Tipos De Errores En Métodos Numéricos 6e1p6z

TIPOS DE ERRORES EN MÉTODOS NUMÉRICOS. Los métodos numéricos se desarrollaron con el fin de resolver de una manera eficiente y eficaz problemas matemáticos cuya solución es difícil o imposible de obtener con los métodos comúnmente utilizados. Si bien ofrece muchas soluciones, generalmente son aproximaciones de los valores reales, y como toda aproximación cuenta con cierto grado de error, para lo cual es necesario conocer que errores se pueden considerar toreables. Un aspecto importante de los errores numéricos es su estabilidad numérica. Dicha estabilidad se refiere a como dentro de un algoritmo de análisis numérico el error de aproximación es propagado dentro del propio algoritmo. Es importante que los métodos numéricos sean lo suficientemente exactos, sin sesgo, para de esta manera cumplir los requisitos de los problemas de ingeniería. EXACTITUD Y PRECISIÓN. Los errores asociados a cálculos y medidas se pueden detectar observando su precisión y exactitud. Con precisión se refiere al número de cifras significativas que representa una cantidad o bien a la extensión de las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física. Y la exactitud se refiere a la aproximación de un número al valor verdadero que representa. La inexactitud o sesgo se refiere al alejamiento sistemático del valor verdadero. ¿QUÉ SON LOS ERRORES? Son la diferencia existente entre el valor verdadero y el obtenido por una fórmula dada/ aproximación de un problema. Surgen del uso de aproximaciones para representar operaciones y cantidades matemáticas exactas. La representación general de un error es: Ev= Valor verdadero-Valor aproximado Este resultado representa la aproximación del valor exacto del error “verdadero”. Los tipos de errores más comunes son: inherente, redondeo, absoluto, relativo y por truncamiento. Los errores de redondeo y el uso de cifras significativas tienen mucha importancia en la identificación de exactitud y precisión de una solución. ERROR ABSOLUTO. Se conoce así al error resultante de la diferencia existente entre el valor real de una magnitud al medir y el obtenido de una medida. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. El error absoluto de una medida no nos informa por sí solo de la bondad de la misma. Es evidente, que no es igual de grave tener un error absoluto de 1 cm al medir la longitud de una carretera que al medir la longitud de un folio. El error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado. Hay autores que definen el error absoluto como la diferencia entre el valor aproximado y el valor exacto, donde la diferencia únicamente está en el signo ya que no se toma como valor absoluto. Sin embargo, podríamos tomar como fórmula general la siguiente expresión:

Cuando el valor exacto no es conocido, por ejemplo, en cualquier medida física, se habla de cota del error absoluto, que será un valor superior al error absoluto que asegure que el error cometido nunca excederá a ese valor. Si llamamos c a la cota del error absoluto de un número, se cumplirá:

Error relativo. El error relativo es el cometido en la estimación del valor de un número, es el valor absoluto del cociente entre su error absoluto y el valor exacto. El error relativo da idea de la precisión de una medida, y se suele manejar en forma de porcentaje (%). Muchas veces conocemos el error absoluto (Ea), pero es imposible conocer el valor exacto (A), en cuyo caso, para hallar el error relativo (Er) dividimos el error absoluto entre el valor aproximado o considerado como exacto. También puede hablarse de cota del error relativo, que, si la representamos como β, se cumplirá: A – A´) / A ≤ β Ejemplo: Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniéndose 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores son 10 000 y 10 cm, calcúlese a) el error y b) el error relativo porcentual de cada caso. Solución: a) El error de medición del puente es: EA = 10 000 - 9 999 = 1cm y para el remache es de EA = 10 - 9 = 1cm b) El error relativo porcentual para el puente es de: ERP = 1/ 10 000 x 100% = 0.01% y para el remache es de ERP = 1/10 x 100% = 10% Por lo tanto ambas medidas tiene un erro de 1 cm, el error relativo porcentual del remache es mucho más grande. Se puede concluir que se ha hecho un buen trabajo en la medida del puente, mientras que la estimación para el remache deja mucho que desear.

Error porcentual. El error porcentual es fácil de definir, es el resultado de multiplicar el error relativo por 100. ERP = ER X 100 Error de redondeo. A continuación, se analizarán brevemente algunas consecuencias de utilizar el sistema binario y una longitud de palabra finita. Como no es posible guardar un numero binario de longitud infinita o un numero de más dígitos de los que posee la mantisa de la computadora que se está empleando, se almacena sólo un numero finito de estos dígitos; como consecuencia, se comete automáticamente un pequeño error, conocido como error de redondeo, que al repetirse muchas veces puede llegar a ser considerable. Ya que la mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas, los errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del porqué pueden resultar críticos en algunos métodos numéricos:

1. Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una respuesta. Además, estos cálculos a menudo dependen entre si. Esto es, los cálculos posteriores son dependientes de los anteriores. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser muy pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de cálculos puede ser significativo. 2. El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya que en este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar de mucha importancia. Reglas de Redondeo Las siguientes reglas dan la pauta a seguir en el redondeo de números cuando se realizan cálculos a mano. En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se descarta. El último dígito que se conserva se aumenta en uno si el primer dígito descartado es mayor de 5. De otra manera se deja igual. Si el primer digito descartado es 5 o es 5 segundo de ceros. entonces el último dígito retenido se incrementa en 1, sólo si es impar. En la suma y en la resta, el redondeo se lleva acabo de forma tal que el último dígito en la columna de las milésimas. Para la multiplicación y para la división el redondeo es tal que la cantidad de cifras significativas del resultado es igual al número más pequeño de cifras significativas que contiene la cantidad en la operación.

Para combinaciones de las operaciones aritméticas, existen dos casos generales. Se puede sumar o restar el resultado o de las divisiones. (Multiplicación o División) +/- (multiplicación o división) o también se pueden multiplicar o dividir los resultados de las sumas y las restas. Ejemplos: Los siguientes ejemplos tiene por objeto ilustrar las reglas de redondeo. 5.6723 -------------------------- 5.67´ 10.406 ---------------------------- 7.4 10.406 ---------------------------- 7.4 88.21650 ------------------- 88.216 1.25001 -------------------------- 1.3

3 Cifras Significativas 4 Cifras Significativas 2 Cifras Significativas 5 Cifras Significativas 2 Cifras Significativas

Error de truncamiento. Cuando una expresión matemática se remplaza por una fórmula más simple, se introduce un error, conocido como error de truncamiento. Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Estos tipos de errores son evaluados con una formulación matemática: la serie de Taylor. Taylor es una formulación para predecir el valor de la función en Xi+1 en términos de la función y de sus derivadas en una vecindad del punto Xi. Siendo el término final: Rn= ((ƒ(n+1) (ξ))/(n+1)!)hn+1 En general, la expansión en serie de Taylor de n-ésimo orden es exacta par aun polinomio de nésimo orden. Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o senoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos. Cada una de los términos adicionales contribuye al mejoramiento de la aproximación, aunque sea un poco. Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:

La expansión en series de Taylor de n-ésimo orden debe ser exacta para un polinomio de nésimo orden. Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.

El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos. ¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”? La ecuación para el término residual se puede expresar como:

Significa que el error de truncamiento es de orden hn+1. El error es proporcional al tamaño del paso h elevado a la (n+1)-ésima potencia. Ejemplo: Si el error es O(h) y se reduce a la mitad del paso, entonces el error se reduce a la mitad. Si el error es O(h2) el error se reducirá a la cuarta parte. Error de Propagación: Supóngase que se tiene una función f(u). Considere que ũ es una aproximación de u (ũ = u+h, con h tamaño de paso). Por lo tanto, se podría evaluar el efecto de la discrepancia entre u y ũ en el valor de la función.

Si u es cercana a ũ y f(u) es continua y diferenciable:

Estabilidad y Condición: La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada. Un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico. Usando la serie de Taylor de primer orden:

Estimando el error relativo de f(x) como en:

El error relativo de x está dado por:

Un número condicionado puede definirse como la razón de estos errores relativos:

Número Condicionado:

El número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre de x es aumentada por f(x): 

Un valor de 1 nos indica que el error relativo de la función es idéntico al valor relativo de x.



Un valor mayor que 1 nos indica que el error relativo es amplificado.



Un valor menor que 1 nos indica que el error relativo está disminuyendo.

Funciones con valores muy grandes nos dicen que están mal condicionados. El error numérico total es la suma de los errores numéricos de truncamiento y redondeo. Un camino para minimizar los errores de redondeo es incrementar el número de cifras significativas de la computadora. El error de truncamiento puede reducirse con un tamaño de paso más pequeño. Los errores de truncamiento pueden ser disminuidos cuando los de redondeo aumentan. No hay forma sistemática y general para evaluar el error numérico para todos los problemas. La estimación se basa en la experiencia y buen juicio del ingeniero. 

Evitar la resta de dos números casi iguales reordenando o reformulando el problema.



Aritmética de precisión extendida.



Clasificarlos y trabajar primero con los números más pequeños.

Para predecir el error numérico un buen camino es emplear la Serie de Taylor. Por último, se deben repetir los experimentos numéricos modificando el tamaño de paso y comparando los resultados. En resumen, la serie de Taylor nos proporciona una buena forma de aproximar el resultado de una ecuación algebraica cualquiera, por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es apreciación de quien desarrolla este método escoger cuantos términos deberá incluir en la aproximación. Otros Tipos de Errores Otros tipos de errores son el error humano que pueden ocurrir cuando se toman datos estadísticos o muestras, si estos datos son mal recopilados los errores al utilizarlos serán obvios. Cuando se calibran mal los equipos donde de harán lecturas de algunas propiedades de los compuestos o resultados de un experimento.

Cuando se desarrollan modelos matemáticos y estos son mal formulados y no describen correctamente el fenómeno o equipo en estudio. Todos los tipos de errores pueden contribuir a un error mayor, sin embargo, el error numérico total, es la suma de los errores de truncamiento y redondeo. EJEMPLOS EN MATLAB Índices de asignación no coinciden >> D=zeros(3); d=[1,2]; D(2:3,:)=d; Subscripted assignment dimension mismatch. Este error sucede cuando hay asignaciones de matrices y las matrices que están a ambos lados del signo = no tienen la misma dimensión. Utiliza el comando size() para chequear las dimensiones de ambos elementos y asegurarte que coincidan. En este ejemplo tendriamos que >> size(D(2:3,:)) ans = 23 >> size(d) ans = 1 2 Mal uso de (,[,{ >> (x,y)=sphere(5) (x,y)=sphere(5) Error: Expression or statement is incorrect--possibly unbalanced (, {, or [. Aquí lo que sucede es que MATLAB se confunde con las variables de salida de circlefn(). Al verlas dentro de paréntesis ( ellas representan indices de una matriz y no variables. Las salidas de una función deben ser encerrada en paréntesis [. También, cuando los paréntesis no están escritos correctamente el mismo error es mostrado, por ejemplo >> (x,y]=sphere(5) (x,y]=sphere(5) | Error: Expression or statement is incorrect--possibly unbalanced (, {, or [.

Errores de índice y dimensión

>> x=1:100; v=0:3:45; s=x(v); Subscript indices must either be real positive integers or logicals. El primer elemento del vector de índices v es cero. En consecuencia, estamos intentando obtener el 0avo elemento de x, pero cero no es un índice válido para un vector ni para una matriz. El mismo error sucede cuando un número negativo aparece como índice. Además, cuando un índice excede la dimensión de una variable, también sucede un error, siguiendo el ejemplo anterior: >> x=1:100; v=1:3:103; s=x(v); Index exceeds matrix dimensions. Variables no definidas >> x=c+22; Undefined function or variable 'c'. En este ejemplo la variable c no está definida al momento de la operación. Este mensaje es preciso. Cuando este mensaje aparece en funciones o cheros que nosotros hemos escrito puede deberse a que tal función o fichero se encuentra en otro directorio distinto al directorio actual. Puedes usar los comandos what(), dir o ls para enlistar los archivos de tu directorio actual. Si el archivo no está en la lista entonces MATLAB no puede acceder a él, deberás localizar el directorio y cambiar el directorio actual al directorio indicado, para esto puedes usar el comando cd.

REFERENCIAS. Richard L. Burden. J. Douglas Faires(s.f.) Análisis numérico. Antonio Nieves Hurtado, Federico C. Dominguez Sanchez . Métodos Numéricos. 3ra ed; CESA. Ed. Continental. Segunda reimpresión. México 1997. 602pp Steven C. Chapra, Métodos Numéricos para Ingenieros, 6ª ed., Mc Graw Hill. México 1995. 641 pp. Iriarte V. Balderrama. METODOS NUMERICOS. Ed. trillas. Primera edición. México 1990 Sánchez,M. Barrozo, E. Gómez, R. Caly,C.(2008) Tipos de errores. Recuperado el 23 de marzo del 2018 en: http://meto2numericos.blogspot.mx/2008/02/tipos-de-errores.html […] (2014)Tipos de errores. Recuperado el 24 de marzo del 2018 en: https://esimecuanalisisnumerico.wordpress.com/2014/05/03/1-1-tipos-de-errores/ Rudra Pratap, Getting Started with MATLAB 2009. Department of Mechanical Engineering Indian Institute of Science, Bangalore. New York, Oxford University Press 2010.