Integral Indefinida 62n2o

INTEGRAL INDEFINIDA

Nice Maria Americano da Costa

A NOÇÃO DE PRIMITIVA A questão posta pela operação derivada, era: dada uma função f(x), encontrar outra função, digamos F(x), que é igual à f´(x), ou seja, igual à derivada de f(x).

F ( x) = f ´( x) Com a nova operação que estudaremos, agora, a questão é, de certa forma, posta de forma inversa. Isto é, dada a função f(x), queremos determinar outra função F(x), cuja derivada é igual à função dada:

F ´( x) = f ( x) Definimos como primitiva esta função F(x) obtida com tal procedimento.

Consideremos f(x)=senx. Desejamos encontrar um outra função F(x), tal que, F ´(x)=senx. Esta função procurada é F(x)=-cosx, pois F´(x)=senx. Definição 1. Diz-se que F(x) é uma primitiva da função f(x), no intervalo [a,b], se em todos os pontos deste intervalo, tem-se F´(x)=f(x). Note que, para f(x)=senx, a função G(x)=-cosx +5 também tem sua derivada igual a f(x); logo também ela é uma primitiva de f(x). Portanto, uma função qualquer ite mais de uma primitiva.

Outros exemplos:

f ( x) = x

3

f ( x) = cos x 1 f ( x) = x

uma primitiva é:

x4 F ( x) = 4

uma primitiva é: F ( x) = senx uma primitiva é:

F ( x) = ln x

Mas as funções:

x4 F ( x) = +5 4

3 F ( x) = senx + 4

F ( x) = ln x + a

São, correspondentemente, primitivas das funções dadas. Teorema. Se duas funções, F1(x) e F2(x), são primitivas da função f(x), no intervalo [a,b], então, a diferença entre elas é uma constante. Demonstração. Pela definição de primitiva, temos que as derivadas das F1(x) e F2(x) são iguais a f(x):

F1´( x) = f ( x) F2 ´( x) = f ( x)

Definindo a diferença de F1(x) e F2(x) como uma nova função G(x), teremos

G ( x) = F1 ( x) - F2 ( x) Calculando agora a derivada de G(x), temos:

G´( x) = F1´( x) - F2 ´( x) G´( x) = f ( x) - f ( x) = 0 G ( x) = F1 ( x) - F2 ( x) = Constante Basta então conhecer uma primitiva, pois as demais diferem apenas de uma constante. Podemos então escrever para a primitiva de uma função f(x) :

F ( x) + C

Definição 2. Denomina-se Integral indefinida de uma função f(x) a operação de determinação da expressão da primitiva dessa função, F(x)+C; esta operação é simbolicamente representa por

f ( x)dx � Portanto, da definição, teremos

f ( x)dx = F ( x) + C � com F� ( x) = f ( x) Propriedades:

Em virtude da definição da operação, temos que a derivada de uma integral indefinida é igual à função dada, ou integrando:

(

)

� �= F � f ( x ) dx = F ( x ) + C ( x) = f ( x) ( ) �

A diferencial de uma integral indefinida é igual à expressão no integrando

d

( �f ( x)dx ) = ( F ( x) + C ) �dx = F �( x)dx = f (x)dx

Lembrando que a diferencial de uma função é a sua derivada vezes a diferencial da variável independente e usando o resultado anterior

A integral indefinida da diferencial de uma dada função é igual à própria função mais uma constante

dF ( x) = F ( x) + C �

exemplos: 4 x �dx

x dx � senx dx � cos x dx � 3

dx �x dx � x2 e dx � x

dx � cos 2 x

Funçao

Derivada

x5

5x4

x4

4 x3

x3 1 x senx cos x

3x 2 1 - 2 x cos x - senx 1 cos 2 x ex 1 x

tgx ex ln x

x5 5 x4 4 - cos x senx ln x 1 x ex tgx

Outras propriedades: Teorema. A integral indefinida da soma algébrica de duas funções é a soma algébrica das integrais indefinidas dessas funções:

f ( x )dx + � g ( x ) dx ( f ( x) + g ( x) ) dx = � � Demonstração. Calculando a derivada dessa integral temos:

� f ( x ) + g ( x ) dx ( ) (� )=

f ( x) + g ( x)

Mas pela propriedade demonstrada antes

f ( x) = ( � f ( x) dx)� Então

� g ( x) = ( � g ( x )dx )

(

) (

� f ( x ) + g ( x ) dx = ( ) �

) (

� f ( x ) dx + �

g ( x)dx �

)

�

O resultado à direita é o que se obtém calculando a derivada do membro direito da tese do teorema

(

) (

� f ( x ) dx + g ( x ) dx = � �

) (

� f ( x ) dx + �

g ( x ) dx �

)

�

Teorema. Pode-se retirar um fator constante de dentro do sinal de integração

cf ( x) dx = c � f ( x)dx � Demonstração. Calculando a derivada dessa integral temos: � cf ( x ) dx = cf ( x) �

(

)

Mas pela propriedade demonstrada antes

cf ( x) = c Então

(

f ( x)dx �

)

�

� � cf ( x) dx ) = c ( � f ( x )dx ) (�

O resultado à direita é o que se obtém calculando a derivada do membro direito da tese do teorema

(

)

� c� f ( x)dx = c

(

f ( x)dx �

)

�

TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO POR MUDANÇA DE VARIÁVEL Nem sempre temos pela frente o cálculo de uma integral de uma função elementar, mas de uma composição delas. Por exemplo 2 sen � x cos x dx

Entretanto, fazendo algumas transformações, por mudança de variável, podemos chegar a expressões com funções elementares. No exemplo, se olharmos com cuidado, vemos que :

cos xdx = d ( senx) u = senx

Podemos então fazer a transformação

entao du = cos dx A integral torna-se:

u3 3 u du = = sen x+C � 3 2

O princípio desta técnica se apóia nas propriedade da derivada que vimos anteriormente. Dada a integral da função f(x), podemos imaginar x como uma função de outra variável t.

x = j (t ) dx = j � (t )dt Então

f ( x)dx = � f� j ( t) � j� ( t ) dt � � �

Para mostrar, derivemos o membro esquerdo em relação a x

(

)

� f ( x ) dx = f ( x) �

Derivemos o direito em relação a x, lembrando que temos uma função de t:

(

f� j ( t) � j� ( t ) dt � � �

) ( � = x

f� j ( t) � j� ( t ) dt � � �

)

�dt t dx

(

Mas

f� j ( t) � j� ( t ) dt � � �

)

� = f [(t )]j � (t ) t

e dt 1 = dx j � (t ) Então

(

f� j ( t) � j� ( t ) dt � � �

) ( � = x

f� j ( t) � j� ( t ) dt � � �

)

1 �dt = f [j (t )]j � (t ) = f ( x) t dx j� (t )

Que é o resultado encontrado antes. Exemplo

x dx 2 � 1+ x t = 1 + x2 dt = 2 xdx x dt 1 1 2 dx = = ln t = ln(1 + x )+C 2 � � 1+ x 2t 2 2

Exemplo

senx dx � cos x t = cox dt = - senxdx senx dt dx = - � = - ln t = - ln(cos x) + C � cos x t

Exemplo 5x e � dx

t = 5x dt = 5dx dt 1 t 1 5 x e dx = � e = e = e +C � 5 5 5 5x

t