Mastering Physics Hw 5 Ch 14 - Oscillations 5e6u6m

HW 5 Ch 14 ­ Oscillations Due: 11:59pm on Tuesday, October 13, 2015 To understand how points are awarded, read the Grading Policy for this assignment.

PhET Tutorial: Masses & Springs Learning Goal: To understand how the motion and energetics of a weight attached to a vertical spring depend on the mass, the spring constant, and initial conditions. For this tutorial, use the PhET simulation Masses & Springs. You can put a weight on the end of a hanging spring, stretch the spring, and watch the resulting motion.

Start the simulation. When you click the simulation link, you may be asked whether to run, open, or save the file. Choose to run or open it. You can drag a weight to the bottom of a spring and release it. You can put only one weight on any spring. With the weight on the spring, you can click and drag the weight up or down and release it. Adjusting the friction slider bar at top right increases or decreases the amount of thermal dissipation (due to air resistance and heating of the spring). You can adjust the spring constant of spring #3 using the softness spring 3 slider bar. The horizontal dashed line as well as the ruler can be dragged to any position, which is helpful for comparing positions of the springs. Feel free to play around with the simulation. When you are done and before starting Part A, set the friction slider bar to the middle and the gravitational acceleration back to "Earth".

Part A Place a 50 g weight on spring #1, and release it. Eventually, the weight will come to rest at an equilibrium position, with the spring somewhat stretched compared to its original (unweighted) length. At this point, the upward force of the spring balances the force of gravity on the weight. With the weight in its equilibrium position, how does the amount the spring is stretched depend on the mass of the weight? ANSWER: The spring stretches less for a heavier weight. The spring stretches more for a heavier weight. The stretch does not depend on mass. Typesetting math: 100%

Correct Since the force of gravity on the weight increases as the mass increases, the upward force of the spring must increase for the two forces to balance (and the weight to therefore be in equilibrium). The force the spring exerts on the weight increases the more the spring is stretched from its unweighted length.

Part B Use the simulation to estimate the masses of the three colored, unlabeled weights. Then, place them into the appropriate mass bins.

Hint 1. How to approach the problem You learned in Part A that a heavier weight stretches the spring more at the equilibrium position. Compare the equilibrium positions for each of the colored weights to those for the weights with labeled masses. You might want to  that the three springs all stretch the same amount for a particular weight, so you can compare the equilibrium positions simultaneously.

ANSWER:

Correct

Part C Recall that in the equilibrium position, the upward force of the spring balances the force of gravity on the weight. Use this concept to estimate the spring constant k  of spring #1. Express your answer in N/m  to one significant figure.

Hint 1. How to approach the problem The spring constant k  is used in Hooke’s law for the force exerted by the spring: F = −kx, where x is the amount the spring is stretched. When the spring is stretched to the equilibrium position, the force exerted by the spring pulling up on the weight is equal to the force of gravity pulling down. Use this relationship to solve for k . ANSWER: k

 =  10   N/m   

Correct

Part D Now, for parts D­F, you’ll investigate the energetics of the spring. Select 1 in the Show Energy of box, which shows an energy bar diagram. Select the g = 0 option (under the planet names), which simulates what happens without any gravitational forces (and consequently removes gravitational potential energy from the energetics). Adjust the friction slider to none (this prevents any thermal energy from being generated). Place a weight on spring #1, stretch it, and release it. Watch how the kinetic energy and elastic potential energy vary with time. (You can slow down or stop time using the buttons next to the list of planets.) When is the elastic potential energy of the spring a maximum? ANSWER:

When the spring isn’t stretched or compressed When the spring is most stretched When the spring is most compressed Both when the spring is most compressed and when the spring is most stretched

Correct The elastic potential energy depends on the magnitude of the change in the length of the spring. Mathematically, the elastic potential energy is given by Uelas = (1/2)kx2 , where k  is the spring constant and x is the difference between the length of the spring and its unweighted length. A compression of x therefore results in the same elastic potential energy as a stretch of x.

Part E When is the kinetic energy of the mass a maximum? ANSWER: When the spring is most compressed Both when the spring is most compressed and when the spring is most stretched When the spring is most stretched When the spring is at its unweighted length (when it isn’t stretched or compressed)

Correct The total energy of the system is equal to the kinetic energy of the mass (since the spring has negligible mass) plus the elastic potential energy. Since this total energy is conserved, the kinetic energy is a maximum when the elastic potential energy is a minimum, which occurs when the spring is at its unweighted length.

Part F Select Earth in the menu box so that there is now a force of gravity. Now the total energy of the mass/spring system is the sum of the kinetic energy, the elastic potential energy, and the gravitational potential energy. When is the kinetic energy a maximum? (It may help to watch the simulation in slow motion ­ 1/16 time.) ANSWER: When the spring is at its unweighted length (its equilibrium position without the weight attached) When the mass is at the equilibrium position When the spring is most stretched or most compressed

Correct The total potential energy (the gravitational potential energy plus elastic potential energy) is a minimum at the equilibrium position, even though there is some elastic potential energy when the mass is at this location. The kinetic energy is always a maximum when the total potential energy is a minimum (since the total energy is conserved).

Part G Now, for parts G­I, you’ll investigate what determines the frequency of oscillation. For these parts, turn off the friction using the slider bar. Select the stopwatch, and time how long it takes for a weight to oscillate back and forth 10 times. The period of oscillation is this time divided by 10. The frequency of oscillation is one divided by the period. How does the frequency of oscillation depend on the mass of the weight? ANSWER:

The frequency increases as the mass increases. The frequency is independent of the mass. The frequency decreases as the mass increases.

Correct A greater mass results in a lower frequency and a longer period of oscillation.

Part H The amplitude of oscillation is the maximum distance between the oscillating weight and the equilibrium position. Determine the frequency of oscillation for several different amplitudes by pulling the weight down different amounts. How does the frequency depend on the amplitude of oscillation? ANSWER: The frequency increases as the amplitude increases. The frequency decreases as the amplitude increases. The frequency is independent of the amplitude.

Correct Even though the weight has to travel farther each oscillation if the amplitude is greater, the spring on average exerts a stronger force, causing a greater acceleration and a greater average speed. The effects of the longer distance and faster speed cancel out so that the period of oscillation doesn’t change!

Part I The spring constant of spring #3 can be adjusted with the softness spring 3 slider bar (harder means a greater spring constant, or stiffer spring). How does the frequency of oscillation depend on the spring constant?

Hint 1. How to approach the problem You can place a weight on spring #3 with the softness of spring 3 set to a very low (soft) value and place another weight with the same mass on spring #1. Then, release the two weights and compare their frequencies of oscillation. ANSWER: The frequency increases as the spring constant increases. The frequency is independent of the spring constant. The frequency decreases as the spring constant increases.

Correct − −−−−

It turns out that the frequency of oscillation depends on the square root of the ratio of the spring constant to mass: f = √ (k/m) /2π , where f is the frequency. A stiffer spring constant causes the frequency to increase. Sports cars use stiff springs, whereas large plush Cadillacs use soft springs for their suspension.

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PhET Tutorial: Pendulum Lab Learning Goal: To understand the relationships of the energetics, forces, acceleration, and velocity of an oscillating pendulum, and to determine how the motion of a pendulum depends on the mass, the length of the string, and the acceleration due to gravity.

For this tutorial, use the PhET simulation Pendulum Lab. This simulation mimics a real pendulum and allows you to adjust the initial position, the mass, and the length of the pendulum.

Start the simulation. You can drag the pendulum to an arbitrary initial angle and release it from rest. You can adjust the length and the mass of the pendulum using the slider bars at the top of the green . Velocity and acceleration vectors can be selected to be shown, as well as the forms of energy. Feel free to play around with the simulation. When you are done, click the Reset button.

Part A Select to show the energy of pendulum 1. Be sure that friction is set to none. Drag the pendulum to an angle (with respect to the vertical) of 30∘ , and then release it. When the pendulum is at−30∘ , what form(s) of energy does it have? Check all that apply. ANSWER: Kinetic energy Thermal energy Potential energy

Correct The pendulum starts off with no kinetic energy since it is released from rest, so it initially only has potential energy. When the pendulum is at ∘ −30 , it is just as high above the ground as when it started, so it must have the same amount of potential energy as it initially had. Since the total energy is conserved, it can’t have other forms of energy at−30∘  (if it did, it would have more energy there than it initially had) so it again has only potential energy.

Part B Drag the pendulum to an angle (with respect to the vertical) of 30∘ , and then release it. Where is the pendulum swinging the fastest? ANSWER: at 15∘ at−30∘ at 0∘ at 30∘

Correct The pendulum has the least potential energy at this location since it is at the lowest point in the arc (in fact, for this simulation, the potential energy reference location is here, so it has no potential energy). This means that the kinetic energy is greatest here, so the pendulum is moving the fastest.

Part C ∘

30

Drag the pendulum to an angle (with respect to the vertical) of 30∘ , and then release it. Select to show the acceleration vector. With the pendulum swinging back and forth, at which locations is the acceleration equal to zero? ANSWER: The acceleration is zero when the angle is either+30∘  or−30∘ . The acceleration is zero when the angle is 0∘ . The acceleration is never equal to zero as it swings back and forth.

Correct The pendulum is moving in a circular path so its velocity is never constant. In fact, for most locations, the acceleration has both a radial component (the centripetal acceleration, which is directed along the rope) and a tangential component (due to the speed changing, directed along the path; the only place the tangential acceleration is zero is when the angle is 0∘ ).

Part D With the pendulum swinging back and forth, how does the tension of the rope compare to the force of gravity when the angle is 0∘ ?

Hint 1. How to approach the problem Look at the direction of the acceleration when the angle is 0∘  (you can slow down or pause the simulation to see this more clearly), and think about the relationship between the net force acting on the pendulum and the acceleration (Newton’s 2nd law of motion). It would probably help to draw a free­body diagram for the mass. ANSWER: The tension is equal to the force of gravity. The tension is greater than the force of gravity only if it is swinging really fast. The tension is less than the force of gravity. The tension is greater than the force of gravity.

Correct Since the acceleration of the pendulum is directed up when the angle is 0∘ , the net force must be directed up (Newton’s 2nd law). This means that the upward force of tension must be stronger than the downward force of gravity.

Part E Drag the pendulum to an angle (with respect to the vertical) of 90∘ , and then release it. With the pendulum swinging back and forth, where is the tension equal to zero? ANSWER: The tension is zero at the angles +90∘  and−90∘ . The tension is zero when the angle is +45∘  and −45∘ . The tension is zero when the angle is 0∘ . The tension is never zero.

Correct At these locations, the acceleration is solely due to gravity and directed downward. Thus, the net force acting on the pendulum is also directed downward, meaning there are no horizontal forces. This requires the tension to be zero.

Part F Now, for parts F­I, you will investigate how the period of oscillation depends on the properties of the pendulum. The period of oscillation is the amount of time it takes for the pendulum to take a full swing, going from the original angle to the other side, and

returning to the original angle. You can determine the period by selecting other tools, which gives you a stopwatch. With the pendulum swinging, you can start the stopwatch when the pendulum is at its original angle and time how long it takes to complete 10 swings. The period will be this time interval divided by 10 (this method is more accurate than trying to time one swing). Set the length of the pendulum to 1.0 m and the mass to 1.0 kg . Click Reset, and then drag the pendulum to an angle (with respect to the vertical) of  ∘ 30  and release it. What is the period of oscillation? ANSWER: 4.0 s 1.5 s 20.0 s 2.0 s 1.0 s 0.5 s

Correct A 1.0­m/1.0­kg  pendulum completes one oscillation in 2.0 s .

Part G How does the period of oscillation depend on the initial angle of the pendulum when released? (Be sure to measure the period for initial angles much greater than 30∘ .) ANSWER: The period is longer when the initial angle is greater. The period is shorter when the initial angle is greater. The period is independent of the initial angle.

Correct Unlike a harmonic oscillator such as a mass on a spring, the period actually depends on the initial angle. For small angles (e.g.,< pretty good approximation that the period doesn’t change, but for larger angles the period does in fact increase.

∘

30

), it is a

Part H Keeping the length of the pendulum fixed, determine the period for a few different masses. (Alternatively, you can set up two pendulums by selecting Show 2nd pendulum. Adjust the lengths to be the same, and have one pendulum with a higher mass. You can release one and then release the other, with the same angle, when the first one is back at that angle.) How does the period of the pendulum depend on mass? ANSWER: A heavier pendulum has a shorter period. The period is independent of the pendulum’s mass. A heavier pendulum has a longer period.

Correct The period of a pendulum does not depend on mass. The reason for this result is very similar to the reason that, without air resistance, all objects fall to the ground at the same rate (changing the mass changes both the inertia and the force of gravity by the same amount).

Part I Now, keep the mass fixed to any value you choose and measure the period for several different pendulum lengths. How does the period of the pendulum depend on the length? ANSWER:

A longer pendulum has a shorter period. A longer pendulum has a longer period. The period is independent of the length of the pendulum.

Correct A longer length causes the period to increase. In fact, as you can  with the stopwatch, the period of oscillation is proportional to the square root of the length; if you increase the length from 0.5 m to 2.0 m, the period doubles.

Part J Now, change the planet where the experiment takes place to see how the period of oscillation depends on the acceleration due to gravity, g  (on Earth,  g ≈ 10 m/s/s;  g  is larger than this value on Jupiter and smaller than this value on the Moon). How does the period of oscillation depend on the value of g ? ANSWER: The period of oscillation is independent of the value of g . The period of oscillation is longer on planets with a higher value of g . The period of oscillation is shorter on planets with a higher value of g .

Correct A higher value of g  gives rise to greater accelerations, more energy, and thus greater average speeds. In fact, for small angles of oscillation, the − −− period is inversely proportional to the square root of g ; T ∝ √ L/g , where L is the length and T  is the period.

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Problem 14.50 It has recently become possible to "weigh" DNA molecules by measuring the influence of their mass on a nano­oscillator. Figure shows a thin rectangular cantilever etched out of silicon (density 2300 kg/m3 ) with a small gold dot at the end. If pulled down and released, the end of the cantilever vibrates with simple harmonic motion, moving up and down like a diving board after a jump. When bathed with DNA molecules whose ends have been modified to bind with gold, one or more molecules may attach to the gold dot. The addition of their mass causes a very slight­but measurable­decrease in the oscillation 1 1 frequency. A vibrating cantilever of mass M  can be modeled as a block of mass  3 M  attached to a spring. (The factor of  3  arises from the moment of inertia of a bar pivoted at one end.) Neither the mass nor the spring constant can be determined very accurately­perhaps to only two significant figures­but the oscillation frequency can be measured with very high precision simply by counting the oscillations. In one experiment, the cantilever was initially vibrating at exactly 13 MHz . Attachment of a DNA molecule caused the frequency to decrease by 57 Hz .

Part A What was the mass of the DNA?

Express your answer to two significant figures and include the appropriate units. ANSWER: m DNA

 =  4.4*10^­21 kg

All attempts used; correct answer withheld by instructor

Problem 14.80 The figure shows a 240 g uniform rod pivoted at one end. The other end is attached to a horizontal spring. The spring is neither stretched nor compressed when the rod hangs straight down.

Part A What is the rod's oscillation period? You can assume that the rod's angle from vertical is always small. Express your answer to two significant figures and include the appropriate units. ANSWER: T

 =  0.60 s

Correct

Problem 14.58 A geologist needs to determine the local value of g . Unfortunately, his only tools are a meter stick, a saw, and a stopwatch. He starts by hanging the meter stick from one end and measuring its frequency as it swings. He then saws off 20 cm—using the centimeter markings—and measures the frequency again. After two more cuts, these are his data:  Length, L

(cm)

Frequency, f

100

0.61

80

0.67

60

0.79

40

0.96

(Hz)

Part A You want to determine the local value of g  by graphing the data. Select the appropriate variables to graph on each axis that will produce a straight­line graph with either a slope or intercept that is related to g . Sort all variables into the appropriate bins.

Hint 1. How to approach the problem I

L

A physical pendulum has moment of inertia I  and distance L between the pivot and the center of mass. Its oscillation frequency is ANSWER:

f = f =

1

M gL

2π

I

1

I

2π M gL

− − − − f =

f =

1

√

2π

1 2π

M gL I

− − − − √

I

M gL

ANSWER:

Correct

Part B

  2

2

2

Graphing either f  versus 1/L  or 1/L  versus f  gives a straight line. In the graph shown, we chose to plot f  on the vertical axis and 1/L  on the horizontal axis. From the equation for the line of best fit given, determine the local value of g . Express your answer to three significant figures and include the appropriate units. ANSWER:

g

m

 =  9.76  s

2

Correct

Conceptual Question 14.10 Suppose the damping constant b of an oscillator increases.

Part A Is the medium more resistive or less resistive? ANSWER: The medium is more resistive. The medium is less resistive.

Correct

Part B Do the oscillations damp out more quickly or less quickly? ANSWER: The oscillations will damp out more quickly. The oscillations will damp out less quickly.

Correct

Part C Is the time constant τ  increased or decreased? ANSWER: τ

 is increased.

τ

 is decreased.

Correct

Problem 14.32 The two graphs in the figure are for two different vertical mass­spring systems.

Part A If both systems have the same mass, what is the ratio k A /k B  of their spring constants? ANSWER: k A /k B

 =  2.25

Correct

Problem 14.31 The figure is the position­versus­time graph of a particle in simple harmonic motion. 

Part A What is the phase constant? ANSWER: ϕ

ϕ

ϕ ϕ

0

0

0

0

π

=

=

rad

3

 

2π 3

= −

 

rad 2π 3

= 0 rad

Correct

rad

Part B What is the velocity at t = 0s ? Express your answer with the appropriate units. ANSWER: v(0)

 =  ­13.6 

cm s

Correct

Part C What is v max ? Express your answer with the appropriate units. ANSWER: v max

 =  15.7 

cm s

Correct

Problem 14.37

Part A 1

When the displacement of a mass on a spring is   A, what percentage of the energy is kinetic energy? 2

ANSWER: 75.0   %  

Correct

Part B At what displacement, as a fraction of A, is the energy half kinetic and half potential? ANSWER: 0.707

Correct Score Summary: Your score on this assignment is 86.7%. You received 7.81 out of a possible total of 9 points.