Potenciación Y Función Exponencial 371017

Repaso

Propiedades de la potenciación Todo lo que necesitas saber... Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes") vienen de tres ideas:  El exponente de un número dice multiplica el número por

sí mismo tantas veces   Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir  Un exponente fraccionario como 1/n quiere decir hacer la raíz n-ésima:  Si entiendes esto, ¡entonces entiendes todos los exponentes! Y todas las reglas que siguen se basan en esas ideas.

 Potencia de exponente cero (0)

Cualquier número

elevado a 0, distinto de 0, es igual a 1

 Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base. Ejemplo: 541 = 54  Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual a base «a» es igual a la base elevada a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes): Ejemplos: 93 . 92 = 93+2 = 9  División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la base a y elevada a la resta de los exponentes respectivos.

Ejemplo:

 Potencia de un producto La potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del producto elevados al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base (a.b) y de exponente "n", es igual al factor "a" elevado a "n" por el factor "b" elevado a "n“

 Potencia de una potencia La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

 Propiedad distributiva La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:

Pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.

 La ley que dice que Para entenderlo, sólo recuerda de las fracciones que n/m = n × (1/m): ejemplo:



El extraño caso de 00

Hay dos argumentos diferentes sobre el valor correcto. 0 0 podría ser 1, o quizás 0, así que alguna gente dice que es "indeterminado":

X0 = 1 así que… 01 = 1 0x = 0 así que… 00 = 0 Cuando dudes…. 00 = “indeterminado o indefinido” El caso especial 00 se considera indefinido y dependiendo del contexto pueden ser asignados distintos valores dependiendo de las propiedades específicas que se quieran mantener.  Potencia de base 10

En las potencias con base 10, el resultado será la unidad desplazada tantas posiciones hacia la izquierda o hacia la derecha como indica el exponente. Con un exponente positivo se desplaza hacia la izquierda y con un exponente negativo se desplaza hacia la derecha. Ejemplos:

 

Propiedades que no cum ple la potenciación No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:

No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En general:

Tampoco se cumple la propiedad asociativa:

 

Función Exponencial

Introducción Muchas situaciones del mundo real se pueden cuantificar por medio de funciones. El estudio de las graficas de estas funciones es fundamental para poder interpretar los fenómenos que o situaciones que describen. Por lo anterior las funciones se clasifican de acuerdo a sus características comunes, las más elementales son las exponenciales, las logarítmicas y las trigonométricas. Encontramos funciones exponenciales y logarítmicas en la reducción de múltiples bacterias en la desintegración de sustancias radioactivas, los crecimientos demográficos, la inflación, los problemas de interés compuesto, etc. Las graficas de todas estas funciones nos permiten interpretar mejor fenómenos relacionados con la física, el M.A., la biología, la economía, etc. Las funciones periódicas aparecen en aquellas situaciones que se repiten como el movimiento de las mareas, el movimiento de los molinos de viento, los pedales de una bicicleta, el de las agujas del reloj, etc.

D efi nición Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma  f(x) = bx, en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, istración, economía, química, física e ingeniería. La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b>0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a b por 1, la función bx se transforma en la función constante f(x) =1

La base no puede ser negativa porque funciones de la forma f(x)=(-2) x no tendrían sentido en los números reales.

X

(2)x

-3

1/8

-2

¼

-1

½

0

1

1

-2

2

-4

3 -8 El dominio de la función exponencial está formado por el conjunto de los números reales y su recorrido (rango) está representado por el conjunto de los números positivos.  Observación:

Cuando a = e, donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284…., la función exponencial  , se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por Exp(x ) = e x

N otación de im ágenes Toda función asocia a cada elemento x de su dominio un único elemento del codominio. Si f es el nombre de la función, podemos denotar el elemento asociado a x con f(x) este símbolo se lee: efe de equis; el objeto representado por f(x) se dice que es el valor de la función en (x) o la imagen de x bajo f. Toda función f es un subconjunto de un producto cartesiano A x B, donde respecto a B, no hay ningún tipo re exigencia, salvo que contenga a la imagen de f. En este sentido, B puede variar sin que se altere la función. En relación a f, al conjunto B se le da un nombre: se le llama codominio de la función. la relación entre el rango y el codominio de la función es simple: el rango esta formado por aquellos elementos del codominio que son imagen de algún elemento del dominio.  

G rafi cas

1. La función exponencialde base dos y= f(x)= 2 x La tabla siguiente muestra algunos valores para la función de base dos.

X

2x

-3

1/8

-2

¼

-1

½

0

1

1

2

2

4

3

8

Para graficar esta función se localiza estos puntos en un plano cartesiano, uniéndolos con una curva suave, tal como se modela en la siguiente escena. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la función a medida que: • x crece ilimitadamente • x decrece ilimitadamente.

2. La función exponencialde base 1/2 y= f(x)= (1/2)x Analicemos ahora el comportamiento de la función exponencial de base 1/2. Mueve el punto P y observa el comportamiento de la función cuando x tiende a  +¥  y cuando x tiene a -¥. X

(1/2 )x

-3

8

-2

4

-1

2

0

1

1

1/2

2

1/4

3

1/8

Las escenas anteriores perm iten deducir que:  La función exponencial existe siempre para cualquier

valor de la variable independiente x.  Toma valores positivos para cualquier valor de x.  El dominio de la función exponencial es todo el conjunto

de los números reales.  Todas las funciones pasan por el punto (0,1).  Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma

f(x)=bx, con b>1 son crecientes. Los valores de la función crecen cuando x aumenta.  Las gráficas de las funciones exponenciales de la forma

f(x)=bx, con 0<1 son decrecientes. Los valores de la función decrecen cuando x aumenta.  El eje x es una asíntota horizontal, hacía la izquierda si

b>1 y hacía la derecha si b<1.

 La definición exige que la base sea positiva y  

 

diferente de uno. Si b=0 la función se transforma en la función constante Sea  un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.  Como  para todo   R, la función exponencial es una función de R en R +.  Todas las graficas son continuas sin huecos o saltos. Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original).

Propiedades * Todas las graficas son continuas sin huecos o saltos. * La función exponencial (y exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales. * Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante ,en el caso de que tengan una base distinta a e) * * * * * su límite en - ∞ es 0, y en + ∞ es + ∞