Analogías Entre Sistemas Eléctricos Y Sistemas Mecánicos 8322r

UNIVERSIDAD DE CUENCA FACULTAD DE INGENIERIA ECUACIONES DIFERENCIALES Analogías entre sistemas eléctricos y sistemas mecánicos AUTOR: PABLO ANDRES VASQUEZ VELEZ PROFESOR: Ing. MIGUEL CORRAL SERRANO CUENCA, 1 DE JUNIO DEL 2015 MARZO 2015 – JULIO 2015 1. Objetivos Generales. Universidad de Cuenca.

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Obtener destreza en la investigación sobre temas poco convencionales y plasmar las ideas concretamente basados en los conocimientos adquiridos en la investigación. Realizar el trabajo presentado en palabras propias del alumno. Entender mejor el proceso que da como resultado que los sistemas eléctricos y mecánicos puedan ser fácilmente representados en modelos matemáticos.

Específicos.   

Tener claro la relación entre los sistemas eléctricos y los sistemas mecánicos, adquirir conocimientos acerca de sus semejanzas y sus diferencias. Resolver la inquietud de porque a pesar del ser completamente diferentes los sistemas mencionados, se pueden plantear a través de las ecuaciones diferenciales de maneras tan parecidas. Establecer una clara comparación entre los sistemas mecánicos y eléctricos.

2. Introducción En el mundo real muchos de los movimientos y sistemas que se dan a nuestro alrededor están sometidos a un cambio, y como hemos venido estudiando también en las matemáticas es muy común la resolución de problemas que tienen como punto clave el cambio o tasa de variación. Muchos de estos modelos se expresan a través de una ecuación diferencial. Si y=f(t) es una función que relaciona las variables t e y, dy ' entonces su derivada y = dt nos indica la tasa de cambio o velocidad de cambio de la variable y con respecto a la variable t. Las ecuaciones diferenciales se originan entonces para la resolución de problemas físicos y geométricos, pero puede ser utilizada para la resolución de varios problemas donde allá cambio. Cuando se estudia un problema del mundo real se necesita desarrollar un marco matemático. Sabemos que el proceso por el que se crea y evoluciona este marco es la construcción de un modelo matemático, siendo algunos de ellos muy precisos, especialmente en los de la física. Entre las muchas aplicaciones que tienen las ecuaciones diferenciales nos centraremos específicamente en los sistemas mecánicos y eléctricos, dando como conocimiento previo a la elaboración del trabajo aspectos básicos de dichos temas. La analogía entre los 2 sistemas nos indica que habrá casos en los que un sistema mecánico podrá ser modelado a través de un sistema eléctrico, y viceversa, hablando obviamente de manera teórica ya para que la Universidad de Cuenca.

práctica se necesitaría de algunos simuladores y el tema se volvería más complicado.

3. Marco teórico

Sistema Eléctrico. En los circuitos eléctricos podemos encontrar cinco elementos lineales básicos, 3 pasivos y 2 activos. Los pasivos almacenan o disipan energía, y estos son: El resistor, el capacitor y la bobina. Lo activos suministran energía en un circuito. Estos son, el generador de voltaje y el generador de corriente. Examinaremos el circuito RLC, que es un bloque de construcción básico. Este consta con una fuente de energía tal como una batería o un generador que suministra un voltaje V(t) voltios en un tiempo (t). Resistor.- es un elemento pasivo y tiene 2 terminales, el parámetro que lo caracteriza se llama resistencia R y es el cociente de la diferencia de potencial (o voltaje) medida entre sus dos terminales, dividido entre la corriente que atraviesa este elemento. La unidad del resistor es ohmios(Ω). R=

V (t) I (t)

Donde V (t) es la diferencia de potencial o voltaje entre sus terminales e I(t) la corriente que atraviesa el elemento; al reciproco de R se le llama conductancia, en contraposición a resistencia. Inductor o Bonina.- es un componente pasivo de un circuito eléctrico que, debido al fenómeno de la autoinducción, almacena energía en forma de campo magnético. El parámetro que lo distingue es la inductancia L, y podemos definirla como el número N de vueltas de la espira, multiplicada por el cambio respecto a la corriente del flujo magnético producido por cada espira.

t

1 I ( t )= ∫ V ( t ) dt+ I (0) L0

Capacitor.- también es un elemento pasivo, y su almacenamiento de energía lo hace mediante un campo eléctrico; a la propiedad que lo Universidad de Cuenca.

distingue le llamamos capacitancia y es el cociente de la carga acumulada entre la diferencia de potencial que se mide entre sus terminales Así tenemos que: C=

q (t) V (t)

, donde:

C es la capacitancia. q(t) es la carga acumulada V(t) es el voltaje.

Generador o Fuente de Voltaje.- como ya habíamos mencionado es un elemento activo, porque mantiene entre sus dos terminales una diferencia de potencial (o un voltaje) independientemente de cómo se conecte. La corriente I(t) que circula por dicho generador es una función del tiempo desconocida que depende de cómo se conecte el mismo a un circuito eléctrico y en principio es posible calcularla. Análisis de los circuitos eléctricos. Las ecuaciones de equilibrio que gobiernan el comportamiento de los sistemas eléctricos son conocidas como las leyes de Kirchhoff de voltaje y corriente (LKV y LKC) las cuales establecen lo siguiente: Ley de Voltaje de Kirchhoff (LKV): "La suma algebraica de las caídas de tensión a lo largo de un trayectoria cerrada es cero" ∑ V =0 Ley de corrientes de Kirchhoff (LKC): "La suma algebraica de las corrientes en un nodo es igual a cero".

∑ I =0 Ambas leyes pueden ser usadas de manera combinada para determinar el conjunto de ecuaciones integro-diferenciales necesarias para predecir el comportamiento de un sistema eléctrico. Sistemas eléctricos en serie. Como ya se indicó un sistema eléctrico en serie está formado por elementos a través de los cuales circula la misma corriente. En la siguiente figura se ha colocado los elementos R, L y C. Si aplicamos la LVK tenemos que: Universidad de Cuenca.

Si el interruptor que se muestra e la figura, se cierra, provoca una corriente I(t) amperes en el circuito en serie y una carga de Q(t) coulomb en el capacitor en el tiempo t. Tenemos la relación entre la carga y la corriente que es: dQ =I (t ) dt La suma algebraica de las caídas de voltaje a través de los elementos de una malla simple de un circuito eléctrico es igual al voltaje aplicado. La carga y la corriente en el circuito en serie RLC satisfacen la ecuación: L

dI 1 + RI + Q=V (t) dt C

Si derivamos ambos de la ecuación tenemos:

''

'

LI +R I +

1 ' I =V (t) C

En conclusión no es necesario tener un conocimiento previo de circuitos eléctricos para resolver modelar este problema, únicamente tomar en cuenta los coeficientes constantes dados por el resistor, el capacitor y la inductancia en un circuito eléctrico. Una batería o un generador descrito por V(t) que es el voltaje que suministra en función de un tiempo.

Sistema Mecánico. Los sistemas mecánicos son esenciales en nuestra vida, ya que cualquier cuerpo físico se comporta como tal. En general los sistemas mecánicos son gobernados las leyes de Newton, pero ya que la aceleración es la tasa Universidad de Cuenca.

de variación de velocidad por unidad de tiempo nos convendría aplicar la segunda ley de Newton que dice:

∑ F=m . a Cuando se trata de sistemas mecánicos de rotación la segunda ley de Newton declara:

∑ τ=ρ . α Que "la suma de torques es igual al momento de inercia multiplicado por la aceleración angular". El movimiento de una masa unida a un resorte es perfecto para analizar las vibraciones que ocurren en sistemas mecánicos. Estos sistemas pueden ser modelados por medio de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes. Suponiendo que tenemos un cuerpo con masa m unido en un extremo con un resorte y al otro extremo un amortiguador que es un dispositivo que proporciona una fuerza completamente opuesta a la dirección a la que se dirige la masa. Teniendo estos componentes.

elementos

podemos

analizar

cada

una

de

sus

La valor de x en la figura muestra la distancia entre el punto de equilibrio y el punto cuando el resorte no se encuentra estirado, este valor es positivo cuando el resorte se encuentra estirado y es negativo cuando esta comprimido. Utilizando la ley de Hooke, tenemos que la fuerza de restauración que el resorte ejerce sobre la masa es proporcional a la distancia x. F=−kx , donde k es la constante del resorte.

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Tenemos también que el amortiguador ya mencionado, proporciona una dx fuerza que es proporcional a la velocidad v = dt , de la masa. F=−cv=−c

dx dt

Entonces por medio de la sumatoria de fuerzas de la segunda ley de Newton tenemos: mx ' ' + cx ' + kx=F (t)

4. Desarrollo: Relación y analogía entre sistemas mecánicos y eléctricos.

Dos sistemas físicamente diferentes, pero que se comportan de manera semejante, y por ende sus modelados matemáticos son semejantes, se dice que son sistemas análogos. Esto implica que una misma ecuación puede describir a más de un sistema. Esta propiedad nos permite ciertas ventajas en el estudio de sistemas físicos, entre las que podemos contar: 1. La solución de la ecuación o ecuaciones, que describe a un sistema se puede aplicar a otros sistemas de áreas distintas, que estén descritos por la misma ecuación o ecuaciones. 2. Esto nos permite manejar el estudio más fácilmente, puesto que hay sistemas más simples para implementar en el laboratorio (como el eléctrico), que otros más complicados y costosos (como puede ser un sistema mecánico o hidráulico).

Para comprender las analogías vamos a ver un caso sencillo de un circuito mecánico con un grado de libertad. No importa en ningún caso la complejidad de los sistemas, solo importa que las ecuaciones que rigen su comportamiento sean iguales. Sea el siguiente sistema mecánico de traslación:

Universidad de Cuenca.

En este sistema M es la masa, R el coeficiente de rozamiento o amortiguamiento, K la constante de elasticidad del muelle, x el desplazamiento lineal y F la fuerza aplicada. La ecuación diferencial que define su comportamiento es:

Sea el siguiente sistema eléctrico pasivo:

En este sistema L es la inductancia de la bobina, R la resistencia, C la capacidad del condensador, i la corriente que circula y V la tensión aplicada. La ecuación integro-diferencial que rige su comportamiento es:

Universidad de Cuenca.

Que puede ponerse en términos de la carga eléctrica q como:

A la vista de las expresiones subrayadas correspondientes a los sistemas, es evidente que las ecuaciones diferenciales para ambos son idénticos, por lo que estos sistemas se denominan sistemas análogos, y las magnitudes que los representan se llaman magnitudes análogas. La analogía que existe entre estos sistemas se denomina “analogía mecánica eléctrica”. Presentamos aquí una tabla que compara las magnitudes de los sistemas y sus mutuas analogías.

Sistema Mecánico Fuerza (F) Desplazamiento (x) Velocidad (dx/dt) Cte. elasticidad (K) Rozamiento (R) Masa (M)

Sistema Eléctrico Tensión (v) Carga (q) Corriente (i) Capacidad (1/C) Resistencia (R) Inductancia (L)

Existe otro tipo de analogía, también muy útil, entre sistemas mecánicos y eléctricos que es la analogía de movilidad o itancia y que es simplemente la dual de la anterior. De hecho, es este tipo de analogía la que se suele emplear (y la que se ha empleado en el análisis que realiza este programa) por la facilidad con que se halla el circuito eléctrico a partir de su mecánico análogo, y porque el circuito eléctrico es fácilmente analizable eléctricamente usando análisis nodal.

Sea el siguiente sistema eléctrico pasivo:

Universidad de Cuenca.

En este sistema L es la inductancia de la bobina, R la resistencia, C la capacidad del condensador, i la corriente que circula y V la tensión aplicada. La ecuación integro-diferencial que rige su comportamiento es:

Que puede ponerse en términos de carga eléctrica como:

Comparando esta última expresión con la primera subrayada del sistema mecánico, vemos que al igual que ocurría con la analogía de impedancia, las ecuaciones diferenciales son iguales. La correspondencia mecánico-eléctrica de la analogía de movilidad se muestra en la siguiente tabla:

Sistema Mecánico Fuerza (F) Desplazamiento (x) Velocidad (dx/dt) Cte. elasticidad (K) Rozamiento (R) Masa (M)

Sistema Eléctrico Corriente (i) Carga (q*Z) Tensión (v) Inductancia (1/L) Resistencia (1/R) Capacidad (C)

La analogía se da al decir que ambos sistemas oscilan y existe una continua conversión de la energía cinética y potencial en ambos sistemas. Por ello es que las ecuaciones diferenciales de los dos modelos son tan similares. Universidad de Cuenca.

En el sistema mecánico, hablando de un resorte en particular, este almacena energía potencial debido al estiramiento que sufre cuando la masa o la fuerza externa provoca el estiramiento o la compresión; pero al contrario cuando hay más energía potencial por este estiramiento y se encuentra completamente estirado, la energía cinética es cero. Cuando el resorte no está estirado y no tienen energía potencial, este tiene una energía cinética. Ya que nos encontramos con un resorte ideal este ciclo duraría por siempre. Pero si tenemos un amortiguador o algún tipo de fricción esa energía en un tiempo será cero y el ciclo se detendrá. En un circuito RLC ocurre exactamente lo mismo, en este caso tenemos una máxima energía potencial almacenada en el campo eléctrico del capacitor cuando este se carga completamente, pero conforme se descarga la energía por corriente aumenta y la energía almacenada disminuye a cero, toda esta energía se almacena en la bobina L en forma de campo magnético, pero cuando llega a su valor máximo otra vez empieza a circular corriente y el capacitor se descarga( peor en sentido contrario) y se repite el ciclo indefinidamente. Las pérdidas de energía provocada por una resistencia evitan esto como en el sistema mecánico el amortiguador o cualquier tipo de fricción. El hecho de que la misma ecuación diferencial sirva como un modelo matemático para sistemas físicos diferentes, es un ejemplo de la trascendencia de la regla de unificación de las matemáticas en la investigación de fenómenos naturales. El desempeño del sistema mecánico puede entonces pronosticarse utilizando un método exacto por simples mediciones en el modelo eléctrico. Esto es especialmente útil cuando el sistema mecánico real es caro para su construcción, o cuando la medición de los desplazamientos y velocidades son difíciles, inexactas o incluso peligrosas.

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5. Ejemplos.  Un sistema mecánico de masa-resorte con una fuerza externa aplicada [f(t)] y con las condiciones iniciales ahí descritas. Nos pide hallar la función de su movimiento: x(t).

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 Un sistema de masa-resorte-amortiguador dadas sus constantes y valor de la masa, hallamos la función de su movimiento según un tiempo (t).

Universidad de Cuenca.

Este ejemplo, aplicando la analogía podría ser resuelto a través de un sistema eléctrico análogo, en la que la masa tendría que ser igual a la inductancia, la constante de amortiguamiento igual al valor de la resistencia o resistor y la constante del resorte (k) igual al valor de la unidad dividido para el condensador o conector (1/c).

 Aquí presentamos un sistema eléctrico con el valor de sus constantes tal y como indica el gráfico. Universidad de Cuenca.

En la ecuación descrita del circuito esta como una función x(t), pero es un simple cambio de nomenclatura, obviamente lo que encontramos al final es un q(t), que sería la carga en función del tiempo, y a la vez vemos como podría ser tranquilamente un sistema mecánico de resorte y resuelto visto desde esa manera.

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Representar el siguiente sistema eléctrico (ya etiquetado) con un sistema mecánico usando la relación fuerza-corriente.

Resolviendo cada nodo:

Reemplazando por su ecuación equivalente en el otro sistema:

Una vez obtenidas las ecuaciones, formaremos el diagrama:

Este ejercicio también se pudo haber resuelto con el método visual que se había comentado. Este consiste en simplemente dibujar los elementos del un sistema encima de su equivalente en el otro sistema como se ve en este esquema:

Universidad de Cuenca.

Representar el siguiente sistema mecánico con un sistema eléctrico RLC usando la relación fuerza-corriente.

Haciendo el cambio al sistema eléctrico correspondiente nos queda:

Para verificar matemáticamente podríamos establecer las ecuaciones correspondientes y reemplazar según la tabla, consiguiendo:

Lo cual si refleja el circuito eléctrico dibujado anteriormente.

Existen varias ventajas de conocer la estrecha relación entre estos dos sistemas, entre ellas podemos considerar que la electricidad al ser más abstracto de comprender se puede relacionar con ejemplos mecánicos mayormente visibles e interpretables para así dar introducciones a teorías eléctricas más complicadas.

Otra de las ventajas mas grandes es que al tener un modelo mecánico grande y complejo de construir, es mejor llevarlo a un sistema eléctrico para realizar las mediciones experimentales en un laboratorio y con el material necesario y ver si se asemejan a los resultados esperados; de ser así ya se puede tomar la decisión de llevar a cabo la obra del sistema mecánico que podría tomar más trabajo y mayor recursos económicos, pero confiando en que este funcionara correctamente.

Es importante identificar y establecer el tipo de analogía a usar ya que a partir de ello podemos enfocarnos en diversos campos de resultados; sin confundirse o llegar a mezclar las afinidades de acuerdo a la referencia tomada, ya sea Fuerza-Voltaje o Fuerza-Corriente.

6. Conclusiones Al finalizar esta investigación hemos dejado en claro varios conceptos de lo que respecta a las ecuaciones diferenciales y su campo de aplicación, más específicamente acerca de los sistemas mecánicos y eléctricos; para empezar nos dimos cuenta de cómo podemos resolver problemas en este campo sin tener conceptos avanzados en ninguno de estos temas y al solo conocer las magnitudes que intervienen en el proceso descrito. La analogía mecánico-eléctrica nos resultó un poco sorpresiva ya que son procesos totalmente diferentes y que al ser descritos en ecuaciones tan similares demuestra lo amplio que es el campo de las ecuaciones diferenciales, la relación que existe entre uno u otro proceso, en este caso por la energía que provocan. Los objetivos fueron totalmente cumplidos y esclarecimos dudas con respecto a estos temas y la relación entre ambos sistemas nos indicó una herramienta más en la que podemos elaborar una simulación en caso de que uno de los procesos sea no factible tan solo con hacer coincidir las magnitudes en su sistema homologo que sea obviamente más factible de elaborar y resolver así el problema que se nos esté presentando.

7. Bibliografía.

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513AF8C4E98AD9E4 http://multimechatronics.com/images/s/mech_n/Electrical_Mechanical _Analogy.pdf