Aplicații Ale Trigonometriei în Geometrie (1) 5dy9

APLICAȚII ALE TRIGONOMETRIEI ÎN GEOMETRIE EXERCIȚII REZOLVATE 1. Triunghiul ABC ascuțitunghic are AC= √ și lungimea razei cercului circumscris egală cu . Să se determine măsura unghiului B. Soluție : Folosim teorema sinusurilor , Atunci,

√

=

sin

2. Triunghiul ABC are laturii AC.

=

√

=

=

=

, unde cunoaștem

= AC = √ și

= .

. Cum triunghiul este ascuțitunghic, avem = .

= și lungimea razei cercului circumscris egală cu 1. Să se calculeze lungimea

Soluție: Utilizăm teorema sinusurilor

=

=

=

folosind raportul al doilea din formula precedent avem:

. Lungimea laturii AC esta notată cu =

1

=

√

sin =

si

= √ . Deci

AC=√ . 3. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC știind că Soluție: Ca și la exercițiul precedent, folosim teorema sinusurilor, cunoscând sin = și avem = = 1 = = .

=

4. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC, dacă

=

Soluție : Utilizăm teorema sinusurilor, √

, sin

= sin = și =

=

=

=

= și =

,

, în care cunoaștem sin

= . Observăm că pentru a afla

= . și sin

=

= și AB= . = sin =

este necesar să cunoaștem sin . Pentru

aceasta, ținem cont de faptul că A, B și C sunt unghiurile unui triunghi, deci suma măsurilor lor este 1 Astfel, = = = sin = sin = sin ( ) = sin ( )= sin cos √

√

sin cos =

=

= (√

√

√

.

. Revenim la teorema sinusurilor și, din ultimul raport, avem :

√ ).

5. Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC știind că AB= , B= și C= . Soluție: Perimetrul triunghiului ABC este :

=

și cunoaștem = . √

Din teorema sinusurilor,

=

=

=

, avem

=

=

și putem afla

=

=

=

√ . Pentru a afla și pe avem nevoie de sin . Pentru aceasta, ținem cont de faptul că A, B și C sunt unghiurile unui triunghi, deci suma măsurilor lor este 1 . Astfel, = = = sin

= sin

= sin (

) = sin (

sinusurilor, de unde obținem : ABC este

=

√ + (√

= √ )=

) = sin cos √

√

√

=

sin cos = = (√

√ .

√

√

. Revenim la teorema

√ ). Atunci, perimetrul triunghiului

6. Fie triunghiul ABC care are AB= , AC=5 și BC=7. Să se caluleze cos . Soluție: Utilizăm teorema cosinusului sub forma: cos cos

=

=

=

=

. Avem

= 7,

= 5, =

și atunci

.

7. Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ascuțitunghic ABC știind că AB= , AC=1 și că aria triunghiului ABC este egală cu 15√ . Soluție : Pornim de la aria triunghiului ABC, utilizând formula

=

15√ =

√

sin = . Pentru a calcula BC utilizăm teorema cosinusului :

=

cos . Pentru a putea

aplica formula avem nevoie de valoarea lui cos . Deoarece sin Vom avea :

=

1

1

=7

=

√

=

cos

= .

= √7 .

8. Să se calculeze lungimea razei cercului înscris în triunghiul ABC care are lungimile laturilor egale cu 3,4 și 5. Soluție: Pentru raza cercului înscris în triunghiul ABC folosim formula = . Putem considera = , = , = 5, iar pentru aria triunghiului ABC folosim formula lui Heron : =√ . Avem = = = și = √ 1 = . Atunci = = . Observație : Se poate observa ca numerele , și 5 sunt pitagoreice, deci triunghiul ABC este dreptunhic și aria sa se putea calcula și ca produs al catetelor supra . 9. Fie triunghiul ABC. Să se calculeze lungimea înălțimii corespunzătoare laturii BC, știind că AB=1 , AC=1 și BC=15. Soluție : Pentru a calcula lungimea înălțimii corespunzătoare laturii BC exprimăm aria triunghiului în doua moduri : = √ = și = , unde este lungimea înălțimii duse din A, corespunzătoare laturii BC. Atunci :

=

=

.

10. Să se calculeze aria unui paralelogram ABCD cu AB= , AD= și

(̂ ) = 1 5 .

Soluție: Aria paralelogramului ABCD poate fi calculată ca dublul ariei truinghiului ADC: =

sin

=

sin 1 5 =

√

=

=

=

√ .

EXERCIȚII PROPUSE 1. Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC, știind că AB= , AC= și

( ̂) =

.

2. Să se calculeze lungimea razei cercului înscris în triunghiul ABC care are lungimile laturilor ,5 și 7. 3. Să se calculeze lungimea medianei duse din A în triunghiul ABC, știind că AB= , AC= și BC= . 4. Triunghiul ABC are lungimile laturilor AB=5, BC=7 și AC= . Să se ale măsura unghiului A. 5. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris unui triunghi care are lungimile laturilor 5, 7 și .