Matematica 1a12h

Ejercicios de Integración y Autoevaluación

MATEMATICA

B

Educación Adultos 2000 0800-999-33822

www.buenosaires.gov.ar/educacion/comunidad/adultos2000

Material de distribución gratuita

gobBsAs SECRETARÍA DE EDUCACIÓN

Programa Educación Adultos 2000 Coordinador pedagógico: Lic. Roberto Marengo Equipo técnico-pedagógico: Lic. Valeria Cohen Lic. Daniel López Lic. Norma Merino Lic. Noemí Scaletzky Lic. Alicia Zamudio Matemática B Coordinador/a: Prof. Dora Guil Prof. Ernesto Maqueda Equipo docente: Prof. Carlos Battilana Prof. Matías Bruzzoni Prof. Silvia García Bonelli Prof. Nora Di Lascio Prof. Gerardo Feres Prof. Claudio Mayayo Prof. Claudia Mazzeo Prof. Susana Muñoz Prof. Gabriela Otero Asesor de alumnos: Lic. María Alem Lic. Fernando Piquero

Guía de estudios Matemática B Coordinación de la producción y edición: Lic. Norma Merino Lic. Noemí Scaletzky Especialistas en contenidos: Prof. Dora Guil Prof. Ernesto Maqueda Procesamiento didáctico: Lic. Betina Akselrad Lic. Alejandra Amantea Supervisión legal: Dra. Fabiana Leonardo Diseño gráfico y diagramación: Juan Carlos Badino

Ejercicios de Integración y Autoevaluación

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EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

Indice

MATEMATICA

PRESENTACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN. UNIDAD 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN. UNIDAD 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN. UNIDAD 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN. UNIDAD 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN. UNIDAD 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN. UNIDAD 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51 EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN. UNIDAD 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 AUTOEVALUACIÓN INTEGRADORA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 ORIENTACIONES SOBRE LA AUTOEVALUACIÓN INTEGRADORA . . . . . . . . . . . . . . .73

Matemática B • INDICE

3

4


Presentación

MATEMATICA

En este anexo de la Guía de estudio de Matemática B le presentamos:

• los enunciados de los Ejercicios de integración correspondientes a cada unidad del Programa. • la Autoevaluación integradora de la materia. En cada una de las unidades de la Guía de estudio le propusimos resolver una serie de actividades. A través de ellas usted fue incorporando los conceptos matemáticos correspondientes a cada unidad. Al finalizar el trabajo de incorporación de los conceptos, le indicamos, para completar el estudio de la unidad, la resolución de los ejercicios de integración. La resolución de los ejercicios de integración le permitirá hacer una síntesis de los temas trabajados en la unidad; aplicar los conceptos y la simbología estudiados a la resolución de nuevas situaciones; vincular entre sí los conceptos trabajados y profundizar el tratamiento de algunos contenidos. Además, en algunas unidades, trabajaremos en estos ejercicios, aspectos de los contenidos de la unidad que aún no fueron tratados en las actividades propuestas en la Guía de estudio. La resolución de los ejercicios también le dará la oportunidad de decidir si está en condiciones de continuar avanzando con el estudio de la unidad siguiente o si todavía necesita detenerse un tiempo más en la unidad que está estudiando. En este último caso deberá retomar aquellas cuestiones que no haya podido resolver o en las que sienta que aún tiene dificultades. Recuerde lo que le decíamos en la presentación de la guía sobre el albañil que coloca los ladrillos de manera desordenada porque trabaja rápido: al final de la obra sólo conseguirá una pared torcida que a la larga le requerirá mucho más tiempo y mucho más trabajo. No deje de resolver los ejercicios de integración correspondientes a cada unidad antes de avanzar con el estudio de la unidad siguiente. Un estudio completo de una unidad requiere la realización de estos ejercicios. También incluimos en este anexo una Autoevaluación Integradora. Usted debe resolver esta evaluación al finalizar el trabajo propuesto en toda la materia. La resolución de las actividades propuestas en la evaluación le permitirá indagar su situación en relación con la materia completa; integrar algunos de los conceptos trabajados a lo largo de todo el programa; saber si ha aprendido todos los contenidos de la materia, o si necesita retomar alguno de ellos antes de presentarse a rendir examen; tener indicadores claros sobre cuáles son aquellos contenidos o símbolos matemáticos que aún debe revisar y retrabajar con la guía antes de dar por finalizado el estudio de la materia. Tampoco deje de realizarla. Al finalizar su resolución usted podrá comparar sus respuestas con las que le damos al término de los enunciados de las actividades de Autoevaluación. Matemática B • PRESENTACIÓN

5

6


MATEMATICA EJERCICIO N° 1

El siguiente cuadro se refiere al tema “Función cuya fórmula es la ecuación de una recta”. Complételo en todos los casos en que falten datos. Los cuadrados sombreados no deben completarse.

Ejemplos Vocabulario

En situaciones concretas

Numéricos

Una pileta que tiene 2 litros a la “hora 0” empieza a llenarse a razón de 3 litros por minuto durante 10 minutos

f: [0;3] à [-7;-1]/ y= f(x) = -2x - 1

Simbología

f: R à R/ y = f(t) = mt + b

Función lineal Ecuación de la recta Pendiente Ordenada al origen

EJERCICIO N° 2 Don Gregorio es repartidor de plaguicidas líquidos en el campo. Lleva los plaguicidas desde la fábrica hasta las granjas, chacras y estancias de sus clientes. Cobra $ 3 por cada litro de plaguicida, y por el servicio a domicilio cobra $ 4. Por limitaciones legales en el medio de transporte no puede llevar más de 100 litros por viaje. 1. ¿Cuánto le cobra Don Gregorio a un cliente que le compra 17 litros de plaguicida? 2. ¿Cuánto le cobra a un cliente que le pide 65 litros? 3. ¿Y a uno que le pide 30,5 litros? 4. Pasa una vez por mes por el establecimiento de cada cliente. Si un mes, al visitar a un cliente, este le dice que no necesita plaguicida, ¿cuánto le cobra? 5. ¿Y si un cliente le pide 100 litros? 6. Si llamamos x a la cantidad de litros de plaguicida que compra un cliente de Don Gregorio y llamamos y al importe a pagar por dicha compra, escriba una fórmula que le permita calcular y a partir de x. Matemática B • EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN UNIDAD 1

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UNIDAD 1

Ejercicios de integración

7. Defina una función f que describa la situación concreta planteada. Es decir, la función que relaciona la cantidad de plaguicidas que puede vender Don Gregorio a cada cliente con el importe a pagar. 8. Dé el dominio de la función que definió en el ítem 7. 9. Si por una compra un cliente le paga $ 46 a Don Gregorio, ¿cuántos litros de plaguicida compró? 10. Para la función definida en el item 7, halle f(65) y f -1(46). 11. Represente la función f en un sistema de ejes coordenados cartesianos. 12. A partir del gráfico que hizo en el ítem anterior, dé el conjunto imagen de dicha función. EJERCICIO N° 3 Don Hilario, amigo de Don Gregorio, se dedica a repartir palas en el campo. Lleva las palas desde la fábrica hasta las granjas, chacras y estancias de sus clientes. Cobra $ 3 por cada pala, y por el servicio a domicilio cobra $ 4. Por limitaciones de espacio en el medio de transporte no puede llevar más de 100 palas. 1. ¿Cuánto le cobra Don Hilario a un cliente que le compra 17 palas? 2. ¿Cuánto le cobra a un cliente que le pide 65 palas? 3. Y a uno que le pide 30,5 palas, ¿qué le dice? 4. Defina una función g que describa la situación concreta planteada. Es decir, la función que relaciona la cantidad de palas que puede vender Don Hilario a cada cliente con el importe a pagar. 5. Dé el dominio de la función que definió en el ítem 4. 6. Represente la función que definió en el item 4 en un sistema de ejes coordenados cartesianos. 7. Dé el conjunto imagen de dicha función expresado en lenguaje coloquial. 8. Identifique semejanzas y diferencias entre las respuestas que usted dio en este ejercicio y las que dio en el ejercicio anterior.

8


EJERCICIO N° 4 El siguiente gráfico muestra la evolución de la temperatura (en °C) de un paciente de un centro médico desde el comienzo de su tratamiento, considerado con t = 0, hasta su alta.

y=ƒ(t) (en ºC)

t (horas)

1. ¿Cuánto tiempo este paciente estuvo bajo tratamiento? 2. Si el gráfico anterior representa a la función que relaciona el tiempo con la temperatura del paciente, ¿cuál es el dominio de dicha función? 3. Si llamamos f a la función que relaciona el tiempo con la temperatura del paciente, dé los valores de f(20), f(0), f(50). 4. Determine, si existen, los valores de las preimágenes de 40, 38 y 36. 5. ¿Cuál es el conjunto imagen de la función f? 6. Indique los intervalos de crecimiento de la función f. 7. El paciente recibe una medicación para disminuir su fiebre. Indique en qué períodos le hace efecto. 8. Indique cuándo la temperatura del paciente fue mínima. ¿Cuál fue esa temperatura? 9. ¿Está de acuerdo con que se le haya dado el alta al paciente?

Matemática B • EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN UNIDAD 1

9

EJERCICIO N° 5 En el siguiente gráfico se ha representado la demanda d de un producto en función del precio p de venta por unidad de dicho producto.

d (Kg)

p ($)

1. Cuando el precio de venta de cada unidad del producto es de $ 1, o sea p = 1, ¿qué cantidad d del producto es demandado? 2. Si el precio de venta es de 6 pesos la unidad, ¿cuál es la demanda? 3. Si aumenta el precio de venta unitario, ¿qué ocurre con la demanda? 4. ¿A qué velocidad disminuye la demanda? 5. Encuentre una fórmula que permita calcular la demanda d para cada precio de venta unitario p. 6. Escriba una función que describa la situación concreta planteada.

EJERCICIO N° 6 Un móvil se desplaza de manera que la posición y (en metros) en función del tiempo t (en minutos) está dada por la función r:[0 ; 10] à R / y = 2t + 5 1. Represente gráficamente la función r. 2. ¿Con qué velocidad se desplaza el móvil? 3. ¿Cuál es su posición inicial? (O sea la posición del móvil en t = 0). 4. Indique la pendiente y la ordenada al origen de la recta cuya ecuación es: y = 2t + 5

10


EJERCICIO N° 7 Un tanque de agua que contiene 10 litros se desagota a razón de 4 litros por minuto. 1. Exprese la fórmula que permite calcular la cantidad y de litros que tiene el tanque en cada instante t (en minutos). 2. Escriba la función f que describe la situación planteada.

EJERCICIO N° 8 Dada la recta de ecuación 1. Determine si los siguientes puntos pertenecen a la recta: (-4 ; -8), (0 ; 0), ( (8 ; 1).

1 ; -5), 3

2. Encuentre otros dos puntos que pertenezcan a la recta. 3. Represente gráficamente la recta. 4. Escriba la ecuación de una recta paralela a la recta dada. 5. Escriba la ecuación de una recta perpendicular a la recta dada. 6. Determine el conjunto de ceros de la función f: R à R /

.

7. Determine los intervalos de positividad y negatividad de la función anterior.

EJERCICIO N° 9 Escriba, a partir de sus representaciones gráficas, las ecuaciones de cada una de las siguientes rectas:

y

y

y

x

x


x

11

y

y

y

x

x

x

EJERCICIO N°10 Determine en cada caso, la ecuación de una recta que verifique las siguientes condiciones: 1. Una recta de pendiente –2 que pase por el punto (0 ; 5). 2. Una recta de pendiente –2 que pase por el punto

.

3. Una recta de ordenada al origen 3 y que pase por el punto

.

4. Una recta paralela a la del ítem 3 que corte al eje x en x = 5. 5. Una recta perpendicular a la del item 4 que tenga su misma ordenada al origen.

EJERCICIO N°11 El propósito de este ejercicio consiste en favorecer la construcción de una especie de “mapa” del recorrido por la Unidad. Le proponemos que: 1. Busque en la Guía de estudio el programa de Matemática B. 2. Lea los contenidos de la Unidad y para cada uno de ellos identifique: a. ¿En qué actividades de la Guía de estudio fue tratado ese contenido? b. ¿En qué parte del libro de texto que usted ha consultado (capítulo, situación y / o páginas) fue tratado? 3. Confeccione un cuadro con el encabezado que le damos a continuación y complételo teniendo en cuenta lo que pensó en el ítem 2. Contenidos de la Unidad

12

Actividades de la Guía de estudio


Referencia del Libro

4. Relea los Propósitos de la Unidad 1. ¿Cree que ha logrado lo que ahí le proponemos? • Si su respuesta es afirmativa en todos los casos, puede empezar a estudiar la Unidad 2. • Si su respuesta es negativa en alguno de los casos, busque cuáles son los contenidos involucrados en dichos propósitos y rehaga las actividades que trataron esos contenidos. •

Le servirá de ayuda el cuadro que confeccionó en el ítem 3. de este ejercicio.

El trabajo que ha realizado le será de gran utilidad por dos razones fundamentales: • Lo ayudará, a través del cuadro que usted completó, a tener ubicados los temas para realizar el repaso o revisión que necesite. • Lo ayudará a identificar sus logros y dificultades promoviendo la reflexión sobre su propio proceso de aprendizaje teniendo en cuenta los propósitos de la Unidad. Por esto le aconsejamos especialmente que realice este ejercicio.

En las próximas unidades, al finalizar los ejercicios de integración, encontrará un ejercicio con propósitos similares a este que le permitirá realizar la revisión de cada una de ellas.


13

14


MATEMATICA EJERCICIO N° 1

Complete el siguiente cuadro: Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Interpretación gráfica

Conjunto solución Tipo de sistema de acuerdo a la solución

Compatible indeterminado

EJERCICIO N° 2 Resuelva cada uno de los sistemas que le indicamos a continuación utilizando los 2 métodos no gráficos vistos en el libro (igualación y sustitución). Indique en cada caso el conjunto solución.

EJERCICIO N° 3 Resuelva cada uno de los siguientes problemas. Para ello, plantee en cada caso un sistema de ecuaciones cuya resolución le permita dar respuesta al problema. 1. Hoy un juego de muebles de dormitorio vale $ 720 y su precio aumenta a razón de $ 10 por mes. Ignacio tiene posibilidad de ahorrar $ 50 por mes y hoy tiene $ 80. ¿Cuántos meses tendrá que esperar para poder comprar ese juego de muebles? ¿Cuánto costarán los muebles entonces? 2. En un partido de básquet, el equipo Embogol anotó 3 tantos menos del doble de lo que anotó el equipo Errogol. En el partido hubo 156 tantos. ¿Cuál fue el resultado del partido?


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UNIDAD 2


3. En una librería, una carpeta cuesta $ 2 y un cuaderno vale $ 3. Por compras al por mayor, se hace un descuento de $ 10. Los padres de los alumnos de un curso se organizan para realizar una compra comunitaria y beneficiarse con el descuento. En total, deben comprar 60 artículos y recaudaron $ 128. ¿Cuántas carpetas y cuántos cuadernos podrán comprar usando exactamente el dinero recaudado?

EJERCICIO N° 4 Verifique que S = {(2 ; 6)} es el conjunto solución del sistema de ecuaciones que se da a continuación:

EJERCICIO N° 5 En el siguiente sistema de ecuaciones

a

falta determinar el valor de a. Halle

el valor de a para que el conjunto solución del sistema dado sea S = {(2 ; 3)}.

EJERCICIO N° 6 1. En la Unidad 1, usted describió el comportamiento de piletas de natación que se llenaban o vaciaban usando ecuaciones lineales. Imagine que en cada uno de los sistemas dados a continuación, cada ecuación representa la cantidad y de litros de agua que tiene una pileta en cada instante x, en minutos.

Indique y justifique: a. ¿En qué casos las piletas se llenan a igual velocidad y en cuáles no? b. Si en algún caso, las piletas • tienen igual cantidad de agua para cada instante x. • en ningún instante x tienen igual cantidad de agua. • tienen igual cantidad de agua para un solo instante x. c. En la situación concreta planteada, ¿qué representa la solución del sistema de ecuaciones?

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2. a. Indique la pendiente y la ordenada al origen de cada una de las rectas que representan las ecuaciones de los sistemas dados en el ítem 1. b. Describa, sin representar, cómo son entre sí las rectas que representan las ecuaciones de cada uno de los sistemas. c. Si no pudo contestar lo que se pide en el ítem b., o si quiere verificar lo que respondió, represente las rectas cuyas ecuaciones se dan en cada sistema. (Haga un gráfico para cada sistema). d. A partir de lo que respondió en el ítem b. o en el ítem c., clasifique los sistemas dados de acuerdo al tipo de solución.

EJERCICIO N° 7 1. Compruebe si el par (1 ; 3) pertenece al conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones; a.

-2x + y = 1 2x + y = 5

b.

y - 2x = 1

c.

2y - 4x = 2

y - 2x = 1 2y - 4x = 4

2. Indique, para cada uno de los sistemas dados, si se trata de un sistema compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.

EJERCICIO N° 8 El propósito de este ejercicio consiste en favorecer la construcción de una especie de “mapa” del recorrido por la Unidad. Le proponemos que: 1. Busque en la Guía de estudio el programa de Matemática B. 2. Lea los contenidos de la Unidad 2 y para cada uno de ellos identifique: a. ¿En qué actividades de la Guía de estudio fue tratado ese contenido? b. ¿En qué parte del libro de texto que usted ha consultado (capítulo, situación y / o páginas) fue tratado? 3. Confeccione un cuadro con el encabezado que le damos a continuación y complételo teniendo en cuenta lo que pensó en el ítem 2. Contenidos de la Unidad


Referencias del libro


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4. Relea los Propósitos de la Unidad 2. ¿Cree que ha logrado lo que ahí le proponemos? Si su respuesta es afirmativa en todos los casos, puede empezar a estudiar la Unidad 3. Si su respuesta es negativa en alguno de los casos, busque cuáles son los contenidos involucrados en dichos propósitos y rehaga las actividades que trataron esos contenidos. Le servirá de ayuda el cuadro que confeccionó en el ítem 3 de este ejercicio.

Al finalizar la Unidad 1 le explicamos el por qué de la utilidad y la importancia de realizar este último ejercicio, si necesita recordarlo retome la Unidad 1 y reléalo .

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MATEMATICA Ejercicio n° 1

1. Complete el siguiente cuadro, teniendo en cuenta que en todos los casos se trata de funciones de proporcionalidad directa.

Función

Gráfico

Valor de y:x

Constante de proporcionalidad

Fórmula que permite hallar y a partir de x

en la que la docena de huevos vale $ 2

-3 -5 y=1,5.x 2. Complete el siguiente cuadro teniendo en cuenta que en todos los casos se trata de funciones de proporcionalidad inversa:

Función

Gráfico

Valor de x.y

Constante de proporcionalidad

Fórmula que permite hallar y a partir de x

en la que envasan 480 litros de combustible en recipientes de distinta capacidad

-3 -5


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UNIDAD 3


Ejercicio N° 2 1. a. Determine en cuáles de las siguientes tablas hay proporcionalidad directa entre x e y. b. Determine en cuáles de las siguientes tablas hay proporcionalidad inversa entre x e y. c. Explique qué tiene en cuenta para responder los ítems a. y b.. x

2

4

5

8

x

y

6

3

2

1

y

x

2

4

6

8

x

9

5

3

1

y

-4

-8

y

7

3

1

-1

-12 -16

3

7

12

15

4,5 10,5 18 22,5

x

5

3

2

0,5

y

6

10

15

60

2. a. Determine en cuáles de los siguientes gráficos hay proporcionalidad directa entre x e y. b. Determine en cuáles de los siguientes gráficos hay proporcionalidad inversa entre x e y. c. Explique qué tiene en cuenta para responder los ítems a. y b..

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3. a. Determine cuáles de las siguientes fórmulas corresponden a funciones de proporcionalidad directa. b. Determine cuáles de las siguientes fórmulas corresponden a funciones de proporcionalidad inversa. c. Explique qué tiene en cuenta para responder los ítems a. y b.. •y=3.x+2

•

•

• y = x2

•

•

• y = -4 . x

Ejercicio n° 3 Responda a las siguientes preguntas: 1. Si por 3 kg de manzanas se paga $ 6, ¿cuánto debe pagarse por 1/4 kg de manzanas? 2. Si se venden manzanas a razón de $ 2 el kg, ¿cuánto debe pagarse por 7 kg?

Ejercicio n° 4 Parte A Resuelva las siguientes situaciones: 1. Un móvil que se mueve a velocidad constante recorrió 80 km en 2 horas. ¿Puede usted determinar cuántos km recorrerá en 5 horas? 2. Un auto se desplaza de un pueblo a otro. La distancia entre los pueblos es de 500 km. Cuando pasaron 3 horas había recorrido 300 km. ¿Puede usted determinar cuánto tiempo le falta para llegar? 3. En un pueblo se distribuye el agua potable a través de una cooperativa. Cada casa de familia debe pagar una tarifa que consiste en: una cuota mensual de $ 20 más un monto proporcional a lo consumido en el mes. Una familia que consumió 100 hl en un mes pagó a la cooperativa un total de $ 60. ¿Cuál es la cifra correspondiente a una familia que consume 200 hl al mes? 4. En una ferretería hay un cartel que dice: “Por cada 100 metros de manguera para riego que compre, le regalamos 2 metros”. • ¿Qué cantidad de metros le regalarán si compra 300 metros? • Si en el cartel dijera: “Le regalamos el 3 % de la cantidad de metros de manguera para riego que usted compre”. ¿Qué cantidad de metros le regalarían si compra 300 metros? 5. Al año de vida, un niño tiene una altura de 80 cm. ¿Cuánto medirá cuando cumpla 18 años?


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Parte B Cada una de las situaciones planteadas en la Parte A puede ser expresada por una función. 1. Decida si la situación puede expresarse o no con una función de proporcionalidad directa. 2. En los casos en que la situación puede expresarse con una función de proporcionalidad directa: a. Indique la constante de proporcionalidad. b. Escriba la fórmula de la función. c. Escriba la función de proporcionalidad que expresa a la situación.

Ejercicio N° 5 En un Banco le dicen que, si deposita $ 100 durante un año, le acreditan $ 3 en su cuenta. 1. ¿La relación que vincula “cantidad de pesos depositados” con “Cantidad de pesos acreditados al año” es función? ¿Por qué? 2. En la siguiente tabla se indican una serie de depósitos y deberá completarla: Por un depósito de:

$ 50

$ 100

$ 200

$ 300

$ 350

$ 380

$ 400

$C

Al año le acreditan: 3. ¿Con qué cuenta se puede calcular el dinero acreditado si el depósito fue de 400 pesos? 4. ¿Con qué cuenta o fórmula se puede calcular el dinero acreditado I si el depósito fue de C pesos? 5. La función que vincula el dinero depositado con el dinero acreditado, ¿es una función de proporcionalidad directa? ¿Por qué?

Ejercicio n° 6 1. a. En este ejercicio se encontrará con un vocabulario que se utiliza en los Bancos, y que seguramente usted ya conoce. Le pedimos que vincule los términos: Interés, Capital, razón o tasa de interés con la situación del ejercicio anterior. En éste, encontró la fórmula: I = 0,03.C. Para ello señale con una flecha, cada letra o número de la fórmula con su nombre correspondiente. I• •Capital 0,03• •Interés C• •Razón o tasa 22


b. ¿Cómo escribiría la fórmula que permite calcular el interés I que produce un capital C, en una cierta unidad de tiempo si la tasa de interés, para esa unidad de tiempo es r %? c. Traduzca la situación presentada en el Ejercicio nº 5 a estos nuevos términos. 2. Si tiene que calcular el interés que producirá un capital de $ 1200 en un mes, a razón de un 3 % mensual, ¿cómo lo haría? 3. Un Banco da el 2 % mensual por un cierto capital C. Si al cabo de un mes recibió 100 pesos en calidad de intereses, a. De acuerdo con lo enunciado, ¿qué datos o qué información tiene para reemplazar en la siguiente fórmula ? b. ¿Cómo podría expresar la fórmula anterior, si reemplaza los datos que tiene? c. ¿Cuál es el capital C que se depositó? (Sugerencia: cuando reemplace los datos en la fórmula le quedará una ecuación; si no recuerda cómo resolverla, acuda a la unidad 3 de Matemática A) 4. Con $ 1200 de capital se obtuvo $ 360 de interés, ¿cuál fue la tasa de interés? (Tenga en cuenta lo hecho y sugerido en el ítem anterior).

Ejercicio N° 7 1. La población de una ciudad era de 2230000 habitantes en 1990 y de 2545000 habitantes en 2000. ¿Qué porcentaje de aumento tuvo la población de esa ciudad respecto de la de 1990? 2. El 36 % de los 138400 votantes de una ciudad votaron al partido vecinal. ¿Cuántos votos obtuvo dicho partido? 3. En un pueblo se organiza un festival a beneficio de sus instituciones públicas. El 15 % de la recaudación del festival se destina al hospital. Si este recibió $ 360, ¿cuánto dinero se recaudó? 4. El precio de un medicamento aumentó un 7 % en el último mes. Si hace un mes el precio era de $ 42, ¿cuál es su precio actual? 5. Por compras con pago en efectivo, un negocio hace un 5 % de descuento sobre el precio de lista. Ignacio compró una mercadería y pagó $ 180,50 en efectivo. ¿Cuál era el precio de lista de esa mercadería?

Ejercicio N° 8 1. En el catálogo de una mueblería están indicadas las dimensiones de los muebles en metros. Se quiere modificar dicho catálogo indicando las dimensiones en centímetros. ¿Con qué fórmula puede calcularse la nueva medida y en cm a partir de la medida anterior x en m? Matemática B • EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN UNIDAD 3

23

2. Un plano de una casa está hecho con una escala de 1 : 250, es decir, una unidad de longitud del plano representa a 250 unidades de longitud de la casa. En ese plano, el comedor rectangular mide 3 cm de largo y 2,2 cm de ancho. ¿Cuáles son las dimensiones reales del comedor en metros? ¿Cuál es el área ocupada por el comedor? 3. La distancia entre las ciudades de Buenos Aires y Mendoza es de 1000 km. En un mapa hecho con una escala de 1 : 10000000, ¿cuántos cm separan la ubicación de ambas ciudades? 4. Para dibujar un insecto en un libro de Biología se usa una escala de 20 : 1. ¿Cuánto mide una pata de ese insecto si en el dibujo del libro mide 3,6 cm?

Ejercicio N° 9 Encuentre los valores de x en cada una de las siguientes proporciones: 1.

2.

3.

Ejercicio N° 10 1. Dada la proporción

, determine cuáles de las siguientes proporciones se

verifican: a.

b.

c.

d.

2. Teniendo en cuenta lo que contestó en el ítem 1., complete las siguientes frases: a. Si

entonces

b. Si

entonces

c. Si

entonces

d. Si

entonces

Ejercicio n° 11 Se realizan las elecciones para cubrir 20 cargos en la Comisión Directiva de un club. Los resultados de esa elección se muestran en la siguiente tabla:

24

Lista

Celeste

Roja

Amarilla

Verde

Votos

1300

180

470

2000


Los cargos se reparten en forma directamente proporcional a la cantidad de votos obtenidos por cada lista. 1. ¿Cuántos cargos de Comisión Directiva le corresponden a cada lista? 2. ¿Qué porcentaje del total de votos obtuvo cada lista?

Ejercicio n° 12 A partir de un rectángulo cuya superficie es de 1 m2 y cuya base tiene una longitud de 1 m, le pedimos que “imagine” que es posible estirar su base (como si fuera una masa) sin modificar la medida de su superficie. 1. Para que se mantenga la misma medida de superficie, si la medida de la base aumenta, ¿qué debería ocurrir con la altura? 2. Si representáramos geométricamente lo imaginado en el ítem anterior así:

a. ¿Cómo podría verificarse geométricamente que los rectángulos tienen igual superficie? b. ¿Con qué cuentas puede verificarse que los dos rectángulos tienen área 1? c. Teniendo en cuenta que: Si confeccionamos una tabla con las medidas de las bases y las medidas de las alturas correspondientes resulta:

Medida x de la base

Medida y de la altura

Primer rectángulo

1

1

Segundo rectángulo

2

0,5

Complete la siguiente frase: Para que la superficie se mantenga constante, si la medida de la base se duplica, la medida de la altura debe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


25

3. Le pedimos nuevamente que imagine “que se puede estirar la base” pero ahora: a. Que se estire de tal manera que de medir 1 pase a medir 3. b. Que se estire de tal manera que de medir 1 pase a medir 4. c. Responda lo solicitado en 2. a..

d. Complete la siguiente tabla: Medida x de la base

Medida y de la altura

Primer rectángulo

1

1

Segundo rectángulo

2

0,5

Tercer rectángulo

3

Cuarto rectángulo

4

Cálculo que verifica que el área es igual a 1

e. Complete las siguientes frases: • Para que la superficie se mantenga constante, si la medida de la base se triplica, la medida de la altura debe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Para que la superficie se mantenga constante, si la medida de la base se cuadriplica, la medida de la altura debe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Ejercicio n° 13 Parte A Resuelva las siguientes situaciones: 1. Un móvil se desplazó por una autopista entre un cierto lugar A y otro B. Lo realizó en 6 horas viajando a una velocidad constante de 120 Km/hora. Si en otro momento realiza el mismo viaje a 100 km/hora, ¿cuánto tiempo tardará en realizarlo? 2. En una fábrica se elabora la misma cantidad de kg de un fertilizante por día. Cuando lo elaborado en un día se embala en bolsas de 250 g se emplean 170 bolsas. Si en otra oportunidad se embalaron 85 bolsas, ¿cuántos gramos contendrá cada bolsa en dicha oportunidad? 3. El alquiler de un ómnibus para realizar una excursión es de $130. La capacidad del mismo es de 40 pasajeros. Si sólo van 26 personas a la excursión, • ¿Cuánto debe pagar cada uno para cubrir los gastos del alquiler? • ¿Es posible que se logre que cada pasajero que concurra a la excursión abone $ 2,6? Justifique su respuesta. 4. En un experimento de laboratorio se midió, por cada minuto x que pasaba, la temperatura y que adquiría la sustancia con la que se experimentaba. Los datos se indicaron en la siguiente tabla: Tiempo x (min)

1

2

3

4

Temperatura y (ºC)

¿Podría indicar la temperatura de la sustancia a los 5 minutos? Parte B Cada una de las situaciones planteadas en la Parte A puede ser expresada por una función. 1. Decida si la situación puede expresarse o no con una función de proporcionalidad inversa. 2. En los casos en que la situación puede expresarse con una función de proporcionalidad inversa: a. Indique la constante de proporcionalidad. b. Escriba la fórmula de la función. c. Escriba la función de proporcionalidad que expresa a la situación.


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Ejercicio N° 14 1. Determine el dominio A de las funciones f : A à R cuyas fórmulas damos a continuación: 6 a. f (x) = ––––– x-2

–1 c. f (x) = ––– x

6 b. f (x) = ––– +1 x

–4 d. f (x) = ––––– + 1 x+1

2. Complete las siguientes tablas teniendo en cuenta la fórmula que se indica en cada una. x

-10

-4

-2

-1

0

x

-12

-6

-4

-3

-2

x

x f(x) =

-8

-9

-4

-5

-2

-3

-1

-2

1

1,5

1,75 2,25

2,5

-1 -0,5 -0,25 0,25 0,5

-0,5

3

1

4

2

-0,25

-1,5 -1,25

1

-0,5

0

5

3

6

4

2

1

8

6

4

3

14

12

8

7

-4 +1 x+1

3. Teniendo en cuenta los pares (x ; y) que obtuvo en cada tabla del ítem 2., represente gráficamente cada función en un sistema de ejes coordenados cartesianos. 4. Observe los gráficos que hizo y, en cada uno de ellos, detecte la asíntota horizontal y la asíntota vertical. Márquelas con línea punteada en cada gráfico. 5. Escriba las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de cada una de las funciones graficadas. 6. Determine el C0 de cada una de las funciones. 7. A partir de las gráficas realizadas en el ítem 3., determine para cada función su conjunto de positividad y su conjunto de negatividad.

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Ejercicio n° 15 El propósito de este ejercicio consiste en favorecer la construcción de una especie de “mapa” del recorrido por la Unidad. Le proponemos que: 1. Busque en la Guía de estudio el programa de Matemática B. 2. Lea los contenidos de la Unidad 3 y para cada uno de ellos identifique: a. ¿En qué actividades de la Guía de estudio fue tratado ese contenido? b. ¿En qué parte del libro de texto que usted ha consultado (capítulo, situación y / o páginas) fue tratado? 3. Confeccione un cuadro con el encabezado que le damos a continuación y complételo teniendo en cuenta lo que pensó en el ítem 2.

Contenidos de la Unidad



4. Relea los Propósitos de la Unidad 3. ¿Cree que ha logrado lo que ahí le proponemos? Si su respuesta es afirmativa en todos los casos, puede empezar a estudiar la Unidad 4. Si su respuesta es negativa en alguno de los casos, busque cuáles son los contenidos involucrados en dichos propósitos y rehaga las actividades que trataron esos contenidos. Le servirá de ayuda el cuadro que confeccionó en el ítem 3. de este ejercicio.

Recuerde que al finalizar la Unidad 1 le explicamos el por qué de la utilidad y la importancia de realizar este último ejercicio. Si necesita recordarlo retome la Unidad 1 y reléalo.


29

30


MATEMATICA Ejercicio N° 1

A continuación se representan 3 rectas (r, s y t ) paralelas entre sí y 2 rectas (u y v) transversales. A

r B

s

E

C t

F

D

G u

v

Responda las siguientes consignas: 1. Complete las siguientes proporciones: AB = BD

AD = DC

AE ; .....

..... GF

;

BD = AB

..... .....

;

EF BC = ..... AD

;

AG = .....

..... AB

2. Además de las proporciones del ítem anterior, escriba alguna otra proporción posible entre los segmentos determinados en la representación dada.

Ejercicio Nº 2 En el gráfico que sigue es BC // B’C’ // B’’C’’ C

C’

C’’

B

Y la razón B’

BB’ = 1 B’B’’

B’’

1. ¿Qué puede decir de los segmentos BB’ y B’B’’? 2. Si BB’ = 10 cm y C’C” = 6 cm, ¿cuánto miden B’B’’ y CC’ ?


31

UNIDAD 4


Ejercicio Nº 3 Un carpintero de muebles finos necesita cortar un listón labrado en 5 partes iguales y no tiene con qué medir. De acuerdo con lo trabajado en la Actividad Nº 6 de la Guía de Matemática B “Postes para la TV por cable”: Dibuje un listón y determine sus cortes para que el mismo quede dividido en 5 partes iguales.

Ejercicio Nº 4 Teniendo en cuenta lo trabajado en la Actividad N° 6 “Postes para la TV por cable” indicada en el ejercicio anterior: 2 3 13 • Ubique los números racionales ,y en la siguiente recta. Utilice las 7 7 7 líneas de color como líneas auxiliares para responder lo pedido.

-1

0

1

2

Ejercicio Nº 5 A una determinada hora del día, las sombras que proyectan tres postes alineados terminan en el mismo punto del suelo. La distancia entre ese punto y cada uno de los postes (medida sobre el piso) es de 3 m, 6 m y 10 m, respectivamente. El primer poste mide 0,8 m. Los postes están enterrados perpendicularmente al suelo (horizontal). 1. Ubique los datos anteriores en el siguiente esquema:

Sol

Fin de sombra

1º Poste

2º Poste

3º Poste

2. Calcule las alturas del segundo y tercer postes.

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Ejercicio Nº 6 De acuerdo al siguiente gráfico P

A

C

B

Determine gráficamente el punto D para que CD verifique la proporción

PA PC = . AB CD

Ejercicio Nº 7 Determine gráficamente el punto M, en el segmento AB , de manera que se cumpla que AM 2 = . AB 3 Tenga en cuenta lo hecho en los Ejercicios N° 3 y 4 de los Ejercicios de Integración de esta Unidad.

B

A

Ejercicio Nº 8 El patio de una escuela tiene forma de trapecio. Sobre los lados paralelos del trapecio se ubican las aulas; sobre uno de los lados no paralelos están la dirección, secretaría, sala de maestros y baños; el cuarto lado da a la calle. El patio está dividido por una línea en el suelo que es paralela a las líneas de las aulas. Esa línea separa la zona que pueden usar los niños de 1° a 3° grado de la que pueden usar los alumnos más grandes. A continuación le presentamos el esquema correspondiente: AULAS

D

CALLE

A

N

M

B

AULAS

C


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El punto M está 12 metros más cerca de B que de A. El lado que da a la calle mide 80 metros y la distancia entre N y C es de 25 metros. 1. ¿Cuál es la distancia desde M hasta A? 2. ¿Y desde M hasta B?

Ejercicio Nº 9 A partir de la información dada en la primera columna, le pedimos que complete la segunda y tercera columnas del siguiente cuadro. Si es necesario, relea su libro y las actividades que ya realizó.

GRAFICO Vector a de módulo 5 Vector b de dirección vertical y sentido hacia arriba Vector opuesto al anterior Vector nulo Vector equipolente a otro Vector z cuyas coordenadas del origen son (1 ; 2) y las del extremo son (-3 ; 4) Vector s suma de los vectores v = (-1 ; 3) y w = (3 ; 2) Vector h cuyo módulo sea la mitad del de w = (3 ; 2) y que tenga la misma dirección y sentido que w. Vector k cuyo módulo sea el doble que el de w = (3 ; 2) y que tenga la misma dirección y sentido opuesto a w.

34

)

)

Componentes del vector v = -5 i + 3 j


NOTACION SIMBOLICA

Ejercicio Nº 10 1. Dados los vectores v = (-1 ; 3) y w = (2 ; 1) , resuelva las siguientes operaciones en forma gráfica y en forma analítica. a. v + w b. v - w c. 2.w 1 .v 2 e. 2.w+v d.

2. A continuación se representan los vectores a y b. y

3 2

a

1 b

-2

-1

x

0

1

2

3

4

Obtenga analítica y gráficamente los siguientes vectores: a. r = b + a b. s = b - a c. t =

1 .b + 2.a 2 Ejercicio Nº 11

1. Descomponga el vector v en las 2 direcciones indicadas con líneas punteadas.

v


35

2. A continuación se representa el vector w y

w

x

-1

0

1

)

)

Descomponga el vector w en las direcciones de los ejes coordenados y expréselo usando los versores i y j .

Ejercicio Nº 12 Un bote se mueve de norte a sur con una velocidad de 10 km/h. La corriente del río por el que viaja, lleva una velocidad de 6 km/h de este a oeste. Desde la orilla, un pescador puede apreciar que la embarcación se desplaza según la resultante de ambas velocidades. Represente la velocidad resultante usando vectores. (Use una escala de 1 cm por cada 2 km/h).

Ejercicio Nº 13 El propósito de este ejercicio consiste en favorecer la construcción de una especie de “mapa” del recorrido por la Unidad. Le proponemos que: 1. Busque en la Guía de estudio el programa de Matemática B. 2. Lea los contenidos de la Unidad 4 y para cada uno de ellos identifique: a. ¿En qué actividades de la Guía de estudio fue tratado ese contenido? b. ¿En qué parte del libro de texto que usted ha consultado (capítulo, situación y / o páginas) fue tratado? 3. Confeccione un cuadro con el encabezado que le damos a continuación y complételo teniendo en cuenta lo que pensó en el ítem 2.

36








37

38


MATEMATICA Ejercicio Nº 1

A partir de lo realizado en las actividades de la Unidad 5, complete los datos que faltan en el siguiente cuadro. Los cuadros que están sombreados no deben completarse.

Función cuadrática Significado en términos de la situaEn la función ción de análisis de 2 → f: R R/ f(x)=2x + 3x - 2 la temperatura de la barra

Gráficamente

Simbólicamente

Fórmula

(xv ; yv)

Vértice

Ordenada al origen

Temperatura de la barra a la hora en que se iniciaron las mediciones

Ceros

Eje de simetría


39

UNIDAD 5


Ejercicio Nº 2 Con cada una de las expresiones que se dan a continuación se calcula un área asociada con el cuadrado dibujado a su derecha:

(x + 2)2

(x – 4)2

1. Para cada caso, le pedimos que indique sobre la figura cuadrada: a. ¿A qué medida de la figura se la llama x? b. Todas las medidas de la figura cuadrada que sean necesarias. c. El área que se calcula con dicha expresión. Para ello, sombree la superficie correspondiente. 2. A partir de lo indicado sobre las figuras cuadradas, escriba los trinomios cuadrados perfectos correspondientes a las expresiones dadas.

40


Ejercicio Nº 3 En este ejercicio se nos han mezclado enunciados, gráficos y fórmulas que se corresponden entre sí. Es por eso que le pedimos que los ordene, es decir que encuentre el gráfico y la fórmula que corresponden a cada uno de los enunciados. ENUNCIADOS: Cada uno de los enunciados que siguen corresponden a situaciones concretas que se pueden modelar matemáticamente con una función f: A → R de fórmula cuadrática. El conjunto A es algún subconjunto de números reales que se pueda utilizar como dominio de la función de modo que la situación concreta planteada tenga sentido. Los enunciados son los siguientes: Situación A: Se observan las posiciones de un submarino respecto del nivel del mar (y = 0) durante un lapso de 4 horas a partir de las 0 horas de un determinado día, instante que consideramos como x = 0. Al comenzar la observación, el submarino estaba a una profundidad de 10 hectómetros y además se observó que no se asomó a la superficie del mar. Situación B: Se registró la altura alcanzada por un objeto que fue tirado hacia arriba desde una plataforma de 6 metros de altura. Se consideró como tiempo x = 0 (minutos) al momento de lanzamiento y se observó hasta el instante en que el objeto tocó el suelo. También se vio que la altura máxima la alcanzó 1 minuto después de ser tirado. Situación C: Al comenzar a observar la evolución de la cantidad de agua (en kilolitros) en un tanque, se vio que el mismo estaba vacío. A partir de ese instante, que llamaremos x = 0 (en horas) el tanque se empezó a llenar y volvió a quedar vacío en algún momento después de la tercera hora de observación y antes de la cuarta hora. Las velocidades de llenado y de vaciado no son constantes. Situación D: Una parte de un informe de un laboratorio dice, respecto del proceso químico XKL: Tiempo de duración del proceso 5 horas. La temperatura tiende naturalmente a disminuir, por esta razón después de 2 horas de iniciado el proceso se colocó un dispositivo con el fin de revertir el descenso de la temperatura. El instante en el que se puso en funcionamiento el dispositivo se consideró x = 0, y, en dicho instante la temperatura era de 4° C. Aún con el dispositivo la temperatura siguió bajando hasta alcanzar temperaturas bajo cero, pero luego aumentó volviendo a obtener valores mayores a cero. GRÁFICOS Cada uno de los enunciados anteriores puede ser representado a través de alguno de los siguientes gráficos:


41

42

Gráfico 1

Gráfico 2

Gráfico 3

Gráfico 4


Gráfico 5

Gráfico 6

Gráfico 7

Gráfico 8


43

FÓRMULAS: Las fórmulas y = f (x) que pueden corresponder a los gráficos y a los enunciados anteriores son:

A partir de la información dada en los gráficos, enunciados y fórmulas anteriores, responda las siguientes consignas: 1. Determine cuál es el gráfico y cuál es la fórmula que corresponde a cada una de las situaciones enunciadas. Una vez que lo haya hecho, vuelque la información en el cuadro que le damos a continuación: Situación A

Situación B

Situación C

Situación D

Gráfico Nº Fórmula 2. Para cada una de las funciones que expresan a las situaciones anteriores, determine: a. El Dominio de la función. b. El conjunto imagen de la función. c. La imagen de cero u ordenada al origen de la función. En símbolos f (0). d. Los ceros de la función (si existen). e. Los intervalos de positividad y negatividad de la función (si existen). f. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. g. Los máximos ó mínimos de la función. 3. Exprese cada una de sus respuestas a las preguntas del ítem 2. en términos de cada una de las situaciones concretas enunciadas. Por ejemplo: el dominio de la situación A es el intervalo de tiempo, entre las 0 horas y las 4 horas, durante el que se observan las posiciones del submarino. 4. Si extendemos el dominio de cada una de las funciones anteriores a todo el conjunto de números reales, ¿cuál es el conjunto imagen de cada una de las funciones resultantes?

44


Ejercicio Nº 4 Parte A Responda a las siguientes consignas: 1. Represente la función f: R → R / f (x) = x2 a partir de los valores que obtenga al completar la siguiente tabla: x

-2

-1

-1/2

0

1/2

1

2

f(x) 2. Represente en el mismo sistema de ejes utilizado en el ítem 1., la función h: R → R / h (x) = (x – 1)2 a partir de los valores que obtenga al completar la siguiente tabla: x

-2

-1

-1/2

0

1/2

1

2

3

h(x) 3. ¿Cómo resulta ser la representación gráfica de la función h respecto de la gráfica de la función f que se define en el ítem 1.? Descríbalo con sus palabras viendo cómo cambia el “dibujo”. 4. Represente también en el mismo sistema de ejes utilizado en el ítem 1., la función g: R → R / g (x) = (x + 1)2 a partir de los valores que obtenga al completar la siguiente tabla: x

-2

-1

-1/2

0

1/2

1

2

g(x) 5. ¿Cómo resulta ser la representación gráfica de la función g respecto de la gráfica de la función f del ítem 1.? Descríbalo con sus palabras viendo cómo cambia el “dibujo”. 6. De acuerdo a lo que observó en los gráficos anteriores, represente gráficamente la función j: R → R / j (x) = (x – 2)2 y la función t: R → R / t (x) = (x + 5)2. Para hacerlo confeccione tablas de valores. Luego de representar compare las representaciones obtenidas con la representación de la función cuya fórmula es: f(x) = x2 7. Teniendo en cuenta los gráficos que obtuvo en los ítems anteriores, ¿cómo describiría el gráfico de una función z de fórmula z (x) = (x – a)2 respecto del gráfico de la función f de fórmula f (x) = x2? Analícelo para a > 0 y para a < 0 siendo a un número real cualquiera.


45

Parte B Responda a las siguientes consignas: 1. Represente en un mismo sistema cartesiano las funciones de R à R cuyas fórmulas se indican a continuación: 1 2 k(x) = •x a) f(x) = x2 c) 2 2 b) q(x) = 2x d) m(x) = - x2 2. Observando las representaciones anteriores, ¿cómo resulta cada una de ellas respecto de la representación de la función de fórmula f (x) = x2? Descríbalo con sus palabras viendo cómo cambia el “dibujo”. 3. Teniendo en cuenta los gráficos que obtuvo en los ítems anteriores, ¿cómo describiría el gráfico de una función p de fórmula p (x) = a . x2 respecto del gráfico de la función f de fórmula f (x) = x2? Analícelo para valores de a < 0; para 0 < a < 1 y para a > 1.

Parte C Responda a las siguientes consignas: 1. Represente en un mismo sistema cartesiano las funciones de R à R cuyas fórmulas se indican a continuación: f (x) = x2

r (x) = x2 - 1

y

n (x) = x2 + 3

2. Observando las representaciones anteriores, ¿cómo resultan las representaciones de las funciones r y n respecto de la representación de la función f? Describa con sus palabras qué modificaciones ocurren. 3. Teniendo en cuenta los gráficos que obtuvo en el ítem 1., ¿cómo describiría el gráfico de una función s de fórmula s (x) = x2 + a respecto del gráfico de la función f de fórmula f (x) = x2? Analícelo para valores de a < 0 y para a > 0.

Parte D 1. A partir de las conclusiones obtenidas en las Partes A, B y C responda la siguiente pregunta: ¿Cómo resulta la representación gráfica de una función g de fórmula g (x) = a (x - α)2+ β respecto de la representación gráfica de la función f de fórmula f (x) = x2? 2. En el ítem anterior escribimos la fórmula de una función cuadrática como y = a (x - α)2+ β

46


Por ejemplo:

a. Identifique en cada una de las fórmulas anteriores los valores de α y de β. b. Represente cada una de las funciones anteriores teniendo en cuenta las conclusiones obtenidas en las Partes A, B y C. c. En cada una de las representaciones gráficas hechas en el ítem b) señale el punto de coordenadas ( α ; β ). d. ¿Qué punto de la parábola es el punto ( α ; β )?

ORIENTACIONES En la Parte D del Ejercicio N° 4 escribimos la fórmula de una función cuadrática de la siguiente forma: y = a (x - α)2 + β En ella el valor de α representa a la coordenada xv y el valor de β a la coordenada yv. Llamaremos forma canónica a esta forma de expresar a la fórmula de una función cuadrática.

Ejercicio Nº 5 A partir de las conclusiones de las orientaciones y que usted obtuvo al resolver el ejercicio anterior, determine las coordenadas del vértice de cada una de las parábolas cuyas fórmulas son: 1.

f(x) = 3 (x – 1)2 + 2

g(x) = – 3 (x - 1)2 + 2

1 1 2 2 (x + 1) – 1 (x + 1) – 1 g(x) = – 2 2 En cada ítem, ¿qué diferencias y qué similitudes tienen las representaciones gráficas de las funciones f y g? Responda a partir de la observación de la fórmula, sin construir los gráficos correspondientes. 2.

f(x) =

Ejercicio Nº 6 1. Exprese cada una de las fórmulas que le damos a continuación en forma factorizada: f(x) = 2x2 – 5x – 3

g(x) = -1 . (x – 1)2 + 4

2. Exprese cada una de las fórmulas que le damos a continuación en forma canónica: k(x) = -3x2 – x + 1 Matemática B • EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN UNIDAD 5

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Ejercicio Nº 7 Decida la verdad o falsedad de cada uno de los enunciados de la primera columna del cuadro que sigue. Para hacerlo tenga en cuenta todo lo que analizó en esta unidad respecto de las funciones cuadráticas. Todo aquello que usted escriba o grafique porque cree que serviría de argumento para fundamentar su respuesta debe ubicarlo en la tercera columna del cuadro Si la función cuadrática de fórmula f(x)=ax2+bx+c tiene un mínimo, entonces el signo del coeficiente a es positivo. no tiene ceros reales y el coeficiente a es negativo (a < 0), entonces el intervalo de negatividad es vacío. tiene el coeficiente c positivo (c > 0) entonces dicha función cuadrática no tiene ceros. tiene c > 0 y a < 0 la función puede no tener ceros reales tiene a y c negativos la función puede no tener ceros reales tiene un máximo y su intervalo de positividad es el conjunto vacío entonces c < 0 ó c = 0 tiene intervalos de positividad y negatividad no vacíos entonces tiene ceros. tiene dos ceros distintos, es decir que f(x1) = 0, f(x2) = 0 y x1 ≠ x2, entonces para todos los números que pertenecen al intervalo (x1 ; x2) se verifica que f(x) > 0 ó f(x) < 0. tiene a x1 y x2 como ceros reales y distintos, y a > 0 entonces el intervalo (x1 ; x2) es un intervalo de negatividad es creciente para los valores x tales que x > xv y es decreciente para los x que cumplen x < xv, entonces es cóncava hacia arriba tiene sus ceros iguales entre sí, entonces el vértice es un punto del eje x tiene a x1 y x2 como ceros reales y distintos, y tiene un máximo entonces el intervalo (x1 ; x2) es un intervalo de positividad de la función y a < 0 48


Indique VóF

Porque...

Ejercicio Nº 8 Una parábola cuyo eje de simetría es x = 4, pasa por los puntos (1 ; 0) y (4 ; -9). De acuerdo con la información anterior, determine: 1. Los ceros de la parábola. 2. El vértice de la parábola. 3. La representación gráfica de la parábola que verifica las condiciones enunciadas. 4. La fórmula de la parábola que verifica las condiciones enunciadas.

Ejercicio Nº 9 Represente gráficamente una parábola que verifique las condiciones enunciadas en cada uno de los siguientes casos: Para resolver este ejercicio usted debe utilizar simbología presentada en la Unidad 1. Si no la recuerda le recomendamos que retome dicha Unidad antes de comenzar a resolver este ejercicio.

1.

C0 = { -2 ; 1}

y

C+ = ( -2 ; 1)

2.

C- = { -2 ; 1}

y

C+ = (–

3.

C0 = { -1}

y

C+ = Ø

4.

C0 = Ø

y

C+ = Ø

∞ ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Ejercicio Nº 10 Responda las siguientes consignas: 1. Escriba la fórmula de una función cuadrática cuyos ceros son x1 = –2 y x2 = 3. 2. ¿La fórmula anterior es única? ¿Por qué? 3. Escriba la fórmula de una función cuadrática cuyos ceros son x1 = –2 y x2 = 3 y que pase por el punto (1 ; 3). 4. ¿La fórmula anterior es única? 5. Escriba la fórmula de una función cuadrática cuyas coordenadas del vértice sean xv = 1 e yv = 3. ¿Es única? 6. Escriba la fórmula de una función cuadrática cuyas coordenadas del vértice sean xv = 1 e yv = 3 que verifique que f(2) = 5. ¿Es única?


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Ejercicio Nº 11 Al hacer un estudio de mercado sobre un determinado tipo de relojes, una compañía japonesa obtuvo las siguientes fórmulas de oferta y demanda de dicho producto en función de su precio x: Demanda: y = - x2 + 340

Oferta: y = 5 x + 40

¿A qué precio deben venderse los relojes para que la demanda y la oferta sean iguales?

Ejercicio Nº 12 El propósito de este ejercicio consiste en favorecer la construcción de una especie de “mapa” del recorrido por la Unidad. Le proponemos que: 1. Busque en la Guía de estudio el programa de Matemática B. 2. Lea los contenidos de la Unidad 5 y para cada uno de ellos identifique: a. ¿En qué actividades de la Guía de estudio fue tratado ese contenido? b. ¿En qué parte del libro de texto que usted ha consultado (capítulo, situación y / o páginas) fue tratado? 3. Confeccione un cuadro con el encabezado que le damos a continuación y complételo teniendo en cuenta lo que pensó en el ítem 2.




4. Relea los Propósitos de la Unidad 5. ¿Cree que ha logrado lo que ahí le proponemos? Si su respuesta es afirmativa en todos los casos, puede empezar a estudiar la Unidad 6. Si su respuesta es negativa en alguno de los casos, busque cuáles son los contenidos involucrados en dichos propósitos y rehaga las actividades que trataron esos contenidos. Le servirá de ayuda el cuadro que confeccionó en el ítem 3. de este ejercicio. Recuerde que al finalizar la Unidad 1 le explicamos el por qué de la utilidad y la importancia de realizar este último ejercicio, si necesita recordarlo retome la Unidad 1 y reléalo.

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En la siguiente tabla, en la columna de la derecha, escriba un ejemplo de lo que se indica en la columna de la izquierda. Un polinomio p(x) que sea:

Un ejemplo es:

de grado 3

p(x) =

de grado cero

p(x) =

de grado 4 con término independiente 6

p(x) =

de grado 5 con coeficiente principal -2

p(x) =

de grado 2 con coeficientes todos iguales entre sí

p(x) =

de coeficiente principal 1, factorizado completamente y que tenga como únicas raíces a: x = 2; x = -1; x = 3

p(x) =

de coeficiente principal 3, factorizado completamente y que tenga como únicas raíces a: x = 2; x = -1; x = 3

p(x) =

Ejercicio N° 2 Resuelva las operaciones indicadas a continuación: 1 3 3 2 1. Dados los polinomios: p(x) = -5x4 + 2x2 y q(x) = x - x + 2x + 5, determine: 2 4 a. p(x) + q(x) b. p(x) - q(x) 1 3 x - 2x2 + 3 y s(x) = x2 + 2x - 1 2 1 3. Dados los polinomios: z(x) = -5x5 + 3x3 - 2x2 + x + 1 , h(x) = -x3 + 2x2 - 4 y j(x) = x - 2: 2 a. Halle z(x) : h(x) 2. Calcule t(x) · s(x) siendo t(x) =

b. Halle z(x) : j(x) c. ¿Alguna de las divisiones planteadas en los ítems a. y b. puede ser resuelta utilizando la regla de Ruffini? Si su respuesta es afirmativa, indique cuál y resuélvala utilizando la regla. Si su respuesta es negativa, explique por qué no puede resolverse utilizando la regla.


51

UNIDAD 6


d. Para cada una de las divisiones que resolvió en los ítems a. y b., verifique si el polinomio cociente y el resto son los correctos. 4. Dados los polinomios p(x) = 5x - x3 + 2, q(x) = x2 - 4 y r(x) = 2x + 5, a. Halle p(x) · q(x) - r(x) b. Halle p(x) · [q(x) - r(x)] 5. Tres personas dividen el polinomio D(x) = x3 + x + 1 por el polinomio d(x) = x - 3 y a cada una de ellas le da un resultado distinto. Decida cuál es el resultado correcto, sin efectuar la división. Es decir, verifique cuál es el cociente y cuál el resto de dividir D(x) por d(x). Los resultados obtenidos por cada una de las tres personas son: • C(x) = x2 + 3x + 10 y R(x) = 0 • C(x) = x - 2 y R(x) = 10x + 1 • C(x) = x2 + 3x + 10 y R(x) = 31

Ejercicio N° 3 Para las siguientes divisiones de polinomios: 1. (x3 + x2 + x) : (x2 + 1)

3. (x5 + x3 + 2x2 + 3) : (x + 2)

2. (x6 + 2x2 + 1) : (x3 + 2x)

4. (x3 + 2x - 3) : (x - 1)

a. Decida, sin resolver la división, el grado del polinomio cociente. b. ¿Qué debe tener en cuenta para saber si terminó de realizar todos los pasos de la división? Ó ¿Qué grado puede tener el polinomio resto?

Ejercicio N° 4 1. Aplique la propiedad distributiva para calcular el cubo del binomio (x + 2). Es decir, para resolver: (x + 2)3 = (x + 2) . (x + 2) . (x + 2) = [(x + 2) . (x + 2)] . (x + 2) 2. Teniendo en cuenta que a los polinomios no factorizados que provienen de elevar un binomio al cubo se los llama cuatrinomios cubo perfecto, obtenga el cuatrinomio cubo perfecto correspondiente a: a. (x - 2)3 b. (2x + 1)3 c. (x - a)3 d. (x + a)3

52


3. Decida si las siguientes expresiones polinómicas son cuatrinomios cubos perfectos: a. x3 + 6x2 + 12x + 8 3 2 b. x + 2x + 6x + 8 3 2 c. x - 6x + 12x - 8 3 2 d. 8x + 12x + 6x + 1

Ejercicio N° 5 Para el polinomio p(x) = x4 - x3 - 19x2 - 11x + 30 indique, sin efectuar la división: 1. El resto de dividir a p(x) por (x - 3). 2. Si el polinomio p(x) es divisible por: a. (x + 2) b. (x - 4) 3. Si (x - 5) es un factor en la factorización de p(x). 4. El valor de p(-3). 5. Algún cero del polinomio p(x). 6. Si la división entre p(x) y (x - 1) es exacta o no. Justifique su respuesta.

Ejercicio N° 6 1. Indique cuáles de los siguientes polinomios están completamente factorizados. p(x) = (x - 1).(x2 - x - 2) q(x) = (x2 + 1).(x - 2) 4 r(x) = (x + 1).(x + 16)

s(x) = 4.(x2 - 4).(x2 + 4) t(x) = (-1).(x2 - x - 6).(x + 3) 2. En aquellos casos en que no todos los factores tengan coeficiente principal igual a 1 y itan más de una raíz, continúe la factorización del polinomio. 3. Indique en la línea de puntos todas las raíces de cada uno de los polinomios dados. Polinomio

Raíces

• p(x) = (x - 1).(x2 - x - 2)

-----------------

• q(x) = (x2 + 1).(x - 2)

-----------------

• r(x) = (x + 1).(x4 + 16)

-----------------

2

-----------------

2

• s(x) = 4.(x - 4).(x + 4) 2

• t(x) = (-1).(x - x - 6).(x + 3)

-----------------


53

4. Los siguientes polinomios son factores de algunos de los polinomios dados: • x2 + 1 • x4 + 16 • x2 + 4 a. ¿Qué diría respecto de las raíces de cada uno de ellos? b. Para cada uno de ellos, indique si tienen coeficiente principal igual a 1. 5. Un compañero le pregunta cómo darse cuenta si un polinomio está completamente factorizado. Respóndale de la forma más precisa posible.

Ejercicio N° 7 Busque posibles raíces enteras de los polinomios dados a continuación y factorice en forma completa: 1. p(x) = 4x - 12

7. p(x) = x4 - 16

2. p(x) = x3 + 2x2 + x + 2

8. p(x) = 4x2 +8x + 4

3. p(x) = 2x2 - 18

9. p(x) = x5 - 32

4. p(x) = 5x2 - 25x 1 5. p(x) = x2 9 6. p(x) = x2 - 6x + 9

10. p(x) = x7 + 1 11. p(x) = 3x2 -3x - 6

Ejercicio N° 8 A continuación se dan las fórmulas de funciones polinómicas de primero, segundo y tercer grado con sus respectivas representaciones gráficas.

f(x) =

54

1 1 (x + 2)(x - 3)2 = (x + 2)(x - 3)(x - 3) 6 6


g(x) = -

1 2

(x + 1)(x - 2)(x - 5)

m(x) = 2x - 8

t(x) = (x + 2)2

p(x) = -2(x + 2)(x - 4)


55

h(x) = (x - 2)3

1. Para cada una de ellas encuentre, cuando sea posible, lo solicitado a continuación. (Escriba lo pedido utilizando toda la simbología matemática que conoce). a. La imagen de cero. b. La imagen de 3. c. Los ceros. d. Dominio y conjunto de llegada. e. Un intervalo donde la función es creciente. f. Un intervalo donde la función es decreciente. g. El conjunto de positividad. h. El conjunto de negatividad. 2. Para las funciones de fórmulas y = t(x), y = p(x), encuentre: El valor de x para el cuál la función tiene un máximo y el valor del máximo correspondiente. El valor de x para el cuál la función tiene un mínimo y el valor del mínimo correspondiente. 3. Para cada una de las funciones polinómicas de segundo grado ó función cuadrática, halle las coordenadas del vértice de su representación gráfica.

Ejercicio Nº 9 En un laboratorio se observa un proceso en el que varía la temperatura de una sustancia. Se registran las temperaturas durante 10 horas. Los científicos del laboratorio buscan un modelo matemático que permita describir lo observado. Finalmente, llegan a la conclusión de que la función 1 g : [0 ; 10] → R / y = – (x + 1) (x - 2) (x - 5) 2 56


describe muy aproximadamente lo observado con las temperaturas y (en ºC) en cada instante x (en horas) a partir del instante x = 0 en el que comienza el proceso. En el ejercicio anterior, usted analizó una función polinómica que tiene esta misma fórmula. Si lo cree necesario, puede recurrir a la gráfica de dicha función y a las respuestas que dio allí.

A partir de la información anterior, responda: 1. ¿Cuál es el dominio de la función g? Justifique su respuesta hablando en términos de la situación concreta descripta. 2. ¿Cuál era la temperatura al comenzar las observaciones? 3. ¿Cuál era la temperatura al terminar las observaciones? 4. ¿Qué temperatura se registró después de 4 horas de observación? 5. ¿A qué hora/s se registró una temperatura de 0 ºC? 6. ¿En qué período de tiempo se registraron temperaturas bajo cero? 7. ¿Cuándo se registraron temperaturas positivas? 8. Entre la hora 6 y la hora 8, ¿la temperatura estuvo aumentando o disminuyendo? 9. Indique un período de tiempo en el que la temperatura estuvo aumentando.

Ejercicio N° 10 El propósito de este ejercicio consiste en favorecer la construcción de una especie de “mapa” del recorrido por la Unidad. Le proponemos que: 1. Busque en la Guía de estudio el programa de Matemática B. 2. Lea los contenidos de la Unidad 6 y para cada uno de ellos identifique: a. ¿En qué actividades de la Guía de estudio fue tratado ese contenido? b. ¿En qué parte del libro de texto que usted ha consultado (capítulo, situación y / o páginas) fue tratado? 3. Confeccione un cuadro con el encabezado que le damos a continuación y complételo teniendo en cuenta lo que pensó en el ítem 2.





57



58



Responda cada uno de los siguientes ítems: 1. Se presentó una lista con 40 notas correspondientes al examen de Matemática B del turno de Marzo: a. Describa una situación en la que estas 40 notas representen a las observaciones sobre una población. b. Describa una situación en la que estas 40 notas representen a las observaciones sobre una muestra. c. Si se presenta la lista sin ninguna otra información que la dada en el enunciado del ejercicio, ¿es posible determinar si esas 40 notas representan a observaciones de una población o de una muestra de la misma? 2. En el Departamento de Control de Calidad de la fábrica de lamparitas “Masluz” seleccionan para su control 1 de cada 200 lamparitas fabricadas. El conjunto de lamparitas controladas, ¿representa a la población o a una muestra de la misma? 3. En un grupo de autoayuda para bajar de peso, se pesa a todos los participantes el día de comienzo del tratamiento. El conjunto de personas pesadas, ¿representa a la población o a una muestra de la misma? 4. En una fábrica de productos lácteos están probando la eficacia de un nuevo conservante. Para ello necesitan medir el tiempo de duración de cada uno de sus productos. ¿Deberían hacer el análisis sobre una muestra o sobre la población? ¿Por qué?

Ejercicio N° 2 Determine qué tipo de variable es la involucrada en cada una de las siguientes situaciones: • Edad de los aspirantes a un trabajo. • Tiempo de demora del servicio de subterráneos durante el mes de Abril. • Asignaturas preferidas por los estudiantes de una escuela. • Pesos de los bebés nacidos en el hospital Ramos Mejía. • Talla de los bebés nacidos en el hospital Ramos Mejía. • Notas de los exámenes de Matemática del turno de Marzo. • Cantidad de goles de una fecha del campeonato de fútbol. • Cantidad de hijos. • Precios de los departamentos en alquiler durante un fin de semana. • Profesión de los s de correo electrónico. • Sexo de los s de internet. Matemática B • EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN UNIDAD 7

59

UNIDAD 7


Ejercicio N° 3 En el club de fútbol infantil de la Actividad N° 3 necesitan comprar botines para los 30 jugadores. Se tomó nota del número de calzado de cada uno de los chicos y se confeccionó la siguiente tabla:

Número de calzado

Cantidad de chicos

29

1

30

2

31

12

32

8

33

1

34

1

35

5

1. ¿Qué tipo de variable es la utilizada en la distribución anterior? 2. Agregue a la tabla la columna de las frecuencias relativas y complete cada uno de estos valores. 3. ¿Qué porcentaje del total de jugadores calza 31? 4. Agregue a la tabla la columna de las frecuencias acumuladas y complete cada uno de estos valores. 5. ¿Qué cantidad de jugadores calza menos de 32? 6. ¿Qué cantidad de jugadores calza más de 33? 7. Represente la distribución anterior utilizando un diagrama de barras. 8. Calcule la media de la distribución. 9. ¿Qué le respondería a un dirigente del club que opina lo siguiente: “El número de calzado promedio de los chicos es 32, compremos entonces 30 botines de ese número”?

60


Ejercicio N° 4 A partir de una encuesta realizada a 500 egresados del Programa Educación Adultos 2000 se confeccionaron los siguientes gráficos y tablas: Sexo:

Edad:

Edad

Frecuencia absoluta

[21;29)

178

[29;37)

42

[37;45)

48

[45;53)

73

[53;61)

116

[61;69)

37

[69;77)

5

[77;85]

1

Promedio de notas:


61

Continuará estudios superiores: hombre

mujer

total

SI

124

112

236

NO

161

103

264

Carreras elegidas por quienes continuarán estudios superiores:

Responda cada una de las preguntas que siguen teniendo en cuenta la información anterior: 1. ¿Qué tipo de variable se considera en cada una de las cuestiones relevadas? 2. El grupo relevado, ¿constituye la población en estudio o una muestra de la misma? 3. ¿Qué cantidad de egresados de cada sexo fueron encuestados? 4. Si el Programa tiene actualmente aproximadamente 1500 egresados, ¿qué cantidad de ellos podemos estimar que son mujeres? 5. ¿Podría ocurrir que la cantidad real de mujeres egresadas del Programa fuese 1000? ¿Por qué? 6. ¿Qué parte del total de mujeres encuestadas sigue estudios superiores? 7. ¿Qué porcentaje del total de hombres encuestados sigue estudios superiores? 8. ¿Cuál es la cantidad estimada de egresados del programa que sigue estudios superiores? 9. Construya la distribución de frecuencias correspondiente a las carreras elegidas por los egresados del Programa. 10. Determine la moda de la distribución construida en el ítem 9. 11. Formule la pregunta 10. en términos de la situación de referencia.

62


12. Represente el histograma correspondiente a las edades de los egresados encuestados. 13. Represente el polígono de frecuencias correspondiente a las edades de los egresados del Programa. 14. Determine la mediana de la distribución de las edades de los egresados encuestados. 15. De acuerdo al relevamiento realizado, ¿cuál es la edad promedio de los egresados del Programa? 16. Represente en un gráfico circular la distribución de los promedios de los egresados encuestados. 17. Construya la distribución de frecuencias correspondiente a los promedios de los egresados encuestados. 18. ¿Cuál es el promedio de notas más frecuente? 19. Formule la pregunta anterior en términos estadísticos.

Ejercicio N° 4 El siguiente histograma representa el tiempo diario de permanencia frente al televisor de un grupo de personas:

Responda las siguientes preguntas a partir del histograma anterior: 1. ¿Qué cantidad de personas tiene la muestra en estudio? 2. ¿Qué cantidad de personas miran hasta 4 horas diarias de televisión? 3. ¿Qué cantidad de personas miran más de 6 horas diarias de televisión? 4. ¿Qué parte del total de encuestados mira más de 6 horas diarias de televisión? 5. ¿Qué porcentaje del total de encuestados mira menos de 4 horas diarias de televisión?


63

6. ¿Cuál es el tiempo promedio de permanencia frente al televisor? 7. ¿Cuál es la desviación estándar de la muestra? 8. A partir del resultado obtenido en el ítem 7. decida si el valor promedio calculado en 6. es representativo de la muestra. Si su respuesta es afirmativa, escriba con sus palabras los argumentos de la misma. Si su respuesta es negativa, explique también el por qué e indique cuál considera usted que es la medida de posición central más adecuada para representar a las observaciones de la muestra.

Ejercicio N° 5 1. En una oficina en la que trabajan 25 personas se pagan los siguientes sueldos: 400

580

400

400

750

400

400

500

450

800

1500

450

500

400

3000

550

400

450

850

3500

50

650

500

2500

450

Determine: a. El sueldo promedio de los empleados de la oficina. b. La mediana y la moda de los sueldos de los empleados de la oficina. c. ¿Cuál de las medidas de posición central calculadas en los ítems anteriores considera usted que es más adecuada para representar a los sueldos de los empleados de la oficina? ¿Por qué? 2. Los sueldos de los empleados de otra oficina, en la que también trabajan 25 personas, son los siguientes: 400

580

400

420

750

430

400

500

450

800

1500

450

500

400

1800

550

400

450

850

1200

500

650

500

1400

450

Determine: a. El sueldo promedio de los empleados de la oficina. b. La mediana y la moda de los sueldos de los empleados de la oficina. c. ¿Cuál de las medidas de posición central calculadas en los ítems anteriores considera usted que es más adecuada para representar a los sueldos de los empleados de la oficina? ¿Por qué?

64


3. Calcule la desviación estándar de los sueldos de los empleados de cada una de las oficinas. 4. Utilice los valores de las desviaciones estándar de los sueldos de los empleados de cada una de las oficinas para justificar sus respuestas a los ítems 1.c. y 2.c.

Ejercicio N° 6 Las distribuciones cuyas gráficas le presentamos a continuación tienen todas, aproximadamente, la misma media, pero desviaciones estándar diferentes. Decida, sin hacer cálculos, sólo mirando los gráficos, cuál de ellos tiene mayor desviación estándar y cuál menor. Explique el por qué de su decisión.

Ejercicio N° 7 El propósito de este ejercicio consiste en favorecer la construcción de una especie de “mapa” del recorrido por la Unidad. Le proponemos que: 1. Busque en esta Guía de estudio el programa de Matemática B. 2. Lea los contenidos de la Unidad 7 y para cada uno de ellos identifique: a. ¿En qué actividades de la Guía de estudio fue tratado ese contenido? b. ¿En qué parte del libro de texto que usted ha consultado (capítulo, situación y/o páginas) fue tratado? Matemática B • EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN UNIDAD 7

65

3. Confeccione un cuadro con el encabezado que le damos a continuación y complételo teniendo en cuenta lo que pensó en el ítem 2.



Referencias del libro

4. Relea los Propósitos de la Unidad 7. ¿Cree que ha logrado lo que ahí le proponemos? Si su respuesta es afirmativa en todos los casos, usted ha finalizado el estudio de la Unidad 7. Si su respuesta es negativa en alguno de los casos, busque cuáles son los contenidos involucrados en dichos propósitos y rehaga las actividades que trataron esos contenidos.

Le servirá de ayuda el cuadro que confeccionó en el ítem 3. de este ejercicio.

Para completar el estudio de Matemática B usted debe resolver la autoevaluación integradora.

66


Autoevaluación integradora

MATEMATICA

La resolución de las actividades que le proponemos a continuación le permitirá evaluar su recorrido de aprendizaje de los conceptos de Matemática B, integrar algunos de estos conceptos y conocer cuál es su situación en relación con la materia completa. Es decir, le permitirá saber si ha aprendido todos los contenidos de la materia, o si necesita retomar alguno de ellos antes de realizar la evaluación final. La resolución de las actividades propuestas le dará indicadores claros sobre cuáles son aquellos contenidos o símbolos matemáticos que aún debe revisar y retrabajar con esta Guía antes de dar por finalizado el estudio de la materia. No deje de realizarlas. Una vez que haya obtenido sus propias respuestas, controle las mismas con las que le damos al término de las actividades.

d° N1° 1 A cA t icvtiidvai d aN La empresa Maurex y Cía S.A. tiene a su cargo el análisis de la evolución de un proceso químico innovador. Un equipo de ingenieros de la empresa tuvo como tarea, durante una semana, el análisis de la evolución de la temperatura de las 3 sustancias básicas que intervienen en el proceso y de las alteraciones que ocurren en el volumen ocupado por cada una de ellas a medida que se modifican sus temperaturas. Transcurrido el plazo destinado a su tarea, el equipo elaboró un informe en el que llamaron A, B y C a las 3 sustancias básicas que intervienen en el proceso. PPrriim meerraa ppaarrttee ddeell iinnffoorrm mee: • La función que expresa la evolución de la temperatura (en °C) de la sustancia A durante el período de observación es:

• La representación gráfica de la función g, que expresa la evolución de la temperatura de la sustancia B, es:

Matemática B • AUTOEVALUACIÓN INTEGRADORA

67

• La sustancia C no modificó su temperatura de 6° C a lo largo de todo el período de observación. Llamamos h a la función que expresa lo ocurrido con esta sustancia.

Resuelva los siguientes ejercicios a partir de la información anterior:

Ejercicio Nº 1 1. ¿Cuál fue la temperatura de la sustancia A al terminar el tercer día de observación? 2. La sustancia B, ¿alcanzó algún día una temperatura de 4°C? ¿Cuándo? 3. Traduzca a lenguaje matemático las dos preguntas anteriores. 4. Indique f-1 (5,5); g(3) y h(5). 5. Escriba cada uno de los valores pedidos en el ítem 4. en términos de la situación concreta. 6. ¿Cuál es el dominio de cada una de las funciones anteriores? 7. Escriba Im f.

Ejercicio Nº 2 1. Exprese la función f en forma gráfica. 2. Elija entre las fórmulas que le damos a continuación aquella que puede utilizarse para expresar la evolución de la temperatura de la sustancia B: y=-t+2

y=2t+1

y=t+2

3. Escriba una función h que exprese lo ocurrido con la temperatura de la sustancia C durante el período de observación.

Ejercicio Nº 3 1. ¿Con qué velocidad se modificó la temperatura de la sustancia A durante el período de observación? ¿Cuál fue la temperatura de la sustancia en el momento de inicio de las observaciones? 2. ¿Cuál es la pendiente y la ordenada al origen de la fórmula de la función g que describe lo observado para la sustancia B? 3. Escriba su respuesta a la pregunta anterior en términos de la situación de la observación de la temperatura de la sustancia B. 4. La función función f?

68

¿qué similitudes y qué diferencias tiene con la


Ejercicio Nº 4 1. Resuelva en forma gráfica y analítica, el siguiente sistema de ecuaciones:

2. Escriba el conjunto solución del sistema de ecuaciones anterior. 3. Clasifique dicho sistema de ecuaciones. 4. Teniendo en cuenta la situación concreta de la observación de las temperaturas de las sustancias A y B, ¿qué significado tiene el conjunto solución hallado en el ítem 1.?

Segunda parte del inform me e • La variación del volumen (en cm3) de la sustancia B en función de la temperatura x a la que es sometida (en °C), puede expresarse con la función:

2 k : [2 ; 9] à R / k(x) = - x + 12x + 13

• En la sustancia A no se distingue una modificación significativa del volumen inicial a medida que su temperatura se va modificando. • El volumen de la sustancia C tampoco se modifica durante todo el proceso.

Resuelva, a partir de la información dada en la segunda parte del informe, los ejercicios que le planteamos a continuación:

Ejercicio Nº 5 1. ¿Qué tipo de fórmula es la que expresa lo ocurrido con el volumen de la sustancia B al variar su temperatura? 2. Indique k (8). 3. Traduzca su respuesta al ítem anterior en términos de la situación concreta que representa la función k. 4. ¿Qué temperatura tiene la sustancia cuando el volumen que ocupa es de 33 cm3? 5. Calcule los ceros de la función k. 6. Explique el resultado obtenido en el ítem anterior en términos de la situación representada por la función k.


69

7. Calcule las coordenadas del vértice del trozo de parábola que representa a la función k. 8. Interprete las coordenadas calculadas en el ítem 7. en términos de la situación representada por la función k.

Ejercicio Nº 6 1. Represente gráficamente la función k. 2. De acuerdo con la representación gráfica de la función k: a. ¿Bajo qué temperaturas aumenta el volumen de la sustancia? b. ¿En qué intervalo de temperaturas la función es decreciente? c. ¿A qué temperatura la sustancia alcanza su volumen máximo? ¿Cuál es ese volumen? 3. Escriba el conjunto imagen de la función k.

Ejercicio Nº 7 1. ¿Qué diferencias y similitudes existen entre la función k y la función m: R à R / m(x) = -x2 + 12x + 13? Escriba cada una de ellas. 2. Determine los ceros, coordenadas del vértice, ordenada al origen y conjunto imagen de la función m. 3. Determine los intervalos de positividad y negatividad de la función m.

Ejercicio Nº 8 1. Para n(x) = x - 1 y m(x) = -x2 + 12 x + 13 calcule p(x) = m(x) . n(x) 2. Escriba en forma factorizada la fórmula p(x). 3. Calcule, sin hacer la división, el resto de dividir a p(x) por (x + 3). 4. Determine, sin hacer la división, si p(x) es divisible por (x - 5).

70


Actividad N° 2 Una fábrica de juguetes produce, entre otros, juegos de piezas para encastrar entre sí. En el siguiente gráfico se muestra la forma de una de las piezas de uno de esos juegos de encastres para niños.

Para poder armar el juego, se quiere que esa pieza cumpla los siguientes requisitos: • El lado AB mida 0,2 cm menos que el doble de lo que mida AG. • El perímetro del rectángulo ABEG sea de 5 cm. • El triángulo BDC sea rectángulo en D. • El lado BC mida 1,7 cm y el lado DC mida 1,5 cm. 3 HE = • 2 HG • En el triángulo GEF, HF es la altura correspondiente al lado GE y mide 0,45 cm A partir de la información resuelva los siguientes ejercicios: Ejercicio Nº 1 1. Halle las dimensiones (medidas de los lados) de la pieza. 2. Calcule el perímetro de la pieza. 3. Se desea pintar las piezas en ambas caras con una pintura de la que se usan un mililitro (1 ml) por cada 2 cm2. ¿Cuántas latas de pintura de un litro se necesitan para pintar 1000 de estas piezas? 4. Escriba una función f que permita calcular la cantidad y (en ml) de pintura que hacen falta para pintar una superficie x (en cm2) de estas piezas. 5. Indique si la función que escribió en el ítem 4 es de proporcionalidad directa o inversa. Escriba las razones que justifican su respuesta.


71

Ejercicio Nº 2 Para otro juego se usan piezas semejantes a las anteriores pero en las que el lado B'C' correspondiente al lado BC mide 5,1 cm. 1. Escriba la fórmula de una función que permite calcular la medida y de los lados de la nueva pieza a partir de la medida x de los lados de las piezas anteriores. 2. ¿Cuánta pintura se necesita para pintar 1000 de estas piezas en ambas caras?

Ejercicio Nº 3 Una chacra tiene la misma forma que las piezas descriptas anteriormente, es decir, es semejante a dichas piezas. En esa chacra, el lado que hemos llamado CD mide 150 metros. 1. ¿Cuántos metros de alambrado se necesitan para cercar la chacra? Se quiere destinar la sexta parte de esa chacra a la siembra de cereales, las 2/5 partes a pasturas, la octava parte a árboles frutales y el resto estará ocupado por la vivienda. 2. ¿Cuál es el área que se destinará a cada tipo de uso? 3. Dibuje un plano de la chacra usando una escala de 1 : 2000. Tenga en cuenta que el ángulo señalado en el gráfico como mide 25°. Una de las zonas destinadas a cereales es una parte del triángulo BDC limitada por los puntos C, M (en el lado BC) y N (en el lado DC). La recta que une a M con N es paralela a la recta que une los puntos B y D. Se cumple que M está 16 metros más cerca del punto C que del punto B. En este sector se sembrará trigo. 4. ¿Cuál es el área del sector que se destinará a sembrar trigo?

72


ORIENTACIONES SOBRE LA AUTOEVALUACIÓN INTEGRADORA Al controlar sus respuestas con las nuestras tenga en cuenta el resultado final al que usted llegó, el proceso de resolución y la simbología matemática utilizada en cada resolución. Recuerde que es posible que haya varios caminos de resolución de una situación, todos igualmente válidos.

RESPUESTAS DE CADA EJERCICIO: Actividad N° 1 Ejercicio Nº 1 1. Podemos calcular la temperatura de la sustancia A al terminar el tercer día de observaciones utilizando la fórmula de la función f para t = 3:

Es decir, que la temperatura de la sustancia A al finalizar el tercer día de observaciones es de 5,75 ° C. 2. Para responder podemos observar en el gráfico que muestra la evolución de la sustancia B que T = 4 cuando t = 2. Es decir, que la temperatura fue de 4° C al terminar el segundo día de observación del proceso. 3. En el ítem 1. buscamos la imagen de 3 a través de la función f. En símbolos f(3). En el ítem 2. buscamos la preimagen de 4 a través de la función g. En símbolos g-1(4). 1 4. f –1 (5,5) = 2 (porque 5,5 = 1 t + 5 à 5,5 -5 = t à 0,5 • 4 = t à t = 2) 4 4 g(3) = 5 (puede obtener este valor usando el gráfico de la función g) h(5) = 6 (ya que la temperatura de la sustancia C fue de 6° C durante todo el período de observación) –

5. f 1(5,5) = 2 significa que la temperatura de la sustancia A fue de 5,5 ° C cuando habían transcurrido 2 días de observaciones. g(3) = 5 significa que la sustancia B tuvo 5° C de temperatura en el tercer día de observaciones. h(5) = 6 nos indica que la temperatura de la sustancia C fue de 6 ° C en el quinto día de observaciones. 6. Dom f = [0 ; 7]

Dom g = [0 ; 7]

Dom h = [0 ; 7]

(ya que la observación de la evolución de la temperatura de las 3 sustancias se realizó durante 7 días)

Matemática B • RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN INTEGRADORA

73

7. Imf= [ 5 ; 27 ] (Porque es una función lineal creciente con dominio en el intervalo 4 [ 0 ; 7 ] en la que la imagen de 0 es 5 y la imagen de 7 es 27 ) 4

Ejercicio Nº 2 1.

2. La fórmula es y = t + 2 3. h: [0 ; 7] à R / h(t) = 6 La fórmula h(t) = 6 indica que en cualquier instante t del período de observación (o del dominio de la función) la temperatura fue de 6° C.

Ejercicio Nº 3 1. La temperatura se modificó a una velocidad de 0,25 °C/día. En el momento de inicio de las observaciones la temperatura fue de 5° C. 2. La pendiente es 1 y la ordenada al origen es 2. 3. La temperatura de la sustancia B fue de 2° C al comienzo del período de observaciones y aumentó a razón de 1° C/día. 4. Tienen la misma fórmula y el mismo conjunto de llegada, pero tienen distinto dominio. En la función f el dominio es el intervalo de números reales [ 0 ; 7 ] , y en la función j el dominio es el conjunto de todos los números reales R. Gráficamente la función f resulta un segmento de recta, mientras que la función j es una recta.

Si tuvo dificultades para responder alguno de los ítems de los ejercicios anteriores, revise los temas correspondientes en la Unidad N° 1.

74


Ejercicio Nº 4 1 y 2. Para resolver el sistema en forma analítica puede utilizar cualquiera de los métodos de resolución trabajados en la Unidad N° 2. Nosotros lo resolveremos utilizando el método de igualación que es el que resulta más cómodo en este caso (si resolvió el sistema utilizando otro método, verifique que su resultado coincida con el nuestro). 1 1 3 t+5=t+2à5-2=ttà3= tàt=4 4 4 4 y=

1 4

•

4+5=6

ó

y=4+2ày=6

El conjunto solución es S = { ( 4 ; 6 ) }. La solución gráfica es la siguiente:

3. El sistema es compatible determinado, ya que tiene como única solución al punto (4 ; 6). 4. Las fórmulas del sistema son las mismas que las de las funciones f y g respectivamente. La solución del sistema expresa que al finalizar el cuarto día de observaciones la temperatura de las dos sustancias fue de 6° C.

Si tuvo dificultades para responder alguno de los ítems de este ejercicio, revise los temas correspondientes en la Unidad N° 2.


75

Ejercicio Nº 5 1. La fórmula es cuadrática. 2. k(8) = - 82 + 12 . 8 + 13 = - 64 + 96 + 13 = 45 à k(8) = 45 3. Significa que cuando la temperatura es de 8° C la sustancia B ocupa un volumen de 45 cm3. 4. Para calcular cuál es la temperatura cuando el volumen ocupado por la sustancia es 33 cm3 tenemos que calcular la/s preimagen/es de 33 a través de la función k. Para hacerlo resolvemos la ecuación: - x2 + 12 . x + 13 = 33 Esta ecuación es equivalente a: - x2 + 12 . x + 13 - 33 = 0 - x2 + 12 . x - 20 = 0

Es decir a la ecuación:

Aplicando la fórmula para resolver la ecuación cuadrática planteada nos queda:

Cuyas soluciones son x = 2 y x = 10. La solución x = 10 no resulta ser preimagen de 33 a través de la función k porque el dominio de la función k es el intervalo [2 ; 9]. Por lo tanto, la temperatura a la que el volumen de la sustancia es de 33 cm3 es 2° C. 5. Para calcular los ceros de la función k, resolvemos la ecuación - x2 + 12 . x + 13 = 0 utilizando la misma fórmula que en el ítem anterior. Sus soluciones en este caso son x = -1 y x = 13. Ninguna de las soluciones de la ecuación es un cero de la función k porque ninguna de ellas pertenece al dominio de k. 6. Significa que el volumen ocupado por la sustancia B nunca fue de 0 cm3 en el intervalo en el que estamos analizando su evolución. 7. Calculamos xv =

6

A partir de este valor calculamos yv = f(xv) = - 62 + 12 . 6 + 13 = -36 + 72 + 13 = 49. El vértice del trozo de parábola que representa a la función k es el punto (6 ; 49). 8. Significa que cuando la temperatura fue de 6° C, la sustancia alcanzó su volumen máximo que fue de 49 cm3.

76


Ejercicio Nº 6 1.

2. En el gráfico de la función k podemos observar que: a) El volumen de la sustancia aumenta cuando la temperatura de la misma sube de 2° C a 6° C. b) La función es decreciente en el intervalo de temperaturas (6 ; 9). c) La sustancia alcanza su volumen máximo de 49 cm3 cuando la temperatura es de 6° C. 3. En la representación gráfica de la función podemos observar que los valores de y están entre 33 y 49. Por lo tanto: Im k = [33 ; 49]

Ejercicio Nº7 1. Tienen el mismo conjunto de llegada y la misma fórmula. El conjunto de partida es diferente. En la función k, el conjunto de partida es un intervalo de números reales, mientras que en la función m, el conjunto de partida es todo el conjunto de los números reales. Gráficamente la representación de m es una parábola y la representación de k es un trozo de esa parábola. 2. Los ceros de la función m son las soluciones de la ecuación – x 2 + 12 . x + 13 = 0 que ya calculamos en el Ejercicio Nº 5. Como el dominio de la función m es el conjunto de todos los números reales, entonces C0 = {-1 ; 13} . Las coordenadas del vértice son las mismas que las de la función k que calculamos en el Ejercicio Nº 5: V = (6 ; 49). La ordenada al origen de la función es la imagen de 0: m(0) = - 02 + 12 . 0 + 13 = 13 El conjunto imagen podemos determinarlo a partir de la coordenada yv. La parábola alcanza en yv su valor máximo, por lo tanto, el conjunto imagen está formado por todos los números reales menores o iguales que yv, es decir: lm m = [-∞ ; 49] Matemática B • RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN INTEGRADORA

77

3. A partir de la representación gráfica y los ceros de la función m, podemos observar que las imágenes toman valores positivos en el intervalo (-1 ; 13) y negativos en los intervalos . En símbolos: + – C = (-1 ; 13) y C = (−∞ ; -1) ∪ (13 ; +∞)

Si tuvo dificultades para responder alguno de los ítems de los Ejercicios Nº 5, 6 o 7, revise los temas correspondientes en la Unidad N° 5.

Ejercicio Nº 8 1. p(x) = m(x) . n(x) = (x - 1) . (- x2 + 12 x + 13) = - x3 + 13 x2 + x - 13 2. Para comenzar la factorización del polinomio p(x) buscamos una de sus raíces. Las posibles raíces son ± 13 y ± 1. Como p(1) = 0, x = 1 es raíz del polinomio p(x). Dividimos entonces a p(x) por (x - 1). El resultado de la división es (- x2 + 12 x + 13), por lo tanto podemos factorizar a p(x) como: p(x) = (x - 1) . (- x2 + 12 x + 13) (cosa que ya sabíamos porque p(x) es el polinomio que obtuvimos al multiplicar los polinomios n(x) = (x - 1) y m(x) = (- x2 + 12 x + 13)) Para terminar la factorización de p(x) debemos buscar los ceros del factor (- x2 + 12 x + 13). Por tratarse del polinomio que analizamos en el Ejercicio 7, ya sabemos que sus ceros son x = -1 y x = 13. El polinomio p(x) factorizado es: p(x) = -1 . (x - 1) . (x + 1) . (x - 13) 3. Para calcular el resto de dividir a p(x) por (x + 3) sin hacer la división, recurrimos al teorema del resto, calculando p(-3) = 128. Por lo tanto, el resto de dividir a m(x) por (x + 3) es 128. 4. Para determinar si p(x) es divisible por (x - 5) sin resolver la división, recurrimos también al teorema del resto, calculando p(5). Como p(5) ≠ 0 entonces p(x) no es divisible por (x - 5). (Para serlo el resto de la división debe ser cero).

Si tuvo dificultades para responder alguno de los ítems de este ejercicio, revise los temas correspondientes en la Unidad N° 6.

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Actividad N° 2 Ejercicio Nº 1 1. Hallaremos las medidas de los lados de la pieza. Sobre el rectángulo ABEG se tiene una relación entre la medida del lado AB (que llamaremos x) y la medida del lado AG (que llamaremos y). La podemos traducir usando la ecuación x = 2y - 0,2. Además se sabe que el perímetro del rectángulo debe ser de 5 cm. Por lo tanto, planteamos la ecuación 2x + 2y = 5. Con las dos ecuaciones anteriores formamos un sistema:

La solución de este sistema de ecuaciones resulta x = 1,6 e y = 0,9. Por lo tanto, el lado AB de la pieza mide 1,6 cm y el lado AG mide 0,9 cm. Las medidas de los lados BC y CD son datos. Para hallar la medida de DE , calculamos la medida de BD. Teniendo en cuenta que el ángulo D del triángulo BDC es recto, utilizamos el teore2 2 2 2 2 ma de Pitágoras: BC = BD + DC à BD = 1,7 - 1,5 = 0,8 cm. En el rectángulo ABEG, el lado AG mide lo mismo que el lado BE (0,9 cm). Por lo tanto, el lado DE de la pieza mide 0,1 cm. Teniendo en cuenta que y que GE = 1,6 cm (ya que el lado GE mide lo mismo que el lado AB), resulta HE = 1,6 - HG. Si reemplazamos esta expresión en la proporción

HE HG

3

=

,

2

1,6 - HG

= 1,5 à 1,6 - HG = 1,5 • HG à 1,6 = 2,5 • HG à HG = 0,64 cm HG HE = 1,5 • 0,64 = 0,96 cm resulta

y

Para hallar la medida del lado FE de la pieza, usamos el triángulo EHF en el que el ángulo H es recto por ser HF la altura correspondiente al lado GE. Utilizando el teorema de Pitágoras en este triángulo podemos plantear: FE 2 = HE 2 + HF 2 = (0,96)2 + (0,45)2= 0,9216 + 0,2025 = 1,1241m. FE

2

= 1,1241 = 1,06 cm.

Si consideramos el triángulo GHF en el que el ángulo H es recto, también podemos usar el teorema de Pitágoras para hallar la medida del lado GF. Así:

GF =

GH

2

+ HF

2

.Por lo tanto, el lado GF de la pieza mide 0,78 cm.

2. El perímetro de la pieza es P = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA Resulta de 7,64 cm. Matemática B • RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN INTEGRADORA

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3. Se necesita averiguar el área de una cara de la pieza. Para eso se la puede dividir en 3 partes: el rectángulo ABEG, y los triángulos BDC y GEF. Área del rectángulo ABEG = AB • AG = 1,44 cm2 Área del triángulo BDC =

DC • BD

2 = 0,6 cm

2 Área del triángulo GEF =

GE • HF

2 = 0,36 cm

2 2 Por lo tanto, cada cara de la pieza tiene una superficie de 2,4 cm . Las dos caras de cada pieza miden 4,8 cm2. La superficie a pintar en 1000 piezas es de 4800 cm2. Si se usa 1 ml de pintura cada 2 cm2, para pintar 4800 cm2, se necesitarán 2400 ml. Como en un litro hay 1000 ml, se necesitan 2,4 litros de pintura. Por lo tanto se necesitarán 3 latas de pintura. 4. Tenemos en cuenta que las posibles superficies x a pintar son números reales mayores que cero (el dominio de la función es R>0), que como conjunto de llegada se puede elegir al conjunto de números reales R (ya que en él estarán con seguridad todas las imágenes o posibles cantidades y de pintura) y que la fórmula que permite 1 calcular y a partir de x es y = • x . Entonces la función pedida puede ser: 2 1 • x f: R>0 à R / y = f(x) = 2 5. La función f es una función de proporcionalidad directa.

Ejercicio Nº 2 1. Si en estas nuevas piezas, el lado B'C' correspondiente al lado BC mide 5,1 cm, la B’C’ 5,1 razón = = 3 . Como son figuras (piezas) semejantes entre sí, cada lado de la BC 1,7 nueva pieza mide el triple de lo que mide cada lado de la pieza anterior. Por lo tanto, la fórmula que permite calcular las medidas y de los lados de las nuevas piezas a partir de las medidas x de los lados de las piezas anteriores es y = 3x. 2. Calculamos el área de una cara de esta nueva pieza. Área del rectángulo A'B'E'G' = A’B’ • A’G’ = 4,8 cm • 2,7 cm = 12,96 cm2. Área del triángulo B'D'C' =

D’C’ • B’D’

4,5 cm • 2,4 cm

=

2

2 Área del triángulo G'E'F' =

G’E’ • H’F’

=

4,8 cm • 1,35 cm

2

80

2 = 5,4 cm .


2

2 = 3,24 cm .

El área de cada cara de una pieza es de 21,6 cm2. (Observe que la superficie de cada cara de esta nueva pieza es 9 veces, ó 32 veces, la superficie de cada cara de la pieza anterior). Procediendo como en el ítem 3 del Ejercicio Nº 1, se calcula que se necesitarán 21,6 litros de pintura para pintar 1000 piezas en ambas caras. Se necesitarán 22 latas de pintura.

Ejercicio Nº 3 1. Si se tiene en cuenta la semejanza entre la chacra y una pieza del juego, la razón de 150 m 150 m semejanza es = 10000 . = 0,015 m 1,5 cm Esto es: cada lado de la chacra mide 10000 veces lo que mide cada lado correspondiente de la primera pieza. Por lo tanto, los lados de la chacra miden: AB, 160 m; BC, 170 m; CD, 150 m; DE, 10 m; EF, 106 m; FG, 78 m y AG, 90 m. El perímetro es de 764 m que es la cantidad de alambrado que se necesitará. 2 2. La superficie de la chacra es de 24000 m . (El cálculo es similar al hecho en los casos anteriores). 1 2 • 24000 = 4000 m . Para sembrar cereales se destina 6 2 2 • 24000 = 9600 m . Para pasturas se destina 5

Para árboles frutales

1 •

24000 = 3000 m2.

8 Para vivienda quedan 24000 - (4000 + 9600 + 3000) = 7400 m2.

3. Una escala de 1 : 2000 significa que 1 cm del plano representa 2000 cm (o 20 m) de la chacra. Por lo tanto, las dimensiones que debe tener el plano son: AB = 8 cm; BC = 8,5 cm; CD = 7,5 cm; DE = 0,5 cm; EF = 5,3 cm; FG = 3,9 cm; GA = 4,5 cm. En el plano, el ángulo α mide 25° ya que en las semejanzas, las amplitudes de los ángulos se mantienen. Teniendo en cuenta estas medidas, controle el plano que haya hecho. 4. Representamos la zona a sembrar con trigo:


81

x + x - 16 = 170 m à 2x = 186 m à x = 93 m. O sea que BM mide 93 m y MC mide 77 m Teniendo en cuenta el teorema de Thales, podemos plantear: o sea

170 m

=

150 m

, entonces NC =

150 • 77

BC

=

MC

DC

,

NC

= 67,94 m. 77 m NC 170 Teniendo en cuenta que el triángulo MNC es rectángulo ( N es recto) podemos aplicar el teorema de Pitágoras para hallar MN . Así: MN = 772 - 67,942 = 36,24 m. Por lo tanto, el área del triángulo MNC =

67,94 • 36,24

= 1231,07. 2 Es decir que el área del sector que se sembrará con trigo es de 1231,07 m2.

Si tuvo dificultades para responder alguno de los ejercicios de la Actividad N° 2, revise los temas correspondientes en las Unidades N° 3 y 4.

Para autoevaluar si trabajó correctamente los contenidos de la Unidad N° 7 es suficiente con la resolución de cualquiera de los Ejercicios de integración propuestos al finalizar dicha unidad.

Esperamos que haya podido resolver los ejercicios propuestos en esta autoevaluación. Si le han quedado dudas puede acercarnos su consulta a través de cualquiera de los recursos que Adultos 2000 pone a su disposición: consultoría presencial, consultoría electrónica, consultoría telefónica o el buzón de actividades.

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