Módulo Revisão - Física I s3d4q

. o em: 26 nov. 2011. (Adaptado.)

Observando a sequência de figuras, com base no texto e supondo que a velocidade angular da roda denπ tada seja rad/s, é possível interpretar que o arco 2 descrito pelo disco interno, de 5 cm de raio, e o intervalo de tempo para descrevê-lo enquanto a roda dentada dá uma volta completa é, respectivamente: Adote: π 5 3,2 (por aproximação) a) 128 cm e 4 s. c) 64 cm e 2 s. e) 2 cm e 1 s. b) 8 cm e 4 s. d) 160 cm e 1s. Enquanto a roda dentada dá uma volta completa, o disco interno terá girado o equivalente a 4 voltas. Assim, como o raio do disco interno é de 5 cm, tem-se: ΔS 5 4 ? 2sr ] ΔS 5 40s cm ] ΔS 5 40 ? 3,2 5 128 cm π rad/s e o 2 deslocamento angular é de 2π rad, tem-se: 2π Δt 5 ] Δt 5 4 s. π 2

Como a velocidade da roda dentada é de

Adote: g 5 10 m/s2 e dll 3  5 1,7 Qual é a menor distância horizontal que deve existir entre a catapulta e a parede onde está a janela? a) 30 m b) 25,5 m c) 12,7 m

d) 45 m e) 51 m

Se o ângulo de inclinação do braço da catapulta é 60°, então o ângulo da velocidade de lançamento será 30°. 2 g 3 t2 y 5 y0 1 v0yt 1 g 3 t ] y 5 v0 3 sen a 3 t 2 2 2 30 10 2 2 3 t ] 10 5 15t 2 5t ] 3t2 10 5 2 2 3!1 3 ! ∙9 2 8 ] t2 2 3t 1 2 5 0 ] t 5 5 2 2 t1 5 1 s e t 2 5 2 s Como se deseja saber a menor distância, será utilizado o tempo de 1 s, que é o tempo, na subida, em que a altura de 10 m é atingida.

∙3 x 5 v0 3 cos a 3 t ] x 5 30 3 2 3 1 Fazendo ∙3 7 1,7, tem-se: x 5 25,5 m.

35

Cinemática vetorial

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

H6

H20 orbitais da Terra e da Lua.

Sistema Terra–Lua Nova

Sol Nova Nova

Sentido de movimento de translação do sistema Terra–Lua

A Terra gira em torno do Sol a uma velocidade aproximada de 30 km/s, enquanto a Lua orbita a Terra a uma velocidade de 1,022 km/s, aproximadamente. Com base nas informações, pode-se concluir que: a) quando a Lua está entre a Terra e o Sol, sua velocidade de translação, em relação ao Sol, pode ser a metade da velocidade da Terra em torno do Sol. b) quando a Terra está entre a Lua e o Sol, a velocidade de translação da Lua em relação ao Sol pode ser nula. c) a Lua gira em torno do Sol com velocidade linear resultante igual à da Terra. d) em nenhum ponto da trajetória da Lua em torno da Terra ela tem velocidade maior que a da Terra em relação ao Sol. e) em metade do percurso em torno da Terra, a Lua tem velocidade resultante maior que a da Terra em torno do Sol e na outra metade, menor.

para cima, mas que garante que o orifício esteja na mira do atirador pelo menos uma vez a cada volta. O formato da bala e a pressão do ar garantem que sua trajetória seja retilínea até uma distância maior do que aquela onde está a placa circular. O atirador tem direito a 30 disparos, que devem ser efetuados em no máximo 1 minuto. Não há necessidade de recarregar a arma e o tempo que a bala leva para ir da arma até o alvo é muito menor que o período do movimento do alvo. O prêmio máximo é obtido por quem conseguir acertar o orifício 5 vezes, lembrando que, ao final de 1 minuto, o disco para de girar, tendo ou não sido efetuados todos os disparos.

Alvo giratório

Um atirador opta por manter fixa a direção de tiro. Ele mantém a mira horizontal enquanto a placa gira. Com base no texto, assinale a afirmativa incorreta.

Definindo a velocidade de translação da Terra em

a) É impossível ganhar o prêmio, pois o tempo de 1 minuto é insuficiente para, na situação em que o atirador optou posicionar a arma, conseguir mirar 5 vezes no alvo. b) O atirador terá uma chance a cada 2 segundos de acertar o alvo. c) Se ele acertar todos os tiros a cada volta, então em 60 segundos terá acertado os 30 tiros. d) Se ele errar os primeiros 10 disparos, fazendo um disparo a cada vez que o alvo estiver na mira, então ainda terá 20 chances em 40 segundos restantes. e) Se ele tiver má pontaria e acertar somente o último tiro, a roda terá girado 30 vezes antes disso.

relação ao Sol como vT e a velocidade da Lua em

Se ela gira s rads/s, isso quer dizer que gira 2s ou uma

relação à Terra como vL, tem-se que a velocidade da

volta a cada 2 segundos. Então, a cada 2 segundos ele

Lua em relação ao Sol será dada pela soma vetorial

tem chance de acertar o orifício, se não errar o tiro e

vT 1 vL 5 v. Analisando a imagem do enunciado, pode-se

mantiver a arma na direção inicial. Em 60 segundos fará

dizer que a metade interna da trajetória da Lua em

30 disparos, podendo acertar todas as balas, o que

torno da Terra, isto é, quando ela está entre a Terra e

não é fácil probabilisticamente.

o Sol, a componente de vL na direção da velocidade

Se ele acertasse todos os tiros, então gastaria toda a

vT tem sentido oposto à vT, o que faz que v tenha o

sua munição – 30 balas –, uma a cada 2 segundos.

módulo menor que vT. Já na parte externa da trajetória,

Se errar os 10 primeiros tiros, ainda tem 20 chances no

quando a Terra está entre a Lua e o Sol, a componente

tempo restante de 40 segundos.

de vL na direção da velocidade vT tem mesmo sentido

E se acertar o último tiro apenas, finda seu tempo logo

que vT, o que faz que v tenha o módulo maior que vT.

após o disparo, e já terá perdido as outras 29 balas.

4 Em uma barraca de tiro ao alvo de um parque de diver-

Se ele dispara aleatoriamente, sem contar o tempo

H18 H20

entre os disparos e sem manter a arma na direção

sões existe um desafio: com uma arma de ar comprimido que dispara balas de borracha, o atirador deve mirar e atirar em um disco que gira e possui um único orifício de formato circular. O objetivo é fazer que as balas em pelo orifício enquanto o disco gira a uma velocidade angular de π rad/s. A arma é presa em uma forquilha de tal modo que o atirador só pode incliná-la para baixo ou

36

inicial, terá menos chance de acertar, pois é mais fácil prever um tiro a cada 2 segundos na direção inicial (fixa) da arma em relação ao orifício.


3 Observe a figura e a informação sobre as velocidades

O que você deve saber sobre

Leis de NewtoN e aLgumas forças especiais Em 1687, Newton publicou Princípios matemáticos da filosofia natural, com as bases teóricas para a descrição dos movimentos dos corpos. As três Leis de Newton possibilitaram a criação dos modelos físicos necessários para explicar muitos dos fenômenos ligados à mecânica do movimento.

© Mauricio de SouSa ProduçõeS Ltda.

A 1a Lei de Newton explica não só o porquê de os cintos de segurança dos carros serem tão úteis no caso de uma freada brusca como também o fato de pessoas em pé dentro de um ônibus parado precisarem se segurar firmemente para não cair quando o veículo arranca. Os corpos tendem a permanecer em repouso ou em movimento retilíneo uniforme (MRU), a não ser que forças externas atuem sobre eles. No caso do cinto de segurança, sabe-se que, por inércia, as pessoas tendem a se manter em movimento apesar de o carro ter freado. A força do cinto é o agente que as impede de colidir com o para-brisa. Para a situação do ônibus, também por inércia, a tendência é que os ageiros mantenham o estado de repouso apesar de o movimento se iniciar. O ônibus acelera e os deixa “para trás”, fazendo que se sintam arremessados em sentido oposto ao do movimento. Isso também explica por que Cebolinha, na tira abaixo (figura 1), consegue puxar a toalha sem que os objetos se mexam.

das forças, mas pela ação de agentes externos, como o atrito. Se fosse possível eliminar qualquer tipo de ação externa, um corpo em movimento tenderia a permanecer em Movimento Retilíneo Uniforme (MRU), mesmo com o fim da ação da força que o levou a se mover. Isso é o que estabelece o princípio da inércia: Todo corpo permanece em seu estado de repouso, ou de movimento uniforme em linha reta, a menos que seja obrigado a mudar de estado por forças nele aplicadas. A

B

Figura 2 • Pelo princípio da inércia, o cavaleiro (A) tende a manter o movimento anterior, apesar da parada brusca do cavalo. Na ausência de atrito entre os pneus e o asfalto, o carro (B) seguiria pela linha pontilhada.

O princípio da inércia assegura aos corpos dois estados naturais: o repouso e o MRU. Qualquer outro estado além desses só será possível se uma força externa agir sobre o objeto. Como consequência, afirma-se que um corpo em repouso ou em MRU está em equilíbrio, sendo nula a resultante de forças sobre ele. Pode-se escrever: Equilíbrio ⇒ F R= = 0

Figura 1

Agora, imagine-se tendo de ajudar a empurrar um carro que enguiçou e que, depois de algum esforço, saiu do repouso. Sabe-se que, por maior que seja a intensidade da força exercida sobre ele, o movimento vai cessar após algum tempo. A tendência é imaginar que sem força não há movimento duradouro, mas não é bem assim. Os movimentos cessam não pelo fim da atuação

38


I. 1a Lei de Newton ou princípio da inércia

Dinâmico → MRU Estático → repouso

Medida da inércia A massa de um corpo é a medida de sua inércia. É possível comprovar isso quando se considera, por exemplo, que um carro pode frear com muito mais facilidade do que um caminhão, ambos à mesma velocidade, já que a massa do carro é menor e este, portanto, apresenta menor tendência a permanecer em seu estado de movimento. A massa é uma grandeza escalar, cuja unidade de medida no Sistema Internacional (SI) é o quilograma (kg).

Tipos de interação A interação que ocorre entre dois ou mais corpos pode ser de contato ou de campo. As interações de contato ocorrem quando uma bola é chutada, uma caixa é empurrada etc. Nesses casos, há troca de forças em decorrência do contato entre os corpos. Já no caso das interações de campo, elas acontecem independentemente da existência do contato entre os corpos, como quando a Terra atrai objetos para sua superfície ou um ímã atrai um pedaço de metal que está próximo.

Figura 3 • O rosto do boxeador atingido imprime uma força de reação na mão de seu oponente, enquanto as luvas diminuem os efeitos do impacto em ambos.

III. 2a- Lei de Newton ou princípio fundamental da mecânica Quando um corpo não se encontra em repouso nem em MRU, ele não está em equilíbrio, ou seja, sua resultante não é nula. O que essa condição representa? Nessa ocasião, o objeto está em movimento acelerado, retardado ou uniforme (não retilíneo). A 2a Lei de Newton afirma que, para que um corpo modifique o módulo, a direção ou o sentido de sua velocidade, faz-se necessária a ação

de um conjunto de forças cuja resultante não seja nula. No caso de um corpo com massa constante, a aceleração a que ele é submetido será tanto maior quanto maior for a força resultante sobre ele. Essa afirmação se traduz na equação: F =R = m ∙ a =R O vetor força resultante FR = tem mesma direção e mesmo sentido da aceleração resultante. Por definição, ite-se que uma força resultante de intensidade 1 N é capaz de imprimir uma aceleração de 1 m/s2 a um corpo de massa 1 kg.

Cinco forças em destaque na mecânica Peso (P=) É a força de atração gravitacional sofrida por um corpo de massa m que esteja próximo da superfície de um corpo de massa planetária M. Essa força tem a direção da linha que une os centros dos corpos, e o sentido aponta para o centro deste. A força peso P =e a aceleração da gravidade g= apresentam mesma direção e mesmo sentido. O módulo da força peso é expresso pela 2a Lei de Newton: P=m ∙ g em que g é o módulo da aceleração da gravidade que atua nos corpos em queda livre. m P

–P

M Figura 4 • A Terra atrai o corpo com a força peso P=, a qual, por sua vez, atrai a Terra com uma força de mesma intensidade e mesma direção, mas de sentido oposto. O efeito da força de ação sobre o corpo de massa m é trazê-lo para a superfície, ou seja, a Terra o puxa e ele cai acelerado. A Terra, por sua vez, também é puxada em direção ao corpo, com a mesma força, ainda que, por causa de sua grande massa, o efeito sobre ela não chegue a ser perceptível.

É muito importante perceber a distinção entre massa e peso. A massa, por ser a medida da inércia do corpo, tem na mecânica clássica um valor constante que independe da atração gravitacional a que o corpo está sujeito. O peso é grandeza que varia de planeta para planeta, de astro para astro. Além disso, varia também com a distância entre o corpo e o centro do astro que o está atraindo. Isso significa que o peso de um objeto na superfície da Terra terá valor diferente daquele obtido quando ele estiver a 10.000 m de altitude.

39

Leis de Newton e algumas forças especiais

Toda ação (força) exercida em um corpo como resultado da interação com outro corpo provoca neste uma força, chamada reação, de mesma intensidade e de mesma direção, mas de sentido oposto. Quando um jogador de futebol chuta a bola, inicialmente em repouso, há uma força que o pé exerce sobre a bola (ação) e outra que a bola exerce sobre o pé (reação) (figura 3). Apesar de as intensidades das forças trocadas serem as mesmas, na bola a deformação é visível, e a força sobre ela faz que entre em movimento, ao o que, no pé do jogador, a força de reação não produz efeito perceptível. Por que isso se dá dessa maneira? Porque forças iguais aplicadas em corpos diferentes podem produzir efeitos diferentes. O efeito da ação sobre a bola é colocá-la em movimento e provocar uma deformação perceptível. Sobre o pé, a mesma força não causa mais do que uma pequena pressão nos dedos. Vale ressaltar que, como a ação está aplicada na bola e a reação, no pé do jogador, essas forças, ou seja, o par ação e reação, jamais se anulam.

Lucy NichoLSoN/reuterS/LatiNStock


II. 3a- Lei de Newton ou princípio de ação e reação

Unidades de medida do peso: N (Newton); gf (grama-força); kgf (quilograma-força). Um corpo de massa 1 kg, na Terra, em um local no qual a aceleração da gravidade é 9,8 m/s2, tem peso 1 kgf ou 1.000 gf.

essa propriedade, denominada elasticidade, são associadas forças elásticas. Hooke concluiu que o módulo da força elástica (Fel) é diretamente proporcional à deformação provocada na mola até o chamado limite elástico, além do qual a mola perde a elasticidade. I

II

III

IV

Reação normal do apoio (N=) Quando um corpo se encontra apoiado em uma superfície, exerce força sobre ela; esta, por sua vez, reage com uma força de mesma intensidade e sentido contrário. No esquema da figura 6, o corpo empurra o apoio devido à ação da força peso (P=). O apoio reage, empurrando igualmente o corpo (N=). Embora esse par de forças pareça ser de ação e reação, a reação à força peso está localizada no centro da Terra. A força que o corpo aplica no apoio é representada pela força (–N=), que age na mesa.

x 2x F

2F

Figura 7 • Esquema de molas em equilíbrio (I e III) e deformadas (II e IV).

A lei que relaciona a força elástica à deformação por ela provocada é chamada Lei de Hooke:

N

A constante de proporcionalidade k, denominada constante elástica da mola, representa uma característica da mola, medida em N/m, e mede sua resistência à deformação. Um valor alto de constante elástica, em N/m, indica que é necessária uma grande força para produzir um metro de deformação; em outras palavras: quanto maior a constante elástica, mais a mola resiste a se deformar.

–N

–P

Figura 5 • Diagrama de forças de um corpo apoiado sobre uma superfície.

Tensão ou tração em fios (T =)

É a força que surge quando dois ou mais corpos estão ligados por um fio ou cabo que intermedeia a interação entre os corpos. Se o fio for considerado inextensível e de massa desprezível, sua presença não influencia o movimento, e ele a a ser apenas um transmissor de forças.

Forças de atrito (Fat= )

Quando uma caixa apoiada no solo é empurrada horizontalmente com uma força F =, imediatamente se percebe a ação de uma força de resistência, contrária ao sentido do movimento, denominada força de atrito. A

N

P

T

B

B

N

T

A

Figura 6

Força elástica (Fel= )

A força elástica está associada à compressão/distensão de uma mola. O cientista inglês Robert Hooke estudou o comportamento de corpos que, após sofrerem pequenas deformações temporárias, voltam à sua forma natural. A

40

F Fat

P

Figura 8 • A força de atrito só pode ser notada quando um corpo apoiado sobre um piso é empurrado horizontalmente. Na figura A, o corpo está em repouso e, portanto, P = N e não há força de atrito. Na figura B, a força de atrito F =at opõe-se ao movimento provocado pela força F =.


Fel = k ∙ x

P

Ao empurrar a caixa, a força feita pode não ser suficiente para movimentá-la. Nesse caso, as duas forças estão em equilíbrio, e a de atrito é denominada força de atrito estático (Fate). Se houver aumento da força usada para empurrar a caixa, e o corpo ainda assim não entrar em movimento, será possível perceber que a força de atrito estático também aumentou de intensidade, de modo a manter o corpo em repouso.

Fate = μe ∙ N

Fatd = μd ∙ N

μe > μd

F

at

Valor máximo da força de atrito estático F ate

Início do movimento F

45°

Fat Aproximadamente constante d

F


Figura 9 • Enquanto o corpo não se move, o módulo da força de atrito estático é igual ao da força que tenta colocar o corpo em movimento.

Se a força aplicada na caixa continuar a aumentar, haverá um instante em que ela estará na iminência de se mover. Qualquer acréscimo de força, por menor que seja, bastará para que ela se movimente. Nesse momento, a força de atrito estático atingirá seu valor máximo, sendo denominada força de atrito estático máxima, cujo módulo é dado pela seguinte expressão:

Figura 11 • Gráfico da força de atrito em função da força aplicada.

Exemplo Um homem tenta empurrar um caixote de massa 50 kg horizontalmente para a direita. O atrito entre o piso e o caixote tem coeficientes de atrito estático e dinâmico, respectivamente iguais a 0,4 e 0,3.

Fate = μe ∙ N em que μe é o coeficiente de atrito estático (adimensional). Seu valor depende dos tipos de superfície que estão em contato. Quando tais superfícies são madeira e asfalto, por exemplo, o μe é 0,5 para a borracha e 0,7 para o asfalto. Quando o corpo entra em movimento, a força de atrito continua atuando sobre ele em sentido contrário ao do movimento, mas com valor constante e menor que o da força de atrito estático máxima, independentemente da velocidade do corpo. A partir de então, a força de atrito é denominada força de atrito cinético ou dinâmico (Fatc). Seu módulo, ainda diretamente proporcional ao módulo da força normal, é dado por:

Figura 12

Para determinar a força F =que o homem precisa fazer para tirar o caixote do repouso, devem-se representar todas as forças que atuam sobre o objeto. N

Fat

Fatc = μc ∙ N em que μc é o coeficiente de atrito cinético. Note que μ c < μ e. A força de atrito tem direção sempre contrária ao movimento relativo das superfícies de contato. Dependendo da natureza dessas superfícies, para vencer a inércia de repouso (atrito estático), é necessária uma força mais intensa que a usada para manter o corpo executando o Movimento Retilíneo Uniforme (atrito dinâmico).

g

F P

Figura 13

Note que a força de atrito F =at, no caso do caixote em repouso, é a força de atrito estático, e seu valor será máximo quando o caixote estiver na iminência de se mover. Pode-se calcular seu valor pela expressão: F =ate = μe ∙ N

F =at

F =

Figura 10 • Detalhe da região de contato da caixa com o chão, mostrando as irregularidades das superfícies.

Como N = P, vem: F =ate = 0,4 ∙ 500 ⇒ F =ate = 200 N, valor que representa a intensidade de força que o homem deve aplicar no caixote para que este fique na iminência de se mover. Ao retirar o caixote do repouso, o homem precisará exercer menos força para manter o objeto em movimento, pois a força de atrito cinético será menor do que a força de atrito estático, uma vez que: F =atc = μc ∙ N ⇒ ⇒ F =atc = 0,3 ∙ 500 = 150 N.

41


Fate

ESTUDANDO Leis de Newton e algumas forças especiais

para o VestiBuLar 1 (Ufes) Um carro freia bruscamente e o ageiro bate

com a cabeça no vidro do para-brisa. Três pessoas dão as seguintes explicações sobre o fato:

1a O carro foi freado, mas o ageiro continuou em movimento. 2a O banco do carro impulsionou a pessoa para a frente no instante da freada. 3a O ageiro só foi jogado para a frente porque a velocidade era alta e o carro freou bruscamente. Podemos concordar com: a) a 1a e a 2a pessoas. b) apenas a 1a pessoa. c) a 1a e a 3a pessoas.

3 (UFPR) O cabo de um reboque arrebenta se nele for

aplicada uma força que exceda 1.800 N. Suponha que o cabo seja usado para rebocar um carro de 900 kg ao longo de uma rua plana e retilínea. Nesse caso, que aceleração máxima o cabo aria? a) 0,5 m/s2 b) 1,0 m/s2

c) 2,0 m/s2 d) 4,0 m/s2

e) 9,0 m/s2

Considere a figura: Tmáxima = 1.800 N Cabo

d) apenas a 2a pessoa. e) as três pessoas.

Em relação a um referencial fixo fora do carro,

tem-se: FR 5 Tmáx ] m 3 amáx 5 Tmáx } 900amáx 5 1.800

observa-se, antes da frenagem, que o carro e o

} amáx 5 2,0 m/s2

ageiro apresentam a mesma velocidade. Portanto, pelo princípio da inércia, tanto o carro quanto o ageiro tendem a permanecer nesse estado de

4 (Uece) Ao cair de uma altura próxima à superfície da

Terra, uma maçã de massa igual a 100 g causa no planeta uma aceleração aproximadamente igual a: c) 10 m/s2. d) 1 N.

movimento. Assim, no momento da frenagem do

a) zero. b) 1 m/s2.

carro, o ageiro continua em movimento. Logo,

Pelo princípio de ação e reação – 3a lei –, se a Terra

pode-se concordar apenas com a explicação da 1a pessoa.

atrai a maçã com a força peso, a maçã também atrai a Terra com a mesma força em módulo e mesma direção,

2 (Vunesp) A caixa C está em equilíbrio sobre a mesa. Nela atuam as forças peso e normal.

mas em sentidos opostos. Portanto, a Terra é acelerada em direção ao corpo, mas como a massa da Terra é

C

muito maior que a do corpo, sua aceleração será praticamente nula durante a queda do corpo – 2a lei.

5 (UEA-AM) Uma criança empurra uma caixa de 2 kg soConsiderando a lei de ação e reação, pode-se afirmar que: a) a normal é a reação do peso. b) o peso é a reação da normal. c) a reação ao peso está na mesa, enquanto a reação normal está na Terra. d) a reação ao peso está na Terra, enquanto a reação à normal está na mesa. N e) n.d.a. Caixa Veja o contexto da figura 5 na teoria.

P –N –P Centro da Terra

42

bre um piso horizontal, sem atrito. Ela exerce uma força constante, de intensidade igual a 30 N, para baixo, como mostra a figura, fazendo um ângulo de 30º com a horizontal, e comprime o bloco contra o piso. Nessa situação, a força normal que o piso exerce sobre o bloco terá módulo, em N, igual a: Dado: g = 10 m/s2 a) b) c) d) e)

15. 20. 25. 30. 35.

θ ∙ 30° F

Como não há movimento na direção vertical, pode-se escrever: N = Pcaixa + F ∙ sen 30 = 2 ∙ 10 + 30 ∙ 0,5 = 35 N


Aplicando a 2a Lei de Newton ao movimento do corpo,

6 (UPE) Uma pedra de 2,0 kg está deslizando a 5 m/s da

esquerda para a direita sobre uma superfície horizontal sem atrito, quando é repentinamente atingida por um objeto que exerce uma grande força horizontal sobre ela, na mesma direção e sentido da velocidade, por um curto intervalo de tempo. O gráfico abaixo representa o módulo dessa força em função do tempo.

Desprezando-se o atrito, qual o módulo da força resultante sobre o bloco B? a) 1,0 N b) 1,4 N

c) 1,8 N d) 2,2 N

e) 2,6 N

Considerando os blocos A, B e C como um único corpo, o módulo da força resultante sobre ele (F) é dado pela 2a Lei de Newton:

F (kN)

F 5 (mA 1 mB 1 mC) 3 a

Logo, a força resultante sobre o corpo B será: 16

15

0

t (ms)

Imediatamente após a força cessar, o módulo da velocidade da pedra vale, em m/s:


a) 4.

b) 5.

c) 7.

d) 9.

e) 3.

9 (UFC-CE) No sistema da figura,

Da 2a lei tem-se: F = m ∙ a ⇒ a =

4.000 = 2.000 m/s2 2

1 Assim: v = v0 + a ∙ t = 5 + 2.000 ∙ 1.000 = 7 m/s

7 (Uesc-BA) Uma esfera de massa igual a 2,0 kg, inicialmente em repouso sobre o solo, é puxada verticalmente para cima por uma força constante de módulo igual a 30,0 N, durante 2,0 s. Desprezando-se a resistência do ar e considerando-se o módulo da aceleração da gravidade local igual a 10 m/s2, a intensidade da velocidade da esfera, no final de 2,0 s, é igual, em m/s, a: a) 10,0.

FR 5 mB 3 a 5 2 3 0,7 } FR 5 1,4 N.

b) 8,0.

c) 6,0.

d) 5,0.

e) 4,0.

F – P = m ∙ a ⇒ 30 – 2 ∙ 10 = 2 ∙ a ⇒ a = 5 m/s2 Assim, da equação da velocidade para esse movimento tem-se: v = v0 + a ∙ t = 0 + 5 ∙ 2 = 10 m/s2

os fios 1 e 2 têm massas desprezíveis, e o fio 1 está preso ao teto. Os blocos têm massas M = 20 kg e m 5 10 kg. O sistema está em equilíbrio. T1 , entre as trações A razão, ___ T2 dos fios 1 e 2, é: 1 a) 3. d) __ . 2 1 b) 2. e) __ . 3

Teto

Fio 1

M

Fio 2

m

c) 1. Observe que as trações nas extremidades do fio 2 são iguais em módulo, já que os fios são ideais. Dado que o sistema está em equilíbrio, tem-se: • Para o corpo de massa M: T1 5 T2 1 PM ] T1 5 T2 1 Mg (1) • Para o corpo de massa m:

8 (UFPE) A figura abaixo mostra três blocos de massa mA 5 1,0 kg, mB 5 2,0 kg e mC 5 3,0 kg. Os blocos se movem em conjunto, sob a ação de uma força F & constante e horizontal, de módulo 4,2 N. C B

A

T2 5 Pm ] T2 5 mg

(2)

Substituindo (2) em (1) e considerando g 5 10 m/s2: T1 5 mg 1 Mg 5 10 3 10 1 20 3 10 } T1 5 300 N Substituindo T1 5 300 N na expressão (1), obtém-se: T1 5 T2 1 Mg ] 300 5 T2 1 20 3 10 } T2 5 100 N T1 Logo: __ 5 3. T2

F

43


Isto é: 4,2 5 (1 1 2 1 3) 3 a } a 5 0,7 m/s2

4

leração constante para cima com relação ao solo. Esse elevador sobe 2,0 m no primeiro segundo. Um morador que se encontra no elevador está segurando um pacote de 3 kg por meio de uma corda vertical. Considerando a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2, a tensão, em Newton, na corda é: a) 0.

b) 12.

c) 42.

d) 88.

A equação horária desse movimento será: 2∙2 a ∙ t2 ⇒a= = 4 m/s2 s = s0 + v0 ∙ t + 12 2 Para o equilíbrio tem-se: T – P = m ∙ a ⇒ T = 3 ∙ 10 + 3 ∙ 4 = 42 N

11 (ITA-SP) Na figura temos um bloco de massa igual a

10 kg sobre uma mesa que apresenta coeficientes de atrito estático de 0,3 e cinético de 0,25. N

O coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície é μc = 0,3, e a velocidade inicial do bloco é de 1 m/s. Pode-se afirmar que: I. a força resultante que atua no bloco é de 16 N. II. a intensidade da força de atrito é de 12 N. III. a aceleração do bloco é de 2 m/s2. IV. após percorrer 12 m, a velocidade do bloco é de 7 m/s. V. após percorrer 12 m, sendo retirada a força de 20 N, o bloco percorrerá 10 m, até parar. fat = μc ∙ N = 0,3 ∙ 4 ∙ 10 = 12 N 20 –12 = 2 m/s2 4 A força resultante será dada por: FR = F + fat = 20 – 12 = 8 N

Da 2a Lei, tem-se: F – fat = m ∙ a ⇒ =

Da equação de Torricelli: v2 = v20 + 2 ∙ a ∙ ∆s = 1 + 2 ∙ ∙ 2 ∙ 12 = 49 ⇒ v = 7 m/s –12 = –3 m/s2 4 49 Assim: v2 = v20 + 2 ∙ a ∙ ∆s = ∆s = 2 ∙ 3 ≃ 8,16 m.

Da 2a Lei: fat = m ∙ a ⇒ a =

F

A

13 (PUC-SP) A mola da figura tem constante elástica de mg

20 N/m e encontra-se deformada em 20 cm sob a ação do corpo A, cujo peso é 5 N.

Aplica-se ao bloco uma força F de 20 N. Utilize a lei fundamental da dinâmica (2a Lei de Newton) para assinalar abaixo o valor da força de atrito (A) no sistema indicado (g = 9,8 m/s2). a) 20 N b) 24,5 N c) 29,4 N

d) 6,0 N e) nenhuma das respostas anteriores A

Para que o bloco se mova, a força F = 20 N deve ser superior à força de atrito estático máximo Amáx est , que pode ser calculada como segue: máx Amáx est = μest ∙ N = μest ∙ mg = 0,3 ∙ 10 ∙ 9,8 ∴ A est = 29,4 N

Nesse caso: F  Amáx est ; portanto, o corpo ainda está em repouso e deve-se ter A = F = 20 N.

Nessa situação, a balança graduada em newtons marca: a) 1 N. b) 2 N.

c) 3 N. d) 4 N.

e) 5 N.

Tem-se a seguinte marcação de forças sobre o corpo A: pelo princípio de ação e reação, conclui-se que a reação à força normal sobre o corpo está no prato da

12 (UPE) De acordo com a figura a seguir, uma força de intensidade 20 N é aplicada sobre um bloco de massa 4 kg. Dado: g = 10 m/s2 V0 = 1 m/s

Fel

N

balança. Portanto, determinar a indicação

A P

da balança significa determinar a intensidade da força normal. Supondo que o corpo esteja em equilíbrio sobre a balança, tem-se:

F = 20 N

N + Fel = P ⇒ N = P – kx ⇒ N = 5 – 20 ∙ 0,2 ∴ ∴N=1N

44


10 (Uece) Um elevador parte do repouso com uma ace-

mentar-se, tem esta ação dificultada pela força de atrito. Sobre essa força, assinale a alternativa correta.

a) A força de atrito é proporcional à ação normal que a superfície exerce sobre o corpo. b) A força de atrito depende das áreas em contato. c) A força de atrito é anulada após o corpo entrar em movimento. d) A força de atrito atuante num corpo é igual ao produto de seu peso pelo valor do coeficiente de atrito entre as superfícies em contato, independentemente do ângulo de inclinação das superfícies em contato. e) A força de atrito é sempre constante para um corpo que desliza sobre uma superfície, independentemente de ele estar em movimento ou em repouso.

de movimento, é correto afirmar que a resultante das forças de contato que a caixa recebe da superfície tem módulo igual a: a) b) c) d) e)

mg. μmg. (1 + μ)mg. mg(1 + μ2)1/2. (mg)–1(1– μ2)1/2.

Da 1a lei: F – fat = 0 ⇒ F = μ ∙ m ∙ g Somando vetorialmente a força de atrito e a normal (as forças de contato), tem-se: FR2 = f 2at + N2 = (μ ∙ m ∙ g)2 + (m ∙ g)2 = m ∙ g ∙1 + μ2

A força de atrito é proporcional à normal que a superfície exerce sobre o corpo fat = μ ∙ N, sendo

dinâmico) do que quando o corpo está parado (atrito

17 (UFMG) Em agosto de 2009, em Berlim, Usain Bolt, atleta

jamaicano, bateu o recorde da corrida de 100 m rasos, com o tempo de 9,58 s. Neste gráfico está representada, de maneira aproximada, a velocidade desenvolvida naquela corrida, por esse atleta, em função do tempo:

estático).

15 (Uece) Uma massa A de 4 kg puxa horizontalmente uma

massa B de 5 kg por meio de uma mola levemente esticada, conforme ilustrado na figura abaixo. Desconsidere qualquer tipo de atrito. Em um dado instante, a massa B tem uma aceleração de 1,6 m/s2. Nesse instante, a força resultante na massa A e sua aceleração são, respectivamente:

a) 6,4 N e 1,3 m/s2. b) 8,0 N e 2,0 m/s2.

c) 0,0 N e 1,6 m/s2. d) 8,0 N e 1,6 m/s2.

A 4 kg

15 12 v (m/s)


menor quando o corpo está em movimento (atrito

9,0 6,0

B 5 kg

3,0 0,0 0,0

No corpo B, tem-se: Fel = mB ∙ aB = 5 ∙ 1,6 = 8 N No corpo A: F – Fel = mA ∙ aA ⇒ aA =

F – Fel ⇒ aA = mA

FR 4

2,5

5,0 t (s)

7,5

10

Suponha que o calçado usado por Bolt tivesse solado liso. Considerando essas informações, determine o menor valor do coeficiente de atrito estático entre o calçado e o solo para que o atleta não derrape.

Sendo a força resultante:

Sabendo que a inclinação da reta do gráfico representa

FR = F – Fel = F – mB ∙ aB = f – 8

a aceleração, quanto mais inclinada, maior a aceleração.

Testando a equação que vincula a aceleração à força resultante em cada uma das alternativas, conclui-se

Assim, conclui-se que a aceleração máxima será: ∆v 11 – 0 = = 2,2 m/s2 a= ∆t 5

que o único par que a satisfaz é o da letra b.

A força de atrito será a resultante das forças que

16 (Uesc-BA) Considere uma força de intensidade cons-

tante sendo aplicada a uma caixa de massa m que se encontra sobre uma superfície plana e horizontal. Sabendo-se que a direção da força é paralela à superfície, o coeficiente de atrito estático entre a caixa e a superfície é igual a μ, o módulo da aceleração da gravidade local é igual a g e que a caixa está na iminência

atuam sobre o corredor enquanto ele acelera – desconsiderando a resistência do ar. Conclui-se que, para que o corredor não derrape: (fat)mín = m ∙ amáx = (μe)mín ∙ N = (μe)mín ∙ m ∙ g ⇒ a m∙a = = 2,2 = 0,22 ⇒ (μe)mín = g m∙g 10

45


14 (UEPG-PR) Todo corpo em repouso, que tende a movi-

18 (UnB-DF) Um astronauta, em sua viagem a um planeta

1 cuja gravidade é __ da gravidade terrestre, foi encarregado 4 de realizar experiências relativas a atrito. Repetindo no planeta uma experiência realizada na Terra, de medir o coeficiente de atrito entre dois materiais, ele encontrou que o coeficiente de atrito medido no planeta era:

a) b) c) d)

20 (UEL-PR) No sistema representado a seguir, o corpo A, de massa 3,0 kg, está em movimento uniforme. A massa do corpo B é de 10 kg. Adote g 5 10,0 m/s2. B

menor do que o medido na Terra. maior do que o medido na Terra. igual ao medido na Terra. n.d.a.

A

O coeficiente de atrito não depende de fatores externos, mas sim da natureza das superfícies em

O coeficiente de atrito dinâmico entre o corpo B e o plano sobre o qual ele se apoia vale:

contato. Portanto, ele é o mesmo em ambos os

a) 0,15. b) 0,30.

planetas.

c) 0,50. d) 0,60.

e) 0,70.

Como o sistema está em movimento uniforme, para o

19 (UFMG) Nesta figura, está representado um bloco de

2,0 kg sendo pressionado contra a parede por uma força F &. O coeficiente de atrito estático entre esses corpos vale 0,5, e o cinético vale 0,3. Considere g 5 10 m/s2.

T = PA = mA 3 g = 3 3 10 } T = 30 N E, para o corpo B: 30 = T = Fat = jcin 3 N = jcin 3 mBg = jcin 3 10 3 10 } } jcin = 0,30

F

21 (UFBA) A figura apresenta um bloco A, de peso igual a

A força mínima F que pode ser aplicada ao bloco para que ele não deslize na parede é: a) 10 N. b) 20 N.

c) 30 N. d) 40 N.

e) 50 N.

10 N, sobre um plano de inclinação θ em relação à superfície horizontal. A mola ideal se encontra deformada em 20 cm e é ligada ao bloco A por meio do fio ideal que a pela roldana sem atrito. Sendo 0,2 o coeficiente de atrito estático entre o bloco A e o plano, sen J 5 0,60, cos J 5 0,80, desprezando-se a resistência do ar e considerando-se que o bloco A está na iminência da descida, determine a constante elástica da mola, em N/m.

Sobre o bloco atuam as seguintes forças: Fat N

A

F J

P

Dado que o corpo está em repouso e na iminência de Para que o bloco não deslize, deve-se ter N = F. Assim:

escorregar, tem-se:

Fat = P ⇒ μest ∙ N = mg ⇒ μest ∙ F = mg ⇒ mg 2 ∙ 10 _____ ⇒ F = ____ jest = 0,5 ∴ F = 40 N

Fel + Fat = Px ⇒ kx + μest ∙ N = P ∙ sen θ Mas: N = Py = P ∙ cos θ = 10 ∙ 0,8 ∴ N = 8 N Logo:

6 2 1,6 k ∙ 0,2 + 0,2 ∙ 8 = 10 ∙ 0,6 ⇒ k = _______ ∴ 0,2 ∴ k = 22 N/m

46


corpo A tem-se:

22 (Ufal) Dois blocos idênticos, A e B, de massa 2 kg cada,

dimensões desprezíveis e feitos do mesmo material, movem-se juntos e em linha reta, com aceleração de 1 m/s2 sobre uma superfície horizontal com atrito (ver figura). Em um dos blocos está aplicada uma força constante e horizontal de módulo F = 14 N.

uma superfície horizontal, em virtude da aplicação de uma força F & paralela à superfície. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a sua superfície é igual a 0,2. m = 2,0 kg

F = 60,0 N

B

F

g

(dado: g 5 10,0 m/s2) A aceleração do objeto é: a) 20,0 m/s2. c) 30,0 m/s2. 2 d) 32,0 m/s2. b) 28,0 m/s .

e) 36,0 m/s2.

Aplicando a 2a Lei de Newton ao movimento do corpo, Nessa situação, os módulos da força que um bloco exerce sobre o outro e da força de atrito cinético valem, respectivamente:


a) 7 N e 5 N. b) 5 N e 14 N. c) 7 N e 14 N.

d) 5 N e 20 N. e) 7 N e 20 N.

Aplicando a 2a Lei de Newton a cada um dos blocos, chega-se ao sistema:

tem-se: F 2 Fat 5 m 3 a ] F 2 jcin 3 N 5 m 3 a Como N 5 P 5 mg, ou seja, N 5 20 N, tem-se: 60 2 0,2 3 20 5 2 3 a } a 5 28 m/s2

25 (Unemat-MT, adaptada) Na figura dada, o bloco A está em

repouso sob a ação da força horizontal F1 de módulo igual a 12 N, e da força de atrito entre o bloco e a superfície. A

14 2 fAB 2 fat 5 2 3 1 x fAB 2 fat 5 2 3 1 14 2 2fat 5 4

]

F2 F1

fat 5 5 N

Retornando à segunda equação, obtém-se fAB = 7 N.

23 (Mackenzie-SP) Em uma experiência de física, aban-

donam-se, do alto de uma torre, duas esferas, A e B, de mesmo raio e massas mA 5 2mB. Durante a queda, além da atração gravitacional da Terra, as esferas ficam sujeitas à ação da força de resistência do ar, cujo módulo é F 5 k 3 v2, em que v é a velocidade de cada uma delas e k, uma constante de igual valor para ambas. Após certo tempo, as esferas adquirem velocidades constantes, resvA pectivamente iguais a vA e vB, cuja relação ___ é: vB dll a) 2. c) dll e) ___2 .  2 .  2 b) dll d) 1. 3 . 

Caso uma outra força, F2 = 3 N, horizontal e contrária ao sentido de F1, seja aplicada no bloco, então a força resultante será: a) 15 N.

b) 12 N.

c) 3 N.

d) 9 N.

e) Nula.

Do enunciado pode-se concluir que a força de atrito estático é maior que 12 N. Assim: fat – 12  0 ⇒ fat  12 N. F1 – F2 = 9 N é menor do que a força necessária para superar a força de atrito estático e colocar o corpo em movimento; então, ele permanece parado. Como o atrito é uma força iva, conforme a resultante das forças ativas aplicadas ao corpo

As velocidades das esferas tornam-se constantes

aumenta, empurrando-o horizontalmente – suas

quando o módulo da força de resistência do ar em cada

rugosidades contra as rugosidades do piso –, este, pelo

esfera torna-se igual ao módulo da força peso. Nessas m Ag ____ condições, tem-se: FA 5 PA ] kvA2 5 mAg } vA2 5 k Dado que mA 5 2 mB, tem-se: 2m lllll B3g 2mBg _______ ,   • vA2 5 k } vA 5 _____ conforme orientação. k m lllll B3g _____ conforme • FB 5 PB ] kvB2 5 mBg ] vB 5 k ,  k 2m g v B 5 dll ∙ 2  . orientação. Assim: A 5 m Bg vB k

d

∙

d

princípio da ação e reação, empurra o corpo de volta com a mesma intensidade, mesma direção e sentido oposto. Assim, até que a força de atrito estático – dada por fate = μe ∙ N – seja superada, a resultante no corpo continua nula e o corpo permanece parado. A partir desse valor, a resultante deixa de ser nula e o corpo entra em movimento.

47


A

24 (Ufes) O bloco da figura a seguir está em movimento em

ESTUDANDO Leis de Newton e algumas forças especiais

para o eNem 1 Os cintos de segurança dos automóveis são usados para

3 O encarregado de logística de uma empresa perce-

H18 H20

H18 H19

I. A inércia está relacionada ao estado de equilíbrio de um corpo. II. A massa de um corpo é a medida de sua inércia. III. A tendência de um corpo continuar em seu estado de movimento é o princípio da inércia. São verdadeiras: a) todas. b) apenas I e II. c) apenas II e III.

beu que em seu almoxarifado havia uma irregularidade: caixas cujo empilhamento máximo indicado na embalagem era de 5 unidades estavam em pilhas de 10 unidades. Saber o empilhamento máximo é necessário porque, se uma caixa tiver sobre ela mais unidades do que o permitido, será danificada. Cada caixa tem massa de 10 kg. Considerando a aceleração da gravidade 10 m/s2, a carga (força) máxima ada por cada caixa e o número de caixas danificadas em cada pilha de 10 são, respectivamente:

d) apenas I e III. e) apenas uma delas.

I – Verdadeira: no estado de inércia, tem-se FR = 0 sobre o corpo e, portanto, sua aceleração é nula. Assim, ou o corpo se encontra em repouso (equilíbrio estático) ou em movimento retilíneo e uniforme a) 400 N e 5 caixas. b) 50 N e 4 caixas. c) 40 N e 5 caixas.

(equilíbrio cinético). II – Verdadeira. III – Verdadeira.

2 No futebol de campo, quando a bola sai pela linha de H20

d) 400 N e 4 caixas. e) 50 N e 5 caixas.

fundo tocada por último por um atacante, ela é reposta no jogo pelo tiro de meta. Ao cobrar um desses tiros de meta, um goleiro optou por dar um chute forte e para o alto. Enquanto vai em direção a um atacante, a bola sofre a ação de uma força resultante. Analise as afirmações:

Se o empilhamento máximo é de cinco caixas, a última

I. A força resultante sobre a bola é a soma vetorial da força peso com a resistência do ar. II. A força resultante sobre a bola é a soma vetorial da força peso com a velocidade da bola em cada instante. III. A força resultante sobre a bola é a soma vetorial da força peso com a força de reação da bola ao chute do goleiro. São verdadeiras:

com um peso de 400 N.

a) todas. b) apenas I e II. c) apenas II e III.

d) apenas I e III. e) apenas uma delas.

I – Verdadeira: se não desprezarmos a resistência do ar, apenas ela e o peso atuam na bola durante o voo. Assim, a resultante é a soma de ambas. II – Falsa: não se soma força com velocidade. III – Falsa: a reação da bola no pé ficou no pé, e não na bola.

48

é capaz de ar apenas a carga das outras quatro sobre si. Se cada caixa tem 10 kg, 4 caixas têm 40 kg,

Na pilha com 10 caixas, serão danificadas as que tiverem mais de 4 caixas sobre si, ou seja, as 5 mais abaixo.

4 Ao completar a instalação elétrica de uma casa, o eleH18 H19

tricista se vê diante de um problema prático: ele deverá usar uma mola para fixar um lustre de 2 kg a 2 m de distância do teto. Sem dados técnicos sobre a mola, o eletricista prendeu o lustre em uma ponta da mola e segurou a outra ponta perto do teto, medindo seu tamanho já com o lustre pendurado, ou seja, mediu o tamanho da mola deformada pelo peso do lustre. Para seu alívio, percebeu que não precisaria cortar parte da mola, pois obteve o comprimento necessário apenas com o peso do lustre. Curioso, soltou a mola do lustre e a mediu em seu tamanho natural. Obteve 1,8 m de comprimento. Supondo a aceleração da gravidade no local igual a 10 m/s2, a constante elástica da mola usada é:


proteger os ocupantes, em caso de acidentes. Alguns modelos de carros dispõem também de air-bags, bolsas plásticas que inflam rapidamente em caso de choque frontal. Esses dispositivos de segurança dos automóveis são tentativas de minimizar os efeitos causados pela inércia, descrita por Newton em sua primeira Lei. Das afirmações a seguir:

a) 10 N/m. b) 20 N/m. c) 100 N/m.

d) 200 N/m. e) 1.000 N/m.

6 O maquinista de uma composição, formada pela má-

Sem a massa, seu tamanho natural é 1,8 m.

quina e por dois vagões de carga, tinha uma decisão a tomar: colocar a carga de 1.000 kg no vagão 1 ou no vagão 2. Cada um dos vagões tem massa 500 kg e a máquina os tracionava com uma força de 2.000 N. Para tomar a decisão, o maquinista precisaria saber se, em cada caso, há diferenças na aceleração (a) e na tração (T ) entre os vagões.

Portanto, a deformação x = 0,2 m.

A

O tamanho da mola com a massa de 2 kg (P = 20 N) vale 2 m.

H19 H20

vagão 1 1.000 kg

No equilíbrio, a força elástica deve equilibrar somente

a

vagão 2

tração

F 2000 N

Fel = P k∙x=m∙g (2 ∙ 10) k= 0,2


k = 100 N/m

5 Em uma caravela, bem no meio do convés de 30 m de H3 H20

comprimento, ficava o mastro mais alto, com 20 m de altura. E nele, lá em cima, permanecia um marujo observando os arredores da caravela. Certa vez, com a embarcação a constantes 36 km/h, esse marujo deixou cair de lá uma moeda de ouro. Preocupado em perder sua moeda, ele observou angustiado a queda de seu precioso objeto. Sabendo que o vento não influenciou o movimento da moeda, ou seja, considerando que a moeda caiu em uma queda livre, o angustiado marujo observou, após aproximadamente 2,5 segundos, a moeda cair:

a) no convés, à frente alguns metros do ponto do piso determinado pela reta vertical que liga o local do início da queda da moeda ao piso do convés. b) no convés, alguns metros atrás do ponto do piso determinado pela reta vertical que liga o local do início da queda da moeda ao piso do convés. c) a moeda caiu fora da caravela, à frente do mastro em que estava o marujo. d) a moeda caiu ao pé do mastro, exatamente no ponto determinado pela vertical que liga o local do início da queda da moeda ao piso do convés. e) a moeda caiu fora da caravela, para trás do mastro em que estava o marujo.

B

vagão 1

a tração

vagão 2 1.000 kg

F 2000 N

Analisando a situação, conclui-se que: a) b) c) d) e)

as acelerações são iguais e as trações também. as acelerações são iguais e as trações, diferentes. as acelerações são diferentes e as trações também. as acelerações são diferentes e as trações, iguais. não há dados suficientes para saber.

Caso A – carga no vagão 1: Usando a 2a Lei de Newton no vagão 1: FR = m1 ∙ a T = (500 + 1.000) ∙ a ⇒ T = 1.500 ∙ a (I) Usando a 2a Lei de Newton no vagão 2: FR = m2 ∙ a F – T = 500 ∙ a ⇒ 2.000 – T = 500 ∙ a (II) Resolvendo o sistema das equações I e II, obtém-se a aceleração a = 1 m/s2. Substituindo a aceleração em uma das equações, obtém-se a tração T = 1.500 N. Caso B – carga no vagão 2: Usando a 2a Lei de Newton no vagão 1:

Com velocidade constante, a caravela, o marujo e sua

FR = m1 ∙ a ⇒ T = 500 ∙ a (I)

moeda seguem um sistema com referencial inercial,

Usando a 2a Lei de Newton no vagão 2:

em que a lei da inércia afirma que um objeto tende a

FR = m2 ∙ a

continuar seu movimento, desde que nenhuma força

F – T = (500 + 1.000) ∙ a ⇒ 2.000 – T = 1.500 ∙ a (II)

interfira.

Resolvendo o sistema das equações I e II, obtém-se a

A moeda tende a acompanhar o mastro, apesar de

aceleração a = 1 m/s2.

ganhar MUV na vertical devido à queda livre.

Substituindo a aceleração em uma das equações,

Então, a moeda cai ao pé do mastro.

obtém-se a tração T = 500 N. Conclusão: a aceleração é a mesma, mas a tração muda.

49


o peso: Fel = P. Então:


aPliCaÇÕes Das leis De NeWtON e GravitaÇÃO uNiversal As três Leis de Newton explicam situações envolvendo escalas compatíveis com a métrica humana. O grande triunfo da teoria newtoniana é o estabelecimento da Lei da Gravitação Universal, que forneceu às Leis de Kepler uma justificativa fisicamente plausível.

Quando não havia elevadores, guindastes ou tratores, já se construíam grandes edifícios, como as pirâmides do Egito ou o Coliseu romano. Pedras enormes eram elevadas até pontos bem acima do chão, em um movimento contrário à ação da gravidade. Algumas maneiras de os povos antigos enfrentarem a gravidade, as denominadas “máquinas simples” – como o plano inclinado e a polia –, são ainda adotadas pelos construtores modernos.

a força peso segundo duas direções, paralela ao plano inclinado e perpendicular a ele, percebe-se que a componente horizontal P x= é a responsável por produzir o movimento de descida do corpo ao longo do plano, ao o que a componente normal P y= é responsável por manter o corpo apoiado (figura 2). N

v

Px J Py P J

Figura 2 • Esquema de forças atuantes em um bloco apoiado no plano inclinado.

Na figura 2, se for considerado o triângulo retângulo que tem hipotenusa P = e catetos P x= e P y= , será possível escrever: Px 5 P 3 sen J

e

Py 5 P 3 cos J

Se o plano inclinado apresentar atrito, deverá ser considerado na direção paralela à superfície e sempre contrário ao movimento. É importante ressaltar que, em um plano inclinado, N ∙ P.

N Fat v

Px

Figura 1 • Nas grandiosas construções do Egito antigo já se utilizavam as máquinas simples. Py

Plano inclinado Em um plano inclinado perfeitamente liso, há apenas duas forças agindo sobre os corpos apoiados: o peso do corpo (P )= e a reação normal do apoio (N=). Ao decompor

50

a

Figura 3 • A força de atrito tem sempre sentido contrário ao do movimento relativo entre as duas superfícies.


I. Máquinas simples

As polias ou roldanas são máquinas simples usadas para elevar um corpo que tem grande massa. Para isso, inverte-se o sentido de aplicação da força, ou seja, em vez de exercer força vertical para cima, aplica-se uma força vertical para baixo. Note que a intensidade da força necessária para elevar o corpo não muda se a polia estiver fixa no teto. No entanto, quando as polias são associadas de tal maneira que algumas delas permaneçam móveis, é possível diminuir a intensidade da força. Na maior parte das situações, as polias são consideradas ideais, ou seja, não resistem à agem dos fios.

P8

P8

P4


P8

o equilíbrio dinâmico, visto que a gota continuará caindo não mais em movimento acelerado, mas sim em movimento retilíneo uniforme. A velocidade máxima que um corpo sob a ação do ar atinge é chamada velocidade limite. Uma gota de chuva em queda livre, desprendendo de uma nuvem situada a 1.500 m de altitude, chegaria ao solo com velocidade aproximada de 600 km/h. Graças ao ar, ela chega com pouco mais de 7 km/h.

P4 P2

P2

P =

Figura 4

II. Resistência do ar A força de resistência do ar, assim como a de atrito de escorregamento, é uma força contrária ao movimento. Ela é o resultado do choque entre as moléculas do ar e a superfície do corpo em movimento. Quanto maior a velocidade do corpo, mais intensa será a interação entre o ar e a superfície do objeto e, portanto, maior será a resistência que o ar oferecerá ao movimento. Além disso, dependendo do formato do corpo e da área (A) voltada para o movimento, a resistência do ar pode ser maior ou menor. O formato aerodinâmico considerado perfeito é o de uma gota. Nesse caso, o coeficiente aerodinâmico (cx) da gota é muito baixo. Outro fator que influencia a resistência é a densidade (d) do ar do local onde está ocorrendo o movimento: maior densidade, maior resistência. Sendo assim, calcula-se a intensidade da força de resistência do ar (Rar) por meio da expressão: 1 Rar 5 cx ∙ d ∙ A ∙ v2 2 Uma gota de chuva ou um floco de neve sofrem a ação da resistência do ar assim que iniciam seu movimento de queda acelerado. É por isso que se consegue tomar chuva sem se machucar. Ao cair, a gota vai aumentando sua velocidade e, com isso, a intensidade da resistência do ar também aumenta. Como a massa da gota é pequena, após alguns instantes a intensidade da força de resistência do ar a a ser igual à da força peso da gota. A partir desse momento, a velocidade da gota não aumenta mais porque a resultante de forças a a ser nula, garantindo

Figura 5 • No salto, o paraquedista é acelerado durante um certo intervalo de tempo até atingir uma velocidade entre 150 e 200 km/h, dependendo do peso e da área de seu corpo, quando, então, o paraquedas se abre e o conjunto sofre uma força contrária ao movimento, que o faz desacelerar até uma velocidade constante bem menor, da ordem de 5 km/h, permitindo uma aterrissagem tranquila.

v Velocidade limite sem paraquedas

Velocidade limite com paraquedas Abertura do paraquedas

t

Figura 6 • Gráfico da variação da velocidade de um paraquedista, incluindo os momentos anteriores e posteriores à abertura do objeto.

III. Resultante centrípeta Qualquer movimento de trajetória curva apresenta uma resultante de forças não nula, denominada resultante centrípeta. Ela garante que o corpo se mantenha na curva, apesar de, por inércia, tender a seguir uma trajetória retilínea. O módulo da resultante centrípeta, R = é dado por: R 5 m ∙ a

⇒

R = m ∙

v2 R

51

Aplicações das Leis de Newton e gravitação universal

Polias ou roldanas

Quadriga images/Look/Latinstock

IV. Leis de Kepler Johannes Kepler (1571-1630), após ar anos observando os movimentos dos planetas, postulou três leis para descrevê-los: • Primeira lei (Lei das órbitas): as órbitas dos planetas ao redor do Sol são elipses, com o Sol ocupando um dos focos.

F1 F2

Sol

Figura 7 • As pessoas que estão no chapéu mexicano se mantêm nele apesar de o vetor velocidade ter direção tangente à trajetória. Planeta

v

Figura 9 • Esquema da órbita dos planetas segundo Kepler.

O

• Segunda lei (Lei das áreas): a linha imaginária que une o planeta ao Sol (chamada raio vetor) varre áreas proporcionais aos tempos gastos no percurso da órbita.

R

t A1

v

Figura 8 • O vetor velocidade tem direção perpendicular ao raio da circunferência.

A direção do vetor R c= p é sempre radial, e o sentido aponta para o centro da trajetória circular.

A1= A2

t A2 Sol S

Planeta

Vale a pena revisar alguns conceitos associados ao movimento circular. São eles: Período (T): tempo para uma repetição do fenômeno. No SI, é medido em segundos (s). Frequência (f ): número de repetições por unidade de tempo. No SI, é medida em hertz (Hz). Relação entre T e f: são inversamente proporcionais, 1 1 T = ou f = . f T Velocidade angular (𝛚): indica a rapidez com que o ∆α móvel se desloca angularmente [ω = ]. No SI, é ∆t medida em rad/s. Para uma volta completa, o ângulo “varrido” é 2π, e o tempo é o período, ou seja, T. 2π Então, tem-se: ω = . T Velocidade linear (v): indica a rapidez com a qual o ∆s móvel percorre um arco de circunferência [v = ]. ∆t No SI, é medida em m/s. Em uma volta completa, o móvel percorre o comprimento do círculo, ou seja, 2πR 2πR em um período T. Logo, tem-se: v = . T Relação entre v e 𝛚: comparando as duas expressões 2πR 2π [v = eω= ], tem-se v = ω ∙ R. T T

52

Figura 10 • Se as áreas A1 e A2 são iguais, o tempo gasto para percorrer os dois trechos também é o mesmo.

A A1 = 2 = constante ∆t2 ∆t1

A1 = A2 ⇒ ∆t1 = ∆t2 = t

• Terceira lei (Lei dos períodos): o quadrado do período de revolução de um planeta ao redor do Sol é proporcional ao cubo do raio médio da respectiva órbita. T 21 T2 = 32 = k r 31 r2 Na época de Kepler, não se conhecia uma justificativa física para k, mas ele conjecturou que seu valor dependia da massa do Sol. A terceira lei de Kepler estabelece que, quanto mais distante o planeta estiver do Sol, mais tempo ele gastará para dar uma volta ao redor dele.

V. Gravitação universal Isaac Newton percebeu que quaisquer pares de corpos no universo atraem-se com uma força proporcional às suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. Isso quer dizer que há uma força de atração, por exemplo, entre a geladeira e o fogão em uma cozinha, ou entre


v

Força gravitacional (atração)

F

F

m M


Figura 11 • A força de atração entre a Terra e o Sol é a principal componente que mantém o planeta na órbita dessa estrela. Note que as forças de atração gravitacional sempre constituem um par ação-reação.

G∙M∙m r2

2 em que G ≃ 6,67 ∙ 10–11 N ∙ m 2 kg

Tendo como base essa expressão, combinada com suas três leis da dinâmica, Newton pôde demonstrar as Leis de Kepler e determinar o valor da constante k da lei dos períodos. Conforme imaginado por Kepler, para o Sistema Solar, ela dependia (apenas) da massa do Sol: k=

4π2 G ∙ MSol

Campo gravitacional Por ter massa, qualquer corpo é capaz de modificar o espaço ao redor de si, gerando um campo gravitacional. Os limites do campo gravitacional são indefinidos e ele tem natureza atrativa. Ao colocar uma massa m na região do campo gravitacional gerado por M, agirá sobre m uma força de atração de módulo P = m ∙ g. A grandeza física que representa o campo gravitacional em um ponto do espaço é o vetor aceleração da gravidade g.= G∙M∙m Assim, tem-se: P = F ⇒ m ∙ g = , consider2 rando r a distância entre os centros de gravidade dos corpos. Então, tem-se: • Na superfície do planeta de massa M e raio R: g=

G∙M R2

• Em um ponto com altura h em relação à superfície: g=

Para que um corpo execute uma órbita ao redor de outro é necessário que tenha uma velocidade suficiente para executar a trajetória circular, ainda que seja atraído em direção ao centro do corpo ao redor do qual está em movimento. Corpos em órbita são chamados satélites. A força de atração gravitacional sobre os satélites é de natureza centrípeta. Sendo assim, para um corpo de massa m, em uma órbita de raio R, pode-se calcular qual deve ser a velocidade orbital, supondo ser M a massa central, ao redor da qual ele está em movimento. R = F ⇒

r

F=

Corpos em órbita

G∙M (R + h)2

Nota-se que o valor de g não depende da massa m, e sim da massa M, ou seja, da massa do corpo que gerou o campo gravitacional que se quer determinar.

m ∙ v2 M∙m R = G ∙ R2 ⇒ v =

∙

G ∙M R

Nota-se que a velocidade não depende da massa do corpo que está em órbita, mas da distância até o centro do gerador do campo e da massa deste. Assim, cada órbita terá uma velocidade característica. Inúmeros satélites com períodos iguais orbitam à mesma distância da Terra e em velocidade idêntica. Lembrando que a velocidade linear em um movimento 2πR circular pode ser calculada por v = , obtém-se a T expressão para o cálculo do período orbital: T∙

∙

4π2 ∙ R3 G∙M

Satélites cujo período orbital é de 24 horas parecem estar “parados” em relação a um observador na Terra e, por isso, são chamados geoestacionários ou geossincrônicos. Esses satélites executam órbitas equatoriais. Satélites usados para telecomunicações são geoestacionários. Polar

Equatorial

Figura 12 • Órbita polar e órbita equatorial. (Imagem fora de proporção. Cores empregadas para fins didáticos.)

Em órbita, todos os corpos ficam sujeitos à mesma aceleração centrípeta. Isso significa que os satélites estão em constante queda livre em direção ao corpo central. É por isso que, nas imagens de astronautas em órbita ao redor da Terra, eles são vistos flutuando no interior da nave espacial. Os ocupantes da nave têm a mesma sensação que teriam se estivessem no interior de um elevador ou de um avião em queda livre. É por isso que eles se sentem flutuando. Chama-se imponderabilidade o estado no qual não se consegue medir o peso dos objetos por eles não serem sustentados por nada, ainda que continuem a ser atraídos gravitacionalmente.

53


o ageiro e o ônibus. Então, por que não se sente essa força, ou por que a geladeira e o fogão não se movem um ao encontro do outro como um ímã e um prego? Isso não ocorre porque as intensidades das forças de atração gravitacional entre dois corpos de massas pequenas são insignificantes. No entanto, quando se trata da força entre um corpo de massa elevada, como a Terra, e outra menor, como o fogão, percebe-se que a força é suficiente para deixar o fogão bem firme no chão.

ESTUDANDO Aplicações das Leis de Newton e gravitação universal

Para o vestibular 1 (UFPel-RS) Um caixote sobe um plano rugoso de inclina-

ção 30° em relação à horizontal, puxado por uma força F aplicada por uma corda. Sendo Px a componente da força peso tangente ao plano e Fc a força de atrito cinético entre o corpo e a superfície e sabendo que ele sobe o plano com movimento uniforme (conforme a figura), analise as afirmativas abaixo.

c) o sistema se deslocará com uma aceleração de 6,0 m/s2. d) o sistema se deslocará com uma aceleração de 9,8 m/s2. e) o sistema se deslocará com uma aceleração de 10 m/s2. Antes de discutir as questões, devem-se marcar as forças que agem sobre cada um dos blocos de massas M1 e M2 e suas componentes: T N T

M1

I. O módulo de F é igual à soma de Px 1 Fc. II. O módulo de F é igual à soma de P 3 sen 30° 1 jc 3 P. III. O módulo de F é igual a Px. IV. O módulo de F é igual a P 3 sen 30° 1 jc 3 P 3 cos 30°. Estão corretas as afirmativas: a) I e IV. c) II e IV. e) II e III. b) I e II. d) III e IV. No plano inclinado, Px 5 P 3 sen 30° e Fc 5 jc 3 N 5 5 jc 3 P 3 cos 30°. Como o bloco sobe em MU, a resultante das forças na direção paralela à rampa deve ser nula. Logo, F 5 Px 1 Fc, o que torna corretas as afirmativas I e IV.

2 (FMIt-MG) Temos na figura um plano inclinado que faz

um ângulo J com a horizontal e sobre o qual se encontra uma massa M1. Suspensa por uma corda de massa desprezível, ligando-a à massa M1, está a massa M2.

Px

P1

M2

J

P2

Dessa forma, para que o corpo de massa M2 desça em movimento acelerado, deve-se ter: P2 . Px ] M2 g . P1 3 sen J ] ] M2 g . M1 g 3 sen J ] M2 . M1 sen J. Por outro lado, para que o corpo de massa M1 desça em movimento acelerado, deve-se ter P2 , Px. Finalmente, a condição para que o sistema permaneça em equilíbrio é que P2 5 Px. Portanto, as respostas da questão I são, respectivamente: M2 . M1 sen J; M1 sen J . M2; e M2 5 M1 sen J.

M

Pelas condições em II, verifica-se que M1 sen J . M2, pois:

1

M1sen J 5 40 3 0,5 5 20 . 10. Logo, o corpo M1 desce o M

plano inclinado em movimento acelerado. Orientando a 2

J

Desprezando os eventuais atritos, responder às questões que se seguem. I. A condição para que o corpo de massa M2 desça em movimento acelerado é que . A condição para que o corpo M1 desça em movimento acelerado é que . Se , o sistema permanece em equilíbrio. II. Na questão anterior, se M1 é igual a 40 kg, M2 5 10 kg e J é igual a 30°, podemos afirmar que: a) o corpo de massa M1 descerá o plano com aceleração de 2,5 m/s2. b) o corpo de massa M1 descerá o plano com uma aceleração de 2,0 m/s2.

54

trajetória no sentido anti-horário, tem-se: • para o corpo de massa M1: Px . T ] P x 2 T 5 M 1 3 a

(1)

• para o corpo de massa M2: P2 . T ] T 2 P 2 5 M2 3 a

(2)

Somando (1) e (2) membro a membro, tem-se: Px 2 P2 5 M1 a 1 M2 a ] M1 g sen 30° 2 M2 g 5 5 a(M1 1 M2) ] g(M1 sen 30° 2 M2) 5 a(M1 1 M2) ] ]10(40 3 0,5 2 10) 5 a(40 1 10) ] } a 5 2 m/s2


30°

(IFG-GO) O bloco A está na iminência de movimento de descida, quando equilibrado pelo bloco B, como mostra a figura. Os fios e as polias são ideais e o coeficiente de atrito estático entre o bloco A e a superfície de apoio é 0,2.

5 (Uneal) Um aluno que precisava de 1,0 (um) ponto para ser aprovado na disciplina de Física dirigiu-se ao seu professor para pedir uma oportunidade de obter este ponto. O professor, que sempre dava oportunidades aos seus alunos para expressar seus conhecimentos, esboçou o seguinte exercício: um móvel é lançado ao longo de um plano inclinado para cima, adquirindo após 2,4 s a velocidade de 8 m/s e após 4 s de movimento o móvel para. Se for necessário, use g = 10 m/s2. Nessas condições, determine a velocidade com que o móvel foi lançado e a inclinação (em graus) do plano inclinado. ados 15 (quinze) minutos, o aluno entrega o exercício resolvido ao professor que, após analisá-lo, lhe dá a notícia que conseguiu o ponto necessário para a sua aprovação. Os valores encontrados pelo aluno, para a velocidade de lançamento do móvel e o ângulo de inclinação do plano inclinado são, respectivamente:

Considerando a massa do bloco A igual a 50 kg, cos q = 0,6, sen q = 0,8 e g = 10 m/s2, podemos afirmar que a massa do bloco B, em kg, é:

A B

a) 10 m/s e 45°. b) 20 m/s e 30°. c) 25 m/s e 45°.

θ

a) 18.

b) 32.

c) 68.

d) 100.

e) 82.

PT = P ∙ sen θ

Da equação da velocidade para o movimento desse –8 móvel tem-se: v = v0 + a ∙ t ⇒ a = = –5 m/s2 1,6

PN = P ∙ cos θ

Assim: v = v0 + a ∙ t ⇒ v0 = 8 + 5 ∙ 2,4 = 20,0 m/s

Assim, da primeira lei aplicada à polia tem-se: mB ∙ g PB = 2 ∙ T ⇒ T = 2

A inclinação do plano será dada por: a 5 sen θ = g = 10 = 0,5 ⇔ θ = 30°

Sabe-se que: Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

d) 30 m/s e 60°. e) 40 m/s e 30°.

Agora, da primeira lei aplicada ao corpo A tem-se: m ∙g Pt = fat + T = μ ∙ mA ∙ g ∙ cos θ + B = mA ∙ g ∙ sen θ ⇒ 2 2 (50 ∙ 10 ∙ 0,8 – 0,2 ∙ 50 ∙ 10 ∙ 0,6) = 68 N ⇒ mB = 10

6

(Uece) Duas massas diferentes estão penduradas por uma polia sem atrito dentro de um elevador, permanecendo equilibradas uma em relação à outra, conforme mostrado na figura a seguir.

4 (UEA-AM) Uma caixa de 60 kg sobe por uma rampa in-

clinada em 26° com a horizontal, sendo puxada por uma corda paralela à rampa, conforme a figura. Considere a corda inextensível e de massa desprezível. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e o solo é igual a 0,1. Para que a caixa se desloque com velocidade constante, a tensão na corda deverá ser, em N:

m1

m2

Podemos afirmar corretamente que nessa situação o elevador está: a) b) c) d)

26°

descendo com velocidade constante. subindo aceleradamente. subindo com velocidade constante. descendo aceleradamente.

Dados: g = 10 m/s2; cos(26) = 0,9; sen(26) = 0,44.

Como as massas dos corpos são diferentes, se o

a) 264.

e) 382.

elevador estivesse com velocidade constante, os corpos

Pela primeira lei tem-se: T = fat + Ptan = μc ∙ m ∙ g ∙ cos θ +

não poderiam ficar equilibrados. A única forma de isso

+ m ∙ g ∙ sen θ = 0,1 ∙ 60 ∙ 10 ∙ 0,9 + 60 ∙ 10 ∙ 0,44 =

acontecer é se os corpos – e o elevador – estiverem em

= 54 + 264 = 318 N

queda livre. Assim, o movimento será de descida

b) 300.

c) 318.

d) 346.

acelerada – pela gravidade.

55


3

7 (Fuvest-SP) O sistema indicado na figura a seguir, onde as polias são ideais, permanece em repouso graças à força de atrito entre o corpo de 10 kg e a superfície de apoio.

(08) No instante de parada da roldana, a velocidade da massa de 200 g é de 9,8 m/s. (16) Após a parada da roldana, a massa de 400 g desce com aceleração igual a 4,9 m/s2.

10 kg

Soma: 02 + 08 ∙ 10 Chamando as massas de 200 g e 400 g, respectivamente, de A e B, tem-se:

4 kg

6 kg

PB – T = 0 ⇒ T = 3,92 N T – PA = mB ∙ a ⇒ 3,92 – 1,96 = 0,2 ∙ a ⇒ a = 9,8 m/s2

Podemos afirmar que o valor da força de atrito é: c) 100 N. d) 60 N.

e) 40 N.

Como a roldana tem a metade da aceleração de A, além de se poder afirmar que os deslocamentos

Sejam, respectivamente, T1 e T2 as forças de tração no

serão diferentes, pode-se dizer que:

fio que une os corpos de massas 4 kg e 6 kg ao corpo

aA = 2 ∙ aroldana ⇒ vA = 2 ∙ vroldana ⇒ vA = 9,8 m/s

de massa 10 kg. Considerando que o sistema tende a

Após a parada da roldana tem-se:

se movimentar no sentido horário (a inércia favorece o

PB – T = a B ∙ mB

corpo de massa 6 kg), a força de atrito (Fat) sobre o bloco de 10 kg tem sentido da direita para a esquerda. Nessas condições, dado que o sistema permanece em repouso,


a) 20 N. b) 10 N.

T – PA = a ∙ mA Assim: PB – PA = a ∙ (mA + mB) ⇒ PB – PA 1,96 ≅ 3,27. m/s2 ⇒a= = 0,6 (mA + mB)

tem-se: (1)

Para os corpos de massas 4 e 6 kg, pode-se escrever, respectivamente:

8

T1 5 P1 5 4 3 10 } T1 5 40 N

(2)

T2 5 P 5 6 3 10 } T2 5 60 N

(3)

9 (PUC-RJ) Considere que, numa montanha-russa de um

parque de diversões, os carrinhos do brinquedo, de massa total m, em pelo ponto mais alto do loop, de tal forma que a intensidade da reação normal nesse instante seja nula. Adotando como r o raio do loop e g a aceleração da gravidade local, podemos afirmar que a velocidade e a aceleração centrípeta sobre os carrinhos na situação considerada valem, respectivamente:

Substituindo (2) e (3) em (1), resulta:

a) ∙mrg e mr.

Fat 5 60 2 40 } Fat 5 20 N

b) ∙rg e mg.

(UEM-PR) Uma roldana contém uma corda longa e de massa desprezível. Nas extremidades da corda, estão presas massas de 200 g e 400 g. A roldana move-se para cima, de modo que a massa de 400 g permanece estacionária e a corda fica tensa. Quando a velocidade de subida da roldana é de 4,9 m/s, a roldana é freada abruptamente.

c)

Desprezando a massa da roldana e considerando a aceleração da gravidade igual a 9,8 m/s2, assinale o que for correto. (01) No instante de parada da roldana, a tensão na corda é de 1,96 N. (02) Antes da parada da roldana, a aceleração da massa de 200 g é de 9,8 m/s2. (04) Se, em um instante de tempo t, a roldana subiu 30 cm, então a massa de 200 g também subiu 30 cm.

56

∙

r mr g e g

d) ∙rg e nula. e) ∙rg e g.

Pela segunda lei tem-se que: F = P + N ⇒ P = m ∙ a = v2 =m∙ = m ∙ g ⇒ v = ∙r ∙ g r Como: P = m ∙ a = m ∙ g ⇒ a = g

PauL Brennan/dreamstime.com

Fat 1 T1 5 T2 ] Fat 5 T2 2 T1

v0 5 0 a 2.420 m de altura.

a) Considerando a queda livre, ou seja, desprezando o atrito com o ar, calcule quanto tempo duraria a queda. b) Devido ao atrito com o ar, após percorrer 200 m em 7,0 s, o objeto atinge a velocidade terminal constante de 60 m/s. Neste caso, quanto tempo dura a queda? a) Em queda livre, a única força que atua sobre o objeto durante todo seu movimento é a força peso; portanto: a 5 g. Observe a figura: v0 = 0; s0 = 0; t0 = 0 (0,1)

Origem

11 (Uepa) Num lugar onde g 5 9,8 m/s2, um aluno gira com

a mão um balde cheio de água, num plano vertical, em trajetória circular de raio 5 m. Qual a velocidade mínima que o conjunto deve ter no ponto mais alto da trajetória para que a água não caia do balde?

a) 5 m/s. b) 7 m/s.

c) 8 m/s. d) 9 m/s.

e) 10 m/s.

Observe que a normal corresponde à reação da força que a água

Água

aplica sobre o fundo do balde quando

N P

Balde

ele se encontra nessa posição. Para obter a velocidade mínima que o conjunto

P

(balde 1 água) deve ter para que a água não caia,


deve-se considerar que a água no interior do balde esteja s = 2.420 m

na iminência de cair, ou seja, que N 5 0.

Solo (+)

Substituindo os dados na equação horária do

circular, a resultante centrípeta sobre a água v 2mín corresponde ao seu peso: F 5 P ] m ∙ ____ 5mg ] R

movimento, tem-se: 10t2 2.420 5 0 1 0t 1 ____ } t 5 22 s 2

Rg  5 dlllll } vmín 5 7 m/s ] v 2mín 5 Rg ] vmín 5 dlll 5 3 9,8 

b) Nesse caso, tem-se a figura: v0 = 0; s0 = 0; t0 = 0

Origem

F t = 7 s; s = 200m

Nessas condições, como o movimento do conjunto é

Movimento variado

12 (Uema) Uma pequena esfera de massa m 5 0,6 kg oscila

num plano vertical e a pelo ponto mais baixo com velocidade v 5 2 m/s. Determine a intensidade da força de tração no fio nesta posição. O fio tem comprimento 0,3 m e adote g 5 10 m/s2.

P Movimento uniforme (v = 60 m/s) Solo

s = 2.420 m (+)

0,3 m

Segundo o enunciado, o tempo de queda durante o T

movimento variado é de 7 s. Portanto, falta acrescentar a esse valor o tempo de queda durante o movimento uniforme. O início do movimento uniforme ocorre em s0 5 200 m. Assim, da relação s 5 s0 1 vt, tem-se: 2.420 5 200 1 60t ] t 5 37 s Logo, o tempo total de queda será: ttotal 5 7 1 37 } ttotal 5 44 s

P

Como o movimento é curvilíneo, a esfera está submetida a uma resultante centrípeta. Para que haja resultante centrípeta sobre a esfera, deve-se ter T . P. Logo: 2 mv ____ F 5 T 2 P ] R 5 T 2 mg em que R é o raio da trajetória, que corresponde, nesse caso, ao comprimento do fio. Substituindo os devidos valores na expressão acima, 0,6 3 22 ______ obtém-se: 0,3 5 T 2 0,6 3 10 ] T 5 14 N.

57


10 (Unicamp-SP, adaptada) Um objeto é abandonado com

do com seu sucesso no espetáculo, pede a um professor de física para calcular a velocidade mínima que terá que imprimir à sua moto para não cair no momento de ar pelo teto do globo. Considerando o raio do globo igual a 250 cm e a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2, qual deverá ser a velocidade mínima? a) 2,5 m/s c) 50,0 m/s e) 10,0 m/s b) 25,0 m/s d) 5,0 m/s m 3 v2mín Na situação-limite, tem-se F 5 P; então: _______ 5 R 5 m 3 g ] v2mín 5 R 3 g ] v2mín 5 2,5 3 10 ] vmín 5 5 m/s

14 (UFJF-MG) A figura abaixo mostra um ciclista efetuando

uma curva de raio R = 100 m. Na figura, são mostrados dois casos diferentes. No caso (I), o ciclista faz a curva, a uma velocidade v, numa superfície horizontal com coeficiente de atrito μ entre a superfície e o pneu da bicicleta. No caso (II), o ciclista faz a curva numa superfície inclinada de ângulo θ, supondo nula a força de atrito entre a superfície e o pneu da bicicleta.

15 (UFRGS-RS) Um planeta descreve trajetória elíptica em

torno de uma estrela que ocupa um dos focos da elipse, conforme indica a figura abaixo. Os pontos A e C estão situados sobre o eixo maior da elipse, e os pontos B e D, sobre o eixo menor. B

Planeta C

A

Estrela

D

Se tAB e tBC forem os intervalos de tempo para o planeta percorrer os respectivos arcos de elipse, e se FA e FB forem, respectivamente, as forças resultantes sobre o planeta nos pontos A e B, pode-se afirmar que: a) b) c) d) e)

tAB , tBC e que FA e FB apontam para o centro da estrela. tAB , tBC e que FA e FB apontam para o centro da elipse. tAB 5 tBC e que FA e FB apontam para o centro da estrela. tAB 5 tBC e que FA e FB apontam para o centro da elipse. tAB . tBC e que FA e FB apontam para o centro da estrela.

É necessário basear-se na segunda Lei de Kepler para

R = 100 m (I)

determinar a relação entre tAB e tBC, e na Lei da gravitação universal para determinar os sentidos de FA e FB. Consideradas essas condições, observe a figura: B

(II)

R = 100 m

C

N → Força normal fa → Força de atrito

a)

A

área BC . área AB. Portanto, pela segunda Lei de Kepler, deve-se ter tBC . tAB, uma vez que a velocidade de translação do planeta diminui à medida que ele se afasta AB 7 + BC  . Como a resultante das forças da estrela, já que + é centrípeta, FA e FB apontam para o centro da estrela.

N

Caso I fa

16 (Uesc-BA) Considere dois satélites, A e B, que se encontram P

Caso II v2 ⇒ μmg = b) fa = fc ⇒ μN = m R N θ v2 102 v2 ⇒μ= =m = = 0,1 Rg 100 ∙ 10 R v2 , Ny = P ⇒ c) Nx = Fc ⇒ Nsen θ = m R P ⇒ N cos θ = mg ou, dividindo a primeira equação pela v2 v2 ∙ segunda, tg θ = Rg ⇒ tg 45° = 100 ∙ 10 ⇒ v = 10 10 m/s

58

FA

Estrela

Como a estrela está mais próxima de A, tem-se:

a) Faça os diagramas de forças do sistema ciclista + bicicleta, identificando cada uma delas, para ambos os casos (I) e (II). b) Calcule o coeficiente de atrito μ entre a superfície e o pneu para que a bicicleta não saia da pista no caso (I), supondo v = 10 m/s . c) Calcule o valor limite da velocidade v para que a bicicleta não saia da pista no caso (II), supondo J = 45º.

P → Peso do ciclista + bicicleta

FB

D

θ

Descrevendo as forças:

Área BC; tBC

Área AB; tAB

em órbitas circulares de raios R e 6R, respectivamente, em torno de um planeta de massa M. Sendo G a constante de gravitação universal, a razão entre os períodos de translação, TB e TA, dos satélites é igual a: a) 3.

b) 8.

c) 2dll 3  .

d) 6dll 6  . e) 3dll 7.  3 T__B 2 R B 5 __ . Da terceira Lei de Kepler, tem-se TA RA

@  # @  #

Substituindo os dados do enunciado, tem-se: 6R 3 TB 2 TB 2 TB ___ __ ] __ 5 216 ] __ 5 6dll 5 6  R TA TA TA

@  # @  # @  #


13 (UFMT) Um motociclista de Globo da Morte, preocupa-

universal, assinale o que for correto.

(01) A Terra exerce uma força de atração sobre a Lua. (02) Existe sempre um par de forças de ação e reação entre dois corpos materiais quaisquer. (04) O período de tempo que um planeta leva para dar uma volta completa em torno do Sol é inversamente proporcional à distância do planeta até o Sol. (08) O segmento de reta traçado de um planeta ao Sol varrerá áreas iguais, em tempos iguais, durante a revolução do planeta em torno do Sol. (16) As órbitas dos planetas em torno do Sol são elípticas, e o Sol ocupa um dos focos da elipse correspondente à órbita de cada planeta.


Soma: 01 + 02 + 08 + 16 ∙ 27

sos fins, dentre eles, a comunicação. Nesse caso, adota-se, preferencialmente, uma órbita geoestacionária, ou seja, o satélite gira ao redor da Terra em um tempo igual ao da rotação da própria Terra, não modificando sua altitude nem se afastando do equador. O Brasilsat B4 é um satélite de telecomunicações que se encontra em uma órbita geoestacionária de raio, aproximadamente, 3,6 3 104 km. Nessas condições, os valores aproximados da velocidade e da aceleração centrípeta a que está submetido são, respectivamente: a) b) c) d) e)

2,6 km/s; 1,9 3 1024 km/s2. 5,0 3 108 km/s; 1,4 3 104 km/s2. 2,6 km/s; 7,4 3 1023 km/s2. 5,0 3 108 km/s; 1,9 3 1024 km/s2. 15,0 km/s; 5,4 3 105 km/s2.

A única proposição errada é a 04, pois a terceira Lei de

A velocidade do satélite em órbita geoestacionária pode

Kepler diz que o quadrado do período de tempo que

2s ser obtida pela relação: v 5 h 3 R ] v 5 ___ 3 R, T

um planeta leva para dar uma volta completa em

em que T 5 24 h (ou 86.400 s), já que o período de

torno do Sol é proporcional ao cubo do raio médio da elipse.

18 (PUC-Minas) Dois corpos celestes de massas m1 e m2 estão separados por uma distância d. O módulo da força de atração gravitacional entre eles é F. Reduzindo-se a d __ distância para 3 , a nova força gravitacional é: F 9F b) ___ . a) __ c) 4F. d) 9F. e) 3F. 3. 4

19

20 (UFF-RJ) Os satélites artificiais são utilizados para diver-

Pela Lei da gravitação universal, tem-se: m 1 3 m2 _______ F5G d2 d __ Com 3 , a intensidade da nova força Fe será: m G 3 m 1 3 m2 1 3 m2 _______ Fe 5 _________ 5 9F 593G 2 d2 d __ 3 (UEL-PR) O planeta Vênus descreve uma trajetória praticamente circular de raio 1,0 3 1011 m ao redor do Sol. Sendo a massa de Vênus igual a 5,0 3 1024 kg e seu período de translação 224,7 dias (2,0 3 107 segundos), pode-se afirmar que a força exercida pelo Sol sobre Vênus é, em newtons, de aproximadamente: a) 5,0 3 1022. c) 2,5 3 1015. e) 2,5 3 1011. 20 13 d) 5,0 3 10 . b) 5,0 3 10 .

@  #

Nas condições do enunciado, a única força que age sobre Vênus é a da atração gravitacional (F), que corresponde à própria resultante centrípeta: F 5 F ] F 5 mVênus 3 a ] ] F 5 mVênus 3 h2R ] F 5 mVênus 3

@  T # 2s ___

@ 

#

2

torno do seu próprio eixo. 2s 2s Então: v 5 ___ 3 R ] v 5 ______ 3 3,6 3 104. 86.400 T Adotando s 5 3,14, obtém-se: v ≃ 2,6 km/s. Para o cálculo da aceleração centrípeta, utiliza-se a (2,6)2 v2 relação: a 5 __ ] a 5 _______4 } a 7 1,9 3 1024 km/s. R 3,6 3 10

21 (Unioeste-PR) Em fevereiro de 2009 foi anunciada

a descoberta de um pequeno planeta extrassolar, o CoRoT-7b, que orbita a estrela TYC da Constelação de Unicórnio, a 500 anos-luz da Terra. Com base em observações indiretas e em cálculos astrofísicos, soube-se que o CoRoT-7b tem uma massa cinco vezes superior à terrestre e seu raio é 80% maior. Se denominarmos por gT e gC as respectivas acelerações gravitacionais nas superfícies da Terra e de CoRoT-7b, é correto afirmar que: a) b) c) d) e)

gC = gT. gT é aproximadamente 2,8 vezes maior que gC. gT é aproximadamente 1,5 vezes maior que gC. gC é aproximadamente 2,8 vezes maior que gT. gC é aproximadamente 1,5 vezes maior que gT.

GM G5M 5 GM ∙ 2 ≃ ⇒ gC = ⇒ gC = R2 (1,8R2) 3,24 R GM ≃ 1,5 2 , ou seja, gC + 1,54gT R gT =

2

3R

Substituindo os devidos valores e adotando s 5 3,14, 2 3 3,14 tem-se: F 5 5 3 1024 3 _______7 2 3 10

rotação do satélite deve ser o mesmo que o da Terra em

3 1011 } F 7 5 3 1022 N

59


17 (UEM-PR) Sobre as Leis de Kepler e a Lei da gravitação

ESTUDANDO Aplicações das Leis de Newton e gravitação universal

Para o eNeM 1 Os parques aquáticos atraem um público cada vez maior, H20

III. pela terceira lei, a Lei dos períodos, o período de rotação de um planeta em torno de seu eixo é tanto maior quanto maior for o seu período de translação.

aliando conforto, segurança e diversão para todas as idades. Em um desses parques, uma criança decidiu escorregar pelo toboágua de 6 m de altura, que forma um ângulo θ com o chão horizontal. O pai, preocupado, recomenda ao filho que não dê impulso para começar a descida nem tente parar enquanto estiver descendo. Essa criança, de massa 30 kg, receberá uma aceleração de:

Planeta

Sol

Órbita

Estão corretas: d) todas. e) apenas uma delas.

I – Falsa: as estações do ano estão relacionadas com a inclinação do eixo de rotação da Terra, e não com

θ

sua proximidade do Sol. II – Verdadeira: áreas iguais são varridas em

Dados: sen θ = 0,6; cos θ = 0,8; g = 10 m/s 2; atrito desprezível. a) 5 m/s2. b) 6 m/s2. c) 10 m/s2.

tempos iguais, pela reta que liga o Sol ao planeta.

d) 12 m/s2. e) 15 m/s2.

Então, quanto mais próximo do Sol mais veloz deve estar o referido planeta. III – Falsa: a terceira Lei de Kepler relaciona o período

A força peso sobre a criança é: P = m ∙ g.

de translação com o raio médio (T2 = k ∙ R3), e não

P = 30 ∙ 10 = 300 N

o período de rotação.

A resultante sobre a criança é a parte do peso que a faz descer pelo toboágua. PT é a componente tangente: PT = P ∙ sen (θ) = 300 ∙ 0,6 = 180 N Assim, aplicando a Lei de Newton, a aceleração fica: FR = m ∙ a

3 Um pêndulo de 1 metro de comprimento é solto a parH20

tir de um ângulo de abertura menor do que 30° descrevendo uma trajetória semicircular, como mostra a figura a seguir. Pode-se afirmar que a resultante centrípeta no fio:

180 = 30 ∙ a a = 6 m/s2

2

O astrônomo alemão J. Kepler foi um dos adeptos do heH3 liocentrismo. Aperfeiçoou as ideias de Copérnico, conseH20 guindo estabelecer três leis sobre o movimento dos planetas. A figura a seguir está relacionada às Leis de Kepler. Um estudante, ao aprender essas leis, concluiu que: I. pela primeira lei, a Lei das órbitas, é verão quando a Terra está mais perto do Sol e é inverno quando está mais longe. II. pela segunda lei, a Lei das áreas, a velocidade de um planeta em sua órbita diminui à medida que se afasta do Sol.

60

A

C B

a) diminui de A para B e diminui de B para C. b) diminui de A para B e aumenta de B para C.


a) I e II. b) II e III. c) I e III.

a) b) c) d) e)

c) permanece constante e diferente de zero. d) aumenta de A para B e diminui de B para C. e) é nula, pois a velocidade é perpendicular ao fio. A resultante centrípeta depende da massa e da

6 vezes. 5 vezes. 16 vezes. 15 vezes. 32 vezes.

velocidade do corpo, bem como do raio de curvatura

situações A, B e C. m ∙ v2 R = R

A polia fixa só altera a direção da força aplicada,

A componente tangencial do peso age acelerando

enquanto a móvel compartilha a carga com o teto,

a massa no caminho AB e desacelerando no caminho

dividindo-a pela metade.

BC.

A primeira polia entrega metade da carga para a

4


H3 H20

Muitos experimentos sobre queda livre já foram realizados por diversos cientistas, mas nenhum ficou tão famoso quanto o do astronauta Dave Scott, da nave Apolo 15. Ele estava na Lua, com um martelo na mão direita e uma pena na mão esquerda. A experiência foi registrada em vídeo, no qual o astronauta, antes de deixar cair os objetos, lembra que se deve a Galileu grande parte do conhecimento sobre a ação da gravidade na queda de corpos. Scott menciona, ainda, que não há melhor lugar do que a Lua para realizar esse experimento. Quando esse tipo de experimento é realizado aqui na Terra, é de suma importância que a resistência do ar seja minimizada, para não interferir nos resultados. Pode-se conseguir isso:

que não altera o valor, apenas a direção. Portanto, a vantagem mecânica vale: VM = 2n = 25 = 32, em que n é o número de polias móveis.

6 Atração obrigatória nos grandes parques de diversões,

II – Verdadeira: diminuindo o volume do objeto a resistência do ar encontra menos área de secção

No looping, a situação extrema é quando a posição

reta para agir.

do carrinho for a invertida, de ponta-cabeça. Nela a

III – Verdadeira: quanto mais rarefeito o ar no local

força normal é nula, e a resultante centrípeta é a

da queda, menor será sua interferência.

força peso.

a) I e II. b) II e III. c) I e III.

d) todas. e) apenas uma delas.

I – Verdadeira: a forma do objeto pode diminuir a resistência do ar.

5

terceira, e assim sucessivamente, até chegar à fixa,

a montanha-russa funciona basicamente pela conversão de energia potencial em energia cinética. Os vagões são içados por uma coluna de elevação e, com a força da gravidade, descem atingindo grande velocidade. Algumas pistas têm uma volta de 360°, chamada looping, que deixa os ageiros de cabeça para baixo por alguns segundos. Quando o trem a pelo looping ele está em movimento circular, sob a ação de uma resultante centrípeta, que no ageiro é a força de contato entre ele e o assento. Considerando a aceleração da gravidade g = 10 m/s2, um trem de montanha-russa que pretenda realizar um looping de 20 m de diâmetro precisa ter uma velocidade mínima, em km/h, de: a) 10. b) 20. c) 36. d) 100. e) 360.

I. melhorando o formato aerodinâmico do objeto. II. diminuindo o volume do objeto. III. retirando o ar da região de queda. Estão corretas:

H18 H20 H21

segunda, que entrega metade da metade para a

Uma polia é uma máquina simples construída com uma roda de material rígido que pode ser acionada por uma corda ou corrente. As polias fixas permitem que se manipule a direção da força exercida em um corpo. As polias móveis podem também permitir a redução do esforço empregado na movimentação desse corpo. Quando se monta um sistema com seis polias, uma fixa e cinco móveis, obtém-se uma vantagem mecânica reduzindo o esforço para içar um corpo em:

H20

Assim: R = P

m ∙ v2 =m∙g R

v2 = R ∙ g 1

v = (R ∙ g) 2 1

Substituindo os valores: v = (10 ∙ 10) 2 ⇒ v = 10 m/s Convertendo para km/h, resulta: 10 m/s ∙ 3,6 = 36 km/h

61


da trajetória. A massa e o raio são constantes nas


Estática E hidrostática Estática é a parte da mecânica que trata dos sistemas em repouso. Nos casos em que o objeto analisado é fluido (líquido ou gás), o estudo é conhecido como hidrostática. Neste tópico, incluem-se conceitos de momento de uma força, pressão e empuxo em aplicações variadas.

Bethany Van trees/DreaMstiMe.coM

F r= es = 0 -, em que 0 -representa o vetor nulo. A

Figura 2 • A gangorra é considerada um corpo extenso, pois pode haver movimento de rotação em torno do ponto em que está apoiada, que, nesse caso, coincide com seu centro de massa.

T= P =5 T =

A grandeza física que mede a eficácia de uma força em provocar rotação sobre um corpo rígido é denominada momento ou torque da força, e seu módulo pode ser calculado pela expressão:

iVan Gulei/123rf/easypix Brasil

P= B

P = 5 T 1= 1 T 2= 1 T 3=

T 1= T 2= T 3= P=

Figura 1 • Em A, atuam apenas duas forças: peso e tração. São coplanares e, como as forças P e T se anulam, o lustre permanece em equilíbrio estático. Em B, quatro forças atuam: as trações nos fios e a força peso. Esse conjunto forma um sistema de forças não coplanares e o equilíbrio estático acontece, pois a resultante dessas forças é nula.

II. Equilíbrio do corpo extenso Chamamos de corpo extenso o objeto que tem dimensões consideráveis em relação ao espaço em que se encontra ou às distâncias envolvidas no fenômeno estudado. Sendo assim, quando um corpo pode executar rotações ao redor de um ponto de apoio, ele é considerado extenso.

62

Momento de uma força

MF, O = ± F ∙ d A grandeza d é conhecida como braço do momento e mede a distância entre a reta e do vetor F e= o ponto O, conhecido como polo ou eixo de rotação do sistema. O sinal do momento é indicado com base na seguinte convenção: Se a rotação provocada por F =ocorre no sentido horário, M > 0. Se a rotação provocada por F =ocorre no sentido anti-horário, M < 0. A unidade do momento no SI é N ∙ m, mas outras unidades são também bastante utilizadas: N ∙ cm; kgf ∙ m etc. F

d O A

Figura 3 • A aplicação da força na ponta da tábua provoca uma rotação em torno de O.

Na figura 3, a barra tende a rodar em torno do ponto O, em sentido anti-horário; logo, é usada a convenção, e MF, O = F ∙ d.


Quando as dimensões de um corpo não são consideradas significativas para a análise de seu estado de movimento ou de repouso, ele é denominado ponto material, ou seja, não apresenta movimento de rotação sobre si mesmo. Nesse caso, a condição de equilíbrio está basicamente relacionada à translação. Para que não haja translação, a resultante vetorial das forças que agem no corpo deve ser nula.

Nesse caso, ambas as condições são necessárias: equilíbrio de translação e equilíbrio de rotação. Os corpos extensos são, na maioria das vezes, considerados rígidos, ou seja, suas deformações podem ser desconsideradas. Mixa/Getty iMaGes

I. Equilíbrio do ponto material

Condições de equilíbrio do corpo extenso Para que um corpo extenso rígido esteja em equilíbrio, duas condições devem ser satisfeitas simultaneamente: Fres = 0 e d

d

d

d

d

∑ M

d

i

Fi O

d

Finalmente, no equilíbrio indiferente, o centro de gravidade não muda de altura quando o objeto é deslocado, isto é, o centro de gravidade não é levantado nem abaixado quando o sólido é deslocado; ele coincide com o ponto de suspensão. Instável

=0 d

Estável d

d

d

Indiferente

d

Figura 7

A

B

Figura 4 • A bolinha rola pela prancha sem deslizar. A prancha começará a tombar quando o somatório dos momentos em relação ao apoio B deixar de ser nulo.

Existem três tipos de equilíbrio para um corpo rígido: estável, instável e indiferente. Em qualquer um dos casos, considera-se um único ponto do sólido: o centro de gravidade. Um corpo rígido se comporta como se todo o seu peso estivesse concentrado no centro de gravidade. O equilíbrio é considerado estável quando o corpo retorna à posição de equilíbrio, após ser ligeiramente afastado dela. Nesse caso, verifica-se que sempre que o objeto é deslocado da sua posição inicial, de equilíbrio, seu centro de gravidade vai para uma posição mais alta que a anterior. Nessas circunstâncias, quando o objeto é solto, ele tende a voltar à posição inicial.

p=

F A

A unidade de medida de pressão no SI é o N/m2, também conhecida como Pa (pascal), mas outras unidades são frequentes, tais como: kgf/cm2, mm de Hg, atm etc. A relação 1 atm ∙ 105 N/m2 é bastante usual.

Milosluz/DreaMstiMe.coM


Casos de equilíbrio

Uma pessoa, ao andar na areia, deixa a marca da sola dos pés, pois exerce sobre a areia uma força equivalente ao seu peso. Se, no entanto, a pessoa caminhar “na ponta dos pés”, é muito provável que afunde mais na areia, ainda que seu peso não tenha mudado. Nesse caso, a grandeza que se alterou foi a área de contato entre os pés e o solo. Dessa maneira, diz-se que a pressão exercida na areia na segunda ocasião foi maior, porque a força peso está sendo aplicada em uma área menor (“ponta dos pés”). A relação entre a força F =aplicada perpendicularmente a uma superfície e a área de contato A sobre a qual F =atua é denominada pressão média e é dada por:

Figura 5 • O brinquedo conhecido como joão-teimoso caracteriza-se por um equilíbrio estável.

Um corpo rígido estará em equilíbrio instável se, ao ser afastado de sua posição de equilíbrio, as forças que atuam sobre ele tenderem a afastá-lo ainda mais dessa posição. Dessa maneira, se uma força atua tentando tirá-lo do equilíbrio, ele não retorna. Corpos em equilíbrio instável têm o seu centro de gravidade na posição mais alta possível.

Figura 8 • A profundidade da “pegada” depende da maneira como se pisa na areia.

IV. Pressão em líquidos Princípio de Stevin P

P

P

Figura 6 • Enquanto a perpendicular à superfície de apoio baixada pelo centro de gravidade interceptar a base do corpo, ele não cairá. Isso explica por que a famosa Torre de Pisa, na Itália, está em equilíbrio, apesar de inclinada.

Os líquidos em equilíbrio estático exercem pressão sobre pontos de seu interior e do recipiente que os contém. Essa pressão não depende do formato nem do tamanho do recipiente, mas da altura da coluna líquida h acima do ponto em relação ao qual se quer conhecer a pressão e, também,

63

Estática e hidrostática

III. Pressão média

sérGio Dotta jr./ciD

sérGio Dotta jr./ciD

da densidade do líquido. Quanto maior a altura da coluna, maior o peso do líquido acima do ponto e, portanto, maior a pressão. A pressão sobre um ponto que está imerso no líquido é dada por: p=d∙g∙h

Consequências do Princípio de Stevin Equação fundamental da hidrostática Para pontos situados na superfície livre do líquido, a pressão é igual àquela exercida pelo gás ou ar sobre ela. Se a superfície livre estiver sujeita ao ar atmosférico, a pressão correspondente será a pressão atmosférica, patm; daí que, para um ponto situado à profundidade h, a pressão total, p, será:

Figura 10 • A altura dos líquidos em relação à horizontal é a mesma, ainda que os vasos comunicantes sejam inclinados.

Princípio de Pascal e prensa hidráulica Um acréscimo de pressão em um dado fluido é transmitido integralmente a todos os pontos dele. Assim, em uma prensa hidráulica, êmbolos com áreas diferentes am a mesma pressão. Logo, as forças exercidas por eles têm de ser diferentes. F2 F1 = ___ p1 = p2 ⇒ __ A1 A2

p = patm + phidrostática ⇒ p = patm + d ∙ g ∙ h O gráfico da pressão p em função da profundidade h, em um líquido, será: p

F =1 A1

patm

F =2

O

h

Pontos situados em um mesmo líquido e em uma mesma horizontal ficam submetidos à mesma pressão. Uma das aplicações desse princípio são os vasos comunicantes com dois ou mais líquidos imiscíveis.

dA ∙ hA = dB ∙ hB h hA

A2

A (1)

(2)

hB

Figura 11 • Esquema de elevador hidráulico usado em oficinas.

V. Empuxo Quando um corpo é imerso em um fluido, pontos diferentes de sua superfície são submetidos a diferentes pressões (os que estão em maior profundidade recebem uma pressão maior do que os que estão mais para cima). Dessa maneira, as forças nos diferentes pontos da superfície do corpo também são diferentes. O efeito total desse somatório de forças é uma força vertical para cima, denominada empuxo.

B

Figura 9 • Tubo em “U”, no qual são colocados dois líquidos imiscíveis. Observe que os pontos 1 e 2 estão na mesma horizontal e no mesmo líquido e, portanto, sujeitos à mesma pressão.

A superfície livre dos líquidos em equilíbrio é horizontal.

64

Figura 12 • Esquema mostrando a diferença nas intensidades das forças em vários pontos do objeto, de acordo com a profundidade.


em que p é a pressão hidrostática, d é a densidade do líquido, g é a aceleração da gravidade local e h, a altura da coluna líquida.

Todo corpo total ou parcialmente imerso em um fluido e que se encontre em equilíbrio estático recebe uma força vertical para cima, cujo módulo equivale ao peso da porção de líquido deslocada pelo corpo. E= dL ∙ Vdeslocado ∙ g Então, para um corpo de mesmo volume, mergulhado em líquidos de densidades diferentes, teremos: se d3 > d2 > d1, então E3 > E2 > E1 E2

E3

1

2

3

d3 > d2 > d1

Figura 13

Para corpos de volumes diferentes, imersos em um mesmo líquido, teremos: se V3 > V2 > V1, então E3 > E2 > E1

Quando um corpo está imerso em um fluido, certamente duas forças agirão sobre ele: o seu peso P = e o empuxo E.= Nesse caso: • se E = P, o corpo permanece em repouso no fluido ou se move em MRU. Para que essa condição se verifique, deve-se ter: dL = dC. Exemplos: um peixe parado imerso em um aquário, um submarino descendo ou subindo em MRU; • se E  P, o corpo realiza um movimento descendente acelerado. A resultante terá módulo igual a FR = P – E, denominada peso aparente do corpo. Para que essa situação se verifique, a densidade do corpo deve ser maior do que a do líquido: dC  dL. Exemplo: uma pedra que, lançada em um lago, afunda até atingir o fundo; • se E  P, o corpo realiza um movimento ascendente acelerado. A resultante terá módulo igual a FR = E – P. Note que em dado momento o corpo atingirá a superfície e apenas parte dele ficará imersa. Nessa condição, o empuxo diminuirá até se igualar ao peso, e o corpo estará, então, em equilíbrio parcialmente submerso. Para que essa situação se verifique, a densidade do corpo deve ser menor que a do líquido: dC  dL. Exemplo: uma bola de pingue-pongue que se mantém no fundo de um balde cheio de água porque uma pessoa a está segurando. Ao ser solta, ela sobe, chega a sair completamente da água e, após subir e descer no ar, fica boiando.

Equilíbrio de corpos flutuantes Nos corpos que flutuam em líquido em equilíbrio vertical, a força de empuxo e a força peso têm módulos iguais. Então, se P = E, tem-se: mcorpo∙ g = dL∙ Vdeslocado ∙ g. Como

E3

mcorpo = dcorpo∙ Vcorpo ⇒

E2

dlíquido ∙ Vimerso = dcorpo ∙ Vcorpo

E1

Matthias kulka/zefa/corBis/corBis/latinstock


E1

Comportamento de um corpo imerso em um fluido em equilíbrio

V3 > V2 > V1

Figura 14

Para dois corpos homogêneos quaisquer, de volumes iguais e imersos totalmente em um mesmo líquido, o empuxo sobre eles será o mesmo, independentemente de suas massas.

EB

EA A

B PA PB

Figura 15

Figura 16 • Representação mostrando que a porção submersa de um iceberg tem volume muito maior que sua parte emersa.

65


Princípio de Arquimedes

ESTUDANDO Estática e hidrostática

Para o vEstibular 1 (Fuvest-SP) Um bloco, de peso P, é suspenso por dois

fios de massa desprezível, presos a paredes em A e B, como mostra a figura.

2 (Mackenzie-SP) Um quadro pesando 36,0 N é suspenso

por um fio ideal preso às suas extremidades. Esse fio se apoia em um prego fixo à parede, como mostra a figura. 40 cm

2L

40 cm

B 30 cm L L

Desprezados os atritos, a força de tração no fio tem intensidade de:

P

Pode-se afirmar que o módulo da força que tensiona o fio preso em B vale: P __ 2P.  a) 2 . d) dlll 2.  b) Pdll e) 2P. c) P.

a) 20,0 N. b) 22,5 N. c) 25,0 N.

d) 27,5 N. e) 30,0 N.

Analisando as forças que atuam no prego em equilíbrio: 36 N

No ponto de cruzamento dos fios, tem-se as forças:

Tx

TB

Tx θ

θ

Ty

Ty

TA T T

em que T 5 P, já que o bloco se encontra em equilíbrio na direção vertical. Aplicando as condições de equilíbrio, é feita a soma vetorial de T, TA e TB, de modo a obter uma linha poligonal fechada, o que garante que a resultante seja nula.

T

2Ty = 36 ⇒ Ty = 18 N 30 18 Ty ___ cos θ = __ ⇒ 50 = ___ ⇒ T = 30 N T T

3 (UniABC-SP) Um e para vasos é preso a uma pa-

rede vertical, como mostra a figura. Ele é fixado na parede por um parafuso colocado no ponto A e fica apenas apoiado na parede no ponto B, na mesma vertical de A. Um vaso de massa total 3 kg é pendurado no ponto C do e e o sistema é mantido em equilíbrio. 30 cm

TA Parede vertical

45° T=P

TB 45°

A

Do triângulo, tem-se: P ___ P dll sen 45° = __ ⇒ TB = dll 2   ∴ TB = 2  ∙ P ___ T 2

20 cm

B

66

C


A

Sabe-se que o ângulo entre AC e AB é reto e que a massa do e é desprezível. Adotando g = 10 m/s2, determine a intensidade da força com que o e comprime a parede no ponto B.

5 (UFSJ-MG) Uma corda de um varal sustenta uma esfera metálica pesada, amarrada no varal por meio de uma pequena argola colocada na esfera, conforme mostrado na figura abaixo.

Diagrama de forças: F

Fy

C

Se a corda se encontra na iminência de se romper, é correto afirmar que:

P

A

Fx

B NB

Para haver equilíbrio no sistema, é necessário que


Fx = NB e Fy = P. Com base na figura, também se pode 2 __ concluir que: tg a = 3. P F ∙ sen a = P ⇒ tg a = ___ ⇒ NB F ∙ cos a = NB 2 30 ⇒ __ = ___ ⇒ NB = 45 N 3 NB

a) é mais provável que a corda se rompa no lado mais longo, porque, por ser mais longo, esse é o lado que sustenta a maior parte do peso da esfera. b) é mais provável que a corda se rompa no lado mais longo, uma vez que a tensão na corda é maior nesse lado. c) a corda pode se romper do lado mais curto ou do lado mais longo com igual probabilidade, uma vez que as tensões na corda são iguais em ambos os lados. d) é mais provável que a corda se rompa no lado mais curto, uma vez que a tensão na corda é maior nesse lado. Sendo θ o ângulo formado pela intersecção da corda

4 (UFPA) Em uma sala de aula um professor de física propôs um problema experimental aos alunos: calcular o valor de uma massa m desconhecida, usando massas de valores conhecidos, uma haste uniforme, um apoio F e dois pratos iguais. Uma equipe de alunos solucionou o problema equilibrando a massa m, colocada no prato A, com outra massa conhecida m1, colocada no prato B (situação 1). Em seguida, transferiu a massa m para o prato B e a equilibrou com outra massa conhecida m2, colocada no prato A (situação 2), sem alterar a posição de F.

longa com uma horizontal ando pela argola que prende a esfera e α o ângulo formado pela intersecção da corda curta com a mesma horizontal, como o sistema está em equilíbrio, tem-se:

ΣFX = 0 ⇒ Tlongo cos θ = Tcurto cos α ⇒

cos θ Tcurto = cos α Tlongo

Como θ é menor do que α, seu cosseno será menor. Assim, pode-se concluir que a tração na corda curta

Situação 1 m

F

Prato A

é maior do que na longa; a possibilidade de ela romper m1 Prato B

Situação 2 m2

F

Prato A

m Prato B

O valor encontrado para m é igual a: m1 + m 2 m1 3 m2 . . d) dlllllll  a) ________ 2 m2 – m1 . b) (m2 – m1). e) _______ 2 m + m 2 1 . c) ________ 3 Situação 1: equilíbrio de rotação y m m ∙ g ∙ x = m1 ∙ g ∙ y ⇒ __ = ___ x m1 (1) Situação 2: equilíbrio de rotação y m2 m2 ∙ g ∙ x = m ∙ g ∙ y ⇒ __ = ___ (2) x m m2 m ___ ___ Igualando (1) e (2): m1 = m ⇒ m = ∙m1 ∙ m2 .

é maior do que a da longa.

6 (UEL-PR) Quando um juiz de futebol aperta uma bola

para testar se ela está com pressão adequada para ser utilizada em um jogo, ele a pressiona com os dois polegares simultaneamente. Tal procedimento é uma avaliação subjetiva da pressão interna da bola. Com relação à pressão exercida pelos polegares do juiz, é correto afirmar que:

a) b) c) d) e)

é diretamente proporcional ao quadrado da área da bola. é inversamente proporcional à força aplicada. é diretamente proporcional à área dos polegares. independe da área dos polegares. é inversamente proporcional à área dos polegares em contato com a bola.

Por definição, a pressão (p) é a razão entre a intensidade de uma força (F) aplicada em uma superfície F __ e a área (A) desta. Em símbolos: p = A. Portanto, pode-se afirmar que a pressão é inversamente proporcional à área.

67


α

7 (Uece) Na figura abaixo, o peso P1 é de 500 N e a corda RS é horizontal.

cada mm2 da área da parede de um submarino projetado para trabalhar submerso em um lago a uma profundidade máxima de 100 m, mantendo a pressão interna igual à atmosférica?

T1 45°

9 (UFPE) Qual a força, em newtons, que deve ar

(Dado: densidade da água =103 kg/m3)

T3 R

T2

S

A pressão (p) que a parede externa do submarino deve

30°

ar corresponde à pressão hidrostática, dada por: p = dgh ⇒ p = 103 ∙ 10 ∙ 100 ∴ p = 106 N/m2

P2

P1

Sabendo que 1 mm2 corresponde a 10–6 m2,

Do equilíbrio em P1 vem:

reescreve-se: p = 106 N/m2 = 1 N/mm2. Ou seja, para cada mm2 da parede do submarino existe uma força de 1 N.

10 (Ufac) A cidade de Rio Branco-AC está aproximadamente

a 160 metros de altitude, sendo a pressão atmosférica em torno de 9,9 ∙ 104 Pa. Em épocas de cheias a pressão no fundo do rio Acre triplica esse valor. Qual a profundidade do rio Acre nessa época?

ΣFY = 0 ⇒ T1 ∙ sen 45º = P1 ⇒ T1 = 500∙2 N ΣFx = 0 ⇒ T2 = T1 ∙ cos 45º ⇒ T2 = 500 N

Dados: g = 10 m/s2, Gágua = 1 g/cm3.

Fazendo o mesmo para o corpo P2, vem: 1.000 ΣFx = 0 ⇒ T3 ∙ cos 30º = T2 ⇒ T3 = ∙ N 3 500 ΣFY = 0 ⇒ P2 = T3 ∙ sen 30º ⇒ P2 = ∙ N 3

a) 15,50 m

d) 25,60 m

b) 9,90 m

e) 10,8 m

c) 19,80 m Pelo princípio de Stevin:

8 (PUC-RJ) A imagem representa um experimento de

Guará iMaGens

prensa hidráulica. Sabe-se que a área do êmbolo 2 (A2) é 16 vezes maior que a área do êmbolo 1(A1). Quando o êmbolo 1 sofre um deslocamento vertical para baixo h1, o êmbolo 2 sofre um deslocamento vertical para cima H2. Podemos, então, afirmar que a razão H2/h1 vale:

pfundo = patm + d ∙ g ∙ h ⇒ 29,7 ∙ 104 = 9,9 ∙ 104 + 103 ∙ ∙ 10 ∙ h⇒ 104 ∙ h = 19,8 ∙ 104 ∴ h = 19,8 m

11 (Uece) A figura mostra um tubo em U, de extremidades

abertas, contendo dois líquidos imiscíveis de densidades d1 e d2, respectivamente. d2 h

h 4

d1

As alturas de suas colunas são indicadas. Portanto, a relação entre as densidades dos dois líquidos é: a) d1 = d2. b) d1 = 2d2.

c) d1 = 4d2. d) d1 = 8d2.

No nível de separação dos dois líquidos, a pressão nos

a) 16.

b)

1 . 16

c)

1 . 4

d) 4.

e) 1.

Sabe-se que: ∆V1 = ∆V2 ⇒ A2 ∙ H2 = A1 ∙ h1 ⇒ H A A 1 ⇒ 2= 1 = 1 = h1 A2 16A1 16

68

dois ramos do tubo deve ser igual. Pelo teorema de Stevin: d gh p1 = patm + 1 e p2 = patm + d2gh 4 d gh Como p1 = p2 ] patm + 1 = patm + d2gh] 4 d1gh = d2gh] d1 = 4d2 ] 4


Os valores das tensões T 1 , T 2 e T 3 e o peso P 2 , em newtons, são, respectivamente: a) 500∙2 , 500, 1.000 / ∙3 e 500 /∙3 . b) 500 / ∙2 , 1.000, 1.000∙3 e 500∙3 . c) 500∙2 , 1.000, 1.000 / ∙3 e 500 / ∙3 . d) 500/ ∙2 , 500, 1.000∙3 e 500∙3 .

12 (UEA-AM) Dois tanques cilíndricos, A e B, que têm a par-

te superior aberta, estão preenchidos com água, ambos até a altura de 2 metros. A área da base do cilindro B é igual ao dobro da área da base do cilindro A. A pressão exercida pela água sobre a base do tanque A é denotada por PA, e a pressão exercida pela água sobre a base do cilindro B é denotada por PB. Considere a pressão atmosférica igual a 1 ∙ 105 Pa. Sobre PA e PB é correto afirmar que: Dados: Densidade da água = 103 kg/m3; g = 10 m/s2 a) b) c) d) e)

PA = 1,2 ∙ 105 Pa e PA= PB. PA = 1,2 ∙ 105 Pa e PA= PB/4. PA = 2 ∙ 105 Pa e PA= PB/2. PA = 2 ∙ 105 Pa e PA= PB. PA = 5 ∙ 105 Pa e PA = PB/2.

14 (Uesc-BA) Considere um recipiente cilíndrico contendo dois

líquidos, não miscíveis, em equilíbrio, em um local onde a aceleração da gravidade tem módulo igual a 10,0 m/s2. Sabendo-se que o volume e a densidade dos dois líquidos são, respectivamente, iguais a 0,5 litro e 2,6 g/cm3 e a 0,4 litro e 0,8 g/cm3, o módulo da força total atuante na base do recipiente, devido aos líquidos, é igual, em N, a:

a) 16,2. b) 17,1. c) 18,3.

d) 19,5. e) 20,4.

O peso dos líquidos será: P = P1 + P2 = g(d1 ∙ v1 + d2 ∙ v2) = 10(0,0026 ∙ 500 + + 0,0008 ∙ 400) = 16,2 N

Por Stevin, tem-se: PA = PB = 100.000 + 1.000 ∙ 10 ∙ 2 =

15 (Unifap) Em uma experiência de física, um aluno, utilizan-

13 (UFMG) Um sistema hidráulico tem três êmbolos móveis L, M e N com áreas A, 2A e 3A, como mostra a figura.

L

M A

N 2A

3A

Líquido

Quantidades diferentes de blocos são colocadas sobre cada êmbolo. Todos os blocos têm o mesmo peso. Para que, em equilíbrio, os êmbolos continuem na mesma altura, o número de blocos colocados sobre os êmbolos L, M e N pode ser, respectivamente: a) 1, 2 e 3. b) 1, 4 e 9.

c) 3, 2 e 1. d) 9, 4 e 1.

Considere a notação: • Pi = Peso dos blocos sobre o êmbolo i • Ai = Área do êmbolo i i = {L, M, N} Pelo teorema de Pascal, tem-se: PN PL PM PM PN PN P L PM __ = ___ = ___ ⇒ __ = ___ = ___ ⇒ PL = ___ = __ AN A 2A 3A 2 3 A AM O número de blocos a ser colocado nos êmbolos

do-se de duas esferas maciças e homogêneas, A e B, de densidades iguais (dA = dB) e com tamanhos diferentes de raios (RB = 2RA), e um recipiente de vidro, contendo um líquido homogêneo e incompressível de densidade (dlíq) maior do que as densidades das esferas, executou o procedimento experimental de colocar ambas as esferas dentro do recipiente. Após as esferas terem atingido o equilíbrio, flutuando no líquido, o aluno solicita a você que encontre o(s) valor(es) numérico(s) associado(s) à(s) proposição(ões) correta(s). (01) O volume submerso da esfera A é igual ao volume submerso da esfera B. (02) O volume de líquido deslocado pela esfera B é igual a 8 vezes o volume de líquido deslocado pela esfera A. (04) O volume submerso da esfera A é inversamente proporcional à densidade do líquido (dlíq). (08) O empuxo sobre a esfera A é maior do que o empuxo sobre a esfera B. (01) Incorreta. O volume total da esfera B (e, portanto, o volume submerso) é oito vezes maior que o da esfera A.

(02) Correta. Pelo argumento anterior. (04) Correta. Pelo princípio de Arquimedes, no dcorpo ∙ Vcorpo equilíbrio tem-se vsub = . dlíq (08) Incorreta. O empuxo depende do volume de líquido deslocado, e já foi concluído que o volume deslocado por B é maior que o deslocado por A.

coincide com os respectivos denominadores nas frações acima; o trio que satisfaz a essa condição está na alternativa a.

69



=1,2 ∙ 105 Pa

16 (Uece) No elevador mostrado na figura abaixo, o carro no cilindro à esquerda, na posição E, tem uma massa de 900 kg, e a área da secção transversal do cilindro é 2.500 cm2. Considere a massa do pistão desprezível e a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2. A área da secção transversal do cilindro, na posição D, é 25 cm2, e o pistão tem massa desprezível.

18 (Uesc-BA)

Óleo

F

h1 = 8,0 cm

900 kg D

h2 = 2,0 cm

4m E

Se o elevador for preenchido com óleo de densidade 900 kg/m3, a força mínima F, em newtons, necessária para manter o sistema em equilíbrio será:

A figura representa um corpo homogêneo de faces retangulares, flutuando em equilíbrio, parcialmente imerso na água e no óleo. Sabendo-se que as massas específicas da água e do óleo são, respectivamente, iguais a 1,00 g/cm3 e 0,80 g/cm3, é correto afirmar que a densidade absoluta do corpo é igual, em g/cm3, a:

a) 0.

a) 0,81.

b) 10.

c) 800.

d) 900.

Por Stevin, pode-se escrever: F F Patm + E = Patm + D + d ∙ g ∙ h ⇒ FD = SE SD 900 ∙ 10  900 ∙ 10 ∙ 4] = 0 = SE [ 0,2500

b) 0,82.

c) 0,83.

d) 0,84.

e) 0,85.

Na situação de equilíbrio: P = Eágua + Eóleo. dcorpo ∙ Vcorpo = dágua ∙ Vágua + dóleo ∙ Vóleo Como a área da base é a mesma para todo o bloco, os fatores volumétricos serão simplificados, restando

17 (UEL-PR) Analise as figuras a seguir.

apenas as respectivas alturas das colunas: y

dcorpo ∙ hcorpo = dágua ∙ hágua + dóleo ∙ hóleo d ∙ 10 = 1 ∙ 2,0 + 0,80 ∙ 8,0 ⇒ 10d = 8,4 ⇒

h

⇒ d = 0,84 g/cm3. Uma bolinha de isopor é mantida submersa, em um tanque, por um fio preso ao fundo. O tanque contém água de densidade ρ = 1 g/cm3. A bolinha, de volume V = 200 cm3 e massa m = 40 g, tem seu centro mantido a uma distância h = 50 cm da superfície. Cortando o fio, observa-se que a bolinha sobe e salta do líquido, e que seu centro atinge uma altura y acima da superfície. Desprezando os atritos do ar e da água e a tensão superficial da água, determine a altura y, acima da superfície, que o centro da bolinha atingirá. a) 100 cm. b) 150 cm. c) 200 cm.

d) 250 cm. e) 300 cm.

19 (Uneal-AL) Um corpo, construído com uma liga de ouro (d1 = 19,3) e prata (d2 = 10,5), pesa 8,77 N. Dentro da água seu peso aparente é 8,27 N. O peso do ouro contido nesse corpo é de:

a) 6,57 N. b) 7,72 N. c) 8,52 N.

d) 9,00 N. e) 14,9 N.

Sendo o empuxo dado por: E = dH2O ∙ VH2O ∙ g = = 8, 77  8,27 ⇒ VH2O = Vliga = VAu + VAg = 0,05 m3 Assim: mliga = mAu + mAg = dAu ∙ VAu + dAg ∙ VAg ⇒

Ao ser solta: E – P = m ∙ a ⇒ g(ρH2O ∙ Vesfera – mesfera) = 10(1 ∙ 200 – 40) = 0,04 ∙ a ⇒ a = 40 m/s2 = 1.000

⇒ 19,3VAu + 10,5VAg = 0,877

Assim: v2 = v02 + 2 ∙ a ∙ ∆h = 0 + 2 ∙ 40 ∙ 0,5 = 40 ⇒

Resolvendo o sistema formado pelas duas equações acima,

⇒ v2 = 40

tem-se que: 8,8VAu = 0,352 ⇒ VAu = 0,04 m3 ⇒

Portanto: v2 = v02 – 2 ∙ g ∙ ∆h = 40 – 2 ∙ 10 ∙ ∆h = 0 ⇒

⇒ PAu = dAu ∙ VAu ∙ g = 19,3 ∙ 0,04 ∙ 10 = 7,72 N

⇒ ∆h= 2 m = 200 cm

70


Água

marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas.

( V ) se dar < db, tem-se E < P; nesse caso, o balão descerá. ( V ) se dar = db, tem-se E = P; nesse caso, o balão ficará em equilíbrio. ( V ) se dar > db, tem-se E > P; nesse caso, o balão subirá. ( F ) se dar < db, tem-se E > P; nesse caso, o balão subirá. ( F ) se dar = db, tem-se E < P; nesse caso, o balão descerá. Considere: dar = densidade do ar atmosférico; db = densidade do balão; E = empuxo; P = peso do balão.

Assinale a sequência correta. a) V, V, V, V, F b) V, V, V, F, F c) F, F, V, V, V

d) F, F, F, V, V e) F, F, F, F, V


O movimento de subida ou descida dependerá do sentido da resultante entre o peso do balão e o empuxo. Assim, itindo-se a partida do repouso, o balão sobe se E > P e desce se E < P. Por outro lado, a relação E > P só ocorre quando dar > db e E < P implicam dar < db.

22 (UFSC) Durante a construção de uma estrutura metálica sobre um rio, um bloco de ferro de 16 ∙ 103 kg, com dimensões de 1,0 × 2,0 × 3,0 m, caiu e afundou até uma profundidade de 25 m. Para retirá-lo do fundo do rio e levá-lo à margem, foi usada uma balsa com um guindaste, cujo cabo a no máximo 120 kN. Suponha que a densidade do ferro seja de 8 ∙ 103 kg/m3, e que a densidade da água seja de 1 ∙ 103 kg/m3, patm = 1,0 ∙ 105 Pa e g = 10 m/s2. Com base na situação exposta, assinale a(s) proposição(ões) correta(s).

(01) A densidade do bloco é igual à densidade do ferro. (02) Para não romper o cabo e conseguir mover o bloco até a margem, o guindaste mantém emersos, no máximo, 2 m3 do bloco. (04) Podemos afirmar que o bloco de ferro em questão é maciço. (08) Sem alterar a massa do bloco, ele aria a flutuar se o seu volume fosse igual a 16 m3. (16) A base do bloco no fundo do rio está submetida a uma pressão de 250 kPa. (32) Quanto à balsa que flutua no rio, podemos afirmar que as forças que atuam sobre ela são somente a força peso e o empuxo da água do rio. Soma: 02 A densidade do bloco será dada por: 16.000 m = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 2.666,7 kg/m3 d= V Como essa densidade é menor que a do ferro, pode-se

21 (IFSP) Um aluno de engenharia pretende determinar a

afirmar que as proposições 01 e 04 estão erradas.

densidade de um corpo maciço e realiza uma experiência que consiste, inicialmente, em suspender o corpo, em uma das extremidades de uma balança de braços iguais, com uma massa de 100 gramas, conforme a figura 1. A seguir, ele coloca o corpo dentro de uma vasilha com água, cuja densidade é de 1,0 g/cm3, e a equilibra com uma massa de 60 gramas (figura 2). O valor encontrado da densidade do corpo, em g/cm3, é igual a:

Mudando o volume do bloco, tem-se: m 16.000 = 1.000 kg/m3 d= V = 16

Figura 1

Pbase = Patm + dágua ∙ g ∙ h = 100.000 + 1.000 ∙ 10 ∙ 25 =

Assim, como a densidade do bloco e a da água são iguais, não há flutuação. A pressão na base do bloco não será de 250 kPa, pois:

∙ 350 kPa A proposição 32 não está correta, pois existem outras

100 g

forças atuando, como o atrito entre a água e o casco. O volume do bloco imerso para que o cabo aguente

Figura 2

será dado por: E = P – Fmáx ⇒ d ∙ V ∙ g = 160.000 – 120.000 ⇒ 40.000 ⇒ V = 1.000 ∙ 10 = 4 m3

60 g

a) 8,75.

b) 7,50.

c) 6,75.

d) 3,50.

e) 2,50.

Portanto, a proposição 02 está correta.

A massa de água deslocada pelo volume do corpo imerso é de 40 gramas. Assim:

40 mH2O ∙ dH2O ∙ vcorpo ⇒ vcorpo = = 40 cm3. 1 mcorpo 100 3 Assim: dcorpo = vcorpo = 40 ∙ 2,50 g/cm .

71


20 (Unir-RO) Sobre a movimentação de um balão na atmosfera,

ESTUDANDO Estática e hidrostática

Para o ENEM 1 O ponto de ebulição da água depende intimamente

Estão corretas:

h18 h20 h21

a) I e II. b) I e III. c) II e III.

da pressão atmosférica do local. No nível do mar, a água ferve a 100 °C. Mas, em localidades de pressão atmosférica menor, ela entra em ebulição a uma temperatura menor. Em São Paulo, no alto da Serra do Mar, a água ferve a 98 °C. Já no Himalaia, no alto do pico Everest, a água ferve a 72 °C. Em uma a de pressão, a temperatura de ebulição da água também sofre variações. Dentro dela, o vapor gerado pela ebulição da água aumenta a pressão interna até o limite imposto pela válvula reguladora. O vapor a por um canal até entrar em contato com a válvula e empurrá-la. Quando o vapor vaza, a pressão interna se estabiliza.

I – Falsa – a diferença entre as massas do submarino cheio de água e vazio é a massa do volume de água que cabe no tanque de lastro: mlastro = mcheio – mvazio (I) Quando estiver cheio de água, seu volume será a razão

I. Aumentando a área de contato entre o vapor e a válvula (espessura do canal), a pressão interna da a ficará estabilizada em um valor menor. II. Aumentando o peso da válvula, a pressão interna será estabilizada em um valor mais alto. III. Deixando a a sem a válvula, a pressão interna será estabilizada em zero. Estão corretas:

mágua = 18.000 – 12.000 = 6.000 toneladas = 6.000.000 kg m 6.000.000 Vlastro = água (II) mágua = dágua 1.000 6.000.000 Usando II: Vlastro = 1.000


Vlastro é menor que o resto do submarino.

Vlastro = 6.000 m3 Comparando com o volume do submarino, de 15.000 m3:


II – Verdadeira – empuxo é o peso da água deslocada pelo volume do objeto, no caso, o submarino: E = dágua ∙ Vsub ∙ g E = 1.000 ∙ 15.000 ∙ 10 = 150.000.000 N

constante, se a área aumenta, a pressão diminui.

Para equilibrar, o peso da embarcação mais o lastro deve

II – Verdadeira – com a mesma relação, mantendo a área

ser igual ao empuxo: Psub + Plastro = 150.000.000 N

e aumentando a força peso, a pressão de equilíbrio

(msub + mlastro) ∙ g = 150.000.000 N

será maior. III – Falsa – sem a válvula, a pressão

(12.000.000 + mlastro) ∙ 10 = 150.000.000 N

interna se iguala à externa, que vale 1 atm, e não zero.

mlastro = 15.000.000 – 12.000.000 = 3.000.000 kg

2 O submarino é uma embarcação que pode ter sua

densidade controlada, e assim imergir, emergir ou estabilizar sua profundidade. Ele tem grandes tanques de lastro que, quando preenchidos com água, deixam sua densidade maior que a do mar, fazendo-o afundar. Preenchendo os tanques com ar, a densidade fica menor que a da água e ele é capaz de subir à tona e boiar. Consideremos um submarino médio, cuja profundi dade máxima ada seja 500 m, de volume total 15.000 m3, massa mínima (lastro vazio) de 12.000 toneladas e massa máxima (lastro cheio) de 18.000 toneladas, considerando sempre a água com densidade 1.000 kg/m3. Considere as afirmações a seguir. I. O volume do tanque de lastro é maior do que o resto do submarino. II. Quando totalmente submerso, o equilíbrio entre as forças peso e empuxo é alcançado com meio tanque de lastro com água. III. O submarino, na profundidade máxima, poderá receber uma pressão maior que 30 atm.

72

mlastro = 3.000 toneladas, que equivalem à metade da capacidade do tanque de lastro. III – Verdadeira – a pressão exercida por um líquido vale: p = d ∙ g ∙ h=1.000 ∙ 10 ∙ 500 = 5.000.000 ⇒ ⇒ p = 5 ∙ 106 N/m2 ou 50 atm > 30 atm.

3 Em 2009, um estúdio cinematográfico lançou uma anih18 h19 h20

mação na qual um viúvo idoso, prestes a perder seu lar e, com ele, todas as suas recordações da vida inteira, resolve amarrar balões em sua casa e sair voando com ela para o Paraíso das Cachoeiras. O filme não revela, mas, para saber de quantos balões precisaria, o dono da casa encheu de gás hélio o primeiro balão e amarrou nele uma caixinha, a qual foi enchendo de arroz até equilibrar a subida do balão. Mediu a massa do arroz na balança de cozinha e pronto: o balãozinho aguentou 100 g


entre a massa e a densidade da água:

I – Verdadeira – a pressão (p) resulta da relação força (F) F pela área (A): p = . Como a força peso da válvula é A

h18 h20


a) a massa do corpo atrai a massa esférica e ajuda a á-la. b) o peso da esfera é sempre para baixo, e seu valor diminui quando ela se aproxima do chão. c) o atrito que o corpo exerce na esfera aumenta conforme ela se aproxima do corpo, contribuindo mais para ar o peso. d) a massa tem um peso constante para baixo e faz surgir uma tendência de girar o braço (no sentido horário) que vai aumentando conforme o braço é esticado. e) o peso da esfera é diretamente proporcional à distância que ela está do apoio (ombro).

de grãos com 5 litros de gás dentro dele. Se a casa já estivesse solta, sem alicerces, e tivesse uma massa de 5.000 kg e volume 1.000 m3, seria correto afirmar: I. Seriam necessários mais de 100 mil balões para levantar a casa do chão. II. Se os balões fossem embalados em caixas com medidas 5 cm × 10 cm × 20 cm, contendo 100 unidades, o total de caixas necessárias não caberia na casa. III. Todos os balões cheios deveriam caber dentro da casa. Estão corretas: d) todas. e) apenas uma delas.

a) A força gravitacional entre corpo e esfera é muito

I – Falsa – se cada balão a 100 g = 0,1 kg, para

menor que o peso da esfera e não influencia o sistema;

ar a casa toda são necessários nbalões: mcasa 5.000 = = 50.000 balões n= 0,1 mbalão

b) O peso da esfera é constante: P=m∙g; c) Não há contato entre o corpo e a esfera, portanto não há atrito

II – Falsa – o volume das caixas seria:

a ser considerado; d) A esfera no extremo do braço gera

Vcaixa = comprimento ∙ altura ∙ largura

um momento de giro sobre o ombro, que depende

Vcaixa = 5 cm ∙ 10 cm ∙ 20 cm = 1.000 cm3 = 1 litro = 10–3 m3

da distância da esfera ao ombro; e) O peso é constante.

O número de caixas necessárias será: (no de balões) 50.000 ∙ = 500 caixas C= (balões por caixa) C O volume de 500 caixas será 500 vezes o volume de uma única caixa: V500 = Vcaixa ∙ 500 = 500 ∙ 10–3 = = 0,5 m3 = 500 litros. Caberia facilmente. III – Verdadeira – todos os balões cheios teriam 50.000 vezes o volume de um único balão: Vtotal = 50.000 ∙ 5 litros = 250.000 litros = =250 m3. É menor que o da casa.

4 Basta segurar um pacote de açúcar com uma das mãos e h14 h15 h18 h20

ir esticando o braço aos poucos para perceber que, quanto mais próximo a carga estiver do corpo, mais fácil será sustentá-la. As figuras mostram duas posições de um braço com uma massa esférica na mão.

É mais fácil ar o peso da esfera quando ela está mais próxima do corpo porque:

5 Os icebergs são blocos de gelo que flutuam pelos oceah20

nos, principalmente nas proximidades dos polos. Podem ser pequenos ou atingir mais de 100 m de altura em relação à superfície do oceano. Mas o que se vê do iceberg é uma pequena parcela (entre 10% e 20%) de seu tamanho total. Seu tamanho define sua duração: há icebergs que duram quase 10 anos e chegam a se deslocar até 3.000 km de sua origem. Se um iceberg de volume total 200 m3 estiver em águas de densidade 1,1 g/cm3 e estiver com 15% de seu volume emerso, ele terá:

a) b) c) d) e)

um volume de 60 m3 sob as águas. uma densidade de 0,935 g/cm3. um volume de 215 m3 sob as águas. uma densidade de 1,294 g/cm3. um volume de 140 m3 sobre as águas.

O volume do iceberg é Vice = 200 m3 Com 15% emersos, sobram 85% imersos. Vfora = 15% de 200 m3 = 30 m3 Vdentro = 85% de 200 m3 = 170 m3

O

Assim:

d

a) Vdentro = 85% de 200 m3 = 170 m3 (densidade corpo) b) % imersa = (densidade do líquido) 0,85 densidade do corpo = = 0,935 g/cm3 1,1

O

30°

c) Vdentro = 85% de 200 m3 = 170 m3 d) A densidade deve ser menor que a da água para o iceberg boiar. d

e) Vfora = 15% de 200 m3 = 30 m3

73





Trabalho e energia mecânica A Física foi muito influenciada pelas mudanças ocasionadas pela Revolução Industrial. Os novos processos industriais procuravam, sobretudo, incorporar conceitos como os de conservação, eficiência e rendimento. Assim nasceram os conceitos físicos de trabalho e energia mecânica.

Duomo/Corbis/GlowimaGes

O conceito de trabalho, em Física, não está associado a um objeto ou a uma pessoa, e sim a uma força. Quando a força resultante é capaz de modificar o estado de movimento do corpo no qual está sendo aplicada, diz-se que ela realizou trabalho. Em outras palavras, se o corpo estiver em repouso e a ação da força tirá-lo desse estado, há realização de trabalho; caso ele esteja em movimento, a força resultante realizará trabalho se for capaz de modificar sua velocidade. Em ambas as situações, pode-se associar a aplicação da força a um certo deslocamento do corpo.

Se o módulo da força F é constante ao longo do deslocamento ∆s, o trabalho pode ser calculado por meio da expressão: D ∙ F ∙ Ss ∙ cos  em que  a é o ângulo entre F e a direção do deslocamento. F

F a

a

Ss

Figura 3 • Deslocamento de um bloco sobre uma superfície horizontal, no qual é aplicada uma força constante de módulo F. Figura 1 • Apesar de o atleta estar fazendo muito esforço para manter os halteres no alto, a força aplicada por ele não está realizando trabalho, pois não há deslocamento.

Trabalho realizado por uma força constante Suponha-se que a força aplicada por uma pessoa provoque o deslocamento de uma caixa, como representado na figura 2. Nesse caso, para que o movimento se dê na direção horizontal, a força F , cuja ação causará o deslocamento ∆s, pode ser aplicada em um ângulo , que varia entre 0° ≤  < 90°. Dessa maneira, a força certamente terá uma componente na direção horizontal, que é a direção do deslocamento. No caso de a aplicação da força se dar com  ∙ 90°, não haverá deslocamento causado por ela na direção horizontal, caracterizando trabalho nulo (figura 1).

Dependendo do valor do ângulo , o valor do trabalho D será positivo ou negativo. Se D > 0, diz-se que a força favorece o deslocamento, realizando um trabalho motor. Se D < 0, diz-se que a força dificulta o deslocamento, realizando um trabalho resistente. A unidade de medida do trabalho D no SI é o joule (J).

Trabalho realizado por uma força variável Se a força não é constante durante o movimento, a expressão D ∙ F ∙ Ss ∙ cos  não serve para determinar o trabalho, que será numericamente igual à soma algébrica das áreas compreendidas entre o gráfico F × d e o eixo das abscissas. F A1 A2

F

d

Figura 4 • O trabalho pode ser calculado com base nas áreas sombreadas A1 e A2.

Como A1 está acima do eixo horizontal, o trabalho desse trecho é positivo. Por outro lado, o trabalho no trecho A2 é negativo, pois a região está abaixo do eixo. Tem-se, então: Figura 2 • A força F aplicada pela pessoa sobre a caixa realiza trabalho, pois faz um ângulo menor que 90° com a direção horizontal, provocando o deslocamento do objeto.

74

N

D ∙ A1 2 A2


I. Trabalho

II. Potência associada ao trabalho de uma força

∙ ∙ P ∙ D , ou P ∙ F 3 v 3 cos  St

se a força F for constante durante o deslocamento. A unidade de medida da potência, no SI, é o J/s, denominado watt (W). 1 quilowatt (1 kW) ∙ 103 W 1 megawatt (1 MW) ∙ 106 W


Rendimento Caso haja interesse em avaliar se os processos de produção de trabalho de uma máquina são eficientes ou não, calcula-se o rendimento associado a esse dispositivo. Define-se rendimento de uma máquina como a razão entre a potência útil (realmente aproveitada) e a potência total (necessária ao funcionamento). ∙

Pútil Ptotal

O rendimento não tem unidade de medida, sendo, portanto, uma grandeza adimensional.

III. Energia cinética É conhecida como energia cinética a forma de energia associada a um corpo em movimento. Dessa maneira, todo corpo que tem velocidade diferente de zero, em relação a um dado referencial, apresenta energia cinética, que é dada por: Ecin ∙

⇒

v0 F

d

Figura 5 • A ação da força F provoca o aumento do módulo da velocidade do carro, ao o que o trabalho de F faz a energia cinética do veículo aumentar.

IV. Energia potencial A energia que pode ser armazenada em um sistema físico, para posterior utilização ou transformação em energia cinética, é chamada energia potencial. No estudo dos movimentos, essa forma de energia é aquela que confere ao corpo uma possibilidade de movimento. Na Física, são muitos os tipos de energias potenciais, estabelecidos de acordo com a força envolvida. Na Mecânica, estudam-se principalmente a energia potencial gravitacional e a energia potencial elástica.

Energia potencial gravitacional Quando um corpo está próximo de um campo gravitacional e apresenta altura h em relação a um nível de referência arbitrário, é associada a ele certa quantidade de energia potencial gravitacional. Em outras palavras, o fato de o objeto estar a certa distância do nível de referência lhe atribui uma possibilidade de movimento que pode se concretizar, bastando para isso que ele seja solto. A força responsável por deslocar o corpo é seu peso; por isso, diz-se que a energia potencial gravitacional é proveniente do trabalho da força peso, que pode ser calculada por: Epg ∙ m ∙ g ∙ h No SI, a unidade de energia potencial gravitacional é o joule (J).

No SI, a unidade de energia cinética é o joule (J).

m

Teorema da Energia Cinética Para que a energia cinética de um corpo se modifique, é preciso que atue, sobre o objeto, uma força capaz de alterar o seu estado de movimento. Na Física, associa-se o ganho ou a perda de energia de um sistema à quantidade de energia transferida a ele por meio do trabalho de uma força. Quando a força atua favorecendo o deslocamento do corpo, o trabalho realizado por ela aumenta a energia do sistema; caso contrário, ao dificultar o deslocamento, o trabalho realizado por ela diminui a energia do sistema. Assim, pode-se escrever:

m ∙ v 2 m ∙ v 20 – 2 2 v

m ∙ v2 2

em que m é a massa do corpo e v, o módulo de sua velocidade.

D ∙ ∆Ecin ∙

g

h

Nível de referência

Figura 6 • A esfera tem energia potencial gravitacional acumulada em relação ao nível de referência.

75

Trabalho e energia mecânica

A potência mecânica é uma grandeza que está relacionada ao tempo gasto pela força para a realização de um trabalho. Desse modo, associam-se potências elevadas à grande rapidez com a qual um trabalho é realizado.

D ∙ Ecf – Eci

belinDa Pretorius/shutterstoCk

V. Energia mecânica A energia mecânica de um sistema é a soma de todas as energias potenciais, mais a energia cinética em um determinado instante. Em um sistema em que só existem as energias potencial gravitacional e elástica, pode-se escrever:

Figura 7 • Na hidrelétrica, é feita uma barragem para a água acumular uma energia potencial que sofrerá transformações até que seja convertida em energia elétrica.

A energia potencial gravitacional não depende do formato da trajetória descrita pelo corpo; se a distância h a que o objeto está em relação ao nível de referência (figura 8) for a mesma, ele terá igual energia potencial gravitacional em todas as situações.

A

h

B

C h

h

Em sistemas ditos conservativos, a energia mecânica tem o mesmo valor em qualquer instante, ainda que ocorram transformações entre as energias potencial e cinética. Como exemplo, basta analisar o comportamento de um carrinho de montanha-russa. Quando está no alto da pista, quase toda a sua energia se apresenta na forma de energia potencial gravitacional. Conforme ele desce pelos trilhos e perde altura, a energia potencial converte-se em energia cinética. A cada alternância entre subidas e descidas, o processo se repete. Se fosse possível lubrificar a pista de modo que não houvesse perda de energia pelo trabalho do atrito, a energia mecânica do início se manteria constante, sendo a mesma da chegada. Na prática, isso não ocorre. Após a primeira descida, o carrinho da montanha-russa não retorna mais à altura da qual partiu, pois a energia mecânica do sistema é transformada em outras formas de energia, tais como a energia térmica, a sonora etc. Nesse caso, a energia mecânica associada ao carrinho se torna cada vez menor, e o sistema é chamado dissipativo. A

Figura 8 • A energia potencial gravitacional dos corpos nas trajetórias A, B e C é a mesma porque eles estão à mesma altura h em relação ao solo.

C

Energia potencial elástica Um sistema elástico, como uma mola, acumula energia quando sofre uma deformação. Dentro dos limites de elasticidade, seu comprimento original tende a ser restituído por meio do trabalho da força elástica. Dessa maneira, ao retornar ao comprimento natural, a mola (ou elástico) pode colocar em movimento objetos ou corpos presos à sua extremidade livre. Em outras palavras, a distensão ou compressão da mola armazena certa quantidade de energia potencial elástica. Para uma mola de constante elástica k e deformada x em relação ao seu comprimento de repouso, a energia potencial elástica é dada por: Epel ∙

B

Figura 10 • Em uma montanha-russa ideal, a energia mecânica total se conserva, apesar de alternar-se entre potencial e cinética.

Em uma montanha-russa em que há loops no trajeto, é preciso considerar que há uma altura mínima da qual o carrinho deve partir para que consiga executar o loop (figura 11), ainda que o sistema seja classificado como conservativo. No caso, tem-se: hmín ∙ 2,5 R sendo R o raio do loop.

k ∙ x2 2

A x B h Fel

Posição de equilíbrio qu uilíbrio

Figura 9 • Se é deslocada da posição de equilíbrio, a mola adquire energia potencial elástica.

76

R

Figura 11 • Se em A o carrinho é abandonado, a altura máxima do loop terá de ser menor que h, ainda que o sistema seja considerado conservativo; caso contrário, o carrinho para em B.


Emec ∙ Ecin + Epg + Epel

alexanDre tokitaka/Pulsar imaGens

D ∙ EMf – EMi Pode-se analisar o efeito dessa expressão no exemplo a seguir. Em um escorregador inflável, usado em festas infantis, cuja altura varia em torno de 5 m, a superfície por onde as crianças escorregam deve, por uma questão de segurança, apresentar atrito considerável. Supondo que uma criança de 40 kg desça por um desses escorregadores a partir do repouso, qual seria sua velocidade ao atingir a base do escorregador, caso não houvesse atrito? A

Figura 12 • No movimento de um ônibus, é possível reconhecer diversas transformações de energia.

As pessoas sempre estão em contato com alguma modificação de energia. As quantidades de energia transferidas de um sistema para outro, no entanto, são previsíveis, obedecendo a uma lei física denominada Lei da Conservação da Energia, cujo enunciado estabelece que: A energia não pode ser criada nem destruída, mas apenas transformada em outra, com sua quantidade total permanecendo constante. sPl/latinstoCk


Transformações de energia estão muito presentes nos fenômenos presenciados no cotidiano. Para que as pessoas se movam em um ônibus, diversas modificações energéticas são necessárias. A primeira delas ocorre quando o motorista, ao dar a partida, espera que a bateria transforme energia química em energia elétrica, para que o motor comece a girar. Daí por diante, a explosão do combustível nos cilindros do motor gerará energia térmica suficiente para mover os pistões, que farão as rodas girarem, associando a elas certa quantidade de energia cinética. O ônibus se move, e parte de sua energia cinética se transforma em calor por causa do trabalho da força de atrito dos pneus com o solo ou do trabalho da força de resistência do ar. Ao frear, a energia cinética do ônibus se transforma em energia térmica nos freios e, vez por outra, em energia sonora – em uma derrapagem, por exemplo.

Considera-se que uma das consequências do princípio da conservação da energia aos sistemas mecânicos é a ampliação do Teorema da Energia Cinética. Ao se estabelecer que a energia em um sistema não pode ser criada nem destruída, mas apenas transformada de um tipo em outro, ite-se que a energia mecânica somente poderá ser aumentada ou diminuída se uma força realizar trabalho. Dessa maneira, pode-se escrever:

B Nível de referência

Figura 14

Nesse caso, sabe-se que a energia mecânica inicial associada à criança é igual à final. Então, supondo que o ponto A seja o da partida e o B o da chegada, pode-se escrever: EMA ∙ EMB ⇒ EpgA + EcA ∙ EpgB + EcB Sabe-se que em A a criança não possui energia cinética porque vai partir do repouso. Em B, ela não tem energia potencial gravitacional porque não está a nenhuma altura do nível de referência. Sendo assim: v2 v2 ⇒ 2.000 ∙ 40 ∙ 2 2 Resolvendo a equação, tem-se v ∙ 10 m/s, o que equivale a 36 km/h, valor que não é seguro para a brincadeira. Com atrito, o valor da velocidade de chegada diminui consideravelmente. Supondo uma força de atrito que realize durante a descida um trabalho de –1.500 J, pode-se escrever: 40 ∙ 10 ∙ 5 ∙ 40 ∙

v0 ∙ 0 v∙0

D ∙ EMf – EMi ⇒ –2.000 ∙ EcB – EpgA ⇒ –2.000 ∙ Figura 13 • Em cada situação, parte da energia mecânica do sistema é transformada em outras formas de energia. No esquema é representado um garoto em um skate, descendo uma rampa. Por que ele para antes de atingir a mesma altura da qual partiu? Descreva as transformações de energia que ocorreram no sistema menino-rampa.

v2 – 40 ∙ 10 ∙ 5 2 Resolvendo a equação, tem-se v ∙ 5 m/s, o que equivale a 18 km/h, metade do valor da velocidade calculada sem a presença do atrito e bem mais segura para a criança. ∙ 40 ∙

77


Conservação de energia

ESTUDANDO Trabalho e energia mecânica

Para o vesTibular 1 (UCS-RS) Sobre um bloco atuam as forças indicadas na figura, as quais o deslocam 2 m ao longo do plano horizontal. Analise as informações. N

Considerando-se que a energia consumida pela esteira se deve ao trabalho desempenhado pela força (supostamente constante) que a jovem exerceu sobre a esteira para movimentá-la, a intensidade dessa força, em newtons (N), que a jovem exerce sobre a esteira é: a) 4,0 3 102. b) 3,0 3 102.

|F | = 100

Fa

c) 5,0 3 102. d) 6,0 3 102.

e) 3,5 3 102.

A distância percorrida em meia hora é de 2,7 km. Transformando a energia consumida de quilocalorias para kJ, tem-se 810 kJ. Da definição de trabalho de uma

I. O trabalho realizado pela força de atrito F a= é positivo. II. O trabalho realizado pela força F vale 200 J. III. O trabalho realizado pela força peso é diferente de zero. IV. O trabalho realizado pela força normal N é nulo. Quais são as corretas? a) Apenas I e II b) Apenas I e III c) Apenas II e III

d) Apenas II e IV e) Apenas III e IV

força constante: D ∙ F 3 d ] F ∙ 300 N.

3 (Fuvest-SP) O gráfico representa a variação da intensidade da força resultante F ,= que atua sobre um corpo de 2 kg de massa, em função do deslocamento x. F (N)

4

O trabalho (D) de uma força (F) é dado pela relação: D ∙ F 3 Ss 3 cos a. 0

I. Falsa. Nesse caso, cos 180° ∙ –1. Como Fa > 0 e Ss > 0, tem-se: DF < 0. a

II. Verdadeira. Nesse caso, a ∙ 0°; logo:

DF ∙ 100 3 2 3 1 } DF ∙ 200 J. III. Falsa. No caso da força peso, a ∙ 90°. Como cos 90° ∙ 0, tem-se necessariamente: DP ∙ 0. IV. Verdadeira. Para a força normal, a ∙ 90°. ∴ DN ∙ 0.

2

3

x (m)

Sabendo que a força F = tem a mesma direção e sentido do deslocamento, determine: a) a aceleração máxima adquirida pelo corpo. b) o trabalho total realizado pela força F = entre as posições x ∙ 0 e x ∙ 3 m. a) A aceleração adquirida pelo corpo é máxima quando a força resultante sobre ele também é máxima. Isto é: Fmáx ∙ m 3 amáx. Com base no gráfico, Fmáx ∙ 4 N e, do enunciado, m ∙ 2 kg. Portanto: Fmáx ∙ m 3 amáx ] 4 ∙ 2amáx } amáx ∙ 2 m/s2. b) Como a força F =é variável, o trabalho realizado por ela pode ser calculado como segue:

2 (UEPB) A esteira é o aparelho mais usado nas academias.

As mais modernas possuem um computador com visor que informa o tempo, a distância, a velocidade, os batimentos cardíacos e as calorias gastas, entre outras funções. Em uma academia de ginástica, uma jovem anda sobre uma esteira rolante horizontal que não dispõe de motor, movimentando-a. O visor da esteira informa que ela andou a uma velocidade constante de 5,4 km/h e que, durante 30 minutos, foram consumidas 202,5 quilocalorias. Adote 1,0 cal ∙ 4,0 J.

78

DF ∙ área sob o gráfico 334 base 3 altura DF ∙ ___________ ∙ ____ } DF ∙ 6 J 2 2

Segundo o enunciado, a força F =atua na mesma direção e no mesmo sentido do deslocamento do corpo. Portanto: DF . 0, ou seja, DF ∙ 6 J.


P

4 (Uece) Em um corredor horizontal, um estudante puxa

uma mochila de rodinhas de 6 kg pela haste, que faz 60° com o chão. A força aplicada pelo estudante é a mesma necessária para levantar um peso de 1,5 kg, com velocidade constante. Considerando a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2, o trabalho, em joules, realizado para puxar a mochila por uma distância de 30 m é: c) 389,7. d) 900,0.

D ] F ∙ d ∙ cos J ] D 5 15 3 30 3 0,5 5 225


plano, percorrendo em linha reta uma distância de 1 m. Durante todo o percurso, a força que ele exerce sobre a cadeira apresenta intensidade igual a 4 N e direção de 60° em relação ao piso. O gráfico que melhor representa o trabalho D, realizado por essa força ao longo de todo o deslocamento d, está indicado em: c)

Calculando a área abaixo do gráfico até o eixo d, tem-se

7 (PUC-Minas) Um motor é instalado no alto de um prédio,

5 (Uerj) Um homem arrasta uma cadeira sobre um piso

D (J) 2

d) 120. e) 110.

o trabalho realizado pela força. (40 1 20) ∙ x 2 ∙ 40 + ∙ 140 J Área ∙ 20 ∙ 2 + 2 2

F ∙ P ∙ m ∙ g ∙ 1,5 ∙ 10 ∙ 15 N

a)

a) 150. b) 140. c) 130.

D (J) 2

para elevar pesos, e deve executar as seguintes tarefas: I. Elevar 100 kg a 20 m de altura em 10 s. II. Elevar 200 kg a 10 m de altura em 20 s. III. Elevar 300 kg a 15 m de altura em 30 s.

A ordem crescente das potências que o motor deverá desenvolver para executar as tarefas anteriores é: a) I, II, III. b) I, III, II.

c) II, I, III. d) III, I, II.

e) II, III, I.

Motor

Fmotor

O enunciado sugere a figura:

Sentido do deslocamento P

Supondo que os pesos sejam elevados em movimento 0

b)

1

d)

D (J) 2

uniforme: Fmotor ∙ P .

0

d (m)

1

d (m)

D (J) 2

Nessas condições, a potência do motor será dada por: OFmotor 3 Ss 3 cos aO ODmotorO Pmotor ∙ ______ ] Pmotor ∙ ________________ St St Como a ∙ 0, a força do motor tem o mesmo sentido do deslocamento. Logo: mgSs P_____ 3 Ss _____ ∙ Pmotor ∙ St St

0

1

0

d (m)

D ∙ F ∙ d ∙ cos θ

1

d (m)

Como F ∙ cos θ ∙ constante, tem-se que D é função de d, que apresenta a forma de uma função afim, ou seja, seu gráfico é uma reta que a pela origem dos eixos. D ∙ F ∙ d ∙ cos 60° ∙ 4 ∙ 1 ∙ 0,5 ∙ 2 J Como o trabalho é proporcional ao deslocamento, d é o gráfico correto.

6 (Uesc-BA) Sobre um corpo inicialmente em repouso em um plano horizontal sem atrito, atua uma força horizontal de direção e sentido constantes, cuja intensidade varia com a distância percorrida, de acordo com o gráfico. F (N) 40

Calcula-se agora a potência do motor ao realizar cada uma das tarefas: 100 3 10 3 20 ___________ } PI 5 2.000 W I. PI ∙ 10 200 3 10 3 10 ___________ } PII 5 1.000 W II. PII ∙ 20 300 3 10 3 15 ___________ } PIII ∙ 1.500 W III. PIII ∙ 30

8 (UERN) O elevador de um edifício comercial sobe do sa-

guão de entrada até o 15o andar em 20 s, percorrendo uma distância total de 50 m com velocidade constante. A massa total do elevador lotado com 8 pessoas é 700 kg. Sabendo-se que o contrapeso do elevador tem massa de 460 kg e considerando a aceleração da gravidade g ∙ 10 m/s2, a potência desenvolvida pelo motor desse elevador na realização do trabalho foi:

a) 8,0 kW. c) 6,0 kW. b) 7,5 kW. d) 4,5 kW. mgh (700 – 460) ∙ 10 ∙ 50 ∙ P∙ ∙ 6.000 W tempo 20

20 10 2

4

6

d (m)

79


a) zero. b) 225,0.

Nessas condições, o trabalho realizado pela força sobre o corpo, após o deslocamento de 6,0 m, é igual, em J, a:

tida no vento em energia elétrica. O vento empurra as pás da turbina, fazendo-as girar. Um eixo acoplado às pás transmite a rotação dessas ao gerador, que converte energia cinética de rotação em energia elétrica. Suponha que, em uma turbina, a força do vento seja suficiente para produzir 7,2 ∙ 108 joules de energia cinética rotacional em duas horas. Se 40% da energia de rotação é convertida em energia elétrica, a potência dessa turbina é, em kW: a) 10.

b) 20.

c) 30.

d) 40.

e) 50.

40% de 7,2 ∙ 108 J ∙ 2,88 ∙ 108 J 2,88 ∙ 108 J P∙ ∙ 4 ∙ 104 W ∙ 40 kW 2 ∙ 3.600 s

10 (Fuvest-SP) A equação da velocidade de um móvel de

20 quilogramas é dada por v ∙ 3 1 0,2t, onde a velocidade é dada em m/s. Podemos afirmar que a energia cinética desse móvel, no instante t ∙ 10 s, vale:

a) 45 J. b) 100 J.

c) 200 J. d) 250 J.

e) 2.000 J.

corresponda à situação real das aeronaves em voo, é preciso que ambos sejam caracterizados por valores similares de uma quantidade conhecida como número de Reynolds (R). Esse número é definido como R∙

VL , onde V é uma velocidade típica do movimento, L b

é um comprimento característico do corpo que se move e b é uma constante que depende do fluido.

a) Faça uma estimativa do comprimento total das asas e da velocidade de um avião e calcule o seu número de Reynolds. Para o ar, bar 7 1,5 3 1025 m2/s. b) Uma situação de importância biotecnológica é o movimento de um microrganismo num meio aquoso, que determina seu gasto energético e sua capacidade de encontrar alimento. O valor típico do número de Reynolds nesse caso é de cerca de 1,0 3 1025, bastante diferente daquele referente ao movimento de um avião no ar. Sabendo que uma bactéria de 2,0 jm de comprimento tem massa de 6,0 3 10216 kg, encontre a sua energia cinética média. Para a água, bágua 7 7 1,0 3 1026 m2/s. a) V ∙ 250 m/s e L ∙ 50 m. Para essas estimativas, VL 250 3 50 ] R 7 8,3 3 108 tem-se: R ∙ ___ ] R 5 ________ bar 1,5 3 1025

Para determinar a velocidade do móvel no instante

b) Primeiramente, determina-se a velocidade média

t ∙ 10 s, substitui-se esse valor na função horária:

da bactéria com os dados do enunciado. V 3 2,0 3 1026 25 VL R ∙ ____ ] 1,0 3 10 ∙ ___________ ] bágua 1,0 3 1026

v ∙ 3 1 0,2t ] v ∙ 3 1 0,2 3 10 } v ∙ 5 m/s Logo, a energia cinética associada a esse móvel é dada mv2 ______ 3 52 } E por: Ec ∙ ____ ∙ 20 c ∙ 250 J 2 2

11 (Ufac) Um carro se desloca com velocidade de 72 km/h

na avenida Ceará. O motorista observa a presença de um radar a 300 m e aciona imediatamente os freios. Ele a pelo radar com velocidade de 36 km/h. Considere a massa do carro igual a 1.000 kg. O módulo da intensidade do trabalho realizado durante a frenagem, em kJ, vale:

a) 50. b) 100. c) 150.

d) 200. e) 250.

72 km/h ∙ 20 m/s e 36 km/h ∙ 10 m/s

} v ∙ 5 3 1026 m/s Então, a energia cinética média vale: 6 3 10216 3 (5 3 1026)2 m 3 V2 Ecin ∙ ______ ∙ _________________ ] 2 2 } Ecin ∙ 7,50 3 10227 J

13 (FMIt-MG) Um corpo de massa 2,0 kg, inicialmente em

repouso, é puxado sobre uma superfície horizontal sem atrito, por uma força constante, também horizontal, de 4,0 N. Qual será sua energia cinética após percorrer 5 m?

a) 0 joule b) 20 joules

c) 10 joules d) 40 joules

e) n.r.a.

Pelo Teorema da Energia Cinética: 1.000 3 (202 2 102) D ∙ Ec 2 Ecinicial ] D ∙ ________________ ] final 2

Como F é a única força responsável pelo movimento

] D ∙ 500 3 300 ∙ 150.000 } D ∙ 150 kJ

resultante, cujo trabalho realizado é:

do corpo, pode-se considerá-la a própria força

DF ∙ F 3 Ss 3 cos a ∙ 4,0 3 5 3 cos 0° } DF ∙ 20 J

12 (Unicamp-SP) O aper feiçoamento de aeronaves

que se deslocam em altas velocidades exigiu o entendimento das forças que atuam sobre um corpo em movimento num fluido. Para isso, projetistas realizam testes aerodinâmicos com protótipos em túneis de vento. Para que o resultado dos testes

80

Aplicando o Teorema da Energia Cinética: DF ∙ Ecfinal 2 Ecinicial, em que: Ecinicial ∙ 0, pois v0 ∙ 0. Logo, Ecfinal ∙ DF ∙ Ecinicial ∙ 20 J


9 (UEA-AM) Uma turbina eólica converte a energia con-

14 (Aman-RJ) Com que velocidade o bloco da figura a seguir, partindo do repouso e do ponto A, atingirá o ponto B, supondo todas as superfícies sem atrito? (g ∙ 10 m/s2)? A

16 (UFG-GO) Uma das competições dos X-games são as ma-

nobras dos esqueitistas em uma rampa em U. Um atleta parte do repouso do topo da rampa e, pelo movimento do seu corpo, de peso 800 N, consegue ganhar 600 J a cada ida e vinda na rampa, conforme ilustração a seguir.

B

10 m

h

5m

a) 0 m/s b) 5 m/s

c) 10 m/s d) 15 m/s

e) 20 m/s

O bloco, no ponto A, está dotado apenas de energia potencial gravitacional, já que sua velocidade inicial é

por conservação de energia: EpgA ∙ EpgB 1 EcB

mv2B mghA 2 mghB 1 ____ ] v2B ∙ 2g(hA 2 hB) ] 2

a) 2.

100  } OvBO ∙ 10 m/s ] v2B ∙ 2 3 10 3 (10 2 5) ∙ dllll

b) 3.

c) 4.

d) 6.

e) 8.

Ep ∙ mgh ∙ P ∙ h ∙ 800 ∙ 3 ∙ 2.400 J

15 (Uerj) Os esquemas abaixo mostram quatro rampas AB, de mesma altura AC e perfis distintos, fixadas em mesas idênticas, nas quais uma pequena pedra é abandonada, do ponto A, a partir do repouso. A

Desprezando as perdas de energia e o peso do skate, o número mínimo de idas e vindas que o atleta deve realizar para atingir uma altura (h) de 3 m acima do topo da rampa é:

Se o atleta consegue ganhar 600 J a cada ida e vinda, são necessárias 4 voltas.

A I

C

II B

C

Solo

B

17 (Uece) A figura abaixo mostra três trajetórias de uma

Solo

bola de futebol lançada no espaço.

A

A IV

III C

B

C

2 B

Solo

Solo

Após deslizar sem atrito pelas rampas I, II, III e IV, a pedra toca o solo, pela primeira vez, a uma distância do ponto B respectivamente igual a dI, dII, dIII e dIV. A relação entre essas distâncias está indicada na seguinte alternativa: a) dI > dII ∙ dIII > dIV b) dIII > dII > dIV > dI

y (m)


possui energia potencial gravitacional e cinética. Logo,

c) dII > dIV ∙ dI > dIII d) dI ∙ dII ∙ dIII ∙ dIV

I

1 0

0

2

4

6

8

II

10

III

12

14

18

20

x (m)

Desconsiderando o atrito viscoso com o ar, assinale o correto. a) b) c) d)

A trajetória que exigiu a maior energia foi a I. A trajetória que exigiu a maior energia foi a II. A trajetória que exigiu a maior energia foi a III. A energia exigida é a mesma para todas as trajetórias.

Como a energia total do sistema é a mesma,

A velocidade horizontal é maior em III. Como a energia

considerando a descida da pedra nas trajetórias, ou

potencial é a mesma nos três casos, a trajetória que

seja, é igual a mgh, todas as pedras sairão das

exigiu a maior energia foi a III.

rampas com a mesma velocidade; logo, o alcance de todos os lançamentos também será igual.

81


zero (Ecinicial ∙ 0). No ponto B, entretanto, o bloco

18 (Mackenzie-SP) Certo garoto, com seu skate, desliza

pela rampa, descrevendo o segmento de reta horizontal AB, com movimento uniforme, em 2,0 s. As resistências ao movimento são desprezíveis.

A

B C

20 (UFC-CE) Uma bola de massa m 5 500 g é lançada do

solo, com velocidade v0 e ângulo de lançamento J menor que 90°. Despreze qualquer movimento de rotação da bola e influência do ar. O módulo da aceleração da gravidade, no local, é g 5 10 m/s2. O gráfico abaixo mostra a energia cinética Ec da bola como função do seu deslocamento horizontal x.

d 4

D

d

EC (J) 120

d

a) 1,0 s. b) 1,4 s.

c) 1,6 s. d) 2,0 s.

e) 2,8 s.

30 0

21

42

x (m)

Analisando o gráfico, podemos concluir que a altura máxima atingida pela bola é:

Inicialmente, determina-se a velocidade do garoto no d ____ 20 ponto B: vB ∙ ∙ ___ ] vB ∙ 10 m/s. StAB 2

a) 60 m. b) 48 m.

Considerando o nível de referência de alturas na reta

Segundo o gráfico, a energia total (mecânica) associada

CD, determina-se a energia mecânica total em B: m 3 102 EmecB ∙ EpgB 1 EcinB ∙ m 3 10 3 5 1 ______ ] 2 } EmecB ∙ 100 m

c) 30 m. d) 18 m.

e) 15 m.

ao sistema é de 120 J. No ponto de altura máxima, a energia cinética associada à bola é a mínima possível. Segundo o gráfico: Ec ∙ 30 J, que ocorre a 21 mín

Conservação da energia entre B e C: m 3 v2c EmecB ∙ EpgB 1 EcinB ] 100 m ∙ 0 1 _____ ] 2 } vc 7 14,2 m/s

metros do local de lançamento. Por conservação de energia, no ponto mais alto da trajetória: Epg 1 Ec ∙ 120 } Epg 5 90 J mín

Desprezados os atritos, o movimento no trecho CD também é uniforme. Logo: d 20 vc ∙ ____ ] 14,2 ∙ ____ ] StCD 7 1,4 s StCD StCD

19 (UFSJ-MG) Num edifício em construção, um pedreiro,

que está a uma altura h do chão, deixa cair um tijolo de massa m. ados alguns dias, o incauto pedreiro, agora a uma altura igual ao dobro da anterior, deixa cair a metade de um tijolo. A energia cinética dessa metade de tijolo em relação à do tijolo inteiro, quando ambos chegam ao solo, desprezando-se o atrito é:

a) a metade. b) a mesma.

c) o dobro. d) o triplo.

Situação inicial: E ∙ m 3 g 3 h m __ Situação final: E ∙ 2 3 g 3 2h ∙ m 3 g 3 h Assim, as energias cinéticas dos dois objetos são as mesmas ao atingirem o solo.

82

Logo, a altura máxima atingida pela bola pode ser calculada como segue: Epg ∙ 90 } mghmáx ∙ 90 ] 90 90 _______ ] hmáx ∙ ___ mg ∙ 0,5 3 10 } hmáx ∙ 18 m

21 (UEPG-PR, adaptada) Um corpo em movimento colide

com uma mola, que sofre compressão, ando de um estado A para um estado B, conforme a figura abaixo. v

A

B

x v=0

Nesse contexto, analise as assertivas a seguir e assinale a alternativa correta. I. Em B a força armazenada na mola é uma força variável.

1

II. Em B a energia armazenada na mola é igual a kx2. 2 III. A soma da energia do corpo em A e a energia armazenada na mola em B corresponde à energia total do sistema. IV. Observando as situações A e B conclui-se que o sistema mostrado não é um sistema em que a energia se conserva.


Considerando d igual a 20 m e o módulo de g igual a 10 m/s2, o intervalo de tempo gasto por esse garoto para descrever o segmento CD é de, aproximadamente:

Desprezando as forças de atrito e considerando g a aceleração da gravidade e os ângulos AÅOB ∙ 90° e AÅOC ∙ ∙ 120°, determine a distância L da figura.

Apenas estão corretas as assertivas I, II e III. Apenas estão corretas as assertivas I, II e IV. Apenas estão corretas as assertivas II, III e IV. Apenas estão corretas as assertivas III e IV. Apenas estão corretas as assertivas I e II.

Cálculo da altura h do ponto C, em relação ao nível de referência em B: B O Å C ∙ 30°

I. Correta. A força em uma mola depende da deformação. Como o corpo está em movimento, B é o momento em que ele inverte seu movimento; a força é variável, pois x é variável. II. Correta. A energia armazenada em B é potencial elástica; de fato, a expressão da assertiva II fornece o

dll 3  R H ∙ R 3 cos 30° ] H ∙ ____ 2

@ 

H

30°

R

vc

60°

#

d

dll h 3  h ∙ R 2 H ] h ∙ 1 2 ___ R 2 B Agora, avaliando a conservação da energia

30° C

mecânica entre os pontos A e C da trajetória:

valor da energia potencial elástica. III. Incorreta. Não se pode somar a energia da situação A com a da B. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O

@ 

#

mvC2 dll 3   1 ____ EA ∙ EC ] mgR ∙ mg 1 2 ___ R 2 2 v2c d ll 3  ___ 3  gR gR ∙ __ ] v2c ∙ dll 2 2

IV. Incorreta. Nas situações A e B, nada se pode

De C a D, tem-se um lançamento oblíquo, cujo alcance

concluir sobre a conservação da energia.

a é preciso calcular.

22 (IME-RJ) Um bloco A, cuja massa é 2 kg, desloca-se, como mostra a figura, sobre um plano horizontal sem atrito e choca-se com a mola C, comprimindo-a até o ponto B.

3  1 dll dll 2 3  gR 3 2 3 __ 3 ___ v_______________ 3R c 3 2sen J 3 cos J 2 2 ∙ _______________ ] } a ∙ ___ a∙ 2 g g A distância L procurada é tal que L 5 d 1 a. 3R R 3R L 5 R 3 cos 60° 1 ___ ∙ __ 1 ___ ] } L 5 2R 2 2 2

V C A 0

24 (UFRR) Uma bola de borracha, de massa igual a 1 kg,

B 20 cm

Sabendo-se que a constante elástica da mola é 0,18 N/m, a velocidade escalar do bloco, no momento em que se chocou com a mola, era: a) 6 cm/s. b) 20 cm/s.

c) 50 cm/s. d) 60 cm/s.

e) 10 cm/s. f) n.r.a.

Por conservação de energia: 2 2 2 lll mv k kx ____ kx ___ __ ___ Ec ∙Epel ] 2 ∙ 2 ] v2 ∙ m ] OvO ∙ OxO m   llll 0,18 } OvO ∙ 0,06 m/s OvO ∙ O0,2O ____   2

d

d

cai de uma altura de 2 m, em relação ao solo, com uma velocidade inicial nula. Ao tocar o solo, a bola transfere para este 12 J, na forma de calor, e volta a subir verticalmente. Considere a aceleração da gravidade g 5 10 m/s2. A altura, em cm, atingida pela bola na subida é de:

a) 5. b) 20.

c) 60. d) 80.

mecânico, mostrado na figura abaixo, foi bastante visitado. Um bloco de massa m, partindo do repouso do ponto A, desliza sem atrito por uma rampa circular de raio R até o ponto C, quando é lançado para fora da superfície circular, atingindo o ponto D. O

e) 125. A

Considere a figura: hA = 2 m

23 (Unifap) Em uma feira de Ciências em Macapá, o jogo

A

B

v0 = 0

v=0 hB

Por conservação de energia:

Solo

E Apg ∙ E Bpg 1 12 ] mghA ∙ mghB 1 12 ] mghA 2 12 ] hB ∙ __________ mg 1 3 10 3 2 2 12 hB ∙ ____________ } hB ∙ 0,8 m ∙ 80 cm 1 3 10

R C


a) b) c) d) e)

D

B L

83

ESTUDANDO Trabalho e energia mecânica

Para o enem 1 As quatro figuras a seguir mostram situações variadas h17 h20

envolvendo objetos em movimento.

iii.

Ec

iv. A

B

Ec

I. A

A B

h

II.

0

t

B

0

t

A sequência de gráficos i, ii, iii e iv corresponde, respectivamente, às situações ilustradas nas figuras: a) III, IV, II, I. b) II, I, III, IV. c) III, II, I, IV.

d) IV, I, II, III. e) III, I, IV, II.

O gráfico i mostra o aumento contínuo da energia

B

observado apenas no móvel III.

A

O gráfico ii ilustra uma energia cinética constante, seguida de diminuição, e volta a ser constante, embora menor. Essa análise qualitativa corresponde à figura I, do skatista, que vem por uma plataforma horizontal com velocidade constante, sobe o aclive III.

perdendo velocidade e segue por outra plataforma,

A

v=0

com velocidade constante. O gráfico iii está relacionado à figura IV, pois a bola é chutada com velocidade máxima, perde velocidade B

enquanto ganha altura e volta a ficar veloz ao cair. v

No ponto de energia cinética mínima, a bola está em sua altura máxima, em que tem apenas velocidade horizontal.

IV.

E o último gráfico (iv) corresponde ao movimento do pêndulo (II). Ele parte de velocidade nula, aumenta continuamente até ar pelo ponto B

A

de menor altura, em que a velocidade é máxima, e perde velocidade ao subir até atingir sua altura máxima,

Observe os gráficos a seguir, que correspondem à análise qualitativa da energia cinética das situações ilustradas, considerando que não há dissipação de energia em nenhuma delas. i.

ii.

B

Ec

Ec

B

A 0

84

A

t

0

t

com velocidade nula, do outro lado.


cinética, ou seja, da velocidade do móvel, fato que é

2 Nas competições de esqui na neve, é a de “descida livre”

3 O saque “jornada nas estrelas”, popularizado na década

h17 h20

h20 h23

A

45 m

de 1980 pelo jogador Bernard, da seleção brasileira de voleibol, fazia a bola subir a mais de 20 m de altura e cair quase que verticalmente na quadra adversária. Um desses saques fez a bola, de massa 300 g, atingir a altura de 25 m e cair na quadra adversária. Sabendo que a gravidade local era 10 m/s2 e desprezando os efeitos dissipativos de atritos e resistências do ar, é correto afirmar que:

a) na altura máxima, a energia gravitacional da bola é nula. b) a energia cinética com que a bola atinge o solo é 75 joules. c) a energia cinética com que a bola atinge o solo é nula. d) a energia cinética com que a bola atinge o solo é 75.000 joules. e) na altura máxima, a energia gravitacional da bola é 75.000 joules.


Impulsionada pela força do saque, a bola (m ∙ 300 gramas ∙ 0,3 kg) sobe a uma altura de 25 m com a B

gravidade local valendo 10 m/s2. A energia potencial gravitacional da bola, na altura

a) A energia dissipada na descida é nula. b) A energia mecânica total do esquiador, antes de descer o trecho nevado, era 45 kJ. c) Pelo princípio de conservação da energia, a energia mecânica total do esquiador, no momento em que atinge o nível do chão, vale 45 kJ. d) A energia gravitacional do esquiador, antes de descer o trecho nevado, era 45 J. e) Ao chegar ao nível do solo, a energia cinética do esquiador vale 45.000 J.

A energia cinética é nula na altura máxima, pois não há

Em A, a energia cinética (EC) é nula, pois o esquiador

portanto, a energia cinética é máxima: EC ∙ 75 J.

máxima, é de: EG ∙ m ∙ g ∙ h ∙ 0,3 ∙ 10 ∙ 25 ] EG ∙ 75 J

velocidade na bola. Porém, na descida, toda a energia gravitacional vai se transformando em cinética e, ao tocar a quadra, a energia gravitacional se anula;

está em repouso, e a energia gravitacional (EG) vale: EG ∙ m ∙ g ∙ h ∙ 100 ∙ 10 ∙ 45 ] ] EG ∙ 45.000 joules ∙ 45 kJ Assim, a energia mecânica total em A vale: EM ∙ EC + EG ∙ 0 + 45.000 ] EM ∙ 45.000 J ∙ 45 kJ Em B, a energia gravitacional se anula, enquanto a 100 ∙ 202 m ∙ v2 ∙ ∙ cinética vai valer: EC ∙ 2 2 100 ∙ 400 ∙ 20.000 J ] EC ∙ 20 kJ ∙ 2 E a energia mecânica total vale: EM ∙ EC + EG ∙ 20.000 + 0 ∙ 20.000 J ] EM ∙ 20 kJ A energia dissipada (Ediss) na descida foi de: Ediss ∙ EMA – EMB ∙ 45.000 – 20.000 ] Ediss ∙ 25.000 J

85


(downhill) a modalidade em que se atingem as maiores velocidades, podendo-se chegar a 150 km/h. Os competidores correm contra o relógio, pois vence aquele que cumprir o percurso em menor tempo. Para testar o trajeto, um esquiador de massa 100 kg desceu, a partir do repouso, em A, um trecho de uma montanha nevada de 45 m de altura, até o nível do chão, em B, aonde chegou com a velocidade de 20 m/s. Durante a descida, o esquiador não deu impulso nem freou. Ele apenas se preocupou com sua postura para obter o melhor aproveitamento aerodinâmico. É correto afirmar:


PriNCÍPiO Da CONservaÇÃO Da QuaNtiDaDe De MOviMeNtO

I. Quantidade de movimento

II. Impulso

Chama-se quantidade de movimento (ou momento linear) a grandeza vetorial q com as seguintes características:

O impulso é a grandeza física que mede o efeito temporal da força, ou seja, que relaciona a força aplicada a um corpo à duração da interação – intervalo de tempo – entre a força e o corpo.

• Módulo: definido pela expressão

• Direção e sentido: os mesmos do vetor velocidade instantânea v. A unidade de medida da quantidade de movimento no SI é kg ∙ m/s. Por ser uma grandeza vetorial, a quantidade de movimento ite valores negativos, indicando que o objeto se desloca no sentido contrário ao adotado como positivo na trajetória. Dessa maneira, ainda que a energia cinética de um corpo de massa 10 kg tenha o mesmo valor tanto para deslocamentos com velocidade de módulo 2 m/s quanto para movimentos retrógrados com velocidade –2 m/s, as quantidades de movimento associadas a esses deslocamentos não serão as mesmas.

SEbaStiEn nogiEr/rEutErS/LatinStock

q∙m∙v .

Figura 2 • Para conseguir golpes mais fortes, o tenista procura manter a bola em contato com a raquete o maior tempo possível, aumentando o impulso.

Impulso da força constante

1 v ∙ 2 m/s

Se o módulo da força F é constante ao longo do intervalo de tempo ∆t, o módulo do impulso é dado por:

q

I 5 F 3 St A direção e o sentido do impulso coincidem com os da força F aplicada.

2 v ∙ –2 m/s I q

F

Figura 1 • O valor da energia cinética das duas caixas é 20 J, mas a quantidade de movimento da caixa 1 vale q1 ∙ 20 kg ∙ m/s e a da caixa 2, q2 ∙ –20 kg ∙ m/s.

86

Figura 3

A unidade do impulso no SI é N ∙ s.


Para lidar com problemas que envolvam colisões, utilizam-se os conceitos de impulso e quantidade de movimento. A conservação da quantidade de movimento é mais facilmente verificada e mais abrangente do que a conservação da energia mecânica.

Se a força não é constante durante a interação, o impulso é numericamente igual à soma algébrica das áreas estabelecidas no gráfico F × t, limitadas pelo eixo das abscissas. F

I 5 Sq 5 qfinal 2 qinicial

Patrick Straub/EPa/corbiS/LatinStock

A expressão representa uma subtração de vetores. Além disso, fica claro que, para alterar o estado de movimento de um corpo, é necessário aplicar uma força que interaja com ele durante certo intervalo de tempo.

A3

A1

Pode-se concluir que as grandezas impulso I e quantidade de movimento q estão relacionadas por meio do Teorema do Impulso, que estabelece:

t

A2

Figura 4 • Observe que as áreas acima do eixo horizontal contribuem positivamente, ao o que as áreas sob o eixo contribuem negativamente para o impulso. N

I ∙ A1 2 A2 1 A3

.

Teorema do Impulso Para variar a quantidade de movimento de um objeto, é necessário que uma força exerça certo impulso sobre ele. Na tirinha a seguir (figura 5), Cascão joga uma pedra em Mônica, que a rebate. Pode-se analisar a situação utilizando os conceitos físicos aprendidos neste tópico. Ao lançar a pedra com certa velocidade, Cascão está associando a ela certa quantidade de movimento inicial qi. A pedra é rebatida, isto é, uma força atua sobre ela em curto intervalo de tempo, produzindo um impulso que altera o módulo e o sentido de sua velocidade e, consequentemente, modifica sua quantidade de movimento, que a a ser qf. O impulso I exercido pela força imposta por Mônica ao coelho Sansão, e por ele à pedra, é o agente que provoca a variação da quantidade de movimento ∆q da pedra, salvando Mônica de receber uma pancada. Mauricio dE SouSa ProduçõES Ltda


No caso da figura 4, tem-se:

Figura 6 • No bloqueio, a força exercida pela jogadora, ao receber uma cortada, altera a quantidade de movimento da bola e muda sua direção. Quanto maior o tempo de contato entre a mão de quem bloqueia e a bola, maior a força com que esta retorna ao outro lado da quadra.

Airbags Tempo em milissegundos 00

85

58

150

68

O tempo de acionamento de um airbag pode ser comparado ao tempo de um piscar de olhos.

Figura 7

Figura 5 • Mônica se livra da pedrada devolvendo-a a Cascão. A força sobre a pedra exerce impulso sobre ela.

Em uma colisão, os automóveis têm sua velocidade reduzida bruscamente ou, em outras palavras, suas quantidades de movimento se anulam em poucos instantes. Como a força responsável pela redução da velocidade é muito grande, o impulso sobre o carro também será elevado, e o ageiro terá pouquíssimo tempo para anular sua quantidade de movimento. É aí que entram os airbags. Por meio da bolsa inflável que é acionada em uma colisão, eles amortecem o choque, aumentando o tempo de desaceleração. Com isso, reduzem a intensidade das forças trocadas no impacto. O airbag provoca uma desaceleração quase uniforme nos ocupantes do veículo.

87

Princípio da conservação da quantidade de movimento

Impulso da força variável

III. Conservação da quantidade de movimento Forças internas e externas

PhiL dEggingE/aLaMy/othEr iMagES

Considere que, sobre uma mesa de bilhar, entre todas as bolas é estabelecido um sistema de corpos constituído apenas pelas bolas branca e vermelha. Todas as forças trocadas entre elas são denominadas forças internas. As forças trocadas entre as bolas branca e vermelha e corpos fora do sistema são forças externas. Dessa maneira, o peso das bolas é uma força externa, já que a Terra, agente da força peso, não faz parte do sistema.

Em síntese, em um sistema isolado de forças externas, a quantidade de movimento se conserva e pode ser expressa por: qf ∙ qi É importante notar que a conservação da quantidade de movimento ocorre mesmo que não haja conservação da energia mecânica. Trata-se de um princípio mais geral, usado mesmo em colisões de partículas subatômicas. No lançamento de um foguete, para que ele se mova para cima, é necessário expulsar uma enorme quantidade de gás em sentido oposto. A quantidade de movimento do sistema foguete + gás se conserva.

Figura 8 • São forças externas a força do taco, o peso das duas bolas, as normais e o atrito. As forças trocadas entre as duas bolas durante o choque são forças internas.

Sistema isolado de forças externas Um sistema de corpos é considerado isolado de forças externas se: • não atuam forças externas sobre ele (exemplo: o sistema é uma sonda espacial no espaço longínquo); ou • a resultante das forças externas é nula (exemplo: no sistema bolas branca e vermelha, descrito anteriormente, o peso e a normal são forças externas e se anulam); ou • a intensidade das forças externas é desprezível em relação à intensidade das forças internas (exemplo: no sistema bolas branca e vermelha, o atrito entre as bolas e a mesa pode ser considerado desprezível em relação às forças trocadas no choque entre as duas bolas).

Conservação da quantidade de movimento Se o sistema está isolado de forças externas, é nulo o impulso resultante sobre o sistema e, em consequência, a quantidade de movimento total não sofre alteração. Essa conclusão, que é o princípio da conservação da quantidade de movimento, pode ser descrita algebricamente, como segue: ∙Fext ∙ 0 ⇒ Isistema ∙ 0 ⇒ ∆q ∙ 0 ⇒ qf – qi ∙ 0

88

Em uma colisão mecânica, supondo-se que a massa dos corpos não se altere, identificam-se duas fases: deformação e restituição. Na deformação, a energia cinética dos corpos anterior ao choque se transforma em energia potencial elástica, energia sonora (ruído), energia térmica (calor) etc. Na restituição, toda ou parte da energia transformada retornará na forma de energia cinética. As colisões am, então, a ser classificadas de acordo com o reaproveitamento da energia mecânica do sistema após a colisão, como descrito a seguir. • Choque perfeitamente elástico: os corpos não sofrem deformações permanentes (situação idealizada); a energia mecânica do sistema de corpos que colidem se conserva, ou seja: EMi 5 EMf • Choque inelástico: a deformação nos corpos provocada pelo choque é permanente, podendo não ser perceptível (por exemplo: uma bola de tênis em seu choque com a raquete); a energia mecânica do sistema de corpos que colidem não se conserva, sendo transformada em outras formas de energia. Assim, tem-se: EMf < EMi • Choque totalmente inelástico: os corpos movemse juntos após a colisão, não havendo restituição (por exemplo: uma bola de argila atirada contra um carrinho em movimento). A energia mecânica inicial do sistema sofre uma redução maior do que em um choque inelástico. EMf < EMi Além dessa classificação, podem-se caracterizar os choques como frontais ou como oblíquos. Nas colisões ditas frontais, os choques se dão em uma só dimensão, ou seja, a direção do movimento dos corpos não é modificada com o choque; caso contrário, a colisão é denominada oblíqua, ou em duas dimensões (figuras 9 e 10).


IV. Colisões unidimensionais

Por outro lado, o módulo da quantidade de movimento do sistema, no caso de esferas com sentidos opostos, corresponde a uma diferença entre os módulos dos vetores quantidade de movimento de cada corpo. Ainda supondo vA > vB, observe as situações a seguir:

Figura 9 • Na colisão da bola de boliche com os pinos, parte da energia cinética inicial do sistema é transformada em outras formas de energia; a colisão é inelástica.

qA

qB

qtotal ∙ mA ∙ vA – mB ∙ vB

.

Para vetores com mesmo sentido, o módulo da resultante equivalerá a uma soma entre os módulos dos vetores. qA

qB

qA

B

Situação 7

Figura 10 • Apesar de choques perfeitamente elásticos não ocorrerem na realidade, há algumas situações em que, no limite, pode-se itir que a energia cinética do sistema se conserva por alguns instantes, como nessa situação.

V. Velocidade relativa em uma dimensão É preciso analisar cuidadosamente todas as possibilidades de sentido dos vetores velocidade entre duas esferas que colidem na mesma direção. Se os sentidos dos movimentos dos corpos são opostos, o módulo da velocidade relativa corresponde à soma dos módulos das velocidades de cada um dos corpos. vB

vA

vA

B

A

Situação 1

vB

B

Situação 2

Para as situações 1 e 2, tem-se:

vrel ∙ vA + vB

.

Se os sentidos dos movimentos coincidem, o módulo da velocidade relativa será a diferença entre os módulos das velocidades de cada um dos corpos. A

vA

vB

B

Situação 3

vA

A

vB B Situação 4

Supondo vA > vB, a velocidade relativa nas situações 3 e 4 vrel ∙ vA – vB

.

A

qB B

Situação 8

Nas situações 7 e 8, tem-se:

será:

B

Situação 6

Nas situações 5 e 6, tem-se:

A

A

qB

A

B Situação 5

SErgio conSoLi/drEaMStiME.coM Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

qA

A

qtotal ∙ mA ∙ vA + mB ∙ vB

.

Coeficiente de restituição É a razão entre o módulo da velocidade relativa dos corpos posterior à colisão e o módulo da velocidade relativa dos corpos anterior à colisão.

e∙

vreldepois vrelantes

• Se e ∙ 1, a energia se conserva, e a colisão é dita perfeitamente elástica. • Se e ∙ 0, não ocorre restituição, e os corpos permanecem unidos após a colisão. Essa colisão, na qual ocorre a maior perda de energia, é conhecida como inelástica (ou totalmente inelástica). • Se 0 < e < 1, a restituição da energia é parcial, e a colisão é denominada parcialmente elástica (ou inelástica).

VII. Conservação da quantidade de movimento nas colisões Em um sistema de corpos que colidem entre si, a quantidade de movimento imediatamente antes da colisão, qi, é igual àquela imediatamente após a colisão, qf: qi ∙ qf para qualquer tipo de choque mecânico.

89


MatthiaS kuLka/ZEfa/corbiS/LatinStock

VI. Quantidade de movimento em uma dimensão

ESTUDANDO Princípio da conservação da quantidade de movimento

Para o vestibular 1 (UFRJ) Em uma aula de física, os alunos relacionam os

valores da energia cinética de um corpo aos de sua velocidade. O gráfico abaixo indica os resultados encontrados. Ec (J) 9

3 (UFRGS-RS) Um veículo de massa 500 kg, percorrendo uma estrada horizontal, entra numa curva com velocidade de 50 km/h e sai numa direção que forma um ângulo de 60° com a direção inicial e com a mesma velocidade de 50 km/h. Em unidades do Sistema Internacional, a variação da quantidade de movimento do veículo, ao fazer a curva, em módulo, foi de, aproximadamente: a) 7,0 3 104.

c) 3,0 3 104.

e) 3,0 3 103.

b) 5,0 3 104.

d) 7,0 3 103. Depois da curva y

Antes da curva y

Considere a figura: Fazendo a devida conversão,

60°

x

4

x

a velocidade do veículo é de 14 m/s. Assim, a

1 0

q0 ∙ mv ∙ 500 3 14 } q0 ∙ 7.000 kg 3 m/s 1

2

3

v (m/s)

Determine, em kg ∙ m/s, a quantidade de movimento desse corpo quando atinge a velocidade de 5 m/s. 1 1 ∙ m ∙ 32 ⇒ m ∙ 2 kg Ec ∙ mv2 ⇒ 9 ∙ 2 2 q ∙ m ∙ v ∙ 2 ∙ 5 ⇒ q ∙ 10 kg ∙ m/s

Após a curva: qf ∙ mvf ⇒ qf ∙ 500 ∙ 14 } qf ∙ 7.000 kg Da relação vetorial ∆q ∙ qf – q0, tem-se o esquema: Como q ∙ q0 e o ângulo entre

–q0

q e –q0 é de 60°, o triângulo da figura

60° ∆q

é equilátero.

2 (UEA-AM) Uma bolinha de borracha de massa igual a

100 g é arremessada frontalmente contra uma parede. A bolinha atinge a parede perpendicularmente a ela com velocidade de 10 m/s. Após o choque, a bolinha retorna na mesma direção com módulo de velocidade igual a 8 m/s. Considerando positivo o sentido da velocidade da bolinha no instante em que atinge a parede, o impulso da força exercida pela parede sobre a bolinha, em kg ∙ m/s, é:

a) –5,0. b) –3,8. c) –2,5.

d) –1,8. e) –1,0.

O impulso da força exercida sobre a parede é: I ∙ variação da quantidade de movimento ∙ ∙ m ∙ vfinal – m ∙ vinicial. I ∙ 0,1 ∙ 10 – 0,1 ∙ (–0,8) ∙ 1,8 kg ∙ m/s Logo, o impulso da força exercida pela parede sobre a bolinha é –1,8 kg ∙ m/s.

60°

Logo: ∆q ∙ 7.000 kg ∙ m/s.

4 (Uesc-BA) De acordo com a Infraero, no aeroporto Salgado

Filho, em Porto Alegre-RS, 18 acidentes causados por choques de aves com aeronaves foram registrados em 2007 e mais quatro nos cinco primeiros meses de 2008. Considere uma ave com 3,0 kg que se chocou perpendicularmente contra a dianteira de uma aeronave a 540,0 km/h. Sabendo-se que o choque durou 0,001 s e desprezando-se a velocidade da ave antes do choque, a força aplicada na dianteira da aeronave é equivalente ao peso de uma massa, em toneladas, aproximadamente igual a: a) 25.

b) 35.

c) 40.

d) 45.

e) 50.

540 km/h ∙ 150 m/s. Quantidade de movimento da ave após o choque q ∙ m 3 v ∙ 3 3 150 ] q ∙ 450 kg 3 m/s Pelo Teorema do Impulso: Sq ∙ I ∙ F 3 St ] 450 ∙ F 3 0,001 ] } F ∙ 450.000 N O peso de 450.000 N equivale a uma massa de 45.000 kg, ou 45 toneladas.

90

qf


quantidade de movimento do veículo antes da curva era:

5 (Mackenzie-SP) Uma bola de bilhar de 100 g, com ve-

7 (Uerj) Um corpo de massa igual a 6,0 kg move-se com ve-

locidade de 8 m/s, atinge a lateral da mesa, sofrendo um choque perfeitamente elástico, conforme mostra a figura. No choque, a bola permanece em contato com a lateral da mesa durante 0,08 s.

Considere que, a partir de 0,5 s, esse corpo é impulsionado por uma força de módulo constante e de mesmo sentido que a velocidade, durante 1,0 s.

F (N) 12,0

A intensidade da força que a bola aplica nessa lateral é de: a) 20 N. b) 18 N.

c) 16 N. d) 15 N.

e) 10 N.

Para determinar a intensidade F da força, utiliza-se o Teorema OSqO _____ do Impulso: IF ∙ OSqO ] F 3 St ∙ OSqO } F ∙ St


Segundo o enunciado: St ∙ 0,08 s. Falta determinar Sq. Como o choque é perfeitamente elástico, pode-se escrever:

OqinicialO ∙ OqfinalO ∙ mv ∙ 0,1 kg 3 8 m/s ∙ 0,8 kg 3 m/s.

0

t (s)

1,5

0,5

Calcule a velocidade do corpo no instante t ∙ 1,5 s. Como o impulso é na mesma direção e sentido da velocidade, tem-se: ∆q ∙ I ⇒ ∆q ∙ F ∙ ∆t ⇒ 6 ∙ vf – 6 ∙ ∙ 0,4 ∙ 12 ∙ 1 ⇒ vf ∙ 2,4 m/s

Agora: Sq ∙ qfinal – qinicial. Vetorialmente: qfinal Sq

8 (UFC-CE) Na superfície de um lago congelado (consi-

60° –qinicial

Como OqfinalO ∙ OqinicialO e o ângulo entre qfinal e –qinicial é de 60°, o triângulo da figura é equilátero. Logo: OSqO ∙ 0,8 kg 3 m/s. 0,8 Sq Assim: F ∙ ___ ∙ ____ } F ∙ 10 N. 0,08 St

e u

dere nulo o atrito), um menino de 40 kg empurra um homem de 80 kg. Se este adquirir a velocidade de 0,25 m/s, o menino: a) escorregará, em sentido contrário, com velocidade igual em módulo. b) ficará parado. c) deslizará, em sentido oposto, com velocidade de 0,50 m/s. d) deslizará, para trás, com velocidade de 2 m/s.

Considere a seguinte sequência de figuras com respeito à interação entre o homem (H) e o menino (M): vH0 = vM0 = 0

6 (Unemat-MT) Considere uma bola de 0,75 kg, que se choca perpendicularmente com uma parede a uma velocidade de 10 m/s, e que, após o choque, retorna na mesma direção e mesma velocidade em módulo, ou seja, ocorrendo um choque perfeitamente elástico. Calcule a intensidade da força atuante na bola, provocada pela parede, supondo que a interação do choque tenha durado um tempo de 0,04 s. a) 250 N

c) 300 N

b) 375 N

d) 425 N

e) 500 N

F

M H Antes da interação M vM = ?

(+)

M H

(+)

Durante a interação H

(+) vH = 0,25 m/s

Depois da interação

itindo que o sistema (homem 1 menino) seja mecanicamente isolado, pode-se escrever: (qsist)final ∙ (qsist)inicial ] mMvM 1 mHvH ∙ 0

I ∙ F ∙ 0,04, mas I ∙ variação da

40 3 vM 1 80 3 0,25 ∙ 0 ] 40vM ∙ 220 } vM ∙ 20,5 m/s.

q ∙ 0,75 ∙ 10 – 0,75 (–10) ∙ 15 kg ∙ m/s.

Portanto, o menino se desloca em sentido oposto ao do

15 ∙ F ∙ 0,04, então F ∙ 375 N.

homem com velocidade de 0,5 m/s.

91


O gráfico abaixo ilustra o comportamento da força em função do tempo.

30°

30°

locidade constante de 0,4 m/s, no intervalo de 0 s a 0,5 s.

física que aprendeu em sala de aula decide testar seus conhecimentos. Para isso, ele juntou dois carrinhos de brinquedo de massa m1 e m2, respectivamente, e uma mola de massa desprezível com constante k. Colocou o conjunto em uma superfície plana e comprimiu a mola do seu comprimento de equilíbrio x0 até o comprimento x, amarrando os carrinhos com uma corda de massa desprezível, deixando o conjunto em repouso, como mostrado na figura abaixo. Em um dado instante a corda é cortada, liberando os carrinhos para se mover livremente, já que a mola não está presa nos carrinhos.

m1

m2

Desprezando qualquer atrito no sistema, marque, para as afirmativas abaixo, (V) Verdadeira, (F) Falsa ou (SO) Sem Opção. 1 ( F ) A energia potencial do sistema antes de a corda

k(m1 + m2) (x – x0)2 ser cortada é U ∙ . 2

2 ( V ) A força resultante atuando no sistema antes de a corda ser cortada é nula. 3 ( F ) Após cortar a corda, os carrinhos se movimentarão em sentido oposto e cada um com aceleração

k(x – x0) . constante e igual a a ∙ – (m1 + m2)

10 (UEM-PR) Analise as alternativas abaixo e assinale o que for correto.

(01) Em uma colisão perfeitamente elástica, a energia cinética e a quantidade de movimento do sistema físico se conservam. (02) Em uma colisão perfeitamente inelástica, os corpos se mantêm juntos após a colisão. (04) Em uma colisão elástica entre dois corpos A e B, se a massa de A é mA e, antes da colisão, A possui a velocidade v Ai e B está em repouso, a quantidade de movimento de B, após a colisão, será m A (v Ai – v Af ), sendo v Af a velocidade de A após a colisão. (08) Somente nas colisões perfeitamente elásticas, a energia cinética se conserva. (16) Um exemplo real de colisão perfeitamente elástica ocorre quando dois corpos colidem e apresentam deformações após a colisão. Soma: 01 + 02 + 04 + 08 ∙ 15 Como em colisões perfeitamente elásticas a energia se conserva, não pode haver dissipação de espécie alguma. Deformações permanentes são indicadores de dissipação de energia, logo a colisão não pode ser perfeitamente elástica.

4 ( V ) As velocidades vetoriais dos carrinhos estão relacionadas por: v1 ∙ –v2

m2 . m1

1. Falsa. A energia potencial do sistema é a soma das k(x – x0)2 . energias potenciais elásticas, ou seja, U ∙ 2 2. Verdadeira. Como o sistema está em repouso, pode-se afirmar, pela primeira Lei de Newton, que a

11 (Uesb-BA) Newton e vários cientistas estavam interessados em analisar as colisões entre corpos, como, por exemplo, as colisões entre bolas de bilhar.

Considerando-se um sistema de duas partículas em movimento, é correto afirmar:

volta ao seu normal o valor da força elástica diminui,

a) Em qualquer colisão perfeitamente inelástica que ocorra, toda a energia cinética das duas partículas é perdida. b) O momento linear do sistema pode ser conservado mesmo quando a energia mecânica não se conserva. c) O momento linear total do sistema permanece constante, se a força interna resultante atuando sobre o sistema permanece nula. d) A energia mecânica é conservada em uma colisão elástica entre as partículas. e) O momento linear da partícula mais leve é maior que o da partícula mais pesada, movendo-se com a mesma velocidade.

o que impede que a aceleração seja constante.

A conservação do momento linear do sistema não

4. Pela conservação da quantidade de movimento,

depende da conservação da energia mecânica.

tem-se que, após a liberação da mola, as quantidades

Se, por exemplo, um carro colidir com outro, mesmo

de movimento dos carrinhos deverão ser iguais em

havendo conservação do momento linear, há

módulo e opostas em sentido, daí vem:

dissipação de energia na forma de calor.

resultante de forças que atuam nele é nula. 3. Falsa. Como o problema não afirma que as massas são iguais e como a quantidade de movimento do sistema se conserva, ou seja, se mantém igual a zero, pode-se dizer que só haveria uma mesma aceleração para os dois corpos se as massas fossem iguais. Além disso, à medida que a mola

m2 m1v1 + m2v2 ∙ 0 ⇒ m1v1 ∙ –m2v2 ⇒ v1 ∙ –v2 m 1

92


9 (UFU-MG) Um aluno entusiasmado com os conceitos de

o gráfico dado.

F (N) 30

0

10

t (s)

O impulso que a força imprimiu ao corpo foi de: a) 150 N 3 s. b) 300 N 3 s.

c) 40 N 3 s. d) 20 N 3 s.


O impulso (I) da força em questão é numericamente

(02) A variação da quantidade de movimento de cada um dos dois corpos é uma grandeza vetorial que tem sempre a direção e o sentido da sua velocidade. (04) O impulso produzido pela força F1 tem a mesma direção e sentido de F1. (08) Se a resultante das forças externas que atuam sobre o sistema constituído pelos dois corpos for nula, a quantidade de movimento deste sistema também será nula. (16) Se a resultante das forças externas que atuam sobre o sistema constituído pelos dois corpos for nula, o impulso que age em cada um dos corpos deste sistema também será nulo.

igual à área sob o gráfico. b3h 10 3 30 N ____ ∙ ______ } I ∙ 150 N 3 s. Logo: I ∙ 2 2

01 e 04 corretas.

De acordo com o gráfico, a projeção F da força sobre o

(02) Incorreta. A variação da quantidade de movimento

corpo é sempre positiva. Logo, o valor do impulso

tem direção e sentido estabelecidos pela força

também será positivo. Portanto: I ∙ 150 N 3 s.

resultante e não pela velocidade.

Soma: 01 + 04 ∙ 5

(08) Incorreta. Se a resultante das forças externas

13 (UFSJ-MG) Em um jogo de sinuca ideal, quando uma

bola bate em outra que está parada, a bola que estava parada começa a se mover e a bola que bateu nesta fica completamente parada. Com relação a esse choque, é correto afirmar que ele foi:

a) elástico, havendo conservação de momento e energia. b) inelástico, havendo conservação de momento e energia. c) elástico, não havendo conservação de momento e energia. d) inelástico, não havendo conservação de momento e energia. Em um jogo de sinuca ideal, há um choque elástico e

que atuam sobre o sistema for nula, a quantidade de movimento do sistema é constante e não necessariamente nula. (16) Incorreta. A somatória dos impulsos é que será nula, e não o impulso em cada corpo isoladamente. Como o intervalo de tempo (que multiplica a força para se obter o impulso) é uma grandeza escalar, a força determinará a direção e o sentido do impulso.

a bola atingida sai com a mesma velocidade da que chegou. Essa choca-se e para. Nesse caso, há conservação da energia e da quantidade de

15 (Uesc-BA) Um corpo A, de massa mA ∙ 6,0 kg e veloci-

movimento.

14 (UFSC) Um corpo de massa m1 e velocidade de módulo

v1 (corpo 1) choca-se com outro de massa m2 e velocidade de módulo v2 (corpo 2). Durante o choque, o corpo 1 exerce uma força F2 no corpo 2 e o corpo 2 exerce uma força F1 no corpo 1.

dade vA ∙ 15,0 m/s, colide com um outro corpo B, de massa mB ∙ 4,0 kg e velocidade vB ∙ 10,0 m/s, que se move na mesma direção e no mesmo sentido. Sabendo-se que a colisão foi perfeitamente inelástica, a velocidade dos corpos, após a colisão, é igual, em m/s, a: a) 15. b) 14. c) 13. d) 12. e) 11. O módulo da quantidade de movimento inicial do sistema é: 6,0 ∙ 15,0 + 4,0 ∙ 10,0 ∙ 130 kg ∙ m/s.

F1

1

2

F2

Na colisão perfeitamente inelástica os corpos ficam juntos. Logo, na situação final a massa total será 10,0 kg. Então, 130 ∙ 10 ∙ vfinal.

Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). (01) No Sistema Internacional, a unidade da quantidade de movimento dos corpos é kg ∙ m/s.

Logo, a velocidade final do conjunto é 13 m/s.

93


12 (UBC-SP) A força que age em um corpo variou segundo

16 (UFSC) Uma esfera maciça cuja massa é 2,0 kg desloca-

-se, com velocidade 10 m/s, no interior de uma canaleta que permite apenas o movimento unidimensional. Ela colide com uma outra esfera, de massa 1 kg, que se movimenta em sentido contrário com o dobro da velocidade. Determine o módulo da velocidade de cada uma das esferas após a colisão, sabendo que o coeficiente de restituição da colisão é 0,5.

Antes da colisão vB = –20 m/s 0

A

B

mA = 2 kg

mB = 1 kg

(+)

(+)

Após a colisão B

(+)

parcialmente elástico. Usando a definição, tem-se: vA 2 vB v A 2 vB __________ e ∙ _______ vA 2 vB ] 0,5 ∙ 10 2(220) } vA 2 vB ∙ 15 (1) 0

Usando agora a conservação da quantidade de movimento do sistema, tem-se: (qsist)antes ∙ (qsist)após ] mAvA 1 mBvB ∙ mAvA 1 0

A

B

mA = 2 kg

mB = 3 kg

A

(+)

B

(+)

Pela conservação da quantidade de movimento, tem-se:

Portanto, a energia cinética associada ao corpo A antes m Av 2 2 3 152 da colisão é: EC ∙ _____ ] EC ∙ ______ } EC ∙ 225 J 2 2 No choque com a mola, para que haja deformação

Dado que 0 , e , 1, trata-se de um choque

0

Depois da colisão vA + B = 6 m/s

] 2v ∙ 6(2 1 3) } v ∙ 15 m/s

B

A

considera-se a figura:

(qsist)inicial ∙ (qsist)depois ] mAv ∙ vA 1 B(mA 1 mB) ]

Durante a colisão A

itindo que o sistema seja isolado. Para tanto,

0

1 mBvB ] 2 3 10 1 1(220) ∙ 2vA 1 vB ] 2vA 1 vB ∙ 0

máxima, toda energia cinética do corpo A deve ser convertida em energia potencial elástica. Portanto, por conservação de energia, tem-se: 2 kx ___ EC ∙ EP ] 225 ∙ 2 ] 2 3 225 x2 ∙ ______5 } OxO ∙ 3 3 1022 m 5 3 10 el

18 (UFPB) Uma bola de massa 500 g e velocidade 72 km/h

choca-se frontal e elasticamente com uma parede. Determinar:

Substituindo (2) em (1), vem:

a) a intensidade da variação da quantidade de movimento. b) a intensidade do impulso da força aplicada pela parede sobre a bola durante a colisão.

vA 2(22vA) ∙ 15 } OvAO ∙ 5 m/s

Em relação à colisão, tem-se:

} vB ∙ 22vA

(2)

Substituindo vA ∙ 5 m/s em (2), resulta:

= 72 km/h v0 = =7220km/h m/s = 20 m/s

m = 0,5 kg

vB ∙ 210 m/s } OvBO ∙ 10 m/s.

F (+)

(+)

(+)

a) Como o choque é frontal e elástico, a velocidade da

17 (UFBA) Um bloco A, com 2 kg de massa, deslocando-se

sem atrito sobre uma superfície horizontal plana, com velocidade de módulo igual a v, atinge, em colisão frontal, um bloco B, com 3 kg de massa, inicialmente em repouso. Após a colisão, A e B deslocam-se unidos, com velocidade igual a 6 m/s. ita agora que a colisão ocorra, nas mesmas condições da colisão anterior, entre o bloco A e uma mola ideal. A mola tem constante elástica igual 5 3 105 N/m e foi colocada no lugar de B, com uma das extremidades fixa.

94

bola após o choque é de 220 m/s. Logo: OSqO ∙ Oqfinal 2 qinicialO ∙ Omv 2 mv0O OSqO ∙ O0,5(220) 2 0,5 3 20O ] } OSqO ∙ 20 kg 3 m/s b) Pelo Teorema do Impulso, tem-se: IF ∙ OSqO } IF ∙ 20 N 3 s.


0

Deve-se determinar a velocidade inicial v do bloco A,

Antes da colisão vA = v vB = 0

O enunciado sugere a seguinte figura:

vA = 10 m/s

Determine a deformação máxima da mola, em unidades do SI e em notação científica.

do de um pêndulo de três bolinhas de mesma massa e comprimentos iguais. A brincadeira consiste em abandonar uma bolinha X de uma altura H, acima das outras duas Y e W, que estão em repouso (figura 1). Quando a bolinha X colidir com as duas, todas ficam grudadas e o conjunto atinge uma altura h acima da posição inicial de Y e W (figura 2).

a) Energia potencial da esfera na altura máxima: Epg ∙ m 3 g 3 hB ∙ 5 3 10 3 0,2 ] Epg ∙ 10 J Pela conservação de energia da esfera: 5 3 v2B Ecin ∙ Epg ] _____ ∙ 10 ] vB ∙ 2 m/s 2 b) Conservação da quantidade de movimento:

X h

H Y W Figura 1

Figura 2

Se desconsiderarmos qualquer tipo de atrito, o valor de h em função de H será de: H H H H H . b) . . c) . d) a) . e) 9 8 2 6 3 A energia inicial é m ∙ g ∙ H; logo, a velocidade de colisão da bolinha é dada por: mv2 ] v ∙ ∙2gH mgH ∙ 2

Utilizando novamente a conservação da energia

∙

] veA ∙ 21 m/s O sinal negativo indica o sentido para a esquerda. 2 3 42 c) Eantes ∙ _____ ] Eantes ∙ 16 J 2 3 22 2_____ 3 12 5_____ Edepois ∙ 1 ] Edepois ∙ 11 J 2 2 Portanto, SE ∙ 5 J. d) A colisão não foi perfeitamente elástica, pois o

Pelo princípio da conservação da quantidade de ∙2gH movimento, tem-se: m∙2gH ∙ 3mv’ ] v’ ∙ 3 mecânica, vem: ∙2gH 3mv’2 3 3mgh ∙ 2 ] gh ∙ 2 H ]h∙ 9

qantes ∙ qdepois ] 2 3 4 ∙ 2 3 veA 1 5 3 2 ]

∙

2

2gH ] gh ∙ 9 ] 2

sistema não conservou a energia mecânica inicial de 16 J.

21 (UERn) Na figura a seguir, o bloco A de massa 4M é aban-

donado de uma altura h na superfície curva sem atrito. O bloco A desce a superfície sem atrito e atinge o bloco B na parte mais baixa desta. No choque, os dois blocos se colam e sobem juntos a superfície pelo seu lado direito. Sendo M a massa do bloco B, qual a máxima altura h’ que o conjunto pode atingir?

20 (Ufes) Um bloco A é lançado em um plano horizontal

com velocidade de módulo vA ∙ 4,0 m/s. O bloco A tem massa mA ∙ 2,0 kg e colide frontalmente com uma esfera B de massa mB ∙ 5,0 kg. Inicialmente, a esfera encontra-se em repouso e suspensa por um fio ideal de comprimento L, fixo em O, como mostra a figura abaixo. Após a colisão, a esfera atinge uma altura máxima de hB ∙ 0,20 m. Os atritos do bloco A e da esfera B com a superfície são desprezíveis. O

A


d) responda se a colisão foi ou não perfeitamente elástica. Justifique a sua resposta.

h B

a) h’ ∙ 0,32h b) h’ ∙ 0,40h

h∙

c) h’ ∙ 0,64h d) h’ ∙ 0,80h

Cálculo da velocidade imediatamente antes da colisão: Pela conservação da energia mecânica, 4Mv2A 4Mgh ∙ 2 ] vA ∙ ∙2gH A

vA

B

hB

Com essas informações: a) determine o módulo da velocidade da esfera B, imediatamente após a colisão; b) determine o módulo e o sentido da velocidade do corpo A, após a colisão; c) determine a diferença entre a energia cinética do sistema, antes e após a colisão;

Cálculo da velocidade imediatamente após a colisão: Pela conservação da quantidade de movimento do sistema, 4M∙2gH ∙ (4M + M)v’ Novamente pelo princípio da conservação da 5M(v’)2 ∙ 5Mgh’ ] gh’ ∙ energia mecânica: 2 4∙2gH 2 32gh 5 ] gh’ ∙ 50 ] h’ ∙ 0,64 h ] 2

∙

∙

95


19 (IFSP) Existe um brinquedo de criança que é constituí-

ESTUDANDO Princípio da conservação da quantidade de movimento

Para o eNeM 1 Em uma competição de tiro esportivo, um determinado

Antes do tiro, o sistema arma-bala estava em repouso,

H17 H20

ou seja, sua quantidade de movimento era nula.

tiro na direção horizontal disparou uma bala de massa mB ∙ 50 g a uma velocidade vB, em relação ao solo, como mostra o gráfico.

Como a propulsão da bala é causada por uma explosão e como nas explosões as forças que agem são internas

v vB

ao sistema, a quantidade de movimento total se manterá em zero, mesmo após o disparo. Isso só é

0 t durante

de movimento de mesmo módulo, porém de sentidos

depois

A bala tem velocidade nula antes, mas durante o disparo ela é acelerada até atingir sua velocidade final vB. Se a arma tem massa mA muito maior do que a da bala, o gráfico que ilustra melhor a evolução da velocidade da pistola que disparou o projétil, nos mesmos instantes, também em relação ao solo, é:

contrários.

a)

mA ∙ vA + mB ∙ vB ∙ mA ∙ vA’ + mB ∙ vB’

v vB

0 –vB

b)

t antes

durante

Usando o princípio da conservação da quantidade de movimento, tem-se: qantes ∙ qdepois

mA ∙ 0 + mB ∙ 0 ∙ mA ∙ vA’ + mB ∙ vB’ ∙ 0 m vA ∙ – B ∙ vB mA O sinal negativo indica o movimento retrógrado

depois

da arma, e, considerando que mA ⪢ mB, conclui-se v vB

que vA ⪡ vB. O gráfico que representa melhor tal situação é o da

0 –vB

c)

t antes

durante

depois

v vB

0 –vB

d)

t

Texto para as questões 2 e 3. antes

durante

depois

v vB

0 –vB

e)

t antes

durante

depois

v vB

t

0 –vB

96

alternativa b.

antes

durante

depois

A busca pelo uso de novas tecnologias para evitar erros de arbitragem é um assunto recorrente e polêmico em diversas modalidades esportivas. No futebol, existe o “tira-teima” e já se testou um chip na bola, mas nenhum deles foi oficializado ainda. No tênis, o radar e o Hawk-Eye (olho de águia) já são usados em partidas oficiais, mas de forma comedida, pois é uma tecnologia cara. Agora é a vez do voleibol: o técnico da seleção feminina, José Roberto Guimarães, propôs a introdução de um chip na bola ou o uso da tecnologia Hawk-Eye. A sugestão foi dada dois dias após sua equipe ter sido, segundo ele, vítima de falha de arbitragem na derrota para a Rússia na final do Mundial do Japão em 2010, quando o árbitro afirmou que o ataque de Sheilla havia ido para fora da quadra, enquanto os juízes de linha apontavam que a bola havia caído dentro. O fato é que, às vezes, a bola é tão veloz que fica difícil discernir em que ponto exatamente ela tocou


antes

possível se bala e arma se deslocarem com quantidades

2 Em uma partida internacional de tênis, o radar e o H20

Hawk-Eye registraram uma rebatida recorde: a bolinha viajava horizontalmente a 180 km/h quando foi golpeada e voltou pelo mesmo caminho, com velocidade de 216 km/h. O contato entre a raquete, de 300 g, e a bolinha, de 100 g, foi de 20 milésimos de segundo. Com esses dados, pode-se inferir que:

a) a quantidade de movimento da bolinha antes da rebatida era de 18.000 N ∙ s. b) a força média da raquete sobre a bola foi de 1.100 N. c) o impulso dado pela raquete na bolinha foi de 5,5 N ∙ s. d) a variação da quantidade de movimento da bolinha foi de 11 N ∙ s. e) a variação de velocidade da bolinha foi de 36 m/s. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

a) Falsa. A quantidade de movimento da bolinha pode ser obtida fazendo-se: q ∙ m ∙ v ∙ 0,1 ∙ 50 ∙ 5 N ∙ s b) Falsa. A força média é obtida do impulso: I ∙ F · ∆t. Comparando com I ∙ ∆q: F ∙ ∆t ∙ m ∙ ∆v F ∙ 0,02 ∙ 0,1 ∙ [60 – (–50)] 0,1 ∙ 110 m ∙ ∆v ∙ 550 N ∙ F∙ 0,02 ∆t

II. O impulso recebido pela bola foi de 7,5 N ∙ s, vertical para cima. III. A força média aplicada na bola, pela quadra, foi de 7,5 N. Bola

Bola

30o

30o

Quadra

Estão corretas: a) as afirmações I e III. b) todas elas. c) as afirmações II e III.

d) apenas uma delas. e) as afirmações I e II.

I. Verdadeira. O módulo da quantidade de movimento da bola antes de tocar o piso pode ser obtido com: qantes ∙ m ∙ v ∙ 0,3 ∙ 25 ∙ 7,5 N ∙ s II. Verdadeira. O módulo da quantidade de movimento da bola depois de tocar o piso pode ser obtido com: qdepois ∙ m ∙ v ∙ 0,3 ∙ 25 ∙ 7,5 N ∙ s Então, o impulso é dado pela diferença vetorial entre as quantidades de movimento final e inicial: I ∙ ∆q ∙ qdepois 2 qantes ∙ qdepois + (2qantes) O impulso será a soma de dois vetores:

c) Falsa. Obtém-se o impulso com:

qantes

I ∙ m ∙ ∆v

qdepois

I ∙ 0,1 ∙ [60 – (–50)] ∙ 11 N ∙ s

30°

30°

d) Verdadeira. A variação da quantidade de movimento da bolinha é o próprio impulso, calculado no item

–qantes

anterior: I ∙ ∆q ∙ 11 N ∙ s I

e) Falsa. A variação da velocidade da bolinha precisa considerar a inversão do sentido. ∆v ∙ vfinal – vinicial ∙ 60 – (–50) ∙ 110 m/s

60o

qdepois

30o

Assim, o impulso é vertical e para cima. Pela geometria do triângulo equilátero, o módulo do impulso deve ser o mesmo das quantidades de movimento qA e qD,

3 Vamos itir, no papel de Hawk-Eye, que a bola H17 H20

atacada por Sheilla e mal marcada pelo juiz atingiu a quadra a 90 km/h, fazendo um ângulo de 30° com a horizontal, e subiu simetricamente, com mesma velocidade e mesmo ângulo. A massa da bola é 300 g e o tempo de contato entre ela e a quadra foi estimado em 30 milésimos de segundo. Sobre esse ataque, são feitas as seguintes afirmações:

ou seja, I ∙ 7,5 N ∙ s. III. Falsa. Da expressão do impulso: I ∙ F ∙ ∆t Substituindo os valores conhecidos: 7,5 ∙ F ∙ 0,03 Obtém-se: F ∙ 250 N.

I. O módulo da quantidade de movimento da bola ao tocar a quadra era 7,5 N ∙ s.

97


o chão. Nesses casos, a tecnologia do Hawk-Eye seria a mais indicada: acionada, ela mostra as imagens, recuperadas por computador, do momento em que a bola toca o chão, dentro ou fora da quadra.


CalOr, teMPeratura e DilataÇÃO A maioria dos termômetros usa o fenômeno da dilatação para medir a temperatura. Este tópico trata da transformação das escalas termométricas, da diferença entre os conceitos de calor e temperatura e da dilatação dos sólidos e dos líquidos.

Figura 1 • Termômetro de máxima e mínima, que indiretamente está medindo o grau de agitação das moléculas do ar ambiente.

Muito agitada

Agitada

Pouco agitada

Figura 3 • O esquema representa o grau de agitação molecular, que varia com a distância até a fonte de energia.

Convecção Ocorre em fluidos e envolve o transporte de matéria por meio de correntes de convecção. O processo de convecção é mais rápido que o de condução e tem mais aplicações práticas – por exemplo, em aparelhos de ar-condicionado e geladeiras. O aquecimento da água para a fervura de alimentos em as também obedece a esse princípio.

Figura 2 • Fotografia térmica de um casal mostrando cores distintas em regiões com diferentes temperaturas. Haverá transferência de calor das regiões mais quentes (avermelhadas) para as mais frias (verdes e azuladas). A transferência cessará apenas quando a temperatura de ambos for igual e homogênea por todo o corpo.

II. Processos de propagação de calor

Figura 4 • As moléculas do líquido na parte de baixo do recipiente estão sendo aquecidas por condução. A densidade delas diminui e elas tendem a subir. Quando atingem as porções mais altas do líquido, empurram as moléculas que estão com temperatura menor (e densidade maior) para baixo; forma-se assim uma corrente.

Condução

Irradiação

É o principal processo de propagação de calor em sólidos cristalinos. As moléculas mais próximas da fonte térmica têm temperatura maior, vibrando mais, e essa vibração é transmitida às moléculas vizinhas. Como o nú-

A irradiação é o único processo de transmissão de calor que permite transportar energia no vácuo. Isso se dá por meio de ondas eletromagnéticas, principalmente na faixa de frequência do infravermelho.

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e. r. deGGinGer/photoseachers/latinstock

dr. ray clark & merVyn de calcina/science photo library/latinstock

Temperatura é uma grandeza macroscópica, relacionada ao grau de agitação das moléculas de um corpo (grandeza microscópica inobservável). Calor é o nome dado à energia transferida de um corpo de maior temperatura a outro, de menor temperatura, quando postos um em presença do outro, até que ambos atinjam o equilíbrio térmico, estado em que possuem mesma temperatura.

mero de moléculas no sólido é muito grande, o processo é relativamente lento. Uma característica importante desse processo é que o transporte de energia se realiza sem o transporte de matéria.

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I. Diferença entre calor e temperatura

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Escalas mais utilizadas Nomes e respectivas temperaturas dos pontos fixos: • Celsius: 0 °C e 100 °C • Fahrenheit: 32 °F e 212 °F • Kelvin: 273 K e 373 K

Equações de conversão entre as escalas

• Celsius e Kelvin →

θC θF – 32 ∙ 5 9

θC ∙ TK – 273

Funções termométricas Uma função termométrica possibilita a medição indireta da temperatura, partindo-se de uma relação linear entre ela e outra grandeza física medida diretamente.

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J

a

Figura 6 • A estufa de plantas impede que a radiação infravermelha escape para o exterior.

x b

O efeito estufa é essencial para manter a temperatura média da Terra em torno de 15 °C. Do contrário, a média estaria por volta de –10 °C, o que impediria a água de permanecer na fase líquida na superfície, comprometendo enormemente a biodiversidade no planeta. O principal gás que regula o efeito estufa é o dióxido de carbono (CO2). Para que o processo continue estável, a composição e a quantidade dos gases estufa nas altas camadas atmosféricas devem se manter aproximadamente constantes com o ar dos séculos. Mas desde a Revolução Industrial, há duzentos anos, a humanidade ou a emitir uma quantidade crescente de CO2 (além de vários outros poluentes) na atmosfera. O volume de CO2 emitido hoje é tão grande que percebemos ao nosso redor as consequências da pressão sobre o delicado sistema: aquecimento global, desertificação, aumento do nível dos oceanos, aumento na intensidade e na frequência de furacões etc.

III. Escalas termométricas Pontos fixos Para graduar uma escala termométrica, são necessárias duas referências, fáceis de reproduzir, chamadas pontos fixos. As mais comuns são o ponto de fusão do gelo e o ponto de ebulição da água, ambos à pressão normal.

θ ∙ ax + b

, em que a ∙ tg 

Figura 7 • Reta que associa as grandezas θ (temperatura) e x (outra grandeza física).

Os diversos tipos de termômetros se diferenciam exatamente pela propriedade utilizada na medição. O termômetro clínico, por exemplo, mede a dilatação de uma coluna de mercúrio no interior de um bulbo de vidro. Já um termômetro de lâmina bimetálica funciona com base na diferença de dilatação entre os dois metais que compõem a lâmina calibrada com o ponteiro, em uma determinada temperatura. john iacono/sports illustrated/Getty imaGes


Toda a energia vinda do Sol é transmitida por irradiação. Alguns gases na atmosfera da Terra permitem que a radiação solar incidente a atravesse e atinja a superfície do planeta. Ao ser reemitida na faixa do infravermelho, porém, esses gases impedem que a radiação escape novamente para o espaço. O fenômeno é o mesmo que ocorre nas estufas de plantas.

• Celsius e Fahrenheit →

Figura 8 • A lâmina bimetálica no interior desse termômetro tem a forma de uma espiral, cuja ponta está afixada na seta do mostrador. Conforme os dois materiais são aquecidos, dilatam-se de modo diferente, e a lâmina se curva para o lado do que sofre maior dilatação; assim, o ponteiro gira no sentido horário.

99

Calor, temperatura e dilatação

Figura 5 • A luz do Sol atinge a Terra após percorrer o vácuo.

IV. Dilatação dos sólidos e dos líquidos

Dilatação de furos

Geralmente os corpos, quando aquecidos, apresentam dilatação térmica decorrente do aumento da vibração de suas moléculas. Para facilitar a compreensão, classifica-se a dilatação dos sólidos em linear, superficial ou volumétrica, ainda que a variação no tamanho dos objetos ocorra simultaneamente nas três dimensões.

Ao aquecer uma chapa furada, o furo também se dilata. A magnitude da dilatação indica que o furo se comporta como se fosse feito do mesmo material que o rodeia.

A0

Sθ > 0

A

Dilatação linear dos sólidos

∆L ∙ L0 ∙  ∙ ∆θ em que α é o coeficiente de dilatação linear do material que constitui o corpo.

Figura 11

Dilatação volumétrica Ocorre quando todas as dimensões do sólido sofrem dilatações mensuráveis após aquecimento. A expressão matemática da dilatação volumétrica é análoga às anteriores, seguindo a lógica do processo, e a mudança no coeficiente pode ser compreendida em termos didáticos se for considerada a independência de cada dimensão em sua respectiva dilatação.

Dilatação linear J0

J

L0

∆V ∙ V0 ∙ D ∙ ∆θ

L

O coeficiente de dilatação volumétrica do material D é tal que, com boa aproximação, D ∙ 3.

SL

Figura 9 • A dilatação representada na ilustração foi exagerada para fins didáticos. Nos sólidos, no caso de variações na temperatura ambiente, o efeito é quase imperceptível.

θ0 θ

Dilatação superficial Ocorre se duas dimensões (o comprimento e a largura) apresentam alterações consideráveis quando o corpo é submetido a variações de temperatura. A expressão matemática da dilatação superficial é análoga à da dilatação linear, com mudança apenas no coeficiente de dilatação do material: ∆A ∙ A0 ∙ d ∙ ∆θ Pode-se demonstrar, com razoável precisão, que d ∙ 2. A interpretação física é de que cada dimensão apresenta dilatação independente das outras. A

SA A0

A0

θ0

Figura 10

100

θ

V0 V

Figura 12

Uma característica importante que distingue os sólidos dos líquidos é que, em geral, os líquidos se dilatam mais que os sólidos. Isso explica por que líquidos que inicialmente ocupam todo o recipiente, ao serem aquecidos, transbordam ao se dilatar. Na tabela, é possível comparar os coeficientes de dilatação de alguns materiais. Material sólido

Coeficiente de dilatação (°C–1)

Material líquido

Coeficiente de dilatação (°C–1)

Chumbo

8,1 ∙ 10–5

Éter

1,6 ∙ 10–3

Zinco

7,8 ∙ 10–5

Gasolina

1,2 ∙ 10–3

Vidro refratário (pirex)

0,9 ∙ 10–5

Glicerina

5,3 ∙ 10–4

Tungstênio

1,3 ∙ 10–5

Mercúrio

1,8 ∙ 10–4

Fonte: LIDE, D. R. (Ed.). CRC Handbook of Chemistry and Physics. Boca Raton: CRC Press, 2006/2007.


Ocorre quando a expansão de uma das dimensões do corpo (como o comprimento) é muito maior que a das outras. Demonstra-se experimentalmente que a dilatação linear ∆L depende do comprimento inicial L0 do objeto, do material de que ele é feito e da variação de temperatura ∆θ experimentada por ele. Equacionando:

Dilatação dos líquidos Os líquidos ocupam um volume delimitado pelo recipiente que os contém; portanto, sua dilatação será sempre volumétrica. Mas, como o recipiente também se dilata, há três dilatações volumétricas simultâneas: a real do líquido, a do recipiente e a aparente, que despreza o aumento do sólido. ∆Vlíq ∙ V0 ∙ Dlíq ∙ ∆θ

• Recipiente:

• Aparente:

Como

∆Vrec ∙ V0 ∙ Drec ∙ ∆θ

∆Vap ∙ V0 ∙ Dap ∙ ∆θ


• Real:

, conclui-se que:

∆Vlíq ∙ ∆Vrec + ∆Vap

Dlíq ∙ Drec + Dap θ

Figura 15 • Aspecto da rede cristalina do gelo. As ligações de hidrogênio estão representadas por hastes brancas, ligando um átomo de hidrogênio (em azul) a um átomo de oxigênio (em vermelho) da molécula vizinha. Como o comprimento da ligação de hidrogênio é maior que o de uma ligação covalente comum (haste preta), ocorre um afastamento entre as camadas, que inexiste na fase líquida.

θ0

V0

V

Volume extravasado

Figura 13 • O volume extravasado do pequeno recipiente corresponde à dilatação aparente do líquido.

Dilatação anômala da água Em geral, as substâncias se dilatam ao serem aquecidas. A água, porém, apresenta comportamento inverso no intervalo de temperatura entre 0 e 4 °C, sob pressão normal. V (L)

As ligações de hidrogênio da fase sólida provocam grandes vazios intermoleculares, aumentando o volume externo. Entre 0 e 4 °C, as ligações desse tipo gradativamente se rompem, provocando a redução de volume. A partir de 4 °C, a água volta a se expandir com o aumento da temperatura, como as demais substâncias. A consequência mais importante do fenômeno é a preservação da vida subaquática em rios e lagos no inverno. Enquanto a temperatura ambiente está acima de 4 °C, toda a água do lago se resfria de modo homogêneo, graças à convecção térmica. A partir dessa temperatura, a água mais fria ficará menos densa e tenderá a se manter próxima da superfície. Com isso, cessam as correntes de convecção, e a troca de calor com as partes mais profundas se torna bem mais lenta (por condução). Ao mesmo tempo, a camada superficial atinge 0 °C e se solidifica. O gelo é um ótimo isolante térmico e acaba protegendo ainda mais o fundo do lago da troca de calor com o ar externo. michael bauer/shutterstock


A causa desse comportamento incomum é a estrutura molecular de água (H2O) e o modo como as moléculas se agrupam na fase sólida, formando ligações chamadas ligações de hidrogênio (também conhecidas como pontes de hidrogênio) entre os átomos de oxigênio e os átomos de hidrogênio das moléculas vizinhas. Observe a figura:

1

0

4

θ (°C)

Figura 14 • Variação do volume da água em função da temperatura, sob pressão normal.

Figura 16 • Mesmo sob temperaturas externas rigorosas, apenas as regiões próximas à superfície do lago congelam, ao o que as águas profundas se mantêm a 4 °C, ainda hospitaleiras ao ecossistema aquático.

101

ESTUDANDO Calor, temperatura e dilatação

1 (UFRN) O calor e suas formas de propagação se manifes-

tam em diversas situações tanto na natureza quanto nas atividades humanas. Assim, fenômenos aparentemente muito diferentes são semelhantes, quando analisados mais detidamente.

I. Segundo o conceito atual de calor, a expressão “O ferro é quente porque contém muito calor” está errada. II. Em vez de declarar: “... parte do calor contido no ferro a para a água”, o aluno deveria dizer que “existe uma transferência de temperatura entre eles”.

Veja-se, por exemplo: a energia do Sol que aquece nosso planeta e a energia emitida pelo magnetron do forno de micro-ondas, que aquece os alimentos colocados em seu interior, são fenômenos que envolvem propagação de calor.

III. “... até que eles fiquem com o mesmo nível de calor... e aí eles ficam em equilíbrio” é correto, pois quando dois corpos atingem o equilíbrio térmico seus calores específicos se igualam.

Pode-se afirmar que as formas de propagação de energia entre o Sol e a Terra e entre o magnetron e os alimentos são, respectivamente:

Assinale a alternativa correta. a) Todas as proposições são verdadeiras. b) Apenas a proposição I é verdadeira. c) Apenas a proposição II é verdadeira. d) Apenas a proposição III é verdadeira. e) Apenas as proposições I e III são verdadeiras.

a) b) c) d)

convecção e condução. convecção e convecção. condução e radiação. radiação e radiação.

Tanto em um caso como no outro, a propagação se dá por ondas eletromagnéticas, ou seja, por radiação.

2 (Vunesp) Quando uma enfermeira coloca um termôme-

tro clínico de mercúrio sob a língua de um paciente, por exemplo, ela sempre aguarda algum tempo antes de fazer a sua leitura. Esse intervalo de tempo é necessário: a) para que o termômetro entre em equilíbrio térmico com o corpo do paciente. b) para que o mercúrio, que é muito pesado, possa subir pelo tubo capilar. c) para que o mercúrio e pelo estrangulamento do tubo capilar. d) devido à diferença entre os valores do calor específico do mercúrio e do corpo humano. e) porque o coeficiente de dilatação do vidro é diferente do coeficiente de dilatação do mercúrio.

O intuito da enfermeira é medir a temperatura do corpo do paciente. Para isso, o termômetro e o corpo precisam entrar em equilíbrio térmico, fenômeno que acontece quando ambos exibem o mesmo valor de temperatura, e que leva certo intervalo de tempo para ocorrer.

3 (UEPB) Numa aula de física, um aluno é convocado a ex-

plicar fisicamente o que acontece quando um pedaço de ferro quente é colocado dentro de um recipiente de água fria. Ele declara: “O ferro é quente porque contém muito calor. A água é mais fria que o ferro porque contém menos calor que ele. Quando os dois ficam juntos, parte do calor contido no ferro a para a água, até que eles fiquem com o mesmo nível de calor... e aí eles ficam em equilíbrio”. Tendo como referência as declarações do aluno e considerando os conceitos cientificamente corretos, analise as seguintes proposições:

102

I. Correta. O aluno confunde os conceitos de calor e temperatura. O calor é energia em trânsito, ou seja, é a energia térmica que se transfere de um corpo para o outro. A temperatura, por outro lado, é uma grandeza associada ao grau de agitação das partículas que constituem o material em estudo. II. Incorreta. A transferência é de energia, o que provoca uma variação de temperatura. III. Incorreta. Aqui o aluno confunde os conceitos de energia em trânsito (calor) e calor específico.

4 (UEA-AM) Suponha que você retire dois cubos de gelo

idênticos do congelador e coloque-os em cima de uma mesa na cozinha. Um deles você coloca em cima de um prato em contato com o ar, e o outro, coloca dentro de um saquinho feito de lã. Tanto o prato quanto o saquinho de lã estão à mesma temperatura, não expostos diretamente à luz solar. Qual dos dois cubos de gelo derreterá mais rápido?

a) O cubo de gelo dentro do saquinho de lã, porque a lã esquenta e aquece o gelo. b) O cubo de gelo em contato com o ar, porque cederá calor ao prato e ao ar. c) Os dois cubos derreterão ao mesmo tempo, porque foram colocados sobre a mesma mesa. d) O cubo de gelo exposto ao ar deverá derreter mais rápido, porque a lã é um isolante térmico. e) O cubo de gelo dentro do saquinho de lã deverá derreter mais rápido, porque o ar é um isolante térmico. A lã é um isolante térmico e evita o contato direto do gelo com o ambiente.


Para o vestibular

mente o tipo predominante de transferência de calor que ocorre nos fenômenos, na seguinte sequência:

• Aquecimento de uma barra de ferro quando sua extremidade é colocada numa chama acesa. • Aquecimento do corpo humano quando exposto ao sol. • Vento que sopra da terra para o mar durante a noite. a) Convecção – condução – radiação b) Convecção – radiação – condução c) Condução – convecção – radiação d) Condução – radiação – convecção e) Radiação – condução – convecção • Ao aquecer a extremidade de uma barra de ferro, as moléculas que constituem o material nessa região am

“sentir calor” quando a temperatura ambiente ultraa a marca dos 24,0 °C. A partir daí, para manter seu equilíbrio térmico, o organismo a a eliminar o calor através do suor. Se a temperatura corporal subir acima de 37,0 °C, é caracterizada como hipertermia e abaixo de 35,0 °C, hipotermia. Se a temperatura de uma pessoa com hipertermia variar de 37,3 °C para 39,3 °C, esta variação nas escalas Fahrenheit (°F) e Kelvin (K) será, respectivamente, de:

a) 1,8 e 1,8. b) 1,8 e 2,0. c) 2,0 e 2,0. tF1 2 32 ________ 37,3 ∙ 5 9

@  t 39,3 ∙ 5 @  

# 2 32 # 9

d) 2,0 e 3,6. e) 3,6 e 2,0.

]

F2 ________

também vibrem mais intensamente. O processo se

5 ] 39,3 2 37,3 ∙ __(tF2 2 32 2 tF1 1 32) ] 9 5 ] 2 ∙ __(StF) } StF ∙ 3,6 °F 9 37,3 ∙ tK1 2 273 ] 39,3 ∙ tK2 2 273

propaga, caracterizando-o como transmissão de

] 39,3 2 37,3 ∙ tk2 2 273 2 tK1 1 273 ] StK ∙ 2 K

a vibrar mais devido à elevação da temperatura. O choque entre essas moléculas e as vizinhas transfere parte da Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

7 (FMTM-MG) Normalmente, o corpo humano começa a

energia de vibração, fazendo com que as últimas

calor por condução. • O aquecimento do corpo humano pelos raios solares se dá pela transmissão de calor por meio de radiação infravermelha, a qual, por natureza, se propaga no vácuo. Esse processo é denominado irradiação. • O vento sopra da terra para o mar durante a noite porque a água ainda está mais quente que a areia. Assim, o ar sobre a água é menos denso e sobe, enquanto o ar sobre a areia é mais denso e desce. A corrente convectiva formada se “fecha” com um fluxo de ar da terra para a água, próximo à superfície.

6 (FMTM-MG) A fim de diminuir o risco de explosão du-

rante um incêndio, os botijões de gás possuem um pequeno pino com aspecto de parafuso, conhecido como plugue fusível. Uma vez que a temperatura do botijão chegue a 172 °F, a liga metálica desse dispositivo de segurança se funde, permitindo que o gás escape. Em termos de nossa escala habitual, o derretimento do plugue ocorre, aproximadamente, a:

a) 69 °C. b) 78 °C.

c) 85 °C. d) 96 °C.

Com base no enunciado, tF ∙ 172 °F. Então: tC 172 tC 140 2 32 __ ∙ ________ ] __ ∙ ____ ] 9 5 5 9 700 ] tC ∙ ____ } tC 7 78 °C 9

e) 101 °C.

8 (Cefet-GO) Um medidor de temperatura importado dos

Estados Unidos da América, utilizado para registrar a temperatura da água em alguns motores próprios para aviões, possui uma escala de temperatura em graus Fahrenheit (ver figura). Nesta escala, a temperatura do gelo fundente é considerada igual a 32 °F e a temperatura da água em ebulição igual a 212 °F. Se uma outra escala em graus Celsius fosse adicionada ao instrumento, quais seriam as novas marcações, com precisão inteira, em ordem crescente, correspondentes às marcações numeradas da escala original?

a) 50 °C / 82 °C / 105 °C / 127 °C / 149 °C b) 60 °C / 82 °C / 104 °C / 127 °C / 149 °C c) 50 °C / 82 °C / 104 °C / 127 °C / 149 °C d) 60 °C / 80 °C / 100 °C / 130 °C / 150 °C e) 60 °C / 83 °C / 105 °C / 126 °C / 148 °C

180

220

260

140

300 °F

WATER TEMP.

Para converter Fahrenheit em Celsius, usa-se a t______ t__C F 2 32 . expressão 5 ∙ 9 Substituindo os valores indicados na figura da expressão acima, obtêm-se, respectivamente: 60 °C; 82,2 °C; 104,4 °C; 126,7 °C; 148,9 °C Arredondando para o inteiro mais próximo, obtêm-se os valores indicados na alternativa b.

103


5 (Unitau-SP) Indique a alternativa que associa correta-

9 (UFTM-MG)

10 (Uerj) As unidades joule, kelvin, pascal e newton pertencem ao SI (Sistema Internacional de Unidades).

Cientistas propõem canos no oceano contra aquecimento

Dentre elas, aquela que expressa a magnitude do calor transferido de um corpo a outro é denominada:

Dois dos principais Flutuador ecologistas da Grã-Bretanha acreditam 30 °C que é hora de desenVálvula volver uma solução técnica rápida para mudanças climáticas. Com o uso de tubos verticais gigantescos, as águas da superfície Tubo e das profundezas do mar seriam misturadas para fertilizar algas, que absorveriam CO 2 da atmosfera. 3 °C Em meio ao oceano, o tubo vertical oscila verticalmente de tal forma que, em seu movimento descendente, abre-se uma válvula que captura água das profundezas. O fluxo de água é garantido cada vez que o tubo oscila. As águas frias do fundo do mar são ricas em nutrientes. Para promover a mistura da água, os canos flutua riam livremente, criando um fluxo de água de 100 a 200 metros de profundidade para a superfície. Uma das formas de vida que podem se beneficiar do uso dos oceanos é o salp, um micro-organismo que excreta carbono em fezes que se depositam no fundo do mar, talvez armazenando carbono lá, por milênios. Outra vantagem de diminuir a temperatura das águas na superfície em regiões como o Golfo do México poderia ser uma redução do número de furacões, que precisam de águas mais aquecidas para se formar. Os canos no oceano podem estimular também o crescimento de micro-organismos que produzem sulfureto de dimetilo, uma substância que contribui para a formação de nuvens sobre o oceano, refletindo a luz do sol para fora da superfície da Terra e ajudando na refrigeração do planeta.

a) joule. b) kelvin.

BBC Brasil. (Adaptado.)

Na reportagem original da BBC de Londres, o texto trazia os valores de temperatura originalmente escritos na escala Fahrenheit. Nessa escala, a variação de temperatura entre a água próxima à superfície e a água da profundidade que o extremo do cano atinge é, em °F: a) 14,4. b) 25,2.

c) 45,0. d) 48,6.

Para a variação de 27 °C mostrada na figura, tem-se

104

Kelvin é unidade de medida de temperatura; pascal, de pressão; e newton, de força.

11 (Fatec-SP) O gráfico abaixo relaciona as escalas termométricas Celsius e Fahrenheit. θF (°F) 212

100

0

θC (°C)

Um termômetro graduado na escala Celsius indica uma temperatura de 20 °C. A correspondente indicação de um termômetro graduado na escala Fahrenheit é: a) 22 °F. b) 50 °F.

c) 68 °F. d) 80 °F.

e) 222 °F.

Podemos resolver o problema a partir de uma semelhança de triângulos extraída 212 _ 32 tF 2 32 20 tF _ 32 do gráfico. ________ ∙ ____ ] 212 2 32 100 20 100 t______ F 2 32 180 1 ] ∙ __ ] tF ∙ ____ 1 32 ] tF ∙ 68 °F 180 5 5

12 (UFMT) Comparando-se a escala X de um termômetro com a escala Celsius, obtém-se o gráfico abaixo, de correspondência entre as medidas. °X 95

0 –5

60

°C

Observando o gráfico, concluímos que: I. para a temperatura de fusão de gelo, o termômetro desconhecido marca 25 °X. II. nos vapores de água em ebulição, o termômetro desconhecido marca aproximadamente 162 °X. III. a relação de conversão entre as escalas X e Celsius é JC ∙ 0,6 3 JX 1 3.


32

e) 59,0.

A variação da temperatura em °F se relaciona com a StC StF variação em °C segundo a relação: ___ ∙ ___. 5 9 então: 243 27 St F ___ ∙ ___ ] StF ∙ ____ ] StF ∙ 48,6 °F 5 5 9

c) pascal. d) newton.

14 (Ufla-MG) Duas barras metálicas A e B de um mesmo

Dessas afirmações:

material e a uma mesma temperatura inicial têm comprimento L0A e L0B ∙ 3 L0A. A seguir, varia-se a temperatura da barra A de ∆TA, o que faz a barra A sofrer uma variação de dilatação ∆L A. Para que a barra B sofra a mesma variação de comprimento da barra A, deve-se variar a temperatura da barra B, ∆TB em:

todas estão corretas. apenas a I e a II estão corretas. apenas a I e a III estão corretas. apenas a II e a III estão corretas. todas estão incorretas.

a) 3 ∆TA. c) ∆TA. 1 1 b) ∆TA. ∆TA. d) 2 3 A barra B tem um comprimento inicial três vezes

I. Correta. É imediata, com base na leitura do gráfico. No ponto de fusão do gelo, tem-se JC ∙ 0 °C, que corresponde a 25 °X.

maior que a A. Como são feitas de um mesmo material,

II. Correta. Substituindo-se na equação de conversão obtida no item III, resulta: 0 ∙ 0,6 3 JX 1 3 } JX ∙ 25 °X. No ponto de vapor da água, JC ∙ 0 °C.


100 ∙ 0,6 3 JX 1 3 } JX 7 162 °X

diferença, ou seja, a variação de temperatura de B deve ser um terço da de A.

wC

Substituindo novamente, tem-se:

a variação de temperatura deve compensar essa

wX

60

95

Jc

Jx

III. Correta. –5 0 J________ JC 2 0 X 2(25) ______ ] ∙ 95 2(25) 60 2 0 1 5 J J 60(JX 15) X C ] ___ ∙ ______ ] JC ∙ _________ } JC ∙ 0,6 3 JX 1 3 100 60 100

13 (Uema) Um arame de aço, dobrado conforme a figura,

está engastado no teto, no ponto A. Aumentando-se a sua temperatura de maneira homogênea, a extremidade B terá um deslocamento que será mais bem representado por qual dos vetores?

15 (UniFEI-SP) Duas barras, sendo uma de ferro e outra de

alumínio, de mesmo comprimento L ∙ 1 m a 20 °C, são unidas e aquecidas até 320 °C. Sabe-se que o coeficiente de dilatação linear do ferro é de aFe ∙ 12 3 1026 °C21 e o do alumínio, de aAl ∙ 22 3 1026 °C21. Qual é o comprimento final após o aquecimento? Lf Fe

A

a) Lf ∙ 2,0108 m b) Lf ∙ 2,0202 m c) Lf ∙ 2,0360 m

a B a

a

c)

b)

d)

d) Lf ∙ 2,0120 m e) Lf ∙ 2,0102 m

São calculados separadamente os comprimentos finais de cada barra:

a

a)

Al

e)

LFe ∙ L0 (1 1 a 3 SJ) ∙ 1 1 12 3 1026 3 300 } LFe ∙ 1,0036 m

Na direção horizontal, o ponto B sofre dilatação na parte

LAl ∙ L0 (1 1 a 3 SJ) ∙ 1 1 22 3 1026 3 300

inferior (comprimento 2a) e na parte superior

} LAl ∙ 1,0066 m

(comprimento a). Como a dilatação depende do

O comprimento total será a soma dos comprimentos de

comprimento inicial, a dilatação resultante será para

cada barra:

a direita. Na vertical, a dilatação para baixo do ramo da

Lf ∙ LAl 1 LFe ∙ 1,0066 1 1,0036 } Lf ∙ 2,0102 m

esquerda é compensada pela dilatação para cima (comprimentos iguais) do ramo da direita; resta a dilatação para baixo do segmento central. Logo, a dilatação total terá componentes para baixo e para a direita.

105


a) b) c) d) e)

16 (Olimpíada Brasileira de Física) Em um experimento

no laboratório, um estudante observa o processo de dilatação linear de uma vara de metal com coeficiente linear de dilatação a. O gráfico obtido no experimento é mostrado abaixo, com o comprimento da vara L em milímetros e a temperatura em graus Celsius.

L (103 mm) 1,001

1,000 45

55

75

65

θ (°C)

85

Lâmina 1 Lâmina 2

A vara é constituída de que material? a) b) c) d) e)

raturas em aparelhos domésticos e disjuntores elétricos consiste de duas finas lâminas de metais diferentes, (1) e (2), colocadas justapostas. O esquema de funcionamento desse sistema, no caso de um dispositivo de segurança, está ilustrado abaixo, em que as lâminas têm o mesmo comprimento quando à temperatura θ ∙ 0 °C, figura (a). Devido às dilatações desiguais, a lâmina exibe o formato mostrado em (b), quando à temperatura θ > 0 °C. A figura (c) mostra a condição em que a lâmina aciona um dispositivo de segurança (alarme), pois, nessa situação, a temperatura do aparelho a ser protegido alcança a máxima temperatura permitida. (a)

chumbo (a ∙ 27 3 1026 °C21) zinco (a ∙ 26 3 1026 °C21) alumínio (a ∙ 22 3 1026 °C21) cobre (a ∙ 17 3 1026 °C21) ferro (a ∙ 12 3 1026 °C21)

(b)

(c)

Utilizando as informações do gráfico, é possível calcular o coeficiente de dilatação a: SLf ∙ L0 3 a 3 SJ ] ] 1 ∙ 1.000 3 a 3 (80 2 35) ] 1 _________ ] a ∙ 1.000 3 45 7 22 3 1026 °C21 Dos metais listados, o único com coeficiente próximo do

Alarme

Com base nas informações dadas, marque, para as afirmativas abaixo, (V) Verdadeira, (F) Falsa ou (SO) Sem Opção. 1 ( F ) Por meio das dilatações, é correto afirmar que os coeficientes de dilatação obedecem à seguinte relação: 1 ∙ 82. 2 ( F ) As curvas de dilatação dos metais (1) e (2), na descrição acima, podem ser caracterizadas pelo gráfico comprimento (l) versus temperatura (θ), descrito abaixo:

valor obtido é o alumínio. 1

17 (UFV-MG) Duas barras, 1 e 2, possuem coeficientes de

2

dilatação linear a1 e a2, respectivamente, sendo a1 . a2. A uma certa temperatura T0, os comprimentos das duas barras são iguais a L0. O gráfico que melhor representa o comprimento das barras em função da temperatura é: a)

c)

1

L

2

L

1

2 Lo

Lo

To

b)

To

T

L

1

Lo

2

d)

T

L Lo

T

3 ( V ) Se a lâmina (1) dilata 0,03%, desde θ ∙ 0 °C até atingir a temperatura θmáx ∙ 60 °C, o coeficiente de dilatação desse metal é 1 ∙ 5 ∙ 10–6 (°C)–1. 4 ( F ) Sendo 2 ∙ 2 ∙ 10–5 (°C)–1, o valor desse coeficien2 ∙ 10–5 (K)–1. te na escala kelvin será 2 ∙ 1 + 273,15 1. Pelos dados da questão, não há como calcular a relação entre os coeficientes de dilatação.

2

2. O comprimento inicial das barras é o mesmo, o que

1 To

θ (°C)

To

T

A inclinação das retas está relacionada ao coeficiente de

não corresponde ao que está representado no gráfico. 3. 0,03% L0 ∙  L060

dilatação. Como a1 . a2, a inclinação da reta 1 deve ser

 ∙ 0,000005 (°C)–1

maior que a da reta 2. Elas se interceptam no ponto

4. Não se pode converter esse coeficiente dessa forma.

(T0, L0). A única alternativa que engloba as três condições mencionadas é a a.

106


35

18 (UFU-MG) Um sistema utilizado para controle de tempe-

de aço, em um mancal cilíndrico, feito de liga de alumínio. O coeficiente de dilatação linear da liga de alumínio vale 25,0 3 1026 °C21. À temperatura de 22 °C, o rolamento tem o diâmetro externo 0,1% maior que o diâmetro interno do mancal. A temperatura mínima à qual o mancal deve ser aquecido, para que o rolamento se encaixe, é:

a) 20 °C. b) 40 °C.

c) 42 °C. d) 60 °C.

e) 62 °C.

SL ∙ L0 3 a 3 SJ ] 0,001 3 L0 ∙ L0 3 25 3 1026 (Jf 2 22) ] 0,001 ________ } Jf ∙ 62 °C ] (Jf 2 22) ∙ 25 3 1026

20 (Mackenzie-SP) Uma placa de aço sofre uma dilatação


de 2,4 cm², quando aquecida a 100 °C. Sabendo que o coeficiente de dilatação linear médio do aço, no intervalo considerado, é 1,2 3 1026 °C21, podemos afirmar que a área da placa, antes desse aquecimento, era:

a) 200,0 m². b) 100,0 m².

c) 2,0 m². d) 1,0 m².

e) 0,010 m².

Uma dilatação de 2,4 cm² é igual a 0,00024 m²: SA ∙ A0 3 d 3 SJ ]

22 (UFRGS-RS) Um recipiente de vidro, cujas paredes são

finas, contém glicerina. O conjunto se encontra a 20 °C. O coeficiente de dilatação linear do vidro é 27 3 1026 °C21 e o coeficiente de dilatação volumétrica de glicerina é 5,0 3 1024 °C21. Se a temperatura do conjunto se elevar para 60 °C, pode-se afirmar que o nível da glicerina no recipiente: a) baixa, porque a glicerina sofre um aumento de volume menor do que o aumento na capacidade do recipiente. b) se eleva, porque a glicerina aumenta de volume e a capacidade do recipiente diminui de volume. c) se eleva, porque apenas a glicerina aumenta de volume. d) se eleva, apesar de a capacidade do recipiente aumentar. e) permanece inalterado, pois a capacidade do recipiente aumenta tanto quanto o volume da glicerina.

O aumento de temperatura implica dilatação do líquido e do recipiente. Para avaliar as alternativas, é preciso determinar qual se dilata mais. Para tanto, analisa-se o coeficiente de dilatação volumétrica de ambos os materiais: Com base no enunciado: avidro ∙ 27 3 1026 °C21 DGL ∙ 5 3 1024 °C21 ∙ 500 3 1026 °C21. Como D ∙ 3a, temos:

] 0,00024 ∙ A0 3 2 3 1,2 3 1026 3 100 ] 0,00024 ] A0 ∙ _____________ } A0 ∙ 1,0 m2 2,4 3 1026 3 100

Dvidro ∙ 81 3 1026 °C21. Assim: DGL . Dvidro e, portanto, a glicerina se dilata mais que o vidro.

21 (Unifal-MG) Um telescópio registra, sobre um detector quadrado de silício (denominado CCD) de 2,0 cm de lado, a imagem de uma parte de um conjunto de estrelas uniformemente distribuídas. Uma quantidade de 5.000 estrelas é focalizada no detector quando a temperatura deste é de 20 °C. Para evitar efeitos quânticos indesejáveis, o detector é resfriado para 280 °C.

23 (UEL-PR) Um recipiente de vidro de capacidade

2,0 3 102 cm3 está completamente cheio de mercúrio, a 0 °C. Os coeficientes de dilatação volumétrica do vidro e do mercúrio são, respectivamente, 4,0 3 1025 °C21 e 1,8 3 1024 °C21. Aquecendo-se o conjunto a 100 °C, o volume de mercúrio que extravasa, em cm3,vale:

Dado: Considere que o coeficiente de dilatação linear do silício é igual a 5,0 3 1026 °C21. Com base nessas informações, pode-se afirmar que o número de estrelas detectado depois do resfriamento é de aproximadamente:

a) 2,8 3 1024. b) 2,8 3 1023.

a) 5.005 estrelas. b) 5.055 estrelas.

volume aparente dada por: SVap ∙ V0 3 Dap 3 St, em que,

c) 4.500 estrelas. d) 4.995 estrelas.

c) 2,8 3 1022. d) 2,8 3 1021.

e) 2,8.

O volume que extravasa corresponde à variação de líq.

A área inicial é reduzida com o resfriamento. Como o

com base no do enunciado,

número de estrelas observadas é proporcional à área do

St ∙ 100 °C e V0 ∙ 2 3 102 cm3,

CCD, necessariamente esse número será menor a uma

já que o recipiente está completamente cheio de

temperatura mais baixa. Isso descarta as alternativas a e b.

mercúrio. Resta-nos ainda o valor do coeficiente de

SA ∙ A0 3 d 3 SJ ∙ 4 3 2 3 5 3 1026 3 (280 2 20)

dilatação aparente (Dap), que pode ser calculado como

} SA ∙ 4 3 1023 cm2

segue: Dlíq ∙ Dap 1 Drec , em que, com base no enunciado:

Fazendo a proporção, tem-se:

Dlíq ∙ 1,8 3 1024 °C21 e Drec ∙ 4 3 1025 °C21.

4 cm2

Logo, Dap ∙ 1,4 3 1024 °C21. Portanto:

3,996 cm2

5.000 estrelas n estrelas } n ∙ 4.995 estrelas

líq.

SVap ∙ V0 3 Dap 3 St ∙ 2 3 102 3 1,4 3 100 ] SVap ∙ 2,8 cm3 líq

107


19 (Ufes) Quer-se encaixar um rolamento cilíndrico, feito

ESTUDANDO Calor, temperatura e dilatação

H20 e debate ao longo da história. A associação do calor a H21 uma substância (calórico) que fluía dos corpos quentes para os corpos frios começou na Antiguidade, com os gregos. Somente por volta de 1850 os cientistas concordaram que o calor está associado às vibrações das partículas que compõem a matéria. As afirmativas abaixo envolvem transferência de calor entre corpos.

I. O feijão servido em uma travessa de barro (calor específico: 0,22 cal/g ∙ °C e condutividade térmica: 0,30 ∙ 10–7 cal/s ∙ cm ∙ °C) permanece quente por menos tempo do que quando servido em uma travessa de vidro (calor específico: 0,20 cal/g ∙ °C e condutividade térmica: 0,86 ∙ 10–7 cal/s ∙ cm ∙ °C). Isso ocorre porque o vidro dificulta a troca de energia térmica com o ambiente. II. Os trilhos de ferro de um trem dilatam quando aquecidos porque o calor ocupa espaço entre as partículas do ferro. III. Uma pessoa com temperatura corpórea de aproximadamente 36,5 °C pode sentir frio ao segurar a barra de ferro de um corrimão. Essa sensação é devido à perda de calor da mão da pessoa para a barra de ferro. IV. A garrafa térmica mantém o café quente, pois não deixa o calor escapar. Como o calor não sai do café, ele não esfria. Imagine a energia térmica em trânsito nas situações acima e avalie quais afirmativas são verdadeiras. a) b) c) d) e)

I, III e IV. I, II e IV. I e III. I e IV. Todas as afirmativas estão corretas.

I. Verdadeira. O barro conduz mais a energia térmica do que o vidro, por isso é mais propenso a facilitar troca de energia térmica do que o barro. II. Falsa. Essa era uma das justificativas dos defensores do calórico.

2 O objeto mostrado na fotograH3 H20 H21

fia é vendido em algumas lojas como o “amuleto do amor”. Trata-se de um dispositivo composto por duas seções ligadas por um tubo, um líquido e um gás, como mostrado na foto. Segundo os vendedores, se um casal apoiar as mãos na base do aparelho e o líquido subir para a câmara superior, borbulhando bastante, a sintonia entre os dois é máxima. A física, sem pretender esfriar o romantismo dos casais, tem outra explicação para o fato de o líquido subir para a câmara superior do dispositivo, ao entrar em contato com as mãos.

Leia as afirmativas abaixo. I. Com o contato das mãos do casal, o dispositivo funciona com o calor que flui das mãos, enchendo o compartimento de calor e empurrando o líquido para cima. II. Com o contato das mãos do casal, o dispositivo funciona com o calor que flui das mãos, aumentando a temperatura do gás da câmara. Com a dilatação do gás e o aumento da pressão na câmara inferior do dispositivo, o líquido é empurrado para cima. III. Quanto maior a diferença de temperatura entre as mãos do casal e o dispositivo, mais intensamente o fluxo de líquido que sobe borbulha. A(s) afirmativa(s) que explica(m) fisicamente o fenômeno observado é (são): a) I e II. b) II e III. c) I e III.

d) I, II e III. e) apenas II.

I. Incorreta. O calor é energia em trânsito, portanto é inadequado afirmar que o calor preenche um determinado espaço como se tivesse existência material. II. Correta. III. Correta.

III. Verdadeira. Uma pessoa com temperatura corpórea de aproximadamente 36,5 °C pode sentir frio ao segurar a barra de ferro porque seu corpo

Texto para as questões 3 e 4.

perde calor para a barra. A sensação de frio é

O desenvolvimento do primeiro instrumento de medida de temperatura, chamado inicialmente de termoscópio, em 1592, é atribuído a Galileu Galilei. Esse “termômetro” pode ser reproduzido utilizando-se um tubo de vidro, em que uma das extremidades seja esférica e tenha cerca de metade de seu volume preenchido por água, e uma vasilha também contendo água. Sua montagem consiste no posicionamento do tubo e do recipiente como indicado na figura a seguir.

causada pela perda de calor. IV. Falsa. O café permanece quente por mais tempo na garrafa térmica porque ela evita a troca de calor entre o café e o ambiente externo à garrafa.

108


1 A natureza do calor já foi motivo de muita discussão

juliana rossi/Guará imaGens

Para o eNeM

4 Com relação à afirmativa II, referente à escala termoméH6 H18 H21

a) Explorar, conhecer e definir a substância termométrica que permite comparar a temperatura de dois objetos por meio de sua dilatação. b) Explorar, conhecer e definir o calor específico do vidro e da substância termométrica para que as trocas de calor envolvidas não influenciem nas medidas. c) Explorar, conhecer e definir fenômenos físicos que ocorrem sempre à mesma temperatura quando em condições idênticas. d) Explorar, conhecer e definir as leis dos gases que se expandem exatamente do mesmo modo, quando submetidos ao aquecimento, e permitem o desenvolvimento de uma escala absoluta. e) Todas as alternativas anteriores.

Comparando esse primeiro instrumento com os termômetros de mercúrio utilizados hoje, é possível listar alguns pontos que precisaram ser aprimorados para que surgissem os termômetros atuais: I. A substância termométrica precisou ser avaliada e trocada. II. A escala termométrica precisou ter melhores parâmetros de definição, para que houvesse a padronização das medidas.

Os conceitos da termodinâmica relacionados


III. Foi preciso selar o termômetro.

ao desenvolvimento do termômetro devem ser

3 Com relação à afirmativa I, referente à substância termoH6 H18 H21

trica, qual alternativa a seguir considera adequadamente o que foi essencial para se construir e padronizar as escalas termométricas?

conhecidos pelo aluno que irá responder a essa

métrica, essa alteração foi necessária porque:

questão. Apesar de as alternativas a e b serem

a) o ar como substância termométrica estava sujeito a quaisquer variações de pressão atmosférica na superfície da água do vasilhame.

coerentes com o objetivo de um aprimoramento do termômetro como instrumento de medida, somente a

b) a água como substância termométrica estava sujeita à alteração de temperatura e evaporava.

alternativa c produz impacto direto na definição menos

c) a água (calor específico: 1 cal/g ∙ °C) como substância termométrica só apresenta variações ao receber grandes quantidades de calor.

arbitrária e na padronização das escalas termométricas. A alternativa d determina uma estratégia para a

d) o ar (calor específico: 0,24 cal/g ∙ °C) como substância termométrica apresenta muita variação mesmo ao receber pequenas quantidades de calor.

configuração de uma das escalas termométricas, ou seja, a alternativa c contempla a alternativa d, sendo

e) o ar e a água, como substâncias termométricas, sofrem variações de pressão atmosférica e temperatura, que tornam o termômetro impreciso.

mais abrangente e, por isso, mais essencial.

Para responder a essa questão, o aluno deve ter claro o

5 A maioria dos corpos à nossa volta tem suas dimensões

que é uma substância termométrica, para identificá-la

H18 H21

no termômetro de Galileu. Deve também raciocinar sobre as imprecisões provenientes de o ar ser a substância termométrica escolhida por Galileu. Como a substância termométrica no instrumento é o ar, as alternativas b, c e e são descartadas e a alternativa d mostra uma característica do ar

modificadas com a temperatura. Estudar a variação das dimensões dos corpos em função da temperatura é importante para as transações comerciais. Por exemplo, um petroleiro brasileiro que recebe uma carga de 1 milhão de barris de petróleo (1,6 ∙ 105 m3) no porto de Santos, a uma temperatura de aproximadamente 30 °C, quando descarregada na costa leste dos Estados Unidos, a uma temperatura de cerca de 3 °C, apresenta uma perda aproximada de volume igual a:

Dado: coeficiente de dilatação térmica do petróleo ∙ ∙ 8,99 ∙ 10–4 °C–1.

importante para o funcionamento do termômetro, ou

a) 5 barris. b) 25 barris.

c) 250 barris. d) 2.500 barris.

e) 25.000 barris.

seja, quanto menor o calor específico da substância

∆V ∙ Dlíq ∙ V0 ∙ ∆J ] ∆V ∙ (8,99 3 10−4 3 1 3 106) 3

termométrica, melhor a precisão do termômetro.

∙ (3 − 30) ∆V ∙ (8,99 ∙ 102) ∙ (−27) ] ∆V ∙ 24.273 barris

109


aGe Fotostock/easypix brasil

Para vê-lo funcionar, basta colocar a extremidade esférica do tubo em contato com o objeto cuja temperatura se deseja medir. A coluna de água no tubo se moverá para cima ou para baixo, em consequência da alteração de temperatura do ar em seu interior. O movimento se mantém até que o ar no interior do tubo atinja o equilíbrio térmico com o objeto, quando então a medida da temperatura pode ser feita por meio de uma escala colada no tubo.


Calor e mudança de fase

cAmeron mileS/DreAmStime. com

Para que ocorram trocas de calor, um corpo deve se comportar como fonte de calor para o outro. A pele humana pode ser uma fonte de calor tanto quanto um forno elétrico. Dessa maneira, dizemos que fonte de calor é todo elemento capaz de produzir aumento na temperatura de um corpo. A rapidez com que a fonte térmica varia a temperatura do objeto está associada à quantidade de energia que é fornecida por unidade de tempo ou, em outras palavras, à potência térmica da fonte. No SI, a unidade de medida de potência é o watt (J/s). Outra unidade bastante utilizada para fontes térmicas é cal/s (caloria por segundo).

figura 1 • Um queimador de um fogão a gás é uma fonte de calor cuja potência pode atingir 700 cal/s.

II. Capacidade térmica e calor específico Os corpos absorvem calor de maneira diversa, dependendo de suas massas e do material que os constitui. Dessa maneira, dois corpos formados do mesmo material, sujeitos à mesma fonte de calor durante o mesmo tempo, podem sofrer variações de temperatura diferentes caso suas massas não sejam as mesmas. Para que estejam sujeitos às mesmas variações de temperatura, é necessário que o corpo de maior massa receba maior quantidade de calor. Dizemos que o corpo de massa maior tem sua capacidade térmica mais elevada em relação ao de menor massa, pois maior é a quantidade de calor exigida por ele para variar sua temperatura. A capacidade térmica é uma característica do corpo e não do material que o constitui, e pode ser expressa por: C5

∆Q ∆θ

A unidade de medida de capacidade térmica no SI é J/°C, mas a unidade mais utilizada é cal/°C. Os recipientes nos quais são realizados experimentos envolvendo trocas de calor são chamados calorímetros. Normalmente, a grandeza relevante em um calorímetro é sua capacidade térmica. Em um calorímetro ideal, o isolamento térmico com o meio externo seria perfeito (paredes adiabáticas) e a capacidade térmica, nula.

110

figura 2 • Calorímetro didático simples. Existem es para a fixação de um termômetro e de um agitador, além de contatos para a agem de corrente elétrica.

O calor específico é a grandeza que explica porque um material esquenta mais que o outro ao receber a mesma quantidade de calor. Ao contrário da capacidade térmica, o calor específico não é característico do corpo, mas sim da substância que o constitui. Assim, quando se coloca sob uma mesma fonte de calor corpos de mesma massa durante o mesmo intervalo de tempo, aqueles de maior calor específico levarão mais tempo para aquecer. Por exemplo, o calor específico da água é igual a 1,0 cal/g ∙ °C. Significa que é necessário fornecer uma quantidade de calor de 1,0 cal para variar 1 °C a temperatura de 1,0 g de água. Já o calor específico do óleo é 0,6 cal/g ∙ °C, o que quer dizer que, ao se analisar massas iguais de óleo e água, submetidos à mesma fonte térmica, verifica-se que o óleo necessita de 60% da quantidade de calor absorvida pela água para a mesma elevação de temperatura. A relação entre a capacidade térmica de um corpo e o calor específico de uma substância é dada por: C∙m∙c A tabela apresenta os valores de calor específico de algumas substâncias. Substância

Calor específico em cal/g °C

Água

1,0

Ferro

0,11

Cobre

0,093

Prata

0,056

Chumbo

0,031

Mercúrio

0,033

Gelo

0,55

Observe na tabela que o valor do calor específico da água no estado líquido e o do gelo são diferentes. De fato, o calor específico de uma substância depende também de seu estado físico.


I. Fonte térmica ou de calor

SciencephotoS/AlAmy/other imAgeS

O calor sensível eleva a temperatura de um corpo sem provocar mudança de fase. Já o calor latente mantém a temperatura do corpo constante, mas com transição de fase. Além disso, neste tópico serão analisadas as trocas de calor com múltiplos corpos em contato nos sistemas termicamente isolados.

Conhecer o conceito de calor específico é fundamental para entender e interpretar alguns fenômenos do cotidiano. Por exemplo, o calor específico da água é maior que o da areia. Isso explica por que em regiões litorâneas, pela manhã, a areia está mais quente do que a água e à noite ocorre o inverso: a água necessita de maior quantidade de calor para sofrer a mesma elevação de temperatura da areia durante o dia, e à noite a relação se mantém: a água necessita perder maior quantidade de calor do que a areia para resfriar.

Verifica-se experimentalmente que quando um corpo, sob determinada pressão, atinge a temperatura de mudança de fase, cessa a variação de temperatura. A energia térmica absorvida a a ser utilizada na reorganização molecular da substância. A temperatura só volta a mudar quando o corpo todo tiver mudado de fase. A quantidade Q de energia necessária para transformar a fase de um corpo de massa m é dada por: Q∙m∙L

A expressão que relaciona a quantidade Q de energia térmica absorvida ou retirada de um corpo com a variação de temperatura sofrida por ele pode ser obtida experimentalmente. Para um corpo de massa m e calor específico c, submetido à variação de temperatura ∆θ, tem-se: ,

denominada equação fundamental da calorimetria. O sinal de Q depende do sinal de ∆θ.

Calor latente de fusão e ebulição

Aquecimento: ∆θ > 0 ⇒ ⇒ Q > 0 → Energia absorvida pelo corpo Resfriamento: ∆θ < 0 ⇒ ⇒ Q < 0 → Energia cedida pelo corpo O calor sensível calculado pela equação fundamental da calorimetria não envolve mudança de fase, e sim de temperatura.

As mudanças de estado físico, ou mudanças de fase, de uma substância recebem nomes especiais, dependendo do estado original e final, como se pode observar no diagrama abaixo.

Gás

Calor latente de fusão (cal/g)

Calor latente de ebulição (cal/g)

Água

80

540

Álcool etílico

25

204

Alumínio

96

2.597

Cobre

32

1.211

Ferro

59

1.495

Ouro

15

377

Tungstênio

46

1.071

Fonte: WILSON, Jerry D. et. al. College Physics. New Jersey: Pearson Education, 2008. figura 4 • A grande diferença entre os valores do calor latente de ebulição e de fusão de uma substância à pressão normal é explicada pelo tipo de reorganização molecular de cada uma das agens.

IV. Calor latente

Sublimação (sólido em gás ou gás em sólido)

Substância

Evaporação (líquido em gás)

BochkArev/ShutterStock


Q ∙ m ∙ c ∙ ∆θ

A constante L, característica da substância, é denominada calor latente. Ainda que no SI a unidade de medida de L seja J/kg, o calor latente é costumeiramente medido em cal/g. Note que a transformação de fase inversa requer a mesma quantidade de energia, em módulo. Assim, se nos é informado que o calor latente de fusão do gelo sob pressão normal é 80 cal/g, sabemos que o calor latente de solidificação da água, na mesma pressão, vale –80 cal/g.

Condensação (gás em líquido)

Sólido

Líquido Solidificação (líquido em sólido)

Fusão (sólido em líquido)

figura 3 • Nos sólidos, as partículas tendem a se manter unidas devido à intensidade das forças de coesão entre as moléculas. Nos gases, os choques entre as moléculas são mais frequentes, e assim essas partículas tendem a maior dispersão. Nos líquidos, as forças de coesão são ainda significativas e o grau de liberdade de movimentação das moléculas é limitado. Em materiais nesse estado, as partículas não se separam totalmente, mas não apresentam forma fixa. (Imagem sem escala.)

figura 5 • A temperatura da água não se altera enquanto muda da fase sólida para a líquida. Em condições de pressão ao nível do mar, enquanto a fusão não termina, tem-se água e gelo a 0 °C.

Curvas de aquecimento É o diagrama que mostra a temperatura do corpo em função da quantidade de calor absorvida. As curvas de aquecimento de quase todas as substâncias apresentam “patamares”, isto é, intervalos de tempo durante os quais a temperatura permanece constante, apesar de a substância continuar a receber calor. O primeiro patamar apresentado no gráfico indica a fusão do corpo e o segundo, a ebulição.

111


III. Calor sensível

As temperaturas de fusão e ebulição dependem do tipo de substância e da pressão a que o corpo está submetido.

O gás é a fase na qual não ocorre mais condensação por compressão isotérmica.

Temperatura

P

CF

PE

L

S

CV CS

PF

PC

PT

V

Gás

Quantidade de calor T

figura 6 • Os patamares horizontais representam as transições de fase da substância. As temperaturas indicadas por PF e PE representam, respectivamente, os pontos de fusão e ebulição da substância nessa determinada pressão.

figura 8 • Diagrama de fase de uma substância típica, como o CO2, em que a curva CF sobe se deslocando para a direita. A maioria das substâncias segue um comportamento semelhante. P

Sólido ←→ Líquido (°C)

Líquido ←→ Gasoso (°C)

Água

0

100

Álcool etílico

−114

78

Alumínio

660

2.450

Cobre

1.083

2.595

Ferro

1.537

3.000

Ouro

1.064

2.970

Tungstênio

3.380

5.930

Fonte: WILSON, Jerry D. et. al. College Physics. New Jersey: Pearson Education, 2008. figura 7 • Valores de temperaturas de mudanças de fase de algumas substâncias, à pressão constante.

V. Diagramas de fase Os diagramas de fase são gráficos da pressão em função da temperatura absoluta, nos quais é possível analisar as transições de fase da substância. Em geral, cada diagrama mostra o gráfico dividido em três grandes regiões, correspondentes às fases sólida, líquida e de vapor. As linhas coloridas no diagrama representam as fronteiras entre as fases, onde acontecem as transições. • Curva de sublimação (CS): cruzando essa linha, há a agem da fase sólida para a de vapor, e vice-versa. • Curva de fusão (CF): separa as fases sólida e líquida. Se atravessada da esquerda para a direita, ocorre uma fusão; se a agem ocorre no sentido contrário, temos uma solidificação. • Curva de vaporização (CV): separa as fases líquida e de vapor. Se atravessada da esquerda para a direita, ocorre uma vaporização; se a agem ocorre no sentido contrário, temos uma condensação. • Ponto tríplice (PT): estado da substância no qual coexistem as três fases. • Ponto crítico (PC): ponto na curva CV, com temperatura a partir da qual o vapor a a ser chamado de gás.

112

CV PC

CF L

S PT CS

Gás

V T

figura 9 • Existem outras substâncias que seguem o comportamento da água, em que a curva CF sobe invertida.

VI. Trocas de calor Os recipientes termicamente isolados são construídos com o propósito de restringir as trocas de calor somente aos corpos em seu interior. São exemplos desse tipo de recipiente as caixas térmicas usadas para armazenar bebidas e alimentos e as garrafas térmicas, utilizadas para manter quente café, chá ou leite. Recipientes termicamente isolados, construídos para permitir medidas precisas de variações de temperatura em seu interior, são chamados de calorímetros. Se colocarmos diversos corpos de substâncias diferentes a temperaturas distintas, no interior de um calorímetro, eles trocarão calor até que se atinja o equilíbrio térmico. Em uma situação ideal, todo o calor será trocado apenas entre os corpos e, eventualmente, entre eles e o recipiente. Logo, neste caso, supondo desprezível a interação com o exterior do sistema, podemos escrever: Q1 + Q2 + Q3 + … + Qi ∙ 0

ou, resumidamente,

i

∙Qi ∙ 0

n∙1

A energia Q é a quantidade de calor absorvida ou cedida pelos i corpos no interior do calorímetro, bem como aquelas trocadas entre o próprio recipiente e os corpos em seu interior.


Temperaturas de mudanças de fase Substância

Qgelo1: quantidade de calor absorvida pelo gelo para elevar sua temperatura de t0 para 0 °C. Q ∙ m ∙ c ∙ ∆t ∙ 20 ∙ 0,5 ∙ (0 – t0) ∙ –10t0 Qgelo2: quantidade de calor absorvida pelo gelo durante a agem do estado sólido ao líquido. Q ∙ m ∙ LFgelo ∙ 20 ∙ 80 ∙ 1.600 cal Qgelo3: quantidade de calor absorvida para elevar a temperatura da água que se formou a partir da fusão do gelo (20 g) desde 0 °C até a temperatura de equilíbrio térmico, 50 °C. Q ∙ m ∙ c ∙ ∆t ∙ 20 ∙ 1 ∙ 50 + 1.000 cal Então, como Qágua + Qcalorímetro + Qgelo1 + Qgelo2 + Qgelo3 ∙ 0, pode-se escrever: –3.000 + 300 – 10t0 + 1.600 + 1.000 ∙ 0 ⇒ ⇒ 10t0 ∙ −100 ⇒ t0 ∙ −10 °C Portanto, o cubo de gelo estava à temperatura de –10 °C ao ser colocado no calorímetro.

VII. Equivalente mecânico do calor James Prescott Joule idealizou, em 1843, um aparato experimental para demonstrar que o calor também é uma forma de energia. Para tanto, o experimento se baseava na transformação de energia mecânica da queda de pesos (energia potencial gravitacional) em energia cinética da rotação de pás, que, ao girarem, transformavam a energia do movimento em calor transmitido para certa quantidade de água no interior de um calorímetro. O efeito dessa transformação podia ser percebido por meio de um termômetro que media o aumento de temperatura da água. O experimento de Joule foi determinante para a obtenção da razão

Água

Pesos em queda giram o eixo

Pás em rotação elevam a temperatura da água

figura 10 • Esquema do aparato experimental de Joule.

A razão de transformação utilizada atualmente é 1 cal ≃ 4,186 J, muito próximo do valor obtido por Joule na época.

figura 11 • A broca da furadeira, ao girar, tem parte de sua energia mecânica transformada em energia térmica, pois a força de resistência da madeira realiza um trabalho contra a perfuração, e por isso a broca se aquece.

A descoberta de Joule representou a confirmação teórica que viabilizou o uso de máquinas a vapor na conversão de energia térmica em energia mecânica. A partir da década de 1840, a industrialização do mundo desenvolvido acelerou, e a física cumpriu o importante papel de embasar melhorias nos dispositivos utilizados.

figura 12 • A locomotiva a vapor, com as melhorias no rendimento da conversão de energia térmica em mecânica, é o símbolo da revolução nos transportes de carga e de ageiros, ocorrida na Europa em 1840.

113


Qcalorímetro: quantidade de calor absorvida pelo calorímetro Q ∙ C ∙ ∆t ∙ 10 ∙ 30 ∙ 300 cal

Termômetro

StAniSlAv komogorov/ShutterStock


Qágua: quantidade de calor cedida pela água. Q ∙ m ∙ c ∙ ∆t ∙100 ∙ 1 ∙ (–30) ∙ –3.000 cal

de transformação entre calor (medido em caloria) e energia (medido em joule).

mAuritiuS/mAuritiuS/lAtinStock

Note que a quantidade de calor absorvida ou cedida pelo recipiente termicamente isolado dependerá de sua capacidade térmica. Um calorímetro ideal tem capacidade térmica nula. Como exemplo, pode-se supor que uma massa de 100 g de água a 80 °C seja colocada em um calorímetro de capacidade térmica conhecida e igual a 10 cal/°C, que estava à temperatura ambiente de 20 °C. Imediatamente depois, um cubo de gelo de 20 g de massa é lançado nesse calorímetro. Ao ser atingido o equilíbrio térmico, observa-se que o interior do calorímetro contém apenas água à temperatura de 50 °C. É possível calcular a temperatura do cubo de gelo ao ser colocado no calorímetro. Para isso, adota-se o calor específico do gelo e da água com valores respectivamente iguais a 0,5 e 1 cal/g °C, o calor latente de fusão do gelo igual a 80 cal/g e considera-se que: Qágua + Qcalorímetro + Qgelo1 + Qgelo2 + Qgelo3 ∙ 0

ESTUDANDO Calor e mudança de fase

Para o vestibular 1 (Fuvest-SP) Um amolador de facas, ao operar um esmeril, é atingido por fagulhas incandescentes, mas não se queima. Isso acontece porque as fagulhas:

a) b) c) d) e)

3 (Fuvest-SP) J (°C)

têm calor específico muito grande. têm temperatura muito baixa. têm capacidade térmica muito pequena. estão em mudança de estado. não transportam energia.

40

20

As fagulhas têm capacidades térmicas muito pequenas, t (min)

10

a quantidade de calor envolvida nessa troca é muito

O gráfico representa a variação da temperatura de um corpo sólido, em função do tempo, ao ser aquecido por uma fonte que libera energia a uma potência constante de 150 cal/min. Como a massa do corpo é de 100 g, o seu calor específico, em cal/g wC, será de:

pequena para causar queimaduras na pele.

a) 0,75.

d) 0,80.

b) 3,75.

e) 1,50.

a pele e o material que compõe a fagulha, fazendo com que sua temperatura caia muito rapidamente,

c) 7,50. Do gráfico, deduz-se que a variação de temperatura é

2 (Uerj) A tabela abaixo mostra apenas alguns valores,

omitindo outros, para três grandezas associadas a cinco diferentes objetos sólidos: – massa; – calor específico; – energia recebida ao sofrer um aumento de temperatura de 10 °C. objetos

m(g)

–1

–1

c(cal ∙ g ∙ ºC )

Q(cal)

I

0,3

300

II

0,2

400

III

150

IV

150

0,4

V

100

0,5

aquecimento durante 10 min. A quantidade de calor total Q recebida pelo corpo pode ser obtida como segue: 150 cal

1 min

Q

10 min

] Q 5 1.500 cal

Da equação fundamental da calorimetria Q 5 mcSt, cal Q 1.500 c 5 ____ 5 _______ } c 5 0,75 ______ . g 3 wC mSt 100 3 20

450

A alternativa que indica, respectivamente, o objeto de maior massa, o de maior calor específico e o que recebeu maior quantidade de calor é: a) I, III e IV. b) I, II e IV.

St 5 20 wC e que o corpo ficou sujeito a esse

c) II, IV e V. d) II, V e IV. X

4 (Uesc-BA) É fornecida uma potência de 420,0 W durante 20,0 s a um bloco de cobre de massa igual a 0,50 kg.

Sabendo-se que apenas 60% do calor gerado sejam absorvidos pelo bloco, que o calor específico do cobre é igual a 0,1 cal/g ∙ °C e que 1 cal ∙ 4,2 J, o aumento de temperatura do bloco é igual, em °C, a: a) 18.

b) 24.

c) 32.

d) 46.

I) 300 ∙ m ∙ 0,3 ∙ 10 ∙ m ∙ 100 g

potência ∙ intervalo de tempo ∙ energia

II) 400 ∙ m ∙ 0,2 ∙ 10 ∙ m ∙ 200 g, portanto o objeto (II)

420,0 ∙ 20,0 ∙ 8.400,0 J, que são 2.000 cal.

é o de maior massa.

60% é absorvido ∙ 1.200 cal

III) 450 ∙ 150 ∙ c ∙ 10 ∙ c ∙ 0,3 cal/g ∙°C, portanto o

∆Q ∙ mc∆θ

objeto (V) é o de maior calor específico.

1.200 ∙ 500 g ∙ 0,1 ∙ ∆θ

Já é possível perceber que a alternativa correta é a d.

∆θ ∙ 24 °C

114

e) 50.


0

por isso, mesmo que ocorra rápida troca de calor entre

5 (UFMG) O gráfico a seguir mostra como variam as tem-

peraturas de dois corpos A e B, cada um de massa igual a 100 g, em função da quantidade de calor absorvida por eles. Os calores específicos dos corpos A (cA) e B (cB) são, respectivamente: T (°C) A

B

25 500

1.000

1.500

Q (cal)

a) cA 5 0,10 cal/g wC e cB 5 0,30 cal/g wC. b) cA 5 0,067 cal/g wC e cB 5 0,20 cal/g wC. c) cA 5 0,20 cal/g wC e cB 5 0,60 cal/g wC. d) cA 5 10 cal/g wC e cB 5 30 cal/g wC. e) cA 5 5,0 cal/g wC e cB 5 1,7 cal/g wC. Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Placa branca

Um professor de física construiu um coletor solar rudimentar, colocando duas placas metálicas (uma preta e uma branca) expostas ao sol, fixando previamente um termômetro em cada uma delas, como ilustra a Figura acima (figura extraída de Física2/GREF-São Paulo: Editora da USP, 1998, 4 a ed.), para verificar a variação da temperatura com o tempo, em cada chapa.

50

0

Placa preta

Pelo gráfico, verifica-se que ambos, A e B, sofreram variação de temperatura de St 5 50 wC ao receber QA 5 500 cal e QB 5 1.500 cal, respectivamente. Como mA 5 mB 5 m, a partir da equação fundamental da calorimetria Q 5 mcSt, tem-se: QA 500 cal _____ _______ ______ 5 ■ CA 5 } cA 5 0,10 100 3 50 g 3 wC m 3 St QB cal 1.500 ■ CB 5 ______ 5 _______ } cB 5 0,30 _____ g 3 wC 100 3 50 m 3 St

7 Após a realização de seu experimento, ele concluiu cor-

retamente que, em intervalos de tempo iguais: a) a placa pintada de preto exposta ao sol absorve mais temperatura que uma placa de qualquer outra cor, por isso ela atinge maiores temperaturas. b) a placa pintada de preto exposta ao sol absorve mais energia que uma placa de qualquer outra cor, por isso ela atinge maiores temperaturas. c) a placa pintada de cor branca exposta ao sol absorve mais energia que a placa preta, por isso ela atinge maiores temperaturas. d) a placa pintada de cor branca exposta ao sol absorve mais temperatura que a placa preta, por isso ela atinge maiores temperaturas. e) a placa pintada de cor branca exposta ao sol, reflete toda a temperatura que o sol emite, fazendo com que ela atinja uma temperatura menor que a placa preta.

A temperatura não é absorvida e nem refletida, mas sim a energia. A placa pintada de preto quando exposta ao sol, absorve mais energia que uma placa de qualquer outra cor.

6 (UEPB) Por ter acabado o gás de cozinha, a dona de casa utilizou um aquecedor de 200 W de potência para aquecer a água do café. Dispondo de 1 litro (1.000 g) de água que se encontrava a 22 wC, e supondo que apenas 80% dessa potência foi usada no aquecimento da água, qual a temperatura atingida pela água após um instante de 30 min? (Adote 1 cal 5 4,0 J e calor específico da água c 5 1 cal/g wC) a) 60 wC

c) 30 wC

b) 313 wC

d) 94 wC

e) 72 wC

8 Ao colocar sobre a placa que atinge maiores temperatu-

ras um corpo sólido de 75g, foi detectada uma variação de temperatura em função do tempo conforme se ilustra no gráfico abaixo. Considerando que a placa libera energia a uma potência constante de 150 cal/min, é correto afirmar que o corpo sólido tem calor específico de: T ( °C) 45

25

Relacionando os dados do enunciado e lembrando de incluir a conversão de calorias para joules na energia

10

t (min)

térmica, temos: 4 3 1.000 3 1 3 (J 2 22) m 3 c 3 SJ Pot 5 _________ ] 0,80 3 200 5 ___________________ ] St 30 3 60

a) 1,00 cal/g ∙ °C. b) 0,75 cal/g ∙ °C. c) 1,25 cal/g ∙ °C.

d) 1,50 cal/g ∙ °C. e) 3,75 cal/g ∙ °C.

] J 5 94 wC

150 cal/min em 10 minutos 5 1.500 cal 1.500 5 75 3 c 3 (45 – 25) c 5 1,00 cal/g 3 °C

115


75

(UEPB) Texto para as questões 7 e 8.

Temperatura (°C)

turas mínimas e máximas nas capitais de alguns países europeus, medidas em graus Celsius. 40 37 35 33 31 30 30 25 25 23 23 22 24 22 20 5 20 20 15 10 6 5 5 2 1 1 –1 –2 –3 0 –5 –5 –10 –10 – 10 A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

Adaptado de Factos e números essenciais sobre a Europa e os europeus. Luxemburgo: Serviço das Publicações Oficiais das Comunidades Europeias, 2006.

Considere a necessidade de aquecer 500 g de água de 0 °C até a temperatura média máxima de cada uma das capitais.

a) o trabalho realizado pela força de atrito. b) a velocidade inicial do bloco. c) o tempo que o bloco demora para parar. a)

A quantidade de energia usada para derreter uma

massa m ∙ 0,5 g de gelo pode ser calculada como segue: Q ∙ m 3 LF ] Q ∙ 0,5 3 80 } Q ∙ 40 cal ∙ 160 J. Portanto, a energia total (E) envolvida no processo é, por conservação de energia: E ∙ 2Q ] E ∙ 320 J. Usando o teorema da energia mecânica: inicial inicial DF ∙ Efinal mec 2 E mec ∙ 2E mec , pois a velocidade final at

do bloco é zero. Logo: DF ∙ 2320 J. at

b)

A energia mecânica inicial do sistema corresponde

Determine em quantas dessas capitais são necessárias mais de 12 kcal para esse aquecimento.

à energia cinética inicial do gelo. Portanto: 2 640 mv ____ ∙ 320 ] v2 ∙ ____ } OvO ∙ 8 m/s. Ecin ∙ Einicial mec ] 2 10

∆Q ∙ mc∆t

c)

12 kcal ∙ 500 g ∙ 1 cal/g ∙ °C ∙ ( Tmáx – 0)

Fat, Ss cos 180° ∙ 2320 ] Fat 3 50 3 (21) ∙ 2320

Nesse caso, Tmáx – 0 ∙ 24 °C.

} Fat ∙ 6,4 N que corresponde à força resultante

Para a quantidade de calor ser maior que 12 kcal, Tmáx > 24 °C. Portanto, são cinco as capitais nas quais é necessário fornecer mais de 12 kcal para aquecer 500 g de água. São elas: F, G, H, J e K.

10 (Ufac) O calor de fusão do gelo é de 80 cal/g. Qual o

tempo mínimo necessário para fundir 500 g de gelo a 0 °C, se o gelo absorve em média 800 cal/s?

a) 5 s b) 10 s

c) 20 s d) 40 s

Com base em DFat ∙ 2320 J, tem-se:

e) 50 s

Para fundir 500 g de gelo, são necessárias: Q ∙ mL ] Q ∙ 500 3 80 ] Q ∙ 40.000 cal Usando a informação do fluxo médio dada no enunciado: Q 40.000 ______ ___ ? ∙ St ] 800 ∙ St ] St ∙ 50 s

sobre o bloco de gelo. Logo, pela segunda lei de Newton: FR ∙ Fat ] m 3 a ∙ 6,4 } a ∙ 0,64 m/s2. Usando agora a relação v ∙ v0 1 at : 0 ∙ 8 1 0,64t } t ∙ 12,5 s

12 (Ufal) Uma substância, inicialmente no estado sólido,

absorve certa quantidade de calor. Sabe-se que um por cento desse calor eleva em 50 K a temperatura da substância, desde a temperatura inicial até a sua temperatura de fusão. A quantidade restante do calor absorvido é utilizada para fundir completamente a substância. Após a utilização de todo o calor absorvido, a substância encontra-se na sua temperatura de fusão. Denotando o calor específico e o calor de fusão da substância respectivamente por c e L, a razão L/c vale:

a) 1.540 K.

d) 3.460 K.

b) 2.230 K.

e) 4.950 K.

c) 2.320 K. Q1 ∙ 0,01 3 Qtotal ] 0,01 3 Qtotal ∙ mc 3 50

11 (Fuvest-SP) À temperatura ambiente de 0 °C, um bloco

de 10 kg de gelo, à mesma temperatura, desliza sobre uma superfície horizontal. Após percorrer 50 m, o bloco para em virtude do atrito com a superfície. itindo-se que 50% da energia dissipada foi absorvida pelo bloco, derretendo 0,50 g de gelo, calcule:

116

Q2 ∙ 0,99 3 Qtotal ] 0,99 3 Qtotal ∙ mL a

a

Dividindo a 2 equação pela 1 : 0,99 ____ L L ____ ∙ ] __ ∙ 4.950 K 0,01

50c

c

(2)

(1)


9 (Uerj) O gráfico a seguir assinala a média das tempera-

T (°C)

c) a substância B possui uma temperatura de solidificação mais elevada do que a substância A. d) o calor de vaporização da substância B é maior do que o da substância C. e) a fase final da substância A é sólida.

100

Os patamares horizontais representam as transições de

uma substância, inicialmente no estado sólido, em função da quantidade de calor recebida. A massa da substância é de 50 gramas.

60

fase das substâncias. Observando os gráficos, é

20

possível concluir que tanto na fusão quanto na


0

100

1.000

2.000

4.000

Q (cal)

4.160

a) O calor específico da substância no estado sólido é de 0,2 cal/g °C. b) O calor latente de fusão da substância é de 20 cal/g. c) O calor específico da substância no estado líquido é de 0,5 cal/g °C. d) O calor latente de vaporização da substância é de 80 cal/g. e) O calor específico da substância no estado de vapor é de 0,8 cal/g °C. Analisando o gráfico, pode-se concluir que são incorretas as alternativas a, b, d e e: Q 100 a) c ∙ ____ ∙ ______ } c ∙ 0,1 cal/g °C mSt 50 3 20 900 Q ____ __ b) LF ∙ m ∙ 50 } LF ∙ 18 cal/g Q 2.000 _____ __ d) Lv ∙ m ∙ 50 } Lv ∙ 40 cal/g Q 160 ____ ______ e) c 5 mSt ∙ 50 3 40 } c ∙ 0,08 cal/g °C. Pelo gráfico, a quantidade de calor recebida pela substância em estado líquido é: Q ∙ 2.000 2 1.000 } Q ∙ 1.000 cal Isso ocasionou a variação de temperatura St ∙ 40 °C. Portanto, o calor específico da substância no estado Q 1.000 líquido é: c ∙ ____ ∙ ______ } c ∙ 0,5 cal/g °C. mSt 50 3 40

14 (PUC-RS) O diagrama relaciona o comportamento das

temperaturas Celsius T e as quantidades de calor Q recebidas por três substâncias diferentes, A, B e C, todas sujeitas à mesma pressão atmosférica. T (°C)

A

vaporização as maiores temperaturas correspondem à substância A, depois à B e por último à C. Isso descarta as alternativas a e c. Apesar de sofrer fusão a 0 °C, não podemos garantir que B é água pura apenas por isso. A fase final de A é uma coexistência entre fase líquida e vapor, ambos à mesma temperatura. Portanto, e é falsa. Finalmente, o calor de vaporização de B é maior que o de C, pois o segundo patamar horizontal (vaporização) de B é mais extenso que o de C.

15 (Uepa) A grande “coqueluche” dos ecologistas atual-

mente é a usina elétrica movida a luz do Sol. Ela é composta de uma torre alta com um recipiente, contendo cerca de 100 kg de água (caldeira) na sua parte superior, e centenas de espelhos metálicos móveis, no solo, que refletem a luz solar, concentrando-a sobre a caldeira. O calor absorvido aquece a água produzindo vapor, a alta pressão, a uma temperatura de 440 °C. Este vapor é suficiente para acionar turbinas acopladas a geradores elétricos e produzir alguns megawatts de potência. Se a temperatura inicial da água era 20°C, a quantidade, em Mcal, até que a caldeira atinja sua temperatura de operação é: Use, se necessário. Calor específico da água: 1 cal/g ∙ °C. Calor latente de vaporização da água: 540 cal/g. Calor específico do vapor aquecido: 0,48 cal/g ∙ °C. a) 8.

b) 24.

c) 54.

d) 62.

e) 78.

Deve-se somar a quantidade de calor para elevar a

B

água no estado líquido até 100 °C, vaporizá-la e depois 0

elevar a temperatura do vapor até 440 °C:

C Q (J)

Com base na figura, podemos afirmar que: a) a substância B possui uma temperatura de fusão mais elevada do que a substância A. b) a substância B é necessariamente água pura.

Q ∙100.000 ∙ 1 ∙ (100 – 20) + 100.000 ∙ 540 + 100.000 ∙ ∙ 0,48 ∙ (440 – 100) Q ∙ 8.000.000 + 54.000.000 + 16.320.000 ∙ ∙ 78.320.000 cal

117


13 (Udesc) O gráfico a seguir representa a temperatura de

16 (UFRN) A existência da água em seus três estados físi-

cos, sólido, líquido e gasoso, torna nosso planeta um local peculiar em relação aos outros planetas do Sistema Solar. Sem tal peculiaridade, a vida em nosso planeta seria possivelmente inviável. Portanto, conhecer as propriedades físicas da água ajuda a melhor utilizá-la e assim contribuir para a preservação do planeta.

Na superfície da Terra, em altitudes próximas ao nível do mar, os estados físicos da água estão diretamente relacionados à sua temperatura conforme mostrado no gráfico ao lado. Esse gráfico representa o comportamento de uma massa de 1,0 g de gelo a uma temperatura inicial de –50 °C, colocada em um calorímetro que, ligado a um computador, permite determinar a temperatura da água em função da quantidade de calor que lhe é cedida.

I. O processo de transferência de calor do radiador para o ar atmosférico se dá por condução. II. Assim como em uma a de pressão devidamente tampada, a pressão alcança valores maiores que a pressão de 1 atm, razão pela qual a água ali contida ferve a temperaturas maiores que 100 °C. III. Depois que a a “pega pressão” pode-se diminuir um pouco a chama do fogão, pois a válvula de controle não permitirá que a pressão suba mais do que o limite pré-estabelecido pelo fabricante. IV. Se o automóvel em questão se deslocasse para regiões mais elevadas, em relação ao nível do mar, a temperatura de ebulição do líquido de resfriamento aumentaria. De acordo com as afirmativas acima, a alternativa correta é: a) I e II. b) I e III. c) II e IV.

T (°C) 100

d) II e III. e) III e IV.

convecção e também por condução, sendo um 0 25

105

205

Q (cal)

um único processo de transferência.

–50

Observando-se o gráfico, pode-se concluir que a quantidade de calor necessária para liquefazer a massa de 1,0 g de água e elevar sua temperatura de 0 °C até 100 °C é, respectivamente: a) b) c) d)

processo complexo em que não se pode estabelecer

105 cal e 80 cal. 105 cal e 100 cal. 80 cal e 105 cal. 100 cal e 105 cal.

II) Correta. Quando se aumenta a pressão na a, a ebulição da água ocorre a temperaturas maiores que cem graus Celsius. III) Correta. Pode-se economizar gás com este procedimento. IV) Incorreta. A temperatura de ebulição diminuiria.

Observando o gráfico, para elevar a temperatura de –50 °C até zero e depois liquefazê-la, a quantidade de calor necessária é 105 cal; e para elevar sua temperatura até a próxima mudança de estado, 100 cal.

17 (Uepa) Leia o texto para responder à questão. O Radiador do automóvel tem como função transferir calor do líquido de resfriamento que ali circula para o ar que a por ele quando o veículo está em movimento. Quando o radiador é tampado, o ponto de ebulição do líquido sofre um aumento de até 25 °C. Além disso, a tampa também funciona como uma válvula de pressão. Quando a pressão interna exercida na tampa atinge um valor pré-determinado, uma válvula se abre, permitindo que o líquido de resfriamento escorra por um tubo conectado a um recipiente coletor. Esse sistema de controle de pressão é também utilizado em outros dispositivos da vida moderna, como nas as de pressão. Fonte: http//carros.hsw.uol.com.br/sistemas-dearrefecimento-dos-carros6.htm

Sobre o texto, afirma-se que:

118

18 (UFF-RJ) Quando se retira uma garrafa de vidro com

água de uma geladeira, depois de ela ter ficado lá por algum tempo, veem-se gotas d’água se formando na superfície externa da garrafa. Isso acontece graças, principalmente, à:

a) condensação do vapor de água dissolvido no ar ao encontrar uma superfície à temperatura mais baixa. b) diferença de pressão, que é maior no interior da garrafa e que empurra a água para seu exterior. c) porosidade do vidro, que permite a agem de água do interior da garrafa para sua superfície externa. d) diferença de densidade entre a água no interior da garrafa e a água dissolvida no ar, que é provocada pela diferença de temperaturas. e) condução de calor através do vidro, facilitada por sua porosidade. A água não a do interior da garrafa para o exterior.


I) Incorreta. A transferência se dá por irradiação,

50

19 (UERN) Durante o processo de ebulição de um líquido, é correto afirmar:

a) Sua temperatura permanece constante e o calor absorvido é utilizado apenas na mudança de fase. b) Sua temperatura aumenta lentamente, porque grande parte do calor absorvido é utilizado para mudança de fase. c) Sua temperatura aumenta rapidamente, causando brusca mudança de fase. d) Sua temperatura permanece constante, porque não ocorre absorção de calor pelas partículas.

(01) Incorreto. Nos processos de transferência de calor há também a convecção.

Durante as mudanças de estado a temperatura

(02) Correto. É a definição de caloria.

permanece constante e devemos continuar

(04) Incorreto. Para isso a variação de energia interna

fornecendo ou retirando calor para que elas ocorram.

deve ser zero.

liga metálica, um bloco de massa 500 g dessa liga foi introduzido no interior de um forno a 250 °C. Estabelecido o equilíbrio térmico, o bloco foi retirado do forno e colocado no interior de um calorímetro de capacidade térmica 80 cal/°C, contendo 400 g de água a 20 °C. A temperatura final de equilíbrio foi obtida a 30 °C. Nessas condições, o calor específico da liga, em cal/g °C, vale:

a) 0,044. b) 0,036.

c) 0,030. d) 0,36.

(08) Incorreto. O ciclo descreve o rendimento teórico de uma máquina térmica. (16) Correto, geralmente costuma ser o fréon.


20 (UEL-PR) Para se determinar o calor específico de uma


(04) Nenhuma máquina térmica, operando em ciclos, pode retirar calor de uma fonte e transformá-lo integralmente em trabalho. (08) O ciclo de Carnot descreve o rendimento máximo de uma máquina térmica. (16) O princípio de funcionamento de um refrigerador é baseado nos processos de compressão e expansão de um gás.

23 (Uesc-BA)

e) 0,40.

Dado: Calor específico da água ∙ 1,0 cal/g °C. Pelo princípio das trocas de calor, devemos ter: Qbloco 1 Qcal 1 Qágua ∙ 0 ] m

] mblococblocoSTbloco 1 CcalStcal 1 máguacáguaStágua ∙ 0

m

Usando os dados do enunciado, temos: 500 3 cbloco 3 (30 2 250) 1 80 3 (30 2 20) 1 400 3 1 3 (30 2 20) ∙

Temperatura de equilíbrio térmico: 40 °C

A figura representa um arranjo experimental similar àquele utilizado por Joule para demonstrar que é necessário transformar aproximadamente 4,2 J de energia mecânica para se obter 1 cal. Deixando-se cair um corpo de peso 50,0 N, 20 vezes, de uma determinada altura, um sistema de pás entra em rotação, agitando 1,0 kg de água contida no recipiente isolado termicamente, variando a temperatura da água de 1,5 °C. Desprezando-se os efeitos de forças dissipativas, a capacidade térmica do recipiente e sabendo-se que o corpo cai com velocidade praticamente constante e que o calor específico da água é de 1,0 cal/g °C, é correto afirmar que a altura inicial do corpo é igual, em m, a:

2 baldes ∙ 1 ∙ (40 – 100) + x baldes ∙ (40 – 0) ∙ 0

a) 6,3. b) 8,0.

–120 + x ∙ 40 ∙ 0

A energia potencial da queda do corpo é convertida em

∙ 0 ] 2110.000cbloco 1 800 1 4.000 ∙ 0 ] ] } cbloco 7 0,044 cal/g°C

21 (Ueal) Deseja-se tomar banho em água à temperatura de

40 °C. Para o preparo desse banho colocam-se dois baldes de água a 100 °C numa banheira. Quantos baldes (de mesma capacidade) a zero graus deve-se colocar na banheira? a) 15.

b) 12.

c) 6.

d) 3.

e) 1,5.

x ∙ 3 baldes

22 (UEM) Assinale o que for correto. (01) Condução térmica e radiação térmica são os únicos processos de transferência de calor. (02) 1 caloria é a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de 1 g de água em 1 °C, no intervalo de 14,5 °C a 15,5 °C a 1 atm.

c) 10,0. d) 13,0.

e) 15,0.

energia térmica para aquecer 1 kg de água: 20mgh ∙ 4,2máguac SJ ] 20 3 50 3 h ∙ 4,2 3 1.000 3 1 3 1,5 ] ] h ∙ 6,3 m

119

ESTUDANDO Calor e mudança de fase

1 Uma boa referência para ter noção da quantidade de H18 H21

II. Durante o processo de evaporação, choques entre as moléculas superficiais da água vão causando variações na energia interna e, gradativamente, algumas moléculas vão escapando da superfície em forma de vapor. III. Sempre que se aquece água até a temperatura de vaporização, uma parte do vapor obtido advém do processo de evaporação que se intensifica até a ebulição tomar conta do sistema. IV. A maior parte da água que se perde enquanto uma toalha seca no varal é por evaporação. É por isso que a toalha pode secar sem ter de atingir a temperatura de ebulição da água. V. Quando o ar úmido e aquecido da nossa respiração entra em contato com o ar frio, sua saturação cai bruscamente e parte da umidade se condensa, originando aquela “fumaça branca” que vemos em dias de bastante frio. São verdadeiras:

energia solar que atinge a superfície de determinada região em dado intervalo de tempo são as cartas de irradiação global, como esta:

RADIAçãO SOLAR GLOBAL DIáRIA – MéDIA ANUAL TíPICA GUIANA SURINAME SA (FRA)

VENEZUELA COLÔMBIA

OCEANO

GUIANA

RR

EQUADOR

ATLÂNTICO

AP

AM

PA

MA

CE PI

AC TO

RO

PERU

BA

MT DF

Média anual (MJ/m2 dia)

GO BOLÍVIA

OCEANO PACÍFICO

SP

PARAGUAI

IO

CAPRICÓRN

RJ

PR SC ARGENTINA

650 km

MG

MS

CHILE

TRÓPICO DE

RN PB PE AL SE

RS URUGUAI

ES

24 22 20 18 16 14 12 10 8 6

50°O

Fonte: Atlas Solarimétrico do Brasil. Recife: Editora Universitária da UFPE, 2000. (Adaptado.)

De acordo com a Associação brasileira de Normas Técnicas (AbNT), o consumo diário médio de água quente em uma residência é de 45 litros por pessoa. Assim, considerando que a eficiência dos coletores de energia solar residenciais é de 40%, que o calor específico da água é igual a 4,2 J/g ∙ °C e que o aquecimento da água desejado imponha, no mínimo, uma variação de temperatura de 30 °C, avalie as afirmações a seguir. I. Em qualquer lugar do brasil é possível aquecer água suficiente para suprir uma família composta de quatro pessoas utilizando menos de 3 m2 de coletor em média. II. Em território brasileiro, mesmo que sua eficiência pudesse atingir os 100%, a fim de atender às necessidades de água quente de uma família de quatro pessoas, ainda assim haveria locais em que seria necessário um coletor de energia de área superior a 1 m2. III. A questão não apresenta dados suficientes para avaliar a afirmação II. Pode-se dizer, então, que: a) b) c) d) e)

as afirmações I e II estão corretas. as afirmações I e III estão corretas. apenas a afirmação II está correta. apenas a afirmação I está correta. apenas a afirmação III está correta.

2 Analise as afirmações. H21

I. Durante o processo de aquecimento de um líquido, correntes convectivas conduzem o calor através do volume do fluido que, diante do aumento de sua energia interna, vai elevando a temperatura até entrar em ebulição.

120

a) b) c) d) e)

todas as afirmações. as afirmações I, II, III e IV. as afirmações I, III e V. as afirmações II, III e IV. apenas as afirmações I e V.

Observe abaixo o diagrama de fases da água para responder às questões 3 e 4. Água

p 1

2 Sólido

Líquido

760 mmHg

4,58 mmHg T Vapor

3 0 0,01

100

e (°C)

3 Liofilização é um processo comumente utilizado, por meio H18 H21

de sublimação, para remover água – além de outros solventes – de um produto a ser congelado. O intuito é retardar sua degradação, preservando-o por muito mais tempo. Carne, ovos, frutas e outros alimentos perecíveis, quando embalados a vácuo depois de liofilizados, podem durar anos sem refrigeração. Além disso, devido às temperaturas envolvidas no processo, as paredes celulares não são destruídas, preservando as propriedades nutritivas e o sabor. É um tipo de iguaria muito utilizado por astronautas em missões espaciais – menores peso e volume para transporte e maior durabilidade. O processo consiste, basicamente, em congelar a vácuo o alimento e, gradativamente, aumentar sua temperatura – mantendo o vácuo gerado inicialmente para o congelamento. Com base nessas informações, no


Para o enem


a) Para liofilizar alimentos inicialmente sujeitos à pressão atmosférica, basta congelá-los lentamente até temperaturas muito baixas e, em seguida, aquecê-los rapidamente para que a água e diretamente para o estado de vapor. b) A pressões superiores a 0,006 atm, o segundo estágio da liofilização de alimentos só se dá a temperaturas abaixo de 0,01 °C, pois, em tais condições, a água não cozinhará os alimentos, preservando assim suas membranas protetoras. c) A pressões inferiores a 0,006 atm, o segundo estágio da liofilização de alimentos se dará com o aumento progressivo da temperatura até um máximo definido pelo ponto de ebulição da água. d) Somente à pressão de 0,006 atm e à temperatura de 0,01 °C é possível executar o segundo estágio da liofilização e, por isso, este ponto do gráfico é conhecido como ponto triplo, em que é possível o gelo transformar-se em vapor sem ar pelo estado líquido. e) Somente a pressões e temperaturas superiores às do ponto triplo, correspondentes ao ponto em que coexistem gelo, vapor e água líquida, é possível executar o segundo estágio da liofilização de alimentos.

4 Analisando o diagrama e utilizando seus conhecimenH8 H21

afirmações a seguir. Dados: • Calor específico da água: 1 cal/g ∙ °C • Fator de conversão caloria/joule: 1 cal ≃ 4,2 J

tos, leia as afirmativas e assinale a que está errada.

• Calor de fusão da água: 80 cal/g

a) É impossível sublimar água a temperaturas maiores do que 0,01 °C ou a pressões maiores do que 0,006 atm. b) Fora da Terra, em locais onde praticamente não há atmosfera, como na Lua, em Marte, na cauda de um cometa etc., é praticamente impossível encontrar água no estado líquido, seja qual for a temperatura em questão. c) As curvas presentes no diagrama representam as fronteiras em que coexistem sempre dois estados físicos diferentes da água, sendo o ponto T chamado ponto triplo porque ali se encontram juntos os três estados físicos do líquido. d) O ponto T presente no diagrama de fases da água é chamado ponto triplo porque está relacionado ao comportamento anômalo da água líquida que, a temperaturas próximas de zero, pode ser encontrada em três densidades diferentes. e) Pode-se sublimar o gelo em diversas configurações de temperatura e pressão, contanto que elas não ultraem os valores indicados no diagrama de fases dado.

• Temperatura média do corpo humano: 37 °C

5 Com base na tabela e em seus conhecimentos, leia as H17 H21

6 Com base nos dados apresentados abaixo, analise as H8 H21

afirmativas e assinale a que está errada. Substância

Água

Temperatura de fusão (°C) Temperatura de ebulição (°C) 3

0 100

Densidade (g/cm )

1

Calor latente de fusão (cal/g)

80

Calor latente de vaporização (cal/g) Calor específico (cal/g ∙ °C)

540 ou 590 1

Alimento / Atividade

Energia média

Calor específico

1 bombom (20 g)

117 kcal

1,6 J/g ∙ °C

1 bala de jujuba (10 g)

4 kcal

1,5 J/g ∙ °C

Assistir 1 hora de aula

759 kJ

_

Jogar uma partida de basquete de 40 minutos

1.915,2 kJ

−

I. Seria preciso assistir a aproximadamente 13 aulas para gastar a energia fornecida ao nosso organismo pela ingestão de uma caixa com 20 bombons de 20 g cada. II. Supondo que o volume aproximado de um gole seja de 20 mℓ, pode-se dizer que, do ponto de vista energético, um gole de água gelada, a 10 °C, equivale a 10 os, com 1 metro cada, de uma pessoa de 70 kg caminhando a 5 km/h. III. O consumo calórico de uma pessoa ao jogar uma partida de basquete se assemelha à energia necessária para aquecer 10 litros de água até 10 °C, ou à energia fornecida pela ingestão de 235 balas de jujuba. IV. Do ponto de vista calórico, chupar uma bala de jujuba nos forneceria a mesma energia que tomar meio litro de água morna a 45 °C. Assinale a alternativa correta. a) b) c) d) e)

Apenas as afirmações II e III estão corretas. Apenas as afirmações I e IV estão corretas. Apenas as afirmações II e IV estão corretas. Apenas as afirmações I, II e IV estão corretas. Apenas as afirmações II, III e IV estão corretas.

121


a) Para conseguir liquefazer 1 kg de gelo, em um recipiente – adiabático e de capacidade térmica desprezível – contendo água líquida a 20 °C, são necessários exatamente 4 litros de água. b) A água, com seu alto valor de calor específico, é um ótimo reservatório térmico na medida em que pode tanto ceder quanto receber calor sem sofrer variação de estado físico. c) O elevado valor do calor latente de fusão da água é muito importante na manutenção da vida sob frio rigoroso, pois permite prolongada exposição a temperaturas significativamente baixas, na medida em que dificulta o congelamento dos líquidos corporais. d) O elevado valor do calor latente de vaporização da água faz dela uma ótima alternativa como ingrediente mais abundante do suor, pois, ao transpirar, tanto animais como vegetais conseguem resfriar de forma bem eficiente o seu corpo. e) Para sublimar 1 kg de gelo na forminha do congelador da sua casa, bastaria fornecer 670 kcal de energia ao sistema gelo + forminha.

diagrama de fases da água e sabendo que 1 atm corresponde a 760 mmHg, assinale a alternativa correta.


Gases e termodinâmica O modelo do gás ideal foi fundamental no desenvolvimento científico do século XIX. O estudo das transformações do calor em trabalho em sistemas gasosos configurou a termodinâmica clássica. As máquinas térmicas modernas usam variantes do ciclo de Carnot para maximizar o rendimento.

Gases ideais, ou perfeitos, são substâncias fluidas em um estado de agregação da matéria no qual suas moléculas podem se mover livremente, ocupando todo o volume do recipiente que as contém. São características dos gases ideais: • Suas moléculas não interagem entre si. • Os choques entre as moléculas e as paredes do recipiente são perfeitamente elásticos (não há perda de energia). • As dimensões das moléculas são desprezíveis em comparação ao volume do recipiente. • O movimento das moléculas é permanente e totalmente aleatório.

Estado de um gás O estado de um gás corresponde a um conjunto de diversas variáveis macroscópicas. Delas, analisaremos apenas três: a pressão P, o volume V e a temperatura absoluta T.

P P1

A

P1 ∙ V1 ∙ P2 ∙ V2 B

P2

0

V1

V2

V

Figura 1 • Diagrama P × V de uma transformação isotérmica.

Transformação isobárica (Lei de Gay-Lussac) A pressão se mantém constante, e o volume e a temperatura variam proporcionalmente. Isso significa, por exemplo, que em uma transformação isobárica, se a temperatura absoluta (em kelvin) do gás dobrar, o volume ocupado por ele também vai dobrar. P 1

2

V1

V2

V1 V2 ∙ T1 T2

II. Transformações gasosas particulares As transformações gasosas acontecem quando ocorre a alteração de uma ou mais variáveis de estado (pressão, volume ou temperatura) de um sistema que contenha um gás. As transformações podem ser classificadas em: Isotérmica → temperatura constante (T ∙ constante) Isobárica → pressão constante (P ∙ constante) Isocórica, isométrica ou isovolumétrica → volume constante (V ∙ constante)

Transformação isovolumétrica, isocórica ou isométrica (Lei de Charles) O volume se mantém constante, e a pressão e a temperatura são diretamente proporcionais. Isso significa, por exemplo, que em uma transformação isométrica, se a pressão do gás dobrar, sua temperatura também vai dobrar. P P2

Transformação isotérmica (Lei de Boyle-Mariotte) A temperatura se mantém constante nessa transformação, ao o que a pressão e o volume são inversamente proporcionais. Isso significa, por exemplo, que em uma transformação isotérmica, se o volume do gás for reduzido à metade, a pressão exercida por ele será duplicada.

122

V

Figura 2 • Diagrama P × V de uma transformação isobárica.

P1

2

P1 P2 ∙ T1 T2

1

V

Figura 3 • Diagrama P × V de uma transformação isovolumétrica.


I. Gás ideal

III. Lei Geral dos Gases Ideais

P = cte

Quando as três variáveis de estado se modificam simultaneamente, descreve-se seu comportamento usando uma única expressão: P1 ∙ V1 P2 ∙ V2 ∙ T1 T2 Figura 4 • Um gás contido em um recipiente fechado quando aquecido à pressão constante torna-se capaz de deslocar o êmbolo, realizando trabalho.

P∙V é constante e depende apenas de n, T o número de mols do gás presente na amostra. As variáveis de estado, pressão (P), volume (V) e temperatura (T) de uma massa de gás ideal contendo n mols de gás estão relacionadas pela equação dos gases perfeitos, também conhecida como equação de Clapeyron: O quociente

Se a pressão do gás não se mantiver constante, a expressão D ∙ P ∙ ∆V não poderá ser utilizada. Nesse caso, o trabalho é numericamente igual à área sob o diagrama P × V: Pressão 1

P1

2


P2

P∙V∙n∙R∙T Os valores mais usados para a constante universal dos gases ideais R são: R ∙ 0,082 atm ∙ L/mol ∙ K ou R ∙ 8,31 J/mol ∙ K.

IV. Trabalho em transformações gasosas Quando certa quantidade de gás contido em um recipiente fechado por um êmbolo (ou pistão) móvel é submetida a um aquecimento isobárico, as moléculas do gás arão a se agitar mais, aumentando o número de choques entre elas e o êmbolo. Se o êmbolo se deslocar, o volume de gás no recipiente sofrerá alteração e, dessa maneira, diz-se que o gás realizou trabalho (figura 4). Pode-se calcular o trabalho realizado em uma transformação gasosa à pressão constante por meio da expressão: D ∙ P ∙ ∆V

V1

V2 Volume

Figura 5 • O trabalho é numericamente igual à área sombreada sob o gráfico.

Energia interna do gás ideal A variação da energia interna do gás ideal depende diretamente da variação de sua temperatura absoluta e pode ser calculada pela expressão: ∆U ∙

3 n ∙ R ∙ ∆T 2

Nota-se que: • se a temperatura absoluta aumentar, então ∆U > 0; • se a temperatura absoluta diminuir, então ∆U < 0; • se não houver variação da temperatura absoluta, então ∆U ∙ 0, ou seja, não ocorrerá variação da energia interna em uma transformação gasosa.

Sinal do trabalho • Havendo aumento do volume do gás, como em uma expansão isobárica, então ∆V > 0 e, consequentemente, o trabalho será motor (D > 0), isto é, realizado pelo gás sobre o pistão e sobre o meio externo.

• Havendo redução no volume ocupado pelo gás no recipiente, como em uma compressão isobárica, então ∆V < 0 e, assim, o trabalho será resistente (D < 0), isto é, realizado sobre o gás, ou, como também se pode dizer, o meio externo realiza trabalho sobre o gás.

F ∆V > 0 F

∆V > 0

D>0

Figura 6

D>0

Figura 7

123

Gases e termodinâmica

Equação de Clapeyron

VII. Transformação cíclica

É a transformação na qual o sistema não troca calor com o meio externo. Assim, Q ∙ 0. Uma forma de obter transformações quase adiabáticas é realizar expansões ou compressões bem rápidas; desse modo, não há tempo de ocorrer troca de calor.

Chama-se cíclica a transformação na qual a pressão, a temperatura e o volume finais são iguais aos iniciais. Sendo assim, em qualquer transformação cíclica, ∆T ∙ 0; portanto, ∆U ∙ 0. Então, de acordo com a Primeira Lei da Termodinâmica, tem-se nos ciclos: Q ∙ D. As transformações gasosas cíclicas têm as seguintes características importantes: • Se durante o ciclo o gás realiza trabalho, este deve receber calor de uma fonte. Nesse tipo de ciclo, representado em um diagrama P × V por uma curva fechada orientada em sentido horário (figura 9), ocorre transformação de calor em trabalho mecânico, como é o caso das máquinas térmicas (máquinas a vapor e motores de combustão).

P1

A

B

1

P2

2 V1

V2

V

Figura 8 • A) Diagrama P × V de uma transformação adiabática (linha cheia) comparada a uma isoterma (linha tracejada); B) A expansão de aerossol, por ser rápida, simula bem esse tipo de transformação.

P

V. Primeira Lei da Termodinâmica A Primeira Lei da Termodinâmica é outra forma de escrever o princípio de conservação de energia. Ela estabelece que a quantidade de energia, na forma de calor, recebida (ou retirada) por certa massa gasosa, deverá ser, necessariamente, transformada em trabalho e em variação de energia interna. A repartição das quantidades de energia térmica transformada dependerá do tipo de transformação à qual o gás ideal está sendo submetido. Sendo assim: Q ∙ D + ∆U

V

Figura 9

• Se durante o ciclo for realizado trabalho sobre o gás, este cede calor ao meio. Nesse tipo de transformação cíclica, representada em um diagrama P × V por uma curva fechada orientada em sentido anti-horário (figura 10), ocorre transformação de trabalho mecânico em calor, como nos refrigeradores e aparelhos de ar-condicionado. P

Gás recebe calor: Q > 0 Gás cede calor: Q < 0

VI. Aplicações da Primeira Lei da Termodinâmica às transformações gasosas Isométrica → ∆V ∙ 0; ∆T ∙ 0 → D ∙ 0 → Q ∙ ∆U

Transformação isobárica → ∆V ∙ 0; ∆T ∙ 0 → D ∙ 0; ∆U ∙ 0 → Q ∙ D + ∆U

Isotérmica → ∆V ∙ 0; ∆T ∙ 0 → D ∙ 0; ∆U ∙ 0 → Q ∙ D

Adiabática → ∆V ∙ 0; ∆T ∙ 0 → D ∙ 0; ∆U ∙ 0; Q ∙ 0 → 0 ∙ D + ∆U → D ∙ –∆U

124

V

Figura 10

VIII. Segunda Lei da Termodinâmica Essa lei tem diversos enunciados. O que segue é conhecido como enunciado de Kelvin-Planck e interessa particularmente porque envolve o rendimento de máquinas térmicas reais, que são dispositivos capazes de transformar calor em energia mecânica. É impossível construir um dispositivo que, operando em um ciclo termodinâmico, converta totalmente o calor recebido em trabalho. Assim, uma máquina térmica sempre opera com duas fontes térmicas: a fonte quente, de onde recebe energia para realizar o trabalho; e a fonte fria, para onde escapa


P

saspartout/shutterstock

Transformação adiabática

Q1

Fonte quente

Máquina térmica

Trabalho útil D

Q2

Fonte fria Ambiente

X. Refrigeradores As máquinas frigoríficas são dispositivos que convertem trabalho em calor. O processo envolve a transferência de calor de uma fonte fria para uma fonte quente. Como o fluxo frio para quente não é natural, é necessário um agente externo realizando trabalho. Nas geladeiras e freezers, o compressor é responsável pela realização do trabalho de retirar o calor dos alimentos que estão dentro da geladeira e enviá-lo para o meio exterior, que está a uma temperatura mais alta, utilizando, para tanto, a energia elétrica. Zhong chen/shutterstock

Figura 11 • Esquema de máquina térmica. A Segunda Lei garante que há perda de calor na realização de trabalho.

Rendimento de máquinas térmicas


De acordo com a Segunda Lei da Termodinâmica, máquinas térmicas operando em ciclos convertem parcialmente em trabalho a energia recebida da fonte quente. A eficiência de uma máquina pode ser medida por meio da grandeza denominada rendimento, calculada pela expressão:

Q1 Fonte quente

Como se vê, o rendimento não tem unidade, sendo costumeiramente fornecido em porcentagem. Observa-se também que, para obter rendimento igual a 1 ou de 100%, seria necessário que Q2 fosse nulo, ou seja, que não houvesse calor rejeitado para a fonte fria, o que iria contra a Segunda Lei da Termodinâmica, o que inviabiliza a construção de tal máquina.

Em meados do século XIX, o francês Sadi Carnot idealizou o ciclo teórico capaz de fornecer o máximo rendimento para uma máquina térmica. Esse ciclo é reversível, ou seja, pode ser realizado tanto em sentido horário quanto anti-horário, e é composto de duas transformações isotérmicas (a expansão AB e a compressão CD) e duas adiabáticas (a expansão BC e a compressão DA). Nota-se que as etapas AB e CD se desenvolvem ao longo de curvas isotermas. P A B C

T2 T1

V

Figura 12 • O ciclo de Carnot compreende duas transformações isotérmicas (linhas azuis) e duas transformações adiabáticas (linhas vermelhas).

η∙1–

T2 T1

Figura 13 • Aparelhagens de ar-condicionado e de produção de gelo para patinação são máquinas frigoríficas. Todas funcionam com base no balanço energético representado no diagrama: a quantidade de calor cedida à fonte quente (Q1) equivale à quantidade de calor retirada da fonte fria (Q2) adicionada ao trabalho realizado na transferência de calor entre essas fontes. Imagem de pista de patinação no gelo em Nova York, EUA, 2006.

XI. Entropia

IX. Ciclo de Carnot

T2 > T1

Q2

D

∙Q ∙ ∙ ∙ η ∙ D ou η ∙ 1 2 2 ∙Q1∙ ∙Q1∙

D

Fonte fria

, em que T é a temperatura em kelvin.

Nas diversas transformações pelas quais a energia a, existe um processo contínuo de degradação ou de desordem. Sabe-se que qualquer energia pode ser transformada, porém a razão de transformação não é a mesma em todos os processos. É possível, por exemplo, transformar 100% de energia mecânica em energia térmica; a Segunda Lei da Termodinâmica garante, porém, que é impossível ocorrer o inverso, ou seja, não é possível a construção de uma máquina térmica que tenha rendimento de 100%, transformando em trabalho mecânico toda a energia térmica consumida. Para conceituar essa diferença entre as várias formas de energia, estabelece-se o conceito de entropia. A entropia (S), característica intrínseca de todo e qualquer sistema, se eleva à medida que aumenta a desordem dos fenômenos. Quanto maior a entropia de uma forma de energia, mais degradada ela está, o que significa que não pode ser totalmente transformada em formas de energia menos degradadas. A energia térmica tem um dos maiores valores de entropia, o que significa que ela é pouco transformável. As formas mais ordenadas de energia no universo são a gravitacional e a cinética, pois podem ser integralmente transformadas em qualquer outra forma de energia. Uma vez que em todos os fenômenos naturais há tendência a se alcançar um estado de menor grau de ordenação, diz-se que existe uma tendência ao aumento na entropia do universo.

125


a energia (na forma de calor) que não foi aproveitada na realização do trabalho.

ESTUDANDO Gases e termodinâmica

Para o vestibular 1 (IFSP) No alto de uma montanha a 8 °C, um cilindro

munido de um êmbolo móvel de peso desprezível tem 1 litro de ar no seu interior. Ao levá-lo ao pé da montanha, cuja pressão é de 1 atmosfera, o volume do cilindro se reduz a 900 cm3 e sua temperatura se eleva em 6 °C. A pressão no alto da montanha é aproximadamente, em atm, de: a) 0,66.

b) 0,77.

c) 0,88.

d) 0,99.

e) 1,08.

Deve-se escrever a equação PV/T para as duas situações.

d) 5% maior que a pressão atmosférica normal. e) 10% maior que a pressão atmosférica normal. Inicialmente deve-se colocar as temperaturas em kelvin: 300 K e 290 K PV Na situação 1: ∙ T PV Na situação 2: ∙ T

1 ∙ 3,3 300 P ∙ 2,9 290

Igualando as equações: P ∙ 1,1 atm, ou seja, 10% maior que a pressão atmosférica normal.

A temperatura deve estar em kelvin: P∙1L 1 atm ∙ 9,9 L ∙ 281 287

4 (UERN) Uma certa massa de gás ideal no interior de 2 (Uerj) Um professor realizou com seus alunos o seguinte experimento para observar fenômenos térmicos:

– colocou, inicialmente, uma quantidade de gás ideal em um recipiente adiabático; – comprimiu isotermicamente o gás à temperatura de 27 °C, até a pressão de 2,0 atm; – liberou, em seguida, a metade do gás do recipiente; – verificou, mantendo o volume constante, a nova temperatura de equilíbrio, igual a 7 °C.

um cilindro recebe calor de uma fonte térmica de potência igual a 480 W, durante um intervalo de 5 min. Durante esse intervalo, a massa gasosa sofre a transformação indicada no gráfico P × V (Pressão versus Volume). No início do processo, o gás estava a uma temperatura de 127 °C. Supondo que todo o calor da fonte seja transferido para o gás, determine a variação da energia interna sofrida por ele e sua temperatura ao final do processo. P (105 Pa)

Calcule a pressão do gás no recipiente ao final do experimento.

A

B

20

60

n0, P0 ∙ 2 atm V0, T0 ∙ 300 K n0 n∙ 2 ,P

] P0V0 ∙ n0RT0 n0 ] PV ∙ nRT ] PV0 ∙ 2 RT

V ∙ V0, T ∙ 280 K T 280 14 P ∙ ∙ 0,93 atm ∙ ]P∙ 2 T0 300 15 P0

3 (Uepa) Uma equipe de cientistas interessada em moni-

torar as condições barométricas, no fundo de uma mina, realizou um experimento simples com um balão cheio de um gás ideal. O balão foi inserido na mina por meio de uma sonda longa, partindo da superfície (temperatura 27 °C e pressão 1 atm) e chegando ao fundo da mina, que estava a uma temperatura igual a 17 °C. Supondo que, na superfície, o volume do balão era de 3,3 L e que, no fundo da mina, seu volume era de 2,9 L, a pressão calculada pelos cientistas foi, aproximadamente:

a) 10% menor que a pressão atmosférica normal. b) 5% menor que a pressão atmosférica normal. c) igual à pressão atmosférica normal.

126

0

a) b) c) d)

V(dm3)

10,4 ∙ 104 J e 927 °C 4,0 ∙ 104 J e 1.200 °C 7,2 ∙ 104 J e 381 °C 11,2 ∙ 104 J e 654 °C

Para encontrar a temperatura, deve-se igualar a PV nas situações A e B. expressão T Como a pressão é constante: V 20 60 ∙ constante ] ∙ ] T 400 TB ] TB ∙ 1.200 K ou TB ∙ (1.200 – 273) °C ] ] TB ∙ 927 °C Por exclusão, a correta é a alternativa a.


P ∙ 0,88 atm

5 (Unicamp-SP) Um mol de gás ideal sofre a transformação A p B p C indicada no diagrama pressão # volume da figura. P (atm)

A

3

B

c) WI ∙ WII > WIII. d) WI > WII > WIII. Os valores WI, WII e WIII são numericamente iguais às áreas sob os respectivos diagramas. Por comparação direta na figura do enunciado: WI > WII > WIII.

7 (UEA-AM) Certa quantidade de um gás ideal está contida

0

8

em um recipiente fechado que tem um êmbolo móvel e pode deslizar sem atrito. O gás sofre uma expansão isotérmica e tem seu volume duplicado. Tomando como base o que ocorreu nesse processo, pode-se afirmar que:

C

9

10

V (L)


a) Qual é a temperatura do gás no estado A? b) Qual é o trabalho realizado pelo gás na expansão A p B? c) Qual é a temperatura do gás no estado C ? Dado: R (Constante dos gases) ∙ 0,082 atm 3 L/mol 3 K ∙ ∙ 8,3 J/mol. a) Aplicando a equação de Clapeyron: PAVA 338 ________ PAVA ∙ nRTA ] TA ∙ ____ ] TA ∙ 1 3 0,082 nR

a) o gás não trocou calor durante a expansão isotérmica. b) o trabalho realizado pelo gás é igual ao calor absorvido por ele. c) a variação da energia interna do gás é igual ao calor absorvido por ele. d) a energia interna do gás aumenta durante a expansão isotérmica. e) o gás cede calor durante a expansão isotérmica. Na expansão isotérmica, a variação de energia interna é zero, uma vez que a temperatura permanece

} TA 7 93 K. N

b) Usando a propriedade gráfica de que D ∙ Área, N

N

obtém-se: D ∙ 2 3 1023 3 3 3 105 } D ∙ 6 3 102.

constante. Dessa forma, o trabalho realizado pelo gás é igual ao calor absorvido por ele.

Como se trata de uma expansão: D . 0; logo, D ∙ 600 J.

8 (UFPE) Uma máquina térmica executa o ciclo descrito

c) Pode-se escrever TC ∙ TA 7 293 K, pois A e C pertencem à isoterma dada.

no diagrama P # V a seguir. O ciclo se inicia no estado A, vai para o B, seguindo a parte superior do diagrama, e retorna para A, ando por C. P B

3P0 2P0

A

6 (UFMG) Um gás ideal, num estado inicial i, pode ser levado a um estado final f por meio dos processos I, II e III, representados neste diagrama de pressão versus volume:

P0

P

0 I

i

V0

3V0

V

Sabendo-se que P0V0 ∙ 13 J, calcule o trabalho realizado por essa máquina térmica ao longo de um ciclo, em joules.

III

O trabalho realizado pela máquina é numericamente

II

igual à área interna ao ciclo. Como este está orientado

f V

Sejam WI, WII e WIII os módulos dos trabalhos realizados pelo gás nos processos I, II e III, respectivamente. Com base nessas informações, é correto afirmar que: a) WI < WII < WIII. b) WI ∙ WII ∙ WIII.

C

no sentido horário: D . 0. Logo: D ∙ 2P0 3

2V0 ∙ 2P0 3 V0 ∙ 2 3 13 J } D ∙ 26 J. 2

127


Isoterma

modinâmicos cíclicos executados por um gás, com seus respectivos estados iniciais, estão representados. O processo no qual o trabalho resultante realizado pelo gás é menor é o: 7

i

6

P(Pa )

portamento de um gás: a)

c)

P i

Pi

J

i

f

Vi

4 I

3

b)

K i

2

L

1 0

2

a) I.

4

b) J.

V(m3)

6

Vf

10

c) K .

d) L.

Comparando-se as áreas internas das figuras, percebe-se que K é a menor. Logo, o trabalho resultante também é menor.

10 (Fuvest-SP) O gráfico a seguir representa duas trans-

f

Pf

V

Vi

Vf

V

i

f

Pf

8

i

P Pi

i

P Pi

Pf

5

0

11 (UEL-PR) Os diagramas PV a seguir representam o com-

Vi

Vf

V

É correto afirmar: a) O diagrama (a) representa um processo isotérmico com a temperatura inicial maior que a temperatura final. b) Os diagramas (a) e (b) resultam no mesmo trabalho realizado pelo sistema após a expansão. c) O diagrama (b) representa um processo adiabático. d) O diagrama (c) representa um processo isobárico. e) O diagrama (c) representa um processo de expansão.

formações sofridas por uma determinada massa de gás perfeito:

O diagrama (c) representa um processo de expansão,

P (N/m2)

pois o volume final é maior que o inicial. Não é um processo isobárico, pois a pressão muda

4

A

B

constantemente. Em (a) tem-se um processo isovolumétrico seguido de um isobárico.

1

C

Em (b) tem-se um processo isobárico seguido de um isovolumétrico.

0

1

4

V (m3)

a) Qual foi a variação de temperatura do gás entre o estado inicial A e o final C? b) Qual a quantidade de calor, em joules, recebida pelo gás na sequência de transformações de A a C? a) Aplicando a Lei Geral dos Gases aos pontos A e C: PA 3 VA ______ PC 3 VC 134 134 ______ ] ____ ∙ ____ ] TC ∙ TA } ST ∙ 0. ∙ TA TC TC TA b) Do item a, ST ∙ 0. Partindo-se da relação 3 SU ∙ __ n 3 R 3 ST, obtém-se: SU ∙ 0. Pela Primeira Lei da 2 Termodinâmica: SU ∙ Q 2 D ] Q ∙ D. O valor numérico do trabalho pode ser obtido pela N Área ] D N 3 3 4 } D N 12 J. propriedade gráfica: D ∙ ∙ ∙

No trecho AB há uma expansão (D . 0); logo, D ∙ 12 J. Portanto, Q ∙ 12 J.

128

Os trabalhos em (a) e (b) são diferentes, uma vez que as áreas cinza das figuras são diferentes.

12 (UERN) Segundo o Teorema de Carnot, o rendimento

máximo de uma máquina térmica, operando em ciclos T entre duas fontes de calor (fria e quente), seria “1 – F ”, TQ onde TF e TQ seriam, respectivamente, as temperaturas absolutas da fonte fria e da fonte quente. Sabe-se que os motores a explosão dos automóveis não são verdadeiramente máquinas térmicas que operam em ciclo fechado, como o chamado Ciclo de Carnot. No entanto, considerando válido o cálculo do rendimento de acordo com o Teorema de Carnot, para o motor de um automóvel que trabalha a 97 °C, qual seria seu rendimento máximo num dia em que a temperatura ambiente fosse 23 °C?


9 (Uece) No diagrama P-V a seguir, quatro processos ter-

a) 76,3%

b) 70,0%

c) 23,7%

d) 20,0%

Transformam-se as temperaturas em kelvin: 370 K e 296 K. T O rendimento máximo é dado por: R ∙ 1 – f Tq 296 ∙ 1 – 0,8 ] R ∙ 0,2 ou 20% R∙1– 370

13 (UFS-SE) Considere as transformações A p B p C p A de um gás, representadas no diagrama, e analise as afirmações.

interna do gás nos pontos C e A: PV 3 3 P V UC ∙ __ PCVC ] UC ∙ __ 3 __ 3 __ ] UC ∙ ___ 6 2 2 3 3 ] PV 3 3 V UA ∙ __ PAVA ] UA ∙ __ 3 P 3 __ ] UA ∙ ___ 2 2 3 2 PV PV PV Q ∙ SU ] Q ∙ UA 2 UC ] Q ∙ ___ – ___ } Q ∙ ___ . 3 6 2 Como Q . 0, o gás absorve calor. (16) Incorreta. Como o ciclo está orientado no sentido horário, o gás realiza trabalho sobre o ambiente.

Pressão A

P

14 (UFPR) Considere um gás ideal sendo submetido a di-

0 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

B

C

V

V 3

Volume

(01) De A p B, o trabalho realizado pelo gás é nulo. (02) A energia interna do gás é a mesma nos estados A e B. 2 (04) De B p C, o trabalho realizado pelo gás vale – PV. 9 (08) De C p A, o gás cede calor ao ambiente. (16) No ciclo ABCA, o ambiente realiza trabalho sobre o gás. Dê como resposta a soma dos números que precedem as afirmações verdadeiras.

(01) Se o processo for isovolumétrico (isocórico), o trabalho realizado pelo gás será nulo. (02) Se o processo for uma expansão isotérmica, haverá uma diminuição da pressão do gás. (04) Se o processo for isotérmico, a energia interna do gás permanecerá constante. (08) A temperatura atingida pelo gás no estado final não depende do processo escolhido. (16) Se o processo for adiabático, o gás trocará calor com o meio externo. (32) Se o volume for diminuído, num processo isobárico, haverá aumento da temperatura do gás. Soma: 01 + 02 + 04 + 08 ∙ 15

Soma: 02 + 04 ∙ 6 (01) Incorreta. Com base no gráfico, há variação de volume na transformação A p B . Portanto: D % 0. (02) Correta. SUA ∙ SUB se, e apenas se, a transformação A p B for isotérmica, isto é, se PAVA ∙ P V ∙ PBVB. Como PA ∙ P, VA ∙ __, PB ∙ __ e VB ∙ V, 3 3 PV PV tem-se PAVA ∙ ___ e PBVB ∙ ___. 3 3 Portanto, a transformação é isotérmica, pois PAVA ∙ PBVB. (04) Correta. Sabe-se que o trabalho é numericamente igual à área sobre o gráfico, ou seja: V ] N P ___ 2V N 2 N Área ] N P __ D∙ } D ∙ __ PV. D∙ V2 D∙ 3 3 3 3 3 9

@

#

(01) Correta. Em um processo isovolumétrico, o trabalho é nulo, pois não há deslocamento da massa gasosa. (02) Correta. Em uma transformação isotérmica, o produto PV é constante. Dessa forma, se o volume aumenta, a pressão deve diminuir na mesma proporção. 3 (04) Correta. A partir da relação SU ∙ __nRST, se ST ∙ 0, 2 obtém-se SU ∙ 0. (08) Correta. As grandezas cujo valor final não depende do processo escolhido são a energia interna e a temperatura, e elas são diretamente proporcionais entre si.

Como, nesse trecho, o gás sofre uma compressão, 2 D , 0. Logo: D ∙ 2 __ PV. 9

(16) Incorreta. Por definição, em uma transformação

(08) Incorreta. Nesse caso, tem-se uma transformação

(32) Incorreta. Em um processo isobárico, a razão V : T

isovolumétrica e, portanto, D ∙ 0. Assim, pela

permanece constante. Logo, para que o valor da

Primeira Lei da Termodinâmica, tem-se: Q ∙ SU. 3 A partir da relação U ∙ __ PV, calcula-se a energia 2

razão permaneça constante, se V diminui, T deve

adiabática não há troca de calor com o meio externo.

diminuir na mesma proporção.

129


P 3

versos processos termodinâmicos a partir de um mesmo estado inicial. Sobre essa situação, é correto afirmar:

15 (PUC-PR) Um gás perfeito se expande, ando do estado I para o estado II, conforme mostra o diagrama.

16 (UFRR) Um mol de gás ideal realiza o processo cíclico ABCD representado a seguir no gráfico de P # V:

5

Considerar 1 atm ∙ 1 3 10 Pa e 1 cal ∙ 4 J.

5

P ( • 10 Pa)

P (atm) 9 5

B

I 1 2

4

6 V (m2) 5

Sabe-se que, na transformação, o gás absorveu 2 3 10 cal de calor. Pode-se afirmar que, na transformação do estado I para o estado II: 5

a) o gás realiza trabalho negativo de 14 3 10 J. b) o gás sofre uma perda de 12 3 105 J em sua energia interna. c) a energia interna do gás sofre um aumento de 22 3 105 J. d) o gás sofre resfriamento e perde 6 3 105 J de energia interna. e) o gás realiza trabalho de 8 3 105 J e não sofre variação em sua energia interna.

D 0,03

C 0,06

V (m3)

O rendimento da máquina que utiliza esse ciclo é de 0,8. O trabalho no ciclo e o calor fornecido ao gás, em quilojoules, valem, respectivamente: a) 24 e 30. b) 8 e 10.

c) 54 e 42. d) 12 e 16.

e) 16 e 20.

O ciclo está orientado no sentido horário e, portanto, N D . 0. Usando a propriedade de que D ∙ Área:

D ∙ 3 3 1022 3 8 3 105 } D ∙ 24 kJ. A partir da definição de rendimento de uma máquina

O gás sofre uma expansão; logo, necessariamente,

térmica, pode-se obter a quantidade de calor Q1

tem-se D . 0, o que já invalida a alternativa a.

fornecida ao gás: 24 ∙ 103 D D g ∙ ___ ] Q1 ∙ __ ] Q1 ∙ 30 kJ. ] Q1 ∙ g 0,8 Q1

Quanto ao módulo do trabalho no SI, tem-se: (5 ∙ 105 + 2 ∙ 105) ∙ 4 N D ∙ Área ] D ∙ 2 } D ∙ 14 3 105 J. Para avaliar SU, usa-se a Primeira Lei da Termodinâmica SU ∙ Q 2 D. A partir do enunciado: Q ∙ 1 2 3 105 cal ∙ 8 3 105 J e, do argumento anterior, D ∙ 14 3 105 J. Portanto: SU ∙ Q 2 D } SU ∙ 26 3 105 J. Esse valor é diferente do valor numérico proposto nas alternativas b, c e e. A alternativa d está correta, pois, como SU ∙ 26 3 105, 0, deve-se ter ST , 0, o que indica que o gás sofreu resfriamento.

17 (UEPB) Leia o texto a seguir, para responder à questão. No século XIX, as máquinas térmicas tornaram-se de grande importância para o desenvolvimento das indústrias de mineração da Inglaterra. Outras indústrias também se beneficiaram da mobilidade da máquina a vapor, pois podiam se instalar em qualquer lugar, não dependendo mais da presença de quedas-d’água ou ventos para mover seu maquinário. A importância das máquinas a vapor foi tal que Carnot disse que a Inglaterra poderia prescindir até de sua esquadra naval, mas não de suas máquinas a vapor. Esse físico ressaltou que, apesar de sua grande importância social, econômica e política, muito pouco se sabia sobre o funcionamento destas máquinas. POLAK, Luiza A. C. et al. Vapor e Movimento. Em: Física – Ensino Médio. Curitiba: SEED-PR, 2006. (Adaptado.)

Acerca do assunto tratado no texto, em relação às máquinas térmicas, analise as proposições abaixo, escrevendo V ou F conforme sejam verdadeiras ou falsas, respectivamente: ( V ) Nenhuma máquina térmica, operando em ciclos, pode retirar calor de uma fonte e transformá-lo integralmente em trabalho.

130


2

A

II

( F ) O rendimento de uma máquina térmica, operando segundo o ciclo de Carnot, pode ser de 100%, isto é, converte todo o calor recebido em trabalho. ( V ) Um refrigerador funciona como uma máquina térmica, operando em sentido inverso, isto é, retira calor da fonte fria e, através de trabalho realizado sobre ele, rejeita para a fonte quente. Após a análise feita, assinale a alternativa que corresponde à sequência correta: a) V, F, V d) F, F, V b) F, V, F e) F, V, V c) V, V, F A primeira proposição é verdadeira, pois sempre há variação de energia interna no gás utilizado. A segunda proposição é falsa, pois o rendimento

19 (Uesc-BA) Um motor de Carnot, cujo reservatório de

baixa temperatura está a 27 °C, tem um rendimento de 20%. Variando-se as temperaturas dos reservatórios, é possível aumentá-lo para 25%. Sabendo-se que a temperatura do reservatório de baixa temperatura permanece invariável, a quantidade de graus que deve ser aumentada a temperatura do reservatório de alta temperatura é igual, em graus kelvin, a: a) 35. b) 30. c) 25. d) 20. e) 15. 300 R∙1– Tq 300 300 ] Tq ∙ ] Tq ∙ 375 K 0,2 ∙ 1 – T 0,8 Na nova situação: 300 300 ] Tq ∙ 400 k ] Tq ∙ 0,25 ∙ 1 – Tq 0,75

sempre será inferior a 100%.

que, na parte de trás do refrigerador, sentimos que há

20 (Uesb-BA) Uma propriedade física que se altera com a temperatura é chamada propriedade termométrica.

a) satisfaz à 1a e à 2a leis. b) não satisfaz à 1a e à 2a leis. c) satisfaz somente à 1a lei. d) satisfaz somente à 2a lei. Considere 1 cal ∙ 4,2 J.

Com base nos conhecimentos sobre termologia e calorimetria, é correto afirmar: a) Dois corpos em equilíbrio térmico entre si devem estar em equilíbrio térmico com um terceiro. b) As escalas Fahrenheit e Celsius de temperatura só diferem pela escolha da temperatura zero. c) Todos os termômetros dão o mesmo resultado ao medir a temperatura de um certo sistema. d) A temperatura absoluta de um gás é uma medida da energia cinética média de translação das moléculas do gás. e) Quando se transfere energia a uma substância através do aquecimento, a temperatura da substância sempre aumenta.

Do enunciado:

a) Incorreta. Dois corpos podem estar em equilíbrio

Q1 ∙ 25 3 106 cal ∙ 105 3 106 J; T1 ∙ 400 K;

térmico e um terceiro pode ser uma fonte de calor com

Q2 ∙ 10 3 106 cal ∙ 42 3 106 J; T2 ∙ 200 K;

temperatura mais elevada.

D ∙ 63 3 106 J.

b) Incorreta. 100 graus Celsius correspondem a 212 graus

agem de calor para o meio ambiente.

18 (Inatel-MG) Suponha que um inventor lhe ofereça uma

máquina que extrai 25 3 106 cal de uma fonte à temperatura de 400 K e rejeita 10 3 106 cal para uma fonte a 200 K, entregando um trabalho de 63 3 106 J. Com base nos princípios da termodinâmica, podemos afirmar que:

Segundo o Princípio de Conservação de Energia: Q1 ∙ D 1 Q 2. De fato, 105 3 106 ∙ 63 3 106 1 42 1 106. Portanto, a máquina não viola a Primeira Lei da Termodinâmica. Com relação ao rendimento: D 63 ∙ 106 g ∙ ___ ∙ } g ∙ 0,6 ∙ 60% , 100%. Q1 105 ∙ 106 Portanto, a máquina também não viola a Segunda Lei da Termodinâmica.

Fahrenheit. c) Incorreta. O texto não especifica se todos os termômetros serão graduados em uma mesma escala, portanto dois termômetros com escalas diferentes identificam valores diferentes para uma mesma medida. d) Correta. e) Incorreta. Nas mudanças de estado, isso não é verdade, pois uma substância pode ser aquecida e sua temperatura permanecer constante.

131



A terceira proposição é verdadeira, pois é por isso

ESTUDANDO Gases e termodinâmica

Para o enem 1 O fundo do mar sempre despertou muita curiosidade.

2 O cientista Robert Boyle realizou experimentos de

H20 H21

H20 H21

Corais, peixes, estrelas-do-mar, cavalos-marinhos, até mesmo famosos naufrágios, são algumas das variedades que atraem as pessoas para a prática de mergulho. Mergulhos mais profundos exigem treino devido aos efeitos do aumento da pressão sobre o corpo humano. Considere somente o sistema que envolve esse aumento de pressão e o volume de ar inspirado por um mergulhador com ajuda da bomba de compressão e despreze as possíveis variações de temperatura. Observe a figura abaixo e avalie as afirmações listadas. Superfície do mar

a)

P P1 P0

1 volume

10 m 2 atm 1.520 mmHg

1 volume 2

20 m 3 atm 2.280 mmHg

1 volume 3

30 m 4 atm 3.040 mmHg

1 volume 4

V0

b)

V1

V

P P1 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

0 m 1 atm 760 mmHg

transformação gasosa com bombas de compressão e descompressão de gás, utilizadas por mergulhadores, que permitem ter a temperatura como fator fixado. O gráfico que representa melhor a transformação sofrida por esse gás, em um mergulho de 10 m de profundidade, está representado na alternativa:

P0

40 m 5 atm 3.800 mmHg

c)

1 volume 5

b) II.

c) III.

d) I e II.

V

V0

P1 P0

I. Na superfície do mar, o mergulhador está sujeito a uma pressão de 1 atm. Essa pressão é acrescida de 1 atm a cada 10 m de profundidade sob a superfície da água. II. Como a densidade do líquido é maior que a do ar, com o aumento da pressão o volume do ar no pulmão do mergulhador aumenta proporcionalmente. III. A concentração de O2 em 1 L de ar, sob pressão atmosférica, dobra à medida que a pressão dobra. Dentre as afirmações acima, somente está(ão) correta(s): a) I.

V1 P

d)

V0 = V1

V

P

P0

e) I e III.

e)

I. Verdadeira. A água exerce pressão sobre os corpos

P1

submersos, sendo que a cada 10 m de coluna de água

P0

a pressão sobre eles é acrescida de um valor igual a 1 atm.

V0

V1

V0

V1

V

P

V

II. Falsa. O volume do gás é inversamente proporcional

Para responder a essa questão, o aluno deve identificar

à pressão por ele sofrida. Sendo assim, com o aumento

que se trata de uma transformação isotérmica, cujo

da pressão o volume diminui.

gráfico está representado na alternativa b.

III. Verdadeira. Com o aumento da pressão, o volume do gás diminui proporcionalmente. Logo, em um mesmo volume de ar, 1 L, o número de moléculas de O2 aumenta à medida que a concentração do gás aumenta. Como a concentração dos gases dobra com a diminuição de volume, a quantidade de oxigênio inspirada também dobra.

132

3 Alan Lightman, físico do MIT e poeta, em seu livro de realisH21

mo fantástico, Os sonhos de Einstein, brinca com a implacável tendência do universo à desordem, tendência essa que permite distinguirmos o ado do futuro. Para isso, Lightman nos convida a imaginar um filme de um ovo quebrando sendo ado de trás para a frente. Uma pessoa desinformada, ao entrar na sala nesse exato momento e ver pedaços de

contribuições permitiram o desenvolvimento da Segunda Lei da Termodinâmica e uma compreensão melhor das máquinas. Podemos, por exemplo, entender e desenvolver máquinas térmicas que alcançam seu rendimento máximo e saber quanto do calor obtido da queima do combustível pode ser transformado em trabalho. Para isso, é necessário observar o:

casca e gema se juntando para formar um ovo, vai entender na hora que a fita está sendo ada de trás para a frente. Isso ocorre porque, quando o filme é apresentado do futuro para o ado, a ordem do “sistema ovo” é: a) maior que no início e, portanto, durante a reconstituição do ovo, a entropia do sistema diminui. b) maior que no início e, portanto, durante a reconstituição do ovo, a entropia do sistema aumenta. c) menor que no início e, portanto, a reconstituição do ovo é reversível. d) menor que no início e, portanto, a reconstituição do ovo é irreversível. A pessoa perceberia rapidamente que o filme estaria

I. escolher o combustível que forneça a maior quantidade de calor da fonte fria, resultando em maior energia total à máquina térmica. II. escolher o combustível de maior densidade energética (kcal/kg), valor intrínseco à constituição da matéria. III. obter trabalho com o menor valor possível de energia e compreender como ocorre a transformação de energia no interior da máquina. IV. obter trabalho a partir de um motor térmico que opera trocando calor com uma única fonte, o que aumenta a quantidade de calor aproveitada. Dentre os aspectos listados, aqueles que apresentam conceitos físicos adequados são:

de trás para a frente porque é algo fisicamente absurdo. A seta do tempo aponta para o aumento da desordem. Como no caso de um ovo se quebrando, o


início do fenômeno tem um grau maior de ordem, o ovo intacto; o fenômeno é irreversível.

4 A lâmpada incandescente, construída pela primeira vez H18 H21

por Thomas Alva Edison, é composta de um filamento envolto por um bulbo. Para que a lâmpada funcione de forma aceitável, algumas condições devem ser consideradas na escolha do material que a constitui: (A) Seu filamento deve produzir o efeito joule para que ocorra transformação de energia elétrica em energia térmica e luz visível por incandescência. (B) Seu filamento deve resistir às altas temperaturas atingidas em consequência do efeito joule, sem se fundir. (C) O filamento não deve sublimar, para que dure mais tempo. (D) O filamento não deve entrar em combustão com o oxigênio, para que não seja inutilizado. (E) O bulbo deve permitir a agem da luz que irá iluminar o ambiente.

Para satisfazer às condições citadas acima, são levantadas algumas sugestões: I. O filamento deve ser feito de material isolante elétrico para satisfazer à condição A. II. O filamento deve apresentar elevada temperatura de fusão para satisfazer à condição B. III. Entre o filamento e o bulbo deve haver um gás inerte para satisfazer à condição D. IV. O bulbo deve ser de um material opaco para satisfazer à condição E. Dentre as sugestões levantadas, aquelas que apresentam soluções físicas aceitáveis são: a) I e II. b) I e IV. c) III e IV.

d) II e IV. e) II e III.

5 O engenheiro Sadi Carnot, já no século XVIII, estudou H18 H21

o rendimento das máquinas térmicas e estabeleceu seus limites teóricos inalcançáveis. Suas importantes

a) b) c) d) e)

I e III. I e IV. II e III. II e IV. Nenhum. Porque as observações A e B afirmam que as contribuições de Carnot são válidas para as máquinas térmicas atuais, mas valem somente para as máquinas a vapor utilizadas na época dele.

6 A importância da medida e do controle da tempeH21

ratura resultou no desenvolvimento do termômetro primitivo de Galileu e dessa técnica. Hoje, temos termômetros que se baseiam na dilatação das substâncias e outros que se baseiam, por exemplo, na medida da voltagem existente nas junções de fios metálicos ou ligas de naturezas diferentes, a qual depende das temperaturas das junções. Independentemente do termômetro utilizado, o que significa medir a temperatura de um corpo? Em relação a essa questão, foram realizadas as seguintes afirmativas:

I. Relacionar o grau da amplitude de oscilações das partículas que constituem um corpo com uma determinada temperatura. II. Medir a energia interna da amostra de um gás monoatômico. III. Medir a quantidade de calor em relação a algum padrão de medida. São corretas apenas as afirmativas: a) I e II. b) I e III. c) I, II e III.

d) II e III. e) apenas I.

133


(A) combustível utilizado. Por exemplo, água, gasolina, óleo diesel, álcool, petróleo, gás natural. (B) rendimento do motor da máquina térmica. Por exemplo, locomotiva, usina termelétrica, automóvel, fábricas. Atentar para esses aspectos em busca de máquinas térmicas mais eficientes envolve:


Óptica geométrica e reflexão da luz A óptica geométrica estuda a propagação da luz sem se preocupar com sua natureza. Essa abordagem possibilita a explicação de diversos fenômenos, como sombra, eclipse, formação de imagens em espelhos etc. Neste tópico serão revisados seus conceitos básicos e a reflexão da luz.

I. Elementos da óptica geométrica

Meios de propagação da luz

Raio luminoso É a representação da trajetória da luz; indica a direção e o sentido em que a luz se propaga.

Transparentes: permitem a propagação regular da luz. Exemplos: o ar, um vidro comum etc. Translúcidos: neles, a propagação da luz se dá de forma irregular. Exemplos: um vidro fosco, o papel-manteiga etc. Opacos: não permitem a agem da luz. Exemplos: o concreto, a madeira, o couro etc.

Feixe de luz É o conjunto de raios de luz que representa uma região do espaço na qual a luz se propaga. Os feixes de luz podem ser convergentes, divergentes ou paralelos.

Fontes luminosas Primárias: são aquelas que têm luz própria. Exemplos: o Sol, uma lâmpada acesa, uma vela acesa etc. Secundárias: não têm luz própria, apenas refletem a luz vinda de outras fontes. Exemplos: uma folha de papel, uma parede, a Lua etc. Pontuais: seu tamanho pode ser desconsiderado, porque a dimensão da fonte é muito menor que a distância entre ela e o observador. Exemplo: a estrela Sirius vista da Terra. Extensas: a dimensão da fonte é da mesma ordem de grandeza que a distância até o observador. Exemplo: lâmpada fluorescente. Feixe divergente Feixe convergente

Fonte primária

Propagação retilínea da luz: em um meio homogêneo e transparente, a luz se propaga em linha reta. Independência dos raios luminosos: quando dois raios de luz se cruzam, propagando-se em direções diferentes, um não interfere na trajetória do outro. Reversibilidade dos raios luminosos: se as posições da fonte luminosa e do observador forem invertidas, os raios de luz continuam percorrendo as mesmas trajetórias, mas em sentidos opostos.

III. Aplicações dos princípios de propagação da luz Câmara escura com orifício A câmara escura com orifício comprova o princípio da propagação retilínea da luz. O funcionamento de uma máquina fotográfica é análogo ao da câmara escura. As relações entre as dimensões do objeto e da imagem podem ser obtidas por meio da semelhança de triângulos, como mostra o esquema a seguir.

o

i

Feixe divergente Exemplos de fontes secundárias

p

Feixe paralelo

p’

Figura 3 • Em uma câmara escura, a imagem produzida é menor que o objeto e invertida em relação a ele. p: distância do objeto

Figura 2 • Representação artística dos feixes de luz estudados na óptica geométrica. Cada tipo de feixe tem diferentes formas e organização.

134

i p’ = o p

p’: distância da imagem até a câmara i: tamanho da imagem o: tamanho do objeto


II. Princípios da óptica geométrica

Figura 1

Eclipses Os eclipses são fenômenos que ocorrem em consequência da agem de um corpo celeste pela região de sombra ou de penumbra do outro. Um eclipse solar, por exemplo, ocorre quando a Lua se coloca entre o Sol e a Terra, projetando sua sombra sobre a Terra.

Ao contrário da reflexão difusa, na reflexão regular ou especular a luz retorna ao meio original de modo ordenado, após incidir sobre uma superfície refletora polida que separa dois meios. A luz muda de direção, porém o feixe refletido propaga-se em uma direção bem definida. Esse fenômeno obedece às seguintes leis: • 1a lei: o raio incidente RI, a normal N e o raio refletido RR são coplanares.

Sol

N

RR

ˆr î

Eclipse parcial

P Terra

Figura 7 • Na reflexão especular, como não há difusão da luz na superfície, as características trazidas pelos raios luminosos não se alteram – apenas a direção de propagação muda.


Lua Cone de sombra

• 2a lei: o ângulo de incidência tem mesma medida que o

Eclipse total

ângulo de reflexão: î = ˆr .

Figura 4 • O tipo de eclipse depende do local em que o observador está: sob o cone de sombra, ele vê um eclipse total; sob o cone de penumbra, um eclipse parcial.

O eclipse lunar ocorre quando a Terra impede a Lua de receber total ou parcialmente a luz do Sol, interpondo-se entre os dois astros.

Sol

Lua

V. Espelhos planos Nos espelhos planos, as imagens conjugadas são virtuais (formam-se na intersecção dos prolongamentos dos raios refletidos) e têm o mesmo tamanho do objeto. Além disso, a distância entre a imagem e o espelho é igual à distância entre o objeto e o espelho. Espelho plano

Terra

Figura 5 • O eclipse lunar ocorre sempre na fase da Lua cheia, mas, para que aconteça, o satélite deve estar localizado em um dos pontos nodais de sua órbita (pontos em que a órbita da Lua cruza a órbita da Terra).

Imagem

Objeto

IV. Reflexão da luz Para enxergar um livro ou uma árvore, por exemplo, é preciso que a luz que emana desses corpos incida na retina, estimulando-a. Nem a árvore nem o livro produzem a luz que emitem, a qual pode ter vindo do Sol ou de uma lâmpada acesa. Por serem corpos opacos, a árvore e o livro não permitem a agem da luz que recebem, mas absorvem parte dessa luz e refletem a outra parte em todas as direções, espalhando-a. A reflexão difusa da luz permite que a árvore e o livro sejam vistos, e ela ocorre porque as superfícies desses corpos são irregulares, rugosas.

p = p’

p’

p

Figura 8

Simetria objeto-imagem A imagem, em um espelho plano, estabelece com o objeto simetria ponto a ponto em relação ao plano do espelho, configurando uma imagem de mesma dimensão e natureza contrária. B

Reflexão difusa

A

P

p p’ P’

A’ B’

Figura 6

Figura 9

135

Óptica geométrica e reflexão da luz

Cone de penumbra

RI

Campo visual de um espelho plano O campo visual do espelho é a região do espaço que pode ser vista por um observador, por reflexão, nesse espelho. Para determinar o campo visual de um espelho, deve-se: • localizar a imagem O’ do observador O; • unir as bordas do espelho ao ponto O’; a região na frente do espelho é o campo visual.

Para que uma pessoa de altura H consiga se ver por inteiro em um espelho, o menor tamanho (d) que esse espelho pode ter é metade da altura dessa pessoa, independentemente da distância a que ela estiver do espelho. O

I d

H

H

x

x

Campo visual do espelho

d= Figura 12

O’

O

H 2

VI. Espelhos esféricos

Figura 10 • Todos os pontos que pertencem à região do campo visual do espelho, ao emitirem luz, apresentam raios que, por reflexão no espelho, atingem o observador.

Espelho esférico é uma calota esférica polida que reflete especularmente a luz. Quando a superfície refletora é a externa, o espelho é convexo. Se a luz é refletida na face interna da calota, o espelho é côncavo. Espelho convexo

Ângulo visual Quando um observador de altura H se aproxima de um espelho plano, o tamanho de sua imagem não aumenta, permanecendo constante e igual a H. Ele tem a impressão de que o tamanho da imagem aumenta por causa do ângulo visual com o qual ele percebe sua imagem. Quanto mais perto do espelho, maior será o ângulo visual com que o observador enxergará a imagem (γ > β > α).

Espelho côncavo

Figura 13

Elementos

E α

C

H

a F

V

H

Eixo principal

f

Figura 14

R

E

Principais elementos

β H

H

E γ H

H

C: centro de curvatura – trata-se do centro da esfera que deu origem à calota. R: raio de curvatura – é o raio da superfície esférica à qual pertence a calota. F: foco principal – ponto de convergência (côncavo) ou de divergência (convexo) dos raios incidentes paralelamente ao eixo. V: vértice do espelho – ponto que corresponde ao polo da calota. f: distância focal – a distância entre o foco e o vértice é metade do raio de curvatura:

Figura 11 • Para facilitar a visualização, somente os raios refletidos pelo espelho e seus respectivos prolongamentos foram representados.

136

f=

R 2

.

𝛂: ângulo de abertura – α < 10° para que a imagem seja nítida (condição de Gauss).


Tipos

Incidência no centro de curvatura: o raio incidente reflete e volta sobre si mesmo. V

F

C

C

F

Figura 15

Incidência no foco: o raio refletido tem direção paralela ao eixo principal.

F

V

V

C

C

Imagens fornecidas por espelhos esféricos As imagens de objetos conjugadas por espelhos esféricos são caracterizadas por sua construção geométrica. São propriedades da construção de imagens de objetos colocados em frente ao espelho: • Sempre que a imagem conjugada é real, sua orientação é invertida; sempre que é virtual, é direita. • Espelhos convexos conjugam imagens virtuais apenas direitas e menores que o objeto. • Espelhos côncavos conjugam imagens de natureza real, virtual e imprópria. • Somente imagens reais podem ser projetadas em anteparos como telas, paredes etc. Brad Calkins/dreamstime.Com

F


Figura 16

Incidência em direção paralela ao eixo principal: o raio é refletido na direção do foco.

F

V

V

C

Figura 20 • Espelho convexo: imagem virtual, direita e menor.

C F

Equação de Gauss Figura 17

A posição do objeto p pode ser relacionada à posição da imagem p’ e à distância focal f da seguinte maneira:

Construção de imagens Imagem virtual: se a intersecção dos raios refletidos é obtida pelo encontro dos prolongamentos desses raios, diz-se que a natureza da imagem é virtual (imagem atrás do espelho).

A

1 1 1 = + p p‘ f

• • • •

Analisando os sinais das variáveis da equação, tem-se: p e p’ positivos: posições reais (fora do espelho); p e p’ negativos: posições virtuais (dentro do espelho); f > 0 para espelhos côncavos; f < 0 para espelhos convexos.

A’ V

B

B’

F

VII. Aumento linear transversal

C

Figura 18 • Formação de uma imagem virtual em um espelho convexo.

Imagem real: se a intersecção dos raios refletidos ocorre efetivamente, diz-se que a natureza da imagem é real (imagem na frente do espelho).

A B’

B C

V F

A’

Figura 19 • Formação de uma imagem real em um espelho côncavo.

Também é possível relacionar p, p’, i (tamanho da imagem) e o (tamanho do objeto) a partir da definição de aumento linear transversal (A): A=

i p’ =– o p

Nota-se que: • a grandeza aumento é adimensional, isto é, não tem unidade; • se ∙A∙ > 1, o tamanho da imagem é maior que o tamanho do objeto; • se ∙A∙ < 1, o tamanho da imagem é menor que o tamanho do objeto; • se ∙A∙ = 1, o tamanho do objeto e da imagem são iguais; • se A > 0, a imagem é direita e, portanto, virtual; • se A < 0, a imagem é invertida e, portanto, real.

137


Raios principais

ESTUDANDO Óptica geométrica e reflexão da luz

para o vestibular 1 (Fuvest-SP) ita que o Sol subitamente “morresse”,

ou seja, sua luz deixasse de ser emitida. 24 horas após esse evento, um eventual sobrevivente olhando para o céu, sem nuvens, veria:

3 (Fuvest-SP) A ilustração a seguir representa um objeto A

colocado a uma distância de 2,0 m de um espelho plano S, e uma lâmpada L colocada a uma distância de 6,0 m do espelho.

a) a Lua e as estrelas. b) somente a Lua. c) somente estrelas. d) uma completa escuridão. e) somente os planetas do Sistema Solar.

2m

A

S

6m

A Lua e os planetas do Sistema Solar são fontes de luz

mais seriam vistos pelo sobrevivente. Por outro lado, por serem fontes de luz primárias, as estrelas continuariam

6m

L

a) Desenhe o raio emitido por L e refletido por S que atinge A. b) Calcule a distância percorrida por esse raio. a) Os espelhos planos formam imagens simétricas em

visíveis.

relação aos respectivos objetos. A

2 (UFRJ) No mundo artístico, as antigas “câmaras escuras”

2m

S

2m

A’

voltaram à moda. Uma câmara escura é uma caixa fechada de paredes opacas que possui um orifício em uma de suas faces. Na face oposta à do orifício fica preso um filme fotográfico, onde se formam as imagens dos objetos localizados no exterior da caixa, como mostra a figura.

L

6m

2m

P

b) A partir da figura representada no item a, tem-se, por

Orifício

congruência de triângulos, que SA = SA’. Portanto, 3m

h

determinar a distância x percorrida pelo raio de luz significa determinar a medida do segmento LA’. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo A’LP: x2 = (6 +2)2 + 62 = 64 + 36 ∴ x = 10 m

6 cm

5m

Suponha que um objeto de 3 m de altura esteja a uma distância de 5 m do orifício, e que a distância entre as faces seja de 6 cm. Calcule a altura h da imagem. Com base na figura, tem-se que os triângulos ABC e DEC são semelhantes: A h

D

6 cm = 0,06 m

C

∴ h = 3,6 ∙ 10–2m = 3,6 cm

138

Um observador que se encontra diretamente atrás do objeto e a 50 cm do espelho vê a imagem do objeto distante de si, a:

a) 40 cm. b) 70 cm.

c) 90 cm. d) 100 cm.

e) 140 cm.

O enunciado sugere a seguinte figura: 5m

3m Observador

B

Portanto, pode-se escrever: 0,06 h ____ __ ⇒ 5h = 0,18 = 5 3

4 (PUC-SP) Um objeto está a 20 cm de um espelho plano.

Objeto

Imagem do objeto

20 cm 20 cm

E 50 cm

Logo, a distância d do observador à imagem do objeto será: d = 50 + 20 ∴ d = 70 cm


secundárias; portanto, caso o Sol “morresse”, eles não

5 (Ueal) Um lago com águas tranquilas ilustra bem a

situação de um espelho plano. Imagine então que um lago, nesta condição, separa você de um edifício. Seus olhos estão a 10 metros acima da superfície do lago e recebem um raio de luz do ponto mais alto do edifício, fazendo um ângulo de 45° com a horizontal tirada a partir deles. A imagem refletida deste ponto no lago forma, a partir desta mesma horizontal, um ângulo β, de tal forma que tg β = 2. A altura do edifício é, em metros, igual a: a) 20.

b) 30.

c) 45.

d) 57.

e) 62.

B

Você gostaria de ver seu corpo inteiro refletido no espelho. Para atingir seu objetivo, das ações listadas anteriormente, você pode escolher: a) apenas a I. b) apenas a II.

c) apenas a III. d) a I ou a III, apenas.

No caso do espelho plano (vertical), aproximar-se ou afastar-se dele não alterará a visualização do corpo, apenas modificará o tamanho da imagem. Nesse caso, as ações I e II são inócuas. Pelo mesmo motivo, se na situação inicial você já conseguir se ver por inteiro,

H A

α β

C


D

8 (Vunesp) O forno solar de Odeillo, na França, é composH + 10

Do triângulo ABC tem-se: H – 10 tg 45° = 1 = ⇒ x = H – 10 x Do triângulo ACE tem-se: E H + 10 tg β = 2 = ⇒ 2H – 20 = H + 10 ⇒ H = 30 H – 10

6 (PUC-Minas) Num relógio de ponteiros, cada número

foi substituído por um ponto. Uma pessoa, ao observar a imagem desse relógio refletida num espelho plano, lê 8 horas. Se fizermos a leitura diretamente no relógio, verificaremos que ele está marcando: a) 6h.

b) 2h.

a visualização.

c) 9h.

d) 4h.

e) 10h.

to de 9.500 espelhos que concentram os raios solares em uma fornalha. Na verdade, embora todos os espelhos lá utilizados sejam planos, a configuração de suas disposições torna o conjunto um gigantesco espelho esférico côncavo. Sendo o desejo deste forno concentrar os raios de luz e calor em um ponto na fornalha, relativamente à superfície refletora, pode-se dizer que a distância desse ponto da fornalha é, comparado ao raio de curvatura do conjunto de espelhos:

a) a quarta parte. b) a metade. c) igual.

d) o dobro. e) o quádruplo.

Como os raios solares chegam praticamente paralelos ao espelho, são refletidos para o foco. Essa distância focal é metade do raio de curvatura do conjunto de espelhos.

Observe a figura: Imagem

Objeto

9 (UFRJ) Um objeto está a uma distância P do vértice de um espelho esférico de Gauss. A imagem formada é virtual e menor. Neste caso pode-se afirmar que:

Portanto, o relógio (objeto) está marcando 4h.

7 (Uece) Você está em pé em uma sala, parado diante de

um espelho vertical no qual pode ver apenas dois terços de seu corpo. Considere as ações descritas a seguir: I. Afastar-se do espelho. II. Aproximar-se do espelho. III. Usar um espelho maior, cuja altura lhe permita ver seu corpo inteiro quando você está na sua posição inicial.

a) b) c) d)

o espelho é convexo. a imagem é invertida. a imagem se forma no centro de curvatura do espelho. o foco do espelho é positivo, segundo o referencial de Gauss. e) a imagem é formada entre o foco e o centro de curvatura. Entre os espelhos esféricos de Gauss, o único que possibilita a formação de uma imagem virtual e menor que o objeto é o espelho convexo.

139


qualquer movimentação em sua posição não prejudicará

H – 10

lê-se:

Ethel: o rosto ali no espelho. A forma octogonal da transparência furando escombros. O tom escuro do jacarandá: o aporte. Começava a delinear-se a figura da bisavó. Ela gostava de olhar-se dentro do octógono de cristal. Uma moldura transparente. Tinha um aspecto místico. Os olhos. Os lábios. O cabelo. Aquele dourado na face. Os dois semicírculos negros, como sinais além do mar misterioso e inquieto. LAUS, Lausimar. O guarda-roupa alemão. 6. ed. rev. Florianópolis: Editora UFSC, 2010. p. 5-6.

a) Defina um octógono regular. b) Determine, apresentando os cálculos, a medida do ângulo central do octógono regular. c) Determine, apresentando os cálculos, a soma das medidas dos ângulos internos do octógono regular. d) A figura abaixo mostra a bisavó Ethel olhando no espelho plano a imagem da comadre Herna, em pé atrás dela. Determine, apresentando os cálculos, a que distância horizontal (em metros) dos olhos da bisavó Ethel fica a imagem da comadre Herna. 0,60 m

0,90 m E S P E L H O P L A N O

11 (UniFEI-SP) O espelho retrovisor de uma motocicleta é

convexo porque: a) reduz o tamanho das imagens e aumenta o campo visual. b) aumenta o tamanho das imagens e aumenta o campo visual. c) reduz o tamanho das imagens e diminui o campo visual. d) aumenta o tamanho das imagens e diminui o campo visual. e) mantém o tamanho das imagens e aumenta o campo visual.

Os espelhos convexos são frequentemente usados em retrovisores de motocicletas, nos automóveis mais modernos e também nos cruzamentos de estacionamentos, nos quais, para evitar acidentes, é necessário obter um campo visual mais amplo, não importando o tamanho real do objeto. Esse objetivo é atingido com o uso de espelhos convexos.

12 (Ufac) A parte côncava de uma colher de sopa de aço

inox limpa pode ser utilizada como um espelho côncavo. Supondo que esta parte tenha um raio de curvatura de aproximadamente 4,0 cm, qual a distância focal desse espelho, quando um objeto for colocado sobre seu eixo, distante 12 cm do vértice?

a) 2,0 cm b) 8,0 cm

c) 4,0 cm d) 16,0 cm

e) 3,0 cm

A distância focal é uma característica geométrica do espelho e independe da posição do objeto em relação ao vértice. Seu valor corresponde à metade da medida do raio de curvatura do espelho. Logo, no caso dessa colher, a distância focal equivale a 2 cm.

a) Octógono regular é um polígono de oito lados iguais e oito ângulos iguais. 360° = 45° b) Ângulo central = 8 c) Cada ângulo tem 135°, logo a soma será 135° ∙ 8 =1.080° d)

0,60 1 0,90 1 0,90 5 2,40 m 0,60 m

0,90 m

0,90 m E S P E L H O P L A N O

0,60 m

13 (PUC-SP) Uma flor se encontra sobre o eixo principal

de um espelho convexo, de distância focal, em módulo, igual a 25 cm, e a 25 cm do vértice do espelho. Sendo válidas as condições de Gauss, a posição e a natureza da imagem formada serão, respectivamente: a) localizada no infinito e imprópria. b) localizada entre o foco e o centro de curvatura, real e invertida. c) localizada entre o vértice e o foco, virtual e direita. d) localizada entre o foco e o centro de curvatura, real e direita. e) localizada entre o vértice e o foco, real e direita. Como o espelho é convexo, a distância focal é negativa. 1 1 1 1 2 = + ⇒ =– ⇒ p’ = –12,5 cm –25 25 p’ p’ 25

p’ = –12,5 cm, logo a imagem se forma entre o vértice e o foco, é virtual e direita.

140


10 (UFSC) Em um trecho do livro O guarda-roupa alemão,

14 (PUC-PR) Um objeto real, representado pela seta, é co-

locado em frente a um espelho, podendo ser plano ou esférico, conforme as figuras.

I

IV

C

mente sobre o eixo principal e a 12 cm do vértice de um espelho esférico côncavo, cujo raio de curvatura é 36 cm. A imagem conjugada pelo espelho é:

a) b) c) d)

F

real, invertida e maior que o objeto. virtual, direita e maior que o objeto. virtual, direita e menor que o objeto. real, invertida e menor que o objeto.

Dado que o raio de curvatura é R = 36 cm, a distância 36 focal f será: f = ___ ∴ f = 18 cm 2

V

II

15 (Uece) Um pequeno objeto é colocado perpendicular-

Se p = 12 cm, o objeto se encontra entre o vértice (V ) e F

C

F

o foco (F ) do espelho, como mostra a figura:


III

p = 12 cm

C

R = 36 cm

F C

A imagem fornecida pelo espelho será virtual: a) apenas no caso I. b) apenas no caso II. c) apenas nos casos I e II.

f = 18 cm

d) nos casos I, IV e V. e) nos casos I, II e III. Para determinar matematicamente se a imagem é

Para resolver essa questão, é preciso lembrar que um ponto imagem é virtual se ele é vértice de um pincel de luz que emerge de um sistema óptico de forma

maior ou menor que o objeto, bem como sua orientação em relação a ele, é preciso calcular o aumento linear transversal (A). Para isso,

cônica e divergente. Espelhos planos e esféricos convexos sempre fornecem imagens virtuais. Portanto, a alternativa

determina-se p’ usando a equação de Gauss: 1 1 1 1 2 23 1 1 1 ___ ___ _____ ⇒ + = p + p’ ⇒ = p’ p’ = 36 18 12 f ∴ p’ = –36 cm

correta deve incluir os casos I e IV. Com isso

Como p’ < 0, trata-se de uma imagem virtual.

isola-se a alternativa d.

Calcula-se agora o aumento linear (A): –p’ ___ = 36 ∴ A = 3 A= p 12

Para desencargo, deve-se checar o caso V.

Como A > 0, a imagem é direita em relação ao objeto e,

Objeto Imagem C

F

como ∙A∙ > 1, a imagem é maior que o objeto.

F

O pincel de luz que emerge do espelho côncavo tem forma cônica e é divergente. Logo, trata-se de uma imagem virtual.

141


C

lho. Considere os seguintes fatos referentes ao objeto e à sua imagem: I. O objeto está a 6 cm do espelho. II. O aumento transversal da imagem é 5. III. A imagem é invertida.

Esse ponto luminoso começa a se aproximar do espelho, de raio de curvatura R, movimentando-se sobre o eixo. Com base nessas informações, é correto afirmar que a distância entre o ponto luminoso e o espelho, para a qual a distância entre o ponto luminoso e sua imagem é igual a R, é dada por: R∙2 . 2

R∙2 . c) R. 2 1 1 1 p – q = R ⇒ q = p – R ⇒ __ = __ + __ ⇒ f p q 1 p_________ 2R1p 1 2 _____ __ __ ⇒ = + ⇒ = R p p2R p(p 2 R)

A partir destas informações, está correto afirmar que o(a):

a) R +

a) b) c) d) e)

⇒ 2p2 – 2pR = pR – R2 + pR ⇒

espelho é convexo. raio de curvatura do espelho vale 5 cm. distância focal do espelho vale 2,5 cm. imagem do objeto é virtual. imagem está situada a 30 cm do espelho.

b)

Uma ressalva: a afirmação II refere-se ao módulo do

⇒ 2p2 – 4Rp + R2 = 0

aumento linear transversal (A); pela afirmação III, a

Resolvendo a equação de 2o grau em p:

imagem é invertida e, portanto, tem-se A = –5.

p1 = R +

Com base na afirmação I, p = 6 cm. –p’ –p’ , vem: –5 = ∴ p’ = 30 cm Como A = p 6

O valor de p2 < 0 não serve, pois, nesse caso, a

Uma ressalva: a afirmação II refere-se ao módulo do aumento linear transversal (A); pela afirmação III, a imagem é invertida e, portanto, A = –5. Com base na afirmação I, p = 6 cm. –p’ –p’ , vem: –5 = ∴ p’ = 30 cm Como A = p 6

R∙2 R∙ e p2 = R – 2 2 2

distância do objeto à imagem será negativa.

18 (UFJF-MG) A luz de um feixe paralelo de um objeto dis-

tante atinge um grande espelho, de raio de curvatura R = 5,0 m, de um poderoso telescópio, como mostra a figura abaixo. Após atingir o grande espelho, a luz é refletida por um pequeno espelho, também esférico e não plano como parece, que está a 2 m do grande. Sabendo que a luz é focalizada no vértice do grande espelho esférico, faça o que se pede nos itens seguintes.

Um espelho convexo não fornece imagens invertidas

Grande espelho

em relação ao objeto. Isso descarta a alternativa a. Distância focal e raio de curvatura são dados por: 1 1 __ 1 1 511 1 __ = + p’ = __ + ___ = _____ f p 6 30 30

d) 2R.

Pequeno espelho C

F

∴ f = 5 cm R = 2f ∴ R = 10 cm 2m

Isso descarta as alternativas b e c. Imagens invertidas são sempre reais. Isso descarta a alternativa d.

17 (Unifenas-MG) Um ponto luminoso está localizado so-

bre o eixo de um espelho esférico côncavo, como mostra a figura a seguir. Dado: Considere que p é sempre maior que q. Ponto luminoso

142

a) O objeto em F, para o pequeno espelho, é virtual, pois é formado por prolongamentos de raios. b) Como o objeto em F é virtual, s =– 0,5 m. Assim, para o pequeno espelho: 1 1 1 1 1 1 + = ⇒ + = ⇒ f = – 0,667 m; p p‘ f – 0,5 2 f

Imagem

p

a) O objeto no ponto F, para o pequeno espelho, é real ou virtual? Justifique sua resposta. b) Calcule o raio de curvatura r do pequeno espelho. c) O pequeno espelho é côncavo ou convexo? Justifique sua resposta.

q

r = 2f ≃ –1,3 m c) Como r < 0, o pequeno espelho é convexo.


16 (Unirio-RJ) Um objeto é colocado diante de um espe-

19 (UEG-GO) Conforme a ilustração abaixo, um objeto de

10 cm de altura move-se no eixo de um espelho esférico côncavo com raio de curvatura R = 20 cm, aproximando-se dele. O objeto parte de uma distância de 50 cm do vértice do espelho, animado com uma velocidade constante de 5 cm/s.

(04) O aumento linear transversal da imagem formada no espelho convexo é 0,5×. (08) O aumento linear transversal da imagem formada no espelho côncavo é 4×. (16) A imagem formada no espelho côncavo é real, invertida e igual ao objeto.

C

F

V

Responda ao que se pede. a) No instante t = 2 s, quais são as características da imagem formada? Justifique. b) Em qual instante a imagem do objeto se formará no infinito? Justifique. c) No instante t = 7 s, qual é a posição e tamanho da imagem formada? Justifique. a) Em t = 2 s, o objeto percorreu 10 cm. Como sua posição inicial era de 50 cm até o espelho, nesse instante ele se encontra a 40 cm do espelho. 1 1 1 __ 1 1 1 __ = + p’ ⇒ ___ = ___ + p’ ⇒ 10 40 f p 1 421 ⇒ = _____ ⇒ p’≃ 13,3 cm p’ 40 13,3 i p’ i ___ __ ⇒ = – ____ ⇒ i ≃ –3,3 cm =– o 10 p 40 Como p’ > 0 e i < 0, a imagem é real e invertida. Pelo valor do módulo de i, observa-se que é menor que o objeto. b) No instante em que o objeto ar por F, a imagem se formará no infinito. O objeto está em MRU; assim, pode-se escrever: p = p0 + v ∙ t ⇒ 10 = 50 – 5 ∙ t ⇒ t = 8 s c) Após 7 s, o objeto estará a 15 cm do vértice e terá 7,5 cm de tamanho. p = 50 – 35 ∴ p = 15 cm 1 1 1 __ 1 1 1 __ ⇒ ___ = ___ + ⇒ = + p’ p’ 15 10 f p 1 322 ⇒ = _____ ⇒ p’ = 30 cm p’ 30 i 30 p’ i __ =– ⇒ ___ = – ___ ⇒ i = –20 cm o 10 15 p

20 (UEM-PR) Um objeto real, direito, de 5 cm de altura, está

localizado entre dois espelhos esféricos, um côncavo (R = 10 cm) e um convexo (R = 30 cm), sobre o eixo principal desses espelhos. O objeto está a uma distância de 30 cm do espelho convexo e de 10 cm do espelho côncavo. Com relação às características das imagens formadas nos dois espelhos e ao aumento linear transversal, analise as alternativas abaixo e assinale o que for correto. (01) A imagem formada no espelho convexo é virtual, direita e menor que o objeto.

Soma: 01 + 02 + 16 = 19 (01) Nos espelhos convexos, a imagem é sempre virtual, direita e menor. Afirmativa correta. R (02) Como f = e adota-se o sinal negativo no foco 2 dos espelhos convexos, a afirmativa está correta. (04) Para calcular o aumento, calcula-se inicialmente a 1 1 1 distância da imagem até o espelho: –15 = 30 + p’ ; 1 1 30 + Di logo, a distância de imagem é –10 cm. Como p’ i –10 1 = , a afirmativa é incorreta. A= =− p =− o 30 3 1 1 1 (08) 5 = 10 + p’ ⇒ p‘ = 10 cm; logo, 10 p’ i A = o = − p = – 10 = –1. Afirmativa incorreta. (16) Como o aumento acima foi –1, está correta essa afirmativa.

21 (UFU-MG) Considere o filamento de uma lâmpada, de

0,5 cm de altura, que se encontra a 10 cm de um espelho (em seu eixo). Esse filamento tem sua imagem projetada sobre uma parede a 3 m de distância desse espelho. Determine: a) o tipo da imagem (real, virtual ou imprópria). Explique. b) o tipo do espelho (plano, côncavo ou convexo). Explique. c) a altura da imagem. Explique se a imagem é invertida ou não. d) a distância focal do espelho.

a) A imagem é real, pois, segundo o enunciado, ela é projetada em uma parede, e apenas imagens reais podem ser projetadas. b) O espelho é côncavo, pois apenas nele é possível produzir imagens reais. i 300 p’ i c) __ = – ⇒ ___ = – ____ ⇒ i = –15 cm o 0,5 10 p A imagem é invertida, pois i < 0. Além disso, qualquer imagem real de espelho esférico é invertida. 1 1 1 31 1 1 ___ ____ ____ d) __ = __ p + p’ = 10 + 300 = 300 ⇒ f ≃ 9,7 cm f

143


Objeto


(02) As distâncias focais dos espelhos côncavo e convexo são, respectivamente, 5 cm e –15 cm.

ESTUDANDO Óptica geométrica e reflexão da luz

para o eNem reza a lenda que o físico e matemático Arquimedes de Siracusa (287 a.C.-212 a.C.) utilizava espelhos feitos provavelmente de cobre que possuíam a propriedade de concentrar raios solares em determinados pontos e que eram utilizados para incendiar embarcações romanas que tentavam invadir Siracusa. Tal fato seria teoricamente possível e justificado se Arquimedes utilizasse:

As equipes se reúnem e, após alguns minutos, apresentam suas respectivas estratégias, baseadas em princípios da óptica geométrica. Todas as equipes optam por seguir a trajetória gerada pelo raio incidente do laser postado na largada e o raio refletido pelo pequeno espelho e direcionado ao ponto de chegada. A estratégia adotada por cada uma das equipes é discriminada na tabela abaixo.

a) espelhos planos com campo visual suficientemente grande para conter pelo menos uma embarcação. b) espelhos convexos, devido a seu grande campo visual. c) espelhos côncavos, devido a seu grande campo visual. d) espelhos côncavos, devido ao fato de poderem concentrar raios paralelos em um ponto de seu plano focal. e) tal fato é teoricamente impossível, não tendo qualquer fundamento científico. A propriedade indicada no enunciado e utilizada na arma idealizada por Arquimedes seria a capacidade dos espelhos de fazer convergir os raios luminosos em um só ponto, propriedade essa encontrada nos espelhos côncavos.

2 Em uma gincana escolar, quatro equipes – A, B, C e D – H1 H3

recebem a seguinte tarefa: cada uma deve estabelecer a melhor estratégia de trajetória para vencer determinada corrida. O desafio consiste em, partindo do ponto O (largada), chegar pelo caminho mais curto possível ao ponto F (chegada) tocando o muro PQ em qualquer ponto. A figura mostra o esquema da competição. F

Q

Equipe A

Fixar o espelho no ponto do muro mais próximo da largada (P).

Equipe B

Fixar o espelho em um ponto equidistante das extremidades do muro.

Equipe C

Fixar o espelho, mantendo-o paralelo ao plano do muro, em um ponto no qual o raio refletido atinja F.

Equipe D

Fixar o espelho no ponto do muro mais próximo da chegada (Q).

Dado que tOPu > tQFu, qual será a equipe vencedora dessa disputa? a) b) c) d) e)

A B C D A disputa terminará empatada entre as quatro equipes.

Fazendo uma analogia entre essa situação e a reflexão em um espelho plano por meio de uma imagem de F simétrica em relação ao plano do muro, nota-se que os caminhos virtuais têm o mesmo comprimento dos

Chegada

verdadeiros caminhos propostos pelas equipes (ver figura).

x

Q

x

F’

Muro

F

N (D) (C)

Largada O

(B) P

Cada equipe recebe da comissão organizadora do evento o seguinte material: • um aparelho emissor de laser fixo em um tripé no ponto de largada (O); • um pequeno espelho plano; • material para fixação do espelho no muro.

144

M

(A) O

P

Pelo esquema, nota-se que a trajetória adotada pela equipe C torna-se uma reta e que, portanto, é o caminho mais curto entre O e F.


1 Durante a Segunda Guerra Púnica (218 a.C.-201 a.C.), H3

3 Alguns automóveis saem de fábrica equipados com espe-

Com base no esquema, assinale a afirmativa correta.

H3 lhos retrovisores externos contendo uma tarja na qual se H17 lê a seguinte inscrição: “Atenção: a imagem deste espelho H18 faz com que os objetos aparentem estar mais distantes do que na realidade estão”. Pode-se concluir que:

c) O ponto B é um ponto objeto virtual para o espelho E2.

a) tais espelhos são planos e a inscrição é apenas para chamar a atenção de condutores imprudentes.

e) O ponto B é um ponto imagem real para o espelho E2.

a) O ponto A é um ponto objeto virtual para o espelho E1. b) O ponto A é um ponto objeto real para o espelho E1. d) O ponto B é um ponto objeto real para o espelho E2.

b) tais espelhos são côncavos e a inscrição se justifica pela diminuição do campo visual desses espelhos.

Para analisar um ponto em relação a determinado

c) tais espelhos são convexos e a inscrição se justifica pela diminuição do campo visual desses espelhos.

elemento óptico, é necessário desprezar os outros elementos e identificar como aquele ponto existiria

d) tais espelhos são convexos e a inscrição se justifica pelo fato de a imagem ser sempre menor que o objeto.

sem os outros elementos. Assim, o ponto A

e) tais espelhos são convexos e a inscrição se justifica pelo fato de, nesses espelhos, a imagem ser sempre formada a uma distância do espelho maior que a do objeto.

e ponto imagem virtual em relação ao espelho E2, enquanto o ponto B seria ponto imagem real para o

As características das imagens formadas por espelhos são:

espelho E2 e ponto objeto real para a lente ocular.


• espelho plano forma imagens simétricas ou de mesmo tamanho que os objetos; • em espelhos côncavos, as dimensões das imagens dependem da distância do objeto ao espelho, sendo possível obter imagens maiores, menores ou iguais às do objeto, podendo ainda serem imagens invertidas ou não, o que inviabiliza a utilização desse tipo de espelho em retrovisores; • espelhos convexos formam imagens direitas e

5 Um jovem fotógrafo, que iniciou sua carreira com câmeH18

ras digitais e softwares de manipulação de imagens, resolveu utilizar técnicas antigas para multiplicar imagens utilizando poucos objetos. Para isso, usou dois grandes espelhos planos e três estatuetas com as quais montou a cena; na foto final, havia doze estatuetas. Como ele pôde obter a imagem de doze estatuetas tirando apenas uma foto?

menores que os objetos e têm a vantagem de aumentar

a) Ele posicionou os espelhos em um ângulo de 36º entre si e as três estatuetas entre os espelhos.

o campo visual do espelho.

b) Ele posicionou os espelhos em um ângulo de 90º entre si e duas estatuetas entre os espelhos. c) Ele posicionou os espelhos em um ângulo de 60º entre si e as três estatuetas entre os espelhos.

Logo, a alternativa correta é a letra d.

d) Ele posicionou os espelhos em um ângulo de 90º entre si e as três estatuetas entre os espelhos.

4 A figura abaixo esquematiza um telescópio do tipo H17 H18

newtoniano. Tal dispositivo recebe esse nome devido a seu inventor, Isaac Newton (1643-1727), e foi revolucionário à época, pois utilizava espelhos em vez de lentes. Nesse dispositivo se obtinham aumentos muito superiores aos das lunetas astronômicas sem a necessidade de um tubo muito longo.

e) Ele posicionou os espelhos em um ângulo de 45º entre si e as três estatuetas entre os espelhos. O número de imagens de um objeto estabelecidas em 360° uma associação de espelhos é dada por N = –1. α Então, como o fotógrafo quer ter doze imagens e tem três objetos, cada objeto terá de gerar mais três imagens:

E1

obj1 + 3 imag (obj1) + obj2 + 3 imag (obj2) + obj3 + A E2 B

+ 3 imag (obj3) = 3 ∙ 4 = 12 imagens Para que cada objeto gere três imagens, o ângulo formado entre os espelhos deve ser: 360° 360° –1⇒4= ⇒ α = 90° 3= α α

145


seria ponto imagem real em relação ao espelho E1

Editoras executivas: Ana Luiza Couto, Ana Paula Castellani Edição de texto: Ana Paula Figueiredo (LIT), Andreia Sczypula (QUI), Carlos Roberto Junqueira Yamazaki (HIS), Claudemir de Andrade (GRA, HIS), Inês Mendonça (GEO), Letícia Reys Scarp (BIO, QUI), Ligia Cosmo Cantarelli (HIS), Luci Kiyomi Kasai (FIS, MAT), Marco Antônio Costa Fioravante (FIS), Reginaldo Dias (MAT) Revisão: Marise Leal Simões (coord.), André Annes Araujo, Carolina Pereira Vicente, Denis Cesar da Silva, Helaine Naira Albuquerque Barboza, Juliana Biscardi, Renata Tavares, Silvia Carvalho de Almeida, Valéria Borsanelli Foto de capa: Jarno Gonzalez Zarraonandia/Shutterstock Produção gráfica: Aderson Oliveira (coord.) Edição de arte e diagramação: Benedito Minotti, Edilson Pauliuk, Edson Ikê, Leandro Hiroshi Kanno, Marina C. Nievas, Raquel Bortoletto, Tyago Bonifácio Iconografia: Pamela de Almeida Rosa (coord.), Ligia Cortez Ilustrações: Paulo Manzi, Selma Caparros Cartografia: Lucinei Normandia, Selma Caparros, Tarcisio Garbellini Bureau: Américo Jesus (coord.) Tratamento de imagens: Arleth Rodrigues, Athelier Digital, Fabio N. Precendo, Luiz C. Costa, Pix Art, Rodrigo Fragoso, Rubens M. Rodrigues

Todos os direitos reservados. SANTILLANA Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (11) 2602-5510 Fax (11) 2790-1501 www.uno-internacional.com 0800 55 16 11 2013

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