Ecuaciones De La Parábola 1h6hl

Ecuaciones de la parábola[editar]

Parábolas tipo y = ax2, con a = 4, 1,1/4 y 1/10.

Prueba geométrica de la relación y= ax2.

Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas. Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y= ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo». Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio,3 y se bosquejará a continuación usando notación moderna. Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor y). Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C. Por el teorema de potencia de un punto:

. Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así:

. Usando nuevamente los paralelismos:

. Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en

.

Pero el valor de

es una constante pues no depende de la posición de V, por

lo que haciendo

arroja la expresión moderna y = ax2.

Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c.

Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su vértice. La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma (y - v)

= a (x - u)2, agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente: La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma

.

Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos: La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma

.

Ecuación involucrando la distancia focal[editar]

Ecuación de una parábola vertical.

Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice (variando el parámetro a) en la primera ecuación. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe sólo una parábola que los tiene por vértice y foco ya que la directriz queda automáticamente fija como la perpendicular a la línea que une el foco con el vértice y a esa misma distancia del último. Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es (0,p). La directriz es por tanto, la recta horizontal que pasa por (0,-p). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración se tiene: La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es

.

De forma alterna:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es

.

Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la longitud del lado recto de la parábola.

Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se abren «hacia arriba». La ecuación de una parábola que se abre hacia abajo es similar excepto que varía un signo. En este caso, el foco sería (0,-p) y de esta forma: La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,-p) es

.

Cuando la parábola es horizontal «hacia la derecha», se obtiene una ecuación similar intercambiando los roles de x, y: La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (p,0) es

,

obteniendo mediante un cambio de signo la ecuación de las parábolas hacia la izquierda. Finalmente, las ecuaciones cuando el vértice no está en el centro se obtienen mediante una traslación. En el caso común de la parábola vertical hacia arriba se tiene La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h,k + p) es

,

mientras que para la parábola horizontal se intercambia x con y:. La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h + p,k) es

.

Ecuación general de una parábola[editar] Hasta ahora se han descrito solo parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones de x o de y. Pero una parábola puede tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales. La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:

si y solo si

y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos. Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la ecuación anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma ax’2 + bx’ + c = 0, donde a es distinto de cero.

Parábolas no cuadráticas[editar] En matemáticas pueden definirse otras funciones cuyas representaciones gráficas también suelen denominarse parábolas. Sin embargo sus formas no se corresponden con la de la figura geométrica de una parábola.

Parábola cúbica[editar] La parábola cúbica esta definida por la ecuación

Su gráfica es simétrica con respecto al origen de coordenadas. Si a > 0 la gráfica es creciente. El punto (0,0) es punto de inflexión. Es derivable en todo su dominio. 6 .

Parábola semicúbica[editar] La parábola semicúbica queda definidad por la ecuación

y en forma paramétrica por

En el punto de origen en las coordenadas tiene un punto de retroceso. No tiene asíntotas. La curvatura

toma todos los valores desde (0,0) hasta el punto H(x, y) es

hasta 0. La longitud de la curva desde el origen

Parábola Si das una patada a una pelota de fútbol (o disparas una flecha o un misil, o tiras una piedra) seguirá un arco en el aire y caerá de vuelta...

... ¡siguiendo una parábola! (Excepto por el efecto del aire.)

Definición Una parábola es una curva en la que los puntos están ala misma distancia de: 

un punto fijo (el foco), y



una línea fija (la directriz)

En una hoja de papel, dibuja una línea recta, y marca un punto gordo para el foco (¡que no esté en la línea!). Ahora juega un poco midiendo con una regla hasta que encuentres un punto que esté a la misma distancia del foco y de la línea. Repite hasta que tengas muchos puntos, uniéndolos tendrás una parábola.

Nombres Estos son los nombres más importantes: 

la directriz y el foco (están explicados arriba)



el eje de simetría (pasa por el foco, perpendicular a la directriz)



el vértice (donde la parábola hace el giro más fuerte) está a medio camino

entre el foco y la directriz.

Reflector Y la parábola tiene la siguiente propiedad sorprendente:

Un rayo paralelo al eje de simetría se refleja en la superficie directamente hacia el foco. Así las parábolas se pueden usar para: 

antenas (antena parabólica),



radares,



concentrar los rayos solares para calentar un punto,



los espejos dentro de focos y linternas



etc

Y por eso el punto central se llama foco... ¡porque ahí es donde se enfocan todos los rayos!

También sale una parábola cuando seccionas un cono (el corte tiene que ser paralelo al lado del cono). Por tanto, la parábola es una sección cónica (una sección de un cono).

Ecuaciones Si pones la parábola en coordenadas cartesianas (gráfico x-y) con: 

el vértice en el origen "O" y



el eje de simetría en el eje x,

entonces la curva queda definida por la ecuación:

y2 = 4ax Ejemplo: ¿dónde está el foco de la ecuación y2=5x ? Si ponemos y2 = 5x en la forma y2 = 4ax, tenemos que y2 = 4 (5/4) x, así que a = 5/4, y el foco de y2=5x es: F = (a,0) = (5/4,0) Las ecuaciones de las parábolas en las distintas orientaciones son:

y2 = 4ax

y2 = -4ax

x2 = 4ay

x2 = -4ay

Medidas para una antena parabólica Si quieres construir una antena parabólica que tenga el foco 200 mm sobre la superficie, ¿qué medidas necesitas? Para que sea fácil de hacer, digamos que apunte hacia arriba, y así tenemos la ecuación

x2 = 4ay.

Y queremos que "a" sea 200, así que la ecuación queda:

x2 = 4ay = 4 × 200 × y = 800y Lo reescribimos para poder calcular las alturas:

y = x2/800

Definición y elementos de la parábola Dificultad:

Una parábola queda definida por el conjunto de los puntos del plano que equidistan de una recta fija y un punto fijo:

d(P,D)=d(P,F)

Elementos de la parábola

  

Foco: Es el punto fijo F. Directriz: Es la recta fija D. Parámetro: A la distancia entre el foco y la directriz de una parábola se le llama parámetro p.



Eje: La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco recibe el nombre de eje. Es el eje de simetría de la parábola.



Vértice: Es el punto medio entre el foco y la directriz. También se puede ver como el punto de intersección del eje con la parábola.



Radio vector: Es el segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.