Conceptos Básicos De Cálculo Integral 335r1p

Conceptos básicos de Cálculo Integral ¿Cuál es el concepto de Cálculo?

La palabra cálculo proviene del latín “calculus” y significa piedrita, aludiendo a las bolitas que en los ábacos se utilizan para realizar sumas o restas. Fueron muy conocidos los ábacos que se emplearon en la Antigua Roma. En la antigüedad se usaba el cálculo con piedritas para contar los animales que entraban y salían a pastar, colocando o sacando la piedrita correspondiente. Los sumerios usaron piedras (calculi) para contar sus producciones agrícolas. Los romanos usaron el cálculo para medir la extensión de sus caminos. Mil pasos era una milla, y para medirla usaban una máquina que hacía girar una bandeja que contenía piedras, que caían una a una por un orificio cuya apertura se producía al transcurrir el tiempo que demoraban en realizarse esos mil pasos. Si bien su uso es predominante en el campo matemático y contable, pues el cálculo implica operaciones matemáticas que permiten realizar cuentas, a partir de ciertos datos que conocemos, y a través de un proceso de razonamiento Lee todo en: Concepto de cálculo Definición en DeConceptos.com http://deconceptos.com/matematica/calculo#ixzz2JDgwjeBr La palabra cálculo proviene del término latino calculus (“piedra”) y se refiere a la cuenta, la enumeración o la pesquisa que se lleva a cabo mediante un ejercicio matemático. El concepto también se utiliza como sinónimo de conjetura. El uso más extendido del término se encuentra en el ámbito de la lógica o de la matemática, donde el cálculo consiste en un algoritmo (un

conjunto de instrucciones preestablecidas) que permite anticipar el resultado que procederá de ciertos datos que se conocen con anticipación. El origen etimológico de la palabra tiene que ver con las rocas que se empleaban en la antigüedad para realizar este tipo de cálculos. Entre los distintos tipos de cálculos, podemos mencionar al cálculo algebraico (que emplea números y letras que aparecen en reemplazo de las cantidades) y al cálculo aritmético (que sólo utiliza números y ciertos signos que actúan por convención). Lee todo en: Definición de cálculo - Qué es, Significado y Concepto http://definicion.de/calculo/#ixzz2JDfoxkLP

¿Cuál es el concepto de Integral?

Integral es un adjetivo que permite señalar a lo que es total o global. El término procede del latín integrālis. En la matemática, integral es el signo que indica la integración y el resultado de integrar una expresión diferencial. Se conoce como cálculo integral a la rama de las matemáticas que busca obtener una función a partir de su derivada. Lee todo en: Definición de integral - Qué es, Significado y Concepto http://definicion.de/integral/#ixzz2JDn053t5 En términos generales, el término integral se utilizará cuando se quiera dar una idea de totalidad o globalidad alrededor de una determinada cuestión. Por ejemplo, en un contexto académico, cuando una determinada carrera a través de la estructuración que presenta y las materias que enseña, le ofrece al alumno una formación total y global al respecto del objeto de su estudio, se suele hablar de ella como que le ofrece a los que planean estudiarla, una enseñanza integral. Pero también, integral, resulta ser un concepto fundamental dentro de las matemáticas avanzadas, especialmente en lo que respecta a análisis y cálculo matemático, ya que de esa manera se designa a la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. La integral es la operación inversa respecto de la derivada, tal como la multiplicación lo es de la división. Básicamente, la integral calcula el área debajo de una curva. Desde Definicion ABC: http://www.definicionabc.com/general/integral.php#ixzz2JDnj3DUY Definición del cálculo integral

De lo anterior, se deduce que el cálculo integral es el conjunto de operaciones matemáticas que se utilizan para realizar la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños, que tiene por objetivo calcular el área debajo de una curva. ¿Para qué sirve el Cálculo?

El Cálculo Integral tiene muchas aplicaciones en varias áreas del conocimiento. Las usan frecuentemente los ingenieros, los físicos, los matemáticos obviamente, los estadísticos, también tiene aplicaciones en la economía, la istración… Pero para adelantarte un poco te voy a ilustrar una aplicación: Si recuerdas un poco tu física, la ley de Torricelli decía que la razón de cambio del volumen V de agua en un tanque que se vacía es proporcional a la raíz cuadrada de la profundidad h del agua, es decir:

dV/dt = - kh

Y eso para qué sirve? Con esta última ecuación, al resolver las integrales, puedes calcular el tiempo de vaciado del tanque. Una aplicación de las integrales es la resolución de problemas como el siguiente: Por el centro de una esfera sólida de radio r = .6 metros, se perfora un orificio de .3 m de radio. Encuentre el volumen del sólido restante.

¿Para qué se utilizan las integrales?

1. INTRODUCCIÓN Las primeras preguntas que debe hacerse un estudiante cuando empieza a batallar con integrales son las siguientes: – ¿Para qué sirven las integrales? – ¿Por qué debo aprender a integrar? – ¿Qué puedo calcular con las integrales? Es decir, cuestionarse su uso y el porqué de su insistencia durante los años de estudio.

2. UN POCO DE HISTORIA El primer uso de las integrales data del Antiguo Egipto (1800 a.C.) para el cálculo de volúmenes. Este concepto fundamental de las matemáticas fue perfilado y perfeccionado desde entonces por numerosos científicos entre los que destacaron Arquímedes, Fermat y Barrow. Sin embargo, los principales adelantos en integración llegaron a mediados del siglo XVII (1665) gracias a la elaboración del “Teorema fundamental del cálculo” de mano de dos brillantes matemáticos: Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Este hallazgo no fue cooperativo, sino individual, hecho que generó vigorosas disputas por la autoría del mismo. Finalmente Cauchy, Riemann y Lebesgue formalizaron el sistema actual de cálculo de integrales empleando el uso de límites.

3. ¿PARA QUÉ SE UTILIZAN LAS INTEGRALES? Básicamente las integrales se usan cotidianamente en el cálculo de áreas, longitudes de curvas y volúmenes de cuerpos de revolución. 

Cálculo de áreas

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Cálculo de longitudes de curvas

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Cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución

4. EJEMPLO PRÁCTICO DEL USO DE INTEGRALES 4.1. Cálculo de áreas por geometría básica Un coche se mueve variando su velocidad a lo largo del tiempo siguiendo la trayectoria de la figura:

Figura 1. Velocidad de un móvil respecto al tiempo

La integral es el cálculo del área que existe entre la función (la línea naranja) y el eje de abscisas (el eje X) entre dos intervalos cualesquiera (en este caso, de tiempo), siendo el área que queda por encima (del eje X) positiva y por debajo negativa. Para no profundizar en la integración y facilitar la asimilación del concepto, vamos a tomar un intervalo cuya área podamos calcular por geometría básica, por ejemplo el intervalo de tiempo (0 , 5) segundos:

Figura 2. Integración de un intervalo

Como se puede comprobar, se forma un rectángulo entre esos intervalos. Si calculamos el área de ese rectángulo, estamos hallando la integral de la función naranja entre el intervalo (0 , 5) segundos, ¡Estamos calculando integrales de forma muy sencilla! Continuemos… ¿Cuál es el área de un rectángulo? El área de un rectángulo, como habéis podido comprobar en el enlace, es base por altura. En la gráfica se puede observar que la base es 5 y la altura (8), por tanto, aplicando la fórmula A = B · h = 5 · (-8) = -40

Estoy seguro que todavía os queda una pregunta. Habéis aprendido que el área entre una función y el eje de abscisas se puede calcular realizando la integral entre dos intervalos, pero… ¿Y para qué sirve el cálculo del área en este ejemplo? En nuestro caso, la integral de la velocidad respecto al tiempo nos da el espacio recorrido en un intervalo determinado. Esto no tenéis por qué saberlo, ya que forma parte del campo de la física, pero gracias a la integral, hemos deducido que el coche se ha movido 40 metros hacia atrás de su punto de origen en los primeros 5 segundos.

4.2. Cálculo de áreas por suma de rectángulos infinitos ¿Cómo calcularíais el área de la siguiente gráfica?

Figura 3. Cálculo de una área irregular

Si intentáis buscar alguna forma geométrica cuyo cálculo del área conozcáis y se adapte perfectamente a la función, estáis perdiendo el tiempo. Necesitáis otra alternativa, aunque no sea exacta, por ejemplo formar rectángulos (cuya área conocemos) de diferentes tamaños que se adapten lo máximo posible a la gráfica:

Figura 4. Cálculo de un área irregular

De esta manera, podríamos hacer un cálculo aproximado del área, pero no sería exacto. Para un ejercicio de matemáticas no está mal, pero si de la exactitud de tus cálculos dependen los cimientos de un edificio o la resistencia de un puente, mejor no dejar mucho margen de error ¿Cómo conseguimos un cálculo más exacto? Si observáis la figura, cuantos más rectángulos utilicemos, más se aproximará el área de todos estos rectángulos al área de la gráfica. Si tomamos infinitos rectángulos, estaremos hallando la integral de esa función y por tanto su área.