Makalah Osilator Harmonik Sederhana i6d2j

MAKALAH MEKANIKA KUANTUM OSILATOR HARMONIK SEDERHANA

OLEH

KELOMPOK 4: ALTRI RAMADONI (15175001) BAHRIL ILMIWAN (15175005) WANDRIANTO (15175046) Dosen Pembimbing: Dr. Hamdi,M.Si

PRODI PENDIDIKAN FISIKA PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI PADANG

2016 M/ 1437 H

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis ucapkan kepada Allah Swt, yang telah memberikan rahmat dan karunia-Nya kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan makalah ini. Selama penulisan makalah ini, penulis banyak mendapatkan bantuan dari berbagai pihak, sehingga makalah ini dapat diselesaikan. Untuk itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada [1] Dr. Hamdi, M.Si dan Dr. Ramli, S.Pd, M.Si selaku dosen pembina mata kuliah Mekanika Kuantum dan [2] Rekan-rekan mahasiswa yang telah turut membantu memberikan kritik dan saran guna kesempurnaan makalah ini. Penulis menyadari dalam penulisan dan penyajian makalah ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, kritik dan saran dari semua pihak sangat penulis harapkan demi kesempurnaan makalah ini. Atas kritik dan saran yang diberikan, penulis mengucapkan terima kasih. Penulis mengharapkan semoga makalah ini dapat bermanfaat dan menambah wawasan bagi semua pihak.

Padang, April 2016

Penulis

2

DAFTAR ISI Halaman KATA PENGANTAR.....................................................................................................

i

DAFTAR ISI..................................................................................................................

ii

KOMPETENSI DASAR ...............................................................................................

1

INDIKATOR .................................................................................................................

1

DESKRIPSI MATERI ...................................................................................................

1

TUJUAN .......................................................................................................................

1

URAIAN MATERI BAB I PENDAHULUAN .................................................................................

2

BAB II PEMBAHASAN A. B. C. D.

Hubungan Operator Hamilton Dengan Energi Pada Schrodinger.......... 4 Annihilation Operator dan Creation Operator........................................ 5 Energi Eigenket dan Energi Nilai Eigen ................................................ 6 Pengembangan Waktu Osilator ............................................................. 11

BAB III PENUTUP A. Kesimpulan......................................................................................…..

15

B. Saran....................................................................................................... 15 DAFTAR PUSTAKA

.........................................................16

3

KOMPETENSI DASAR Menjelaskan Osilasi Harmonik Sederhana

INDIKATOR 1. 2. 3. 4.

Menjelaskan hubungan operator Hamilton dengan energi pada Schrodinger Menjelaskan annihilation operator dan creation operator Menjelaskan energi eigen dan energi nilai eigen Menjelaskan pengembangan waktu osilator

DESKRIPSI MATERI Pada makalah ini akan membahas tentang defenisi osilator harmonik sederhana, hubungan operator Hamilton dengan energi pada Schrodinger, annihilation operator dan creation operator, energi eigen dan energi nilai eigen dan perkembangan waktu osilator.

TUJUAN Setelah mengikuti perkuliahan ini melalui metode diskusi, pemberian tugas serta presentasi, diharapkan mahasiswa dapat: 1. 2. 3. 4.

Menjelaskan hubungan operator Hamilton dengan energi pada Schrodinger Menjelaskan annihilation operator dan creation operator Menjelaskan energi eigen dan energi nilai eigen Menjelaskan pengembangan waktu osilator

URAIAN MATERI BAB I 1

PENDAHULUAN

Osilasi adalah variasi periodik , umumnya terhadap waktu

dari suatu hasil

pengukuran, contohnya pada ayunan bandul. Istilah vibrasi sering digunakan sebagai sinonim osilasi, walaupun sebenarnya vibrasi merujuk pada jenis spesifik osilasi, yaitu osilasi mekanis. Osilasi tidak hanya terjadi pada suatu sistem fisik, tapi bisa juga pada sistem biologi dan bahkan dalam masyarakat. Osilasi terbagi menjadi 2 yaitu osilasi harmonis sederhana dan osilasi harmonis kompleks. Dalam osilasi harmonis sederhana terdapat gerak harmonis sederhana. Suatu sistem dalam keadaan setimbang statis maupun dinamis, apabila dalam sistem demikian disimpangkan sehingga dihasilkan gerak osilasi, maka gerak demikian dinamakan gerak harmonik, dari osilator harmonik sederhana yang terdiri atas massa ( m ), dengan kostanta pegas. Sistem pegas massa berosilasi pada sumbu x pada permukaan horizontal. Osilator harmonik sederhana ditempatkan pada gerakan osilasi terus – menerus atau dinyatakan sebagai osilasi bebas. Dalam praktiknya, sistem osilasi ini akan kehilangan energi dan akhirnya akan berhenti. Untuk osilasi harmonik teredam, ditinjau kembali suatu benda bermassa m dihubungkan dengan pegas, pada osilator sederhana akan selamanya berosilasi, tetapi pada kenyataannya pada setiap sistem mempunyai redaman sehingga sistem akan berhenti berosilasi, Pengaruh gaya gesek pada benda yang bergerak harmonik adalah amplitudonya akan makin berkurang, akhirnya menjadi nol, artinya gerakan berhenti. Hal ini disebabkan karena tak ada energi yang diambil dari luar. Gerakan ini disebut gerak harmonic teredam. Untuk mempertahankan osilasi suatu sistem osilator, maka energi berasal dari sumber luar harus diberikan pada sistem yang besarnya sama dengan energi disipasi yang ditimbulkan oleh peredamnya, osilasi yang demikian dinamakan sebagai osilasi paksaan atau disebut gerak harmonik yang dipaksakan yaitu gerak harmonik yang dipengaruhi oleh gaya luar yang bekerja terus – menerus secara periodik. Contohnya pada gerak harmonik pada bandul yaitu sebuah bandul adalah massa (m) yang digantungkan pada salah satu ujung tali dengan panjang l dan membuat simpangan dengan sudut kecil. Gaya yang menyebabkan bandul ke posisi kesetimbangan dinamakan gaya pemulih yaitu dan panjang busur adalah Kesetimbangan gayanya. Bila amplitudo getaran tidak kecil namun tidak harmonik sederhana sehingga periode mengalami ketergantungan pada amplitudo dan dinyatakan dalam amplitudo sudut. Gerak harmonik pada pegas yaitu sistem pegas adalah sebuah pegas dengan 2

konstanta pegas (k) dan diberi massa pada ujungnya dan diberi simpangan sehingga membentuk gerak harmonik. Gaya yang berpengaruh pada sistem pegas adalah gaya Hooke. Untuk osilator harmonik sederhana di dalam mekanika kuantum, akan dijelaskan lebih jelasnya di dalam makalah ini.

BAB II PEMBAHASAN 3

Osilator harmonik sederhana merupakan salah satu masalah yang paling penting dalam mekanika kuantum. Tidak hanya menggambarkan banyak konsep-konsep dasar dan metode mekanika quantum tetapi juga memiliki banyak nilai praktis. Pada dasarnya setiap potensi dapat didekati dengan baik pada osilator harmonik sederhana, sehingga menggambarkan fenomena dari getaran molekul hingga struktur nuklir. Selain itu, karena Hamiltonian pada dasarnya adalah jumlah kuadrat dari dua variabel konjugat kanonik, yang juga merupakan titik awal yang penting untuk banyak teori kuantum. A. Hubungan Operator Hamilton Dengan Energi Pada Schrodinger Berawal dari mekanika klasik, osilator harmonik merupakan sistem pegas massa yang terikat pada salah satu ujung pegas. 1. Hukum Hooke Membahas tentang gaya pemulih pada pegas, F= - k x 2. Hukum II Newton, F = m.a m. a=−k . x a=

−k x m

dimana a=

d2 x dt 2

ω2 =

k m

3. Energi pada pegas 

Energi Kinetik , dengan v= ω x Maka



1 2 2 V k= m ω x 2

Energi Potensial,

1 V p= m ω2 x2 2

Tinjauan energi pegas pada mekanika kuantum 1. Menggunakan Persamaan Schrodinger Diperoleh 4

[

2

]

2

−ђ d 1 + m ω2 x 2 ψ ( x )=E ( x ) 2 2m dx 2

2. Menggunakan Operator Hamiltonian diperoleh H

( p , x )=

p2 1 2 2 + mω x 2m 2

Dimana Hψ ( x )=Eψ ( x ) Maka:

[( )

]

1 d 2 2 ђ + ( mωx ) =0 2m dx Dengan menggunakan sifat aljabar, diperoleh:

(

1 d ђ + i⏞ mωx dx √2 m

)

(

1 d ђ −i⏞ mωx dx √2 m

)

B. Annihillation Operator dan Creation Operator Dimulai dengan metode elegan Operator Dirac, yang didasarkan pada karya sebelumnya dari M. Born dan N. Wiener, untuk mendapatkan energi eigenkets dan energi eigen dari osilator harmonik sederhana, dengan dasar dari Hamiltonian yaitu

dimana ω adalah frekuensi sudut dari osilator klasik terkait dengan konstanta pegas k dalam hukum Hooke melalui

. Operator x dan p, tentu saja, Hermitian. Hal

ini mudah untuk menentukan dua operator non-Hermitian,

5

yang dikenal sebagai annihilation operator dan creation operator, masing-masing, untuk alasan yang akan menjadi jelas segera. Menggunakan hubungan pergantian kanonik, diperoleh

C. Energi Eigenkets dan Energi Nilai Eigen Untuk sejumlah operator digunakan yang jelas Hermitian Hal ini mudah untuk menunjukkan bahwa

jadi kita memiliki hubungan penting antara sejumlah operator dan operator Hamiltonian:

Karena H adalah fungsi linier dari N, N dapat didiagonalkan bersamaan dengan H, yang menunjukkan sebuah energi eigenket N oleh eigenvalue n, sehingga

Kemudian akan ditunjukkan bahwa n harus bilangan bulat positif. Karena (2.3.6) kami juga memiliki

yang berarti bahwa nilai eigen energi yang diberikan oleh

Untuk menghargai arti fisik a, a+, dan N, pertama mari kita perhatikan bahwa

6

di mana kita telah menggunakan (2.3.3). Demikian juga, kita dapat memperoleh

Sebagai hasilnya,

Dan:

Hubungan ini menyiratkan bahwa

juga merupakan eigenket N dengan

nilai eigen meningkat (menurun) per satu. Karena kenaikan (penurunan) n per satu jumlah penciptaan (pemusnahan) dari satu unit kuantum energi ђω, penciptaan istilah Operator (pemusnahan operator) selama bahwa

dan saya

dianggap tepat. Persamaan (2.3.1 2b) menyiratkan

adalah sama hingga konstan perkalian. Kami menulis

di mana c adalah konstanta numerik yang akan ditentukan dari persyaratan yang baik dan

menjadi normal. Pertama, perhatikan bahwa:

Kita dapat mengevaluasi ruas kiri dari (2.3. 14) dengan mencatat bahwa

hanya

operator nomor, sehingga

Mengambil c menjadi nyata dan positif oleh konvensi, akhirnya didapatkan

7

Demikian, mudah untuk menunjukkan bahwa

Misalkan menerapkan operator pemusnahan untuk kedua sisi (2.3.16):

Kita dapat memperoleh eigenkets Operator numerik dengan lebih kecil dan lebih kecil n sampai urutan berakhir, yang pasti akan terjadi setiap kali kita mulai dengan bilangan bulat positif n. Orang mungkin berpendapat bahwa jika kita mulai dengan noninteger n, urutan akan tidak menghentikan, yang mengarah ke eigenkets dengan nilai negatif n. Tapi kami juga memiliki persyaratan positif untuk norma dari

yang berarti bahwa n tidak pernah bisa negatif! Jadi kami menyimpulkan bahwa urutan harus mengakhiri dengan n = 0 dan nilai-nilai yang diizinkan n adalah bilangan bulat non-negatif. Karena nilai terkecil yang mungkin dari n adalah nol, keadaan dasar dari osilator harmonik memiliki

Kita sekarang dapat berturut-turut menerapkan operator penciptaan keadaan dasar

sampai

menggunakan (2.3.17), kita memperoleh:

8

Dengan cara ini kita telah berhasil membangun eigenkets simultan N dan H dengan nilai eigen energi

Dari (2.3.16), (2.3.17), dan kebutuhan untuk orthonormality (1 n)}, kita memperoleh elemen matriks

Menggunakan ini bersama-sama dengan

kita memperoleh elemen matriks x dan p operator:

Perhatikan bahwa baik x maupun p adalah diagonal dalam representasi N kita gunakan. Hal ini tidak mengherankan karena x dan p, seperti

dan

, tidak komutatif

dengan N. Metode operator juga dapat digunakan untuk mendapatkan eigenfunctions energi dalam ruang posisi. Mari kita mulai dengan keadaan dasar yang didefinisikan oleh

9

Dengan representasi-x, dibaca

Mengingat (1.7.17), kita bisa menganggap ini sebagai persamaan diferensial untuk fungsi gelombang keadaan dasar

di mana kami telah memperkenalkan

yang menetapkan skala panjang osilator. Kita melihat bahwa solusi dinormalisasi ke (2.3.28) adalah

Kami juga dapat memperoleh eigenfunctions energi untuk keadaan tereksitasi dengan mengevaluasi

Secara umum, kita memperoleh

Ini adalah petunjuk untuk melihat nilai-nilai harapan x2 dan p2 untuk keadaan dasar. Pertama, perhatikan bahwa 10

Ketika kita mengambil nilai harapan x2, hanya terminologi lalu di (2.3.33) menghasilkan menghilang kontribusi non:

Juga

Oleh karena itu nilai-nilai harapan kinetik dan energi potensial, masing-masing,

seperti yang diharapkan dari Teorema virial. Dari (2.3.25a) dan (2.3.25b), berarti

yang juga berlaku untuk keadaan tereksitasi. Oleh karena itu kita harus

dan kita melihat bahwa hubungan ketidakpastian puas dalam bentuk produk ketidakpastian minimum:

Hal ini tidak mengherankan karena fungsi gelombang keadaan dasar memiliki bentuk Gaussian. Sebaliknya, produk ketidakpastian untuk keadaan tereksitasi yang lebih besar:

11

sebagai pembaca mungkin dengan mudah memverifikasi. D. Pengembangan Waktu Oscillator Sejauh ini kita belum membahas evolusi waktu osilator keadaan kets atau diamati seperti x dan p. Segala sesuatu yang kita lakukan seharusnya mengadakan beberapa waktu instan, katakan pada t = 0; operator x, p, a, dan a+ yang dianggap baik sebagai operator gambaran-Schrodinger (di semua t) atau sebagai operator gambaran-Heisenberg pada t = 0. Dalam bagian yang tersisa dari bagian ini, kami bekerja secara eksklusif pada gambaran Heisenberg, yang berarti bahwa x, p, a, dan a+ pada semua tergantung waktu meskipun kita tidak secara eksplisit menulis

, dan sebagainya. Persamaan gerak Heisenberg

untuk p and x adalah, dari (2.2.32) dan (2.2.33),

Sepasang persamaan diferensial digabungkan setara dengan dua persamaan diferensial tidak berpasangan, yaitu,

dimana solusi adalah

Kebetulan, hubungan ini secara eksplisit menunjukkan bahwa N dan H adalah waktu independen operator bahkan dalam gambaran Heisenberg. Dalam hal x dan p, kita dapat menulis ulang (2.3.43) sebagai 12

Menyamakan Hermitian dan anti Hermitian bagian dari kedua belah pihak secara terpisah, kami menyimpulkan

Ini terlihat sama dengan persamaan gerak klasik. Kita melihat bahwa x dan p operator "berosilasi" seperti analog klasik mereka. Untuk alasan pedagogis, kita sekarang menyajikan derivasi alternatif (2.3.45a). Alih-alih memecahkan persamaan Heisenberg gerak, kita mencoba untuk mengevaluasi

Untuk itu, kami mencatat formula yang sangat berguna:

di mana G adalah operator Hermitian dan A adalah parameter nyata. Kami meninggalkan bukti rumus ini, yang dikenal sebagai Baker Hausdorff lemma, sebagai latihan. Mengaplikasikan formula ini untuk (2.3.46), kita peroleh

13

Setiap istilah di sisi kanan dapat dikurangi baik x atau p dengan berulang kali menggunakan

sesuai dengan (2.3.45a).

14

BAB III PENUTUP

A. Kesimpulan 1. Suatu sistem dalam keadaan setimbang statis maupun dinamis, apabila dalam sistem demikian disimpangkan sehingga dihasilkan gerak osilasi, maka gerak demikian dinamakan gerak harmonik, dari osilator harmonik sederhana yang terdiri atas massa ( m ), dengan kostanta pegas. 2. Persamaan gerak Osilasi harmonik pada mekanika kuantum berawal dari gaya pemulih pegas dan energi potensial pegas yang terdapat pada mekanika klasik. 3. Persamaan energi kinetik dan potensial osilator harmonik didapatkan dari hubungan persamaan Schrodinger dengan operator Hamilton

4. Setiap gelombang yang melakukan osilasi memiliki energi eigenket sebesar

5. Perkembangan evolusi waktu pada osilator harmonik sederhana menggunakan gambaran Heisenberg

15

B. Saran Untuk memahami lebih lanjut mengenai osilator harmonik sederhana diharapkan memahami penyelesaian persamaan schrodinger, sifat incompetiblen dari dua operator yang berbeda, kemampuan matematis dalam pemecahan soal

DAFTAR PUSTAKA

Beisser, Arthur. 1999. Konsep Fisika Modern. Jakarta: Erlangga. M.O., Tjia. (2003), Mekanika Kuantum, Penerbit ITB, Bandung. Sakurai, J.J. and Napolitano, Jim, (2011), Modern Quantum Mechanics, 2th Edition, John Wiley & Sons. Tang, C.L. (2005), Fundamentals of Quantum Mechanics for solid state electronics and optics, Cambrides

16