Kit Partikeltechnik Formelsammlung 5o4f4h

1. Partikelgrößenverteilungen 𝑥 +𝑥 Messintervall der Breite 𝛥𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 – 𝑥𝑖−1 ; 𝑥̅ 𝑖 = 𝑖−12 𝑖 Index: Anzahl = 0; Oberfläche = 2; Volumen, Masse = 3 𝑚 [−] relative Häufigkeit: 𝐻𝑖 = 𝑖

12. neue Gesamtdichte: 𝜌𝑔𝑒𝑠 =

𝑄𝑟 (𝑥𝑖 )−𝑄𝑟 (𝑥𝑖−1)

1 𝑚𝑖 1 [ ] ; ∑𝑖𝑘=1 𝑞𝑟 (𝑥̅𝑘 )∆𝑥𝑘 ∑ 𝑚𝑖 ∆𝑥𝑖 𝜇𝑚 ∑𝑖𝑘=1 𝑚𝑘 𝑖 = ∑𝑘=1 𝑞𝑟 (𝑥̅ 𝑘 ) ∆𝑥𝑘 [−] ∑∞ 𝑘=1 𝑚𝑘

∆𝑥𝑖

𝑑𝑧 𝑑𝑙𝑛(𝑥) des Größenmerkmals (x ↔ z): 𝑞 ′ (𝑧) 𝑑𝑥 = 𝑞(𝑥); 𝑑𝑥 𝑗 (𝑥̅ Momente einer Verteilung: 𝑀𝑗,𝑟 = ∑∞ 𝑥̅ 𝑞 𝑖 )∆𝑥𝑖 𝑖=1 𝑖 𝑟 𝑥̅ 𝑟−𝑠𝑞 (𝑥̅ ) Umrechnung von qs  qr: 𝑞𝑟 = 𝑖 𝑀 𝑠 𝑖

1 𝑑𝑙𝑜𝑔(𝑥)

= 𝑥;

𝑥

Kelvin-Gl.: 𝑅𝑇𝑙𝑛

0,0

; Vol.-gew. mittl. DM 𝑥̅3 = 𝑀1,3 = 2 1 (𝜉−𝜉̅ )

Normal-VT: 𝑁𝑉𝑇(𝜉) = 𝜎√2𝜋 𝑒𝑥𝑝 {− 2 log-NVT: log 𝑁𝑉𝑇(ln 𝑥) = ln 𝜎

}

𝑒𝑥𝑝 {− 2

(ln 𝜎𝑔)

1 (ln 𝑥−ln 𝑥𝑔)

1

𝑔 √2𝜋

𝑒𝑥𝑝 {− 2

𝑀3,0

𝑀𝑗+𝑟,0

| 𝑀𝑗,𝑟 =

𝑀𝑟,0

(ln 𝜎𝑔)

}; Darst. auf lin. x-

2

2

1

1

} = log 𝑁𝑉𝑇(ln 𝑥) ∙ 𝑥 𝑥

2

1

1

𝑗

𝑥𝑚𝑜𝑑,𝑟 = 𝑥𝑔,𝑟 𝑒𝑥𝑝{−1 ln2 𝜎𝑔 }; 𝑥̅𝑟 = 𝑥𝑔,𝑟 𝑒𝑥𝑝 {+ 2 ln2 𝜎𝑔 } ; 𝑀𝑗,𝑟 = 𝑥𝑔,𝑟 𝑒𝑥𝑝 {+ 2 j2 ln2 𝜎𝑔 } 𝑥𝑔,𝑟 = 𝑥𝑔,0 𝑒𝑥𝑝{+𝑟 ln2 𝜎𝑔 }; 𝑥̅𝑟 = 𝑥̅0 𝑒𝑥𝑝{+𝑟 ln2 𝜎𝑔 } = 𝑥𝑔,0 𝑒𝑥𝑝{+(𝑟 + 1⁄2) ln2 𝜎𝑔 }

3

3

𝑘𝑇

𝑟 3 𝑣 𝑙𝑛𝑆 1

̅𝐿 2𝜎𝑉

1

𝑟 ∗2 𝜎 ~

mit krit. Clusterradius 𝑟 ∗ = 𝑅𝑇𝑙𝑛𝑆 (𝑙𝑛𝑆)2

∆𝐺∗

−

∗2

1. Wenn 𝑝 ∙ 𝑉 𝜅 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. gilt mit 𝑛 ∙ 𝑅 ∙ 𝑇 ∙ 𝑉 𝜅−1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. →

2. Trennfunktion

𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

𝐴𝑛𝑡𝑒𝑖𝑙 𝑖𝑚 𝑅ü𝑐𝑘𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑

𝑇2 𝑇1

𝜅−1

𝑉

= ( 1) 𝑉2

5. Partikelwachstum durch Kollisionen

Def.: qA(x)=VT im Aufgabegut, qD(x)= im Durchgang, qR(x)= im Rückstand Mengenanteile Rückstand r, Durchgang d | r+d = 1 | qA(x)=r qR(x) + d qD(x) ∞ ∞ 𝑟 𝑞 (𝑥) 𝑑 𝑞 (𝑥) 𝑇(𝑥) = 𝑞 𝑅(𝑥) = 1 − 𝑞 𝐷(𝑥) ; ⏟ ∫0 𝑇(𝑥) 𝑞𝐴 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑟 ⏟ ∫0 𝑞𝑅 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑟 𝐴

𝐴

𝑟: 𝐺𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡𝑎𝑏𝑠𝑐ℎ𝑒𝑖𝑑𝑒𝑔𝑟𝑎𝑑

1

Vorausstzg: Relativbew. zw. P.: therm. Diff., Turbulenz, Anziehungskräfte zw. P., gerichtete Bew. (in Scherström.) 𝑑𝑛 1 ∑ Smoluchowski-Gleichung: 𝑑𝑡𝑘 = ⏟ 𝛽 𝑛 𝑛 −𝑛 ⏟𝑘 ∑∞ 𝑖 𝛽𝑖𝑘 𝑛𝑖 2 𝑖+𝑗=𝑘 𝑖𝑗 𝑖 𝑗

Für enge VT gilt 𝛽𝑖𝑗

𝑥

Massenkräfte-Transport: - stat. Sinkgeschw. (Schwerefeld): 𝑤𝑠𝑖𝑛𝑘 = 𝑥 2∆𝜌 𝑈

𝜏𝑃

- beschl. Partikel: 𝑆𝑡 = 𝐿⁄𝑈 =

18𝜇 𝐿

𝑤

𝑥 2∆𝜌

𝑔 = 𝜏𝑃 𝑔

18𝜇

; τP=Relaxationszeit, U=Geschw., L=Durchmesser ̅̅̅̅̅ ∆𝑠 2

Diffusionstransport: Diffusionskoeffizient D: 𝐷 = Partikelbeweglichkeit B: 𝐵 =

𝑤

𝑘𝑇

= 𝐵 ∙ 𝑘𝑇 = 3𝜋𝜇𝑥

∆𝑡

1

𝑑𝑁 𝑑𝑡

= ∑∞ 𝑘=1

𝑑𝑛𝑘 𝑑𝑡

𝐸𝑛𝑡𝑠𝑡𝑒ℎ𝑢𝑛𝑔𝑠𝑟𝑎𝑡𝑒 𝛽0 ∞ ∑ ∑ 𝑛𝑛 2 ⏟𝑘=1 𝑖+𝑗=𝑘 𝑖 𝑗

=

𝑉𝑒𝑟𝑙𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑡𝑒

𝑁2

𝑑𝑡

=−

𝛽0 2

𝑁0

𝑁 2; Lsg. der DGL: 𝑁(𝑡) =

𝑁

2

= 1+𝑡0⁄𝜏 mit 𝜏𝑘 = 𝑁 𝛽 ⏟ 0 0 𝑘

𝛽 2 𝐾

1+𝑁0 ⏟0𝑡

𝐻𝑎𝑙𝑏𝑤𝑒𝑟𝑡𝑠𝑧𝑒𝑖𝑡

𝑘𝑇

2𝑘𝑇

𝐷 = 𝐵𝑘𝑇 = 3𝜋𝜇𝑥 folgt 𝛽𝑖𝑗 =

1

1

𝑖

𝑗

8𝑘𝑇

(𝑥𝑖 + 𝑥𝑗 ) ( + ); xi=xj: 𝛽𝑖𝑖 ≡ 𝛽0 = 𝑥 𝑥

3𝜇

3𝜇

1. Partikel B auf Trägerp. A mit 𝑛𝐴 ≈ 𝑛𝐴,0 ; 𝑥𝐴 ≫ 𝑥𝐵 und 𝐷𝐴 + 𝐷𝐵 ≈ 𝐷𝐵 → 𝛽𝐴𝐵 ≈ 2𝜋𝑥𝐴 𝐷𝐵 𝑑𝑛𝐵

ohne Entstehungsrate:

Auf Massenkräfte beruhende Trennvorgänge haben eine „nach rechts“ ansteigende Trennfunktion Auf Diff.transport beruhende Trennvorgänge haben eine „nach links“ ansteigende Trennfunktion

= −𝛽𝐴𝐵 𝑛𝐵 𝑛𝐴,0 = −2𝜋𝑥𝐴 𝐷𝐵 𝑛𝐵 𝑛𝐴,0 ; Integration:

𝑑𝑡

𝑛𝐵,0 −𝑛𝐵 (𝑡)

𝑛𝐵 (𝑡) = 𝑛𝐵,0 exp(−2𝜋𝑥𝐴 𝐷𝐵 𝑛𝐴,0 𝑡); Mittlere Zahl an B auf A =

; nges= nB(t) + nA,0

𝑛𝐴,0

𝑃𝑟𝑖𝑚ä𝑟𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑘𝑒𝑙

𝑁0

2. Polymerisation: Anzahl 𝑗1 = 𝑎𝑢𝑠𝑔𝑒ℎä𝑟𝑡𝑒𝑡𝑒 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑘𝑒𝑙 = 𝑁(𝑡

Porosität, 𝑥̅ = mittl. Partikelgröße, ρF = Fluiddichte, μ = Fluidviskosität ∆𝑝

𝑥̅ v0

𝑥̅

Kennzahlen: ∏1 = 𝜌v2 = 𝐸𝑢, ∏2 = 𝜇/𝜌 = 𝑅𝑒, ∏3 = 𝜀, ∏4 = ∆𝐿 1

∆𝐿

1

𝐿

1−𝜀

Molerus (𝑅𝑒 < 1): 𝜌v2 ≡ 𝐸𝑢 = 22,4 ∙ 𝑅𝑒 ∙ 𝑥 ∙ 𝜀4,5 (basiert auf realen Schüttgütern) ⏟1,2 0 𝑃−1

1

𝜀

𝜇v

v0

𝐻

𝜀

𝑑𝐻 = 4 𝑈 = 4 𝑆

𝑉 1−𝜀

mit 𝑆𝑉 = 𝑥

𝑑𝐻 v0 𝜇/𝜌

=

⇒ ∆𝑝 = 72 𝑥 2 ⏟1,2

1,2

(1−𝜀)2

∆𝑝

2 Ergun-Modell: ∆𝐿 = 4,16 ⏟ 𝑆𝑉

gilt für 𝑅𝑒 ∗ =

1 (1−𝜀)2

6

𝜀3

𝜇v0 + 0,29 ⏟ 𝑆𝑉

𝑅𝑒≪1 ∝ v 𝑥1,2 v0 2⁄3 𝜀

𝑃−1 (1−𝜀) 𝜀3

∆p

und

1)

3

𝑚𝑓 )

für Re > 100: 𝑅𝑒𝑚𝑓 = √

3 𝐴𝑟 𝜀𝑚𝑓

1,75

𝜀3

𝑚𝑓 ; v𝑚𝑓 = √1,75

∆𝜌𝑔𝑥̅ 𝜌𝑓

Mit Gutrückführung („Förderung“) ε = const Ohne Gutrückführung ε1

v

log-Skala lesen:

3

1

𝑅𝑒 2

𝑤

𝐴𝑟

= 4 𝑅𝑒 2 𝑐𝑊 ⇒ 𝑐 ∝ 𝑥

&

ℎ𝑚𝑓 ℎ0

v

∆𝜌𝑔𝑥̅ 2 𝜈𝜌𝑓

1

𝜀3

= 150 (1−𝜀𝑚𝑓

𝑤𝑠

𝑚𝑓 ) 18

∆𝜌𝑔𝑥̅ 3

𝜇

,𝜈 = 𝜌

𝜈 2 𝜌𝑓

𝑚𝑓

3𝜇 1

𝑇

1 lg(t) bzw. lg(x)

4

1

1

𝑊

𝑤

und 𝑁(𝑡) =

𝑁0 1+𝑡/𝜏

lg(t) bzw. lg(x)

mit 𝜏 =

1

𝑛 (𝑡) 𝑑𝑛1

: ∫𝑁 1

𝐾∙𝑁0

0

𝑛1

𝑡

= −𝛽0 ∫0

𝑁0 1+𝑡/𝜏

𝑑𝑛1 𝑑𝑡

= 0 − 𝛽0 ∙ 𝑛1 ∙ ∑𝑛𝑖 mit ∑𝑛𝑖 = 𝑁(𝑡)

𝑑𝑡 mit 𝛽0 ∙ 𝑁0 = 2/𝜏 → ln

𝑛1 (𝑡) 𝑁0

𝑡

= −2 ln ( + 1) →

𝑑𝑛2 𝑑𝑡

=

𝛽0

∙ 𝑛1 ∙ 𝑛1 − 𝛽0 ∙ 𝑛2 ∙ ∑𝑛𝑖 =

2

𝛽0 2

∙[

𝑁0 𝑡 2 𝜏

(1+ )

] − 𝛽0 ∙ 𝑛2 ∙

𝜏

𝑁0

4. Änderung von v mit T: neues Ar (mit dP = bekannt und ρf, 𝜈 = f(T): 𝜌𝑓 ∝ 3 𝜈(𝑇 ) 𝜌(𝑇 ) 𝑇 𝑇 3/2 𝑇 −1 : 𝜌(𝑇1 ) = 𝑇2 𝑢𝑛𝑑 𝜈 ∝ 𝑇 2 : 𝜈(𝑇1 ) = (𝑇1 ) ) -> neues Ω (auf ε = const.) -> v 2 1 2 2 5. Max. Agglomeration, bevor WS kollabiert: Ω = const. bzw. neu mit ∆ρAgglo -> neues Ar (auf εmf) -> dP,max 𝑚 6. Höhe der WS: 𝑉 = 𝜌 𝑃 = 𝐴𝑊𝑆 ∙ ℎ ∙ (1 − 𝜀) 𝑃

7. Änd. von mP/VP: neues ρP -> neues Ar (mit xneu) und Ω -> Schnittpunkt = εneu 𝑚∙𝑔

= (1 − 𝜀𝐹𝑒𝑠𝑡𝑏𝑒𝑡𝑡 ) ∙ ℎ𝐹𝑒𝑠𝑡𝑏𝑒𝑡𝑡 ∙ 𝑔 ∙ ∆𝜌 𝐴 9. Gebläseleistung: 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 𝑉̇ ∙ ∆𝑝𝑔𝑒𝑠 = 𝑉̇ ∙ (∆𝑝𝐺𝑎𝑠𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑖𝑙𝑒𝑟 + ∆𝑝𝑊𝑆 (𝑚𝑚𝑎𝑥 )) 10. Dichte = f(T): mit id. Gasgesetz 𝑉 ∝ 𝑇 → 𝜌 ∝ 𝑇 −1 : 𝜌(𝑇2 )/𝜌(𝑇1 ) = 𝑇1 /𝑇2

1 𝑥2

; Ansatz von Bond: 𝑑𝐸 ~ − 𝑥 −1,5 𝑑𝑥

mit ∆𝑒 =

1

1

𝑥1

1

− 𝑥 ]; ∆𝑒𝐵𝑜𝑛𝑑 = 𝑐𝐵 [

−

√𝑥1

0

1 √𝑥0

𝑑3 6 𝑒𝑛𝑑

𝑉𝑝

𝐸

) ~𝑇𝑥03 𝑒𝑥𝑝 {+ 𝑘𝑇𝑎 } , 𝐷𝑚 = 𝐷0 𝑒𝑥𝑝 {− 𝑘𝑇𝑎 }

̃ 𝑀

und 𝑉𝑚𝑜𝑙 = 𝜌∙𝑁

𝐴

Umstrukturierungskinetik: Tr. Kraft = Maximierung der Koordinationszahl KZ der Primärpartikeln im Agglomerat 𝑑𝐾𝑍 1 𝐸 Weber&Friedlander-Modell: 𝑑𝑡 = − 𝜏 (𝐾𝑍 − 𝐾𝑍∞ ) mit 𝜏 = 𝐴 𝑒𝑥𝑝 {𝑘𝑇𝑎 } Konkurrierende Wachstumskinetiken: Kollisionswachstum ⁄ Sinterwachstum 𝜏𝑠 ~𝑥 3 𝑒 +𝐸 𝑘𝑇 ; 𝑠𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑠

𝜏𝐾 ~[𝑥 1⁄2 𝑇 1⁄2 𝑁0 ] ; 𝑁 → 𝑁0 ⁄2 𝑥

→ 1/𝑒 Kondensationsw. 𝜏𝐾𝑜𝑛𝑑 ~[𝑝𝑠 (𝑆 − 1)]−1 ; 𝑥 = 𝑒 𝜋

𝜋

6

6

1. Versinterung zu id. Kugel aus 2 Partikeln: 𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 2 𝑑03 =

𝑠𝑒𝑥𝑧𝑒𝑠𝑠,𝑟𝑒𝑙 =

𝑠0 −𝑠1 𝑠1

0

𝑑13; 𝑠𝑒𝑥𝑧𝑒𝑠𝑠 = 𝑠0 − 𝑠1 = 2𝜋𝑑02 − 𝜋𝑑12

; für ssinter ≤ 1,02 sKugel: 1,02 𝑠1 − 𝑠1 = (𝑠0 − 𝑠1 )𝑒

−𝑡 ⁄𝜏

0,02

→ 𝑡 = −𝜏 𝑙𝑛 (𝑠

)

𝑒𝑥𝑧𝑒𝑠𝑠,𝑟𝑒𝑙

∆𝑥

2. Koagulation + Sintern: Verweilzeit 𝜏 = 𝑣 ; 𝜏 = 𝑡𝑘𝑜𝑎𝑔 + 𝑡𝑠𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟 → 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑑(𝑡) 𝑎𝑢𝑓𝑙ö𝑠𝑒𝑛 𝑥

3. Exzessoberfläche 𝜑 = 𝜏𝑠𝑜𝑙𝑙 𝜏𝑖𝑠𝑡

= ln (

𝜑𝑖𝑠𝑡 (𝑡) 𝜑0

𝑠 𝑠𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑠 → 𝜑(𝑡) = 𝜑0 exp (− 𝑡𝜏); 2 gl. Kugeln: 𝜑0 = 𝑠𝑒𝑥𝑐,0 = 𝑒0; 𝑠𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑠,0 𝑒𝑥𝑐,0 𝑉𝑝 𝜑𝑠𝑜𝑙𝑙(𝑡) 3𝑘𝑇 𝜏(𝑇1 ) 𝑇1 𝐷(𝑇0 )

)⁄ln (

𝜑0

) mit 𝜏 =

(

64𝜋𝜎𝐷𝑚 𝑉𝑚𝑜𝑙

)→

𝜏(𝑇0 )

𝜑(𝑡=𝜏) 𝜑0

=

𝑒−1

= 𝑇 ∙ 𝐷(𝑇 ) 0

1

3 ⁄ 3 4. Verhältnis der Sinterzeiten bei Verdopplung des Vol.: 𝑡2 /𝑡1 = 𝜏2 /𝜏1 = 𝑑𝑝,2 𝑑𝑝,1 = 2 5. Abrupter Abbruch des Koaleszenzwachstums: Es entstehen lockere Agglomerate mit gut getrennten Primärpartikeln, die vorwiegend durch VdW-Kräfte zsm gehalten werden

𝑅

(

𝑝𝑖(𝑇0 )𝑉0 𝑇0

−

𝑝𝑖(𝑇1 )𝑉1 𝑇1

) = 𝑉0

̃𝐻2𝑂 𝑀

𝑀𝐻2𝑂 𝑝𝑖(𝑇0 )

−

−

𝑇0 𝑝𝑖(𝑇0 )

𝑐0 𝑅 𝜌𝐻20,1

𝑀𝐻2𝑂

(

(

𝑅

̃𝐻2𝑂 𝑀

𝑇0

𝑝𝑖(𝑇1 )𝑉1

𝑇1 𝑉0 𝑝𝑖(𝑇1 )𝑉1 𝑇1 𝑉0

) und Δ𝑚𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑘𝑒𝑙 = Δ𝑉𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑘𝑒𝑙 𝜌𝐻20,1 =

) mit id. GG (Luft):

𝑝0 𝑉0

𝑝(𝐻1 )𝑉1

=

𝑇0

𝑇1

⇒

𝑉1 𝑉0

Δ𝑚𝑔𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡 𝑛𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑘𝑒𝑙 𝑝0 𝑇1

=

𝑝(𝐻1 )𝑇0

8. Emulsion Emulsion = disperses Mehrphasensystem (min. 2 kaum ineinander lösbare Fl.), äußerlich homogen, kontinuierliche und dispers verteilte Phase (z.B. O/W); Emulgieren = Formulierungstechnologie zum Einstellen von Produkteigen. Thermodynamisch stabile Emulsion Thermodynamisch instabile Emulsion - Änd. der fr. Enthalpie bei Bildung der Emulsion dG<0 - Änd. der fr. Enthalpie bei Bildung der Emulsion dG>0 - spontane Bildung bei Zusammenführen der Phasen - Erzwingen der Emulsionsbild. durch Energieeintrag - meist durchsichtig - nicht durchsichtig - stabil, auch über sehr lange Zeiträume - instabil, Veränd. der Tropfengröße bis Brechen der Emulsion; stabil bis min. MHD -> kin. stabilisierte E - i,A, Zusatzstoffe benötigt, um dG<0 erreichen zu - Zusatzstoffe nötig, um Emulsionscharakter über einen können: Kombination aus ausgewählten Emulgatoren gewünschten Zeitraum aufrecht zu erhalten: und s.g. Co-Emulgatoren (i.d.R. Alkoholen) Emulgatoren und Dickungsmittel Stabilität: Gibb’sche Freie Enthalpie 𝑑𝐺 = −𝑆𝑑𝑇 ⏟ + ⏟ 𝑉𝑑𝑝 + 𝑑𝐴 +  𝑑𝑄 + ∑ 𝜇𝑖 𝑑𝑛𝑖 (dG<0 = stabil; nur Mikroem.) 𝑊ä𝑟𝑚𝑒

𝑀𝑒𝑐ℎ.

𝐺𝑟𝑒𝑛𝑧𝑓𝑙. 𝐸𝑙𝑒𝑘𝑡𝑟. 𝐶ℎ𝑒𝑚. 𝐴𝑟𝑏𝑒𝑖𝑡

Instabilitäten: Sedimentation/Aufrahmen (Tropfengröße, Dichteunterschied, Viskosität), Phaseninversion (Emulgator), Ostwaldreifung (Oberflächenspannung, Tropfengröße), Flockung/Koaleszenz (Emulgator[-konzentration]) Gegenseitige Beeinflussung: Flockung/Koaleszenz führt durch Partikelgrößenzunahme zu verstärkter Sedimentation; Sedimentation führt durch Aufkonzentrieren der Tropfen zu verstärkter Flockung/Koaleszenz Emulgator = grenzfl. aktive Moleküle, die an der Grenzfl. zw. disperser und kont. Phase absorbieren; bestehen aus min. einem lipo- und einem hydrophilen* Mol.teil (*ungeladen = nichtionisch; geladen =an-/kationisch/amphoter) Auswahl: Bankroft-Regel: Der Emulgator muss in der kontinuierlichen Phase besser löslich sein HLB-Systematik: 𝐻𝐿𝐵

=

̃ ℎ𝑦𝑑𝑟𝑜𝑝ℎ𝑖𝑙𝑒𝑟 𝑇𝑒𝑖𝑙 𝑀 ̃𝑔𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡 𝑀

∙ 20; HLB < 10 eher lipophil (-> W/O), HLB > 10 eher hydrophil (->

O/W) Menge: alle Grenzfl. müssen voll belegt sein + in kont. Phase cmc, damit Mizellen als „Vorrat“, Ermittlung mit 𝑀𝑜𝑙𝑒𝑘ü𝑙𝑒 𝐹𝑙ä𝑐ℎ𝑒

= Γ𝑚𝑎𝑥

𝑐𝐸 1⁄𝑏+𝑐𝐸

; Mizellen = geordn.

Aggregate von Emulgatormol., die ab cE = cmc gebildet werden. 𝑐𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ∗ 𝑉𝑘.𝑃ℎ. = 𝑐𝐸 ∗ 𝑉𝑘.𝑃ℎ. + Γ ∗ 𝐴𝑔𝑒𝑠 mit Langmuir Γ𝑚𝑎𝑥 ∗𝑐𝑚𝑐 6 𝜑 und cE = cmc: 𝑐𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑐𝑚𝑐 + ∗ 𝑥 ∗ 1−𝜑 1/𝑏+𝑐𝑚𝑐 1,2

CMC-Bestimmung: Grenzflächenspannung bei versch. Emulgatorkonz. messen, Konzentration ab der Mizellen gebildet werden ist cmc Hydrokolloide: hohes Wasserbindungs- und/oder Gelbildungsvermögen; Viskosität ↑(kont. Phase) -> wsink,Tropfen ↓ 𝜂 𝜑 −[𝜂]𝜑𝑚 behin. Sedimentation/Vis.erhöh. auch bei E. mit hohem DA: 𝜂𝑟𝑒𝑙 = 𝜂𝐸 = (1 − 𝜑 ) ⏟ 𝑐 𝑚 𝐾𝑟𝑖𝑒𝑔𝑒𝑟−𝐷𝑜𝑢𝑔ℎ𝑒𝑟𝑡𝑦,[𝜂]=2,5 𝑓ü𝑟 𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙𝑛 ηE = Visk. der Emulsion ηc = Visk. der kont. Phase φ = Disphersph.anteil (min. φm – 0,01) φm = max. D.anteil Lerche-Gleichung:

v vst

=

(1−𝜑)2 𝜂𝑟𝑒𝑙 (𝜑)

𝑡𝑎𝑙𝑡

⇒ 𝑡𝑛𝑒𝑢 =

v⁄vst

Osmotisch aktive Stoffe: Beeinflussung des chem. Potentials und der Löslichkeit der Moleküle in der disp. Phase durch Krümmung von Oberflächen -> Konzentrationsunterschiede zwischen zwei Topfen mit untersch. Radius 2 𝛾 𝑉𝑚 2𝛾 2𝛾 Kelvin-Gl.: 𝑐(𝑟) = 𝑐(∞)𝑒𝑥𝑝 und ∆𝑐 = 𝑐(𝑟1 ) − 𝑐(𝑟2 ) ⇒ 𝑀̇ ∝ 𝐷 ∙ ∆𝑐 treibendes Gefälle: ∆𝑝𝑐𝑎𝑝 = − 𝑟 𝑅𝑇

𝑟1

zeitl. Anwachsen der mittl. Tropfengröße (LSW-Theorie): 𝑟(𝑡)3 − 𝑟(𝑡 = 0) 3 =

2 8∙𝛾∙𝐷∙𝑐(∞)∙𝑉𝑚

9∙𝑅∙𝑇

𝑟2

∙ 𝑡 bzw. 𝑟 3 ∝ 𝑡

̃ Ostwald-Reifung: ∆𝑝𝑐 = ∆𝑝𝑜𝑠𝑚 → (2𝛾)⁄𝑟 = 𝑅 ∙ 𝑇 ∙ 𝑐 und 𝛽 = 𝑐 ∙ 𝑀 Emulgiermaschinen: 1. Statische Mischer (für Premix oder Visk./Grenzfl.sp. klein), 2. Rotor-Stator-Maschinen (Tropfenaufbruch in Spalt zw. stat. und rot. Teil): 2.1 Rührbehälter (+ versch. Prozesse in einem Gerät, kl. Mengen; - br. Tropfengrößen-VT, lange Prozesszeiten, TG limitiert), 2.2 Kolloidmühle (+ enge TG-VT und kleine TG, flex., gr. Vis.bereich; - schl. Zerkl. bei geringer Produktvis., Zwangsförd. bei sehr hoher Vis.) 2.3 Zahnkranzdispergiermasch.; 3. Ultraschallhomogenisatoren (Tropfenzerkleinerung mittels Ultraschall erzeugter Kavitation) (+ einfach, lokal hoh. Energieeintrag, - kl. Mengen, Materialverschleiß); 4. Hochdruckhomogenisatoren (TZ mittels Pressung durch engen Spalt bei hoh. Druck): 4.1 Radialventil (+ var. Spaltbreite,d.h. Hom.druck unabh. v. Vol.strom, niederviskose Emulsionen, hoher Durchsatz; - Verschleiß), 4.2 Lochblende (+ einfach, günstig; - Verstopfungsgefahr, Abh. Vol.strom und Hom.druck), 4.3 Strahlblenden/-dispergator (+ verb. Zerkleinerung; - Verst.gef.); 5. Mikrostruktierte Systeme (Tr. werden in gewünschter Größe erzeugt mittels Förderung durch m.S.) (+ präzise TG, enge VT, nied. Energiebedarf; - ger. Durchsatz, Verstopfung) Tropfenaufbruch: Emulgieren = einen Stoff in einem anderen verteilen, in dem er nicht löslich ist; aus 2 getrennten Phasen ein System „Tropfen in kont. Phase“ herstellen; Homogenisieren = eine Emulsion homogener machen, d.h. Tropfen gleichmäßig verteilen; dazu müssen Tropfen sehr fein zerkleinert werden; daher auch: Feinemulgieren Unterschied zur Zerkleinerung von Partikeln: Tropfen verformen, Grenzflächenspannung & Eigenviskosität bilden rückstellende/formerhaltende Kräfte Die Emulgiermasch. erzeugt eine Ström., in der Spannungen entstehen, die auf Tropfenobefl. übertragen werden Art des Tropfenaufbruchs (Scherung, Dehnung, Trägheitskr., Kavitation) = abh. von Ström. (lam., turb., kavitierend) Kennzahlen: In rein lam. Ström.bereichen (Re<2300) sind die Kapillar-Zahl Ca und das Viskositätsverhältnis λ wichtig. In ausgebildeten turb. Ström. (Re>10.000): Weber-Zahl We und die Ohnesorge-Zahl Oh

𝑊𝑒 =

𝑇𝑟ä𝑔ℎ𝑒𝑖𝑡𝑠𝑠𝑝𝑎𝑛𝑛𝑢𝑛𝑔 𝐾𝑎𝑝𝑖𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑟𝑢𝑐𝑘

=

𝜚 v2 𝑥 4𝛾

v∙x

𝐷𝑒ℎ𝑛−𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑆𝑐ℎ𝑒𝑟𝑠𝑝𝑎𝑛𝑛𝑢𝑛𝑔

𝜈

𝐾𝑎𝑝𝑖𝑙𝑙𝑎𝑟𝑑𝑟𝑢𝑐𝑘

; 𝐶𝑎 =

𝜏𝑑𝑒𝑓

=𝑝

𝑐𝑎𝑝

=

𝜏𝑑𝑒𝑓 ∙𝑥 4∙𝛾

; 𝑂ℎ = Maß für viskose Reibung als Reaktion auf Verformung =

;𝜆=

√𝑊𝑒

𝑅𝑒

=

𝜂𝑑 𝜂𝑐

;

𝜂𝑑 √𝜚 𝛾 𝑥

Tropfenaufbruch in stat. lam. Scher- und Dehnström.: 𝜏𝑑𝑒𝑓,𝑠𝑐ℎ𝑒𝑟 = 𝜂𝑐 𝛾̇ ; 𝜏𝑑𝑒𝑓,𝑑𝑒ℎ𝑛 = 𝜂𝑐 √3 𝜀̇, max. Tropfen4∙𝛾∙𝐶𝑎𝑐𝑟 durchm. der nicht mehr aufgebrochen werden kann: 𝑥𝑚𝑎𝑥 = ; Dehnström. effizienter (Cacr kleiner) 𝜏 𝑑𝑒𝑓

Tropfenaufbruch in stat. turb. Ström.: Wirbelgröße größer aufzubrechende Tropfengröße: 𝑥 ∝ 𝜀 −0.2 mit 𝜀 =

𝑃 𝑚

Wirbelgröße kleiner Tropfengröße: 𝑥 ∝ 𝜀 −0.4 𝜂𝑑0,6 Instationärer Tropfenaufbruch: zwei Kriterien = ausreichend hohe Deformation (Ca > Ca cr) und ausreichend lange 𝜂𝑑 𝜂 4𝛾 Def. (tdef > tdef,char), 𝑥 ∝ 𝑡̅𝑣−0,3 , 𝑡𝑑𝑒𝑓,𝑐ℎ𝑎𝑟 = = 𝑝 (𝐶𝑎𝑑 −1) (Walstra) mit 𝑝𝑐𝑎𝑝 = 𝑥 𝜏 −𝑝 𝑐𝑎𝑝

𝑐𝑎𝑝

𝐸 𝑉𝐸

𝑐𝑟

=

𝑃𝑡 𝑉𝐸

𝑃

= 𝑉̇ = 𝑃̅𝑣 𝑡𝑣̅ ;

𝑒

𝐸

𝑚𝑜𝑙

̃𝐻2𝑂 𝑀

Scherung 𝑥1,2 ∝ 𝐸𝑣−1 𝑓 𝜂 ; Dehnung 𝑥1,2 ∝ 𝐸𝑣−1 ; Trägheitskräfte in turbulenter Strömung 𝑥1,2 ∝

mit τ = char. Sinterzeit und s∞ = Oberfl. der koal. Kugel (Endzustand, s1) Kugeloberfläche s = π d² 2𝜋𝜂 Viskoses Fließen: 𝜏 = 3𝜎 𝑥0 𝜋

]

𝑃∙𝑡∙𝜂

𝜂𝑑

𝐸

𝑚𝑓

]~ −

Volumenspezifische Zerkleinerungsenergie oder Energiedichte: 𝐸𝑣 =

−1

𝑛𝑒𝑢

𝑥

𝑑𝑒𝑓

1+𝑡/𝜏

Korngrenzendiffusion: 𝜏 = 𝐴𝑇𝑥04 𝑒𝑥𝑝 {+ 𝑘𝑇𝑎 }

𝑚𝑓

𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

massenbezogene Energiezufuhr: ∆𝑒𝑅𝑖𝑡𝑡𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟 = 𝑐𝑅 [

𝑇𝑟ä𝑔ℎ𝑒𝑖𝑡𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡

Versintern = graduelles Zusammenwachsen und Verschmelzen von Partikeln im gegenseitigen Kontakt bei T
mit 𝑉𝑝 = Ω

Ω = ∆𝜌𝜈𝑔 = 3 𝑅𝑒 𝑐 ⇒ 𝑐 ∝ 𝑅𝑒

𝑑

= 𝑑𝑥 [

𝑑𝑥

𝑅𝑒 = 𝑅𝑒𝑖𝑏𝑢𝑛𝑔𝑠−𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑍äℎ𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡 =

2

1

10. Bilanzgleichung für unkoagualierte (n1) und koag. (n2, Dimere) P.:

𝑚

2. Best. von dp: Schnittpunkt von ε und Ω (mit v) im Reh-Diag. -> Re/Ar -> dP 3. Änderung von h mit v: Gleiche Partikel, gleiches ρf, 𝜈 -> Ar = const. ℎ𝑚𝑓 1−𝜀 Änd. von v -> neues Ω -> neues ε aus Reh -> mit ∆pWS = const.: ℎ = 1−𝜀𝑛𝑒𝑢

8. ∆𝑝𝑊𝑆 =

8𝑘𝑇

N0

9. Reale Kollisionsfrequenz: Durch die Verbreiterung der Partikelverteilung ändert die mittlere Kollsisionsfrequenz. Diese mittlere Kollisionsfrequenz (für ungleichgroße Partikel) liegt immer über der einer monodispersen Verteilung. Es finden also mehr Kollisionen statt. N(t) ist also niedriger und der mittl Partikeldurchmesser größer.

3𝑘𝑇

1−𝜀0

= 1−𝜀

lg(N)

Primärpartikeldurchmesser ist festgelegt

2

Festkörperdiff.: 𝜏 = 64𝜋𝜎𝐷 (𝑉

0

𝛼0

=𝛼

𝑥𝐴

2 1

+𝑥 )

6. Partikelwachstum durch Sintern

𝑅𝑒 ) 𝑅𝑒 = 𝑅𝑒0 ∙ 10𝐿 mit x = Re↔ Re0, L = Re0(10x) ↔ Re1(10x+1); 𝑥 = 𝐿 ∙ 𝑙𝑜𝑔 (𝑅𝑒

1. Ruhende WS:

1

2

𝐴𝑟𝑐ℎ𝑖𝑚𝑒𝑑𝑒𝑠−𝑍𝑎ℎ𝑙

𝜌𝑓 v 3

𝑐

2 ∙ 𝑛𝐴,0 mit 𝛽0 =

T

1

𝑁

𝑆

𝜈 2 𝜌𝑓

3𝜇

(𝑥𝐴 + 𝑥𝑇 ) (

6. mittlere Primärpartikelanzahl j(̅ 𝑡) = 𝑁0⁄𝑁(𝑡)

0 𝑛1 (𝑡) = (1+𝑡/𝜏) ; 2

Reh-Diagramm: verallg. GGW-Bed. vFluid und wsink für beliebige cFeststoff zur entdimensionierten Darstellung von wsink: 1/cw und Re oder ∆𝜌𝑔𝑥 3

2𝑘𝑇

𝛽0

AUSTRAG

Ausdehnungsverhalten ( mit ε(v)): 𝜀 𝛼 = 𝑤 im Stokes-Bereich (𝑅𝑒 ≪ 1)

𝐴𝑟 =

𝑐′

lg(t) bzw. lg(x)

mit 𝐴𝑟 = ⏟

v

𝑆 3

und 𝑅𝐴,𝑇 = −𝛽𝐴,𝑇 ∙ 𝑛𝐴,0 ∙ 𝑛𝑇,0 mit 𝛽𝐴,𝑇 =

τs

Lockerungspunkt

𝜀3

𝑅𝑇 = 𝑐𝑚𝑜𝑛𝑜 𝑅𝑇

4. Volumenbeladung 𝜙 = 𝑁0 ∙ 𝑉𝑃,0

τK

∆𝜌 1

𝑉

3

τs, τK

FESTBETT WIRBELSCHICHT

𝑚𝑓

=2=

𝑆

𝑛𝑚𝑜𝑛𝑜

′ 1+𝐶𝑚𝑜𝑛𝑜 𝑅𝑇/𝑝𝑠

Zersetzung des Precursors ab Tzersetzung (spontane KB). Dann lin. Abfall von N durch Koagulation.

Lockerungspunkt: ∆pWS = ∆pFestbett vmf v  wsink (Einzelpartikel) (𝜌𝑃 − 𝜌𝑓 ) 𝑔ℎ für Festbett: Ergun-Modell, für WS: ∆𝑝𝑊𝑆 = (1 − 𝜀) ⏟ 𝜀3

𝑝𝑠

𝑆′

𝑀𝑝𝑜𝑙𝑦 mit 𝑀𝑝𝑜𝑙𝑦 =

mit 𝑝𝑚𝑜𝑛𝑜 =

3 𝑁0 6 𝑑𝑝,0 𝜌𝑝𝑜𝑙𝑦

3. Durchmesser (𝑑𝑝 (𝑡)⁄𝑑𝑝,0 ) = (𝑁0 ⁄𝑁(𝑡)) bzw. (𝑑𝑝 ′⁄𝑑𝑝 ) =

𝜌v02

das mit v durchströmt wird (∆p steigt prop. zu v). ε=const Fluidisierung ab einer Minimalfluidisierungs geschwindigkeit vmf („Lockerungspunkt“), h/ε εmf steigen sprunghaft, ∆p kurzfristig überhöht wg. h,ε Überwindung der interpartikulären Haftkräfte. In WS: ∆p bleibt konst., h/ε steigen; WS bei Fl.: homogen, bei Gasen: Blasenbild. Zustand in der WS = GGW zw. vFluid und wsink, wsink = f(ε), für ε -> 1: v -> wsink, Einzelpartikel, bei höheren Geschwindigkeitenhmf h0 kommt es zum Austrag der Partikeln.

1

∆𝑚[𝑧.𝐵.0,8] 𝑝𝑚𝑜𝑛𝑜

𝜋

7. Precursor-Zersetzung: Übersättigung der Gasph. und Nukleation durch therm.

𝜇v0 ∆𝐿 (ideal)

Wirbelschicht: Anfangs Festbett mit h0 und ε0∆p , WS

für Re < 1: 𝑅𝑒𝑚𝑓 = 150 (1−𝜀𝑚𝑓 ) 𝐴𝑟; v𝑚𝑓 = 150 (1−𝜀𝑚𝑓

mit 𝑀𝑚𝑜𝑛𝑜 =

Kond. nur für S>1 !!: 𝑆 − 1 =

𝑅𝑒≫1 ∝ v 2

∙ (1−𝜀) < 400

𝜇/𝜌

𝜀3

1

5. Kollisionen Aerosol/Trägerpartikel: Kollisionsrate 𝑅𝐴,𝐴 = −

Kapillarmodell (Karman-Kozeny): nach Hagen-Poseuille ∆𝑝 = 32 𝑑2 ∆𝐿 mit v = 𝐴

𝑐𝑚𝑜𝑛𝑜 =

Eu=f(Re, ε, )

0

Darcy (𝑅𝑒 ≪ 1): ∆𝑝 = 𝑃 𝜇v0 ∆𝐿 mit Packungseigenschaften in Permeabilität P ∆𝑝

𝑀𝑚𝑜𝑛𝑜 ̃𝑚𝑜𝑛𝑜 𝑀

doppelte Anfangsbeladung:

𝑥

𝑑𝑆𝑉

Stabilisierung gegen Ostwald-Reifung durch osm. aktive Stoffe, die gut in disp. und schlecht in kont. Phase lösl.

Volumen 𝑉𝑝,1 = 𝑗1 ∙ 𝑉𝑝,0 für vollst Koaleszenz: (𝑑𝑝,1 ⁄𝑑𝑝,0 ) = 𝑗1 3. Wirbelschicht Druckverlust ∆p = f(v0, ∆L, ε, 𝑥̅ , ρF, μ) mit v0 = Leerrohr-GT, ∆L = Packungslänge), ε =

𝐴𝑢𝑠𝑔𝑎𝑛𝑔𝑠𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒

; Energie bei Feststoffen: plastische Deformation an Rissspitze,

Gibbs’scher Adsorptionsisotherme: Belegungsdichte nach Langmuir Γ =

∞ ∑∞ − 𝛽0 ⏟ 𝑘=1 𝑛𝑘 ∑𝑖=1 𝑛𝑖

für 𝑡 ≪ 𝜏𝑘 gilt 𝑁(𝑡) ≈ 𝑁0 ; für 𝑡 ≫ 𝜏𝑘 gilt 𝑁(𝑡) ≈ 1⁄𝐾𝑡 Kollisionsfrequenz 𝛽𝑖𝑗 = 2𝜋(𝑥𝑖 + 𝑥𝑗 )(𝐷𝑖 + 𝐷𝑗 ) = 2𝜋𝑥𝑖𝑗 𝐷𝑖𝑗 mit

= 3𝜋𝜇𝑥𝑤 = 3𝜋𝜇𝑥 ; 𝐷~1/𝑥

𝐹

𝑑𝑁

⇒

𝑚𝑖𝑛

≅ 𝛽0:

𝑁2

T(x) = eindeutige Kennfunktion für Trennapparat, r = abh. von q A(x) und Mengenart (q3≠q0)

𝑟𝑖 = ∫𝑥 𝑚𝑎𝑥 𝑇(𝑥) ∙ 𝑞𝑖 (𝑥)𝑑𝑥 und 𝑟 = ∑ 𝑟𝑖

𝐸𝐴𝑀𝑎𝑠𝑐ℎ𝑖𝑛𝑒

𝐾𝑒𝑖𝑚𝑒

Die Trennfunktion T(x) ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Partikel der Größe x abgetrennt wird.

𝑇(𝑥) = 𝐴𝑛𝑡𝑒𝑖𝑙 𝑖𝑚 𝐴𝑢𝑓𝑔𝑎𝑏𝑒𝑔𝑢𝑡 ; Durchgang D bzw. Penetration P: 𝐷(𝑥) = 1 − 𝑇(𝑥)

Ansatz von Rittinger: 𝑑𝑥 ~

mit 𝑛𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑘𝑒𝑙 = 𝑐0 𝑉0 → Δ𝑉𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑘𝑒𝑙 =

Chem. erzeugte Übersätt.: erf. die Umwandl. eines o. mehr. Edukte in eines o. mehrere Produkte mit deutl. gering. pSättigung. Bsp: Änd. des Aggregatzust. vom Edukt zum Prod. (NH3 + HCl -> NH4Cl), Ox. von Metall-dampf (Me.oxiddampf aus Kohleverbrenn.), Zersetz. von Precursoren (anorg./metall-org. Verb.) (Erhitz. von TEOS im Rohrofen) Phys. erz. Übersätt.: Verdampfung + Abkühl. eines dampfhaltigen Gases (Mischen feuchter mit kalter Luft; adiab. Expansion), Desublimation von Feststoffen

Andere Q-VT im Diagramm: x50,r berechnen und eintragen, Parallele von Q s durch x50,r

𝐸𝐴𝐸𝑖𝑛𝑧𝑒𝑙𝑘𝑜𝑟𝑛

Energiebetrachtungen: 𝐸𝑓𝑓𝑒𝑘𝑡𝑖𝑣𝑖𝑡ä𝑡 =

Δ𝑚𝑔𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡 =

4𝜋

4𝜋

𝑔𝑎𝑠

wenn qr eine log-NVT ist, ist auch qs eine log-NVT mit gleichem σg Bestimmung σg aus Diagramm: Verschieben der Q-VT durch Pol: σ = ln σg

𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑘𝑒𝑙𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑥<𝑥 ∗

BW/Festigkeit an Maschinen und realen Gütern nicht messbar  Bruchanteil 𝐵𝐴 =

Hom. Keimbildung: fr. Enthalpie der KB ∆𝐺 = 4𝜋𝑟 2 𝜎 −

𝑝𝑠,0

Gegenwart bereits vorhandener Partikeln jedoch „heterogene“ Kondensation möglich, „Aktivierung“ eines Kondensationskerns bedarf „krit.“ Übersättigung (abh. von rKK und Benetzbarkeit θ). Für vollst. benetzbare Partikel (θ=0°, cos θ=1) ist Oberfl. = Tropfenoberfl. der kond. Fl. -> Aktivierung/Wachstum für rKK ≥ rKELVIN, d.h. für m=cos θ ↓: SAktivierung ↑ bzw. rKK ↑. Keine Akt. Für völlig unbenetzb. KK (cos θ= -1). Aktivierung löslicher KK durch Dampfdruckerniedrigung unter Kelvin-Kurve, ggf. für S<1 KB vs Kondensationswachstum: unterschiedl. Kinetiken und krit. Übersättigungen; Abnahme von S durch KB << KW, Abh. von S für KB-rate >> KW-rate, S *erf für KB >> KW 𝑝𝑖 (𝑇0 ) 𝑦̃ 𝑅 Zusatz: 𝑆1 = ; = 𝑦̃ 1 ; ∆𝑝𝑉𝑔𝑎𝑠 = ∆𝑚 𝑀̃ 𝑇 mit ∆𝑝 = 𝑝𝑖 (𝑇0) − 𝑝𝑖 , 𝑠(𝑇1 ) = 𝑝𝑖 , 𝑠(𝑇1 )(𝑆 − 1) 𝑝𝑖 ,𝑠(𝑇1 ) 1,𝑠 𝑖 𝑁 4 𝜋 ∆𝑚 = 𝜌𝑖 ∙ 𝑁𝑃 ∙ ∆𝑉𝑃 ; 𝑉 𝑃 = 𝑐; Kugelvolumen 𝑉 = 3 𝜋𝑟 3 = 6 𝑑 3

2

𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑔𝑒𝑏𝑟. 𝐵𝑖𝑛𝑑𝑢𝑛𝑔𝑒𝑛 𝐺𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡𝑎𝑛𝑧. 𝑑𝑒𝑟 𝐵𝑖𝑛𝑑.𝑝𝑟𝑜 𝐴𝑔𝑔𝑙𝑜𝑚𝑒𝑟𝑎𝑡

Kelvin-Radius (bei Übersättigung S>1 stabile „krit.“ Tropfengröße): 𝑟 𝐾𝐸𝐿𝑉𝐼𝑁 = 𝑅𝑇𝑙𝑛𝑆 , 𝑟 ≠ 𝑑‼

Keimbildungsrate 𝐽 = 𝐾𝑒 − 𝑘𝑇 = 𝐾𝑒 −𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡∙𝑟 = 𝐾𝑒 (𝑙𝑛𝑆)2 [ 𝑐𝑚3 𝑠 ] Het. Kondensation: Bei zu geringer Anfangsübersättigung S0 < S*hom -> kaum hom. Partikelbildung, in

𝑚𝑖𝑡 𝑀𝑖𝑡𝑡𝑒𝑙𝑤𝑒𝑟𝑡 𝜉 ̅ 𝑢𝑛𝑑 𝑆𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟𝑑𝑎𝑏𝑤. 𝜎

̅̅̅̅̅ 𝑥) 1 (ln 𝑥−ln

1

𝑔 √2𝜋

Achse: log 𝑁𝑉𝑇′(x) = ln 𝜎

𝜎2

𝑀4,0

𝐺𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡𝑎𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙

𝑚 Nicht-isotherme Zustandsänderung beim Aufsteigen von Luft in der Atmosphäre: T1 = T0 – RKühl (H1 – H0); p(H1) aus Höhenformel; Partialdrücke pi(T0) mit p0 und S0 bzw. pi(T1) mit p(H1) und S1 = 1 𝑅 𝑅 mit idealem Gasgesetz (H2O): 𝑝𝑖 (𝑇0 )𝑉0 = 𝑚0 ̃ 𝑇0 bzw. 𝑝𝑖 (𝑇1 )𝑉1 = 𝑚1 ̃ 𝑇1 einsetzen in ∆mgesamt = m0 – m1

Maximum ∆𝐺 ∗ =

→ Anzahl-gew. mittlerer DM (mittlerer DM) 𝑥̅0 = 𝑀1,0 = 𝑀 ; Oberfl.-gew. mittl. DM

1

2𝜎 ̃ ⁄𝜌𝐿 (Molvol. fl. Phase) = 𝑅𝑇𝑙𝑛𝑆 = 𝑉̃ 𝐿 𝑟 mit 𝑉̃ 𝐿 = 𝑀 ̅𝐿 2𝜎𝑉

𝑀1,0

𝑀2,0

𝑝𝑠(𝑟)

𝑄𝑢𝑒𝑟𝑠𝑐ℎ𝑛𝑖𝑡𝑡𝑠𝑓𝑙ä𝑐ℎ𝑒

; Fragmentierungsgrad 𝐹𝐺 =

Zerkleinerung: Arten der Beanspruchung: Einflächen vs Zweiflächen, auf Druck, Scherung, Schlag, Schnitt, Prall Beispiele: Brecher, Wälzmühlen, Mahlkörper-Mühlen, Prallmühlen, Strahlmühlen

𝑑𝐸

𝐵

=

𝑑𝑥

𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑧𝑒𝑟𝑏𝑟𝑜𝑐ℎ𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑘𝑒𝑙

d.h. Wärmefreisetzung; bei Flüssigkeiten: Überwindung der Oberflächenspannung zur Schaffung neuer Oberfl. Brecher haben rel. hohe Eff. (0,5-0,9); Wälz-/Kugelmühlen geringere Eff. (ca. 0,1), weil mehrere Partikelschichten gleichzeitig beansprucht; Prallmühlen (0,01- 0,1): Großt. der Energie geht im Luftwiderstand des Rotors verloren

Dampfdruck/Übersättigung: Sättigung 𝑆 = 𝑝𝑖 ⁄𝑝𝑖,𝑠 (𝑇) mit 𝑝𝑠 (𝑇) = 𝑝0 𝑒 𝐴+𝐶+𝑇 2𝜎 Stabilität kl. Tröpfchen im thermodyn. GGW: ∆𝑝 = 𝑝𝐿 − 𝑝𝐺 = 𝑟 (Laplace)

log(𝑒)

𝐵𝑟𝑢𝑐ℎ𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡

Festigkeit von Partikeln (Rissbildung abh. von Fehlstellendichte): 𝐹𝑒𝑠𝑡𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡 = Bruchwahrscheinlichkeit 𝐵𝑊 =

Entst. durch spont. Phasenüberg. (hom. Keimbild.) oder hetero. Kb. (Anwachsen v. Fremdkernen)

∑ 𝑥̅ 𝑖𝑟−𝑠𝑞𝑠(𝑥̅ 𝑖 )∆𝑥𝑖

VT-Parameter: Modalwert 𝑥𝑚𝑜𝑑 (q-VT), Median 𝑥50 (Q-VT), arith. Mittelwert 𝑥̅ Standardabweichung 𝑠, Varianz 𝑠 2 ∞ 2 𝑠𝑟2 = ∑∞ 1 (𝑥̅ 𝑖 − 𝑥̅ 𝑟 ) 𝑞𝑟 (𝑥̅ 𝑖 )∆𝑥𝑖 ; 𝑥̅ 𝑟 = ∑𝑖=1 𝑥̅ 𝑖 𝑞𝑟 (𝑥̅ 𝑖 )∆𝑥𝑖 = 𝑀1,𝑟 𝑀3,0

𝑉𝑔𝑒𝑠

7. Zerkleinern große Partikel = spröde  Brechung schon bei geringer Deformation, kl. Partikel = plastisch  Br. bei gr. Def.

𝑚1 +𝑚2 1 ⁄𝜌1 +𝑚2 ⁄𝜌2

4. Partikelentstehung und Wachstum aus einer übersättigten Phase

𝑥̅ 𝑖𝑟−𝑠𝑞𝑠 (𝑥̅ 𝑖 )

𝑟−𝑠,𝑠

(Sauter-DM) 𝑥̅2 = 𝑀1,2 =

=𝑚

Gruppeneinteilung nach Geldart: C = zu kleine/kohäsive Partikeln, Fluidisierung nur durch Rühren od. Zugabe von größeren Partikeln; A = nach Lockerung deutliche Expansion (hom. WS) vor Blasenbildung (wenig/klein); B = mittelschwere Partikeln, geringe Exp. der WS, große Blasen; D = große, schwere Partikeln, Eruptionen

=1

; 0 ≤ 𝑄 ≤ 1; q auftragen geg. Intervallmitte, Q -obergrenze

Umrechnung: der Mengenart (allg. für qs  qr): 𝑞𝑟 (𝑥̅ 𝑖 ) =

𝑚𝑔𝑒𝑠

13. Änderung v mit T: v1 ⁄v2 = 𝑇1 /𝑇2

Dichte-(q)-Verteilung: 𝑞𝑟 (𝑥̅ 𝑖 ) =

𝑞𝑟 (𝑥̅ 𝑖 ) =

𝜋

2 ∙ 𝑢2 ∙ 4 ∙ 𝑥𝑚𝑎𝑥 nach Stokes: 𝐹𝑊 =

2

𝜋

3 3 𝜋 𝜂 𝑢 𝑥 und 𝐹𝐺 − 𝐹𝐴 = 6 ∙ 𝑥𝑚𝑎𝑥 ∙ (𝜌𝑃 − 𝜌𝑓 ) ∙ 𝑔

∑ 𝑚𝑖

Summen-(Q)-VT.: 𝑄𝑟 (𝑥𝑖 ) =

𝜌𝑓

11. Partikelaustrag: FW = FG – FA -> 𝐹𝑊 = 𝑐𝑊 ∙

Gradueller Abbruch des Koaleszenzwachstums: Es entstehen feste Agglomerate mit in einander übergehenden Primärpartikeln, die durch FeststoffBrücken verbunden sind.

𝐸𝑣−0,25…0,4 𝜂𝑑0…0,75 ; Kavitation 𝑥1,2 ∝ 𝐸𝑣−0,6…0,8 𝜂𝑑0…0,75 𝜂𝑐−𝑐 Beispiel Kolloidmühlen: Umfangsgeschwindigkeit vu = 2πn rRotor; Schergradient 𝛾̇

= ∆vu/b mit ∆vu = vu,Rotor – vu,Stator und b = rStator – rRotor ; Scherspannung τ = 𝛾̇ ηE(𝛾̇ ) ; für HDH: 𝛾̇ = v/r = v/(0,5d) Tropfenkoaleszenz: Ist die Stabilisierung der Tropfen schnell, dann ist der Zerkleinerungsschritt maßgebend für die erzeugten Tropfengrößen. Erfolgt sie langsam, können die Tropfen kollidieren und eventuell zu größeren Tropfen koaleszieren. In diesem Fall ist die Tropfenkoaleszenz ergebnisbestimmend. 3

∗ ∗ Koaleszenzrate Ω𝑐𝑜𝑎𝑙 = 𝛽𝑖,𝑗 𝑝𝑐𝑜𝑎𝑙 Laminare Strömung: 𝛽𝑖,𝑗,𝑙𝑎𝑚 ∝ 𝑁𝑖 𝑁𝑗 𝐺 (𝑥𝑖 + 𝑥𝑗 ) ; Ausgebildete turb. Strömungen

3

∗ x
8𝜋𝜀 15 𝜈

); Drainagezeit 𝑡𝑑𝑟𝑎𝑖𝑛 =

Koaleszenzwahrscheinlichkeit: 𝑝𝑐𝑜𝑎𝑙 = 0 für

𝑡𝑑𝑟𝑎𝑖𝑛 𝑡𝑐𝑜𝑙𝑙

3 𝜋 𝜂𝑐 𝑟 2 2𝐹

[ln(ℎ𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 ) − ln(ℎ𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 )]

> 1; destabiliserend: 𝐹𝑣𝑑𝑊 ∝

𝑥

; Statische Stabilisierung

𝑎2

(Sterische/elektrostatische Barriere); Dynamische Barriere (Gibbs-Marangoni-Effekt) Stabilisierungsmechanismen: sterische Stabilisierung = „große“ Emulgatormoleküle belegen Grenzfläche und verhindern Koaleszenz durch ihre räumliche Ausdehnung; elektrostatische Stabilisierung = geladene Emulgatormoleküle, gleiche Ladungen stoßen sich ab – Tropfen stoßen sich ab; Gibbs-Marangoni-Effekt = Durch Ausströmen der Zwickelflüssigkeit zw. 2 Tropfen entsteht an Frenzfl. Emulgatorkonzentrationsgradient, Emulgatormoleküle diffundieren entlang Gradienten und schleppen kontinuierliche Phase zurück in den Zwickel Koaleszenzrate: Einflussfaktoren: Anteil an Dispersphase, Tropfengröße, Emulgatorart, Energieeintrag koaleszenzdominiert (schnelle Koaleszenz nach Aufbruch aufgrund mangelnder Stabilisierung), zerkleinerungsdominiert (sehr schnelle Grenzflächenbelegung) 1. Aufrahmung:

𝑤𝑎𝑢𝑓𝑟𝑎ℎ𝑚 =

𝑥 2 ∆𝜌 18𝜇𝑒

𝑔 mit Annahmen: kugelförmige Partikel (kann angenommen werden für

hohen Dispersphasenanteil -> dichteste Kugelpackung, ggf. Berücks. durch Formfaktor), stat. Geschw. (kann angenommen werden), Vernachlässigung von Wechselwirkungen bzw. Berührungen von Teilchen (gilt nur für Dispersphasen-anteil (DA) <1% -> Berücks. in Formel mit Einfl. auf vsink über DA (Stokes-Einstein) und Einfl. DA auf Visk. (Krieger..) 2. Ostwald-Reifung: Über gekrümmter Oberfl. ist das chem. Pot. der Fl. höher als über gerader Oberfl.. Lokal höhere Löslichkeit des Wassers im Öl. Führt zur Diff. von Wassermol. von kleineren zu größeren Tropfen. Wachstum großer Tr. auf Kosten der kleineren. Emulsionsbruch mgl.. Entgegenwirken: osmotische Stabilsierung: Zugabe von Salz zu Wasserphase. Osm. Druck wirkt Laplacedruck entgegen 3. Feinere Emulsion bei gleichen Prozessparameter: Änderung von λ durch Öl mit niedrigerer Vis. oder Erhöh. der Vis. der Wasserphase; Erhöh. des DA, d.h. Änd. des eff. Vis.verhältnis; Anderes Öl => ggf. anderen Emulgator, höherer DA => höhere Emulgatorkonz. 4. Emulgatorkonzentration: γ

c1 < c13 γ0 Je höher die Emulgatorkonzentration, desto kleiner die Grenzfl.spannung

γGGW

c1 c3

t

ln cE