Mathcad - Tutorial Mathcad V8 194w1x
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Prof. Fernando Artur Nogueira
Resistência dos Materiais II
MATHCAD - Notas Introdutórias Parte do Curso de Resistência dos Materiais II Universidade Católica de Pernambuco Prof. Fernando A rtur No gu eira - J ul/2 00 0 Adaptado do material que integra o livro: Mechanics of Materials, Fourth Edition, Gere and Timo shenko, 19 99
1. Introdução Estas notas pretendem ensiná-lo a começar a utilizar o Mathcad. Na verdade, serão apresentadas as características básicas do programa ficando a seu cargo o aprendizado das ferramenteas mais avançadas. Durante o Curso de Resistência dos Materiais II você será estimulado (e cobrado) a usar o Mathcad para resolver os exercícios propostos em sala de aula e as listas de exercícios de entrega obrigatória. O Laboratório de Computacão do Departamento de Engenharia Civil tem o programa instalado em todas as suas máquinas e encontra-se aberto durante os três turnos. Bom proveito. Conceitualmente, cada documento do Mathcad consiste em folhas de papel, nas quais são colocados textos text regions - (como este que você está lendo), fórmulas matemáticas - math regions - (onde as equações aparecem e os cálculos são executados) e plot regions (locais para elaboração de gráficos). O presente documento foi gerado no Mathcad 2000 e você pode editá-lo ao seu gosto. Convém, entretanto, fazer uma cópia para eventuais acidentes que sempre acontecem
2. Regiões e Seleção No Mathcad, cada texto ou expressão matemática é tratado como uma região (uma para cada tipo). Isto pode ser observado clicando com o mouse na área branca da tela e arrastando-o através do texto ou expressão. Cada região que você cruza é selecionada numa caixa com linhas de contorno pontilhadas, permitindo que você mova as regiões ou as apague. Você pode ainda selecionar o menu View Regions do menu Edit para visualizar as regiões. Para mover regiões que foram criadas proceda da seguinte forma: • • •
Primeiro crie uma região de texto como exemplo. Para fazer isto, posicione o cursor vermelho (cruz vermelha) em qualquer ponto da tela e pressione a tecla Shif e o sinal " , simultâneamente, - você pode ainda ir no menu Insert e escolher Text Region . Em seguida digite um texto qualquer; Selecione a região utilizando o procedimento descrito acima; Posicione o apontador do mouse sobre uma das regiões selecionadas e perceba que aparcerá a figura de uma mão.Para mover a região simpesmente clique o mouse, permaneça com ele nesta posição e arraste a região para o local que deseja.
Uma vez que a região ou regiões foram selecionadas, você pode clicar com o botão direito do mouse sobre ela e ar um menu com diversas opções. Para deselecionar uma região simplesmente clique fora dela. Dica: Uma forma rápida de inserir texto é ir digitando o mesmo. Quando a barra de espaços for pressionada o Mathcad entende que a região inserida contém um texto. Tente fazer isto.
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Resistência dos Materiais II
3. Ordem de Cálculo O Mathcad lê as regiões da esquerda para a direita e de cima para baixo. Isto significa dizer que as definições de expressões matemáticas devem ser feitas considerando esta propriedade. Para observar um exemplo desta característica, crie uma região que mostra o valor de x - para isto digite x e o sinal de =3. Digite também a seguinte expressão: x+3=. Veja que o programa automaticamente calcula o valor desta expressão. Agora mova a região que contém x=3 para um local abaixo da segunda expressão.Você observará que a variável x aparecerá em vermelho e se você posicionar o mouse sobre a equação terá a seguinte mensagem: This variable or function is not defined above (esta variável ou função não está definida acima). Se acostume com o inglês, você não terá mais tradução daqui para frente. Se você lembar de como o Mathcad lê as regiões perceberá que a expressão que define o valor de x, utilizado na segunda expressão, foi definida em desacordo com as regras estabelecidas. O programa ainda não conhece o valor de x. Não pode, portanto, calcular o valor da segunda expressão. Para solucionar isto mova x para um local que respeite as definições informadas acima.
x := 10
x + 3 = 13
4. Regiões e o Operador de atribuição (assignment operator) Para criar uma math region , clique em qualquer parte em branco da tela e entre com a expressão que deseja. Para definir uma variável ou expressão, você deve digitar o caractere de dois pontos (:) , que mostrará o seguinte símbolo := . Por exemplo, ageme := 48
Digite age.me:48
Este é o botão de atribuição na paleta caluladora (veja figura mais adiante)
O sinal := (chamado de ponto-igual) é o operador de atribuição, que atribui o valor 48 à variável ageme . Para ver o resultado numérico utilize =
ageme = 48
Digite age.me=
Tente clicar no número 48 definido anteriormente e o subistitua por 50. Para apagar o número 48 posicione o curso no final do número e pressione a tecla Backspace duas vezes. Assim que você clicar com o mouse fora da região ou pressionar a tecla Enter o resultado numérico acima mudará. Trata-se, portanto, de um documento vivo, que é uma das pontencialidades do Mathcad. Obs.: O subscrito criado com um ponto não tem significado matemático - tem apenas finalidade cosmética (de apresentação) A seguir uma listagem com os operadores usuados com mais freqüencia, acompanhados das teclas que os acionam.
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4.1 Operadores Escalares Operação
Tecla
Botão
Exemplo
======================================================== Adição
+
Lw := x + 4
Lw = 14
Subtração
-
t := x − 3.2
t = 6.8
Multiplicação
*
y := x⋅ 0.8
y=8
Divisão
/
f :=
x
1.2
a = 15.849
g :=
x
g = 3.162
⌠ i := ⌡
10
Potênciação
^
a := x
Raiz quadrada
\
Integral
&
f =1
x
x dx
i = 50
0
d x d=1 dx ======================================================= Derivada
?
d :=
Você aprenderá todos os operadores na medida em que for utilizando o programa no seu dia a dia. Se você esquecer algum deles, poderá ar as paletas no lado esquerdo de sua tela ou ir no menu View- Toolbar-Math. Percorra cada uma e descubra você mesmo seu conteúdo.
5. Editando Quando você edita uma expressão, a barra de espaços é utilizada para determinar a ordem das operações. Veja o exemplo. ( x + 1) ⋅ x
Digite x+1 [pressione a barra de espaços]*x
Se a barra de espaços não tivesse sido pressionada, você teria visto o seguinte x + 1⋅ x Que é uma expressão completamente diferente da anterior. Certos operadores, tais como superescritos, subscritos, raiz quadrada e divisão são chamados sticky operator (operadores autocolantes) porque os caracteres que você digite colarão a eles até que você especifique o contrário, pressionando a barra de espaços (ou usando o mouse). Por exemplo:
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2
x +
7 3
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−y
Digite x ^ 2 [barra de espaços] + 7/3 [barra de espaços] -y
Sem pressionar a barra de espaços, o resultado seria o seguinte 2+
x
7 3− y
Para mudar uma variável ou um número, clique nele, pressione a barra de espaços sobre ele e entre com o valor que deseja. A fim de mudar um operador, os seguintes os são necessários.
2
x + x−y
Para mudar o sinal de +, clique antes dele na expressão acima e pressione a tecla Delete. Coloque o sinal desejado e pressione a tecla Enter. 2
x
x
−y
Se você quisesse mudar o sinal de menos ( - ) na pelo sinal de multiplicação ( * ) na expressão anterior deve proceder da mesma forma. Veja 2
x + x⋅ y
6. Mostrando Respostas Você pode querer que o Mathcad mostre seus cálculos (respostas) de diferentes maneiras. Por exemplo, você pode usar j ou i para indicar números complexos. Ou, você pode especificar o número de dígitos de precisão dos números. Todas estas escolhas são feitas através do menu Format Result. Confira !
7. Range Variables Atribuir uma faixa de variação para uma variável no Mathcad é uma operação direta. Veja. x := 0 .. 3
x=
Digite x:0;3 [enter] x=
0 1 2 3
Este é o botão de range variables na paleta caluladora (veja figura mais adiante)
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Você atribuiu à variável x valores de 0 até 3 de 1 em 1.
Para definir outro tipo de intervalo, deve-se fazer o seguinte: variável := primeiro número, próximo número .. último número
y := 1 , 1.1 .. 1.3
Digite y: 1,1.1;1.3 [Enter] y=
8. Funções Escalares O Mathcad possui funções internas já previamente definidas e ainda fornece a possibilidade do usuário criar suas próprias funções. As definições da maioria das funções é óbvia quando você as observa. A seguir são relacionadas algumas desta funções. Mathcad Name Re( z)
componente real de z
Im( z)
componente imaginário de z
arg( z)
argumento de z
ceil( x)
menor interiro >= x
floor( x)
maior inteiro <= x
angle( x , y)
ângulo positivo do eixo x até o ponto (x,y)
Há muitas outras funções disponíveis, as quais podem ser listadas a partir do menu Insert Function. Lá estão relacionadas todas as funções internas do Mathcad (built-in functions). Na caixa de diálogo exibida (mostrada abaixo) você encontrará uma breve explicação do que a função realiza.
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Parta definir sua prórpias funções deve-se fazer o seguinte
f ( x) := sin( x)
Digite f(x):sin(x)
2
g( x, y) := x − y
Digite g(x,y):x^2 [barra de espaços] - y
Depois de definidas estas funções podem ser avaliadas para valores específicos f ( 45⋅ deg) = 0.707
g( 1 , −1) = 2
Obs.: Note que o argumento da função f foi convertido para grau. Isto foi feito multiplicando o valor 45 pela expressão deg. Este é o procedimento para transformar os ângulos para graus, já que é padrão a consideração do argumento em radianos no Mathcad.
9. Vetor e Matrizes Para definir uma matriz no Mathcad proceda da seguinte forma. • • • • •
Digite um nome para a matriz ou vetor (por exemplo v : no exemplo a seguir); Selecione Matrix no menu Insert ou utilize a palete de geração de matrizes no menu View-Tool- Bar Math ( a figura a seguir mostra a paleta Math); Especifique o número de linhas e ecolunas desejado; Clique em Create ou pressione a tecla Enter; Preencha os placeholders (quadrados em negritos) com os números desejados (elementos da matriz)
7 9 1 M := 6 −8 2 5 7 3
4 v := −3 2
A seguir uma breve definição de cada botão da paleta math
Calculadora
Letras Gregas
Avaliação
Vetores e Matrizes
Programação
Operações Boleanas
Gráfico
Cálculo simbólico
Cálculo
6
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9.1 Índices da Matriz Os índices da matriz são usados para ar elementos individuais de uma matriz. No Mathcad, os índices começam em zero, a não ser se especificado de outra maneira (para isto procure o help do comando ORIGIN). Veja os exemplos.
i := 0 .. 2
Digite i:0;2
j := 0 .. 2
v =4
Digite v [ 0 =
M
v = −3
Digite v [ 1 =
0 1
0, j
Digite j:0;2
=
Digite M [0,j =
7 9 1
Veja e compare as diferenças ORIGIN := 1 i := 1 .. 3
Digite i:1;3
j := 1 .. 3
v =4
Digite v [ 1 =
M
1
1, j
Digite j:1;3
=
Digite M [1,j =
7 9 1
Tenha cuidado para não confundir o subscrito utilizado para ar elementos de uma matriz ( tecka [ ) com o subscrito (cosmético) obtido através de um ponto, conforme já descrito acima. Voltando a origem para 0
ORIGIN := 0
É importante ainda observar que o Mathcad sempre trata os índices sequencialmente. Por exemplo, se você fosse definir i := 0 , 2 .. 6
x := i i
Você obteria o seguinte
i = 0 2 4
0 0 2 x = 0 4 0 6
6
Uma vez que o Matcad trata os índices sequencialmente, ele preenche o primeiro, o terceiro e o quinto elemento do vetor com zero uma vez que estas posições não foram especificamente definidas na definição de x. Um maneira de definir a seqüencia de número acima sem esta inserção de zeros seria a seguinte
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i := 0 .. 3
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0 2 y= 4 6
y := i⋅ 2 i
9.2 Operações com Matrizes e Vetores A maioria das operações com matrizes e vetores pode ser encontrada na paleta de Matrizes. A seguir são listadas as operações básicas.Vá na paleta e veja as operações possíveis. Operador
Tecla
Botão
Exemplo
===================================================================== produto escalar
[Shift] 8
A⋅ B
produto vetorial
[Ctrlt] 8
A× B
determinante
|
coluna
[Ctrlt] 6
Como uma multiplicação escalar
A ⟨2⟩ A
Retorna a segunda coluna de A
======================================================================
9.3 Funções Vetores e Matriciais Utilizando v e M definidos anteriormente para os próximos exemplos, aqui são expostas algumas das funções internas para vetores e matrizes do Mathcad.
Finalidade
Exemplo
================================================== Número de Colunas
cols( M ) = 3
Número de Linhas
rows( M ) = 3
Maior valor na matriz
max( M ) = 9
==================================================
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10. Trabalhando com Unidades Uma das facilidade do Mathcad é a possibilidade de definição automática de unidades e transformação entre elas. Isto já foi feito anteriormente quando transformamos o argumento da função seno (sin 45*deg) para graus. A seguir outros exemplos. x := 10⋅ in
Digite x:10*in
in = símbolo de polegadas
Para ver quanto vale x em centímetros, clique na equação e posicione o cursor depois da unidade de polegadas (in). Apague-a e digite a unidade cm. A expressão fica da forma exposta a seguir x := 10⋅ cm
Observe que sua expressão será automaticamente mostrada na unidade de comprimento do sistema de unidades para o qual o Mathcad estiver ajustado. Para saber qual é este sistema vá no menu Math-Options-Unit System. Normalmente está ajustado para o SI (Sistema Internacional) , no qual a unidade de comprimento é o metro - m.O resultado será então o seguinte.
x = 0.1 m
Digite x=
Este princípio vale para todas as unidades constantes do Mathcad. Para consultar a lista de unidades disponíveis para dado sistema vá no menu Insert Unit. Lá há uma descrição de cada unidade acompanhada de sua respectiva simbologia. Esta caracrterística do Mathcad é bastante útil na medida em que ela permite que você verifique se cometeu algum erro nas unidades em determinado problema. Esta característica possibilita ainda a conversão de unidades. Por exemplo, se você não lembra quantos kgf valem 1 Newton proceda da seguinte forma. F := 1 ⋅ N
Crie uma variável qualquer e atribua a ela o valor de 1 Newton Digite F:1*N
F = 1N
Digite F= Em seguida clique sobre a expressão ao lado. Você notará que aparecerá um placeholder (quadrado preto) no final da expressão. Clique com o mouse sobre ele e escreva kgf. Clique fora da expressão e o resultado será o seguinte.
F = 0.102 kgf
Agora você sabe quantos kgf corresponde 1 N
Obs.: Você pode utilizar unidades dentro de vetores ou matrizes. Mas lembre-se que todos os elementos têm que está no mesmo tipo de unidade.
2 ⋅ cm vcorreto := 4 ⋅ cm 10⋅ cm
2 ⋅ cm verrado := 3⋅ m 5 ⋅ sec
o segundo está errado porque as unidades dos elementos não são as mesmas. O Mathcad mostra a expressão em vermelho e se você clicar sobre ela verá o motivo do erro.
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11. Expressões Simbólicas Expressões simbólicas podem ser escritas no Mathcad utilizando o sinal de igual lógico, que é obtido pressionando-se a tecla Ctrl=. Veja o exemplo.
2
x ⋅ y = 2⋅ b +
x d
−7
Digite x^2 * y [Ctrl]= 2*b [barra de espaços] + x/d [barra de espaços] - 7
Observe o sinal de igual. É diferente daqueles vistos até agora. Este tipo de sinal é usado, por exemplo, na solução de sistemas de equações. Veja.
Given
Digite Given
2 ⋅ x + 4 ⋅ y = 60
Digite 2*x+4*y [Ctrl+]3
4 ⋅ x + 15⋅ y = 20
Digite 5*x+10*y [Ctrl+]50
410 7 Find( x , y) → −100 7
Digite Find(x,y) [Ctrl .]
Depois clique fora da expressão e você obterá os valores das incógnitas x e y.Note que foram utilizadas duas novas funções: Given e Find. Procure no help mais detalhes sobre elas
12. Gráficos No Mathcad é possível se traçar os mais variados gráficos, desde os bi-dimensionais até os tridimensionais. Vá no menu Insert Graph e explore estas potencialidades (veja figura a seguir).
A seuir um exemplo de gráfico x-y x := 0 .. 2 ⋅ π
Digite x:0;2*p[Ctrl]g
f ( x) := sin( x)
Digite f(x):sin(x)
Para acionar o número π você pode ir no menu View-Math e escolher a paleta que contém as letras gregas (greek)
Para plotar a função f(x) temos duas maneiras: •
Clique com o mouse abaixo deste texto e e o menu Insert-Graph-X-Y Plot. Será exibido um gráfico vazio contendo dois placeholders, um em x e outro em y. Clique com o mouse no placehloder e digite x. Proceda da mesma forma em y e digite f(x). O resultado será o seguinte.
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1
f ( x)
0
1
0
2
4
6
x
A outra forma de inserir o gráfico vazio é a seguinte
Digite f(x)@x[Enter]
A figura aparecerá assim, com os placeholders já preechidos.
1
f ( x)
0
1
0
2
4
6
x
Você deve observar que os dois gráficos apresentam um formato muito retilíneo para uma função trigonométrica com a sin(x). Isto se deve ao fato de que o intervalo definido para a variável x. Ela vai de 0 até 6.28 (duas vezes pi) de um em um. Se você redefinir para um intervalo mais suave terá o seguinte resultado.
x := 0 , 0.01 .. 2⋅ π
Digite x:0,0.01;2*π
1
f ( x)
0
1
0
2
4
6
8
x
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x
12.1 Anatomia de um gráfico Se você clicar em qualquer lugar da tela e pressionar @, verá o seguinte - obviamente sem o texto expicatório que consta da figura mostrada abaixo.
Se você simplesmente preencher com os argumentos de x e y e pressionar Enter, os limites dos placeholders serão automaticamente preenchidos com o maior e menor valor do gráfico. Se você der um duplo clique no gráfico, aparecerá um caixa de diálogo que lhe permite mudar os parâmteros do gráfico, tipos de linhas, inserir legendas, inserir título, entre outras coisas.
12.2 Formatando gráficos Caso você deseje, pode entrar com números nos limites dos placeholders para ajustar o limite do gráfico ou para criar um marcador (marker). Veja o exemplo
Para colocar este marcador clique duas vezes no gráfico e selecione show markres no eixo dos y. Digite o número 0 no primeiro placeholder e obterá o resultado acima
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12.3 Unidades em gráficos Você pode utilizar unidades em gráfico. Veja como proceder L := 0.1⋅ m , 0.2⋅ m .. 1⋅ m y( L) :=
2 5
Digite L:0.1*m,0.2*m;1*m
⋅ 3⋅ m − L
Digite y(L):2/5 [barra de espaços] 3*m - L
Digite y(L)/cm@L/m
Você está criando um gráfico com y em centímetros e L em metros 150
y( L) cm
100 50
0
0
0.5
1
L m
Obs.:Veja que estamos usando unidades diferente em x e y.Lembre-se que a inserção de um gráfico pode ser feita através di menu Insert-Graph.
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1. Introdução Estas notas pretendem ensiná-lo a começar a utilizar o Mathcad. Na verdade, serão apresentadas as características básicas do programa ficando a seu cargo o aprendizado das ferramenteas mais avançadas. Durante o Curso de Resistência dos Materiais II você será estimulado (e cobrado) a usar o Mathcad para resolver os exercícios propostos em sala de aula e as listas de exercícios de entrega obrigatória. O Laboratório de Computacão do Departamento de Engenharia Civil tem o programa instalado em todas as suas máquinas e encontra-se aberto durante os três turnos. Bom proveito. Conceitualmente, cada documento do Mathcad consiste em folhas de papel, nas quais são colocados textos text regions - (como este que você está lendo), fórmulas matemáticas - math regions - (onde as equações aparecem e os cálculos são executados) e plot regions (locais para elaboração de gráficos). O presente documento foi gerado no Mathcad 2000 e você pode editá-lo ao seu gosto. Convém, entretanto, fazer uma cópia para eventuais acidentes que sempre acontecem
2. Regiões e Seleção No Mathcad, cada texto ou expressão matemática é tratado como uma região (uma para cada tipo). Isto pode ser observado clicando com o mouse na área branca da tela e arrastando-o através do texto ou expressão. Cada região que você cruza é selecionada numa caixa com linhas de contorno pontilhadas, permitindo que você mova as regiões ou as apague. Você pode ainda selecionar o menu View Regions do menu Edit para visualizar as regiões. Para mover regiões que foram criadas proceda da seguinte forma: • • •
Primeiro crie uma região de texto como exemplo. Para fazer isto, posicione o cursor vermelho (cruz vermelha) em qualquer ponto da tela e pressione a tecla Shif e o sinal " , simultâneamente, - você pode ainda ir no menu Insert e escolher Text Region . Em seguida digite um texto qualquer; Selecione a região utilizando o procedimento descrito acima; Posicione o apontador do mouse sobre uma das regiões selecionadas e perceba que aparcerá a figura de uma mão.Para mover a região simpesmente clique o mouse, permaneça com ele nesta posição e arraste a região para o local que deseja.
Uma vez que a região ou regiões foram selecionadas, você pode clicar com o botão direito do mouse sobre ela e ar um menu com diversas opções. Para deselecionar uma região simplesmente clique fora dela. Dica: Uma forma rápida de inserir texto é ir digitando o mesmo. Quando a barra de espaços for pressionada o Mathcad entende que a região inserida contém um texto. Tente fazer isto.
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3. Ordem de Cálculo O Mathcad lê as regiões da esquerda para a direita e de cima para baixo. Isto significa dizer que as definições de expressões matemáticas devem ser feitas considerando esta propriedade. Para observar um exemplo desta característica, crie uma região que mostra o valor de x - para isto digite x e o sinal de =3. Digite também a seguinte expressão: x+3=. Veja que o programa automaticamente calcula o valor desta expressão. Agora mova a região que contém x=3 para um local abaixo da segunda expressão.Você observará que a variável x aparecerá em vermelho e se você posicionar o mouse sobre a equação terá a seguinte mensagem: This variable or function is not defined above (esta variável ou função não está definida acima). Se acostume com o inglês, você não terá mais tradução daqui para frente. Se você lembar de como o Mathcad lê as regiões perceberá que a expressão que define o valor de x, utilizado na segunda expressão, foi definida em desacordo com as regras estabelecidas. O programa ainda não conhece o valor de x. Não pode, portanto, calcular o valor da segunda expressão. Para solucionar isto mova x para um local que respeite as definições informadas acima.
x := 10
x + 3 = 13
4. Regiões e o Operador de atribuição (assignment operator) Para criar uma math region , clique em qualquer parte em branco da tela e entre com a expressão que deseja. Para definir uma variável ou expressão, você deve digitar o caractere de dois pontos (:) , que mostrará o seguinte símbolo := . Por exemplo, ageme := 48
Digite age.me:48
Este é o botão de atribuição na paleta caluladora (veja figura mais adiante)
O sinal := (chamado de ponto-igual) é o operador de atribuição, que atribui o valor 48 à variável ageme . Para ver o resultado numérico utilize =
ageme = 48
Digite age.me=
Tente clicar no número 48 definido anteriormente e o subistitua por 50. Para apagar o número 48 posicione o curso no final do número e pressione a tecla Backspace duas vezes. Assim que você clicar com o mouse fora da região ou pressionar a tecla Enter o resultado numérico acima mudará. Trata-se, portanto, de um documento vivo, que é uma das pontencialidades do Mathcad. Obs.: O subscrito criado com um ponto não tem significado matemático - tem apenas finalidade cosmética (de apresentação) A seguir uma listagem com os operadores usuados com mais freqüencia, acompanhados das teclas que os acionam.
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4.1 Operadores Escalares Operação
Tecla
Botão
Exemplo
======================================================== Adição
+
Lw := x + 4
Lw = 14
Subtração
-
t := x − 3.2
t = 6.8
Multiplicação
*
y := x⋅ 0.8
y=8
Divisão
/
f :=
x
1.2
a = 15.849
g :=
x
g = 3.162
⌠ i := ⌡
10
Potênciação
^
a := x
Raiz quadrada
\
Integral
&
f =1
x
x dx
i = 50
0
d x d=1 dx ======================================================= Derivada
?
d :=
Você aprenderá todos os operadores na medida em que for utilizando o programa no seu dia a dia. Se você esquecer algum deles, poderá ar as paletas no lado esquerdo de sua tela ou ir no menu View- Toolbar-Math. Percorra cada uma e descubra você mesmo seu conteúdo.
5. Editando Quando você edita uma expressão, a barra de espaços é utilizada para determinar a ordem das operações. Veja o exemplo. ( x + 1) ⋅ x
Digite x+1 [pressione a barra de espaços]*x
Se a barra de espaços não tivesse sido pressionada, você teria visto o seguinte x + 1⋅ x Que é uma expressão completamente diferente da anterior. Certos operadores, tais como superescritos, subscritos, raiz quadrada e divisão são chamados sticky operator (operadores autocolantes) porque os caracteres que você digite colarão a eles até que você especifique o contrário, pressionando a barra de espaços (ou usando o mouse). Por exemplo:
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2
x +
7 3
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−y
Digite x ^ 2 [barra de espaços] + 7/3 [barra de espaços] -y
Sem pressionar a barra de espaços, o resultado seria o seguinte 2+
x
7 3− y
Para mudar uma variável ou um número, clique nele, pressione a barra de espaços sobre ele e entre com o valor que deseja. A fim de mudar um operador, os seguintes os são necessários.
2
x + x−y
Para mudar o sinal de +, clique antes dele na expressão acima e pressione a tecla Delete. Coloque o sinal desejado e pressione a tecla Enter. 2
x
x
−y
Se você quisesse mudar o sinal de menos ( - ) na pelo sinal de multiplicação ( * ) na expressão anterior deve proceder da mesma forma. Veja 2
x + x⋅ y
6. Mostrando Respostas Você pode querer que o Mathcad mostre seus cálculos (respostas) de diferentes maneiras. Por exemplo, você pode usar j ou i para indicar números complexos. Ou, você pode especificar o número de dígitos de precisão dos números. Todas estas escolhas são feitas através do menu Format Result. Confira !
7. Range Variables Atribuir uma faixa de variação para uma variável no Mathcad é uma operação direta. Veja. x := 0 .. 3
x=
Digite x:0;3 [enter] x=
0 1 2 3
Este é o botão de range variables na paleta caluladora (veja figura mais adiante)
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Você atribuiu à variável x valores de 0 até 3 de 1 em 1.
Para definir outro tipo de intervalo, deve-se fazer o seguinte: variável := primeiro número, próximo número .. último número
y := 1 , 1.1 .. 1.3
Digite y: 1,1.1;1.3 [Enter] y=
8. Funções Escalares O Mathcad possui funções internas já previamente definidas e ainda fornece a possibilidade do usuário criar suas próprias funções. As definições da maioria das funções é óbvia quando você as observa. A seguir são relacionadas algumas desta funções. Mathcad Name Re( z)
componente real de z
Im( z)
componente imaginário de z
arg( z)
argumento de z
ceil( x)
menor interiro >= x
floor( x)
maior inteiro <= x
angle( x , y)
ângulo positivo do eixo x até o ponto (x,y)
Há muitas outras funções disponíveis, as quais podem ser listadas a partir do menu Insert Function. Lá estão relacionadas todas as funções internas do Mathcad (built-in functions). Na caixa de diálogo exibida (mostrada abaixo) você encontrará uma breve explicação do que a função realiza.
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Parta definir sua prórpias funções deve-se fazer o seguinte
f ( x) := sin( x)
Digite f(x):sin(x)
2
g( x, y) := x − y
Digite g(x,y):x^2 [barra de espaços] - y
Depois de definidas estas funções podem ser avaliadas para valores específicos f ( 45⋅ deg) = 0.707
g( 1 , −1) = 2
Obs.: Note que o argumento da função f foi convertido para grau. Isto foi feito multiplicando o valor 45 pela expressão deg. Este é o procedimento para transformar os ângulos para graus, já que é padrão a consideração do argumento em radianos no Mathcad.
9. Vetor e Matrizes Para definir uma matriz no Mathcad proceda da seguinte forma. • • • • •
Digite um nome para a matriz ou vetor (por exemplo v : no exemplo a seguir); Selecione Matrix no menu Insert ou utilize a palete de geração de matrizes no menu View-Tool- Bar Math ( a figura a seguir mostra a paleta Math); Especifique o número de linhas e ecolunas desejado; Clique em Create ou pressione a tecla Enter; Preencha os placeholders (quadrados em negritos) com os números desejados (elementos da matriz)
7 9 1 M := 6 −8 2 5 7 3
4 v := −3 2
A seguir uma breve definição de cada botão da paleta math
Calculadora
Letras Gregas
Avaliação
Vetores e Matrizes
Programação
Operações Boleanas
Gráfico
Cálculo simbólico
Cálculo
6
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9.1 Índices da Matriz Os índices da matriz são usados para ar elementos individuais de uma matriz. No Mathcad, os índices começam em zero, a não ser se especificado de outra maneira (para isto procure o help do comando ORIGIN). Veja os exemplos.
i := 0 .. 2
Digite i:0;2
j := 0 .. 2
v =4
Digite v [ 0 =
M
v = −3
Digite v [ 1 =
0 1
0, j
Digite j:0;2
=
Digite M [0,j =
7 9 1
Veja e compare as diferenças ORIGIN := 1 i := 1 .. 3
Digite i:1;3
j := 1 .. 3
v =4
Digite v [ 1 =
M
1
1, j
Digite j:1;3
=
Digite M [1,j =
7 9 1
Tenha cuidado para não confundir o subscrito utilizado para ar elementos de uma matriz ( tecka [ ) com o subscrito (cosmético) obtido através de um ponto, conforme já descrito acima. Voltando a origem para 0
ORIGIN := 0
É importante ainda observar que o Mathcad sempre trata os índices sequencialmente. Por exemplo, se você fosse definir i := 0 , 2 .. 6
x := i i
Você obteria o seguinte
i = 0 2 4
0 0 2 x = 0 4 0 6
6
Uma vez que o Matcad trata os índices sequencialmente, ele preenche o primeiro, o terceiro e o quinto elemento do vetor com zero uma vez que estas posições não foram especificamente definidas na definição de x. Um maneira de definir a seqüencia de número acima sem esta inserção de zeros seria a seguinte
7
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i := 0 .. 3
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0 2 y= 4 6
y := i⋅ 2 i
9.2 Operações com Matrizes e Vetores A maioria das operações com matrizes e vetores pode ser encontrada na paleta de Matrizes. A seguir são listadas as operações básicas.Vá na paleta e veja as operações possíveis. Operador
Tecla
Botão
Exemplo
===================================================================== produto escalar
[Shift] 8
A⋅ B
produto vetorial
[Ctrlt] 8
A× B
determinante
|
coluna
[Ctrlt] 6
Como uma multiplicação escalar
A ⟨2⟩ A
Retorna a segunda coluna de A
======================================================================
9.3 Funções Vetores e Matriciais Utilizando v e M definidos anteriormente para os próximos exemplos, aqui são expostas algumas das funções internas para vetores e matrizes do Mathcad.
Finalidade
Exemplo
================================================== Número de Colunas
cols( M ) = 3
Número de Linhas
rows( M ) = 3
Maior valor na matriz
max( M ) = 9
==================================================
8
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10. Trabalhando com Unidades Uma das facilidade do Mathcad é a possibilidade de definição automática de unidades e transformação entre elas. Isto já foi feito anteriormente quando transformamos o argumento da função seno (sin 45*deg) para graus. A seguir outros exemplos. x := 10⋅ in
Digite x:10*in
in = símbolo de polegadas
Para ver quanto vale x em centímetros, clique na equação e posicione o cursor depois da unidade de polegadas (in). Apague-a e digite a unidade cm. A expressão fica da forma exposta a seguir x := 10⋅ cm
Observe que sua expressão será automaticamente mostrada na unidade de comprimento do sistema de unidades para o qual o Mathcad estiver ajustado. Para saber qual é este sistema vá no menu Math-Options-Unit System. Normalmente está ajustado para o SI (Sistema Internacional) , no qual a unidade de comprimento é o metro - m.O resultado será então o seguinte.
x = 0.1 m
Digite x=
Este princípio vale para todas as unidades constantes do Mathcad. Para consultar a lista de unidades disponíveis para dado sistema vá no menu Insert Unit. Lá há uma descrição de cada unidade acompanhada de sua respectiva simbologia. Esta caracrterística do Mathcad é bastante útil na medida em que ela permite que você verifique se cometeu algum erro nas unidades em determinado problema. Esta característica possibilita ainda a conversão de unidades. Por exemplo, se você não lembra quantos kgf valem 1 Newton proceda da seguinte forma. F := 1 ⋅ N
Crie uma variável qualquer e atribua a ela o valor de 1 Newton Digite F:1*N
F = 1N
Digite F= Em seguida clique sobre a expressão ao lado. Você notará que aparecerá um placeholder (quadrado preto) no final da expressão. Clique com o mouse sobre ele e escreva kgf. Clique fora da expressão e o resultado será o seguinte.
F = 0.102 kgf
Agora você sabe quantos kgf corresponde 1 N
Obs.: Você pode utilizar unidades dentro de vetores ou matrizes. Mas lembre-se que todos os elementos têm que está no mesmo tipo de unidade.
2 ⋅ cm vcorreto := 4 ⋅ cm 10⋅ cm
2 ⋅ cm verrado := 3⋅ m 5 ⋅ sec
o segundo está errado porque as unidades dos elementos não são as mesmas. O Mathcad mostra a expressão em vermelho e se você clicar sobre ela verá o motivo do erro.
9
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11. Expressões Simbólicas Expressões simbólicas podem ser escritas no Mathcad utilizando o sinal de igual lógico, que é obtido pressionando-se a tecla Ctrl=. Veja o exemplo.
2
x ⋅ y = 2⋅ b +
x d
−7
Digite x^2 * y [Ctrl]= 2*b [barra de espaços] + x/d [barra de espaços] - 7
Observe o sinal de igual. É diferente daqueles vistos até agora. Este tipo de sinal é usado, por exemplo, na solução de sistemas de equações. Veja.
Given
Digite Given
2 ⋅ x + 4 ⋅ y = 60
Digite 2*x+4*y [Ctrl+]3
4 ⋅ x + 15⋅ y = 20
Digite 5*x+10*y [Ctrl+]50
410 7 Find( x , y) → −100 7
Digite Find(x,y) [Ctrl .]
Depois clique fora da expressão e você obterá os valores das incógnitas x e y.Note que foram utilizadas duas novas funções: Given e Find. Procure no help mais detalhes sobre elas
12. Gráficos No Mathcad é possível se traçar os mais variados gráficos, desde os bi-dimensionais até os tridimensionais. Vá no menu Insert Graph e explore estas potencialidades (veja figura a seguir).
A seuir um exemplo de gráfico x-y x := 0 .. 2 ⋅ π
Digite x:0;2*p[Ctrl]g
f ( x) := sin( x)
Digite f(x):sin(x)
Para acionar o número π você pode ir no menu View-Math e escolher a paleta que contém as letras gregas (greek)
Para plotar a função f(x) temos duas maneiras: •
Clique com o mouse abaixo deste texto e e o menu Insert-Graph-X-Y Plot. Será exibido um gráfico vazio contendo dois placeholders, um em x e outro em y. Clique com o mouse no placehloder e digite x. Proceda da mesma forma em y e digite f(x). O resultado será o seguinte.
10
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1
f ( x)
0
1
0
2
4
6
x
A outra forma de inserir o gráfico vazio é a seguinte
Digite f(x)@x[Enter]
A figura aparecerá assim, com os placeholders já preechidos.
1
f ( x)
0
1
0
2
4
6
x
Você deve observar que os dois gráficos apresentam um formato muito retilíneo para uma função trigonométrica com a sin(x). Isto se deve ao fato de que o intervalo definido para a variável x. Ela vai de 0 até 6.28 (duas vezes pi) de um em um. Se você redefinir para um intervalo mais suave terá o seguinte resultado.
x := 0 , 0.01 .. 2⋅ π
Digite x:0,0.01;2*π
1
f ( x)
0
1
0
2
4
6
8
x
11
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x
12.1 Anatomia de um gráfico Se você clicar em qualquer lugar da tela e pressionar @, verá o seguinte - obviamente sem o texto expicatório que consta da figura mostrada abaixo.
Se você simplesmente preencher com os argumentos de x e y e pressionar Enter, os limites dos placeholders serão automaticamente preenchidos com o maior e menor valor do gráfico. Se você der um duplo clique no gráfico, aparecerá um caixa de diálogo que lhe permite mudar os parâmteros do gráfico, tipos de linhas, inserir legendas, inserir título, entre outras coisas.
12.2 Formatando gráficos Caso você deseje, pode entrar com números nos limites dos placeholders para ajustar o limite do gráfico ou para criar um marcador (marker). Veja o exemplo
Para colocar este marcador clique duas vezes no gráfico e selecione show markres no eixo dos y. Digite o número 0 no primeiro placeholder e obterá o resultado acima
12
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12.3 Unidades em gráficos Você pode utilizar unidades em gráfico. Veja como proceder L := 0.1⋅ m , 0.2⋅ m .. 1⋅ m y( L) :=
2 5
Digite L:0.1*m,0.2*m;1*m
⋅ 3⋅ m − L
Digite y(L):2/5 [barra de espaços] 3*m - L
Digite y(L)/cm@L/m
Você está criando um gráfico com y em centímetros e L em metros 150
y( L) cm
100 50
0
0
0.5
1
L m
Obs.:Veja que estamos usando unidades diferente em x e y.Lembre-se que a inserção de um gráfico pode ser feita através di menu Insert-Graph.
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