Integrales Dobles 2y82i

Agradecimientos

A Dios por darnos la vida, A nuestros padres por darnos la oportunidad de estudiar.

Índice Integrales dobles ..................................................................................................................................................... 4 Introducción .......................................................................................................................................................... 4 Definición 1 ............................................................................................................................................................. 4 Definición de conjuntos convexos ......................................................................................................................... 4 INTEGRAL DOBLE SOBRE UN RECTANGULO .............................................................................................. 5 Definición de la integral doble ................................................................................................................................ 6 FUNCION ACOTADA .......................................................................................................................................... 7 INTEGRAL DOBLE DE UNA FUNCION ACOTADA DEFINIDA SOBRE UNA REGION CERRADA D..... 7 LIMITE DE LA SUMA DE REIMANN SOBRE UNA REGION CERRADA ................................................ 7 INTEGRALES ITERADAS .................................................................................................................................. 8 INTERPETRACION DE LA INTEGRAL DOBLE COMO VOLUMEN .............................................................. 8 TEOREMA ............................................................................................................................................................ 8 REGIONES NO RECTANGULARES

................................................................................................................. 9

TEROREMA DE FUBINE PARA REGIONES NO RECTANGULARES ............................................................ 9 PROPIEDADES FUNDAMENTALES ................................................................................................................... 9 CALCULO DE VOLUMENES DE SOLIDOS Y AREAS DE REGIONES PLANAS POR INTEGRACION DOBLE ............................................................................................................................................................. 10 Regla de dominación ............................................................................................................................................. 10 Regla de la subdivisión .......................................................................................................................................... 10 Regle de la linealidad ............................................................................................................................................ 10

Integrales dobles 1. Introducción Recordamos que para hallar las integrales definidas de una función y  f (x) , era requisito necesario que f sea continua sobre el intervalo cerrado [a; b] . Ahora para hallar la integración doble de una función z  f ( x; y) ; es necesario que f ( x, y ) sea continua sobre la región cerrada D   2 REGION EN  2 Definición 1 Sea D   2 . Diremos que D es una región, si es la unión de un conjunto abierto conexo con algunos, ninguno o todos sus puntos de frontera. Definición de conjuntos convexos Sea D   2 . Diremos que D es conexo, si no existen dos subconjuntos A y B de  2 no nulos tales que A  B   y A  B  D . Intuitivamente el conjunto conexo es aquel que esta “hecho de una sola pieza” Ejemplos de regiones en  2

A  [a, b] * [c, d ]  {( x, y )   2 / a  x  b, c  y  d } es una región cerrada en  2

2. INTEGRAL DOBLE SOBRE UN RECTANGULO Sea la función

f : D   2   Donde la región D( x, y)  z  f ( x, y) Es el rectángulo D  [a, b] * [c, d ]  {( x, y )   2 / a  x  b, c  y  d } Si la función f es continua sobre la región D , deseamos definir la integral de la función f sobre la región D, denotado por

 f ( x, y)dA donde dA  dxdy o dA  dydx es diferencial de área. D

Paso 1 Consideremos dos particiones P1 y P2 de [a, b] y[c, d ] , respectivamente, P1  ( x0 , x1 , x 2 ,......, x m ) y P 2  ( y 0 , y1 , y 2 ,......, y m ) donde a  x0  x,.....  x m  b, c  y 0  y1  ....... y n  d . Definición 2 Una partición del rectángulo D , es el conjunto

P1 * P2  {[ xi 1 , xi ] * [ y j 1 , y j ] / 1  i  m,1  j  n}

Puesto que P1 descompone a [a, b] en m subintervalos y P2 descompone [c, d ] en n subintervalos, la partición P  P1 * P2 descompone D en mn subintervalos. Una partición P " de D se llama más fina que P sí P  P " , esto es, si todo punto de P pertenecer también a P " . Paso 2 De cada subrectángulos Dij  [ xi 1 , xi ] * [ y j 1 , j j ], i  1.2,......., m

xi  xi 1

y j  y j 1

xi

y j

dx

dy

j  1,2,......,n

Elegimos un punto arbitrario ( xk , yk )  Dij , k  1,2,......,N *

*

Habrá N  mn rectángulos y N  mn puntos ( xk , yk )  Dij *

*

A continuación necesitamos conocer cuatro cosas: 

r1 , r2 , r3 ,......... ....., rN

Llamemos

a

los

subrectángulos

Dij

y

A(rk )  (xi )( y j )  dxdy  dA el área del subrectángulos rk .  

f ( x k* , y k* ) es la imagen de cada punto ( x k* , y k* ) . Se define norma de la partición P  P1 * P2 como la longitud de la diagonal más larga de los subrectángulos, esto es |P|=Max {diag. ( Dij ) / 1  i  m,1  j  n }. Si la partición P la hacemos cada vez más fina, esto es, aumentamos más rectángulos (infinidad de rectángulos) entonces la norma P será cada vez más pequeña. En términos de límite es: si N   entonces P  0.



N

La suma

 f (x k 1

* k

, y k* ) A( rk ) , se llama suma de Reimann de la función

asociado de la partición P.

f : D  2  

Paso 3 Cuando la norma de la partición P tiende a cero puede plantear la existencia del límite: N

lim

P o

 f (x k 1

* k

, y k* ) A(rk )

Definición de la integral doble Si f ( x; y ) está definido sobre el rectángulo D   2 , entonces la integral doble de f sobre D se define como:



f ( x, y )dA  lim

N

P 0

D

 f (x K 1

* k

, y k* ) A(rk )

Siempre y cuando exista ese límite. Si existe, decimos que f es integrable sobre D

FUNCION ACOTADA Definición 3 Una función f : D   2   se dice que es acotada en la región D si existe los números reales r y s tales que r  f ( x, y)  s; ( x, y)  D

LIMITE DE LA SUMA DE REIMANN SOBRE UNA REGION CERRADA Definición 4 Sea f : D   2   una función acotada definida en la región cerrada D . Un numero I es el límite N

dela suma de Reimann

 f (x k 1

* k

, y k* ) A( rk )

Donde P  0 , esto es, N

lim

P 0

 f (x K 1

N

 f (x k 1

* k

* k

, y k* ) A(rk )  1 , si para todo   0 , existe   0 tal que

, y k* ) A(rk )  1   , para toda partición P con P   y toda elección del punto

( x k* , y k* )  rk , k  1,2,3,...., N

INTEGRAL DOBLE DE UNA FUNCION ACOTADA DEFINIDA SOBRE UNA REGION CERRADA D. Definición 5 Una función acotada f : D   2   Es

integrable

I  lim

sobre

la

región

cerrada

D,

si

existe

el

número

real

I,

tal

que

N

R 0

 f (x K 1

* k

, y k* ) A(rk ).

El número real I se llama la INTEGRAL DOBLE DE F sobre D y se escribe como:

I   f ( x, y )dA  lim D

N

R 0

 f (x K 1

* k

, y k* ) A(rk ).

INTERPETRACION DE LA INTEGRAL DOBLE COMO VOLUMEN Sea f : D   2   una función integrable en la región cerrada D, y que f ( x, y)  0, ( x, y)  D entonces

 f ( x, y)dA  volumen del solido Q bajo la gráfica de la superficie

como base la región cerrada D.

z  f ( x, y) y que tiene

INTEGRALES ITERADAS El cálculo de la integral doble

 f ( x, y)dA se hace por cálculos sucesivos de dos integrales: primero D

se integran con respecto a una variable y luego

el resultado con respecto a la otra variable.

Normalmente, cuando se hace esta integración parcial sucesiva, se opera de dentro hacia afuera, como se indica con la notación siguiente. a)



b g ( x)

f ( x, y)dA =  [ a

D

 f ( x, y)dy]dx

f ( x)

La primera integral es respecto a y. En este caso, se barre la región D verticalmente, mirando que hacia arriba tenga como frontera una curva que es la gráfica de una función y  g (x) y hacia abajo otra curva y  f (x) La segunda integral es respecto a x , en este caso a  x  b.

b)

 D

h ( y )  f ( x, y)dA =    f ( x, y )dy  j( y) c   d

La primera integral es respecto a x. En este caso, se barre la región D verticalmente, mirando que hacia arriba tenga como frontera una curva que es la gráfica de una función x  h( y ) y hacia abajo otra curva x  j ( y ) La segunda integral es respecto a y , en este caso c  x  d. TEOREMA 2 Si una función f : D     es continua en loa región cerrada D, entonces F es integrada en D.

REGIONES NO RECTANGULARES Región tipo I y región tipo II

Eje horizontal Una región de tipo I, es aquella que está definida del siguiente modo

D  {( x, y )   2 / c( x)  y  d ( x), a  x  b} Para x fijo entre las dos constantes a y b ordenada y vara de f (x) a g (x) , donde f y g son funciones continuas sobre [a, b]

Eje vertical

Una región de tipo II, es aquella que está definida del siguiente modo

D  {( x, y )   2 / j ( x)  y  h( x), c  x  d } Para x fijo entre las dos constantes a y b ordenada y vara de j (x) a h(x) , donde j y h son funciones continuas sobre [c, d ]

TEROREMA DE FUBINE PARA REGIONES NO RECTANGULARES 

Si D es una función de tipo 1, entonces b d ( x)

 f ( x, y)dA    f ( x, y)dydx , siempre y cuando existan las dos integrales. D

a c( x)



Si D es una función de tipo II, entonces

d h( y )

 f ( x, y)dA    f ( x, y)dxdy D

c j ( x)

PROPIEDADES FUNDAMENTALES  Regle de la linealidad Sean: a y b dos constantes y f , g : D   2   funciones integrables en la región cerrada D, entonces af  bg es integrable en la región D, y

 af ( x, y)  bg( x, y)dA  a f ( x, y)dA  b g ( x, y)dA D

D

D

 Regla de dominación Si

las

funciones

f , g : D   2   son

integrables

en

la

región

cerrada

D

y

g ( x, y)  f ( x, y), ( x, y)  D , entonces:

 g ( x, y)dA   f ( x, y)dA D

D

 Regla de la subdivisión

Si las funciones

f , g : D   2   son integrables en la región cerrada D si la región

D  D1  D2 donde D1 y D2 son regiones cerradas y regiones disjuntas, entonces:

 f ( x, y)dA   f ( x, y)dA   f ( x, y)dA D

D1

D2

 Sea f , g : D   2   una función integrable en la región cerrada D y supongamos que m y M son los valores mínimos y máximos absolutos de f

m  f ( x, y)  M , ( x, y)  D Entonces mA( D) 

 f ( x, y)dA  MA(D) D

Donde A(D) es el área de la región cerrada D

en D, tal que

CALCULO DE VOLUMENES DE SOLIDOS Y AREAS DE REGIONES PLANAS POR INTEGRACION DOBLE

Bajo ciertas condiciones y mediante integrales dobles podemos hallar el volumen de un sólido Q en

 3 y el área de la región D   2

f : D  2  

1. Sea

una

función

continua

en

la

región

cerrada

D

y

f ( x, y)  0; ( x, y)  D , entonces el volumen del solido S limitado superiormente por la gráfica de la superficie z  f ( x, y) e interiormente por la región D está dada por

V (S )   f ( x, y)dA D

f , g : D  2   ,

2. Sean

funciones

continuas

en

la

región

cerrada

D

y

f ( x, y)  g ( x, y), ( x, y)  D . Entonces el volumen del solido S, limitado superiormente por la gráfica de la superficie z  f ( x, y) e inferiormente por la gráfica de la superficie

z  g ( x, y) está dada por.

V (S )    f ( x, y)  g ( x, y)dA D

Aquí el sólido se proyecta sobre el plano XY

f : D  2  

3. Sea

una función continua en la región cerrada D, tal que,

f ( x, y)  1; ( x, y)  D. entonces el área de la región D está dado por:

A( D)   dA D

INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES

En ocasiones las integrales son más fáciles de evaluar si se cambia a coordenadas polares. En esta sección se muestra como hacer el cambio y como evaluar las integrales sobre regiones con fronteras dadas por ecuaciones polares.

En la definición de la integral doble de una función sobre una región R en el plano

xy utilizamos rectángulos con lados paralelos para dividir la región. En coordenadas polares la forma natural es un sector polar cuyos lados tienen valores de r y  constantes.

Para definir la integral doble de una función continua

z  f ( x, y) en coordenadas

polares, la región R está acotada por las curvas r  g1( ) y r  g 2( ) y las rectas    y

   . La región R se divide en múltiples regiones polares (en lugar de rectángulos). El área de un sector específico



es:

Ai  rr La suma de Riemann convirtiendo a polares x y y es: n

 f (r cos , rsen ) A i 1

El límite de la sumatoria cuando n   en la integral doble

  f (r cos , rsen )r dA R

En forma análoga a las regiones en coordenadas rectangulares, se pueden definir regiones r simples en las cuales la región está limitada por ángulos fijos  1 y  2 y por r constante o función de  y se especifican como:

R  {(r , ) | 1     2, g1( )  r  g 2( )} En las regiones  simples, la región está acotada por valores constantes de

r (r1 y r 2) y por ángulos funciones de r y se especifican de la siguiente forma

R {(r , ) | h1(r )    h2(r ),

r1  r  r 2}

Para definir los límites de regiones polares, se utiliza un rayo desde el origen (en lugar de una recta), si el rayo entra y sale por las mismas curvas en toda la región R , entonces es una región r simple. Si los limites en r son constantes y los ángulos mínimo y máximo de la región son funciones de r , entonces es una región  simple.

Ejemplo 1 determine los límites en forma polar de la región acotada por el círculo x 2  y 2  4 y la recta y 

2

Solución. Se procede de la misma manera que para identificar las regiones en coordenadas rectangulares, esto es, se hace un dibujo de la región y se traza el rayo de prueba.

El rayo L siempre entra en la región por la recta y 

2 y sale por la curva x 2  y 2  4 .

Estas ecuaciones en coordenadas polares son, para la curva.

(r cos ) 2  (r sin  ) 2  r 2 (cos2   sen 2 )  4 r2  4 r 2 Y para la recta

r sen 

2

2 sen r  2 c sc r 

El ángulo mínimo es la intersección de la recta con la curva.

r2

2 sen

  arc sen

2   2 4

Y el ángulo máximo es



. La región se especifica como:

2

R  {(r ,  ) |

 4



 

2

,

2 csc  r  2}

Y la integral doble



R



f r , dA  

2

4



2 2 csc

f r , r dr d

ÁREA EN COORDENADAS POLARES Al igual que en coordenadas rectangulares, si f x, y   1 , el resultado de la integral doble es el área de la región plana, esto es: Área

  r dA R

Donde dA  dr d  d dr . Y para los sólidos sobre la región plana en el plano xy y limitados por la superficie f  x, y  , la integral doble que da el volumen se trasforma en:

V   f r cos , r sen  r dA R

Donde la ecuación de la superficie se convierte a coordenadas polares al sustituir x  r cos y

y  r sen .

Ejemplo 2: Calcular el área entre los círculos de radio1 y radio 2 con el mismo centro.

Solución. Por facilidad, se considera que el centro de ellos es el origen (0,0), por lo que las ecuaciones de ellos son:

x 2  y 2  1 , y en coordenadas polares r  1

x 2  y 2  4 , y en coordenadas polares r  2 Puesto que las ecuaciones delos círculos son más sencillas en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares, se calcula el área en coordenadas polares. Para el análisis, se hace un bosquejo de la región (wimplot) y se traza un rayo desde el origen que cruce la región.

El rayo entra por el círculo de radio 1 y sale por el círculo de radio 2, y el ángulo es desde 0 hasta 2

para que el rayo pase por toda la región. La región se especifica con:

R  r,  0    2 , 1  r  2 Los limites para ambos,  y r son constantes, por lo tanto, se puede utilizar cualquier orden de integración dr d o d dr .La integral doble para el cálculo del área es;

2

  0

2

1

r dr d  

2

0

2

2  1 2 3 3 2 1 2     r , d   4  1 d   d    0  3      2  0 0 2 2 2   1

Ejemplo 3 Calcular el área de la superficie limitada por la curva r  1 cos

Solución. 

y

Primero realizamos un bosquejo de la región con el graficador de winplot en coordenadas polares y se traza un rayo desde el origen. 



 x 





















En la figura se observa que el rayo, entra a la región por el origen y sale por la curva 

r  1 cos , o sea, que los limites son 0 y 1 cos . Al girar el rayo para cubrir toda la región, el ángulo varía de 0 a 2 . La región se especifica como:

R  r ,  | 0    2 , 0  r  1  cos  La integral doble para calcular el área es:

2 1cos

  0

0

r dr d  

2

0

2 1cos

r   2 0

  cos cos2    d 2    d    2 2  0

2   cos 1 cos2       d 0 2 4 4   2

sen 2  3     sen  8  0 4 3 sen 4 1 3   sen 2  sen 0  0   sen 0   2 8 8 2

El área es

3  u2 2

El centro de masa El centro de masa de una figura plana D, es un punto P de coordenadas ( x, y )  D , en el cual la región se equilibra horizontalmente. Las coordenadas de este punto se obtienen de las ecuaciones:

x

My

y

Mx m

m

Donde tanto la masa de la placa plana como los momentos estáticos se calculan por medio de integrales dobles. Centro de masa Sea D una región del plano xy , tal que su densidad viene dada por la función  :  2   , la cual es continua ( x, y )  D , entonces el centro de gravedad viene dado por:

x

1 x ( x, y )dA m  D

y

1 y ( x, y )dA m  D

Ejercicio 1: Consideremos un cuerpo que se mueve con una velocidad constante de 3m/s. La Gráfica velocidad-tiempo del cuerpo es la representada en el dibujo. Calcular el espacio Recorrido por el cuerpo entre t = 0 y t = 6, con las fórmulas de física conocidas. Estudiar la Relación que existe entre este resultado y el área encerrada por las rectas t = 0, t = 6, v = 0 y v=3 Solución:

El hecho de que la velocidad sea constante nos indica que estamos en un caso de MRU, por Lo que deberemos usar la fórmula e = v*t que nos da el espacio recorrido por el cuerpo si Conocemos su velocidad y el tiempo transcurrido t. Por lo tanto, para calcular el espacio Recorrido por el cuerpo desde t = 0 hasta t = 6 hacemos e = 3*6 = 18, que coincide con el Área del rectángulo coloreado, y que es al mismo tiempo el área encerrada por las rectas: t = 0, t = 6, v = O y v = 3.

Hasta ahora hemos calculado el área encerrada por funciones continuas pero ¿qué Haríamos para calcular el área encerrada bajo la función del dibujo 1 entre x = 1 y x = 4?, ¿Es siempre posible descomponer la figura encerrada bajo una curva en figuras cuya área Conocemos? Para investigarlo, consideremos la gráfica velocidad-tiempo del dibujo 2, y calculemos el Espacio recorrido entre t = 0 y t = 1. ¿Cómo calcularíamos, aproximadamente, el área Encerrada bajo esta función entre t = 0 y t = 1?. Acotaremos dicha área superior e Inferiormente, utilizando rectángulos. ¿Cómo podríamos hacer que estas acotaciones fuesen Cada vez más exactas?

Es intuitivo que el área encerrada por la función del dibujo 1 se calcula sumando las áreas de Los rectángulos que define la función entre dichos puntos. Este tipo de funciones cuya gráfica En un intervalo son tramos de rectas paralelas al eje de las x, se llaman funciones Escalonadas, y las estudiaremos con más detalle más adelante.

Como se ve en el dibujo 2, no siempre es posible descomponer el área encerrada bajo una Curva, en figuras geométricas simples. En el caso del ejercicio, dicha área se encuentra Comprendida entre un rectángulo de base 1 y altura 1, y un rectángulo de base 1 y altura 1.5, Por lo tanto sabemos que se encuentra entre uno y uno y medio, pero no podemos decir con Exactitud cuál es su valor. Para estos casos precisamente es para los que se ideó el método De exhaución.

Ejemplo 2: Calcular el volumen del sólido de revolución engendrado al girar -alrededor del eje OX- la Gráfica de la función f(x) = cos2(x) en el intervalo [-Π, 3Π/4]. En la siguiente pantalla se muestran los cálculos realizados con ayuda de Mathcad y el resultado final:

 (2 y  4x)dy

Calcular

R

Solución: siendo la región acotada limitada en el semiplano superior por las rectas de ecuaciones y  0 y y  1 , x  1 , y  x Solución Se trata de la región señalada con R en la figura

y 1 1 Actuando como en una región de tipo II tendríamos1 2 x y

I   dy  (2 y  4 x)dx   [2 xy  2 x ] y  x 2 dy   (2 y 2  2 y 2  2 y  2)dy  3 0

1

0

0

Ejemplo 2

 2 y * 4 xdx dy D

Siendo

D  x, y 

1  x  3,

0  y  3

Solución:

Primera vía

 2 y * 4 x dx dy   D

3

1







  9 * 12 x dx  9 x * 6 x 2 |13  30 3

1

Segunda vía:



y 3

 3 2 y * 4 x dy dx  3 y 2 * 4 xy  dx 1  0  y  0

2 xy * 2 x D 2 y * 4 x dx dy  0 1 2 y * 4 x dx dy  0 3

3

3









2 x 3 x 1

dy



  4 y * 16 dy  2 y 2 * 16 y | 30  30 3

0

Calcular



x  y dxdy Si D es la región acotada por las respectivas rectas y  x , y   x y x  1

D

Solución: Se tiene que la región D  {( x, y )   2 / 0  x  1; x  y  x}



1

x  y dxdy =



1

3

x

0 x

x  y dydx

D

2 ( x  y ) 2 | x x dx 3 0 1

3

2 (2 x) 2 dx 3 0 5 5

22 2 ( x) 2 |10 3 5 8 2 15 Calcular



D

x 2  y 2 dydx si D es el dominio limitado por el triángulo de vértices

A(0,0); B(1.  1);C (1,1) Solución: Entonces se tiene que el dominio está delimitado por las rectas y  x y   x y x  1 es decir

D  {( x, y )   2 / 0  x  1; x  y  x}



D

1 x

x  y dxdy    x 2  y 2 dydx 2

2

0 x

1 x

 x 0 x

Hacemos el cambio de variables

Para y  x  arcsen

y 1  ( ) 2 dydx x

y  sen(t )  dy  x cos(t )dt y determinamos los límites. x

x   arcsen(1)  x 2

Para y   x  arcsen

x   arcsen(1)   x 2  1 x

 x 0 x

1 2

y 1  ( ) 2 dydx =   x 2 1  sen 2 t dtdx x 0  

2

 1 2

  x 0



2

cos2 tdtdx

2

 1 2

  0



x2 (

1  cos2 2t )dtdx 2

2

sen 2t   2t x  0  2 4   2 dx 1

2



1

x dx 2 2

0

  x3 

1



   2  3 0 6

Calcular: 4 4

  (36  x

2

 y 2 )dydx

0 0 4

4 3 64 368  368 2 2 0 (36  x  y )dy   3 x  3 x   144  4 x  3  3  4 x 0 4

2

2

4

4 3 1472 256  368  368 2 0  3  4 x dx   3 x  3 x  0  3  3  405,3 4

.dsaffsf

EJERCICIOS PROPUESTOS 1

1.

2.



2

x 2 y dx dy

0 1 ln 2

0

0

1

  2 1

2 x e y dx dy

3.

 x

4.

  x  2 y  dy dx

1

0

2

y dy dx

3 1

2

1

xy dx dy x2  1

3 1

5.

 1

0

1 1

6.

x e

2 xy

0 0

4 1

7.

 0

1

1 5

8.



0 1 3

9.

10.

 2

3

2 1

1

2

x 2 y dy dx

y 1  y 2 dy dx

2



dy dx

x y dy dx xy

 y x   dy dx  x y

4

11.

 0

x 2 y dy dx

0

1 5

12.

x



0 1

y 1  y 2 dx dy

1 1 y

13.

  2x  y  dx dy 0 y 1 1 x

14.



0 x2

2 xy dy dx

1 4

15.



xy dy dx

0 0

yx

1 2x

16.



0 x e

17.

 1

3

18.

e

0

 0

ln 2

dy dx xy dy dx

10 y 2

y2

xy dx dy

4

En los problemas del 19 al 24 use desigualdades para describir R en términos de sus secciones transversales verticales y horizontales. 19. R es la región limitada por

y  x 2 y y  3x

20. R es la región limitada por

y

x y y  x2

21. R es el rectángulo con vértices  1,1; 2,1; 2,2 y  1, 2 22. R es el triángulo con los vértices 1,0; 1,1 y 2,0 23. R es la región limitada por

y  ln x ; y  0 ; y x  0

24. R es la región limitada por

y  ex ; y  2 y x  0

En los problemas del 25 al 36 evalué la integral doble dada para la región R indicada 25.

 3xy

2

dA ,

donde

R

es

el

rectángulo

limitado

por

las

rectas

R

x  1; x  2 ; y  0 26.

 x  2 y dA , donde R es el triángulo con vértices 0,0; 1,0 y 0,2 R

27.

 xe

y

dA , donde R es el triángulo con vértices 0,0; 1,0 y 1,1

R

28.

 48xy dA , donde R es la región limitada por y  x

3

y

x

R

29.

 2 y  xdA , donde R es la región limitada por

y  x2  y  2x

R

30.

12xdA ,donde R es la región limitada por

y  x2  y  6  x

R

31.

 2 x  1dA , donde R es el triángulo con vértices ,0; 1,0 y 1,1 R

32.

 2 xdA , donde R es la región limitada por y  R

33.

 y R

y

1 2



dA ,donde

R

1 x ; y  x  y  2 2

es

el

1 ;y  x x2 x2

triángulo

limitado

por

las

rectas

y  e dA , donde R es la región limitada por y  x ; y  1 x  0 3

34.

R 2 y 12x e dA , 2

35.

donde R es la región del primer cuadrante limitada por

R

y  x3  y  x 36.

 y dA , donde R es la región limitada por y  ln x ; y  0  x  e R

En los problemas del 37 al 44, dibuje la región de integración por la integral dada y plantee una integral equivalente con el orden de integración invertido.

37.

2

4 x 2

0

0



f x, y  dx dy

1 2y

38.



0 0

1

39.

0 x3

4

40.

f  x, y  dy dx

x



 0

x

y

e2

f  x, y  dy dx

f x, y  dx dy

2

2

f  x, y  dy dx

41.

 

42.

  f x, y  dy dx

1

ln 3

3

0

ex

1

43.

ln x



2

1 x 2 1

f x, y  dy dx

44.

1

y 1

1

y 1



f x, y  dx dy

En los problemas del 45 al 54 use una integral doble para hallar el área de R.

45.

R es el triángulo con vértices  4,0; 2 ,0 y 2 , 6

46.

R es el triángulo con vértices 0,1;  2 ,1 y 2 ,1

47.

2 R es la región limitada por y  x  y  2 x

48.

R es la región limitada por y  x  y  x 2

49.

R

es la región limitada por

y  x 2  4 x  3 y el eje x

50.

R

es la región limitada por

y  x 2  6 x  5 y el eje x

51.

R

es la región limitada por

y  ln x ; y  0  x  e

52.

R

es la región limitada por

y  x ; y  ln x ; y  0  y  1

53.

R es la región del primer cuadrante limitada por y  4  x 2 ; y  3x  y  0

54.

R

1 2

es la región limitada por

y

16 ; y  xx  8 x