Integrales Múltiples 23243j

UNIVERSIDAD ESTATAL DE MILAGRO Ing. Industrial 3ro “C1”

Exposición de: Calculo de Varias Variables Grupo Nº 5

Tema: Integrales dobles sobre rectángulos

Integrantes: Erika Tacuri Alex Ríos John Batallas

Docente: Ing. Leonardo Fabiani

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INDICE

RESUMEN ................................................................................................................................... 3 MARCO TEORICO: ................................................................................................................... 3 Integrales Múltiples ................................................................................................................ 3 Integrales doble sobre rectángulos...................................................................................... 3 Revisión de la integral definida ........................................................................................ 3 Volúmenes e integrales dobles ........................................................................................ 4 Definición la integral doble de f sobre el rectángulo R es ............................................ 5 Regla del punto medio ....................................................................................................... 6 Regla del punto medio para integrales dobles............................................................... 7 Valor promedio .................................................................................................................... 7 Integrales Iteradas .................................................................................................................. 7 Teorema de Fubini ............................................................................................................. 7 Ejemplo. ............................................................................................................................... 8 Aplicaciones en el campo profesional ..................................................................................... 8 Conclusiones: .............................................................................................................................. 9 Recomendaciones:..................................................................................................................... 9 Bibliografía: .................................................................................................................................. 9 Lincografía: .................................................................................................................................. 9

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RESUMEN Las integrales definidas dobles y triples de funciones de dos y tres variables, son conocidas como integrales múltiples y se las emplea para calcular volúmenes, masa y centroides de regiones más generales, tales como en ingeniería mecánica, mecánica teórica, mecánica de fluidos, se encuentran en las aplicaciones de estas integrales, también se las emplea para el cálculo de las probabilidades cuando existen dos o más variables aleatorias. Dentro del cálculo de varias variables, las integrales múltiples introducen dos nuevos sistemas de coordenadas de espacio tridimensional, las coordenadas cilíndricas y esféricas, estos métodos simplifican el cálculo para ciertas regiones sólidas.

MARCO TEORICO: Integrales Múltiples Integrales doble sobre rectángulos Casi de la misma manera que el intento para resolver el problema de área condujo a la definición de una integral definida, ahora se busca determinar el volumen de un sólido, y en el proceso se llega a la definición de una integral doble. Revisión de la integral definida Primero se recordaran los hechos básicos relacionados con integrales definidas de una sola variable. Si ( ) se define para , se empieza por dividir el intervalo [a,b] en n subintervalos , - de igual amplitud ( ) y se eligen puntos de muestra en estos subintervalos. Entonces se forma la suma de Riemann. ∑ ( ) Si se toma el límite de las sumas cuando de a a b: ∫ En el caso especial donde ( )

para obtener la integral definida de f

( )

∑ ( )

, la suma de Riemann se puede interpretar como la

suma de las áreas de los rectángulos de aproximación, y ∫ área bajo la curva ( ) de a .

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( )

se representa el

Volúmenes e integrales dobles De una manera similar se considera una función f de dos variables definidas en un rectángulo cerrado ,

-

,

-

*(

)

+

Y se supone que ( ) . La grafica de f es igual a una superficie con ecuación ( ). Sea S el sólido que yace arriba de R y debajo de la gráfica f, es decir, *(

(

)

)(

)

El objetivo es hallar el volumen de S. El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectangulos. Esto se hace dividiendo el intervalo [a, b] en m subintervalos , - de igual amplitud ( ) y dividendo [c, d] en n subintervalos , - de igual amplitud ( ) . Al dibujar líneas paralelas a los ejes coordenados por los puntos finales de estos subintervalos, se forman los subrectangulos ,

-

[

]

)

*(

Cada uno con área

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Si se elige el punto muestral (

) en cada

, entonces se puede aproximar a la

parte S que ya hace arriba de mediante una caja rectangular (o “columna”) con base y altura ( ). El volumen de esta caja es la altura de la caja multiplicada por el área de la base del rectángulo: (

)

Si se sigue este procedimiento para los rectángulos y se suman los volúmenes de las cajas correspondientes, se obtiene una aproximación del volumen total de S: ∑∑ (

)

Esta suma doble significa que para cada subrectángulo se evalúa f en el punto elegido y se multiplica por el área del subrectángulo, y luego se suman los resultados.

La intuición dice que la aproximación dada en (3) es mejor cuando m y n crecen y, por lo tanto, se esperaría que ∑∑ (

)

Se usa la expresión de la ecuación para definir el volumen del solido S que yace debajo la gráfica de f y arriba del rectángulo R. los límites del tipo que aparece en la ecuación ocurren con frecuencia, no solo para hallar volúmenes, sino también diversas situaciones, como incluso cuando f no es una función positiva. Así, se hace la siguiente definición. Definición la integral doble de f sobre el rectángulo R es ∬ (

)

∑∑ (

Si existe el límite.

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)

El significado del límite preciso es la definición anterior es que para todo numero hay un entero N tal que ∬ (

)

∑∑ (

)

Para los enteros m y n mayores que N y a cualquier elección de puntos muestrales ( ) en . Una función f se denomina integrable si existe límite como en la definición anterior. De hecho, la integral doble de f existe siempre que f “no sea demasiado discontinua”. En ) particular, si f esta acostada [esto es, hay una constante M tal que | ( para toda (x,y) en R], y f es continua ahí, excepto en un numero finito de curvas suaves, entonces f es integrable sobre R. Se puede elegir que el punto muestral (

) sea cualquier punto en el

subrectángulo , pero si se elige que sea esquina superior derecha de ( ), entonces la expresión para la integral doble se simplifica: ∬ (

)

∑∑ (

[a saber,

)

Al comparar las definiciones, es obvio que un volumen puede expresarse como una integral doble: ) Si ( , entonces el volumen V del solido que yace arriba del rectángulo R y ( ) es debajo de la superficie ∬ (

)

La suma de la definición anterior, ∑∑ (

)

Se llama la suma de Riemann doble y se emplea como una aproximación del valor de la integral doble. Si sucede que f es una función positiva, entonces la suma de Riemann doble representa la suma de los volúmenes de columnas, y es una aproximación del volumen bajo la gráfica de f y arriba del rectángulo R.

Regla del punto medio

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Los métodos que se emplearon para aproximar integrales simples (regla del punto medio, regla del trapecio, regla de Simpson) tienen contrapartes para integrales dobles. Aquí se considera la regla del punto medio para integrales dobles. Esto se dice que se usa una suma de Riemann doble para aproximar la integral doble, donde el punto muestra ( ) en se elige como el centro ( ) de . En otras es el punto medio de ,

palabras,

-y

es el punto medio de ,

-.

Regla del punto medio para integrales dobles ∬ (

)

es el punto medio de ,

Donde

∑∑ ( -y

)

es el punto medio de ,

-.

Valor promedio El valor promedio de una función

de una variable definitiva en el intervalo , ∫

- es

( )

De una manera similar se define el valor promedio de una función f de un variable definidas en un rectángulo R como

( )

∬ (

)

Donde ( ) es el área de R. Si (

)

, la ecuación ∬ (

( ) Dice que la caja con base R y altura yace debajo de la gráfica de f.

tiene el mismo volumen que el sólido que

Integrales Iteradas Teorema de Fubini Si

es continua en el rectángulo *(

)

)

+, entonces 7

∬ (

)

(

∫ ∫

)

∫ ∫

(

)

En términos generales, esto es cierto si se supone que está acotada es R, es discontinua solo en un numero finito de curvas uniformes y existen integrales iteradas.

Ejemplo. Evalué la integral doble ∬ (

)

*(

, donde

+.

)

Solución 1 El teorema de Fubini da ∬(

)

∫ ∫ (

∫ (

)

)

∫ ,

-

-

Solución 2. Al aplicar de nuevo el teorema de Fubini, pero esta vez integrando primero con respecto a obtiene ∬(

)

∫ ∫ (

∫ ,

∫ (

)

-

)

-

Aplicaciones en el campo profesional Su aplicación se basa en definir y calcular conceptos en el especial interés en física e ingeniería, tales como promedios, masas, centro de masas, momentos de inercia, etc., en ingeniería mecánica, mecánica teórica, mecánica de fluidos.

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Conclusiones:

Para concluir el siguiente trabajo se puede adicionar que las integrales sobre rectángulos son muy importantes ya que las aplicamos en nuestro entorno y en muchas situaciones de la vida cotidiana.

Recomendaciones:

Debemos recalcar que las integrales son muy fundamentales, tenemos que aprender a integrar, porque nos van a servir durante el transcurso de nuestra vida, porque en todo lo que realicemos vamos a encontrar problemas relacionados con estos temas, las integrales son muy elementales.

Bibliografía:

Stewart, James (2008) Calculo de Varias variables 6ta Edición Pág. 950 - 965 Lincografía: http://www.uoc.edu/in3/e-math/docs/Integral_Definida.pdf

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