Informe Criterio Nyquist 85v2k

UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL Facultad de Ingeniería y Ciencias Departamento de Ingeniería Química

NORTE Geológicas

Criterio de estabilidad de sistema de control de Nyquist Control Automático de Procesos

Integrantes:

Profesor: Fecha:

Isabel Bastidas Arancibia Javiera Espinoza Recabarren Luz Moore Pastén Mauricio Villagrán Concha Claudio Leiva Hurtubia 28 de Diciembre de 2017

Resumen El siguiente trabajo de investigación teórica tiene como objetivo definir y ejemplificar el criterio de estabilidad de Nyquist, este criterio está basado en la respuesta de frecuencias y aplicado en los sistemas de control con retroalimentación en distintos sistemas de control automático ya sea de sistemas continuos y sistemas discretos. Se presente una breve reseña histórica de la génesis del criterio y de quienes crearon, desarrollaron e impulsaron este criterio. Se define teóricamente el criterio de estabilidad partiendo por su planteamiento matemático basado en la teoría de la variable compleja donde se aplica de forma analítica y de forma gráfica para poder llevar a cabo el análisis de estabilidad de Nyquist. Para aclarar la teoría se describen de forma detallada dos ejemplos de aplicación del criterio uno para un caso de típico de una variable compleja y otro caso de aplicación Multivariable con sistema de matrices.

Contenido Resumen.............................................................................................................................................. 2 Principios Teóricos .............................................................................................................................. 6 Criterio de Estabilidad de Nyquist ................................................................................................... 6 Aplicación del teorema de la transformación al análisis de la estabilidad de los sistemas en lazo cerrado. ......................................................................................................................................... 10 Observaciones sobre el criterio de estabilidad de Nyquist ........................................................... 11 Caso especial cuando G(s)H(s) tiene polos y/o ceros sobre el eje jω. .......................................... 12 Análisis de estabilidad ................................................................................................................... 13 Ejemplos de Aplicación de Criterio de Estabilidad de Nyquist.......................................................... 15 Ejemplo 1....................................................................................................................................... 15 Ejemplo 2, Criterio de Nyquist en sistema Multivariable ............................................................. 18

Índice de Figuras Figura 1, sistema en lazo cerrado ............................................................................................ 6 Figura 2. Transformación conforme de las retículas en el plano s dentro del plano F(s), donde 𝐹𝑠 = 𝑠 + 1𝑠 − 1 .......................................................................................................... 7 Figura 3. Contorno cerrado en el plano s y sus curvas cerradas correspondientes en el plano F(s), donde 𝐹𝑠 = 𝑠 + 1𝑠 − 1 .................................................................................................. 9 Figura 4. Contorno cerrado en el plano s. ............................................................................. 11 Figura 5. Región encerrada por diagrama Nyquist................................................................ 11 Figura 6. Contorno en el plano s y lugar geométrico G(s)H(s) en el plano GH, donde 𝐺𝑠𝐻𝑠 = 𝐾𝑠(𝑇𝑠 + 1) ........................................................................................................................... 13 Figura 7. Camino de Nyquist para sistemas discretos ........................................................... 14 Figura 8. Camino de Nyquist elegido (ejemplo2) .................................................................. 19 Figura 9. Imagen resultada grafica polar de recorrer el camino nyquist .............................. 20

Introducción El primer trabajo significativo en control automático fue el regulador de velocidad centrifuga de James Watt para el control de la velocidad de una máquina de vapor, en el siglo XVIII. Minorsky, Hazen y Nyquist entre muchos otros, aportaron trabajos importantes en las etapas iniciales del desarrollo de la teoría de control. En 1922, Minorsky trabajo en controladores automáticos para guiar embarcaciones y mostro que la estabilidad se podía determinar a partir de las ecuaciones diferenciales que describen el sistema. En 1932, Nyquist diseño un procedimiento relativamente simple para determinar la estabilidad en sistema en lazo cerrado a partir de respuesta en lazo abierto a entradas sinusoidales en estado estacionario. Estos métodos de respuesta en frecuencia son los más potentes en la teoría de control convencional. El criterio de estabilidad de Nyquist fue desarrollado por el ingeniero Sueco-Estadounidense Harry Nyquist. El determino gráficamente la estabilidad de un lazo cerrado a través de la respuesta de frecuencia de un lazo abierto, es aquí su conveniencia ya que muchas veces no se tiene las repuestas de un diseño de lazo cerrado. Esta respuesta puede ser obtenida de forma experimental o analítica. Otra ventaja de este criterio es que permite diseñar un sistema en el que se eliminen los efectos no deseados del ruido. Este criterio el cual se estudiará en este informe.

Principios Teóricos Criterio de Estabilidad de Nyquist El criterio de estabilidad de Nyquist permite averiguar la estabilidad relativa y absoluta de los sistemas lineales en lazo cerrado a partir del conocimiento de sus características de frecuencia en lazo abierto como se mencionaba anteriormente. Una ventaja del método de la respuesta en frecuencia es que las pruebas de la respuesta en frecuencia son, en general, sencillas y pueden ser muy precisas con el uso de generadores de señales sinusoidales y un equipo de medición preciso. A menudo las funciones de transferencia de los componentes complicados se determinan experimentalmente mediante pruebas de la respuesta en frecuencia. Además, este método tiene la ventaja de que permite diseñar un sistema en el que se eliminen los efectos no deseados del ruido, así como extender este análisis. Considérese el sistema en lazo cerrado de la Figura 1, la función de transferencia en lazo cerrado es:

𝐶(𝑠) 𝐺(𝑠) = 𝑅(𝑠) 1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)

(1)

Figura 1, sistema en lazo cerrado La operación básica al aplicar el criterio de Nyquist es un Mapeo del plano S al plano F(s). Para la estabilidad, todas las raíces de la ecuación característica

1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = 0

(2)

deben estar en el semiplano izquierdo del plano s. Se debe señalar que, aunque los polos y ceros de la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) pueden estar en el semiplano derecho del plano s, el sistema sólo es estable si todos los polos de la función de transferencia en lazo cerrado, es decir, las raíces de la ecuación característica están en el semiplano izquierdo del plano s. El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta en frecuencia en lazo abierto G(jω)H(jω) con el número de ceros y polos de 1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) que se encuentran en el semiplano derecho del plano s.

El criterio de estabilidad de Nyquist se basa en un teorema de la teoría de la variable compleja. Para comprenderlo, se analiza primero el comportamiento de los contornos en el plano complejo. Se supone que la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) se representa como un cociente de polinomios en s. Para un sistema que puede materializarse físicamente, el grado del polinomio del denominador de la función de transferencia en lazo cerrado debe ser mayor o igual que el del polinomio del denominador. Esto significa que el límite de G(s)H(s), cuando s tiende a infinito, es cero o una constante para cualquier sistema que pueda materializarse físicamente. Considere la siguiente función de transferencia en lazo abierto:

𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =

2 𝑠−1

La ecuación característica es:

𝐹(𝑠) = 1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) 2

𝑠+1

𝐹(𝑠) = 1 + 𝑠−1 = 𝑠−1=0

(éc.1)

Figura 2. Transformación conforme de las retículas en el plano s dentro del plano F(s), donde 𝐹(𝑠) = 𝑠+1 𝑠−1

La función F(s) es analítica en todas las partes del plano s, excepto en sus puntos singulares. A cada punto de análisis en el plano s le corresponde un punto en el plano F(s); por ejemplo, si s=2+j1, entonces F(s) se convierte en: 2 + 𝑗1 + 1 𝐹(2 + 𝑗1) = = 2 − 𝑗1 2 + 𝑗1 − 1 Así, el punto s=2+j1 en el plano s se transforma en el punto 2-j1 en el plano F(s). De esta forma, como se planteó anteriormente, para una determinada trayectoria cerrada continua en el plano s, que no pase por ningún punto singular, hay una curva cerrada en el plano F(s).

Para la ecuación característica F(s) de la Ecuación 1, la transformación conforme de las líneas ω=0, ±1, ±2 y las líneas 𝜎=0, ±1, ±2 viendo la figura 2 se convierten en círculos en el plano F(s), tal y como se muestra en la Figura 2. Supóngase que el punto representativo s sigue un contorno en el plano s en el sentido de las agujas del reloj. 

Caso (a): Si el contorno en el plano s encierra el polo de F(s), el lugar geométrico de F(s) rodea una vez el origen del plano F(s) en sentido contrario al de las agujas del reloj Figura 3.



Caso (b): Si el contorno en el plano s encierra el cero de F(s), el lugar geométrico de F(s) rodea una vez el origen del plano F(s) en el sentido de las agujas del reloj Figura 3.



Caso (c): Si el contorno en el plano s encierra al cero y al polo o si no encierra ni al cero ni al polo, el lugar geométrico de F(s) no rodea el origen del plano F(s) Figura 3.

Figura 3. Contorno cerrado en el plano s y sus curvas cerradas correspondientes en el plano F(s), 𝑠+1

donde 𝐹(𝑠) = 𝑠−1

A partir del análisis anterior, se observa que la dirección del rodeo en el origen del plano F(s) depende de si el contorno en el plano s encierra un polo o un cero. Obsérvese que la localización de un polo o un cero en el plano s, ya sea en su semiplano derecho o en el semiplano izquierdo, no produce ninguna diferencia, pero el que se encierre un polo o un cero sí la genera. Si el contorno en el plano s encierra igual número de polos que de ceros, la curva cerrada correspondiente en el plano F(s) no rodeará el origen del plano F(s). El análisis anterior es una explicación gráfica del teorema de la transformación, que es la base del criterio de estabilidad de Nyquist.

Aplicación del teorema de la transformación al análisis de la estabilidad de los sistemas en lazo cerrado. Para analizar la estabilidad de los sistemas de control lineales, se supone que el contorno cerrado en el plano s encierra todo el semiplano derecho de este. El contorno está formado por el eje jω completo desde ω=-∞ ω=+∞, y una trayectoria semicircular de radio infinito en el semiplano derecho del plano s. Dicho contorno se conoce como trayectoria de Nyquist. (La trayectoria se forma en el sentido de las agujas del reloj.) La trayectoria de Nyquist encierra el semiplano derecho del plano s así como todos los ceros y polos de 1+G(s)H(s) que tienen partes reales positivas. Si no hay ceros de 1+ G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s, no hay polos en lazo cerrado, y el sistema es estable. Es necesario que el contorno cerrado, o la trayectoria de Nyquist, no pase por ningún cero ni polo de 1+G(s)H(s). Si G(s)H(s) tiene uno o más polos en el origen del plano s, la transformación del punto s=0 se vuelve indeterminada. En estos casos, se evita pasar por el origen mediante una desviación. Si el teorema de la transformación se aplica al caso especial en el que F(s) es igual a 1+G(s) H(s), se puede plantear el siguiente enunciado: si el contorno cerrado en el plano s encierra el semiplano derecho del plano s, como se muestra en la Figura 4, el número de ceros en el semiplano derecho del plano de la función F(s)= 1+G(s) H(s) es igual al número de polos de la función F(s)= 1+G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s, más el número de rodeos del origen del plano 1+G(s)H(s) en el sentido de las agujas del reloj por la curva cerrada correspondiente en este último plano. Debido a la condición supuesta de que la función de 1+G(s) H(s) permanece constante conforme s recorre el semicírculo de radio infinito. Por esta razón, se determina si el lugar geométrico de 1+G(s)H(s) rodea el origen del plano s G(s)H(s) considerando sólo una parte del contorno cerrado en el plano s, es decir, el eje jω.

lim (1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)) = 𝑐𝑡𝑒

𝑠→∞

Figura 4. Contorno cerrado en el plano s.

Observaciones sobre el criterio de estabilidad de Nyquist 1.- Este criterio se expresa como: Z=N + P   

Z =número de ceros de 1 +G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s. N=número de rodeos en el sentido de las agujas del reloj del punto -1 + j0. P=número de polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s.

Si P no es cero, para un sistema de control estable, se debe tener que Z=0 o N=-P, lo cual significa que se deben tener P rodeos del punto -1 +j0 en el sentido de las agujas del reloj. Si G(s)H(s) no tiene polos en el semiplano derecho del plano s, entonces Z = N. Por tanto, para la estabilidad no se debe rodear el punto -1+j0 mediante el lugar geométrico G(jω)H(jω). En este caso, no es necesario considerar el lugar geométrico para el eje jω completo, sino sólo para la parte de frecuencia positiva. La estabilidad de este sistema se determina observando si el punto -1+j0 se rodea mediante el diagrama de Nyquist de G(ju)H(ju). La región encerrada mediante el diagrama de Nyquist aparece en la Figura 5. Para la estabilidad, el punto -1+j0 debe encontrarse fuera de la región sombreada.

Figura 5. Región encerrada por diagrama Nyquist.

2.- Debe tenerse cuidado en el momento de probar la estabilidad de sistemas múltiples lazos, debido a que pueden incluir polos en el semiplano derecho del plano s. Aunque un lazo interno puede ser inestable, el sistema en lazo cerrado completo se estabiliza mediante un diseño adecuado. Una simple revisión de los rodeos del punto -1+j0 mediante el lugar geométrico G(jω)H(jω) no es suficiente para detectar la inestabilidad en los sistemas de múltiples lazos. Sin embargo, en tales casos, si un polo de 1+G(s)H(s) está en el semiplano derecho del plano s, se determina con facilidad aplicando el criterio de estabilidad de Routh al denominador de G(s)H(s). Si se incluyen en G(s)H(s) funciones trascendentes, tales como el retardo de transporte 𝑒 𝑡𝑠 , deben aproximarse mediante una expansión en serie antes de aplicar el criterio de estabilidad de Routh. 3.- Si el lugar geométrico de G(jω)H(jω) pasa por el punto -1+j0, entonces los ceros de la ecuación característica, o los polos en lazo cerrado, se localizan sobre el eje jω. Esto no es conveniente para sistemas de control prácticos. Para un sistema en lazo cerrado bien diseñado, ninguna de las raíces de la ecuación característica debe encontrarse sobre el eje jω de la figura 5.

Caso especial cuando G(s)H(s) tiene polos y/o ceros sobre el eje jω. Ahora se considera el caso en el que G(s)H(s) contiene polos y/o ceros sobre el eje jω. Debido a que el diagrama de Nyquist no debe pasar por polos o ceros de G(s)H(s), si la función G(s)H(s) tiene polos o ceros en el origen (o sobre el eje jω para puntos diferentes del origen), debe modificarse el contorno en el plano s. La forma usual de modificar el contorno cerca del origen es mediante un semicírculo de radio infinitesimal e, como se aprecia en la Figura 6. Este semicírculo puede encontrarse en el semiplano derecho o en el semiplano izquierdo del plano s. Aquí se considera el semicírculo del semiplano derecho del plano s. Un punto representativo se mueve a lo largo del eje jω negativo desde –j∞ a j∞. Desde s=-j0 a s=+j0, el punto se mueve a lo largo del semicírculo de radio ɛ (donde ɛ<<1), y después se mueve a lo largo del eje jω positivo desde j0+ a j∞. A partir de s= j∞, el contorno sigue un semicírculo con radio infinito y el punto representativo regresa al punto inicial, s=-j∞. El área que evita el contorno cerrado modificado es muy pequeña y tiende a cero conforme el radio ɛ tiende a cero. Por tanto, todos los polos y ceros en el semiplano derecho del plano s, si existen, están rodeados por este contorno. Considérese, por ejemplo, un sistema en lazo cerrado cuya función de transferencia en lazo abierto se obtiene mediante 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =

𝐾 𝑠(𝑇𝑠 + +1)

Los puntos correspondientes a s=j0+ y s=j0- en el lugar geométrico de G(s)H(s) en el plano G(s)H(s) son -j∞ y j∞ , respectivamente. En la trayectoria semicircular con radio ɛ (donde ɛ <<1), la variable compleja s se escribe 𝑠 = 𝜀 ∗ 𝑒 𝑗𝜃 , donde θ varía de -90° a +90°. 𝐾 𝐾 A continuación, G(s)H(s) se convierte en 𝐺(𝜀𝑒 𝑗𝜃 )𝐻(𝜀𝑒 𝑗𝜃 ) = 𝜀𝑒 𝑗𝜃 = 𝜀 𝑒 −𝑗𝜃 .

Figura 6. Contorno en el plano s y lugar geométrico G(s)H(s) en el plano GH, donde 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = 𝐾 𝑠(𝑇𝑠+1)

Análisis de estabilidad En esta sección se presentan varios ejemplos del análisis de estabilidad de los sistemas de control mediante el criterio de estabilidad de Nyquist. Si la trayectoria de Nyquist en el plano s encierra Z ceros y P polos de 1+G(s)H(s) y no pasa por los polos ni los ceros de 1+G(s)H(s) conforme un punto representativo s se mueve en el sentido de las agujas del reloj a lo largo de la trayectoria de Nyquist, el contorno correspondiente en el plano G(s)H(s) rodea en un círculo N=Z-P veces el punto -1+j0 en el sentido de las agujas del reloj. (Los valores negativos de N implican rodeos en sentido contrario al de las agujas del reloj.) Al examinar la estabilidad de los sistemas de control lineales mediante el criterio de estabilidad de Nyquist, se observa que se pueden presentar tres casos: 1. El punto -1+j0 no está rodeado. Esto implica que el sistema es estable si no hay polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s; de lo contrario, el sistema es inestable. 2. El punto -1+j0 queda rodeado una o varias veces en sentido contrario al de las agujas del reloj. En este caso, el sistema es estable si el número de rodeos en sentido contrario de las agujas del reloj es igual al número de polos G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano s; de lo contrario, el sistema es inestable.

3. El punto -1+j0 queda rodeado una o varias veces en el sentido de las agujas del reloj. En este caso el sistema es inestable. En los ejemplos siguientes, se supone que todos los valores de la ganancia K y las constantes de tiempo (tales como T, T1 y T2) son positivos. ESTABILIDAD DE SISTEMAS MULTIVARIABLES El criterio de Nyquist se puede utilizar en sistemas multivariables aplicándolo sobre el determinante de la matriz del bucle de realimentación 𝑃𝑐 (𝑧) 𝑑𝑒𝑡|𝐼 + 𝐵𝐺𝐻(𝑧)𝑅(𝑧)| = 𝑃𝑎 (𝑧) siendo 𝑃𝑎 (𝑧) el polinomio característico en cadena abierta y 𝑃𝑐 (𝑧) el polinomio característico en cadena cerrada. Si:  N, es el número de vueltas alrededor del origen que da la imagen de la traza el plano s a través de la función 𝑑𝑒𝑡|𝐼 + 𝐵𝐺𝐻(𝑧)𝑅(𝑧)|  P es el número de raíces de Pa(z), o polos del sistema en cadena abierta, situado en D (camino o dominio de la traza de Nyquist)  Z es el número de raíces 𝑃𝑐 (𝑧) de o polos del sistema en cadena cerrada, situado en D

Figura 7. Camino de Nyquist para sistemas discretos se cumple: 𝑍 =𝑁+𝑃 Si la matriz |𝐼 + 𝐵𝐺𝐻(𝑧)𝑅(𝑧)| es de diagonal dominante, la utilización del criterio de estabilidad de Nyquist se puede simplificar con el siguiente lema: Lema: Si una matriz de funciones racionales A(z) es de diagonal dominante en cada uno de los puntos de una trayectoria cerrada r, el número de vueltas alrededor del origen que da la imagen de r a través de la función det[A(z)] es igual a la suma de las vueltas que dan, alrededor de dicho punto, las imágenes de r a través de los elementos de su diagonal.

Ejemplos de Aplicación de Criterio de Estabilidad de Nyquist Ejemplo 1 Determinar la estabilidad del sistema en lazo cerrado mediante el criterio de estabilidad de Nyquist. 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =

𝐾 (𝑆 − 1) (𝑆 + 2)(𝑆 + 4)

Solución Polos: 𝑆 = −2, 𝑆 = −4 Ceros: 𝑆 = 1 Ya obtenidos los polos y ceros. Podemos dibujar nuestro lugar geométrico y el contorno de Nyquist

Figura 7. Trayectoria El segundo paso que se realiza es trazar la curva de variación de G(s)H(s) cuando se recorre el camino de Nyquist. Tramo I 𝐺𝐻(𝑗𝜔) = 



𝐾 (𝑗𝜔 − 1) (𝑗𝜔 + 2)(𝑗𝜔 + 4)

Magnitud 𝐾 (𝑗𝜔 − 1) 𝐾√𝑤 2 + 1 |𝐺𝐻(𝑗𝜔)| = | |= (𝑗𝜔 + 2)(𝑗𝜔 + 4) √𝑤 2 + 2√𝑤 2 + 4 Fase 𝐾 (𝑗𝜔 − 1) < 𝐺𝐻(𝑗𝜔) =< [ ] (𝑗𝜔 + 2)(𝑗𝜔 + 4) 𝜔 𝜔 = (180 − 𝑡𝑔(𝜔)) − 𝑡𝑔−1 [ ] − 𝑡𝑔−1 [ ] 2 4

Tabla1. Cálculos de Magnitud y fase |𝐺𝐻(𝑗𝜔)|

𝜔 0 Inf

K*0,125 0

< 𝐺𝐻(𝑗𝜔) 180° -90°

Figura 8. Magnitud y Fase

|𝐺𝐻(𝑅𝑒 𝑗𝜃 )| = 0 < 𝐺𝐻(𝑅𝑒 𝑗𝜃 ) = −90°; 90° Tabla2. Cálculos de Magnitud y fase |𝐺𝐻(𝑗𝜔)|

𝜔 1 2 7 10 50 100

K*0,1533 K*0,1767 K*0,1204 K*0,0914 K*0,0199 K*0,0099

< 𝐺𝐻(𝑗𝜔) 94,39° 45° -35,17° -51,17° -81,98° -85,99°

Sabiendo que el tramo III es un espejo del tramo I entonces podemos graficar ambos tramos.

Figura 9 Tramo I y Tramo III. Tramo II: |𝐺𝐻(𝑅𝑒 𝑗𝜃 )| =

(𝑅𝑒 𝑗𝜃 − 1) (𝑅𝑒 𝑗𝜃 + 2)(𝑅𝑒 𝑗𝜃 + 4)

En este caso el radio ( R) R→ꚙ y σ= 90° ;-90° |𝐺𝐻(𝑅𝑒 𝑗𝜃 )| =

1 𝑅𝑒 𝑗𝜃

|𝐺𝐻(𝑅𝑒 𝑗𝜃 )| = 0 < 𝐺𝐻(𝑅𝑒 𝑗𝜃 ) = −90°; 90° Cuando recorremos todos los puntos del tramo a través de la función, por lo tanto como 𝑅 → ∞ su punto es cero en el tramo II. El cuarto paso se aplica la relación 𝑍 = 𝑃 + 𝑁 P = Polos encerrados contorno de Nyquist; P=0 N= Rodeos al punto -1+0j; N=0 Z= Numero de ceros con parte real; Z=0 Resolviendo por el criterio de Nyquist nos damos cuenta que es estable ya que Z=0 Ahora por el arreglo de Routh calculamos el valor de K, condicionando siempre que la primera columna sea positiva y para que K sea estable tiene que ser menor a 8. Por lo tanto, nos da que es estable. Función de transferencia 𝑆2 + 6 ∗ 𝑆 + 8 + 𝐾 ∗ 𝑆 − 𝐾 Tabla3. de la función de transferencia

𝑆2 𝑆1 𝑆0

1 6+K 8-K

8-K 0

1) 6 + 𝐾 > 0; 𝐾 > −6 𝐾>0 2) 8 − 𝐾 > 0; 𝐾 < 8

Ejemplo 2, Criterio de Nyquist en sistema Multivariable Dado el sistema multivariable en cadena abierta: 3 + 5𝑧 𝐺(𝑧) = [ 𝑧 0,5 𝑧

1 𝑧] 3 𝑧

estudiar su estabilidad por el criterio de Nyquist cuando se realimenta negativa y unitariamente. Solución: Para poder aplicar el criterio de Nyquist hay que calcular el determinante: 𝑑𝑒𝑡[𝐼 + 𝐺(𝑧)] =

𝑃𝑐 (𝑧) 𝑃𝑎 (𝑧)

Así: 1+ 𝑑𝑒𝑡[𝐼 + 𝐺(𝑧)] = [

3 + 5𝑧 𝑧 0,5 𝑧

1 2 𝑧 ] = 6𝑧 + 21𝑧 + 8,5 3 𝑧2 1+ 𝑧

Por lo que: 𝑃𝑎 (𝑧) = 𝑧 2 𝑃𝑐 (𝑧) = 6𝑧 2 + 21𝑧 + 8,5 Donde 𝑃𝑎 (𝑧) es el mínimo común denominador de todos los menores de todos los órdenes de G(z). Se elige como camino el representado en la Figura 8 , con 𝑧 = 𝑒 𝑗𝜃 𝑦 𝜃 y () que varía entre 0° y 360° . Por lo que: 𝑃𝑎 (𝑧) = 𝑧 2 𝑃𝑐 (𝑧) = 6𝑧 2 + 21𝑧 + 8,5

Figura 8. Camino de Nyquist elegido (ejemplo2) El determinante será: 𝑑𝑒𝑡[𝐼 + 𝐺(𝑧)]𝑧=𝑒 𝑗𝜃 =

6𝑒 2𝑗𝜃 + 21𝑒 𝑗𝜃+8,5 = 6 + 21𝑒 −𝑗𝜃 + 8,5𝑒 −2𝑗𝜃 𝑒 2𝑗𝜃

Este resultado se puede representar como la suma del punto 6, una circunferencia de radio 21 que da una vuelta y de otra circunferencia de radio 8,5 que da dos vueltas (Figura 9). Algunos puntos serán:    

Para 𝜃 = 0°, 𝑑𝑒𝑡[𝐼 + 𝐺(𝑧)] = 35,5 Para 𝜃 = 90°, 𝑑𝑒𝑡[𝐼 + 𝐺(𝑧)] = −2,5 − 21𝑗 Para 𝜃 = 180°, 𝑑𝑒𝑡[𝐼 + 𝐺(𝑧)] = −6,5 Para 𝜃 = 270°, 𝑑𝑒𝑡[𝐼 + 𝐺(𝑧)] = −2,5 + 21𝑗

Las vueltas alrededor de 0 (origen) son: N = -1. Como P = 2 (raíces de Pa(z) en D). Entonces, 𝑍 = 𝑁 + 𝑃 = −1 + 2 = 1 Sólo hay un polo dentro del círculo unidad para el sistema realimentado. Como existen dos polos, uno será inestable. Al mismo resultado se llega factorizando: 6𝑧 2 + 21𝑧 + 8,5

obteniendo como raíces -0,46 y -3,03. Por lo tanto, el sistema es inestable.

Figura 9. Imagen resultada grafica polar de recorrer el camino nyquist

Conclusiones y Recomendaciones El análisis de Nyquist es método basado en la respuesta de frecuencia, es esencialmente un procedimiento gráfico para determinar estabilidad de sistema de lazo cerrado a partir de una función de lazo abierto. La información acerca de la estabilidad se da en una gráfica en coordenadas polares de la función de trasferencia. Este criterio está principalmente basado en la teoría de la variable compleja, partir de este sistema de variables complejas se grafican en coordenadas polares. Las técnicas de Nyquist son útiles para obtener información acerca de la función de transferencia y de sistemas a partir de datos experimentales sobre la respuesta de frecuencia. La representación polar se puede hacer directamente de medidas sinusoidales en estado estacionario sobre componentes que conforman la función de transferencia. A partir de la trayectoria Nyquist generada en el gráfico se puede llevar a cabo el análisis de estabilidad aplicando los criterios de Nyquist. Se recomienda este método para sistemas que poseen puntos singulares, es decir posee componentes que no están disponibles en forma analítica, en donde con este método se pueden analizar de forma completamente gráfica.

Bibliografía   

DiStefano, Joseph J.; Stubberud, Allen R.; Williams, Ivan J., 1981, Retroalimentación y Sistemas de Control, Los Angeles, Estados Unidos, Editorial McGraw-Hill Grantham y Vincent, 1998, Sistemas de Control Moderno, Washington, Estados Unidos, LIMUSA NORIEGA editores. Reinoso, O.; Aracil, R.; Torres, F., 1995, Sistemas de Control Discretos, Madrid, España, McGraw-Hill