En Esta Unidad Didáctica Pretendemos Estudiar El Teorema De Pitágoras 1f1f36

Geometría y Trigonometría

Cetis 115 Mexicano Japonés

En esta Unidad Didáctica pretendemos estudiar el Teorema de Pitágoras. Comenzaremos descubriendo algo acerca de este matemático, para luego familiarizarnos con el Teorema, y finalizaremos con algunas aplicaciones a la resolución de problemas de cálculo de áreas de figuras planas. OBJETIVOS Saber quién fue Pitágoras. Conocer e interpretar el Teorema de Pitágoras. Resolver problemas de cálculo de áreas de figuras planas mediante su aplicación. ¿QUIÉN FUE PITÁGORAS? Pitágoras fue un filósofo y matemático griego que vivió en el periodo 585 – 500 A. C. Hombre místico y aristócrata que fundó la Escuela Pitagórica, una especie de secta cuyo símbolo era el pentágono estrellado, y dedicada al estudio de la filosofía, la matemática y la astronomía. Por muchos años se le ha atribuido a Pitágoras el enunciado y demostración del teorema geométrico que lleva su nombre. Aunque algunos historiadores consideran lo contrario, ha resultado difícil demostrarlo, debido al misterio que rodeaba las enseñanzas de la escuela, así como el carácter verbal de estas y la obligación de atribuir todos los conocimientos al jerarca de la escuela. Existen evidencias de que en otras culturas también se conocía el teorema. Por ejemplo, los hindúes explícitamente enuncian una regla equivalente a este teorema en el documento Sulva – Sutra que data del siglo VII A.C. Por otra parte, los Babilonios aplicaban el teorema 2000 años A. C., pero tampoco se conoce de la existencia de una demostración, ya que la geometría no era para ellos una teoría formal sino un cierto tipo de aritmética aplicada, en la cual las figuras venían representadas en forma de números. A su vez, los egipcios conocían que el triángulo de lados 3,4 y 5 es rectángulo pero no se conoce de la existencia de alguna regla que sustente el conocimiento del teorema. Algunos aseguran que durante sus viajes a Egipto y al oriente antiguo, el sabio griego conoció el enunciado de la regla y se dedicó a demostrarla.

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El enunciado del Teorema de Pitágoras es el siguiente: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. REDUCCIÓN DE UN ÁNGULO AL PRIMER CUADRANTE Introducción Un ángulo puede estar situado en cualquiera de los cuatro cuadrantes de la circunferencia. Los valores de sus correspondientes razones trigonométricas dependen de su posición. Cuando un ángulo se encuentra situado en el segundo, tercero o cuarto cuadrante siempre es posible relacionarlo con otro del primer cuadrante cuyas líneas trigonométricas tengan los mismos valores absolutos. Las relaciones entre las razones trigonométricas de los ángulos situados en los distintos cuadrantes resultaban esenciales cuando no se disponía de calculadoras. Existían tablas con los valores de las razones para ángulos del primer cuadrante. Los demás ángulos no figuraban en la tabla pues no era necesario: bastaba con reducirlo al primer cuadrante. No obstante el tema sigue siendo de interés para aplicar las razones trigonométricas inversas, es decir, para determinar un ángulo conocido una de sus razones trigonométricas. Como sabemos, si buscamos un ángulo a partir de una razón trigonométrica, la calculadora nos proporciona sólo una solución. Nosotros encontraremos el resto de soluciones con los conocimientos adquiridos en esta unidad. Trabajaremos con circunferencias gonio métricas, es decir, de radio 1. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Ángulos suplementarios son los que suman 180º. Si el valor de un ángulo es "A", el valor del suplementario será "180º-A". La relación de las razones trigonométricas de un ángulo con las de su suplementario va a permitir "reducir" ángulos del segundo al primer cuadrante.

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Como puede observarse en la figura, los triángulos OMA y ON(180º-A) son iguales ya que siendo rectángulos tienen igual la hipotenusa (es el radio) y un ángulo agudo: ángulo AOM = ángulo (180º-A)ON En consecuencia sen (180º-A) = segmento (180º-A)N = segmento AM = sen A cos(180º-A) = segmento ON = - segmento OM = - cos A y haciendo el cociente de seno entre coseno: tg (180º-A) = sen (180º-A)/cos(180º-A) = sen A / - cos A = - tg A En conclusión, las relaciones existentes entre las razones trigonométricas de ángulos suplementarios son: sen (180º-A) = + sen A cos(180º-A) = - cos A tg (180º-A) = - tg A RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE SE DIFERENCIAN EN 180º Si el valor de un ángulo es "A", el valor del otro ángulo que se diferencia en 180º será "180º+A". La relación de las razones trigonométricas de un ángulo A con las de 180º+A va a permitir "reducir" ángulos del tercer al primer cuadrante. Como puede observarse en la figura, los triángulos OMA y ON(180º+A) son iguales ya que siendo rectángulos tienen la hipotenusa y un ángulo agudo: ángulo AOM = ángulo (180º-A)ON En consecuencia sen (180º+A) = segmento (180º+A)N = - segmento AM = - sen A cos(180º+A) = segmento ON = - segmento OM = - cos A y haciendo el cociente de seno entre coseno

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tg (180º+A) = sen (180º+A)/cos(180º+A) = - sen A / - cos A = tg A En conclusión, las relaciones existentes entre las razones trigonométricas de ángulos que se diferencian 180º son: sen (180º+A) = - sen A cos(180º+A) = - cos A tg (180º+A) = + tg A RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS Si el valor de un ángulo es "A", el valor de su opuesto es obviamente -A La relación de las razones trigonométricas de un ángulo A con las de su opuesto -A va a permitir "reducir" ángulos del cuarto al primer cuadrante. Como puede observarse en la figura, los triángulos OMA y ON(-A) son iguales ya que siendo rectángulos tienen igual la hipotenusa (OA = O(-A)) y un ángulo agudo: ángulo AOM = ángulo (-A)ON = A En consecuencia sen (-A) = segmento (-A)N = - segmento MA = - sen A cos(-A) = segmento ON = segmento OM = cos A y haciendo el cociente de seno entre coseno tg (-A) = sen (-A)/cos(-A) = - sen A / cos A = - tg A En conclusión, las relaciones existentes entre las razones trigonométricas de ángulos opuestos son: sen (-A) = - sen A cos(-A) = - cos A tg (-A) = + tg A

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