Leccion-2 695o4b
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- Words: 2,004
- Pages: 13
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE HONDURAS Matemática II
Ing. Oscar Guillermo Segura
Programación lineal La programación lineal estudia las situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.
Función objetivo La programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables: f (x, y) = a x + b y.
Restricciones La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales: Solución factible El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles .
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE HONDURAS Matemática II
Ing. Oscar Guillermo Segura
Solución óptima El conjunto de los vértices del área se denomina conjunto de soluciones factibles
básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso).
Pasos para resolver un problema de programación lineal 1. Elegir las incógnitas. 2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema. 3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones. 4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones. 5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos). 6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado).
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE HONDURAS Matemática II
Ing. Oscar Guillermo Segura
Ejemplo Un almacén encarga a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima? 1. Elección de las incógnitas. x = número de pantalones y = número de chaquetas 2. Función objetivo f (x, y)= 50x + 40y 3. Restricciones Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: pantalones
chaquetas
disponible
algodón
1
1,5
750
poliéster
2
1
1000
x + 1.5y ≤ 750
2x+3y≤1500
2x + y ≤ 1000 Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más: x ≥ 0 y ≥ 0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles Tenemos que representar gráficamente las restricciones. Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE HONDURAS Matemática II
Ing. Oscar Guillermo Segura
Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x +3y ≤ 1500, De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000. 2·0 + 0 ≤ 1 00 La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del área de las soluciones factibles. La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto.
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE HONDURAS Matemática II
Ing. Oscar Guillermo Segura
Éstos son las soluciones a los sistemas: 2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500) 2x + y = 1000;
y = 0 (500, 0)
2x + 3y =1500; 2x + y = 1000
(375, 250)
6 Calcular el valor de la función objetivo En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
f (x, y) = 50x + 40y f (0, 500) = 50·0 + 40·500 = 20000 $ f (500, 0) = 50·500 + 40·0 = 25000 $ f(375, 250) = 50·375 + 40·250 = 28750 $
Máximo
La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750 $
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Ing. Oscar Guillermo Segura
Ejercicios para practicar I. Usando el método grafico encuentre el valor máximo de la función objetivo sujeto a las condiciones: 1. Z = 5x + 7y sujeto a: 3x + 2y ≤ 7;
2x + 5y ≤12 con x ≥ 0, y ≥ 0.
2. Z = x - 2y sujeto a:
2x+3y ≤ 7;
5x + 2y ≤12 con x ≥ 0, y ≥ 0.
3. Z = 2y + x sujeto a:
-y +x ≤ 2;
3y –x ≤ 2 con x ≥ 0, y ≥ 0.
II. Usando el método gráfico encuentre el valor mínimo de la función objetivo sujeto a las condiciones siguientes: 1. z= 4x + 5y sujeto a: x + 2y <10; 2. z= 4x + 7y sujeto a: x ≤ 3;
-x + 2y < 4; 3x-y ≤ 9 con x ≥ 0, y ≥ 0
y ≥ 1; y ≤ x
III. Un médico, debe encontrar la combinación de dos tipos de productos de modo que logre los requerimientos de al menos 0.5 ml de tiaminas y 400 calorías .cada onza del producto A contiene 0.12 ml de tiamina y 100 calorías mientras que cada onza del producto B contiene 0.08 ml de tiamina y 150 calorías, si el costo de cada producto es de 10 Lps por onza para Ay 12 Lps por onza para B Cuántas onzas de cada producto deberán combinarse?
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Ing. Oscar Guillermo Segura
El Método Simplex Hasta ahora se han resuelto problemas de programación lineal a través de un método geométrico. Este método no resulta práctico cuando el número de variables se aumenta a tres, y con más variables resulta imposible de utilizar. Ahora se examinaremos una técnica diferente. El método símplex implica cálculos tediosos y voluminosos, lo que hace que la computadora sea una herramienta esencial para resolver los problemas de programación lineal. Por consiguiente, las reglas computacionales del método símplex se adaptan para facilitar el cálculo automático. Para estandarizar, la representación algebraica del espacio de soluciones de programación lineal se forma bajo dos condiciones: Todas las restricciones (excepto las de no negatividad) son ecuaciones con lado derecho no negativo. Todas las variables son no negativas.
Programación lineal en Solver de Excel El método gráfico con 2 variables es sumamente sencillo. Está explicado en los resúmenes de clases y en varios Site web La cosa se complicó cuando aumento el número de variable y usamos el método simplex, hasta que apareció la hoja de cálculo el Método Simplex era lo importante, para trabajar con 5 o 6 variables a lápiz ¡!!!..... Ahora con hasta con 16 variables Excel resuelve esto con su Solver Por ejemplo en el método simplex se inundaba con reglas y casos de derivación etc. innecesarios en economía y negocios seguramente necesarios en física o química, pero no aquí donde solo tiene sentido el primero de los cuatro cuadrantes. Se habló siempre de resolución de sistemas N x N, pero ningún texto incluyó resuelto un sistema de 4x4. En conclusión si tiene que realizar un pronóstico que involucra más de una variable, puede utilizar Solver en Excel. Este complemento ayudará a analizar escenarios de negocio multivariable y de optimización.
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Ing. Oscar Guillermo Segura
Ejemplo de uso de Solver Claudio´s Pizza establecimiento de venta de pizzas ofrece dos tipos de pizza tradicionales, Pepperoni ($30) y Vegetariana ($35). Además la pizza especial Suprema ($45). No sabemos cuál es el potencial de ingresos del establecimiento y tampoco la producción que se debería de hacer en cada tipo de pizza para maximizar las ventas. Dada la capacidad de producción solamente se puede elaborar 150 pizzas al día. Otra condición es que no puede exceder de 90 pizzas tradicionales (Pepperoni y Vegetariana) y además, al no haber muchos vegetarianos en la ciudad, se estima vender un máximo de 25 pizzas vegetarianas al día. Otra condición a considerar es que solamente puede comprarse los ingredientes necesarios para producir 60 pizzas Suprema por día. Con esta información se elabora la hoja de Excel:
se ha destinado una celda (E10) para especificar que el total de pizzas es la suma de las celdas B2+B6+B10. Los datos ya están listos para utilizar Solver, así que debe ir al menú Datos y hacer clic en el comando Solver donde se mostrará el cuadro de diálogo Parámetros de Solver.
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE HONDURAS Matemática II
Ing. Oscar Guillermo Segura
Todo está listo para continuar. Solamente debe hacer clic en el botón Resolver y Excel comenzará a calcular diferentes valores para las celdas variables hasta encontrar el valor máximo para las ventas totales. Al término del cálculo se mostrará el cuadro de diálogo Resultados de Solver.
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE HONDURAS Matemática II
Ing. Oscar Guillermo Segura
haga clic en Aceptar para ver los resultados en la hoja de Excel.
Excel ha hecho los cálculos para saber que, con las restricciones establecidas, tendremos un valor máximo de venta total de $5,525. Ahora fácilmente podría cambiar los valores de las restricciones y volver a efectuar el cálculo con Solver para observar el comportamiento en las ventas.
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Ing. Oscar Guillermo Segura
Resolver con Excel (tiene 3 variables deberíamos usar método simplex) Maximizar 200x + 150y + 120z
s.a:
15x + 7.5y + 5z ≤ 315 2x + 3y + 2z ≤ 110 x + y + z ≤ 50 ; x ≥ 0 y ≥ 0 z ≥ 0 s.a: significa sujeta a las restricciones indicadas Paso 1: Abrir una hoja de Excel y definir las variables de decisión y la función objetivo. En este ejemplo se han marcado con amarillo y verde las variables de decisión y función objetivo respectivamente sólo para facilitar la comprensión. Es importante notar que la función objetivo (celda F4) será siempre una fórmula que depende de los parámetros de la función objetivo (celdas B5, C5, D5) y las variables de decisión (B4, C4, D4)
Paso 2: Se definen las restricciones del modelo. La columna en amarillo bajo el título "Lado Izq" es una fórmula de los parámetros y las variables de decisión en las respectivas restricciones. Por ejemplo, la fórmula incorporada en E9 es simplemente: 15X + 7.5Y + 5Z. La celda F9 es el lado derecho de dicha restricción y corresponde a una constante (315).
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Ing. Oscar Guillermo Segura
Paso 3: Ingresamos a la Opción Solver. Luego definimos la celda objetivo (función objetivo), el valor que buscamos (maximización o minimización), las celdas que deseamos cambiar (variables de decisión) y las restricciones. Para nuestro ejemplo está será la pantalla que se debe obtener:
Paso 4: Accedemos a "Opciones..." y seleccionamos "Adoptar modelo lineal “y "Adoptar no negativos". Finalmente seleccionamos "Aceptar" y luego "Resolver".
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Ing. Oscar Guillermo Segura
Paso 5: Si el proceso se ha desarrollado en forma correcta la hoja de cálculo se actualizará y se obtendrán los siguientes resultados. Solución Óptima: X=4, Y=10, Z=36. Valor Óptimo: V(P)=6.620. Se recomienda requerir el informe de sensibilidad tal como se muestra en la imagen de abajo.
Ejercicios para Practicar I. Usando el método simplex encuentre el valor máximo de la función z sujeta a las siguientes condiciones: 1. Z= 3x+2y sujeta a: x + y ≤ 5; x +2y ≤ 4 con x ≥ 0, y ≥0 2. Z= x+3y sujeta a: x + y ≥ 2; 2y ≥ x – 1; y≤x+1 x ≥ 0, y ≥0. 3. z= x - 2y +2z sujeta a: x + 2y + z≤ 14; 2x +y+3z ≤ 14; y ≤5 x≥ 0, y≥0 II. Usando el método simplex encuentre el valor mínimo de la función z= x+2y sujeta a:x≥ 0; y≥0; 2x + y ≥7; 2y – x ≥ -1; 2x – y ≥ 3
Ing. Oscar Guillermo Segura
Programación lineal La programación lineal estudia las situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.
Función objetivo La programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables: f (x, y) = a x + b y.
Restricciones La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales: Solución factible El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles .
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Solución óptima El conjunto de los vértices del área se denomina conjunto de soluciones factibles
básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso).
Pasos para resolver un problema de programación lineal 1. Elegir las incógnitas. 2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema. 3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones. 4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones. 5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos). 6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado).
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Ejemplo Un almacén encarga a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima? 1. Elección de las incógnitas. x = número de pantalones y = número de chaquetas 2. Función objetivo f (x, y)= 50x + 40y 3. Restricciones Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: pantalones
chaquetas
disponible
algodón
1
1,5
750
poliéster
2
1
1000
x + 1.5y ≤ 750
2x+3y≤1500
2x + y ≤ 1000 Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más: x ≥ 0 y ≥ 0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles Tenemos que representar gráficamente las restricciones. Al ser x ≥ 0 e y ≥ 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
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Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x +3y ≤ 1500, De modo análogo resolvemos 2x + y ≤ 1000. 2·0 + 0 ≤ 1 00 La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vértices del área de las soluciones factibles. La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto.
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Éstos son las soluciones a los sistemas: 2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500) 2x + y = 1000;
y = 0 (500, 0)
2x + 3y =1500; 2x + y = 1000
(375, 250)
6 Calcular el valor de la función objetivo En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices.
f (x, y) = 50x + 40y f (0, 500) = 50·0 + 40·500 = 20000 $ f (500, 0) = 50·500 + 40·0 = 25000 $ f(375, 250) = 50·375 + 40·250 = 28750 $
Máximo
La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de 28750 $
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Ejercicios para practicar I. Usando el método grafico encuentre el valor máximo de la función objetivo sujeto a las condiciones: 1. Z = 5x + 7y sujeto a: 3x + 2y ≤ 7;
2x + 5y ≤12 con x ≥ 0, y ≥ 0.
2. Z = x - 2y sujeto a:
2x+3y ≤ 7;
5x + 2y ≤12 con x ≥ 0, y ≥ 0.
3. Z = 2y + x sujeto a:
-y +x ≤ 2;
3y –x ≤ 2 con x ≥ 0, y ≥ 0.
II. Usando el método gráfico encuentre el valor mínimo de la función objetivo sujeto a las condiciones siguientes: 1. z= 4x + 5y sujeto a: x + 2y <10; 2. z= 4x + 7y sujeto a: x ≤ 3;
-x + 2y < 4; 3x-y ≤ 9 con x ≥ 0, y ≥ 0
y ≥ 1; y ≤ x
III. Un médico, debe encontrar la combinación de dos tipos de productos de modo que logre los requerimientos de al menos 0.5 ml de tiaminas y 400 calorías .cada onza del producto A contiene 0.12 ml de tiamina y 100 calorías mientras que cada onza del producto B contiene 0.08 ml de tiamina y 150 calorías, si el costo de cada producto es de 10 Lps por onza para Ay 12 Lps por onza para B Cuántas onzas de cada producto deberán combinarse?
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE HONDURAS Matemática II
Ing. Oscar Guillermo Segura
El Método Simplex Hasta ahora se han resuelto problemas de programación lineal a través de un método geométrico. Este método no resulta práctico cuando el número de variables se aumenta a tres, y con más variables resulta imposible de utilizar. Ahora se examinaremos una técnica diferente. El método símplex implica cálculos tediosos y voluminosos, lo que hace que la computadora sea una herramienta esencial para resolver los problemas de programación lineal. Por consiguiente, las reglas computacionales del método símplex se adaptan para facilitar el cálculo automático. Para estandarizar, la representación algebraica del espacio de soluciones de programación lineal se forma bajo dos condiciones: Todas las restricciones (excepto las de no negatividad) son ecuaciones con lado derecho no negativo. Todas las variables son no negativas.
Programación lineal en Solver de Excel El método gráfico con 2 variables es sumamente sencillo. Está explicado en los resúmenes de clases y en varios Site web La cosa se complicó cuando aumento el número de variable y usamos el método simplex, hasta que apareció la hoja de cálculo el Método Simplex era lo importante, para trabajar con 5 o 6 variables a lápiz ¡!!!..... Ahora con hasta con 16 variables Excel resuelve esto con su Solver Por ejemplo en el método simplex se inundaba con reglas y casos de derivación etc. innecesarios en economía y negocios seguramente necesarios en física o química, pero no aquí donde solo tiene sentido el primero de los cuatro cuadrantes. Se habló siempre de resolución de sistemas N x N, pero ningún texto incluyó resuelto un sistema de 4x4. En conclusión si tiene que realizar un pronóstico que involucra más de una variable, puede utilizar Solver en Excel. Este complemento ayudará a analizar escenarios de negocio multivariable y de optimización.
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE HONDURAS Matemática II
Ing. Oscar Guillermo Segura
Ejemplo de uso de Solver Claudio´s Pizza establecimiento de venta de pizzas ofrece dos tipos de pizza tradicionales, Pepperoni ($30) y Vegetariana ($35). Además la pizza especial Suprema ($45). No sabemos cuál es el potencial de ingresos del establecimiento y tampoco la producción que se debería de hacer en cada tipo de pizza para maximizar las ventas. Dada la capacidad de producción solamente se puede elaborar 150 pizzas al día. Otra condición es que no puede exceder de 90 pizzas tradicionales (Pepperoni y Vegetariana) y además, al no haber muchos vegetarianos en la ciudad, se estima vender un máximo de 25 pizzas vegetarianas al día. Otra condición a considerar es que solamente puede comprarse los ingredientes necesarios para producir 60 pizzas Suprema por día. Con esta información se elabora la hoja de Excel:
se ha destinado una celda (E10) para especificar que el total de pizzas es la suma de las celdas B2+B6+B10. Los datos ya están listos para utilizar Solver, así que debe ir al menú Datos y hacer clic en el comando Solver donde se mostrará el cuadro de diálogo Parámetros de Solver.
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Ing. Oscar Guillermo Segura
Todo está listo para continuar. Solamente debe hacer clic en el botón Resolver y Excel comenzará a calcular diferentes valores para las celdas variables hasta encontrar el valor máximo para las ventas totales. Al término del cálculo se mostrará el cuadro de diálogo Resultados de Solver.
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE HONDURAS Matemática II
Ing. Oscar Guillermo Segura
haga clic en Aceptar para ver los resultados en la hoja de Excel.
Excel ha hecho los cálculos para saber que, con las restricciones establecidas, tendremos un valor máximo de venta total de $5,525. Ahora fácilmente podría cambiar los valores de las restricciones y volver a efectuar el cálculo con Solver para observar el comportamiento en las ventas.
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Resolver con Excel (tiene 3 variables deberíamos usar método simplex) Maximizar 200x + 150y + 120z
s.a:
15x + 7.5y + 5z ≤ 315 2x + 3y + 2z ≤ 110 x + y + z ≤ 50 ; x ≥ 0 y ≥ 0 z ≥ 0 s.a: significa sujeta a las restricciones indicadas Paso 1: Abrir una hoja de Excel y definir las variables de decisión y la función objetivo. En este ejemplo se han marcado con amarillo y verde las variables de decisión y función objetivo respectivamente sólo para facilitar la comprensión. Es importante notar que la función objetivo (celda F4) será siempre una fórmula que depende de los parámetros de la función objetivo (celdas B5, C5, D5) y las variables de decisión (B4, C4, D4)
Paso 2: Se definen las restricciones del modelo. La columna en amarillo bajo el título "Lado Izq" es una fórmula de los parámetros y las variables de decisión en las respectivas restricciones. Por ejemplo, la fórmula incorporada en E9 es simplemente: 15X + 7.5Y + 5Z. La celda F9 es el lado derecho de dicha restricción y corresponde a una constante (315).
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Paso 3: Ingresamos a la Opción Solver. Luego definimos la celda objetivo (función objetivo), el valor que buscamos (maximización o minimización), las celdas que deseamos cambiar (variables de decisión) y las restricciones. Para nuestro ejemplo está será la pantalla que se debe obtener:
Paso 4: Accedemos a "Opciones..." y seleccionamos "Adoptar modelo lineal “y "Adoptar no negativos". Finalmente seleccionamos "Aceptar" y luego "Resolver".
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE HONDURAS Matemática II
Ing. Oscar Guillermo Segura
Paso 5: Si el proceso se ha desarrollado en forma correcta la hoja de cálculo se actualizará y se obtendrán los siguientes resultados. Solución Óptima: X=4, Y=10, Z=36. Valor Óptimo: V(P)=6.620. Se recomienda requerir el informe de sensibilidad tal como se muestra en la imagen de abajo.
Ejercicios para Practicar I. Usando el método simplex encuentre el valor máximo de la función z sujeta a las siguientes condiciones: 1. Z= 3x+2y sujeta a: x + y ≤ 5; x +2y ≤ 4 con x ≥ 0, y ≥0 2. Z= x+3y sujeta a: x + y ≥ 2; 2y ≥ x – 1; y≤x+1 x ≥ 0, y ≥0. 3. z= x - 2y +2z sujeta a: x + 2y + z≤ 14; 2x +y+3z ≤ 14; y ≤5 x≥ 0, y≥0 II. Usando el método simplex encuentre el valor mínimo de la función z= x+2y sujeta a:x≥ 0; y≥0; 2x + y ≥7; 2y – x ≥ -1; 2x – y ≥ 3
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