Liber Mesuesi Matematika 9 1n1j3g

[email protected]

0 dhe b>0). • Të vërtetojnë, në disa raste, vetitë e fuqive me eksponentë racionalë. • Të vërtetojnë identitete me rrënjë e fuqi me eksponentë racionalë.

MATEMATIKA 9

19

• Të bëjnë shndërrime shprehjesh, me rrënjë e fuqi me eksponentë racionalë, duke përdorur vetitë e fuqive. Kreu III: Katërkëndëshat Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse një shumëkëndësh i vizatuar është i mysët. • Të formulojnë përkufizimin e paralelogramit, rombit, drejtkëndëshit, katrorit, trapezit. • Të përdorin, në raste shumë të thjeshta, teoremën për shumën e këndeve të katërkëndëshit të mysët. • Të përdorin, në raste shumë të thjeshta, vetitë kryesore të paralelogramit (për këndet e kundërt, për brinjët e kundërta, për pikën e prerjes së diagonaleve). • Të përdorin, në raste shumë të thjeshta, teoremat që shprehin kushte të mjaftueshme që katërkëndëshi të jetë paralelogram. • Të përdorin, në raste shumë të thjeshta, vetitë kryesore të rombit e të drejtkëndëshit. • Të zbatojnë, në raste shumë të thjeshta, vetitë e vijës së mesme të trekëndëshit dhe të vijës së mesme të trapezit. • Të zbatojnë njohuritë në situata të thjeshta praktike. • Të formulojnë fjali të anasjella, të teoremave të formuluara në trajtën standard “në qoftë se p, atëherë q”. • Të japin shembuj fjalish të anasjella, që nuk janë teorema, duke dhënë kundërshembuj. • Të përdorin në raste të drejtpërdrejta teoremën e Talesit. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të japin përkufizimin e shumëkëndëshit të mysët. • Të riprodhojnë vërtetimin e teoremës për shumën e këndeve të brendshëm të tij. • Të riprodhojnë vërtetimin e teoremave për vetitë e paralelogramit. • Të riprodhojnë vërtetimin e teoremave, që japin kushte të mjaftueshme që

20

LIBËR PËR MËSUESIN

katërkëndëshi të jetë paralelogram. • Të riprodhojnë vërtetimin e teoremave për vetitë e rombit dhe për vetitë e drejtkëndëshit. • Të riprodhojnë vërtetimin e teoremës së Talesit. • Të riprodhojnë vërtetimin e teoremës mbi vijën e mesme të trekëndëshit. • Për teoremat e shqyrtuara, të formulojnë fjalitë e anasjella dhe të shqyrtojnë vërtetësinë e tyre. • Të përdorin teoremat e njohura në problema të thjeshta njehsimi e vërtetimi. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përshkruajnë llojet e veçanta të katërkëndëshave (paralelogrami etj.), me anë të fjalive të njëvlershme me vetitë karakteristike të tyre. • Të zbatojnë teoremat në situata të reja, praktike apo të simuluara. • Të zbulojnë veti në katërkëndësha të mysët dhe t’i vërtetojnë ato. • Të demonstrojnë, në situata problemore, shkathtësi konstruktive gjeometrike (ndërtime plotësuese, ndarje figurash). Kreu IV: Shndërrime të shprehjeve shkronjore Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë lloje të ndryshme shprehjesh me ndryshore, duke emërtuar monomet, polinomet, thyesat racionale. • Të kthejnë polinomet në trajtë të rregullt. • Të gjejnë vlerën e një thyese racionale me dy ndryshore, për vlera të thjeshta të ndryshores. • Të japin shembuj shprehjesh identike e jo identike në R. • Të përkufizojnë bashkësinë e përcaktimit të një shprehje. • Të japin bashkësinë e përcaktimit të shprehjeve: ,

,

,

MATEMATIKA 9

21

ku P(x) është polinom, kurse (ax+b) është binom i fuqisë së parë. • Të zbërthejnë në faktorë shprehje shumë të thjeshta (me nxjerrje në dukje, me përdorim të formulave të rëndësishme, me grupim). • Të shkruajnë simbolikisht e të përdorin në raste te thjeshta, disa formula të rëndësishme, përfshirë (a ± b ) . • Të thjeshtojnë dy thyesa, kur gjymtyrët janë monome të rregullt me një deri dy 3

ndryshore. • Të thjeshtojnë thyesa të trajtës

.

• Të bëjnë shndërrime identike të shprehjeve të thjeshta me ndryshore, duke respektuar radhën e veprimeve. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të vërtetojnë e të përdorin, në raste të thjeshta, formulat për (a ± b ) . • Të vërtetojnë e të përdorin, në raste të thjeshta, formulën për (a+b+c)2. • Të gjejnë bashkësinë e përcaktimit për shprehje të formës: 3

, ku P(x) është polinom. • Të thjeshtojnë thyesa racionale të thjeshta. • Të kryejnë veprime aritmetike (përfshirë ngritjen në fuqi) me thyesa racionale të thjeshta. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:

(

)

• Të vërtetojnë formulat për zbërthimin e a 3 ± b 3 e t’i përdorin në raste të thjeshta. • Të gjejnë bashkësinë e përcaktimit të shprehjeve të trajtës: ·

.

22


• Të kryejnë veprimet sipas radhës, në shprehje me thyesa racionale. • Të vërtetojnë identitete me thyesa racionale, duke vënë edhe kushtet.

Kreu V: Njohuri plotësuese për rrethin Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë në rreth, kënde qendrorë e kënde rrethorë. • Të zbatojnë, në raste të thjeshta, formulën që lidh masat e tyre. • Të përdorin faktin që, këndi rrethor i mbështetur në diametër është i drejtë. • Të përdorin, në raste të thjeshta, vetinë e përmesores së segmentit dhe vetinë e përgjysmores së këndit. • Të përdorin faktin që, përmesoret e brinjëve të trekëndëshit priten në një pikë, për të gjetur qendrën e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit. • Të përdorin faktin që, përgjysmoret e trekëndëshit priten në një pikë, për të gjetur qendrën e rrethit të brendashkruar trekëndëshit. • Të përdorin shprehjet për R, r në trekëndëshin barabrinjës, nëpërmjet lartësisë së tij. 1 • Të përdorin në raste të thjeshta formulën S= ⋅ P ⋅ r . 2 Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të riprodhojnë teoremën mbi masën e këndit rrethor. • Të riprodhojnë vërtetimet e dy zbatimeve të saj (për kënde rrethorë që presin të njëjtin hark; për korda paralele në një rreth). • Të vërtetojnë teoremën për rrethin, që kalon nga dy pika. • Të riprodhojnë vërtetimin e teoremave mbi ekzistencën dhe unicitetin e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit. • Të riprodhojnë vërtetimet e teoremave mbi ekzistencën dhe unicitetin e rrethit

MATEMATIKA 9

23

të brendashkruar trekëndëshit. • Të përdorin, në raste të thjeshta, vetinë e tangjenteve të hequra nga një pikë jashtë rrethit. • Të riprodhojnë vërtetimin e teoremës mbi qendrën e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit kënddrejtë. 1 2

• Të nxjerrin me vërtetim formulën S= P r . 2 • Të vërtetojnë që në trekëndëshin barabrinjës R=2r= h . 3 • Të përdorin teoremat e shqyrtuara në problema të thjeshta njehsimi e vërtetimi. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zbulojnë dhe të vërtetojnë veti të reja, për rrethin e jashtëshkruar dhe për rrethin e brendashkruar trekëndëshit. • Të nxjerrin dhe të vërtetojnë veti të paralelogramit (dhe llojeve të veçanta të tij), kur atij i jashtëshkruhet apo brendashkruhet rreth. • Të shqyrtojnë vërtetësinë e fjalive të anasjella të teoremave të shqyrtuara. • Të zbatojnë teoremat në situata të reja problemore (njehsimi apo vërtetimi).

Kreu VI:

Ekuacione dhe sisteme

Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse një numër real është rrënjë e një ekuacioni të fuqisë së parë apo të fuqisë së dytë me një ndryshore. • Të formulojnë dhe të zbatojnë, në raste të drejtpërdrejta, teoremat mbi njëvlershmërinë e ekuacioneve me një ndryshore. • Të japin shembuj shndërrimesh jo të njëvlershme. • Të zgjidhin, sipas formulës, ekuacione të trajtës ax2+bx+c=0, ku a, b, c janë numra të plotë dhe a>0. • Të zgjidhin ekuacione të trajtës f(x)·g(x)=0, ku f(x), g(x) janë binome të fuqisë

24


së parë apo trinome të fuqisë së dytë me koeficientë të plotë. • Të gjejnë, sipas formulave të Vietës, shumën dhe prodhimin e rrënjëve të ekuacionit ax2+bx+c=0. • Të zgjidhin ekuacione të trajtave

me koeficientë të plotë.

• Të përcaktojnë drejtpërdrejtë, nëse një çift i radhitur numrash realë është zgjidhje për një sistem dy ekuacionesh të fuqisë së parë, me dy ndryshore. • Të japin disa zgjidhje të ekuacionit ax+by+c=0. • Të ndërtojnë grafikun e ekuacionit ax+by+c=0, ku a, b, c janë numra të plotë. • Të zgjidhin sistemin e dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore të trajtës

, me koeficientë të plotë, me mënyrën e zëvendësimit ose të

mbledhjes. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zgjidhin në R ekuacione që sillen në trajtat ax=b, ax2+bx+c=0, me shndërrime të njëvlershme, duke argumentuar shndërrimet. • Të riprodhojnë vërtetimin për formulën e rrënjëve të ekuacionit ax2+bx+c=0. • Të nxjerrin me vërtetim formulat e Vietës. • Të gjejnë vlerat e parametrit, për të cilat ekuacioni i fuqisë së dytë me një ndryshore, me parametër, ka dy (një; asnjë) rrënjë reale. • Të zgjidhin ekuacione të thjeshtë me ndryshore në emërues. • Të shprehin me fjalë rregullën për zgjidhjen e ekuacioneve të trajtës f(x)·g(x)=0. • Të zgjidhin ekuacione të kësaj trajte kur f(x), g(x) janë binome të fuqisë së parë apo trinome të fuqisë së dytë. • Të zgjidhin ekuacionet e trajtës f(x)·g(x)=0, kur f(x) apo g(x) kanë trajtat ,

.

• Të zgjidhin sisteme të trajtës

me mënyrën grafike.

MATEMATIKA 9

25

• Të zgjidhin ekuacione të thjeshtë të fuqisë së dytë me koeficientë shkronjorë. • Të zgjidhin problema të thjeshta, që çojnë në ekuacione të fuqisë së parë apo fuqisë së dytë me një ndryshore. • Të zgjidhin problema të thjeshta, që çojnë në sisteme dy ekuacionesh të fuqisë së parë me dy ndryshore. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të njehsojnë vlerën e shprehjeve të thjeshta që përmbajnë x1, x2, pa njehsuar vetë rrënjët, por me anë të formulave të Vietës. • Të vërtetojnë dy teoremat për rrënjët e ekuacionit f(x)·g(x)=0. • Të zgjidhin ekuacione që sillen në trajtën f(x)·g(x)=0, me shndërrime të thjeshta. • Të zgjidhin ekuacione me një ndryshore, që sillen në ekuacione të fuqisë së parë apo të dytë me zëvendësim të ndryshores. • Të zgjidhin sisteme ekuacionesh me dy ndryshore, që sillen në trajtën me zëvendësim të ndryshores. • Të zgjidhin problema në situata të reja apo komplekse, me anë të ekuacioneve të fuqisë së parë apo të dytë, me një ndryshore. • Të zgjidhin problema me sisteme dy ekuacionesh të fuqisë së parë me dy ndryshore, në situata të reja apo komplekse.

26


Kreu VII: Sipërfaqet e figurave Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Në një proces matje, të dallojnë matjen e direkte nga ajo indirekte. • Të përdorin skemën, për të kaluar nga një njësi matëse e sipërfaqes në një tjetër. • Të mbajnë mend formulat për sipërfaqen e trekëndëshit, paralelogramit, trapezit. • T’i përdorin këto formula në raste me të dhëna direkte apo në raste të thjeshta njehsimi. • Të gjejnë sipërfaqen e trekëndëshit kënddrejtë, kur njihen dy brinjë të tij. • Të gjejnë sipërfaqen e trekëndëshit barabrinjës, kur njihet brinja e tij; sipërfaqen e rombit, kur njihen diagonalet e tij. • Të përdorin në raste të drejtpërdrejta formulën për sipërfaqen e sektorit qarkor. • Në formulat për sipërfaqet, të gjejnë vlerën e njërës ndryshore, kur njihen vlerat e ndryshoreve të tjera. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin formulat për sipërfaqet e figurave të thjeshta, kur të dhënat nuk jepen të gjitha drejtpërdrejtë. • Të përdorin formulat për sipërfaqet e figurave, në rastet kur është evidente ndarja e tyre në figura të njohura, apo ndonjë ndërtim plotësues. • Të nxjerrin prej formulave të njohura, formula të tjera për sipërfaqen e figurave të thjeshta (p.sh., për sipërfaqen e rombit nëpërmjet diagonaleve). • Të përdorin formulat për sipërfaqet e figurave të thjeshta në problema të thjeshta me njehsim. • Të shprehin në dy mënyra sipërfaqen e një figure të thjeshtë, për të gjetur elemente të saj. • Të mbajnë mend e të përdorin formulën e Heronit për sipërfaqen e trekëndëshit, kur njihen tri brinjët. • Të vërtetojnë disa formula (për sipërfaqen e paralelogramit, trapezit etj.). • Të shprehin me fjalë e të përdorin teoremën për raportin e sipërfaqeve të trekëndëshave, që kanë elemente të përbashkëta (kënd, lartësi etj.).

MATEMATIKA 9

27

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin formulat për sipërfaqet e figurave të thjeshta në situata problemore të reja, me njehsim apo vërtetim. • Të krahasojnë mënyra të ndryshme për matje sipërfaqesh, duke zgjedhur mënyrën më të përshtatshme për situatën e dhënë.

Kreu VIII: Ngjashmëria e trekëndëshave Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të shkruajnë e të përdorin, në raste të drejtpërdrejta, vetitë kryesore të përpjesëtimeve. • Të dallojnë përpjesëtueshmërinë e segmenteve. • Të japin përkufizimin e trekëndëshave të ngjashëm. • Të dallojnë nëse dy trekëndësha, me elemente të dhëna, janë të ngjashëm. • Të dallojnë brinjë homologe në trekëndësha të ngjashëm. • Të gjejnë koeficientin e ngjashmërisë për dy trekëndësha të ngjashëm. • Të zbatojnë, në raste të drejtpërdrejta, tre kriteret (rastet) për ngjashmërinë e trekëndëshave. • Të ndërtojnë trekëndësh të ngjashëm me një trekëndësh të dhënë, kur jepet koeficienti i ngjashmërisë. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin vetitë e përpjesëtimeve, për ndarjen e një madhësie në disa pjesë. • Të shprehin me fjalë tri teoremat për rastet e ngjashmërisë së trekëndëshave. • Të riprodhojnë vërtetimet e këtyre teoremave. • Të zbatojnë këto teorema në problema të thjeshta njehsimi. • Të riprodhojnë vërtetimin e teoremës mbi raportin e perimetrave të trekëndëshave të ngjashëm e ta zbatojnë atë në raste të thjeshta. • Të përdorin ngjashmërinë për vërtetime të thjeshta:

28


a) vetia e vijës së mesme të trekëndëshit; b) vetia e vijës së mesme të trapezit; c) vetia e kordave që priten. • Të vërtetojnë teoremën e Talesit dhe ta zbatojnë në raste të thjeshta. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zbatojnë tre rastet e ngjashmërisë së trekëndëshave në problema njehsimi e vërtetimi, në situata të reja jostandarde. • Të nxjerrin e të vërtetojnë teorema që shprehin veti të reja të trekëndëshave të ngjashëm (për lartësitë homologe, mesoret homologe, përgjysmoret homologe). • Të gjejnë një gjatësi të kërkuar që nuk matet drejtpërdrejtë, duke përdorur ngjashmërinë. Kreu IX: Marrëdhëniet metrike në trekëndëshin kënddrejtë Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të shprehin me fjalë e shkronja teoremën e Pitagorës. • Të shprehin me fjalë teoremën e anasjellë të Pitagorës. • T’i përdorin këto teorema në raste të drejtpërdrejta. • Të dallojnë, në trekëndëshin kënddrejtë, projeksionet e kateteve mbi hipotenuzë. • Të shprehin me fjalë e shkronja dy teoremat e Euklidit. • T’i përdorin ato në raste direkte. • Të përdorin teoremat e Euklidit dhe të Pitagorës, për të njehsuar brinjë e perimetra trekëndëshash, në problema shumë të thjeshta. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të riprodhojnë vërtetimin e teoremës së Pitagorës. • Të riprodhojnë vërtetimet e teoremave të Euklidit. • Të zbatojnë teoremat mbi zbatimet e teoremave të Euklidit në rreth, në raste të thjeshta.

MATEMATIKA 9

29

• Të përdorin teoremat e Pitagorës dhe të Euklidit për zgjidhjen e problemave të thjeshta me njehsim, në situata praktike apo të simuluara. • T’i përdorin teoremat e Euklidit dhe Pitagorës për zgjidhjen e problemave të thjeshta me vërtetim. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të nxjerrin me vërtetim teoremën e Pitagorës prej atyre të Euklidit. • Të vërtetojnë teoremat mbi pingulen nga një pikë e rrethit mbi diametrin. • Të zbatojnë teoremat e Pitagorës dhe të Euklidit për zgjidhjen e problemave me njehsim, në situata jostandarde. • Të zbatojnë këto teorema në zgjidhjen e problemave të reja me vërtetim.

Kreu X: Vektorët në plan Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të japin përkufizimin e vektorit. • Të dallojnë vektorë bashkëvizorë e vektorë me drejtim të ndryshëm. • Të dallojnë vektorë të barabartë e vektorë të kundërt. • Të zhvendosin vektorin e dhënë, me fillesë në një pikë të dhënë. • Të japin përkufizimin e vektorit njësi. • Të gjejnë, në raste të drejtpërdrejta, shumën e dy vektorëve me rregullën e trekëndëshit apo të paralelogramit. • Të gjejnë, në raste të drejtpërdrejta, ndryshesën e dy vektorëve të dhënë. →

• Të përdorin për pikën në bosht faktin që M(x) ⇔ =x⋅ i . • Të gjejnë largesën e dy pikave me koordinata të dhëna në bosht. • Të ndërtojnë pikën (dhe rrezevektorin e saj), kur njihen koordinatat e pikës dhe anasjellas. • Të gjejnë koordinatat e vektorit, kur njihen koordinatat e skajeve të tij.

30


• Të kalojnë nga shënimi M (x, y) në shënimin

→

→

= x ⋅ i + y ⋅ j dhe anasjellas.

→ →  → • Të gjejnë koordinatat e  u + v  dhe të  k ⋅ u  , kur njihen koordinatat e     → →

vektorëve u, v . • Të gjejnë koordinatat e mesit të segmentit, kur njihen ato të skajeve; të gjejnë koordinatat e njërit skaj, kur njihen koordinatat e mesit dhe të skajit tjetër. • Të zbatojnë njohuritë në situata të thjeshta të jetës së përditshme. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Nga lidhja e thjeshtë ndërmjet vektorëve të shkruajnë lidhje për gjatësitë e tyre. • Të formulojnë e të përdorin, në raste të thjeshta, vetitë e mbledhjes së dy vektorëve. • Të gjejnë shumën e disa vektorëve. • Të vërtetojnë rregullën për gjetjen e ndryshesës së dy vektorëve. →

• Të japin përkufizimin e k ⋅ u . • Të gjejnë raportin e dy vektorëve bashkëvizorë të dhënë. →

→

• Të vërtetojnë fjalinë “M (x, y) ⇒ = x ⋅ i + y ⋅ j ”. • Të vërtetojnë formulat: a) për koordinatat e vektorit nëpërmjet skajeve; →

→

b) për koordinatat e u + v ; →

c) për koordinatat e k ⋅ u . • Të përdorin formulat dhe vetitë në problema të thjeshta, praktike apo të simuluara. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të vërtetojnë vetinë e ndërrimit e të shoqërimit të mbledhjes së dy vektorëve.

MATEMATIKA 9

31

• Të demonstrojnë shkathtësi konstruktive gjatë veprimeve me vektorë (kryerje ndërtimesh plotësuese). • Të zbatojnë formulat dhe vetitë në situata të reja, praktike e të simuluara. • Të vërtetojnë teorema të anasjella të disa teoremave të shqyrtuara. Kreu XI: Shndërrime të figurave gjeometrike Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të formulojnë përkufizimin e izometrisë. • Të japin shembuj pasqyrimesh gjeometrike që nuk janë izometri. • Të formulojnë e të përdorin, në raste shumë të thjeshtë, teoremat mbi vetitë kryesore të izometrisë. • Të dallojnë qartë njëra nga tjetra izometritë kryesore (simetri qendrore, simetri boshtore, zhvendosje paralele, rrotullim). • Të ndërtojnë shëmbëllimin e pikës, segmentit, trekëndëshit, rrethit në secilën nga këto izometri. • Të gjejnë fytyrën e pikës, segmentit, trekëndëshit, rrethit në një izometri të dhënë, kur njihet shëmbëllimi i saj. • Të përshkruajnë kuptimin e qendrës së simetrisë dhe të boshtit të simetrisë së figurës. • Të tregojnë qendrat e simetrisë për rrethin dhe paralelogramin. • Të tregojnë boshtet e simetrisë së rrethit, këndit, trekëndëshit dybrinjënjishëm, katrorit. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përshkruajnë kuptimin e shëmbëllimit të një figure në një pasqyrim gjeometrik. • Të ndërtojnë shëmbëllimin e një shumëkëndëshi në secilën izometri. • Kur njohin pikën dhe shëmbëllimin e saj, sipas llojit të izometrisë së kryer, të gjejnë: a) vektorin e zhvendosjes paralele;

32


b) qendrën e simetrisë; c) boshtin e simetrisë; d) këndin e rrotullimit (kur njihet qendra e rrotullimit) dhe anasjellas. • Të riprodhojnë vërtetimet e teoremave që shprehin vetitë kryesore të izometrisë. • Të riprodhojnë vërtetimet e teoremave që tregojnë se pasqyrimet e shqyrtuara (simetria qendrore etj.) janë izometri. • Të riprodhojnë vërtetimet e teoremave për qendrat e simetrisë të rrethit e paralelogramit. • Të riprodhojnë vërtetimet e teoremave për boshtet e simetrisë së rrethit e këndit. • Të riprodhojnë vërtetimin e teoremës mbi shëmbëllimin e drejtëzës në zhvendosjen paralele. • Të plotësojnë figurën që ka qendër simetrie (bosht simetrie), kur njohin gjysmën e saj. • Të përdorin vetitë e izometrisë në situata të thjeshta, praktike apo të simuluara. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë shëmbëllimin e një figurë të thjeshtë, kur mbi të kryhen njëra pas tjetrës dy izometri. • Të përdorin vetitë e izometrisë në situata të reja problemore. Kreu XII: Mosbarazime numerike dhe inekuacione Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse është i vërtetë një mosbarazim numerik i thjeshtë i dhënë. • Të zbatojnë, në raste të drejtpërdrejta, vetitë e mosbarazimeve numerike. • Të dallojnë nëse një numër real i thjeshtë është zgjidhje e një inekuacioni të thjeshtë me një ndryshore. • Të zbatojnë, në raste të drejtpërdrejta, teoremat mbi njëvlershmërinë e inekuacioneve me një ndryshore. • Të zgjidhin në R inekuacione të trajtës ax+b
MATEMATIKA 9

33

duke e shkruar bashkësinë e zgjidhjeve si një interval. • Të paraqitin bashkësinë e zgjidhjeve të këtij inekuacioni në boshtin numerik. • Të gjejnë rrënjën e binomit ax+b dhe të hartojnë tabelën për studimin e shenjës së tij (a, b janë numra të plotë). • Të zgjidhin sisteme inekuacionesh të trajtës

, me koeficientë të plotë.

• Të zgjidhin inekuacione të dyfishtë të trajtës d b (ax
.

• Të zgjidhin problema të thjeshta, që çojnë në inekuacione (apo sisteme inekuacionesh) të fuqisë së parë me një ndryshore. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të tregojnë shndërrime që nuk çojnë në inekuacione të njëvlershme. • Të zgjidhin inekuacione (ose sisteme inekuacionesh) të fuqisë së parë me një ndryshore, kur mjedisi është një interval numerik. • Të diskutojnë për bashkësinë e zgjidhjeve të inekuacionit.

34


• Të zgjidhin inekuacione që sillen në trajtën (ax+b)(cx+d) ≥ 0 apo , me shndërrime të thjeshta. • Të vërtetojnë mosbarazime me dy ndryshore. • Të zgjidhin problema, që çojnë në inekuacione (apo sisteme inekuacionesh) të fuqisë së parë me një ndryshore. Kreu XIII: Funksioni Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përshkruajnë kuptimin e funksionit dhe atë të grafikut të tij. • Të ndërtojnë grafikun e funksionit me bashkësi përcaktimi të fundme, kur ai është dhënë me tabelë. • Të dallojnë nëse, një vijë e dhënë në planin xOy është grafik i një funksioni. • Të gjejnë përafërsisht, kur është dhënë grafiku i funksionit y=f(x), vlerën e y për një vlerë të dhënë të x dhe anasjellas. • Të ndërtojnë grafikun e funksionit y=ax+b, duke marrë dy pika të tij. • Të gjejnë vlerën e funksionit y=ax2+bx+c (a, b, c janë numra racionalë), për vlerën e dhënë racionale të x. • Të skicojnë grafikun e funksionit të trajtës y=ax2. • Të gjejnë kulmin dhe boshtin e simetrisë së grafikut të funksionit y=ax2+bx+c. • Të gjejnë pikat ku grafiku i funksionit y=ax2+bx+c (a, b, c janë numra të plotë) pret boshtin Ox (Oy). • Të skicojnë grafikun e funksionit y=ax2+bx+c, duke gjetur veç kulmit, edhe dy pika të tjera nga të dyja anët e kulmit. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Sipas grafikut të dhënë të funksionit y=ax2: a) të gjejnë vlerën e a; b) të ndërtojnë grafikun e funksionit y=-ax2; c) të ndërtojnë grafikun e funksionit y=ax2+n;

MATEMATIKA 9

35

d) të ndërtojnë grafikun e funksionit y=a(x-m)2. • Të listojnë vetitë e funksionit y=ax2, duke i ilustruar në grafik. • Të skicojnë grafikun e funksionit y=a(x-m)2+n, duke u bazuar tek grafiku i funksionit y=ax2. • Të shndërrojnë shprehjen konkrete ax2+bx+c në trajtën a(x-m)2+n. • Të gjejnë, kur njohin dy pika të grafikut: a) vlerën e a, n për funksionin y=ax2+n; b) vlerën e a, m për funksionin y=a(x-m)2. • Të zgjidhin problema të thjeshta, që modelohen matematikisht me anë të funksioneve y=ax2; y=ax2+bx+c. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Për një funksion të thjeshtë, të dhënë grafikisht, të shkruajnë bashkësinë e përcaktimit dhe bashkësinë e vlerave. • Të japin me formulë funksionin e fuqisë së dytë, të dhënë me mënyra të tjera. • Të ndërtojnë grafikun e funksionit y=ax2+bx+c në nënbashkësi të R. • Të gjejnë a, b, c, kur njihen tri pika të grafikut të fuksionit y=ax2+bx+c. • Të listojnë veti të funksionit y=ax2+bx+c, duke i argumentuar.

Kreu XIV: Trigonometri Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të listojnë e të përdorin, në raste të thjeshta, veti të trekëndëshit kënddrejtë. • Të japin saktë përkufizimet e këndit 1 gradë dhe 1 radian. • Të kthejnë gradët në radian për disa kënde kryesore. • Të dinë përmendësh përkufizimet e funksioneve trigonometrikë të këndit të ngushtë. • Të gjejnë vlerat e funksioneve trigonometrikë të këndit të ngushtë të një trekëndëshi kënddrejtë, kur jepen dy brinjë të tij.

36


• Të përdorin tabelën e vlerave të funksioneve trigonometrikë: a) për të gjetur vlerën e funksionit, kur jepet masa e këndit; b) për të gjetur afërsisht masën e këndit, kur njihet vlera e një funksioni trigonometrik të tij. • Të gjejnë elementet e panjohura të një trekëndëshi kënddrejtë, kur jepen disa elemente të tij. • Të gjejnë vlerat e funksioneve trigonometrikë të një këndi, kur jepet sinusi (kosinusi) i tij. • Të mbajnë mend e të zbatojnë në raste të thjeshta, formulat për varësinë ndërmjet funksioneve trigonometrikë të këndeve plotësues. • Të vërtetojnë identitete shumë të thjeshtë trigonometrikë. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të vërtetojnë që vlerat e raporteve, që japin funksionet trigonometrikë të këndit të ngushtë, varen vetëm nga vlera e këndit. • Të nxjerrin me vërtetim lidhjet kryesore ndërmjet funksioneve trigonometrikë të këndit të ngushtë ( sin 2 a + cos 2 a = 1 ;

;) etj.

• Të nxjerrin me vërtetim lidhjet për funksionet trigonometrikë të këndeve plotësues. • Të nxjerrin me vërtetim dhe të fiksojnë në kujtesë vlerat e sinusit, kosinusit, tangentit për këndet 300, 450 , 600 . • Të vërtetojnë identitete të thjeshtë trigonometrikë. • Të zgjidhin problema të thjeshta, me anë të trigonometrisë, në situata praktike apo të simuluara. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të nxjerrin me vërtetim formulën që lidh masat e këndit, në gradë e në radian. • Të gjejnë vlerat e funksioneve trigonometrikë të këndit të ngushtë, kur jepet

(cot ga ) .

MATEMATIKA 9

37

• Të vërtetojnë identitete trigonometrikë. • Të përdorin zgjidhjen e trekëndëshit kënddrejtë në situata të reja problemore, praktike a të simuluara.

Kreu XV: Gjeometria në hapësirë Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë, në situata të simuluara apo praktike: a) pozicionin e ndërsjellë të dy drejtëzave në hapësirë (prerëse, paralele, të kithëta); b) pozicionin e ndërsjellë të dy planeve në hapësirë. c) pozicionin e ndërsjellë të një drejtëze ndaj një plani në hapësirë (incidente, prerëse, paralele); d) pingultinë e një drejtëze ndaj një plani; • Të ndërtojnë projeksionin e një pike dhe të një segmenti në një plan. • Të dallojnë sipërfaqen cilindrike dhe sipërfaqen sferike si sipërfaqe rrotullimi. • Të dallojnë pozicionin e ndërsjellë të një plani dhe një sfere (prerës, tangjent, jo prerës). • Të dallojnë, në situata të simuluara apo praktike si në Tokë, rrathët e mëdhenj të sferës. • Të listojnë veti të thjeshta të konit, cilindrit, sferës. • Të dallojnë lartësinë e konit apo cilindrit. • Të mbajnë mend e të përdorin, në raste të drejtpërdrejta, formulat për sipërfaqen anësore dhe vëllimin e cilindrit apo sferës. • Të përdorin njohuritë në problema shumë të thjeshta me njehsim. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të japin saktë përkufizimet. • Të gjejnë, në situata të simuluara apo praktike, këndin që formon një drejtëz me planin.

38


• Të përdorin njohuritë për pozicionin e ndërsjellë (të dy drejtëzave, të dy planeve, të një drejtëze dhe një plani) për të përshkruar veti të thjeshta të kuboidit, piramidës, konit, cilindrit. • Të përdorin në raste të thjeshta teoremën ( d⊥P dhe d ⊂ Q ) ⇒ ( P⊥Q ). • Të gjejnë, në situata të simuluara apo praktike si në Tokë, rrezen e rrethit të prerjes së një sfere me një plan. • Të përdorin vetitë e njohura të konit, cilindrit, sferës në raste të thjeshta njehsimesh e krahasimesh. • Të japin kuptimin e vëllimit të një trupi e të tregojnë vetitë e tij. • Të njehsojnë sipërfaqen anësore dhe vëllimin (për cilindrin e sferën), në raste të thjeshtë, kur të dhënat nuk jepen direkt.

Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zbulojnë dhe të argumentojnë veti të reja nga vetitë e njohura të trupave të shqyrtuar. • Të përdorin formulat për sipërfaqen anësore dhe vëllimin (e cilindrit, e sferës) në situata të reja problemore, të simuluara apo praktike.

Kreu XVI:

Statistikë dhe probabilitet

Niveli I Në mbarim të kreut,nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë, në raste të thjeshta, popullimin dhe tiparin. • Të bëjnë dallimin ndërmjet tipareve në shembuj të dhënë apo të vetëzgjedhur. • Të mbledhin të dhëna sipas një qëllimi të përcaktuar dhe t’i paraqitin ato me tabela apo me diagrame. • Të lexojnë e të interpretojnë diagrame të dhëna. • Të ndërtojnë sipas të dhënave grafikë; të interpretojnë grafikë të dhënë. • Të njehsojnë karakteristikat e shpërndarjes (mesatare, mesore, modë, amplitudë)

MATEMATIKA 9

39

në raste të thjeshta tiparesh sasiore diskrete. • Të përshkruajnë kuptimin e provës dhe ta ilustrojnë me shembuj të thjeshtë. • Të dallojnë, nëse rezultatet e një prove (eksperimenti) të thjeshtë janë njëlloj të mundshëm. • Të gjejnë në prova (eksperimente) të thjeshtë (si hedhja e monedhës, e zarit, etj.) n(H) dhe n(A), për një ngjarje të thjeshtë. • Të përdorin formulën P(A)=

n( A) , për gjetjen e probabilitetit në raste të tilla. n( H )

• Të dallojnë ngjarjen e kundërt të një ngjarje të thjeshtë e të përdorin formulën P( A) =1-P(A). Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë, në situata praktike, tiparin diskret nga tipari i vazhdueshëm. • Të ndërtojnë diagrame rrethore, duke u bazuar në të dhëna të gatshme. • Të ndërtojnë, në raste të thjeshta, histogramin për një tipar të vazhdueshëm. • Në raste të thjeshta, të kryejnë në mënyrë të përshtatshme ndarjen në klasa dhe të sistemojnë të dhënat për këto klasa. • Të nxjerrin përfundime nga tabelat, diagramet, grafikët në raste të zakonshme. • Të identifikojnë ngjarjen nëpërmjet një nënbashkësie rezultatesh. • Për prova të zakonshme, të gjejnë n(H) dhe n(A). n( A) • Të gjejnë P(A) sipas formulës P(A)= , për ngjarje të zakonshme në prova n( H ) të zakonshme. • Të dallojnë bashkimin e dy ngjarjeve, në raste të thjeshta. • Të dallojnë, në raste të thjeshta, ngjarje të papajtueshme dhe të përdorin formulën P ( A ∪ B ) =P(A)+P(B).

• Të kryejnë prova të thjeshta, duke njehsuar probabilitetin sipas dendurisë relative.

40


Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: • Të grumbullojnë, përpunojnë e interpretojnë të dhëna statistikore, në situata të reja reale. • Në situata të reja, të simuluara apo reale, për tiparin e vazhdueshëm, të realizojnë ndarje të përshtatshme në klasa. • Të bëjnë parashikime në bazë të tabelave, diagrameve, grafikëve. • Të zbulojnë e të përshkruajnë në materiale të ndryshme publike, karakteristikat e shpërndarjes; të sugjerojnë ndryshime apo plotësime të mundshme në to. • Të përshkruajnë provën, kur ajo përsëritet disa herë dhe të tregojnë rezultatet e saj. n( A) • Të gjejnë probabilitetin sipas formulës P(A)= , në situata të reja n( H ) problemore, të simuluara apo reale.

MATEMATIKA 9

II.

41

UDHËZIME TË PËRGJITHSHME METODOLOGJIKE

II.1. Matematika në jetën e përditshme Matematika është shkencë dhe si e tillë është përshkruar dhe përkufizuar me mënyra nga më të ndryshmet. Pavarësisht nga shumëllojshmëria e përkufizimeve, këndvështrimi i përbashkët për matematikën e konsideron atë si veprimtari krijuese dhe si një nga pjesët më të përdorshme, më tërheqëse dhe më motivuese të dijeve njerëzore. Ajo mund të konsiderohet si një proces i komunikimit të informacionit, që mundëson zgjidhje për problemat praktike dhe e aftëson individin të bëjë zbulime nëpërmjet përfytyrimeve paraprake të imagjinatës. Matematika për shekuj me radhë është zhvilluar si arritje e përbashkët kulturore e njerëzimit. Duke ruajtur identitetin e saj, ajo ofron ide dhe metoda për zgjidhjen e problemave të disiplinave nga më të ndryshmet dhe si shkencë dinamike jep kontribute thelbësore për përshkrimin dhe organizimin e botës sonë. Matematika tradicionalisht është një pjesë karakteristike e gjuhës së shkencave dhe teknikës. Por edhe në ekonomi e politikë, ashtu si edhe në shkencat shoqërore, shprehitë e fituara me metoda matematikore përbëjnë shpesh bazën për vendime me rëndësi. Secili nga ne e përdor matematikën në jetën e përditshme, në shkencë, në industri, në biznese private dhe në kohën tonë të lirë. Në kohën e sotme gjithnjë e më tepër po zë vend termi alfabetizimi matematik (ang. mathematical literacy). Alfabetizimi matematik ka të bëjë me aftësitë e nevojshme matematike të jetës së individit, si nxënës dhe më tej si i rritur. Alfabetizimi matematik është kërkesë e kohës. Shoqëria e sotme ka nevojë për njerëz të cilët: -të jenë të aftë të komunikojnë në mënyrë sasiore; -të dallojnë situatat problemore zgjidhja e të cilave kërkon përdorimin e matematikës; -të kuptojnë të dhëna të përcjella nëpërmjet mediave ose të ndeshura në mjediset e jetës së përditshme; -të jenë të aftë matematikisht për profesionin e tyre; -të përdorin teknologjinë për të lehtësuar zbatimet e matematikës.

42


II.2.

Programi i matematikës së klasës së nëntë

2.1 Të përgjithshme Thelbi i referencave aktuale të kursit të matematikës është zhvendosja e theksimit nga dhënia e informacionit (që në thelb është e njëjtë me programet ekzistuese), tek formimi i kapaciteteve. Kurrikula e re ka parasysh: Ndërtimin e një variacioni të konteksteve problemore në mënyrë që të krijojë një hapje drejt fushave të matematikës. • Përdorimin e strategjive të ndryshme në zgjidhjen e problemave. • Organizimin e veprimtarive të ndryshme për nxënësit (në grup dhe individualisht) në funksion të nivelit dhe ritmit përkatës të zhvillimit të secilit. • Ndërtimin e disa sekuencave mësimore që të mundësojnë veprimtari vëzhguese e zbuluese në nivelin e nocioneve bazë të studiuara. •

Programi i matematikës i klasës së nëntë është konceptuar nga njëra anë si vazhdim i programit të klasës së tetë dhe nga ana tjetër si realizues i kufirit të njohurive matematike për arsimin e detyruar, duke parapërgatitur nxënësin për vazhdimin e shkollës së mesme të lartë. Një veçori e këtij programi është se ai tashmë do të realizohet me një tekst (e jo me dy tekste ku njohuritë algjebrike e ato gjeometrike janë të ndara) Ky fakt shtron domosdoshmërinë e ndërthurjes së temave apo kapitujve të algjebrës e gjeometrisë, jo vetëm që të mos shkaktohet vështirësi, por edhe që ato të ndikojnë e paraprijnë njera tjetrën. Matematika në klasën e nëntë do të zhvillohet me 4 orë në javë. Gjithsej : 35 javë x 4 orë/javë = 140 orë

2.2 Synimet e përgjithshme të programit Programi i matematikës për klasën e nëntë synon: • Të përforcojë, thellojë dhe zgjerojë njohuritë e marra në tetë vitet e para të shkollimit, në përputhje me potencialin intelektual të grup moshës përkatëse; • Të përgatisë nxënësin me bagazhin e domosdoshëm për të ndjekur me sukses shkollën e mesme;

MATEMATIKA 9

43

• Të pajisë nxënësin me njohuri matematike të përshtatshme për zbatime në vetë matematikën si dhe në lëndët e tjera; • Të aftësojë nxënësin për punë të pavarur në situata jo standarde, nëpërmjet përfshirjes së tij në marrjen dhe përpunimin e informacionit të ri mësimor, në zbatimin e metodave e algoritmeve, duke trajtuar situata të ndryshme të zbatimit të tyre; • Të forcojë karakterin logjik të të nxënit, nëpërmjet një raporti të përcaktuar, drejt rritjes graduale të peshës specifike të trajtimeve deduktive në raport me ato induktive; • Të përpunojë disa metoda bazë si ajo grafike, e shndërrimeve gjeometrike, e vërtetimit e përgjithësimit; • Të shfrytëzojë aspektet formuese të lëndës, duke i dhënë përparësi thelbit të konceptit, idesë së vërtetimit, por njëkohësisht duke shmangur vërtetimet e tejzgjatura. Sikurse edhe në klasat e mëparshme, programi është konceptuar sipas linjave e nënlinjave të përmbajtjes si më poshtë: 1. NUMRI 1.1. Kuptimi i numrit 1.2. Veprimet me numra 2. MATJA 2.1. Kuptimi i matjes 2.2. Njehsimi i gjatësisë, sipërfaqes, vëllimit. 3. GJEOMETRIA 3.1. Gjeometria në plan. 3.2. Gjeometria në hapësirë. 3.3. Shndërrimet gjeometrike. 4. ALGJEBRA DHE FUNKSIONI 4.1. Kuptimi i shprehjeve shkronjore. 4.2. Shndërrime të shprehjeve shkronjore. 4.3. Zgjidhja e ekuacioneve, inekuacioneve dhe sistemeve të ekuacioneve. 4.4. Funksioni.

44


5. MBLEDHJA, ORGANIZIMI DHE PËRPUNIMI i TË DHËNAVE. PROBABILITETI 5.1. Statistikë. 5.2. Probabilitet 2.3 Objektivat, konceptet e shprehitë kryesore sipas linjave e nënlinjave Linjat

Nënlinjat

1. Numri

1. Kuptimi i numrit 2. Veprime me numra

2. Matja

1. Kuptimi dhe përdorimi i matjes 2. Njehsimi i perimetrit, sipërfaqes dhe vëllimit

3. Gjeometria

1. Gjeometria në plan 2. Gjeometria në hapësirë 3. Shndërrime gjeometrike

4. Algjebra dhe funksioni

1. Kuptimi i shprehjes shkronjore 2. Shndërrime të shprehjeve shkronjore 3. Zgjidhja e ekuacioneve, inekuacioneve dhe e sistemeve të ekuacioneve. 4. Funksioni

5. Mbledhja, organizimi dhe interpretimi i të dhënave, probabiliteti.

1. Statistika 2. Probabiliteti

MATEMATIKA 9

LINJA 1. 1.1.

45

NUMRI

Kuptimi i numrit

Objektivat Në fund të klasës së nëntë nxënësit të jenë të aftë. • Të zbatojnë marrëdhëniet e përfshirjes ndërmjet bashkësive dhe nënbashkësive numerike (intervali, segmenti, gjysmë intervali, gjysmësegmenti); • Të gjejnë prerjen dhe bashkimin e bashkësive numerike; • Të njohin e përdorin kuptimin e numrit racional, irracional, real; • Të njohin varësinë ndërmjet rrënjëve dhe fuqive me eksponent racional; • Të njohin trajtën standarde të numrave realë; Konceptet dhe shprehitë kryesore Numrat racionalë dhe iracionalë. Bashkësia e numrave realë. Bashkësitë N, Z, Q dhe R në përfshirjen N Z Q R. Nënbashkësi të veçanta të R (intervali, gjysmë intervali, segmenti, gjysmë segmenti). Prerja dhe bashkimi i tyre. Rrënja katrore dhe rrënja me tregues n. Fuqia me eksponent racional. Varësia ndërmjet fuqisë me eksponent racional dhe rrënjës. Vetitë e fuqive me eksponent racional. Trajta standarde e numrave realë. 1.2. Veprime me numra Objektivat Në fund të klasës së nëntë nxënësit të jenë të aftë. Të kryejnë veprime me numra racionalë, irracionalë, realë. Të kryejnë veprime me rrënjë me tregues n; Të përdorin vetitë e rrënjëve në shndërrimet e njëvlershme; Të njehsojnë fuqitë me eksponentë numra racionalë; Të përdorin makinën llogaritëse në njehsime të ndryshme, për të gjetur rezultatin, për të parashikuar rezultatin, për të kontrolluar rezultatin. Përdorimi i tastës xy; • Të gjejnë vlerën e shprehjeve numerike me shumë veprime përfshirë numra reale, rrënjë, fuqi etj; (kryesisht rrënjë katrore e rrënjë me tregues 3) • • • • •

46


Konceptet dhe shprehitë kryesore Paraqitja e numrave realë në boshtin numerik. Rrumbullakimi i numrave. Veti të veprimeve me numrat realë. (Mbledhja, zbritja, shumëzimi dhe pjesëtimi i numrave realë; shuma, prodhimi i numrave racionalë me numrat irracionalë etj). Vetitë e rrënjës katrore. Rrënja e prodhimit, herësit. Nxjerrja e faktorëve nga shenja e rrënjës dhe futja e faktorëve nën shenjën e rrënjës. Zhdukja e rrënjës nga emëruesi i thyesës. Kthimi i rrënjëve në fuqi dhe anasjellas. LINJA 2: MATJA 2.1. Kuptimi dhe përdorimi i matjes. Njehsimi sipërfaqeve dhe vëllimeve. Objektivat Në fund të klasës së nëntë nxënësit të jenë të aftë. • Të gjejnë sipërfaqet e figurave plane (drejtkëndësh, paralelogram, trekëndësh, romb, trapez); (Vetëm disa me vërtetim). • Të gjejnë sipërfaqen e sferës dhe vëllimin e rruzullit (pa vërtetim); • Të zbatojnë formulat për gjetjen e sipërfaqeve të figurave në zgjidhjen e problemave. Konceptet dhe shprehitë kryesore Kuptimi mbi sipërfaqen. Sipërfaqet e figurave (drejtkëndëshi, paralelogrami, trekëndëshi, rombi, trapezi). Sipërfaqja e shumëkëndëshit jashtëshkruar rrethit. Formula e Heronit (pa vërtetim). Sipërfaqja e sferës. Vëllimi i rruzullit.

LINJA 3 : GJEOMETRIA 3.1. Gjeometria në plan Objektivat Në fund të klasës së nëntë nxënësit të jenë të aftë.

MATEMATIKA 9

47

• Të njohin vetitë e katërkëndëshave (paralelogram, drejtkëndësh, romb, katror, trapez); • Të njohin vetitë e segmenteve të përpjesshëm; • Të njohin e përdorin ngjashmërinë e trekëndëshave dhe shumëkëndëshave për të zgjidhur problema nga jeta e përditshme; • Të njohin vetitë e këndeve rrethorë; • Të gjejnë varësinë ndërmjet brinjëve të trekëndëshave të rregullt të brenda e jashtëshkruar rrethit dhe rrezes së rrethit dhe ta përdorin atë për të zgjidhur problema; • Të njohin e zbatojnë marrëdhëniet metrike në trekëndëshin kënddrejtë; (teoremat e Euklidit e Pitagorës). • Të njohin përkufizimin e funksioneve trigonometrike në trekëndëshin kënddrejtë si dhe përdorimin e tabelës përkatëse të vlerave të tyre; • Të njohin dhe përdorin formulën themelore të trigonometrisë. Konceptet dhe shprehitë kryesore • Shumëkëndëshat. Katërkëndëshat e mysët. (Parelelogrami, drejtkëndëshi, rombi, katrori, trapezi). Vetitë e tyre. • Segmentet e përpjesshëm. Teorema e Talesit. Ngjashmëria e trekëndëshave (tri rastet e ngjashmërisë). Raporti i sipërfaqeve të trekëndëshave të ngjashëm. • Rrethi. Këndet rrethorë. Rrethi i brendashkruar dhe jashtëshkruar trekëndëshit. • Marrëdhëniet metrike në trekëndëshin kënddrejtë. Teoremat e Euklidit dhe Pitagorës. Zbatime në problema. • Kuptime trigonometrike. Matja e këndeve dhe harqeve. Funksionet trigonometrike të këndit të ngushtë (sinus, kosinus, tangent e kotangent). Formula themelore e trigonometrisë. Varësia ndërmjet brinjëve e këndeve në trekëndëshin kënddrejtë. Tabela e vlerave të funksioneve trigonometrikë të këndit të ngushtë.

48


3.2. Gjeometria në hapësirë Objektivat Në fund të klasës së nëntë nxënësit të jenë të aftë. • Të kuptojnë intuitivisht ekzistencën e planeve pingulë; • Të kuptojnë mënyrën e formimit të sferës dhe ta zbatojnë në zgjidhjen e problemave; • Të kuptojnë e zbatojnë në problema pozicionin reciprok të sferës dhe planit; Konceptet dhe shprehitë kryesore Plane pingulë. Ekzistenca e planeve pingulë. Disa veti (me ndonjë vërtetim). Sfera. Mënyra e formimit të sipërfaqes sferike. Prerja e sferës me një plan. Plani tangjent me sferën. 3.3. Shndërrimet gjeometrike Objektivat Në fund të klasës së nëntë nxënësit të jenë të aftë. • Të përdorin koordinatat për të përcaktuar vendndodhjen dhe zhvendosjen (vektorin); • Të kryejnë veprime me vektorë: mbledhja dhe zbritja; • Të zbatojnë vetitë e mbledhjes, zbritjes dhe shumëzimit të vektorit me një numër; • Të gjejnë koordinatat e shumës, ndryshesës dhe shumëzimit të vektorit me një numër; • Të vizatojnë shëmbëllimin e një figure të dhënë me anë të një shndërrimi izometrik (simetri, zhvendosje paralele, rrotullim, simetri qendrore, simetri boshtore); • Të gjejnë largesën ndërmjet dy pikave në boshtin koordinativ. Konceptet dhe shprehitë kryesore Izometria. Zhvendosja paralele, rrotullimi, simetria qendrore dhe boshtore. Shëmbëllimi i segmentit, drejtëzës, gjysmëdrejtëzës, këndit, rrethit në izometri. (vetëm me ndonjë vërtetim).

MATEMATIKA 9

49

Vektorët. Vektorët në plan. Veprimet me vektorë. Mbledhja dhe zbritja e vektorëve. Shumëzimi i vektorit me një numër. Koordinatat e shumës, ndryshesës së vektorëve. Koordinatat e prodhimit të vektorit me një numër. Largesa ndërmjet dy pikave. LINJA 4: ALGJEBRA DHE FUNKSIONI 4.1.2 Shprehjet shkronjore dhe shndërrimet e tyre. Objektivat Në fund të klasës së nëntë nxënësit të jenë të aftë.  Të tregojnë programin e një shprehje shkronjore dhe të njehsojnë vlerën numerike të saj (përfshirë edhe ngritjen në fuqi); • Të kryejnë veprime me monome, polinome e thyesa racionale; • Të shndërrojnë shprehje shkronjore në shprehje më të thjeshta me anë të zbërthimit, faktorizimit dhe reduktimit, thjeshtimit; • Të zbatojnë disa formula të rëndësishme si katrori i binomit, ndryshesa e katrorëve, shuma dhe ndryshesa e kubeve, katrori i polinomit etj; • Të zbatojnë formula duke i dhënë vlera ndryshorit; të veçojnë ndryshorin në formula të thjeshta. Konceptet dhe shprehitë kryesore Thyesat racionale. Vetitë e tyre. Thjeshtimi i thyesave racionale. Veprimet me thyesat racionale. (Shuma, ndryshesa, prodhimi, herësi i thyesave racionale). Shprehje me të katër veprimet.

50


4.3 Zgjidhja e ekuacioneve, inekuacioneve dhe sistemeve të ekuacioneve Objektivat Në fund të klasës së nëntë nxënësit të jenë të aftë. • Të zgjidhin ekuacione të fuqisë së parë me një ndryshore; • Të njohin mjedisin dhe të gjejnë rrënjën e huaj; • Të zgjidhin inekuacione me një kah si dhe inekuacione të dyfishta në bashkësinë e numrave të plotë; • Të zgjidhin inekuacione të fuqisë së parë me një ndryshore; • Të zgjidhin ekuacione thyesore të fuqisë së parë; • Të zgjidhin ekuacione shkronjore të fuqisë së parë; • Të zgjidhin ekuacionin e fuqisë së dytë me një ndryshore; • Të njohin e zbatojnë formulat e Vietes; • Të zgjidhin sisteme ekuacionesh të fuqisë së parë me dy ndryshore (me mbledhje, zëvendësim, grafikisht ). Konceptet dhe shprehitë kryesore Ekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore. Mjedisi, rrënja e huaj. Njëvlefshmëria e ekuacioneve. Shembuj shndërrimesh të njëvlershme dhe jo të njëvlershme. Ekuacioni i fuqisë së dytë me një ndryshore. Formulat e Vietes. Ekuacione në trajtë prodhimi f(x)g(x)=0). Sistemet e dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore. Mosbarazime numerike; vetitë e tyre. Mosbarazime me ndryshore. Inekuacione të fuqisë së parë me një ndryshore. Njëvlefshmëria e tyre. Studimi i shenjës së binomit të fuqisë së parë (y= ax+b). Sisteme inekuacionesh të fuqisë së parë. Inekuacione të dyfishta. 4.4 Funksioni Objektivat Në fund të klasës së nëntë nxënësit të jenë të aftë. • Të njohin dhe gjejnë prodhimin kartezian të dy bashkësive; • Të njohin dhe përdorin relacionin dhe funksionin;

MATEMATIKA 9

51

• Të ndërtojnë grafikët e funksioneve y=x2; y= ax2; y=ax2+b; y=a(x-m)2; y=a(x-m)2+b; y=ax2+bx+c (duke përdorur zhvendosjen paralele, duke gjetur disa pika të veçanta etj). • Të zgjidhin problema që modelohen matematikisht me anën e funksionit y=ax2+bx+c Konceptet dhe shprehitë kryesore Prodhimi kartezian i dy bashkësive, relacioni dhe funksioni. Funksioni. Bashkësia e përcaktimit. Grafiku i funksionit. Funksioni i fuqisë së dytë y=ax2. Funksioni y=a(x-m)2+n. Ndërtimi praktik i parabolës y= ax2+bx+c. Zgjidhje problemash.

LINJA 5 : MBLEDHJA,ORGANIZIMI DHE INTERPRETIMI I TË DHËNAVE Objektivat Në fund të klasës së nëntë nxënësit të jenë të aftë. Të mbledhin, analizojnë dhe paraqesin të dhëna; Të japin informacion me anë të mesatares, modës, mesores ; Të interpretojnë tabela, diagrama dhe grafikë me të dhëna statistikore; Të përpunojnë dhe të interpretojnë të dhënat e grupuara duke përdorur dendurinë relative; • Të bëjnë parashikime bazuar në përfundimet e eksperimenteve të thjeshta probabilitare apo bazuar në dendurinë e shfaqjes së një dukurie; • Të shprehin me thyesë probabilitetin e një ngjarje. • • • •

Konceptet dhe shprehitë kryesore Interpretimi i të dhënave, përpunimi i tyre ; parashikimi i rezultateve, probabiliteti. Mesataret. Karakteristikat e shpërndarjes. Njehsimi i probabiliteteve në raste të thjeshta; ngjarje të papajtueshme.

52


2.4 Shpërndarja e orëve sipas linjave e nënlinjave LINJAT DHE NËNLINJAT

NUMRI i ORËVE

NUMRI

16 Orë

Kuptimi i numrit.

8

Veprimet me numra.

8

MATJA

9

Kuptimi i matjes. Njehsimi i sipërfaqeve e vëllimeve.

9

GJEOMETRIA

56

Gjeometria në plan.

35

Shndërrimet gjeometrike.

16

Gjeometria në hapësirë.

5

ALGJEBRA DHE FUNKSIONI

33

Shndërrime të shprehjeve shkronjore.

8

Zgjidhja e ekuacioneve, inekuacioneve dhe sistemeve të ekuacioneve.

18

Funksioni.

7

MBLEDHJA, ORGANIZIMI DHE PËRPUNIMI i TË DHËNAVE. PROBABILITETI

6

Statistikë e probabilitet.

6

2.5 Udhëzime për zbatimin e programit 1. Në realizimin e programit të matematikës, mësuesi duhet të ketë parasysh synimet e tij të përgjithshme, ato sipas kapitujve, si dhe shtrirjen kohore të përmbajtjes së lëndës. Mësuesi duhet ta përshtatë trajtimin e lëndës me nivelin e klasës, duke kërkuar që të gjejë procedime didaktike që sigurojnë një rendiment të lartë të orës së mësimit. Nisur nga problemat që mund të dalin në orën e mësimit, duke u bazuar në përvojën e tij, mësuesi mund e

MATEMATIKA 9

53

duhet të bëjë ndryshime në shpërndarjen e orëve për tema të caktuara. 2. Në program janë lënë të lira 20 orë mësimore (rreth 14 % e programit). Ato janë të detyrueshme për t’u realizuar, por obsionale për t’u shpërndarë. Në këtë kuptim rekomandojmë që ato të mos planifikohen që në fillim të vitit mësimor. Mësuesi në klasa e tema të veçanta, mund t’i realizojë ato. Orë mësimi përsëritje, testime apo detyra praktike mund të jenë disa drejtime të realizimit të tyre. 3. Kujdes i veçantë duhet t’i kushtohet kuptimit dhe përvetësimit të koncepteve e metodave kryesore të lëndës së matematikës. Në çdo temë mësuesi lipset të përcaktojë konceptet themelore dhe të verifikojë përvetësimin e tyre nga ana e nxënësve. Jashtë kuptimit të koncepteve e metodave nuk mund të ketë përvetësim të lëndës, formim matematik të nxënësve, zbatime në ushtrime e problema. Në këtë drejtim meritojnë rëndësi të veçantë përfytyrimet intuitive dhe grafike mbi të cilat mund të ndërtohen koncepte të ndryshme. Përqendrimi i vëmendjes tek konceptet e metodat matematike kërkon zbatime të thjeshta e të larmishme të tyre, si një fazë e parë e procesit të njohjes së nxënësve me to. Në këtë aspekt arrihet në konkluzionin se nuk është aq i rëndësishëm vërtetimi i një teoreme, apo zbatimi i saj mekanik i saj në problema të ndryshme, nëse nxënësi nuk e ka të qartë thelbin e saj, dhe nëse ai nuk është aftësuar në zbatime dhe ilustrime të thjeshta e të larmishme të saj. 4. Është e domosdoshme që në përfundim të arsimit të detyruar, nxënësi të regjistrojë në kujtesën e tij një sërë faktesh të rëndësishme matematike (formula, rregulla, teorema, pohime, algoritme). Por kjo nuk presupozon që në mësimin e matematikës të rëndohet kujtesa e tij me rregulla e formula, kur fare mirë për to mund të përdoren tabela, manuale e madje edhe vetë tekstet. Aftësimi i nxënësve për të kërkuar në këto materiale, formulat dhe faktet që i nevojiten për zgjidhjen e ushtrimeve apo vërtetimin e teoremave, veçanërisht kur ato kanë të bëjnë me tema të zhvilluara kohë më parë, pasqyron shkallën e formimit të tij matematik. 5. Studimi i matematikës në arsimin e detyruar kërkon që tek të gjithë nxënësit të formohen kompetencat bazë për zgjidhjen e problemave të matematikës. Mësimi i matematikës në shkollë merr në konsideratë ndërgjegjësimin se matematika është një veprimtari për të zgjidhur problema, bazuar në një sërë njohurish e procedurash, por edhe si një disiplinë dinamike e lidhur ngushtë

54


me shoqërinë në jetën e saj të përditshme, dhe të rolit të saj në shkencat e natyrës, në teknologji dhe në shkencat sociale. 6. Puna e pavarur e nxënësit është një komponent tepër i rëndësishëm i mësimit të matematikës, në mënyrë që të realizohen synimet e programit. Së pari, kjo realizohet në orën e mësimit në klasë si një proces për të kuptuar përmbajtjen e temës dhe për të aftësuar nxënësit për punë të pavarur nëpërmjet kërkesave për llogaritje, për zgjidhje ushtrimesh të thjeshta, me gojë e me shkrim, për deduksione e interpretime, sugjerime e diskutime, në mënyrë që nxënësi, në orën e mësimit të mos jetë thjesht e vetëm dëgjues. Si rregull, matematika ka privilegjin që në orët e saj të mësimit realizohen ushtrime fillimisht si zbatime të thjeshta, për të kuptuar thelbin e koncepteve e metodave matematike dhe më pas si modele të punë së pavarur në shtëpi. Për çdo temë ka mësime të veçanta për ushtrime, problema e detyra praktike. Orët e caktuara për to, shpërndahen nga mësuesi gjatë temave të programit apo zhvillohen në fund të tyre. Puna e pavarur jashtë klase realizohet nëpërmjet detyrave të shtëpisë me ushtrime e problema, që zgjidhen me gojë apo me shkrim dhe me detyra më komplekse të llojeve të ndryshme. Përveç saktësisë së zgjidhjes, apo përgjigjes së tyre, është e rëndësishme që detyrat të realizohen në rregull, bukur e me gjuhë të qartë. 7. Vlerësimi i njohurive të nxënësve nuk duhet të jetë një proces që synon vetëm vlerësimin e tyre. Me anën e kontrollit synohet të kuptohet thellimi i përmbajtjes dhe verifikimi nga ana e mësuesit i shkallës së përvetësimit të programit. Mbi këtë bazë ndërtohet më pas e gjithë puna për plotësimin e boshllëqeve dhe realizimin e mëtejshëm të programit. Kontrolli i njohurive bëhet mbi bazë kriteresh e normash të caktuara të vlerësimit të njohurive të nxënësve. 8. Në realizimin e programit të matematikës, mësuesi ka parasysh klasën në përgjithësi dhe çdo nxënës në veçanti. Përmbajtja e lëndës së matematikës është potencialisht e përvetësueshme nga çdo nxënës, që ka përgatitjen e duhur. Por për nxënës të ndryshëm koha e përvetësimit është e ndryshme, prandaj ngarkesa mësimore e nxënësve të veçantë përshtatet nga mësuesi, në mënyrë që të sigurohet koha e mjaftueshme për përvetësimin e njohurive të programit. Mësuesi i matematikës, duke vënë nxënësin para përgjegjësisë për kryerjen e detyrave mësimore, njëkohësisht e nxit atë dhe e tërheq me punën, pasionin për lëndën dhe me qëndrimin dashamirës ndaj tij. Ai i ngarkon nxënësit me

MATEMATIKA 9

55

detyra të veçanta, të studiuara, me shkallë të ndryshme vështirësie. Edhe puna me nxënësit e përparuar është një përbërës i rëndësishëm i punës së mësuesit të matematikës. Ajo realizohet në forma të ndryshme, por në radhë të parë nëpërmjet tërheqjes dhe mbajtjes afër të tyre, nëpërmjet nxitjes së interesit dhe dashurisë për matematikën, si dhe duke i ngarkuar ato me detyra të veçanta, që fillojnë me problema më të vështira dhe vazhdojnë më pas më problema që kërkojnë zgjerim të kulturës matematike jashtë programit. 9. Fjala e mësuesit, saktësia, stili i punës, principialiteti, mënyra e parashtrimit të çështjeve, ngritjes së problemave dhe zgjidhjes së tyre, mënyra e argumentimit dhe nxjerrjes së konkluzioneve janë mjete të fuqishme për formimin matematik të nxënësve. Në këtë kuptim nxënësi është pasqyrë e mësuesit të tij.

2.6 Metodologjia e zbatimit të programit Në mënyrë që ky program të gjejë zbatim efektiv (në tekst apo në mësimdhënie) rekomandojmë që: • Zbatimi i tij të mbështetet në parimin spiral (duke i rimarrë njohuritë herë pas here në një nivel më të lartë). Kjo presupozon që konceptet themelore të shtrihen gjatë gjithë lëndës, duke siguruar trajtimin e tyre të përshkallëzuar, gjë që realizon një përvetësim më të qëndrueshëm të tyre nga ana e nxënësve. • Tradicionalisht klasa e nëntë ka qenë pjesë e shkollës së mesme ku ana deduktive ka prioritet në raport me atë induktive. Megjithatë rekomandojmë që niveli i shtjellimit të lëndës të ngrihet gradualisht duke zbutur në këtë mënyrë atë hop të madh që ekziston aktualisht në kalimin nga arsimi i detyruar në arsimin e mesëm. • Rëndësi e veçantë të vazhdojë t’i jepet parashikimit të rezultateve me anën e përafrimit, rrumbullakimit etj, përvojë që ndeshet edhe në jetën e përditshme. • Rëndësi e veçantë t’i kushtohet zgjidhjes së ushtrimeve e problemave, llojshmërisë së tyre, përshkallëzimit, në mënyrë që mundësisht çdo nxënës të gjejë veten në to. • E rëndësishme është edhe përdorimi i mjeteve ndihmës e të konkretizimit të cilët duhet të vazhdojnë të jenë të bollshme sidomos në disa linja të veçanta si gjeometria, statistika e probabiliteti.

56


2.7 Kritere që janë mbajtur parasysh për hartimin e tekstit “Matematika 9” Ky program është materializuar në tekstin “Matematika 9” të autorëve Edmond Lulja, Neritan Babamusta, miratuar nga Ministria e Arsimit dhe Shkencës. Teksti plotëson edhe kriteret e mëposhtme: • Teksti është në përputhje me këtë program dhe në përgjithësi me tërë programet e klasave paraardhëse. • Teksti merr në konsideratë përvojën e deritanishme të shkollës sonë, si dhe atë të shkollave të tjera. • Teksti merr në konsideratë zhvillimin mendor e fizik të moshës përkatëse. • Teksti trajton me kujdes futjen e njohurive të reja shkencore, duke gjetur përshtatje të goditura didaktike e duke evituar ngarkesën e panevojshme. • Teksti synon njëkohësisht edhe në edukimin e qëndrimeve e vlerave të cilat i krijojnë nxënësve mundësi për t’u orientuar më mirë në jetë e shoqëri, • Teksti është një material fleksibël që e mundëson mësuesin t’i trajtojë njohuritë në mënyrë krijuese. • Fleksibiliteti në shtjellimin e tekstit, nga ana tjetër shoqërohet me zbatimin rigoroz të kërkesave të programit e në mënyrë të veçantë të linjave e nënlinjave, por niveli i trajtimit të njohurive nuk kapërcen atë të moshës. • Informacioni në funksion të koncepteve të shtjelluara jepet duke realizuar një kombinim të përshtatshëm të fjalës së shkruar, simbolikës përkatëse dhe ilustrimit me figura. • Ilustrimet janë kryesisht nga mjedisi rrethues i nxënësve, përfshirë këtu edhe forma abstrakte, të cilat ndihmojnë në përpunimin e mëtejshëm të konceptit. • Konceptet e shprehitë ngrihen bazuar në përvojën reale të nxënësve. • Mënyra e shtjellimit të koncepteve është e tillë që mundëson, e madje stimulon punën krijuese të mësuesit, në mënyrë të veçantë në aspektin metodologjik. Teksti i mëshon aspektit të zbatimit nëpërmjet larmisë së ushtrimeve e problemave

MATEMATIKA 9

57

II.3. Arsyetimi dhe komunikimi si komponentë të mësimit të matematikës 3.1 Arsyetimi Mënyra e arsyetimit është tepër e rëndësishme në të kuptuarit dhe aplikimet e matematikës. Qëllimi i mësuesit është të ndihmojë nxënësit për të zhvilluar aftësitë e tyre matematike, duke patur kujdes që të kenë kontroll mbi suksesin apo dështimet e tyre. Sensi i pavarësisë së nxënësit zhvillohet përgjatë kohës që ata bëhen të vetëdijshëm për aftësitë e tyre për të arsyetuar logjikisht. Supozimet dhe demonstrimi i vërtetësisë së tyre janë shumë të rëndësishme në procesin matematikor. Arsyetimi duhet të ketë një vend të rëndësishëm në të tëra veprimtaritë në klasë. Nxënësit kanë nevojë për përvojë në një gamë të gjerë problemash. Gjithashtu, duhet një kohë e mjaftueshme për të mësuar se si të ndërtojnë argumente bindëse dhe të vlerësojnë argumentet e te tjerëve, gjatë zgjidhjes se problemave. Atmosfera e vendosur në klasë në plan të parë vendos arsyetimin. Të gjithë nxënësit e klasës duhet të inkurajohen që të pyesin, reagojnë dhe përpunojnë mbi idetë e nxënësve dhe mësuesit. Për të arritur një nivel të tillë të tërë nxënësit e klasës duhet të respektojnë dhe mbështesin idetë e njëri-tjetrit . Nxënësit duhet të ushtrohen sistematikisht të hetojnë për gjetjen e rregullit në situata të thjeshta, si dhe për paraqitjen ose modelimin e tyre matematik. Zhvillimi i të arsyetuarit logjik është i lidhur me zhvillimin verbal dhe intelektual të nxënësve. Nxënësit fillojnë të mendojnë konkretisht dhe t’i mbështesin ato me subjekte fizike ose konkrete. Duke kaluar vitet ata do të bëhen më të aftë për të arsyetuar në mënyre formale dhe abstrakte. Për të zhvilluar aftësitë e tyre drejt arsyetimit logjik, nxënësve u duhen krijuar mundësi të eksplorojnë, supozojnë, afirmojnë dhe bindin të tjerët. Një klasë që ofron përvoja matematike të larmishme, materiale dhe mjete të nevojshme, do t’ia arrijë më mirë qëllimit të saj. Lidhur me arsyetimin logjik mësuesi duhet të ketë në konsideratë: • Nxënësit duhet të ushtrohen sistematikisht të hetojnë për gjetjen e rregullit në situata të thjeshta, si dhe për paraqitjen ose modelimin e tyre matematik. • Nxënësit duhet të inkurajohen për një të menduar euristik, në përdorimin e metodës induktive dhe në analogjinë, që siç dihet janë të domosdoshme për zotërimin jo mekanik të njohurive matematike, dhe për formimin e koncepteve të qarta matematikore.

58


• Nxënësit duhet të edukohen për të zhvilluar shprehitë e tyre argumentuese, nëpërmjet arsyetimit deduktiv. • Nxënësit duhet të kuptojnë dhe të përdorin saktë elementet logjike të gjuhës së përditshme, si: “ose”, “dhe”, “të gjithë”, “jo të gjithë”, “të paktën një”, “në qoftë se..., atëherë...”, “anasjellas”, “ekziston...”, “për çdo” etj. • Nxënësve duhet t’u jepet mundësia të hedhin poshtë pohime të jetës së përditshme, si dhe pohime të thjeshta matematike, me metodën e kundër shembullit. • Nxënësve duhet t’u jepet mundësia të formulojnë pohimin e anasjellë të pohimeve të jetës së përditshme ose të pohimeve të thjeshta matematike dhe të kuptojnë ndryshimin ndërmjet tyre. • Nxënësve duhet t’u jepet mundësia, nëpërmjet situatave të njohura për ta, në jetën e përditshme dhe në matematikë, të dallojnë përfundimet e mundshme, që rrjedhin nga shqyrtimi i rasteve të veçanta, nga përfundimet e sigurta, në sajë të argumentimit logjik. 3.1.1 Induksioni dhe deduksioni Induksioni është metoda me anën e të cilës nga një fakt i konstatuar në disa shembuj arrihet në një konkluzion të përgjithshëm. Konkluzionet induktive nuk janë të sigurta. Ja një shembull i një gjykimi induktiv. Vizatojmë një trekëndësh dhe ndërtojmë tri lartësitë e tij. Vëmë re se ato priten në një pikë. Kjo dukuri vihet re nëse ndërtojmë lartësitë edhe të disa trekëndëshave të tjerë. Në këtë mënyrë formulojmë pohimin e përgjithshëm: tri lartësitë e një trekëndëshi priten në një pikë, i cili është konkluzion induktiv. Për të konkluduar vërtetësinë e tij në çdo trekëndësh ky pohim duhet vërtetuar. Me të vërtetë asgjë nuk na bind që çdo trekëndësh gëzon këtë veti. Induksioni është një nga metodat kryesore të arsyetimit në shkencat e natyrës. Vetëm matematika nuk i pranon konkluzionet induktive. Megjithatë edhe në matematikë, induksioni ka rëndësi të madhe. Së pari, sepse fakte matematike, në shumë raste, zbulohen me anën e induksionit. Së dyti, gjithashtu nga pikëpamja metodike, induksioni ka rëndësi sepse shumë rregulla bëhen më të kuptueshme për nxënësit nëse nxirren me metodën induktive. Deduksioni është metoda me anën e të cilës nga e përgjithshmja kalohet tek e veçanta. P.sh., dihet teorema; Diagonalet e drejtkëndëshit janë kongruente. Kështu që nëse kemi të bëjmë me një drejtkëndësh të dhënë, atëherë diagonalet e tij janë kongruente. Arsyetimi që ne bëjmë kur nga një apo disa të vërteta zbulojmë një të vërtetë të re, quhet vërtetim. Të vërtetat, mbi të cilat bazohemi, quhen premisat

MATEMATIKA 9

59

e vërtetimit. Vërtetimi deduktiv është më i vështirë se ai induktiv, por ai ka dy avantazhe ndaj induksionit: Së pari, konkluzionet deduktive janë të sakta nëse premisat janë të sakta. Së dyti, konkluzionet deduktive janë të përgjithshme d. m. th., janë të vërteta në të gjitha rastet e mundshme. Ecuria e të vërtetave matematike është: Ato zbulohen me anën e induksionit, më pas formulohen dhe vërtetohen me anën e deduksionit. Kështu pasi vihet re se lartësitë e disa trekëndëshave priten në një pikë, vërtetohet teorema përkatëse. 3.1.2 Intuita dhe analogjia Në zbulimin e mjaft fakteve matematike ndihmojnë shpesh intuita dhe analogjia. Intuita është konkluzion i një përvoje të përsëritur në numër të madh herësh. P.sh., nëse dy pika M dhe N ndodhen në anë të ndryshme të një drejtëze (d) dhe ato i bashkojmë me njëra-tjetrën me segmentin AB, atëherë ky segment pret drejtëzën (d). Analogjia ka të bëjë me një ngjashmëri. Në mjaft raste konkluzionet në lidhje me varësinë e disa madhësive jepen në analogji me varësi të njohura ndërmjet objekteve të tjerë. Kjo mënyrë e nxjerrjes së konkluzioneve shkurton rrugën e gjykimit. Por ajo nuk është e sigurt. Ajo mund të realizohet vetëm nëse plotësohen kushte të caktuara, vërtetësia e të cilave duhet provuar. Por vërtetimi i saj mund të thjeshtohet pikërisht në sajë të ngjashmërisë së fakteve. Në trajtë të pastër analogjia formulohet. Objekti A zotëron vetitë a, b, c, x. Objekti B zotëron vetitë a, b, c. Atëherë objekti B mund të zotërojë edhe vetinë x. Analogjia shpesh na ndihmon për të zbuluar veti të panjohura të figurave. P.sh., diagonalja e drejtkëndëshit me përmasa a dhe b është= d diagonalja e kuboidit me përmasa a, b dhe c është:

a 2 + b 2 . Për analogji

d = a 2 + b 2 + c 2 , formulë e cila është e vërtetë. Por analogjia mund të na çojë edhe në përfundime të gabuara; p.sh., a ⋅ b = a ⋅ b por jo a + b = a + b

60


3.1.3 Analiza dhe sinteza Metodat kryesore të vërtetimit deduktiv janë analiza dhe sinteza. Vërtetimi me metodën e analizës kalon nga e panjohura tek e njohura. Me fjalë të tjera, nisemi nga pohimi që duhet të vërtetojmë dhe me gjykime deduktive arrijmë deri tek një pohim i vërtetuar më parë apo i njohur. Vërtetimi me metodën e sintezës kalon nga e njohura tek e panjohura. Metoda e analizës përdoret kur të vërtetën nuk e njohim. Metoda e sintezës përdoret kur të vërtetën e njohim por duam t’ia vërtetojmë të tjerëve. Le të shohim një shembull në përdorimin e metodës së analizës dhe sintezës. Të vërtetojmë pohimin e njohur. E mesmja aritmetike e dy numrave është më e a+b ≥ ab . 2 Nisemi nga supozimi se mosbarazimi është i vërtetë. Duke kaluar nga lart poshtë realizojmë të vërtetën analitike (I), (II), (III), (IV), (V) me arsyetimin: për të vërtetuar (I) duhet të vërtetojmë (II), për të vërtetuar (II) duhet të vërtetojmë (III) e kështu me radhë. Me fjalë të tjera, ne krijojmë vargun e kushteve të domosdoshme në kuptimin që çdo gjykim i sipërm është kusht i domosdoshëm për gjykimin e mëposhtëm. Pas kësaj mbetet që ta përfundojmë procesin nga ana didaktike: nga analiza të kalojmë në sintezë. Realizojmë gjykimet në drejtimin nga poshtë lart, duke renditur vargun e kushteve të mjaftueshme (nga të dhënat tek përfundimet). Kështu ecuria e rrugës sintetike është (V), (IV), (III), (II), (I). madhe ose e barabartë me të mesmen gjeometrike të tyre, pra

MATEMATIKA 9

61

Analiza

Sinteza

Lexo nga lart poshtë.

Lexo nga poshtë lart.

Duhet vërtetuar (I-II). Ngremë të dy anët në katror dhe shumëzojmë me 4. (II-III) Zhvillojmë anën e majtë. (III-IV). Kalojmë 4ab në anën e majtë.

a+b ≥ ab 2

Mosbarazimi u vërtetua. (I)

Pjesëtojmë të dy anët me 4 dhe nxjerrim rrënjën katrore. (a + b) 2 ≥ 4ab

(II)

a2+2ab+b2≥4ab (III)

(IV-V) Paraqesim anën e majtë në trajtë katrori të plotë. Mosbarazimi i fundit është evident (katrori i çdo numri real është jo negativ).

(II-I)

a -2ab+b ≥0 2

(a-b)2≥0

2

(III-II). E paraqesim anën e majtë në trajtë katrori të shumës. (IV-III). U shtojmë të dy anëve 4ab. (V-IV) Heqim kllapat në anën e majtë.

(IV) (V) Shkruajmë mosbarazimin e vërtetë për çdo numër real. (V)

3. 2. Komunikimi Matematika është një gjuhë që duhet bërë e kuptueshme për nxënësit në qoftë se duam që ata të komunikojnë dhe aplikojnë idetë matematike. Aftësia komunikuese e përgjithshme e nxënësve i ndihmon ata që të kuptojnë gjuhën e matematikës. Kur nxënësit arrijnë të kuptojnë, që një problemë mund të përshkruajë situata të ndryshme, dhe se disa mënyra të paraqitjes së tij janë më të frytshme se të tjerat, ata fillojnë të kuptojnë forcën, fleksibilitetin dhe dobinë e përdorimit të matematikës. E rëndësishme është që nxënësit të “flasin matematikë”. Bashkëveprimi me shokët e klasës i ndihmon ata që, të mësojnë të mendojnë mbi idetë në disa

62


mënyra, si dhe të qartësojnë mendimin e tyre. P.sh., përshkrimi i zgjidhjes së një probleme i ndihmon nxënësit që të qartësojnë mënyrën e tyre të të menduarit dhe të zhvillojnë një kuptim më të thellë. Nxënësit duhet të përfshihen në mënyrë aktive në “ndërtimin e matematikës”. Veprimtaritë e eksplorimit, dhe shpjegimit të ideve matematike ndihmojnë në zhvillimin e aftësive të komunikimit. Mësuesit lehtësojnë këtë zhvillim, duke realizuar sondazhe dhe duke ftuar nxënësit të shpjegojnë mënyrën e tyre të të menduarit. Është e rëndësishme që të diskutohet ideja që nxënësit duhet të mësojnë matematikë nëpërmjet veprimtarive që kanë lidhje me jetën e tyre. Nxënësit duhet të kuptojnë që ta shohin matematikën si mjet për të kuptuar, përshkruar, dhe për t’iu përgjigjur botës që i rrethon. Duke u rritur aftësia e nxënësve për të menduar në mënyre abstrakte, duhet të rritet dhe aftësia e komunikimit matematik. Sa më me efektivitet të komunikojnë nxënësit aftësitë dhe njohuritë e tyre, aq më lehtë mësuesit mund të vlerësojnë të nxënit e tyre nëpërmjet dëgjimit dhe vëzhgimit. Në këtë drejtim mësuesi duhet të ketë në vëmendje momentet e mëposhtme: Mësimdhënia e matematikës duhet të trajtohet në mënyrë të tillë që të aftësojë nxënësit: • • • •

Të komunikojnë qartë, saktë dhe shkurt; Të organizojnë mirë paraqitjen e fakteve dhe të ideve; Të jenë dëgjues të vëmendshëm; Të shkruajnë pastër e duke shfrytëzuar mirë fletën.

Gjatë përvetësimit të matematikës, nxënësit duhen ushtruar vazhdimisht të përshkruajnë, të shpjegojnë dhe të diskutojnë matematikisht. Në këtë mënyrë ata kuptojnë, përmes përvojës së tyre, rëndësinë e përdorimit të saktë të fjalëve dhe të pohimeve. Ata duhen ushtruar për t’u aftësuar ta analizojnë e të interpretojnë informacionet matematike. Nxënësit duhet të jenë të aftë të “lexojnë” informacione nga paraqitjet me tabela, figura, diagrame e grafikë, si dhe të transmetojnë një informacion, duke e paraqitur atë me tabela, diagrame e grafikë.

MATEMATIKA 9

63

II.4. Planifikimi i mësimit Plani mësimor ditor është një detajim i parapërgatitur i elementeve të mësimit ditor, të renditura sipas radhës në të cilën do të kryhen. Mësuesi që e nënvlerëson planin e mësimit dhe improvizon vazhdimisht është shumë i ekspozuar ndaj rrezikut për të zhvilluar mësime të cekëta, pa cilësi e rendiment. Një ditë mësimi e suksesshme nuk arrihet pa një plan të mirë. Nuk ka rëndësi formati që do të zgjidhet për hartimin e planit, por fakti që plani i mësimit të ketë një ndërtim logjik, të jetë i qartë e i lehtë për t’u zbatuar. Suksesi (e mos-suksesi) i një ore mësimi varet nga planifikimi i mirë (i keq) dhe nga aftësia (pa-aftësia) e mësuesit për realizimin e planit. Nganjëherë mësuesit me përvojë e nënvlerësojnë planin e mësimit. Por asnjë mësues nuk mund të përballojë mirë një orë mësimore pa menduar thellë që më parë se çfarë do të mësojnë nxënësit në orën e mësimit dhe si do ta mësojnë atë. Mësuesi detyrimisht duhet të dijë mirë se cilat janë objektivat e mësimit, cila është përmbajtja që do të trajtohet, cilat do të jenë procedurat që do të ndiqen dhe si do të zbatohen ato. Ka mësues që mendojnë se janë më të suksesshme mësimet e pastrukturuara, të paplanifikuara. Ata besojnë se nxënësit e gjejnë rrugën e tyre drejt të mësuarit të vërtetë më mirë në situata të tilla. Kjo tezë është shumë e diskutueshme. Veçanërisht mësuesit e rinj duhet t’u shmangen mendimeve të tilla, sepse mësime të zhvilluara në këtë mënyrë shpesh përfundojnë në rastësi të padëshirueshme dhe herë-herë në kaos. Studiuesit sugjerojnë që edhe mësuesit me përvojë duhet t’i kushtojnë kujdes planeve të tyre mësimore, nëse duan të vazhdojnë të jenë të suksesshëm. Por ata mund të mos e shkruajnë planin e mësimit në mënyrë të hollësishme. Planifikimi i kujdesshëm siguron një familjarizim të mirë me përmbajtjen dhe i jep për këtë arsye mësuesit besim e siguri tek vetja. Duke e ditur mirë atë që po bën, ai ballafaqohet lirshëm me nxënësit, i jep mësimit strukturë, organizim e vijueshmëri, përdor në mënyrë racionale kohën. Elementet kryesore të planifikimit e përgatitjes së mësimit 1. Përzgjedhja e objektivave mësimorë Objektivat mësimorë (të programit lëndor, të kreut, të mësimit) janë tre llojesh: a) Për njohuritë (p.sh.,”të gjejnë prodhimin kartezian të dy bashkësive të

64


fundme”). Foljet që përdoren më shpesh për t’i karakterizuar këta objektiva janë: të gjejnë, të përshkruajnë, të njehsojnë, të tregojnë, të dallojnë etj b) Për aftësitë (p.sh. “të zbatojnë njohuritë mbi njëvlershmërinë për të zgjidhur ekuacione që sillen në trajtën ax+b=0”). Foljet që përdoren më shpesh për t’i karakterizuar janë: të përdorin, të zbatojnë, të krahasojnë, të mbledhin informacion etj. c) Për qëndrimet (p.sh. “të vlerësojnë rolin e metodës për gjetjen e vlerave ekstremale të funksionit në praktikë”). Foljet që përdoren më shpesh për t’i karakterizuar janë: të vlerësojnë, të diskutojnë, të debatojnë etj. 2. Përzgjedhja e përmbajtjes së mësimit. 3. Përzgjedhja e veprimtarive në mësim. 4. Përzgjedhja e mjeteve dhe krijimi i kushteve për mësim. 5. Parashikimi i mënyrës së drejtimit dhe të vlerësimit të nxënësve. Etapat për të përgatitur një plan ditor mësimi I. Para se të ulet për të shkruar një plan ditor, mësuesi duhet të mendojë e të shënojë: - qartësimin e qëllimit dhe të objektivave të mësimit; - zbulimin e vlerave kryesore të mësimit (për t’ia paraqitur klasës); - qartësimin e veprimtarive në orën e mësimit,duke veçuar veprimtarinë kulmore; - përzgjedhjen e metodave më të përshtatshme që do të përdoren; - përzgjedhjen e materialeve ilustruese më të përshtatshme që ka në dispozicion; - përzgjedhjen e teknikave më të mira të vlerësimit; - parashikimin e punës me grupe apo individë të veçantë; - parashikime për lidhjen e mësimit me temat e tjera të lëndës apo me lëndët e tjera; - parashikimin e përdorimit të T.I.K. II. Gjatë hartimit të planit të mësimit, mësuesi duhet të mbajë parasysh këto parime (pavarësisht nga formati i zgjedhur për planin): - qëllimi është në përshtatje me objektivat lëndore dhe objektivat e kreut; - çdo objektiv mësimor synon një arritje të të nxënit; - mësimi i planifikuar të jetë i realizueshëm; - veprimtaritë mësimore të mbështesin objektivat e vëna; - çdo veprimtarie i duhet lënë kohë e mjaftueshme. Klasifikimi i mësimeve Mësimet ndahen në dy lloje të mëdha: - Me shtjellim të njohurive të reja

MATEMATIKA 9

65

- Për përpunim të njohurive (këtu hyjnë mësimet për ushtrime, për punë laboratori, për përsëritje, për testime, për projekte kurrikulare etj). Shkurt për përsëritjen. Nëpërmjet mësimeve të përsëritjes mësuesi i ndihmon nxënësit të vendosin rregull në morinë e njohurive të sapomësuara d.m.th., të nxjerrin në pah konceptet e metodat përshkuese të kapitullit dhe ato njohuri që duhet të ngulen fort në kujtesë. Ka rëndësi shumë të madhe metodologjia e përsëritjes. Disa mësues u parashtrojnë vetë nxënësve një përmbledhje të kreut, duke besuar se ata e bëjnë këtë më mirë se sa vetë nxënësit dhe në këtë mënyrë nxënësit përfitojnë më mirë. Të tjerë mësues përpiqen të stërvitin nxënësit që të përmbledhin ata vetë atë që kanë mësuar për disa orë mësimore; u japin detyrë të kalojnë “diagonalisht” faqet e tekstit, të mbajnë shënim gjërat themelore, të mbajnë shënim atë çka nxënësit nuk e kanë fort të qartë. Përsëritja e një kreu nuk ka qëllim vetëm një rimarrje përmbledhtas të tij. Ajo ka vlerë të madhe për të vërejtur lidhjet ndërmjet njohurive, për të qartësuar strukturën e kreut. Dihet që faktet mbahen mend më gjatë e konceptet rishqyrtohen më thellë duke i këqyrur ato në lidhjet e tyre të brendshme. Por përsëritja shkon më tej, sepse shqyrtimi i strukturës së brendshme të kreut është i mirë, por jo i mjaftueshëm. Dihet që njohuritë e reja të një kreu janë të lidhura me njohuritë e kreut paraardhës, me lëndën e zhvilluar në atë vit, me lëndën e zhvilluar në vitet e mëparshme, madje me lëndën e zhvilluar në vitet e tjera. Është kryesisht përsëritja ajo që e vendos çdo njohuri të re në mozaikun e njohurive të lëndës, të fushës kurrikulare dhe të kurrikulës në tërësi. Në mënyrë të gabuar disa mësues e shkurtojnë kohën e përsëritjes apo e kthejnë atë në një farë konsultimi para testimit për një apo disa kapituj. Përsëritja është përherë e domosdoshme, pasi vetëm nëpërmjet saj nxënësit: - nxjerrin në pah konceptet e faktet themelore; - përvijojnë strukturën e kreut (d.m.th., lidhjen ndërmjet koncepteve e fakteve themelore); - integrojnë njohuritë e fituara me njohuritë e mëparshme; Më poshtë do të flasim kryesisht për planifikim e mësimeve me shtjellim të njohurive të reja.

66


Përshtatja e veprimtarive me nevojat mësimore Pas caktimit dhe përshkrimit të objektivave mësimore përcaktohen veprimtaritë mësimore, së bashku me mënyrën për organizimin dhe drejtimin e tyre. Për zgjedhjen e veprimtarive udhëhiqemi nga këto parime: 1. Mësuesi ta zgjedhë llojin e veprimtarisë në përputhje me objektivat. Këshillohet të mos mbështetet në një metodë të vetme, por në strategji e taktika që kombinojnë modelet, metodat e procedurat. 2. Dallohen veprimtari hyrëse, veprimtari motivuese për të filluar mësimin, veprimtari zhvilluese për ta mbajtur mësimin në proces, veprimtari kulmore dhe veprimtari vlerësuese. Veprimtari të ndryshme mund të luajnë role të ndryshme në procesin e mësimit (disa janë të përshtatshme për motivim, disa për sqarim, disa për zhvillimin e aftësive e disa janë multi-funksionale). 3. Veprimtaritë në mësim duhet të zgjidhen në përshtatje me mundësitë e nxënësve, elasticitetin e tyre, stilin e të nxënit sepse nxënës të ndryshëm reagojnë në mënyra të ndryshme ndaj metodave të ndryshme. 4. Veprimtaritë, mësuesi t’i zgjedhë duke marrë në konsideratë edhe mundësitë e pëlqimet e tij. 5. Për organizimin e veprimtarive duhen mbajtur parasysh edhe faktorë të tillë si koha, hapësira, pajisjet, shëndeti dhe siguria. 6. Strategjitë e taktikat e mësimdhënies, që mishërohen në veprimtaritë, të jenë adapte për çështjen dhe lëndën që mësohet. 7. Secila veprimtari të synojë të paktën njërin nga objektivat e mësimi dhe për çdo objektiv të ketë të paktën një veprimtari që synon tek ai objektiv. Veprimtaritë sipas strukturës E.R.R (Evokim; Realizim; Reflektim) Evokimi Në këtë fazë të mësimdhënies nxënësit rikujtojnë çfarë dinë rreth temës. Është faza ku nxënësi motivohet për atë çfarë do të ndodhë më pas. Shërben si urë lidhëse e njohurive që ka nxënësi me njohuritë e reja që do të merren. Realizimi i kuptimit Në këtë fazë merren njohuritë e reja. Mësuesi drejton dhe orienton drejt të nxënit. Të gjitha veprimtaritë kanë të bëjnë me të kuptuarit e njohurive të reja. Nxënësi vëzhgon, eksperimenton, diskuton, bën pyetje, shkëmben mendime etj.

MATEMATIKA 9

67

Reflektimi Është faza ku nxënësi do të shprehë idetë, mendimet dhe përmbajtjen me fjalët e tij. Është faza ku njohuritë vihen në një kontekst të ri. Aktivitetet këtu kanë karakter krijues, analizues, përgjithësues, reflektues, vlerësues etj. Në këtë fazë konsolidohet informacioni i ri. Formati i planit mësimit Në përgjithësi çdo plan ditor përbëhet nga katër blloqe: - Objektivat - Metodologjia - Burimet e mësimdhënie-mësimnxënies -Vlerësimi Këto blloqe mund të zbërthehen në disa formate Modeli i propozuar nga IZHA 1. Tema e orës së mësimit; 2. Objektivi përkatës i programit mësimor; 3. Objektivi (objektivat) e orës së mësimit; 4. Procedurat që do të ndiqen; 5. Vlerësimi; 6. Detyrat e shtëpisë; 7. Refleksione. Zbatimi i planit të mësimit Rekomandohet përgjithësisht që të zbatohet me përpikmëri plani i hartuar i mësimit, duke shmangur improvizimet. Frymëzimet impulsive vërtet të mira janë shumë të rralla. Por plani është një mjet për të arritur një qëllim. Nëse diçka më e mirë lind gjatë zhvillimit të mësimit, mësuesi është i lirë ta përdorë atë. Ekzistojnë së paku tre lloj situatash ku mund e duhet shkëputur nga plani i parapërgatitur. 1. Kur mësimi i planifikuar shkon keq dhe duhet bërë diçka për ta shpëtuar atë; 2. Kur ka ndodhur (apo ndodh) diçka e rëndësishme para (apo gjatë mësimit); 3. Kur vetë nxënësit e kërkojnë ndryshimin. Mësuesi e sheh në fytyrat e nxënësve nëse mësimi po ndiqet e po kuptohet. Nëse kjo nuk ndodh, ai duhet të ndryshojë metodën, duke e thjeshtuar trajtimin. Disa herë të tjera nxënësit shtrojnë pyetje për çështje që ja vlen të ndiqen në detaje; në rrethana të tilla mësuesi mund të braktisë planin e parapërgatitur dhe të merret me problemat e pozuara.

68


Herë të tjera, brenda ose jashtë klasës ndodhin ngjarje me rëndësi,që imponojnë heqjen dorë nga plani i parapërgatitur. Në rastin e një ngjarje me rëndësi kombëtare apo për shkollën, mund të ndërpritet zhvillimi i mësimit duke biseduar për të, ndonëse ajo mund të mos ketë lidhje të drejtpërdrejtë me mësimin që zhvillohet. Për një ngjarje shumë emocionale, mund të lihen nxënësit të shprehen rreth saj për disa minuta në fillim të mësimit, që të shkarkojnë emocionet para se t’i përvishen punës. Kriteret mbi të cilat ju mund të bazoni vendimet tuaja lidhur me zbatimin e planit janë të thjeshta: - çfarë do të ishte dobiprurëse për nxënësit; - çfarë do ta çonte përpara të mësuarit; - ç’domethënie ka ndryshimin për lëndën që zhvillohet?

II.5.Mbi organizimin e punës në klasë Mësuesi ka të drejtë të zgjedhë metodat dhe mekanizmat më të përshtatshëm për organizimin e mësimdhënies dhe mësimnxënies, me të vetmin kusht: respektimin e programit dhe realizimin e synimeve të tij. Është detyra e tij të organizojë klasën për realizimin e aspekteve të ndryshme të veprimtarisë së nxënësve në klasën e vet. Sa herë që është e mundur, çështjet e reja duhet të futen në kuadrin e një konteksti të caktuar (real apo matematik) dhe nëpërmjet një metode që parashikon hetimin e situatave. Ky kontekst duhet të zgjidhet i tillë që të ngjallë interesimin e masës së nxënësve. Hetimi i situatës së parashtruar nxënësve, duhet të kombinohet me fjalën e mësuesit dhe diskutimin në klasë. Në hapin e parë kjo situatë duhet të jetë e strukturuar prej mësuesit, në mënyrë që të sigurohet përfshirja e masës së nxënësve në mësim. Një pjesë e kësaj pune rekomandohet të zhvillohet në grupe të vogla (2-3 nxënës). Mësuesi duhet t’i bashkojë këto grupe herë pas here, që ata të bëjnë përshkrimet dhe argumentimet e tyre për detyrat e vëna dhe për zbatimet e tyre, pa e mbyllur diskutimin ai duhet t’i udhëheqë nxënësit kur ka moskuptime ose gabime. Gjatë përvetësimit të lëndës nxënësit duhet të ndjehen të shpenguar e të inkurajuar që të japin mendime, të diskutojnë e të bëjnë pyetje. Ata duhet të edukohen si me shprehitë e punës së pavarur individuale, po ashtu edhe me ato të punës së përbashkët d.m.th., të punës në grup. Nxënësve duhet t’u jepet kohë e mjaftueshme për t’u menduar mirë; të vazhdojë edukimi i tyre me shprehinë që të mos nguten, të mos përgjigjen përciptas, të ndalen kur nuk kuptojnë. Mësuesi nuk duhet të ngulet të korrigjojë e t’i presë

MATEMATIKA 9

69

fjalën nxënësit që gabon; pa mohuar rëndësinë e përgjigjes së saktë e rëndësishme është të evidentohet se si ka menduar nxënësi për të dhënë përgjigjen, prandaj mësuesi duhet të hapë butë-butë shtigje për vetëkorrigjim për nxënësin që gabon. Gjatë punës mësuesi duhet të mbajë parasysh që çdo nxënës të mos ngarkohet më tepër sesa mund të mbajë, të mos detyrohet ai që të kopjojë. Rekomandohet që parashtrimi i materialit mësimor në temat ku merr njohuri të reja, të ndjekë këtë ecuri didaktike: një shembull apo një ushtrim përgatitor synon të krijojë tek nxënësit, nëpërmjet hetimit të situatës, një hamendje të caktuar. Kjo kontrollohet më tej nëpërmjet shembujsh (ose kundërshembujsh) dhe ushtrimesh (shpesh gjysmë të zgjidhur). Pas konsolidimit të hamendjes dhe formulimit të saj në trajtën e një përfundimi përgjithësues, në lëndë si matematika kalohet në vërtetimin e tij (këtu parashikohen shkallë të ndryshme rigoroziteti në profile të ndryshme). Më tej kalohet në zbatime, fillimisht të thjeshta, por të larmishme. Duhet mbajtur mirë parasysh se për zotërimin e koncepteve dhe të metodave lëndore ka rëndësi të madhe larmia e interpretimeve dhe zbatimeve të tyre. Për këtë qëllim dhe në kuadrin e organizimit të punës së pavarur apo në grup të nxënësve, një rol qendror luan zgjedhja e çështjeve dhe problemave që u parashtrohen atyre. Për të realizuar me sukses këtë zgjedhje duhet të mbahet parasysh.: a. A kanë të bëjnë ato më aftësitë që kërkohet të zhvillohen tek nxënësit? b. A është i kuptueshëm konteksti i tyre për një nxënës të klasës së shqyrtuar? c. Nëse jo, a janë dhënë tërë udhëzimet e njohurive për t’i zgjidhur? d. A ka zgjidhja e tyre vlera në pikëpamje të metodës? Nxënësve duhet t’u jepet mundësia të ushtrojnë dendur veprimtari të ndryshme , si krahasimi (për të zbuluar vetitë e përgjithshme dhe ato të veçanta), klasifikimi dhe modelimi si forma të abstragimit. Ata duhet të inkurajohen të vëzhgojnë dhe të përshkruajnë me modele të larmishme lëndore, situata e modele të botës përreth si p.sh., nga botanika, arkitektura, bota e kristaleve etj. Theksi kryesor do të vihet në lidhjen e lëndës me botën në të cilin nxënësit jetojnë; duhet të evidentohet që lënda është e zhvilluar nga nevojat e botës reale dhe ajo lëndë që ata mësojnë ka zbatime të dobishme në një gamë të gjerë kontaktesh dhe për një kohë të gjatë. Në këtë mënyrë puna për përvetësimin e lëndës do të bëhet interesante për ta, sepse do të mbajë parasysh interesat e tashme dhe të ardhshme të nxënësve.

70


II.6. Vlerësimi i nxënësve 6.1 Si bëhet vlerësimi i nxënësve në matematikë? Vlerësimi është një proces, i cili jep informacion të domosdoshëm për të verifikuar e për të matur përvetësimin e koncepteve e të shprehive nga nxënësit. Vlerësimi mund të jetë formal e i organizuar dhe drejtuar nga instancat përkatëse, por mund të jetë edhe i konceptuar e drejtuar nga mësuesi. Në mësimin e matematikës, mësuesi i vlerëson nxënësit nëpërmjet punëve me shkrim, e detyrave praktike, gjatë të cilave ata jo vetëm punojnë, por edhe shpjegojnë se çfarë dhe si e kanë bërë. Planifikimi i punës së mëtejshme bazohet mbi këtë informacion. Vlerësimi bazohet mbi objektivat e paravendosura duke filluar që nga ato vjetore, e deri te ato të vendosura për një grup njësish mësimore, apo për një njësi mësimore të caktuar. Roli më i rëndësishëm i vlerësimit është të përmirësojë të nxënit. Një tjetër rol pothuajse po aq i rëndësishëm është që ai të bëjë të mundur evidentimin dhe raportimin e arritjeve të nxënësve. Zgjedhja dhe aplikimi i praktikave të vlerësimit kanë një ndikim të fuqishëm në mësimdhënie dhe mësim nxënie. Në çfarëdo lloj niveli që të bëhet vlerësimi (në nivel klase, shkolle, rajoni apo kombëtar) informacioni i marrë prej tij duhet të jetë i tillë që të mundësojë progresin e nxënësve drejt rezultateve të pritura dhe të kontribuojë në mënyrë të ndershme në të nxënit e mëtejshëm. Hartimi i rezultateve dhe standardeve e vendos vlerësimin në një kontekst të caktuar. Çështjet e mëposhtme janë hartuar duke e parë vlerësimin e nxënësve në këtë këndvështrim. 6.2 Qëllimi i vlerësimit • Të nxitë, të ndihmojë dhe të përmirësojë të nxënit duke diagnostikuar pikat e forta dhe të dobëta të nxënësve; • Të ndihmojë gjykimin për kurrikulin ekzistues; • Të sigurojë të dhëna për arritjet në rang individi, shkolle, apo sistemi për të gjithë të interesuarit; • Të pasqyrojë rezultate, të cilat do t’i shërbejnë nxënësit për të përzgjedhur vazhdimin e shkollimit ose llojin e punësimit; • Të bëjë të mundur krahasimin e arritjeve në rang individi, shkolle apo rajoni; • T’u japë mësuesve informacionin e nevojshëm për të përmirësuar mësimdhënien.

MATEMATIKA 9

71

6.3 Parimet e vlerësimit • Fokusim në demonstrimin nga nxënësit të arritjeve në përputhje me standardet dhe rezultatet e pritshme; • Evidentimi i arritjeve në mënyrë të vazhdueshme; • Gjithëpërfshirja, d.m.th., ndërthurja e gjykimeve nga shumë burime dhe përfshirja e një sërë procesesh për të mbledhur informacionin lidhur me arritjet e nxënësve; • Konceptimi si pjesë integrale e procesit mësimor, d. m. th., vlerësimi jep informacion për progresin dhe nevojat e nxënësve, nxit futjen e strategjive të reja në mësimdhënie dhe përdorimin e burimeve të ndryshme; • Vlefshmëria d.m.th., marrja e informacionit, pikërisht për atë që është planifikuar; • Besueshmëria d.m.th., vlerësimi të japë rezultate të qëndrueshme, pavarësisht se kur zbatohet, ku dhe nga kush. 6.4 Vlerësimi efektiv Që një vlerësim të arrijë qëllimin duhet të jetë efektiv. Me këtë kuptohet: • Të reflektojë parimet e drejtësisë sociale; • Të gjejë mundësinë për të pasqyruar nevojat e ndryshme të nxënësve; • Të jetë i ndjeshëm ndaj problemave të gjinisë, paaftësisë, kulturës, gjuhës amtare, statusit social-ekonomik, dhe pozicionit gjeografik; • Të reflektojë veçoritë psikologjike të zhvillimit të fëmijëve dhe adoleshentëve; • Të zhvillojë aftësinë e nxënësve për të monitoruar vetveten; • Të jetë autentik, d.m.th., të aftësojë nxënësit në përdorimin e njohurive e shprehive praktike, të dobishme dhe të nevojshme. 6.5 Tre llojet më të përdorshme të vlerësimit janë: Vlerësimi formues, i cili mund të jetë formal, p. sh., me teste ose jo formal p.sh., me pyetje. Ky vlerësim mbikëqyr përparimin e nxënësve gjatë procesit të të nxënit. Ai siguron një për të lehtësuar të nxënit, për të korrigjuar gabimet dhe për të arritur një nivel më të lartë përvetësimi. Duke përdorur në mënyrë të vazhdueshme një numër teknikash vlerësimi të thjeshta e të shpejta, mësuesit mund e duhet të marrin informacion për atë që nxënësit kanë mësuar aktualisht, për atë që u mbetet të mësojnë dhe të përforcojnë. Vlerësimi diagnostikues, është një formë e veçantë e vlerësimit formues, që synon të zbulojë shkaqet njohëse, fizike, emocionale, shoqërore të problemave që kanë nxënësit, në mënyrë që të përcaktohen teknikat korrigjuese.

72


Vlerësimi përmbledhës, që përcakton arritjet në përfundim të kreut, të vitit apo të ciklit për të vendosur notat dhe për të bërë certifikimin. Vlerësimi përmbledhës mund të përdoret edhe për të gjykuar efektshmërinë e mësimdhënies ose të procesit mësimor. Përfshirja e standardeve lëndore në procesin mësimor presupozon përpunimin e metodikës së kontrollit shtetëror për kryerjen e kërkesave të tij. Kjo metodikë duhet të përfshijë të gjitha çështjet organizative, si p. sh., përcaktimin e kohës dhe të kushteve për vlerësim si dhe krijimin e një sistemi të unifikuar të instrumenteve dhe teknikave vlerësuese. Futja e standardeve në praktikën e punës, shtron nevojën edhe të rishikimit të sistemit të kontrollit të përditshëm (formativ). Sikurse edhe vlerësimi përmbledhës me anën e testeve, ai duhet të evidentojë patjetër arritjen (ose jo) nga nxënësi të njohurive të domosdoshme. Metodika e matjes dhe e vlerësimit të kërkesave të parashtruara në standardet e arritjes, kriteret e saj, duhet të jenë të hapura për të gjithë pjesëmarrësit e procesit mësimor dhe personat e interesuar për rezultatet e tij, organet shtetërore, mësuesit, nxënësit, prindërit. Është i dobishëm praktikimi i nxënësve me teknikat për vetëvlerësim, që nxisin integrimin e të mësuarit në klasë me të mësuarit jashtë saj. Praktikimi i teknikave të vetëvlerësimit i ndihmon nxënësit, gjithashtu, të fitojnë shprehi për të menduarit dhe për të vlerësuarit vetjak. 6.6 Vlerësimi me teste Një nga qëllimet kryesore të shkollës është arritja e një cilësie sa më të lartë në procesin e të mësuarit, pra të ndihmohen nxënësit në mënyrë të tillë që ata të kenë efektivitet e rendiment të lartë. Ndonëse këtë qëllim e kanë në konsideratë të gjithë mësuesit, rezultatet e nxënësve nuk janë të tilla. Në bisedat me mësues hasen shpesh deklarimet: “i kam bërë të gjitha përpjekjet, por nxënësit nuk mësojnë” etj. Pra, ka diferenca të ndryshme ndërmjet mësimdhënies dhe mësim nxënies. Studimet e viteve të fundit lidhur me këtë dukuri, evidentojnë si një nga shkaqet kryesore të shfaqjes së saj, faktin e mungesës së teknikave të përcaktuara për njohjen e ecurisë së nxënësve në periudha të caktuara të veprimtarisë së tij në shkollë. Le të shohim situatën e mëposhtme, që për traditë, vazhdon të ndodhë në shkollë. Në një kapitull të caktuar (të themi në veprimet me thyesa) në fundin e tij nxënësi duhet të dijë të mbledhë e të zbresë thyesat me emërues të njëjtë e të ndryshëm, të shumëzojë e të pjesëtojë thyesat, si dhe të bëjë veprime të kombinuara me to. Për

MATEMATIKA 9

73

të konkluduar realizimin e tyre, në fund të kapitullit mësuesi zhvillon një detyrë kontrolli dhe bën vlerësimin përkatës për të gjithë nxënësit. Zakonisht në këtë detyrë jepen 3-4 ushtrime. Në këtë mënyrë konstatohet nëse nxënësit e veçantë e kanë përvetësuar apo jo kapitullin. Por është kuptueshme se kështu nuk përcaktohet përvetësimi i hapave të ndërmjetëm, ngaqë informacioni i marrë nuk është i plotë. Shtojmë se ky informacion, si qëllim themelor nuk ka vënien e notës, por përmirësimin e cilësisë së të nxënit. Tashmë pranohet pothuaj nga të gjithë prioriteti i përmirësimit të cilësisë së të nxënit, ndaj cilësisë së mësimdhënies. Në këtë drejtim rol të dorës së parë ka ndihma specifike që u jepet nxënësve për të përmirësuar nxënien e tyre. Synimi themelor është edukimi gradual i nxënësve në mënyrë që ata të punojnë në mënyrë të pavarur. Në procesin e mësimdhënies ndodhin situata të ndryshme e të ndërlikuara, gjatë të cilave mësuesi merr vendimet e duhura. Këto vendime nuk mund të programohen. Efektiviteti i tyre varet nga shumë faktorë që kanë të bëjnë me nivelin, përgatitjen, përvojën vetjake të mësuesit, etj. Një nga më të rëndësishmet ndër këto vendime është ai që ka të bëjë më vlerësimin e nxënësve. Minimizimi i tij në mjaft raste shndërrohet në burim konflikti jo pa pasoja. Me dispozita ligjore, vlerësimi i nxënësve është e drejtë e pacënuar e mësuesit dhe ka të bëjë me lirinë e tij akademike dhe vendimmarrjen e tij profesionale. Mësuesi është i lirë, se kur të vlerësojë, çfarë të vlerësojë, si të vlerësojë e si të monitorojë. Vlerësimi i mësuesit ka më tepër karakter formues se sa konkludues. Me fjalë të tjera vlerësimi synon, që më shumë të përmirësojë cilësinë e të nxënit të nxënësve, e jo thjesht për të vënë notë, apo për të bërë klasifikimin e nxënësve. Nxënësi vlerësohet në mënyrë që ai të ndihmohet për t’u përgatitur më mirë. Vlerësimi i nxënësve mund e duhet të jetë i ndryshëm nga klasa në klasë. Praktika tregon se përdorimi i të njëjtave teknika të mësimdhënies në klasa të ndryshme është jo efektiv. Nga ana tjetër, vlerësimi asnjëherë nuk duhet të konsiderohet i përfunduar. Nëpërmjet rezultateve të tij, nxënësve u jepet ndihma për përmirësimin e të nxënit. Vlerësimi i të nxënit të nxënësve mbështetet kryesisht në rezultatet apo produktet e tyre. Një vlerësim i tillë sot konsiderohet si instrumenti kryesor i kontrollit ndaj nxënësve. Literatura e sotme pedagogjike përcakton kryesisht tri qëllime të vlerësimit: Së pari: diagnostikimin e nxënësve, d.m.th., zhvillimin e aftësive të tyre, në mënyrë që të përvetësohet sa më saktë ecuria e mëtejshme për secilin nxënës.

74


Së dyti: motivimin e nxënësve, në kuptimin që secili prej tyre të njohë nivelin dhe mundësitë e veta konkrete. Së treti: përcaktimin e vlerësimit përfundimtar, gjë që do të shërbejë si argument për zgjedhjen e profesionit të ardhshëm. Nëse pas kësaj hyrjeje do mundoheshim të jepnim përkufizimin e vlerësimit, na duket më i përshtatshëm ky: Vlerësimi është procesi, gjatë së cilit përcaktohen vlerat mbi bazën e informacionit, të grumbulluar nga procesi i matjeve. Vlerësimi është vetëm procesi i verifikimit ose i gjykimit të vlerës ose sasisë së një diçkaje, duke përdorur një standard, ai përfshin gjykimet sipas evidencës së brendshme dhe kritereve të jashtme. Një nga teknikat e vlerësimit, që kohët e fundit gjithnjë e më shumë po fiton të drejtën e qytetarisë është ai me përdorimin e testeve. Pedagogjia e sotme ka opinione të ndryshme për testet. Një opinion është ai që e konsideron të padobishëm përdorimin masiv e të vazhdueshëm të testeve. Ka opinione të tjerë, që metoda e testimit, jep një informacion të plotë e të bollshëm e rrjedhimisht të vlefshëm për motivimin dhe stimulimin e nxënësve. Mendojmë se testet janë të nevojshëm, vlerësojnë e nxitin efektivisht procesin mësimor, por që duhen përdorur me kujdes e, ajo që është më e rëndësishmja, të jenë hartuar në përputhje me standardet përkatëse. Testet rezultojnë një përpjekje për të marrë të dhëna “sa më objektive”, që në kombinimin me “gjykimin subjektiv të mësuesit”, të merret një vendim sa më real e mundësisht i pakritikueshëm i mësuesit. Ky është edhe një nga qëllimet themelore të testimit. Me anën e testeve krijohen kushtet e nevojshme, për marrjen e vendimeve në tri aspekte: Së pari: Vendime për mësimdhënien, duke nxjerrë konkluzione për metodën e punës së mësuesit, për drejtimet e përmirësimit të saj. Së dyti: Vendime për vlerësimin e nxënësve, d.m.th., vendosjen e notës. Është një nga vendimet më rutinë, por njëkohësisht tepër i rëndësishëm e që kërkon kujdes të veçantë nga ana e mësuesit. Nuk janë të pakta rastet kur marrëdhëniet mësues-nxënës e shkollë-familje, varen shumë nga ky vendim. Së treti: Vendime diagnostikimi, me fjalë të tjera, pasi mësuesi konstaton se ç’dinë e ç’ nuk dinë nxënësit, në një kapitull të caktuar përcakton shkaqet dhe merr masat përkatëse.

MATEMATIKA 9

75

Shumë vende i konsiderojnë testet pjesë përbërëse të kurrikulës. Programet dhe tekstet tona jo. Në këto kushte mjaft mësues e shkolla punojnë në këtë drejtim e kanë arritje modeste. Veçanërisht në lëndën e matematikës, emra të njohur mësuesish janë paraqitur në treg me mjaft botime me vlerë. Nga ana tjetër, metoda e testimit gjithnjë e më shumë, po bëhet edhe si kriter seleksionimi. Përmendim që prej disa vitesh ajo po përdoret për zgjedhjen e profesionit të ardhshëm nga nxënësit, që mbarojnë shkollën e mesme e, së fundi, në provimet e maturës shtetërore. Janë këto disa nga arsyet, që të japim disa kritere në përpilimin dhe vlerësimin e testeve në lëndën e matematikës. Testet, që mësuesi i përgatit vetë, përdoren në klasë për qëllimet e mëposhtme: • Për të matur e vlerësuar ritmikisht përparimin e nxënësve; • Për të motivuar sa më shpesh nxënësit; • Për të siguruar një informacion të hollësishëm për konceptet, që nxënësit zotërojnë apo nuk zotërojnë; • Për të pasur informacione me qëllim raportimi. Para se të fillojë procesi i hartimit të një testi rekomandojmë të bëhet i ashtuquajturi plan i testimit, i cili mund të përmbajë: Qëllimi i testimit Përcaktimi i pjesës, që do testohet (kapitulli); Caktimi i tabelës së specifikimeve. Në të vendosen numri i kërkesave, për objektiva apo çështje të ndryshme, koha për zhvillimin e testit, etj; Caktimi i teknikave të vlerësimit; Caktimi i kritereve të vlerësimit dhe besueshmërisë së testit; Caktimi i rregullave të pikëzimit (numri i pikëve në çdo ushtrim) dhe i konvertimit të pikëve në nota; Parapërgatitja e nxënësve për testimin etj. Testet objektive dhe mënyrat e hartimit të tyre Hapi i parë, në hartimin e një testi është përcaktimi i njohurive më të domosdoshme, që do të testohen, numri i pyetjeve, që do të bëhen, si dhe vendi që do të zënë në test.

76


P.sh. në testin e kreut 10 “Vektorët në plan” (Faqe 157, Matematika 9) propozohet kjo ndarje:

1

Vektorë të barabartë Vektorë të kundërt.

Numri i pyetjeve 5

2

Mbledhja dhe zbritja e vektorëve.

5

23%

3

Shumëzimi i vektorit me një numër.

4

17%

Nr.

4 5

Çështja

Koordinatat e vektorit në plan. Veprimet 3 me vektorët në koordinata. Zbatime të veprimeve me vektorët në 2 situata problemore.

Përqindja e pikëve 17%

23% 20%

Hapi i dytë është përcaktimi i taksonomisë konjitive që do të përdoret. Në kreun e propozuar rekomandojmë të përcaktohet taksonomia e mëposhtme: Nr 1. 2. 3.

Taksonomia Njohja e konceptit. Zbatim, arsyetim. Zbatim në situatë problemore.

% e pyetjeve 40% 40% 20%

Po japim një shembull konkret të ilustrimit të taksonomisë së mësipërme. Po marrim temën ndryshimi i numrave me shenjë. 1) Gjeni (+7)-(-2) Në këtë rast kemi të bëjmë vetëm me njohjen e konceptit. 2) Sa është ndryshesa ndërmjet numrave (+7) dhe (-2)? Në këtë rast kemi të bëjmë me një veprim, por në nivelin e zbatimit të konceptit. Nxënësi do kryejë veprimin (+7)-(-2). 3) Në orën 12.00 të ditës së djeshme temperatura ishte 7o, ndërsa në orën 18.00 ishte -2o. Me sa gradë është ulur temperatura? Përsëri kemi të bëjmë me të njëjtin veprim, por tashmë të zbatimit të situatës problemore. Sipas nivelit të pyetjes bëhet edhe konvertimi i saj në pikë. Në rastin e mësipërm pyetjes së parë i jepet 1 pikë, të dytës 2 pikë e të tretës 3 pikë.

MATEMATIKA 9

77

Ka shumë lloje testesh, në vartësi të mënyrës së hartimit të tyre, qëllimit të testimit, formës së testimit etj. Do të shqyrtojmë të ashtuquajturat teste objektive. Një pyetje, quhet objektive, në qoftë se vlerësues të ndryshëm, që vlerësojnë në mënyrë të pavarur nga njeri-tjetri, japin të njëjtin vlerësim për përgjigjen e dhënë. Një pyetje e tillë është, p. sh., 2a+3a=. Është e kuptueshme se cilido vlerësues e konsideron të drejtë përgjigjen 5a dhe të gabuar çdo përgjigje tjetër! Nuk është objektive pyetja: Sa është afërsisht vlera numerike e numrit p? Në këtë rast mund të jepen përgjigje të shumta, të cilat mund të konsiderohen subjektivisht nëse janë apo jo të sakta! (P.sh., 3; 3,1; 3,14; etj). Një test konsiderohet objektiv, nëse pyetjet që e përbëjnë atë janë objektive. Testi objektiv ka këto karakteristika: Përmban kërkesa plotësisht të strukturuara. Kërkon gjetjen e përgjigjes së saktë, nëpërmjet zgjedhjes së njërës nga alternativat e propozuara apo konfirmimin (mohimin) e një përgjigjeje; Nuk kërkohet argumentim pse zgjidhet kjo apo ajo alternativë; Përmban një numër relativisht të lartë kërkesash; Llojet e testeve objektive janë: Teste me dy përgjigje alternative. Teste me çiftime (kombinime). Teste me plotësim. Teste me shumë alternativa. Po i trajtojmë me radhë

78


6.6.1 Teste me dy përgjigje alternative Pyetja, që u bëhet nxënësve është e tillë, që prej tyre kërkohet zgjedhja e njërës nga të dy alternativat e mundshme. Në këtë rast nxënësit kanë vetëm dy mundësi për të zgjedhur (e vërtetë apo e rreme, po apo jo, më e madhe apo më e vogël, e saktë apo e gabuar, e shpejtë apo e ngadaltë etj). Alternativat shpesh herë vendosen në kuti drejtkëndore dhe nxënësit i kërkohet të shënojë (+, x, -), alternativën e zgjedhur. Ja disa shembuj pyetjesh të tilla: Shëno me shenjën x alternativën e zgjedhur. 1. Perimetri i rrethit, gjendet kur njihet rrezja e tij

poð

joð

2. Kilometri është njësi matëse e gjatësisë

poð

joð

3. (-7) është numër më i madh se 1.

po ð

jo ð

4. Vëllimi matet me m2.

e vërtetë ð e gabuar ð

5. Katrori i një numri natyror është numër natyror

poð

joð

6. Diagonalet e rombit janë të barabarta.

poð

joð

Këto lloj pyetjesh kanë avantazhet e mëposhtme: Duke qenë se përgjigjet janë të shkurtra dhe nuk kërkojnë shumë kohë, me anën e tyre mund të mbulohet një material mjaft i gjerë i lëndës. Pyetje të tilla janë relativisht të lehta për t’u hartuar. Vlerësimi i tyre është mjaft i thjeshtë. Disavantazhi i pyetjeve të tilla konsiston në: Nivelin relativisht të ulët të arsyetimit, që kërkohet për përgjigjen e tyre. Ekziston mundësia e gjetjes së përgjigjes së saktë edhe kur ajo nuk dihet. Ekziston mundësia e të kopjuarit.

MATEMATIKA 9

79

Për hartimin e këtyre pyetjeve literatura jep rekomandimet e mëposhtme: Formulimet përkatëse të jenë sa më të shkurtra. Pyetjet duhet të jenë të përfshira tërësisht në kreun e caktuar. Nuk duhen vendosur pyetje të tilla, përgjigja e të cilave të jetë e diskutueshme. Në formulim të shmangen fjalët “asnjë”, “të gjithë”, “asnjëherë”, “në asnjë rast”, “gjithmonë”, etj. Raporti i përgjigjeve po apo jo (i vërtetë apo i gabuar) të jetë përafërsisht i njëjtë. 6.6.2 Teste me çiftime Thelbi i pyetjeve të tilla konsiston në gjetjen e çiftimeve përkatëse nga dy grupe alternativash të dhëna. Nxënësve u kërkohet të çiftojnë një apo disa elemente, të njërës bashkësi me një apo disa elemente të bashkësisë së dytë. Formimi i bashkësive bëhet duke u bazuar në radhitjen e elementeve, që kanë lidhje reciproke. Bashkësia e parë quhet edhe bashkësia e përshkrimeve, ndërsa e dyta bashkësia e alternative. Çifto elementet e bashkësisë së parë me atë të dytë. Në vendin e vijëzuar para numrave (1-5) vendos një nga shkronjat a-g, sipas zgjedhjes së duhur Bashkësia e përshkrimeve _____1) _____2)

1 2 -1

Bashkësia e alternativave a) Numër thyesor pozitiv b) Numër natyror

_____3) 0,7

c) Numër i plotë negativ

_____4)

e) Numër dhjetor pozitiv

p

f) Numër dhjetor negativ g) Numër thyesor negativ Nxënësit i kërkohet që në vizën përpara shifrës të shkruhet shkronja

80


1 1 shkruhet a) (sepse është numër thyesor 2 2 pozitiv), ndërsa para shifrës -1 shkruhet c) (sepse –1 është numër i plotë negativ). korresponduese, p.sh., para numrit Ja edhe një shembull tjetër: Në vendin e vijëzuar para numrave 1-5, vendos një nga shkronjat a-h, sipas zgjedhjes së duhur. Bashkësia e përshkrimeve

Bashkësia e alternativave

_____1)

52. 53= a) 56

_____2)

(52)3= b) 5

_____3)

53: 52= c) 75

_____4)

3. 52= d) 55

_____5)

52 –3= e)152 f) 22 g) 22 h) 512

Pyetjet me çiftim kanë avantazhet e mëposhtme: Pyetjet e tilla hartohen relativisht lehtë. Pyetjet me çiftim pikëzohen relativisht lehtë. Me pyetje të tilla minimizohen përgjigjet me hamendje. Disa disavantazhe të pyetjeve me çiftim Me anën e tyre vlerësohet më shumë kujtesa se sa logjika. Po nuk u ndërtuan me kujdes janë të pavlefshme, sepse mund të merren me informacione të parëndësishme. Ja tani dhe disa rekomandime për hartimin e pyetjeve të tilla: Bashkësitë e përshkrimeve dhe alternativave të kenë sa më pak të dhëna (fjalë ose numra). Të dyja bashkësitë të vendosen përballë njëra-tjetrës, në mënyrë që nxënësi t’i shohë të dyja njëkohësisht.

MATEMATIKA 9

81

Duhet pasur kujdes që bashkësia e alternativave, të përbëhet nga elemente të mundshme e të besueshme. Sugjerojmë që elementet e bashkësive të përshkrimeve të renditen me numra, ndërsa ato të bashkësisë së alternativave, me shkronja. Bashkësia e alternativave duhet të kenë më shumë elemente, se sa bashkësia e përshkrimeve. Kërkesat e ushtrimit duhen specifikuar mirë, si dhe të jepet udhëzim nëse një alternativë mund të përdoret më shumë se një herë. 6.6.3 Teste me plotësim Quhen ndryshe edhe teste me përgjigje të shkurtra. Kërkesa e këtyre lloj testeve konsiston në plotësimin e vendeve të lëna bosh, me një fjalë, shifër, formulë, simbol etj. Ka tri lloje kërkesash të tilla. 6.6.3.1 Lloji me pyetje Në këtë rast kërkohet përgjigja e një pyetjeje të drejtpërdrejtë. P. sh.: Cila është formula e perimetrit të rrethit ? _________. Në cilin kuadrant ndodhet pika (-2, 1) ? ________. Cili është numri i kundërt i numrit 4? _________.

6.6.3.2 Lloji me plotësim Në këtë rast kërkohet të plotësohet vendi i vijëzuar, me një fjalë, të vendoset numri i duhur në një radhitje, etj. p.sh.; Segmenti, që bashkon një kulm të trekëndëshit me mesin e brinjës përballë quhet ________.

82


Shkruaj kufizën e duhur në vend të pikës

1 1 1 ; ; ;⋅ 2 3 4

Varësia përpjesëtimore e drejtë ndërmjet madhësive y dhe x shprehet me formulën ________.

6.6.3.3 Lloji me shoqërim Jepet një bashkësi elementesh dhe kërkesash, që pranë tyre të vendosen elementet përkatëse, sipas një rregulli apo ligji të dhënë. P.sh., për figurat e dhëna shkruaj formulat përkatëse të sipërfaqes. Trekëndëshi

_____________

Paralelogrami

______________

Rrethi

______________

Katrori _____________ Drejtkëndëshi

______________

Ndër avantazhet e pyetjeve të tilla përmendim: Janë mjaft të lehta për t’u hartuar. Është e pamundur që përgjigja e tyre të jepet me hamendje. Nuk kërkojnë shumë kohë për t’u përgjigjur. Disavantazhet e tyre janë: Kanë për tendencë të vlerësojnë kujtesën e jo logjikën. Shpesh nuk janë të lehta për t’u vlerësuar, për arsye të përgjigjeve të ndryshme, që mund të konsiderohen edhe të sakta, edhe të gabuara. Disa rekomandime për hartimin e testeve me plotësim Fjalia duhet të formulohet në mënyrë të tillë, që vendi bosh për t’u plotësuar të jetë sa më afër fundit të saj. Të formulohet kërkesa në mënyrë të tillë, që përgjigja të jetë më e shkurtër. Të preferohen kërkesat në trajtën e pyetjes.

MATEMATIKA 9

83

6.6.4 Testet me shumë alternativa Quhen edhe teste me zgjedhje të shumëfishtë. Janë testet më të rekomandueshëm e më të përdorshëm. Ato krijojnë mundësi të gjera për matjen e niveleve të ndryshme të taksonomisë. Kërkesa e tyre konsiston në gjetjen e njërës prej disa alternativave të propozuara (zakonisht jepen 4-5 alternativa të tilla). Pjesa kryesore e ushtrimit përmban një pyetje, apo një kërkesë. Kjo quhet edhe trungu i ushtrimit. Pjesa e dytë e ushtrimit përmban përgjigjet alternative, nga të cilat në varësi të pyetjes duhet zgjedhur vetëm njëra. Alternativat në më të shumtën e rasteve, përbëhen nga një përgjigje e saktë dhe 3-4 përgjigje të gabuara. Ka raste kur kërkohet përgjigja e gabuar, ndërmjet 4-5 përgjigjeve (të tjerat janë të sakta). Ka edhe raste, kur kërkohet numri i përgjigjeve të sakta. Përgjigja e saktë quhet edhe çelësi apo kyçi i testit, ndërsa përgjigjet e gabuara quhen edhe joshëse apo ngatërruese. Kjo do të thotë se hartuesi i tyre jep si alternativa përgjigje të pranueshme në parim, por të gabuara. Me fjalë të tjera alternativat të jenë të tilla, që nxënësi mund “të ngatërrohet”, duke i marrë si të sakta. Është shumë e rëndësishme, që në ushtrime të tilla të jepet informacioni i domosdoshëm, në mënyrë që nxënësi të kuptojë se çfarë është e dhënë e çfarë kërkohet. Ja disa shembuj: 1) m+m+m+m+m= A) m5 ; B) m+5; C) 5m; D) 5 m5 Siç shihet, veç alternativës së saktë 5m janë dhënë edhe alternativat joshëse. Nuk do të ishte e drejtë që si alternativë joshëse të vihej p.sh., m3, apo 7m. 2) Në qoftë se x+4=8 atëherë 5x-1= A) 9; B)59; C)4; D)19 Le të diskutojmë alternativat e gabuara, të cilat vijnë si rrjedhojë e gabimeve të mundshme të nxënësit? Ai gjen (gabimisht) x=8:4=2, në këtë rast 5x-1=9 (alternativa e gabuar A). Ai gjen (gabimisht) x=8+4=12, në këtë rast 5x-1=59 (alternativa e gabuar B).

84


Ai gjen rrënjën e ekuacionit të dhënë x=8-4=4, (alternativa e gabuar C). 3) 5(x-2)+3= A) 5x-7; B) 5x+1; C) 5x-2; D) 5x+13. Edhe këtu, ndër alternativat përkatëse janë vënë ato që marrin në konsideratë gabimet e mundshme të nxënësit, 4) Sa nga barazimet e mëposhtëm janë të vërtetë? A) x+2=2x B) 3(x-1)=3x-3 C) x+x=x2 D) (a-b)2=a2-b2 E) x+1=1+x F) 2x+3x=5x2 A) 1; B) 2; C) 3; D) 4 5) Jepet M=1,2,3,4,5 dhe N=1,3,5,6; M

N=

A) 1,3,5; B) 6; C) 1,3,5,6; D) 1,2,3,4,5,6. 2 1 6) + = 3 2 3 7 2 1 A) ; B) ;C) ; D) 5 6 6 6 7) Jepet (d1) (d2). Gjej masën e këndit x. A) 400 ; B) 600 ; C) 700 ; D) 1100

(d1)

x

700

(d2)

MATEMATIKA 9

85

Avantazhet e testeve me shumë alternativa janë: Kanë mundësi të gjëra në matjen e taksonomive të ndryshme. Me këto lloj testesh mund të vlerësohet një material i bollshëm. Për përgjigjen e pyetjeve harxhohet relativisht pak kohë. Mund të pikëzohen e korrigjohen lehtësisht. Kanë besueshmëri relativisht të lartë. Mund të hartohen për nivele të ndryshme të aftësive të nxënësve. Këto lloj testesh në një farë mase shmangin gjykimin absolut, që ishte karakteristik për testet, me dy përgjigje alternative. Në disavantazhet e tyre përmendim: Hartimi i tyre nuk është i lehtë (nuk është e lehtë të gjenden disa alternativa të besueshme). Nëse nuk verifikohen me kujdes, ato mund të kenë më shumë se një alternativë të pranueshme. Disa sugjerime për hartimin e testeve me shumë alternativa: Formulimi i trungut duhet bërë me shumë kujdes, në mënyrë që kërkesa të jetë tepër e qartë. Përgjigjet e gabuara (joshëse) duhet të jenë të besueshme. Alternativat duhet të jenë të përafërta në formë dhe formulim. Këshillohet që alternativa që do të zgjidhet të alternohet. 6.6.5 Konvertimi i pikëve në nota Po supozojmë se pikët e mundshme në një test janë 32. Problemi i parë është caktimi i kufirit të poshtëm, d.m.th., numri minimal i pikëve, për të marrë notën 5. Zakonisht kjo sasi e pikëve është

1 e pikëve të mundshme (ka raste kur kjo 4

1 e pikëve të mundshme). Pastaj në mënyrë të përpjesshme caktohet 3 korrespondenca pikë – notë. Në rastin tonë kemi: sasi përbën

86


Nota 5 – 8 pikë Nota 10 –32 pikë. Atëherë secilës notë i takojnë 4 pikë (32-8):6=4 pikë. Rrjedhimisht tabela e konvertimit të pikëve në nota është: Pikë

0-8

9-12

13-16

17-20

21-24

25-28

29-32

Nota

4

5

6

7

8

9

10

Disa udhëzime që duhen pasur në konsideratë në hartimin e një testimi. Përcakto mirë objektivat e testimit. Kujdesu që lloji i testit të jetë ne koherencë me qëllimin, për të cilin ai hartohet. Kujdesu që pyetjet më të lehta të vihen në fillim dhe pastaj ato të vijnë gradualisht duke u vështirësuar. Llojet e ndryshme të pyetjeve në një test, këshillohet të vendosen pranë njëratjetrës. Në çelësin e testit, kujdesu që përgjigjet e sakta të alternohen. Kujdesu që trungu i testit të jetë i saktë. Përgatit çelësin e përgjigjeve. Përgatit udhëzimet që do t’u jepen nxënësve. Përgatit me kujdes tabelën e konvertimit të pikëve në nota. Kujdesu për taksonominë e tekstit. Masat, që kushtëzojnë suksesin e testit Zotërimi i mirë i anës shkencore të lëndës; Njohja e mirë e nivelit të klasës; Aftësia për të shkruar qartë e saktë; Krijimtaria në hartimin e tekstit; Aftësia për të hartuar teste të besueshme e me përdorim praktik.

MATEMATIKA 9

87

Shembull testi për fund-kapitulli (me argumentimin e tij) Test për kreun “Vektorët”

Koha 45 minuta

1. Katërkëndëshi ABCD është paralelogram. Prej këtij rrjedh →

→

→

→

→

→

→

→

a) AB = BC ; b) AB = CD ; c) BC = AD ; d) BC = DA .

(2 pikë)

2. Plotësoni barazimet. →

→

→

→

(2 pikë)

a) AB = AE +. . . ; b) AB =. . . + MB . 3. Plotësoni barazimet. →

→

→

→

(2 pikë)

a) CD - CE =. . . ; b) FG -. . .= HG . →

4. Dihet që | a |=5 cm. Gjeni gjatësitë e vektorëve. →

→

→

(2 pikë)

a) -3 a ; b) 2 a +7 a . 5. Pika O është pika e prerjes së diagonaleve të paralelogramit ABCD. Gjeni vlerat e x që: →

→

→

→

(3 pikë)

a) AB =x· CD ; b) AC =x· OA . 6. Në planin koordinativ janë dhënë pikat A(2;1), B(-5;3). →

(2 pikë)

a) Gjeni koordinatat e vektorit AB . →

→

→

b) Gjeni koordinatat e vektorëve 2 AB ; BA+ AO . →

→

(2 pikë) (3 pikë)

c) Gjeni pikën M, të tillë që AM =2 BM . 7. Katërkëndëshi ABCD është i mysët. Vërtetoni që →

→

→

→

(3 pikë)

AB + BC = AD + DC . 8. Pikat M, N, P e ndajnë rrethin me qendër O në tri pjesë të barabarta. Shënohet me K mesi i harkut MN. →

→

(3 pikë)

a) Vërtetoni që OK = OP . →

→

(3 pikë)

b) Gjeni shumën OM + ON . →

→

→

→

9. Dihet që AC =2· AB . Vërtetoni që AB = BC .

(3 pikë)

88


Kthimi i pikëve në nota Nota Pikë

4 ≤6

5 7-10

6 11-14

7 15-18

8 19-22

9 23-26

10 27-30

Argumentimi i testit 1. Çështjet kryesore të kreut që testohen 1. 2. 3. 4. 5.

Vektorë të barabartë;vektorë të kundërt (17 %) Mbledhja e zbritja e vektorëve (23%) Shumëzimi i vektorit me një numër (17%) Koordinatat e vektorit në plan. Veprimet me vektorët në koordinata (23 %). Zbatime të veprimeve me vektorë në situata matematikore (20%).

Kjo listë është nxjerrë mbi bazën e programit dhe shtjellimit të materialit mësimor në test. 2. Shpërndarja e pyetjeve (pikëve) sipas tre niveleve taksonomike është bërë afërsisht në raportet 33%, 37%, 30%. 3. Për kapitullin “Vektorët” objektivat mësimore minimale formulohen kështu: Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: -Të zhvendosin vektorin e dhënë me fillesë në një pikë të dhënë. -Të gjejnë shumën e dy vektorëve me rregullën e trekëndëshit dhe të paralelogramit. -Të gjejnë diferencën e dy vektorëve të dhënë. -Të gjejnë koordinatat e një pike të dhënë në planin xOy. -Të ndërtojnë pikën (dhe rrezevektorin e saj) kur njihen koordinatat e pikës. -Të gjejnë koordinatat e vektorit, kur njihen koordinatat e skajeve të tij, dhe ta →

→

zbërthejnë atë sipas vektorëve njësi i , j . →

→

→

→

→

-Të gjejnë koordinatat e u + v dhe k· u , kur njihen koordinatat e vektorëve u , v . -Të gjejnë koordinatat e mesit të segmentit. -Të zbatojnë njohuritë në situata të thjeshta të jetës së përditshme.

MATEMATIKA 9

89

4. Grida e testit është: Nivelet Çështjet

I Njohja dhe të kuptuarit

1 2

1 (2 pikë) 2 (2 pikë)

3 4 5 Pikë

II Zbatim dhe arsyetim

3 (2 pikë); 7 (3 pikë) 4/a,b (2 pikë) 5 (3 pikë) 6/a,b (4 pikë) 8/b (3 pikë) 10 11

III Zbatim në situatë të re 8/a (3 pikë)

6/c (3 pikë) 9 (3 pikë) 9

Pikë gjithsej 5 7 5 7 6 30

II.7. Problemat – hallkë kryesore e procesit të mësimnxënies së matematikës Plani mësimor i matematikës na shkollën 9 – vjeçare shtrihet në të gjitha vitet e shkollimit e realizohet në një numër të konsiderueshëm orësh. Megjithatë është fakt që përvetësimi i matematikës nga ana e nxënësve, me gjithë përmirësimet e ndjeshme të 10 – 15 viteve të fundit (rrjedhojë, kjo e programeve të reja mësimore), ende mbetet problematik. Ndonëse mungojnë studimet e hollësishme, të paktën nga konkluzionet e mësuesve të shkollave të mesme, nxënësit që mbarojnë arsimin 9-vjeçar e kanë të vështirë të gjykojnë, të nxjerrin konkluzione, në mënyrë të pavarur. Aftësitë e tyre matematike vlerësohen kryesisht me “të mbajturit mend”. Disa nga mangësitë e konstatuara janë rrjedhojë, jo e programeve, por kryesisht e metodave të mësimdhënies së matematikës. Metodat më të përdorshme të mësimdhënies e mësimnxënies në shumë raste nuk përputhen me mundësitë e nxënësve, të cilat duhet thënë se janë më lart se sa e mendojnë shumica e mësuesve. Duke studiuar problemat e të mësuarit të matematikës nga shumë plane, mund të njihen mangësitë ekzistuese dhe të gjenden mënyra më efektive të nxëni. Është e kuptueshme, së lidhur me metodat e të nxënit, nuk mund të jepen receta të gatshme, por vetëm alternativa. Një nga këto alternativa është pa dyshim ajo lidhur me problemat (ushtrimet)

90


matematike, në kuptimin e gjerë të kësaj fjale, si një veprimtari e përbashkët e mësuesit dhe nxënësit, pra e procesit mësimdhënës – mësimnxënës. Pranohet nga të gjithë se çdo studim lidhur me mësimdhënien e matematikës, të çon në zgjidhjen e problemave: parimeve të klasifikimit të tyre, formës dhe përmbajtjes së tyre, metodave të zgjidhjes, vargëzimit (renditjes) së tyre etj. Të mësuarit e matematikës realizohet në zgjidhjen e problemave: është kjo arsyeja, që zhvillimi i matematikës së mësimdhënies së kësaj lënde ka të bëjë pikërisht me trajtimin e tipeve të ndryshme të këtyre problemave, të cilat kultivojnë tek nxënësit një veprimtari të lartë të menduari. Në punën me problemat e matematikës literatura moderne përcakton 4 etapa të lidhura ngushtë e të renditura njëra pas tjetrës si më poshtë: a) Hartimi i problemave (krijimi i tij). b) Zgjidhja e problemave. c) Prova e zgjidhjes (kontrolli). d) Hartimi i një probleme të të njëjtit tip, por më të vështirë. Theksojmë se në praktikën pedagogjike shpesh kufizohemi vetëm me etapën e dytë (pra vetëm me njërën nga të 4 etapat e domosdoshme). Kjo ndodh sepse hartuesit e problemave dhe ata që merren me zgjidhjen e tyre janë persona të ndryshëm, por ne jemi të mendimit, që sa të jetë e mundur më shumë nxënësit të njihen edhe me procesin e hartimit të tyre. Dhe kjo, duke mos qenë e përfshirë në tekst, mbetet një detyrë e rëndësishme e mësimdhënësit. Ky konkluzion përligjet, qoftë edhe me faktin që në veprimtaritë e përditshme, çdo personi i duhet edhe të formulojë problemën, edhe ta zgjidhë atë! Një vëmendje e veçantë duhet t’i kushtohet edhe etapës së fundit, d.m.th., pas zgjidhjes së problemës të hartohet një problemë e re, por më e vështirë. Përvoja tregon, që kjo mund të realizohet, sipas renditjes: a) Zgjidhja e problemës “të gatshme” b) Hartimi i problemës të anasjelltë dhe zgjidhja e saj. c) Hartimi i një probleme të ngjashme dhe zgjidhja e saj. d) Hartimi i një probleme, që përfshin elemente të njëjta me problemën e dhënë. e) Hartimi dhe zgjidhja e një probleme përgjithësuese, me parametra të njëjtë apo të ndryshëm me problemën e dhënë etj. Theksojmë se fillimisht duhet provuar jomenjëherë me të gjithë këto variante, por me një apo dy prej tyre. Ja një shembull i problemave të tilla: 1. Një fshatar ka pula e lepuj. Gjithsej janë 15 kokë dhe 40 këmbë. Sa janë lepuj e sa pula?

MATEMATIKA 9

91

2. Harto një problemë, duke u bazuar në ekuacionin 4x+2(10-x)=36 3. Harto dhe zgjidh një problemë, lidhur me numrin e kulmeve të trekëndëshave dhe katrorëve, duke u bazuar në barazimin: 4.7+3(107)=37 4. Harto një problemë të ngjashme dhe zgjidhe atë. Le t’i trajtojmë tani më hollësisht etapat, që emërtuam më lart, pa pretenduar nga njëra anë ezaurimin e tyre, e nga ana tjetër domosdoshmërinë e trajtimit në çdo orë mësimi. Ato janë alternativa përdorimi i të cilave është pëlqyer nga praktika. 1. Krahasimi – bazë në zgjidhjen e problemave Gjatë zgjidhjes së problemave me metoda algjebrike, që në hapat e parë është domosdoshme që të krahasohen mënyrat e zgjidhjes, duke shprehur varësitë, ndërmjet madhësive në forma të ndryshme. Kjo punë duhet të fillojë që në klasat më të ulëta, me problema të thjeshta me dy pyetje: a) Beni është 8 vjeç e Miri 3 vjeç. Cili prej tyre është më i madh dhe me sa vjet? b) Beni është 8 vjeç e Miri 3 vjeç. Cili prej tyre është më i vogël dhe me sa vjet? Një arsye psikologjike për gabimet që konsistojnë në këmbimin e një ekuacioni me një ekuacion tjetër (p.sh., në vend të ekuacionit 8(x+20)-150=10x, merret ekuacioni 8(x+20)+150=10x), është i ngjashëm me moskuptimin nga ana e nxënësve të klasave të ulëta të koncepteve “më i madh” e “më i vogël”. Për të shmangur gabim të tillë, këshillohet që puna me problemat të fillojë nga ato më të thjeshtat, lidhur me varësitë ndërmjet madhësive detyrimisht me dy mënyra. Kështu, për një cikël ushtrimesh të algjebrës është e udhës të trajtohen ato që kanë të bëjnë me përvetësimin e mënyrave për krahasimin e madhësive. Krahasimi me ndryshesë 1. Beni është 5 vjeç më i madh se Miri. Shpreh këtë varësi në dy mënyra me anën e ndryshoreve. Përgjigje: 1. Beni është x vjeç, Miri (x-5) vjeç. 2. Miri është y vjeç, Beni (y+5) vjeç. Krahasimi me raport 2. Shkolla A ka 3 herë më shumë nxënës se shkolla B. Shprehe këtë varësi në dy mënyra, më anën e ndryshoreve.

92


Përgjigje: 1. Shkolla B ka x nxënës, shkolla A ka 3x nxënës. 2. Shkolla A ka y nxënës, shkolla B ka

y nxënës. 3

3. Çmimi i produktit A është 150% e çmimit të produktit B. Shprehe këtë varësi në dy mënyra me anën e ndryshoreve. (150% = 1,5) Përgjigje: 1) Produkti A e ka çmimin x lekë, produkti B e ka çmimin

x lekë. 1,5

2) Produkti B e ka çmimin y lekë, produkti A e ka çmimin 1,5 y lekë. 4. Rroga e punëtorit A është sa

3 4

e rrogës së punëtorit B.

Shpreh këtë varësi në dy mënyra me anën e ndryshoreve. Përgjigje:

3

1. Rroga e punëtorit B është x lekë; rroga e punëtorit A është x 4 lekë. 2. Rroga e punëtorit A është y lekë, rroga e punëtorit B është y 4 lekë. = y 3 3 4

Vëmë në dukje se kjo problemë mund të formulohet edhe në variante të tjera, duke përdorur shprehje të ndryshme gjuhësore, p.sh.: 4.a) Raporti i rrogave të punëtorëve A dhe B është 4.b) Rroga e punëtorit B përbën

4 3

3 ose 4

e rrogës së punëtorit A.

Njëkohësisht me dy mënyrat e paraqitura të krahasimit të madhësive, përdoret edhe varësia e dy madhësive nëpërmjet shumës së tyre. Prandaj është e udhës të trajtohen nxënësit me përdorimin e shumës për të shprehur simbolikisht varësinë. Shuma 5. Klasa jonë ka 32 nxënës. Shpreh numrin e vajzave dhe djemve të klasës në dy mënyra

MATEMATIKA 9

Përgjigje:

93

1. Klasa ka x djem dhe (32-x) vajza. 2. Klasa ka y vajza dhe (32-y) djem.

Rekomandojmë që duke filluar nga klasa e gjashtë të shprehen në tabela të gjitha mënyrat e varësive ndërmjet dy madhësive. Në tabelën e mëp oshtme fillimisht tregohet si janë përftuar rezultatet e krahasimit dhe pastaj shprehja që jep varësinë ndërmjet madhësive me anën e ndryshoreve (me dy mënyra, me anën e ndryshoreve x dhe y). N (ndryshesa) 100-20=80 100 lek

20 lek

x

y+80

x-80

y

R (raporti)

S (shuma) 100+20=120

x

5y

x

120 + y

x 5

y

120-x

y

Më lart pamë ushtrime ku zëvendësohet krahasimi me fjalë me shprehje simbolike të rezultatit. Kjo trajtë e ushtrimit këshillohet të plotësohet me trajtën tjetër (të anasjelltë), d.m.th., shprehja simbolike të zëvendësohet me fjalë. Shembulli 1 Mësuesi shkruan në tabelë: Miri është x vjeç dhe babai i tij 5x vjeç. Si mund të shkruhet me fjalë (pa përdorur x), varësia ndërmjet moshave të Mirit dhe babait të tij? Përgjigje: Babai i Mirit është 5 herë më i madh në moshë se Miri (apo Miri është 5 herë më i vogël në moshë se babai i tij). Shembulli 2: 1

Një magazinë A ka x ton çimento, ndërsa magazina B ka x ton çimento. Si 3 mund të shprehet kjo varësi me fjalë (pa përdorur x)?

94


Përgjigje: Magazina A ka 3 herë më shume çimento se magazina B (apo magazina B ka 3 herë më pak çimento se magazina A). Për të sqaruar thelbin e krahasimit të madhësive në mënyrë algjebrike duhet që nxënësve t’u tregohet procesi i hartimit të ekuacioneve gjatë zgjidhjes së detyrave. Mësuesi improvizon një bisedë pak a shumë të tillë: “Tani do të shohim se si hartohet, një problemë, që zgjidhet në mënyrë algjebrike. Dëgjoni më vëmendje sepse në shtëpi ju do të hartoni dhe zgjidhni një problemë të ngjashme: “Një nxënës bleu një palë çorape, një këmishë dhe një palë këpucë. A mund të përcaktojmë së bashku me afërsi çmimet e tyre?” (Pas diskutimeve nxënësit bien dakord për çmimet e tyre, të themi çorapet – 50 lekë, këmisha – 300 lekë dhe këpucët – 1200 lekë). Mësuesi ndërton tabelën e mëposhtme: Mënyra 1

Mënyra 2

Mënyra 3

Çorape 50 lekë

(x-250) lekë

y lekë

Këmisha 300 lekë

x lekë

(y+250) lekë

Këpucë 1200 lekë

4x lekë

4 (y+250) lekë

z lekë

Gjithsej 1550 lekë

1550 lekë

1550 lekë

1550 lekë

z ( − 250) lekë 4 z lekë 4

Më pas mësuesi vazhdon: “Për të hartuar problemën, duhet dhënë kostoja e përgjithshme e blerjes, ndërsa çmimet e veçanta të çorapeve, këmishës dhe këpucëve të jepen me anën e krahasimeve. Le të japim një mundësi: Këmisha koston x lek (x=300). Çmimin e çorapeve e japim me anën e çmimit të këmishës, duke futur ndryshesën. Atëherë çmimi i çorapeve është 50 lekë (300-250=50). Më pas çmimin e këmishës e krahasojmë me çmimin e këpucëve (me raport): çmimi i këmishës është 4 herë më i vogël se çmimi i këpucëve: 300 x 4 = 1200 lek Me ndihmën e nxënësve mësuesi harton (formulon) problemën.

MATEMATIKA 9

95

Problema e parë. Një nxënës bleu një palë çorape, një këmishë dhe një palë këpucë. Gjithsej shpenzoi 1550 lek. Çorapet kushtonin 250 lekë më lirë se këmisha, ndërsa këmisha kushtonte 4 herë më lirë se këpucët. Sa është kostoja e çorapeve, këmishës dhe këpucëve? Duke shkruar kushtet e detyrës simbolikisht e zgjidhim atë (x-250)+x+4x=1550 6x=1800 x=300 etj Në raste të tilla është e udhës të hartohen dhe zgjidhen disa problema me subjekt të njëjtë. Problema e dytë. Le ta zëmë se çorapet kushtojnë y lek. Atëherë këmisha koston (y+250) lekë dhe këpucët (y+250)×4 lek. Atëherë ekuacioni do të jetë: y+(y+250)+(y+250)×4=1550 lek Formulimi më fjalë është e këshillueshme të bëhet nga nxënësit. Problema e tretë. Le ta zëmë se këpucët kushtojnë z lekë. Atëherë këmisha koston çorapet

z lekë dhe 4

z z z 1550 . ⋅ 250 lekë. Ekuacioni do të jetë z + + ⋅ 250 = 4 4 4

Përsëri formulimin e problemës me fjalë e bëjnë nxënësit Në shembujt e trajtuar të shkruarit e raporteve ndërmjet madhësive në trajtë simbolike fillon jo nga madhësitë e panjohura, siç ndodh zakonisht, por nga madhësitë e njohura. Kjo situatë i ndihmon nxënësit që të abstragojnë varësitë (d.m.th., të kalojnë nga varësia 300-250=50, nëpërmjet 300-50=x, tek varësia 300=x+250 ku (x+250) është kostoja e këmishës. Zgjidhja e kësaj probleme bazohet në shumën e madhësive të njohura (50+300+1200=1550). Mund të hartohen edhe problema të tjera, të tilla që zgjidhja e tyre të bazohet në përdorimin e krahasimit me ndryshoren apo krahasimit me raport. Krahasimi me ndryshesë i kostove:

96

Çorapet Këmisha Këpucët


50 lekë 300 lekë 1200 lekë

x-250 x 4x

350 1200

1200-350=850 4x-[x+(x-250)]=850

Ja tani edhe problema e formuluar me fjalë: Një nxënës bleu një palë çorape, një këmishë dhe një palë këpucë. Çorapet kushtonin 250 lekë më pak se këmisha, ndërsa këpucët 4 herë më shumë se këmisha dhe 850 lek më shumë se këmisha e çorapet së bashku. Sa kushtonin çorapet, këmisha e këpucët? 4x-[x+(x-250)] = 850 Mund të përdoret edhe shuma e kostove për të krahasuar madhësitë. Çorapet dhe këmisha së bashku kushtojnë 50 +300 = 350 lek. Nëse në ekuacion do të përfshijmë numrin 350 atëherë një nga problemat mund të jetë: Çorapet Këmisha Këpucët

50 lek 300 lek 1200 lek

350 lek 1200 lek

x 350-x 4(350-x)

350-x x 4x

Problema: Një nxënës bleu një palë çorape, një këmishë dhe një palë këpucë. Çorapet dhe këmisha së bashku kushtonin 350 lekë, ndërsa këpucët kushtonin 4 herë më shumë se këmisha. Sa është kostoja e çorapeve, këmishës dhe këpucëve. 1) x+(350-x) + 4(350-x)=1550 2) (350-x)+x+4x=1550

2. Prova e zgjidhjes së problemës Hartimi i problemës vazhdon me zgjidhjen e saj, d.m.th., me gjetjen e përgjigjes. Në qoftë se në përgjigje përfshihen numrat e menduar paraprakisht, atëherë me këtë mbyllet cikli i varësive dhe ai që zgjidh problemën “lehtësohet” nga ana psikologjike. Ndryshe ndodh në qoftë se bëhet fjalë për një problemë të gatshme. Në këtë rast cikli përfundon me anën e provës së zgjidhjes.

MATEMATIKA 9

97

Në literaturën metodike, (por edhe në praktikën e të mësuarit) ndeshen raste të karakteristikave logjikisht të paqarta të etapave të zgjidhjes së problemave, madje në vend të konceptit të saktë “prova e përgjigjes”, përdoret koncepti i paqartë “prova e zgjidhjes” apo dhe “prova e rrënjës së ekuacionit”. Le të shohim një shembull. Problema a) Një punishte për 26 ditë duhet të përgatisë disa detale. Duke siguruar një aparat të ri, çdo ditë u përgatitën 50 detale më tepër. Për këtë arsye për 24 ditë u përgatitën 200 detale më shumë se sa ishin planifikuar. Sa detale përgatiti punishtja për 24 ditë? Po përshkruajmë etapat e zgjidhjes së problemës. 1) Punishtja duhet të përgatiste x detale në ditë. Atëherë për 26 ditë ajo përgatiste 26x detale. Në fakt u përgatitën (x+50) detale në ditë, ndërsa për 24 ditë (x+50)×24 detale. 2) Sipas kushtit u përgatitën 200 detale më shumë se sa planifikimi. Formojmë ekuacionin: (x+50)×24=26x+200 3) 24x+1200=26x+200 2x=1000 x=500 Ishin planifikuar të përgatiteshin 500 detale në ditë. 4) Përgjigja (500+50)×24=13200 detale u përgatitën për 24 ditë. 5) Prova e përgjigjes. Punishtja duhet të përgatiste 500×26=1300 detale. Në fakt ajo përgatiti (500+50) × 24=13 200 detale. Mbi porosinë ajo përgatiti 13200 – 13000 = 200 detale, që plotëson kushtin e problemës. D.m.th., problema është zgjidhur saktë. Në pikën e pestë është realizuar prova e përgjigjes së problemës e jo prova e rrënjës së ekuacionit. Theksojmë se, së pari, rrënja e ekuacionit jo gjithmonë është përgjigjja e pyetjes së problemës dhe së dyti, ekuacioni mund të jetë formuar gabim (pika e dytë), ndërsa formalisht mund të jetë zgjidhur saktë (pika e tretë). Prova e rrënjës, duke e zëvendësuar atë në ekuacion nuk zbulon gabimin në zgjidhjen e problemës. Praninë e gabimit e përcakton prova e përgjigjes në kushtet e problemës!

98


Kontrolli i përgjigjes së problemës, duke zgjidhur problemën e anasjelltë. Prova e zgjidhjes së problemës mund të realizohet me anën e hartimit dhe zgjidhjes së problemës së anasjelltë. Lidhur me këtë përftohen problema të tjera e me shkallë të ndryshme vështirësie. Kështu problemat e anasjella, në të cilat si madhësi të njohura janë: “50 detale”, “200 detale”, “24 ditë”, “26 ditë” zgjidhen në mënyrë aritmetike, gjë që mund të konstatohet mjaft thjeshtë nga ekuacionet përkatës. Për problemën 1: Për problemën 2: Për problemën 3: Për problemën 4: Për problemën 5:

24×(150)=26x-200 (500+y)×24=26×500+200 (500+50)×24=26×500+P. (500+50)×A=26×500+200 (500+50)×24=B×500+200

Problema 5 p.sh., do të ishte: Sipas porosisë për një numër të caktuar ditësh, duheshin prodhuar 500 detale në ditë. Duke siguruar një aparat të ri, çdo ditë u prodhuan 50 detale më shumë dhe për këtë arsye për 24 ditë u përgatitën 200 detale më shumë se porosia. Për sa ditë ishte bërë porosia në fillim? Hartimi dhe zgjidhja e këtyre problemave për nxënësit mendojmë se nuk paraqet vështirësi. Është e domosdoshme që të trajnohen nxënësit me metoda të ndryshme të kontrollit (verifikimit). Për këtë arsye problema duhet të formulohet jo në trajtën e përgjithshme “kontrollo përgjigjen”, por konkretisht: 1) Kontrollo përgjigjen e problemës, në mënyrë që të bindesh, që me të vërtetë u përgatitën 50 detale më shumë sesa ishte planifikuar. 2) Për të kontrolluar përgjigjen harto problemën e anasjelltë, duke përfshirë numrin “26 ditë” dhe zgjidhe atë (problema 5) etj. Është e domosdoshme të nënvizohet që gjatë kontrollit të përgjigjes duhet synuar në përdorimin maksimal të gjykimeve me gojë: problema e anasjelltë formulohet nga nxënësit me gojë e gjatë zgjidhjes së tij shkruhen vetëm veprimet e radhës. Një mënyrë e tillë të shkruari këshillohet që të kërkohet nga nxënësit edhe në detyrat e kontrollit. Gjatë zgjidhjes së problemave të ndryshme (madje edhe të problemave të të njëjtit tip, por me subjekte të dhënash numerike të ndryshme) vëmendje e veçantë i

MATEMATIKA 9

99

duhet kushtuar përgjigjes (madje duke e shprehur sa më shkurt të jetë e mundur). Por mësuesi duhet të ndërhyjë, në qoftë se disa problema duhet të zgjidhen nga nxënësit me dy mënyra (edhe “gjatë” edhe “shkurt”), në mënyrë që t’i krahasojë ato dhe të sqarojë përse mënyra e dytë është më e shkurtër apo më e thjeshtë se mënyra e parë (dhe në ç’kuptim është më e thjeshtë). Problema (b) Në sallën e shkollës janë vendosur stola. Në qoftë se në çdo stol ulen 6 nxënës, atëherë që të ulen të gjithë nxënësit duhen edhe 4 stola, në qoftë se në çdo stol ulen 7 nxënës, atëherë 6 stola mbeten të lirë. Sa stola ka në shkollë? Mënyra e parë: Në sallë janë x stola. Në rastin e parë meqë duhen edhe 4 stola del se 4×6=24 nxënës nuk kanë ku të ulen. Atëherë gjithsej janë (6x+24) nxënës (sepse 6x janë nxënësit e ulur në stola). Në rastin e dytë, të zënë janë (x-6) stola dhe meqë në secilin stol janë ulur 7 nxënës, del se gjithsej janë 7(x-6) nxënës. Meqë numri i nxënësve në të dy rastet është i njëjtë, atëherë formojmë ekuacionin 6x+24=7(x-6) nga i cili gjejmë x=66. Përgjigje: Në sallë ishin vendosur 66 stola. Për pjesën e zgjidhjes mund të propozojmë që të zgjidhet e njëjta problemë, por me tjetër ndryshore. Mënyra e dytë: Lë të zëmë se shkolla ka y nxënës. Atëherë në rastin e parë duheshin y 6

ndërsa në sallë ishin ( − 4) stola. Në rastin e dytë duheshin

y stola, 6

y stola, për t’u ulur 7

y + 6 stola. Formojmë 7 y y 420 ekuacionin − 4 = + 6 , nga i cili gjejmë y=420 nxënës dhe −4= 66 stola. 6 7 6

nxënësit, por do të mbeteshin 6 stola të lirë, pra në sallë ishin

Përgjigje: Në sallë ishin vendosur 66 stola. Kontrolli i përgjigjes bëhet me anën e zgjidhjes së të njëjtës problemë, por në mënyrë tjetër (b).

100


Nganjëherë është e udhës të zgjidhet problema me anën e tabelave, pa sqarime të hollësishme. Me anën e tabelave varësitë ndërmjet të dhënave numerike jo vetëm kuptohen logjikisht (fjalët), por edhe perceptohen në mënyrë vizuale. Nxënësi sheh se si një e dhënë futet në relacion njëkohësisht në dy drejtime, edhe vertikalisht, edhe horizontalisht. Le të shohim problemën e mëparshme. Zgjidhja (mënyra e parë) Në ditë x x+50

Nr ditëve 26 24

Në ditë 500 500+50=550

Nr ditëve 26 24

Plani Fakti 24(x+5)-26x=200 x=500; 500+50=550

Gjithsej 26x 24(x+50)

Kontrolli Plani Fakti

Gjithsej 500×26=13000 550×24=13200

13200-13000=200, aq sa duhet të ishin Zgjidhja (mënyra e dytë) Plani Fakti

Në ditë y-50 y

Nr ditëve 26 24

Gjithsej 26(y-50) 24y

24y-26(y-50)=200 y=550; 550-50=500. Kontrolli Plani Fakti

Në ditë 550-50=500 550

13200-13000=200, aq sa duhet të ishin

Nr ditëve 26 24

Gjithsej 500×26=13000 550×24=13200

MATEMATIKA 9

101

3.Hartimi i një probleme të të njëjtit tip Zgjidhja e ekuacioneve dhe e problemave që të çojnë në ekuacione, trajtohet që në kapitujt e parë të algjebrës. Është e udhës që të kombinohet zgjidhja me hartimin (krijimin) e tyre. Le të shohim disa shembuj. Mbledhja dhe zbritja e monomeve Le ta zëmë se është zgjidhur detyra: Gjej këndet e një katërkëndëshi në qoftë se ata rrinë si 3:4:5. Zgjidhje: 3x+4x+5x=1800

x=150

3x=450 , 4x=600 , 5x=750.

Pas zgjidhjes së kësaj probleme, mësuesi u propozon nxënësve të zgjidhin një problemë analoge, të themi në lidhje me kërkesat e një katërkëndëshi. Në këtë mënyrë nxënësit hartojnë problemën. Shuma e këndeve të një katërkëndëshi është 3600. Ato rrinë si 3:4:5:6. Gjej këndet e tij. Zgjidhje: 3x+4x+5x+6x=3600 dhe del që këndet e tyre janë 600, 800, 1000 e 1200. Vemë në dukje se gjatë hartimit të problemave analoge, nganjëherë mund të ndodhë që përgjigjja formale nuk mund të ketë kuptim real. Është kjo arsyeja që nxënësit duhet të kontrollojnë përgjigjen e problemës që ata vetë hartuan. Kështu p.sh., nëse në problemën e mësipërme do të kërkohej, që këndet të ishin përpjesëtimorë me numrat 3, 4, 5 dhe 12 atëherë do të dilte që këndi më i madh i këtij katërkëndëshi të ishte 1800 , gjë që nuk ka mundësi praktike (nuk ka katërkëndësh me njërin kënd të barabartë me 1800)

4. Mbledhja dhe zbritja e polinomeve Le ta zëmë se është zgjidhur problema: Tre shkolla kanë së bashku 1300 nxënës. Shkolla e dytë ka dy herë më shumë nxënës se shkolla e parë, ndërsa shkolla e tretë ka 100 nxënës më pak se shkolla e dytë. Sa nxënës ka secila shkollë? Zgjidhje: x+2x+(2x-100)=1300 etj.

102


Më pas, mësuesi u propozon nxënësve të hartojnë e zgjidhin një problemë analoge, p.sh., që bën fjalë për banorët e tri fshatrave (qyteteve, pallateve etj). Por duhet vënë në dukje, se hartimi i problemës së lidhur me një ekuacion të çfarëdoshëm, jo gjithmonë e realizon qëllimin. Kështu p.sh., nëse do merrnim si fillestar ekuacionin 5

x+3x+(3x-100)=1200 do dilte x = 185 , gjë që nuk ka mundësi, sepse numri i banorëve, duhet të jetë numër natyror. 7 Prandaj gjatë hartimit të problemave duhet trajtuar një renditje tjetër e operacioneve logjike, d.m.th., procesi duhet të fillojë nga barazime numerike të menduara që në fillim. Ta zëmë se duhet të hartojmë një problemë, i cila të zgjidhet me anën e ekuacionit të tipit x+2x+(2x-100)=1300. Marrim p.sh., x=400. Shkruajmë tani një barazim numerik, duke kujtuar atë që dihet lidhur me numrin e nxënësve në shkollë: 400+3×400+(3×400-300)=2500 (B) Këtë barazim numerik e zëvendësojmë me ekuacionin m+3m+(3m-300)=2500 (E) dhe së fundi formulojmë detyrën përkatëse (D). (D) Në tri shkolla janë gjithsej 2500 nxënës. Shkolla e dytë ka tri herë më shume nxënës se shkolla e parë, ndërsa shkolla e tretë ka 300 nxënës më pak se shkolla e dytë. Sa nxënës ka secila shkollë? Përgjigje: Shkollat kanë përkatësisht 400, 1200 dhe 900 nxënës. Në këtë mënyrë propozuam hartimin e problemave sipas skemës: “Barazim → ekuacion→problemë” (B-E-D).

5. Formulat e shumëzimit Le ta zëmë se është zgjidhur problema. Çdo brinjë e katrorit zmadhohet me 2 cm. Atëherë sipërfaqja e tij zmadhohet me 56 cm2. Gjej brinjën e katrorit të dhënë. Zgjidhje: Duke shënuar me x, brinjën e katrorit të dhënë (fillestar) kemi ekuacionin (x+2)2-x2=56, nga i cili gjejmë x=13.

MATEMATIKA 9

103

Pas kësaj mësuesi u propozon nxënësve të hartojnë një problemë analoge duke vënë në dukje kërkesën që katrori i ri të ketë sipërfaqe më të vogël se katrori i dhënë (në varësi të faktit që brinja e tij është më e vogël se sa brinja e katrorit të dhënë). Një problemë të tillë nxënësit e hartojnë me tri faza: 1) Caktojmë brinjën e katrorit (të themi y=30 cm) dhe vendosim që brinja e tij do zvogëlohet me 5 cm. Atëherë shkruhet barazimi: 302-(30-5)2 = 900-625=275 2) E shkruajmë atë në trajtën e ekuacionit y2 – (y-5)2 =275 3) Formulojmë problemën me gojë: Në qoftë se brinja e një katrori zvogëlohet me 5 cm, atëherë sipërfaqja e tij zvogëlohet me 275 cm2. Sa është brinja e katrorit fillestar? 6.

Thyesat algjebrike

Le ta zëmë se është zgjidhur detyra: Dy çiklistë nisen njëkohësisht nga qyteti A, drejt qytetit B. Çiklisti i parë bëri 15 km në një orë, ndërsa u dyti 12 km në një orë. Për këtë arsye çiklisti i parë arrin në qytetin B 1,5 orë pas çiklistit të dytë. Gjej largësinë ndërmjet qyteteve A dhe B. Zgjidhja:

x x 1,5 − = 12 15

x=90

Për të hartuar një problemë analoge këshillohet që përsëri të ecet me tri faza: 1) Caktohen emëruesit e thyesave p.sh., 10 dhe 12. Gjendet një numër që të jetë shumëfishi i përbashkët i tyre. I tillë është p.sh., 180. Hartohet barazimi numerik: 180 180 − = 18 − 15 = 3 . 10 12

2) Zëvendësohet numri 180 me të panjohurën x, duke formuar ekuacionin: x x − = 3 10 12

104


3) Formulohet problema, p.sh., Një nxënës duhet të lexonte çdo ditë 10 faqe të një libri. Por ai lexoi 12 faqe në ditë, prandaj e mbaroi librin 3 ditë më shpejt. Sa faqe kishte libri? Ja tani dhe një problemë tjetër. Nisemi nga barazimi numerik: 360 240 + = 9 60 80

Me 360 lek u ble miell me çmim 60 lek për kg dhe me 240 lek u ble oriz me 80 lek për kg. Gjithsej u blenë 9 kg. Le të mendojmë tani pyetjen: Krahasojmë numëruesit: 360-240=120 360=240+120 Marrim x=240 360=x+120 dhe formojmë ekuacionin: x+

120 x + = 9 . Ja edhe problema: 60 80

U blenë 9 kg miell dhe oriz. Mielli koston 60 lekë për kg, ndërsa orizi 80 lekë për kg. Për miellin u harxhuan 120 lekë më shumë se për orizin. Sa kg miell dhe sa kg oriz u blenë? Zgjidhja e ekuacionit të mësipërm nuk paraqet vështirësi të veçantë 4(x+120)+3x=2160 4x+480+3x=2160 7x=1680 x=240 240:80=3 kg oriz dhe (240+120):60=6 kg miell.

7.Hartimi i problemave që zgjidhen me anën e sistemeve të dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy të panjohura. Le të trajtojmë tani se si mund të hartohen problema që zgjidhen me anën e sistemeve të dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy të panjohura. Një dyqan u furnizua me 20 arka, disa nga të cilat kishin vaj e disa makarona.

MATEMATIKA 9

105

Një arkë me makarona peshonte 10 kg, ndërsa një arkë më vaj 18 kg. Sa arka ishin me makarona e sa me vaj, në qoftë se të gjitha makaronat peshojnë 4 kg më shumë se vaji? Zgjidhja: Shënojmë me x numrin e arkave të makaronave dhe me y numrin e arkave të vajit. Atëherë formohet sistemi: 20 x + y =

 10 x − 18 y = 4  Zgjidhja e tij është x=13; y=7, pra dyqani u furnizua me 13 arka me makarona dhe 7 arka me vaj. Kontrollin e zgjidhjes po e shkruajmë shkurtimisht: 20 13 + 7 =  4 13 ⋅ 10 − 18 ⋅ 7 =

Tani shtrojmë pyetjen: Çfarë variantesh të tjera problemash mund të hartohen me këtë subjekt? Sa variante të tilla janë? Le të analizojmë strukturën e kësaj probleme në trajtën e ushtrimeve, të hartuar sipas kushteve të tij. Në rreshtin e parë të sistemit jepet shuma e arkave, ndërsa në rreshtin e dytë, ndryshesa e peshave të tyre. Në ç’mënyrë mund të ndryshohen kushtet, pa ndryshuar subjektin e problemës, si dhe të dhënat numerike? Nxënësit propozojnë p.sh., që në vend të shumës së arkave të jepet ndryshesa e tyre, ndërsa në vend të ndryshesës së peshave të jepet shuma e tyre. Në këtë mënyrë për ndryshimin e kushteve të detyrës, mund të përftohen katër problema të ndryshme, strukturat e të cilave do të jenë: Shuma e arkave Ndryshesa e peshave

13 + 7 = 20   13 ⋅ 10 − 18 ⋅ 7 = 4

Shuma e arkave Shuma e peshave

13 + 7 = 20   13 ⋅ 10 + 18 ⋅ 7 = 256 

Ndryshesa e arkave Ndryshesa e peshave

13 − 7 = 6   13 ⋅ 10 − 18 ⋅ 7 = 4

(I)

(II)

(III)

106


Ndryshesa e arkave Shuma e peshave

13 − 7 = 6   13 ⋅ 10 + 18 ⋅ 7 = 256 

(IV)

P.sh., problema (IV) mund të formulohet: Një dyqan u furnizua me arka makaronash dhe vaj. Arka me makarona kishte 6 më shumë se se arka me vaj. Një arkë me makarona peshonte 10 kg dhe një arkë me vaj 18 kg. Sa ishin arka me makarona e sa arka me vaj, në qoftë se të gjitha së bashku ato peshonin 256 kg. Në këtë rast sistemi i ekuacioneve do të ishte: 6 x − y =  256 10 x + 18 y =

Të katër problemat e mësipërme kanë strukturë të njëjtë: në to duhet pesha e një arke me makarona dhe pesha e një arke me vaj. Kërkohet numri i arkave të vajit dhe numri i arkave të makaronave në veçanti. Një grup tjetër nga të katër problemat lind atëherë, kur në vend të dy të panjohurave (numri i arkave me makarona e me vaj) do të kërkohet pesha e një arke me makarona dhe e një arke me vaj. Në qoftë se në kushtet e problemës (I) jepet shuma e arkave, atëherë në analogji me kushtet e problemave (I dhe II), jepet sa peshojnë së bashku një arkë me makarona dhe një arkë me vaj, ndërsa në kushtet e problemave (III dhe IV) jepet, se sa më shumë peshon një arkë me vaj në krahasim me një arkë me makarona. P.sh. problema (II) do të formulohej: Një dyqan u furnizua me 13 arka me makarona dhe 7 arka me vaj. Pesha e përgjithshme e tyre ishte 256 kg. Një arkë makarona dhe një arkë vaj peshonin së bashku 28 kg. Sa peshonte një arkë me makarona dhe sa peshonte një arkë me vaj? 28 x + y =

Zgjidhja:  256 13 x + 7 y =

MATEMATIKA 9

107

II.8. Puna mbi projektet kurrikulare Projekti kurrikular është një përpjekje për t’i dhënë zgjidhje një situate për të cilën nxënësit nuk kanë një përgjigje të gatshme dhe për të cilën duhet të rrëmojnë në njohuritë e nxëna shkollore e më tej. Projekti kurrikular nuk reduktohet thjesht në sistemimin e informacioneve të qëmtuara në tekstin shkollor e në burime të tjera; ai përmban edhe punë origjinale, ku shfaqet qëndrimi vetjak i nxënësit. Sensi i një projekti kurrikular është zbatimi i informacioneve, por niveli më i lartë i zbatimit është nxitja apo arritja e ndryshimeve përmirësuese. Projekti kurrikular mund të jetë të paktën tre llojesh. Njëri lloj i takon planit të shkollës. Secili nxënës gjatë viteve të shkollimit në 9-vjeçare duhet të marrë pjesë në projekte të tilla. Dy llojet e tjera të projektit kurrikular i takojnë planit mësimor të mësuesit dhe llogariten në ngarkesën totale të tij në orë mësimore. Projekti kurrikular mund të jetë thjesht lëndor ose të përfshijë më tepër se një lëndë; ai mund t’i përkasë një fushe të nxëni ose të shtrihet në disa fusha. Projekti kurrikular mund të zgjasë disa ditë, javë ose muaj, por mbyllet kryesisht brenda një viti shkollor. Projekti kurrikular mund të merret përsipër nga një ose disa mësues. Mësuesi mund të zgjedhë projektin kurrikular si një metodë pune për të shtjelluar njohuritë e reja ose për përpunimin e njohurive. Tema e një projekti kurrikular përzgjidhet nëpërmjet bashkëpunimit të mësuesve me nxënësit. Mirë është që të ketë propozime nga nxënësit për këtë përzgjedhje, por mësuesi duhet të ketë një fond temash, ndër të cilat u lihet nxënësve të përzgjedhin. Në përzgjedhjen e temave është mirë që të përfshihen edhe prindërit. Në projektin kurrikular mësuesi është në rolin e lehtësuesit të veprimtarisë së nxënësve. Ai nuk duhet të jetë anëtar apo kryetar i grupit të nxënësve. Ai nuk duhet t’u diktojë nxënësve se çfarë të bëjnë, as t’u japë atyre informacione e përgjigje të gatshme. Nxënësve duhet t’u bëhet e qartë se përgjegjësia për suksesin e projektit kurrikular u takon atyre, por mësuesi do t’u qëndrojë pranë për çfarëdo pyetje apo shqetësim. Asistenca e mësuesit gjatë viteve të shkollimit në këtë veprimtari shkon sipas një kurbe zbritëse. Mësuesi duhet që vazhdimisht t’i inkurajojë nxënësit gjatë punës së tyre, të vërë paprerë në dukje anët pozitive që vëren. Nga mësuesi për realizimin e projektit kurrikular kërkohet që: -Të planifikojë dhe të realizojë orët mësimore të projektit kurrikular; -Të lehtësojë nxënësit në menaxhimin e projektit;

108


-Të vëzhgojë mirëkryerjen nga nxënësit të veprimtarive të planifikuara; -Të vlerësojë nxënësit; Hartimi i një projekti kurrikular nga mësuesi Formati tip për një plan të tillë ka këto zëra: - Titulli i projektit; - Objektivat e projektit; - Lista e njohurive kryesore lëndore që do të përvetësohen apo rimerren; - Kontributi i çdo mësuesi bashkëpunues, me orët mësimore përkatëse; - Partnerët në projekt (prindër, OJF etj); - Numri i nxënësve apo i klasave që përfshihen në projekt; - Përshkrimi përmbledhës i veprimtarive kryesore (me hapat kryesore, afatet e personat përgjegjës); - Burimet kryesore të informacionit; - Përshkrimi i produktit të projektit; - Tematika e secilës orë mësimore në kuadrin e projektit; - Mënyra e vlerësimit të nxënësve. Në ditarin e mësuesit shënohet çdo orë mësimore që i takon një projekti kurrikular Një nga synimet kryesore të projektit kurrikular është stërvitja e nxënësve për kërkimin e informacioneve nga burime të tjera sa më të larmishme (internet, kabinet i TIK, bibliotekë shkolle, qyteti, familjare, media e shkruar apo vizive). Një rëndësi të posaçme kanë edhe informacionet e gjalla-bisedat. Secili nxënës i përfshirë në projekt plotëson dora-dorës portofolin e projektit; ai duhet ta ketë të qartë qysh në fillim se do të vlerësohet dhe i duhen bërë të njohura kriteret e vlerësimit. Vlerësimi i nxënësve në projektin kurrikular Bëhet duke patur parasysh këto elemente: - plani i paraqitur; - zbatimi i planit; - menaxhimi i informacionit; - etika e punës në grup; - kontributi në raportin përfundimtar; - prezantimi i punës së kryer. Mënyra më e mirë e vlerësimit është ajo që kombinon vlerësimin e punës së grupit (notë me peshën 50%) me atë të nxënësit si individ (notë me peshën 50%). Nota që merr nxënësi si individ vendoset në bazë të vëzhgimeve të mësuesit dhe të portofolit të nxënësit.

MATEMATIKA 9

109

Projektet kurrikulare si pjesë e përpunimit të njohurive Projektet kurrikulare mund të përdoren për përsëritjen (e integruar) të njohurive të një apo disa kapitujve. Por në projektin kurrikular nuk ka objektiva për përvetësimin e njohurive të reja; në të ka objektiva vetëm për përforcimin e njohurive të mësuara më parë. Kombinimi i njohurive të disa kapitujve për të zgjidhur një situatë problemore, transferimi i njohurive të një lënde për të zgjidhur problema të një lënde tjetër e sidomos në situata reale, i stërvit nxënësit të kuptojnë më thellë konceptet e metodat kryesore të lëndës. Mund të ndodhë që nxënësit, në procesin e kërkimit të informacioneve, të hasen edhe me njohuri që nuk i kanë hasur më parë. Por atyre nuk duhet t’u kërkohet të mbajnë mend njohuri që nuk përmbahen në program dhe sidomos nuk duhet të vlerësohen me notë për to. Projekti kurrikular në planin mësimor vjetor të mësuesit Projekti kurrikular shënohet në këtë plan po ashtu si edhe kapitujt lëndorë. Por mësuesi nuk është i detyruar t’i paracaktojë të gjitha temat e projektit kurrikular qysh në fillim të vitit shkollor. Të gjitha orët mësimore që janë parashikuar për projekte kurrikulare zhvillohen sikurse orët e tjera lëndore d.m.th., me të gjithë klasën, në praninë e mësuesit. Disa orë janë të përbashkëta për secilin projekt kurrikular. Të tilla janë orët për: - të lehtësuar nxënësit në përzgjedhjen e temës (temave); - të këshilluar nxënësit gjatë zhvillimit të punës me projektin; - prezantim nga nxënësit të gjetjeve të ndërmjetme të projektit; - përgatitje për përfundimin e projektit. Një pjesë të mirë të kohës për punën me projektin nxënësit e harxhojnë në klasë, ku shtrojnë pyetje për mësuesin etj. Orët brenda në klasë shënohen në regjistër nga secili mësues, krahas orëve të tjera të lëndës. Shembull projekti kurrikular Lënda Matematikë Klasa IX Titulli :”Veçimi i një shkronje në një formulë” Sasia e orëve të planifikuara në planin mësimor 5 Koha: 1,5 muaj (1 Mars-15 Prill) Objektivat: 1. Të gjithë nxënësit e klasës të jenë të aftë të veçojnë sipas kërkesës njërën nga shkronjat (ndryshore reale) në formulat e trajtës y=ax+b; y=(a+b)x+c; y =

ax b

110


; y=ax2 ; y=ax3; y = x në situata matematikore, të lëndëve të tjera mësimore apo në situata jetësore, drejtpërdrejtë apo duke përdorur makinën llogaritëse të thjeshtë. 2. Të gjithë nxënësit të gjejnë vlerën e y kur njihet x në formulat y=sinx; y=cosx (0 < x <

p 2

), duke përdorur makinën llogaritëse shkencore.

3. 50% e nxënësve të klasës të jenë të aftë të veçojnë njërën nga shkronjat (ndryshore racionale) sipas kërkesës në formulat e trajtës y = ax 2 + n; y = a ( x − m) 2 + n; y = ax 2 + bx + c në situata matematikore, të lëndëve të tjera mësimore apo situata jetësore. 4. 40 % e nxënësve të klasës gjejnë vlerën e ndryshores x; y kur njihet tjetra (duke diskutuar për mundësinë e kryerjes së këtij procesi sipas vlerës së parametrit)në formulat y=asinx; y=acosx. Njohuritë kryesore lëndore që do të përdoren 1. Njëvlershmëria e ekuacioneve me një ndryshore. 2. Zgjidhja e ekuacionit të fuqisë së parë me një ndryshore. 3. Zgjidhja e ekuacionit të fuqisë së dytë me një ndryshore. 4. Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrikë elementarë. 5. Njohuritë e marra në klasat e mëparshme lidhur me veçimin e një shkronje në një formulë. Kontributet e mësuesve bashkëpunues 1. Mësuesi i fizikës (2 orë) - Evidentimi i formulave të lëndës në klasat 7, 8, 9. - Shtrim situatash që ndeshen dendur në këtë lëndë, duke kërkuar veçimin e një shkronje në një formulë. 2. Mësuesi i kimisë e biologjisë (2 orë) - Evidentimi i formulave të lëndës në klasat 7, 8, 9. - Shtrim situatash që hasen dendur në këtë lëndë, duke kërkuar veçimin e një shkronje në një formulë. Partnerë në projekt Prindërit e nxënësve të shkollës me profesione të tilla si inxhinierë, teknikë, ekonomistë etj.

MATEMATIKA 9

111

Numri i nxënësve të përfshirë në projekt: Të gjithë nxënësit e klasës. Veprimtaritë kryesore Nr Veprimtaria Hartimi i një liste paraprake formulash 1 të njohura (nga të gjitha fushat). Hartimi i një liste paraprake burimesh 2 informacioni (të të gjitha llojeve). Përcaktimi i detyrës konkrete për secilin 3 nxënës. Përdorimi nga nxënësit i literaturës 4 mësimore të rekomanduar. Takime për hapje horizonti me mësuesit 5 e lëndëve tekniko-shkencore.

Afati

Përgjegjësi

Java I

Mësuesit

Java I

Mësuesi me nxënësit

Java I

Mësuesi

Java II

Secili nxënës

6

Java III

Kërkim në burime të tjera informacioni.

Fillim i plotësimit të portofolit me gjetjet kryesore. Diskutim në klasë i gjetjeve kryesore, 8 me evidentimin e mangësive dhe të rrugëve për plotësim. Hartimi i draftit përfundimtar individual 9 nga secili nxënës. Puna për hartimin e draftit përfundimtar 10 përmbledhës me gjetjet kryesore. Dorëzimi produktit përfundimtar 11 (raportit) si edhe i portofoleve të secilit nxënës. 7

12 Prezantimi i raportit.

Java II

Mësuesit Secili nxënës

Java III

Secili nxënës

Java III

Mësuesi dhe nxënësit

Java IV

Secili nxënës

Java V

Mësuesi me nxënësit

Java VI

Nxënësit

Java VI

2-3 nxënës të përzgjedhur nga klasa

Burimet kryesore të informacionit 1. Tekstet mësimore të matematikës (për klasat 7, 8, 9). 2. Tekstet mësimore të lëndëve tekniko-shkencore (për klasat 7, 8, 9). 3. Biseda me specialistë të profileve të ndryshme tekniko-shkencore dhe ekonomike. 4. Vëzhgime të dukurive natyrore, teknike e sociale 5. Ndjekje emisionesh televizive adekuate (Discovery; Explorer etj).

112


6. Përdorim CD të posaçme. 7. Biseda me prindër për probleme jetësore (buxheti i familjes, depozitat, huatë, kreditë etj). Produkti i pritshëm i projektit Raport i argumentuar ku të përshkruhen formulat kryesore me të cilat nxënësit e kësaj moshe hasen në këtë fazë të përvojës së tyre mësimore e jetësore, së bashku me rrugët optimale për të shprehur në këto formula njërën nga ndryshoret në varësi të tjetrës. Tematika e orëve të planifikuara në planin mësimor 1. Ndarja e detyrave për secilin nxënës, së bashku me literaturën e rekomanduar mësimore. 2. Realizimi i bisedave me mësuesit e lëndëve tekniko-shkencore. 3. Diskutimi në klasë i rezultateve kryesore paraprake të arritura nga nxënësit. 4. Përzgjedhja e rezultateve kryesore për raportin përfundimtar. 5. Prezantimi i raportit. Mënyra e vlerësimit të nxënësve Bëhet sipas kritereve të pranuara e të shpallura,duke nxjerrë notën e nxënësit sipas formulës n = 0,5 ⋅ nk + 0,5 ⋅ ni ku nk është nota e klasës si grup; ni është nota e nxënësit si individ

II.9. Aftësitë ndërkurrikulare Aftësitë, siç dihet, hyjnë në punë për përballimin e situatave për të cilat nuk mjafton thjeshtë kujtesa e njohurive. Ato mund të jenë: - ndërkurrikulare (përvetësohen e zbatohen në të gjithë kurrikulën); - ndërfushash të nxëni; - lëndore.

9.1. Aftësia e komunikimit Me komunikim do të kuptojmë marrjen dhe dhënien e informacionit, të imazheve, të ideve si edhe transmetimin e ndjenjave. Në çdo lëndë e modul nxënësit ushtrohen të komunikojnë. Sipas natyrës së lëndës

MATEMATIKA 9

113

nxënësit komunikojnë: - me shkrim të zakonshëm; - me simbole (shkencore, muzikore etj); - me anë të figurave apo të lëvizjeve; - me gjuhën e folur. Dikur komunikimi (në gjuhën shqipe) konsiderohej si ekskluzivitet i mësuesit të gjuhë-letërsisë. Sot, çdo mësues është njëkohësisht mësues i një lënde dhe mësues i komunikimit. Vetëm me përpjekjet e vazhdueshme dhe të sistemuara të të gjithë mësuesve e gjatë gjithë viteve të shkollimit është e mundur të zhvillohet tek nxënësit një kulturë e shëndoshë komunikimi. Prandaj secili mësues duhet të mbajë parasysh gjatë vlerësimit me notë edhe drejtshkrimin, drejtshqiptimin, pasurinë e fjalorit e pastërtinë e tij si edhe strukturimin e fjalive. Në secilën lëndë, pra edhe në matematikë, mësuesi duhet t’i japë çdo nxënësi mundësinë që të bëhet i aftë për të komunikuar qartë, saktë e kuptueshëm. Çdo mësues, krahas synimeve lëndore, duhet të ketë edhe synimet e mëposhtme, që i takojnë komunikimit në gjuhën shqipe: Të folurit Secili nxënës të bëhet i aftë që tu transmetojë me gojë të tjerëve informacione, ide, ndjenja e figura në mënyrë të saktë, duke përdorur: - një fjalor gjithnjë e më të pasur; - mënyrën më të përshtatshme për dëgjues të caktuar e për një situatë të caktuar. Të dëgjuarit Secili nxënës të bëhet i aftë që: - të jetë dëgjues i vëmendshëm; -t ë veçojë qartë pasaktësitë që dalin nga parashtrimet e të tjerëve; - të bëjë pyetje adresuar folësve për paqartësitë e veta; - të bëjë komente rreth parashtrimeve të të tjerëve. Të lexuarit Secili nxënës të bëhet i aftë që: - të lexojë me shpejtësinë e mjaftueshme për të kuptuar një tekst; - të veçojë qartë moskuptimet që i dalin gjatë leximit; - të përdorë strategji të larmishme dhe të përshtatshme për të kuptuar, përdorur dhe reflektuar mbi një tekst të shkruar.

114


Të shkruarit Secili nxënës të bëhet i aftë që t’u transmetojë me shkrim të tjerëve informacione, ide, ndjenja dhe figura në mënyrë të saktë, të qartë, të plotë, të mirëstrukturuar dhe bindëse, duke përdorur: - një fjalor gjithnjë e më të pasur; - një larmi mënyrash të parashtrimeve me shkrim; - mënyrën më të përshtatshme të komunikimit me shkrim (për lexues të caktuar e në situatë të caktuar). Mësuesit duhet që të jenë që të gjithë të trajnuar për prezantimet me shkrim dhe me gojë.

9.2. Aftësia e përdorimit të matematikës Matematizimi i disiplinave shkencore ka nisur shekuj më parë me shkencat e natyrës dhe është një proces që vazhdon ende edhe sot (me ritme të përshpejtuara) në shkencat e tjera si edhe në teknologjitë. Jeta e përditshme dhe puna përshkohen gjithnjë e më shumë nga njohuri të reja dhe nga nevoja e shfrytëzimit të burimeve të larmishme të informacionit, të cilat kanë pothuajse përherë nevojë për matematikën, ndonëse në shkallë të ndryshme, Matematika, duke qenë faktor i suksesit gjatë gjithë jetës, duke qenë një përbërës i të nxënit gjatë gjithë jetës, është sot jo vetëm lëndë që ka peshë të madhe në planin mësimor, por mund të konsiderohet edhe si ndërlëndë. Në të gjitha fushat e të nxënit, mësuesi duhet t’i japë mundësinë secilit nxënës të zbatojë ato që di nga matematika që ka nxënë në shkollë. Parakushti i zbatimit të suksesshëm të matematikës në lëndët e tjera është që vetë matematika, të priret fort nga zbatimet në shkencat, teknologjitë, dukuritë reale dhe jeta e përditshme. Kthimi i matematikës në një fill që përshkon të gjithë kurrikulën është një punë e gjithë mësuesve, por strumbullari i saj janë mësuesit e matematikës, të cilët: - mund të trajnojnë kolegët; - bashkë me ta mund të projektojnë tema integruese. Në lëndë të ndryshme ka hapësira të ndryshme për përdorimin e matematikës, por secila prej tyre ka mundësi për ta realizuar këtë. Duhet shmangur rreziku që të reduktohet përdorimi i matematikës me aritmetikën fillestare (përdorimi i katër veprimeve aritmetike) apo me statistikën elementare (përpilim tabelash, njehsim i mesatares aritmetike). Integrimi i matematikës në përmbajtje është më i mundshëm në detyrat tematike apo projektet kurrikulare. Disa shembuj për mundësitë:

MATEMATIKA 9

115

- shqyrtimi i problemeve të shëndetit (pulsi, jetëgjatësia, temperatura, pesha, përmasat, denduria e një sëmundje); - shqyrtimi i problemeve që lidhen me popullsinë (për moshën, gjininë, shkallën e arsimimit etj); - analiza e çështjeve social-ekonomike (punësimi, buxheti, taksat, çmimet, kursi i këmbimit, kursimi i energjisë); - analizë e statistikave që publikohen në media. Mësuesit mund të zgjedhin për nxënësit tema të veçanta që ata të punojnë individualisht apo në grupe të vogla, brenda një afati që mund të shkojë deri disa javë. Këto tema mund të çojnë edhe në njohuri të avancuara matematike. Por qendra e rëndesës në tema të tilla nuk është tek matematika, por në një grumbull njohurish lëndore. Matematika e tregon veten si një ndihmëse e pazëvendësueshme për një analizë të mirë. Secili mësues duhet pareshtur ta vrasë mendjen se ku e si mund ta zbatojë matematikën brenda lëndës, në çdo kapitull, në çdo orë ku është e mundur.

9.3 Aftësia e përdorimit të TIK Në kohën e sotme TIK është kthyer në një mënyrë jetese; bota moderne është në varësi prej tij. Në sajë të TIK mësuesi i sotëm nuk është më zotëruesi i vetëm (as rekomanduesi i vetëm) i informacionit që nxënësit duhet të zotërojnë. Shumë burime digitale të informacionit janë të hapura për nxënësit dhe ata vijnë në shkollë me njohuri, gjykime, opinione e pyetje, të cilat mësuesi duhet t’i konsiderojë si pjesë e kurrikulës në tërësinë e saj. TIK është jo thjeshtë një lëndë në kurrikulën e gjimnazit, por më shumë një ndërlëndë. Mësuesi nuk ecën me ritmin e kohës në qoftë se nuk përfshin në ambicien e tij profesionale përdorimin e TIK gjatë zhvillimit të programit mësimor. Mësuesi duhet t’i krijojë mundësinë secilit nxënës për të përdorur në lëndën që jep të gjitha njohuritë e shprehitë e nxëna në lëndën e TIK. Secili mësues duhet të përkujdeset vazhdimisht që çdo nxënës i tij: - të kërkojë e të gjejë informacion në trajtë elektronike; - të hetojë, të bëjë parashtrime e të zgjidhë situata problemore me ndihmën e mjeteve elektronike; - të paraqesë e të prezantojë punën e tij duke përdorur një larmi mediash dixhitale; - të bashkëpunojë me shokët e mësuesit nëpërmjet komunikimit elektronik; Përdorimi në një lëndë të caktuar i mundësive që ofron TIK është një zgjedhje e

116


mësuesit, i cili duhet të jetë i bindur se kështu e jo ndryshe nxënësit po mendojnë e po kuptojnë më mirë e më shumë. Një nga përfitimet më me vlerë të TIK është shtimi i kohës së të nxënit (shkurtohet koha për njehsime, vizatime figurash e grafikësh etj). Falë CD-ve të posaçme nxënësi mund të ndjekë dinamikën e dukurive e të ngjarjeve, të rrokë ndikimin e ndryshimit të parametrave në një dukuri. Por përdorimi i këtyre CD-ve nuk duhet të reduktohet në një shfaqje të rëndomtë filmi. Për këtë qëllim mësuesi duhet t’u parashtrojë nxënësve qysh më parë disa pyetje, t’u shtrojë një dilemë për të cilën është e dobishme e produktive përdorimi i CD në fjalë. Është mjaft i madh rreziku që përdorimi i TIK të kthehet në mënyrë sipërfaqësore në modë. Përdorimi i TIK nuk është gjithmonë më i miri. P.sh., ekspozimi i grafikëve të gatshëm e kursen kohën, por nuk zëvendëson dobinë e ndërtimit të grafikëve me laps e letër nga vetë nxënësit. Nuk mund të zëvendësohet roli i eksperimenteve me dorën e nxënësit në laboratorët tradicionalë të fizikës dhe të kimisë. Këto janë manipulime reale (jo virtuale) që mbeten të pazëvendësueshme në përvetësimin e qëndrueshëm të këtyre lëndëve. Po të anohet më tepër ndaj informacionit elektronik dëmtohet aftësimi i nxënësve për të vjelë informacione edhe nga burime të tjera si libra, manuale, fjalorë, emisione të radios, biseda, incizime. Pra, duhet të mbahet një ekuilibër i studiuar ndërmjet tipave të ndryshëm të burimeve të informacionit. Të gjithë mësuesit duhet të familjarizohen me TIK e të mos jenë të frenuar në përdorimin e tij, në mënyrë që TIK të kthehet në një fill që përshkon më tej kurrikulën. 9.4

Aftësia e menaxhimit të informacionit

Mësuesi tradicional e konsideron tekstin lëndor si një burim të mjaftueshëm informacioni për t’ia transmetuar nxënësve nëpërmjet metodave të tij të mësimdhënie-mësimnxënies. Kurrikula e re e çmon tekstin si një burim të rëndësishëm për mësuesin, por jo ezaurues. Kjo për arsye se, me gjithë informacionin e bollshëm e të përditësuar që ka, teksti nuk mund të ketë konkretizime nga lokaliteti ku është vetë shkolla dhe nuk mund të pasqyrojë ngjarjet më të freskëta nga komuniteti dhe bota. Këtë mund e duhet ta bëjë mësuesi. Veç kësaj mësuesi i mirë i bën nxënësit kureshtarë dhe u përgjigjet pyetjeve që lindin tek ata, pyetje që si rregull nuk gjejnë përgjigje në tekst. Mësuesi i mirë nuk është thjeshtë lexues a perifrazues i tekstit, por interpretues i tij me gjëra të reja, për ta bërë lëndën më konkrete e më të kapshme.

MATEMATIKA 9

117

Përse duhet që nxënësit të kërkojnë vetë informacione të tjera, veç informacioneve shtesë që mësuesi i qëmton vetë? 1. Informacioni i tekstit është gjysmë i gatshëm, për t’u tretur më lehtë nga nxënësit. Informacionet nga burimet e tjera janë në gjendje bruto; nxënësit i duhet t’i përpunojë ato, të veçojë thelbësoren, t’i përmbledhë etj. Kjo është stërvitje në situatë reale dhe vlen direkt për nxënësin, që ai të bëhet lexues i pavarur dhe sidomos lexues për tërë jetën. 2. Arsyeja tjetër qëndron tek kultivimi i të menduarit kritik. Ushqim për të menduarit kritik është larmia e informacioneve, sepse vetëm kështu nxënësit ballafaqojnë faktet, interpretimet dhe opinionet. Informacionet që kërkojnë nxënësit dhe mësuesit nuk janë vetëm çka gjendet në median e shkruar apo vizive e në TIK. Gama e tyre është më e gjerë dhe përfshin biseda me prindër e specialistë, vizita në ekspozita, muze, institucione, vëzhgime të dukurive të natyrës apo shoqërisë. Menaxhimi i mirë i informacionit është një mjeshtëri që nuk mësohet vetë, por ka nevojë për një stërvitje të planifikuar e drejtuar mirë gjatë gjithë viteve të shkollimit. Nxënësi duhet të udhëzohet sistematikisht nga mësuesi se si të punojë mbi një informacion, duke filluar nga ai i tekstit e duke vazhduar me informacionet bruto. a) Nxënësi duhet të ushtrohet të punojë “me laps në dorë”, ndërsa studion një material (të bëjë nënvizime, pyetje, pikëpyetje, sqarime apo interpretime në marzhet), pra të dialogojë me autorin nëpërmjet një sistemi vetjak shenjash. Ai duhet të përdorë skica ose skema, për të vizualizuar sintezën e materialit. Më pas ai duhet të ushtrohet të përmbledhë, të sistemojë, të ruajë (në skeda apo në kompjuter). b) Nxënësi duhet të mësohet të mbajë shënime të qarta gjatë bisedave me persona burimorë dhe të hedhë në letër në mënyrë të mirëstrukturuar vëzhgimet e tij. c) Mësuesi duhet t’u shpjegojë nxënësve se si të konsultohen me fjalorët apo me indekset në fund të librit d) Mësuesit mund të kërkojnë që në portofolin e një projekti kurrikular apo të një detyre tematike nxënësit të vendosin edhe fragmente nga literatura e shfrytëzuar, bashkë me shënimet që kanë bërë mbi të. Këto shprehi kultivohen me përkujdesjen e vazhdueshme të të gjithë mësuesve Që përpjekjet e mësuesve të jenë të suksesshme është e nevojshme që secili mësues të jetë vetë mjaft i përgatitur për menaxhimin e informacionit.

118


9.5. Aftësia për zgjidhjen e situatave problemore Problemë konsiderohet çdo kërkesë origjinale që i shtrohet nxënësit për ta zgjidhur, kërkesë që ka të bëjë me një situatë të pahasur më parë nga ai. Situata problemore, përtej viteve të shkollimit, haset rëndom gjatë jetës së përditshme dhe asaj profesionale, kur duhet marrë një vendim. Sprova e vërtetë e të kuptuarit është përballja me një kërkesë që ve në punë jo vetëm kujtesën. Nxënësit duhet të vihen rregullisht para të papriturash sado të vogla. Zbatimet me kontekst nga lëndët e tjera dhe nga ngjarjet e përditshme, por të reja, janë padyshim situatë problemore. Me “problemë” pra do të kuptojmë çdo pyetje të re. Projektet kurrikulare komplekse dhe qëmtimi i informacioneve për një qëllim të caktuar përbëjnë shembuj situatash problemore. Zgjidhja e situatave problemore përbën një metodë pune me të cilën mësuesit duhet të stërvitin nxënësit. Shpesh nxënësit që cilësohen të mirë nuk dallohen për thellësinë e të kuptuarit, por prej faktit se janë më sistematikë e më të vullnetshëm se të tjerët për të riprodhuar copa të mëdha njohurish. Ata zihen ngushtë kur u jepen kërkesa disi të ndryshme nga ato të tekstit. Kjo vjen se kështu janë mësuar nga mësues që punojnë si instruktorë për një zinxhir të standardizuar veprimesh (marrje disa herë me të njëjtin problem). Ka mësues që në orën e përsëritjes, në vend që të përfshijnë nxënësit në punë për strukturimin e kapitullit, nguliten tek ato kërkesa që kanë ndërmend të kontrollojnë në provim. Tek disa mësues i gjithë dialogu me nxënësit të shtyn kah të nxënit mekanik; pauza ndërmjet mbarimit të pyetjes dhe sinjalit për të dhënë përgjigjen është zakonisht tepër e shkurtër, sepse vetë pyetja është thjeshtë një ftesë për të sjellë ndërmend një përgjigje të njohur. Sipas skemës së përgjithshme (teoria e zgjidhjes problemore) zgjidhja e një probleme kalon nëpër katër etapa: - Analiza e problemës - Hartimi i planit të zgjidhjes - Zbatimi i planit - Vlerësimi i zgjidhjes Ajo që lëvrohet më pak nga mësuesit është etapa e fundit. Kjo etapë kërkon që, pasi ka mbaruar zgjidhja, të reflektosh mbi të e të kthehesh prapa, duke iu përgjigjur disa pyetjeve: A mund ta zgjidhet ndryshe? - Nga mënyrat e ndryshme të zgjidhjes, cila është më e mira?

MATEMATIKA 9

119

- A është i mjaftueshëm argumentimi? - A mund të përgjithësohen konkluzionet? - A mund të zbatohet konkluzioni në raste të tjera? Çdo problemë duhet shtrydhur mirë sipas metodave të zgjidhjes problemore. Nga ana tjetër, që të aftësohesh me këto metoda, duhet të ushtrohesh me sa më shumë ushtrime, me sa më shumë situata problemore. 9.6. Aftësia e të menduarit kritik Të mendosh në mënyrë kritike do të thotë të jesh i pavarur në gjykime, të jesh argumentues, përgjigje-dhënës e vendim-marrës, pas një shqyrtimi të imtë, të thellë e të gjithanshëm të rrethanave. Mendja jo-kritike është paragjykuese, jotolerante, e varur nga opinionet e të tjerëve, e nxituar në nxjerrjen e përfundimeve. Mësuesi nuk duhet të jetë ngushtësisht lëndor; ai duhet të ketë si mision formimin e personalitetit të nxënësve, duke ndikuar në formimin e të menduarit kritik si virtyt themelor. Të menduarit kritik është një strategji me anën e së cilës shtjellohet e përvetësohet vetë lënda. - Të mendosh në mënyrë kritike, së pari do të thotë të dish të pyesësh (kur, çfarë, si, pse?). Mësuesi duhet të inkurajojë nxënësit t’i drejtojnë pyetje atij vetë dhe bashkënxënësve. - Të mendosh në mënyrë kritike do të thotë të dish të arsyetosh (si ta përdorësh arsyetimin, çfarë metodash të përdorësh). Lajtmotivi të jetë “pse?”. - Të mendosh në mënyrë kritike do të thotë të mos besosh verbtazi. - Mendja kritike nuk mbështetet tek një burim i vetëm informacioni, por qëmton disa, para se të dalë në një konkluzion. - Të mendosh në mënyrë kritike do të thotë të respektosh të menduarit ndryshe, të konsiderosh të natyrshme të gabosh. - Mendja kritike dallon opinionet nga faktet, interpretimet nga dëshmitë, deklaratat nga realiteti. Synimet e mësuesit për edukimin e mendimit kritik Secili nxënës të bëhet i aftë që: - të sjellë argumente e dëshmi për të mbështetur përfundimet e bindjet e tij; - të mbajë qëndrim të pavarur e argumentues ndaj informacioneve në përgjithësi dhe ndaj gjykimeve të të tjerëve; - të dallojë faktet nga interpretimet e tyre; - të jetë i vëmendshëm ndaj argumenteve të të tjerëve; të mos iu kundërvihet me paragjykime;

120


- të shqyrtojë mundësi të ndryshme “pro” dhe “kundra” për një çështje të caktuar; Parakusht i suksesit në edukimin e të menduarit kritik është metoda e vetë mësuesit. Ai nuk duhet të paraqitet si zotërues i të vërtetës së fundit, nuk duhet të jetë urdhërues, por të përpiqet të bindë njerëzit. Mësuesi duhet të nxisë debate midis nxënësve (për një pohim në media, për dy interpretime të ndryshme etj). Mësuesi nuk luan rolin e arbitrit, nuk mban anën e askujt. Ai nuk ofron diagnozë, por u mëson nxënësve si të diagnostikojnë. Një teknikë “provokative” për të edukuar të menduarit kritik është t’u kërkosh nxënësve të gjejnë gabimin në një pohim apo argumentim (edhe sikur të tillë të mos ketë apo të ketë të tillë të sajuar vetë). Mësuesi duhet të vigjilojë mbi saktësinë e argumenteve, madje edhe të fjalëve. Nxënësve duhet t’u jepet koha e mjaftueshme për t’u menduar mirë. Ata duhet të edukohen që të mos nguten, të mos përgjigjen përciptas, të mos riprodhojnë fraza që nuk i kuptojnë, të pranojnë vetëm pasi kanë menduar me kujdes e janë të bindur vetë. Ndodh që nxënësit janë më të zgjuar në oborrin e shkollës (debatojnë me shokët) sesa brenda orës së mësimit (ku pranojnë në mënyrë pasive e pa bërë shumë pyetje mjaft gjëra). Qëndrimi i mësuesve të shkollës ndaj kultivimit të të menduarit kritik tek nxënësit duhet të jetë kolegjial e i harmonizuar.

9.7

Aftësia e të menduarit krijues

Të menduarit krijues nuk është dhunti ekskluzive e artistëve dhe shkencëtarëve. Çdo nxënës ka potencialin e vet krijues. Pyetjet origjinale, zgjidhja e një ekuacioni me mënyrë jo standarde janë shfaqje të krijimtarisë. Mësuesi duhet të inkurajojë çdo grimcë krijimtarie, të gjejë e të lëvdojë atë. Një tentativë krijuese, në një detyrë tematike apo projekt edhe në diçka rutinë, kërkon një guxim, shfaqja e të cilit kultivohet nga mirëdashja e mësuesit. Por kjo mikpritje ndaj individualitetit krijues duhet të shfaqet ndërmjet nxënësve. Mësuesi duhet të stërvitë nxënësit të kapin dhe të vlerësojnë origjinalitetin krijues të një shoku apo të një grupi.

9.8 Aftësia e të punuarit me grup Ka shumë mësues që janë mosbesues ndaj punës me grup sepse: a) Nuk e kanë situatën nën kontroll (por me këtë shpesh nënkuptojnë përqendrimin

MATEMATIKA 9

121

e mësimdhënies në dorën e mësuesit); b) Ka rendiment të ulët (disa nxënës zaptojnë punën e të tjerëve, duke i lënë ata pa punë). Këto janë të vërteta, por për ata mësues që nuk e zotërojnë mjeshtërinë e punës me grup. Në të vërtetë puna me grup ka shumë anë të mira. Në të nxënësit këmbejnë mendime, pyetje dhe mësojnë nga njeri-tjetri. Nxënësit nganjëherë mësojnë më mirë dhe më shpejt nga bashkënxënësit, sesa nga mësuesi. Puna me grup ul ankthin e mospërgjigjes te nxënësit. Miratimi nga bashkëmoshatarët shpesh vlerësohet (sidomos në shkollën e mesme) më tepër se ai i mësuesit. Puna në grup rrit aftësitë argumentuese e komunikuese, sepse nuk është aq e lehtë të bindësh bashkëmoshatarët. Puna në grup nxit lindjen e ideve (ndonëse kjo është më tepër veprimtari individuale) Nxënësit duhet patjetër të mësohen qysh në shkollë që të punojnë në grup. Ky është modeli i familjes, i grupit të nxënësve apo i grupit të kolegëve (më vonë). Sot shpesh në aplikimet për punësim vlerësohet shumë aftësimi për punë me grup. Falë punës me grup (në sajë të përpjekjeve të qëllimshme të mësuesve) çdo nxënës mësohet që dora-dorës: - të sillet me takt në një punë të përbashkët; - të mbajë përgjegjësi ndaj suksesit të grupit në tërësi; - të respektojë rregullat e grupit ku pranon të marrë pjesë; - të jetë tolerant dhe i gatshëm për kompromise; - të mbajë qëndrim të pavarur dhe argumentues ndaj gjykimeve dhe qëndrimeve të të tjerëve; - të respektojë pikëpamjet e ndryshme të anëtarëve të grupit; - të mirëpresë ide dhe përvoja të të tjerëve. Në hapat e para nuk pritet që nxënësit të jenë aq të sjellshëm e përfitues gjatë punës me grup. Mësuesit duhet të vlerësojnë automatikisht qëndrimin e secilit nxënës në një veprimtari grupi. Puna me grup nuk është metodë universale e mësimdhënies, që të mund të përdoret kudo e kurdoherë. Është mësuesi ai që vendos se kur është e dobishme puna me grupe. Puna me grup është mënyrë e përshtatshme për të përsëritur një kapitull. Grupi më i vogël e më komod në klasë është ai i bankës së nxënësve (nxënësit diskutojnë, shohin fletoret e njëri-tjetrit). Shqetësimi kryesor i mësuesve lidhur me punën me grup mbetet koha: por në fakt ky është preokupimi i atyre mësuesve që nxitojnë.

122


9.9 Aftësia për qëndrim etik e social Përtej njohurive dhe aftësive (e nëpërmjet tyre) shkolla ushtron një ndikim të fortë në formimin e karakterit të nxënësve, duke u përqendruar në rrënjosjen e qëndrimeve, vlerave dhe bindjeve vetjake. Gama e tyre është shumë e gjerë dhe përfshin, ndër të tjera, mbrojtjen e të drejtave të njeriut dhe të fëmijëve, mospranimin dhe mosushtrimin e asnjë lloj diskriminimi, respektimin e vlerave kombëtare dhe zhvillimin e tyre, mbrojtjen e mjedisit në të gjithë larminë e tij etj. Treshja klasike për të cilën synon kurrikula është: e vërteta, e bukura, e mira. Gabimisht, tradicionalisht e vërteta konsiderohet si objekt ekskluziv i shkencave të natyrës, e bukura-si objekt ekskluziv i arteve, e mira-si privilegj i edukimit qytetar, por edhe i shkencave shoqërore. Në të vërtetë, të tria aspektet janë të gërshetuara tek çdo lëndë dhe “e mira” më shumë se të tjerat. Në të gjitha fushat e studimit dhe në çdo lëndë mësuesit duhet t’i japin mundësinë çdo nxënësi të ushtrohet të mbajë qëndrim etik ndaj ngjarjeve, dukurive, pikëpamjeve dhe sjelljeve në klasë, shkollë e shoqëri. Secili nxënës duhet të bëhet i aftë: - të vlerësojë sjelljet, qëndrimet dhe veprimet e tij e të të tjerëve (individë apo institucione) në të shkuarën e në të tashmen, nga pikëpamja e dobisë së përbashkët të komunitetit, vendit e më gjerë. - të jetë pjesëmarrës aktiv i veprimtarive dhe i lëvizjeve të cilat synojnë përmirësime në shkallë komuniteti, vendi, rajoni e më gjerë. Misioni i shkollës është që të farkëtojë një qytetar që ndjek ngjarjet jo thjesht për kureshtje apo me keqardhje pasive, por që është aktiv për ndryshime të dobishme. Mësuesi nuk duhet të lërë asnjë rast të favorshëm për të shtruar dilema etike (“a është e drejtë”?, “a sjell dobi?”, “çfarë duhej bërë?”). Materiali nuk duhet të sillet i distiluar, por të gjuajë shembuj zbatimesh, për të cilat mund të shtrohen qëndrime morale. Cilat do të ishin kriteret e gjykimeve etike? Duhet të distancohemi qartë nga dy qëndrime ekstreme: - të edukohet një individ i lirë nga çdo shtrëngesë dhe që i ndërton vetë parimet e tij etike; - t’u diktohet nxënësve përcaktimi i të mirës e të keqes. Nxënësi duhet të mësohet të ndërtojë sjelljet dhe të mbajë qëndrimet e tij mbi bazën e disa parimeve universale si të drejtat e njeriut dhe parimet e shtetit ligjor! Nxënësi duhet të ushtrohet të shpjegojë veprimet dhe gjykimet e tij morale në trajtën e një arsyetimi deduktiv: “sepse…, në bazë të…,). Kur të flasë për aspekte

MATEMATIKA 9

123

konkrete të politikës së përditshme (si p.sh.,. korrupsioni) mësuesi nuk duhet të shfaqë mendimin e tij personal se cila qeveri është më e mirë. Mësuesi nuk ka të drejtë të manipulojë shijet e nxënësve të tij. Kur mësuesi anon nga mendimi i tij e nuk i pasqyron të gjitha, ai censuron informacionin. Mësuesi nuk është bartës i të vërtetës së fundit; edhe sikur ajo të ekzistojë, ai nuk duhet të hiqet si i tillë. Rreziku më i madh është që nxënësi të ushtrohet si dishepull i një autoriteti, kur në të vërtetë ai duhet të mbajë përgjegjësitë e veta për sjelljet e tij sociale. Detyra e mësuesit është të japë metodën. Ai i nxit nxënësit që të shprehin lirshëm opinionet e tyre dhe u shmanget (e nuk lejon as nxënësit ta bëjnë) komenteve të tilla si “e ke gabim”. Mësuesi i orienton me takt nxënësit e tij në kërkimin e tyre të pavarur drejt të vërtetës së vet morale dhe këtë e bën me pyetje e aspak me kundërshtime. Po kështu, i stërvit nxënësit të debatojnë nëpërmjet pyetjeve dhe argumenteve e sidomos të kenë respekt për opinionin ndryshe. Liria e gjykimit bazohet mbi dyshimin. P.sh., ekziston respekti për shtetin ligjor, por jo për secilin ligj në veçanti. Ligjet i nënshtrohen analizës kritike. Por liria e shqyrtimit dyshues ka disa kufij dhe mësuesi duhet t’i mbajë nxënësit brenda tyre. Ai ndalon rreptësisht paragjykimet raciste, gjinore, nacionale. Këto paragjykime janë në kundërshtim me të drejtat themelore të njeriut. Këto të drejta nuk janë për diskutim; ato vetëm mund të argumentohen.

124


III. UDHËZIME PËR ZHVILLIMIN E MËSIMEVE KREU I. BASHKËSIA E NUMRAVE REALË Mësimi 1.1 BASHKËSITË NUMERIKE Kuptime: Bashkësia e numrave natyrorë (N). Bashkësia e numrave të plotë(Z). Bashkësia numrave të plotë pozitivë (Z+). Bashkësia e numrave të plotë negativë (Z-). Diagrama e Venit. Metoda: Induksion; përgjithësim. Zbatim në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të përkufizojnë bashkësitë N dhe Z. • Të njohin e zbatojnë në ushtrime përfshirjen N

Z, duke e ilustruar me

diagrama të Venit.

• Të dallojnë numrat natyrorë dhe numrat e plotë. • Të paraqesin me pika në boshtin numerik numrat natyrorë dhe numrat e plotë. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Me bashkësitë numrave natyrorë dhe të plotë nxënësit njihen nga klasat e mëparshme. Nëpërmjet shembujve të trajtuar në tekst nxënësit duhet të arrijnë në përfundimin N Z si edhe në faktet: 1. Shuma dhe prodhimi i dy numrave natyrorë është numër natyror. 2. Shuma , diferenca dhe prodhimi i dy numrave të plotë është numër i plotë. Gjithashtu është me rëndësi të veçantë ushtrimi 5, për vendosjen e përkatësisë së numrave të plotë me pika në boshtin numerik. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2 dhe 3.

MATEMATIKA 9

Mësimi 1.2

125

BASHKËSIA E NUMRAVE RACIONALË

Kuptime: Numri racional. Bashkësia e numrave racionalë (Z). Veti: ; Bashkësia e numrave racionalë është bashkësia e numrave dhjetorë (të fundmë) ose të pafundmë periodikë) . Metoda: Induksion; deduksion; përgjithësim. Zbatim në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të përshkruajnë numrat racionalë si thyesa dhjetore të fundme ose të pafundme periodike.

• Të njohin e zbatojnë marrëdhëniet e përfshirjes

duke i ilustruar me

diagrama të Venit. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Edhe me numrat racionalë nxënësit janë njohur në klasën e tetë, kështu që mësimi duhet ndërtuar i bazuar në këtë fakt. Veçanërisht të rëndësishme në këtë orë mësimi janë këto momente: 1. Të evidentohet qartë përfshirja . Pra nxënësit të kenë të qartë që numrat natyrorë dhe numrat e plotë janë numra racionalë sepse shkruhen m

në trajtën ku m Z dhe n N. n 2. Edhe numrat dhjetorë të pafundmë periodikë janë numra racionalë sepse m

edhe ato shkruhen në trajtën . n 3. Nisur nga vërtetimi i pohimit që shuma e dy numrave racionalë është numër racional, arrihet në përgjithësimin edhe për rastin e diferencës, prodhimit apo herësit. (në rastin e herësit, emëruesi është i ndryshëm nga zero). Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 3, 4 dhe 5. Ushtrimi 2 mund të trajtohet si punë e diferencuar vetëm me disa nxënës.

126


Mësimi 1.3 NUMRAT IRRACIONALË Kuptime: Numri irracional. Bashkësia e numrave irracionalë (Z). Veti: Gjatësia e diagonales së katrorit me brinjë 1 njësi nuk shprehet me anën e një numri racional. (Nuk ekziston numër racional, katrori i të cilit të jetë i barabartë me 2) Numrat irracionalë janë numra dhjetorë të pafundmë jo periodikë. Metoda: Induksion; përgjithësim. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të përshkruajnë numrin irracional si thyesë dhjetore (numër dhjetor) të pafundmë jo periodik. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Rekomandojmë që mësimi të trajtohet sipas ecurisë së përshkruar në tekst. Në shembullin e parë arrihet në përfundimin se diagonalja e drejtkëndëshit me = brinjë a

3 4 5 = m dhe b m shprehet me anën e një numri racional ( m ). 7 7 7

Në rastin e katrorit me brinjë 1 m, diagonalja e tij shprehet me anën e një numri, katrori i të cilit është i barabartë me 2. Këte numër e shënojmë 2 dhe pranojmë që ai nuk mund të shprehet me anën e një thyese dhjetore të fundme apo të pafundme periodike. (Vërtetimi i faktit që nuk ekziston numër racional, katrori i të cilit është i barabartë me 2, jepet në ushtrimin 8 të kësaj ore mësimi. Ai mund të trajtohet në kuadrin e punës së diferencuar vetëm me një kategori të caktuar nxënësish). Si konkluzion, mësuesi duhet të ngulmojë që nxënësit të përvetësojnë faktin që krahas numrave të njohur (racionalë) ka edhe numra të tjerë, të cilët formojnë një bashkësi tjetër që e shënojmë me I. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1,2 dhe 3.

MATEMATIKA 9

127

Mësimi 1.4 BASHKËSIA E NUMRAVE REALË. Kuptime: Numri real. Bashkësia e numrave realë (R). Veti: Metoda: Përkufizim. Zbatim në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të njohin e zbatojnë marrëdhëniet e përfshirjes së bashkësive numerike Q dhe I;

;Q

I=R duke i ilustruar me diagrama të Venit.

• Të dallojnë numrat racionalë nga ato irracionalë. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Kjo orë mësimi nuk është e rënduar me kuptime të reja. Nëpërmjet Fig. 1.7, < paraqitet bashkësia R si bashkim i bashkësive Q dhe I, të cilët nuk kanë asnjë element të përbashkët. Mjaft i rëndësishëm (ndonëse i thjeshtë) është ushtrimi 1. Në te, mësuesi duhet të ngulë këmbë që nxënësit të kenë të qarta përfshirjet e bashkësive N, Z, Q, I, R. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2 dhe 5.

Mësimi 1.5 PARAQITJA E NUMRAVE REALË NË BOSHTIN NUMERIK Kuptime: Boshti numerik. Vlera absolute e numrit. Numrat e kundërt. Veti: Çdo numër real paraqitet me anën e një pike në boshtin numerik dhe çdo pikë e boshtit numerik paraqet një numër real të caktuar. Largesa e një pike të boshtit numerik nga origjina e tij është vlera absolute e numrit.  x për x ≥ 0 x = . − x për x < 0

Shuma e dy numrave të kundërt është e barabartë me zero. Metoda: Induksion. Vëzhgim. Përkufizim. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të paraqesin numrat realë me pika në boshtin numerik. • Të njohin kuptimin e vlerës absolute të numrit nisur nga përfytyrimi i saj gjeometrik.

128


Udhëzime për zhvillimin e mësimit Fakti që nxënësit dinë që çdo numri racional i korrespondon një pikë në boshtin numerik dhe anasjellas duhet të shfrytëzohet edhe për paraqitjen e numrave realë në boshtin numerik. Rekomandojmë që kjo të realizohet sipas procedurës së paraqitur në tekst (pra me arsyetim gjeometrik). Pas kësaj, mësuesi duhet të paraqesë faktin që boshti numerik “plotësohet përfundimisht” me numrat racionalë dhe ato irracionalë, prandaj edhe quhet bosht real. Momenti i dytë mjaft i rëndësishëm i kësaj ore mësimi është kuptimi i vlerës absolute të numrit si edhe i numrave të kundërt. Ky kuptim njihet nga klasat e mëparshme, por duke qenë se do të përdoret shpesh në të ardhmen, i duhet kushtuar rëndësia e duhur. E rëndësishme është që nisur nga përkufizimi

 x për x ≥ 0 x = , nxënësit të − x për x < 0

kenë të qartë dhe të zbatojnë faktin që x = − x . Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1,2 dhe 3. Mësimi 1.6 INTERVALI DHE SEGMENTI

Kuptime: Ndryshore që përshkon një bashkësi. Vlerat e ndryshores. Intervali, segmenti, gjysmëintervali, gjysmësegmenti. Veti

]a, b[ = { x ∈ R / a < x < b}; [ a, b] = { x ∈ R / a ≤ x ≤ b}; ]a, b] = { x ∈ R / a < x ≤ b}; [ a, b[ = { x ∈ R / a ≤ x < b}; ]−∞, b=[ { x ∈ R / x ≤ b}; ]a, ∞[ = { x ∈ R / x rel="nofollow"> a}. Metoda: Përkufizim. Ilustrim grafik. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:

MATEMATIKA 9

129

• Të paraqesin bashkësitë numerike në mënyra të ndryshme. • Të kalojnë nga njëra mënyrë e paraqitjes në mënyrat e tjera. ( [ a, b ] ⇔ a ≤ x ≤ b ⇔ { x ∈ R / a ≤ x ≤ b} (edhe grafikisht me anën e boshtit numerik) Udhëzime për zhvillimin e mësimit Momenti i parë i rëndësishëm e kësaj ore mësimi është fakti që shënimi x R ku x është ndryshore që përshkon bashkësinë R, nuk duhet kuptuar që x është element i caktuar i R, por që vlerat që merr x janë elemente të bashkësisë R. Pas kësaj jepet përkufizimi fillimisht i intervalit ]a, b[ ku mësuesi thekson që numrat a dhe b nuk bëjnë pjesë në këte interval. Ai shkruhet si bashkësi me simbolin e njohur dhe tregohet si paraqitet ai gjeometrikisht. Më pas përkufizimet e segmentit, gjysmëintervalit dhe gjysmësegmentit janë më të thjeshtë. Në shtjellimin e kësaj ore mësimi, mësuesi të ngulë këmbë që përkufizimet dhe paraqitja grafike të përvetësohet mirë nga të gjithë nxënësit, sepse shumë njohuri të mëvonshme mbështeten pikërisht në këto kuptime. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1 dhe 2. Mësimi 1.7 PRERJA DHE BASHKIMI I BASHKËSIVE NUMERIKE Kuptime: Prerja e bashkësive. Bashkimi i bashkësive. Veti: x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B; x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B.

130


Metoda: Grafike. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:

• Të gjejnë prerjen dhe bashkimin e intervaleve numerike (segment, interval, gjysmësegment; gjysmëinterval) duke i paraqitur ato në boshtin numerik. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi rekomandojmë të trajtohet me libër hapur. Fillimisht mësuesi të rikujtojë përkufizimet e bashkësive numerike (segment, interval, gjysmësegment; gjysmëinterval) dhe paraqitjen e tyre grafike që u realizua në orën paraardhëse. Pas kësaj të kalohet drejtpërdrejtë në trajtimin e shembujve siç janë paraqitur në tekst (Veç atyre, në varësi të nivelit të klasës mësuesi mund të trajtojë edhe shembuj të tjerë). Gjithashtu në këtë orë mësimi ka mundësi të mëdha për organizimin e punës në grupe. Grupeve të ndryshme u jepen ushtrime të ndryshme. Më pas grupet ndërrojnë ushtrimet dhe verifikojnë punën e njeri tjetrit. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1 dhe 5. Mësimi 1.8 USHTRIME Në këte orë mësimi nuk jepen njohuri të reja. Mësuesi mund ta përdorë kohën në dispozicion për të theksuar momentet kryesore të kreut dhe për të plotësuar boshllëqe të mundshme të nxënësve. Ushtrime të ngjashme me ushtrimin 1 mund të trajtohen në klasë apo si detyrë shtëpie. Në to, krahas gjetjes së prerjes apo bashkimit të bashkësive, bëhet edhe verifikimi nëse në prerjen A B apo bashkimin A B bëjnë apo nuk bëjnë pjesë elemente të caktuara, apo të gjenden bashkësi që plotësojnë kushte të caktuara. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2 dhe 4.

MATEMATIKA 9

KREU II:

131

RRËNJËT DHE FUQITË

Mësimi 2.1. RRËNJA KATRORE Kuptime: Rrënja katrore Veti: Rrënja katrore e raportit dhe e prodhimit Metoda: Induksioni dhe deduksioni Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë, me makinë llogaritëse, vlera të përafërta të rrënjëve katrore të numrave jo negativë. • Të përdorin, në raste të thjeshta, vetinë për rrënjën e prodhimit dhe të raportit. • Të bëjnë krahasimin e rrënjëve katrore të numrave pozitivë.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e materialit në tekst. Mësuesi të përqendrohet në këto momente kryesore: - Me shënimin - Nëse a >b ≥0 -

a ⋅b=

a (kur a>0) nënkuptohet vlera pozitive e rrënjës.

, atëherë

a> b.

a ⋅ b , nëse a≥0 dhe b≥0.

- Në përgjithësi,

a + b ≠ a + b dhe a − b ≠ a − b . a

Vërtetimi i teoremës për mund të jepet për punë të pavarur me grupe në b klasë. Në rubrikën “Ushtrime”, si të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3/a, 4, 5, 6/a. Mësimi 2.2. VEPRIME ME RRËNJË KATRORE Kuptime: Rrënja katrore. Vlera absolute e numrit. Veti: Veti të rrënjëve katrore dhe të fuqive. Metoda: Induksioni. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të thjeshtojnë shprehje me rrënjë të ngjashme.

132


• Të nxjerrin faktorë nga rrënja katrore në raste të thjeshta. • Të përdorin, në raste të thjeshta, vetinë

a2 = a .

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e materialit në tekst. Në të ka shembuj të shumtë të zgjidhur, por është e domosdoshme që ato të shoqërohen me ushtrime të të njëjtës natyrë, përzgjedhur nga mësuesi, për punë të pavarur individuale apo në grupe. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 2.3. ZHDUKJA E RRËNJËVE NGA EMËRUESI I THYESËS Kuptime: Rrënja katrore. Shprehje të konjuguara. Veti: . Metoda: Zhdukja e rrënjëve nga emëruesi i thyesës. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zhdukin rrënjën nga emëruesi i thyesës, kur ai është një monom që përmban rrënjën katrore. • Të zhdukin rrënjën nga emëruesi i thyesës, kur ai është shumë ose diferencë e dy kufizave, ku të paktën njëra është rrënjë katrore. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit, nën drejtimin e mësuesit, të lexojnë në të shembujt e zgjidhur që janë dhënë e pastaj të punojnë, në mënyrë të pavarur apo në grupe, për zgjidhjen e ushtrimeve të vendosura në materialin teorik. Rezultatet e kësaj pune të diskutohen në klasë. Në rubrikën ‘Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 3, 5/a, b. Mësimi 2.4. FUQITË ME EKSPONENTË TË PLOTË. TRAJTA STANDARDE E NUMRIT. Kuptime: Fuqia me eksponent të plotë. Trajta standarde e numrit pozitiv. Veti: Vetitë e fuqive me eksponent të plotë. Metoda: Deduksioni.

MATEMATIKA 9

133

Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të paraqesin në trajtë standarde një numër real pozitiv. • Të formulojnë marrëveshjet dhe vetitë e fuqive me eksponentë të plotë. • Të përdorin këto veti në raste direkte e të thjeshta. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit, nën drejtimin e mësuesit, të lexojnë në të shembujt e zgjidhur e të zgjidhin, me punë të pavarur apo në grupe, ushtrimet e vendosur në materialin teorik. Në tekst është dhënë vërtetimi i njërës nga vetitë (a ⋅ b) n =a n ⋅ b n . Trajtimi i saj të bëhet me metodën e bisedës. a

−n

b

Nëpërmjet një shembulli nxirret përfundimi, që zbatohet shpesh:   =   b a

n

Mësuesi t’u japë nxënësve, për të punuar në klasë, ushtrime lidhur me zbatimin e tij. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Mësimi 2.5. USHTRIME Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë përforcimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive, të fituara në orët e mëparshme të këtij kreu. Nxënësit të hartojnë paraprakisht në shtëpi përmbledhjen e fakteve kryesore që njohin. Në klasë të kombinohet puna individuale apo në grupe e nxënësve, për zgjidhjen e disa ushtrimeve të tekstit, me zgjidhjen në tabelë nga nxënës të ndryshëm të disa ushtrimeve të tjera. Secili nga ushtrimet e dhëna të analizohet në klasë. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 5, 6/a, d, 7/a, 8/a, b, 9, 10.

Mësimi 2.6. RRËNJA ME TREGUES n Kuptime: Rrënja me tregues n e numrit real. Veti: Vetitë e rrënjëve me tregues n të numrave jonegativë. Marrëveshja n −a =− n a Metoda: Induksioni.

kur a ≥ 0 dhe n është tek.

134


Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin, në raste të drejtpërdrejta, përkufizimin për • Të përdorin, në raste të drejtpërdrejta, faktin që

n

n

a kur a ≥ 0.

− a (a ≥0) për n çift nuk

ekziston, kurse për n tek është − n a . • Të përdorin, në raste të thjeshta, vetitë e rrënjëve me tregues n të numrave jonegativë. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e dhënë në tekst. Nxënësit të lexojnë në të shembujt e zgjidhur dhe të punojnë, në mënyrë të pavarur apo me grupe, për zgjidhjen e ushtrimeve të vendosura në tekst. Mësuesi të përqendrohet në këto momente kryesore: - Shqyrtimi i rrënjëve me tregues më të madh se 2 (p.sh., i rrënjës kubike), që diktohet nga praktika. - Për numrat jonegativë ekziston

n

a dhe është numri real jonegativ i tillë që

( n a ) n = a . Vlera e përafërt e tij gjendet me makinë llogaritëse. n n

−a

(kur a ≥ 0) ekziston vetëm kur n është tek dhe gjendet nga barazimi

− a =− n a .

Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4.

Mësimi 2.7. FUQIA ME EKSPONENT RACIONAL Kuptime: Fuqia me eksponent racional e numrit pozitiv. Veti: Vetitë e fuqive me eksponentë racionalë. Metoda: Induksioni. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin, në raste të drejtpërdrejta, përkufizimin për fuqinë me eksponent m

racional të numrit pozitiv. a n = n a m • Të përdorin, në raste shumë të thjeshta, vetitë e fuqive me eksponentë racionalë të numrave pozitivë.

MATEMATIKA 9

135

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e dhënë në tekst. Nxënësit të lexojnë në të përkufizimet e dhëna e shembujt e zgjidhur. Mësuesi duhet të kërkojë zgjidhjen në klasë, me punë të pavarur apo në grupe, të ushtrimeve të vendosura në materialin teorik. Për formimin lëndor është me rëndësi të sqarohet si në tekst, arsyeja pse 1

1

marrëveshja për a n bëhet e tillë a n = n a ; (a>0). Është me rëndësi të fiksohet fakti (që pranohet pa vërtetim), që të gjitha vetitë e fuqive me eksponentë të plotë shtrihen edhe për fuqitë me eksponentë racionalë. Materiali i parashikuar për këtë njësi mësimore ka ngarkesë vëllimore e konceptuale, prandaj trajtimit të tij i duhet kushtuar e gjithë ora e mësimit. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4.

Mësimi 2.8. USHTRIME Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë përforcimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive të fituara në mësimet e mëparshme të kreut. Nxënësit të hartojnë paraprakisht në shtëpi përmbledhjen e fakteve kryesore. Në klasë të kombinohet puna për zgjidhjen, me punë të pavarur apo me grupe, të disa ushtrimeve të kreut, me zgjidhjen në tabelë të disa ushtrimeve të tjera, nga nxënës të ndryshëm. Secili nga ushtrimet e dhëna në klasë duhet të analizohet e të diskutohet aty. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 2, 3, 4, 5, 9.

136

KREU III:


KATËRKËNDËSHAT

Mësimi 3.1. SHUMËKËNDËSHI Kuptime: Shumëkëndëshi. Shumëkëndëshi i mysët. Katërkëndëshi. Veti: Shuma e këndeve të brendshëm të katërkëndëshit. Metoda: Induksioni dhe deduksioni Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të ndërtojnë shumëkëndësha të mysët, me numër të caktuar brinjësh e të emërtojnë elemente që lidhen me të (diagonalet). • Të dallojnë, në situata matematikore apo praktike, nëse një shumëkëndësh i shqyrtuar është i mysët. • Të nxjerrin me argumentim vetinë e shumës së këndeve të një katërkëndëshi të mysët. • Ta përdorin këtë veti në situata të thjeshta matematikore a praktike. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Trajtimit të materialit, të parashikuar për këtë njësi mësimore, i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit. Të mbahet parasysh se përkufizimi i shumëkëndëshit jepet me përshkrim; mësuesi nuk duhet t’u drejtojë nxënësve pyetje të trajtës: “Ç’quhet shumëkëndësh”. Termi shumëkëndësh fillimisht përcaktohet si kontur, ndërsa më vonë përdoret edhe në një kuptim të dytë: figurë e mbyllur e kufizuar nga ky kontur. Kjo vlen edhe për kuptimet gjerësisht të përdorshme të katërkëndëshit e trekëndëshit. Sqarimit të kuptimit të shumëkëndëshit të mysët i duhet kushtuar vëmendje e posaçme; të ndiqet shtjellimi i dhënë në tekst . Trajtimi i teoremës për shumën e këndeve të një katërkëndëshi të mysët dhe i shembullit pasues të bëhet me metodën e bisedës. Është mirë që më tej mësuesi t’u japë nxënësve ndonjë ushtrim për ta zgjidhur në klasë, me punë të pavarur individuale apo me grupe. Duhet vënë në dukje se më tej do të shqyrtohen shumëkëndësha të mysët. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

MATEMATIKA 9

137

Mësimi 3.2. PARALELOGRAMI Kuptime: Paralelogrami. Brinjët e kundërta të tij. Veti: Tri veti të paralelogramit (për këndet e kundërt, brinjët e kundërta, diagonalet). Metoda: Deduksioni. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të nxjerrin me argumentim vetinë e këndeve të kundërt të paralelogramit. • Të formulojnë vetinë për brinjët e kundërta të paralelogramit dhe atë për pikëprerjen e diagonaleve. • Të përdorin këto tri veti në situata të thjeshta matematikore. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi të ndjekë shtjellimin metodik të materialit në tekst. Vetia për këndet e kundërt të një paralelogrami të nxirret duke zgjidhur, me punë të pavarur individuale apo në grupe, ushtrimin e strukturuar të vendosur në tekst. Vërtetimi i dy teoremave të tjera të bëhet me metodën e bisedës. Është mirë që mësuesi në fund të mësimit, t’u japë nxënësve ndonjë ushtrim zbatimi të thjeshtë të këtyre teoremave, për punë në grupe. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1/a, c; 4/a; 6.

Mësimi 3.3. Ç’MJAFTON TË KETË KATËRKËNDËSHI PËR TË QENË PARALELOGRAM? Kuptime: Paralelogrami Veti: Tri teorema që japin kushte të mjaftueshme, që katërkëndëshi të jetë paralelogram. Metoda: Deduksioni Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të nxjerrin me vërtetim teoremën për katërkëndëshin, që i ka brinjët e kundërta dy nga dy kongruente. • Të përdorin në raste të thjeshta këtë teoremë. • Të përdorin, në raste të thjeshta, dy kushtet e tjera të mjaftueshme që katërkëndëshi të jetë paralelogram.

138


Udhëzime për zhvillimin e mësimit Trajtimit të materialit të parashikuar për këtë njësi mësimore i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit. Të ndiqet shtjellimi i paraqitur në tekst. Teorema për katërkëndëshin, që i ka brinjët e kundërta dy nga dy kongruente, të trajtohet si ushtrim (vërtetimi) i strukturuar, që zgjidhet me punë në grupe. Dy teoremat e tjera të trajtuara në tekst, të vërtetohen duke aktivizuar nxënësit, me metodën e bisedës. Rekomandohet që më tej mësuesi të organizojë zgjidhjen, me punë të pavarur apo në grupe, të ndonjë ushtrimi të thjeshtë, të përzgjedhur prej tij. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 3.4. ROMBI Kuptime: Paralelogrami. Rombi. Diagonalet e rombit. Veti: Tri teorema që shprehin veti të veçanta të rombit. Metoda: Deduksioni Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të formulojnë vetitë e rombit, që rrjedhin nga fakti që ai është lloj i veçantë paralelogrami. • Të vërtetojnë që diagonalet e rombit janë përgjysmore të këndeve të tij e ta përdorin këtë veti në raste të thjeshta. • Të përdorin, në raste të thjeshta, teoremën mbi pingultinë e diagonaleve të rombit dhe të anasjellën e saj. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Nxënësit të vërtetojnë, në punë në grupe, vetinë e diagonaleve të rombit si përgjysmore të këndeve të tij, duke zgjidhur ushtrimin e strukturuar të vendosur në tekst, në fillim të temës. Mësuesi të realizojë vërtetimin e teoremës mbi pingultinë e diagonaleve të rombit, duke aktivizuar nxënësit me metodën e bisedës. Vërtetimi i teoremës së anasjellë të bëhet nga nxënësit, me punë të pavarur apo në grupe, duke zgjidhur ushtrimin e strukturuar të vendosur në tekst. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

MATEMATIKA 9

139

Mësimi 3.5. DREJTKËNDËSHI DHE KATRORI Kuptime: Drejtkëndëshi. Katrori Veti: Teorema e drejtë dhe e anasjellë mbi diagonalet e drejtkëndëshit. Vetitë e katrorit. Metoda: Deduksioni Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të formulojnë e të përdorin, në raste të thjeshta, të gjitha vetitë e drejtkëndëshit, që rrjedhin nga fakti që ai është lloj i veçantë i paralelogramit. • Të përdorin, në raste të thjeshta, teoremën mbi kongruencën e diagonaleve të drejtkëndëshit dhe të anasjellën e saj. • Të formulojnë e të përdorin, në raste të thjeshta, vetitë e katrorit. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Duke u kujdesur që përkufizimet e koncepteve të jenë adekuate, në tekst, drejtkëndëshi është përkufizuar si paralelogram që ka një kënd të drejtë. Nxënësit, me punë të pavarur apo në grupe, duke zgjidhur ushtrimin e vendosur në fillim të mësimit, të vërtetojnë që të katër këndet e drejtkëndëshit janë të drejtë. Më tej mësuesi, duke aktivizuar nxënësit me metodën e bisedës, vërteton teoremën mbi kongruencën e diagonaleve të drejtkëndëshit dhe të anasjellën e saj. Për katrorin është dhënë përsëri një përkufizim adekuat. Nxënësit në klasë, në punë në grupe, të nxjerrin me argumentim të gjitha vetitë e katrorit, duke u bazuar në këtë përkufizim. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 5.

Mësimi 3.6. TEOREMA E TALESIT Kuptime: Drejtëza paralele. Vija e mesme e trekëndëshit. Veti: Teorema e Talesit. Dy vetitë e vijës së mesme të trekëndëshit. Metoda: Deduksioni. Ndërtimet plotësuese në figura. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin në raste të thjeshta teoremën e Talesit. • Të ndajnë një segment të dhënë në disa pjesë të barabarta. • Të formulojnë vetitë e vijës së mesme të trekëndëshit e t’i përdorin ato në raste të thjeshta.

140


Udhëzime për zhvillimin e mësimit Vërtetimi i teoremës së Talesit dhe i vetive të vijës së mesme të trekëndëshit të bëhet nga mësuesi në tabelë, duke aktivizuar nxënësit me metodën e bisedës. Në tekst teorema është formuluar për “segmentin që bashkon meset e dy brinjëve të trekëndëshit”. Pasi është përkufizuar “vija e mesme e trekëndëshit”, rekomandohet që formulimi që do të përdoret më tej për teoremën të përmbajë këtë term. Rekomandohet që si zbatim i teoremës së Talesit të argumentohet nga nxënësit, në punë me grupe, mënyra për ndarjen e një segmenti në disa pjesë të barabarta, me anë të kompasit dhe vizores Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 3, 4.

Mësimi 3.7. TRAPEZI Kuptime: Trapezi. Bazat e tij. Vija e mesme e trapezit. Trapezi dybrinjënjishëm. Veti: Në trapezin dybrinjënjëshëm këndet pranë bazës janë të barabarta. Dy vetitë e vijës së mesme të trapezit. Metoda: Deduksioni. Ndërtimet suplementare në figurat. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të nxjerrin veti të trapezit dybrinjënjëshëm dhe t’i përdorin në raste të thjeshta. • Të formulojnë teoremën mbi dy vetitë e vijës së mesme të trapezit e ta përdorin atë në raste të thjeshta. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësuesi të tërheqë vëmendjen e nxënësve në përkufizimin e saktë të trapezit, duke analizuar pse nuk është i saktë përkufizimi “Trapez quhet katërkëndëshi që ka dy brinjë paralele”, i cili dëgjohet shpesh në shkolla. Vërtetimi i vetisë për këndet e bazës, në trapezin dybrinjënjëshëm, dhe i atyre të vijës së mesme të trapezit të bëhet nga mësuesi, me metodën e bisedës, duke aktivizuar nxënësit. Rekomandohet që më tej nxënësit të zgjidhin, në punë të pavarur apo në grupe, ndonjë ushtrim të thjeshtë, të përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 6.

MATEMATIKA 9

Mësimi 3.8.

141

USHTRIME

Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë përforcimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive, të fituara në mësimet e mëparshme të kreut. Nxënësit duhet të kenë përgatitur qysh në shtëpi një përmbledhje me shkrim të fakteve kryesore. Në klasë nxënësit të lexojnë, me laps në dorë, zgjidhjen e dhënë në tekst për ushtrimet nr. 1 dhe nr.2. Këto zgjidhje pastaj të diskutohen në klasë, duke evidentuar ato elemente që kanë vlera në pikëpamje të metodës. Më tej të organizohet kombinimi i zgjidhjes së disa ushtrimeve nga nxënësit me punë në grupe, me zgjidhjen në tabelë, të disa ushtrimeve të tjera, nga nxënës të ndryshëm. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 3/a; 9.

KREU IV:

SHNDËRRIME TË SHPREHJEVE SHKRONJORE

Mësimi 4.1 MONOMI E POLINOMI. TRAJTA E RREGULLT E TYRE Kuptime: Monomi. Polinomi. Shuma dhe diferenca (ndryshesa) e kubeve. Veti: Polinomi si shumë e monomeve. a3+b3 =(a+b)(a2-ab+b2) ; a3-b3 =(a-b)(a2+ab+b2 Metoda: Përkufizim. Deduksion. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë shprehjet me ndryshore dhe të bëjnë emërtimin e tyre (monom, polinom). • Të shkruajnë simbolikisht dhe të përdorin në ushtrime formula të rëndësishme të shumëzimit. • Të realizojnë shndërrime të shprehjeve shkronjore duke bërë reduktimin e monomeve të ngjashme. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Ora e mësimit është e udhës të fillojë me përkufizimin e monomit si shprehje që merret duke kryer me numrat dhe ndryshoret vetëm veprimet e shumëzimit dhe të ngritjes në fuqi. Ky fakt njihet që nga klasa e tetë, prandaj mësuesi të paraqesë shembuj shprehjesh të cilat janë apo nuk janë monome. Gjithashtu në rastin e monomeve të rikujtohet përkufizimi i koeficientit të tij.

142


Më pas kalohet në përkufizimin e polinomit, si shumë algjebrike monomesh, si edhe në trajtën e rregullt të tij. Pasi të punohen shembujt 2 dhe 3 si edhe ushtrimi 1, kalohet në shembullin 4 ku tregohet zbërthimi i shprehjeve a3±b3. Ky shembull të trajtohet ashtu si edhe në tekst, pra duke bërë shndërrimin e anës së djathtë në anën e majtë. Në varësi të kohës në dispozicion është e rekomandueshme që të punohen në klasë edhe ushtrime të tjerë. Kjo mund të realizohet individualisht apo në punë me grupe. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1,2 dhe 3.

Mësimi 4.2 FAKTORIZIMET Kuptime: Katrori i binomit; Diferenca (ndryshesa) e katrorëve. Shuma dhe diferenca e kubeve. Veti: (a±b)2=a2±2ab+b2 (a+b)(a-b)=a2-b2 a3+b3 =(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3 =(a-b)(a2+ab+b2) Metoda: Shndërrime identike të shprehjeve. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin mënyra të ndryshme të zbërthimit në faktorë të shprehjeve (katrori i binomit, diferenca e katrorëve, shuma dhe diferenca e kubeve, faktorizime me nxjerrje në dukje të faktorit të përbashkët). Udhëzime për zhvillimin e mësimit Qëllimi i kësaj ore mësimi është përpunimi i metodave të ndryshme të zbërthimit të faktorë. Në fakt një pjesë e mirë e tyre njihen që nga klasa e tetë, prandaj detyra e mësuesit është që nëpërmjet shembujve të ndryshëm, si edhe me pjesëmarrje të gjerë të nxënësve të rikujtojë teknikat e faktorizimit (kryesisht nxjerrja në dukje e faktorit të përbashkët, faktorizimi me grupe, katrori i binomit dhe diferenca e katrorëve). Për këte orë mësimi ka material të bollshëm dhe mundësi të gjera për zhvillimin e punës me grupe. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1,2 dhe 4.

MATEMATIKA 9

143

Mësimi 4.3 THYESAT ALGJEBRIKE RACIONALE Kuptime: Thyesa algjebrike racionale. Gjymtyrët e thyesës (numëruesi, emëruesi). Vlera numerike e thyesës racionale. Bashkësia e përcaktimit të thyesës. Thyesa e rregullt. Veti: Thyesa racionale si raport polinomesh (monomesh). Bashkësia e përcaktimit të thyesës është bashkësia e vlerave të ndryshores për të cilat thyesa ka kuptim. Vlera të palejuara të ndryshores janë ato për të cilat emëruesi i thyesës bëhet i barabartë me zero. Thyesa është e rregullt në qoftë se numëruesi dhe emëruesi i saj janë polinome (monome) të rregullt. Metoda: Përkufizim. Zbatime në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë vlerën numerike të thyesave racionale për vlera të caktuara të ndryshoreve. • Të përkufizojnë dhe gjejnë vlerat e palejuara të ndryshoreve në thyesa racionale. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Pas përkufizimit të thyesës algjebrike rekomandohet të trajtohen ushtrime të thjeshta për gjetjen e vlerave numerike të thyesave. x+3

Pas disa ushtrimesh të tillë, jepet një thyesë algjebrike e tipit dhe të vihet re x−5 që nuk mund të gjendet vlera e saj për x=5. (pse?). Në këtë mënyrë arrihet në kuptimin e vlerave të palejuara (dhe të lejuara) të ndryshores në thyesat racionale. Është mjaft e rëndësishme që nëpërmjet ushtrimeve të tregohet procedura e gjetjes së bashkësisë së përcaktimit të një thyese racionale. Kjo nuk presupozon që nxënësve t’u kërkohet të thonë përmendësh tri hapat për realizimin e saj (sipas shembullit 2). E rëndësishme është që nxënësit t’i realizojnë praktikisht këto hapa. Pas kësaj kalohet në ushtrime për gjetjen e trajtës së rregullt të thyesave si dhe të bashkësive të tyre të përcaktimit. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1/a-d, 2 dhe 3

144


Mësimi 4.4 THJESHTIMI I THYESAVE Kuptime: Thjeshtimi i thyesave. Kushtet e thjeshtimit të thyesave. Veti: Vlera e thyesës nuk ndryshon në qoftë se numëruesin dhe emëruesin e saj i shumëzojmë (pjesëtojmë ) me të njëjtin numër ose shprehje të ndryshme nga zero. Metoda: Zbatime në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin rregullat për thjeshtimin e thyesave algjebrike. • Të realizojnë faktorizime të numëruesit dhe emëruesit të thyesave, për të bërë më pas thjeshtimin e tyre. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Në këte orë mësimi nuk përfshihen njohuri të reja teorike. Shumë e rëndësishme është që nëpërmjet shembujve, nxënësit të përvetësojnë teknikat e faktorizimit dhe më pas të thjeshtimit të thyesave. Në ushtrimet e para, në realizimin e thjeshtimit, të kërkohet edhe kushti për të cilin mund të realizohet thjeshtimi. Më pas ky kusht të presupozohet që është i realizuar (kur kjo nuk kërkohet). Por herë pas here rekomandojmë që kjo t’u vihet në dukje nxënësve (pra që thjeshtimi mund të realizohet vetëm në kushte të caktuara). Shembujt që propozohen për t’u zhvilluar në klasë, mund të pasurohen edhe me shembuj të tjerë, por jo me shkallë më të lartë vështirësie se sa ato të tekstit. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1 dhe 3.

Mësimi 4.5 VEPRIMET ME THYESA Kuptime: Mbledhja dhe zbritja e thyesave. Veti: Mbledhja dhe zbritja e thyesave algjebrike realizohet duke i kthyer ato në emërues të njëjtë. Thyesa rezultat thjeshtohet (nëse është e mundshme). Metoda: Zbatime në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të kryejnë veprimet e mbledhjes dhe zbritjes së thyesave algjebrike. • Të zbatojnë teknikat e faktorizimit dhe thjeshtimit të thyesave me të njëjtin numër apo shprehje të ndryshme nga zero.

MATEMATIKA 9

145

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Rekomandojmë që ecuria e orës së mësimit të jetë ajo e propozuar në tekst. Pra fillimisht të jepen thyesa ku emëruesi është numër (shembulli 1, ushtrimi 1), më pas thyesa me emërues të njëjtë (shembulli 2, ushtrimi 2) dhe së fundi thyesa me emërues të ndryshëm (shembulli 3, 4 dhe ushtrimi 3). Shkalla e vështirësisë së ushtrimeve nuk duhet të kalojë atë të shembulli 4. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1 dhe 2.

Mësimi 4.6 VEPRIMET ME THYESA Kuptime: Shumëzimi e pjesëtimi i thyesave.. Veti: Shumëzimi e pjesëtimi i thyesave algjebrike realizohet në mënyrë analoge me atë të thyesave të zakonshme numerike. Metoda: Zbatime në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të kryejnë veprimet e shumëzimit dhe pjesëtimit të thyesave algjebrike. • Të realizojnë faktorizime të gjymtyrëve të thyesave algjebrike, duke parashikuar thjeshtimet e mundshme. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Edhe kjo orë mësimi ka karakter zbatues. Nxënësit të orientohen që në shumëzimin apo pjesëtimin të dallojnë thjeshtimet, duke realizuar paraprakisht faktorizime të mundshme. Është e udhës që mësuesi t’i rikujtojë nxënësve që pjesëtimi i thyesave ,kthehet në shumëzimin e thyesave

a c dhe b d

a c a d a d dhe . ( Pra : = ⋅ ) b c b c b c

Theksojmë se në këtë orë mësimi ka mundësi të gjera për punë të diferencuar. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1,2,3,4 ?a,b Mësimi 4.7 – 4.8 SHPREHJE ME KATËR VEPRIME. USHTRIME Qëllimi i këtyre dy orëve mësimore është përpunimi i teknikave të realizimit të katër veprime me thyesat algjebrike (edhe të kombinimit të të katër veprimeve.) Veçanërisht e rëndësishme është të rikujtohet radha e veprimeve (fillimisht

146


ngritja në fuqi, më pas shumëzimi e pjesëtimi dhe së fundi mbledhja dhe zbritja). Në qoftë se shprehja përmban edhe kllapa, fillimisht kryhen veprimet brenda kllapave sipas përparësisë së tyre. Niveli i vështirësisë së ushtrimeve nuk duhet të kalojë ato që propozohen në tekst. Gjithsesi mësuesi, në varësi të nivelit të nxënësve, ka hapësira të mjaftueshme për organizimin e punës së diferencuar në klasë apo në shtëpi. Formula e katrorit të polinomit (shembulli 2 në mësimin 4.8) nuk ka pse iu kërkohet nxënësve për ta mbajtur mend. Si ushtrime në nivelit minimal janë 1,2,3,4 të mësimit 4.7 dhe 1,2 të mësimit 4.8.

KREU V:

NJOHURI PLOTËSUESE PËR RRETHIN

Mësimi 5.1. KËNDE RRETHORË Kuptime: Rrethi. Këndi rrethor. Këndi qendror. Masa e harkut. Veti: Masa e këndit rrethor është sa gjysma e masës së këndit qendror përgjegjës. Metoda: Analiza dhe sinteza. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të shkruajnë barazimin e këndeve rrethorë, që mbështeten mbi të njëjtin hark. • Të përdorin, në raste të thjeshta, teoremën mbi masën e këndit rrethor. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Vërtetimi i dy rasteve të para të teoremës, mbi masën e këndit rrethor, të bëhet nga mësuesi, duke aktivizuar nxënësit me metodën e bisedës. Rasti i tretë t’u jepet nxënësve si ushtrim për punë të pavarur individuale apo në grupe. Rekomandohet që më tej të punohet në klasë një tjetër ushtrim me karakter njehsues. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 5.2.

ZBATIME

Kuptime: Kënde rrethor. Drejtëza paralele. Veti: Këndet rrethorë, që mbështeten mbi të njëjtin hark, kanë masa të barabarta. Dy korda paralele të një rrethi presin në të, dy harqe me masa të barabarta. Metoda: Deduksioni Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje:

MATEMATIKA 9

147

• Të përdorin, në raste të thjeshta, barazimin e masave të këndeve rrethorë, që presin të njëjtin hark. • Të përdorin, në raste të thjeshta, barazimin e masave të harqeve, që priten në rreth nga dy korda paralele. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Materiali i paraqitur në këtë njësi mësimore mundëson aktivizimin e masës së nxënësve në nxjerrjen e përfundimeve dhe kryerjen e vërtetimeve. Të dyja teoremat mund të formulohen si përfundime përgjithësuese të dy ushtrimeve hyrës. Zgjidhja e këtyre ushtrimeve dhe vërtetimi pasues i teoremave mund të bëhet në klasë, me punë të pavarur individuale apo në grupe. Më tej punohet me metodën e bisedës shembulli i zgjidhur në tekst. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 5.3. RRETHI I JASHTËSHKRUAR TREKËNDËSHIT Kuptime: Përmesorja e segmentit. Rrethi i jashtëshkruar trekëndëshit. Veti: Vetia e përmesores së segmentit. Çdo trekëndëshi i jashtëshkruhet një rreth i vetëm, qendra e të cilit ndodhet në pikëprerjen e përmesoreve të brinjëve. Metoda: Analiza dhe sinteza Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin, në raste të thjeshta, vetinë e përmesores së segmentit. • Të gjejnë qendrën e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit si pikëprerje të dy përmesoreve të tij. • Të përdorin, në raste të thjeshta, faktin që qendra e rrethit, që kalon nëpër pikat A, B ndodhet në përmesoren e segmentit AB. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Të ndiqet shtjellimi i materialit të paraqitur në tekst. Mësimi të fillojë me aktivizimin e kujtesës së nxënësve për vetitë e përmesores së segmentit. Teorema mbi rrethin, që kalon nëpër dy pika, teoremat mbi ekzistencën dhe unicitetin e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit, të vërtetohen duke aktivizuar nxënësit me metodën e bisedës. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 5.

148

Mësimi 5.4.


VETIA E PËRGJYSMORES SË KËNDIT

Kuptime: Përgjysmorja e këndit. Tangjentja ndaj rrethit. Veti: Vetia e përgjysmores së këndit. Tri përgjysmoret e trekëndëshit priten në një pikë. Qendra e rrethit tangjent me brinjët e një këndi ndodhet në përgjysmoren e këndit. Metoda: Analiza dhe sinteza. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin, në raste të thjeshta, vetinë e përgjysmores së këndit. • Të nxjerrin me argumentim faktin që, tri përgjysmoret e trekëndëshit priten në një pikë. • Të përdorin, në raste të thjeshta faktin që qendra e rrethit tangjent me brinjët e një këndi ndodhet në përgjysmoren e këndit. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Teorema e drejtë dhe e anasjellë, mbi vetinë e përgjysmores së një këndi të vërtetohen nga nxënësit në klasë, me punë të pavarur apo në grupe. Dy teoremat e tjera (përgjysmoret e trekëndëshit priten në një pikë; qendra e rrethit tangjent me brinjët e një këndi ndodhet në përgjysmoren e këndit) të trajtohen nga mësuesi me metodën e bisedës, duke aktivizuar nxënësit. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 3, 4.

Mësimi 5.5. RRETHI I BRENDASHKRUAR TREKËNDËSHIT Kuptime: Tangjentja ndaj rrethit. Rrethi i brendashkruar trekëndëshit. Veti: Çdo trekëndëshi mund t’i brendashkruajmë një rreth të vetëm, qendra e të cilit është pikëprerja e përgjysmoreve. Në trekëndëshin barabrinjës R=2r. Metoda: Analiza dhe sinteza. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë qendrën e rrethit të brendashkruar trekëndëshit si pikëprerje e dy përgjysmoreve. • Të gjejnë rrezen e rrethit të brendashkruar dhe rrezen e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit barabrinjës me brinjë të njohur. • Të përdorin në raste të thjeshta faktin që R=2r.

MATEMATIKA 9

149

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Teorema mbi ekzistencën dhe unicitetin e rrethit të brendashkruar trekëndëshit të trajtohet nga mësuesi në tabelë, duke aktivizuar nxënësit me metodën e bisedës. E njëjta metodë të përdoret edhe për trajtimin e shembullit të zgjidhur, të dhënë në tekst. 1 2

1 2

Fakti që në trekëndëshin barabrinjës kemi r =⋅ R= ⋅ h është i rëndësishëm, prandaj duhet të fiksohet në kujtesën e nxënësve. Mund të punohet në klasë, në grupe, ndonjë ushtrim i thjeshtë, përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 5.

Mësimi 5.6. ZBATIME Kuptime: Rrethi i jashtëshkruar; rrethi i brendashkruar trekëndëshit. Veti: Qendra e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit kënddrejtë është në mesin e 1

hiptenuzës. Sipërfaqja e trekëndëshit është = p⋅r . S 2 Metoda: Deduksioni Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin në raste të thjeshta faktin që, rrethi i jashtëshkruar trekëndëshit kënddrejtë është në mesin e hipotenuzës. • Të përdorin në raste të thjeshta, formulën = S

1 p⋅r . 2

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Teorema për rrethin e jashtëshkruar trekëndëshit kënddrejtë dhe nxjerrja e formulës= S

1 p ⋅ r për sipërfaqen e trekëndëshit të trajtohen nga mësuesi, duke 2

aktivizuar nxënësit me metodën e bisedës. Në të njëjtën mënyrë të procedohet edhe për shembullin e zgjidhur të dhënë në tekst. Rekomandohet që nxënësit të zgjidhin pastaj, me punë të pavarur individuale apo në grupe, një ushtrim të thjeshtë njehsimi, përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 4.

150

KREU VI:


EKUACIONE E SISTEME

Mësimi 6.1. EKUACIONI ME NJË NDRYSHORE. EKUACIONE TË NJËVLERSHËM Kuptime: Ekuacioni me një ndryshore. Rrënja e tij. Ekuacione të njëvlershëm në E. Veti: Tri teorema për njëvlershmërinë e ekuacioneve në R. Metoda: Shndërrime të njëvlershme. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zbatojnë, në raste të drejtpërdrejta, tri teoremat mbi njëvlershmërinë e ekuacioneve në R. • Të japin shembuj shndërrimesh jo të njëvlershëm (p.sh., ngritja në katror e dy anëve; shumëzimi me shprehje me ndryshore). Udhëzime për zhvillimin e mësimit Në këtë mësim rimerren e thellohen njohuritë e aftësitë e fituara në klasën e tetë, për njëvlershmërinë e ekuacioneve me një ndryshore. Veçse tani bashkësia më e gjerë, ku kërkohet të zgjidhen ekuacionet është R. Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e materialit në tekst. Shembujt të trajtohen me metodën e bisedës. Ushtrimet e vendosura në tekst të zgjidhen në klasë, me punë të pavarur apo në grupe. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4. Mësimi 6.2. EKUACIONI I FUQISË SË DYTË ME NJË NDRYSHORE Kuptime: Ekuacioni i fuqisë së dytë me një ndryshore. Dallori i tij. Veti: Tre raste për rrënjët e ekuacionit ax2 +bx+c=0 (a 0) sipas shenjës së dallorit. Formula për rrënjët e tij kur D ≥ 0. Metoda: Shndërrime të njëvlershme të ekuacioneve. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjykojnë për numrin e rrënjëve reale të ekuacionit ax2 +bx+c=0 (a 0) sipas shenjës së dallorit të tij. • Të zgjidhin ekuacione të fuqisë së dytë të trajtave jo të plota. • Të gjejnë sipas formulës, rrënjët e ekuacionit ax2 +bx+c=0 (a 0) kur D≥ 0.

MATEMATIKA 9

151

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Në këtë mësim rimerren e thellohen njohuri e aftësi të fituara në klasën e tetë. Të ndiqet shtjellimi metodik i materialit në tekst. Të zgjidhen në klasë, me punë të pavarur apo në grupe, ushtrimet e vendosura në materialin teorik për zgjidhjen e formave jo të plota të ekuacionit ax2 +bx+c=0 . Nxjerrja e formulës për rrënjët (duke dalluar tre raste për shenjën e dallorit) të bëhet nga mësuesi, duke aktivizuar nxënësit me metodën e bisedës. Më tej nxënësit të lexojnë në tekst shembullin për zgjidhjen e ekuacionit –2x2 +5x-2=0 dhe të zgjidhin, me punë të pavarur apo në grupe, ushtrimet pasuese. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 6.

Mësimi 6.3. FORMULAT E VIETËS Kuptime: Ekuacioni i fuqisë së dytë me një ndryshore. Rrënja e tij. Veti: Formulat e Vietës. Dy numra me shumë S e prodhim P janë rrënjë të ekuacionit x2 -Sx+P=0. Metoda: Deduksioni Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të shkruajnë formulat e Vietës për një ekuacion të dhënë e t’i përdorin ato në situata të thjeshta. • Të gjejnë dy numra, duke njohur shumën e tyre S dhe prodhimin e tyre P. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Në këtë mësim është rasti që, duke patur parasysh komponenten epistemiologjike të mësimdhënies së matematikës, t’u flitet nxënësve për historikun e zgjidhjes së ekuacionit të fuqisë së dytë me një ndryshore. Ushtrimi i vendosur në hyrje të mësimit synon të ngjallë tek nxënësit një hamendje të caktuar e në një përfundim përgjithësues. b a

c a

Vërtetimi i formulave x1 + x2 = − dhe x1 ⋅ x2 = (kur D ≥ 0) të bëhet nga mësuesi me metodën e bisedës. Është me rëndësi të shqyrtohet në klasë ushtrimi lidhur me zbatimin e tyre. Edhe teorema për gjetjen e numrave me shumë S e prodhim P, si rrënjë të ekuacionit x2 -Sx+P=0, të trajtohet me metodën e bisedës.

152


Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 5. Mësimi 6.4. USHTRIME Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë përforcimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive, të fituara në mësimet e mëparshme të kreut. Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë në të ushtrimet e zgjidhura nr.1, nr.2, nr.5, për të cilat mund të organizohet një diskutim në klasë. Më tej të kombinohet puna e nxënësve, e pavarur apo në grupe, për zgjidhjen e disa ushtrimeve të tekstit, me punën e nxënësve të tjerë për të zgjidhur disa ushtrime të tjera në tabelë. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 3, 4, 6/b.

Mësimi 6.5. EKUACIONE TË TRAJTËS f(x)·g(x)=0 Kuptime: Ekuacione të njëvlershëm në R. Vlera e palejuar e shprehjes me një ndryshore. Veti: Bashkësia e rrënjëve të ekuacionit f(x)·g(x)=0 është A B, ku A është bashkësia e rrënjëve të ekuacionit f(x)=0, për të cilin ka kuptim g(x) dhe B është bashkësia e rrënjëve të ekuacionit g(x)=0, për të cilat ka kuptim f(x). Metoda: Shndërrime të njëvlershme të ekuacioneve me një ndryshore. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zgjidhin ekuacione të trajtës f(x)·g(x)=0, ku f(x), g(x) janë binome të fuqisë së parë, trinome të fuqisë së dytë apo shprehje të trajtave: ,

,

.

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Në klasën e tetë nxënësit kanë mësuar të zgjidhin ekuacione të trajtave (ax+b)(cx+d)=0. Këto njohuri e shkathtësi riaktivizohen në këtë orë mësimi, nëpërmjet zgjidhjes së ushtrimit hyrës. Më tej bëhet përgjithësimi, për rastin kur në anën e majtë të ekuacionit kemi prodhim shprehjesh me ndryshore, kurse në anë e djathtë kemi zero. Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e dhënë në tekst. Shembujt e zgjidhur të lexohen nga nxënësit individualisht në tekst e pastaj për

MATEMATIKA 9

153

to të organizohet diskutim me klasën. Në fund të punohet, në mënyrë të pavarur apo në grupe, ushtrimi i vendosur atje. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 3, 4, 6.

Mësimi 6.6. SISTEME TË EKUACIONEVE TË FUQISË SË PARË ME DY NDRYSHORE Kuptime: Ekuacioni i fuqisë së parë me dy ndryshore; zgjidhja e tij. Sistemi i dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore; zgjidhja e tij. Veti: Programet për zgjidhjen e sistemeve të dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore. Metoda: Mënyrat e zgjidhjes së sistemeve të dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore (grafike; e mbledhjes; e zëvendësimit). Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zgjidhin një sistem dy ekuacionesh të fuqisë së parë me dy ndryshore, me secilën nga tri mënyrat (grafike; të mbledhjes; të zëvendësimit). Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi është përsëritje e njohurive të trajtuara në klasën e tetë. Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë shembujt e zgjidhur të dhënë në tekst dhe të zgjidhin, me punë të pavarur apo me grupe, ushtrimet e vendosura në materialin teorik. Zgjidhja e këtyre ushtrimeve të diskutohet në klasë. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 5, 7.

Mësimi 6.7. USHTRIME Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë përforcimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive të fituara, që nxënësit zotërojnë për ekuacionin e fuqisë së parë me dy ndryshore, grafikun e tij, sistemin e dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore dhe mënyrat e zgjidhjes së tyre. Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të vihen në punë për të zgjidhur në mënyrë të pavarur apo në grupe, njërin pas tjetrit ushtrimin nr. 1 dhe ushtrimin nr. 2. Të dy këta ushtrime të diskutohen me klasën.

154


Më tej të kombinohet zgjidhja e disa ushtrimeve nga klasa, me punë të pavarur apo në grupe, me zgjidhjen në tabelë, nga nxënës të ndryshëm të disa ushtrimeve të tjera. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 4/a; 5/a; 6/a.

KREU 7

SIPËRFAQET E FIGURAVE

Mësimi 7.1 SIPËRFAQJA E DREJTKËNDËSHIT DHE TREKËNDËSHIT Kuptime: Sipërfaqja. Sipërfaqja e drejtkëndëshit, katrorit, trekëndëshit. Veti: Sipërfaqja e drejtkëndëshit me përmasa a dhe b është S=ab. Sipërfaqja e katrorit me brinjë a është S=a2. 1

Sipërfaqja e trekëndëshit me bazë a dhe lartësi mbi te h është = S a⋅h 2 Metoda: Formulim i teoremave dhe zbatime në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin formulat për sipërfaqen e drejtkëndëshit, katrorit dhe trekëndëshit në zgjidhjen e ushtrimeve. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Në pjesën e parë të kësaj ore mësimi rikujtohen formulat për sipërfaqen e drejtkëndëshit, katrorit dhe trekëndëshit. Më pas kalohet në zgjidhjen e shembujve të tekstit. Gjatë zgjidhjes së tyre, sipas rastit kujtohen edhe pohime të tjera të njohura nga nxënësit, si teorema e Pitagorës, teorema mbi katetin përballë këndit 300. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1 dhe 2.

Mësimi 7.2 ZBATIME Kuptime: Sipërfaqja e trekëndëshit barabrinjës. Sipërfaqja e rombit. Sipërfaqja e trekëndëshit në varësi të brinjëve të tij. (Formula e Heronit). Veti: Sipërfaqja e trekëndëshit barabrinjës me brinjë a është S = Sipërfaqja e rombit me diagonale d1 dhe d2 është S =

d1 ⋅ d 2 . 2

a2 3 . 4

MATEMATIKA 9

Formula e Heronit: S = dhe p =

155

p ( p − a )( p − b)( p − c) ku a, b, c janë brinjët e trekëndëshit

a+b+c . 2

Metoda: Deduksion. Zbatim në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin formulat për zgjidhjen e problemave. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Rekomandojmë që mësimi të zhvillohet sipas ecurisë së propozuar në tekst. Fillimisht provohet formula për sipërfaqen e trekëndëshit barabrinjës me brinjë a: S =

a2 3 4

Meqë ajo përdoret shpesh, rekomandohet që të mbahet mend nga nxënësit (krahas formulës = S

1 a ⋅ h ). 2

Llogaritja e sipërfaqes së rombit si gjysma e prodhimit të diagonaleve të tij, njihet nga nxënësit nga klasat e mëparshme. Megjithatë këshillojmë që ajo të vërtetohet, në mënyrë që nxënësit të aftësohen për mënyrën e gjetjes së sipërfaqeve të figurave të ndryshme. (Duke i ndarë ato në drejtkëndësha apo trekëndësha). Vërtetimi i formulës së Heronit shoqërohet me shndërrime relativisht të gjata, prandaj ajo është dhënë e gatshme. Nxënësve t’u bëhet e qartë që ajo është e përshtatshme për t’u përdorur në rastin kur jepen tri brinjët e trekëndëshit (në kërë rast llogaritja e lartësisë shoqërohet me veprime relativisht të gjata e të ndërlikuara). Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 11,4 dhe 5.

Mësimi 7.3 SIPËRFAQJA E PARALELOGRAMIT Kuptime: Sipërfaqja e paralelogramit . Veti: Sipërfaqja e paralelogramit me bazë b dhe lartësi mbi të h jepet me formulën S=b×h. Metoda: Deduksion. Zbatim në ushtrime.

156


Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin formulën për llogaritjen e sipërfaqes së paralelogramit në zgjidhjen e problemave. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Në klasat e mëparshme është vërtetuar formula për llogaritjen e sipërfaqes së paralelogramit, kështu që mësuesi mund të gjykojë për vërtetimin apo jo të saj. E rëndësishme është që nxënësit ta përdorin atë në zgjidhjen e problemave. Shembulli 1 është i thjeshtë, por edhe mjaft i rëndësishëm. Mënyra e zgjidhjes së tij përdoret edhe në shembuj figurash të tjera, për gjetjen e elementeve të panjohur. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1,2 dhe 3.

Mësimi 7.4

SIPËRFAQJA E TRAPEZIT

Kuptime: Sipërfaqja e trapezit. Bazat dhe lartësia e trapezit. Trapezi dybrinjënjëshëm. ( a + b) ⋅ h

Veti: Sipërfaqja e trapezit me baza a,b dhe lartësi h jepet me formulën S = 2 Metoda: Deduksion. Zbatim në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin formulën për zgjidhjen e sipërfaqes së trapezit në zgjidhjen e problemave. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Nxënësit njihen me formulën e llogaritjes së sipërfaqes së trapezit nga klasa e tetë. Edhe në këte rast bazuar në nivelin e klasës mësuesi gjykon nëse duhet ta vërtetojë apo jo ate. Por vëmë në dukje se vërtetimi i saj nuk ka pse iu kërkohet nxënësve. Nëpërmjet shembujve të tekstit, apo ushtrimeve të tjerë të përzgjedhur nga mësuesi, realizohet përforcimi i këtyre njohurive nëpërmjet zgjidhjes së problemave. Vëmendje e veçantë i duhet kushtuar shembullit 2 (sipërfaqja e trapezit dybrinjënjëshëm) sepse ai gjen përdorim të gjerë e të shpeshtë. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1 dhe 2./

MATEMATIKA 9

157

Mësimi 7.5 ZBATIME Kuptime: Raporti i sipërfaqeve të dy trekëndëshave me baza dhe lartësi të barabarta apo që kanë një kënd të barabartë Veti: Raporti i sipërfaqeve të dy trekëndëshave që kanë një kënd të barabartë është i barabartë me raportin e prodhimit të brinjëve që formojnë këtë kënd. Metoda: Deduksion. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të formulojnë teoremën për raportin e sipërfaqeve të dy trekëndëshave që kanë një kënd të barabartë Udhëzime për zhvillimin e mësimit Teorema e vërtetuar lidhur me raportin e sipërfaqeve të dy trekëndëshave që kanë një kënd të barabartë është përfshirë në këtë orë mësimi për të përgatitur vërtetimin e teoremës së parë të ngjashmërisë së trekëndëshave që do të zhvillohet në kreun e ardhshëm. Rekomandojmë që vërtetimi i saj të mos iu kërkohet nxënësve, sepse është relativisht i vështirë. E rëndësishme është që nxënësve t’u thuhet se ku do të përdoret ajo. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2 dhe 4.

Mësimi 7.6 USHTRIME Qëllimi i kësaj ore mësimi është përdorimi i njohurive për sipërfaqet e figurave në zgjidhjen e problemave. Rekomandojmë që në fillim të orës së mësimit mësuesi të vizatojë në tabelë figurat e njohura dhe të rikujtojë me nxënësit formulat përkatëse për llogaritjen e sipërfaqeve të tyre. Pas kësaj kalohet në zgjidhjen e problemave. Mësuesi mund të gjykojë që krahas shembujve të tekstit të zgjidhen edhe shembuj të tjerë, apo të zëvendësohen shembujt e zgjidhur me shembuj të tjerë të përzgjedhur nga mësuesi.

158


KREU VIII. NGJASHMËRIA E TREKËNDËSHAVE Mësimi 8.1 PËRPJESËTIMET Kuptime: Raporti. Përpjesëtimet. Kufizat e jashtme dhe të brendshme. Segmente të përpjesshëm. Veti: a c a b 1. = ⇔ = ; b d c d a c 2. = ⇔ a ⋅ d = b ⋅ c; b d a c b d 3. = ⇔ = ; b d a c a c e a + c + e + ⋅⋅⋅ 4. = = = ⋅⋅⋅ = b d f b + d + f + ⋅⋅⋅

Metoda: Përsëritje e kuptimeve të njohura nga klasat e mëparshme. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë kufizat e një përpjesëtimi. • Të zbatojnë vetitë e përpjesëtimeve në zgjidhjen e problemave. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Njohuritë e kësaj ore mësimi janë përsëritje e njohurive të trajtuara në klasat e mëparshme. Trajtimi i tyre me kujdes ka ndikim të drejtpërdrejtë në të gjithë kreun që ka të bëjë me trekëndëshat e ngjashëm. Shumë të rëndësishme janë vetitë e përpjesëtimeve, të cilat përdoren në zgjidhjen e problemave apo vërtetimin e teoremave. Mësimi të shtjellohet sipas ecurisë së propozuar në tekst. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1,2 dhe 4.

Mësimi 8.2 TREKËNDËSHAT E NGJASHËM Kuptime: Trekëndëshat e ngjashëm. Brinjët homologe. Koeficienti i ngjashmërisë. Veti: Trekëndëshat quhen të ngjashëm në qoftë se këndet i kanë përkatësisht kongruentë dhe brinjët homologe i kanë të përpjesshme. Raporti i brinjëve homologe është koeficienti i ngjashmërisë. Raporti i sipërfaqeve të trekëndëshave të ngjashëm është i barabartë me katrorin

MATEMATIKA 9

159

e koeficientit të ngjashmërisë. Raporti i perimetrave të trekëndëshave të ngjashëm është i barabartë me koeficientin e ngjashmërisë. Metoda: Përkufizim. Deduksion. Zbatim në problema. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të japin përkufizimin e trekëndëshave të ngjashëm. • Të zbatojnë në problema teoremën për raportin e sipërfaqeve dhe perimetrave të trekëndëshave të ngjashëm. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Rekomandojmë që ora e mësimit të lihet e gjitha në dispozicion të njohurive të reja e të trajtohet sipas ecurisë së paraqitur në tekst. Fillimisht duke ndërtuar trekëndësha të ndryshëm, mësuesi u kërkon nxënësve që intuitivisht të përcaktojnë se cilët prej tyre ” ngjajnë” me njeri tjetrin. Pas kësaj jepet përkufizimi i trekëndëshave të ngjashëm si dhe i koeficientit të ngjashmërisë. Duke u nisur nga teorema për raportin e sipërfaqeve të trekëndëshave që kanë një kënd të barabartë (të trajtuar në kreun e mëparshëm), provohet teorema për raportin e sipërfaqeve të trekëndëshave të ngjashëm, e cila është tepër e rëndësishme dhe ka përdorime të gjera në problema. Gjithashtu, nisur nga vetitë e përpjesëtimeve provohet teorema për raportin e perimetrave të trekëndëshave të ngjashëm, e cila gjithashtu ka përdorime të gjera në praktikë. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2 dhe 3.

Mësimi 8.3 RASTI I PARË I NGJASHMËRISË SË TREKËNDËSHAVE Kuptime: Rasti i parë i ngjashmërisë së trekëndëshave. Veti: Në qoftë se dy kënde të njërit trekëndësh janë përkatësisht kongruentë me dy kënde të trekëndëshit tjetër, atëherë trekëndëshat janë të ngjashëm Metoda: Deduksion. Zbatim në problema. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të formulojnë saktë dhe të zbatojnë në problema e situata problemore jo standarde rastin e parë të ngjashmërisë së trekëndëshave. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Para se të formulojë teoremën për rastin e parë të ngjashmërisë së trekëndëshave, rekomandojmë që mësuesi të bëjë parashtrimin për rastet e ngjashmërisë së

160


trekëndëshave. Pra plotësimi i disa kushteve lidhur me barazimin e këndeve apo përpjesëtueshmërinë së brinjëve homologe, garanton plotësimin e kushteve të tjerë. Në këtë mënyrë, tani e tutje për të provuar që dy trekëndësha janë të ngjashëm, nuk është e nevojshme të provohet barazimi i të gjithë këndeve dhe përpjesëtueshmëria e të gjithë brinjëve, por vetëm e disa prej tyre. Vërtetimi i teoremës është relativisht i thjeshtë. Megjithatë nuk ka pse iu kërkohet nxënësve vërtetimi i saj. E rëndësishme është që nxënësit ta zbatojnë atë në situata problemore. Theksojmë se rasti i parë i ngjashmërisë së trekëndëshave është ai që ndeshet më shpesh në situata problemore. Veçanërisht të rëndësishme në këtë orë mësimi, madje edhe në të gjithë kreun janë zbatimet praktike të ngjashmërisë së trekëndëshave. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2 dhe 3.

Mësimi 8.4 RASTI I DYTË I NGJASHMËRISË SË TREKËNDËSHAVE Kuptime: Rasti i dytë i ngjashmërisë së trekëndëshave. Veti: Në qoftë se dy brinjë të njërit trekëndësh janë të përpjesshme me dy brinjë të trekëndëshit tjetër, dhe këndet që formohen prej tyre janë kongruentë, atëherë trekëndëshat janë të ngjashëm. Metoda: Deduksion. Zbatim në problema. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të formulojnë e zbatojnë në situata problemore, rastin e dytë të ngjashmërisë së trekëndëshave. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Vërtetimi i rastit të dytë të ngjashmërisë së trekëndëshave, vërtetohet duke u bazuar në rastin e parë. Pra trekëndëshat që plotësojnë kushtet e teoremës, kanë edhe një kënd tjetër kongruent. Vërtetimi i saj mund t’iu kërkohet vetëm disa nxënësve të përparuar. Thelbësore është zbatimi i saj në situata problemore. Për këtë arsye tepër i rëndësishëm është shembulli 1 i trajtuar në tekst. Teknika e zgjidhjes së tij duhet të përvetësohet shumë mirë, sepse gjen zbatime të shumta në probleme.Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2, 3 dhe 4.

MATEMATIKA 9

161

Mësimi 8.5 RASTI I TRETË I NGJASHMËRISË SË TREKËNDËSHAVE Kuptime: Rasti i tretë i ngjashmërisë së trekëndëshave. Veti: Në qoftë se tri brinjët e njërit trekëndësh janë të përpjesshme me tri brinjët e trekëndëshit tjetër, atëherë trekëndëshat janë të ngjashëm. Metoda: Formulim i teoremës. Zbatim në problema. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të formulojnë e zbatojnë në situata problemore, rastin e tretë të ngjashmërisë së trekëndëshave. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Rasti i tretë i ngjashmërisë së trekëndëshave pranohet pa vërtetim, prandaj mësuesi të ngulë këmbë në formulimin e saktë të saj, si dhe në zbatimin në situata problemore. Shembujt e trajtuar në tekst kanë të bëjnë jo vetëm me rastin e tretë, por me të tri rastet e ngjashmërisë së trekëndëshave, Në varësi të nivelit të klasës, mësuesi gjykon për të trajtuar shembujt e propozuar apo shembuj të tjerë të përzgjedhur prej tij. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr.1/a,b; 2 dhe 4.

Mësimi 8.6 ZBATIME Kuptime: Vija e mesme e trekëndëshit. Veti: Vija e mesme e trekëndëshit është paralele me njërën brinjë të tij dhe e barabartë me gjysmën e saj. Metoda: Deduksion Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përkufizojnë vijën e mesme të trekëndëshit si edhe vetinë e saj. • Të zbatojnë ngjashmërinë e trekëndëshave në situata problemore. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Me vijën e mesme të trekëndëshit dhe vetinë e saj nxënësit njihen që nga klasa e tetë. Megjithatë rekomandojmë që teorema të vërtetohet, në mënyrë që të përvetësohet nga nxënësit teknika e vërtetimit të saj, e cila do të përdoret më pas në teorema të tjera apo në zgjidhje problemash. Edhe shembulli i trajtuar është shumë i rëndësishëm, për përdorimet e shumta që do të ketë në të ardhmen, prandaj i duhet kushtuar kujdes i veçantë.Rekomandojmë që ushtrimi 1 i kësaj ore të punohet e diskutohet gjerësisht në klasë.Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 2 dhe 4.

162


Mësimi 8.7 ZBATIME NË RRETH Kuptime: Korda. Veti: Në qoftë se dy korda të një rrethi pritën në një pikë, atëherë prodhimi i segmenteve të njerës kordë është i barabartë me prodhimin e segmenteve të kordës tjetër. Metoda: Deduksion. Zbatime në problema. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin në situata jo standarde rastet e ngjashmërisë së trekëndëshave dhe vetinë e kordave që priten në një rreth. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Vetia e kordave që priten në një rreth nuk është trajtuar si teoremë e mirëfilltë, por vetëm si zbatim. Në këte mënyrë nuk ka pse iu kërkohet nxënësve vërtetimi i saj. E rëndësishme është që ajo të zbatohet në situata të ndryshme, të ngjashme me ato që janë përfshirë në ketë orë mësimi. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2 dhe 3.

Mësimi 8.8 TEOREMA E TALESIT Kuptime: Teorema e Talesit. Veti: Dy drejtëza që presin një bashkësi drejtëzash paralele, caktojnë në to segmente të përpjesshëm. Metoda: Deduksion. Zbatime në problema. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të formulojnë teoremën e Talesit dhe ta zbatojnë atë në situata problemore. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Nxënësit njohin nga klasa e tetë teoremën e Talesit (të ashtuquajturën teorema e vogël e Talesit), ku segmentet e caktuar në njërën drejtëz janë kongruentë. Në këtë orë mësimi trajtohet teorema e madhe e Talesit, e cila është përgjithësim i teoremës së vogël. Në qoftë se mësuesi gjykon që për nivelin e klasë përkatëse vërtetimi i saj është i vështirë, mund të mos ndalet në te, por të kërkojë formulimin e dhe zbatimin e saj. Shembulli i trajtuar në tekst është tipik, prandaj duhet trajtuar me shumë kujdes. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1/a,b,c dhe 2.

MATEMATIKA 9

163

KREU IX MARRËDHËNIET METRIKE NË TREKËNDËSHIN KËNDDREJTË Mësimi 9.1 TEOREMA E PITAGORËS Kuptime: Trekëndëshi kënddrejtë. Katetet dhe hipotenuza. Veti: Teorema e Pitagorës. Në trekëndëshin kënddrejtë katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të kateteve. Metoda: Formulimi i teoremës. Zbatime në situata problemore. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të formulojnë me fjalë dhe të shprehin simbolikisht teoremën e Pitagorës. • Të zbatojnë teoremën Pitagorës në situata problemore standarde e jo standarde Udhëzime për zhvillimin e mësimit Nxënësit njihen me teoremën e Pitagorës nga klasa e tetë, kështu që ajo vetëm se formulohet (me fjalë) si dhe shprehet simbolikisht. I rëndësishëm është zbatimi i saj në situata problemore standarde e jo satndarde. Rekomandojmë që fillimisht të jepen zbatime të thjeshta të saj (sipas ushtrimit 1 të tekstit). Më pas kalohet në problema jostandarde (të ngjashme me shembullin 1 dhe 2 të tekstit) Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 4 dhe 5.

Mësimi 9.2 TEOREMAT E EUKLIDIT Kuptime: Katetet dhe hipotenuza e trekëndëshit kënddrejtë. Projeksionet e kateteve mbi hipotenuzë. Teorema e parë dhe e dytë e Euklidit. Veti: 1. Në trekëndëshin kënddrejtë lartësia mbi hipotenuzë është e mesme e përpjesshme ndërmjet projeksioneve të kateteve mbi hipotenuzë. 2. Në trekëndëshin kënddrejtë, secili katet është i mesmi i përpjesshëm ndërmjet hipotenuzës dhe projeksionit të tij mbi hipotenuzë. Metoda: Deduksion. Zbatim në problema. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të formulojnë me fjalë e të shprehin simbolikisht teoremat e Euklidit. • Të zbatojnë teoremat e Euklidit në situata problemore standarde e jostandarde.

164


Udhëzime për zhvillimin e mësimit Duke ndërtuar një trekëndësh kënddrejtë, si dhe duke hequr lartësinë e tij mbi hipotenuzë, fillimisht kujtohen përkufizimet e projeksioneve të kateteve mbi hipotenuzë, të cilat njihen nga klasa e tetë. Pas kësaj në figurën e përftuar (fig. 9.3 e tekstit) shënohen këndet kongruentë në trekëndëshat e përftuar. Më pas ngjashmëria e trekëndëshave është evidente dhe vërtetohen relativisht lehtë teoremat e Euklidit. Në varësi të kohës në dispozicion dhe nivelit të klasës gjykohet për vërtetimin e teoremës së dytë, apo vetëm për formulimin e saj si dhe paraqitjen simbolikisht. Shembulli i zgjidhur në tekst mund të shoqërohet edhe me shembuj të tjerë të përzgjedhur nga mësuesi. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 3 dhe 4.

Mësimi 9.3 ZBATIME Në këte orë mësimi, nëpërmjet zbatimeve synohet në përvetësimin e teknikës së zgjidhjes së problemave dhe vërtetimit të teoremave që kanë të bëjnë me trekëndëshin kënddrejtë dhe elementet e tij (katetet, hipotenuza, lartësia mbi hipotenuzë, projeksionet e kateteve mbi hipotenuzë). Pikërisht për këtë arsye jepet edhe një vërtetim tjetër i teoremës së Pitagorës (i bazuar në teoremat e Euklidit) si edhe vërtetimi i teoremës së anasjellë të teoremës së Pitagorës. Shtojmë se këto vërtetime nuk ka pse iu kërkohen nxënësve për t’i vërtetuar në mësimin e ardhshëm.. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 5 dhe 6.

Mësimi 9.4 ZBATIME NË RRETH Edhe kjo orë mësimi ka karakter krejtësisht praktik. Ajo ka të bëjë me zbatime të teoremës së Pitagorës dhe teoremave të Euklidit në rreth. Në shembullin e parë shfrytëzohet fakti që këndi rrethor që mbështetet në diametrin e rrethit është i drejtë. Rekomandojmë që fillimisht mësuesi të kujtojë me nxënësit këndin rrethor dhe masën e tij. Në shembullin e dytë shfrytëzohet fakti që qendra e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit ndodhet në pikëprerjen e përmesoreve të brinjëve të

MATEMATIKA 9

165

tij. Njëkohësisht theksohet fakti që diametri pingul me kordën e ndan atë në dy pjesë të barabarta.Të dy shembujt janë mjaft të rëndësishëm sepse teknika edhe rruga e zgjidhjes së tyre ndeshet në shumë problema. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1/a-c, 2

Mësimi 9.5 USHTRIME Qëllimi i kësaj ore mësimi është përsëri përdorimi i teoremës së Pitagorës dhe Euklidit në zgjidhjen e problemave jostandarde. Prandaj ora e mësimi të fillojë pikërisht me formulimin e këtyre teoremave dhe shënimin e tyre simbolikisht Në shembullin e zgjidhur në tekst, e rëndësishme është që nxënësit të argumentojnë veprimet . Krahas tij mësuesi gjykon nëse duhet të zgjidhet edhe ndonjë shembull tjetër, si përgatitje për testimin që do të zhvillohet. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr, 1, 2 dhe 6. KREU X: VEKTORËT NË PLAN Mësimi 10.1. KUPTIMI I VEKTORIT. VEKTORË TË BARABARTË APO TË KUNDËRT Kuptime: Madhësi vektoriale. Vektori. Vektorë bashkëvizorë. Vektorë me kah të njëjtë (të kundërt). Vektorë të barabartë. Vektorë të kundërt.   Veti: Veti të barazimit të vektorëvë. AB = −BA . Metoda: Zhvendosja e vektorit në një pikë të dhënë. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse dy vektorë janë të barabartë apo të ndryshëm. • Të dallojnë nëse dy vektorë janë bashkëvizorë (me kahe të njëjtë apo me kahe të kundërt). • Të dallojnë nëse dy vektorë janë të kundërt. • Të bëjnë zhvendosjen e vektorit në një pikë të dhënë. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Kuptimi i madhësisë vektoriale është i rëndësishëm për formimin lëndor dhe formimin e përgjithshëm të nxënësve, prandaj duhet trajtuar me kujdes. Për këtë vlen shembulli i dhënë në hyrje të mësimit.

166


Për kuptimin e vektorit, mësuesi të insistojë në dallimin e kuptimit të segmentit  AB nga ai i vektorit AB ; është mirë të vihet në dukje se nga i njëjti segment AB 



mund të formohen dy vektorë AB dhe BA . Trajtimi i materialit më tej të bëhet me metodën e bisedës. Nxënësit duhet të zgjidhin në klasë me punë të pavarur apo në grupe, ushtrimet e vendosura në materialin teorik. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4, 5.

Mësimi 10.2. MBLEDHJA E VEKTORËVE Kuptime: Shuma e dy vektorëve Veti: Rregulla e trekëndëshit dhe rregulla e paralelogramit për mbledhjen e dy vektorëve. Vetitë e mbledhjes së vektorëve. Metoda: Zhvendosja e vektorit në një pikë të dhënë. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë shumën e dy vektorëve çfarëdo, me anë të rregullës së trekëndëshit. • Të gjejnë shumën e dy vektorëve jo bashkëvizorë, me anë të rregullës së paralelogramit. • Të përdorin në raste të drejtpërdrejta vetitë e mbledhjes së vektorëve. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mbledhja e dy vektorëve është një operacion shumë i rëndësishëm për kursin shkollor të matematikës, si edhe të shkencave të natyrës. Prandaj trajtimit të materialit, të parashikuar në këtë njësi mësimore, i duhet kushtuar e gjithë ora e mësimit. Të ndiqet shtjellimi i materialit në tekst, që kombinon induksionin me deduksionin. Mësuesi të përdorë metodën e bisedës. Është mirë që në fund të mësimit, nxënësit të zgjidhin, me punë të pavarur apo në grupe, 1-2 ushtrime zbatimi të thjeshta, të përzgjedhura nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4.

MATEMATIKA 9

167

Mësimi 10.3. SHUMA E DISA VEKTORËVE. DIFERENCA E VEKTORËVE Kuptime: Shuma e tre vektorëve. Diferenca e dy vektorëve. Veti: Vetitë e mbledhjes së vektorëve. Rregulla e vijës së thyer vektoriale. Rregulla për diferencën e dy vektorëve me fillim të njëjtë. Metoda: Metoda e përgjithësimit. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë shumën e disa vektorëve, duke ndërtuar vijën e thyer vektoriale. • Të gjejnë diferencën e dy vektorëve, duke i vendosur me fillim të njëjtë. • Të përdorin rregullën për gjetjen e shumës apo të diferencës së dy vektorëve, në situata të thjeshta matematikore. Udhëzime për zhvillimin e mësimit 



)



 

(





(

Mësimi mund të fillojë me një ushtrim për të gjetur shumën a + b + c , ku    a, b dhe c janë tre vektorë të dhënë (të vizatuar).



)



Pastaj të jepet përkufizimi i shumës së tre vektorëve në trajtën: a + b + c = a + b + c 

 

Më tej të nxirret rregulla për gjetjen e a + b + c me anë të vijës së thyer vektoriale. Hapi i mëtejshëm (induktiv) të jetë përgjithësimi për gjetjen e shumës së disa vektorëve. Për trajtimin e diferencës së dy vektorëve (dhe rregullës për gjetjen e saj), mësuesi të përdorë metodën e bisedës. Të punohet në klasë (me punë të pavarur apo në grupe) ushtrimi i vendosur në fund të materialit teorik si edhe ndonjë ushtrim tjetër, përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1,2, 3, 4/a. Mësimi 10.4. SHUMËZIMI I VEKTORIT ME NJË NUMËR Kuptime: Prodhimi i një vektori me një numër. Veti: Veti të shumëzimit të vektorit me numër. Metoda: Induksioni Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: 



• Të ndërtojnë vektorin k ⋅ a kur k dhe a janë të njohur. • Të thjeshtojnë shprehje vektoriale, ku figurojnë veprimet e mbledhjes, e zbritjes së vektorëve dhe veprimi i shumëzimit të vektorit me numër.

168


Udhëzime për zhvillimin e mësimit Të ndiqet shtjellimi metodik i dhënë në tekst. Në kuptimin e prodhimit të një vektori me një numër është dalë me rrugë induktive, nëpërmjet shembujve. Nxënësit të kuptojnë qartë se rezultati i këtij veprimi të ri është një vektor. 







Të tërhiqet vëmendja e tyre në ndryshimin e barazimeve: b = k ⋅ a dhe b = k⋅ a (për k>0). Shembullin për ndërtimin e vektorëve

1 3 u dhe − u , nxënësit ta lexojnë në tekst. 2 2

Këtu mësuesi mund të japë si ushtrim në klasë (për punë individuale apo në grupe) ndërtimin e vektorëve

1 2 u dhe u 4 5

Nuk është thelbësore që nxënësit të emërtojnë e të shkruajnë vetitë e shumëzimit të një vektori me një numër. Thelbësore është që ata të mund t’i zbatojnë rrjedhshëm ato veti, duke bërë thjeshtimin e shprehjeve vektoriale, që përmbajnë  

veprimet e njohura, njëlloj si shprehje me ndryshore (rolin e x, y e luajnë a, b ). Pasi të lexojnë në libër shembullin e zgjidhur (për thjeshtim të një shprehje vektoriale), rekomandohet që nxënësit të thjeshtojnë (me punë të pavarur apo në grupe) një shprehje të tillë, të dhënë nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 4, 5.

Mësimi 10.5. RAPORTI I DY VEKTORËVE BASHKËVIZORË Kuptime: Vektorë bashkëvizorë. Raporti i tyre.  





Veti: Nëse a, b janë bashkëvizorë, ekziston një numër i vetëm k, që b= k ⋅ a .  b Kemi k = ±  . a

Metoda: Metoda e krahasimit. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Për dy vektorë të dhënë bashkëvizorë, të shkruajnë njërin, si prodhim të tjetrit me një numër. • Ta përdorin këtë shkathtësi në situata të thjeshta matematikore apo praktike.

MATEMATIKA 9

169

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi të zhvillohet me metodën e bisedës, duke ndjekur shtjellimin metodik të materialit në tekst. Kujdesi i mësuesit duhet të përqendrohet në dy çështje:  

- Në një situatë të dhënë, nxënësit të konstatojnë që dy vektorë a, b , janë bashkëvizorë. 



- Në këtë rast, të gjejnë konkretisht numrin k, të tillë që b = k a (sipas rregullës së dhënë në tekst). Nxënësit të lexojnë në tekst shembullin e zgjidhur (për vektorët e bazave të trapezit ABCD) dhe të zgjidhin (me punë të pavarur apo me grupe) ushtrimin që pason, si edhe ndonjë ushtrim tjetër, të përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 10.6. KOORDINATAT E PIKËS DHE TË VEKTORIT NË BOSHT Kuptime: Vektori njësi. Boshti koordinativ. Koordinata e pikës në bosht. Koordinata e vektorit në bosht. 

Veti: Koordinata e vektorit M1M 2 në bosht është x2 –x1. Largesa M1M2 është x2 − x1 . Metoda: Metoda koordinative në bosht. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: 



• Të shprehin rrezevektorin OM si x ⋅ i .



• Të gjejnë koordinatat e vektorit M1M 2 në bosht dhe largesën M1M2 , nëpërmjet koordinatave të skajeve. • Të përdorin këto formula në situata të thjeshta matematikore e praktike. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi të zhvillohet me metodën e bisedës, duke ndjekur shtjellimin e materialit në tekst. Në libër janë dhënë dy shembuj të zgjidhur, që nxënësit mund t’i lexojnë individualisht në klasë. Rekomandohet që për çdo nënçështje të mësimit, nxënësit të zgjidhin me punë të pavarur apo në grupe, 1-2 ushtrime të përzgjedhura nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4.

170


Mësimi 10.7. KOORDINATAT E PIKËS DHE TË VEKTORIT NË PLAN Kuptime: Koordinatat e pikës në plan. Koordinatat e vektorit në plan. 





Veti: Nëse M (x; y), atëherë OM = x ⋅ i + y ⋅ j .   x − x 

Nëse M1 (x1;y1 ) dhe M2 (x2; y2 ), atëherë M1M 2 =  2 1  .  y2 − y1  Metoda: Metoda koordinative në plan. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: 

 

• Të zbërthejnë rrezevektorin OM sipas vektorëve i, j , kur njohin koordinatat e pikës M dhe anasjellas. • Të gjejnë koordinatat e vektorit në plan, kur njohin koordinatat e skajeve të tij. • T’i zbatojnë këto njohuri në situata të thjeshta matematikore e praktike. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Të ndiqet shtjellimi metodik i materialit në tekst, duke përdorur kryesisht metodën e bisedës. Shembujt e zgjidhur, të dhënë në libër, duhet të pasohen me ushtrime, për punë të pavarur apo në grupe, përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 3, 4.

Mësimi 10.8. SHPREHJA NË KOORDINATA E REZULTATEVE TË VEPRIMEVE ME VEKTORË Kuptime: Shuma e dy vektorëve. Prodhimi i një vektori me një numër. Koordinatat e vektorit. Veti: Koordinata e shumës është sa shuma e koordinatave të mbledhorëve. Kur shumëzohet vektori me një numër, me po atë numër shumëzohet secila nga koordinatat e tij. Metoda: Metoda e koordinatave në plan. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë koordinatat e shumës (diferencës) së dy vektorëve, kur njohin koordinatat e kufizave. 



• Të gjejnë koordinatat e k ⋅ u , kur njohin numrin k dhe koordinatat e u . • T’i përdorin këto njohuri në situata të thjeshta matematikore dhe praktike.

MATEMATIKA 9

171

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi të zhvillohet me metodën e bisedës. Të ndiqet shtjellimi i materialit në tekst. Pas punimit të shembullit të zgjidhur në libër, mësuesi të organizojë punën e pavarur apo me grupe të nxënësve, për zgjidhjen e 1-2 ushtrimeve të thjeshta zbatuese, të përzgjedhura prej tij. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

KREU XI: SHNDËRRIMET E FIGURAVE GJEOMETRIKE Mësimi 11.1. PASQYRIMI GJEOMETRIK. IZOMETRIA Kuptime: Pasqyrimi gjeometrik. Shëmbëllimi i pikës. Shëmbëllimi i figurës. Izometria. Veti: Teorema mbi figurën-shëmbëllim të drejtëzës në izometri. Metoda: Shndërrimet gjeometrike. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse një pasqyrim i një bashkësie të fundme pikash është izometri. • Të formulojnë e të përdorin, në raste të thjeshta, teoremën mbi shëmbëllimin e drejtëzës në izometri. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Materiali i parashikuar në këtë njësi mësimore ka ngarkesë konceptuale e vëllimore, prandaj trajtimit të tij i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit. Mësimi të zhvillohet me metodën e bisedës, duke ndjekur shtjellimin e materialit në tekst. Rekomandohet që pas trajtimit të teoremës, mbi shëmbëllimin e drejtëzës në izometri, të punohet ndonjë ushtrim zbatimi i thjeshtë, përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4.

172


Mësimi 11.2. VETI TË TJERA TË IZOMETRISË Kuptime: Izometria Veti: Tre rrjedhime të teoremës mbi shëmbëllimin e drejtëzës në izometri. Izometria ruan masën e këndeve. Shëmbëllimi i rrethit në izometri është rreth. Metoda: Shndërrime të figurave në izometri. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të nxjerrin me argumentim rrjedhime nga teorema mbi shëmbëllimin e drejtëzës në izometri. • Të përdorin, në raste të thjeshta, faktin që izometria ruan masën e këndeve. • Të vërtetojnë që shëmbëllimi i rrethit në izometri është rreth. • Të përdorin këtë fakt në raste të thjeshta. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Edhe trajtimit të materialit, të vendosur në këtë njësi mësimore, i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit. Nxënësit të vërtetojnë, me punë të pavarur apo në grupe, tre rrjedhimet e teoremës mbi shëmbëllimin e drejtëzës në izometri. Teoremën mbi ruajtjen e masës së këndeve në izometri, mësuesi ta trajtojë me metodën e bisedës. Më tej nxënësit të zgjidhin, me punë në grupe, ushtrimin pasues (vërtetimi i teoremës mbi figurën shëmbëllim të rrethit në izometri). Është me rëndësi që në mbyllje të mësimit t’u theksohet nxënësve, që izometria është pasqyrim, që ruan formën dhe përmasat e figurave. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 3.

Mësimi 11.3. SIMETRIA QËNDRORE Kuptime: Simetria qendrore. Izometria. Veti: Simetria qendrore është izometri. Metoda: Deduksioni. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të ndërtojnë figurën simetrike të një segmenti, të një trekëndëshi, të një rrethi në simetrinë qendrore. • Të përdorin, në raste të thjeshta, faktin që simetria qendrore është izometri.

MATEMATIKA 9

173

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Vërtetimi i teoremës mbi faktin që, simetria qendrore është izometri të bëhet me metodën e bisedës. Të theksohet që simetria qendrore ruan vetitë e izometrisë. Më tej nxënësit të zgjidhin me punë në grupe, ushtrimin që pason (nxirren rrjedhime të teoremës). Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 11.4. FIGURA QË KANË QENDËR SIMETRIE Kuptime: Qendra e simetrisë së figurës. Veti: Qendra e rrethit është qendër simetrie për të. Pika e prerjes së diagonaleve është qendër simetrie e paralelogramit. Metoda: Shndërrime izometrike. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse një pikë është qendër simetrie e një figure shumë të thjeshtë. • Të përdorin në raste të thjeshta, faktet për qendrat e simetrisë së rrethit e paralelogramit. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Kuptimi i qendrës së simetrisë së figurës nuk është i lehtë për nxënësit, prandaj mësuesi të bëjë kujdes në trajtimin e tij, duke përdorur shembuj të shumtë. Vërtetimi i fakteve që, qendra e simetrisë së rrethit është qendra e tij dhe që qendra e simetrisë së paralelogramit është pikëprerja e diagonaleve të tij, të bëhet me metodën e bisedës. Nxënësit të zgjidhin me punë të pavarur apo në grupe ushtrimin që pason. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 3.

Mësimi 11.5. SIMETRIA BOSHTORE Kuptime: Izometria. Simetria boshtore. Veti: Simetria boshtore është izometri. Metoda: Deduksioni Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë shëmbëllimin e një pike, segmenti, trekëndëshi, rrethi në simetrinë boshtore.

174


• Të përdorin, në raste të thjeshta, faktin që simetria boshtore është izometri. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Simetria boshtore, si shndërrim gjeometrik, është e njohur prej nxënësve nga klasa e tetë. Prandaj dhënia e kuptimit të saj nuk harxhon shumë kohë. Vëmendja duhet përqendruar në vërtetimin e teoremës, që tregon se simetria boshtore është izometri. Kjo të bëhet me metodën e bisedës. T’u theksohet nxënësve që si rrjedhim, simetria boshtore i ka të gjitha vetitë e izometrisë. Nxënësit të zgjidhin, me punë të pavarur apo në grupe, dy ushtrimet që pasojnë në klasë. Shembulli më tej të trajtohet me metodën e bisedës. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 3, 4.

Mësimi 11.6.

FIGURA QË KANË BOSHT SIMETRIE

Kuptime: Boshti i simetrisë së figurës. Veti: Drejtëza, që kalon nga qendra e rrethit, është bosht simetrie për rrethin. Drejtëza, që përmban përgjysmoren e një këndi, është bosht simetrie për këndin. Metoda: Shndërrime izometrike. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse një drejtëz është bosht simetrie për një figurë shumë të thjeshtë. • Të përdorin, në raste të thjeshta, faktet e njohura për boshtin e simetrisë së rrethit e atij të këndit. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Materiali i vendosur në këtë njësi mësimore, krijon mundësi për një aktivizim të mirë të masës së nxënësve në klasë. Trajtimi i shembujve të zgjidhur të bëhet me metodën e bisedës. Në materialin teorik, si pjesë përbërëse e tij, janë vendosur edhe disa ushtrime, të cilët duhen zgjidhur nga nxënësit në klasë, me punë të pavarur apo në grupe. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

MATEMATIKA 9

175

Mësimi 11.7. ZHVENDOSJA PARALELE Kuptime: Zhvendosja paralele. Izometria. Veti: Zhvendosja paralele është izometri. Në zhvendosjen paralele çdo drejtëz d pasqyrohet në drejtëz paralele apo që përputhet me d. Metoda: Shndërrime izometrike. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë shëmbëllimin e pikës, segmentit, trekëndëshit, rrethit në zhvendosjen 

paralele me vektor a . • Të përdorin në raste të thjeshta, faktin që zhvendosja paralele është izometri. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Kuptimi i zhvendosjes paralele është i lidhur pazgjidhshmërisht me atë të vektorit. Duke ndjekur shtjellimin e dhënë në tekst, është me rëndësi të evidentohet fakti 

që, pasqyrimi i anasjellë i zhvendosjes paralele me vektor a është një zhvendosje 

paralele me vektor −a . Teorema mbi faktin që, zhvendosja paralele është izometri, si edhe teorema mbi shëmbëllimin e një drejtëze në zhvendosjen paralele të trajtohen me metodën e bisedës. Të theksohet fakti që, zhvendosja paralele i ka të gjitha vetitë e izometrisë. Nxënësit të zgjidhin, në punë me grupe, ushtrimin e vendosur në materialin teorik, si edhe ndonjë tjetër ushtrim zbatimi të thjeshtë, të përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 3, 4.

Mësimi 11.8. RROTULLIMI Kuptime: Këndi i orientuar. Vlera e tij. Rrotullimi i pikës dhe i figurës. Veti: Rrotullimi është izometri. Metoda: Shndërrimet izometrike. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë vlerën e një këndi të orientuar të dhënë. • Të ndërtojnë shëmbëllimin e pikës, segmentit, trekëndëshit, rrethit në rrotullimin me qendër e kënd të dhënë. • Të përdorin, në raste të thjeshta, faktin që rrotullimi është izometri.

176


Udhëzime për zhvillimin e mësimit Materiali i parashikuar për këtë njësi mësimore ka ngarkesë konceptuale dhe vëllimore, prandaj trajtimit të tij i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit. Mësuesi të trajtojë me kujdes, me shembuj e ushtrime, kuptimin e këndit të orientuar dhe të vlerës së tij, që nuk janë kuptime të thjeshta. Të zgjidhin, me punë të pavarur apo në grupe, të gjithë ushtrimet e vendosura në materialin teorik. Vërtetimi i teoremës mbi faktin që, rrotullimi është izometri, si edhe trajtimi i shembullit për shëmbëllimin e AB në rrotullim, të bëhen me metodën e bisedës. Më tej, nxënësit mund të zgjidhin me punë të pavarur apo në grupe, ndonjë ushtrim të thjeshtë të përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

KREU XII: MOSBARAZIME NUMERIKE DHE INEKUACIONE Mësimi 12.1. MOSBARAZIME NUMERIKE Kuptime: Mosbarazime numerike. Mosbarazime të zbutura. Veti: Tri veti të mosbarazimeve numerike. Metoda: Krahasimi. Marrja e ndryshesës. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse një mosbarazim numerik i dhënë është i vërtetë. • Të nxjerrin me argumentim tri veti të mosbarazimeve. • Të zbatojnë këto veti në raste të thjeshta. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Materiali i parashikuar për këtë njësi mësimore krijon mundësi për aktivizim të masës së nxënësve. Është thelbësore që nxënësit të kuptojnë e të përdorin marrjen e ndryshesës së të dyja anëve dhe përcaktimin e shenjës së saj, si mënyrë kryesore vërtetimi. Vetitë të trajtohen me metodën e bisedës. Rrjedhimet e drejtpërdrejta të tyre të nxirren nga nxënësit, me punë të pavarur individuale apo në grupe. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

MATEMATIKA 9

177

Mësimi 12.2. VETI TË TJERA TË MOSBARAZIMEVE NUMERIKE Kuptime: Mosbarazime numerike Veti: Tri veti të tjera të mosbarazimeve numerike. Metoda: Krahasimi. Përdorimi i kundërshembullit. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të formulojnë tri teorema, që japin veti të tjera të mosbarazimeve. • Të nxjerrin rrjedhime të thjeshta prej tyre. • Të tregojnë me kundërshembuj që kushtet e teoremave janë kushte të nevojshme. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Materiali të trajtohet me metodën e bisedës. Me punë të pavarur apo në grupe, nxënësit të nxjerrin rrjedhime nga teoremat e shqyrtuara dhe të zgjidhin ushtrimet e vendosura në materialin teorik. Është me rëndësi sidomos punimi i ushtrimeve, që tregojnë se heqja apo zbutja e kushteve mund të cënojë vërtetësinë e fjalisë, duke përdorur kundërshembuj. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 3, 5, 7.

Mësimi 12.3. MOSBARAZIME ME NDRYSHORE Kuptime: Mosbarazimi me ndryshore. Vlera e ndryshores që e vërteton. Veti: Veti të mosbarazimeve numerike. Metoda: Krahasimi. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse një vlerë e ndryshores vërteton një mosbarazim të thjeshtë me një ndryshore. • Të vërtetojnë mosbarazime shumë të thjeshtë (për të gjitha vlerat e ndryshores). Udhëzime për zhvillimin e mësimit Të trajtohet me kujdes kuptimi “Mosbarazimi vërtetohet për vlerën e ndryshores x=a”. Të vihet në dukje që, disa nga vetitë e mosbarazimeve numerike shtrihen në mënyrë të natyrshme, për hir të këtij kuptimi, edhe për mosbarazimet me ndryshore. Megjithatë, mënyra kryesore për të vërtetuar që një mosbarazim me ndryshore është i vërtetë, për çdo vlerë të ndryshores nga një bashkësi e caktuar, është

178


shqyrtimi i shenjës së ndryshesës së dy anëve të mosbarazimit. Shembujt e zgjidhur, që janë dhënë në tekst, të trajtohen me metodën e bisedës. Veç tyre, mësuesi të organizojë zgjidhjen në klasë, me punë të pavarur apo në grupe, të disa ushtrimeve të thjeshta. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 12.4. USHTRIME Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi, duhet të jetë zhvillimi i aftësive të nxënësve, për të vërtetuar mosbarazime me ndryshore. Në tekst janë dhënë tre shembuj të zgjidhur, që janë mjaft të rëndësishëm. Ato të trajtohen nga mësuesi me metodën e bisedës. Më pas të organizohet zgjidhja, me punë të pavarur apo në grupe, e disa ushtrimeve të tekstit. Rekomandohet të punohen ushtrimet me numrat 5, 7.

Mësimi 12.5. INEKUACIONE ME NJË NDRYSHORE. INEKUACIONE TË NJËVLERSHËM Kuptime: Inekuacioni me një ndryshore. Zgjidhja e tij. Inekuacione të njëvlershëm në E. Veti: Katër teorema për njëvlershmërinë e inekuacioneve në R. Metoda: Shndërrime të njëvlershme. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse një vlerë e ndryshores është zgjidhje e një inekuacioni me një ndryshore. • Të formulojnë katër teoremat për njëvlershmërinë e inekuacioneve në R. • T’i përdorin këto teorema në raste direkte e të thjeshta. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Në këtë mësim kryhet më së shumti rimarrja, me pak thellim, e njohurive të trajtuara në klasën e tetë. Prandaj rekomandohet që mësuesi t’i ketë dhënë si detyrë në shtëpi nxënësve përsëritjen e këtyre njohurive dhe hartimin e një përmbledhje të fakteve kryesore. Mësimi të zhvillohet me libër hapur, duke ndjekur shtjellimin e materialit në

MATEMATIKA 9

179

tekst. Nxënësit të zgjidhin, me punë të pavarur individuale, ushtrimet hyrëse. Pastaj të lexojnë, me laps në dorë, sintezën teorike për inekuacionet e njëvlershëm e teoremat përkatëse. Fakt i ri është që tani flitet për inekuacione të njëvlershëm jo më në Q, por në bashkësinë R. Si pasojë mund të realizohet edhe paraqitja grafike e bashkësisë së zgjidhjeve në boshtin numerik, duke filluar nga inekuacionet e trajtës x>c etj. Të lexohet në tekst shembulli i zgjidhur për inekuacionin (x-1)2 -4<x2 -4(x-1). Nxënësit të punojnë në mënyrë të pavarur ushtrimin e vendosur në fund të materialit teorik. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 4.

Mësimi 12.6. INEKUACIONE TË FUQISË SË PARË ME NJË NDRYSHORE Kuptime: Inekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore. Intervalet numerike. Veti: Teoremat mbi njëvlershmërinë e inekuacioneve në R. Metoda: Shndërrime të njëvlershme të inekuacioneve. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zgjidhin inekuacione të fuqisë së parë me një ndryshore në R, duke i sjellë në trajtat x>c etj. • Të paraqesin grafikisht bashkësinë e zgjidhjeve në boshtin numerik. • Të gjejnë bashkësinë e zgjidhjeve të inekuacionit të fuqisë së parë në N, Z, Q. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Në këtë njësi mësimore kryesisht rimerren njohuri të trajtuara në klasën e tetë. Është plotësisht e mundur që aktivizimi i nxënësve gjatë orës së mësimit të jetë shumë i madh. Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të lexojnë në të shembujt e zgjidhur dhe të punojnë, me punë të pavarur apo në grupe, ushtrimet e vendosura në materialin teorik. Zgjidhja e arritur duhet të diskutohet në klasë. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 5/a.

180


Mësimi 12.7. SISTEME INEKUACIONESH TË FUQISË SË PARË ME NJË NDRYSHORE Kuptime: Sistemi i inekuacioneve me një ndryshore. Zgjidhja e tij. Prerja e dy bashkësive. Veti: Programi për zgjidhjen e sistemeve të dy inekuacioneve me një ndryshore. Metoda: Paraqitja e njëhershme e dy bashkësive në boshtin numerik. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë, se kur kërkohen zgjidhjet e përbashkëta të dy apo më tepër inekuacioneve, kemi të bëjmë me sistem të tyre. • Të zgjidhin sisteme dy inekuacionesh të thjeshtë në R, duke zbatuar programin përkatës. • Të zgjidhin sisteme dy inekuacionesh të thjeshtë në N, Z, Q. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Duke patur parasysh rëndësinë e kuptimit të sistemit të inekuacioneve për formimin lëndor të nxënësit, si edhe ngarkesën vëllimore e konceptuale të materialit të parashikuar për këtë njësi mësimore, trajtimit të tij t’i kushtohet e gjithë ora e mësimit. Është e rëndësishme, që të dilet në kuptimin e sistemit të inekuacioneve nëpërmjet shqyrtimit të situatave të thjeshta matematikore apo praktike, si në shembujt e dhënë në tekst. Trajtimi i materialit në vazhdim të bëhet duke aktivizuar nxënësit, me metodën e bisedës. Pas shqyrtimit të shembujve, të punohen, me punë të pavarur apo në grupe, ushtrime në klasë. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4.

Mësimi 12.8. INEKUACIONE TË DYFISHTË Kuptime: Inekuacioni i dyfishtë. Sistemi i inekuacioneve me një ndryshore. Veti: Teoremat për njëvlershmërinë e inekuacioneve në R. Metoda: Mënyra e veçantë për zgjidhjen e inekuacioneve të dyfishtë, duke shfaqur x në kufizën e mesit. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të zgjidhin inekuacione të dyfishtë të thjeshtë si sisteme inekuacionesh. • Të zgjidhin inekuacione të dyfishtë të thjeshtë me mënyrën e veçantë (duke shfaqur x në kufizën e mesit).

MATEMATIKA 9

181

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Të ndiqet shtjellimi metodik i materialit në tekst. Nëpërmjet një shembulli të dilet në kuptimin e inekuacionit të dyfishtë. Inekuacioni i dyfishtë c
Të trajtohet me metodën e bisedës shembulli i zgjidhjes, me mënyrën e veçantë, të inekuacionit 3<1-2x<7. Pastaj nxënësit të punojnë në mënyrë të pavarur për zgjidhjen e ushtrimit, të vendosur në fund të materialit teorik, si edhe të ndonjë ushtrimi tjetër, të përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3.

Mësimi 12.9. STUDIMI I SHENJËS SË BINOMIT TË FUQISË SË PARË ME NJË NDRYSHORE Kuptime: Shprehja me një ndryshore. Binomi i fuqisë së parë me një ndryshore. Rrënja e tij. Veti: Tabela për shenjën e binomit të fuqisë së parë me një ndryshore. Metoda: Studimi i shenjës së shprehjes me ndryshore. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë nëse një shprehje me ndryshore është binom i fuqisë së parë. • Të gjejnë rrënjën dhe të plotësojnë tabelën për shenjën e binomit të fuqisë së parë me një ndryshore. • Të nxjerrin përfundime të thjeshta nga tabela. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Është e rëndësishme që nxënësit të kuptojnë se “të studiosh shenjën e binomit”, do të thotë “të gjesh rregullën për të përcaktuar shenjën e vlerës së tij, për një vlerë të caktuar çfarëdo të x, pa bërë njehsimin e kësaj vlere”. Dobia e këtij studimi mund të vihet në dukje, duke kërkuar për shembull, shenjën e vlerës së binomit (−3x + 3 2) për x = 5 4 − 1 . Gjetja e rregullës për studimin e shenjës, që finalizohet me hartimin e tabelës, të bëhet me metodën e bisedës. Pas punimit të shembullit, nxënësit të punojnë në mënyrë të pavarur apo në grupe, ushtrimin e vendosur në materialin teorik. Në rubrikën “Ushtrime’, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2.

182


Mësimi 12. 10. INEKUACIONE NË FORMË PRODHIMI Kuptime: Inekuacione të trajtës (ax+b)(cx+d) rel="nofollow">0. Veti: Programi për zgjidhjen e inekuacioneve të kësaj trajte. Metoda: Studimi i shenjës së shprehjeve me ndryshore. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të plotësojnë tabelën për shenjën e prodhimit të dy binomeve. • Nga tabela e plotësuar, të shkruajnë bashkësinë e zgjidhjeve për inekuacionet (ax+b)(cx+d)>0; (ax+b)(cx+d)<0. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Në këtë mësim hidhet hapi i parë në metodën për zgjidhjen e inekuacioneve të trajtës f(x)·g(x)>0, ku f(x), g(x) janë shprehje me ndryshore. Nxënësit të dallojnë qartë tipin e inekuacioneve, për të cilat përdoret mënyra e përshkruar: ana e majtë është prodhim dy shprehjesh (këtu: binomesh), kurse ana e djathtë është zero. Ecuria e zgjidhjes konkretizohet me një shembull. Por kaq nuk mjafton. Para se të trajtohet ushtrimi cilësor, i vendosur në materialin teorik, rekomandohet që nxënësit të zgjidhin me punë në grupe, ndonjë ushtrim të ngjashëm me shembullin, të përzgjedhur nga mësuesi. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2.

Mësimi 12.11. USHTRIME Synimi i mësuesit në këtë orë mësimi duhet të jetë përforcimi i njohurive dhe zhvillimi i aftësive, të fituara nga nxënësit në mësimet e këtij kreu. Nxënësit të hartojnë individualisht në shtëpi, qysh më parë, përmbledhjen e shkurtër të fakteve teorike. Të kombinohet puna e pavarur apo në grupe e nxënësve në klasë, për zgjidhje ushtrimesh, me punën në tabelë, të nxënësve të ndryshëm për zgjidhjen e ushtrimeve të tjera. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje të diskutohet në klasë. Rekomandohet që të shqyrtohen patjetër ushtrimet nr.1 dhe nr.2, për shkak të vlerave formuese që kanë. Më tej mund të shqyrtohen ushtrimet nr.3 dhe nr.7.

MATEMATIKA 9

183

KREU XIII: FUNKSIONI Mësimi 13.1. FUNKSIONI DHE GRAFIKU I TIJ Kuptime: Funksioni numerik. Grafiku i tij. a

Veti: Trajtat që kanë grafikët e funksioneve y=ax+b; y=x2; y = . x Metoda: Metoda grafike. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të skicojnë grafikun e funksionit me bashkësi të fundme, dhënë me tabelë apo me formulë. a

• Të skicojnë grafikët e funksioneve y=ax+b; y = x2; y = , kur bashkësia e x përcaktimit është R apo pjesë e saj. • Të “lexojnë” grafikun e dhënë të një funksioni, d.m.th. të nxjerrin veti të thjeshta të funksionit prej grafikut të tij. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi është përsëritje e njohurive, të trajtuara në klasën e tetë. Mund të punohet me libër hapur. Nxënësit në mënyrë individuale të lexojnë me laps në dorë, ekstraktet teorike, të paraqitura në të, si edhe shembujt e zgjidhur. Pastaj të zgjidhin, me punë të pavarur individuale apo në grupe, ushtrimet e vendosura në materialin teorik. Sipas nivelit të klasës, mësuesi mund të japë edhe ushtrime të tjera të përzgjedhura prej tij. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1/a, b; 2; 3; 4; 6. Mësimi 13.2. FUNKSIONI y=ax2 (a≠0) Kuptime: Funksioni y=ax2 . Parabola. Veti: Grafiku i funksionit y=ax2 është një parabolë me kulm në origjinë. Metoda: Induksioni Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të skicojnë grafikun e funksionit y=ax2 (a≠0). • Të nxjerrin nga grafiku veti të thjeshta të këtij funksioni. • Të përdorin njohuritë për të modeluar matematikisht, me anë të formulës y=ax2 , situata të thjeshta praktike.

184


Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësimi të zhvillohet me libër hapur. Nxënësit të plotësojnë në të tabelat, duke zgjidhur ushtrimet e vendosura në materialin teorik. Ato synojnë të krijojnë tek nxënësit një hamendje të caktuar, e cila përforcohet më tej nëpërmjet ushtrimesh të tjera, deri në nxjerrjen e përfundimit përgjithësues. Trajtimi i materialit, siç shihet, është induktiv. Është me rëndësi, për formimin e përgjithshëm të nxënësve, theksimi i faktit se shumë procese në natyrë apo në teknikë mund të përshkruhen matematikisht (modelohen) me anë të formulës y=ax2 . Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 7.

Mësimi 13.3. FUNKSIONI y=ax2 +n (a 0) Kuptime: Funksioni y=ax2 +n. Zhvendosja paralele. Veti: Grafiku i funksionit y=ax2 +n është parabolë, me bosht simetrie boshtin Oy dhe me kulm në pikën (0, n). Metoda: Zhvendosja paralele e grafikëve. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të skicojnë me pika grafikun e funksionit y=ax2 +n. • Të krahasojnë pozicionin e këtij grafiku me atë të grafikut të y=ax2 . • T’i përdorin këto njohuri në situata të thjeshta matematikore. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësuesi të trajtojë me metodën e bisedës shembullin për grafikun e funksionit y=2x2 +3, x R. Pastaj nxënësit të zgjidhin me punë të pavarur individuale apo në grupe, ushtrimin për grafikun e funksionit y=2x2 -3. Përfundimi përgjithësues që kurorëzon këtë punë të nxirret nga klasa, duke u dhënë mundësi nxënësve të shprehen, të debatojnë, të vetëkorrigjohen. Rekomandohet që më tej mësuesi t’u japë nxënësve, për të zgjidhur në klasë, edhe ndonjë ushtrim tjetër me karakter zbatimi të thjeshtë. Në rubrikën “Ushtrime’, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4.

MATEMATIKA 9

185

Mësimi 13.4.GRAFIKU I FUNKSIONIT y=a(x-m)2 Kuptime: Funksioni y=a(x-m)2 . Zhvendosja paralele. Veti: Grafiku i funksionit y=a(x-m)2 është parabolë, me kulm në pikën (m, 0) dhe me bosht simetrie drejtëzën x=m. Metoda: Induksioni. Zhvendosja paralele e grafikut. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të skicojnë me pika grafikun e funksionit y=a(x-m)2 . • Të gjykojnë, sipas vlerave të parametrave a dhe m, për formën dhe pozicionin e tij. • Të përdorin këto njohuri në situata të thjeshta përpjesëtimore. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Mësuesi të trajtojë me metodën e bisedës shembullin për grafikun e funksionit y=2(x-1)2 . Pastaj nxënësit me punë të pavarur individuale apo në grupe, të zgjidhin ushtrimin pasues për grafikun e funksionit y=2(x+2)2 . Përfundimi përgjithësues, ku synon ky shtjellim induktiv, të synohet të nxirret nga nxënësit, duke inkurajuar të shprehurit e tyre, debatin dhe vetëkorrigjimin. Rekomandohet që mësuesi t’u japë nxënësve për të zgjidhur në klasë një ushtrim tjetër (zbatim i thjeshtë). Në rubrikën “Ushtrime’, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4.

Mësimi 13.5.GRAFIKU I FUNKSIONIT y=a(x--m)2 +n Kuptime: Funksioni y=a(x-m)2 +n. Trinomi ax2 +bx+c. Veti: Grafiku i funksionit y=a(x-m)2 +n merret prej parabolës y=ax2 , me 





zhvendosjen paralele me vektor v = m ⋅ i + n ⋅ j . 2

b  D  Trinomi ax +bx+c mund të shkruhet a  x +  − ku D=b 2 − 4ac . 2a  4a  2

Metoda: Shndërrime identike të shprehjeve. Zhvendosja paralele e grafikëve. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjykojnë për formën dhe pozicionin e grafikut të funksionit y=a(x-m)2 +n, duke e krahasuar me parabolën y=ax2 . • Të fiksojnë në kujtesë dhe të përdorin në raste të drejtpërdrejta identitetin

186

LIBËR PËR MËSUESIN 2

b  D  ax + bx + c= a  x + − ku D=b 2 − 4ac .  2a  4a  2

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Materiali i vendosur në këtë njësi mësimore ka ngarkesë konceptuale e vëllimore, prandaj trajtimit të tij t’i kushtohet gjithë ora e mësimit, duke hequr dorë nga format tradicionale të kontrollit të dijes, me nxënës të ngritur në tabelë. Materiali është i ndarë në dy pjesë. Në pjesën e parë, me një shtjellim induktiv, nëpërmjet dy shembujve, që rekomandohet të trajtohen nga mësuesi me metodën e bisedës, synohet të krijohet, në fillim hamendja e pastaj të arrihet në përfundimin përgjithësues për grafikun e funksionit y=a(x-m)2 +n. Ky përfundim të formulohet nga nxënësit, duke u lënë mundësi të shprehen, të debatojnë, të vetëkorrigjohen. Në pjesën e dytë (funksioni y=ax2 +bx+c), mësuesi duhet të vërë në dukje dallimin thelbësor midis trinomit ax2 +bx+c (që është shprehje) me funksionin y=ax2 +bx+c. Në tekst është sqaruar që funksioni i lidh çdo vlere të x nga R, vlerën përgjegjëse (që është e vetme) të trinomit ax2 +bx+c). Është me vlera formuese që të vihet në dukje, se shumë procese në natyrë apo në jetën e përditshme shprehen matematikisht (modelohen) me anë të formulës y=ax2 +bx+c. Nuk parashikohet që në këtë mësim të trajtohet grafiku i funksionit, të dhënë me formulën y=ax2 +bx+c; këtu thjesht përgatitet terreni për këtë trajtim, duke 

b 

2

D

shqyrtuar identitetin ax 2 + bx + c= a  x +  − ku D=b 2 − 4ac (pa vërtetim), 2a  4a  që në fakt e sjell funksionin y=ax2 +bx+c në formën y=a(x-m)2 +n. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 2, 3, 4.

Mësimi 13.6. NDËRTIMI PRAKTIK I GRAFIKUT TË FUNKSIONIT y=ax2 +bx+c Kuptime: Funksioni y=ax2 +bx+c. Parabola. Veti: Grafiku i funksionit y=ax2 +bx+c merret nga grafiku i y=ax2 , me zhvendosjen paralele

   b D . v =m ⋅ i + n ⋅ j ku m =− dhe n =− 2a 4a

MATEMATIKA 9

187

Nëpër tri pika, jo në vijë të drejtë, kalon vetëm një parabolë e trajtës y=ax2 +bx+c. Metoda: Metoda praktike për ndërtimin me tri pika, të grafikut të funksionit y=ax2 +bx+c. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjykojnë për trajtën dhe vendosjen e grafikut të funksionit y=ax2 +bx+c. • Të skicojnë praktikisht (me tri pika) grafikun e funksionit y=ax2 +bx+c. • Të përdorin këto njohuri e shkathtësi në situata të thjeshta matematikore apo praktike. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Duke konsideruar rolin e rëndësishëm që luan funksioni y=ax2 +bx+c dhe grafiku i tij në kursin shkollor të matematikës, trajtimit të materialit të vendosur në këtë njësi mësimore, i duhet kushtuar gjithë ora e mësimit. Për pjesën e parë, ku shqyrtohet trajta e grafikut të funksionit y=ax2 +bx+c, mësuesi të synojë që përfundimet të nxirren nga nxënësit në bazë të identitetit b 2a

D 4a

ax2+bx+c=a(x-m)2+n ku m = , duke inkurajuar të shprehurit e − dhe n = − tyre, debatin dhe vetëkorrigjimin. Kjo pjesë e orës së mësimit vazhdon me shqyrtimin e shembullit të zgjidhur, për grafikun e funksionit y=-2x2 +8x-6 (që mund të lexohet individualisht nga nxënësit në libër) dhe përfundon me ushtrimin për grafikun e funksionit y=x2 -2x, x R. Por pjesë shumë e rëndësishme e mësimit është edhe ajo, ku trajtohet ndërtimi praktik i parabolës y=ax2 +bx+c . Të vihet në dukje se nëpër tri pika, jo në vijë të drejtë, kalon një dhe vetëm një parabolë e tillë. Pasi jepet rregulla e ndërtimit praktik, nxënësit të lexojnë individualisht në libër shembullin e zgjidhur, për grafikun e funksionit y=

1 2 x − 3x + 4 . 2

Rekomandohet që më tej mësuesi t’u japë nxënësve për të ndërtuar praktikisht grafikun e funksionit y=x2 -2x (që ata e kanë bërë me tjetër mënyrë, me zhvendosje paralele). Kjo do të evidentojë për ta epërsitë që ka (është më e thjeshtë) mënyra e dytë. Në rubrikën “Ushtrime”, të konsiderohen si të nivelit minimal ata me numrat 1, 3, 4.

188


Mësimi 13.7. USHTRIME Synimi i mësuesit për këtë orë mësimi duhet të jetë përforcimi i njohurive dhe zhvillimi i shkathtësive, të fituara në mësimet e mëparshme të kreut. Nxënësit paraprakisht të kenë hartuar në shtëpi një përmbledhje të fakteve kryesore të kreut. Në klasë të kombinohet puna e pavarur apo në grupe e nxënësve, për zgjidhjen e disa ushtrimeve, me zgjidhjen në tabelë, të disa ushtrimeve të tjera nga nxënës të ndryshëm. Secili nga ushtrimet e dhëna për zgjidhje duhet të diskutohet në klasë. Ushtrimet e zgjidhura nr.7, nr.8 të lexohen nga nxënësit individualisht në tekst. Si ushtrime të nivelit minimal të konsiderohen ata me numrat 1, 2, 3, 5.

KREU XIV

TRIGONOMETRI

Mësimi 14.1 MATJA E KËNDEVE DHE HARQEVE Kuptime: Grada. Këdni i drejtë; i shtrirë, i plotë. Këndi qendror. Radiani Veti: Kënd 1 gradë është

1 e rrotullimit të plotë. Këndi qendror i cili e ka 360

gjatësinë e harkut sa rrezja e rrethit quhet kënd 1 radian. Raporti gradë radian është 1800→p radian Metoda: Përkufizim. Zbatim në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të japin saktë përkufizimet e këndit 10 dhe 1 radian. • Të kthejnë gradët në radian dhe anasjellas. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Nga klasat e mëparshme nxënësit njohin gradën si njësi matëse të këndit (harkut). Në trigonometri përdoret me të njëjtin intensitet edhe radiani. Futja e kuptimit të radianit realizohet nëpërmjet shembullit 2 të kësaj ore mësimi. Mësuesi duhet të ketë kujdes që të theksojë qartë përkufizimin e këndit 1 radian si kënd qëndror, gjatësia e harkut të të cilit është e barabartë me rrezen e rrethit. Në këtë mënyrë del edhe korrespondenca 3600→2p radian (apo 1800→p radian),

MATEMATIKA 9

189

e cila vlen për kthimin e gradëve në radian dhe anasjellas. Në këte mënyrë, mësuesi nuk duhet të ngulmojë që nxënësit të mbajnë mend përmëndësh të gjitha korrespondencat ndërmjet gradëve dhe radianit për këndet 00 ; 300 ; 450 ; 600 ; 900 1800 ; 3600 etj., të cilat jepen në tabelën e ushtrimit 3. Mjafton të mbahet mend njëra korrespondencë (p.sh., 1800→p). Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1/a-c ; 2.

Mësimi 14.2 PËRKUFIZIMI I FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE TË KËNDIT TË NGUSHTË Kuptime: Funksionet trigonometrike të këndit të ngushtë (sinus ; kosinus ; tangjent ; kotangjent). Veti: Sinus i këndit a (shënohet sina) quhet raporti i katetit përballë këtij këndi me hipotenuzën. Kosinus i këndit a (shënohet cosa) quhet raporti i katetit anëshkruar këtij këndi me hipotenuzën. Tangjent i këndit a (shënohet tga) quhet raporti i katetit përballë këtij këndi me katetin anëshkruar këtij këndi. Kotangjent i këndit a (shënohet cotga) quhet raporti i katetit anëshkruar këtij këndi me katetin përballë këtij këndi. - Vlera e secilit prej këtyre raporteve nuk varet nga gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit, por vetëm nga madhësia e këndit. - Funksionet trigonometrike të një këndi janë numra abstraktë. - sina<1 ; cosa<1 Metoda: Përkufizime. Deduksion. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të japin saktë përkufizimet e funksioneve trigonometrike të këndit të ngushtë. • Të gjejnë funksionet trigonometrike të këndit të ngushtë në trekëndëshin kënddrejtë, kur jepen dy brinjë të tij. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Me funksionet trigonometrike të këndit, nxënësit ndeshen për herë të parë, prandaj futja e kuptimeve të tyre duhet realizuar me shumë kujdes. Fillimisht rekomandojmë që me nxënësit të realizohet kjo hyrje. Me anën e teoremës së Pitagorës, ne jemi në gjendje të gjejmë disa elemente të panjohura të trekëndëshit kënddrejtë kur njihen disa elemente të tij. P.sh., duke njohur njërin katet dhe hipotenuzën, mund të gjejmë katetin tjetër; duke njohur

190


hipotenuzën dhe njërin kënd të ngushtë 300 , mund të gjejmë dy katetet si dhe këndin tjetër të ngushtë. Por ne nuk jemi në gjendje të gjejmë katetet e trekëndëshit në qoftë se njohim hipotenuzën si dhe njërin kënd të ngushtë 200. Në këtë rast konstatojmë se aparati gjeometrik nuk krijon mundësi për këtë. Ndodh kështu sepse nga gjeometria ne nuk njohim varësi ndërmjet këndeve dhe brinjëve të trekëndëshit kënddrejtë . Pas kësaj hyrje ndërtohet trekëndëshi kënddrejtë dhe jepen përkufizimet e funksioneve trigonometrike të këndit. Është e rëndësishme që pas përkufizimit të theksohen këto momente: 1. Vlera e secilit raport nuk varet nga gjatësia e brinjëve të trekëndëshit, por vetëm nga madhësia e këndit. Është kjo arsyeja që ato quhen funksione trigonometrike të këndit. 2. Funksionet trigonometrike të këndit janë numra abstraktë (ato nuk kanë njësi). 3. sina<1 dhe cosa<1 si raporte të katetit më hipotenuzën. Ushtrimi 2, për gjetjen e funksioneve trigonometrike të këndeve 100; 200; deri 800, mund të realizohet duke ndërtuar paraprakisht në tabelë, çerek rrethi me rreze 20 cm si dhe duke realizuar me kujdes matjet përkatëse.. Ushtrimet 4 është e udhës të zgjidhen në klasë duke zhvilluar punë me grupe. Për ushtrimin 6, si detyre shtëpie, nxënësve mund tu jepet udhëzim.

Mësimi 14.3 VARËSITË NDËRMJET FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE TË KËNDIT Kuptime: Formula themelore e trigonometrisë. Varësia ndërmjet funksioneve sina; cosa; tga; cotga. Veti: Për çdo kënd a janë të vërteta formulat: sin 2 a + cos 2 a = 1; sin a tga = ; cos a cos a cot ga = . sin a

Metoda: Deduksion. Zbatim në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dinë përmendësh tri varësitë ndërmjet funksioneve trigonometrike të një këndi.

MATEMATIKA 9

191

• Të gjejnë funksionet e tjerë trigonometrike të një këndi të ngushtë, kur jepet sinusi apo kosinusi i tij. • Të zbatojnë formulat për varësitë ndërmjet funksioneve trigonometrike në barazime të thjeshta. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Formula themelore e trigonometrisë tga

sin2a+cos2a=1, si dhe formulat

sin a cos a = , provohen relativisht lehtë. Por ato vetëm se si dhe cot ga cos a sin a

duhen provuar dhe nuk ka pse të kërkohet vërtetimi i tyre në mësimin e ardhshëm. Shembulli 1 i zgjidhur në tekst është tipik dhe do të ndeshet shpesh herë në mësimet e ardhshme të trigonometrisë. Zgjidhja e tij nuk është e vështirë. Pas kësaj, në varësi të nivelit të klasës, mësuesi trajton ushtrimin 3, madje edhe duke zhvilluar punë me grupe. P.sh. Klasa ndahet në 4 grupe, të cilët zgjidhin këto ushtrime. Gjeni funksionet e tjerë trigonometrike të këndit a kur jepet: 2 Grupi A:cos a = ; 3 1 Grupi B:cos a = ; 5 1 Grupi C:sin a = ; 4 1 Grupi D:sin a = 3

Njëkohësisht mësuesi zgjidh në klasë një nga tri rastet e ushtrimit 2 dhe 3, si edhe diskuton në klasë këtë orë apo orën e ardhshme ushtrimin 4. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1/a-d.

Mësimi 14.4 VARËSIA NDËRMJET FUNKSIONEVE TRIGONOMETRIKE TË KËNDEVE PLOTËSUESE Kuptime: Këndet plotësuese. Veti: Dy kënde quhen plotësuese në qoftë se shuma e tyre është 900. sin(900-a)=cosa cos(900-a)=sina

192


tg(900-a)=cotga cotg(900-a)=tga (Për dy kënde plotësuese funksionet e njërit janë kofunksionet e tjetrit) Metoda: Deduksion. Zbatim në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të shprehin me formula varësitë ndërmjet funksioneve trigonometrike të këndeve plotësuese. • Të zbatojnë këto formula në identitete të thjeshtë. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Nxjerrja e formulave që shprehin varësitë ndërmjet funksioneve trigonometrike të këndeve plotësuese realizohet fare thjeshtë duke u nisur nga përkufizimi i tyre. Prandaj këto formula provohen me një pjesëmarrje të gjerë të nxënësve. Mësuesi këshillon nxënësit që këto formula si edhe formulat që shprehin tri lidhjet e pavarura, të shkruhen në një fletë të veçantë dhe nxënësit t’i mbajnë përpara gjatë zgjidhjes së ushtrimeve (më pas në këtë fletë do të shkruhen vlerat e funksioneve trigonometrike të këndeve 300; 450; e 600, si dhe varësitë ndërmjet brinjëve dhe këndeve të trekëndëshit). Thjeshtimi i shprehjes së ushtrimit 2 mund të realizohet nga vetë nxënësit. Më pas rekomandojmë që në klasë mundësisht të zgjidhet një nga rastet e ushtrimit 4 si edhe ndonjë ushtrim tjetër (5 ose 6). Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1, 2 dhe 3.

Mësimi 14.5 VLERAT 0 KËNDEVE 0 -900

E

FUNKSIONEVE

TRIGONOMETRIKE

TË

Qëllimi i kësaj ore mësimi është përdorimi i tabelës së vlerave të funksioneve trigonometrike të këndeve 10 deri 900. Me ndihmën e kësaj tabele zgjidhen dy problema: 1. Gjetja e vlerës së funksioneve trigonometrike kur jepet këndi. 2. Gjetja e këndit kur jepet vlera e njërit funksion trigonometrik të tij. Është e rëndësishme që të gjithë nxënësit ta përvetësojnë teknikën e përdorimit të tabelës. Për këtë qëllim mund të përdoret me sukses punë në grupe ku grupet t’i drejtojnë pyetje njeri tjetrit dhe të verifikojnë përgjigjet.

MATEMATIKA 9

Mësimi 14.6 VLERAT E FUNKSIONEVE KËNDEVE 300; 450 dhe 600.

193

TRIGONOMETRIKE

TË

Kuptime: Vlerat e funksioneve trigonometrike të disa këndeve të veçantë. Veti: Tabela e vlerave përkatëse Metoda: Deduksion. Zbatim në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të përdorin tabelën e vlerave të funksioneve trigonometrike të këndeve 300; 450 dhe 600 Udhëzime për zhvillimin e mësimit Fillimisht, duke operuar sipas ecurisë së propozuar në tekst, nxirren vlerat e funksioneve trigonometrike të këndeve 300; 450 dhe 600, të cilat është mirë të mësohen përmendësh nga nxënësit. Meqë praktika tregon se ky synim jo gjithmonë realizohet me sukses, këto formula të shtohen në fletën e veçantë që ka secili nxënës dhe të lejohen të mbahen përpara gjatë zgjidhjes së ushtrimeve. Përdorimi i shpeshtë i tyre, si dhe sondazhet e herëpashershme të mësuesit bëjnë që këto vlera gradualisht të mbahen mend. Në këtë mënyrë të operohet me ushtrimet 1, 2 si dhe me detyrat e shtëpisë. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1,2.

Mësimi 14.7 VARËSITË NDËRMJET BRINJËVE DHE KËNDEVE NË TREKËNDËSHIN KËNDDREJTË Veti: Në trekëndëshin kënddrejtë çdo katet është i barabartë me prodhimin e: 1. Hipotenuzës me sinusin e këndit përballë tij. 2. Hipotenuzës me kosinusin e këndit anëshkruar tij. 3. Katetit tjetër me tangjentin e këndit përballë tij. 4. Katetit tjetër me tangjentin e këndit anëshkruar tij. Metoda: Deduksion. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë elementet e panjohur të trekëndëshit kur jepen disa elemente të tij. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Në këtë orë mësimi rekomandojmë që fillimisht mësuesi të ndërtojë në tabelë një trekëndësh kënddrejtë si dhe elementet e tij (Fig. 14.12 e tekstit).

194


Pasi shkruhen raportet që shprehin funksionet trigonometrike të këndeve a dhe a c

b, nxirren formulat sin a = ⇒ a = c ⋅ sin a etj. Këto formula shprehen me fjalë në trajtën: Në trekëndëshin kënddrejtë, kateti është i barabartë me prodhimin e hipotenuzës me sinusin e këndit përballë tij etj. Më pas kalohet në zbatime, ku ka mundësi të shumta për punë me grupe. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1 dhe 2. Mësimi 14.8 USHTRIME Në këtë orë mësimi rekomandojmë që fillimisht të bëhet një kujtesë e momenteve kryesore të kreut (raporti gradë –radian; përkufizimi i funksioneve trigonometrike të këndit të ngushtë; lidhjet ndërmjet funksioneve trigonometrike të këndit; varësia ndërmjet funksioneve trigonometrike të këndeve plotësuese; vlerat e funksioneve trigonometrike të këndeve 300; 450 dhe 600; varësitë ndërmjet këndeve dhe brinjëve në trekëndëshin kënddrejtë). Më pas mësuesi gjykon nëse duhet të punojë në klasë shembullin 1 apo ndonjë shembull tjetër, që ai e gjykon të arsyeshëm. Pas kësaj ore mësimi rekomandohet të zhvillohet një testim, me nivel të përafërt me atë të propozuar në tekst.

KREU XV. GJEOMETRIA NË HAPËSIRË Mësimi 15.1 POZICIONI I NDËRSJELLË I DREJTËZAVE DHE PLANEVE Kuptime: Drejtëza paralele, prerëse, të kithëta. Plane paralelë dhe prerës; Drejtëza paralele me planin. Drejtëza pingule me planin. E pjerrëta me planin. Projeksioni i të pjerrëtës në plan. Këndi i drejtëzës me planin. Veti: Kënd i drejtëzës më planin quhet këndi që ajo formon me projeksionin e saj në plan. Metoda: Vëzhgim. Përkufizim. Zbatim në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të dallojnë pozicionin e ndërsjellë të drejtëzave dhe planeve në hapësirë (drejtëza paralele, prerëse dhe të kithëta; plane paralelë; drejtëz paralele me planin; drejtëz pingule me planin) • Të përcaktojnë në situata të ndryshme pingulet, të pjerrëtat me planin si dhe projeksionin e të pjerrëtës në plan.

MATEMATIKA 9

195

Udhëzime për zhvillimin e mësimit Në pjesën e parë të kësaj ore mësimi, duke u nisur nga modeli i një kuboidi (kubi), mësuesi përsërit koncepte të gjeometrisë në hapësirë, me të cilat nxënësit janë njohur në klasën e tetë. Rekomandojmë që mësimi të trajtohet siç është paraqitur në tekst. Pra mësuesi nxit nxënësit që në modelin e paraqitur të kuboidit të tregohen: 1. Drejtëza paralele, prerëse dhe të kithëta; 2. Plane paralelë dhe plane prerës; 3. Drejtëza paralele me planin; drejtëza pingule me planin. Më pas vizatohet figura përkatëse për të kujtuar përkufizimin e të pjerrëtës me planin, si dhe të projeksionit të saj. Për këte qëllim shërben edhe shembulli 1. Më pas kalohet në përkufizimin e këndit të të pjerrëtës me planin. Ushtrimi 2 i tekstit është mjaft i rëndësishëm dhe mënyra e zgjidhjes së tij do të përdoret gjerësisht edhe në mësimet e ardhshme, prandaj të trajtohet me shumë kujdes. Në përvetësimin e tij do të ndikonte pozitivisht përdorimi i një maketi kuboidi me tela. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1 dhe 2.

Mësimi 15.2 PLANE PINGULË Kuptime: Plane pingulë Veti: Në qoftë se një drejtëz është pingule me një plan, çdo plan që përmban këtë drejtëz është pingul me planin e dhënë. Metoda: Vëzhgim. Përgjithësim. Përkufizim. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të tregojnë praktikisht në mjedisin rrethues shembuj planesh pingulë. • Të formulojnë kushtin e ekzistencës së planeve pingulë. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Kjo orë mësimi duhet të bazohet krejtësisht në vëzhgime dhe situata konkrete nga mjedisi rrethues. Nxënësve mund t’u shtrohen pyetje të tilla: - Pse nuk rrëzohet kutia e shkrepëses kur vendoset mbi tavolinë? - Çdo të ndodhë në qoftë se muret e ndërtesës nuk do të ishin në pozicionin vertikal? - Si veprojnë muratorët për të ndërtuar një faqe muri ? etj, Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1 dhe 2.

196

Mësimi 15.3


SIPËRFAQJA SFERIKE. SFERA

Kuptime: Sipërfaqja sferike. Sfera. Qendra dhe rrezja e sipërfaqes sferike. Pozicioni reciprok i planit dhe sipërfaqes sferike (plani nuk e pret sipërfaqen sferike; është tangjent me sipërfaqen sferike; e pret sipërfaqen sferike). Rrethi i madh i sipërfaqes sferike. Veti : Sipërfaqe sferike është bashkësia e pikave të hapësirës të baraslarguara nga një pikë e caktuar (qendra e sipërfaqes sferike). Largesa e çdo pike të sipërfaqes sferike nga qendra është rrezja e sipërfaqes sferike. Trupi i kufizuar nga sipërfaqja sferike quhet sferë (ose rruzull). Në qoftë se h është largesa e qendrës së sipërfaqes sferike nga një plan dhe r është rrezja e sferës atëherë: 1. h>r. Plani nuk e pret sipërfaqen sferike. 2. h=r. Plani është tangjent me sipërfaqen sferike. 3. h
MATEMATIKA 9

Mësimi 15.4

197

USHTRIME

Qëllimi i kësaj ore mësimi është që nxënësit të familjarizohen me sipërfaqen sferike (sferën) dhe elementet e saj nëpërmjet zgjidhjes së problemave. Ushtrimi 1 është zbatim i drejtpërdrejtë i rastit të tretë të pozicionit të ndërsjellë të planit dhe sipërfaqes sferike. Edhe shembulli 1, i zgjidhur në tekst lidhet me këtë rast, por kërkohen llogaritje suplementare. Ai duhet të trajtohet me kujdes, sepse ndeshet edhe në klasat e mëvonshme. Shembulli i dytë ka të bëjë me planin tangjent me sipërfaqen sferike. Ushtrimet e rubrikës përkatëse në këtë orë mësimi të trajtohen në kuadrin e punës së diferencuar. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1 dhe 2.

Mësimi 15.5

ZBATIME

Kuptime: Plani ekuatorial. Ekuatori. Meridianet. Paralelët; gjerësia gjeografike. Veti : Plani horizontal që kalon nga qendra e sferës tokësore quhet plan ekuatorial. (Rrethi përkatës është Ekuatori i tokës). Rrathët e mëdhenj që kalojnë nga polet quhen meridianë. Rrathët paralelë me ekuatorin janë paralelët. Këndi që formon rrezja e një pike të sipërfaqes së tokës me planin ekuatorial është gjerësia gjeografike. Metoda: Përkufizim. Zbatime në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të interpretojnë matematikisht kuptimet gjeografike që kanë të bëjnë me rruzullin tokësor (ekuatori, meridianët, paralelët, gjerësia gjeografike.) • Të zbatojnë këto njohuri në situata problemore. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Me kuptimet e ekuatorit, paraleleve, meridianëve dhe gjerësisë gjeografike, nxënësit njihen nga lënda e gjeografisë. Ky fakt përbën një premisë pozitive që duhet shfrytëzuar. Në këtë orë mësimi këto kuptime konkrete në rruzullin tokësor interpretohen matematikisht (kryesisht në mënyrë intuitive). Për këtë qëllim është i përshtatshëm modeli i Fig. 15.19 të tekstit si edhe globi tokësor.

198


Shembulli i zgjidhur në tekst veç të tjerave është edhe interesant. Në zgjidhjen tij rezulton që pika me gjerësi të ndryshme gjeografike bëjnë rrugë të ndryshme gjatë rrotullimit të tokës, e rrjedhimisht kanë shpejtësi të ndryshme . Ky koment është i rëndësishëm të trajtohet me nxënësit. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me n r. 1,2 dhe 5.

Mësimi 15.6 SIPËRFAQET RROTULLIMIT

DHE

VËLLIMET

E

TRUPAVE

TË

Kuptime: Cilindri. Sipërfaqja anësore, e përgjithshme dhe vëllimi i cilindrit. Veti : Sa=2pRh; Sp=2pRh+ 2pR2 ; V=pR2h Metoda: Kujtesë e formulave. Zbatime në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të mbajnë mend formulat për llogaritjen e sipërfaqes anësore, sipërfaqes së përgjithshme dhe vëllimit të cilindrit. • Të zbatojnë këto njohuri në situata problemore. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Me formulat për llogaritjen e sipërfaqeve dhe vëllimit të cilindrit, nxënësit njihen nga klasa e tetë. Mësuesi vetëm se i kujton ato, duke vizatuar fillimisht cilindrin e Fig. 15.21 dhe duke shënuar elementet e tij (rrezja e bazës së cilindrit, diametri i bazës, lartësia , boshti i cilindrit). Formulat përkatëse shkruhen në një vend të dukshëm për t’i përdorur gjatë orës së mësimit. Ato shkruhen gjithashtu në një fletë të veçantë nga secili nxënës. Problemat e zgjidhura në tekst (shembulli 1) shoqërohen me formulën e zgjidhjes së ekuacionit të gradës së dytë, prandaj edhe kjo formulë të rikujtohet. Në varësi të kohës në dispozicion, mësuesi mund të zgjidhë në klasë edhe ushtrime të tjera. Në këtë orë, mësimi ka mundësi të gjera për të zgjidhur problema praktike nga jeta e përditshme. Si ushtrime të nivelit minimal janë to me nr. 1, 2 dhe 5.

MATEMATIKA 9

199

Mësimi 15.7 SIPËRFAQJA DHE VËLLIMI I SFERËS Kuptime: Sipërfaqja e sferës. Vëllimi i sferës. Veti = : S 4= p R2 ; V

4 p R3 . 3

Metoda: Formula të gatshme. Zbatime në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të mbajnë mend formulat për llogaritjen e sipërfaqes dhe vëllimit të sferës. • Të zbatojnë këto njohuri në situata problemore. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Formulat për llogaritjen e sipërfaqes dhe vëllimit të sferës jepen pa vërtetim, kështu që ora e mësimit ka karakter praktik, zgjidhje problemash. Pasi formulat shkruhen në një vend të dukshëm në tabelë si dhe në fletët e nxënësve, zgjidhen ushtrimet dhe shembujt e tekstit. Dy ushtrimet e parë mund e duhet të zgjidhen nga nxënësit, ndërsa shembujt nga mësuesi me pjesëmarrje të nxënësve. Si ushtrime të nivelit minimal janë ato me nr. 1 dhe 2. Mësimi 15.8 ZBATIME Në këtë orë mësimi, synimi i mësuesit duhet të jetë që nëpërmjet shembujve të sistemohen njohuritë kryesore të kreut. Për këtë qëllim rekomandojmë që fillimisht të trajtohen konceptet kryesore të kreut si pozicionet e ndryshme të drejtëzave, të drejtëzave dhe planeve si dhe të dy planeve në hapësirë, sipërfaqja sferike dhe elementet e saj, sipërfaqja dhe vëllimi i cilindrit dhe sferës, të cilat shërbejnë për përgatitjen e nxënësve për testimin që do të zhvillohet në orën e ardhshme. Si ushtrime të nivelit minimal janë to me nr. 1, 2 dhe 4.

200


KREU XVI. STATISTIKË E PROBABILITET Mësimi 16.1 STATISTIKA Kuptime: Popullimi, individët, tipari. Vlerat e tiparit. Tipari diskret dhe i vazhdueshëm. Metoda: Përkufizime. Përsëritje e koncepteve. Analizë e të dhënave statistikore. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të njohin e shpjegojnë kuptimet popullim, individ, tipar. • Të ndërtojnë tabela për sistemimin e të dhënave. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Kuptimet statistikore (popullim, individ, tipar, vlerë e tiparit), nxënësit i njohin nga klasat e mëparshme. Ato vetëm se rikujtohen nëpërmjet shembujve dhe jo duke kërkuar përkufizimin e tyre. Pra mësimi të zhvillohet me libër hapur dhe të fillojë me të dhënat e ushtrimit ku të evidentohen karakteristikat e mësipërme. Në të gjithë orët e mësimit që kanë të bëjnë me statistikën ka shumë efektivitet që shembujt e ushtrimet të zgjidhen e të diskutohen duke organizuar punën në grup. Kjo jo vetëm që shkurton kohë për llogaritjet, por edhe stimulon debatin.

Mësimi 16.2

LEXIMI I DIAGRAMAVE

Në klasën e tetë si edhe në shembujt e mësimit të kaluar, duke u nisur nga të dhëna statistikore nxënësit ndërtuan diagramat përkatëse. Në këtë orë mësimi synohet problema e anasjellë. Pra jepen diagrama të gatshme dhe stimulohen nxënësit që t’i “ lexojnë “ ato. Të dy shembujt e paraqitur krijojnë mundësi për t’u trajtuar me një pjesëmarrje të gjerë të nxënësve si dhe për të organizuar punë me grupe. P.sh., grupet hartojnë pyetje të cilat ia drejtojnë njeri tjetrit e më pas diskutojnë përgjigjet. Edhe detyrat e shtëpisë mund të jepen me grupe dhe në orën e ardhshme grupet të verifikojnë punë e njeri tjetrit.

MATEMATIKA 9

Mësimi 16.3

201

MESATARET

Kuptime: Moda, mesorja, mesatarja, amplituda. Veti: Moda është vlera me efektivin më të madh. Mesorja është vlera e mesit kur efektivat renditen në rendin rritës. Mesatarja M =

a + b + c + d + e + ⋅⋅⋅ . n

Amplituda është diferenca ndërmjet vlerës më të madhe me vlerën më të vogël. Metoda: Vëzhgim; përkufizim; interpretim. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të llogaritin mesataren në një shpërndarje statistikore. • Të gjejnë modën, mesoren dhe amplitudën në një varg të dhënash. • Të analizojnë të dhënat nëpërmjet interpretimit të këtyre karakteristikave. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Edhe me këto kuptime nxënësit njihen nga klasa e tetë. Ky është një avantazh që mësuesi duhet ta ketë parasysh në ndërtimin e orës së mësimit. Gjatë gjithë orës të synohet që nxënësit të angazhohen në përpilimin dhe plotësimin e tabelave, kryesisht në punë me grupe. (Disa nxënës llogaritin mesataren, disa mesoren, disa amplitudën etj). Ushtrimet janë relativisht të thjeshtë dhe mund të zgjidhen nga të gjithë nxënësit.

Mësimi 16.4 PROBABILITETI Kuptime: Hapësira e rezultateve. Probabiliteti i ngjarjes. Ngjarja e pamundur dhe e sigurtë. Veti: p =

n( A) n( H )

n(A)- numri i elementeve të ngjarjes A. N(H)- numri i elementeve të hapësirës së rezultateve.0 ≤ p ≤ 1 Metoda: Përkufizim; Zbatime në ushtrime. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të llogaritin probabilitetin e ngjarjeve në situata të thjeshta. • Të dallojnë ngjarjet e sigurta dhe ato të pamundura.

202


Udhëzime për zhvillimin e mësimit Duhet shfrytëzuar fakti që me probabilitetin nxënësit janë njohur në klasat e mëparshme. Shembujt më të përdorshëm në këtë rast janë ato me hedhjen e monedhës dhe të zarit kubik. Mësuesi duhet të ketë kujdes në trajtimin e ngjarjeve të pamundura dhe të sigurta (nëpërmjet shembujsh) si edhe të gjetjes së probabiliteteve përkatëse. Ushtrimet në këto orë janë mjaft të thjeshtë dhe praktika tregon se janë të pëlqyeshëm nga nxënësit, fakt që duhet të shfrytëzohet në dobi të efektivitetit të orës së mësimit. (nxënësit duhet të inkurajohen për t’i bërë pyetje njeri tjetrit duke u nisur nga të dhënat .

Mësimi 16.5 PROBABILITETI STATISTIKOR Kuptime: Denduria. Denduria relative. Veti: Denduria relative e konsideruar si probabilitet statistikor. Metoda: Induksion. Interpretime në situata konkrete. Shkathtësi: Në mbarim të mësimit, nxënësit të jenë në gjendje: • Të gjejnë probabilitetin statistikor në situata të thjeshta. • Të interpretojnë probabilitetin statistikor për parashikime. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Rekomandojmë që mësimi të zhvillohet me libër hapur duke shqyrtuar fillimisht tabelën dhe më pas shembullin 1. Gjithashtu edhe ushtrimi 1 i rubrikës ushtrime është interesant dhe krijon situatë të pëlqyeshme. Gjithsesi zgjidhja e tij është e përafërt dhe mund të diskutohet me nxënësit

Mësimi 16.6 USHTRIME Në këte orë mësimi, veç përsëritjes së koncepteve të probabilitetit, futet edhe kuptimi ngjarjeve të papajtueshme (si dy ngjarje që nuk kanë elemente të përbashkëta) si dhe formula e llogaritjes së probabilitetit të bashkimit të ngjarjeve. Këto koncepte do të përpunohen më tej në shkollën e mesme.

MATEMATIKA 9

203

IV. HORIZONTI I MËSUESIT IV.1. MBI TRAJTIMIN E EKUACIONIT ME NJË NDRYSHORE Dihet rëndësia e studimit të ekuacioneve në kursin shkollor të matematikës si për anën formuese (sepse studimi i tyre aktivizon dhe ndihmon përvetësimin e shumë kuptimeve të rëndësishme si atë të bashkësisë, të ndryshores, të funksionit etj.) ashtu edhe për anën zbatuese (meqenëse një sasi e konsiderueshme problemash shkencore, teknike e prodhimi zgjidhen me anën e ekuacioneve). Aspekte teorike të trajtimit të ekuacioneve me një ndryshore Shenja e barazimit (=) në matematikë përdoret në shumë kuptime të ndryshme. Po përmendim disa: a) Më shpesh shenja = përdoret në këtë kuptim: dy emra (paraqitje) të të njëjtit objekt. P.sh. shënimi 10=2×5 do të thotë që 10 dhe 2×5 janë emra të të njëjtit numër natyror. b) Shënja = përdoret për të dhënë përkufizime të kuptimeve të reja p.sh. f (a + h ) − f (a ) f ' (a ) = im h →0 h . c) Shenja = për të lidhur dy shprehje identikisht të barabarta p.sh. (x+1)2=x2+2x+1; x R. Vëmë në dukje se kuptimi i barazimit identik është i lidhur gjithnjë me një bashkësi të caktuar. Dy shprehje f(x), g(x) që kanë kuptim për çdo vlerë të x nga bashkësia E dhe i kanë vlerat përgjegjëse të barabarta për çdo x E, quhen shprehje identikisht të barabarta (shprehje identike) në E. Në këtë rast barazimi f(x)=g(x) quhet identitet në E. d) Në tjetër kuptim shenja = përdoret në ekuacione. Përfytyrimet e sotme e marrin kuptimin e ekuacionit të prejardhur prej atij të funksionit. Le të jenë f, g dy funksione (jo detyrimisht numerike) me fillim në bashkësinë X e mbarim në bashkësinë Y. Të zgjidhësh në bashkësinë X ekuacionin f(x)=g(x) do të thotë të përcaktosh bashkësinë A të elementeve të X-it , për të cilat vlera e funksionit f është e barabartë me vlerën e funksionit g. Çdo element x0 i X-it për të cilin f(x0 )=g(x0) quhet zgjidhje (ose rrënjë) e ekuacionit f(x)=g(x). Pra, kur shqyrtohet ekuacioni f(x)=g(x) në bashkësinë X nuk pohohet aspak që f(x) dhe g(x) janë dy emra të së njëjtës gjë ose dy shprehje identikisht të barabarta, por shtrohet ky problem: Të gjendet bashkësia e vlerave të ndryshores x nga X

204


për të cilat funksionet f, g marrin vlera të barabarta në bashkësinë X. Fjalia “f(x) është i barabartë me g(x), x X” është predikat. Ajo është e vërtetë për disa (ose asnjë) nga elementet e X-it dhe jo e vërtetë për elementet e tjera të X-it. Kur përcaktojmë bashkësinë A të elementeve të X-it për të cilat fjalia f(x)=g(x), x X është e vërtetë, d.m.th., kur gjejmë bashkësinë e vërtetësisë së predikatit, themi se kemi zgjidhur ekuacionin f(x)=g(x) në X. Kështu, fjalinë “f(x)=g(x), x X e shqyrtojmë si ekuacion, në qoftë se shtrohet problemi: të gjendet bashkësia e vlerave të ndryshores x nga X, për të cilat kjo fjali është e vërtetë. Rrënjët e ekuacionit janë elementet e bashkësisë së vërtetësisë së predikatit përkatës. E zëmë se funksioni f është pasqyrim i bashkësisë E1 (E1⊂ X) në Y, kurse funksioni g është pasqyrim i bashkësisë E2 (E2⊂ X) në Y. Shënojmë me E prerjen E1 ∩ E2. Bashkësia X quhet mjedis i ekuacionit “f(x)=g(x)”, x X, kurse bashkësia E quhet bashkësi e përcaktimit (ose bashkësi e vlerave të lejuara) të këtij ekuacioni. Pra, bashkësia e përcaktimit e ekuacionit f(x)=g(x), x X është prerja e bashkësive të përcaktimit të funksioneve f, g. Duhet thënë që ekuacioni, sikurse edhe funksioni nuk përcaktohet vetëm me dhënien e barazimit f(x)=g(x), por me dhënien e treshes: bashkësi e fillimit, bashkësi e mbarimit, barazimi f(x)=g(x). Çdo ekuacion shqyrtohet në bashkësi fillimi (mjedis) të caktuar. Me ndryshimin e mjedisit, edhe po të mbajmë të njëjtën bashkësi mbarimi, ndryshon edhe ekuacioni, edhe bashkësia e rrënjëve të tij. Kështu ekuacionet x2-1=0, x R dhe x2-1=0, x N janë ekuacione të ndryshme, me bashkësi të ndryshme rrënjësh. Një kuptim i rëndësishëm dhe delikat është ai i njëvlershmërisë së ekuacioneve me një ndryshore në një bashkësi të caktuar. Ekuacioni (2) u(x)=v(x) quhet rrjedhim i ekuacionit (1) f(x)=g(x) në bashkësinë X në qoftë se për çdo vlerë të x nga X është i vërtetë implikimi: [f(x)=g(x)]⇒[u(x)=v(x)] Me fjalë të tjera, ekuacioni (2) është rrjedhim i ekuacionit (1) në bashkësinë X në qoftë se bashkësia e rrënjëve të ekuacionit (1) është nënbashkësi e bashkësisë së rrënjëve të ekuacionit (2) në X. Ekuacioni (2) quhet i njëvlershëm në bashkësinë X me ekuacionin (1) në qoftë se për çdo vlerë të x nga X është i vërtetë implikimi i dyanshëm: [f(x)=g(x)] [u(x)=v(x)] Sipas këtij përkufizimi, ekuacionet (1) dhe (2) janë të njëvlershëm në bashkësinë X, atëherë dhe vetëm atëherë kur secili prej tyre është rrjedhim i tjetrit në X d.m.th., kur bashkësitë e rrënjëve të tyre në X janë të barabarta.

MATEMATIKA 9

205

Trajtimi teorik i ekuacioneve me një ndryshore dhe me mjedis X⊂ R në lëndën e matematikës (deri në gjimnaz) është mirë të bazohet në teoremat e mëposhtme: Teorema 1 Në qoftë se për çdo vlerë të x-it nga bashkësia X janë të vërteta barazimet A(x)=C(x) dhe B(x)=D(x), atëherë ekuacioni C(x)=D(x) është i njëvlershëm në X me ekuacionin A(x)=B(x). Teorema 2. Në qoftë se të dy anëve të ekuacionit A(x)=B(x), x X u shtojmë shprehjen C(x) që ka kuptim për çdo vlerë të x nga X, atëherë marrim ekuacionin A(x)+C(x)=B(x)+C(x) që është i njëvlershëm me të parin në X. Kushti që shprehja C(x) ka kuptim për çdo x X është i mjaftueshëm, por jo i nevojshëm për njëvlershmërinë e ekuacioneve A(x)=B(x) dhe A(x)+C(x)=B(x)+C(x) në bashkësinë X. P.sh. ekuacionet x-1=4 dhe x − 1 + ndonëse shprehja

1 1 = 4+ janë të njëvlershme në R, x−3 x−3

1 nuk ka kuptim për x = 3. x−3

Në të njëjtën kohë, pa këtë kusht teorema nuk është e vërtetë. P.sh. ekuacionet x-1=4 dhe

x −1+

1 1 = 4+ nuk janë të njëvlershëm në R. x−5 x−5

Teorema 3. Në qoftë se të dy anët e ekuacionit A(x)=B(x), x X i shumëzojmë me të njëjtën shprehje C(x) që ka kuptim për çdo vlerë të x-it nga X, atëherë marrim ekuacionin A(x)×C(x)=B(x)×C(x) që është rrjedhim i të parit në bashkësinë X. Edhe këtu kushti që C(x) të ketë kuptim për çdo vlerë të x-it nga X është i mjaftueshëm, por jo i nevojshëm për vërtetësinë e teoremës. Megjithatë, pa këtë kusht teorema nuk është e vërtetë. Për t’u bindur për këtë, mjafton të shqyrtojmë shembujt: 1 1 = 3 ⋅ me x − 2 = 3 (në R) x x 1 1 ( x + 3) ⋅ = 3 ⋅ me x + 3 = 3 (në R) x x

( x − 2) ⋅

Teorema 4. Në qoftë se të dy anët e ekuacionit A(x)=B(x), x ∈ X i shumëzojnë me të njëjtën shprehje C(x) që ka kuptim dhe që është e ndryshme nga zero për çdo vlerë të x-it nga X, atëhere marrim ekuacionin A(x)×C(x)=B(x)×C(x) që është i njëvlershëm me të parin në bashkësinë X.

206


Teorema 5. Në qoftë se n është numër natyror tek, atëherë ekuacioni An(x) = Bn (x), x X është i njëvlershëm në bashkësinë X me ekuacionin A(x)=B(x), x X. Teorema 6. Në qoftë se n është numër natyror çift, atëherë ekuacioni An(x)=Bn(x), x X është rrjedhim i ekuacionit A(x)=B(x), x X. Ekuacioni An(x)=Bn(x), x X është, në këtë rast, i njëvlershëm me disjunksionin [A(x)=B(x)] V[A(x)=-B(x)], x X. Teorema 7. Në qoftë se A(x) ≥ 0, B(x) ≥ 0 në bashkësinë X dhe n është numër natyror çift, atëherë ekuacioni An(x)=Bn(x), x X është i njëvlershëm me ekuacionin A(x)=B(x), x X. Gjatë trajtimit të ekuacioneve në shkolla vihen re shumë raste kur kryhet një vëllim i madh pune për zgjidhjen e ushtrimeve standarde, duke ju referuar pak ose aspak teorisë dhe si rrjedhojë nxënësi humbet thelbin e koncepteve dhe përmbajtjen e teoremave kryesore, duke ruajtur nga temat e kaluara vetëm ndonjë aftësi zbatuese lidhur me disa algoritme. Por jashtë të kuptuarit të metodave dhe koncepteve nuk mund të ketë përvetësim të lëndës, formim matematik e aftësi zbatuese. Prandaj nuk duhet lejuar që vëmendja të zhvendoset heshturazi tek aparati i zgjidhjes, tek algoritmet, duke synuar që nxënësit të veprojnë “mirë” me objekte që s’i njohin mirë. Është moskonsolidimi i koncepteve ai që i bën algoritmet pa bazë e të zbehen shpejt. Njëvlershmërisë së ekuacioneve, vetive të saj dhe përdorimit të tyre për algoritmin e zgjidhjes së ekuacioneve nuk i duhet kushtuar vëmendje vetëm në klasat e ciklit të lartë, ku duhet të jepen njohuritë kryesore teorike për ekuacionet, por edhe në klasat e tjera ku vërehet një automatizim i algoritmeve të zgjidhjes dhe lihet mënjanë bazimi teorik i tyre. Shpesh p.sh., nënvlerësohet vetia e kalimit (teorema 1) dhe për këtë shkak procesi i zgjidhjes merr karakter formal, sepse nuk argumentohet pse bashkësia e zgjidhjeve të ekuacionit fillestar është bashkësia e zgjidhjeve të ekuacionit përfundimtar. Mësuesi duhet të kujdeset për të ruajtur tek nxënësit njohuritë teorike për ekuacionet, duke zhvilluar ushtrime të veçanta. Shpesh paaftësia e nxënësve për të zbatuar në rastet e thjeshta konceptet dhe vetitë e ekuacioneve lidhet me punën formale që bëhet në klasë. Gjatë rutinës së kontrollit frontal ka mësues që drejtojnë pyetje të tilla si: ”Ç’thotë teorema e parë mbi njëvlershmërinë e ekuacioneve?”, të cilat kontrollojnë shkallën e njohjes formale të teorisë, në vend të pyetjeve që kontrollojnë shkallën e njohjes së ndërgjegjshme të saj.

MATEMATIKA 9

207

Aspekte metodike të trajtimit të ekuacioneve me një ndryshore . 1. Një nga metodat që mund të përdoret për të zgjidhur ekuacionet me një ndryshore në një bashkësi X është kjo: Zëvendësohet ekuacioni i dhënë me një ekuacion të dytë, të njëvlershëm me të parin në bashkësinë X, por më të thjeshtë. Pastaj ekuacionin e dytë e zëvendësojmë me një ekuacion të njëvlershëm me të (d.m.th., të njëvlershëm edhe me ekuacionin e parë) në bashkësinë X, por më të thjeshtë etj. Kështu veprojmë deri sa të arrijmë në ndonjë ekuacion të thjeshtë, rrënjët e të cilit mund t’i gjejmë menjëherë e që është i njëvlershëm me ekuacionin fillestar në X. Më i thjeshtë është ekuacioni i trajtës x = a, bashkësia e rrënjëve të të cilit është {a}. Ekuacionin tonë përpiqemi ta zëvendësojmë me një ekuacion të njëvlershëm me të, të trajtës x = a ose me disjunksion ekuacionesh të tillë (x=a1) V (x=a2)V….. V(x=an). Në rastin e fundit bashkësia e rrënjëve është {a1 , a2 , …., an }. Kjo rrugë mund të zbatohet p.sh., në zgjidhjen e ekuacioneve që sillen në ekuacione të fuqisë së dytë (pa ndryshore në emërues), në zgjidhjen e ekuacioneve eksponencialë etj. 2. Metodë tjetër që mund të përdoret për zgjidhjen e ekuacioneve është ajo e kalimit në ekuacione-rrjedhim. Për të zgjidhur ekuacionin e parë në bashkësinë X e zëvendësojmë atë me ndonjë ekuacion të dytë më të thjeshtë, që është rrjedhim i të parit në X. Gjatë kësaj mund të merren rrënjë të “huaja” për ekuacionin e parë, por nuk humbim asnjë nga rrënjët e tij. Pastaj ekuacionin e dytë e zëvendësojmë me një ekuacion të tretë më të thjeshtë, që është rrjedhim i të dytit në X etj. Kështu veprojmë deri sa të arrijmë në një ekuacion të thjeshtë, rrënjët e të cilin mund t’i gjejmë menjëherë e që është rrjedhim i ekuacioneve të mëparshme në X. Pastaj duhet që rrënjët e ekuacionit të fundit t’i kontrollojmë nëse janë rrënjë të ekuacionit fillestar. Në qoftë se si rrjedhim i ekuacionit f(x)=g(x), x X është disjunksioni (x=a1 )V (x=a2 )V ... V x=an), atëhere rrënjët e këtij ekuacioni i përkasin bashkësisë {a1, a2 , …..,an }. Kjo rrugë mund të ndiqet në zgjidhjen e ekuacioneve racionalë me ndryshore në emërues. 3. Një metodë që mund të përdoret shpesh për zgjidhjen e ekuacioneve është ajo me të cilën tregohet që ekuacioni (1) f(x)=g(x), x X është i njëvlershëm në bashkësinë X, me disjunksionin e ekuacioneve u1(x)=v1(x); u2(x)=v2(x);… .;un(x)=vn(x). Kjo do të thotë që çdo rrënjë e ekuacionit f(x) = g(x) është rrënjë e të paktën njërit prej ekuacioneve ui(x)=vi(x) (i=1, 2, …,n) dhe çdo rrënjë e ndonjërit prej këtyre ekuacioneve është rrënjë e ekuacionit f(x)=g(x). Kështu, bashkësia e rrënjëve të ekuacionit f(x)=g(x), x X është bashkimi i bashkësive të zgjidhjeve të ekuacioneve

208


ui (x)=vi(x), x X (i=1, 2,….,n). P.sh. ekuacioni (x-x1)×(x-x2)=0, x R, është i njëvlershëm me disjunksionin e ekuacioneve (x-x1=0)V(x-x2)=0, x R. Por duhet patur parasysh se në rastin e përgjithshëm ekuacioni f(x) . g(x)=0 nuk është i njëvlershëm me disjunksionin [f(x)=0]V[g(x)=0], x X. Secila nga rrënjët e ekuacionit f(x)×g(x)=0 është rrënjë e të paktën njërit nga ekuacionet f(x)=0, g(x)=0 d.m.th., vërteton disjunksionin [f(x)=0]V[g(x)=0]. Por tek njëri nga ekuacionet e rinj, p.sh., tek ekuacioni f(x)=0 mund të kemi rrënjë për të cilat shprehja g(x) nuk është e përcaktuar dhe është e qartë që rrënjë të tilla nuk janë rrënjë të ekuacionit f(x) . g(x)=0. P.sh. numri 2 është rrënjë e ekuacionit (x-2=0), por nuk është rrënjë e ekuacionit ( x − 2) ⋅ x 2 − 5 = 0. Në përgjithësi f(x) . g(x)=0⇒[f(x)=0 V g(x)=0], x X . 4. Një nga metodat më të për zgjidhjen e ekuacioneve me një ndryshore në lëndën e matematikës në shkollën e mesme duhet të jetë metoda e futjes së ndryshores së re. Për të zgjidhur ekuacionin f[j(x)]=0 futim ndryshoren e re duke shënuar j(x)=u; marrim kështu ekuacionin f(u)=0. Gjejmë të gjitha rrënjët u1 , u2 , …, un të ekuacionit f(u)=0 dhe pastaj zgjidhim secilin prej ekuacioneve të trajtës j(x)=uk (1 ≤ k ≤ n). Bashkimi i bashkësive të rrënjëve të të gjithë këtyre ekuacioneve jep bashkësinë e rrënjëve të ekuacionit f[j (x)]=0. 5. Një metodë me spektër të gjerë zbatimi, që aktivizon kuptime të rëndësishme është metoda grafike. Arsyetimi për zgjidhjen grafike të ekuacioneve bazohet nga njëra anë në kuptimin e rrënjës, si vlerë e ndryshores për të cilën vlerat përgjegjëse të dy funksioneve janë të barabarta dhe, nga ana tjetër, në kuptimin e grafikut si bashkësi pikash ku ordinatat janë vlerat e funksionit që u përgjigjen abshisave. Metoda grafike duhet të përdoret gjerësisht në zgjidhjen e ekuacioneve me një ndryshore, ndonëse jep vetëm vlera të përafërta për rrënjën. Me zbatimin e saj shkëputemi nga kufizimet që imponon shqyrtimi vetëm i mënyrës analitike të dhënies së funksionit, duke aktivizuar edhe mënyrat e tjera të dhënies së tij. 6. Evolucioni i mjeteve që progresi teknologjik vë në dispozicion të matematikës shkollore shoqërohet gjithmonë me një evolucion të metodave dhe të praktikave të saj. Informatika ndryshon në mënyrë cilësore dhe sasiore mundësitë për njehsime të sakta dhe të përafërta; lejon mënyra të reja trajtimi të problemave klasike dhe hap fusha për problema të reja. Në këtë këndvështrim programet dhe tekstet e reja duhet të rekomandojnë përdorimin e softwareve didaktikë për zgjidhjen e ekuacioneve me një ndryshore, nëse të tillë disponohen.

MATEMATIKA 9

209

Gjatë punës në klasë për zgjidhjen e ekuacioneve me një ndryshore mësuesi duhet të këmbëngulë për zotërimin e thelbit të koncepteve dhe përdorimin e drejtë të simbolikës. Për formimin e konceptit të ekuacionit duhet synuar kurdoherë që, nëpërmjet ushtrimeve të ndërtohen dy funksione (fillimisht dy shprehje me ndryshore) dhe pastaj të barazohen ato, duke formuar fjalinë me ndryshore për të cilën kërkohet vlera e ndryshores që e kthen atë në pohim të vërtetë. Shqyrtimi i ekuacioneve të njëvlershëm është mirë të bëhet me një paraqitje problemore. P.sh., pasi nxënësit me veprimtarinë e tyre zgjidhin në klasë një ekuacion të thjeshtë si 3(x-1)=x+3 shtrohen pyetjet: a) A jeni të sigurt që numri 3 është rrënjë e ekuacionit fillestar? b) A jeni të sigurt që ekuacioni fillestar nuk ka rrënjë të tjera? Lidhur me kuptimin e rrënjës të mbahet parasysh që: a) Rrënja, si vlerë e ndryshores, është një numër. Barazimi p.sh., x=2 është një ekuacion që ka për rrënjë numrin 2. b) Gjatë shënimit të rrënjëve, ato ndahen me pikëpresje p.sh. = x1 = 2; x2 4 . c) Të përdoret me vend lidhëza “ose” p.sh., x-1=0 ose x-2=0. d) Gjatë zbatimit të algoritmeve (p.sh., për zgjidhjen e ekuacionit të fuqisë së dytë) nxënësit t’i kryejnë veprimet sipas radhës. e) Të përdoret shenja për të lidhur dy ekuacione të njëvlershme (shpesh në vend të saj përdoret në mënyrë të gabuar shenja⇒. f) Të tregohet kujdes për mënyrën e paraqitjes me shkrim të procesit të zgjidhjes dhe për argumentimet. Me vlerë për këtë do të jetë edhe vendosja e shembujve të zgjidhur në tekste. g) Kur kalohet nga një ekuacion në një ekuacion tjetër të njëvlershëm me të parin nuk duhet të përdoret lidhëza “ose” por të thuhet “d.m.th”, “gjë që është njëlloj”, “ndryshe themi” etj. Shndërrimet e zakonshme (si p.sh. thjeshtimi i thyesave racionale, shumëzimi i të dyja anëve me emëruesin e përbashkët, reduktimi i kufizave të ngjashme, ngritja e të dyja anëve në katror) nuk e ngushtojnë bashkësinë e vlerave të lejuara të ndryshoreve në ekuacion, por mund ta zgjerojnë atë dhe të shkaktojnë shfaqjen e rrënjëve të huaja. Në praktikë nuk është nevoja të ndiqet ndryshimi që pëson bashkësia e vlerave të lejuara të ndryshores në ekuacion, sepse kjo mund të vështirësojë procesin e zgjidhjes, por caktimi, qoftë edhe me përshkrim, i kësaj bashkësie për ekuacionin fillestar është mirë të bëhet. Pasi kemi caktuar bashkësinë E të vlerave të lejuara të ndryshores në ekuacionin fillestar, kujdesemi të kryejmë shndërrime që çojnë

210


në ekuacion të njëvlershëm me të në E. Bashkësia e rrënjëve të ekuacionit të fundit të E, është edhe bashkësia e rrënjëve të ekuacionit fillestar në E, pra edhe në R. Kjo ide duhet mbajtur p.sh., gjatë zgjidhjes së ekuacioneve logaritmike. Për zgjidhjen e ekuacioneve racionalë është mirë të mbahet parasysh se çdo ekuacion racional me një ndryshore mund të shkruhet në trajtën P( x) = 0, x ∈ R ku P(x), Q(x) janë polinome me ndryshore x. Q( x)

Nga kushti i barazimit të thyesës racionale me zero (numëruesi merr vlerën 0 dhe emëruesi merr vlerë të ndryshme nga 0) del që ekuacioni

P( x) = 0, x ∈ R është Q( x)

P( x) = 0 . Mund të themi ndryshe që ekuacioni Q( x) ≠ 0

i njëvlershëm në R me sistemin 

P( x) = 0, x ∈ R është i njëvlershëm me ekuacionin P(x)=0 në bashkësinë E ku Q( x) P( x)

Q(x)≠0 d.m.th., në bashkësinë e vlerave të lejuara të ekuacionit = 0, x ∈ R . Q( x) Zgjidhja me sukses e ekuacioneve të tipave të ndryshëm ka vlera formuese vetëm kur nxënësit njohin metodat e algoritmet kryesore dhe janë në gjendje t’i zbatojnë ato në mënyrë të ndërgjegjshme e jo formalisht. Nuk është e rregullt p.sh., që nxënësit për zgjidhjen e ekuacionit të fuqisë së dytë të fillojnë drejtpërdrejt nga zbatimi i formulës x =

−b ± D dhe në rastin kur D<0. 2a

Edhe gjatë zgjidhjes së ekuacioneve përqendrimi i vëmendjes tek konceptet e metodat kryesore kërkon zbatime të thjeshta, të shumta e të larmishme, si një fazë e parë e procesit të njohjes së nxënësit me to. Në shkolla për fat të keq, ka mjaft shembuj kur vëmendja u kushtohet zbatimeve me shkallë ndërlikimi të lartë. Ato kanë të mirat e tyre në punën me nxënësit e përparuar, por të merret me to një nxënës i dobët në matematikë do të thotë të synohet që ai, duke mos qenë natyrisht në gjendje ta zgjidhë vetë, të përvetësojë mekanikisht një skemë zgjidhjeje të gjetur nga të tjerët. Përpunimi i konceptit mbi ekuacionin, rrënjët e tij, njëvlershmërinë e ekuacioneve etj. në ndërgjegjen e nxënësit duhet të bëhet shkallë-shkallë, me anë të rimarrjes së tyre në linjë spirale në procesin e punës së kërkimit të vetë nxënësit. Shtjellimi i materialit në tekst dhe në orën e mësimit duhet të synojë të kombinojë intuitën e

MATEMATIKA 9

211

të menduarit induktiv me atë deduktiv. Rekomandohet që me anë të një ushtrimi të shkurtër në hyrje të mësimit, të synohet që të ngjallet tek nxënësit një hamendje e caktuar. Kjo përcaktohet më tej me anë shembujsh e ushtrimesh të tjerë (disa nga të cilët gjysmë të zgjidhur e që duhen plotësuar në klasë apo në shtëpi). Pas nxjerrjes së përfundimit përgjithësues e vërtetimit të tij me rrugë deduktive, kalohet në zbatime të thjeshta e të larmishme, për të hapur rrugë për zbatime komplekse e jo standarde. Ka rëndësi që mësuesi t’i kushtojë kujdes kërkimit të metodave jo standarde të zgjidhjes. Me vlera formuese janë zgjidhjet e ekuacioneve në disa mënyra, për të veçuar mënyrën më racionale. Për një të mësuar aktiv e krijues të nxënësit ndikojnë edhe ushtrimet ku jepet një arsyetim i gabuar e kërkohet të gjendet gabimi. Për shembull, duke zgjidhur ekuacionin (x-5)×2=42 nxënësi nxori x-5=4, prej ku gjeti rrënjën 9. A ka vepruar drejt? Në rast se jo, si duhej vepruar?

Liber Mesuesi Matematika 9 1n1j3g

Overview 26281t

More details 6y5l6z

Related Documents 3h463d

Liber Mesuesi Matematika 9 1n1j3g

Matematika 1 Liber Mesuesi 5w4s5y

Liber Mesuesi - Muzika 6 392y6t

Liber-mesuesi-inf-7-8-9.pdf 4q4i6f

Liber Mesuesi Fizika 7 6t6o4g

Liber Mesuesi Fizika 6 5o1r72