Ejercicios Resueltos Fuerza Magnética Y Torque.pdf 1j1z2o

FUERZA MAGNETICA Y TORQUE

1. Un cañón de electrones de 15 keV dispara estas partículas horizontalmente hacia una pantalla que se encuentra a una distancia de 35 cm. ¿Cuál es la desviación provocada por la componente vertical del campo magnético terrestre (4.1x10-5 T)?. Suponiendo que cualquier cambio de la componente horizontal de la velocidad es despreciable. 

Suponiendo que cualquier cambio de la componente horizontal de la velocidad



La desviación por acción del campo B será:

d  vt

y

1 2 at  2

y

1  d2  a  2  v2 

Fmag  qvB sen902  qvB 1 F y   mag 2 m 

  d 2  1 qBd 2  2     v  2 mv

Calculemos la rapidez del electrón:

K elec 

mv 2 2

 v

2 K elec m

2 K elec 2(15 x103 )(1.6 x1019 )   7.25 x107 m s 31 m 9.1x10

v

1  F  d 2  1 qBd 2 y   mag  2   2  m   v  2 mv

y

(1.6 x1019 C )(4 x105 T )(0.35 m) 2  5.93 mm 2(9.1x1031 kg )(7.26 x107 m s

2. Se aceleran iones de deuterio a través de una diferencia de potencial de 45kV. Los iones entran a un selector de velocidades en el que la intensidad del campo eléctrico E es de 25k V m (en el selector de velocidades los campos eléctrico y magnético son respectivamente perpendiculares). Luego continúan hacia un campo magnético uniforme que tiene la misma intensidad que el campo B en el selector de velocidad. Determine: a) El radio de la órbita de los deuterones b) La rapidez de las partículas que ingresan al campo B c) La intensidad del campo magnético. 

Determinemos el radio de la órbita de la partícula:

 Las partículas antes de ingresar al selector de velocidades son primeramente aceleradas por la diferencia de potencial de 25 kV/m, la que no se muestra en la figura.

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Todas las partículas cargadas que cruzan el selector de velocidades sin desviarse cumplen la condición de equilibrio: Fmagnética  Feléctrica  qvB  qE y una vez que abandonan el selector e ingresan a la región en la que existe únicamente el campo magnético uniforme (ingresa de manera perpendicular), la partícula se desvía por acción de la fuerza magnética (centrípeta), que sería:

v2  qvB  m r

Fmag  Fcentrípeta

r

mv E , todas las partículas que cruzan el selector tienen velocidad v  B qB

Podemos expresar el radio como r 

mv 2 , al ser acelerados a través de una diferencia de qE

potencial V, y suponiendo que se aceleran desde el reposo, expresamos la energía cinética en función de la diferencia de potencial.

V

K q

 K  qV 

1 2 mv  mv 2  2qV 2

mv 2 2V 2(45 x103V )  36 m = r  qE E 2.5 x103 V m 

Determinemos la velocidad de la partícula.

K  qV 

v 

1 2 mv  mv 2  2qV 2

2qV 2(1.6 x1019 )(45 x103 J C )   2.08 m s m 1.67 x1027 kg

Determinemos ahora la intensidad del campo magnético.

E 2.5 x103 N C B   1.2 mT v 2.08 x106 m s

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3. Un lazo triangular con hipotenusa a y ángulos 30˚ - 60˚ - 90˚ se encuentra en el plano xy. Una corriente constante I circula en “sentido” horario. El lazo se encuentra en un campo magnético uniforme B que apunta en dirección +x. (a) Calcule la fuerza sobre cada uno de los tres lados del lazo (AB, BC, y CA), y luego realice la suma para encontrar la fuerza neta sobre el lazo. Recuerde que usted va a sumar vectores, por tanto exprese cada fuerza in términos de sus componentes. De acuerdo a dF  idlxB, la fuerza es perpendicular tanto a dl como a B lo que significa que estará en la dirección (o contraria) al eje z por cada segmento de corriente. Por la regla de la mano derecha la fuerza sobre el segmento AB va a apuntar perpendicular al plano en la dirección –z; mientras que la fuerza sobre el segmento AC va a apuntar perpendicular al plano en la dirección +z. 

Como B es perpendicular a l AB tenemos que:

FAB  (0.04 T )(5 A)(0.03 m cos 30o FAB  0.0052 N zˆ 

Como el segmento BC es paralelo a B su fuerza vale cero, debido al producto cruz.

FBC  0 

El segmento CA se encuentra a un ángulo de 60º con B por lo tanto:

FCA  BilCA sen60o  Bia sen60o FCA  0.0052 N zˆ Claramente se puede observar que la fuerza neta es cero, esto siempre será válido para un lazo con corriente en un campo B uniforme. (b) Inspeccione las direcciones de las fuerzas que se encontraron sobre cada uno de los lados. Estas fuerzas claramente tratan de “voltear” el lazo…¿en qué dirección apunta el torque resultante? El lado izquierdo está siendo empujado al interior del plano mientras que la hipotenusa está siendo jalada hacia afuera del plano  Por la regla de la mano derecha, el torque apunta en dirección -yˆ. Lo puede comprobar utilizando la expresión del torque sobre una espira;    xB, donde el momento magnético de la espira apunta en dirección  zˆ. (c) ¿Cuál es la magnitud del momento magnético  de la espira? Debido a que  es un vector, recuerde especificar su dirección.   i  área. El área del lazo es  1 2(base)(altura) . Llamemos a la altura l AB  a cos 60o o y a la base lBC  a sen60  a 3 2

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1  a   a 3  ia 2 3 (5 A)(0.03m) 2 3   9.74 x104 Am2  2  2   2  8 8

Tenemos   i    

Por la regla de la mano derecha su dirección es en  zˆ. por lo tanto

  0.000974 Am2 zˆ (d) ¿Cuál es el torque  sobre el lazo? Debido a que  es un vector, recuerde especificar su dirección. Es la misma que se encontró en la parte (b)? ¡Analizar el torque sobre el lazo utilizando el momento magnético es mucho más fácil que trabajar con las fuerzas directamente!

(e) ¿En qué dirección orientaría usted el campo B de tal forma que no se produzca torque sobre la espira? Debido a que:

   xB, deseamos que  ||  B para lograr   0  B ||  zˆ (f) ¿Cuál es la energía potencial U del lazo? ¿Es U el valor máximo o mínimo posible? O ¿su valor se encuentra entre ellos?

U   B    | B | |  | ( zˆ xˆ )  0 U max   | B ||  |

y U min   | B ||  |

Por lo tanto U se encuentra entre estos dos valores. Ahora imagine que el lado AB del lazo se fija a un pívot, y el lazo se ubica a un ángulo  = 35˚ con respecto al plano xy.

(g) ¿Cambia la nueva posición del lazo el momento magnético de la espira? De ser así, especifique el nuevo vector µ. La magnitud de  NO cambia, pero tiene componentes diferentes. Del diagrama:

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   (cos 55o xˆ  sen35o zˆ)   0.000974(cos 55o xˆ  sen35o zˆ)   0.000559 xˆ  0.000798 zˆ)

(h) ¿Cuál es el torque  sobre el lazo en esta orientación?

   xB   B sen55o y apunta hacia afuera de la página o en dirección  yˆ

  (0.000974)(0.04) sen55o yˆ  3.19 x105 N . m yˆ

(i)

¿Cuál es la energía potencial U del lazo en esta orientación?

U   B    B  cos 550  2.235 x105 J

(j) ¿Qué ángulo de inclinación  produciría un torque cero sobre el lazo? Es importante notar que hay dos ángulos de equilibrio. El uno produce equilibrio estable, y el otro equilibrio inestable. ¿Cuál es cuál?

Generalizando la parte (h):

   xB   B sen(90o   )   B cos  Estamos interesados por los ceros del cos , los que están a ± 90o Para analizar la estabilidad necesitamos graficar U ( )

U    B    B cos (90o   ) ó U    B sen  Como muestra el gráfico, el mínimo (equilibrio estable) ocurre a   90o

(k) Finalmente, suponga que el lazo triangular tiene N vueltas de alambre, en lugar de una. ¿Cómo afectaría este cambio a las cantidades µ, , y U? ¡Multiplique por N cada una!

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4. En la figura el cubo mide 40 cm en cada lado. Cuatro segmentos de alambre ab, bc, cd y da forman un lazo cerrado que conduce una corriente I = 5.0 A en la dirección mostrada. Un campo magnético B = 0.020 T está en la dirección + y . Determine la magnitud y la dirección de la fuerza magnética sobre cada segmento, Desarrollo: 

Fuerza sobre el tramo da

Fda  ILB sen90o = (5)(0.56)(0.02) N (iˆ  kˆ) Fda  0.056 N 2 

Fuerza sobre el tramo bc

Fbc  ILB sen90o = (5)(0.4)(0.02) N Fbc  0.04 ( iˆ) 

Fuerza sobre el tramo ab

Fab  ILB sen180o = 0 

Fuerza sobre el tramo cd

Fcd  ILB sen90o = (5)(0.56)(0.02) N F  0.0456(kˆ) cd

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