Juntas 3h6mv

I

•

Capítulo

2

FUNDAMENTO ., -DE CINEMATIC-' El azar favorece a la mente preparada. PASTEUR

2.0

INTRODUCCiÓN

En este capítulo se presentarán las definiciones de algunos términos y conceptos fundamentales para la síntesis y el análisis de mecanismos. Se presentarán también algunas herramientas de análisis muy simples pero poderosas que son útiles en la síntesis de mecanismos.

2.1

GRADOS DE LIBERTAD (GDL)

Un sistema mecánico puede clasificarse de acuerdo con el número de grados de libertad (GDL) que posee. El GDL de un sistema es igual al número de parámetros independientes (medidas) que se necesitan para definir univocamente su posición en el espacio en cualquier instante. Observe que el GDL se define con respecto a un marco de referencia seleccionado. En la figura 2-1 se muestra un lápiz colocado sobre una hoja en un plano que tiene un sistema de coordenadas xy. Si este lápiz permanece en el plano del papel se requieren tres parárnetros (GDL) para definir completamente la posición del lápiz en el papel, dos coordenadas lineales (x, y) para definir la posición de cualquier punto del lápiz y una coordenada angular (8) para definir el ángulo que forma ese objeto con respecto al eje x. El mínimo número de medidas necesarias para definir su posición se muestran en la figura corno x, y y 8. Este sistema del lápiz en un plano tiene entonces tres GDL. Observe que los parámetros particulares elegidos para definir su posición no son únicos. Podría utilizarse un conjunto alterno de tres parárnetros. Hay una infinidad de conjuntos de parámetros posibles, pero en este caso deben ser tres por conjunto, por ejemplo dos longitudes y un ángulo, para definir la posición del sistema, ya que un cuerpo rígido en movimiento plano tiene tres GDL. 24

FUNDAMENTOS DE CINEMÁTICA

FIGURA

2-1

Un cuerpo rígido en un plano tiene tres GOL

Considere ahora el lápiz en un mundo tridimensional. Sosténgalo por encima de la cubierta de su escritorio y muévalo respecto a él. Se necesitarán entonces seis parámetros para definir sus seis GDL. Un conjunto paramétrico posible que podría usarse es: tres longitudes (x, y, z) más tres ángulos (9, <\>, p). Cualquier cuerpo rígido en el espacio tridimensional posee seis grados de libertad. Trate de identificar los seis GDL moviendo su lápiz o pluma con respecto a la cubierta de su escritorio. En estos ejemplos el lápiz representa un cuerpo rígido o eslabón, que para los propósitos del análisis cinemático se supondrá que no experimenta ninguna deformación. Ésta es una hipótesis conveniente que permite definir con mayor facilidad los movimientos totales del cuerpo. Después puede sobreponerse cualquier deformación debida a cargas externas o de inercia a los movimientos cinemáticos para obtener una más completa y exacta imagen del comportamiento del cuerpo. Pero recuerde que se está frente a una hoja en blanco en la etapa inicial del proceso de diseño. No se pueden determinar deformaciones de un cuerpo hasta definir tamaño, forma, propiedades del material y cargas. Por consiguiente, en esta etapa se supondrá, para fines de síntesi y análisis cinemáticos, que los cuerpos cinemáticos son rígidos y sin masa.

2.2

TIPOS DE MOVIMIENTO

Para moverse dentro de un marco de referencia un cuerpo rígido libre tendrá, en el caso general, un movimiento complejo, el cual es una combinación simultánea de rotación y traslación. En el espacio tridimensional puede haber rotación alrededor de cualquier eje (un eje oblicuo, o bien, alguno de los tres ejes principales), así como traslación simultánea, que puede descomponerse en componentes a lo largo de tres ejes. En un plano, o espacio bidimensional, el movimiento complejo se vuelve una combinación de rotación

2

•

26

DISEÑO DE MAQUINARIA

CAPíTULO 2

simultánea puesta en exposición miento en

con respecto a un eje (perpendicular al plano), y también traslación, descomcomponentes a lo largo de dos ejes en el plano. Para simplificar, la presente se limitará al caso de sistemas cinemáticos en el plano (2-D). En el moviel plano se definirán estos términos de la siguiente manera:

Rotación

pura

el cuerpo posee un punto (centro de rotación) que no tiene movimiento con respecto al marco de referencia "estacionario". Todos los demás puntos del cuerpo describen arcos respecto a ese centro. Una línea de referencia trazada en el cuerpo, y que pasa por su centro, cambia únicamente su orientación angular. Traslación

pura

todos los puntos en el cuerpo describen trayectorias paralelas (curvas o rectas). Una línea de referencia trazada en el cuerpo cambia su posición lineal pero no su orientación angular. Movimiento

complejo

es una combinación simultánea de rotación y traslación. Cualquier línea de referencia trazada en el cuerpo cambiará su posición lineal y su orientación angular. Los puntos en el cuerpo se moverán en trayectorias no paralelas y habrá en todo momento un centro de rotación, que continuamente cambiará de ubicación. La traslación y la rotación representan movimientos independientes del cuerpo. Cada uno puede presentarse sin el otro. Si se define un sistema de coordenadas bidimensional (2-D) como se muestra en la figura 2-1, los términos en x y y representan las componentes del movimiento de traslación, y el término 8, la componente de rotación.

2.3

ESLABONES, JUNTAS Y CADENAS CINEMÁTICAS

La exploración de la cinemática de mecanismos se iniciará con una investigación tema de diseño de eslabonamientos. Estos sistemas son los componentes básicos todos los mecanismos. Se mostrará en los capítulos siguientes que todas las formas munes de mecanismos (levas, engranes, bandas, cadenas) son de hecho variantes de clase común de eslabonarnientos, los cuales se componen de eslabones y juntas.

del de couna

Un eslabón, como se muestra en la figura 2-2, es (hipotéticamente) un cuerpo rígido que posee por lo menos dos nodos, que son los puntos de unión con otros eslabones. Eslabón binario

el que tiene dos nodos.

Eslabón

ternario

el que tiene tres nodos.

Eslabón

cnaternario

el que tiene cuatro nodos.

Una junta es una conexión entre dos o más eslabones (en sus nodos), la cual permite algún movimiento o movimiento potencial, entre los eslabones conectados. Las juntas (llamadas también pares cinemáticos) se pueden clasificar de varios modos: 1

Por el tipo de o entre los elementos: de línea, de punto o de superficie.

2

Por el número de grados de libertad permitidos en la junta.

3

Por el tipo de cierre de la junta, de fuerza o de forma.

4

Por el número de eslabones conectados (orden de la junta).

FUNDAMENTOS DE CINEMÁTICA

- 0!2

~O(

~,-A

Eslabón binario FIGURA

Eslabón temario

Eslabón cuatemario

2-2

Eslabones de diferente orden

e-:

~

v.A-..

Reuleauxlll acuñó el término par inferior para describir juntas con o de superficie (como el de un pasador dentro de su agujero) y el término de par superior para describir las juntas con o de punto o de línea. Sin embargo, si hay holgura o .espacio libre entre el pasador y su agujero (como debe ser para que haya movimiento), el o de superficie en la junta de pasador es realmente o de línea, pues el pasador toca sólo un "lado" del hueco. Asimismo, a escala microscópica, un bloque deslizante sobre una superficie plana en realidad tiene o sólo en porciones aisladas de superficie, que son las cimas de las salientes o asperezas de las superficies. La principal ventaja práctica de los pares inferiores sobre los pares superiores es su mayor capacidad para atrapar lubricante entre las superficies envolventes. Esto es especialmente cierto para la junta de pasador de rotación. En una junta no envolvente el lubricante se expulsa con mayor facilidad entre las superficies de un par superior. Como resultado, se prefiere la junta de pasador para el caso de bajo desgaste y larga duración, aun sobre su relacionada de par inferior, la junta prismática de corredera. La figura 2-3a) muestra los seis pares posibles inferiores, sus grados de libertad y sus símbolos de una letra. Los pares de rotación (R) y prismáticos (P) son los únicos pares inferiores que se usan comúnmente en los mecanismos en un plano. El tornillo (H), cilíndrico (C), esférico (S), y los pares inferiores planos (F) son todas las combinaciones de la revolución y/o de los pares prismáticos y se usan en los mecanismos espaciales (3-D). Los pares R y P son elementos básicos de los demás pares, los cuales son combinaciones de estos dos, como se muestra en la tabla 2-1. Una forma más útil de clasificar las juntas (pares) es por el número de grados de libertad que hay entre dos elementos unidos. La figura 2-3 también muestra ejemplos de una y dos juntas libres comúnmente encontrada en mecanismos en un plano. En la figura 2-3b) se indican dos formas de una junta plana con una libertad (o par), a saber, una junta de pasador rotacional (R) y una junta de traslación de corredera (P). A ambas uniones se les llama juntas completas (es decir, completa = 1 GDL), y son pares inferiores. La junta de pasador tiene un GDL rotacional y la junta de corredera un GDL traslacional entre los eslabones conectados. Éstos son casos especiales de otra junta común, con un grado de libertad, la de tornillo y tuerca (véase la figura 2-3a». El movimiento de la tuerca con respecto al tornillo o viceversa resulta en movimiento helicoidal. Si el ángulo de hélice es cero, la tuerca gira sin avanzar y se tiene así la junta de pasador. Si el ángulo de hélice es de 90° la tuerca se trasladará a lo largo del eje del tornillo, y se tiene así la junta de corredera.

TABLA

2-1

los seis pares inferiores Nombre (símbolo)

GOL

Contiene

Rotación (R) Prismático (P)

R

Helicoidal (H) Cilíndrico

RP

P

2

RP

3

RRR

3

RPP

(C) Esférico (S)

En un plano (F)

DISEÑO DE MAQUINARIA

28

CAPíTULO2

-l1x-

Junta de rotación (R) (1 GDL)

Junta de pasador completa para rotación (R) (con cierre de forma) b) Juntas completas

Junta de corredera completa para traslación (P) (con cierre de forma) de un GOL (pares inferiores)

-/';.x

-

Junta prismática (P) (1 GDL)

Pasador en ranura (con cierre de forma)

Eslabón apoyado contra un plano (con cierre de fuerza) Junta helicoidal (H) (1 GDL)

e) Semijuntas de rodamiento-deslizamiento

de dos GOL (pares superiores)

ref.

Junta cilíndrica (C) (2 GDL)

Junta de pasador de primer orden de un GDL (dos eslabones conectados)

Junta de pasador de segundo orden de dos GDL (tres eslabones conectados)

d) El orden de una junta es menor en uno que el número de eslabones unidos

Junta esférica (S) (3 GDL)

Junta en un plano (F) (3 GDL)

Puede rodar, deslizar, o rodar y deslizar según la fricción a) Los seis pares inferiores

FIGURA 2-3 Juntas (pares) de diversos tipos

e) Junta de rodamiento puro (R), de deslizamiento puro (P) o de rodamiento (RP),uno o dos GDL (pares superiores)

AMENTOS DE CINEMÁTICA

En la figura 2-3c) se muestran ejemplos de juntas con dos grados de libertad (pares periores) que permiten simultáneamente dos movimientos relativos independientes, a r, traslación y rotación entre los eslabones conectados. Paradójicamente, esta junta dos libertades a veces se denomina "semijunta", con sus dos libertades colocadas el denominador. En ocasiones la semijunta se denomina también junta de rodamieneslizamiento, ya que permite ambas formas de movimiento. Una junta de rótula (o bola) y casquillo (véase la figura 2-3a)) es un ejemplo de una junta con tres libertades, permite tres movimientos angulares independientes entre los dos eslabones conecta. Esta junta de rótula se aplicaría típicamente en un mecanismo tridimensional; por 'emplo, las juntas de bola en el sistema de suspensión de un automóvil. Una junta con más de un grado de libertad por lo general es también un par superior, mo se muestra en la figura 2-3c). Las juntas completas (pares inferiores) y las semijun(pares superiores) se utilizan en mecanismos plan ares (2-D) y espaciales (3-D). Observe que si no se permite deslizamiento entre los dos eslabones de la figura 2-3c) conecdos por una junta de rodamiento-deslizamiento, quizá al proporcionar un elevado ficiente de fricción entre ellos se puede "bloquear" la libertad de traslación (Ax) y er que funcione como una junta completa. Esto se llama entonces junta de rodamiento puro y sólo tiene libertad rotacional (ile). Un ejemplo común de este tipo de junta es llanta de automóvil que rueda sobre el pavimento, como se muestra en la figura 2-3e). En uso normal hay rodamiento puro y no deslizamiento en esta junta, a menos, desde ego, que se desplace sobre un camino helado o se maneje con demasiado entusiasmo por aceleración o los virajes. Si se aplican los frenos al desplazarse sobre hielo, esta junta se nvierte en una de deslizamiento puro, como la de corredera de la figura 2-3b). La icción determina el número real de libertades en esta clase de junta. Puede ser de rodamiento puro, de deslizamiento puro o de rodamiento-deslizamiento. Para imaginar el grado de libertad de una junta en un mecanismo es útil "desconectar mentalmente" los dos eslabones que forman la junta, respecto del resto del mecanismo. puede ver entonces con más facilidad cuántas libertades tienen entre sí los dos eslaboes conectados. En la figura 2-3c) se muestran también ejemplos de juntas con cierre de forma y con cierre de fuerza. Una junta con cierre de forma se mantiene unida o cerrada por su eeometria. Un pasador en su agujero o una corredera en su ranura o guía de dos lados .enen cierre de forma. En contraste, una junta con cierre de fuerza, como un pasador en un medio cojinete, o una corredera sobre una superficie, requieren alguna fuerza externa para mantenerse en o o cierre. La gravedad, un resorte u otros medios externos podrían proporcionar esta fuerza. Como se verá, puede haber diferencias sustanciales en el comportamiento de un mecanismo debido a la elección de cierre de fuerza o de forma. La elección se debe considerar cuidadosamente. En los eslabonamientos por lo general se prefiere el cierre de forma y es fácil de lograr. Pero para sistemas de leva-seguidor on frecuencia se prefiere el cierre de fuerza. Este tema se explorará en capítulos subsiguientes. En la figura 2-3d) se muestran ejemplos de juntas de diversos órdenes; el orden se define como el número de eslabones conectados menos uno. Se necesitan dos eslabones para constituir una junta simple; por tanto, la conexión más simple de dos eslabones tiene un orden igual a uno. A medida que se agregan eslabones a la misma junta, aumenta el orden de ésta de uno en uno. El orden de una junta es significativo en la determinación apropiada del grado total de libertad para el ensamblaje. En el capítulo 1 ya se dieron definiciones para el mecanismo y la máquina. Si se definen los elementos cinemáticos

l'

30

DISEÑO DE MAQUINARIA

CAPíTULO 2

de eslabones y juntas, entonces es posible definir con mayor precisión aquellos dispositivos con base en las clasificaciones de Reuleaux de cadena cinemática, mecanismo y máquina.Ul Una cadena cinemática

se define como:

Un ensamblaje de eslabones y juntas, interconectados de modo que proporcionen un movimiento de salida controlado en respuesta a un movimiento de entrada proporcionado. Un mecanismo

se define como:

Una cadena cinemática en la que por lo menos se ha fijado o sujetado un eslabón al marco de referencia (el cual puede estar en movimiento). Una máquina

se define como:

Una combinación de cuerpos resistentes dispuestos para hacer que las fuerzas mecánicas de la naturaleza realicen trabajo acompañado por movimientos determinados. Según la definición de Reuleaux.Ul una máquina es un conjunto de mecanismos dispuestos para trasmitir fuerzas y realizar trabajo. De acuerdo con su planteamiento, todos los dispositivos que trasmiten energía o fuerzas son máquinas que utilizan mecanismos como elementos que proporcionan las restricciones de movimiento necesarias. Se definirá ahora una manivela como un eslabón que efectúa una revolución completa y está pivotado a un elemento fijo; un balancín es un eslabón que tiene rotación oscilatoria (de vaivén) y está pivotado a un elemento fijo, y una biela (o acoplador), como un eslabón que tiene movimiento complejo y no está pivotado a un elemento fijo a tierra. La fijación se define como cualquier eslabón o eslabones que están sujetos en el espacio (sin movimiento) en relación con el marco de referencia. Observe también que el propio marco puede, de hecho, estar en movimiento.

2.4

DETERMINACiÓN DEL GRADO DE LIBERTAD

El concepto de grado de libertad (GDL) es fundamental los mecanismos. Es necesario determinar rápidamente el nes y juntas que pueden sugerirse como solución de un (también llamado movilidad M) de un sistema se puede

para la síntesis y el análisis de GDL de un conjunto de eslaboproblema. El grado de libertad definir como:

Grado de libertad el número de entradas que se necesita proporcionar con la finalidad de crear una salida predecible; también: el número de coordenadas independiente

requerido para definir su posición.

En el inicio del proceso de diseño suele disponerse de alguna definición general del movimiento de salida deseado. El número de entradas necesario para obtener tal salida puede o no estar especificado. Aquí el costo es la principal restricción. Cada entrada requerida necesitará de algún tipo de actuador, ya sea un operario humano o un "esclavo" en forma de motor, solenoide, cilindro neumático o de otro dispositivo de conversión de energía. (Dichos dispositivos se describen en la sección 2.15.) Estos dispositivos de entradas múltiples deberán coordinar sus acciones por medio de un "controlador", que a su vez debe poseer cierto grado de inteligencia. Ahora este control se suele proporcionar

NTOS DE CINEMÁTICA

te una computadora, pero también puede estar programado mecánicamente dentro ño del mecanismo. No se requiere que el mecanismo tenga sólo un GDL, aunque udo esto es deseable para simplificar. Algunas máquinas tienen muchos GDL. Por lo. considere el número de palancas de controlo cilindros actuadores que se encuenen un buldózer o en una grúa. Véase la figura l-lb). Las cadenas cinemáticas o mecanismos pueden ser abiertos o cerrados. En la figura presenta un mecanismo abierto y otro cerrado. Un mecanismo cerrado no tendrá de conexión con apertura o nodos y puede tener uno o más grados de libertad. Un _:clm's mo abierto con más de un eslabón tendrá siempre más de un grado de libertad, y esto necesitará tantos actuadores (motores) como GDL tenga. Un ejemplo común de anismo abierto es un robot industrial. Una cadena cinemática abierta de dos esLabobinarios y una junta se denomina díada. Los conjuntos de eslabones que se muestran figuras 2-3a) y 2-3b) son díadas. Reuleaux limitó sus definiciones a las cadenas cinemáticas cerradas y a los mecanis- que tienen sólo un GDL, a los que llamó restringidosví Las amplias definiciones riores están quizá mejor adaptadas a aplicaciones actuales. Un mecanismo con múle GDL, como un robot, estará restringido en sus movimientos de acuerdo con el . ero necesario de entradas que se proporcionen para controlar todos sus GDL.

ados de libertad en mecanismos en un plano determinar los GDL totales de un mecanismo se debe tener en cuenta el número labones y juntas, así como las interacciones entre ellos. Los GDL de un ensamblaje de slabones pueden predecirse a partir de una investigación de-la condición de Gruebler.Fl .n eslabón cualquiera en un plano tiene tres GDL. Por consiguiente, un sistema de L slabones no conectados en el mismo plano tendrá 3L GDL, como se muestra en la figura _- -a), en la que dos eslabones no conectados tienen en total seis GDL. Cuando estos dos labones están conectados por una junta completa, como se muestra en la figura 2-5b), ~YI Y ~Y2 se combinan como ~y, y &1 Y &2 se combinan como &. Esto elimina dos GDL y deja cuatro. En la figura 2-5c) la semijunta elimina sólo un GDL del sistema debido a que una semijunta tiene dos GDL) y queda el sistema de dos eslabones conectados por una semijunta, con un total de cinco GDL. Además, cuando un eslabón cual-

a) Cadena de mecanismo abierta FIGURA

2-4

Cadenas de mecanismos

b) Cadena de mecanismo cerrada

32

DISEÑO DE MAQUINARIA

CAPíTULO 2

a) Dos eslabones no conectados GDL=ó

b) Conectados por una junta completa

GDL=4

e) Conectados por una semijunta de rodamiento-deslizamiento GDL=5

( boa¡ FIGURA

2-5

Juntas que eliminan grados de libertad

quiera se fija o sujeta al marco de referencia, sus tres GDL se eliminarán. Este razonamiento conduce a la ecuación de Gruebler: M= 3L- 2J- 3G

donde:

M = grados L = número J = número G = número

(2.la)

de libertad o movilidad de eslabones de juntas de eslabones fijos

Observe que en un mecanismo real, aun cuando más de un eslabón de la cadena cinemática esté fijo, el efecto neto será crear un eslabón fijo mayor y de orden superior, ya que sólo hay un plano de sujeción. Por tanto, G es siempre igual a uno y la ecuación de Gruebler se convierte en: M=3(L-I)-2J

(2. lb)

\6.MENTOS DE CINEMÁTICA

El valor de J en las ecuaciones 2.la y 2.lb debe reflejar el valor de todas las juntas en mecanismo. Es decir, las semijuntas cuentan como 1/2 debido a que sólo eliminan un DL. Esto es menos confuso si se utiliza la modificación de Kutzbach para la ecuación Gruebler en esta forma: M = 3(L - 1) - 21] -

de:

M= L= J] = 12=

grados número número número

h

(2.1c)

de libertad o movilidad de eslabones de 1 GDL, juntas completas de 2 GDL, semijuntas

El valor de J] y h en estas ecuaciones aún debe determinarse cuidadosamente para iderar todas las juntas completas, las semijuntas y las juntas múltiples en cualquier narniento. Las juntas múltiples cuentan en una unidad menos que el número de nes conectados en tal junta, y se agregan a la categoría de "completas" (1]). Los DL de un mecanismo propuesto pueden determinarse rápidamente a partir de esta exión antes de invertir tiempo en un diseño más detallado. Es interesante observar que ecuación no aporta información acerca de tamaños o formas de eslabones, sino sólo antidad. En la figura 2-6a) se muestra un mecanismo con un GDL y sólo juntas pletas en éste.

-

En la figura 2-6b) se presenta una estructura con cero GDL que contiene semijuntas tas múltiples. Observe la notación esquemática utilizada para mostrar el eslabón . Dicho eslabón no necesita dibujarse en detalle, en tanto se indiquen todas las juntas . Considere también las juntas múltiples y semijuntas en las figuras 2-6a) y 2-6b). o ejercicio determine los GDL en estos ejemplos con la ecuación de Kutzbach.

ados de libertad en mecanismos espaciales enfoque usado para determinar la movilidad de un mecanismo en un plano puede rrapolarse fácilmente a tres dimensiones. Cada eslabón no conectado en el espacio idimensional tiene seis GDL y cualquiera de los seis pares inferiores puede usarse para ectarlos, como pueden ser pares superiores con más libertad. Una junta de una liberelimina cinco GDL, una junta de dos libertades elimina cuatro GDL, etcétera. Al fijar e labón se eliminan seis GDL. Esto conduce a la ecuación de movilidad de Kutzbach eslabonamientos espaciales: (2.2) nde el subíndice se refiere al número de libertades de la junta. En este texto se limitará e tudio a mecanismos en 2-D.

2.5

MECANISMOS Y ESTRUCTURAS

grados de libertad de un ensamblaje de eslabones predicen por completo su carácter. Hay ólo tres posibilidades. Si el GDL es positivo se tendrá un mecanismo y los eslabotendrán movimiento relativo. Si el GDL es igual a cero, entonces se tendrá una estructura y no será posible ningún movimiento. Si el GDL es negativo, entonces se tendrá una estructura precargada, lo que significa que no será posible ningún movi-