE LEYDEN

Es un condensador cilíndrico, tiene por armaduras hojas metálicas que envuelven el recipiente de vidrio (dieléctrico) por fuera y por dentro. Ocupa un volumen grande y tiene relativamente poca capacidad.

Vidrio

Hojas metálicas

(llamado botella de Leyden, por la ciudad holandesa donde primero se construyó)

DISEÑO DE UN CAPACITOR Se pueden construir condensadores de gran capacitancia y poco volumen usando como armaduras hojas metálicas, separadas por un dieléctrico (generalmente papel parafinado), y enrollado, tal como muestra la figura.

Aluminio

Dieléctrico

SIMBOLOGÍA DE UN CAPACITOR 

Tal como acontece con los componentes de un circuito, los capacitores poseen su propia representación. Esta es la que indica la figura siguiente.

FUNCIONAMIENTO DE UN CAPACITOR PROCESO DE CARGA



Se conecta el capacitor inicialmente descargado, a una batería o fuente de poder, una placa al polo negativo y la otra al positivo, respetando la polaridad del capacitor y la batería. (positivo con positivo y negativo con negativo).

+

_

Generalmente el polo negativo del capacitor es más corto ( es usual que venga señalado en el cuerpo del capacitor)

FUNCIONAMIENTO DE UN CAPACITOR PROCESO DE CARGA



En esta situación la batería extrae electrones desde una placa, la que finalmente adquiere una carga +Q , y los deposita en la otra que gana una carga –Q. El capacitor queda entonces con carga Q. Para ello se hace referencia al módulo de la carga que adquiere una de+ las placas. Q

La carga neta del capacitor es cero

Q

FUNCIONAMIENTO DE UN CAPACITOR PROCESO DE CARGA



La transferencia de carga va aumentando hasta un límite en el cual la diferencia de potencial entre las placas del capacitor se iguala con la que posee la batería. Esta condición es la que limita el almacenamiento de energía (carga eléctrica) en el capacitor V (volt) +

Q

-

Q

V (volt)

FUNCIONAMIENTO DE UN CAPACITOR PROCESO DE CARGA



Si se cambia la fuente de poder por otra que posea más voltaje entre sus polos, entonces el capacitor junto con acumular más energía en forma de carga eléctrica, aumenta su voltaje terminal, de tal modo que el cuociente Q/V se mantiene constante. Este cuociente se denomina capacitancia y es característico de cada capacitor:

Q C V

Si Q se mide en coulomb y V en volt, entonces C se mide en Faradios (F)

Una capacitancia igual a 1F = 1C/V es una unidad muy grande. Se acostumbra a usar submúltiplos como el microfaradio (F) = 110-6 F o picofaradio (pF) = 110-12 F

FUNCIONAMIENTO DE UN CAPACITOR PROCESO DE CARGA



Se puede demostrar usando la ley de Gauss (contenido que escapa de los objetivos de este curso) que la capacitancia de un capacitor de placas paralelas es:

A C  0 d

Área entre placas Separación entre placas

0 : permitividad del espacio libre entre las placas (aire o vacío). Esta constante se relaciona con la constante de Coulomb a través de 0 = 1/ 4K y por tanto posee un valor igual a 8,8510-12 C2/Nm2

FUNCIONAMIENTO DE UN CAPACITOR PROCESO DE CARGA Como la longitud “L” de las placas conductoras en comparación con la distancia “d” que las separa, es muchísimo mayor, dentro del capacitor se forma un campo electrostático uniforme.

E0

Bajo estas condiciones el campo Posee un valor que depende del Voltaje entre las placas y la Separación entre las mismas, es decir:

V0 E0  d

ENERGÍA EN UN CAPACITOR Cuando un condensador se descarga, se produce un flujo de cargas desde la placa negativa a la positiva hasta que se igualen las cargas y desaparezca la diferencia de potencial. El transporte de esas cargas , implica un trabajo eléctrico y por tanto la transformación de energía eléctrica. La expresión general para la energía almacenada en un capacitor es: Uc 

Uc 

CV 2

2

QV 2

De acuerdo a los datos Puede expresarse también así

Q2 Uc  2C

Q : carga acumulada, C: capacitancia , V: diferencia de potencial entre las placas

TIPOS DE CAPACITORES Existen diversos condensadores, algunos denominados polarizados, variables, pasante electrolítico, ajustable etc. En esta unidad se ha centrado el estudio en los Condensadores no polarizados. Cada tipo posee su propia simbología.

SIMBOLOGÍA PARA DIVERSOS CAPACITORES

ALGUNAS EQUIVALENCIAS 

La carga acumulada se mide en Coulomb (C) y el potencial en volt (V). Luego la unidad de medida en el sistema S.I. para la capacitancia es el : C/V. Que se denomina Farad o Faradio (F). Por ser una unidad más bien grande se utiliza otras submúltiplos como : Nano faradio: nF = 110-9 F Micro faradio: F = 110-6 F Pico faradio: pF = 110-12 F Mili faradio: mF = 110-3 F

3.- INDUCTANCIA MUTUA Cuando el flujo magnético a través de un circuito varía con el tiempo debido a corrientes variables en el tiempo en circuitos cercanos, se produce una fem a través de un proceso conocido como INDUCTANCIA MUTUA. Se llama así porque depende de la interacción de dos circuitos. Bobina 2 Bobina 1

Vista transversal de dos bobinas adyacentes. Una corriente en la bobina 1 establece un flujo magnético, parte del cual pasa por la bobina 2.

  

 

N1

N2



 

I1

 

Inductancia mutua se define como: I2

N 2 12 M 12  I1

Bobina 2

N 2 12 M 12  I1

Bobina 1

   



Φ12 flujo magnético causado por la corriente en la bobina 1 y que pasa a través de la bobina 2.

N1

N2



 

I1

 

I2

Si la corriente I1 varía con el tiempo, a partir de la ley de Faraday se ve que, la fem inducida por la bobina 1 en la bobina 2 es:

d 2 d  M 12 I1    2  N2   N 2  dt dt  N 2  dI1  2   M 12 dt

Similarmente: Donde M12 = M21

dI 2  1   M 21 dt

Por lo tanto:

dI1  2  M dt

dI 2 1   M dt

PREGUNTA ¿Se puede tener inductancia mutua sin autoinductancia? NO, porque la inductancia mutua depende de un sistema de bobinas y que cada bobina tenga autoinductancia. ¿Qué hay acerca de la autoinductancia sin inductancia mutua? Si puede haber autoinductancia ya que una sola bobina tiene autoinductancia pero no inductancia mutua porque no interactúa con otras bobinas.

RESPUESTA TRANSITORIA Y NATURAL •

Concepto de transitorio

•

Orden del circuito

1. Transitorios de primer orden •

Respuesta natural

•

Respuesta transitoria en continua

•

Respuesta transitoria en alterna

2. Transitorios de segundo orden •

Circuitos básicos

•

Respuesta natural

•

Respuesta ante escalón (continua)

•

Respuesta a onda sinusoidal (alterna)

3. Ejemplos de aplicación

Transitorio: Evolución debida a cambios topológicos en el circuito. Transición entre un régimen permanente y otro, tras un cambio en las condiciones del estado del circuito.

Los transitorios son debidos a elementos que almacenan energía: Bobinas y condensadores.

ORDEN DEL CIRCUITO: número de elementos almacenadores de energía (Leq o Ceq) que tenga el circuito.

Circuitos de primer orden

Circuitos de segundo orden

Respuesta natural

dv (t ) ic (t )  C  c dt

vc (t )   R e q ic (t )

vc (t )  A et /   R e q C

dvc (t ) 1  vc (t )  0 dt R e q C

Cte de tiempo

vc (0)  V0 Condiciones iniciales

El condensador se descarga sobre la resistencia siguiendo una evolución exponencial desde el valor inicial V0 hasta 0=V∞

Para un t=τ se alcanza un 63% del ΔV=V0-V∞



Cálculo de la constante, A:

vc (t )  A et / vc (0)  V0

A  V0

vc (t )  V0 e t /

dvc (t ) 1 1  vc (t )  V dt R e q C R eq  C

vc (t )  V  (V0  V ) e t / vc (0)  V0 vc ()  V

vc (t )  V0 e t / V (1 e t / ) RespuestaRespuesta a entradaa estado cero cero

Única para el circuito

Respuesta Respuesta forzada=permanente natural=transitorio   R e q C Cte de tiempo

El condensador evoluciona desde su valor inicial hasta el nuevo régimen permanente siguiendo una exponencial

Cualquier otra variable del circuito tiene una evolución temporal de la misma forma que la de la tensión del condensador.  t /  0 

X (t )  X  ( X  X ) e

Respuesta Respuesta forzada=permanente natural=transitorio

Para un t=τ se alcanza un 63% del salto (ΔV=V∞V0)



dvc (t ) 1 1  vc (t )  Vca (t ) dt R e q C R eq  C

vc (t )  2V cos(t   )  K e  t /  vc (0)  V0 Cálculo de la constante, K:

Vc(t)

vc (0)  2V cos   K vc (0)  V0

K  V0  2V cos 

Cualquier otra variable del circuito tiene una evolución temporal de la misma forma que la de la tensión del condensador.

X (t )  2 X cos(t   )  K e  t / 

Respuesta Respuesta

Respuesta Respuesta forzada=permanente natural=transitorio   R e q C Cte de Única para el circuito tiempo

K e t / 

di (t ) vL (t )  L  L dt

iL (t )  Ge q vL (t )

iL (0)  I 0

diL (t ) 1  iL 0 dt Ge q L

Respuesta natural

iL (t )  A et /   Geq L

Cte de tiempo

Condiciones iniciales

La bobina se descarga sobre la resistencia siguiendo una evolución exponencial desde el valor inicial I0 hasta 0

Para un t=τ se alcanza un 63% del ΔI=I0-I∞



Cálculo de la constante, A:

iL (t )  A e t / iL (0)  I 0

A  I0

iL (t )  I 0 et /

diL (t ) 1 1  vc (t )  I dt Ge q L Ge q L

iL (t )  I   ( I 0  I  ) et /

il (t )  I 0 e t / I  (1 e  t / ) RespuestaRespuesta a entradaa estado cero cero Cualquier otra variable del circuito tiene una evolución temporal de la misma forma que la de la intensidad de la bobina.  t /

X (t )  X   ( X 0  X  ) e

Respuesta Respuesta forzada=permanente natural=transitorio

iL(t)

iL (0)  I 0

iL ()  I 

Respuesta Respuesta forzada=permanente natural=transitorio

  Geq L

Cte de tiempo La bobina evoluciona desde su valor inicial hasta el nuevo régimen permanente siguiendo una exponencial Única para el circuito

I0

Para un t=τ se alcanza un 63% del valor salto

I∞

diL (t ) 1 1  vc (t )  iL R. P (t ) dt Ge q L Ge q L

iL (t )  2 I cos(t   )  K e  t / 

iL (0)  I 0 Cálculo de la constante, K:

iL (t )

il (0)  2 I cos   K iL (0)  I 0

K  I 0  2 I cos 

Cualquier otra variable del circuito tiene una evolución temporal de la misma forma que la de la intensidad de la bobina.

X (t )  2 X cos(t   )  K e  t /  Respuesta Respuesta forzada=permanente natural=transitorio

Respuesta Respuesta forzada=permanente natural=transitorio Única para el circuito

K e  t / 

  Geq L

Cte de tiempo

• RLC serie: circuito compuesto por una resistencia, bobina y condensador en serie.

Equivalante Thévenin visto desde el cjto. LC

Leq

d vC (t ) R e q dvC (t ) 1 1    Vc (t )  Vg (t ) 2 dt L dt LC LC dv (t ) iL (0)  I 0  C c dt t 0

Condiciones iniciales

Equivalante Norton visto desde el cjto. LC

Ceq

2

vc (0)  V0

• RLC paralelo: circuito compuesto por una resistencia, bobina y condensador en paralelo.

Leq Ceq

d 2iL (t ) 1 di (t ) 1 1   L  Vc (t )  i g (t ) 2 dt R e q C dt LC LC

iL (0)  I 0

vC (0)  V0  L

Condiciones iniciales

diL (t ) dt t 0

Transitorios de segundo orden. Respuesta en ausencia de fuentes

d 2 X (t ) dX (t )  2  02 X (t )  0 2 dt dt

S 2  2 S  02  0 Polinomio característico S1 , S 2     2  02

X (t )  K1 e S1t K 2  e S2t Respuesta natural Respuesta Sobre amortiguada

S1     2  02

 Req , para RLC serie   2L constante de amortiguamientoα   1  , para RLC paralelo  2 R e q C frecuencia de resonancia  0 

  0 S 2     2  02

X (t )  K1 e S1t K 2  e S2 t

Respuesta Críticamente amortiguada

S1  S2  

  0

X (t )  ( K1t  K 2 ) e  t

1 , para RLC serie y paralelo LC

Respuesta Subamortiguada

S1    jd

S 2    jd

  0

frecuencia natural  d  02   2

X (t )  K1e  t c os(d t  K 2 )

Respuesta Sobreamortiguada

Vc (t )  V  K1 e S1     2  02

S1t

K 2  e

X(t)

  0 Vc (t )

S2 t

V0

S 2     2  02

V

Determinación de K1 y K2: Condiciones iniciales: V0 e I0 Rég. permannete: V∞

I c (t ) dVc (t )   K1 S1  e S1t C dt

V0  V  K1  K 2 I 0 / C  K1 S1 K 2  S2

t

K 2 S2 e S2 t

En forma matricial:

 1  S  1

1  S 2 

K1  K  2

 V0  V  I / C 0  



Respuesta Críticamente amortiguada

  0

Vc (t )

Vc (t )  V  ( K1t  K 2 ) e  t S1  S2  

V0

Determinación de K1 y K2:

V

Condiciones iniciales: V0 e I0 Rég. permannete: V∞

I c (t ) dVc (t )   K1 e  t  ( K1t K 2 )  e  t C dt

V0  V  K 2 I 0 / C  K1  K 2

En forma matricial:

 0  1 

 K1   K 2 1

 V0  V  I / C 0  



Respuesta Subamortiguada

Vc (t )  V  K1e S1    jd

  0  t

Vc (t )

c os(d t  K 2 )

V0

S 2    jd

V

frecuencia natural  d  02   2 Determinación de K1 y K2: Condiciones iniciales: V0 e I0 Rég. permannete: V∞

I c (t ) dVc (t )    K1d e  t sen(d t  K 2 )   K1e  t c os(d t  K 2 ) C dt

V0  V  K1c os K 2

En forma matricial:

I 0 / C   K1d senK 2   K1c os K 2 X  K1c os K 2

Y  K1 senK 2

 1   

1

d K1 

 X  Y  

 V0  V     I 0 /  C 

X 2 Y2

K 2  arctg (Y / X )

Respuesta Sobreamortiguada

Vc (t ) 

  0

Vc (t )

2V cos(t   )  K1 e

S1     2  02

S1t

K 2  e

K1 e S1t K 2 e S2t

S2 t

S 2     2  02

Determinación de K1 y K2: Condiciones iniciales: V0 e I0 Rég. 2V cos( t   ) permannete:

I c (t ) dVc (t )    2V sen( t   )  K1 S1  e S1t C dt

V0  2V cos   K1  K 2 I0 / C 

En forma matricial:

2V sen  K1 S1  K 2 S 2

 1  S  1

1  S 2 

K 2 S2 e S2 t

 K1  K  2





V0   I 0 / C 

2V cos   

2V sen

Respuesta Críticamente amortiguada

Vc (t ) 

  0

Vc (t )

2V cos(t   )  ( K1t  K 2 ) e  t

( K1t  K 2 ) e  t

S1  S2  

Determinación de K1 y K2: Condiciones iniciales: V0 e I0 Rég. 2V cos( t   ) permannete:

I c (t )  C

dVc (t )   2V sen(t   )  K1 e  t  ( K1t K 2 )  e  t dt

V0  2V cos   K 2 I0 / C 

En forma matricial:

2V sen  K1  K 2

 0  1 

1   K1   K 2





V0   I 0 / C 

2V cos   

2V sen

  0

Respuesta Subamortiguada

Vc (t )  2V cos(t   )   K1e  t c os(d t  K 2 ) S1    jd

S 2    jd frecuencia natural  d  02  

2

Determinación de K1 y K2: Condiciones iniciales: V0 e I0 Rég. 2V cos( t   ) permannete:

I c (t )  C

dVc (t )   2V sen(t   )  K1d e  t sen (d t  K 2 )   K1e  t c os(d t  K 2 ) dt

V0  2V cos   K1c os K 2

I0 / C 

K1e t c os(d t  K 2 )

En forma matricial:

 1   

2V sen   K1d senK 2   K1c os K 2

X  K1c os K 2

Y  K1 senK 2

1

d



V0 

 X  Y  



K1 

X 2 Y2

 I 0 / C 

K 2  arctg (Y / X )

2V cos   

2V sen

20

Circuito de primer orden i i==50/7.5 50/2.5 50/4 == = 12.5 6 20 A A

18 16

t    0.04 s

  L/R L/R 0.1/7.5 0.1/4  0.025 0.1/2.5 0.013 0.04sss

iL (t )  I   ( I 0  I  ) e t / t=0

Interruptor

Corriente (A)

14

10

t    0.025 s

8 6

La intensidad de la bobina evoluciona desde su valor inicial hasta el régimen permanente siguiendo una exponencial

t    0.013 s

4 2

4 50 V 0.1 H Motor de CC

0

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Tiempo (s)

Influencia de la resistencia: R = 4 R = 2.5

0.14

0.16

0.18

R = 7.5

R afecta a la cte. de tiempo y a I∞

0.2

Circuito de primer orden

14 12

i = 50/4 = 12.5 A

t    0.025 s

iL (t )  I   ( I 0  I  ) e

t /

Corriente (A)

10

  L/R

t=0

t    0.0125 s t    0.05 s

8

L→0

6

Interruptor 4

4

2 0

50 V 0.1 H Motor de CC

La intensidad de la bobina evoluciona desde su valor inicial hasta el régimen permanente siguiendo una exponencial 0

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Influencia de la bobina:Tiempo (s) L = 0.1H

L = 0.2H

L afecta a la cte. de tiempo

L = 0.05H

0.2

Circuito de segundo primer orden orden serie

0  1/LC  14142  << 0

Subamortiguado d  02   2  0

2

5 mH 1

100

1F

Interruptor Interruptor abierto

cerrado

2º Orden

1er Orden

2

0

-2

-4

-6

12 V

Conmutación

4

Corriente del primario (A)

  R/2L  200

6

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

Tiempo (s)

0.035

0.04

0.045

0.05

Interruptor abierto: 1er orden

Tensión del primario del transformador (V) Tensión del primario del trafo (V)

150

300 100

τ=L/R

Interruptor abierto: 2º orden subamortiguado

Conmutación

50 100

 R/2L 0  1/LC α<< 0

 d      0 2 0

200

2

0 0

-100 -50

R

L 1

C

Pico de tensión: chispa en la bujía

-200

-100

100

Interruptor

 d  02   2  0

-300

-150

12 V

Régimen permanente final

0

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.0145 0.015 0.0155 0.016 0.0165 0.017 0.0175 0.018 0.0185 0.019

Influencia de la resistencia:R = 2

Tiempo (s) Tiempo (s)

R = 4

R = 0.5

4

x 104 1.5 x 10

Interruptor abierto: 1er orden Tensióndel delsecundario secundariodel deltrafo trafo Tensión (V)(V)

τ=L/R

Interruptor abierto: 2º orden subamortiguado

 R/2L 0  1/LC α<< 0

 d      0 2 0

2

R

L 1

12 V

100

1 1 0.5 0.5

0

-0.5 -0.5

-1 -1 -1.5

C

Interruptor

0

0.005 0.01 0.0145 0.015

0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.0155 0.016 0.0165 0.017 0.0175 0.018

Tiempo (s) Tiempo (s)

Influencia de la bobina: L = 5 mH

L = 2.5mH

L = 7.5mH

Interruptor abierto: 1er orden

6

τ=L/R

4

Corriente del primario (A)

Interruptor abierto: 2º orden subamortiguado

 R/2L 0  1/LC α<< 0

 d  02   2  0 R

L 1

12 V

2

0

-2

-4

100

-6

C

Interruptor

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

Tiempo (s)

0.035

0.04

0.045

0.05

Influencia de R, L y C en el transitorio de 1er orden: L = 2.5mH R = 4 C = 0.5F

WEDGRAFIA http:// www.definicionabc.com/ciencia/inductancia.php https:// es.wikipedia.org/wiki/Capacidad_el%C3%A9ctrica