Manual De Matematica 296q27

Conte´ udo 1 Teoria de Conjuntos 1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Nota¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Simbologia . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Relac¸c˜oes de Perten¸ca . . . . . . . . . . 1.1.4 Formas de defini¸c˜ao de um conjunto . . 1.1.5 Conjuntos Finitos e Conjuntos Infinitos 1.1.6 Igualdade de Conjuntos . . . . . . . . . 1.1.7 Conjunto Nulo ou Conjunto Vazio . . . 1.1.8 Conjunto Universo ou Universal . . . . 1.1.9 Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.10 Conjunto de conjunto . . . . . . . . . . 1.1.11 Opera¸c˜oes Sobre Conjuntos . . . . . . . 1.2 Exercicios De Aplica¸c˜ao . . . . . . . . . . . . .

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3 3 3 4 5 5 5 6 6 6 7 8 8 10

´tica 2 Aritme 2.1 Raz˜oes e Propor¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Percentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Exercicios de Aplica¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 12 14 14

ˆnciac ˜ o e Radiciac ˜o 3 Pote ¸a ¸a 3.1 Potˆencia¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Opera¸c˜oes com Potˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Multiplica¸c˜ao de Potˆencias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes 3.2.2 Divis˜ao de Potˆencias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes . . . 3.2.3 Multiplica¸c˜ao de Potˆencias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes 3.2.4 Divis˜ao de Potˆencias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes . . . 3.2.5 Potˆencia de Potˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Radicia¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Raiz de ´Imdice n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Multiplica¸c˜ao e Divis˜ao de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Simplifica¸c˜ao de Radicais (Redu¸c˜ ao ao mesmo ´ındice) . . . . . . . . 3.3.4 Compara¸c˜ao de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Adi¸c˜ao e Subtra¸c˜ao de Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6 Potˆencia de uma raiz e Raiz de uma Potˆencia . . . . . . . . . . . . . 3.3.7 Exercicios de Aplica¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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17 17 18 18 18 18 18 18 19 19 19 20 20 21 21 22

4 Algebra 4.1 Express˜oes Algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Express˜oes num´ericas e valor num´erico de uma express˜ao 4.1.2 Dom´ınio de Express˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Valores Num´ericos de Uma Express˜ao Literal . . . . . . .

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4.1.4 4.1.5 4.1.6 4.1.7 4.1.8 4.1.9 4.1.10 4.1.11 4.1.12

Polin´omios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mon´omios Semelhantes e Mon´omios Iguais . . . . . . . Opera¸c˜oes Sobre Mon´omios . . . . . . . . . . . . . . . . Polin´omios, Polin´omios Semelhantes e Polin´ omios Iguais Factoriza¸c˜ao de Polin´ omios . . . . . . . . . . . . . . . . Polin´omios Quadr´aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tri˜angulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercicios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Geometria Plana ´ 5.1 Areas, Per´ımetros e Volumes de Figuras Geom´etricas . . 5.1.1 Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Losango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Rectˆangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.6 Classifica¸c˜ao dos triangulos - Quanto aos lados . ˆ 5.1.7 Classifica¸c˜ao de Triangulos - Quanto aos Angulos 5.1.8 Trap´ezio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.9 Papagaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.10 C´ırculo e Circunferˆencia . . . . . . . . . . . . . . 5.1.11 Sector Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.12 Linhas de N´ıvel de Um Triˆ angulo . . . . . . . . . 5.1.13 Teorema de Pitˆagoras . . . . . . . . . . . . . . . ˆ 5.1.14 Angulos Complementares . . . . . . . . . . . . . ˆ 5.1.15 Angulos Internos de Um Triangulo . . . . . . . . ˆ 5.1.16 Angulos Suplementares . . . . . . . . . . . . . . ˆ 5.1.17 Angulos Internos de Um Quadrilatero . . . . . . ˆ 5.1.18 Angulos Verticalmente Opostos . . . . . . . . . . ˆ 5.1.19 Angulos Alternos Internos . . . . . . . . . . . . . ˆ 5.1.20 Angulos Correspondentes . . . . . . . . . . . . . 5.1.21 Teorema De Semelhan¸cas de Triangulos . . . . .

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27 28 28 29 30 31 33 35 37

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40 40 40 41 42 43 43 44 47 48 49 50 50 51 54 55 55 56 56 56 57 58 58

˜ es e Func ˜ es 6 Relacc ¸o ¸o 6.1 Relac¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Fun¸c˜ao Inversa . . . . . . . . . . . 6.1.3 Fun¸c˜oes Compostas . . . . . . . . 6.1.4 Sistemas de Equa¸c˜oes e Inequa¸c˜ oes 6.2 Exercicios De Aplica¸c˜ao . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineares . . . . .

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60 60 62 63 64 65 71

˜ es Quadra ´ ticas 7 Func ¸o 7.1 Fun¸c˜oes e Equa¸c˜oes Quadr´aticas, Radicais 7.1.1 Fun¸c˜oes Quadr´aticas . . . . . . . . 7.1.2 Estudo Completo de uma Fun¸c˜ ao . 7.1.3 Equa¸c˜oes Quadr´aticas . . . . . . . 7.1.4 Exerc´ıcio . . . . . . . . . . . . . . 7.1.5 Equa¸c˜oes Param´etricas . . . . . . . 7.1.6 Fun¸c˜ao e Equa¸c˜ao Radical . . . . . 7.1.7 Composi¸c˜ao de fun¸c˜oes por fun¸c˜ oes 7.1.8 Equa¸c˜oes e Inequa˜oes Radicais . . 7.2 Exercicios De Aplica¸c˜ao . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radical . . . . . . . . . .

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74 74 74 77 78 80 80 80 81 82 85

3

˜o Logaritmica e Expone ˆncial 8 Func ¸a 8.1 Fun¸c˜ao e Equa¸c˜ao Exponˆencial . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Resolu¸c˜ao de Equa¸c˜oes Exponenciais . . . . . . . . 8.1.2 Inequa¸c˜ao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3 Fun¸c˜ao exponˆencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.4 Representa¸c˜ao Gr´afica de uma Fun¸ca˜o Exponencial 8.1.5 C´alculo Logar´ıtmico . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.6 Propriedades Importantes . . . . . . . . . . . . . . 8.1.7 Equa¸c˜ao Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.8 Inequa¸c˜ao Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.9 Fun¸c˜ao Logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.10 Representa¸c˜ao Gr´afica . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Exercicios de Aplica¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˜o Homogra ´ fica E Modular 9 Func ¸a 9.0.1 Fun¸c˜ao e Equa¸c˜ao Homogr´afica 9.1 Equa¸c˜oes e Inequa¸c˜oes . . . . . . . . . 9.2 Fun¸c˜ao Modular . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Gr´afico da Fun¸c˜ao Modular . . 9.2.2 Equa¸c˜oes Modulares . . . . . . 9.2.3 Inequa¸c˜oes Modulares . . . . . 9.3 Exercicios de Aplica¸c˜ao . . . . . . . .

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10 Trigonometria Elementar 10.1 Raz˜oes Trigonom´etricas No Triˆ angulo Rectˆangulo ˆ 10.1.1 Angulos Complementares . . . . . . . . . 10.1.2 F´ormula Fundamental da Trigonom´etria . 10.1.3 C´ırculo Trigonom´etrico . . . . . . . . . . 10.1.4 agem Para o Primeiro Quadrante . . 10.1.5 agem Para Radianos . . . . . . . . . 10.1.6 Teorema dos Senos . . . . . . . . . . . . . 10.1.7 Teorema dos Cossenos . . . . . . . . . . . ´ 10.1.8 Area de triˆangulo . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Exercicios de Aplica¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . ˜ es E Equac ˜ es Trigonome ´tricas 11 Func ¸o ¸o 11.1 Fun¸c˜oes Trigonom´etricas . . . . . . . . . 11.1.1 Fun¸c˜ao Seno . . . . . . . . . . . 11.1.2 Fun¸c˜ao Coseno . . . . . . . . . . 11.1.3 Fun¸c˜ao Tangente . . . . . . . . . 11.2 Equa¸c˜oes Trigonom´etricas . . . . . . . . 11.2.1 Seno . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Coseno . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Tangente . . . . . . . . . . . . . 11.3 Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ao . . . . . . . . .

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˜ o e Limites de Sucesso ˜ es; Limite de Func ˜ es 12 Sucessa ¸o 12.1 Sucess˜ao e Limites de Sucess˜oes . . . . . . . . . . . . . 12.1.1 Sucess˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.2 Monotonia de uma Sucess˜ao . . . . . . . . . . . 12.1.3 Gr´afico de uma Sucess˜ao . . . . . . . . . . . . . 12.1.4 Limite de uma Sucess˜ao . . . . . . . . . . . . . 12.1.5 Opera¸c˜oes com Limites de Sucess˜oes . . . . . .

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90 90 90 92 93 93 95 96 96 98 99 99 100

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104 104 107 108 110 114 117 118

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121 121 123 123 124 126 129 129 130 130 131

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133 133 134 136 138 139 139 140 140 141

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145 145 145 146 147 148 148

4

12.2

12.3

12.4 12.5 12.6

12.7

12.1.6 Formas Indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.7 O N´ umero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Progress˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Progress˜ao Aritm´etica . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.2 Termo Geral de uma Progress˜ao Aritm´etica. . . . . 12.2.3 Soma de n termos de uma Progress˜ao Aritm´etica. 12.2.4 Progress˜ao Geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.5 Termo Geral de uma Progress˜ao Geom´etrica. . . . 12.2.6 Soma de n termos de uma Progrss˜ao Geom´etrica. . Limite de uma Fun¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1 C´alculo de Limite de uma Fun¸c˜ ao . . . . . . . . . 12.3.2 Indetermina¸c˜ao do Tipo . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.3 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.4 Limites Not´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alguns Exercicios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . Continuidade de Fun¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5.1 Pontos de Descontinuidade . . . . . . . . . . . . . Classifica¸c˜ao dos Pontos de Descontinuidade . . . . . . . . 12.6.1 Descontinuidade da Primeira Esp´ecie . . . . . . . . 12.6.2 Descontinuidade da Segunda Esp´ecie . . . . . . . . Exercicios De Aplica¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

´ lculo Difere ˆncial 13 Ca 13.1 Conceito de Derivada . . . . . 13.2 Deriva¸c˜ao por Tabela . . . . . 13.2.1 Regras de Deriva¸c˜ao . 13.2.2 Tabelas de Deriva¸c˜ao . 13.2.3 Exercicios Propostos . 13.3 Exerc´ıcios Resolvidos . . . . . 13.4 Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ao . . .

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149 150 152 152 152 152 153 153 154 155 156 156 156 158 158 161 161 162 162 162 163

. . . . . . .

167 167 174 174 175 178 180 185

Centro de Preparaçao aos Exames de isao ao Ensino Superior- EAES www.eaes.ac.mz Por: Justino M. J. Rodrigues

PREFÁCIO O presente livro (manual) foi preparado pelos professores deste centro (EAES) sob a sua coordenação e é destinado ao âmplo circulo de estudantes ocupados no estudo de preparação aos exames de issão para o ensino superior ou no desenvolvimento da actividade pedagógica nos centros de ensino e pesquisa em particular. O traço característico deste livro (manual) consiste em expor os problemas e as tendências actuais de planos curriculares orientados para o ensino geral e técnico nacional, o aperfeiçoamento e assimilação das matérias dadas nas escolas, assinalados sob óptica do desenvolvimento estável dos princípios básicos da teoria e da prática, planificação dos métodos de estudos, sem expor a metodologia concreta de planificação. Os autores põe em destaque os elementos que devem ser assimilados e que possam ser úteis nas diferentes condições de avaliação nos exames de issão de modo a alcançar os objectivos desejados. O livro pode ser utilizado como material de estudo. O EAES ficar-lhe-á muito grato se nos dar a conhecer a sua opinião a cerca da tradução do presente livro, assim como acerca da sua apresentação e impressão. Agradecer-lhe-emos também qualquer outra sugestão. NB: Este livro é propriedade do centro e todos seus direitos e obrigações estão reservados a este centro ( EAES ) É expressamente proibido a sua reprodução, seja ela por fotocópia ou outra forma electrónica, tanto como a sua venda fora deste estabelecimento (EAES) como detentor de todos direitos. Maputo, Maio de 2007 Justino M. J. Rodrigues (Coordenador )

Justino Rodrigues ( Coordenador ),E– Mail [email protected] , Cel? 82-0432 760- www.eaes.ac.mz 17

2

Caro Leitor!...

Quero antes, agradecer a todos que de forma directa ou indirecta fizeram parte desta obra, ao escrevela inspirei-me nos princ´ıpios de um grande Professor que postula a ideia de que ”...ensinar ´ e lembrar aos outros que eles sabem tanto quanto vocˆ e!...” e procurei de modo solene e calmo mostrar as mais importantes agens que todos tivemos (porque acredito em v´ os) durante o ensino secund´ario e na pr´e da Universidade. Estou consciente de que a caminhada para o ensino sup´erior ´e ardua, disconfortante, mas tamb´em t´enue e gratificante. Espero que este mat´erial sirva aos leitores amigos dos ”romances matem´ aticos”como ferramenta necess´aria para a caminhada que se disp˜oem seguir, e porquˆe n˜ao um bom livro para as f´erias de fim do ano? Tem se dito, um bom come¸ co, meio caminho andado - comece por aqui. Mo¸cambique vive nos ultimos dias uma crescente tendˆencia de sa´ıda da lista de paises menos alfabetizados ”paises pobres at´e no saber...” O Governo mo¸cambicano aposta na forma¸c˜ ao e olha para ela como uma base sustent´avel e funcional para a conquista dos mais dignos valores de uma sociedade ´ neste solene momento em que as aten¸c˜ socializ´avel. E oes do pa´ıs est˜ao viradas `a causa do pensamento, do saber e da forma¸c˜ao, que em cada mo¸cambicano devemos criar um Mo¸cambique - o pa´ıs que nos viu nascer, por isso, c´a estamos frente a um desafio que ´e nosso e acima de tudo ´e para n`os. Estamos todos conv´ıctos de que venceremos os desafios que iremos enfrentar; ´e com este espirito de convic¸c˜ ao, com esta esperan¸ca, que buscamos `a n`os o empenho, a abnega¸c˜ ao, a dedica¸c˜ ao, energia e calor para a caminhada que hoje iniciamos. Este caminho, cheio de agruras a que v`os propusestes seguir ´e duro, e acima de tudo ´e encorajador e digno, por isso, como Professor, amigo e apaixonado pela escrita ofere¸co esta obra e desejo ao leitor , muito e muito bom trabalho. Bem Haja.

Dr. Betuel de Jesus Varela Canhanga (Licenciado em Inform´atica)

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Cap´ıtulo 1

Teoria de Conjuntos 1.1

Conjuntos

A teoria de conjuntos ´e uma parte da matem´atica que desempenha um papel de extrema importˆancia na vida do dia a dia. Ela ´e aplicada em muitos campos da ciˆencia tais como: Estat´ıstica, Engenharia, Economia e etc... Neste capitulo debrussaremo-nos sobre linhagensb´asicas da teoria de conjuntos, os estudantes em prepara¸c˜ao para os exames de iss˜ao dever˜ ao le-lo com muito cuidado e resolver paulatina e atenciosamente os exerc´ıcios que se seguem. Defini¸ c˜ ao 1.1. Conjuntos e elementos- O conjunto ´e um conceito fundamental em todos os ramos da matem´atica; intuitivamente um conjunto ´e uma lista, uma colec¸c˜ ao, um agrupamento ou uma classe de objectos com caracter´ısticas identicas. Os objectos em um conjunto, como veremos nos exemplos seguintes podem ser qualquer coisa, podem ser pessoas, rios, lagos, nome de provincias, etc. Estes objectos que fazem parte de conjuntos s˜ao chamados elementos do conjunto. Exemplo 1.1. Vejamos seguintes exemplos de conjuntos e seus elementos 1) Os n´ umeros 1, 3, 7, 10 podem ser vistos como elementos de um conjunto. 2) As solu¸c˜oes da equa¸c˜ao x3 + 3x − 1 = 0 s˜ao elementos de um conjunto. 3) As vogais do alfabeto portuguˆes s˜ao elementos de um conjunto. 4) Os estudantes que faltam as aulas, s˜ao elementos de um conjunto. 5) Maputo, Gaza, Inhambane, Zamb´ezia, Cabo Delgado; s˜ao elementos de um conjunto.

1.1.1

Nota¸co ˜es

Designam-se Conjuntos geralmente usando letras Mai´ usculas Exemplo 1.2. A = {2, 4, 6, 8, ...}

B = {1, 3, 5, 7, 9, ...}

C = {maputo, pemba, xai − xai, lichinga} 3

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

4

Os elementos de um conjunto designam-se com letras minusculas Exemplo 1.3. Veja que os nomes dos elementos do conjunto C descrito acima, aparecem com iniciais minusculas. Um outro exemplo ´e o das vogais do alfabeto que se representam de modo seguinte {a, e, i, o, u} Observa¸ c˜ ao 1.1. Veja que no exemplo anterior os elementos de um conjunto aparecem separados pelo sinal de v´ırgula. Quando representamos um determinado conjunto, relaccionando-o com seus elementos denotaremos de modo seguinte A = {a, e, i, o, u} onde o nome do conjunto aparece com letras mai´ usculas e os elementos aparecem com letras min´ usculas. Os elementos de um conjunto aparecem entre chaves ”{}”. A esta forma de representar conjuntos chamamos Forma tabular ou representa¸ c˜ ao por extens˜ ao Se definirmos um conjunto particular usando uma determinada propriedade de que se revestem seus elementos, como, por exemplo: Ao considerarmos o conjunto B como sendo o conjunto de num´eros impares, usamos uma letra qualquer; por quest˜ao de uniformidade usaremos a letre x para representar um elemento qualquer e o simbolo ”:”que significa - tal que, e escrevemos B = {x : x = 2k − 1, k ∈ N} e lˆe-se: B ´e um conjunto de n´ umeros x tal que esses n´ umeros x0 s s˜ao impares. A esta meneira de construir ou representar um conjunto chama-se representa¸c˜ ao por compreens˜ ao

1.1.2

Simbologia

Os simbolos mais usados na teoria de conjuntos est˜ao representados a seguir 1) ∈

pertence

2) ∈ /

n˜ao pertence

3) =

igual

4) 6=

dif erente

5) ⊂

contido

6) 6⊂

n˜ao contido

7) ⊃

cont´em

8) 6⊃

n˜ao cont´em

9) {}

vazio

10) ]

cardinal

a∈B m∈ /B

A=B A 6= B A⊂B A 6⊂ B A⊃B A 6⊃ B

]{1, 4} = 2

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1.1.3

5

Relac¸co ˜es de Perten¸ ca

• Quando um elemento a n˜ao faz parte de um determinado conjunto A, diz se que a n˜ ao pertence A. E escreve se a 6∈ A • Quando um elemento a faz parte de um determinado conjunto A, diz se que a pertence a A. E escreve se a ∈ A Exemplo 1.4. Seja A = {a, b, c, d, e, f }, Dizemos que A ´e um conjunto e a, b, c, d, e, f s˜ ao elementos do conjunto A. Poderemos ter seguintes afirma¸c˜ oes ♣ a∈A ♣ e∈A ♣ m 6∈ A ♣ p 6∈ A

1.1.4

Formas de defini¸c˜ ao de um conjunto

Diremos que um conjunto est´a bem definido, quando claramente identificam-se os seus elementos. Existem 3 formas de defini¸c˜ao de um conjunto X Extens˜ao X Compreens˜ao X Diagrama de Venn Defini¸ c˜ ao 1.2. Um conjunto diz-se definido ou representado por extens˜ ao quando ”extendemos”, listamos todos seus elementos Exemplo 1.5. O conjunto A est´a representado por extens˜ao A = {1, 3, 5, 7, 9}. Defini¸ c˜ ao 1.3. Um conjunto diz-se definido ou representado por compreens˜ ao quando ”compreendemos”com base em uma regra quais s˜ao os constituintes do mesmo Exemplo 1.6. Vejamos seguintes exemplos. O conjunto A est´ a representado por extens˜ao A = {x : x = 2k − 1; k ∈ N e x < 10}.

1.1.5

Conjuntos Finitos e Conjuntos Infinitos

Defini¸ c˜ ao 1.4. Um conjunto diz-se Finito se poder-se identificar o n´ umero de elementos que dele fazem parte. Em outras palavras, se tiver Cardinal. Exemplo 1.7. Vejamos seguintes exemplos. 1) O Conjunto formado por capitais provinciais de Mo¸cambique

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2) O Conjunto formado pelos estudantes desta turma 3) O Conjunto de n´ umeros naturais menores que 1000000 Defini¸ c˜ ao 1.5. Um conjunto diz-se Infinito se n˜ao se poder identificar o n´ umero de elementos que dele fazem parte. Em outras palavras, se n˜ao tiver Cardinal. Exemplo 1.8. Vejamos seguintes exemplos. 1) O Conjunto formado por n´ umeros entre 1 e 3. 2) O Conjunto de n´ umeros naturais maiores que 1000000

1.1.6

Igualdade de Conjuntos

Defini¸ c˜ ao 1.6. O conjunto A diz se igual ao conjunto B se eles tiverem mesmos elementos, isto ´e, todos elementos de B pertencem a A - e todos elementos de A pertencem a B. Exemplo 1.9. Vejamos seguintes exemplos. • A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 1, 4} s˜ao conjuntos iguais • O conjunto formado por pessoas de sexo femenino ´e igual ao conjunto formado por mulheres. ”Retirem equivocos, esque¸cam guys, lesbicas e maricas...S´o para relaxar...” • Seja A = {x : x2 + 4x + 4 = 0},

1.1.7

B = x : x + 2 = 0,

e C = {−2} s˜ao conjuntos iguais.

Conjunto Nulo ou Conjunto Vazio

Defini¸ c˜ ao 1.7. Diz se que um conjunto ´e nulo ou vazio e denota-se {} ao conjunto que n˜ao cont´em elementos. Em outras palavras, o seu cardinal ´e igual a zero Exemplo 1.10. Vejamos seguintes exemplos. • O conjunto formado por todas pessoas com mais de 700 anos de vida na terra • O conjunto formado pelas solu¸c˜ oes da equa¸c˜ ao x2 + 1 = 0

1.1.8

Conjunto Universo ou Universal

Defini¸ c˜ ao 1.8. Em qualquer aplica¸c˜ ao da teoria de conjuntos, todos os conjuntos estudados estar˜ao no momento de estudo particularizados de um outro conjunto mais amplo e expresso, por exemplo, quando falamos de n´ umeros naturais, vemos que eles fazem parte de um outro conjunto, que ´e o conjunto de n´ umeros. Quando falamos de estudantes desta sala, vemos que eles fazem parte do conjunto de estudantes desta escola, portanto h´a sempre uma tendˆencia de particularizar um pequeno

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7

conjunto de um outro conjunto mais amplo com o intuito de concentrar aten¸c˜ oes sobre a mat´eria em estudo. Diz se que um conjunto ´e Universo ou Universal e denota-se U , se ele cont´em todos subconjuntos de um determinado caso em estudo. Exemplo 1.11. Vejamos seguintes exemplos • Em Geometria plana o conjunto Universal ´e o conjunto de todos os pontos do espa¸co. • O Conjunto Universal do conjunto de estudantes desta turma ´e o conjunto de todos estudantes desta escola.

1.1.9

Subconjuntos

Defini¸ c˜ ao 1.9. O nome vai mais longe, sub-conjunto, um conjunto pequeno. O termo pequeno na lingua portuguesa ´e relactivo,”pequeno em relac¸c˜ ao a alguma coisa.”Diz se que o conjunto A ´e subconjunto do conjunto B , se todos elementos de A pertencem, isto ´e, tamb´em s˜ao elementos de B. Exemplo 1.12. Veja seguintes exemplos • Seja A = {1, 2, 3, 4, 5},

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, o conjunto A ´e subconjunto do conjunto B.

Em outras palavras A ⊂ B • O conjunto de capitais provinciais do Sul de Mo¸cambique ´e um subconjunto de capitais provinciais de Mo¸cambique. • Conhecemos os conjuntos – N- Conjunto de n´ umeros naturais – Z- Conjunto de n´ umeros inteiros – Q- Conjunto de n´ umeros racionais – R- Conjunto de n´ umeros reais Ent˜ao poderemos ver que o conjunto de n´ umeros naturais ´e subconjunto de Z e dai segue se a seguinte cadeia N⊂Z⊂Q⊂R Costuma a dizer que o conjunto A ´e superconjunto de B . Esta afrima¸c˜ ao equivale a dizer que o conjunto B ´e subconjunto de A e isto ´e l´ogico, se B ´e subconjunto de A, ent˜ ao A ´e superconjunto de B . A ser assim temos para a firma¸c˜ ao A⊂B os seguintes coment´arios:

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8

1) O conjunto A ´e subconjunto de B 2) O conjunto A est´ a contido em B 3) O conjunto B ´e superconjunto de A 4) O conjunto B ´e cont´ em A Para a afirma¸c˜ao A 6⊂ B poderemos fazer seguintes coment´arios 1) O conjunto A n˜ ao ´ e subconjunto de B 2) O conjunto A n˜ ao est´ a contido em B 3) Existe em A pelo menos um elemento que n˜ao faz parte de B 4) O conjunto B n˜ ao cont´ em A Observa¸ c˜ ao 1.2. Aten¸c˜ao: ♠

Sem limita¸c˜ao da sua essˆencia e para todos efeitos, o conjunto vazio - ”{}” ´e subconjunto de

qualquer conjunto ♠

Se o conjunto A = B ent˜ao A ⊂ B e B ⊂ A

1.1.10

Conjunto de conjunto

Algumas vezes os elementos de um determinado conjunto, s˜ao tamb´em conjuntos, exemplo, o conjunto formado por todos subconjuntos de um determinado conjunto ´e um conjunto de conjuntos ou ainda fam´ılia de conjuntos Exemplo 1.13. Vejamos seguintes exemplos 1) O conjunto A = {{a, b}, {c}, {a, e}} ´e um conjunto de conjuntos.

1.1.11

Opera¸co ˜es Sobre Conjuntos

1) Reuni˜ ao - Chama-se reuni˜ao de dois conjuntos ou mais a opera¸c˜ ao que une elementos de dois ou de mais conjuntos. Exemplo 1.14. Sejam dados os seguintes conjuntos A = {1, 2, 4, 5},

B = {1, 2, 7, 8}

A reuni˜ao ∪ de A e B ´e um outro conjunto que poderemos designa-lo por C e teremos C = A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 7, 8} 2) Intersec¸ c˜ ao - Chama-se Intersec¸c˜ ao de dois conjuntos ou mais a opera¸c˜ ao que intersecta elementos de dois ou de mais conjuntos.

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Exemplo 1.15. Sejam dados os seguintes conjuntos A = {1, 2, 4, 5},

B = {1, 2, 7, 8}

A intersec¸c˜ao ” ∩ ” de A e B ´e um outro conjunto que poderemos designa-lo por C e teremos C = A ∩ B = {1, 2} Veja que participam na intersec¸c˜ ao os elementos que em simultˆ aneo pertencem a ambos os conjuntos. 3) Diferen¸ ca - Chama-se Diferen¸ca de dois conjuntos ou mais a opera¸c˜ ao que diferencia dois ou mais conjuntos. Exemplo 1.16. Sejam dados os seguintes conjuntos A = {1, 2, 4, 5},

B = {1, 2, 7, 8}

A Diferen¸ca ” \ ” de A e B ´e um outro conjunto que poderemos designa-lo por C e teremos C = A \ B = {4, 5} Veja que participam na diferen¸ca de A e B os elementos que fazem parte de A e que n˜ao fazem parte de B 4) Diferen¸ ca Sim´ etrica Exemplo 1.17. Sejam dados os seguintes conjuntos A = {1, 2, 4, 5},

B = {1, 2, 7, 8}

A Diferen¸ca ” \ ” de A e B ´e um outro conjunto que poderemos designa-lo por C e teremos C = A \ B = {4, 5} Veja que participam na diferen¸ca de A e B os elementos que fazem parte de A e que n˜ao fazem parte de B. A Diferen¸ca ” \ ” de B e A ´e um outro conjunto que poderemos designa-lo por D e teremos D = B \ A = {7, 8} A diferen¸ca sim´etrica ´e o conjunto E = C ∪ D = {4, 5, 7, 8} Denota-se E =A4B

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10

1.2

Exercicios De Aplica¸c˜ ao

1) Seja dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5} quais das seguintes afirma¸c˜ oes s˜ao verdadeiras? (a) 1 ∈ A (b) 1,2,3 pertencem a A (c) {1, 2, 3} ∈ A (d) 1 ⊂ A (e) 1 ∈ A 2) Sejam dados os conjuntos A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3, 7, 8} quais das seguintes afirma¸c˜ oes s˜ao verdadeiras? (a) 1 ⊂ A (b) 1, 2, 3 pertencem a A e a B (c) A ∈ B (d) {A} ⊂ B (e) A ⊂ B (f) B ⊃ A 3) Considere os conjuntos A e B do exerc´ıcio anterior e determine: (a) A ∪ B (b) A ∩ B (c) seja C={1,2,3,4,5,6,7,8}. determine A \ B (d) determine A \ B \ C (e) determine A \ (B \ C) (f) determine (A \ B) \ C 4) determine A ∩ B ∪ C 5) determine (A ∩ B) ∪ C 6) determine A ∪ (B ∩ C) 7) Em uma turma, 20 estudantes estudam matem´atica, 30 estudantes estudanm f´ısica. 10 estudam matem´atica e f´ısica. Responda as seguintes quest˜oes: (a) Quantos s˜ao os estudantes que frequentam somente matem´atica (b) Quantos s˜ao os estudantes que frequentam somente f´ısica (c) Quantos s˜ao os estudantes que frequentam matem´atica ou f´ısica (d) quantos estudantes tem a turma 8) Em um grupo musical ha pessoas de ra¸ca negra e individuos de ra¸ca branca. Depois de feitas as contas verificamos que h´a 15 brancos puros e 5 misti¸cos (brancos negros), o grupo ´e composto por 40 musiqueiros. Responda as quest˜oes que se seguem (a) fa¸ca o diagrama de Venn que ilustre esta descri¸c˜ ao (b) quantos s˜ao os negros puros (c) quantos s˜ao os negros ou brancos.

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9) Em uma avalia¸c˜ao considera-se posetiva as notas maiores que 10 e menores ou igual a 20, considera-se negativa as notas menores que 10, n˜ao se considera negativa nem posetiva a nota 10. Em estatisticas, um docente apresentou a seguinte descri¸c˜ ao: 30 estudantes tem posetivas e 40 tem negativas, a turma ´e composta por 80 estudante. (a) fa¸ca o diagrama de venn que ilustra a descri¸c˜ ao (b) quantos estudantes tiveram nota igual a 10 10) numa loja de vestuarios 400 pe¸cas tem a cor amarela, 200 tem a cor azul e 100 tem a cor branca. Na loja h´a 1000 pe¸cas, 20 pe¸cas tem cor branca e azul, 30 amarela e branca. (a) Fa¸ca o diagrama de Venn que ilustre a descri¸c˜ ao acima (b) Quantas pe¸cas tem cores amarela, azul e branca (c) Quantas pe¸cas tem a cor azul e amarela. (d) Quantas pe¸cas n˜ao tem cores amarela, azul e branca (e) Quantas pe¸cas n˜ao tem cores amarela, azul ou branca 11) Durante o capeonato escolar ado o centro internato de Mocuba acolheu v´arias equipas de diferentes modalidades desportivas (Voleibol, Andebol e Futebol). Da recep¸c˜ ao sabe se que: No total participaram 175 estudantes, 80 desportistas jogaram Andebol, 70 futebol, 5 jogaram voleibol, andebol e futebol, 10 jogaram voleibol e andebol. Sabe se tamb´em que 50 jogadores jogaram somente andebol e 40 jogaram somente futebol. Responda as quest˜oes que se seguem (a) Quantos s˜ao os desportistas que jogaram futebol e andebol. (b) Quantos s˜ao os desportistas que jogaram futebol e voleibol. (c) Quantos s˜ao os desportistas que jogaram somente voleibol. (d) Quantos s˜ao os desportistas que jogaram somente uma modalidade. (e) Quantos s˜ao os desportistas que jogaram duas modalidades. Ensinar ´ e lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto vocˆ e

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Cap´ıtulo 2

´tica Aritme 2.1

Raz˜ oes e Propor¸c˜ oes

De certeza o estudante j´a em algum momento ouviu falar de Raz˜ ao, uma express˜ao que como tantas pertencentes a lingua portuguesa podem ter diferentes sentidos. Falar em Matem´atica de raz˜ao entre dois n´ umeros a e b ´e falar do quociente a , b 6= 0 b ou ainda, ´e o mesmo que falar da divis˜ao de a por b, isto ´e: a ÷ b,

b 6= 0.

Exemplo 2.1. Numa sala de aulas est˜ao presentes 20 rapazes e 25 raparigas. Determine a raz˜ao entre o n´ umero de rapazes e raparigas. A raz˜ao entre o n´ umero de rapazes e o n´ umero de raparigas ´e no rapazes 20 4 = = o n raparigas 25 5 ou 4 ÷ 5, isto ´e 4 rapazes para 5 raparigas!!! Defini¸ c˜ ao 2.1. Quando falamos de raz˜ao entre dois n´ umeros a e b, isto ´e

a , ao dividendo a − b

chamamos antecedente e ao divisor b − chamamos consequente Defini¸ c˜ ao 2.2. Os desenhistas, cartografistas, marinheiros e outros afim, utilizam o conceito raz˜ao para relaccionar distˆancias reais e distˆancias mapeadas, para se distinguirem introduzem no lugar de raz˜ao o conceito de escala e define-se: escala =

medida do desenho medida real

Exemplo 2.2. No Mapa de Mo¸cambique a distˆancia entre Lichinga - Quelimane ´e de 50cm, sabendo 1 . Determine a distˆancia real em km de Quelimane que o mapa foi desenhado com uma escala de 5000 `a Lichinga. 12

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13

Exemplo 2.3. Qual ´e a raz˜ao entre as ´areas de duas circunferˆencias se a raz˜ao entre seus raios for 1 igual a 2 Resolu¸ c˜ ao. sen

1

−1

1

cos

−1

Figura 2.1: sen 2

−2

2

cos

−2

Figura 2.2: As duas Circunferˆencias acima s˜ao somente um exemplo de varias circunferˆencias que tem a relac¸c˜ ao de seus raios 1:2. Iremos designar r1 , S1 raio e superf´ıcie respectivamente da primeira c´ırcunferˆencia e r2 , S2 raio e superf´ıcie respectivamente da segunda c´ırcunferˆencia, pelo problema colocado temos: 1 r1 = . r2 2 Como neste exerc´ıcio devemos determinar a raz˜ao de propor¸c˜ ao entre as ´areas das duas c´ırcunferˆencia,

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

14

teremos: S1 π × r12 = = S2 π × r22

2.1.1

µ

r1 r2

¶2 =

µ ¶2 1 1 = 2 4

Percentagens

Come¸cemos por apresentar a defini¸c˜ao de percentagem. Defini¸ c˜ ao 2.3. Chama-se Percentagem a raz˜ao com consequente 100. Exemplo 2.4. Vejamos os exemplos seguintes: 30 X = 30% 100 4 133, 3 X = 1, 333 = = 133, 3% 3 100

2.1.2

Exercicios de Aplica¸c˜ ao

1) Numa sala est˜ao presentes 20 rapazes e 25 raparigas. Determine: (a) a percentagem de rapazes. (b) a percentagem de raparigas. 2) Um comerciante compra um par de sapatos por 100 d´olares e os vende por 3 milh˜oes de meticais, a taxa de cˆambio de 1usd : 25000M T n determine: (a) O valor de venda em usd. (b) O valor de compra em MTn. (c) o lucro em usd (d) a percentagem do lucro 3) Um funcion´ario recebia 1500usd, em Janeiro o seu sal´ario sofreu um aumento em 10% e em Junho um outro aumento de 20% Determine (a) O sal´ario recebido pelo funcion´ario em Fevereiro. (b) O sal´ario recebido pelo funcion´ario em Julho. (c) A subida percentual total. De Janeiro `a Julho. 4) O pre¸co de um producto aumenta 10% mensalmente. Ao fim de 12 aumentos qual ser´a o pre¸co sabendo que inicialmente era 5usd? 5) Se em Janeiro de 2007 for a emprestar um montante p de um banco, quanto devolver´ a em Janeiro de 2008 se a taxa de inflac¸c˜ao anual for de 30% 6) Nas festas de um determinado fim de ano o pre¸co do a¸cucar branco subiu em 20% e depois subiu novamente em 30%, mais tarde, em Janeiro sofreu uma redu¸c˜ ao em 15%, em quanto porcento variou o pre¸co? 7) Se um producto custa x M T n e sofre um aumento de 10% e mais tarde um outro aumento de 10%. Em quanto porcento variou o pre¸co do producto? (a) 20% (b) 15% (c) 21%

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15

(d) Nenhuma delas 1) Seja P = {0, 2, 4, {x|x = 2n, n ∈ N}.

6,

8, ...}. Mostre que P pode ser definido da seguinte maneira: P =

2) De uma defini¸c˜ao do mesmo tipo para I = {1,

3,

5,

7, ...}.

3) Simplifique as seguntes express˜oes: (a)

9! 5!

(b)

n! (n−2)!

(c)

n! (n+1)!

−

(n−1)! n!

4) Determine (a) C24 ,

C58 ,

n+2 Cn+1

(b) A42 ,

A85 ,

An+2 n+1

5) Com os d´ıgitos 0,1,2,3,4 quantos num´eros podem ser compostos por 5 algarismos, se n˜ao for permitida a repeti¸c˜ao de d´ıgitos. (veja que 11234 n˜ao ´e permitido porque houve repeti¸c˜ ao do d´ıgito 1). 6) Quantas bandeiras de faixas horizontais podem ser construidas apartir de cores Amarela, Azul e Verde. 7) Quantas bandeiras de uma faixa vertical e 3 faixas horizontais podem ser construidas apartir de cores Amarela, Azul, Verde e Vermelha. 8) Quantas bandeiras de uma faixa vertical (Verde ou Vermelha) e 3 faixas horizontais podem ser construidas apartir de cores Amarela, Azul, Verde e Vermelha. 9) Quantas turmas de 20 estudantes do I ano podem ser construidas se tiverem sido inscritos 30 estudantes do I ano. 10) Pretende-se criar uma comiss˜ao de 3 trabalhadores de um determinado departamento, sabendo que que nesse departamento ´e composto por 5 funcion´arios, quantos grupos diferentes podem ser compostos. 11) 70 pessoas estiveram presentes em um culto, cumprimentaram-se para cumprir um dos autos do culto. Quantos foram os apertos de m˜ao. 12) 3 litros de leite s˜ao divididos em latas de 13) Quantas latas de

1 3

(a)

2 3x

= 14 15 √ √ (b) x 2 = − 18 (c)

2 1 5 4 3x − 3 = −3x + 3 x+5 x−5 25 x−5 − x+5 = x2 −25

15) Resolva as inequa¸c˜oes seguintes: (a) 2x + 8 > 0 (b) 2x −

1 2

≤

x−1 2

do litro. Quantas latas s˜ao necessarias?

do litro s˜ao necessarias para dividir 15 litros de cerveja?

14) Resolva as seguintes equa¸c˜oes:

(d)

1 5

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

16

(c)

3(x+1) 2

≥

5x−2 4

16) Qual ´e a razao entre as ´areas de dois circulos, se a razao entre os seus raios for de

1 4?

17) Determine a razao entre os volumes de dois cubos, sabendo que a razao das arestas ´e de

1 2.

18) Num mapa de Mocambique, a distancia de Maputo a Beira ´e de 40cm. Sabendo que a escala ´e de 1 : 3000000, determine a distancia real. 19) A distancia de Quelimane a Beira ´e de 960km. Sendo a escala dum mapa de 1 : 2000000, qua ser´a a sua distancia no mapa? 20) Um aluno consegue 36 pontos dum total de 60 num teste. Que percentagem obteve o aluno? 21) O preco de venda dum produto subiu 20 por cento numa primeira subida de precos e 40 por cento na segunda subida. Qual foi a subida total em percentagem? Ensinar ´ e lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto vocˆ e Com a simplicidade construimos o nosso orgulho Typeset by LATEX 2ε

Cap´ıtulo 3

ˆnciac ˜ o e Radiciac ˜o Pote ¸a ¸a 3.1

Potˆ encia¸c˜ ao

Defini¸ c˜ ao 3.1. Pode acontecer que numa multiplica¸c˜ ao sucessiva os factores sejam iguais, isto ´e: • 2×2 • 3×3×3 • 4×4×4×4×4 Estes casos podem ser escritos de maneira mais simplificada, e teremos o seguinte: • 2 × 2 = 22 • 5 × 5 × 5 = 53 • 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 45 Ao falarmos de quadrado de dois, cubo de cinco e quinto de quatro, estamos a usar um novo conceito Potˆ encia Potˆ encia - ´e uma multiplica¸c˜ao de factores iguais. • 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 45 o simbolo 45 ´e uma potˆencia, • o 4 ´e o factor que se repete e chama-se Base da Potˆ encia • 5, que ´e o n´ umero de vezes em que se repete a base, chamaremos de Expoente. Observa¸ c˜ ao 3.1. Repare que ao escrevermos 41 , estamos sim a denotar uma potˆencia, no entanto, pela defini¸c˜ao, estaremos a supor existir uma multiplica¸c˜ ao com um s´o factor, o que n˜ao ´e verdade. A ser assim, convencionou-se que 41 = 4 e isto generaliza-se `a todos n´ umeros que tenham expoente igual a 1 a1 = a, ∀a ∈ R. Tamb´em convencionou se que a0 = 1, ∀a ∈ R \ {0}. 17

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

18

3.2

Opera¸co ˜es com Potˆ encias

As propriedades de multiplica¸c˜ao sucessiva de factores iguais, justificam as seguintes regras:

3.2.1

Multiplica¸c˜ ao de Potˆ encias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes

Ao multiplicarmos potˆencias com bases iguais e expoentes diferentes, mantemos a base e somamos os expoentes. Exemplo 3.1. 42 × 45 = 42+5 = 47 ,

3.2.2

1

1

5

52 × 5 2 = 52+ 2 = 5 2

Divis˜ ao de Potˆ encias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes

Ao dividirmos potˆencias com bases iguais e expoentes diferentes, mantemos a base e subtraimos os expoentes. Exemplo 3.2. 42 × 45 = 42−5 = 4−3 ,

3.2.3

1

1

3

52 × 5 2 = 52− 2 = 5 2

Multiplica¸c˜ ao de Potˆ encias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes

Ao multiplicarmos potˆencias com expoentes iguais e bases diferentes, mantemos o expoente e multiplicamos as bases. Exemplo 3.3. 24 × 34 = (2 × 3)4 = 64 ,

3.2.4

53 × 23 = (5 × 2)3 = 103 = 1000

Divis˜ ao de Potˆ encias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes

Ao dividirmos potˆencias com expoentes iguais e bases diferentes, mantemos o expoente e dividimos as bases. Exemplo 3.4.

µ ¶4 2 2 ÷ 3 = (2 ÷ 3) = , 3 4

3.2.5

4

4

53 ÷ 23 = (5 ÷ 2)3 = (2, 5)3

Potˆ encia de Potˆ encia

Nas linhas anteriores, procuramos transmitir ao estudante a no¸c˜ ao de potˆencia, vamos agora recursivamente desenvolver casos de sobreposi¸c˜ ao de potˆencias, exemplo ¡ 3 ¢4 2 ao desenvolvermos express˜oes com potˆencia de potˆencia faremos o seguinte ¡ 3 ¢4 2 = 23 × 23 × 23 × 23 = 23+3+3+3 = 212 de outra maneira poderemos manter a base e multiplicar os expoentes, isto ´e: ¡ 3 ¢4 2 = 23×4 = 212 = 4096

dr. betuel de jesus varela canhanga

19

Observa¸ c˜ ao 3.2. Importante: ?

Uma potˆencia s´o ´e negativa se tiver base negativa e expoente impar.

?

Uma potˆencia de expoente par, ´e sempre posetiva independentimente do sinal da base.

?

Sempre que o zero for base de uma potˆencia, ela ser´a igual a zero.

?

Sempre que o zero for expoente de uma potˆencia de base diferente de zero, ela ser´a igual a 1.

3.3

Radicia¸c˜ ao

√ Vamos, sem limita¸c˜ao da sua essˆencia, prestar aten¸c˜ ao a Raiz Quadrada - Raiz de indice 2: a, que ´e 1 √ ¡ ¢ 1 1 o mesmo que escrever a 2 . Desta propriedade adv´em que 4 = 4 2 = 22 2 usando a superpotˆencia¸c˜ ao 2× 12 teremos 2 = 2, com mesma analogia teremos √ √ 36 = 6 porque 62 = 36, 100 = 10 porque 102 = 100

3.3.1

Raiz de ´Imdice n

Consideremos o seguinte problema: O volume de um cubo ´e igual a 27cm3 . Qual ´e a medida das arestas do cubo? Resolu¸ c˜ ao: Para resolvar este problema, recordaremos primeiro a f´ormula para o c´alculo do volume de um cubo. Sabemos que: Vcubo = (aresta)3 ent˜ao, poderemos refazer a pergunta de nodo seguinte: Qual ´e o n´ umero que elevado ao cubo seja 3 igual a 27. Isto ´e x = 27 para calcular o valor recorremos ao seguinte x3 = 27 = x3 = 33 ⇒ x = 3. E dizemos, cubo de 3 ´e 27, ent˜ao, a aresta do cubo em quest˜ao mede 3cm. Defini¸ c˜ ao 3.2. Chama-se raiz de ´ındice n de um n´ umero real b ao n´ umero real a, tal que an = b onde n ´e o ´ındice do radical, b ´e o radicando. • caso o n seja impar o b pode ser qualquer valor real • caso o n seja par o b deve ser qualquer valor real posetivo ou zero. Ja que podemos olhar para um radical como uma potˆencia de expoente fraccion´ario, ent˜ ao, as propriedades e regras sobre multiplica¸c˜ ao e divis˜ao de potˆencias podem aqui ser utilizadas com uma eu ´nica prerogativa de que para o caso de raizes, os expoentes s˜ao frac¸c˜ oes.

3.3.2

Multiplica¸c˜ ao e Divis˜ ao de Radicais

Ao multiplicarmos (dividirmos) radicais com mesmo ´ındice obtemos um outro radical com ´ındice igual ao ´ındice dos radicandos factores (quocientes) e com radicamdo igual ao producto (raz˜ao) dos radicandos factores (quocientes). √ √ √ n n n a × b = a × b,

√ √ √ n n n a÷ b= a÷b

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

20

Exemplo 3.5. Veja os exemplos que se seguem: 1)

√ √ √ √ 3 2 × 3 24 = 3 2 × 24 = 3 48

2)

√ √ √ √ 3 2 × 3 24 = 3 2 × 24 = 3 48

3.3.3

Simplifica¸c˜ ao de Radicais (Redu¸c˜ ao ao mesmo ´ındice)

Vimos a multiplica¸c˜ao e divis˜ao de radicais com mesmo ´ındice. Existem casos em que se nos ´e imposta a necessidade de multiplicar e/ou dividir raizes com ´ındices diferentes. Situa¸c˜ oes desta natureza levam nos `a necessidade de simplifica¸c˜ao ou transforma¸c˜ ao de radicais. Observa¸ c˜ ao 3.3. Se multiplicarmos ou dividirmos o ´ındice de um radical e o expoente do radicando pelo mesmo valor natural n˜ao nulo, o valor do radical n˜ao se altera, isto ´e √ m n m a = an = Exemplo 3.6.

√ √ 3 3 27 = 33 =

√ m×k am×k = a n×k

n×k

√ √ 6 33×2 = 36

3×2

Esta propriedade ajuda-nos a resolver o caso de redu¸c˜ ao de radicais ao mesmo ´ındice. Tornando por esta via poss´ıvel a multiplica¸c˜ao de radicais com ´ındices diferentes. √ 3 5 e

√ 7

Achando o m.m.c de (2 e 3) que s˜ao os coeficientes dos dois radicais, obteremos 6, ent˜ ao: √ 3 5=

3.3.4

√ √ 6 52 = 25

3×2

√ √ 2 7= 7=

√ √ 6 73 = 73

2×3

dai

p √ √ √ √ 6 6 3 6 5 × 7 = 25 × 73 = 25 × 73

Compara¸c˜ ao de Radicais

• Com o mesmo ´Indice - Dois radicais com mesmo ´ındice e radicandos diferentes, ´e maior o que tiver maior radicando. Assim: √ √ 3 3 5 < 15 porque 5 < 15 Observe que os dois radicais tem mesmo ´ındice, o 3, a ser assim, basta comparar os radicandos. • Com ´ındices diferentes - N˜ao ´e poss´ıvel comparar dois radicais que tenham ´ındices diferentes; sempre que tivermos um caso de dois radicais que apresentem ´ındices desiguais, devemos primeiro reduzi-los ao mesmo ´ındice e depois procedemos como no caso anterior. Exemplo 3.7. Compare os radicais

√ √ 3 5 e 7. Vamos primeiro reduzir os dois radicais a outros

radicais equivalentes, com ´ındices iguais. Vamos achar o m.m.c entre os ´ındices, ”2 e 3”, teremos que este m.m.c ´e o 6. Ent˜ao: √ √ 2 7= 7=

√ √ 6 73 = 343

2×3

e

√ 3 5=

√ √ 6 52 = 25

3×2

Estes radicais podem ser comparados. Comparando os radicandos chegamos a conclus˜ao de que √ √ 25 < 343 e consequentimente 3 5 < 7

dr. betuel de jesus varela canhanga

21

agem de √ factores para fora ou para dentro de um radical. n n n Sabemos que: a = a n = a1 = a, ent˜ ao teremos: √ √ √ √ n n n n a × b = n an × b = a × b Exemplo 3.8. Vejamos os seguintes exemplos: 1)

√ √ √ √ 52 × 3 = 52 × 3 = 5 × 3

2)

√ √ √ √ √ 3 3 54 = 3 33 × 2 = 33 × 3 2 = 3 × 3 2

3.3.5

Adi¸c˜ ao e Subtra¸c˜ ao de Radicais

Vamos come¸car por definir radicais semelhantes Defini¸ c˜ ao 3.3. Chama-se Radicais Semelhantes aqueles que diferem somente no coeficiente. Exemplo 3.9.

√ 3 5,

√ 3 3 5

√ 3 7 625

Veja que os seguintes radicais a primeira n˜ ao parecem semelhantes. Mas se efectuarmos sobre eles algumas transforma¸c˜ oes obteremos radicais semelhantes. √ 3 5,

√ 3 3 5

p √ √ √ √ 3 3 3 3 3 7 625 = 7 54 = 7 53 × 5 = 7 × 5 5 = 35 5

teremos √ 3 5,

√ 3 3 5

√ 3 35 5

A adi¸c˜ao e subttra¸c˜ao de radicais semelhantes efectua-se aplicando a propriedade distributiva da multiplica¸c˜ao em relac¸c˜ao `a adi¸c˜ao. Assim: √ √ √ √ √ √ √ 5 5 5 5 7 5 + 5 5 = (7 + 5) 5 2 8 − 11 8 = (2 − 11) 8 = −9 8 Para os casos da soma e diferen¸ca, a redu¸c˜ ao n˜ao joga papel preponderante visto que para estas opera¸c˜oes muito mais do que reduzir ao mesmo ´ındice, necessitamos de reduzir os radicais `a semelhantes, condi¸c˜ao que n˜ao ´e satisfeita pelas regras de simplifica¸c˜ ao-redu¸c˜ ao de radicais.

3.3.6

Potˆ encia de uma raiz e Raiz de uma Potˆ encia

Vejamos agora o significado de ¢p ¡√ √ √ √ n a = n a × n a · · · n a p − vezes,

√ ¡√ ¢p √ n a = n a × a × a · · · a = n ap

Exemplo 3.10. Veja o seguinte exemplo ³ √ ´2 √ √ 3 3 3 5 = 52 = 25 Consideremos a seguinte situa¸ c˜ ao: q¡ √ ¢ ¡ √ ¢ 1 ³ 1´1 1 n n p a = p a n = ap = a n×p =

√ a

n×p

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

22

3.3.7

Exercicios de Aplica¸c˜ ao

1) Para que valores de x, tem sentido as seguintes express˜oes: √ (a) 2n x √ (b) 2n+1 x 2) Simplifique os seguintes radicais: √ 5 (a) 32a3 b2 p (b) 9x4 y 8 r 27ab4 (c) 12a5 p (d) 4 0, 04a4 (a − b)8 √ √ 3 686 × 3 5 √ 3) Efectue . 3 10 4) Simplifique: √ √ √ (a) 3 2 + 2 2 − 5 2 √ √ √ √ (b) 8 + 18 − 50 + 72 √ √ √ 5 5 5 (c) a5 b2 + 32b7 − 3a b2 5) Racionalize os denominadores das seguintes fracc˜oes: 4 (a) √ 14 √ 3+ 2 √ (b) 3 2 12 √ (c) √ 7+ 3 √ 4 2+5 √ (d) √ 2+ 3 6) Racionalize os denominadores das seguintes fracc˜oes: 4 (a) √ 3 14 √ 3+ 2 √ (b) 342 12 √ (c) √ 3 7+ 3 √ 4 2+5 √ (d) √ 2− 33 √ √ √ √ 2 3+3 2 4 3−2 2 √ + √ √ . 7) Efectue √ 3− 2 3+2 2 8) Escreva sob a forma de uma unica potencia: (a) 27 × 25 (b) 23x × 2−2x (c) 4x+1 × 4x−1

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23

9) Escreva sob a forma dum produto de potencias de mesma base: (a) 2x+3 (b) 32−x 10) Transforme numa so potencia: (a) an ÷ an−1 (b)

πx

(c)

x

÷

x−1

(a 6= 0)

π x+2 (x 6= 0)

11) Simplifique a express˜ao

93x × 6x+4 . 2x+3 × 37x−1

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Cap´ıtulo 4

Algebra 4.1

Express˜ oes Algebricas

Comet´ ario 4.1. qualquer exeperiˆencia no sentido pedag´ogico ´e uma procura de verdade no tempo, com a certeza do seu car´acter transit´orio. Na matem´atica a quest˜ao que hoje merece simpatia envolve uma resposta aos processos de moderniza¸c˜ao da propria ciˆencia, procurando na escola atitudes de pensamento adequadas, o pensamento matem´ atico. ´ Em Algebra da matem´atica estudaremos v´arios temas que se revestem de enorme importˆancia para o dom´ınio desta disciplina. Existem escritos de matem´aticos que descrevem este tema como uma constru¸c˜ao engenherica para estudantes de matem´atica, n˜ao se pode pensar em grandes matem´aticos desprovidos da ´ algebra matem´ atica. Um verdadeiro matem´atico n˜ao ´e um tecnocrata de num´eros, mas sim um malabarista de conceitos. Quase sempre nos deparamos com opera¸c˜ oes e problemas de matem´atica que exigem o conhecimento profundo de express˜oes alg´ebricas, express˜oes polin´omiais, factoriza¸c˜ ao e etc... estes assuntos ser˜ao com detalhe tratados neste tema.

4.1.1

Express˜ oes num´ ericas e valor num´ erico de uma express˜ ao

Na lingua portuguesa, chamamos de express˜ao o acto ou efeito de exprimir algo, Vamos levar esta vis˜ao ao n´ıvel da matem´atica e iremos olhar para uma express˜ao como a conjuga¸c˜ ao de s´ımbolos e c´odigos de matem´atica de modo a transmitir uma mensagem ou um pensamento. Exemplo 4.1. Vejamos a seguir alguns exemplos de express˜oes algebricas 1) x − y 2) x + y 3) x2 + y 2 24

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25

4) x3 + x2 − 3x + 2 Pode se ver dos exemplos dados que as express˜oes n˜ao possuem nenhum verbo afirmativo ou comparativo. elas n˜ao possuem sinais comparativos e(ou) igualdade. Isto ´e, n˜ao s˜ao afirma¸c˜ oes, alias, mesmo do portuguˆes, as express˜oes n˜ao carregam com elas os verbos, elas n˜ao podem ser caracterizadas em verdadeiras ou falsas. Exemplo 4.2. Vejamos as seguintes quest˜oes: 1) Escola bonita - ´e uma express˜ao 2) Escola ´e bonita - ´e uma afirma¸c˜ ao que pode ser verdadeira ou falsa. Analogamente x−y ´e uma express˜ao e x−y =0 ´e uma afirma¸c˜ao matem´atica que, em fun¸c˜ ao de valores que x e y for a tomar, pode ser verdadeira ou falsa. Estamos sempre a fazer compara¸c˜ oes com express˜oes vindas da lingua portuguesa e isto o fazemos porque temos convic¸c˜ao de que sobre a lingua portuguesa todos temos dom´ınio. N˜ao se pode conceber que um falante da lingua portuguesa formule a seguinte express˜ao: Escola Bonitas!!!!!.... Esta express˜ao n˜ao tem sentido em portuguˆes, em outras palavras, pode se dizer que esta express˜ao est´a errada. Da mesma maneira n˜ao se pode permitir que um matematico escreva x = −x + −y E porque em matem´atica n˜ao existem meios termos, simplesmente se diz que a express˜ao est´a ERRADA!... As express˜oes da matem´atica que tenham vari´ aveis tamb´em s˜ao chamadas Express˜ oes Literais.

4.1.2

Dom´ınio de Express˜ oes

O dom´ınio de uma express˜ao alg´ebrica com uma vari´ avel (x por exemplo), ´e o conjunto de valores de x pelos quais ´e poss´ıvel calcular o valor da express˜ao. Em outras palavras, ´e o conjunto de valores que x possa tomar de modo a que a express˜ao tenha sentido. Exemplo 4.3. Consideremos a express˜ao x+1 , x−1 esta express˜ao tem dom´ınio x ∈ R\{1}, porque se o x for igual a 1 teremos no denominador x − 1 = 1 − 1 = 0, e teremos uma contradi¸c˜ ao ao postulado segundo o qual: ”N˜ao existe divis˜ao por zero!!!...” Em geral ao determinar dominios de existˆencia de uma express˜ao seguem se as seguintes linhagens mestras: • Radicandos de um radical com indice par n˜ ao deve ser negativo, isto ´ e, devem ser maiores ou iguais a zero

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

26

Exemplo 4.4. Determine os Dom´ınios das Seguintes Express˜oes 1)

√ x − 1 o dom´ınio sera: x − 1 > 0 ⇒ x > 1.

2)

√ x + 3 o dom´ınio sera: x + 3 > 0 ⇒ x > −3.

3)

√ 5 x + 3 o dom´ınio sera: x ∈ R. Veja que o ´ındice do radical ´e ´ımpar.

• Denominador de uma frac¸ c˜ ao n˜ ao pode ser igual a zero Exemplo 4.5. Determine os Dom´ınios das Seguintes Express˜oes x+1 o dom´ınio ser´a: x − 1 6= 0 ⇒ x 6= 1. x−1 x+3 2) o dom´ınio ser´a: x + 2 6= 0 ⇒ x 6= −2. x+2 1)

• As fun¸ c˜ oes logaritmicas definem-se em R+ , isto ´ e, os argumentos de fun¸ c˜ oes logar´ıtmicas devem sempre ser maiores do que zero. Exemplo 4.6. Determine os Dom´ınios das Seguintes Express˜oes 1) log2 (x − 2) o dom´ınio sera: x − 2 > 0 ⇒ x > 2. 2) log10 (sin x) o dom´ınio sera: sin x > 0. resolve-se a inequa¸c˜ ao. • Denominadores que cont´ em raizes de ´ındice par devem ser maiores do que zero. Exemplo 4.7. Determine os Dom´ınios das Seguintes Express˜oes x−1 o dom´ınio sera: x − 1 > 0 ⇒ x > 1. 1) √ x+1 x2 + 3 2) √ o dom´ınio sera: x + 1 6= 0 ⇒ x 6= −1. Veja que o ´ındice do radical ´e ´ımpar. 3 x+1

4.1.3

Valores Num´ ericos de Uma Express˜ ao Literal

As express˜oes geralmente s˜ao compostas por sinais operacionais, por num´eros e por simbolos liter´arios (Letras) ”Dai, Express˜ oes Literais”. E elas podem assumir um determinado valor depois de efectuadas algumas opera¸c˜oes. Este valor tem o nome de valor num´erico de express˜oes literais. Por exemplo, se elas possuem vari´aveis, ao substituirmos as vari´ aveis por respectivos valores num´ericos, obteremos atrav´es de opera¸c˜oes um num´ero que corresponder´a ao valor num´erico da express˜ao no seu todo. Exemplo 4.8. Determine o valor num´erico das seguintes express˜oes: 1) x2 − y 2 , quando x = 1 e y = 2, teremos: x2 − y 2 = (1)2 − (2)2 = 1 − 4 = −3. Assim −3 ´e o valor num´erico da express˜ao dada com as condi¸c˜ oes dadas.

dr. betuel de jesus varela canhanga

27

2) x2 − y 2 , quando x = 2 e y = 1, teremos: x2 − y 2 = (2)2 − (1)2 = 4 − 1 = 3. Assim 3 ´e o valor num´erico da express˜ao dada com as condi¸c˜ oes dadas. 3) x2 − y 2 , quando x = a e y = b, teremos: x2 − y 2 = (a)2 − (b)2 . Assim a2 − b2 ´e o valor num´erico da express˜ao dada com as condi¸c˜ oes dadas. 4) x + y 3 , quando x = −1 e y = −3, teremos: −1 + (−3)3 = −1 + (−27) = −1 − 27 = −28. Assim −28 ´e o valor num´erico da express˜ao dada com as condi¸c˜ oes dadas.

4.1.4

Polin´ omios

Defini¸ c˜ ao 4.1. Chama-se mon´ omio a express˜ao constituida por n´ umeros relactivos ou por um producto de n´ umeros relactivos eventualmente representados por letras. Exemplo 4.9. Vejamos seguintes exemplos 1) 3 ´e um mon´omio 2) 2x ´e um mon´omio 3) 3x2 ´e um mon´omio 4) 7x2 y 3 ´e um mon´omio 5)

xy 2 ´e um mon´omio 7

Defini¸ c˜ ao 4.2. Num mon´omio a parte composta por num´eros (constantes) chama-se coeficiente. Defini¸ c˜ ao 4.3. A parte composta por letras chama-se parte literal. Defini¸ c˜ ao 4.4. Chama-se grau de um mon´omio a soma dos expoentes associados as vari´ aveis. Vamos considerar sem limita¸c˜ao da sua essˆencia, mon´omios de vari´ avel x. Exemplo 4.10. Vejamos os seguintes exemplos. 1) No mon´omio 7x2 y 3 o coeficiente ´e o 7 e a parte literal ´e x2 y 3 , o grau deste mon´omio ´e 2+3=5 2) No mon´omio ax2 o coeficiente ´e o a e a parte literal ´e x2 , o grau deste mon´omio ´e 2 3) No mon´omio abx3 o coeficiente ´e o ab e a parte literal ´e x3 , o grau deste mon´omio ´e 3

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

28

4.1.5

Mon´ omios Semelhantes e Mon´ omios Iguais

Defini¸ c˜ ao 4.5. Diz se que dois mon´omios s˜ao semelhantes ou identicos, se eles tem a mesma parte literal Exemplo 4.11. Considere seguintes exemplos 1) 4x e −7x s˜ao mon´omios identicos 2) 2x2 y e

yx2 s˜ao mon´omios identicos. 4

Defini¸ c˜ ao 4.6. Dois mon´omios s˜ao iguais se eles s˜ao identicos e possuem mesmos coeficientes. Exemplo 4.12. Considere seguintes exemplos 1) 4x e 4x s˜ao iguais 2) 2x2 y e

4.1.6

8yx2 s˜ao iguais. 4

Opera¸co ˜es Sobre Mon´ omios

Com os mon´omios podemos efectuar as opera¸c˜ oes de adi¸c˜ ao, subtra¸c˜ ao, multiplica¸c˜ ao e divis˜ao. Os estudantes devem prestar aten¸ c˜ ao a explica¸ c˜ oes do Professor Adi¸ c˜ ao - Adicione seguintes mon´ omios 1) 3x2 e 7x2 2) ax2 e bx2 3) 7x4 e 7x3 4) 3x2 e 7x5 5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3 Subtra¸ c˜ ao - Subtraia seguintes mon´ omios 1) 3x2 e 7x2 2) ax2 e bx2 3) 7x4 e 7x3 4) 3x2 e 7x5 5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3 Divis˜ ao - Divida seguintes mon´ omios Na divis˜ao de mon´omios seguem se as regras sobre divis˜ao de potˆencias (com mesma base e expoente diferentes). 1) 3x2 e 7x2

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29

2) ax2 e bx2 3) 7x4 e 7x3 4) 3x2 e 7x5 5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3 Multiplica¸ c˜ ao - Multiplique seguintes mon´ omios Na multiplica¸c˜ao de mon´omios seguem se as regras sobre multiplica¸c˜ ao de potˆencias (com mesma base e expoente diferentes). 1) 3x2 e 7x2 2) ax2 e bx2 3) 7x4 e 7x3 4) 3x2 e 7x5 5) 3xsin 2 e 7xsin 2 2xln2 e 7xln3

4.1.7

Polin´ omios, Polin´ omios Semelhantes e Polin´ omios Iguais

Defini¸ c˜ ao 4.7. Um Polin´ omio ´e um agrupamento de mon´omios (este agrupamento ´e feito atrav´es de operadores de adi¸ca ˜o ou subtra¸c˜ ao) Defini¸ c˜ ao 4.8. Dois polin´ omios s˜ ao identicos se os seus mon´omios s˜ao identicos dois a dois Exemplo 4.13. x2 − 1 e 3x2 + 3 Defini¸ c˜ ao 4.9. Dois polin´ omios s˜ ao iguais se os seus mon´omios s˜ao iguais dois a dois Exemplo 4.14. x2 − 1, x2 − 1 e −1 + x2 Com polin´omios podemos efectuar as opera¸c˜ oes de adi¸c˜ ao, subtra¸c˜ ao, divis˜ao e multiplica¸c˜ ao. (Os estudantes podem consultar o livro Matem´atica Jovem de Ant´ onio Almeida Costa, Alfredo dos Anjos e Ant´onio Lopes) Os estudantes devem prestar aten¸ c˜ ao a explica¸ c˜ oes do Professor Adicione seguintes polin´ omios √ 5x + 5 √ 7 7 2) x2 − x 3 + 2 e 2x 3 + 5x √ 3) x4 − x sin 7 − 3 e 2x3 + 5x + 6 1) x3 − 7x + 9 e 2x3 +

Subtraia seguintes polin´ omios √ 5x + 5 √ 7 7 2) x2 − x 3 + 2 e 2x 3 + 5x 1) x3 − 7x + 9 e 2x3 +

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

30

3) x4 − x sin 7 − 3 e 2x3 +

√ 5x + 6 Multiplique seguintes polin´ omios

1) x3 − 7x + 9 e 2x3 + 7

√ 5x

7

2) x2 − x 3 + 2 e 2x 3 +

√ 5x

3) x4 − x sin 7 − 3 e 2x3 + 6 Divida seguintes polin´ omios 1) x3 − 7x + 9 e 2x3 + 3 2) x2 − 3x + 2 e 2x − 1 3) x4 − 3x3 + 2x2 − x + 1 e 2x3 + x2 − 3x 4) −x5 + 3x2 + 4x e 2x 5) 2x2 + x − 10 e x − 2 6) 3x3 − 2x + 5 e x − 3

4.1.8

Factoriza¸ c˜ ao de Polin´ omios

Antes de introduzirmo-nos neste tema, vamos procurar perceber que o termo factoriza¸c˜ ao vem de factores, e que factores s˜ao os diferentes componentes de uma multiplica¸c˜ ao. Por exemplo 2 × 4 = 8, podemos dizer que 2 e 4 s˜ao factores. Portanto, factorizar ´e o mesmo que trasnformar uma determinada express˜ao polinomial em uma sucess˜ao de factores. Transformar uma express˜ao em uma multiplica¸c˜ ao. Exemplo 4.15. Existem diferentes m´etodos de factoriza¸c˜ ao, cada m´etodo ´e adequado a determinadas situa¸c˜oes. Veja os exemplos que se seguem 1) x3 = x × x × x. 2) x3 + x2 = x2 (x + 1) (evidenciamos os factores comuns). 3) 2x3 + 2x = 2x(x2 + 1) (evidenciamos os factores comuns). 4) ax + a2 x + a2 + a = x(a2 + a) + a2 + a = (a2 + a)(x + 1) (evidenciamos os factores comuns). 5) 10 − 3x − x2 Para factorizar este polin´omio quadr´atico teremos 10 − 3x − x2 = (2 − x)(5 + x) transformamos assim o polin´omio 10 − 3x − x2 em factores (2 − x) e (5 + x)

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31

Observa¸ c˜ ao 4.1. Seja dado o polinomio ax2 + bx + c,

a 6= 0 se ∆ = b2 − 4ac ≥ 0 poderemos

factorizar o polinomio seguinte a formula ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) onde x1 , x2 s˜ao calculados pelas formulas √ −b + ∆ x1 = , 2a

√ −b − ∆ x2 = 2a

Observa¸ c˜ ao 4.2. Em muitos casos usamos algumas igualdades (Os ditos casos not´ aveis), vejamos: Explicar aos estudantes estes casos not´ aveis • (x + y)2 = x2 + 2xy + y 2 , • (x − y)2 = x2 − 2xy + y 2 , • (x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 , • (x − y)3 = x3 − 3x2 y + 3xy 2 − y 3 , • x2 − y 2 = (x − y)(x + y), • x3 − y 3 = (x − y)(x2 + xy + y 2 ), • x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2 ),

4.1.9

Polin´ omios Quadr´ aticos

Existem diferentes classes de polin´omios, e estas classes s˜ao atribuidas em fun¸c˜ ao do seu maior expoente. Por exemplo, um polin´omio com maior expoente igual a 1 chama-se polin´ omio de grau 1 ou linear, um polin´omio com maior expoente igual a 2 chama-se polin´ omio de grau 2 ou quadr´ atico, um polin´omio com maior expoente igual a 3 chama-se polin´ omio de grau 3 ou c´ ubico... assim em diante. Defini¸ c˜ ao 4.10. Chama-se polin´ omio quadr´ atico de vari´ avel x ao polin´omio dado na forma P (x) = ax2 + bx + c,

a 6= 0,

b, c ∈ R.

A a, b e c chamamos coeficientes do polin´omio. Ao igualarmos um polin´omio quadr´atico a zero transformamo-lo numa equa¸c˜ ao quadr´atica. Observa¸ c˜ ao 4.3. Importante • um polin´omio de grau 1 tem uma solu¸c˜ ao (ou 1 raiz) • um polin´omio de grau 2 tem duas solu¸c˜ oes (ou 2 raizes) • um polin´omio de grau 3 tem trˆes solu¸c˜ oes (ou 3 raizes) • ··················

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

32

Os polin´ omios quadr´ aticos s˜ ao sobejamente conhecidos, raz˜ ao pela qual existem formulas para momentos importantes de estudos sobre estes tipos de polin´ omios. Veja atentamente Defini¸ c˜ ao 4.11. Para um polin´omio quadr´atico na forma ax2 +bx+c = 0, chama-se Discriminante, e denota-se ∆ ao valor num´erico dado pela express˜ao ∆ = b2 − 4ac Defini¸ c˜ ao 4.12. Chama-se Zero de um polin´omio aos valores de x que fazem com que o polin´omio seja igual a zero. Isto ´e: ax2 + bx + c = 0,

a 6= 0

Fa¸camos seguintes transforma¸c˜aos: 1) (colocar em evidˆencia o valor de a, e a seguir multiplicar e dividir a segunda parcela por 2) µ ¶ µ ¶ b c 2b c 2 2 2 ax + bx + c = 0 ⇒ a x + x + =0⇒a x + x+ =0 a a 2a a µ 2) ar o a, para o membro direito, somar e subtrair a equa¸c˜ ao o valor c b b ax + bx + c = x + x + = x2 + 2 x + a a 2a 2

2

µ

b 2a

¶2

µ −

b 2a

b 2a

¶2

¶2 +

c =0 a

3) Identificar o caso not´avel µ ¶ · µ ¶¸2 µ ¶2 µ ¶2 b 2 b b c b 4ac ax + bx + c = x + − + = x− − − + 2 =0 2a 2a a 2a 2a 4a 2

4) Fazendo transforma¸c˜oes na parte da constante teremos · µ ¶¸2 · µ ¶¸2 b b2 − 4ac b b2 − 4ac − = 0 ⇒ x − − = ax + bx + c = x − − 2a 4a2 2a 4a2 2

5) Resolvendo a equa¸c˜ao teremos √ µ ¶ µ ¶ √ 2 b b2 − 4ac b − 4ac b ax + bx + c = x − − =± ⇒x= − ± 2a 2a 2a 2a 2

de onde teremos x1,2 =

−b ±

√ √ −b ± ∆ b2 − 4ac = 2a 2a

Defini¸ c˜ ao 4.13. Para um polin´omio quadr´atico na forma ax2 + bx + c = 0, chama-se Vertice ao ponto onde o gr´afico muda de monotonia. e determinam-se as coordenadas deste ponto usando as express˜oes xv =

−b , 2a

yv =

−∆ 4a

tamb´em, pode se achar o xv achando a m´edia aritm´etica dos zeros da fun¸c˜ ao

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33

´ importante saber que um ponto no plano ´e composto por duas coordenadas, uma Observa¸ c˜ ao 4.4. E coordenada no eixo dos x e uma outra coordenada no eixo dos y , ´e analogo ao cen´ario de que um casal ´e composto por duas entidades (masculina e femenina). Assim ao determinarmos o v´ertice de uma par´abola preocupamo-nos em determinar o xv e o yv , portanto o par (xv , yv ) Observa¸ c˜ ao 4.5. Se designarmos os dois zeros de uma equa¸c˜ ao quadr´atica por x1 e x2 , poderemos escrever uma equa¸c˜ao quadr´atica ou um polin´omio quadr´atico de modo seguinte ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) Observa¸ c˜ ao 4.6. Se designarmos os dois zeros de uma equa¸c˜ ao quadr´atica por x1 e x2 , poderemos escrever uma equa¸c˜ao quadr´atica ou um polin´omio quadr´atico de modo seguinte ax2 + bx + c = a[x2 − (x1 + x2 )x + x1 × x2 ] Veja que x1 + x2 = −

b a

e x1 × x2 =

c a

Observa¸ c˜ ao 4.7. Nas equa¸c˜oes quadr´aticas ou polin´omios quadr´aticos, podemos calcular as coordenadas do v´ertice e a seguir escrever o polin´omio de modo seguinte ax2 + bx + c = a(x − xv )2 + yv . Esta formula ´e tamb´em conhecida por F´ ormula de Viet - SP

4.1.10

Tri˜ angulo de Pascal

linha 0 1 linha 1 1

1

linha 2 1

2

1

linha 3 1

3

3

1

linha 4 1

4

6

4

1

linha 5 1

5

10

10

5

1

linha 6 1

6

15

20

15

6

1

linha 7 1

7

21

35

35

21

7

1

linha 8 1

8

28

56

70

56

28

8

1

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

34

Exemplo 4.16. Veja de seguida os exemplos da aplica¸c˜ ao do triˆangulo de Pascal Observa¸ c˜ ao 4.8. Um bin´omio com expoente n ∈ N pode ser desenvlvido em soma de mon´omios com grau igual a n e coeficiente tirados da linha n do triˆangulo de Pascal. 1) Decomponha (3 + 2)1 , como podemos ver temos uma potˆencia de expoente 1, vamos ent˜ ao recorrer a linha 1, teremos que somar mon´omios de grau 1 e coeficientes 1 e 1 (veja a linha 1), teremos ent˜ao: (3 + 2)1 = 1 × 31 20 + 1 × 30 21 = 3 + 2 = 5 2) Decomponha (3 + 2)2 , como podemos ver temos uma potˆencia de expoente 2, vamos ent˜ ao recorrer a linha 2, teremos que somar mon´omios de grau 2 e coeficientes 1, 2 e 1 (veja a linha 2), teremos ent˜ao: (3 + 2)2 = 1 × 32 20 + 2 × 31 21 + 1 × 30 22 = 9 + 12 + 4 = 25 3) Decomponha (a + b)2 , como podemos ver temos uma potˆencia de expoente 2, vamos ent˜ ao recorrer a linha 2, teremos que somar mon´omios de grau 2 e coeficientes 1, 2 e 1 (veja a linha 2), teremos ent˜ao: (a + b)2 = 1 × a2 b0 + 2 × a1 b1 + 1 × a0 b2 = a2 + 2ab + b2 4) Decomponha (a + b)3 , como podemos ver temos uma potˆencia de expoente 3, vamos ent˜ ao recorrer a linha 3, teremos que somar mon´omios de grau 3 e coeficientes 1, 3, 3 e 1 (veja a linha 3), teremos ent˜ao: (a + b)3 = 1 × a3 b0 + 3 × a2 b1 + 3 × a1 b2 + 1 × a0 b3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 5) Decomponha (a + b)4 , como podemos ver temos uma potˆencia de expoente 4, vamos ent˜ ao recorrer a linha 4, teremos que somar mon´omios de grau 4 e coeficientes 1, 4, 6, 4 e 1 (veja a linha 4), teremos ent˜ao: (a + b)4 = 1 × a4 b0 + 4 × a3 b1 + 6 × a2 b2 + 4 × a1 b3 + 1 × a0 b4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 6) Decomponha (a − b)2 = [a + (−b)]2 , como podemos ver temos uma potˆencia de expoente 2, vamos ent˜ao recorrer a linha 2, teremos que somar mon´omios de grau 2 e coeficientes 1, 2 e 1 (veja a linha 2), teremos ent˜ao: (a + b)2 = [a + (−b)]2 = 1 × a2 (−b)0 + 2 × a1 (−b)1 + 1 × a0 (−b)2 = a2 − 2ab + b2

dr. betuel de jesus varela canhanga

35

7) Decomponha (a − b)3 = [a + (−b)]3 , como podemos ver temos uma potˆencia de expoente 3, vamos ent˜ao recorrer a linha 3, teremos que somar mon´omios de grau 3 e coeficientes 1, 3, 3 e 1 (veja a linha 3), teremos ent˜ao: (a−b)3 = [a+(−b)]3 = 1×a3 (−b)0 +3×a2 (−b)1 +3×a1 (−b)2 +1×a0 (−b)3 = a3 −3a2 b+3ab2 −b3 8) Decomponha (a − b)4 = [a + (−b)]2 , como podemos ver temos uma potˆencia de expoente 4, vamos ent˜ao recorrer a linha 4, teremos que somar mon´omios de grau 4 e coeficientes 1, 4, 6, 4 e 1 (veja a linha 4), teremos ent˜ ao: (a−b)4 = 1×a4 (−b)0 +4×a3 (−b)1 +6×a2 (−b)2 +4×a1 (−b)3 +1×a0 (−b)4 = a4 −4a3 b+6a2 b2 −4ab3 +b4

4.1.11

Exercicios Resolvidos

1) Determine os Valores de A e B de modo que: (a)

A B 1 = + (x − 1)(x + 1) x−1 x+1 Resolu¸ c˜ ao vamos somar as frac¸c˜oes que se encontram a direita, teremos: A(x + 1) + B(x − 1) 1 = ⇒ (x − 1)(x + 1) (x − 1)(x + 1) ⇒ 1 = Ax + A + Bx − B ⇒ (A + B)x + A − B = 0x + 1 daqui resolvemos o seguinte sistema de equa¸c˜ oes ½

(b)

A+B =0 A−B =1

½ ⇒

( A = −B −B − B = 1

⇒

A = −B 1 B=− 2

   A= 1 2 ⇒ 1   B=− 2

.

2 A B C = + + (x − 1)(x + 1)2 x − 1 x + 1 (x + 1)2 Resolu¸ c˜ ao vamos somar as frac¸c˜oes que se encontram a direita, teremos: 2 A(x + 1)2 + B(x − 1)(x + 1) + C(x − 1) = ⇒ (x − 1)(x + 1)2 (x − 1)(x + 1)2 ⇒ 2 = A(x2 + 2x + 1) + B(x2 − 1) + C(x − 1) = (A + B)x2 + (2A + C)x + (A − B − C) = 2 daqui resolvemos o seguinte sistema de equa¸c˜ oes    A = −B  A+B =0 2(−B) + C = 0 2A + C = 0 ⇒   −B − B − C = 2 A−B−C =2   A = −B −2B = −C ⇒  −2C = 2

  A = −B −2B = 1 ⇒  C = −1

  A = −B −2B = −C ⇒  −2B − C = 2  1    A= 2 1 ⇒ B=−   2  C = −1

⇒

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36

(c) Factorize o seguinte Polin´omio P (x) = x3 − 3x2 + 2x Resolu¸ c˜ ao Vamos primeiro evidenciar o factor comum, o factor que aparece em todos os mon´omios, teremos ent˜ao: P (x) = x3 − 3x2 + 2x = x(x2 − 3x + 2) vemos que estamos agora na presen¸ca de um polin´omio quadr´atico. Podemos achar as raizes (x1 = 1; x2 = 2) e dai poderemos escrever P (x) = x3 − 3x2 + 2x = x(x2 − 3x + 2) = x(x − 1)(x − 2) (d) Factorize o seguinte Polin´omio x3 − y 3 , Resolu¸ c˜ ao trata-se da diferen¸ca de cubos, veja que estamos na presen¸ca de um caso not´avel, teremos ent˜ao: x3 − y 3 = (x − y)(x2 + xy + y 2 ) (e) Factorize o seguinte Polin´omio x2 − y 4 , trata-se da diferen¸ca de quadrados, veja que estamos na presen¸ca de um caso not´avel, teremos ent˜ao: x2 − y 4 = x2 − (y 2 )2 = (x − y 2 )(x + y 2 ) 2) Efectue as seguintes opera¸c˜oes (a)

x 5 + 2x − 10 x − 5 Resolu¸ c˜ ao Vamos antes de tudo transformar a primeira frac¸c˜ ao e de seguida achamos o mmc. x 5 x 5 2x 5 + 2x 5 + = + = + = . 2x − 10 x − 5 2(x − 5) x − 5 2(x − 5) 2(x − 5) 2x − 10

(b)

x2 4x − 4 − x+2 x+2 Resolu¸ c˜ ao Como temos duas frac¸c˜oes com mesmo denominador, iremos somente efectuar a opera¸c˜ ao de subtrac¸c˜ao, preste aten¸c˜ ao porque antes do sinal de frac¸c˜ ao aparece um sinal -”que afecta toda a frac¸c˜ao. x2 4x − 4 x2 − 4x + 4 − = . x+2 x+2 x+2

3) Seja f (x) = 2x2 − x Determine f (2),

f (a),

f (2 + a),

f (2 − a),

f (k + a),

f (a) − f (2 − a)

f (2) = 2(2)2 − 2 = 2 × 4 − 2 = 8 − 2 = 6 f (a) = 2(a)2 − a = 2 × a2 − a = a(2a − 1) f (2 + a) = 2(2 + a)2 − (2 + a) = 2 × (4 + 4a + a2 ) − 2 − a = 8 + 8a + 2a2 − 2 − a = 2a2 + 8a + 6 f (2 − a) = 2(2 − a)2 − (2 − a) = 2 × (4 − 4a + a2 ) − 2 + a = 8 − 8a + 2a2 − 2 + a = 2a2 − 7a + 6 f (k + a) = 2(k + a)2 − (k + a) = 2 × (k 2 + 2ka + a2 ) − k − a = 2k 2 + 4ka + 2a2 − k − a = 2a2 + 2k 2 + 4ka − k − a (f) f (a) − f (2 − a) = 2a2 − a − (2a2 − 7a + 6) = −a + 7a − 6 = 6a − 6

(a) (b) (c) (d) (e)

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4.1.12

37

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

1) Calcule o valor num´erico das seguintes express˜oes para os valores de x indicados √ (a) (x − 1)(x2 + x + 1) para x = 1, x = 2 (b)

x + 1 x3 − 5x − 2 para x = −3 x−1 x −1

2) Seja f (x) = 3(x − 2)2 + 5 calcule f (2 + α) e f (2 − α) 3) Seja f (x) =

5 calcule f (2 + α) e f (2 − α) 2−x

4) Seja f (x) =

x+3 calcule f (2 + α) e f (2 − α) x−2

5) Seja f (x) = x2 −3x+2. Calcule f (−3),

f (2x−3),

f (2x−3)+f (2x+3),

f (x+h),

f (x + h) − f (x) h

6) Seja f (x) = 2x − 3 e g(x) = x2 + 5 calcule (a) f (5),

g(−3),

g[f (2)],

f [g(3)],

g[f (x)]

(b) f [g(x + 1)] + g[g(x)] 7) Determine o dom´ınio de seguintes express˜oes 1 x x2 − 5x + 1 x2 − 2x √ 2−x 1 2 √ + x x+3 √ x+3 x−4 √ x2 + 3 x−1 5 7 +√ 2 x −9 x+3 √ √ x − 2 + 6 − 2x

(a) x2 − 1 + (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)

8) Seja P (x) = 2x3 + ax2 + bx − 5. Determine a e b de modo que P (2) = 0 e P (−1) = 0 9) Sejam dados os polin´omios A(x) = −x3 + 3x2 − 7x + 5,

B(x) = 2x3 − 3x2 + 2x − 1,

C(x) = −3x3 + 5x − 2.

Determine (a) A + B + C (b) 2A + 2B − C (c) 2A − 3B − 5C 10) Determine α e β de modo que os polinomios A(x) e B(x) sejam iguais (a) A(x) = (α + β)x2 − 3x (b) A(x) = 2αx2 + 3x − 5

B(x) = 5x2 − (α − β)x B(x) = 4x2 + 3βx − 3α + β

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

38

11) Determine m de modo que o polin´omio Q(x) = (m2 − 1)x2 + (m2 − 3m + 2)x + 1 + m3 (a) seja constante (b) seja do primeiro grau 12) Factorize pondo em evidˆencia o factor comum (a) 8a3 b2 + 16a2 b3 + 20a3 b3 (b) 5x3 − 15x2 (c) 16x5 − 20x4 + 8x3 (d) (x + 1)(7x − 3) − (x + 1)(2 − x) (e) 2x(x − 1)2 − 2x2 (x − 1) 13) Factorize os seguintes trin´omios (a) x2 + 3x + 2 (b) x2 + 7x + 6 (c) x2 + x − 42 (d) x5 + 4x4 + 4x3 14) Factorize (Diferˆen¸ca de quadrados) (a) 25a2 − 36 4x2 16y 2 − 9 25 (c) 18 − 5x2

(b)

(d) (a + 5)2 − (4 − 3a)2 15) Escreva sob forma de quadrado perfeito (a) 81a2 − 18a + 1 (b) 49x2 + 28xy + 4y 2

√ (c) (a + 3)2 − 6(a + 3) 5 + 45

(d)

(6 − x)2 6 − x 3 + + 2 12 x x

16) Factorize usando casos not´aveis y3 27 8a3 64b6 + (b) 27 125 (c) 8x3 − (x − 3)3 (a) 8x3 −

(d) (2x − 5)3 + 27x3 17) Factorize agrupando em factores (a) ax + 2x + 3a + 6 (b) ax − x − 5a + 5 (c) x2 − 3ax − 2x + 6a 18) Factorize caso poss´ıvel

dr. betuel de jesus varela canhanga

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)

39

x4 − 16y 4 5x2 + 125 −9x3 y + 30x2 y 2 − 25xy 3 3x2 + 15xy + 12y 2 5a2 − 10a2 b2 + 5b4 (a − 3)2 − (5 − 2a)2 (x − y)3 − (x + y)3

19) Simplifique (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)

4x − 8 x−2 −6x2 − 14x 14 + 6x x−3 2 x − 6x + 9 x2 − 8x + 16 16 − x2 8x − 4x2 6x − 12 4x2 − 12x + 9 4x2 − 9 (2x − 1)(x − 1)2 − 2(x2 − x − 1)(x − 1) (x − 1)4

20) Simplifique 2x(x − 1) − x2 (x − 1)2 (2x + 3)x2 − 2x(x2 + 3x) (b) x3 2 (2x + 1)(x − x) − (2x − 1)(x2 + x) (c) x2 (x − 1)2 (a)

21) Efectue seguintes opera¸c˜oes 4x − 4 x2 − x+2 x+2 x 3 (b) + x+1 4 x 2 (c) − 2 x−3 x −9 2x 3 (d) 2 + x − 2x − 15 x2 − 10x + 25 (a)

22) Determine A e B de modo que: 3x − 1 A B = + + 4x − 5 x+5 x−1 A B 1 = + (b) 2 2x + 3x − 2 2x − 1 x + 2 (a)

x2

Ensinar ´ e lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto vocˆ e Typeset by LATEX 2ε

Cap´ıtulo 5

Geometria Plana 5.1 5.1.1

´ Areas, Per´ımetros e Volumes de Figuras Geom´ etricas Quadrado

´ uma figura geometrica que tem as seguintes caracteristica: E

1) Quatro lados iguais; 2) Quatro ˆangulos rectos - (iguais a 90o ).

3) Diagonais iguais e perpendiculares.

Chamemos d− diagonal; P − Per´ımetro, S− Superf´ıcie ou ´area; a− o lado do quadrado. Veja a figura D

a

C

a

90o

a

A

a

B

Figura 5.1:

40

dr. betuel de jesus varela canhanga

41

Com base na figura e nas propriedades do quadrado podemos tirar as seguintes ila¸c˜ oes:

• AC = BD = d,

• AB = BC = CD = AD = a.

• d2 = a2 + a2 ⇒ d2 = 2a2 ⇒ d =

• P = 4a,

5.1.2

√ √ 2a2 ⇒ d = a 2;

S = a2 .

Losango

´ uma figura geometrica que tem as seguintes caracteristica: E

1) Quatro lados iguais;

2) Diagonais perpendiculares.

Chamemos d− diagonal; P − Per´ımetro, S− Superf´ıcie ou ´area; a− o lado do losango. Veja a figura D

a

A

a

C

a

90o

K a

B

Figura 5.2:

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

42

Com base na figura e nas propriedades do losango podemos tirar as seguintes ila¸c˜ oes:

• DK = h ´e perpendicular a AB - (altura).

• AC = d1 ,

BD = d2 ,

• AB = BC = CD = AD = a.

• P = 4a,

5.1.3

S = ah,

S=

d1 + d2 2

Rectˆ angulo

´ uma figura geometrica que tem as seguintes caracteristica: E

1) Lados iguais 2 a 2;

2) Quatro ˆangulos rectos - (iguais a 90o ).

3) Diagonais iguais.

Chamemos d− diagonal; P − Per´ımetro, S− Superf´ıcie ou ´area; l− o lado menor do rectˆangulo e c− o lado maior do rectˆangulo. Veja a figura D

C

l

A

c

Figura 5.3:

B

dr. betuel de jesus varela canhanga

43

Com base na figura e nas propriedades do rectˆangulo podemos tirar as seguintes ila¸c˜ oes: • AC = BD = d, • AB = CD = c,

AD = BC = l. √ • d2 = c2 + l2 ⇒ d = c2 + l2 ; • P = 2c + 2l,

5.1.4

S = cl.

Paralelogramo

´ uma figura geometrica que tem as seguintes caracteristica: E 1) Lados opostos iguais; 2) Lados opostos paralelos; 3) angulos opostos iguais; 4) Diagonais intersectam-se no ponto m´edio. Chamemos d− diagonal; P − Per´ımetro, S− Superf´ıcie ou ´area; a− o lado menor e b− o lado maior do paralelogramo. Veja a figura D

C

b

a

A

B

K

Figura 5.4:

Com base na figura e nas propriedades do paralelogramo podemos tirar as seguintes ila¸c˜ oes: • DK = h ´e perpendicular a AB - (altura). • AC = d1 ,

BD = d2 ,

• AB = CD = b • P = 2a + 2b,

5.1.5

BC = AD = a. S = bh,

Triangulo

´ uma figura geometrica que tem as seguintes caracteristica: E 1) Trˆes lados; 2) Trˆes ˆangulos;

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

44

C

b a

A

c

K

B

Figura 5.5: Chamemos P − Per´ımetro, S− Superf´ıcie ou ´area; a, b, c− os lados do triangulo. Veja a figura Com base na figura e nas propriedades do triangulo podemos tirar as seguintes ila¸c˜ oes: • CK = h ´e perpendicular a AB - (altura). • P = a + b + c,

5.1.6

S=

AB × CK ch base × altura = = , 2 2 2

Classifica¸c˜ ao dos triangulos - Quanto aos lados

1) Triangulo Equilatero • tem trˆes lados iguais, • CK ⊥ AB

(⊥ significa perpendicular) - (altura),

• A altura divide a base em dois segmentos iguais AK = BK , • A altura divide o ˆangulo do topo em dois sectores iguais ^ACK = ^KCB , • Os seus trˆes ˆangulos s˜ao iguais e iguais a 60o .

C

a a

A

K

a

B

Figura 5.6:

dr. betuel de jesus varela canhanga

45

a (a) Como AB = a e AK = BK ⇒ AK = BK = dai que no triangulo AKC teremos 2 ³ a ´2 a2 = h2 + 2

a2 −

³ a ´2 2

= h2 ⇒ h2 = a2 −

4a2 − a2 ⇒h= h = 4 2

r

³ a ´2 2

³ a ´2 4 ⇒ h2 = a2 − ⇒ 4 2

4a2 − a2 = 4

√ a√ 3a2 ⇒h= 3 2 2

(b) P = 3a (Per´ımetro)

(c) S =

ah = 2

a×

a√ 3 a2 √ 2 = 3 2 4

2) Triangulo Isosceles

• Tem pelo menos dois (2) lados iguais. • CK ⊥ AB

(⊥ significa perpendicular) - (altura),

• A altura divide as bases em duas (2) partes iguais se esta altura for tra¸cada apartir do v´ertice criado pelos (2) lados iguais.

C

a

A

a

b

K

B

Figura 5.7:

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

46

b (a) Como AB = b, AC = BC, ⇒ AK = BK = dai que no triangulo AKC teremos 2 µ ¶2 b a2 = h2 + 2 µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 b b 4 2 b 2 2 2 2 a − =h ⇒h =a − ⇒h = a − ⇒ 2 2 4 2 2

4a2 − b2 h = ⇒h= 4

r

2

4a2 − b2 = 4

(b) P = 2a + b (Per´ımetro) √ 4a2 − b2 √ b× ah b 4a2 − b2 2 (c) S = = = 2 2 4

3) Triangulo Escaleno

• Tem os trˆes (3) lados desiguais, isto ´e,diferentes. • CK ⊥ AB

(⊥ significa perpendicular) - (altura),

C

b

A

c

a

B

Figura 5.8:

K

√ 4a2 − b2 2

dr. betuel de jesus varela canhanga

47

(a) P = a + b + c (Per´ımetro) (b) S =

5.1.7

ah 2

ˆ Classifica¸c˜ ao de Triangulos - Quanto aos Angulos

1) Triˆangulo Acutˆangulo - Vide a figura (5.9) • Tem todos (3) ˆangulos agudos (menores que 90o )

C

b

A

a

c

B

Figura 5.9: 2) Triˆangulo Rectˆangulo - veja a figura (5.10) • Tem um ˆangulo recto [na figura vem sombreado] (igual a 90o ) • Os outros dois (2) ˆangulos s˜ao agudos (menores do que 90o ).

C

b

a

A

c

B

Figura 5.10: 3) Triˆangulo Obtusˆangulo - veja a figura (5.11) • Tem um ˆangulo obtuso (maior que 90o )[na figura vem sombreado] • Os outros dois (2) ˆangulos s˜ao agudos (menores do que 90o ).

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

48

C

b

a

c

A

B

K

Figura 5.11:

5.1.8

Trap´ ezio

´ uma figura da geometria plana com as caracteristicas seguintes E • Tem quatro (4) lados • Dois lados paralelos - bases – Base Maior - dos lados paralelos - o que tiver maior comprimento. – Base Menor - dos lados paralelos - o que tiver menor comprimento. • Dois lados n˜ao paralelos. • Tem a altura que ´e a distˆancia entre as bases. 1) Trap´ezio Rectˆangulo. • Tem dois ˆangulos rectos - [na figura vem sombreados]. • A altura ´e igual a um dos lados • CK ´e a altura.

D

A

base

Base

C

K

B

Figura 5.12: 2) Trap´ezio Escaleno. • Tem todos lados desiguais.

dr. betuel de jesus varela canhanga

49

• AD 6= BC • Dois ˆangulos agudos e dois obtusos • CK ´e a altura.

D

b

B

A

C

B

K

Figura 5.13: 3) Trap´ezio Equilatero. • Tem dois (2) lados iguais. • AD = BC. • Dois ˆangulos agudos (iguais) e dois obtusos (iguais). • CK ´e a altura.

D

A

b

B

C

B

K

Figura 5.14: Para qualquer trap´ezio temos S=

5.1.9

Papagaio

• Dois lados consecutivos iguais • Diagonais Perpendiculares • dois dos quatro ˆangulos s˜ao iguais. • P = 2a + 2b (Perimetro)

(B + b) × h. 2

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

50

• S=

d1 × d2 onde d1 = AC, d2 = BD s˜ ao as diagonais do papagaio. 2

• BC = CD e AB = AD. C

D

B

A

Figura 5.15:

5.1.10

C´ırculo e Circunferˆ encia

• P = 2πr (Per´ımetro). • S = πr2 (Superf´ıcie).

o

r

A

Figura 5.16:

5.1.11

Sector Circular

O sector circular ´e uma determinada parte do c´ırculo, veja a parte sombreada. α2πr • O comprimento do arco na parte sombreada calcula-se pela formula Ca = onde α ´e o 360o ˆangulo descrito ao tra¸carmos o sector circular. • P = 2r + Ca = 2r +

α2πr , (Per´ımetro) 360o

dr. betuel de jesus varela canhanga

• S=

51

απr2 (Superf´ıcie). 360o

o

r

A

Figura 5.17:

5.1.12

Linhas de N´ıvel de Um Triˆ angulo

1) Altura - Um segmento perpendicular a um dos lados do triangulo, e ´e baixado do vertice oposto a esse lado.

90o

Figura 5.18:

52

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

Observa¸ c˜ ao 5.1. Num triangulo podemos sempre encontrar trˆes (3) alturas, o ponto de intersec¸c˜ao das alturas chama-se ortocentro. As trˆes linhas desenhadas no triangulo da figura (5.19) s˜ao alturas (cada uma tra¸cada em relac¸c˜ ao a uma base), o que implica que os ˆangulos marcados na figura sejam de 90o . O ponto pintado no centro do triˆangulo ´e o ortocentro.

Figura 5.19: 2) mediatriz - Um segmento perpendicular ao lado do triangulo, e que a pelo ponto m´edio desse triˆangulo. Podemos tra¸car 3 mediatrizes apartir de um triangulo. Observa¸ c˜ ao 5.2. As trˆes linhas desenhadas no triangulo da figura (5.20) s˜ao mediatrizes (cada uma tra¸cada em relac¸c˜ao a um lado), o que implica que se verificam as seguintes igualdades AI = CI,

CJ = BJ,

AK = BK.

E os ˆangulos marcados na figura s˜ao rectos. O ponto pintado no centro do triˆangulo ´e o Cicuncentro (nome dado ao ponto de intersec¸c˜ ao das mediatrizes).

C

I

A

J

K

B

Figura 5.20: 3) mediana - Um segmento que a pelo ponto m´edio do lado de um triˆangulo e ´e tra¸cado apartir do v´ertice oposto `a esse lado. Podemos tra¸car 3 medianas apartir de um triangulo.

dr. betuel de jesus varela canhanga

53

Observa¸ c˜ ao 5.3. As trˆes linhas desenhadas no triangulo da figura (5.21) s˜ao medianas (cada uma tra¸cada em relac¸c˜ao a um lado), o que implica que se verificam as seguintes igualdades AI = CI,

CJ = BJ,

AK = BK.

O ponto pintado no centro do triˆangulo ´e o Centro de gravidade ou Barricentro (nome dado ao ponto de intersec¸c˜ao das medianas).

C

I

A

J

K

B

Figura 5.21: 4) Bissectriz - Um segmento que divide ˆangulo de um triangulo em (2) partes (sectores) iguais. Podemos tra¸car 3 bissectrizes apartir de um triangulo. Observa¸ c˜ ao 5.4. As trˆes linhas desenhadas no triangulo da figura (5.22) s˜ao bissectrizes (cada uma tra¸cada em relac¸c˜ao a um ˆangulo), o que implica que se verificam as seguintes igualdades ^1 = ^2,

^3 = ^4,

^5 = ^6.

O ponto pintado no centro do triˆangulo ´e o Incentro (nome dado ao ponto de intersec¸c˜ ao das bissectrizes).

C 1 2

3

4

6

A

5 B

Figura 5.22:

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

54

5) Linha m´edia - Um segmento que une os pontos m´edios de dois lados de um triˆangulo. A linha m´edia ´e paralela ao terceiro lado e mede a metade desse lado. Podemos tra¸car 3 linhas m´edias apartir de um triangulo. Observa¸ c˜ ao 5.5. As trˆes linhas desenhadas no triangulo da figura (5.23) s˜ao linhas m´edias (cada uma tra¸cada em relac¸c˜ao a (2) lados do triangulo), o que implica que se verificam as seguintes igualdades AI = CI,

CJ = BJ,

AK = BK.

Cumprem-se tamb´em as seguintes afirma¸c˜ oes (a) JK k AC,

2 × JK = AC

(b) IJ k AB,

2 × IJ = AB

(c) IK k BC,

2 × IK = BC

C

I

A

J

K

B

Figura 5.23:

5.1.13

Teorema de Pitˆ agoras

Observa¸ c˜ ao 5.6. O teorema de pitˆagoras aplica-se sobre triangulos rectˆangulo. Segundo Pitˆagoras, a superf´ıcie do quadrado desenhado apartir da hipotenusa de um triangulo rectˆ angulo, ´e igual, a soma das superf´ıcies de quadrados desenhados apartir dos catedos do mesmo triangulo. Na figura (5.24) temos um triangulo [o ˆangulo pintado mede 90o ] rectˆangulo com hipotenusa a e catetos b e c, pelo teorema teremos 1) Superf´ıcie do quadrado formado pela hipotenusa Sh = a2 2) Superf´ıcie do quadrado formado pelo cateto b Sc1 = b2 3) Superf´ıcie do quadrado formado pelo cateto c Sc2 = c2 ent˜ao: a2 = b2 + c2

dr. betuel de jesus varela canhanga

55

C

b

a

c

A

B

Figura 5.24:

5.1.14

ˆ Angulos Complementares

S˜ao aqueles cuja soma ´e igual a 90o graus. α + β = 90o , dizemos que α ´e complementar de β, versa-vice. Na figura (5.25), suponhamos que o ˆangulo B seja recto, isto ´e, igual a 90o , a soma de α e β ´e igual a 90o .

β α B

Figura 5.25:

5.1.15

ˆ Angulos Internos de Um Triangulo

A soma dos ˆangulos internos de um triangulo ´e sempre igual a 180o , a ser assim, na figura (5.26), temos α + β + γ = 180o da figura (5.26), podemos tirar as seguintes dedu¸c˜ oes: β + θ = 180o ⇒ β = 180o − θ por outro lado α + β + γ = 180o ent˜ao: α + (180o − θ) + γ = 180o ⇒ α + γ = θ

56

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

C γ

α

β

A

θ B

Figura 5.26:

5.1.16

ˆ Angulos Suplementares

S˜ao aqueles cuja sua soma ´e igual a 180o . Dizemos que α e β s˜ao complementares se α + β = 180o

β

α o

Figura 5.27:

5.1.17

ˆ Angulos Internos de Um Quadrilatero

A soma dos ˆangulos internos de um quadrilatero ´e sempre igual a 360o . De acordo a figura (5.28) teremos α + β + γ + θ = 360o Para um quadrilatero regular (figuras geom´ etricas s˜ ao regulares se tiverem todos lados iguais) a soma dos ˆangulos consecutivos ´e igual a 180o . Isto ´e α + β = α + θ = β + γ = γ + θ = 180o

5.1.18

ˆ Angulos Verticalmente Opostos

Os ˆangulos opostos em relac¸c˜ao ao v´ertice s˜ao iguais, assim sendo e de acordo a figura (5.29) α=β

γ=θ

dr. betuel de jesus varela canhanga

57

D

C γ

θ

β

α A

B

Figura 5.28:

α γ

θ β

Figura 5.29:

5.1.19

ˆ Angulos Alternos Internos

Os ˆangulos alternos internos s˜ao iguais, observe a figura (5.30), suponhe que r e s s˜ ao rectas paralelas, ent˜ao: α=θ γ=β

r α

γ

θ

β

s

Figura 5.30:

Observa¸ c˜ ao 5.7. Os ˆangulos alternos internos s˜ao tamb´em chamados z - ˆangulos pois, eles formam a letra Z.

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

58

5.1.20

ˆ Angulos Correspondentes

Os ˆangulos correspondentes s˜ao a jun¸c˜ ao dos pressupostos criados sobre ˆangulos verticalmente opostos e z -ˆangulos , observe a figura (5.31), suponhe que r e s s˜ ao rectas paralelas, ent˜ ao cumpremse as seguintes afirma¸c˜oes: 1) Por oposi¸c˜ao de v´ertices temos: (a) α = α1 (b) β = β1 (c) γ = γ1 (d) θ = θ1 2) Por serem ˆangulos alternos internos (z -ˆangulos) temos: (a) α = θ (b) γ = β 3) De onde concluimos: (a) α = α1 = θ = θ1 (b) γ = γ1 = β = β1 β1 α1 α

γ θ1

θ γ1

r

β

s

Figura 5.31:

5.1.21

Teorema De Semelhan¸cas de Triangulos

Dois triangulos s˜ao semelhantes se: 1) Tˆem ˆangulos correspondentes iguais. 2) Tˆem lados correspondentes proporcionais. Na figura (5.32), consideremos que: α = α1 ,

β = β1 ,

γ = γ1

portanto os dois triangulos s˜ao id´enticos, a ser assim cumpre-se a segunda afirma¸c˜ ao: (os lados correspondentes s˜ao proporcionais), 1) O lado AB ´e correspondente `a DE

dr. betuel de jesus varela canhanga

59

F

C

γ1

γ

α A

α1

β B

β1

D

E

Figura 5.32: 2) O lado BC ´e correspondente `a EF 3) O lado AC ´e correspondente `a DF e

AB BC AC = = DE EF DF Ensinar ´ e lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto vocˆ e Typeset by LATEX 2ε

Cap´ıtulo 6

˜ es e Func ˜ es Relacc ¸o ¸o 6.1

Relac¸co ˜es

Come¸cemos por definir alguns conceitos: Defini¸ c˜ ao 6.1. Sejam dados os conjuntos A = {a1 , a2 , a3 , · · · } e B = {b1 , b2 , b3 , · · · }, chamaremos relac¸c˜ao a liga¸c˜ao de elementos de A com os elementos de B. Em outras palavras, chamaremos Relac¸ c˜ ao a associa¸c˜ao entre elementos de dois conjuntos. Vamos supor que os elementos do conjunto A s˜ao as provincias no Norte de Mo¸cambique e os elementos de B s˜ao as suas respectivas capitais, teremos ent˜ ao: A = {cabo delgado, niassa, nampula}

B = {pemba, lichinga, nampula}

ao associarmos os nomes das provincias com as suas capitais dizemos que estamos estabelecendo relac¸c˜oes e teremos A −→ B = {(cabo delgado, pemba); (niassa, lichinga); (nampula, nampula)} Defini¸ c˜ ao 6.2. Para este caso, chamaremos ao conjunto de partida da relac¸c˜ ao, conjunto A por dom´ınio ou objecto e ao conjunto de chegada, o conjunto B chamaremos contradom´ınio ou imagem. As relac¸c˜oes podem ser estabelecidas de 3 maneiras diferentes. 1) por extens˜ ao, 2) por diagramas de venn, e 3) por compreens˜ ao. Exemplo 6.1. Consideremos o conjunto A = {1, 2, 3, 4},

B = {5, 10, 15, 20}, 60

dr. betuel de jesus varela canhanga

61

podemos estabelecer a seguinte relac¸c˜ ao entre elementos de A com elementos de B A −→ B = {(1, 5); (2, 10); (3, 15); (4, 20)}, esta maneira de estabelecer relac¸c˜oes n˜ao se difere da usada acima. A mesma relac¸c˜ ao pode ser estabelecida usando formulas e simbolos matem´aticos de modo seguinte {(x, y)|y = 5x,

x ∈ {1, 2, 3, 4}};

neste caso o dom´ınio da fun¸c˜ao ´e o conjunto A = {1, 2, 3, 4} e a regra de defini¸c˜ao da relac¸c˜ao ´e y = 5x. Com base na regra temos x=1

y =5×1=5

x=2

y = 5 × 2 = 10

x=3

y = 5 × 3 = 15

x=4

y = 5 × 4 = 20

assim sendo, temos {(x, y)|y = 5x, x ∈ {1, 2, 3, 4}} = {(1, 5); (2, 10); (3, 15); (4, 20)}; Mostramos desta meneira, dois metodos diferentes de representa¸c˜ ao de relac¸c˜ oes. Observa¸ c˜ ao 6.1. As fun¸ c˜ oes s˜ao relac¸c˜ oes que para cada elemento do conjunto de partida existe um e somente um elemento no conjunto de chegada. Exemplo 6.2. Veja o seguinte exemplo. {(1, 2); (3, 4); (5, 6); (7, 8)} ´e uma fun¸c˜ao porque para cada elemento do conjunto de partida, o conjunto {1, 3, 5, 7} existe somente um elemento no conjunto de chegada {2, 4, 6, 8}, de maneira an´aloga podemos dizer que ´e uma fun¸c˜ ao porque para cada x pertencente ao par (x, y) existe um e somente um y Em diferentes fontes de conhecimento, em diferentes livros constam diferentes maneiras de denotar fun¸c˜oes, vejamos seguintes casos y = 7 − x,

f (x) = 7 − x,

g(x) = 7 − x.

Denotamos ent˜ao de 3 maneiras diferentes a mesma fun¸c˜ ao. Assumimos nestes casos que os valores do dom´ınio s˜ao pertencentes ao conjunto de n´ umeros reais. Estas fun¸c˜ oes chama-se fun¸ c˜ oes de vari´ avel real

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

62

6.1.1

Fun¸ co ˜es

Vamos come¸car por definir uma fun¸c˜ao Defini¸ c˜ ao 6.3. Um Fun¸ c˜ ao ´e uma relac¸c˜ ao em que para cada elemento do dom´ınio corresponde um e somente um elemento do contradom´ınio. Defini¸ c˜ ao 6.4. Toda fun¸c˜ao do tipo y = ax + b chama-se fun¸ c˜ ao linear Estas fun¸c˜oes quando representadas gr´aficamnete apresentam-se como uma recta (uma linha recta), dai o nome ¿ Fun¸c˜ao Linear À Numa fun¸c˜ao linear y = ax + b o a ´e o coeficiente angular, ´e o parˆametro que determina o n´ıvel de inclina¸c˜ao da recta. Dai, se duas rectas tiverem mesmo coeficiente angular, ent˜ ao elas s˜ao paralelas. Se os coeficientes angulares n˜ao forem iguais significa que as rectas tem um ponto comum. A recta perpendicular a y = ax + b tem a forma

1 y = − x + b1 , a

• se b = 0 a fun¸c˜ao a a ter a forma y = ax e fun¸c˜ oes deste tipo am pela origem do sistema carteziano ortogonal. • Se o valor de a for negativo, isto ´e, menor que zero, diremos que a fun¸c˜ ao ´e decrescente. • Se o valor de a for posetivo a fun¸c˜ ao ´e crescente. • Se o velor de a for igual a zero, diremos a fun¸c˜ ao ´e constante, isto ´e , n˜ao ´e crescente nem decrescente. O coeficiente angular da recta que e pelos pontos P1 (x1 , y1 ) e P1 (x2 , y2 ) ´e a=

y2 − y1 , x2 − x1

x2 6= x1

Defini¸ c˜ ao 6.5. Diremos que uma fun¸c˜ ao ´e crescente num intervalo se para qualquer que seja x1 , x2 pertencentes ao dom´ınio da fun¸c˜ao (ou a um intervalo) com x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) Defini¸ c˜ ao 6.6. Diremos que uma fun¸c˜ ao ´e decrescente num (intervalo) se para qualquer que seja x1 , x2 pertencentes ao dom´ınio da fun¸c˜ ao f , com x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) Para esbo¸car o gr´afico de uma fun¸c˜ ao linear basta-nos encontrar dois pontos por que a a recta, unindo os 2 pontos teremos a recta.

dr. betuel de jesus varela canhanga

63

Exemplo 6.3. Vejamos os esbo¸cos gr´aficos de algumas fun¸c˜ oes lineares 1) y1 = 2x + 2 2) y2 = 2 − x 3) y3 = 3 y

(0, 3)

y3 = 3

(0, 2)

(−1, 0)

(2, 0) y2 = −x + 2

x

y1 = 2x + 2

Figura 6.1:

6.1.2

Fun¸ c˜ ao Inversa

Para invertermos uma fun¸c˜ao y = f (x) seguimos os os seguintes: 1) Na senten¸ca y = f (x) procuramos isolar o x escrevendo x = f (y) 2) Trocamos o x por y −1 e o y por x. Exemplo 6.4. Determine a fun¸c˜ao inversa de y = x − 1 1) Vamos isolar o x : y = x − 1 ⇒ y − x = −1 ⇒ −x = −1 − y ⇒ x = y + 1 2) Trocamos x por y −1 e y por x teremos ent˜ ao y −1 = x + 1 Vejamos os esbo¸cos gr´aficos das fun¸c˜ oes f e a fun¸c˜ ao f −1

64

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

y

x−1 x

x+1

Figura 6.2:

6.1.3

Fun¸ co ˜es Compostas

Consideremos os conjuntos A = {1, 2, 3};

B = {2, 4, 6};

C = {3, 5, 7}

Componha o esquema da relac¸c˜ao f : A → B e g : B → C. Observe que existe uma maneira de definir a relac¸c˜ ao A → C usando as relac¸c˜ oes (fun¸c˜ oes) f e g, suponhamos que h : A → C sem a necessidade de ar por B , entao teremos: h(1) = 3 ⇒ 3 = g[f (1)];

h(2) = 5 ⇒ 5 = g[f (2)];

h(3) = 7 ⇒ 7 = g[f (3)];

assim, de modo claro conclui-se que h(x) = g[f (x)] e dizemos A h ´ e uma fun¸ c˜ ao que comp˜ oe f em g . Exemplo 6.5. Sejam dadas as fun¸c˜oes f (x) = ax + b,

g(x) = cx + d,

vamos determinar a a fun¸c˜ao f o g e g o f f o g = f [g(x)] = a[g(x)] + b = a(cx + d) + b = acx + ad + b g o f = g[f (x)] = c[f (x)] + d = c(ax + b) + d = acx + cb + d

dr. betuel de jesus varela canhanga

6.1.4

65

Sistemas de Equa¸co ˜es e Inequa¸c˜ oes Lineares

Todas as rectas podem ser representadas apartir da express˜ao y = ax+b onde em caso de a = 0 temos uma recta horizontal que corta o eixo vertical em b, caso contr´ ario temos uma recta obliqua e inclinada de modo dependente do a-coeficiente angular. Muitos problemas de matem´atica, economia, gest˜ao e ´areas afim, podem ser resolvidos usando sistemas de rectas. Veja o seguinte exemplo: Exemplo 6.6. Em boas cozinhas, para preparar 5 unidades de sopa mistura-se uma determinada quantidade de ´agua ao dobro de ´oleo. Se se misturar quantidades iguais de ´agua e ´oleo no lugar de 5, produzem-se 7 unidades. Determine a quantidade de litros de ´agua e de ´oleo. Este tipo de problemas e muitos outros podem ser e com muita facilidade resolvidos usando os ´ poss´ıvel criar e/ou resolver problemas que exigem sistemas de equa¸c˜ sistemas de equa¸c˜oes lineares. E oes de diferentes graus, mas, para todos efeitos e sem limita¸c˜ ao da sua vamos falar de sistemas de 2 equa¸c˜ oes com 2 inc´ognitas. Resolver um sistema de 2 equa¸c˜ oes com duas inc´ognitas ´e o mesmo que procurar encontrar o par (x, y) que satisfaz o sistema ½ ax + by + c = 0 . dx + ey + f = 0 Observa¸ c˜ ao 6.2. Seja dado o seguinte sistema de duas equa¸c˜ oes com duas inc´ognitas   ax + by + c = 0  dx + ey + f = 0 diremos que 1) O sistema tem uma e unica solu¸c˜ ao se 2) O sistema n˜ao tem solu¸c˜ao se

a b 6= d e

b a = d e

3) O sistema tem muitas solu¸c˜oes se

a b c = = d e f

Exemplo 6.7. Quantas solu¸c˜oes tem o sistema   2x − y + 5 = 0  x − 5y = 7 Usando as regras dadas acima concluimos que o sistema tem uma unica solu¸c˜ ao. Resolvendo-o teremos:  19  ½ ½ ½  y=− 2x − y + 5 = 0 2x − y + 5 = 0 2(7 + 5y) − y + 5 = 0 9 µ ¶ ⇒ ⇒ ⇒ 19 33 x − 5y = 7 x = 7 + 5y x = 7 + 5y   x=7+5 − =− 9 9 Graficamente a solu¸c˜ao de um sistema de equa¸ca˜o corresponde ao ponto de intersec¸c˜ ao das duas rectas geradas pelas fun¸c˜oes definidas pelas equa¸c˜ oes do sistema. Para o sistema acima teremos veja a figura (6.3): Para resolver uma inequa¸c˜ao linear vamos apartir do esbo¸co do gr´afico fazer a leitura da parte que satisfaz a condi¸c˜ao da inequa¸c˜ao.

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

66

y 2x + 5 x x−7 5

Figura 6.3: Vejamos o seguinte exemplo 2x + 5 − y > 0 devemos fazer com que o y tenha coeficiente posetivo, para tal vamos multiplicar ambos membros da inequa¸c˜ao por -1 e teremos −2x − 5 + y < 0, esbo¸camos o gr´afico de y = 2x + 5 y

2x + 5 x

Figura 6.4:

dr. betuel de jesus varela canhanga

67

e porque pelo exercicio o sinal (condi¸c˜ ao) da inequa¸c˜ ao ´e menor, a solu¸c˜ ao ´e a parte de baixo (a parte sombreada no esbo¸co gr´afico) Para o caso em que temos um sistema de v˜arias equa¸c˜ oes lineares, devemos esbo¸ca-las e escolhemos como solu¸c˜ao a parte correspondente a intersec¸c˜ ao das diferentes solu¸c˜ oes.

Exemplo 6.8.   y+x−1≥0  y−x−2≥0

Antes de resolvermos este sistema de inequa¸c˜ oes, vamos transformar em sistema de equa¸c˜ oes,    y+x=1  y+x−1=0 ⇒  y−x=2  y−x−2=0

somando as duas equa¸c˜oes (metodo de adi¸c˜ ao sucessiva) teremos 2y = 3, isto ´e y =

3 , substituindo 2

numa das equa¸c˜oes (a primeira por exemplo) teremos

3 3 1 +x−1=0⇒x=1− ⇒x=− . 2 2 2

A solu¸c˜ao do sistema de equa¸c˜ao ´e o ponto

µ ¶ 1 3 − , 2 2

que ´e o ponto de intersec¸c˜ao das duas rectas que s˜ao definidas pelas equa¸c˜ oes do sistema. Vamos no mesmo S.C.O esbo¸car as rectas

y + x − 1 = 0, e y − x − 2 = 0

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

68

y y−x−2=0 II

3 2

III

I x

− 12 IV

y+x−1=0

−x + 1 Figura 6.5: As duas rectas intersectam-se e fazem 4 regi˜oes (I,II,III,IV), veja na figura (6.5). Como no sistema de inequa¸c˜ oes todas as condi¸c˜oes foram dadas para regi˜oes maiores que as rectas dadas, a nossa solu¸c˜ ao sera a regi˜ao II que ´e a regi˜ao que fica acima das duas rectas. Observa¸ c˜ ao 6.3. Veja que se o sinal de desigualdade for > ou < as rectas aparecem em tra¸co n˜ao cheio, isto ´e, (tracejado). Existe um tipo de inequa¸c˜oes que muito embora n˜ao sejam lineares, s˜ao compostas por bin´omios lineares em forma de factores e(ou) quocientes. Exemplo 6.9. Veja atentamente os exemplos que se seguem 1) Resolva a seguinte equa¸c˜ao x−1 = 0, x+1 veja que para que a frac¸c˜ao dada(qualquer frac¸c˜ ao) seja igual a zero basta qu e x − 1 = 0(o numerador seja igual a zero). ent˜ ao teremos x−1 = 0 ⇒ x − 1 = 0 ⇒ x = 1, x+1 ´e importante frizar que x + 1 6= 0 ⇒ x 6= −1 portanto a solu¸c˜ao ´e S:x=1

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69

2) Resolva a seguinte equa¸c˜ao 2x − 1 = 0, x−3 teremos 2x − 1 1 = 0 ⇒ 2x − 1 = 0 ⇒ x = , x−3 2 como

1 6= 3 teremos que 2 S:x=

1 2

3) Resolva a seguinte equa¸c˜ao (2x − 1)(x − 3) = 0, pode ver se que basta que S : 2x − 1 = 0 ∨ x − 3 = 0 ⇒ x =

1 ∨x=3 2

4) Resolva a seguinte equa¸c˜ao (x2 − 1)(x + 4)(x + 2) = 0, teremos ent˜ao S : x2 − 1 = 0 ∨ x + 4 = 0 ∨ x + 2 = 0 ⇒ x = −4 ∨ x = −2 ∨ x − 1, ∨x = 1 Consideremos agora o caso em que temos inequa¸c˜ oes compostas por bin´omios lineares. 1) Resolva a seguinte inequa¸c˜ao x−1 > 0, x+1 iremos aqui recorrer ao m´etodo de tabelas, antes vamos resolver seguintes equa¸c˜ oes x − 1 = 0,

x+1=0

isto ´e x = 1,

x = −1

Vamos construir a seguinte tabela x

] − ∞; −1[

-1

]-1;1[

1

]1; +∞[

x−1

-

-2

-

0

+

x+1 x−1 x+1

-

0

+

+

+

+

@

-

0

+

Ao resolvermos a inequa¸c˜ao dada, porque a condi¸c˜ ao diz maior do que zero, nos limitamo-nos a procurar encontrar asregi˜oes ao longo do eixo dos x onde a express˜ao tem sinal posetivo, e lendo a ultima linha da tabela podemos dar a seguinte solu¸c˜ ao S : x ∈] − ∞; −1[∪]1, +∞[

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

70

(a) se no lugar da inequa¸c˜ao dada neste exerc´ıcio tivessemos que resolver a seguinte inequa¸c˜ ao x−1 < 0, x+1 tereiamos que seguir os mesmos os mas no fim, da leitura da ultima linha da tabela iriamos dar como solu¸c˜ao a parte que tem o sinal negativo, isto ´e: S : x ∈] − 1; 1[, (b) e se tivessemos a inequa¸c˜ao x−1 ≥ 0, x+1 tereiamos que seguir os mesmos os mas no fim, da leitura da ultima linha da tabela iriamos dar como solu¸c˜ao a parte que tem o sinal posetivo ou zero, isto ´e: S : x ∈] − ∞; −1[∪[1, +∞[ 2) Resolva a seguinte inequa¸c˜ao (x − 1)(x + 2) < 0, (x + 1)(x − 3) usando o m´etodo de tabelas, teremos que antes resolver seguintes equa¸c˜ oes x − 1 = 0,

x + 1 = 0,

x + 2 = 0,

x−3=0

isto ´e x = 1,

x = −1,

x = −2,

x=3

Vamos construir a seguinte tabela x

] − ∞; −2[

-2

]-2;-1[

-1

]-1;1[

1

]1;3[

3

]3; +∞[

x−1

-

-

-

-

-

0

+

+

+

x+2

-

0

+

+

+

+

+

+

+

x+1

-

-

-

0

+

+

+

+

+

x−3 (x − 1)(x + 2) (x + 1)(x − 3)

-

-

-

-

-

-

-

0

+

+

0

-

@

+

0

-

@

+

A solu¸c˜ao sera a parte negativa porque a inequa¸c˜ ao aparece com o sinal menor do que zero. Assim sendo teremos:

S : x ∈] − 2; −1[∪]1; 3[

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6.2

71

Exercicios De Aplica¸c˜ ao

1) Represente graficamente as fun¸c˜ oes definidas pelas equa¸c˜ oes seguintes, determine o dom´ınio e contradom´ınio. (a) y = 2x − 1 (b) y = 2 − x (c) y = x + 2y − 1 (d) 2x − 3y + 2 = 0 (e) y = 3 (f) x = 1 (suponha que seja fun¸c˜ ao de y ) 2) Para cada uma das alineas do n´ umero anterior identifica se o ponto (1, 0) e o ponto (1, 1) pertencem ou n˜ao a recta 3) Identifique o coeficiente angular (declive) das rectas dadas (a) 2x + 2y − 7 = 0 (b) y = 3 2 =0 3 (d) x − 2y = 1 (c) x − 3y +

4) Veja se as seguintes rectas s˜ao paralelas (se tem mesmo coeficiente angular) (a) 9x − 6y + 2 = 0, 3x + 2y + 1 = 0 2x y (b) + = 3, 2x + 3y − 1 3 2 5) Seja f (x) = 2x − 6, 6) Seja f (x) =

D(f ) =] − 1; 4], determine a Im(f )

−x − 7 , 2

D(f ) =] − 1; 3[, determine a Im(f )

7) De uma fun¸c˜ao, sabemos que D(f ) = [−3; 5] e Im(f ) = [1; 5] (a) Esbo¸ce uma das possibilidade (b) Suponha que as fun¸c˜oes s˜ao lineares. Escreva as suas f´ormulas 8) Ache f [g(x)] e g[f (x)] (a) f (x) = x + 1 (b) f (x) = ax + b

g(x) = x − 1 g(x) = cx + d

(c) Para a fun¸c˜ao anterior determine f [f (x)]. (d) Qual ´e a caracter´ıstica de uma fun¸c˜ ao composta por duas fun¸c˜ oes lineares 9) Seja f uma fun¸c˜ao linear, tal que f [f (x)] = x − 1, determine f (x) 10) Resolva as seguintes equa¸c˜oes x+3 3 x−5 7 − = + 5 10 2 10 3x − 3 =9 (b) 3x + 5 (a)

11) Resova a equa¸c˜ao (x + 3)(4x + 7)(3x − 1) = 0 apresente as solu¸c˜ oes em:

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

72

(a) N (b) Z (c) Q (d) R 12) Nas boas escadas a altura a dos degraus e a sua profundidade p est˜ao relaccionadas por 2a−64 = p em Cm. (a) Esboce 3 escadas diferentes para a = 10,

a = 20 a = 15

(b) Umas escadas compostas de 17 degraus levam a um piso situado 2, 55m acima. Qual ´e a profundidade dos degraus? (c) Considera-se que a altura de um degrau n˜ao pode ultraar 25Cm. Disp˜ oe-se dum espa¸co que permite colocar escadas tais que a soma da profundidade seja 4m. Qual ser´a a altura m´axima dessas escadas? 13) Resolva as inequa¸c˜oes seguintes 2 x+2 ≥ 3 3 x+2 3x − 2 > (b) − 2 5 −2x + 7 <6 (c) 2 ≤ 3 (a) 3x −

14) Resolva seguintes inequa¸c˜oes (a) (x + 3)(x − 5) > 0 (b) (3x − 5)(2 − 3x) ≥ 0 ³x ´ (c) x −1 ≥0 2 5 (d) <0 1 − 4x 2−x (e) <0 x−6 15) Indique o n´ umero de solu¸c˜oes dos seguintes sistemas de equa¸c˜ oes ½ x + 4y − 2 = 0 (a) 2x − y + 3 = 0 ½ 3x + 5y + 1 = 0 (b) −21x − 35y − 7 = 0 ½ −x + 2y + 3 = 0 (c) 3x − 6y + 1 = 0 ½ x+y+2=0 (d) 3x − 4y − 20 = 0 16) Resolva os seguintes sistemas ½ 2x + 3y − 6 = 0 (a) 2x + y + 2 = 0 ½ 2x − 3y − 6 = 0 (b) 2x + 3y − 6 = 0 ½ 2x − 10y = 0 (c) −5x + 25y = 0

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( (d)

73

(x + y) − (x − y) + 1 = 0 x+y x−y 7 + − =0 2 3 36

17) Um cavalo e uma mula caminhavam juntos levando no lombo pesados sacos. Lamentava-se o cavalo da sua pesada carga quando a mula lhe disse: ”de que ti queixas? Se eu levasse um dos teus sacos, a minha carga seria o dobro da tua. Pelo contr´ ario, se te desse um saco, a tua carga seria igual a minha.”Quantos sacos levava o cavalo e quantos sacos levava a mula? 18) Resolva (a) 2x − y + 1 > 0 (b) 3x + 5y ≤ 0 (c) x − y − 1 > 2x + 6y (d) 2x − y + 1 < x − y − 1 19) Resolva (a) 2x + 3y − 1 < 0 e x − y > 1 (b) x − 2 ≥ 0 e x + y − 2 ≤ 0 (c) 2x + y − 1 < 0 e y ≤ −2x − 5 (d) x > 0,

y>0 e

x+y ≤5

(e) (2x − y + 1)(x − y − 1) ≥ 0 Ensinar ´ e lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto vocˆ e

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Cap´ıtulo 7

˜ es Quadra ´ ticas Func ¸o 7.1

Fun¸co ˜es e Equa¸c˜ oes Quadr´ aticas, Radicais

7.1.1

Fun¸ co ˜es Quadr´ aticas

Estudaremos neste cap´ıtulo fun¸c˜oes que podem ser apresentadas de maneira gr´afica expressando par´abolas ou partes de par´abolas. Vimos nas aulas adas o conceito de rela¸c˜ ao e fun¸c˜ ao, estudamos tamb´em uma determinada e espec´ıfica fam´ılia de fun¸c˜ oes, as fun¸c˜ oes lineares - aquelas que item expoente m´aximo associado a vari´ avel igual a 1. As fun¸c˜ oes lineares apresentam-se na forma y = ax + b, e sobre elas, construimos o gr´afico e fizemos v´arios estudos (rever aulas adas). Ao estudarmos fun¸c˜oes quadr´aticas iremos de certeza re-utilizar as bases que adquirimos do estudo de fun¸c˜oes e fun¸c˜oes lineares, um exemplo disso aplica-se sobre o conceito Dom´ınio e(ou) Contradom´ınio, Zeros, Sinal, Monotonia de fun¸c˜ ao. Iremos aqui, usar estes conceitos virando nossas aten¸c˜oes para as fun¸c˜oes que item expoente m´aximo de x igual a 2 - fun¸ c˜ oes quadr´ aticas. As fun¸c˜oes quadr´aticas s˜ao fun¸c˜oes do tipo y = ax2 + bx + c,

a 6= 0,

e podem ser representadas de maneiras diferentes. 1) Vejamos o caso mais simples de func˜oes quadr´aticas, o caso em que elas tem a forma f (x) = ax2 Veja figura (7.1) (a) y = x2 (b) y = 2x2 (c) y = 3x2 Observa¸ c˜ ao 7.1. No esbo¸co gr´aficos de fun¸c˜ oes quadr´aticas a amplitude (abertura da par´abola) varia de modo inverso com o valor de a, isto ´e, quanto maior for o valor de a, menor sera a abertura da parabola. 74

dr. betuel de jesus varela canhanga

75

y y = 3x2

y = x2

y = 2x2

x

Figura 7.1: Se o a for negativo a parabola ´e virada para baixo (concavidade virada para baixo) Veja figura (7.2) (a) y = −x2 (b) y = −2x2 (c) y = −3x2 y x

−x2 −3x2

−2x2

Figura 7.2: 2) Vejamos o caso em que as fun¸c˜oes tem deslocamento ao longo do eixo horizontal. y = a(x − p)2 onde o x ∈ R,

a 6= 0 e p, q ∈ R.

Podemos ter v´arios exemplos de fun¸c˜ oes quadr´aticas com esta representa¸c˜ ao Veja a figura (7.3) (a) y = x2

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

76

(b) y = (x + 3)2 (c) y = (x − 1)2 y y = (x + 3)2

y = x2

y = (x − 1)2

x

Figura 7.3: Observa¸ c˜ ao 7.2. Os gr´aficos de y = ax2 ,

y1 = a(x − p)2 s˜ ao semelhantes e obtem-se y1 a

partir da translada¸c˜ao de y = ax2 em p unidades para a esquerda se p > 0 ou p unidades para a direita se p < 0. Defini¸ c˜ ao 7.1. Chama-se v´ ertice de uma fun¸c˜ ao quad´atica ao ponto (xv , yv ) onde ela muda de comportamento, isto ´e, deixa de crescer e a a decrescer ou versa e vice. Exemplo 7.1. Para as fun¸c˜oes dadas nos exemplos anteriores vejamos os seus respectivos v´ertices (coordenadas do v´ertice). (a) Para a fun¸c˜ao y = x2 o v´ertice ´e o ponto V (0, 0) (b) Para a fun¸c˜ao y = (x + 3)2 o v´ertice ´e o ponto V (−3, 0) (c) Para a fun¸c˜ao y = (x − 1)2 o v´ertice ´e o ponto V (1, 0). Consideremos a fun¸ c˜ ao y = −3(x − 1)2 , vamos antes fazer o esbo¸ co gr´ afico, (Figura 7.4) Observa¸ c˜ ao 7.3. As fun¸c˜oes y = (x − 1)2 , y = −3(x − 1)2 e y = 3(x − 1)2 tem v´ertices no ponto (1, 0) o que nos leva a concluir que o valor de a n˜ ao influencia na determina¸c˜ ao do v´ertice da fun¸c˜ao. Pode concluir-se que o v´ertice da fun¸c˜ ao y = a(x − p)2 ´e o ponto V (p, 0) e o eixo de simetria ´e o eixo x = p. Exemplo 7.2. Determine, sem construir o gr´afico, o v´ertice e o eixo de simetria da fun¸c˜ao (a) y = 2(x −

√

2)2

(b) y = − 62 (x − c)2

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77

y x

Figura 7.4: y = −3(x − 1)2 (c) y = x2 + x +

1 4

(e primeiro para a forma y = a(x − p)2 .

3) Observemos agora o caso em que y = a(x − p)2 + q,

x ∈ R,

a 6= 0,

q 6= 0,

∀p

Este caso ´e semelhante ao caso (2) em que tinhamos y = a(x − p)2 . Para obtermos o gr´afico deste tipo de fun¸c˜ oes, fazemos a translada¸c˜ ao que fizemos no caso y = a(x − p)2 e acrescentamos mais uma translada¸c˜ ao de q unidades para cima se q > 0 e para baixo se q < 0. Note-se que ao transladarmos um determinado gr´afico, devemos transladar todos os pontos que fazem parte dele. Desenhar com o aux´ılio dos estudantes, explicando detalhadamente os os para a constru¸c˜ ao 1 2 de y = 2 (x − 5) + 2 Eis os os: (a) Construir o gr´afico da fun¸c˜ ao y1 = x2 ; (b) construir o gr´afico da fun¸cao y2 = 12 x2 ; (c) construir o gr´afico da fun¸c˜ao y3 = 12 (x − 5)2 ; e, finalmente, (d) construir o gr´afico da fun¸c˜ ao y4 = 12 (x − 5)2 + 2. transladando-o duas (2) unidades para cima. Observa¸ c˜ ao 7.4. O gr´ afico da fun¸c˜ ao y = a(x − p)2 + q pode se obter do gr´ afico y1 = ax2 por meio de uma translada¸c˜ ao horizontal de p unidades e uma translada¸c˜ ao vertical de q unidades. Observa¸ c˜ ao 7.5. Para fun¸c˜oes dadas na forma y = a(x − p)2 + q , o eixo de simetia ´e x = p e o v´ertice localiza-se no ponto V (p, q).

7.1.2

Estudo Completo de uma Fun¸ c˜ ao

O estudo completo de uma fun¸c˜ao consiste numa s´erie de investiga¸c˜ oes que s˜ao feitas para a descoberta de caracter´ısticas que, de maneira inequ´ıvoca, identificam uma fun¸c˜ ao. Este estudo (para fun¸c˜ oes quadr´aticas) ´e composto por 9 (nove) os importantes a saber:

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

78

y IV : 12 (x − 5)2 + 2

II : 12 x2

III : 12 (x − 5)2

I : x2

x

Figura 7.5: 1) O sinal de a 2) O dom´ınio da fun¸c˜ao, 3) o contradom´ınio da fun¸c˜ao, 4) as coordenadas do v´ertice, 5) os zeros da fun¸c˜ao, 6) a varia¸c˜ao da fun¸c˜ao ( ou monotonia da fun¸c˜ ao), 7) a varia¸c˜ao do sinal da fun¸c˜ao, 8) a equa¸c˜ao do eixo de simetria e 9) a constru¸c˜ao gr´afica. Com os estudantes, na sala, fazer o estudo completo das fun¸c˜ oes y = x2 − 2x e y = −x2 + 2x + 3

7.1.3

Equa¸co ˜es Quadr´ aticas

No cap´ıtulo anterior falamos de equa¸c˜ oes lineares, e definimos equa¸c˜ ao como uma igualdade que contˆem uma determinada inc´ognita. Ao resolvermos uma equa¸c˜ ao procuramos achar os valores da inc´ognita que satisfaz a igualdade. Chamaremos ent˜ ao de equa¸c˜ ao quadr´atica a equa¸c˜ ao que tiver na inc´ognita o expoente 2. A forma geram da equa¸c˜ ao quadr´atica ´e a seguinte: ax2 + bx + c = 0,

a 6= 0.

Existem 3 tipos de equa¸c˜oes qudr´aticas e nas suas resolu¸c˜ oes diferem um tipo do outro no ponto de vista de eficiˆencia, isto ´e, podemos resolvˆe-las da mesma maneira, mas ´e racional para cada caso cumprir certos algor´ıtmos que facilitam a resolu¸c˜ ao. Vejamos: 1) No caso em que os valores de b e c s˜ao iguais a zero, teremos ax2 = 0,

a 6= 0

e da´ı resulta que x = 0, neste caso ´e muito simples encontrar a solu¸c˜ ao, veja que achar a solu¸c˜ ao de uma equa¸c˜ao ax2 = 0 reduz se a determinar ao longo do eixo dos x o conjunto de pontos interceptados pela parˆabola y = ax2 , veja nas figuras (7.1) e (7.2) os gr´aficos de y = ax2 .

dr. betuel de jesus varela canhanga

79

2) No caso em que c = 0, b 6= 0 , teremos ax2 + bx = 0 . Colocando o x em evidˆencia, vem x(ax + b) = 0 onde x = 0 ou ax + b = 0 o que nos leva `as solu¸c˜oes x = 0 ou x = − ab . Vamos aqui fazer o esbo¸co do gr´afico de fun¸c˜ oes dadas na 2 forma y = ax +bx para podermos observar gr´aficamente as solu¸c˜ oes. Consideremos as equa¸c˜ oes x2 + 3x = 0 x2 − 5x = 0. Ao determinarmos as solu¸c˜ oes gr´aficas destas equa¸c˜ oes vamos fazer os esbo¸cos gr´aficos de fun¸c˜oes y = x2 + 3x

e

y = x2 − 5x

y x2 + 3x

x2 − 5x x

Figura 7.6: Resolvendo a equa¸c˜aoteremos x2 + 3x = 0 ⇒ x(x + 3) = 0 dai que teremos x = 0 ou x + 3 = 0 ⇒ x = −3. Para a equa¸c˜ao x2 − 5x = 0 teremos x(x − 5) = 0 ⇒ x = 0 ou x − 5 = 0 ⇒ x = 5, estes resultados podem ser observados apartir da leitura gr´afica. 3) No caso em que os valores de a, b e c s˜ao diferentes de zero, teremos ax2 + bx + c = 0, os estudantes poder˜ao resolver esta equa¸c˜ ao usando a f´ormula resolvente que foi vista aquando do estudo da factoriza¸c˜ao de polin´omios quadr´aticos. S´o para recordar: √ −b ± ∆ x1,2 = e ∆ = b2 − 4ac. 2a Com o aux´ılio desta f´ormula, os estudantes poder˜ao tamb´em encontrar as coordenadas do v´ertice do gr´afico que descreve a fun¸c˜ao y = ax2 + bx + c : xv = −

b ∆ e yv = − 2a 4a

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

80

7.1.4

Exerc´ıcio

Determine para as seguintes fun¸c˜oes os zeros, os v´ertices e o eixo de simetria da fun¸c˜ ao. 1) y = ax2 + bx + c,

a 6= 0,

2) y = x2 − 10x + 25, 3) −x2 + 8x = −5 + y, 4) x2 − 7x + 11 = 1 − y, 5) y = 2x2 + 7x + 5, 6) y + 3x + (x + 1)2 + x2 = 2(x2 − 1) + x(x + 3). Observa¸ c˜ ao 7.6. Seja dada uma equa¸c˜ ao quadr´atica, se a + b + c = 0 esta equa¸c˜ ao tem ra´ızes iguais a x1 = 1 e x2 = ac . Observa¸ c˜ ao 7.7. Sejam x1 e x2 , ra´ızes de uma equa¸c˜ ao quadr´atica, ent˜ ao x1 +x2 = − ab ; x1 ×x2 =

c a

e x2 − (x1 + x2 )x + x1 × x2 = 0

7.1.5

Equa¸co ˜es Param´ etricas

Nma fun¸c˜ao quadr´atica de acordo ao valor assumido pelo ∆ = b2 − 4ac podemos saber se tem ou n˜ao raizes e caso as tenha podemos saber se estas raizes s˜ao duplas ou n˜ao 1) ∆ < 0 a fun¸c˜ao n˜ao tem raizes em R 2) ∆ = 0 a fun¸c˜ao tem raizes duplas isto ´e x1 = x2 3) ∆ > 0 a fun¸c˜ao tem raizes diferentes isto ´e x1 6= x2 Usando estes 3 pressupostos podemos resolver as equa¸c˜ oes param´etricas Exemplo 7.3. Seja dada a fun¸c˜ao y = x2 − 6x + k 1) Determine k de modo que a fun¸c˜ ao y n˜ ao tenha raizes 2) Determine k de modo a que a fun¸c˜ ao tenha raizes duplas 3) Determine k de modo que a fun¸c˜ ao tenha raizes reais e diferentes 4) Determine k de modo que a fun¸c˜ ao e pelo ponto (1, 2)

7.1.6

Fun¸ c˜ ao e Equa¸c˜ ao Radical

Fun¸c˜oes radicais s˜ao fun¸c˜oes que possuem a vari´ avel dentro do radical (e sem limita¸c˜ ao da sua essˆencia, vamos supor que tenham formas lineares como radicandos) e tem a forma √ y = ax + b. ax + b ≥ 0 A condi¸c˜ao ax + b ≥ 0 adv´em do dom´ınio de radicais com ´ındice par (recordar o cap´ıtulo sobre radicia¸c˜ao).

dr. betuel de jesus varela canhanga

81

Exemplo 7.4. Considere a fun¸c˜ao 1) f (x) =

√ 2x − 1 Determine o dom´ınio da fun¸c˜ ao.

2) g(x) =

√ ax − 3 Determine o dom´ınio da fun¸c˜ ao.

Observa¸ c˜ ao 7.8. Como esbo¸car o gr´afico de uma fun¸c˜ ao radical? • Atente a figura (7.7), nela est˜ao constru´ıdos os quatro gr´aficos que podem ser usados como auxiliadores no esbo¸co gr´afico de fun¸c˜ oes radicais. √ x, √ 2) y = −x, √ 3) y = − x, e √ 4) y = − −x 1) y =

y

y=

√

y=

−x

√

x

x

√ y = − −x

√ y=− x

Figura 7.7: • Ver atentamente os teores sobre equa¸c˜ oes e inequa¸c˜ oes irracionais. Explicar aos estudantes.

7.1.7

Composi¸c˜ ao de fun¸c˜ oes por fun¸c˜ oes Radical

1) Sejam dadas as fun¸c˜oes f (x) =

√ ax + b,

g(x) =

√ cx + d

Determinemos as fun¸c˜oes f o g e g o f. q √ f g = f [g(x)] = a cx + d + b o

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

82

e g o f = g[f (x)] = 2) Sejam dadas as fun¸c˜oes f (x) =

q √ c ax + b + d

√ ax + b,

g(x) = cx + d

Determinemos as fun¸c˜oes f o g e g o f. f o g = f [g(x)] = e

7.1.8

p

a(cx + d) + b

√ g o f = g[f (x)] = c ax + b + d

Equa¸co ˜es e Inequa˜ oes Radicais

Existem v´arios tipos de equa¸c˜oes quadr´aticas √ 1) Equa¸c˜oes do tipo A = B resolve-se impondo que A = B2, e Exemplo 7.5. Para resolvermos a equa¸c˜ ao

B≥0

√ x2 − 1 = −x + 2 fazemos

5 x2 − 1 = (−x + 2)2 ⇒ x2 − 1 = x2 − 4x + 4 ⇒ 4x − 5 = 0 ⇒ x = , 4 Pelo dom´ınio de express˜oes radicais de ´ındice par temos que x2 − 1 ≥ 0 ⇒ x ∈] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[, e porque

5 5 faz parte do dom´ınio da express˜ao dizemos ent˜ ao que S : x = . 4 4 y 6 5 4 3 2 1 −3

−2

−1

1

2

3

−1 −2 −3

Figura 7.8: Vejamos a solu¸c˜ao da mesma equa¸c˜ ao dada na forma gr´afica

x

dr. betuel de jesus varela canhanga

83

y 6 5 x= 4

5 4

3 2 1 −5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

x

−1 −2 −3 −4 −5

Figura 7.9: 2) Para o caso em que a equa¸c˜ao ´e dada na forma √ √ A= B teremos: A = B,

A ≥ 0,

B≥0

Exemplo 7.6. Consideremos a equa¸c˜ ao √ √ −x + 4 = x − 1 seguindo as regras acima teremos: −x + 4 ≥ 0 ⇒ −x ≥ −4 ⇒ x ≤ 4 analogamente x−1≥0⇒x≥1 o que nos leva a afirmar que caso exista solu¸c˜ ao desta equa¸c˜ ao, ela localiza-se entre 1 e 4, isto ´e, no conjunto intersec¸c˜ao dos dom´ınios das express˜oes radicais dadas. Resolvendo 5 −x + 4 = x − 1 ⇒ −2x = −5 ⇒ x = , 2 5 como 2.5 est´a entre 1 e 4 temos: S : x = 2 Graficamente teremos:

84

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

y

√

2

√ −x + 4

1

2.5

4

x−1

x

Figura 7.10:

Para resolver inequa¸c˜oes e a semelhan¸ca do que aconteceu com as inequa¸c˜ oes quadr´aticas, usaremos o met´odo gr´afico. Suponhamos que queremos resolver a inequa¸c˜ ao √ √ −x + 4 > x − 1

, esbo¸camos o gr´afico de y1 =

√ √ −x + 4 e y2 = x − 1,

e a solu¸c˜ao sera o intervalo onde o gr´afico de y1 se localiza acima do gr´afico de y2 E a solu¸c˜ ao sera 5 x ∈] − ∞, [. 2

Veja que os parenteses s˜ao abertos porque a inequa¸c˜ ao aparece com o sinal > e n˜ao ≥ .

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85

y

√

2

√ −x + 4

1

2.5

4

x−1

x

Figura 7.11:

7.2

Exercicios De Aplica¸c˜ ao

1) Resolva seguintes inequa¸c˜oes (a) (x + 3)(x − 5) > 0 (b) (3x − 5)(2 − 3x) ≥ 0 ³x ´ (c) x −1 ≥0 2 5 (d) <0 1 − 4x 2−x <0 (e) x−6 2) Verifique quais dos seguintes pontos pertencem a par´abola que representa graficamente a fun¸c˜ ao f (x) = x2 − 5x + 6. (a) A(2, 0) (b) B(4, 2) (c) C(−1, 10) 3) Determine o valor de m para que o ponto A(2, 1) perten¸ca `a par´abola que representa graficamente a fun¸c˜ao f (x) = (m + 1)x2 − 1. 4) Mesma pergunta com A(2, 5) e f (x) = x2 − 2x + m. 5) Represente graficamente as seguintes fun¸c˜ oes: (a) f (x) = (x − 3)2

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

86

(x − 1)2 3 (c) f (x) = 3(x + 2)2 + 1

(b) f (x) =

6) Escreva sob a forma can´onica e resolva, a partir dessa forma, a equa¸c˜ ao y = 0; indique em cada caso as coordenadas do v´ertice. (a) y = x2 − 6x + 6 (b) y = 2x2 − 8x + 6 (c) y = x2 − 65 x −

7 25

7) Resolva, utilizando o discriminante, as seguintes equa¸c˜ oes: (a) 3x2 − 5x + 7 = 0 (b) 4(x − 3)2 = 3 − x √ √ √ (c) (2 + 3)x2 − (2 3 + 1)x + 3 − 1 = 0 8) Determine os valores de k na fun¸c˜ ao y = x2 − 6x + k, de modo que: (a) as ra´ızes sejam reais e iguais; (b) as ra´ızes sejam reais e diferentes; (c) n˜ao haja ra´ızes reais; (d) uma das ra´ızes seja 5; (e) a curva e pelo ponto A(4, 5); (f) a ordenada do v´ertice seja −1. 9) Determine os valores de p de modo que a fun¸c˜ ao quadr´atica y = x2 + px + p − reais.

7 16

tenha ra´ızes

10) Nas seguintes equa¸c˜oes do segundo grau, sendo dada uma solu¸c˜ ao, determine a outra sem resolver a equ¸c˜ao: (a) 6x2 − 7x − 10; x1 = 2 √ √ (b) x2 − x + 2 − 2; x1 = 2 11) Escreva equa¸c˜oes do segundo grau que itam as seguintes solu¸c˜ oes: (a) 1 e -1 (b)

√1 2

√ e −2 2

12) Determini x e y sabendo que: (a) x + y = − 13 e x × y = − 23 (b) x + y = 6 e x × y = 7 13) Seja ax2 + bx + c = 0 e x1 × x2 = 0. (a) Qual ´e o valor de c? (b) Se as ra´ızes n˜ao forem ambas iguais a zero, simplifique ax2 + bx + c. Qual ´e a segunda ra´ız? Por que ponto a o gr´afico? Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico. (c) Se ambas as ra´ızes forem zero, simplifique ax2 + bx + c. Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico. 14) Seja ax2 + bx + c = 0 e x1 × x2 6= 0.

dr. betuel de jesus varela canhanga

87

(a) Simplifique ax2 + bx + c sabendo que as ra´ızes s˜ao iguais. (b) Por que ponto a o gr´afico? Onde est´a o v´ertice? Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico. 15) Determine um n´ umero real cuja soma com o seu inverso seja igual a 4. 16) Na figura ao lado, o quadrado tem 10m de lado. Determine x de modo que o quadrado iterior tenha 90m2 de ´area. 17) Um rectˆangulo tem 34cm de per´ımetro e as suas diagonais medem 13cm. Determine o comprimento dos seus lados. 18) As pessoas que assistiram a uma reuni˜ao cumprimentaram-se, apertando-se as m˜aos. Uma delas verificou que foram 66 os apertos de m˜ao. Quantas pessas estiveram na reuni˜ao? 19) Duas camponesas levaram um total de 100 ovos para o mercado. Uma delas tinha mais mercadoria mas recebeu por ela tanto dinheiro como a outra. Uma vez vendidos todos os ovos, a primeira camponesa disse `a segunda: ”se eu tivesse trazido a mesma quantidade de ovos que tu, teria recebido 1500 meticais”. A segunda camponesa respondeu: ”e se eu tivesse vendido os ovos que tinhas, teria recebido 2000 meticais”. Quantos ovos vendeu cada uma? 3 20) Um problema chinˆes: Uma cidade quadrada de dimens˜oes desconhecidas possui uma porta no meio de cada um dos seus lados. Uma ´arvore encontra-se a 20 os da porta Norte, no exterior da cidade. Esta ´arvore ´e vis´ıvel desde um ponto C que se pode alcan¸car percorrendo 14 os a partir da porta Sul, seguidos de 1775 os em direc¸c˜ ao a Oeste. Quais s˜ao as dimens˜oes da cidade? 21) Determine o valor de k para que a fun¸c˜ ao f (x) = (2 − k)x2 − 5x + 3 ita um valor m´aximo. 22) Determine o valor de m para que a fun¸c˜ ao f (x) = (4m + 1)x2 − x + 6 ita um valor m´ınimo. 23) Determine k de modo que o valor m´ınimo da fun¸c˜ ao f (x) = x2 − 6x + 3k seja 3. 24) Determine p de modo que a fun¸c˜ ao f (x) = −3x2 + (2p − 3)x − 1 tenha um valor m´aximo para x = 2. 25) A traject´oria duma bola, num chuto, descreve uma par´abola. Supondo que a altura h, em metros, t segundos ap´os o chuto, seja dada por h = −t2 + 6t, determine: (a) em que instante a bola atinge a altura m´axima; (b) qual ´e a altura m´axima atingida pele bola. 26) Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de um certo produto ´e dado por C = x2 − 80x + 300. Nestas condi¸c˜oes, calcule: (a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja m´ınimo; (b) o valor m´ınimo do custo. 27) Estude o sinal dos seguintes trin´omios: (a) y = x2 − 6x + 9 (b) y = 5x2 + 2x + 17 28) Resolva, utilizando as regras do sinal do trin´omio do segundo grau, as inequa¸c˜ oes seguintes: (a) x2 − 8x + 16 ≥ 0 (b) x2 − 8x + 7 > 0 (c) 9x2 + 8x − 1 < 0

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88

(d) −x + 7x2 + 2 ≤ 0 29) Resolva as seguintes inequa¸c˜oes: (a) (x − 3)2 > 16 (b) (x + 2)2 − 9 ≤ 0 (c) (x + 3)2 ≥ 10 30) Represente graficamente as fun¸c˜ oes seguintes: √ (a) f (x) = x + 3 √ (b) f (x) = −2x + 5 √ (c) f (x) = 2 −x + 1 √ (d) f (x) = 1 − x 31) Represente a fun¸c˜ao que d´a o raio de um c´ırculo em fun¸c˜ ao da sua ´area. 32) Seja f (x) = 14 x2 − 1,

D(f ) = [0, +∞[.

(a) Esboce o gr´afico de f e f −1 . (b) Determine a fun¸c˜ao inversa e o seu dom´ınio e contradom´ınio. √ 33) Seja f (x) = − x − 4 + 1. (a) Determine D(f ) e Im(f ). (b) Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao f e da sua fun¸c˜ ao inversa. (c) Determine a fun¸c˜ao inversa, o seu dom´ınio e o seu contradom´ınio. √ 34) Seja f (x) x + 4 − 1. (a) Determine D(f ) e Im(f ). (b) Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao f e da sua fun¸c˜ ao inversa. (c) Determine a fun¸c˜ao inversa, o seu dom´ınio e o seu contradom´ınio. (d) Determine fo f −1 e fo−1 f. 35) Das fun¸c˜oes a seguir, determine fo g e go f. (a) f (x) = x2 − 4 e g(x) = −x2 + 2x (b) f (x) = 5 + x − 2x2 e g(x) = 5 − 3x 36) Resolva analiticamente as equa¸c˜ oes seguintes: √ (a) x + 8 = 3 √ (b) x + x − 1 = 13 √ (c) x2 − 1 + 2 = x 37) Resova analiticamente as seguintes equa¸c˜ oes: √ √ (a) x2 − 3x = 3x − 5 √ √ (b) x2 − 3x − 4 = x2 − 6x + 5 Resolva grafica e analiticamente as seguintes inequa¸c˜ oes: (a)

√ 1+x>3

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89

√ √ x+2> x+3 √ √ (c) 2x − 3 < x + 3

(b)

Ensinar ´ e lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto vocˆ e

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Cap´ıtulo 8

˜ o Logaritmica e Expone ˆncial Func ¸a 8.1

Fun¸c˜ ao e Equa¸c˜ ao Exponˆ encial

Defini¸ c˜ ao 8.1. Chama-se Equa¸ c˜ ao Exponencial ` a toda equa¸c˜ ao que apresenta inc´ognita sob expoente. Exemplo 8.1. A equa¸c˜ao 2x = 8 ´e exponˆencial, pois o x que ´e a inc´ognita aparece no expoente

8.1.1

Resolu¸c˜ ao de Equa¸c˜ oes Exponenciais

Para resolver equa¸c˜oes exponenciais como 2x = 8, prossegue-se: 1) Encontrar duas potˆencias da mesma base, uma em cada membro; 2) Igualar os expoentes dos dois membros entre si; e, 3) Achar o valor da vari´avel. Exemplo 8.2. Vejamos seguintes exemplos 1) Resolva 2x = 8 2x = 23 como as bases s˜ao iguais, igualamos os expoentes e teremos: x=3 2) Resolva 3x =

1 9

3x = 3−2

como as bases s˜ao iguais, igualamos os expoentes e teremos: x = −2 90

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91

3) Resolva 17x = 1 17x = 170 como as bases s˜ao iguais, igualamos os expoentes e teremos: x=0 4) Resolva 7x = −1 Esta equa¸c˜ao n˜ao tem solu¸c˜ ao, veja que para qualquer x ∈ R, 7x ´e sempre posetivo. 5) Resolva 5x = 0 Esta equa¸c˜ao n˜ao tem solu¸c˜ ao, veja que para qualquer x ∈ R, 7x > 0. 6) Resolva

√ 3x = 9

√ 1 x 3x = 32 ⇒ (3x ) 2 = 32 ⇒ 3 2 = 32

igualando os expoentes temos: x = 3 ⇒ x = 6. 2 7) Vejamos o caso em que temos equa¸c˜ oes do tipo 3x+1 + 3x+2 + 1 = 37 Eis os os importantes: (a) Fazer o desenvolvimento seguindo regras de potencia¸c˜ ao, 3x 3 + 3x 9 + 1 = 37 (b) colocar em evidˆencia o factor comum, e isolar o 3x 3x (3 + 9) = 37 − 1 ⇒ 12 × 3x = 36 ⇒ 3x =

36 ⇒ 3x = 31 ⇒ x = 1 12

8) Para o caso em que temos uma equa¸c˜ ao do tipo 4x − 9 × 2x + 8 = 0, procedemos de modo seguinte (a) 4x − 9 × 2x + 8 = 0 ⇒ (2x )2 − 9 × 2x + 8 = 0 (b) Vamos fazer a substitui¸c˜ao t = 2x , t > 0 e determinar os valores de t que satisfazem a equa¸c˜ao assim obtida, t2 − 9t + 8 = 0 ⇒ (t − 1)(t − 8) = 0 ⇒ t1 = 1,

t2 = 8

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

92

(c) Para cada valor de t obtido, resolver a equa¸c˜ ao 2x = t e teremos 2x = 1 ⇒ x = 0,

2x = 8 ⇒ x = 3.

(d) A Solu¸c˜ao ser´a x ∈ {0; 3} 9) Resolva as seguintes equa¸c˜oes (a) 5x+1 + 5x = 150 (b) 9x − 8 × 3x = 9

8.1.2

Inequa¸c˜ ao Exponencial

Seja am > an , uma inequa¸c˜ao exponencial. Na resolu¸c˜ ao desta inequa¸c˜ ao ´e preciso ter aten¸c˜ ao o seguinte: • Se a > 1, o sentido do sinal de desigualdade mant´em-se, isto ´e, am > an ⇒, m > n; • Se 0 < a < 1; (o a ´ e a base exponˆ encial e esta base n˜ ao pode ser negativa nem igual a 1) muda o sentido do sinal de desigualdade, isto ´e, am > a n ⇒ m < n Exemplo 8.3.

1) Resolva 2x > 1

primeiro devemos perceber que 1 = 20 e dai escrevemos 2x > 20 , de acordo as instru¸c˜ oes o nosso a = 2 > 0 ent˜ao x > 0 2) Resolva 2x < 8 2x < 23 ⇒ x < 3 3) Resolva 17x ≥ 1 17x ≥ 170 ⇒ x ≥ 0 µ ¶x 1 <8 4) Resolva 2

µ ¶x µ ¶−3 1 1 < 2 2

porque a < 1 teremos x > −3 5) Resolva 7x > −1 veja que ∀x ∈ R ⇒ 7x ´e sempre posetivo, isto significa que ´e maior que -1, dai que a solu¸c˜ao da inequa¸c˜ao dada ´e x ∈ R. 6) Resolva 5x < 0 neste caso n˜ao existe solu¸c˜ ao, pois 5x ´e sempre maior do que zero, isto ´e, nunca ´e menor do que zero ou ainda dizemos que x ∈ {} (intervalo vazio).

dr. betuel de jesus varela canhanga

8.1.3

93

Fun¸ c˜ ao exponˆ encial

O estudante de certeza ja sabe a oque se refere o termo ”exponˆencial,” Defini¸ c˜ ao 8.2. Chama-se, Fun¸ c˜ ao Exponencial, ` a toda fun¸c˜ ao que tem sob expoente uma vari´ avel. Exemplo 8.4. Veja as seguintes fun¸c˜ oes: 1) f (x) = 2x 2) f (x) = 2x + 1 3) f (x) = 2x+1

8.1.4

Representa¸ c˜ ao Gr´ afica de uma Fun¸c˜ ao Exponencial

H´ a que ter em conta o seguinte: Seja f (x) = ax ; 1) Se a > 1 a fun¸c˜ao exponencial. f (x) ´e crescente. 2) Se 0 < a < 1 a fun¸c˜ao exponˆencial f (x) ´e decrescente 3) O valor de a corresponde a assimptota horizontal 4) Devemos procurar os pontos hist´orcos da fun¸c˜ ao, isto ´e, os pontos onde ela toca os eixos do S.C.O Exemplo 8.5. Represente graficamente as seguintes fun¸c˜ oes, ache o Df e a Imf y

1 2

x

2x

x

Figura 8.1: 1) y = 2x , vide (8.1) µ ¶x 1 2) y = , vide (8.1) 2 3) y = 2x + 1, vide (8.2) 4) y = −2x + 1, vide (8.2) 5) y = 2(x+1) + 1, vide (8.3)

94

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

y

2x + 1

x

−2x + 1

Figura 8.2:

y

2x+1 + 1 2x+1

2x

x

Figura 8.3:

6) y = −2x , vide (8.4)

7) y = −2(x−1) − 3, vide (8.4)

dr. betuel de jesus varela canhanga

95

y x

−2x

−2x−1

−2(x−1) − 3

Figura 8.4:

8.1.5

C´ alculo Logar´ıtmico

Defini¸ c˜ ao 8.3. Chama-se logar´ıtmo base a de b e denota-se loga b onde a ∈ R+ \ {1},

b>0

ao valor y , tal que ay = b E temos loga y = x;

(a > 0; a 6= 1);

y > 0;

x∈R

, lˆe-se: logar´ıtmo de y na base a ´e igual a x. Onde: • y ´e o logaritmando, • a ´e a base, • x ´e o logar´ıtmo. Observa¸ c˜ ao 8.1. Veja que, se: y = ax ⇒ loga y = x;

(a > 0; a 6= 1)

Exemplo 8.6. Determine o valor de x tal que 1) log2 x = 4 veja que, segundo a defini¸c˜ ao de logar´ıtmo, x = 24 ⇒ x = 16 2) logx 81 = 4,

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

96

8.1.6

Propriedades Importantes

1) loga 1 = 0 2) loga a = 1 3) aloga x = x 4) loga b =

logp b (mudan¸ ca de base: b > 0; p > 0; p 6= 0) logp a

5) loga uv = loga u + loga v u = loga u − loga v, v √ q 7) loga n pq = loga p; n 6) loga

v 6= 0

Observa¸ c˜ ao 8.2. Sem limita¸c˜ao da sua essˆencia, tem se que: log10 a = lg a,

8.1.7

loge a = ln a

Equa¸c˜ ao Logar´ıtmica

1) Resolva 2 log2 x = log2 4. Este tipo de equa¸c˜ ao resolve-se seguindo os seguintes os: 2) Calcule sem recorrer a tabelas e(ou) m´aquinas calculadoras (a) 5log5 2 , Usando a a propriedade (3) temos que 5log5 2 = 2 √

(b) log2 2 3 Usando a propriedade (7) teremos √

log2 2

3

=

√ 3 log2 2

e pela propriedade (2) temos que log2 2 = 1 ⇒

√ √ 3 log2 2 = 3

(c) Determine lg 25 sabendo que lg 2 = x Ao resolvermos este exercicio devemos procurar escrever o 25 como lg 25 = lg

100 dai teremos 4

100 = lg 100 − lg 4 4

Pela propriedade (6) teremos lg 25 = lg 102 − lg 22 = 2 lg 10 − 2 lg 2 usando propriedade (2) e aliado ao facto de que pelo exercicio lg 2 = x teremos lg 25 = 2 − 2x. (d) Determine lg 500 sabendo que lg 2 = α.

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97

(e) Determine log4 log2 log3 81 Pela defini¸c˜ao de logar´ıtmo temos que log3 81 = 4 entao log4 log2 log3 81 = log4 log2 4 como log2 4 = 2 entao teremos log4 log2 4 = log4 2 =

1 2

(f) Determine log8 log6 log2 64 3) log2 x = log2 4 Como temos nos 2 membros logar´ıtmos da mesma base, igualamos apenas os logaritmandos 4) x = 4. 5) Resolva log3 x = 1, Basta usar a defini¸c˜ao de logar´ıtmo para resolver este exerc´ıcio, teremos ent˜ ao log3 x = 1 ⇒ x = 31 ⇒ x = 3 6) Resolva a equa¸c˜ao logar´ıtmica log3 (x − 1) + log3 (2x + 1) − log3 (x − 3) = 3 Vamos achar o dom´ınio da express˜ao, para tal teremos que resolver seguintes inequa¸c˜oes x − 1 > 0 ∧ 2x + 1 > 0 ∧ x − 3 > 0 ⇒ x > 3 aplicando as propriedades (5) e (6) teremos log3

(x − 1)(2x + 1) = 3, x−3

vamos escrever 3 como log3 27 dai que log3

(x − 1)(2x + 1) (x − 1)(2x + 1) = log3 27 ⇒ = 27 x−3 x−3

Resolvamos a equa¸c˜ao (x − 1)(2x + 1) = 27 ⇒ (x − 1)(2x + 1) = 27(x − 3) x−3 transformamos assim numa equa¸c˜ ao quadr´atica 2x2 − x − 1 − 27x + 81 = 0 ⇒ x2 − 14x + 40 = 0 ⇒ x = 10 ∨ x = 4. Concluimos ent˜ao que S : x ∈ {4; 10} pois tanto 4 como o 10 s˜ao maiores que 3 (condi¸c˜ ao imposta pelo dom´ınio da express˜ao) Observa¸ c˜ ao 8.3. Durante a resolu¸c˜ ao de uma equa¸c˜ ao logar´ıtmica muitas vezes somos obrigados a transforma-la em exponˆencial, outras vezes a simples percep¸c˜ ao deste conceito satisfaz a resolu¸c˜ ao do problema. As equa¸c˜oes e inequa¸c˜ oes logar´ıtmicas s˜ao muito analogas as equa¸c˜ oes e inequa¸c˜ oes exponˆenciais.

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

98

8.1.8

Inequa¸c˜ ao Logar´ıtmica

Consideremos a inequa¸c˜ao log2 x > log2 3. Para resolvˆe-la, ´e preciso ter em conta o seguinte, se loga m > loga n, ent˜ ao: 1) Se a > 1, o sentido do sinal de desigualdade mant´em-se, isto ´e, loga m > loga n, ⇒ m > n; 2) Se 0 < a < 1, muda o sentido do sinal de desigualdade, isto ´e, loga m > loga n, ⇒ m < n; Para o caso log2 x > log2 3 porque a = 2 > 1 teremos x>3 Exemplo 8.7. Veja seguintes exemplos 1) log2 x > log2 2, como a base ´e 2, ent˜ ao teremos x > 2 veja no gr´afico y

log2 2 = 1 x

Figura 8.5: 2) log 1 x > log 1 3, como a base ´e 2

2

1 , ent˜ ao teremos x < 3 2

3) log3 x > log29 x Mudamos de base log3 x > log29 x ⇒ log3 x >

1 log23 x 2

dr. betuel de jesus varela canhanga

99

aplicando a substitui¸c˜ao t = log3 x teremos 1 t > t2 ⇒ 2t − t2 > 0 2 de onde resulta que t ∈]0; 2[ e sendo assim log3 x > 0 ∧ log3 x < 2 o que nos da x ∈]1; 9[

8.1.9

Fun¸ c˜ ao Logar´ıtmica

Vamos considerar a seguinte fun¸c˜ao: f (x) = loga x; a > 0; a 6= 1; x > 0 : ` esta fun¸c˜ao, chamaremos Fun¸ A c˜ ao Logar´ımica de Base a. Por utras palavras, `a fun¸c˜ ao inversa da fun¸c˜ao exponencial de base a, d´a-se o nome de Fun¸c˜ ao Logar´ıtmica de Base a.

8.1.10

Representa¸ c˜ ao Gr´ afica

Para a representa¸c˜ao gr´afica, suponhamos por exemplo a = 2 : O gr´afico da fun¸c˜ ao f (x) = log2 x obt´em-se de modo seguinte 1) Determinamos o dom´ınio da fun¸c˜ ao, para tal, consideramos o argumento da fun¸c˜ ao maior do que zero e dai extra´ımos a assimptota vertical 2) Procuramos `a semelhan¸ca da fun¸c˜ ao exponˆencial, os pontos de hist´oria da fun¸c˜ ao, que s˜ao os pontos onde a fun¸c˜ao intersecta o eixo x (x- intercepto) e o eixo y (y - intercepto) Represente graficamente as seguintes fun¸c˜ oes: 1) f (x) = log2 (x + 1) 2) f (x) = log 1 (x + 1) Esboce este gr´afico (veja que ´e identico ao esbo¸cado na (8.6) mas tem uma 2 base menor do que a unidade. 3) f (x) = − log2 (−x + 1) 4) f (x) = − log2 (−x + 1) − 3 e f (x) = − log2 (−x − 3) + 1

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

100

y

x

Figura 8.6: f (x) = log2 (x + 1) y

x

Figura 8.7: f (x) = − log2 (−x + 1)

8.2

Exercicios de Aplica¸c˜ ao

1) Sendo x < 0 e sabendo que ax > 1, o que pode afirmar sobre o valor de a? Justifique graficamente. 2) Se a > 1 e 0 < ax < 1, o que pode afirmar sobre o valor de x? Justifique graficamente. 3) Se 0 < a < 1 e ax > 1, o que pode afirmar sobre o valor de x? Justifique. 4) Esboce os gr´aficos das fun¸c˜oes definidas por: (a) y = 2x−3 µ ¶x 1 (b) y = +3 2 (c) y = 5 − 2x (d) y = 1 + 3x 5) Resolva as seguintes equa¸c˜oes:

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101

y

f (x)

x

(−5, 0)

g(x)

Figura 8.8: f (x) = − log2 (−x − 3) + 1 e g(x) = − log2 (−x + 1) − 3 µ ¶x 3 (a) = 2 (b) 3x =

8 27

1 81

√ (c) 3x = 9 3

6) Resolva as seguintes inequa¸c˜oes: µ ¶x 3 (a) ≥1 2 µ ¶x 1 1 ≤9 (b) 9 ≤ 3 µ ¶x 1 −2 (c) 5 ≤ ≤4 5 (d) bx ≥ b, (0 < b < 1) (e) bx > b2 ,

(b > 1)

7) Determine, aplicando a defini¸c˜ao de logar´ıtmo: (a) log3 81 (b) log 1 32 3

(c) log 2

5

25 4

8) Determine o valor de x tal que: (a) log2 x = 4 (b) log√2 x = 5 (c) log 1 x = − 23 2

(d) log0,5 x =

3 4

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

102

9) determine o dom´ıno das fun¸c˜oes definidas por: (a) y = log 1 (x − 3) 2

(b) y = log2 (x2 − 3) (c) y = logx (x2 − 7x + 12) 10) Esboce os gr´aficos das fun¸c˜oes definidas por: (a) y = log2 (x + 4) (b) y = log3 x + 2 (c) y = log 1 (x − 1) + 2 3

(d) y = log2 (5 − x) 11) Determine a fun¸c˜ao inversa das fun¸c˜ oes seguintes e para cada fun¸c˜ ao e sua inversa, determine o dom´ınio e o contradom´ınio. (a) f (x) = 2x+3 − 5 (b) f (x) = log 2 (x − 2) + 7 3

12) Resolva as seguintes inequa¸c˜oes: (a) log3 x < log3

1 2

(b) log10 2x > log10 x (c) log 1 3x > 0 5

(d) log3

x 2

≤2

(e) log 1 (x2 − 1) > 1 3

13) Dado lg 2 = 0, 3010 e lg 3 = 0, 4771, determine : (Nota: lg x = log10 x) (a) lg 24 (b) lg 29 (c) lg 32 √ (d) lg 3 14) Calcule, aplicando as propriedades dos logar´ıtmos: √ 3 (a) log5 52 (b) 72 log7 5 (c) 2−3 log2 2 (d) (e)

√ log2 16×log2 27 log2 8 1 3 log 23 8 − 2 log 23

3 + 14 log 2 81 3

15) Determine (fo g)(x) e (go f )(x) nos seguintes casos: (a) f (x) = 3x e g(x) = log 1 x 3

(b) f (x) = 5x e g(x) = 2x + 1 16) Resolva as seguiintes equa¸c˜oes exponenciais: (a) (ax−1 )x = 1 (b) 4 × 22x − 4 × 2x − 3 = 1

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103

(c) 9x + 3 × 6x = 4x+1 (d) 2x+7 − 2x+4 − 2x+2 = 3x+4 − 3x+2 (e) 9x+1 + 8 × 3x + 33 = 3x+4 + 19 × 3x+2 x

(f) 16 2 −1 − 4x+1 = 322 + 22x+1 − 4x+2 17) Resolva, com ajuda da m´aquina de calcular, as equa¸c˜ oes seguintes: (a) 2x = 348 (b) 6, 23x = 13 18) Resolva as seguintes equa¸c˜oes logar´ıtmicas: (a) lg(2x − 5) + lg(3x + 7) = 4 lg 2 (b) 2 lg 2 + lg(x2 − 1) = lg(4x − 1) (c) 3 log4 x + log2 x = 10 (d) 2(log3 x + log 1 x) = 3 + log3 3

(e)

7 lg(x3

− 1)

+

1 x

lg x 17 = 2 lg(x − 3) lg x3 − 1

Com a simplicidade construimos o orgulho!...

Typeset by LATEX 2ε

Cap´ıtulo 9

˜ o Homogra ´ fica E Modular Func ¸a 9.0.1

Fun¸ c˜ ao e Equa¸c˜ ao Homogr´ afica

Defini¸ c˜ ao 9.1. Chamam-se fun¸c˜ao Homogr´afica a fun¸c˜ oes do tipo f (x) =

ax + b ; onde a, b, c, d ∈ R. cx + d

Exemplo 9.1. vejamos seguintes exemplos 1) A fun¸c˜ao y=

1 x

´e Homogr´afica onde a = 0,

d = 0,

b = 1,

c=1

e tˆem uma representa¸c˜ao gr´afica caracterizada por uma curva chamada hip´erbole equil´atera. O gr´afico desta fun¸c˜ao faz uma curva suave em dois quadrantes alternos, vejamos a tabela de valores x

-3 -2 -1 0 1 1 1 f (x) − -1 @ 1 3 2 Com base na tabela podemos construir o gr´afico da figura

2 3 1 1 2 3 (9.1)

2) Consideremos agora y=−

1 x

´e homografica a = 0,

d = 0,

b = −1,

vide a figura (9.2) A fun¸c˜ao homogr´afica f (x) =

ax + b cx + d

104

c=1

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105

y

x

Figura 9.1: y

x

Figura 9.2: ´e definida para cx + d 6= 0, ou seja o seu dom´ınio ´e Df = x ∈ R\{

−d } c

Observa¸ c˜ ao 9.1. Analisando as tabela pode ver se que na medida em que os valores de x tendem a crescer (em modulo), os valores de y v˜ ao aproximando o zero, isto ´e, v˜ao aproximando o eixo dos x0 s, Escrevemos y → 0 quando x → ∞ e dizemos, o y ou, a fun¸c˜ ao tende para zero quando x tende para o infinito). O eixo dos x ´e assiptota ao gr´afico. Por outro lado, Quando x tende para zero, y tende o infinito, isto ´e x → 0 ⇒ y → ∞. Neste caso , o gr´afico da fun¸c˜ ao aproxima-se do eixo dos y , mas nunca o toca. O eixo dos y ´e assimptota ao gr´afico.

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106

O gr´afico da fun¸c˜ao homogr´afica definida por f (x) =

ax + b cx + d

ite duas ass´ımptotas: uma ass´ımptota vertical e uma ass´ımptota horizontal. A ass´ımptota vertical corresponde ao valor que anula o denominador, isto ´e cx + d = 0 ⇒ x =

−d . c

Para determinar a equa¸c˜ao da ass´ımptota horizontal, devemos escrever f (x) sob a forma seguinte B a f (x) = A + ; segundo a f´ormula , a equa¸c˜ ao da ass´ımptota horizontal ser´a dada por y = cx + d c Exemplo 9.2. Vejamos os exemplos seguintes 1) Esboce gr´aficamente a fun¸c˜ao f (x) =

2x + 1 , x+2

(a) Vamos determinar primeiro a assimptota vertical, pelo dom´ınio x + 2 6= 0 ⇒ x 6= −2 logo AV = −2 i.e (x = −2). (b) A assimptota horizontal pode ser dada pela formula AH = y =

a2 =2 c1

(c) Zeros da fun¸c˜ao, 2x + 1 = 0 ⇒ x =

−1 2

(d) y intercepto (intercepto vertical)- Chamaremos de y intercepto (caso exista, ao ponto onde o gr´afico intersecta o eixo do y ) para esta fun¸c˜ ao homogr´afica o y intercepto ´e f (0) =

2×0+1 1 = 0+2 2

2) Esboce gr´aficamente a fun¸c˜ao f (x) = −

2x + 1 , x+2

Vide a figura 9.2

(a) Veja que escrever f (x) = −

2x + 1 , x+2

´e o mesmo que escrever f (x) =

−2x − 1 , x−3

portanto a = −2,

, b = −1,

c = 1,

d = −3.

determinemos a assimptota vertical, pelo dom´ınio x − 3 6= 0 ⇒ x 6= 3 logo AV = 3 i.e (x = 3).

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107

y

x

Figura 9.3: (b) A assimptota horizontal pode ser dada pela formula AH = y =

a −2 = = −2 c 1

(c) Zeros da fun¸c˜ao, −2x − 1 = 0 ⇒ x = −

1 2

(d) y intercepto (intercepto vertical)- Chamaremos de y intercepto (caso exista, ao ponto onde o gr´afico intersecta o eixo do y ), isto ´e x ´e igual a zero. f (0) =

−2 × 0 − 1 1 = 0−3 3

Observa¸ c˜ ao 9.2. gr´afico da fun¸c˜ao homogr´afica ´e composto por dois ramos simetricos em rela¸c˜ ao ao ponto de encontro das ass´ımptotas.

9.1

Equa¸co ˜es e Inequa¸c˜ oes

Para resolver inequa¸c˜oes e equa¸c˜oes com uma parte homografica, recorremos ao m´etodo de tabelas estudado no cap´ıtulo sobre fun¸c˜oes, equa¸c˜ oes e inequa¸c˜ oes lineares.

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108

y

x

Figura 9.4:

9.2

Fun¸c˜ ao Modular

Defini¸ c˜ ao 9.2. Definimos o modulo de um n´ umero da seguinte forma:   a, se a ≥ 0; |a| =  −a, se a < 0. Exemplo 9.3. vejamos os exemplos seguintes 1) |0| = 0 . 2) |−2| = −(−2) = 2 porque -2 ´e menor que zero. 3) |2| = 2 porque 2 ´e maior que zero.

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109

¯ √ ¯ √ √ 4) ¯−2 + 3¯ = −(−2 + 3) porque −2 + 3 ´e menor que zero. ¯ √ ¯ √ √ 5) ¯2 − 3¯ = 2 − 3 porque 2 − 3 ´e maior que zero. 6)

   x − 1,  x − 1, se x − 1 ≥ 0; se x ≥ 1; |x − 1| = ⇒  −(x − 1), se x − 1 < 0.  −x + 1, se x < 1.

7)

   −(x − 1),  −x + 1, se x ≥ 1; se x − 1 ≥ 0; − |x − 1| = ⇒  −[−(x − 1)], se x − 1 < 0.  x − 1, se x < 1.

8)   2 2   x2 − 1, ¯ 2 ¯ x − 1, se x − 1 ≥ 0; se x ∈] − ∞, −1] ∪ [1; +∞[; ¯x − 1¯ = ⇒  −(x2 − 1), se x2 − 1 < 0.  −x2 + 1), se x ∈] − 1; 1[. 9)

 2 x −1 x2 − 1 ¯  ¯ 2 , se ≥ 0; ¯x − 1¯  x+2 x+2 ¯= ¯ 2 2 ¯ x+2 ¯  x −1 x −1  − , se < 0. x+2 x+2 Vamos primeiro estudar o sinal da frac¸c˜ ao x2 − 1 x+2 para podermos resolver as inequa¸c˜ os x2 − 1 ≥0 e x+2

x2 − 1 <0 x+2

usemos para tal o m´etodo de tabelas. Resolvemos as equa¸c˜ oes x2 − 1 = 0 ⇒ (x − 1)(x + 1) = 0 ⇒ x = ±1,

x + 2 = 0 ⇒ x = −2

x

] − ∞ − 2[

-2

] − 2, −1[

−1

] − 1, 1[

1

]1, +∞[

x−1

-

-

-

-

-

0

+

x+1

-

-

-

0

+

+

+

x+2 x2 − 1 x+2

-

0

+

+

+

+

+

-

@

+

0

-

0

+

Apartir da ultima linha da tabela podemos ver que x2 − 1 ≥ 0 ⇒ x ∈] − 2, −1] ∪ [1, +∞[ x+2

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

110

e x2 − 1 < 0 ⇒ x ∈] − ∞, −2[∪] − 1, 1[ x+2 ent˜ao teremos  2 x −1 ¯ 2 ¯  , se x ∈] − 2, −1] ∪ [1, +∞[; ¯x − 1¯  x+2 ¯ ¯= ¯ x + 2 ¯  x2 − 1  − , se x ∈] − ∞, −2[∪] − 1, 1[. x+2 10)

 ¯  x2 + 2x − 3, ¯ 2 se x2 + 2x − 3 ≥ 0; ¯x + 2x − 3¯ =  −(x2 + 2x − 3), se x2 + 2x − 3 < 0. Resolvendo as duas inequa¸c˜oes que aparecem no sistema, teremos: x2 + 2x − 3 ≥ 0 ⇒ x ∈] − ∞, −3] ∪ [1, +∞[ e x2 + 2x − 3 < 0 ⇒ x ∈] − 3, 1[  ¯ 2 ¯  x2 + 2x − 3, se x ∈] − ∞, −3] ∪ [1, +∞; ¯x + 2x − 3¯ =  −x2 − 2x + 3, se x ∈] − 3, 1[.

11)

   x2 + 2x − 3, se x ≥ 0;  x2 + 2x − 3, se x ≥ 0; ⇒ |x|2 + 2 |x| − 3 =  x2 − 2x − 3, se x < 0.  (−x)2 + 2(−x) − 3, se x < 0.

Defini¸ c˜ ao 9.3. Chamamos fun¸ c˜ ao modular a fun¸c˜ ao real de vari´ avel real que a cada x faz corresponder o seu m´odulo, ou seja f (x) = |x| . Aplicando a defini¸c˜ao de m´odulo, teremos ½ |f (x)| = |x| =

x, se x ≥ 0; −x, se x < 0.

Generalizando, teremos: ½ |f (x)| =

9.2.1

f (x), se f (x) ≥ 0; −f (x), se f (x) < 0.

Gr´ afico da Fun¸ c˜ ao Modular

Para construir o gr´afico da fun¸c˜ao modular f (x) = |f (x)| procedemos de modo seguintes: 1) Partindo da defini¸c˜ao, desenvolvemos a fun¸c˜ ao dada. 2) Esbo¸camos as diferentes partes da fun¸c˜ ao

dr. betuel de jesus varela banhanga

111

3) procuramos carregar ou por outro, destacar as regi˜oes correspondentes para cada intervalo do dom´ınio de existˆencia da fun¸c˜ao. Exemplo 9.4. Veja os exemplos que se seguem 1) Seja f (x) = |x| , construa os gr´aficos de f (x). Para construir os gr´aficos da fun¸c˜ ao, temos de seguir os os dados acima: Desenvolvemos a fun¸c˜ao seguindo a defini¸c˜ ao de m´odulo.   x, se x ≥ 0; f (x) =  −x, se x < 0. Vamos portanto esbo¸car o gr´afico de y1 = x quando x ≥ 0 e y2 = −x quando x < 0 y

−x

x

x

Figura 9.5: 2) Seja f (x) = |x + 1| , construa os gr´aficos de f (x). Para construir os gr´aficos da fun¸c˜ ao, temos de seguir os os dados acima: Desenvolvemos a fun¸c˜ao seguindo a defini¸c˜ ao de m´odulo.    x + 1,  x + 1, se x + 1 ≥ 0; se x ≥ −1; f (x) = ⇒ f (x) =  −(x + 1), se x + 1 < 0.  −x − 1, se x < −1. Vamos portanto esbo¸car o gr´afico de y1 = x + 1 quando x ≥ −1

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

112

e y2 = −x − 1 quando x < −1 y

−x − 1

x+1

x

Figura 9.6: 3) Seja f (x) = − |x − 3| , construa os gr´aficos de f (x). Desenvolvemos a fun¸c˜ao seguindo a defini¸c˜ ao de m´odulo.    −x + 3, se x ≥ 3;  −(x − 3), se x − 3 ≥ 0; ⇒ f (x) = f (x) =  x − 3,  −[−(x − 3)], se x − 3 < 0. se x < 3. Vamos portanto esbo¸car o gr´afico de y1 = −x + 3 quando x ≥ 3 e y2 = x − 3 quando x < 3 y x

−x + 3

x−3

Figura 9.7:

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4) Esboce graficamente a fun¸c˜ao

113

¯ ¯ ¯x − 1¯ ¯ f (x) = ¯¯ x + 2¯

Desenvolvendo a fun¸c˜ao pela defini¸c˜ ao de modulo teremos  x−1 ¯ ¯  , se x ∈] − ∞, −2[∪[1, +∞[; ¯x − 1¯  x+2 ¯ ¯ f (x) = ¯ = x−1 x + 2¯   − , se x ∈] − 2, 1[. x+2 e dai teremos a figura (12.4) y

AH = 1 x AV = −2

Figura 9.8: 5) Esboce gr´aficamente a fun¸c˜ao

¯ ¯ f (x) = ¯x2 + 2x − 3¯

Desenvolvendo o modulo apartir da defini¸c˜ ao teremos  ¯ ¯  x2 + 2x − 3, se x2 + 2x − 3 ≥ 0; f (x) = ¯x2 + 2x − 3¯ =  −(x2 + 2x − 3), se x2 + 2x − 3 < 0. Ent˜ao

  x2 + 2x − 3, se x ∈] − ∞, −3] ∪ [1, +∞; f (x) =  −x2 − 2x + 3, se x ∈] − 3, 1[.

Vide a figura (9.9) 6) Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = |x|2 + 2 |x| − 3 Vide figura (9.10) Desenvolvendo o modulo pela defini¸c˜ ao teremos   x2 + 2x − 3, se x ≥ 0; f (x) =  x2 − 2x − 3, se x < 0.

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

114

y

x

Figura 9.9: y

x

Figura 9.10: 7) Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = |x|2 − 2 |x| − 3 Vide figura (9.11) Desenvolvendo o modulo pela defini¸c˜ ao teremos   x2 − 2x − 3, se x ≥ 0; f (x) =  x2 + 2x − 3, se x < 0.

9.2.2

Equa¸co ˜es Modulares

Defini¸ c˜ ao 9.4. Chama-se M´ odulo ou Valor absoluto de um n´ umero real x, e denota-se |x|, ao n´ umero real n˜ao negativo que satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes: ½ |f (x)| = |x| =

x, se x ≥ 0; −x, se x < 0.

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115

y

x

Figura 9.11: Exemplo 9.5.

1) Resolva |x − 3| = 5

Pelo desenvolvimento do m´odulo temos

  x − 3, se x ≥ 3; |x − 3| ⇒  −x + 3, se x < 3.

ent˜ao    x − 3 = 5,  x = 8, se x ≥ 3; se x ≥ 3; ⇒ |x − 3| = 5 ⇒  x = −2, se x < 3.  −x + 3 = 5, se x < 3. Como 8 ´e maior do que 3 e -2 ´e menor do que 3 teremos a seguinte solu¸c˜ ao S : x ∈ {−2; 8} 2) Resolva a equa¸c˜ao seguinte |x + 7| = −3 Usando o desenvolvimento do modulo teremos    x + 7 = −3,  x = −10, se x ≥ −7; se x ≥ −7; |x + 7| = −3 ⇒ ⇒  −x − 7 = −3, se x < −7.  x = −4, se x < −7. Como -10 ´e menor do que -7 e -4 ´e maior que -7, isto ´e, as duas solu¸c˜ oes n˜ao pertencem aos intervalos obtidos pela defini¸c˜ao do m´odulo diremos que a solu¸c˜ ao desta equa¸c˜ ao ´e x ∈ {}

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

116

3) Resolva a seguinte equa¸c˜ao modular |x − 1| = |3x + 1| Para resolver esta equa¸c˜ao modular seguimos a regra   A = B, |A| = |B| ⇒  A = −B

.

Ent˜ao teremos   x − 1 = 3x + 1, |x − 1| = |3x + 1| ⇒  x − 1 = −(3x + 1)

  x = −1, ⇒  x=0 .

.

4) Resolva |x − 1| + |x + 2| = |x − 3| amos o membro a direita para a esquerda |x − 1| + |x + 2| − |x − 3| = 0. Resolver esta equa¸c˜ao significa procurar determinar valores de x que fazem com que a equa¸c˜ ao seja igual a zero. Vamos primeiro desenvolver os trˆes modulos que aparecem nesta equa¸c˜ ao   x − 1, se x ≥ 1; |x − 1| =  −x + 1, se x < 1.   x + 2, se x ≥ −2; |x + 2| =  −x − 2, se x < −2. e

  x − 3, se x ≥ 3; |x − 3| = ;  −x + 3, se x < 3.

Em seguida construimos a tabela x

] − ∞; −2[

-2

]-2;1[

1

]1;3[

3

]3; +∞[

|x + 2|

−x − 2

0

x+2

3

x+2

5

x+2

|x − 1|

1−x

3

1−x

0

x−1

2

x−1

|x − 3|

−x + 3

5

−x + 3

2

−x + 3

0

x−3

|x − 1| + |x + 2| − |x − 3|

−x − 4

-2

x

1

3x − 2

7

x+4

−x − 4 = 0 ⇒ x = −4,

quando x ∈] − ∞, −2[;

dr. betuel de jesus varela banhanga

117

x = 0 ⇒ x = 0,

quando x ∈] − 2, 1[;

2 3x − 2 = 0 ⇒ x = , 3 x + 4 = 0 ⇒ x = −4,

quando x ∈]1, 3[; quando x ∈]3, +∞[;

¶ µ 2 Destas equa¸c˜oes, das solu¸c˜oes −4; 0; somente -4 e 0 pertencem aos seus respectivos inter3 vaos. Portanto a solu¸c˜ao ser´a S : x ∈ {−4; 0} Iremos mostrar pelo esbo¸co gr´afico as solu¸c˜ oes aqui apresentadas, lembre se que determinar solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao f (x) = 0 significa determinar os valores de x por onde a fun¸c˜ ao toca o eixo horizontal. y

x

Figura 9.12: Veja que o gr´afico toca o eixo de x em -4 e 0.

9.2.3

Inequa¸co ˜es Modulares

Podemos generalizar o resultado das inequa¸c˜ oes do tipo |x| > k ou |x| < k,

∀k > 0.

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

118

1) |x| > k ⇒ ()x < −k ou x > k 2) |x| < k ⇒ −k < x < k. Exemplo 9.6. Vejamos os exemplos seguintes: 1) |x| > 4 ⇒ |x| > 22 ⇒ x < −2 ou x > 2 2) |x − 1| > 4 ⇒ |x − 1| > 22 ⇒ x − 1 < −2 ou x − 1 > 2 ⇒ x < −1 ou x > 3 3) |x + 2| > 9 ⇒ |x + 2| > 32 ⇒ x + 2 < −3 ou x + 3 > 3 ⇒ x < −5 ou x > 0 4) |x| < 4 ⇒ |x| > 22 ⇒ −2 < x < 2 5) |x + 1| < 4 ⇒ |x + 1| > 22 ⇒ −2 < x + 1 < 2 ⇒ −3 < x < 1 6) |x − 3| < 25 ⇒ |x − 3| > 52 ⇒ −5 < x − 3 < 5 ⇒ −2 < x < 8 Observa¸ c˜ ao 9.3. Podemos tamb´em resolver inequa¸c˜ oes modulares usando a defini¸c˜ ao de modulo e(ou) usando o m´etodo gr´afico (a semelhan¸ca do que fizemos para equa¸c˜ oes quadr´aticas).

9.3

Exercicios de Aplica¸c˜ ao

1) Represente graficamente as fun¸c˜ oes seguintes: (a) f (x) = (b) g(x) = (c) h(x) =

2x x+1 x+4 2x−3 4x−1 x−3

2) Seja f uma fun¸c˜ao definida por f (x) = x2 + 2x. (a) Estude e represente graficamente a fun¸c˜ ao f. (b) Estude e represente graficamente no mesmo sistema de eixos a fun¸c˜ ao g definida por g(x) = 2x . x+1 (c) Determine as coordenadas dos pontos de intersec¸c˜ ao dos dois gr´aficos. (d) Verifique este resultado analiticamente, resolvendo o sistema y = x2 + 2x e y =

2x x+1

3) Determine h(x) = g[f (x)] e k(x) = f [g(x)] nos casos seguintes: x−3 2x+1 = −x+8 2x−5

(a) f (x) = 3x − 7 e g(x) = (b) f (x) = − x2 + 4 e g(x)

4) Chama-se distˆancia de dois n´ umeros x e y ao m´odulo da sua diferen¸ca. Nota-se: d(x; y) = |x−y| (a) Calcule as distˆancias seguintes: i. d(−3; 3) ii. d(−3, 41; 3, 41) ¡ ¢ iii. d 0; 34 √ √ iv. d( 2; −3 2)

dr. betuel de jesus varela banhanga

(b) Determine os n´ umeros reais x tais que: i. d(4; x) = 0, 31 ¡ ¢ ii. d x; − 13 = 14 ¡ ¢ iii. d x; 52 = 32 5) Represente graficamente as seguintes fun¸c˜ oes modulares: (a) y = |2 − x| (b) y = |x2 − 5x + 6| √ (c) y = | 5 − x − 3| ¯ ¯ ¯ ¯ (d) y = ¯ 1−2x x+1 ¯ 6) Represente graficamente as seguintes fun¸c˜ oes soma ou diferen¸ca de m´odulos: (a) y = |2x − 3| + |x + 4| (b) y = 3|x − 1| − |x − 5| 7) Resolva as seguintes equa¸c˜oes modulares: (a) |3x − 4| = 2 (b) |2x − 3| = 2x − 3 (c) |x2 − 4x + 5| = 2 (d) |4x − 1| = |2x + 3| (e) |x|2 − 5|x| + 6 = 0 8) Resolva as seguintes inequa¸c˜oes modulares: (a) |3x| < 1 ¯ ¯ (b) ¯− x2 ¯ ≥ 5 (c) |x − 1| ≥ −2 (d) |3 − x| ≤ 3 (e) |3x − 1| < 5 ¯ ¯ 1 ¯< (f) ¯ 2x−1 2 5 (g) |2x + 1| + 4 − 3x > 0

119

120

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

Ensinar ´ e lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto vocˆ e

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Cap´ıtulo 10

Trigonometria Elementar 10.1

Raz˜ oes Trigonom´ etricas No Triˆ angulo Rectˆ angulo

Defini¸ c˜ ao 10.1. Chamamos Triangulo Rectˆ angulo, ao triangulo que possue um ˆangulo igual a 90o (90 graus). Exemplo 10.1. Com base na figura teremos C

a b

A

c

B

Figura 10.1:

ˆ mede 90o , raz˜ao pela qual diz-se que o triangulo da fugura (10.1) ´e rectˆangulo. 1) O ˆangulo B 2) A, B e C s˜ao os v´erticesdo triangulo (nota que escrevem se em letras ma´ıusculas). 3) a, b e c s˜ao nomes dos lados da fugura (note que escrevem-se em letras minusculas). 4) a soma dos ˆangulos internos de um triangulo ´e sempre igual a 180o . ˆ = 90o ent˜ao Aˆ + Cˆ = 90o , dizemos ent˜ 5) Como B ao que Aˆ e Cˆ s˜ao ˆangulos complementares (lembrar geometria plana). 121

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

122

Defini¸ c˜ ao 10.2. Chamam-se Catetos de um triangulo rectˆangulo os lados do triangulo que am pelo ˆangulo recto, isto ´e, os lados que s˜ao adjacentes ao ˆangulo recto. Defini¸ c˜ ao 10.3. Chama-se Hipotenusa de um triangulo rectˆangulo ao lado do triangulo que n˜ao a pelo ˆangulo recto, o lados que ´e oposto ao ˆangulo recto. 1) Seno O seno de um ˆangulo Aˆ ´e definida como a raz˜ao entre o cateto oposto a Aˆ e a hipotenusa sin Aˆ =

Cateto Oposto a = Hipotenusa b

2) Coseno O co-seno de um ˆangulo Aˆ ´e definida como a raz˜ao entre o cateto adjacente a Aˆ e a hipotenusa Cateto Adjacente c cos Aˆ = = Hipotenusa b

3) Tangente A tangente de um ˆangulo Aˆ ´e definida como a raz˜ao entre o cateto oposto a Aˆ e cateto adjacente a Aˆ Cateto Oposto a tan Aˆ = = Cateto Adjacente c

4) Cotangente A co-tangente de um ˆangulo Aˆ ´e definida como a raz˜ao entre o cateto adjacente a Aˆ e cateto oposto a Aˆ Cateto Adjacente c cot Aˆ = = Cateto Oposto a

Em relac¸c˜ao a figuta (10.1) poderemos construir a seguinte tabela angulos ˆ sin cos tan cot Veja apartir da tabela que:

Aˆ

Cˆ

a b c b a c c a

c b a b c a a c

ˆ sin Aˆ = cos C, ˆ cos Aˆ = sin C,

dr. betuel de jesus varela canhanga

123

ˆ e tan Aˆ = cot C, cot Aˆ = tan Cˆ Observa¸ c˜ ao 10.1. Fun¸c˜oes Inversas: As fun¸c˜ oes trigonom´etricas item invers˜ ao. • Se sin Aˆ = k ⇒ Aˆ = arcsin k, (arco cujo seno ´e k.) • Se Se cos Aˆ = k ⇒ Aˆ = arccos k, (arco cujo coseno ´e k.) • Se tan Aˆ = k ⇒ Aˆ = arctan k, (arco cuja tangente ´e k.) • Se cot Aˆ = k ⇒ Aˆ = arccotk, (arco cuja cotangente ´e k.) Por outro lado cot Aˆ =

1 tan Aˆ

ˆ por β, e Daqui em diante e sem limita¸c˜ao da sua essencia vamos chamar ao ˆangulo Aˆ por α, B Cˆ por γ.

10.1.1

ˆ Angulos Complementares

ˆ Defini¸ c˜ ao 10.4. Chamam-se Angulos Complementares a aqueles cuja soma ´e igual a 90 graus Exemplo 10.2. Se α + γ = 90 ent˜ao dizemos que α e γ s˜ ao ˆangulos complementares Para dois α e γ ˆangulos complementares cumpre-se o seguinte 1) α + γ = 90 2) sin γ = cos(90 − γ) 3) cos γ = sin(90 − γ) 4) tan γ = cot(90 − γ) Veja que se α ´e complementar a γ ent˜ ao α + γ = 90 ⇒ 90 − α = γ

10.1.2

F´ ormula Fundamental da Trigonom´ etria sin2 α + cos2 α = 1

´ Esta formula ´e chamada FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA porque muitas outras formulas s˜ao dela der´ıvadas.

124

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

tan

sen 1

−1

1

cos

−1

Figura 10.2:

10.1.3

C´ırculo Trigonom´ etrico

Defini¸ c˜ ao 10.5. Chama-se C´ırculo Trigonom´ etrico ao c´ırculo com centro no ponto (0, 0) e raio igual a unidade, r = 1, vide figura (10.2) 1) No c´ırculo trigonom´etrico o eixo vertical ´e conhecido como eixo dos senos 2) O eixo horizontl ´e chamado eixo dos cossenos 3) O eixo tangente ´e paralelo ao eixo dos senos e a pelo ponto (1, 0) 4) O c´ırculo trigonom´etrico ´e composto por quatro quadrantes 1) Primeiro Quadrante Vide figura (10.3) • seno - posetivo • coseno - posetivo • tangente - posetivo • cotangente - posetivo 2) Segundo Quadrante vide figura (10.4) • seno - posetivo • coseno - negativo • tangente - negativo • cotangente - negativo 3) Terceiro Quadrante vide figura (10.5) • seno - negativo • coseno - negativo • tangente - posetivo • cotangente - posetivo

dr. betuel de jesus varela canhanga

125

sen 1

−1

1

cos

−1

Figura 10.3: sen 1

cos

−1

1

−1

Figura 10.4:

4) Quarto Quadrante vide figura (10.6)

• seno - negativo • coseno - posetivo • tangente - negativo • cotangente - negativo

Iremos a seguir mostrar um c´ırculo trigonom´etrico que servi-lo-a como grande auxilio durante os estudos e na aplica¸c˜ao pr´atica de trigonom´etria

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

126

1

cos

−1

1

−1 sen

Figura 10.5: 1

−1

1

cos

−1 sen

Figura 10.6:

10.1.4

agem Para o Primeiro Quadrante

Ao longo do c´ırculo trigonom´etrico existem quatro pontos importantes, (0o ou 360o , 90o , 180o e 270o ). Todos ˆangulos ao longo do c´ırculo trigonom´etrico podem ser escritos em fun¸c˜ ao destes ˆangulos importantes. Assim, por exemplo 120 = 90 + 30 ou 120 = 180 − 60, s˜ao duas maneiras diferentes de expressar o mesmo ˆangulo usando ˆangulos importantes diferentes. Tem sido mais f´acil trabalhar com ˆangulos do primeiro quadrante, raz˜ao pela qual, ´e importante saber encontrar apartir de um ˆangulo qualquer dado fora do primeiro quadrante, os respectivos ˆangulos correspondetes no primeiro quadrante. Ao armos um ˆangulo para o I quadrante se ˆangulo principal estiver ao longo do eixo horizontal, isto ´e, se for 180o , 360o n˜ao alteramos a fun¸c˜ao.

dr. betuel de jesus varela canhanga

127

sen 120o = 135o =

2π 3

60o =

√

3 2

3π 4

π 3 45o =

√

π 4

2 2

150o =

5π 6

−

210o =

√ 3 2

30o = − 1 2

−

√ 2 2

− 12

1 2

4π 3

√

2 2

5π 4

240o =

4π 3

−

√ 2 2

−

√ 3 2

cos

330o = −

− 12

255o =

√ 3 2

π 6

315o = −45o = −

−60o =

π 11π = 6 6

π 7π = 4 4

5π π =− 3 3

Figura 10.7: Exemplo 10.3. Veja o exemplo seguinte sin(360 + α) = sin α, porque 360o est´a na posi¸c˜ao horizontal, a fun¸c˜ ao inicial (seno, para este caso) n˜ao ´e alterada. De modo an´alogo aconteceria se o ˆangulo principal fosse o de 180o . Sempre que o ˆangulo principal estiver ao longo do eixo vertical, isto ´e 90o ou 270o alteramos a fun¸c˜ao, Exemplo 10.4. veja o seguinte exemplo sin(90 − α) = cos α,

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

128

porque 90o est´a na posi¸c˜ao vertical, a fun¸c˜ ao sin a para fun¸c˜ ao cos . No processo de agem para o primeiro quadrante ´e tamb´em necess´ario investigar o sinal da fun¸c˜ao dada no quadrante correspondente Exemplo 10.5. determine ando para um ˆangulo do primeiro quadrante 1) (a) sin(360 + α) = sin α (b) sin(360 − α) = − sin α (c) sin(90 − α) = cos α (d) sin(270 + α) = −cosα 2) (a) cos(360 + α) = · · · · · · · · · (b) cos(360 − α) = cos α (c) tan(180 − α) = · · · · · · · · · (d) sin(180 + α) = · · · · · · · · · 3) (a) tan(360 + α) = · · · · · · · · · (b) tan(360 − α) = · · · · · · · · · (c) sin(180 − α) = sin α (d) sin(270 − α) = · · · · · · · · · 4) (a) cot(360 + α) = · · · · · · · · · (b) cot(360 − α) = · · · · · · · · · (c) cot(180 − α) = · · · · · · · · · (d) sin(90 + α) = cos α 1) Para achar na primeira volta o ˆangulo correspondente a um ˆangulo dado fora da primeira volta achamos o resto da divis˜ao do ˆangulo dado por 360o . Exemplo 10.6. Se quizermos reduzir a primeira volta o angulo de 4750o devemos dividi-lo por 360o e teremos 4750 70 = 13 + , 360 360 portanto o resto da divis˜ao ´e 70. Dai que teremos 4750o = 70o . 2) Quando reduzimos um determinado ˆangulo que est´a fora da primeira volta, devemos primeiro procurar encontrar seu correspondente na primeira volta e posteriormente no primeiro quadrante assim: 3) Sabendo que 360 graus ´e o mesmo que zero graus, sempre que um dado ˆangulo completar uma volta, consideramos como se tivesse feito zero graus. 4) ´e importante verificar se as voltas s˜ao posetivas (sentido n˜ao hor´ario) ou se s˜ao negativas (sentido hot´ario = sentido dos ponteiros do rel´ogio)

dr. betuel de jesus varela canhanga

10.1.5

129

agem Para Radianos

Para ar um determinado ˆangulo dado em graus para radianos, basta conhecer a seguinte propor¸c˜ ao

πRadianos = 180 graus

Assim, aplicando a regra de trˆ es simples poderemos mudar qualquer ˆangulo tanto de graus para radianos versa e vice.

10.1.6

Teorema dos Senos

No triangulo ABC, com lados

a, b, c e

ˆ B, ˆ Cˆ ˆangulos A,

C

a b

A

c

Figura 10.8:

B

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

130

Cumpre-se a seguinte igualdade a b c = = sin A sin B sin C

Exemplo 10.7. Duas ´arvores localizam-se em lados opostos do rio Maquival. O ˆangulo entre as linhas de vis˜ao de um observador que as vˆe ´e de 120o e o ˆangulo formado por uma dessas linhas e a linha que une as ´arvores ´e de 45o . Sabendo que uma das ´arvores est´a a 100 metros do observador (a terceira linha mede 100 metros), qual ´e a distˆancia entre as ´arvores Para resolver este problema devemos recorrer ao teorema dos senos e teremos 100 distancia = o sin 45 sin 120o de onde teremos 100 √

2 2

10.1.7

=

distancia √

3 2

r ⇒ distancia = 100

3 2

Teorema dos Cossenos

Suponha que os ˆangulos do triangulo da figura (10.8) s˜ao todos eles diferentes de 90o (o triangulo n˜ao ´e rectangulo), o teorema dos cossenos, permite-nos `a semelhan¸ca do teorema de pit´agoras relaccionar os lados do triˆangulo e um dado ˆangulo, assim teremos: 1) a2 = b2 + c2 − 2bc × cos A 2) b2 = a2 + c2 − 2ac × cos B 3) c2 = a2 + b2 − 2ab × cos C

10.1.8

´ Area de triˆ angulo

Normalmente, para determinar a ´area de um triangulo usamos a altura (segmento que forma um ˆangulo de 90 graus). Aqui mostra-se ser poss´ıvel sem a altura, determinar a ´area de um triangulo ABC com lados a, b, c e ˆangulos A, B, C; assim S=

ab sin C ac sin B bc sin A = = 2 2 2

Observa¸ c˜ ao 10.2. Recorde-se da geometria plana que um paralelograma tem sup´erficie igual ao dobro da superf´ıcie de um triˆangulo. Assim, sempre que for necess´ario calcular a ´area de um paralelograma podemos nos concentrar na metade desse paralelogramo (triangulo) e finalmente multiplicamos por

dr. betuel de jesus varela canhanga

131

dois obtendo assim a superf´ıcie do paralelogramo S = ab sin C = ac sin B = bc sin A

10.2

Exercicios de Aplica¸c˜ ao

1) Num exerc´ıcio de tiro, o alvo encontra-se numa parede cuja base est´a situada a 20m do atirador. Sabendo que o atirador vˆe o alvo sob um ˆangulo de 10o em rela¸c˜ ao a horizontal, calcule adistˆancia do alvo ao ch˜ao. 2) Uma pessoa de 1, 70m de altura vˆe o ponto mais alto de um edif´ıcio sob um ˆangulo de 60o . Quando recua 100m, vˆe o mesmo ponto sob um ˆangulo de 30o . Supondo que a pessoa e o edif´ıcio est˜ao no mesmo n´ıvel, determine a altura do edif´ıcio e a distˆancia inicial da pessoa ao edif´ıcio. 3) Sendo x um ˆangulo, simplifique as express˜oes: (a) tan x × cos x (b) 1 −

1 , cos2 x

(cos x 6= 0)

(c) cos3 x + cos x × sin2 x 4) Sendo x um ˆangulo, demonstre a iguldade 1 + 2 sin x × cos x = (sin x + cos x)2 5) Exprima em graus: (a) (b)

π 6 rd π 5 rd

6) Convirta em radianos: (a) 3000 (b) 1000 (c) 67o 30” 7) Determine com a precis˜ao de 10−4 : (a) sin π6 (b) cos 5π 8 8) Determine a medida de α em radianos (0 < α < 2π), sabendo que: (a) sin α =

√ 2 2

(b) cos α = −1 √ (c) tan α = − 3 9) Determine o menor valor n˜ao negativo congruente ao arco (redu¸c˜ ao `a primeira volta positiva): (a) 685o (b) 1140o (c)

15π 2 rd

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

132

10) Represente no c´ırculo trigonom´etrico as extremidades dos arcos, em radianos, por: (a) x =

π 4

(b) x =

− π3 + 2kπ π 6 + kπ

(c) x =

+ kπ

√ 11) Num triˆangulo ABC, s˜ao dados α = 45o , β = 30o e a + b = 2 + 1. Calcule o valor de a. √ 12) Num triˆangulo ABC, s˜ao dados a = 1, b = 3 2, C = 450 . Calcule c. 13) Dois lados de um triˆangulo medem 6cm e 10cm e formam entre si um ˆangulo de 120o . Calcule a medida do terceiro lado. 14) Os lados de um triˆangulo ABC medem a, sua ´area sabendo que: (a) a = 3, 2;

b = 2, 8;

γ = 32o

(b) a = 8, 4;

c = 10;

β = 115o

b,

c e os seus ˆangulos α,

β,

γ. Determine a

15) Calcule a ´area dum paralelogramo cujos lados medem 8, 4 e 7, 5 sabendo que formam um ˆangulo de 72o 16) Calcule a ´area dum losango de lado 8 e que tem um ˆangulo de 130o . 17) Usando o teorema dos senos e o teorema da ´area, demonstre que, num triˆangulo qualquer, a ´area 2 B×sin C pode ser dada por S = a sin 2 sin A Ensinar ´ e lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto vocˆ e

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Cap´ıtulo 11

˜ es E Equac ˜ es Func ¸o ¸o ´tricas Trigonome 11.1

Fun¸co ˜es Trigonom´ etricas

Observa¸ c˜ ao 11.1. Vamos antes de tudo definir fun¸c˜ ao peri´odica. Exemplo 11.1. Veja os exemplos seguintes 1) Em geral a ´epoca chuvosa ´e peri´odica (nao estou a falar do cen´arios dos ultimos anos, por isso ´e que fa¸co quest˜ao de dizer, em geral) 2) A festa de anivers´ario de uma determinada pessoa ´e um evento peri´odico 3) O pagamento de sal´arios ´e um evento peri´odico. 4) A festa do natal ´e um evento peri´odico. Quando definirmos fun¸c˜ao peri´odica, estaremos somente a juntar duas palavras conhecidas, fun¸c˜ ao + peri´odica. A caracteristica fundamental de uma fun¸c˜ ao peri´odica ´e a seguinte f (x + p) = f (x), onde p ´e o p´eriodo Defini¸ c˜ ao 11.1. Chama-se fun¸ c˜ ao peri´ odica a toda fun¸c˜ ao que depois de um intervalo de existˆencia constante

¿

O p´eri´odo À , volta a repetir-se (volta a ar pelos mesmos pontos)

Vamos aqui recordar os nossos conhecimentos de trigonometria elementar. 133

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

134

sen 120o = 135o =

2π 3

3π 4

60o =

√

3 2

π 3 45o =

√

π 4

2 2

150o =

5π 6

−

210o =

30o = − 1 2

√ 3 2

−

√ 2 2

− 12

4π 3

√

2 2

1 2

5π 4

240o =

−

√ 2 2

−

√ 3 2

4π 3

315o = −45o = −

−60o =

5π π =− 3 3

Figura 11.1: Revejam o circulo trigonom´etrico

11.1.1

Fun¸ c˜ ao Seno

Defini¸ c˜ ao 11.2. Chama-se fun¸c˜ao seno a fun¸c˜ ao dada na forma f (x) = a sin(bx + k) + c, onde • a ´e a amplitude - ´e a contrac¸c˜ao do eixo 0y • b ´e a contrac¸c˜ao do eixo 0x ou a amplia¸c˜ ao em 0x

cos

330o = −

− 12

255o =

√ 3 2

π 6

b 6= 0

π 11π = 6 6

π 7π = 4 4

dr. betuel de jesus varela canhanga

135

1) se b ´e igual a 2 cada onda contrai-se horizontalmente 2 vezes 2) se b ´e igual a

1 cada onda amplia-se horizontalmente 2 vezes 2

• A fun¸c˜ao seno ´e peri´odica e tem per´ıodo T =

2π b

• O gr´afico a (um dos seus per´ıodos come¸ca) pelo ponto bx + k = 0 ⇒ x = −

k b

• Imf = [c − a, c + a] Exemplo 11.2. Veja alguns exemplos de esbo¸cos gr´aficos de fun¸c˜ oes trigonom´etricas. 1) y = sin x y

−π − 3π 2

−2π

π

0o

− π2

π 2

2π

3π 2

x

Figura 11.2:

2) y = 2 sin

³π 2

´ − 2x + 3, sin

x1

−π − 3π 2

−2π

− π2

0o

π π 2

Figura 11.3: 3) y = −3 sin

³π 2

´ + 2x − 5,

3π 2

2π

cos

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

136

sin −π − 3π 2

−2π

− π2

0o

π π 2

3π 2

cos

2π

x1

Figura 11.4:

11.1.2

Fun¸ c˜ ao Coseno

Defini¸ c˜ ao 11.3. Chama-se fun¸c˜ao coseno a fun¸c˜ ao dada na forma f (x) = a cos(bx + k) + c,

b 6= 0

onde • a ´e a amplitude - ´e a contrac¸c˜ao do eixo 0y • b ´e a contrac¸c˜ao do eixo 0x ou a amplia¸c˜ ao em 0x 1) se b ´e igual a 3 cada onda contrai-se 3 vezes 1 2) se b ´e igual a cada onda amplia-se horizontalmente 3 vezes 3 • A fun¸c˜ao coseno ´e peri´odica e tem per´ıodo T =

2π b

• O gr´afico a(um dos seus per´ıodos come¸ca) pelo ponto bx + k = 0 ⇒ k = − • Imf = [c − a, c + a] Exemplo 11.3. Veja alguns exemplos de esbo¸cos gr´aficos de fun¸c˜ oes coseno. 1) y = cos x vide fun¸c˜ao da figura (11.8) 2) y = 2 cos

³π

3) y = −3 cos

´ − 2x + 3,

2 ³π 2

´ + 2x − 5,

k b

dr. betuel de jesus varela canhanga

137

y

− 3π 2

−π

π

0o

− π2

−2π

2π

3π 2

π 2

x

Figura 11.5: sin

x1

−π −2π

− 3π 2

0o

− π2

π π 2

3π 2

2π

cos

3π 2

2π

cos

Figura 11.6: sin −π −2π

− 3π 2

− π2

0o

π π 2

x1

Figura 11.7:

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

138

11.1.3

Fun¸ c˜ ao Tangente

Defini¸ c˜ ao 11.4. Chamamos fun¸c˜ao tangente a fun¸c˜ ao dada na forma f (x) = a tan(bx + k) + c onde • a ´e a amplitude - ´e a contrac¸c˜ao do eixo 0y • b ´e a contrac¸c˜ao do eixo 0x ou a amplia¸c˜ ao em 0x 1) se b ´e igual a 3 cada onda contrai-se 3 vezes 2) se b ´e igual a

1 cada onda amplia-se horizontalmente 3 vezes 3 π b

• A fun¸c˜ao tangente ´e peri´odica e tem per´ıodo T = • O gr´afico n˜ao a pelo ponto bx =

π + kπ 2

• Imf =] − ∞, +∞[

Exemplo 11.4.

1) y

=

tan x

y

− 3π 2 −2π

−π

0o

− π2

π 2

Figura 11.8:

2) y = 2 tan

³π 2

´ − 2x + 3, vide figura (11.9)

π

3π 2

2π

x

dr. betuel de jesus varela canhanga

139

sin

x1

− π2

0o

π 2

cos

Figura 11.9: Observa¸ c˜ ao 11.2. Geralmente considera-se uma perda de tempo o ensino da fun¸c˜ ao cotangete, pois, quem conhece a fun¸c˜ao tangente, basta que se recorde que tan x =

1 cot x

ou

cot x =

1 , tan x

para resolver qualquer quest˜ao relaccionada a fun¸c˜ ao cotangente

11.2

Equa¸co ˜es Trigonom´ etricas

Neste par´agrafo, vamos estudar equa¸c˜ oes que envolvem a trigonom´etria. Dos temas anteriores, o estudante j´a sabe o que ´e uma equa¸c˜ ao e o que significa resolver uma equa¸c˜ ao, iremos aqui pura e simplismente e no uso dos conhecimentos j´a adquiridos, tratar de explicar ao estudante como se resolvem equa¸c˜oes trigonom´etricas

11.2.1

Seno ½

sin x = sin a ent˜ao x =

x = a + 2kπ, x = (180 − a) + 2kπ,

Exemplo 11.5. Resolver com o Professor as seguintes quest˜oes 1) sin x = 1 2) sin x = −1

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

140

3) sin x = 0 4) sin x =

1 2

√ − 3 5) sin 2x = 2

11.2.2

Coseno ½

cos x = cos a ent˜ao x =

x = a + 2kπ, x = −a + 2kπ,

Exemplo 11.6. Resolver com o Professor as seguintes quest˜oes 1) cos x = a 2) cos x = 1 3) cos x = −1 4) cos x = 0 √ 2 5) cos x = 2 √ − 3 6) cos x = 2

11.2.3

Tangente ½

tan x = tan a ent˜ao x =

x = a + kπ, ⇒ x = a ± kπ x = a − kπ,

Exemplo 11.7. Resolver com o Professor as seguintes quest˜oes 1) tan x = a,

a ∈ R+

2) cot x = a,

a ∈ R+

3) tan x = 1 4) cot x =

√ 3

√ 5) tan 2x = − 3 √ 6) 3 × tan 2x = − 3 Observa¸ c˜ ao 11.3. Os estudantes est˜ao ja habituados (quero crer) a resolver uma inequa¸c˜ ao, partindo sempre de uma euqa¸c˜ao. Aqui, n˜ao iremos fugir a regra, portanto para resolver uma inequa¸c˜ ao trigonom´etrica devemos

dr. betuel de jesus varela canhanga

141

1) Transformar a inequa¸c˜ao em uma equa¸c˜ ao 2) Resolver a inequa¸c˜ao 3) Identificar a regi˜ao solu¸c˜ao da inequa¸c˜ ao Exemplo 11.8. Professor, resolver com os estudantes as inequa¸c˜ oes que se seguem mostrando-os as solu¸co ˜es apartir de esbo¸cos em c´ırculos trigonom´etricos. 1) sin x > a 2) sin x < a 3) cos x ≥ a 4) sin x ≤ 0 √ 2 5) sin x > 2 √ 3 6) cos x > − 2 7) tan x > a 8) tan x < −a 9) tan x < −1 10) cos x ≤ − 11) cos x ≥

11.3

1 2

1 2

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

1) Construa o gr´afico (um per´ıodo completo) das seguintes fun¸c˜ oes, dando o dom´ınio, a imagem e o per´ıodo. (a) f (x) = 3 + sin x (b) f (x) = −3 sin x (c) f (x) = −1 + 13 sin 3x (d) f (x) = 1 − 2 sin(−x + π) 2) Fa¸ca como o exerc´ıcio anterior para as seguintes fun¸c˜ oes: (a) f (x) = 2 cos x (b) f (x) = − 12 cos 4x µ ¶ 3π (c) f (x) = 2 cos x + − 2

1 2

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

142

3) Idem para: (a) f (x) = 2 tan x (b) f (x) = − 41 tan x

³ π´ (c) f (x) = 1 + 4 tan x − 2

4) Determine, utilizando o c´ırculo trigonom´etrico: (a) sin 150o (b) tan 5π 6 (c) sin 4π 3 (d) tan 5π 3 5) Determine em fun¸c˜ao do arco x as seguintes express˜oes: µ ¶ 3π (a) sin +x 2 µ ¶ 3π −x (b) sin 2 6) Exprima em fun¸c˜ao do arco x as seguintes express˜oes: (a) cos(4π + x) µ ¶ 5π (b) sin −x 2 ¶ µ 9π +x (c) cos 2 7) Simplifique a express˜ao

cos(5π+x)×tan(4π−x) π −x sin(π+x)×cos

2

8) Calcule, usando as f´ormulas de adi¸c˜ ao: (a) sin 5π 12 (b) cos 7π 12 (c) cos 11π 12 9) Simplifique sin 4x × cos 3x − cos 4x × sin 3x 10) Sendo dado 0 ≤ x ≤ (a) calcule cos x,

π 2

e sin x = 45 ,

sin 2x,

cos 2x e tan 2x.

(b) em que quadrante se situa o ˆangulo correspondente a 2x? 11) Calcule sin 2x sabendo que sin x + cos x = 1, 2. 12) Demonstre que

sin 2x 2 = . 2 1 − cos x tan x

13) Sendo dado cos = 21 , com 0 ≤ x ≤

π 2

14) Sendo dado sin x = 35 , com 0 ≤ x ≤ 15) Dada tan x2 = 12 , determine sin x,

, determine cos x2 . π 2

, determine sin x2 ,

cosx e tan x.

16) Transforme em produto as expressoes seguinres:

cos x2 e tan x2 .

dr. betuel de jesus varela canhanga

(a) sin(2x + y) + sin(2x − y) (b) sin 7x + sin 5x + sin 3x + sin x (c) cos 2x + cos 4x + cos 6x = cos 8x 17) Simplifique a expressao

cos 4a+cos 2a sin 4a−sin 2a .

18) Transforme em produto a expressao sin2 x − sin2 y. 19) Resolva as seguintes rquacoes em seno: (a) sin 3x = sin π4 ³ π´ = sin π4 (b) sin 3x − 4 ³ π´ (c) sin 2x − = −1 4 ³ ´ √ π (d) sin 2x − = 23 3 20) Resolva as seguintes equacoes em cosseno: (a) cos x = cos π3 ³ π´ (b) cos 2x = cos x − 6 ³ π´ (c) cos 3x − =0 4 ´ ³ π = 12 (d) cos 2x − 3 21) Resolva as seguintes equacoes em tangente: (a) tan 3x = tan 2x √ (b) tan 3x − 3 = 0 22) Resolva as seguintes equacoes trigonometricas: (a) cos x − sin x = 0 (b) 2 sin2 x = sin x (c)

sin2 x−1 sin x−1

=0

(d) 3 sin x − 2 sin2 x = 0 23) Resolva as seguintes inequacoes em seno: √

(a) sin x ≥ − 22 √ (b) 2 sin x = 2 (c) 0 < sin x < 1 24) Resolva as seguintes inequacoes em cosseno: (a) cos x ≤

1 2

(b) 2 cos x + 1 > 0 (c) 0 < cos x < 1 25) Resolva as seguintes inequacoes em tangente: (a) tan x <

√ 3 3

143

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

144

(b) 3 tan x −

√ 3>0

(c) 0 < tan x < 1 26) Resolva as seguintes inequacoes trigonometricas: (a) cos 2x > 0 ³ π´ 1 (b) sin 2x − ≥2 4´ ³ π (c) tan x − < −1 4 (d) 2 sin2 x − 3 sin x + 1 ≥ 0 27) Determine o valor de x de modo que (pode usar calculadora): (a) x = arccos

√ 2 2

(b) x = arctan 6 ³ π´ (c) x = arcsin cos 2 Ensinar ´ e lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto vocˆ e Com a simplicidade construimos o nosso orgulho Typeset by LATEX 2ε

Cap´ıtulo 12

˜ o e Limites de Sucesso ˜ es; Sucessa ˜ es Limite de Func ¸o 12.1

Sucess˜ ao e Limites de Sucess˜ oes

12.1.1

Sucess˜ oes

Defini¸ c˜ ao 12.1. Chamaremos de Sucess˜ ao a toda e qualquer aplica¸c˜ ao de N∗ = N\{0} em R : Isto ´e, aplica¸c˜ao com dom´ınio igual ao conjunto de n´ umeros Naturais e contradom´ınio igual ou contido em R Exemplo 12.1. Vamos, a seguir, mostrar alguns exemplos de sucess˜oes. 1) 2; 4; 6; 8; · · ·

an = 2n; ∀n ∈ N∗

2) 1; 4; 9; 16; · · ·

an = n2 ; ∀n ∈ N∗

3) 2; 4; 8; 16; · · ·

an = 2n ; ∀n ∈ N∗

Observa¸ c˜ ao 12.1. Os termos s˜ao numerados assim: a1 , a2 , a3 , · · · , an ; respectivamente, para o primeiro, segundo, terceiro, e n-´esimo termo; onde an ´e tamb´em chamado Termo geral da sucess˜ao. Defini¸ c˜ ao 12.2. Termo Geral duma sucess˜ao ´e o termo pelo qual ela ´e gerada. Exemplo 12.2. Determine os primeiros trˆes termos da sucess˜ao de termo geral an = 5 + 7n Iremos determinar a1 , a2 e a3 , a1 = 5 + 7 × 1 = 5 + 7 = 12, a2 = 5 + 7 × 2 = 5 + 14 = 19, a3 = 5 + 7 × 3 = 5 + 21 = 26. 145

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

146

12.1.2

Monotonia de uma Sucess˜ ao

• Uma sucess˜ao an diz-se crescente se an+1 − an > 0 Exemplo 12.3. Consideremos a sucess˜ao de termo geral an = 2n + 1, nesta sucess˜ao o termo an+1 = 2(n + 1) + 1 = 2n + 3; achando a diferen¸ca an+1 − an teremos an+1 − an = 2n + 3 − (2n + 1) = 2n + 3 − 2n − 1 = 2; porque 2 ´e maior que zero dizemos que a sucess˜ao de termo geral an = 2n + 1 ´e crescente. • Uma sucess˜ao an diz-se decrescente se an+1 − an < 0 Exemplo 12.4. Consideremos a sucess˜ao de termo geral an = an+1 =

1 , nesta sucess˜ao o termo n

1 ; n+1

achando a diferen¸ca an+1 − an teremos an+1 − an =

1 1 n n+1 n−n−1 1 − = − = =− ; n+1 n n(n + 1) n(n + 1) n(n + 1) n(n + 1)

porque o denominador ´e sempre maior do que zero, (veja que o n ´e maior que zero) dai que a 1 frac¸c˜ao toda seja menor do que zero. Dizemos ent˜ ao que a sucess˜ao de termo geral an = ´e n decrescente. • Se an+1 − an = 0; diz-se que a sucess˜ao an ´e constante. Exemplo 12.5. Considere a sucess˜ao de termo geral an = 2, nesta sucess˜ao o termo an+1 = 2 achando a diferen¸ca an+1 − an teremos an+1 − an = 2 − 2 = 0 o que nos leva a dizer que a sucess˜ao de termo geral an = 0 ´e constante

dr. betuel de jesus varela canhanga

147

Observa¸ c˜ ao 12.2. Uma sucess˜ao diz se monotona se for crescente ou decrescente. Isto ´e, se uma sucess˜ao for constante dizemos que ela n˜ao ´e monotona. Exemplo 12.6. Classifique quanto a monotonia (monotona crescente, monotona decrescente e n˜ao monotona) as seguintes sucess˜oes 1) an =

n+1 n

2) an =

1 n+1

3) an = 2 − 5n 4) an = (−2)n 5) an = 3n 6) an = −3

12.1.3

Gr´ afico de uma Sucess˜ ao

Exemplo 12.7. Veja os seguintes exemplos 1) Seja dada a sucess˜ao an =

1 n

O gr´afico desta sucess˜ao ´e um gr´afico e pontos isolados. Vamos construir a tabela de valores e a partir desta construiremos o espectivo gr´afico. n

1

2

3

4

5

an

1

1 2

1 3

1 4

1 5

Pode constatar se que a sucess˜ao dada tende a aproximar o eixo horizontal na medida em que os an

• •

•

•

•

•

n

Figura 12.1: valores de n aumentam. Diremos ent˜ ao que ela tende para zero quando n tende para o infinito.

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

148

2) Seja dada a sucess˜ao an = 1 +

1 , n

Vamos construir a tabela de valores e a partir desta construiremos o espectivo gr´afico. n

1

2

3

4

5

an

2

3 2

4 3

5 4

6 5

Do ultimo exemplo vemos do gr´afico que cada termo fica mais perto de 1, ou ainda que os os an

• •

•

•

•

•

n

Figura 12.2: valores que a sucess˜ao vai tomando na medida que os valores de n v˜ao aumentando s˜ao cada vez mais pr´oximos da unidade. Diz-se neste caso que a sucess˜ao converge para 1 quando n tende para ∞ (infinito). Escreve-se lim an = 1

n→∞

ou simplismente lim an = 1

12.1.4

Limite de uma Sucess˜ ao

A sucess˜ao an converge para o limite k se, ao aumentar o n´ umero n, os termos an da sucess˜ao tendem para o valor k, ou seja, aproximam-se cada vez mais de k. Escreve-se: lim an = k

n→∞

ou lim an = k e diz se que an ´e Convergente. A suces˜ao que n˜ ao converge, isto ´e, que n˜ao tem limite ´e chamada divergente.

12.1.5

Opera¸co ˜es com Limites de Sucess˜ oes

Suponhamos que an e bn s˜ao sucess˜oes convergentes com limites respectivamente k1 e k2 . Isto ´e: lim an = k1

lim bn = k2 ,

significa que ao aumentar o n´ umero n, os termos de an aproximam-se cada vez mais de k1 enquanto isso os termos de bn aproximam-se cada vez mais de k2 disto podemos concluir:

dr. betuel de jesus varela canhanga

149

1) lim(an + bn ) = lim an + lim bn = k1 + k2 . 2) lim(an − bn ) = lim an − lim bn = k1 − k2 . 3) lim

an lim an k1 = = bn lim bn k2

k2 6= 0.

4) lim(an × bn ) = lim an × lim bn = k1 × k2 . 5) lim(an )p = (lim an )p = k1p . 6) lim pan = plim an = pk1 . Observa¸ c˜ ao 12.3. Quando se fala de limite de sucess˜ao, pode n˜ao se escrever a tendˆencia, pois ´e sempre para o infinito. Vejamos alguns casos importantes Determine o lim k bn sabendo que bn → ∞ 1) lim k bn = 0 se |k| < 1, isto ´e −1 < k < 1. 2) lim k bn = ∞ se k > 1. 3) lim k bn n˜ao exite se k ≤ −1. 4) lim k bn ´e indetermina¸c˜ao se k = 1.

12.1.6

Formas Indeterminadas

Vamos estudar os seguintes tipos de formas b´asicas: •

∞ ´e uma indetermina¸c˜ao ∞

• ∞ − ∞ ´e uma indetermina¸c˜ao •

0 ´e uma indetermina¸c˜ao 0

• 1∞ ´e uma indetermina¸c˜ao • 0 × ∞ ´e uma indetermina¸c˜ao Exemplo 12.8. Ache o limite de 1) an =

2 + 4n substituindo teremos n+1 µ lim an = lim

2 + 4n n+1

¶

¯¯ ∞ ¯¯ ¯¯ ¯¯ = ¯¯ ¯¯ ∞

para levantarmos a indetermina¸c˜ ao vamos escolher no denominador a parte que mais depressa corre para o infinito (parte mais velha) e fazemos o mesmo no denominador. Teremos ent˜ ao: n → ∞ ⇒ 2 + 4n ∼ 4n dai teremos

µ lim an = lim

2 + 4n n+1

¶ = lim

n+1∼n

4n = 4 videf ig.(12.3) n

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

150

an

•

•

•

•

•

n

Figura 12.3:

2) an =

3 n 1 n2

n

1

an

3

2 10 3

3 7 2

= 3.333(3)

4

= 3.5

18 5

= 3.6

5 11 3

fazendo a substitui¸c˜ao teremos

lim an = lim

3 n2 1 n

=

· ¸ 0 0

para levantar esta indetermina¸c˜ ao,vamos fazer a divis˜ao e teremos 3 n2 1 n

=

3n 3 = n2 n

de onde teremos lim µ 3) an = µ 4) an =

1 + 2n 1 + 3n

¶3

2n3 + 4n2 + n3

¶2 − 24

6 5) an = n 3 n

12.1.7

O N´ umero e

Exemplo 12.9. Veja os seguintes exemplos

3 =0 n

= 3.666(6)

dr. betuel de jesus varela canhanga

151

µ ¶ 1 n 1) Seja an = 1 + vamos pelo m´etodo gr´afico determinar o limite de an n n

1

an

2

2 9 4

3

= 2.25

¡ 4 ¢3 3

4 ¡ 5 ¢4

≈ 2.37

4

5 ¡ 6 ¢5

≈ 2.44

≈ 2.48

5

an e ≈ 2.7183 •

•

•

•

•

n

Figura 12.4: Pela resolu¸c˜ao deste exercicio pode ver se que ¶ µ 1 n lim an = lim 1 + = [1∞ ] n que ´e uma indetermina¸c˜ao. Com base no gr´afico podemos ler que ¶ µ 1 n = e. lim an = lim 1 + n Observa¸ c˜ ao 12.4. Suponhamos que an → 1, bn → ∞ ent˜ ao teremos lim (an )bn = [1∞ ] = elim(an −1)bn 2) Determine

µ lim

¶n

n+2 n

.

Se formos a substituir o n pelo infinito teremo uma indetermina¸c˜ ao na base do tipo h∞i , ∞ ao levantarmos esta indetermina¸c˜ ao amos a ter uma outra indetermina¸c˜ ao, a do tipo [1∞ ] . para levantarmos este tipo de n˜ao determina¸c˜ ao recorremos ao seguinte: !

lim(an )bn = [1∞ ] = elim(an −1)×bn = e ent˜ao

µ 3) Determine lim

n+1 n+2

lim(an )bn = e ¶2n

lim

n+2−n n

lim

! ×n

lim

=e

n+2 −1 n 2 n

×n

! ×n

= e2

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

152

12.2

Progress˜ oes

Vamos estudar 2 tipos de progress˜oes:Progress˜ ao Aritm´ etica e Progress˜ ao Geom´ etrica.

12.2.1

Progress˜ ao Aritm´ etica

Defini¸ c˜ ao 12.3. Chama-se Progress˜ ao Aritm´ etica (P.A) `a toda a sucess˜ao em que o termo con` este valor constante sequente obt´em-se adicionando um certo valor constante ao termo precedente. A d´a-se o nome de Raz˜ ao ou Diferen¸ ca da P.A. Seja d a raz˜ao de um PA, a1 o seu primeiro termo, a2 = a1 + d,

a3 = a2 + d,

a4 = a3 + d · · · an = an−1 + d

Exemplo 12.10. Observe seguintes exemplos 1) 1, 3, 5, 7, 9, 11 · · · A Raz˜ao desta progress˜ao ´e 2 2) 10, 7, 4, 1, −2, −5, · · · A raz˜ao desta progress˜ao ´e −3

12.2.2

Termo Geral de uma Progress˜ ao Aritm´ etica.

O termo geral duma P.A. ´e dado por: an = a1 + (n − 1) × d ou

an = ak + (n − k)d

onde d ´e a raz˜ao da P.A. Exemplo 12.11. Determine o termo geral e o vig´esimo termo das progress˜oes: 10, 7, 4, 1, −2, −5, · · · Vamos primeiro achar a raz˜ao: d = an − an−1 = 7 − 10 = 1 − 4 = −5 − (−2 = −3). O primeiro termo da progress˜ao ´e a1 = 10 Agora podemos determinar o termo geral: an = a1 + d(n − 1) = 10 + (n − 1) × (−3) = −3n + 13. O vig´esimo termo ´e a20 = −3 × 20 + 13 = −47.

12.2.3

Soma de n termos de uma Progress˜ ao Aritm´ etica.

A soma de n termos de uma progress˜ao aritm´etica ´e dada pela formula Sn =

a1 + an × n; 2

onde: • a1 ´e o primeiro termo dos termos a somar, • an ´e o u ´ltimo termo dos termos a somar, e • n ´e o n´ umero de termos a somar. Exemplo 12.12. Dada a progress˜ao: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, · · ·

dr. betuel de jesus varela canhanga

153

1) Determine a soma dos primeiros 20 termos da progress˜ao. Para resolver esta quest˜ao vamos usar a formula a1 + an Sn = × n; 2 depois de transformada. Sabendo que an = a1 + (n − 1)d teremos

· ¸ a1 + a1 + d(n − 1) d Sn = × n = a1 + (n − 1) n; 2 2

substituindo a1 = 1, teremos S20

d = 2,

n = 20,

· ¸ 2 = 1 + (20 − 1) 20 = (1 + 19)20 = 20 × 20 = 400; 2

2) Determine a5 + a6 + a7 + · · · + a20 , veja que o primeiro termo da soma ´e a5 = 9, u ´ltimo termo da soma ´e a20 = a1 + d(20 − 1) = 1 + 2 × 19 = 39 e o n´ umero de termos a somar ´e n = 16, utilizando a formula obterems µ ¶ µ ¶ µ ¶ a1 + an a5 + a20 9 + 39 S16 = n= 16 = 16 = 384. 2 2 2

12.2.4

Progress˜ ao Geom´ etrica

Defini¸ c˜ ao 12.4. Toda a sucess˜ao cujo termo consequente obt´em-se multiplicando o termo precedente por um n´ umero constante, chama-se Progress˜ ao Geom´ etrica (P.G). Ao n´ umero constante, d´a-se o nome de raz˜ ao ou quociente da P.G.

12.2.5

Termo Geral de uma Progress˜ ao Geom´ etrica.

O termo geral de uma PG ´e dado pela formula an = a1 × q n−1

ou an = ak × q n−k ,

k

´ uma P.G. de raz˜ao q = 3 Exemplo 12.13. vejamos: 1, 3, 9, 27, 81, · · · E Vamos primeiro achar a raz˜ao: q=

an − a 3 9 27 = = = = 3. n−1 1 3 9

O primeiro termo da progress˜ao ´e a1 = 1 Agora podemos determinar o termo geral: an = a1 × q (n−1) = 1 × 3n−1 . O vig´esimo termo ´e a20 = 319 = 1162261467.

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

154

Exemplo 12.14. Determine o termo geral da progress˜ao seguinte: 2, 6, 18, 54, 162, · · · Para determinar o termo geral vamos usas a1 = 2,

q=

18 6 = =3 6 2

e teremos an = a1 × q n−1 = 2 × 3n−1

12.2.6

Soma de n termos de uma Progrss˜ ao Geom´ etrica.

A soma de n termos de uma PG ´e dada por Sn =

a1 × (1 − q n ) 1−q

Onde: 1) a1 ´e o primeiro termo da soma, 2) n ´e o n´ umero de termos a somar e 3) q , como j´a vimos, ´e a raz˜ao da progress˜ao. Exemplo 12.15. Determine a soma dos primeiros 5 termos da seguinte progress˜ao geom´etrica 2, 6, 18, 54, 162 · · · Observa¸ c˜ ao 12.5. para achar a soma destes 5 termos podemos recorrer ao m´etodo tradicional e teremos 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242, isto o fizemos porque a quantidade de termos ´e pequena, estamos a somar somente 5 termos. Imagine ´ nessas ocasi˜oes que se urge imporque quizessemos somar 500 termos, quanto trabalho teriamos? E tante usar a formula da soma de n termos de uma P.G. Usando a formula para somar os 5 primeiros termos da PG teriamos

a1 = 2,

q = 3,

n = 5,

e teremos S5 =

2 × (1 − 35 ) 2 × (1 − 243) 2 × (−242) a1 × (1 − q 5 ) = = = = 242 1−q 1−3 −2 −2

Exemplo 12.16. Resolva seguintes quest˜oes 1) Qual das seguintes sucess˜oes s˜ao PA ou PG

dr. betuel de jesus varela canhanga

155

(a) 3, 5, 2, −1, · · · (b) 2, 2, 2, 2, · · · (c) 18, 12, 8, 4, · · · (d) 5, 7, 9, 11, · · · 1 1 1 1 (e) − , , − , ,··· 2 4 8 16 2) Construa a f´ormula do termo geral das seguintes PA (a) 210, 220, 230, 240, · · · (b) 10, 12, 14, 16, · · · 3) Construa a f´ormula do termo geral das seguintes PG (a) 2, 10, 50, 250, · · · (b) 5, 50, 500, 5000, · · · 4) Ache as seguintes somas (a) 1 + 2 + 3 + · · · + 300 (b) 10 + 12 + 14 + · · · + 98 5) Ache as seguintes somas 1 1 + + ··· 2 4 1 1 1 (b) − + − ··· 3 9 27 (a) 2 + 1 +

6) Ache a representa¸c˜ao racional de cada uma das frac¸c˜ oes decimal peri´odica (a) 5, 111111 · · · (b) 2.5333333 · · ·

12.3

Limite de uma Fun¸ c˜ ao

Defini¸ c˜ ao 12.5. Diz-se que o n´ umero b ´e limite da fun¸c˜ ao f (x), quando x tende para a (x → a); se para qualquer valor xi pertencente a vizinhan¸ca de raio δ > 0 e centro em a tem se |xi − a| < δ ⇒ |f (xi ) − b| < ε onde ε > 0 e escreve-se lim f (x) = b,

x→a

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

156

12.3.1

C´ alculo de Limite de uma Fun¸ c˜ ao

Observa¸ c˜ ao 12.6. Ao calcularmos limite de uma fun¸c˜ ao procedemos de maneira analoga ao c´alculo de limites de sucess˜oes. Todos os m´etodos usados para levantamento de indetermina¸c˜ oes de sucess˜oes s˜ao v´alidos para limites de fun¸c˜oes.

12.3.2

Indetermina¸c˜ ao do Tipo

· ¸ x−2 0 Exemplo 12.17. veja: lim 2 = x→2 x − 4 0

0 0

Este tipo de indetermina¸c˜ao levanta-se: 1) Factorizando, no caso de express˜oes racionais, ou 2) Substituindo, para casos de express˜oes irracionais, ou 3) Multiplicando pelo conjugado lim

x→2

12.3.3

x−2 1 1 x−2 = lim = lim = x2 − 4 x→2 (x + 2)(x − 2) x→2 x + 2 4

Limites Laterais

1) Se f (x) tende para o limite b quando x tende para a; tomando apenas valores menores que a, escreve-se: lim f (x) = b x→a−

O n´ umero b chama-se Limite ` a Esquerda de f (x) no ponto a 2) Se f (x) tende para o limite c quando x tende para a; tomando apenas valores maiores que a, escreve-se: lim f (x) = c x→a+

O n´ umero c chama-se Limite ` a Direita de f (x) no ponto a Portanto b e c s˜ao chamados Limites Laterais Exemplo 12.18. Determine os limites laterais das fun¸c˜ oes 1)

  3, se x < 2; f (x) =  x − 1, caso contr´ ario, Vamos construir o gr´afico desta fun¸c˜ ao para podermos observas os seus limites laterais. Com base na figura (12.5) constatamos que: • a esqueda de 2 a fun¸c˜ao tende para 3, lim f (x) = 3 x→2−

• a direita de 2 a fun¸c˜ao tende para 1, lim f (x) = 1 x→2+

dr. betuel de jesus varela canhanga

157

y

x

Figura 12.5: Defini¸ c˜ ao 12.6. Diz se que uma fun¸c˜ ao tem limite num certo ponto se os seus limites laterais forem iguais. Observa¸ c˜ ao 12.7. Para a fun¸c˜ ao esbo¸cada na figura (12.5), porque seus limites laterais s˜ao diferentes quando x → 2, dizemos que ela n˜ao tem limite quando x → 2. 2)

   x2 − 1,   f (x) =

se x ∈] − ∞, 1[;

−x + 1, x ∈]1; ∞[;,     2, x = 1;,

Vamos construir o gr´afico desta fun¸c˜ ao para podermos observas os seus limites laterais. y

x

Figura 12.6: Com base na figura (12.6) constatamos que: • a esqueda de 1 a fun¸c˜ao tende para 0, lim f (x) = 0 x→1−

• a direita de 1 a fun¸c˜ao tende para 0, lim f (x) = 0 x→1+

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

158

Observa¸ c˜ ao 12.8. Para a fun¸c˜ ao esbo¸cada na figura (12.6), porque seus limites laterais s˜ao iguais quando x → 1 dizemos que ela tem limite e esse limite ´e igual a zero.

12.3.4

Limites Not´ aveis

Veja alguns limites not´aveis sin x =1 x→0 x

1) lim

y

x

Figura 12.7: Observa¸ c˜ ao 12.9. Veja que o gr´afico da fun¸ca˜o y=

sin x x

tem um ponto de discontinuidade, que ´e o ponto de abcissa x = 0, esbo¸cando o gr´afico podemos ver que a fun¸c˜ao tende para 1 na vizinhan¸ca de zero. Muitos exerc´ıcios sobre limites de fun¸c˜ oes trigonom´etricas resolvem-se com auxilio do limite estudado acima. Raz˜ao pela qual chamamos Limite not´avel. Outros limites not´aveis s˜ao: tan x =1 x→0 x

2) lim

ln(x + 1) =1 x→0 x

3) lim

ex − 1 =1 x→0 x

4) lim

12.4

Alguns Exercicios Resolvidos

(2x − 1)(3x + 5)(4x − 2) 3x3 + x − 2 Aplicando a substitui¸c˜ao, teremos

1) Resolva lim

x→∞

(2x − 1)(3x + 5)(4x − 2) h ∞ i = x→∞ 3x3 + x − 2 ∞ lim

pegando as partes mais velhas teremos (2x − 1)(3x + 5)(4x − 2) 2x 3x 4x 24x3 24 = lim = lim = =8 x→∞ x→∞ x→∞ 3x3 3x3 + x − 2 3x3 3 lim

dr. betuel de jesus varela canhanga

159

x2 − 4 x→2 x2 − 3x + 2 Aplicando a substitui¸c˜ao, teremos

2) Resolva lim

· ¸ x2 − 4 0 lim 2 = x→2 x − 3x + 2 0 factorizando tanto o num´erador como o denom´ınador teremos 4 x2 − 4 (x + 2)(x − 2) x+2 = lim = lim = = 4. 2 x→2 x − 3x + 2 x→2 (x − 2)(x − 1) x→2 x − 1 1 lim

√ 1+x−1 3) Resolva lim √ x→0 3 1 + x − 1 Aplicando a substitui¸c˜ao, teremos √ · ¸ 1+x−1 0 lim √ = x→0 3 1 + x − 1 0 para fazer com que tanto a raiz do num´erador como a do denominador desapare¸cam fa¸camos o m.m.c (menor m´ ultiplo comum) de 2 e 3 (´ındices das raizes). mmc(2;3)=6, fa¸camos ent˜ ao t6 = 1 + x, e

x→0⇒t→1

(t − 1)(t2 + t + 1) t2 + t + 1 3 t3 − 1 = lim = lim = . t→1 t→1 t→1 t2 − 1 (t − 1)(t + 1) t+1 2 lim

√ √ x− a 4) Resolva lim x→a x−a Aplicando a substitui¸c˜ao, teremos · ¸ √ √ 0 x− a = x→a x−a 0 lim

Um outro m´etodo para resolver este tipo de limites (express˜oes irracionais) conciste na racionaliza¸c˜ao do denominador e(ou) do num´erador. Teremos ent˜ ao: √ √ x− a x−a 1 1 √ √ = lim √ √ = √ . = lim lim x→a (x − a)( x + a) x→a x→a x−a x+ a 2 a µ

¶ sin 3x x+2 . x→0 x Vamos achar o limite

5) Resolva lim

µ lim

x→0

sin 3x x

¶

µ ¶ sin 3x = lim 3 =3 x→0 3x

e o limite lim (x + 2) = 2

x→0

de onde concluimos que

µ lim

x→0

sin 3x x

¶x+2

= 32 = 9

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

160

µ

x+1 x→∞ 2x + 1 Vamos achar o limite

¶x2

6) Resolva lim

µ lim

x→∞

x+1 2x + 1

¶ =

h∞i ∞

³x´ 1 = x→∞ 2x 2

= lim

e o limite lim x2 = ∞

x→∞

finalmente teremos

µ

x+1 2x + 1

lim

x→∞

¶ x+1 x 7) Resolva lim x→∞ x − 1 Substituindo teremos

¶x2

µ ¶∞ 1 = =0 2

µ

µ lim

x→∞

x+1 x−1

¶x

= [1∞ ]

Vamos levantar a indetermina¸c˜ao, teremos: !

lim

e µ 8) lim

x→∞

x+1 x

x→∞

x+1 −1 x−1

x

2 x−1

lim

x→∞

=e

! x

2x x−1

lim

=e

x→∞

! lim

=e

x→∞

2x x

!

= e2

¶x = e Aplicando a substitui¸c˜ ao teremos: µ lim

x→∞

x+1 x

¶x

= e = [1∞ ]

vamos levantar a indetermina¸c˜ao, teremos ent˜ ao: µ lim

x→∞

x+1 x

!

¶x

lim

=e

x→∞

x+1 −1 x

x

lim

x→∞

=e

1 x

! x

=e

9) Resolva lim x[ln(x + 1) − ln(x)] x→∞ Substituindo teremos lim x[ln(x + 1) − ln(x)] = [∞ − ∞]

x→∞

Vamos levantar a indetermina¸c˜ao, teremos: ·

¸ µ ¶ · µ ¶ ¸ x+1 x+1 x x+1 x lim x[ln(x + 1) − ln(x)] = lim x ln = lim ln = ln lim x→∞ x→∞ x→∞ x→∞ x x x como

µ lim

x→∞

x+1 x

¶x =e

(vide exerc´ıcios anteriores) ent˜ao teremos lim x[ln(x + 1) − ln(x)] = ln e = 1

x→∞

dr. betuel de jesus varela canhanga

12.5

161

Continuidade de Fun¸ c˜ oes

Defini¸ c˜ ao 12.7. A fun¸c˜ao f (x) diz-se cont´ınua no ponto x = x0 se verificam simultaneamente as seguintes condi¸c˜oes: 1) A fun¸c˜ao ´e definida no ponto x = x0 ; isto ´e, existe um n´ umero f (x0 ) 2) Existe limite finito de f (x) quando x tende para x0 3) lim f (x) = f (x0 ), x→x0

Exemplo 12.19. Verifique se a fun¸c˜ ao f (x) = x2 ´e cont´ınua no ponto x0 = 2 1) A fun¸c˜ao f (x) = x2 ´e definida em x0 = 2 e f (2) = 4. 2) lim x2 = 4 x→2

3) lim x2 = f (2) x→2

Concluimos deste modo que a fun¸c˜ao ´e cont´ınua. Observa¸ c˜ ao 12.10. Se uma fun¸c˜ao n˜ao ´e cont´ınua, dizemos que ela ´e Discont´ınua. Observa¸ c˜ ao 12.11. Seja f (x) uma fun¸c˜ ao definida num certo intervalo e x0 pertencente a esse intervalo. Ent˜ao, se: • lim f (x) = f (x0 ) 6= lim f (x)

x→x− 0

x→x+ 0

dizemos que ela ´e cont´ınua a Esquerda. • lim f (x) = f (x0 ) 6= lim f (x)

x→x+ 0

x→x− 0

dizemos que ela ´e cont´ınua a Direita.

12.5.1

Pontos de Descontinuidade

Se num dado ponto x = x0 , a condi¸c˜ ao de continuidade ´e violada, ent˜ ao x0 chama-se Ponto de Descontinuidade. Exemplo 12.20. Na fun¸c˜ao f (x) = ´e descont´ınua nos pontos x = 2, x = 2,

x−1 (x − 2)(x + 1)

x = −1 pois esta fun¸c˜ ao n˜ao est´a definida nestes pontos. Ent˜ ao

x = −1 s˜ao pontos de descontinuidade para a fun¸c˜ ao dada.

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

162

12.6

Classifica¸c˜ ao dos Pontos de Descontinuidade

12.6.1

Descontinuidade da Primeira Esp´ ecie

Se para uma fun¸c˜ao f (x) existirem limites laterais finitos e diferentes, isto ´e, 1) ∃ lim f (x) x→x− 0

2) ∃ lim f (x) x→x+ 0

3)

lim f (x) 6= lim f (x)

x→x− 0

x→x+ 0

ent˜ao o ponto de descontinuidade x = x0 chama-se Ponto de Descontinuidade da Primeira Esp´ ecie do Tipo Salto. Se lim f (x) = lim 6= f (x0 , ) ent˜ ao o ponto de descontinuidade x = x0 chama-se Ponto de x→x− 0

x→x+ 0

Descontinuidade da Primeira Esp´ ecie Elimin´ avel ou Evit´ avel. Exemplo 12.21.

1) A fun¸c˜ao [vide figura (12.8)]   x + 1, se x ≥ 2; f (x) =  −x, x < 2. y

x

Figura 12.8: ´e descont´ınua no ponto x = 2, Classifique o tipo de descontinuidade.

12.6.2

Descontinuidade da Segunda Esp´ ecie

Se para uma fun¸c˜ao f (x) pelo menos um dos limites laterais for ∞; a descontinuidade ´e da segunda esp´ecie. Exemplo 12.22. Vejamos seguintes exemplos

dr. betuel de jesus varela canhanga

163

y

x

Figura 12.9: 1) Investigue a continuidade da fun¸c˜ ao y =

1 , esta fun¸c˜ ao ´e homogr´afica e tem a = 0, b = 1, c = x

1, d = 0, pelo gr´afico da figura (12.9) podemos fazer as seguintes leituras (a) lim = +∞ x→0+

(b) lim = −∞ x→0−

(c) A fun¸c˜ao ´e no ponto x = 0 discontinua (discontinuidade de segunda esp´ecie). 2) Investigue a continuidade da fun¸c˜ ao y =

x−1 , pelo gr´afico da figura (12.10) podemos (x − 2)(x + 1)

fazer as seguintes leituras (a) (b)

lim = −∞

x→−1−

lim = +∞

x→−1+

(c) lim = −∞ x→2−

(d) lim = +∞ x→2+

(e) A fun¸c˜ao ´e nos pontos x = −1 e x = 2 discontinua (discontinuidade de segunda esp´ecie).

12.7

Exercicios De Aplica¸c˜ ao

1) Determine os primeiros 4 termos das sucessoes seguintes: √ (a) Un = n µ ¶n 1 (b) Un = 2

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

164

y

x

Figura 12.10: 2) Calcule os tres termos seguintes e o temo geral das seguintes sucessoes: (a)

1 2,

(b) 1,

1 6, 1 5,

1 9 , ... 1 9 , ...

3) Os numeros totais de diagonais que se podem titar de todos os vertices de um poligono formam uma sucessao. Definiremos o termo geral Un desta sucessao como sendo o numero total de diagonais de um poligono de n vertices. (a) Explique porque esta definicao so tem sentido a partir de n = 4. (b) Calcule os primeiros 4 termos da sucessao. (c) Determine o termo geral da sucessao. 4) Determine, caso exista, o limite das seguintes sucessoes: (a) Un = 1 −

2 n2

(b) Un = 2n (c) Un =

1 4n−3

(d) Un =

2−n2 n 1+3n 3n

(e) Un =

5) Determine: µ ¶ n2 1 (a) lim − n2 − 6 n µ ¶ 1 n (b) lim 2 + n 2 µ 2 ¶6 2n + 2 (c) lim n2 − 1 q (d) lim 3 27 − n1

dr. betuel de jesus varela canhanga

165

n

(e) lim 3n3+4n 6) Calcule: µ (a) lim

n+1 n

¶n 2

µ ¶n 1 (b) lim 1 + 2n + 1 ¶ µ 1 n (c) lim 1 + kn 7) Investigue a continuidade da seguinte funcao: f (x) =

x2 −3x+2 . x2 +x+1

8) Determine, caso existam, as equacoes das assimptotas das seguintes funcoes: (a) y = tan x (b) y = (c) y = (d) y = (e) y =

1 x2 −1 1 (x−1)2 x2 +x x 1 sin x

(f) y = 2 +

√1 x

(g) y = 51−x − 5 (h) y = arctan x + 10 (i) y =

1 ln |x|

9) Calcule: (a) lim

x→1

2x2 −5x+8 x2 +1

√x−3 3−x √ lim x−2 x→4 x−4

(b) lim

x→3

(c)

x2 −ax x→a a−x √ x− p lim x2 −p x→p

(d) lim (e)

¶ µ k x (f) lim 1 + x→∞ x √

(g) lim

x→0

√ 2x+1− x+1 sin x

sin 4x x→0 tan x x lim sin x−tan x x→0

(h) lim (i)

sin x2 x→0 8x

(j) lim

Determine se ´e cont´ınua a funcao f (x) =

sin x |x| ,

½ 10) tem Seja f uma funcao definida por f (x) = funcao f seja cont´ınua.

f (0) = 1. 3x x ≤ −1 . Determini p para que a 2 x − x + p x > −1

166

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

½ 11) Determine se ´e cont´ınua a funcao f (x) =

x2 − 1, x ≤ 0; |x2 − 1|, x > 1.

Ensinar ´ e lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto vocˆ e

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Cap´ıtulo 13

´ lculo Difere ˆncial Ca 13.1

Conceito de Derivada

Defini¸ c˜ ao 13.1. Seja dada um fun¸c˜ao f (x) que ´e definida num certo dom´ınio D. Suponhamos que x1 e x2 s˜ao dois pontos pertencentes a D, e x2 > x1 chamaremos de incremento de f a fun¸c˜ ao dada pela express˜ao ∆y = f (x2 ) − f (x1 ). Defini¸ c˜ ao 13.2. Sejam x1 e x2 dois pontos pertencentes a D, e D ´e o dom´ınio de defini¸c˜ ao de uma fun¸c˜ao f (x)suponhamos ainda que x2 > x1 , chamaremos de incremento de x a express˜ao ∆x = x2 − x1 . y 2x f (x2 )

∆y

f (x1 ) x1

x2

x

∆x

Figura 13.1:

Observa¸ c˜ ao 13.1. Na figura abaixo vamos tra¸car a partir do gr´afico anterior um segmento que une os pontos f (x1 ) e f (x2 ) 167

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

168

y 2x f (x2 )

f (x1 ) x1

x2

x

Figura 13.2: Podemos ver que estamos na presen¸ca de um triˆangulo com pontos em (x1 , f (x1 )); (x2 , f (x1 )) e (x2 , f (x2 )). Da trigonom´etria sabemos que o quociente dos catetos (oposto pelo adjacente) a um determinado ˆangulo corresponde a tangente a esse ˆangulo; sabemos tamb´em que a tangente a um determinado ˆangulo dita o coeficiente angular da hipotenusa, isto ´e, o grau de inclina¸c˜ ao da hipotenusa. A ser assim, ∆y cateto oposto = ∆x cateto adjacente ´e o coeficiente angular (declive do segmento que une f (x1 ) com f (x2 ) Observa¸ c˜ ao 13.2. Vejamos o seguinte, como ∆y = f (x2 ) − f (x1 ) e ∆x = x2 − x1 ⇒ x2 = x1 + ∆x e ∆y = f (x1 + ∆x) − f (x1 ) Defini¸ c˜ ao 13.3. Suponhamos agora que a distˆancia entre os pontos x1 e x2 e menor, isto ´e x2 ∼ = x1 ⇒ x2 − x1 ∼ = 0 ⇒ ∆x → 0 Suponhamos ainda que nestas condi¸c˜oes existe o limite lim

∆x→0

∆y f (x1 + ∆x) − f (x1 ) = lim ∆x ∆x→0 ∆x

este limite ´e igual a derivada da fun¸c˜ ao f (x) em x1 e denota-se f 0 (x1 ). Defini¸ c˜ ao 13.4. A fun¸c˜ao que determina a relac¸c˜ ao entre os valores de x e as derivadas nesses pontos chamamos de fun¸ c˜ ao derivada e denota-se f 0 (x) Exemplo 13.1. Consideremos alguns exemplos.

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169

1) Usando a defini¸c˜ao de derivada determine a deriva de f (x) = 2 Vamos achar ∆y a parte. Consideremos um x qualquer pertencente ao dom´ınio de f (x). Veja que esta fun¸c˜ ao ´e constante , portanto f (x) = 2 e f (x + ∆x) = 2 dai teremos que ∆y = f (x + ∆x) − f (x) = 22 − 22 = 0 emos agora ao c´alculo do limite ∆y 0 = lim =0 ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x lim

dizemos ent˜ao que f 0 (x) = 0 e por exemplo f 0 (0) = 0;

f 0 (2) = 0;

f 0 (4) = 0.

2) Usando a defini¸c˜ao de derivada determine a deriva de f (x) = x Vamos achar ∆y a parte. Consideremos um x qualquer pertencente ao dom´ınio de f (x). ∆y = f (x + ∆x) − f (x) = (x + ∆x) − x = ∆x emos agora ao c´alculo do limite ∆y ∆x = lim =1 ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x lim

dizemos ent˜ao que f 0 (x) = 1, e por exemplo f 0 (0) = 1;

f 0 (2) = 1;

f 0 (4) = 1.

3) Usando a defini¸c˜ao de derivada determine a deriva de f (x) = 3x Vamos achar ∆y a parte. Consideremos um x qualquer pertencente ao dom´ınio de f (x). ∆y = f (x + ∆x) − f (x) = 3(x + ∆x) − 3x = 3∆x emos agora ao c´alculo do limite · ¸ ∆y 3∆x 0 lim = lim = ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 0 levantamos a indetermina¸c˜ao (simplificando a express˜ao) teremos ∆y 3 = lim =3 ∆x→0 ∆x ∆x→0 1 lim

dizemos ent˜ao que f 0 (x) = 3, e por exemplo f 0 (0) = 3;

f 0 (2) = 3;

f 0 (4) = 3.

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

170

4) Usando a defini¸c˜ao de derivada determine a deriva de f (x) = 2x + 1 Vamos achar ∆y a parte. Consideremos um x qualquer pertencente ao dom´ınio de f (x). ∆y = f (x + ∆x) − f (x) = [2(x + ∆x) + 1] − (2x + 1) = 2x + 2∆x + 1 − 2x − 1 = 2∆x emos agora ao c´alculo do limite ∆y 2∆x = lim =2 ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x lim

dizemos ent˜ao que f 0 (x) = 2, e por exemplo f 0 (0) = 2;

f 0 (2) = 2;

f 0 (4) = 2.

5) Usando a defini¸c˜ao de derivada determine a deriva de f (x) = x2 Vamos achar ∆y a parte. Consideremos um x qualquer pertencente ao dom´ınio de f (x). ∆y = f (x + ∆x) − f (x) = (x + ∆x)2 − x2 = x2 + 2x∆x + (∆x)2 − x2 = 2x∆x + (∆x)2 emos agora ao c´alculo do limite · ¸ 2x∆x + (∆x)2 0 ∆y = lim = lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x 0 levantamos a indetermina¸c˜ao (simplificando a express˜ao) teremos ∆y 2x + ∆x = lim = 2x ∆x→0 ∆x ∆x→0 1 lim

dizemos ent˜ao que f 0 (x) = 2x, e por exemplo f 0 (0) = 2 × 0;

f 0 (2) = 2 × 2 = 4;

f 0 (4) = 2 × 4 = 8.

6) Usando a defini¸c˜ao de derivada determine a deriva de f (x) = x2 + 5x Vamos achar ∆y a parte. Consideremos um x qualquer pertencente ao dom´ınio de f (x). ∆y = f (x + ∆x) − f (x) = (x + ∆x)2 + 5(x + ∆x) − (x2 + 5x) = = x2 + 2x∆x + (∆x)2 + 5x + 5∆x − x2 − 5x = (∆x)2 + 2x∆x + 5(∆x) emos agora ao c´alculo do limite · ¸ (∆x)2 + 2x∆x + 5(∆x) 0 ∆y = lim = ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x 0 lim

levantamos a indetermina¸c˜ao (simplificando a express˜ao) teremos ∆x + 2x + 5 ∆y = lim = 2x + 5 ∆x→0 ∆x→0 ∆x 1 lim

dizemos ent˜ao que f 0 (x) = 2x+5, e por exemplo f 0 (0) = 2×0+5 = 5;

f 0 (2) = 2×2+5 = 9;

f 0 (4) = 2×4+5 = 13.

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171

7) Usando a defini¸c˜ao de derivada determine a deriva de f (x) = x3 Vamos achar ∆y a parte. Consideremos um x qualquer pertencente ao dom´ınio de f (x). ∆y = f (x + ∆x) − f (x) = (x + ∆x)3 − x3 = x3 + 3x2 ∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3 − x3 = = 3x2 ∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3 emos agora ao c´alculo do limite · ¸ ∆y 3x2 ∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3 0 lim = lim = ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 0 levantamos a indetermina¸c˜ao (simplificando a express˜ao) teremos ∆y 3x2 + 3x∆x + (∆x)2 = lim = 3x2 ∆x→0 ∆x ∆x→0 1 lim

dizemos ent˜ao que f 0 (x) = 3x2 , e por exemplo f 0 (0) = 3 × 02 = 0;

f 0 (2) = 3 × 22 = 12;

8) Usando a defini¸c˜ao de derivada determine a deriva de f (x) =

f 0 (4) = 3 × 42 = 48.

1 Vamos achar ∆y a parte. x

Consideremos um x qualquer pertencente ao dom´ınio de f (x). ∆y = f (x + ∆x) − f (x) =

=− Calculemos tamb´em

1 1 x − x − ∆x − = = x + ∆x x x(x + ∆x)

∆x x(x + ∆x)

∆y ∆x ∆x ∆x ∆y x(x + ∆x) =− =− ; ∆x ∆x x∆x(x + ∆x)

emos agora ao c´alculo do limite · ¸ ∆y ∆x 0 lim = lim − = ∆x→0 ∆x ∆x→0 x∆x(x + ∆x) 0 levantamos a indetermina¸c˜ao (simplificando a express˜ao) teremos lim

∆x→0

∆y 1 1 = − lim =− 2 ∆x→0 x(x + ∆x) ∆x x

dizemos ent˜ao que f 0 (x) = −

1 , e por exemplo @f 0 (0); x2

f 0 (2) = −

1 1 =− ; 2 2 4

f 0 (4) = −

1 1 =− . 2 4 16

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

172

9) Usando a defini¸c˜ao de derivada determine a deriva de f (x) =

1 Vamos achar ∆y a parte. x2

Consideremos um x qualquer pertencente ao dom´ınio de f (x). ∆y = f (x + ∆x) − f (x) = = Calculemos tamb´em

1 1 x2 − (x + ∆x)2 − = = (x + ∆x)2 x2 x2 (x + ∆x)2

x2 − x2 − 2x∆x − (∆x)2 2x∆x + (∆x)2 = − x2 (x + ∆x)2 x2 (x + ∆x)2

∆y ∆x

2x∆x + (∆x)2 ∆y 2x∆x + (∆x)2 2x + ∆x x2 (x + ∆x)2 =− =− 2 =− 2 ∆x ∆x x (x + ∆x)2 ∆x x (x + ∆x)2 emos agora ao c´alculo do limite lim

∆x→0

∆y 2x + ∆x 2x 2 = − 4 = − 3. = lim − ∆x ∆x→0 x2 (x + ∆x)2 x x

dizemos ent˜ao que f 0 (x) = −

2 , e por exemplo @f 0 (0); x3

f 0 (2) = −

2 1 =− ; 23 4

10) Usando a defini¸c˜ao de derivada determine a deriva de f (x) =

f 0 (4) = −

2 1 =− . 43 32

√ x Vamos achar ∆y a parte.

Consideremos um x qualquer pertencente ao dom´ınio de f (x). ∆y = f (x + ∆x) − f (x) =

√ √ x + ∆x − x

racionalizando o numerador (multiplicando pelo seu conjugado) teremos √ √ √ √ ( x + ∆x − x)( x + ∆x + x) ∆x √ ∆y = =√ √ √ x + ∆x + x x + ∆x + x Calculemos tamb´em a parte

∆y teremos ∆x ∆y ∆x √ = √ ∆x ∆x( x + ∆x + x)

e simplificando a express˜ao teremos ∆y 1 = √ √ ∆x ( x + ∆x + x) emos agora ao c´alculo do limite ∆y ∆y 1 1 = lim = √ √ = √ . ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 2 x ( x + ∆x + x) lim

dizemos ent˜ao que 1 f 0 (x) = √ , e por exemplo @f 0 (0); 2 x

1 f 0 (2) = √ ; 2 2

1 1 f 0 (4) = √ = . 4 2 4

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173

11) Usando a defini¸c˜ao de derivada determine a deriva de f (x) = sin x Vamos achar ∆y a parte. Consideremos um x qualquer pertencente ao dom´ınio de f (x). ∆y = f (x + ∆x) − f (x) = sin(x + ∆x) − sin x

(13.1)

vamos usar as formulas trigonom´etricas, lembre-se que

sin p − sin q = 2 sin

p−q p+q cos 2 2

(13.2)

aplicando (13.2) em (13.1) teremos µ sin lim 2

∆x 2

¶

µ cos

2x + ∆x 2

¶

∆x

∆x→0

emos agora ao c´alculo do limite µ sin lim 2

∆x 2

¶

µ cos

2x + ∆x 2

¶

∆x

∆x→0

.

Lembre-se que sin x =1 x→0 x lim

ent˜ao

µ

¶ 2x + ∆x sin cos 2 µ ¶ lim 2 = ∆x ∆x→0 2 2 µ ¶   ∆x µ ¶ · µ ¶¸ sin  2x + ∆x  2x + ∆x 2   ¶ × cos = lim  µ = cos x lim 1 × cos  = ∆x→0 ∆x ∆x→0 2 2 2 ∆x 2

¶

µ

12) Usando a defini¸c˜ao de derivada determine a deriva de f (x) = cos x Vamos achar ∆y a parte. Consideremos um x qualquer pertencente ao dom´ınio de f (x). ∆y = f (x + ∆x) − f (x) = cos(x + ∆x) − cos x

(13.3)

vamos usar as formulas trigonom´etricas, lembre-se que

cos p − cos q = −2 sin

p+q p−q sin 2 2

aplicando (13.4) em (13.3) teremos µ sin lim −2

∆x→0

¶ µ ¶ 2x + ∆x ∆x sin 2 2 ∆x

(13.4)

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

174

emos agora ao c´alculo do limite µ sin lim −2

∆x→0

¶ µ ¶ 2x + ∆x ∆x sin 2 2 . ∆x

Lembre-se que sin x =1 x→0 x lim

ent˜ao µ

¶ µ ¶ 2x + ∆x ∆x sin sin 2 2 µ ¶ lim −2 = ∆x ∆x→0 2 2 ¶ µ   ∆x ¶ ¶¸ µ · µ  sin 2 2x + ∆x  2x + ∆x   ¶ × sin = − sin x = − lim  µ lim 1 × sin  = − ∆x→0 ∆x ∆x→0 2 2 2 Observa¸ c˜ ao 13.3. Segundo a defini¸c˜ ao podemos calcular a derivada de qualquer fun¸c˜ ao, muito embora n˜ao seja t˜ao f´acil para algumas fun¸c˜ oes um pouco mais complicadas. Existem no entanto um conjunto de formulas e regras que ajudam a determina¸c˜ ao da derivada de qualquer fun¸c˜ ao.

13.2

Deriva¸c˜ ao por Tabela

Vamos a seguir apresentar um conjunto de regras que podem ser usadas para a deriva¸c˜ ao, estas regras, auxiliam-se `a tabela de derivadas

13.2.1

Regras de Deriva¸ c˜ ao

Seja x ∈ R,

p ´e uma constante real , f, g, t s˜ao fun¸c˜ oes de x ent˜ ao cumpre-se o seguinte:

1) x0 = 1.

(13.5)

t(x) = xp ⇒ t0 (x) = pxp−1 .

(13.6)

t(x) = pf (x) ⇒ t0 (x) = pf 0 (x).

(13.7)

t(x) = f (x) + g(x) ⇒ t0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x).

(13.8)

t(x) = f (x) × g(x) ⇒ t0 (x) = f 0 (x)g(x) + g 0 (x)f (x).

(13.9)

2)

3)

4)

5)

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6) t(x) =

175

f (x) f 0 (x)g(x) − g 0 (x)f (x) ⇒ t0 (x) = . g(x) g 2 (x)

(13.10)

7) t(x) = f (g(x)) ⇒ t0 (x) = f 0 (g(x))g 0 (x).

13.2.2

(13.11)

Tabelas de Deriva¸ c˜ ao

Seja x ∈ R,

p ´e uma constante real , f, g, t s˜ao fun¸c˜ oes de x ent˜ ao cumpre-se o seguinte:

1) t(x) = p ⇒ t0 (x) = 0. 2) t(x) =

√ 1 x ⇒ t0 (x) = √ , 2 x

x > 0.

3) t(x) = sin x ⇒ t0 (x) = cos x. 4) t(x) = cos x ⇒ t0 (x) = − sin x. 5) t(x) = tan x ⇒ t0 (x) =

1 . cos2 x

6) t(x) = cot x ⇒ t0 (x) = −

1 . sin2 x

1 7) t(x) = arcsin x ⇒ t0 (x) = √ , 1 − x2

(−1 < x < 1).

1 8) t(x) = arccos x ⇒ t0 (x) = − √ , 1 − x2 9) t(x) = arctan x ⇒ t0 (x) =

(−1 < x < 1).

1 . 1 + x2

10) t(x) = arcctgx ⇒ t0 (x) = −

1 . 1 + x2

11) t(x) = ax ⇒ t0 (x) = ax ln a,

(a > 0).

12) t(x) = ex ⇒ t0 (x) = ex ln e = ex . 13) t(x) = ln x ⇒ t0 (x) =

1 , x

14) t(x) = loga x ⇒ t0 (x) =

(x > 0).

1 , x ln a

(x > 0, a > 0).

Exemplo 13.2. Iremos em seguida apresentar alguns exemplos da aplica¸c˜ ao das regras e tabelas de derivadas. 1) Derive y = x5 − 4x3 + 2x − 3 Como estamos na presen¸ca de um polin´omio podemos derivar mon´omio a amon´omio auxiliandonos da regra (13.8) e (13.6) teremos y 0 = 5x4 − 4 × 3x2 + 2 = 5x4 − 12x2 + 2.

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

176

2) Derive y = ax2 − bx + c,

a 6= 0.

derivaremos mon´omio a amon´omio auxiliando-nos da regra (13.8) e (13.6) teremos y 0 = 2ax − b. 2x + 3 − 5x + 5 Estamos na presen¸ca de uma frac¸c˜ ao, auxiliando-nos da regra (13.10) teremos

3) Derive y =

x2

y0 =

−2x2 − 6x + 25 2(x2 − 5x + 5) − (2x − 5)(2x + 3) = . (x2 − 5x + 5)2 (x2 − 5x + 5)2

4) Derive y = 5 sin x − 4 cos x Temos que derivar fun¸c˜oes trigonom´etricas, auxiliamo-nos na regra (13.7) e (13.8), teremos y 0 = 5 cos x − 4 × (− sin x) = 5 cos x + 4 sin x. 5) Derive y = x2 arctan x Auxiliados na regra (13.9) teremos y 0 = 2x arctan x +

x2 . x2 + 1

6) Derive y = x6 ex Trata-se da derivada de producto que cont´em fun¸c˜ ao exponˆencial. Auxilamo-nos a regra (13.9) teremos y 0 = 6x5 ex + x6 ex . 7) Derive y = ex arcsin x Trata-se da derivada de producto que cont´em fun¸c˜ ao exponˆencial e trigonom´etrica. Auxilamonos a regra (13.9) teremos ex y 0 = ex arcsin x + √ . 1 − x2 8) Derive y = ln x lg x Trata-se da derivada de producto que cont´em fun¸c˜ ao logar´ıtmica. Auxilamo-nos a regra (13.9) teremos y0 =

ln x lg x + . x x ln 10

9) Derive y = (1 + 2x)50 Estamos na presen¸ca de uma fun¸c˜ ao composta. Auxilamo-nos a regra (13.11) teremos y 0 = 50(1 + 2x)49 (1 + 2x)0 = 50(1 + 2x)49 2 = 100(1 + 2x)49 .

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µ

3x + 1 5

10) Derive y = teremos

¶4

µ y0 = 4

11) Derive y =

177

3x + 1 5

¶3 µ

3x + 1 5

µ

¶0 =4

3x + 1 5

¶3 µ ¶ µ ¶ 3 12 3x + 1 3 = . 5 5 5

√ 1 − x2

Estamos na presen¸ca de uma fun¸c˜ ao composta. Auxilamo-nos a regra (13.11) teremos (1 − x2 )0 −2x x y0 = √ = √ = −√ . 2 2 2 1−x 2 1−x 1 − x2 12) Derive y = (2 − 3 sin 2x)6 teremos y 0 = 6(2 − 3 sin 2x)5 (2 − 3 sin 2x)0 = 6(2 − 3 sin 2x)5 (−3 cos x)(2x)0 = = −18(2 − 3 sin 2x)5 cos x × 2 = −36(2 − 3 sin 2x)5 cos x. 13) Derive y =

√ 1 − arctan x

teremos

µ

¶ 1 − (1 − arctan x)0 1 + x2 y0 = √ = √ = 2 1 − arctan x 2 1 − arctan x =− µ

14) Derive y = arcsin

x √ 1 + x2

(1 +

1 √ . 1 − arctan x)

x2 )(2

¶

µ

¶0 x √ 1 + x2 y0 = s ¶2 µ x 1− √ 1 + x2

(13.12)

Simplificando esta express˜ao teremos µ y0 =

¶0 x µ ¶0 p √ 2 x 1 + x r = √ 1 + x2 1 1 + x2 1 + x2

(13.13)

Supondo que x y1 = √ 1 + x2 calculamos y10 µ y10 =

x √ 1 + x2

¶0

√ √ (1 + x2 )0 2x2 1 + x2 − x × √ 1 + x2 − √ 2 1 + x2 2 1 + x2 = = 1 + x2 1 + x2

(13.14)

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

178

simplificando esta express˜ao (achando mmc no numerador) teremos y10 =

1 √ 1 + x2

(1 +

x2 )

y0 =

1 1 + x2

Aplicando (13.15) em (13.13) teremos

15) Derive y = arctan ln x Sabendo que (arctan t)0 =

1 ent˜ ao: 1 + t2 y0 =

13.2.3

(ln x)0 1 = 2 1 + ln x x(1 + ln2 x)

Exercicios Propostos

Determine a derivada das seguintes fun¸c˜ oes x 1) y = sin3 5x cos2 3 2) y = −

11 4 − 3 2(x − 2) x−3

3) y = −

15 10 1 − − 5 4 4(x − 3) 3(x − 3) 2(x − 3)2

x7 7(1 − x3 )5 √ 2x2 − 2x + 1 5) y = x x 6) y = √ 2 2x − 2x + 1 x 7) y = √ 2 a a2 + x2

4) y =

x3 8) y = p 3 (1 + x2 )3 2√ 18 √ 9 √ 6 √ 3 3 x2 + x 6 x + x x2 + x3 5 x 3 7 5 13 p p 1 1 10) y = 3 (1 + x3 )8 − 3 (1 + x3 )6 8 5 r 4 x−1 11) y = 4 5 x+3 9) y =

12) y = x5 (b − 3x4 )5 µ ¶ a + bxn k 13) y = a − bxn 14) y =

9 4 2 7 − + − 7(x − 3)4 (x − 3)3 (x + 2)2 (x − 3)3

(13.15)

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√ 15) y = (a − x) a + x p 16) y = (x − a)(x − b)(x − c)(x − d) p √ 17) y = 7 x + 5 x √ 18) y = (2x + 1)(3x − 2) 3x − 5 1 19) y = √ 2ax − x4 √ √ 20) y = ln( 3 1 + ax − 3x) − ln( 1 + ex + loga x) 21) y =

cos3 x(3 cos4 cos5 x − 5) 15

22) y =

(tanx −1)(tan4 x + 7 tan5 x − arctan x) 3 tan3 x

23) y = tan( cos3 x) 24) y =

1 sin x2 2

25) y = sin7 (x − 2 cos x4 ) 26) y = 4 sin x cos2 x2 + sin x2 27) y =

tan3 x − tan x + x 3

cos x 4 + cot x 4 sin4 x 3 p 29) y = a sin2 x + b cos x2 28) y = −

30) y = arctan

x sin α 1 + x cos β

31) y = sinx a √ 6 32) y = eax+b 2

33) y = ecos x √ √ 34) y = cos xa sin x √ 35) y = ln(x + a2 + x2 ) √ √ 36) y = x − 2 x + 2 ln(1 + 5 x 37) y =

x ln3 x

38) y = ln cos 39) y = ln

x−2 x2

(x − a)2 x3 + b

40) y = ln ln ln ln x Observa¸ c˜ ao 13.4.

1)

179

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

180

2) Estudo da Primeira Derivada

(a) Se a primeira derivada de f (x) for posetiva numa regi˜ao do dom´ınio da fun¸c˜ ao f (x), ent˜ ao a fun¸c˜ao ´e crescente nessa regi˜ao. (b) Se a primeira derivada de f (x) for negativa numa regi˜ao do dom´ınio da fun¸c˜ ao f (x), ent˜ ao a fun¸c˜ao ´e decrescente nessa regi˜ao (c) Se a primeira derivada de f (x) for igual a zero num determinado ponto do dom´ınio da fun¸c˜ao f (x), ent˜ao a fun¸c˜ ao atinge um m´ aximo relactivo ou local nesse ponto.

3) Estudo da Segunda Derivada

(a) Se a segunda derivada de f (x) for posetiva numa regi˜ao do dom´ınio da fun¸c˜ ao f (x), ent˜ ao a fun¸c˜ao tem concavidade virada para cima nessa regi˜ao. (b) Se a segunda derivada de f (x) for negativa numa regi˜ao do dom´ınio da fun¸c˜ ao f (x), ent˜ ao a fun¸c˜ao tem concavidade virada para baixo nessa regi˜ao (c) Se a segunda derivada de f (x) for igual a zero num determinado ponto do dom´ınio da fun¸c˜ao f (x), ent˜ao a fun¸c˜ao tem uma inflex˜ ao nesse ponto. Veja os exerc´ıcios resolvidos.

13.3

Exerc´ıcios Resolvidos

1) Consideremos a fun¸c˜ao f (x) = x2 − 1, (a) ache a primeira e segunda derivadas. (b) Estude a monotonia e a concavidade de f (x) Resolu¸ c˜ ao Usando as regras de deriva¸c˜ao teremos f 0 (x) = 2x Vamos esbo¸car no mesmo gr´afico as trˆes fun¸c˜ oes

f 00 (x) = 2

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181

y

x2 − 1 2

x

2x

Figura 13.3: Da Leitura do gr´afico e dos nossos conhecimentos sobre diferencia¸c˜ ao tiramos as seguintes conclus˜oes • A fun¸c˜ao dada ´e quadr´atica com valor de a posetivo (concavidade virada para cima). • A fun¸c˜ao tem um m´ınimo igual a -1 quando x = 0, • A fun¸c˜ao der´ıvada tem zero no ponto onde a fun¸c˜ ao f (x) atinge um extremo relactivo (m´ınimo). • A segunda derivada ´e posetiva e igual a 2, por isso a concavidade da par´abola ´e virada para cima. • A primeira derivada de f (x) ´e negativa no intervalo ] − ∞; 0[ e nesse intervalo a fun¸c˜ ao f (x) ´e decrescente. • A primeira derivada de f (x) ´e posetiva no intervalo ]0; +∞[ e nesse intervalo a fun¸c˜ ao f (x) ´e crescente. 2) Consideremos a fun¸c˜ao f (x) = x3 − 3x2 + 2x, (a) ache a primeira e segunda derivadas. (b) Estude a monotonia e a concavidade de f (x) (c) Determine os seus extremos relactivos Resolu¸ c˜ ao Usando as regras de deriva¸c˜ao teremos f 0 (x) = 3x2 − 6x + 2

f 00 (x) = 6x − 6

Vamos esbo¸car no mesmo gr´afico as trˆes fun¸c˜ oes, f (x), f 0 (x), f 00 (x)

182

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

y

3x2 − 6x + 2 x3 − 3x2 + 2x

x

6x − 6

Figura 13.4: Da Leitura do gr´afico e dos nossos conhecimentos sobre diferencia¸c˜ ao tiramos as seguintes conclus˜oes • A fun¸c˜ao dada ´e c´ ubica e por isso tem 3 raizes, xa = 0, xb = 1, xc = 2. • A fun¸c˜ao derivada f 0 (x) = 3x2 − 6x + 2 tem concavidade virada para cima, tem zeros 1 1 nos pontos x1 = 1 − √ e x2 = 1 + √ onde a fun¸c˜ ao f (x) atinge extremo relactivo 3 3 (m´aximo em x1 ) e (m´ınimo em x2 ). Veja que estes extremos s˜ao mesmo relactivos, pois 1 n˜ao ´e verdade que o m´aximo valor que a fun¸c˜ ao toma ´e atingido em 1 − √ e tamb´em n˜ao 3 1 ´e verdade que o m´ınimo valor que a fun¸c˜ ao toma ´e atingido em 1 + √ . 3 ¶ µ 1 . • A fun¸c˜ao f (x) tem um m´ınimo relactivo (local) igual a f 1 + √ 3 µ ¶ 1 • A fun¸c˜ao f (x) tem um m´aximo relactivo (local) igual a f 1 − √ . 3 • A segunda derivada ´e uma fun¸c˜ ao linear que ´e negativa quando x < 1 onde a concavidade de f (x) ´e virada para baixo. • A segunda derivada ´e posetiva quando x > 1 onde a concavidade de f (x) ´e virada para cima. • No ponto x = 1 a concavidade de f (x) n˜ao est´a virada para cima nem para baixo, dizemos ent˜ao que ´e o ponto de inflex˜ ao, e ´e ai onde f 00 (x) = 0. 3) Fa¸ca o estudo completo da seguinte fun¸c˜ ao y =

x2 − 4 x2 + 1

Resolu¸ c˜ ao Antes de mais vamos recordar que o estudo completo da fun¸c˜ ao ´e um processo constituido por seguintes os: • Determina¸c˜ao do Dom´ınio da fun¸c˜ ao. • Determina¸c˜ao dos zeros da fun¸c˜ ao.

dr. betuel de jesus varela canhanga

183

• Determina¸c˜ao de f 0 (x) e f 00 (x). • Determina¸c˜ao dos zeros da primeira (extremos relactivos) e segunda derivada (pontos de inflex˜ao). • Determina¸c˜ao das assimptotas. • Estudo do sinal (com base no sinal da primeira derivada). • Estudo da concavidade da fun¸c˜ ao (com base no sinal da segunda detivada). • Esbo¸co gr´afico. (a) Determina¸c˜ao do Dom´ınio da fun¸c˜ ao. f (x) =

x2 − 4 , x2 + 1

Df : x ∈ R

veja que o denominador n˜ao ´e igual a zero para qualquer valor de x ∈ R. (b) Determina¸c˜ao dos zeros da fun¸c˜ ao. Para determinarmos os zeros da fun¸c˜ ao teremos f (x) = 0 ⇒

x2 − 4 = 0 ⇒ x2 − 4 = 0 ⇒ x = ±2. x2 + 1

(c) Determina¸c˜ao de f 0 (x) e f 00 (x). i. f 0 (x) =

(x2 − 4)0 (x2 + 1) − (x2 − 4)(x2 + 1)0 2x(x2 + 1) − 2x(x2 − 4) = = (x2 + 1)2 (x2 + 1)2 =

ii.

2x(x2 + 1 − x2 + 4) 10x = 2 2 2 (x + 1) (x + 1)2

£ ¤0 (10x)0 (x2 + 1)2 − 10x (x2 + 1)2 10x = = f (x) = 2 (x + 1)2 (x2 + 1)4 £ ¤ 10(x2 + 1)2 − 10x 2(x2 + 1)2x 10(x2 + 1)2 − 40x2 (x2 + 1) = = = (x2 + 1)4 (x2 + 1)4 00

=

10(x2 + 1)[x2 + 1 − 4x2 ) 10(x2 + 1)(1 − 3x2 ) = (x2 + 1)4 (x2 + 1)4

(d) Determina¸c˜ao dos zeros da primeira derivada (extremos relactivos) e segunda derivada (pontos de inflex˜ao). Vamos determinar os zeros da primeira e segunda derivada i. 10x f 0 (x) = 0 ⇒ 2 = 0 ⇒ 10x = 0 ⇒ x = 0 (x + 1)2 ii. f 00 (x) = 0 ⇒

10(x2 + 1)(1 − 3x2 ) = 0 ⇒ 10(x2 + 1)(1 − 3x2 ) ⇒ 1 − 3x2 = 0 (x2 + 1)4 ⇒ −3x2 = −1 ⇒ x2 =

1 1 ⇒ x = ±√ 3 3

(e) Determina¸c˜ao das assimptotas. i. A fun¸c˜ao dada nao tem assimptotas verticais. Veja que ela tem o dom´ınio x ∈ R. e n˜ao s´o. @a tal que lim f (x) = ∞ x→a

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

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ii. Determinemos as assimptotas horizontais (versos - obl´ıquas) Vamos achar h∞i x2 − 4 f (x) = lim = x→+∞ x x→+∞ (x2 + 1)x ∞

k1 = lim

Procuramos levantar a indetermina¸c˜ ao x2 1 = lim = 0. x→+∞ x x→+∞ x3

k1 = lim

x2 − 4 = 1. x→+∞ x2 + 1

b1 = lim [f (x) − k1 x] = lim x→+∞

dai temos que a assimptota obliqua ´e igual a y = k1 x + b1 = 0x + 1 = 1 neste caso temos o caso particular de assiptota obliqua que ´e (assimptota horizontal). Achemos h∞i f (x) x2 − 4 k2 = lim = lim = x→−∞ x x→−∞ (x2 + 1)x ∞ Procuramos levantar a indetermina¸c˜ ao x2 1 = 0. = lim 3 x→−∞ x x→−∞ x

k2 = lim

x2 − 4 = 1. x→−∞ x2 + 1

b2 = lim [f (x) − k2 x] = lim x→−∞

dai temos que a assimptota obliqua ´e igual a y = k2 x + b2 = 0x + 1 = 1. neste caso temos o caso particular de assiptota obliqua que ´e (assimptota horizontal). Vemos que neste caso, a fun¸c˜ ao tem somente uma assimptota, que ´e a recta y = 1. (f) Estudo do sinal (com base no sinal da primeira derivada). A primeira derivada ´e f 0 (x) =

10x . (x2 + 1)2

Esta fun¸c˜ao ´e negativa a esquerda de zero(f (x) ´e decrescente a direita de zero). f 0 (x) ´e posetiva a direita de zero (f (x) ´e crescente a direita de zero). (g) Estudo da concavidade da fun¸c˜ ao (com base no sinal da segunda detivada). f 00 (x) =

10(x2 + 1)(1 − 3x2 ) (x2 + 1)4

ao estudarmos o sinal desta fun¸c˜ ao vamos somente estudar o sinal de (1 − 3x2 ) pois os outros factores s˜ao sempre posetivos. teremos 1 1 x ∈] − ∞; − √ [∪] √ , +∞[ f 00 (x) < 0 concavidade virada para baixo 3 3 e

1 1 x ∈] − √ ; √ [ f 00 (x) > 0 concavidade virada para cima 3 3

(h) Esbo¸co gr´afico.

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185

y

x

Figura 13.5:

13.4

Exerc´ıcios de Aplica¸c˜ ao

1) Seja dada a fun¸c˜ao f (x) = x2 − x. 0

∆y . ∆x→0 ∆x

(a) Determine f (x) pelo c´alculo de lim

(b) Determine a equa¸c˜ao da tangente ao grafico em (−3, 12). (c) Determine o ponto em que a inclina¸c˜ ao do grafico ´e igual a: i. 4 1 ii. 2 iii. −2 2) Calcule a derivada das fun¸c˜oes seguintes: (a) y = x7

√ (b) y = x2 3 x √ x5 (c) y = √ x x 3) Calcule a inclina¸c˜ao do grafico da fun¸c˜ ao y = x4 nos pontos (2, 16) e (−1, 1). 4) Seja f (x) = x5 . Para que valores de x, a derivada ´e igual a 5) Seja f (x) =

√ x.

5 ? 16

(a) Desenhe o grafico da fun¸c˜ao. (b) Calcule lim f (x) x→0+

0

(c) Investigue lim f (x) x→0+

(d) Determine o ponto de tangencia com a equa¸c˜ ao y = x + 6) Determine as derivadas das fun¸c˜ oes seguintes: 3 1 (a) y = x3 − x2 + 5x 2 4

1 4

˜ o de exames de issa ˜ o ao ensino superior centro de preparac ¸a

186

√ (b) y = (x2 − 5)(x + 2 x) (c) y = (x + 1)(x + 2)(x + 3) √ 1− x √ (d) y = 1+ x 7) Seja f (x) = 2x2 + 2. (a) Determine os pontos de intersec¸c˜ ao do grafico com os eixos de x e dos y. 0

(b) Determine f (x). (c) Determine os pontos do grafico em que a tangente tem coeficiente angular igual a (d) Desenhe o grafico de f . 8) Seja, agora, g(x) = 2x3 + x2 + x + 2. (a) Resonda `as mesmas perguntas que no exercicio anterior. (b) Determine os pontos do grafico em que a tangente ´e paralela a recta y = x. (c) Desenhe o grafico de g. 9) Calcule as derivadas das seguintes fun¸c˜ oes: (a) y = (3x2 − 5x + 8)4 sµ ¶2 1 3 x−3 (b) y = 2 √ 2 (c) y = 9x2 + 4 + √ 9x2 + 4 "µ #2 ¶2 1 (d) y = +x x−1 r x+1 (e) y = x−1 x (f) y = √ x2 + 25 10) Determine a equa¸c˜ao da tangente ao grafico de f (x) para o valor dado de x : (a) f (x) = (3x2 + 1)2 ; x = −1 1 (b) f (x) = ; x=1 (2x − 1)2 11) Das seguintes fun¸c˜oes, determine: (a) os intervalos de varia¸c˜ao da fun¸c˜ ao; (b) as coordenadas dos pontos maximo, minimo e de inflexao. (c) o coeficiente da tangente no ponto de inflexao. i. f (x) = 2 + (x − 1)3 ii. f (x) = x3 − 3x2 + 2 √ iii. f (x) = 3 x x2 iv. f (x) = x−1 (d) Classifique a paridade as fun¸c˜ oes seguintes: i. y = |x|

3 . 2

dr. betuel de jesus varela canhanga

187

1 x x2 − x iii. y = 2 x +1 p iv. y = |x2 + 1| ii. y =

(e) Faca o estudo das seguintes fun¸c˜ oes: i. y = −x3 − 6x2 − 9x x2 − 4 ii. y = 2 x +1 12) Dum rectangulo de cartolina de de 10dm de 16dm faz-se uma caixa (sem tampa) cortando 4 quadrados iguais nos 4 vertices. (a) Determine a derivada da formula do volume. (b) Para que valor do lado dos 4 quadrados recortados o volume ´e maximo e quanto ´e esse volume? (c) Desenhe o grafico do volume em fun¸c˜ ao ao lado dos quadrados referidos anteriormente. 13) Um papel rectangular de area 2m2 vai-se imprimir. As partes que se nao imprimem sao as bordas de 20cm abaixo e acima e as bordas de 15cm e esquerda e a direita. Quais sao as dimensoes do papel para uma area impressa maxima? · · 1 1 2 , +∞ 14) Seja f (x) = x − x; x ∈ 2 4 (a) Determine o dominio e o contradominio da sua fun¸c˜ ao inversa g. (b) No grafico de g situa-se P(p,1). Calcule p. (c) Determine a equa¸c˜ao da tangente ao grafico em p. 15) f (x) = sin x + cos x. (a) Calcule a derivada de f. (b) Determine os zeros de f. (c) Determine os extremos de f. (d) Desenhe o grafico de f. 16) Responda `as mesmas perguntas do exercicio precedente para a fun¸c˜ ao f (x) = sin2 x. 17) f (x) = arctan x. (a) Desesnhe o grafico de f. 1 (b) Calcule as coordenadas dos pontos em que a tangente tem declive igual a . Nn figura, 4 desenhe essas tangentes. (c) Determine os valores possiveis dos coeficientes angulares das tangentes ao grafico de f. 18) Determine as derivadas das seguintes fun¸c˜ oes: (a) y = sin 3x (b) y = − cos(−6x + 3) (c) y = 4 cos2 (3x − 1) (d) y = cos x3 (e) y = arcsin(x2 + 3x)

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1 arccos(3x + 1)) µ ¶−x+7 2 (g) y = 3 (h) y = ln(x − 4) (f) y =

(i) y = log2 (3x + 5) q (j) y = 3 log24 (sin 3x) (k) y = π π (l) y = lg x2 × lg 8 √ √ (m) y = sin ex + sin e x Ensinar ´ e lembrar aos outros que eles sabem tanto, quanto vocˆ e

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