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Método Montecarlo utilizado en proyectos

William Antonio Xil Barrios

Guatemala, 03 de abril de 2014

Método Montecarlo Aplicado a Proyectos INDICE

INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 1

1. MÉTODO MONTECARLO APLICADO A PROYECTOS .................................. 2

1.1.

Definiciones ............................................................................................... 2

1.2.

Cómo funciona el método Montecarlo........................................................ 5

1.2.1.

Descripción de variables matemáticas ................................................ 5

1.2.2.

Pasos básicos para generar una simulación Montecarlo .................... 6

1.2.3. Aplicabilidad a proyectos de las distribuciones de probabilidad con el método Montecarlo ........................................................................................... 7 1.3.

Campos de aplicación ................................................................................ 8

1.4.

Ejemplos de aplicación a los proyectos del método ................................... 9

1.5.

Ventajas y desventajas del método Montecarlo ....................................... 10

CONCLUSIONES ................................................................................................. 12

BIBLIOGRAFÍA ..................................................................................................... 13

Método Montecarlo Aplicado a Proyectos

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INTRODUCCIÓN

Debido a la complejidad de muchos sistemas, se hace necesario hacer aproximaciones numéricas para determinar muestras de variables aleatorias. Estas estimaciones podrían llevarse a cabo manualmente, con el gasto asociado de recursos.

Es allí en donde nace la necesidad de realizar simulaciones para aproximar el comportamiento de una o diversas variables aleatorias. En este ensayo se presentarán las principales características del método de simulación de Montecarlo, su argumento matemático, aplicaciones y ventajas y desventajas. Y más importante, sus principales aplicaciones en proyectos, tanto de investigación como de inversión.

Es importante hacer notar que las aplicaciones mencionadas incluyen amplia variedad de campos del conocimiento, no solamente los proyectos de inversión.

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1. MÉTODO MONTECARLO APLICADO A PROYECTOS

1.1. Definiciones

En proyectos se hace necesario conocer las características de la población a la que se dirige el mismo, y esto se realiza mediante la elaboración de muestreos, sin embargo algunas veces las variables son aleatorias y determinar las características de la población requeriría grandes esfuerzos para realizar muestreos. Por lo tanto, se hace necesario simular dichas muestras. Entonces surge la interrogante de que es la simulación.

Hay distintos tipos de simulación, la cual puede definirse como un proceso que permite entender el comportamiento de un sistema o evaluar varias estrategias con las cuales operar el sistema, mediante el uso de un modelo computarizado. Se pueden mencionar los siguientes métodos de simulación: estadística o Montecarlo, continua, por eventos discretos y por autómatas celulares (Universidad Nacional del Centro de la Pcia de Buenos Aires, 2005).

En este caso se prestará especial atención a la simulación estadística o Montecarlo, y su aplicación a los proyectos.

Como se mencionó anteriormente, en proyectos se hace necesario realizar muestreos para determinar características de la población, utilizando diferentes técnicas, entre los que se pueden mencionar: el aleatorio simple, el sistemático, el estratificado y por conglomerados.

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Los métodos mencionados anteriormente se llevan a cabo cuando no se conoce la distribución de probabilidad de la población, sin embargo para el caso contrario se utiliza el Método Montecarlo, el cual es un procedimiento general para la selección de muestras aleatorias de una población dado que se conoce su distribución de probabilidad y se ha generado previamente una muestra de números aleatorios (Sarabia Alegría & Pascual Saez, 2005).

Otra definición del método Montecarlo es la que presentan (Périssé & Pepe, 2006): “El Método Monte Carlo es una herramienta de investigación y planeamiento; básicamente es una técnica de muestreo artificial, empleada para operar numéricamente sistemas complejos que tengan componentes aleatorios.”

Por lo tanto, el método Monte Carlo es una herramienta que permite manejar de una forma “artificial” procesos que contienen variables aleatorias, que se pueden modelar según una distribución de probabilidad, es decir, simular procesos. Surge ahora la interrogante de cuál es la diferencia entre una variable aleatoria y un muestreo aleatorio.

Según (Lind, Marchal, & Wathen, 2012) una variable aleatoria es una “cantidad que resulta de un experimento que, por azar, puede adoptar diferentes valores”. Y además, éstas pueden ser aleatorias discretas o aleatorias continuas. Para el primer caso los datos asumen valores enteros claramente diferenciados, y para el segundo los valores pueden ser cualquier número real. Por otro lado, si se ordenan los resultados de una variable aleatoria se obtiene como al final una distribución de probabilidad. Esto es bastante útil porque despliega un conjunto de resultados a diferencia de un valor puntual de la variable aleatoria.

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Dado que una variable aleatoria puede adoptar diferentes valores, un muestreo aleatorio es aquel en donde se escoge una muestra en donde cada elemento o individuo de la población tenga las mismas posibilidades de que se le incluya (Lind, Marchal, & Wathen, 2012).

Surge la interrogante ahora de cómo hacer un muestreo aleatorio. Esto puede realizarse convenientemente asignando un número de identificación a cada individuo de la población y generando una tabla de números aleatorios para escoger

la

muestra.

Los

números

aleatorios

deben

cumplir

con

tres

características: deben tener igual posibilidad de salir elegidos, no debe existir correlación serial y se generan por tablas o dispositivos especiales.

Lo anterior lleva a pensar que realizar un

muestreo para conocer una

característica de la población conlleva un gasto de recursos que podrían reducirse al realizar simulación de las muestras. Y es ahí en donde el método Montecarlo toma singular importancia, porque permite realizar no solamente un muestreo sino que simula varios escenarios para determinar la mejor decisión. De aquí que la simulación Monte Carlo proporcione una serie de ventajas sobre el análisis determinista o “estimación de un solo punto” (Palisade Corporation, 2014).

En el caso del caudal disponible un pozo de agua subterránea, por ejemplo, las condiciones que gobiernan la calidad de la misma suelen ser aleatorias y realizar muestreos todos los días sería poco práctico y requeriría una gran cantidad de recursos, por lo que se hace necesario estimar valores a partir de simulaciones, dados los parámetros necesarios que permiten encontrar una distribución de probabilidad.

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1.2. Cómo funciona el método Montecarlo

Se establece a continuación la forma en que funciona el método Montecarlo, las variables matemáticas y los pasos a seguir para realizar la simulación.

1.2.1.

Descripción de variables matemáticas

Es claro que este método no provee una solución esperada exacta, sino una aproximación. Y para lograr esto es necesario que se ingresen ciertos parámetros al modelo de simulación, que permitan calcular los diferentes escenarios.

El (Departamento de Investigación Operativa, Universidad de la República, 2010) considera que los parámetros necesarios utilizados para la simulación son los siguientes: 

: variable aleatoria (discreta o continua)



: es la distribución de probabilidad de X



: esperanza o valor esperado de la variable aleatoria (X), es el valor que se desea calcular a través de la simulación y se denota como

o Si la variable aleatoria es continua

∫

, es decir la

distribución de probabilidad en el tiempo o Si la variable aleatoria es discreta y toma valores en un conjunto C, tal que  

∑

: Varianza de la variable aleatoria X; : Desviación estándar de la variable aleatoria X

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: Coeficiente de variación de la variable aleatoria X. Esta es una medida de la dispersión de una distribución de probabilidad normalizada, tomando en cuenta el valor esperado E(X).



: Vector aleatorio de dimensión m, compuesto por m variables aleatorias distintas, dependientes o independientes.



: muestra de n variables aleatorias independientes con la misma distribución de X

1.2.2.

La

Pasos básicos para generar una simulación Montecarlo

(Universidad Nacional del Centro de la Pcia de Buenos Aires, 2005)

propone que para desarrollar este proceso de simulación se deben llevar a cabo los siguientes pasos: 

Definir y establecer el problema. Plan.



Formular el modelo.



Programar



Verificar y validar el modelo



Diseñar los experimentos y plan de corridas



Analizar los resultados

Sin embargo, los lineamientos anteriores no establecen claramente el proceso matemático para generar el modelo. El (Departamento de Investigación Operativa, Universidad de la República, 2010) sugiere un esquema básico, pero más específico de cómo generar una simulación por el método Montecarlo, tomando en cuenta que se desea calcular cierto valor

, y dado que se conoce la

variable aleatoria X con su distribución de probabilidad Fx tal que

= E(X).

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El método Montecarlo en su versión básica consiste en: 

Generar aleatoriamente valores para un conjunto

, de

variables aleatorias a X, en base a Fx (distribución de probabilidad de X) 

Calcular la suma de los valores generados,



Calcular el estimador del valor esperado, ̂



Calcular la varianza del estimador del valor esperado, ̂

∑

(

)

̂

Notas aclaratorias: 

n representa el tamaño de la muestra, o también llamado número de replicaciones.



El conjunto



Dado que en algunos casos no se conoce Var(X) entonces se calcula la

replicaciones de X, se llama muestra.

varianza del estimador ̂ , y se identifica como ̂ .

En los pasos anteriores no se ha explicado la manera de seleccionar la distribución de probabilidad Fx, y dado que es determinante,

se explican a

continuación los parámetros requeridos por cada una de las distribuciones más utilizadas.

1.2.3.

Aplicabilidad a proyectos de las distribuciones de probabilidad con el método Montecarlo

Dado que mediante el uso de distribuciones específicas de probabilidad se obtienen diferentes posibilidades para las variables aleatorias, se hace necesario describir entonces cuales son los parámetros necesarios para cada distribución de probabilidad. (Palisade Corporation, 2014)

Método Montecarlo Aplicado a Proyectos 

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Distribución Normal: Se definirá la media (o valor esperado) y una desviación estándar para describir la variación respecto a la media. Ejemplos de variables que se pueden describir mediante esta distribución son los índices de inflación y los precios de energía.



Log-Normal: se utiliza para representar variables aleatorias cuyos valores son superiores a cero, es decir, tienen un potencial positivo elevado. Ejemplos de variables que se pueden describir mediante esta distribución son los valores de las propiedades inmobiliarias y bienes raíces, los precios de las acciones en la bolsa y las reservas de petróleo.



Uniforme: Se definirá el mínimo y máximo para la variable aleatoria, en esta distribución todos los valores tienen la misma posibilidad de producirse. Ejemplos de variables que se pueden describir mediante esta distribución son los costos de manufacturación y los ingresos por ventas futuras de un producto nuevo.

En general, es de vital importancia que la persona encargada de modelar un proceso que contiene variables aleatorias tenga en cuenta las características de la misma para seleccionar la distribución de probabilidad que mejor se ajusta a su proyecto.

1.3.

Campos de aplicación

La aplicación del método Montecarlo es de gran importancia en los proyectos, tanto de investigación como de inversión. Para (Rodríguez Aragón, 2011) “la simulación tiene una gran importancia en nuestro mundo actual”, esto es: 

Modelos a escala



Túneles de viento



Canales de agua



Emergencia o catástrofes, entre otros.

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Es clara la aplicación del método a las diferentes áreas del conocimiento, sin embargo para (Molina Cordovez, 2011) este método es indispensable para los escenarios que involucren incertidumbre. En ese contexto se puede mencionar un ejemplo en el que la incertidumbre es inevitable y los muestreos son inviables: estos son los sistemas moleculares, en los cuales se pueden simular: la distribución de cargas moleculares, constantes cinéticas de reacción, energías libres, coeficientes de compresibilidad, capacidades caloríficas, entre otros (Laboratorio de Química Computacional, 2014).

Es fácil entonces comprender la clasificación de campos de aplicación que propone (Umrigar, 2010). Para él hay cuatro grandes áreas principales de aplicación del método, estas son: la física cuántica, química, ingeniería y finanzas y análisis de riesgo.

Lo anterior da una idea de que la aplicación del método va desde lo infinitesimal a lo general, es decir, de lo poco tangible hasta las situaciones que gobiernan la vida actual. Para (Saavedra Barrera & Ibarra Mercado, 2009) la aplicación en las finanzas es muy importante, porque buena parte de las opciones de valuación y el cálculo de coberturas no pueden realizarse en forma exacta, hay que aproximarlas por método numéricos, y para ellos el más popular es el método Montecarlo.

1.4.

Ejemplos de aplicación a los proyectos del método

Se puede mencionar una variedad de proyectos en los cuales se ha utilizado el método para simular procesos, algunos ejemplos de ellos son: 

Simulación Monte Carlo de adsorción de nitrógeno en un modelo molecular de carbón activado y su comparación (AG Albesca, 2010)

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Cálculo del comportamiento de una línea de transmisión frente al flameo inverso basado en el método Montecarlo (Yugcha Guevara, 2010)



Simulación Monte Carlo de Películas Delgadas Ferromagnéticas (Cossio, Mazo-Zuluaga, & Restrepo, 2006)



La valoración de las opciones reales mediante la simulación de Monte Carlo. El caso de la inversión de Endessa en Latinoamérica (Bonis, 2007)

Es evidente que el campo de aplicación del método abarca muchas ramas del conocimiento, sin embargo para algunas se ha de ajustar mejor su estructura que para otras. En todo caso, no puede negarse que la aplicación depende de la capacidad del investigador de establecer sus variables y conocer su distribución de probabilidad para aplicar correctamente el método.

1.5.

Ventajas y desventajas del método Montecarlo

Dado que hay varias maneras de resolver un problema, cada una de las soluciones presenta ventajas y desventajas, es probable que un método se ajuste mejor a la resolución de un problema, pero no a otro. Por lo que a continuación se presentan las ventajas y desventajas del método de simulación Montecarlo.

Según (Rodríguez Aragón, 2011) algunas ventajas y desventajas son las siguientes: 

Ventajas o Cuando el modelo matemático es demasiado complicado la simulación permite obtener una aproximación. o La simulación nos permite formular condiciones extremas con riesgos nulos.

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o La simulación no interfiere con el mundo real. Permite experimentar. o Permite estudiar la interacción entre las diferentes variables del problema o Entre otras 

Desventajas o Una buena simulación puede resultar muy complicada, gran número de variables. o La simulación no genera soluciones Óptimas globales. o No proporciona la decisión a tomar, sino que resuelve el problema mediante aproximación para unas condiciones iniciales. o Cada simulación es única, interviene el azar.

Así, la decisión recae siempre sobre el proyectista, estudiante o investigador. El método se ajusta bien en la medida que se aplique de una manera correcta, y que se conozcan las ventajas y desventajas del método.

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CONCLUSIONES

1. Los métodos de simulación se utilizan por la necesidad de conocer las características de una variable aleatoria.

2. El método Montecarlo es útil para simular el comportamiento de muestras aleatorias, y su importancia radica en que sus resultados son una distribución, y no solamente un resultado puntual. 3. La aplicación del método Montecarlo abarca una variedad de áreas del conocimiento que incluyen desde la física cuántica hasta el análisis de riesgos en las finanzas. 4. Como todo método de simulación, el Montecarlo tiene ventajas y desventajas, y depende del investigador, inversionista o determinar las mejores condiciones para aplicarlo.

proyectista

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BIBLIOGRAFÍA

AG Albesca. (2010). Simulación Monte Carlo de adsorción de nitrógeno en un modelo molecular de carbón activado y su comparación. Obtenido de http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=3740930 Bonis, S. (2007). La valoración de las opciones reales mediante la simulación de Monte Carlo. . Revista Española de Financiación y Contabilidad, 655-657. Cossio, P., Mazo-Zuluaga, J., & Restrepo, J. (2006). Simulación Monte Carlo de Películas Delgadas Ferromagnéticas. Revista Colombiana de Física, 14751478. Departamento de Investigación Operativa, Universidad de la República. (Enero de 2010). Facultad de Ingeniería - Universidad de la República - Uruguay. Obtenido de http://www.fing.edu.uy/inco/cursos/mmc/unidad01/sesion02/transp.pdf Grijalva Yauri, Y. E. (2009). Capítulo 8. Introducción al método de simulación Montecarlo. Obtenido de www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r94434.PDF Laboratorio de Química Computacional. (02 de Abril de 2014). Método Montecarlo - Luventicus. Obtenido de http://www.luventicus.org/laboratorio/MonteCarlo/index.html Lind, D. A., Marchal, W., & Wathen, S. (2012). Estadística Aplicada a los Negocios y a la Economía. México: McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A. de C.V. Molina Cordovez, P. J. (Octubre de 2011). Repositorio Digital ESPE: Valoración financiera utilizando opciones reales y el método de simulación Montecarlo: una metodología indispensable para escenarios de incertidumbre. Obtenido de http://repositorio.espe.edu.ec/bitstream/21000/4717/1/T-ESPE032842%20-MED.pdf Palisade Corporation. (02 de abril de 2014). Palisade: Simulación Monte Carlo. Obtenido de http://www.palisade-lta.com/risk/simulacion_monte_carlo.asp

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Périssé, M. C., & Pepe, M. L. (11 de Agosto de 2006). Una Aplicación del Método de Monte Carlo. Obtenido de http://www.cyta.com.ar/ta0504/v5n4a5.htm Rodríguez Aragón, L. (15 de Marzo de 2011). Simulación, Método de Montecarlo. btenido de .uclm.es profesorado licesio ocencia mcoi ema guion.pdf Saavedra Barrera, P., & Ibarra Mercado, V. H. (2 de Septiembre de 2009). El método Montecarlo y su aplicación a Finanzas. Obtenido de http://docencia.izt.uam.mx/psb/coloq.pdf Sarabia Alegría, J. M., & Pascual Saez, M. (2005). Curso básico de estadística para economiía y istración de empresas. Cantabria: Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cantabria. Umrigar, C. (15 de Febrero de 2010). Monte Carlo Methods. Obtenido de http://pages.physics.cornell.edu/~sethna/teaching/ComputationalPhysics/Le ctureScans/CyrusMonteCarlo.pdf Universidad Nacional del Centro de la Pcia de Buenos Aires. (2005). Simulación Método Monte Carlo. Obtenido de http://www.google.com.gt/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ca d=rja&uact=8&ved=0CC0QFjAA&url=http%3A%2F%2Fxa.yimg.com%2Fkq %2Fgroups%2F22897790%2F1844327217%2Fname%2FApunte_Teorico_ MC_2005.pdf&ei=X1M8U5LEAsrIsAT5goCACg&usg=AFQjCNHTEnqkuc_M 0zP-_1gqJ2M Yugcha Guevara, F. (2010). Cálculo del comportamiento de una línea de transmisión frente al flameo inverso basado en el método Montecarlo. Obtenido de bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/2614/1/CD-3291.pdf